Bagian 6 Terapan Integrasi

Bagian 6

Terapan Integrasi Dalam bagian 6 Terapan Integrasi, kita akan mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian 5 diterapkan untuk memecahkan persoalan di sekitar kita. Penerapan teknik integrasi dibatasi pada permasalahan menghitung luas kurva, menghitung volume benda padat, menghitung tekanan zat cair, dan menghitung kerja. Pengetahuan pada bagian 6 ini diharapkan memberikan sedikit informasi kepada Anda, bahwa ilmu matematika sebenarnya sangat mudah diterapkan untuk mengatasi persoalan. Ilmu matematika tidak hanya sebatas angkaangka perhitungan saja, tapi dapat digunakan untuk memecahkan persoalan yang terjadi di sekeliling kita. Kompetensi yang diharapkan setelah Anda menyelesaikan bagian 6 Terapan Integrasi adalah Anda akan mampu: 1. Menghitung luas antara dua kurva. 2. Menghitung volume benda padat dengan menggunakan metode irisan, metode cakram, metode cincin, dan metode selimut tabung. 3. menghitung panjang kurva sebuah fungsi. 4. Menghitung luas permukaan benda putar. 5. Menghitung tekanan zat cair. 6. Menghitung momen inersia.

6.1 Luas Antara Dua Kurva sb. y y = f(x)

y = g(x) sb. x

y = f(x)

y = f(x)

y = g(x)

y = g(x) sb.x

Matematika Teknik 1\Terapan Integrasi

sb. x

91

Permasalahan : Diberikan fungsi f(x) dan g(x) yang kontinu pada interval [a , b] dan f(x) > g(x) untuk a < x < b. Hal tersebut berarti kurva y = f(x) terletak di atas kurva y = g(x) dengan catatan bahwa dapat saling bersentuhan tetapi tidak saling bersilangan atau berpotongan. Mencari luas A antara kedua kurva, di atas y = g(x) dan di bawah y = f(x) pada garis batas x = a dan x = b. b

b

b

a

a

a

A = ∫ f ( x ).dx − ∫ g ( x ).dx = ∫ [f ( x ) − g( x )].dx Rumus di atas berlaku jika f(x) dan g(x) bernilai positif pada [a , b]. Rumus tetap berlaku untuk kasus dimana g(x) bernilai negatif dengan mentranslasikan kurva f(x) dan g(x) sejauh m sampai kurva g(x) menyentuh sumbu x. b

b

b

a

a

a

A = ∫ [f ( x ) + m]dx − ∫ [g( x ) + m]dx = ∫ [f ( x ) − g ( x )].dx Rumus luas antara dua kurva : b

A = ∫ [f ( x ) − g ( x )].dx a

Contoh 6.1 Tentukan luas di antara kurva y = x2 dan y = x + 6 yang dibatasi pada titik x = 0 dan x = 2 Penyelesaian: Gambarkan terlebih dulu luasan bidang yang ditanyakan. sb. y y=x+6

y = x2 sb. X

2

2

0

0

[

]

A = ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx = ∫ ( x + 6) − ( x 2 ) dx =


34 sat.luas 3

92

Contoh 6.2 Tentukan luas antara kurva y = x2 dan y = x + 6 pada interval [-2 , 3] Penyelesaian: Gambarkan terlebih dulu luasan yang ditanyakan. sb. y y=x+6

y = x2

sb. x -2 3

A=

∫ [f (x ) − g(x)]dx

−2

3

[

3

]

= ∫ ( x + 6) − ( x 2 ) dx = −2

125 sat.luas 6

Luas antara kurva x = v(y) dan kurva x = w(y) Berdasarkan persamaan untuk menghitung luas antara dua kurva dengan batasan nilai x, maka dapat dibuat persamaan untuk menghitung luas antara dua kurva dengan batasan nilai y. sb. y d x = w (y)

x = v(y) c

sb. x

Diberikan fungsi w(y) dan v(y) yang kontinu untuk setiap nilai y pada interval [c , d] dan w(y) > v(y) untuk c
A = ∫ [w ( y) − v( y)].dy c


93

Contoh 6.3 Hitung luas antara kurva x = y2 dengan y = x –2 untuk daerah batas [-1 , 2] Penyelesaian: Gambarkan terlebih dulu luasan yang ditanyakan. sb. y y = x-2

sb. x y = x2 2

A=

∫ [w ( y) − v( y)].dy

−1

2

[

]

9 = ∫ ( y − 2) − ( x ) 2 dy = sat.luas 2 −1

Latihan Soal 6.1 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk setiap soal di bawah ini, hitunglah luas bidang yang ditanyakan. 1. Bidang R dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = x + 6 2. Bidang R di batasi oleh kurva y = x2 + 1 dan garis y = x pada [1-,2] 3. Bidang R dibatasi oleh kurba y = √x dan garis y = -x/4 pada [0,4] 4. Bidang r dibatasi oleh kurva y = 5. Bidang R dibatasi kurva y =


1

dan garis y = x pada [1,2]

x

2 − x , garis y = -x dan sumbu x

94

6.2 Volume Benda Padat A. Metode Irisan/Penampang Diketahui Tabung silinder dapat dibuat dengan mentranslasikan sebuah bidang lingkaran sepanjang garis yang tegak lurus dengan bidang tersebut. Jika sebuah silinder dapat dibuat dengan perpindahan sebuah bidang dengan luas A melalui jarak sejauh h, maka volume silinder didefinisikan : V=Ah Hal ini berarti bahwa volume adalah luas penampang melintang kali tinggi. Volume benda padat, tidak hanya silinder, dapat dihasilkan dengan sebuah teknik yang disebut slicing.

