Bab 3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2013

Bab 3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL)

Umi Sa’adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2013 PENS 2013

Topik

PENS-ITS

Definisi SPL  Suatu sistem yang merupakan gabungan dari beberapa

persamaan linier dengan variabel x1 , x2 ,..., xn

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 







am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm  SPL diatas mempunyai m persamaan dan n variabel  SPL mempunyai minimal sebuah solusi, disebut konsisten,

jika tidak mempunyai solusi disebut tidak konsisten PENS

SPL  Bentuk persamaan linier simultan dengan n persamaan dan n

variabel bebas  a11 a  21  ...  an1

PENS

a12 a22 ... an 2

... a1n   x1   b1       ... a2 n   x2  b2   ... ...   ...   ...      ... ann   xn  bn 

Bentuk Matrik SPL 

SPL dengan m persamaan dan n variabel a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 







am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm 

Bentuk SPL dapat ditulis dengan a11 a12 ... a1n a a ... a 2n  21 22      am1 am 2 ... amn



Dapat ditulis Ax = B PENS

     

 x1  x   2      xm 

=

b1  b   2     bm 

Bentuk Matrik SPL 

Dimana A = a11 a12 ... a1n  a a ... a  2n   21 22       a a ... a mn   m1 m 2

x =  x1  B = b1  x   2      xm 

A adalah matrik koefisien dari SPL (matrik Jacobian).  Vektor x disebut vektor variabel  Vektor B disebut vektor konstanta 

PENS

b   2     bm 

Augmented Matrik  Matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan

dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya a11 a12 ... a1n b1  a a ... a  b 2n 2   21 22         am1 am 2 ... amn bm 

PENS

Contoh x + 3y + 2z = 44 x + 4y + z = 49 2x + 5y + 5z = 83  Bentuk matrik SPL 1 3 2   x  1 4 1       y 2 5 5  z 

=

 Augmented Matrik PENS

44 49   83

1 3 2 44 1 4 1 49   2 5 5 83

Penyelesaian SPL  Berdasarkan penyelesaiannya, SPL dibedakan menjadi 3

macam: 

Tidak mempunyai penyelesaian (no solutions)



Tepat satu penyelesaian (exactly one solution)



Banyak penyelesaian(infinitely many solutions)

PENS

Penyelesaian SPL 

Secara geometri penyelesaian sist pers linier untuk 2 var bebas dapat digambarkan: l1 y l1 l2 y l2

x Tidak mempunyai penyelesaian PENS

x Mempunyai 1 penyelesaian

Penyelesaian SPL 

Secara geometri penyelesaian sist pers linier untuk 2 var bebas dapat digambarkan: y l1=l2

x

PENS

Mempunyai banyak penyelesaian

Contoh 1 Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.  Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ? 

PENS

Contoh 1  Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :  x = jumlah boneka A  y = jumlah boneka B  Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa:  Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82  Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62  Atau dapat dituliskan dengan :

10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62  Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di

atas.

PENS

Contoh 2 

Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai berikut : 3 4

2 1

Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar.  Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.  Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus. 

PENS

Contoh 2 

4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :

y  ax 3  bx 2  cx  d 

Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d



Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.

PENS

Contoh 2  Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya didapatkan

dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.

PENS

Operasi-operasi Dasar (Elementary Operations)  Terdapat dua tahap untuk menyelesaikan SPL yaitu:  Reduksi sistem (mengeliminasi variabel)  Mendeskripsikan himpunan penyelesaian  Tujuan dari reduksi sistem adalah untuk menyederhanakan

SPL dengan mengeliminasi variabel-variabel, sehingga sistem yang dihasilkan mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dengan sistem aslinya.

PENS

Sistem equivalent  Definisi

Dua SPL dengan n variabel disebut equivalent jika SPL tersebut mempunyai himpunan penyelesaian yang sama

PENS

Operasi Baris Elementer  Untuk reduksi sistem, SPL menggunakan operasi baris

elementer (elementary row operations). Terdapat 3 operasi : Menukar dua baris (Ri ↔ Rj)  Mengalikan sebuah baris dengan sebuah skalar (k Ri)  Menambah perkalian k dengan sebuah baris dengan baris lainnya. (Ri + kRj) 

PENS

Operasi Baris Elementer 

Menambahkan perkalian k dengan sebuah baris ke sebuah baris lainnya. (Ri + kRj) 1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0

