Metode Numerik
Integrasi Numerik Umi Sa’adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012
PENS-ITS
1
Metode Numerik
Topik • • • • • •
Integral Reimann Trapezoida Simpson 1/3 Simpson 3/8 Kuadratur Gauss 2 titik Kuadratur Gauss 3 titik
PENS-ITS
2
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK • Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative) • Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.
PENS-ITS
3
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK • Fungsi yang dapat dihitung integralnya :
• Fungsi yang rumit misal : 2
0
3
2 cos(1 x 2 ) 1 0.5 sin x
e 0.5 x dx
n 1 ax n ax dx n 1 C ax e ax e dx a C sin( ax b)dx 1 a cos(ax b) C cos(ax b)dx 1 a sin( ax b) C 1 xdx ln | x | C
ln | x |dx x ln | x | x C PENS-ITS
4
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK • Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. • digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. • Penerapan integral : menghitung luas dan volumevolume benda putar
PENS-ITS
5
Metode Numerik
Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi f(x)
x0
b
a
n
f ( x)dx ci f ( xi ) i 0
c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 ) ... cn f ( xn )
x1
xn-1 PENS-ITS
xn
x 6
Metode Numerik
Dasar Pengintegralan Numerik • Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.
• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak. 12
10
8
6
4
2
0 3
5
7
PENS-ITS9
7 11
13
15
Metode Numerik
Dasar Pengintegralan Numerik Formula Newton-Cotes
- Berdasarkan pada b
b
a
a
I f ( x )dx fn ( x )dx Nilai hampiran f(x) dengan polinomial
fn ( x ) a0 a1 x an1 x n1 an x n PENS-ITS
8
fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat
PENS-ITS
Metode Numerik
9
Metode Numerik
fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi
PENS-ITS
10
Metode Numerik
Polinomial dapat didasarkan pada data
PENS-ITS
11
Metode Numerik
INTEGRASI NUMERIK • Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : b • L = f x dx a
PENS-ITS
12
Metode Numerik
Metode Integral Reimann 0.5 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 0
0.5
1
1.5
PENS-ITS
2
2.5
3
13
Metode Numerik
Metode Integral Reimann • Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x • Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] • Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li xi. f ( xi )
PENS-ITS
14
Metode Numerik
Metode Integral Reimann • Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan : L L0 L1 L2 .. Ln
f x0 x0 f x1 x1 f x 2 x 2 ... f x n x3 n
f xi xi i 0
• Dimana • Didapat
x0 x1 x2 ... xn h b
n
a
i 0
f x dx h f xi PENS-ITS
15
Metode Numerik
Contoh
1
L = x 2 dx 0
• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1] 1 x**2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
PENS-ITS
0.6
0.7
0.8
0.9
1
16
Metode Numerik
Contoh • Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :
10
L h. f ( xi ) i 0
0.10 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.00 0.13,85 0,385 1 1 3 1 2 • Secara kalkulus : L x dx x | 0 0,3333 ..... 3 0 • Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 • = 0,052
PENS-ITS
17
Metode Numerik
Algoritma Metode Integral Reimann • • • • •
Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung N