Dimisalkan bahwa sebuah benda padat S berada sepanjang sumbu x dan dibatasi sebelah kiri dan kanan oleh bidang tegak lurus sumbu x pada x = a dan x = b. Karena benda solid tidak dimisalkan sebuah silinder, penampang melintang yang tegak lurus sumbu x dapat bervariasi dari titik ke titik. Kita akan menunjukkan luas penampang melintang A pada x.

Ax a

x

b

sb. x

Kita misalkan interval [a , b] dalam n sub-interval dengan jarak : Δx1, Δx2 , Δx3 , …, Δxn


95

dengan titik-titik x1, x2, x3, ………, xn-1 antara a dan b. Dan misalkan kita bagi menjadi bidang-bidang tegak lurus sumbu x untuk setiap titik. Potongan tiap bidang benda padat S dalam irisan seperti gambar berikut.

S1 S2 S3 a x1 x2

x

Sn

xn-1 b

sb. x

Sk xk

Δxk Selain itu jika kita memilih sembarang xk dalam sub-interval ke k, setiap penampang melintang dari irisan Sk akan kira-kira sama dengan luas penampang pada xk dan kita dapat memperkirakan irisan Sk dengan sebuah benda padat dengan ketebalan xk dan luas penampang A(xk). Jadi volume Vk dari irisan Sk adalah kira-kira volume benda bisa dihitung: Vk = A(xk). Δxk dan volume benda keseluruhan adalah: V = V1 + V2 + V3 + … + Vn n

V=

∑ A( x k =1

k

).Δx k

Jika sekarang kita menambah jumlah irisan, dengan asumsi bahwa maksimal xk mendekati nol, maka irisan akan menjadi lebih kecil dan lebih kecil dan perkiraan kita aka menjadi lebih baik. Jadi dengan kata lain bahwa perkiraan kita :


96

n

V=

∑ A( x k =1

k

).Δx k

akan mendekati volume eksak V dimana maksimal xk mendekati nol, atau : V = lim max .Δx k → 0

n

∑ f (x k =1

k

).Δx k

Sisi kanan persamaan merupakan definisi integrasi tertentu. Sehingga rumus volume dapat dinyatakan : b

V = ∫ A( x ).dx a

d

V = ∫ A( y).dy c

Contoh 6.4 Hitunglah volume kerucut dengan menggunakan teknik irisan, jika tinggi kerucut adalah h. Penampang alas berupa parabola dengan diameter a dan b Penyelesaian:

sb. z M

P (0,0,z)

h-z y

h z b 0

sb. y B

a

PC PM x h−z a(h − z) = ⇒ ⇒ ⇒⇒⇒ x = OA OM a h h

PD PM y h−z b(h − z) = ⇒ = ⇒⇒⇒ y = OB OM b h h Luas Penampang setinggi z = xy.π


97

=

π.ab(h − z) 2 h2

Volume benda adalah: h

h

V = ∫ A(z).dz

=

0

=

π.ab (h − z) 2 .dz h 2 ∫0 1 πabh ....... sat.volume 3

B. Metode Cakram Misalkan fungsi f(x) bernilai tidak negatif dan kontinu pada interval [a , b] dan misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan sumbu x, x = a di kiri dan x = b di kanan. Ketika daerah R diputar mengelilingi sumbu x akan mendapatkan benda padat yang berpenampang lingkaran. Bila penampang melintang di titik x mempunyai radius f(x) maka luas penampang melintang adalah π.[f(x)]2.

sb. y

sb. y y = f(x) f(x)

a

dx

b

sb. x

Dari persamaan di awal volume benda padat tersebut adalah : b

V = ∫ π[f ( x )] .dx 2

a

Karena penampang melintang adalah lingkaran atau berbentuk cakram, aplikasi rumus di atas dinamakan metode cakram. Contoh 6.5 Hitung volume benda yang dihasilkan dai perputaran fungsi y = √x mengelilingi sumbu x pada interval [1 , 4]. Penyelesaian: Untuk mendapatkan hasil yang memuaskan, terlebih dulu buatlah sketsa gambar dari benda yang ditanyakan.