B2 – 2B1

9  1 1 2 0 2  7  17    3 6  5 0 

 B2 – 2B1 artinya elemen-elemen pada baris kedua dikurangi dengan dua kali

elemen pada baris ke satu  -2B1 : -2 -2 -4 -18 : 2 4 -3 1 B2 B2 – 2B1 : 0 2 -7 -17 (menjadi elemen baris ke-2) PENS

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer x  y  2z  9 2 x  4 y  3z  1 3x  6 y  5 z  0

1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0 PENS

B2 – 2B1

B2 – 2B1

x  y  2z 

9

2 y  7 z  1 7 3x  6 y  5 z  0

9  1 1 2 0 2  7  17    3 6  5 0 

B3 – 3B1

B3 – 3B1

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer x  y  2z  9 2 y  7 z  17 3 y  11z  27

9  1 1 2 0 2  7  17    0 3  11  27  PENS

x  y  2z  1/2B2

y  72 z   172 3 y  11z 

1/2B2

9 B3 – 3B2

0

9  B – 3B 1 1 2 2 0 1  7  17  3 2 2   0 3  11  27 

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer x  y  2z 

x  y  2z 

9

y  72 z   172

-2B3

PENS

9   172   32 

y  72 z   172

B1 – B2

z 3

 12 z   32

1 1 2 0 1  7 2  0 0  12

9

-2B3

1 1 2 0 1  7 2  0 0 1

9   172  3 

B1 – B2

Contoh Penggunaan Operasi Baris Elementer x



11 2

z

35 2

y z 7 2

z 1 0 112  7 0 1  2  0 0 1

17 2

3     3  35 2 17 2

B1 – 11/2 B3 B2 + 7/2 B3 B1 – 11/2 B3 B2 + 7/2 B3

1

x y

 2 z 3

1 0 0 1  0 1 0 2    0 0 1 3

SPL diatas mempunyai penyelesaian tunggal x=1,y=2,z=3 Proses reduksi pada contoh diatas disebut Eliminasi Gauss-

Jordan PENS

Contoh 2x2 + x3 = -2 3x1 + 5x2 - 5x3 = 1 2x1 + 4x2 - 2x3 = 2 0 2 1  2 3 5  5 1    2 4  2 2  1 2  1 1  3 5  5 1    0 2 1  2

PENS

B1

↔

B3

B2 - 3B1

2 4  2 2  3 5  5 1    0 2 1  2

1 2  1 1  0  1  2  2    0 2 1  2

1/2B1

-B2

Contoh 1 2  1 1  0 1 2 2   0 2 1  2

B1 - 2B2

1 0  5  3  0 1 2 2   0 0  3  6

-1/3B3

1 0 0 7  0 1 2 2    0 0 1 2

B2 - 2B3

1 0  5  3 0 1 2  2   0 2 1  2

1 0  5  3 0 1 2  2   0 0 1 2 

B3 - 2B2 B1 + 5B3

1 0 0 7  0 1 0  2    0 0 1 2 

• SPL diatas mempunyai penyelesaian tunggal yaitu x1=7, x2=-2 dan x3=-2 PENS

3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(a) Dari matrik augmented SPL direduksi dengan operasi baris elementer diperoleh bentuk reduced echelon form. Terdapat 4 kemungkinan penyelesaian seperti berikut :

1 0 0 5  (a) 0 1 0  2 0 0 1 4  Penyelesaian (a)

 5

x y

 -2 z 4

PENS

3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(b1) 2 4 1 1 (b) 0  3  3  6 0 0 0 0  Penyelesaian (b) x1  x2  2 x3  4 - 3 x2 - 3 x3  - 6 Variabel depan (leading variables) PENS

Variabel bebas (free variables)

3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(b2)

x1 = 10 – 5x3 x2 = 3 – x3

Variabel bebas dapat diisi dengan sembarang nilai k, selanjutnya dapat ditentukan variabel depan

Terdapat banyak penyelesaian, penyelesaian secara umum diberikan dengan menggunakan formula

PENS

x1 = 10 – 5k x2 = 3 – xk3 x3 = k

3 Kemungkinan Penyelesaian SPL(c) 2 4 1 1 0  3  3  6    0 0 0 1 

Penyelesaian (c) 1. Persamaan yang bersesuai dengan baris terakhir tsb adalah 2. Tidak ada nilai xi yang memenuhi persamaan tersebut PENS

0x1 + 0x2 + 0x3 = 1

Contoh 

Matrik di bawah ini adalah matrik reduced echelon form. Jelaskan SPL yang berhubungan dengan matrik tersebut dan bagaimana penyelesaiannya?