L h. f ( xi ) i 0
PENS-ITS
18
Metode Numerik
Metode Integrasi Trapezoida • Aproksimasi garis lurus (linier)
b
a
1
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) i 0
h f ( x0 ) f ( x 1 ) 2 f(x) L(x)
x0
PENS-ITS
x119 x
Metode Numerik
Aturan Komposisi Trapesium
b
a
x1
x2
xn
x0
x1
xn 1
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
f ( x )dx
h f ( x0 ) f ( x 1 ) h f ( x 1 ) f ( x 2 ) h f ( x n 1 ) f ( x n ) 2 2 2 h f ( x0 ) 2 f ( x1 ) 2f ( x i ) 2 f ( x n1 ) f ( x n ) 2
f(x)
h
ba n x0
h
x1
h PENS-ITS
x2
h
x3
h
x420 x
Metode Numerik
Metode Integrasi Trapezoida 1 Li f xi f xi 1 .xi 2 atau 1 Li f i f i 1 .xi 2
1
L Li i 0
n 1
1 h L h f i f i 1 f 0 2 f1 2 f 2 ... 2 f n1 f n 2 i 0 2 n 1 h L f 0 2 f i f n 2 i 1
PENS-ITS
21
Metode Numerik
Algoritma Metode Integrasi Trapezoida • Definisikan y=f(x) • Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) • Tentukan jumlah pembagi n • Hitung h=(b-a)/n • Hitung n 1
h L f 0 2 f i f n 2 i 1 PENS-ITS
22
Aturan Simpson 1/3
Metode Numerik
• Aproksimasi dengan fungsi parabola 2 b ci f ( xi ) c0 f ( x0 ) c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 ) a f ( x)dx i 0 h f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) 3
L(x)
f(x)
x0
h
x PENS-ITS 1
h
x2 23 x
Metode Numerik
Aturan Komposisi Simpson ba h n
f(x)
…... x0 h x1 h x2 h x3 h PENS-ITS
x4
xn-2 xn-1
xn 24
x
Metode Numerik
Cara II (Buku Rinaldi Munir)
• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb x x( x h) 2 x x( x h) 2 p2 x f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x ) f f f0 0 0 0 2 2 h 2!h h 2!h
PENS-ITS
25
Polinom Interpolasi Newton Gregory
PENS-ITS
Metode Numerik
26
Polinom Interpolasi Newton Gregory
Metode Numerik
Bentuk Umum
PENS-ITS
27
Metode Numerik
Cara II
(Buku Rinaldi Munir hlm 285)
• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 2h
L
2h
f ( x)dx p xdx 2
0
0
x x ( x h) 2 L f 0 f 0 f 0 dx 2 h 2 ! h 0 2h
x3 x2 x2 L f0 x f 0 2 2h 6h 4h
2 x2h f 0 | x 0 8h 3 4h 2 2 4h 2 f 0 L 2hf0 f 0 2 2h 4h 6h 4h L 2hf0 2hf 0 h 2 f 0 3 h L 2hf0 2hf 0 2 f 0 3 PENS-ITS
28
Metode Numerik
Cara II
(Buku Rinaldi Munir hlm 286)
• Mengingat f 0 f1 f 0 2 f 0 f1 f 0 ( f 2 f1 ) ( f1 f 0 ) f 2 2 f1 f 0
• Maka selanjutnya
h 2 f0 3 h L 2hf0 2h( f1 f 0 ) ( f 2 2 f1 f 0 ) 3 h 2h h L 2hf0 2hf1 2hf0 f 2 f1 f 0 3 3 3 h 4h h L f0 f1 f 2 3 3 3 h L ( f 0 4 f1 f 2 ) 3
L 2hf0 2hf 0
PENS-ITS
29
Metode Numerik
Kaidah Simpson 1/3 (total) Ltotal =
b
a
f ( x)dx
x2
x4
xn
x0
x2
xn 2
f ( x)dx f ( x)dx ... f ( x)dx
h h h ( f 0 4 f 1 f 2) ( f 2 4 f 3 f 4) ... ( fn 2 4 fn 1 fn) 3 3 3 n 1 n2 h ( f 0 4 fi 2 f i fn ) 3 i 1, 3, 5 i 2, 4,6
• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap
PENS-ITS
30
Metode Integrasi Simpson 1/3
Metode Numerik
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: N=0–n
L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
h h h h L f0 4 f1 f 2 f 2 4 f3 f 4 f 4 4 f5 f6 ... f n2 4 f n1 f n 3 3 3 3
• atau dapat dituliskan dengan: h L f 0 4 f i 2 f i f n 3 i ganjil i genap
• Disyaratkan jml pias (n) genap PENS-ITS
31
Metode Numerik
Contoh • Hitung integral
1
2 x dx 3
0
Ltotal Ltotal = 0.1/3*( f(0) + 4*f(1) + 2*f(2) + …+ 4*f(9) + f(10)) = 0.1/3*(0+0.008+0.032+0.216+0.256+1+0.864