98

sb. y

y = f(x)

sb. y

R

1

4 4

1

∫ π.[ 4

V = ∫ π.[f ( x )] .dx 2

=

1

1

]

2

x .dx =

4

sb. x

15 .π ........ sat. volume 2

Analogi Metode Cakram Berdasarkan persamaan metode cakram, kita dapat membuat sebuah analogi untuk volume benda padat jika putaran bidang yang ditanyakan dilakukan terhadap sumbu y.

sb. y d x = u(y) dy c sb. x Volume benda padat jika luasan diputar terhadap sumbu y adalah: d

V = ∫ π[u ( y)] .dy 2

c

C. Metode Cincin Misalkan ada bidang R yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) pada interval [a,b] seperti yang diperlihatkan dalam gambar di bawah ini. sb. y

sb. y y = f(x)

y = f(x) y = g(x) Δx


99

Ketika daerah R ini diputar mengelilingi sumbu x akan menghasilkan benda padat yang berlubang atau penampang berbentuk cincin. Penampang pada titik x mempunyai radius dalam g(x) dan radius luas f(x), sehingga luas pada titik x adalah : A(x)

π.[ f(x) ]2 – π.[ g(x) ]2 π.[ f(x)2 – g(x)2 ]

= =

Dari persamaan di awal maka volume benda padat tersebut adalah : b

(

)

V = ∫ π. [f ( x )] − [g( x )] .dx 2

2

a

Contoh 6.6 Hitung volume benda padat yang dihasilkan jika daerah antara fungsi y = ½ + x2 dan y = x pada interval [0 , 2] diputar mengelilingi sumbu x. Penyelesaian:

sb. y

y=1/2+x2 y=x

([

sb. x

]

)

(

)

2 2 69 2 2 1 V = ∫ π. + x − [x ] .dx = ∫ π. 1 + x 4 .dx = .π ....sat. volume 2 4 10 0 0 2

Contoh 6.7 Hitung volume benda padat yang dihasilkan jika daerah antara fungsi y = x2 , x = 0, x = 2, dan y = 0 diputar mengelilingi sumbu x. Penyelesaian: Gambarkan terlebih dulu bidang R yang dimaksud, kemudian lukislah benda yang dimaksud jika bidang R diputar mengelilingi sumbu x Volume benda = 32π/5 …. Satuan volume


100

Analogi Metode Cincin Berdasarkan persamaan untuk menghitung volume dengan menggunakan metode cincin, kita dapat membuat persamaan menghitung volume yang baru jika bidang yang diketahui diputar mengelilingi sumbu y. sb. y

sb. y

d

d

x = v(y)

x = w(y)

x = w(y)

c

x = v(y)

c sb. x

sb. x

Volume benda yang dihasilkan dari perputaran bidang R mengelilingi sumbu y adalah: d

(

)

V = ∫ π. [w ( y)] − [v( y)] .dy 2

2

c

D. Metode Selimut Tabung

r2 r1 h Sebuah selimut tabung adalah benda padat yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran dimana sumbu simetrinya berhimpit. Volume selimut tabung yang mempunyai radius dalam r1 dan radius luar r2 dengan tinggi h dapat ditulis : V

= = = = =

[ luas penampang ] x [ tinggi ] [ π.(r2)2 - π.(r1)2 ] [ h ] π.(r2 + r1)(r2 – r1).h 2 π. ½ (r2 + r1)(r2 – r1).h 2 π.[ ½ (r2 + r1) ].h.[( r2 – r1 )]

Karena ½ (r2 + r1) adalah radius rata-rata selimut tabung dan (r2 – r1) adalah tebal selimut tabung, maka : Matematika Teknik 1\Terapan Integrasi

101

V = 2π.[ rata-rata radius ].[ tinggi ].[ tebal ] Sekarang kita akan memperlihatkan bagaimana rumus ini dapat digunakan untuk menemukan volume benda putar.

sb. y y = f(x)

a

b

Misalkan R adalah bidang yang dibatasi fungsi y = f(x) dan sumbu x, x = a di sebelah kiri dan x = b di sebelah kanan. Misalkan S adalah benda padat yang dihasilkan dengan cara memutar bidang R mengelilingi sumbu y. Untuk mendapatkan volume S, misalkan kita bagi interval [a , b] dalam n subinterval dengan tebal Δx1, Δx2, Δx3, …, Δxn dengan titik dalam x1, x2, x3, … , xn antara a dan b. Dan kita misalkan menggambarkan garis vertikal melalui titiktitik tersebut yang membagi R dalam n strip R1, R2, R3, … , Rn