1 0 A 0  0

3 1 0  2 0 1 7   0 0 0 0 0

1  3 0 4 2 C  0 0 1  5 1 0 0 0 0 0 PENS

1 0  1 0 B  0 1 3 0 0 0 0 1 1 2 0 5 D  0 0 1 0 0 0 0 0

Contoh 

Matrik A adalah matrik augmented dengan SPL sbb: x1  3

x2  - 2 x3  7 x1  3 x2  - 2 x3  7 SPL mempunyai penyelesaian tunggal yaitu  Matrik B adalah matrik augmented dengan SPL sbb: x1 - x3  0 x2  3 x3  0 0 x1  0 x2  0 x3  1

SPL tidak mempunyai penyelesaian karena pada persamaan ke-3, SPL tidak konsisten PENS

Contoh 

Matrik C adalah matrik augmented dengan SPL :

x1 - 3x2  4 x4  2 x3 - 5 x4  1 Matrik C adalah matrik augmented dengan SPL :

x1  2  3 x2  4 x4 x3  1  5 x4 Variabel depan adalah x1 dan x3, variabel bebas adalah x2 dan x4. SPL mempunyai penyelesaian banyak dapat dinyatakan dengan formula :

x1  2  3s  4t x2  s x3  1  5t x4  t

PENS

Contoh 

Matrik D adalah matrik augmented dengan SPL : x1  2 x2  5 x3  0

Matrik D adalah matrik augmented dengan SPL :

x1  5 - 2 x2 x3  0



Variabel depan adalah x1 dan x3, variabel bebas adalah x2. SPL mempunyai penyelesaian banyak dinyatakan dengan formula : x1  5 - 2 s x2  s x3  0 PENS

Metode Analitik  metode grafis  aturan Crammer  invers matrik

PENS

Metode Numerik Metode Eliminasi Gauss

  

 

PENS

Gauss Naïve Gaus Pivotting

Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Gauss-Seidel

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas  matrik diubah menjadi augmented matrik : 

 a11  a 21  ...  a n1 PENS

a12 a 22

... a1n ... a 2 n

... an2

... ... ... a nn

b1   b2  ...   bn 

Metode Eliminasi Gauss 

 a11 a  21 a31   ... a n1

ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

a12 a 22

a13 a 23

... a1n ... a 2 n

a32

a33

... a3n

...

...

...

an2

a n 3 ... a nn

PENS

...

b1  b2  b3   ...  bn 

c11 0  0   ...  0

c12 c 22 0 ... 0

c13 ... c1n c 23 ... c 2 n c33 ... c3n ... ... ... 0 ... c nn

d1  d 2  d3   ...  d n 

Metode Eliminasi Gauss  Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:

dn xn  c nn x n 1 

1 c n 1,n 1

 c

n 1, n

x n  d n 1 

..................................... 1 d 2  c23 x3  c24 x4  ...  c2 n xn  x2  c 22 1 d1  c12 x2  c13 x3  ...  c1n xn  x1  c11 PENS

Contoh : 

Selesaikan sistem persamaan berikut:

x1  x 2  x3  6 x1  2 x 2  x3  2 2 x1  x 2  2 x3  10 

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

1 1 1 6  1 2  1 2    2 1 2 10 PENS

Contoh :  Lakukan operasi baris elementer

B2  B1 B3  2B1

B3  B2

PENS

1 6  1 1    0 1  2  4  0 1 0  2  

6 1 1 1 0 1  2  4    0 0  2  6

Contoh :  Penyelesaian :

6 x3  3 2 1 x 2   4  (2)3  2 1 1 x1  6  2  3  1 1 PENS

Algoritma Metode Eliminasi Gauss

PENS

Metode Eliminasi Gauss Jordan 

Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal  a11 a  21 a31   ... a n1

a12 a 22

a13 a 23

... a1n ... a 2 n

a32

a33

... a3n

...

...