+2.744+2.048+5.832+2) = 0.0333333 * 15 = 0.5 4 Nilai eksak = 1 2 x |10 = 0.5 Nilai error = 0.5 - 0.5 = 0
PENS-ITS
32
Metode Numerik
Aturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik
b
a
3
f ( x )dx c i f ( x i ) c0 f ( x0 ) c 1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 ) c 3 f ( x 3 ) i 0
3h f ( x0 ) 3 f ( x 1 ) 3 f ( x 2 ) f ( x 3 ) 8
L(x)
x0
h
f(x)
x1
h PENS-ITS
x2
h
x3 33
x
Metode Integrasi Simpson 3/ 8
Metode Numerik
• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: N=0–n L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln
3 3 3 3 L h f 0 3 f1 3 f 2 f 3 h f 3 3 f 4 3 f 5 f 6 h ... h f n3 3 f n2 3 f n1 f n 8 8 8 8
• atau dapat dituliskan dengan:
PENS-ITS
34
Metode Numerik
Latihan Soal • Hitung Integral dengan menggunakan 1
1 0 1 e x dx
– Integral Reimann – Integrasi Trapezoida – Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8
PENS-ITS
35
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss • Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan batasan : – h sama – Luas dihitung dari a sampai b
• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.
PENS-ITS
36
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss • Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1] 1
h I f ( x)dx f (1) f (1) f (1) f (1) 2 1 h 1 (1) 2 • Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
1
• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=h/2=1 menjadi metode trapezoida • Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya minimum
PENS-ITS
37
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss • Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 ? Karena ada 4 perubah yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan yang mengandung x1, x2,,c1 dan c2. • Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi linier. • Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] • f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3
PENS-ITS
38
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
1 1
f ( x) 1 1dx x | xx 11 1 (1) 2 c1 c 2 1
1
f ( x) x xdx 1 x 2 | xx 11 1 (1) 2 1 (1) 2 0 c1 x1 c 2 x 2 2 2 2 1
1
f ( x) x x 2 dx 1 x 3 | xx 11 1 (1) 3 1 (1) 3 2 c1 x12 c 2 x 22 3 3 3 3 2
1 1
f ( x) x x 3 dx 1 x 4 | xx 11 1 (1) 4 1 (1) 4 0 c1 x13 c 2 x 23 4 4 4 3
1
PENS-ITS
39
Metode Numerik
Sekarang sudah didapatkan 4 persamaan simultan sbb :
c1 c 2 2
apabila dipecahkan menghasilkan
c1 x1 c 2 x 2 0 c1 x1 c 2 x 2 2 2
2
c1 c 2 1 x1 x2
3
c1 x1 c 2 x 2 0 3
3
Sehingga :
1
1
I
f ( x)dx f (
1
PENS-ITS
1 3
3 1 3
0.577350269 0.577350269
) f(
1 3
)
40
Metode Numerik
Metode Integrasi Gauss • Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik 1 1 1 f ( x)dx g ( 3 ) g ( 3 ) 1
• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi nilai fungsi g pada x 1 3 dan x 1 3
PENS-ITS
41
Metode Numerik
Transformasi b
1
Li f ( x )dx
Li g (u )du 1
a
• • • •
Range [a,b] x f(x) dx
PENS-ITS
[-1,1] u g(u) du 42
Metode Numerik
Transformasi x a u 1 ba 2 2 x 2a (u 1)(b a) 2 x (u 1)(b a) 2a b a bu au 2a x 2 (b a) (b a) x u 2 2 (b a ) dx du 2
a
x
b
-1
u
1
PENS-ITS
43
Metode Numerik
Transformasi 1
b
Li f ( x)dx g (u )du a
1
(b a) (b a) (b a) g (u ) f u 2 2 2
(b a) (a b) (b a) 1 g (u)du 2 1 f 2 2 u du 1
1