Masing-masing strip kalau diputar mengelilingi sumbu y menghasilkan benda padat S1, S2, S3, …., Sn.. Masing-masing benda padat tersebut adalah satu bagian dan bersama-sama membentuk benda padat S. Jadi volume S dapat dihitung dengan menjumlahkan volume S1, S2, S3, … , Sn : V(S) = V(S1), V(S2), V(S3), … , V(Sn) Dengan memandang tipikal strip Rk dan Sk yang dihasilkan, meskipun Sk mirip selimut tabung, tapi bukan, secara umum dapat menjadi selimut tabung karena Sk mempunyai kurva di atas. Jika tebal jarak Δxk = xk – xk-1 adalah kecil, kita dapat menghasilkan perkiraan yang baik untuk bidang Rk dengan suatu persegi panjang dengan tebal Δxk dan tingginya adalah f(xk), dengan :

x *k =


x k + x k −1 2

102

adalah titik tengah interval [xk-1 , xk] Segiempat di atas jika diputar mengelilingi sumbu y akan menghasilkan selimut tabung yang mana merupakan perkiraan yang baik untuk menghitung volume Sk. Selimut ini mempunyai tebal Δxk, tinggi f(xk) dan radius rata-rata xk. Dari rumus di awal maka : V(Sk) = 2π. Xk. f(xk). Δxk Jika kita membagi interval [a , b] dalam lebih banyak subinterval sehingga berlaku maksimum mendekati nol, anggapan ini menunjukkan perkiraan volume akan lebih baik dan akan mendekati volume eksak, yaitu : V=

lim max .Δx k → 0

n

∑ 2π.x .f (x k =1

* k

* k

).Δx k

Karena sisi kanan adalah definisi integrasi tertentu, maka volume selimut tabung adalah : b

V = ∫ 2π.x.f ( x ).dx a

Contoh 6.8 Gunakan metode selimut tabung untuk menghitung volume benda yang dihasilkan oleh perputaran kurva y = √x, mengelilingi sumbu y pada interval [1 , 4] Penyelesaian: 4

4

1

1

V = ∫ 2π.x. x .dx = ∫ x 3 / 2 .dx =

124 π ....... sat. volume 5

Latihan Soal 6.2 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Hitunglah volume benda yang dihasilkan dari perputaran bidang R mengelilingi sumbu x. Bidang R dibatasi kurva y = 3 − x , sumbu x, dan garis x = -1 2. Hitunglah volume benda yang dihasilkan dari perputaran bidang R mengelilingi sumbu y. Bidang R dibatasi oleh garis y = 3 – 2x, garis y = 2, sumbu x, dan sumbu y. 3. Hitunglah volume benda yang dihasilkan dari perputaran bidang R terhadap sumbu x. Bidang R dibatasi oleh kurva y = x – x2, garis y = x, dan sumbu x. 4. Hitunglah volume benda yang dihasilkan dari perputaran bidang R mengeliling sumbu y. Bidang R dibatasi oleh kurva y = 1/x, garis x = 2, dan garis y = 2.


103

5. Hitunglah volume benda yang dihasilkan dari perputaran bidang R mengelilingi sumbu x. Bidang R dibatasi oleh kurva setengah lingkaran

y = 25 − x 2 dan garis y = 3

6.3 Panjang Kurva sb. y

sb. x a

b

Permasalahan : Diberikan fungsi f(x) adalah fungsi yang mulus pada interval [a , b]. Tentukan panjang busur L kurva y = f(x) di atas interval [a , b]. Kita bagi interval [a , b] dalam n subinterval dengan tebal Δx1, Δx2, Δx3, …, Δxn dengan titik dalam x1, x2, x3, … , xn-1 antara a dan b. Misalkan P0, P1, P2, …., Pn adalah titik-titik pada kurva yang mana koordinat pada sumbu x adalah a, x1, x2, x3, … , b dan hubungan antara titik-titik tersebut menjadi garis lurus yang membentuk segmen. Segmen-segmen tersebut membentuk trapesium/segibanyak yang dapat kita anggap menjadi kurva y = f(x). Hal ini dapat dimengerti, jadi perkiraan panjang segibanyak akan mendekati panjang kurva jika kita menambah lebih banyak titik yang membentuk segmen, sehingga segibanyak akan mendekati nol.

sb. y P0

P1

Pn P2

y = f(x)

sb. x a

x1 x2

xn-1

b

Untuk menjelaskan pemikiran ini lebih teliti, kita coba mengambil subinterval, kita namakan subinterval ke k .


104

sb. y Pk f(xk)

Lk

Δyk = f(xk) – f(xk-1)

Pk-1

f(xk-1)

xk-1

xk

sb. x

Panjang Lk adalah :

Lk = Lk =

(Δx k )2 + (Δy k )2 (Δx k )2 − (f (x k ) − f ( x k −1 ))2

Dari teorema nilai tengah, yaitu titik xk antara xk-1 dan xk adalah :

f ( x k ) − f ( x k −1 ) = f ' ( x *k ) .......... atau ......... f(xk) – f(xk-1) = f’ ( x *k ) .Δxk x k − x k −1 Jadi panjang Lk dapat ditulis menjadi :

(

)

2 Lk = ⎡⎢ 1 + f ' ( x *k ) ⎤⎥.Δx k ⎣ ⎦

Hal tersebut berarti bahwa panjang trapesium/segibanyak adalah:

