KAIDAH SIMPSON 3/8 DAN INTEGRASI NUMERIK Kelompok 6
ANGGOTA • • • • • •
Rian Triastuti Mardiyani Gias Atikasari Agil Dwijayanti Diah Aprilia Nur Khasanah
(4101410020) (4101410053) (4101410060) (4101410074) (4101410090) (4101410093)
Sub judul:
1. Kaidah Simpson 3/8 2. Metode Integrasi Numerik Untuk h yang Berbeda-Beda
1. KAIDAH SIMPSON 3/8
Seperti halnya pada kaidah simpson , hampiran nilai integrasi yang lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat lebih tinggi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan polinom interpolasi berderajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai daerah hampiran nilai integrasi adalah daerah di bawah kurva polinom berderajat 3 tersebut parabola.
Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik data, misalkan titiktitik tersebut (0, f (0)), (h, f (h)), (2h, f (2h)), dan (3h, f (3h)).
Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui keempat buah titik itu adalah 𝑥 𝑥 𝑥−ℎ 2 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3 𝑝3 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑓 𝑥0 + ∆ 𝑓 𝑥0 + ∆ 𝑓 𝑥0 2 3 ℎ 2! ℎ 3! ℎ 𝑥 𝑥 𝑥−ℎ 2 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3 = 𝑓0 + ∆𝑓0 + ∆ 𝑓0 + ∆ 𝑓0 2 3 ℎ 2! ℎ 3! ℎ
Integrasi p3 ( x ) di dalam selang [0,3h] adalah: 3ℎ
𝐼≈ 3ℎ
≈ 0
3ℎ
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 0
𝑝3 𝑥 𝑑𝑥 0
𝑥 𝑥 𝑥−ℎ 2 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3 [𝑓0 + ∆𝑓0 + ∆ 𝑓0 + ∆ 𝑓0 ] 2 3 ℎ 2! ℎ 3! ℎ
Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah Simpson 1/3 , diperoleh: 3ℎ
𝐼≈
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0
3ℎ
≈
𝑝3 𝑥 𝑑𝑥 0
3ℎ
≈
[𝑓0 + 0
𝑥 𝑥 𝑥−ℎ 2 𝑥 𝑥 − ℎ 𝑥 − 2ℎ 3 ∆𝑓0 + ∆ 𝑓 + ∆ 𝑓0 ] 0 ℎ 2! ℎ2 3! ℎ3
3ℎ 𝑥2 1 1 3 𝑥2ℎ 1 1 4 2 3 2 2 3 ≈ 𝑓0 𝑥 + ∆𝑓 + 𝑥 − ∆ 𝑓0 + 𝑥 − ℎ𝑥 + ℎ 𝑥 ∆ 𝑓0 2ℎ 0 2ℎ2 3 2 6ℎ3 4 0 9ℎ2 1 1 9ℎ3 1 1 3 2 ≈ 3ℎ𝑓0 + ∆𝑓0 + 27ℎ − ∆ 𝑓 + 81ℎ4 − 27ℎ4 + 9ℎ4 ∆3 𝑓0 0 2 3 2ℎ 2ℎ 3 2 6ℎ 4 ≈ 3ℎ𝑓0 +
9ℎ ∆𝑓0 + 2 ≈ 3ℎ𝑓0 +
9ℎ 9ℎ 2 27 9ℎ 3ℎ 3 − ∆ 𝑓0 + ℎ− − ∆ 𝑓0 2 4 8 2 2 9 9 3 ℎ∆𝑓0 + ℎ∆2 𝑓0 + ℎ∆3 𝑓0 2 4 8
9 9 3 ≈ 3ℎ𝑓0 + ℎ 𝑓1 − 𝑓0 + ℎ ∆𝑓1 − ∆𝑓0 + ℎ ∆2 𝑓1 − ∆2 𝑓0 2 4 8 9 9 3 ≈ 3ℎ𝑓0 + ℎ 𝑓1 − 𝑓0 + ℎ 𝑓2 − 2𝑓1 + 𝑓0 + ℎ 𝑓3 − 3𝑓2 + 3𝑓1 − 𝑓0 2 4 8 9 9 9 9 9 3 9 9 3 ≈ 3ℎ𝑓0 + ℎ𝑓1 − ℎ𝑓0 + ℎ𝑓2 − ℎ𝑓1 + ℎ𝑓0 + ℎ𝑓3 − ℎ𝑓2 + ℎ𝑓1 − ℎ𝑓0 2 2 4 2 4 8 8 8 8 9 9 3 9 9 9 9 9 3 ≈ 3ℎ𝑓0 − ℎ𝑓0 + ℎ𝑓0 − ℎ𝑓0 + ℎ𝑓1 − ℎ𝑓1 + ℎ𝑓1 + ℎ𝑓2 − ℎ𝑓2 + ℎ𝑓3 2 4 8 2 2 8 4 8 8 9 9 3 9 9 9 9 9 3 ≈ 3ℎ − ℎ + ℎ − ℎ 𝑓0 + ℎ − ℎ + ℎ 𝑓1 + ℎ − ℎ 𝑓2 + ℎ𝑓3 2 4 8 2 2 8 4 8 8 3 9 9 3 ≈ ℎ𝑓0 + ℎ𝑓1 + ℎ𝑓2 + ℎ𝑓3 8 8 8 8 3 ≈ ℎ 𝑓0 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 𝑓3 . 8
Sehingga, diperoleh Kaidah simpson 3/8 adalah 3ℎ
0