PENS-ITS
44
Metode Numerik
Analisa • Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. • Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes. • Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi 1
g (u )du
1
PENS-ITS
45
Algoritma
Metode Numerik
Integrasi Kuadratur Gauss dgn Pendekatan 2 titik (1) Definisikan fungsi f(x) (2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel : x
(b a) (b a) u 2 2
(4) Tentukan fungsi f(u) dengan: g (u )
(5) Hitung:
(b a) (b a) (b a) f u 2 2 2 1 1 L g g 3 3 PENS-ITS
46
Metode Numerik
PENS-ITS
47
Metode Numerik
Metode Gauss Legendre 3 Titik 1
I
f ( x)dx c
1
f ( x1 ) c2 f ( x2 ) c3 f ( x3 )
1
• Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi 2 berikut :
f ( x) 1; f ( x) x; f ( x) x
f ( x) x 3 ; f ( x) x 4 ; f ( x) x 5 • Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan
5 8 5 c1 ; c2 ; c3 9 9 9
x1 3 5 0.774596669 x2 0 x3 3 5 0.774596669 PENS-ITS
48
Metode Numerik
Metode Gauss Legendre 3 Titik Sehingga rumus luasannya menjadi :
5 3 8 5 3 g ( u ) du g g 0 g 1 9 5 9 9 5 1
PENS-ITS
49
Metode Numerik
Algoritma Metode Integrasi Gauss dengan Pendekatan 3 Titik (1) Definisikan fungsi f(x) (2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel : x
(b a) (b a) u 2 2
(b a) (b a) (b a) (4) Tentukan fungsi f(u) : g (u ) f u 2 2 2
5 3 8 5 3 1 g (u)du 9 g 5 9 g 0 9 g 5 1
(5) Hitung:
PENS-ITS
50
Metode Numerik
Metode Gauss n-Titik
PENS-ITS
51
Metode Numerik
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik
• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar • Menghitung Luas dan Volume Benda Putar
PENS-ITS
52
Metode Numerik
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar 9
6
3
Skala 1:100000 0
•
•
5
10
15
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
PENS-ITS
53
Metode Numerik
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar • Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode: • Dengan menggunakan metode integrasi Reimann 16
L h y i 73.5 i 0
• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida 15 h L y0 2 yi y16 73.5 2 i 1
• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson h L y0 4 yi 2 yi y16 74 3 i ganjil i genap PENS-ITS
54
Metode Numerik
Menghitung Luas dan Volume
Benda Putar • Luas benda putar: b
L p 2 f ( x)dx a
• Volume benda putar: b
V p f ( x)2 dx a
PENS-ITS
55
Metode Numerik
Contoh : 5 cm
7 cm
I
II
6 cm 4 cm
III
IV
12 cm
7 cm
satuan dalam cm
• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian – bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, – bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.
• Bagian I: LI 2 (4)(7) 56
VI (4)(7) 2 196
• Bagian III: LIII 2 12(12) 288
VIII 2 1212 3456
PENS-ITS
2
56
Metode Numerik
Contoh : •
Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:
• •
Pada bagian II dan IV: LII LIV dan V V II IV Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: 4 h LII ( LIV ) 2 y 0 y5 2 yi 108 2 i 1 4 h 2 2 V II V IV y 0 y5 2 yi2 1187 .5 2 i 1
PENS-ITS
57
Metode Numerik
Contoh : • Luas permukaan dari botol adalah: L
LI LII LIII LIV 56 108 288 108 560 1758 .4
• Luas = 1758.4 cm2 • Volume botol adalah:
V VI VII VIII VIV 196 1187 .5 3456 1187 .5 6024
• Volume = 18924.78 cm3 PENS-ITS
58