∑ Lk = ∑ Δx k . 1 + (f ' (x*k )) n

n

k −1

k =1

2

Jika kita menambah bilangan subinterval, sehingga berlaku maksimal Δxk mendekati nol, maka panjang segibanyak akan mendekati panjang busur L kurva y = f(x), di atas interval [a , b], atau dengan kata lain persamaan di atas dapat ditulis : L = lim max .Δx k → 0

n

∑

(

)

2

1 + f ' ( x *k ) .Δx k

k =1

Karena sisi kanan merupakan integrasi tertentu, maka panjang kurva adalah: b

L = ∫ 1 + (f ' ( x ) ) .dx 2

a


b

L=∫ a

2

⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ .dx ⎝ dx ⎠

105

Analogi Persamaan Panjang Kurva Jika fungsi dinyatakan dalam nilai y, x = f(y), maka panjang kurva dihitung dengan menggunakan persamaan: d

L = ∫ 1 + (g ' ( y) ) .dy L = 2

c

2

d

⎛ dy ⎞ 1 + ⎜ ⎟ .dy ⎝ dx ⎠

∫ c

Jika A(u=u1) dan B(u=u2), dua titik pada kurva yang dinyatakan dengan persamaan parameter x = f(u) dan y = g(u) dan jika syarat kekontinuan dipenuhi, panjang busur AB dinyatakan :

L = ∫ ds = AB

u2

∫

u1

2

2

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .du ⎝ du ⎠ ⎝ du ⎠

Contoh 6.9 Tentukan panjang busur kurva y = x(3/2) dari (1 , 1) sampai (2 , √2) Penyelesaian: Buatlah sketsa gambar terlebih dulu, untuk memudahkan dalam membuat penyelesaian dan mengerti persoalan yang ditanyakan.

sb. y + (2,2√2) + (1,1) sb. x f’(x) = 3/2.x1/2 2

2

2

⎡3 ⎤ ⎡ 9x ⎤ L = ∫ 1 + ⎢ ( x )1 / 2 ⎥ .dx = ∫ 1 + ⎢ ⎥ .dx ⎣2 ⎦ ⎣4⎦ 1 1 misalkan u = 1 + 9x/4 ………. 22 / 4

L=

∫

13 / 4

u1 .du =

dx = 4/9 du

22 22 − 13 13 ............sat.panjang 27


106

Latihan Soal 6.3 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Hitunglah panjang kurva y = 2x dari [1,2] sampai [2,4] dengan menggunakan persamaan integral. Bandingkah jawaban Anda jika panjang kurva dihitung dengan menggunakan teorema Phytagoras. 2. Hitunglah panjang kurva y = 3x3/2 – 1 dari x = 0 sampai x = 1 3. Hitunglah panjang kurva x =

1 2 ( y + 2) 3 / 2 dari y = 0 sampai y = 1 3

6.4 Luas Permukaan Benda Putar Dalam mengatasi masalah luas permukaan benda putar, pertama kita harus mendefinisikan pengertian luas permukaan (surface area) terlebih dulu. Sebagai motivasi, kita misalkan bahwa kurva y = f(x) terbentuk oleh segiempat dan garis lurus yang berhubungan dengan titik pada kurva yang mempunyai koordinat x di a, x1, x2, x3, … , xn-1, b. Misalkan tebal yang terbentuk tiap interval adalah Δx1, Δx2, Δx3, …, Δxn. Jika tiap ketebalan adalah kecil, maka permukaan yang didapat dengan memutar segiempat mengelilingi sumbu x akan menghasilkan perkiraan luas yang sama sebagai permukaan yang didapat dengan memutar kurva y = f(x) mengelilingi sumbu x. sb. y

sb. y y = f(x)

y = f(x)

sb. x a x1

xn-1 b x2


a

b b

107

Pandanglah bahwa permukaan yang didapat dengan bidang segiempat, dibuat dari bagian-bagian, dimana setiap bagian adalah kerucut terpancung/terpotong. Selanjutnya luas permukaan tiap bagian dapat dihitung dengan rumus:

S = π (r1 + r2 )l

r2

l r1

Perkiraan luas permukaan akan mendekati sebenarnya jika kita menambah nomor subinterval sehingga tebalnya mendekati nol. Untuk menjelaskan ide ini lebih teliti, kita ambil contoh tipikal perkiraan luas, kita namakan pias ke k.

f(xk) f(xk-1) xk-1

sb. x

xk Δxk

Luas Sk untuk pias ke k tersebut adalah :

Sk = π.[f ( x k −1 ) + f ( x k )]. (Δx k ) + (f ( x k ) − f ( x k −1 ) ) 2

2

Dari teorema nilai tengah, ada nilai xk antara xk-1 dan xk sehingga berlaku :


108

f ( x k ) − f ( x k −1 ) = f ' ( x *k ) …….atau x k − x k −1 f ( x k ) − f ( x k −1 ) = f ' ( x *k ).Δx k Sehingga persamaan Sk dapat ditulis menjadi