...

an2

a n 3 ... a nn

...

b1  b2  b3   ...  bn 

1 0  0  ...  0

d1  d 2  0 1 ... 0 d 3   ... ... ... ... ...  0 0 ... 1 d n  0 1

0 ... 0 0 ... 0

 Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn

dan atau:

x1  d1 , x 2  d 2 , x3  d 3 ,...., x n  d n PENS

Contoh Eliminasi Gauss Jordan (1/1)  Selesaikan persamaan linier

simultan:

 Augmented matrik dari

persamaan linier simultan 

Lakukan operasi baris elementer

x1  x 2  3 2 x1  4 x 2  8

1 1 3 B2  2b1 1 1 3  2 4 8 0 2 2   

Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1 PENS

 1 1 3 B 2 / 2  0 1 1   1 0 2  B1  B2   0 1 1  

Contoh Eliminasi Gauss Jordan (1/4) x  y  2z  9 2 x  4 y  3z  1 3x  6 y  5 z  0

1 1 2 9  2 4  3 1   3 6  5 0 PENS

B2-2B1

B2-2B1

x  y  2z 

9

2 y  7 z  1 7 3x  6 y  5 z  0

9  1 1 2 0 2  7  17    3 6  5 0 

B3-3B1

B3-3B1

Contoh Eliminasi Gauss Jordan (2/4) x  y  2z  9 2 y  7 z  17 3 y  11z  27

9  1 1 2 0 2  7  17    0 3  11  27  PENS

½ B2

x  y  2z 

y  72 z   172 3 y  11z 

½ B2

9

B3-3B2

0

9  1 1 2 0 1  7  17  2 2   0 3  11  27 

B3-3B2

Contoh Eliminasi Gauss Jordan (3/4) x  y  2z 

9

y  72 z   172

-2 B3

 12 z   32

1 1 2 0 1  7 2  0 0  12 PENS

9   172   32 

x  y  2z 

9

y  72 z   172

B 1- B 2

z 3

-2 B3

1 1 2 0 1  7 2  0 0 1

9   172  3 

B 1- B 2

Contoh Eliminasi Gauss Jordan (4/4) x



11 2

z

35 2

B2 + 7/2 B3

y  72 z   172 z

1 0 112  7 0 1  2  0 0 1

y

3

B1 - 11/2 B3

    3 

B2 + 7/2 B3

35 2 17 2

B1 - 11/2 B3

 Solusi x = 1, y=2 dan z=3 PENS

x

1  2 z 3

1 0 0 1  0 1 0 2    0 0 1 3

Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan

PENS

Strategy Pivoting  Prinsip strategy pivoting adalah jika ap,p(p-1) =0, cari baris k

dengan ak,p ≠ 0 dan k > p, lalu pertukarkan baris p dan baris k.

PENS

Jenis pivoting (1) 

Partial pivoting (pivoting sebagian)

 Pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang mempunyai nilai mutlak

terbesar |ak,p| = max{|ap,p|, |ap+1,p|, …, |an-1,p|, |an,p|}  Lalu pertukarkan baris ke-k dengan baris ke-p.  Misal setelah operasi baris pertama diperoleh matrik sbb: x 0  0  0

x x x x

x x x x

x x x x

x x  x  x

 Untuk operasi baris kedua, carilah elemen x pada kolom ke-2 mulai baris ke-3 s/d

kolom ke-4 yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2.  Elemen x yang nilai mutlaknya terbesar itu sekarang menjadi pivot untuk operasi baris selanjutnya. PENS

Jenis pivoting (2)  Complete pivoting (pivoting lengkap)

Disamping baris, kolom juga diikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan, maka strategi ini disebut pivoting lengkap.  Pivoting lengkap jarang dipakai dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya menambah kerumitan program secara berarti 

PENS

Contoh 

Selesaikan SPL dengan metode Eliminasi Gauss 0.0003 x1  1.566 x2  1.569 0.3454 x1  2.436 x2  1.018

Penyelesaian  Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke-2 sehingga 0.3454 menjadi pivot 