3ℎ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ ( 𝑓0 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 𝑓3 ) 8
Galat Kaidah simpson 3/8 adalah 3 5 𝑖𝑣 𝐸 ≈ − ℎ 𝑓0 𝑡 , 0 < 𝑡 < 3ℎ 80
Jika kaidah 3/8 ditambah dengan galatnya: 3ℎ
0
3ℎ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 8
𝑓0 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 𝑓3 + 𝑂(ℎ5 )
Sedangkan kaidah simpson gabungan adalah: 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 𝑎
3ℎ (𝑓0 + 3𝑓1 + 3𝑓2 + 2 𝑓3 + 3 𝑓4 + 3𝑓5 + 2𝑓6 + 3 𝑓7 + 3𝑓8 + 2𝑓9 + . .. 8 + 2 𝑓𝑛−3 + 3𝑓𝑛−2 + 3𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛 )
≈
3ℎ 8
𝑛−1
𝑓0 + 3
𝑛−3
𝑓𝑖 + 2 𝑖=1 𝑖≠3,6,9,…
𝑓𝑖 + 𝑓𝑛
… … … (𝑖)
𝑖=3,6,9,…
Persamaan ini (i) mudah dihafalkan dengan mengingat pola suku-sukunya: 1, 3, 3, 2, 3,3,2 3,3,2, . . . ,2,3,3,1 Namun menggunakan kaidah 3/8 simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus kelipatan 3.
Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah
𝐸𝑡𝑜𝑡 ≈
𝑛 3
−3ℎ 5
𝑖=1
𝑓 𝑖𝑣 𝑡 ≈ −
𝜀0
≈
3ℎ 5 𝑛 − . 80 3
≈
ℎ 5 (𝑏−𝑎) − . 80 ℎ
≈−
80
𝑛 3
𝑖𝑣 𝑡 𝑓 𝑖=1
. 𝑓 𝑖𝑣 𝑡
𝑏−𝑎 ℎ 4 80
= 𝑂 ℎ4
3ℎ 5
. 𝑓 𝑖𝑣 𝑡
𝑓 𝑖𝑣 𝑡 ,
𝑎<𝑡<𝑏
Jadi, kaidah simpson ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai 𝑏
𝑎
3ℎ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = (𝑓0 + 3 8
𝑛−1
𝑛−3
𝑓𝑖 + 𝑓𝑛 ) + 𝑂 (ℎ4 )
𝑓𝑖 + 2 𝑖=1 𝑖≠3,6,9,…
𝑖=3,6,9,…
Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat 1/3.
Namun dalam praktik kaidah simpson 1/3 lebih disukai dari pada kaidah simpson 3/8 , karena dengan tiga titik kaidah simpson 1/3 sudah diperoleh orde ketelitian yang sama dengan empat titik (simpson 3/8).
Tetapi, untuk n kelipatan 3, kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8 dan bukan kaidah simpson 1/3.
Contoh Soal
1 Hitunglah
1 exp 0
−𝑥 2 𝑑𝑥 dengan menggunakan kaidah
dan upselang yang digunakan adalah n = 12.
Penyelesaian: Dipunyai: ℎ=
𝑏−𝑎 𝑛
=
1 exp 0 1−0 12
−𝑥 2 𝑑𝑥 dan n = 12.
= 0,08333
3 8
tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0,08333: r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xr 0 0,08333 0,16666 0,24999 0,33332 0,41665 0,49998 0,58331 0,66664 0,74997 0,8333 0,91663 1
fr 1 0,99308 0,97261 0,93942 0,89485 0,84064 0,77882 0,71159 0,6412 0,56981 0,49938 0,43162 0,36788
Nilai integrasi f(x) di dalam selang [0,1] adalah: 1
exp −𝑥 2 𝑑𝑥
𝐼= 0
3ℎ = 𝑓0 + 3 𝑓1 + 3 𝑓2 + 2 𝑓3 + 3 𝑓4 + 3 𝑓5 + 2 𝑓6 8 + 3 𝑓7 + 3𝑓8 + 2 𝑓9 + 3𝑓10 + 3𝑓11 + 𝑓12 3 = . 0,0833 8
1 + 3.0,99308 + 3.0,97261 + 2.0,93942
+ 3.0,89485 + 3.0,84064 + 2.0,7782 + 3.0,71159 + 3.0,6412 + 2.0,56981 + 3.0,49938 + 3.0,43162 + 1.0,36788 = 0,746389 .23,89886 = 0,746839
2
Hitunglah 3
cos(𝑥) 𝑥
2
𝑑𝑥
dengan menggunakan kaidah digunakan adalah n = 7.