(

)

Sk = π.[f ( x k −1 ) + f ( x k )]. 12 + f ' ( x *k ) .Δx k 2

Sedangkan ½.[ f(xk-1) + f(xk) ] merupakan nilai tengah antara f(xk-1) dan f(xk) atau jika dimisalkan f(xk). Sehingga persamaan Sk dapat ditulis lagi menjadi :

[

]

(

)

2

Sk = 2π. f ( x *k* ) . 12 + f ' ( x *k ) .Δx k Jadi luas permukaan benda tersebut adalah :

[

n

n

k =1

k =1

]

(

)

∑ Sk = ∑ 2π. f (x*k* ) . 1 + f ' (x*k ) .Δx k 2

Jika kita menambah jumlah subinterval, sehingga maksimum Δxk mendekati nol, maka perkiraan luas permukaan S akan mendekati nilai eksak, jadi S = lim max .Δx k → 0

∑ 2π.[f (x )]. n

k =1

** k

(

)

2

1 + f ' ( x *k ) .Δx k

Jika kasus menyatakan xk = xk, maka sisi kanan persamaan merupakan definisi integrasi tertentu, sehingga luas permukaan S adalah : b

S = ∫ 2π.f ( x ). 1 + (f ' ( x ) ) .dx 2

a

Analogi luas permukaan benda putar: b

S = ∫ 2π.g( y). 1 + (g' ( y) ) .dy 2

a

Jika A(u=u1) dan B(u=u2), dua titik pada kurva yang dinyatakan dengan persamaan parameter x = f(u) dan y = g(u) dan jika syarat kekontinuan dipenuhi, luas permukaan yang dibentuk oleh perputaran busur AB mengelilingi sumbu x dinyatakan : u2

2

2

⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ S = 2π ∫ y.ds = 2π ∫ y. ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ .du ⎝ dy ⎠ ⎝ du ⎠ AB u1


109

Contoh 6.10 Hitunglah luas permukaan yang dihasilkan dengan memutar kurva y = √(1-x2) untuk rentang nilai 0 < x <1/2. Penyelesaian :

f ' (x) = −

x 1 − x2

1/ 2

S=

∫

2π. 1 − x 2 . 1 +

0

x2 .dx = 1 − x2

1/ 2

∫ 2π.dx = π …….sat.luas 0

Latihan Soal 6.4 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Hitunglah luas permukaan yang dihasilkan, jika garis y = 7x mengelilingi sumbu x pada 0 < x < 1 2. Hitunglah luas permukaan yang dihasilkan, jika kurva x = y3 mengelilingi sumbu y pada 0 < y < 1 3. Hitunglah luas permukaan yang dihasilkan, jika kurva y = √x mengelilingi sumbu x pada 1 < x < 4 4. Hitunglah luas permukaan yang dihasilkan, jika kurva x = 2 1 − y mengelilingi sumbu y pada -1 < y < 0

diputar diputar diputar diputar

6.5 Gerakan Garis Lurus V(t) = S’(t) = dS/dt a(t) = V’(t) = d2S/dt2 Jika kedua persamaan diintegralkan, maka diperoleh : S(t) = ∫ V(t). dt V(t) = ∫ a(t). dt Hal tersebut berarti jika fungsi kecepatan partikel diketahui, maka posisinya dapat ditentukan. Kita dapat menentukan konstanta integrasi jika kita mengetahui posisi partikel pada suatu saat, t detik. Hal tersebut berlaku juga untuk percepatan. Contoh 6.11 Tentukan fungsi posisi gerakan partikel yang mempunyai kecepatan v(t) = Cos (πt) sepanjang garis lurus.


110

Penyelesaian : Asumsikan bahwa jarak adalah 4 pada saat t = 0. S(t) = ∫ V(t).dt = ∫ Cos(πt).dt =

Sin (πt ) +C π

Saat S = 4 dan t = 0 maka C = 4, sehingga persamaan S(t) menjadi : S(t) =

Sin (πt ) +4 π

Gerakan Dekat Permukaan Bumi Hal ini adalah gejala fisik, yaitu obyek bergerak pada garis vertikal dekat permukaan bumi dan hanya subyek dari gaya gravitasi yang bergerak dengan percepatan konstan. Konstanta ini dinotasikan huruf g, diperkirakan 32 ft/sec2 atau 9,8 m/det2.

bumi Kecepatan pada saat t = o adalah V0 Posisi pada saat t = 0 adalah S0 Jika bergerak ke bawah negatif, maka percepatan partikel ke bawah adalah : a(t) = -g V(t) =∫ a(t).dt = ∫ - g dt = -g t + C1 Kecepatan saat t = o adalah V0, maka V(0) = -g.t + C1 ……………….. C1 = V(0) = V0 V(t) = -g.t + V0 S(t) = ∫ V(t).dt = ∫(- g.t + V0).dt = −

