ELEKTROMAGNETIKA TERAPAN WAVE GUIDE DWI ANDI NURMANTRIS U N A N G S U N A R YA HASANAH PUTRI
AT I K N O V I A N T I
1
POKOK BAHASAN 1. Definisi Wave Guide 2. Mode Gelombang dalam Wave Guide 2.1 Rectangular Waveguide mode TM 2.2 Rectangular Waveguide mode TE
2
1. Definisi Wave Guide Wave Guide merupakan salah satu jenis saluran transmisi berbentuk pipa berongga dimana biasanya terbuat dari material konduktor yang baik dimana bagian rongganya berisi bahan dielektrik sempurna umumnya berupa udara kering. Adapun penampang wave guide biasanya berbentuk persegi panjang (rectangular), lingkaran (circular), dan berbentuk ellips seperti pada gambar berikut :
rectangular
sirkular
ellips
3
2. Mode Gelombang dalam Wave Guide Tidak seperti pada saluran dua kawat yang memungkinkan mode gelombang TEM, maka pada wave guide yang sering disebut saluran transmisi kawat tunggal tidak dimungkinkan muncul mode TEM. Dengan kata lain mode TEM tidak dapat menjalar pada saluran transmisi kawat tunggal. Hanya mode dengan orde yang lebih besar biasanya dalam bentuk mode Transverse Electric ( TE ) dan Transverse Magnetik ( TM) saja yang dapat menjalar dalam wave guide. Wave guide bisanya digunakan untuk sinyal berfrekuensi tinggi. Ini bukan berarti bahwa sinyal dengan mode TEM pada saluran dua kawat berhenti pada frekuensi tinggi, tapi lebih karena besarnya redaman saluran dua kawat pada frekuensi tinggi.
4
Mode Gelombang dalam Wave Guide πΆ
π ππ
π
π ππ‘
π
π―. ππ =
π
π ππ
+
π ππ‘
π
π0 π ππ
βΆ Arus konduksi yang mirip pada saluran transmisi dua kawat
π0 π ππ : Arus displacement yang memerlukan keberadaan komponen axial medan E.
5
Mode Gelombang dalam Wave Guide Alasan kenapa propagasi mode TEM tidak mungkin berada pada wave guide
I
H
E
I Gb. 7.1a
Gb. 7.1b
6
Mode Gelombang dalam Wave Guide Pada Gb. 7.1a ditunjukan alasan kenapa adanya konfigurasi medan E dan H pada mode gelombang TEM. Hal ini mungkin karena. Hal tersebut dapat diakitkan dengan hukum ampere dapat dilihat pada Gb.7.1a transvers medan magnet H masih didukung oleh aliran axial arus konduksi I. Hal ini berbeda dengan saluran tunggal waveguide Gb.7.2a, dimana transvers medan magnet H tidak didukung oleh hukum ampere karena ketidak beradaan aliran axial arus konduksi Oleh karenanya tidak mungkin muncul mode gelombang TEM.
7
Mode Gelombang dalam Wave Guide Terdapat 2 kemungkinan mode gelombang pada wave guide, yaitu : 1. Mode TM ( Transverse Magnetik) Yaitu suatu kondisi ketika medan magnet H transversal terhadap sumbu bumbung gelombang. Dapat dinyatakan jika : π»π = 0, maka πΈπ§ β 0.
2. Mode TE ( Transverse Elektrik ) Yaitu suatu kondisi ketika medan listrik E transversal terhadap sumbu bumbung gelombang. Dapat dinyatakan jika : πΈπ = 0, maka π»π§ β 0.
8
Mode Gelombang dalam Wave Guide 1. Rektangular Wave Guide Mode TM y b x
a
Gb. 7.2 Rektangular Wave Guide
Pada mode TM π»π = 0, sehingga solusi nya adalah melakauakn perhitungan pada medan listrik π»π sebagai fungsi dari tiga komponen x, y, z.
9
Mode Gelombang dalam Wave Guide Adapaun solusi untuk pemecaham masalah pada mode TM dapat dimulai dari penggunakaan hukum Maxwell yang berkenaan dengan Hukum Faraday dan Ampere.
π» Γ πΈ = βππππ»
dan π» Γ π» = ππππΈ
Dengan meng-curelkan kedua sisi hokum Faraday dan dengan menggunakan hokum Gauss untuk mensubtitusikan π». πΈ = 0, didapat :
π» 2 + π2 ππ πΈ = 0.
pers.11
Dan karena π»π = 0 dan πΈπ β 0, maka pada Gambar 7.2 hanya dicari solusi untuk medan E dengan fungsi x,y,z dapat ditulis sbb : πΈπ π₯, π¦, π§ = π π₯ π(π¦)π βπΎπ
pers.12
10
Mode Gelombang dalam Wave Guide Dengan subtitusi pers.12 ke dalam bentuk persamaan Helmholtz untuk medan πΈπ , didapat : 1 π2π π ππ₯ 2
+
1 π2 π π ππ¦ 2
+ πΎ 2 + π2 ππ = 0.