Penyelesaian: Dipunyai: 3
cos(𝑥)
2
𝑥
𝑑𝑥
dan n = 7. ℎ =
3−2 7
=
1 7
= 0,142857
3 8
dan upaselang yang
tabel titik-titik di dalam selang [2,3] dengan h = 0,142857: r 0 1 2 3 4 5 6 7
xr 2 2,142857 2,285714 2,428571 2,571429 2,714286 2,857143 3
fr -0,29426 -0,36982 -0,43361 -0,48537 -0,52496 -0,5524 -0,56783 -0,57157
Nilai integrasi f(x) di dalam selang [2,3] adalah: 3
𝐼= 2
cos(𝑥) 𝑥
𝑑𝑥
3ℎ = 𝑓0 + 3 𝑓1 + 3 𝑓2 + 2 𝑓3 + 3 𝑓4 + 3 𝑓5 + 2 𝑓6 + 1 𝑓7 8 3 = . 0,142857 −0,29426 + 3. −0,36982 + 3 − 0,43361 8 + 2. −0,48537 + 3. −0,52496 + 3. −0,5524 + 2. −0,56783 + 1. −0,57157 = 0,053571. −0,975777 = −0,52274
Algoritma Program Kaidah Simpson 3/8
1. Masukkannilai n (jumlahupaselang) dan (x, y) dengan x sebagaititikdan y = f(x) 2. Hitung h= (x[0] - x[n-1])/n dimana x[0] merupakan titik awal, dan x[n-1] merupakan titik akhir 3. Hitung I = y[0] + y[n-1] 4. Jika r kelipatan 3, maka sigma:= sigma + 2*y[r] dan jika tidak sigma:= sigma + 3*y[r] 5. Hitung I = (I + sigma)*3*h/8
Diagram Alur Program Kaidah Simpson 3/8
Program Kaidah Simpson 3/8
BahasaPemrogaman programsimpson; useswincrt; var n,m: integer; x,y : Array[0..30] of real; I, h, z, sigma,a,b : real; r : integer;
Begin write(' Masukkanjumlahtitik-titik data:'); readln(n);
for m:=0 to n do begin write('Input data x[',m:2,'] y[',m:2,']= '); read(x[m],y[m]); end; h:= (x[0] - x[n]) / n ; z:= x[0]; I:= y[0] + y[n]; Sigma:= 0; for r:= 1 to (n - 1) do begin if r mod 3 = 0 then {r = 3, 6, 9, . . . , n-3} sigma:= sigma + 2*y[r]; if r mod 3 <> 0 then {r ? 3, 6, 9, . . . , n-1} sigma:= sigma + 3*y[r]; end; I:= (I + sigma)*3*h/8; Writeln(' MakanilaiIntegrasiNumeriknya:',I); end.
Program pascal
2. Metode Integrasi Numerik Untuk h yang Berbeda-Beda
Misalkan jarak antara titik-titik data dalam selang [a, b] tidak seragam. Beberapa titik data mempunyai jarak h1, beberapa titik data lain h2, sedangkan sisanya berjarak h3. Integrasi numerik dalam selang [a, b] dilakukan dengan mengkombinasikan kaidah integrasi yang sudah ada, misalnya kombinasi kaidah trapesium, kaidah 1/3 simpson, dan kaidah 3/8 simpson. Berdasarkan orde galatnya, kaidah 1/3 simpson dan 3/8 simpson lebih teliti dari pada kaidah trapesium.
Karena itu, kaidah 1/3 simpson diterapkan bila jumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap, sedangkan kaidah 3/8 simpson diterapkan bila jumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan tiga. Sisanya, jika jumlah upa selang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya, maka gunakan kaidah trapesium.
Contohnya dapat dilihat pada gambar berikut y y = f(x)
x kaidah simpson 1/3
kaidah simpson 3/8
trap trap
Empat buah upaselang pertama berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 1/3 (karena jumlah upaselang genap). Tiga buah upaselang berikutnya berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 3/8 (karena jumlah upaselang kelipatan 3).
Dua buah upaselang berikutnya masing-masing berbeda lebarnya, maka setiap upaselang dihitung integrasinya dengan kaidah trapesium .
Terima kasih