1 2 g.t + V0 .t + C 2 2

Posisi pada saat t = 0 adalah S0, maka S(0) = -1/2g.0 + V0.0 + C2 …... C2 = S0 S(t) = -1/2g.t2 + V0.t + S0

Contoh 6.12 Batu dijatuhkan dari ketinggian 400 ft. Berapa lama jatuh batu mencapai bumi dan berapa kecepatan saat itu ? g = 32 ft/sec2, V0 = 0, S0 = 400 ft Penyelesaian : S(t) = -1/2g.t2 + V0.t + S0 …….. S(t) = 16t2 + 400 Waktu mencapai bumi saat S(t) = 0 0 = 16t2 + 400 …….. t = ± 5 detik


111

V(t) = -g.t + V0 …… V(t) = -160 ft/det Karena V = | V | maka V = 160 ft/det.

Latihan Soal 6.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 6. 5 < x – 3 < 13 7. 7 > x – 2 > 4 8. x2 – 3x > - 2 9. x2 – 5 < 6x 10. x2 + 8x + 16 > 0

6.6 Kerja Kerja didefinisikan sebagai usaha memindahkan sesuatu sejauh jarak tertentu, atau jika dinyatakan dalam kalimat matematika maka

……………………….lb(British) ……………………....dynes (Metric)

W = F.d

sb. x a

b

Seandainya kita membagi jarak d atau interval [a,b] dalam n subinterval, maka antara a dan b terdapat banyak subinterval dengan jarak Δx1, Δx2, Δx3, …, Δxn dan titik-titik tengah x1, x2, x3, …… , xn-1 antara a dan b. Ambil contoh interval yang ke k

Wk = F( x *k ).Δx k n

n

k =1

k =1

W = ∑ Wk = ∑ F( x *k ).Δx k Sisi kanan persamaan merupakan definisi dari integrasi tertentu, sehingga:


112

b

W = ∫ F( x ).dx a

Persamaan di atas sesuai dengan hukum Hooke, F(x) = k.x Contoh 6.13 Pegas panjang 2,4 m ditarik gaya 5 newton sehingga bertambah 1,0 m. Tentukan konstanta pegas dan berapa gaya yang diperlukan untuk membuat panjang menjadi 4,2 m. Penyelesaian : F(x) = k.x ……….5 = k.1……….. k = 5 F(x) = 5x 1,8

W = ∫ 5x.dx =8,1.............. joule 0

Latihan Soal 6.6 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Sebuah tangki berdiameter 10 ft dan tinggi 30 ft diisi dengan cairan sampai setengahnya. Cairan mempunyai berat 62,4 lb/ft3. berapa kerja yang harus dilakukan untuk mengeluarkan cairan tersebut. 2. Pegas yang mempunyai panjang 15 cm akan melakukan kerja sebesar 45 N jika ditarik sampai panjangnya 20 cm. Tentukan konstanta pegas dan tentukan kerja jika ditarik sepanjang 3 cm dari panjang semula. 3. Tangki berbentuk silinder berjari-jari 5 ft dan tinggi 9 ft diisi dengan air sampai kedalaman duapertiga tangki. Hitung kerja yang harus dilakukan pompa untuk mengeluarkan semua air di tangki.

6.7 Tekanan Zat Cair Tekanan zaty cair yang bekerja pada sebuah benda tergantung pada berat jenis benda, kedalaman, dan luas penampang, atau

F = ρ.h.A


113

Dalam menghitung tekanan zat cair, maka prinsin pasca berlaku, yaitu tekanan zat cair pada titik A, B, C adalah sama

Misalkan permukaan mempunyai batas x = a dan x = b. Juga misalkan titik x di antara a dan b dengan kedalaman h(x) dan penampang melintang pada x mempunyai panjang w(x).

a

h(x) w(x)

x b

Selanjutnya kita membagi interval [a,b] dalam n subinterval dengan panjang Δx1, Δx2, Δx3,… , Δxn . Kita pilih interval ke k pada titik x k. berdasarkan asumsi yang sudah kita kenal maka panjang pelat sepanjang k berupa segiempat dengan panjang w(xk) dan tebal Δxk. Karena segiempat tiap subinterval, di bawah dan di atasnya mempunyai kedalaman yang berbeda, rumus di atas (ρ.h.A) tidak dapat digunakan untuk menghitung tekanan pada segiempat. Bagaimanapun jika Δxk kecil, perbedaan kedalaman di atas dan di bawah adalah kecil dan kita beralasan bahwa kedalaman adalah h(xk), maka rumus dapat digunakan :

Fk = ρ.h ( x *k ).w ( x *k ).Δx k Total Tekanan adalah :