0.0003 1.566 1.569 0.3454 - 2.436 1.018  

R2 

PENS

0.0003 R1 0.3454

R 2  R1

0.3454 - 2.436 1.018 0.0003 1.566 1.569  

0.3454 - 2.436 1.018  0  1.568 1.568  

Contoh  Dengan backward subtitusi diperoleh x 2  1.568

1 1.568 1.018  (2.436)(1.000) x1   10.02 0.3454

PENS

Metode Iterasi Gauss Seidel Metode untuk menyelesaikan SPL yang menggunakan proses iterasi.  Baik untuk menyelesaikan SPL yang besar  Bila diketahui SPL seperti di bawah ini 

a11

x1



a12

x2



a13

x3

 ... 

a1n

xn



a 21

x1



a 22

x2



a 23

x3

 ...  a 2 n

xn

 b2

a31 ...

x1  a32 ... ... ...

a n1

x1

PENS

 an2

x 2  a33 ... ... ... x2

 an3

x3  ...  a3n ... ... ... ... ... x3

 ... 

a nn

b1

x n  b3 ... ... ... xn

 bn

Metode Iterasi Gauss-Seidel  Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) 1 b1  a12 x 2  a13 x 3  ....  a1 n x n  x1  a11 x2 

1 b 2  a 21 x1  a 23 x 3  ....  a 2 n x n  a 22

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ... xn 

PENS

1 b n  a n1 x1  a n 2 x 2  ....  a nn 1 x n 1  a nn

Metode Iterasi Gauss-Seidel Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah SAMA dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari SPL tersebut.  Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi-1 kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.  Untuk mengecek kekonvergenan 

PENS

Syarat Konvergen  Syarat agar konvergen adalah sistem dominan secara diagonal

aii 

n

a

j 1, j  i

 Contoh SPL berikut:

ij

3 x1  x2  x3  1 2 x1  4 x2  x3  5  x1  5 x2  8 x3  5

 Dominan secara diagonal karena

| 3 | > | 1 | + | -1 | |4|>|2| +|1| | 8 | > | -1 | + | 5 | Sehingga pasti konvergen PENS

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel

PENS

Contoh 

Selesaikan SPL di bawah ini menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel x1  x 2  5 2 x1  4 x 2  14

 Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0

x1  5  x 2

 Susun persamaan menjadi: (5,0) (5,1) (4,1) (4,3/2) (7/2,3/2)

(7/2,7/4) PENS

x2 

1 14  2 x1  4

Contoh (13/4,7/4) (13/4, 15/8) (25/8, 15/8) (25/8, 31/16) (49/16, 31/16) (49/16, 63/32) (97/32, 63/32) (97/32, 127/64) PENS

Contoh : 

Selesaikan sistem persamaan berikut:

x1  x 2  x3  6 x1  2 x 2  x3  2 2 x1  x 2  2 x3  10 

Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

1 1 1 6  1 2  1 2    2 1 2 10 PENS

Hasil Divergen

PENS-ITS

Hasil Konvergen

2 x1  x 2  2 x3  10 x1  2 x 2  x3  2 x1  x 2  x3  6

PENS

Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier Simultan 

Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.

Model Sistem Persamaan Linier :  Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap: x1 adalah jumlah boneka A x2 adalah jumlah boneka B  Perhatikan dari pemakaian bahan : B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36 



Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 80 2 x1 + 6 x2 = 36

PENS

Contoh 

metode eliminasi Gauss-Jordan



Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.

PENS

Contoh :Penghalusan Kurva Dengan Fungsi Pendekatan Polinomial  Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga

tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus. 3

4

2 1

PENS

Contoh 2 : 

    

Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu : Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1  3=8a+4b+2c+d Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

PENS



Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan

a = -0,303 b = 6,39 c = -36,59 d = 53,04 y = -0,303 x3 + 6,39 x2 – 36,59 x + 53,04

Latihan Soal  Selesaikan dg Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan dan

Iterasi Gauss Seidel

x1  x2  2 x3  8  x1  2 x2  3x3  1

1.0001x1  1.5 x2  0

6.122 x1  1500.5 x2  1506.6223x  7 x

2 x1  3x2  1

2000 x1  3 x2  2003

1

2.51x1  1.48 x2  4.53 x3  0.05 1.48 x1  0.93 x2  1.3 x3  1.03 2.68 x1  3.04 x2  1.48 x3  0.53

2

 4 x3  10

8 x1  x2  3 x3  2 x4  0 2 x1  9 x2  x3  2 x4  1 x1  3 x2  2 x3  x4  2 x1  6 x3  4 x4  3

PENS