pers. 13
Karena komponen X hanya fungsi dari x, dan komponen Y hanya fungsi dari y , maka dapat ditulis sebagai berikut : 1 π2π π ππ₯ 2
=
βπ2
dan
1 π2π π ππ¦ 2
=0
pers.14
dengan subtistusi ke pers. 13, didapat :
βπ2 β π 2 + πΎ 2 + π2 ππ = 0
11
Mode Gelombang dalam Wave Guide Adapaun solusi untuk pers.14 ditulis sebagai berikut : π = π΄ sin ππ₯ + π΅ cos ππ₯ , dan π = πΆ sin ππ¦ + π· cos ππ¦ Sehingga solusi lengkap untuk komponne axial dari phasor medan listrik πΈπ§ dapat ditulis sebagai berikut : πΈπ§ = (π΄ sin ππ₯ + π΅ cos ππ₯ ) ( πΆ sin ππ¦ + π· cos ππ¦ ) π βπΎπ§
pers.15
12
Mode Gelombang dalam Wave Guide Untuk menentukan besaran-besaran yang tidak diketahui seperti A, B, C, D, M, dan N pada pers.15 dibutuhkan solusi πΈπ§ yang memenuhi syarat batas dinding konduktor wave guide. Adapun syarat batas yang dibutuhkan adalah medan listrik tangensial pada dinding wave guide harus same dengan nol. Sehingga dari Gbr. 7.2 dapat ditulis sebagai berikut : πΈπ§ = 0 , π’ππ‘π’π π₯ = 0 πΈπ§ = 0 , π’ππ‘π’π π₯ = π πΈπ§ = 0 , π’ππ‘π’π π¦ = 0 πΈπ§ = 0 , π’ππ‘π’π π¦ = π
13
Mode Gelombang dalam Wave Guide Sehingga dengan menerapkan syarat batas : πΈπ§ |π₯=0 = 0
and
πΈπ§ |π¦=0 = 0
Sehingga mengakibatkan koefisien B dan D harus nol. Sehingga pers. 15 menjadi sbb : πΈπ§ = π΄πΆ sin ππ₯ sin ππ¦ π βπΎπ§
Dimana AC merupakan amplitude medan listrik yang ditentukan berdasarkan besarnya daya input pada wave guide. Sedangkan kedua besaran lainnya yaitu M dan N didapatkan dengan cara memenuhi syarat batas pada x = a dan y = b. Dengan menerapkan syarat batas πΈπ§ |π₯=π = 0, maka didapat : π΄πΆ sin ππ sin ππ¦ = 0
pers.16
14
Mode Gelombang dalam Wave Guide Dari pers.16 , karena AC tidak boleh nol, maka pers.16 dapat dipenuhi jika ππ dipilih sebagai : ππ = ππ ,
π=
dimana m = 1, 2, 3, β¦.
ππ π
Hal serupa juga berlaku pada syarat batas untuk πΈπ§ |π¦=π = 0, sehingga didapat : π=
ππ π
, dimana n = 1, 2, 3, β¦
Adapun m dan n merupakan mode yang mungkin muncul, dimana ππππ = ππ11 merupakan mode terendah untuk mode TM. Sehingga dari pers.16 untuk komponen axial medan listrik didapat : πΈπ§ = π΄πΆ sin
ππ π₯ π
sin
ππ π¦ π
π βπΎπ§ π’ππ‘π’π π = π = 1,2,3 β¦
pers.17
15
Mode Gelombang dalam Wave Guide Dengan substitusi M dan N pada pers.14 maka persamaan untuk pencarian mode gelombang TM dapat ditulis sebagai berikut : β
ππ 2 π
β
ππ 2 π
+ π2 ππ + πΎ 2 = 0
Sehingga persamaan konstanta propagasinya dapat ditulis menajdi : πΎ=
ππ 2 π
+
ππ 2 π
β π 2 ππ
pers. 18
Dari studi mengenai propagasi gelombang datar di dalam medium konduktif diindikasikan bahwa untuk propagasi gelombang yang terjadi, πΎ pasti berupa bilangan imajiner dimana , πΎ = ππ½. Sehingga pers.18 dapat ditulis sbb : πΎ = ππ½ππ = π
π 2 ππ
β
ππ 2 π
β
ππ 2 π
pers.19
16
Mode Gelombang dalam Wave Guide 1. Rektangular Wave Guide Mode TE Pada mode TE komponen axial dari medan listrik πΈπ§ = 0 dan π»π§ β 0, sehingga medan magnetnya dapat dituliskan sebagai berikut : π»π§ = π΄ sin ππ₯ + π΅ cos ππ₯ πΆ sin ππ¦ + π· cos ππ¦ π βπΎπ§
pers. 30
Dalam hal yang sama dengan mode TM, maka bentuk transvers untuk komponen medan listrik mode TE ( πΈπ§ = 0 ) adalah : πΈπ¦ =
πππ ππ»π§ πΎ2 +π2 ππ ππ₯
πΈπ₯ =