F=

n

∑F k =1

k

=

∑ ρ.h ( x

* k

). w ( x *k ).Δ x k

Jika kita beranggapan bahwa maksimal Δxkmendekati nol, maka

F=

lim

maks. Δx k → 0

n

∑ ρ.h (x k =1

* k

).w ( x *k ).Δx k

Sisi kanan persamaan adalah definisi integrasi tertentu, maka : b

F = ∫ ρ.h ( x ).w ( x ).dx a

Contoh 6.14 Permukaan dam adalah bidang segiempat yang mempunyai tunggi 100 ft dan lebar 200 ft. Tentukan tekanan total air pada permukaan pada saat air di permukaan mencapai ketinggian puncak. Gunakan ρ = 62,4 lb/ft3. Matematika Teknik 1\Terapan Integrasi

114

Penyelesaian : 100

F = ∫ 62,4.x.200.x = 62400000.............lb 0

Latihan Soal 6.7 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Hitunglah tekanan air, jika plat segi empat dengan panjang 20 cm dan lebar 10 cm dimasukkan secara horizontal ke air sampai kedalaman 50 cm dari permukaan. (gunakan ρ = 1 t/m3) 2. Berdasarkan data soal 1, hitunglah tekanan pada plat jika plat dimasukkan secara vertikal. 3. Hitunglah tekanan air, jika plat segi tiga dengan panjang alas 80 cm dan tinggi 60 cm dimasukkan secara horizontal ke air sampai kedalaman 100 cm dari permukaan. (gunakan ρ = 1 t/m3) 4. Berdasarkan data soal 3, hitunglah tekanan pada plat jika plat dimasukkan secara vertikal.

6.8 Pusat Massa Luasan Jika dimisalkan ada dua benda yang diletakkan pada papan berimbang dengan jarak masing-masing d1 dan d2, kondisi seimbang akan terjadi jika dan hanya jika d1.m1 = d2.m2. m1

d1

m2

d2

Hasil kali massa dengan jarak pada titik tertentu dinamakan momen benda terhadap titik tersebut. Syarat agar seimbang apabila jumlah momen terhadap titik tersebut sama dengan nol. Jika di atas papan keseimbangan terdapat banyak massa, maka jumlah momen adalah: n

M = x1m1 + x 2 m2 + x3 m3 + ..... + x n mn = ∑ xi mi 1n =1

Yang menjadi pertanyaan adalah dimanakah letak titik keseimbangan tersebut? Momen sistem terhadap titik pusat harus sama dengan nol, jadi −

−

−

( x1 − x)m1 + ( x 2 − x)m2 + ........... + ( x n − x)mn = 0


115

atau −

−

−

x1 m1 + x 2 m2 + ........... + x n mn = x m1 + x m2 + ............ + x mn Sehingga diperoleh koordinat pusat massa: n

_

M x= = m

∑x m i =1 n

i

∑m i =1

i

i

Jika uraian di atas kita perluas untuk distribusi massa pada sebuah bidang, maka jumlah momen My dan Mx terhadap masing-masing sumbu x dan sumbu y adalah: n

n

M y = ∑ x i mi

M x = ∑ y i mi

i =1

i =1

Y m1 m2 (x1,y1)

(x2,y2) X

mn (xn,yn)

m3 (x3,y3)

Koordinat titik berat sistem tersebut adalah: n

_

x=

My m

=

∑ x i mi i =1 n

∑m i =1

i

n

_

M y= x = m

∑y m i =1 n

i

∑m i =1

i

i

Sekarang kita akan mencoba mengaplikasikan permasalahan tersebut pada sebuah bidang dua dimensi yang mempunyai ketebalan yang sangat tipis. Bidang tersebut merupakan hasil dari penggambaran dua buah kurva y = f(x) dan y = g(x).


116

Y δx y=f(x)

y=g(x) 0,5[f(x)+g(x)] a

X b

x

Koordinat titik berat x dan y adalah: b

_

x=

My m

=

b

∫ x[ f ( x) − g ( x)]dx

_

M y= x = m

a b

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a

[

]

1 f 2 ( x) − g 2 ( x) dx ∫ 2a b

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a

Contoh 6.15 Tentukan titik berat kurva y = sin x untuk daerah 0 < x < π Penyelesaian: Daerah tersebut simetris pada garis x = π/2, jadi titik beratnya x = π/2. Titik berat y dihitung dengan menggunakan persamaan di atas. Y y=sin x

0,5 sin x π/2

X

δx π

_

y=

1 sin x. sin x.dx 2 ∫0 π

∫ sin xdx 0


π

=

1 sin 2 x.dx 2 ∫0 π

∫ sin xdx 0

117

π

=

1 sin 2 x.dx ∫ 20 π

π

=

∫ sin xdx 0

1 0,5(1 − cos 2 x).dx 2 ∫0 π

∫ sin xdx

1 π ( ) 2 2 = = 0,39 2

0

Latihan Soal 6.8 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Tentukan titik berat daerah yang dibatasi kurva y = √x dan y = x3. 2. Tentukan titik berat luasan yang dibatasi kurva y = cos x, y = 0, x = 0 dan x = 2π yang terletak antara (π, 0) 3. Tentukan titik berat kurva y = 4 – x2 di kuadran I.


118

Bagian 6 Terapan Integrasi

Recommend Documents