βπππ ππ»π§ πΎ2 +π2 ππ ππ¦
17
Mode Gelombang dalam Wave Guide Kemudian dengan mengalikan πΈπ§ dengan π πππ‘ dan mengambil bagian real dari πΈπ§ pada pers.17 didapat :
πΈπ§ π₯, π¦, π§, π‘ = π΄πΆ sin
ππ π₯ π
sin
ππ π¦ π
π
π π βπΎπ§ π πππ‘
= π΄πΆ sin
ππ π₯ π
sin
ππ π¦ π
cos ππ‘ β π½ππ π§
pers.20
Pada persamaan diatas menunjukan penjalaran gelomabang sinusoidal pada arak sumbu z positif. Dengann melihat pers.19, konstanta πΎ akan benar-benar imajiner jika : π2 ππ
>
ππ 2 π
β
Sebaliknya akan real jika :
ππ 2 π
π2 ππ
pers.21
<
ππ 2 π
β
ππ 2 π
sehingga πΎ = πΌππ
18
Mode Gelombang dalam Wave Guide Untuk mendapatkan propagasi gelombang di dalam wave guide , diperlukan wave guide dengan dimensi a dan b , dan frekuensi eksitasi dari π yang memenuhi pada pers. 21. Frekuensi cutoff didefinisikan sebagai frekuensi terendah yang amsih mungkin untuk propagasi gelombang sepanjang wave guide yang didapatkan dengan substitusi πΎ = 0, pada pers.18. ππ 2 π
ππ ππ = ππ,ππ =
+
ππ 2 π
ππ 2 π
1 2π ππ
+
dan didapat :
ππ 2 π
pers.22
Pada kasus dimana π > ππ,ππ konstanta propagasi akan berupa bilangan imajiner nol ( πΎ = ππ½) sehingga konstanta phasa : π½ππ =
π 2 ππ
β
ππ 2 π
β
ππ 2 π
pers.23
19
Mode Gelombang dalam Wave Guide Dalam hal frekuensi cutoff ππ,ππ , konstanta phasa π½ππ dapat diberikan sebagai berikut : π½ππ = π ππ
1β
ππ,ππ 2
pers. 24
π
Persamaan akhir untuk medan listrik axial πΈπ§ untuk mode propagasi , diberikan : πΈπ§ = π΄πΆ sin
ππ π₯ π
sin
ππ π¦ π
π βππ½ππ π§
Komponen medan yang tersisisa yang masih mungkin untuk didapatkan dengan substitusiπΈπ§ pada pers.25 dan untuk π»π§ = 0 untuk mode TM. Dan untuk mode terendah pada mode TM adalah m=1 dan n=1, sebab jika salah satu komponen m atau n sama dengan nol, maka mengakibatkan semua komponen medan menjadi nol.
20
Mode Gelombang dalam Wave Guide Sedangkan panjang gelomabang Ξ»ππ pada mode TM di dalam wave guide didefinisikan sebagai jarak propagasi di dalam arah z yang dibutuhkan untuk perubahan phasa sebesar 2π (πππ).
Ξ»ππ π½ππ = 2π, sehingga : Ξ»ππ =
2π π½ππ
1
= 1β
ππ,ππ π
2
;
dimana
Ξ»=
2π π
ππ =
2π π½π
; dan π½π = π ππ
Dari persamaan diatas dapat dilihat bahwa, panjang gelomabang pada wave guide lebih panjang jika dibandingkan dengan panjang gelombang dari propagasi gelombang datar pada frekuensi yang sama.
21
Mode Gelombang dalam Wave Guide Hal yang sama juga dapat digunakan untuyk menjelaskan mengenai kecepatan phasa dari mode propagasi lebih besar daripada kecepatan cahaya. Adapun kecepatan phasa mode propagasi dapat dilihat sebagai berikut : π£πππ =
π π½ππ
Dan dengan mensubtitusikan π½ππ dari pers.24 , didapatkan : π£πππ =
1 1β
ππ ππ,ππ 2 π
π£π
= 1β
ππ,ππ 2 π
pers.25
Dimana ditunjukan untuk mode propagasi dimana : π > ππ,ππ dan π£πππ > π£π , dimana π£πππ merupakan konstanta phasa muka gelombang yang mana berbeda dengan kecepatan transmisi energy.
22
Mode Gelombang dalam Wave Guide Dengan menggunakan pers.17 untuk persaman medan listrik axial dan untuk memperoleh komponen trsnsverse untuk mode TM dimana π»π§ = 0, didapat : πΈπ§ = π΄πΆ sin πΈπ¦ = πΈπ₯ = π»π¦ = π»π₯ =
ππ π₯ π
ππ π 2 ππ ππ + π π ππ βππ½ππ π 2 ππ ππ + π π ππ βπππ π 2 ππ ππ + π π ππ βπππ π 2 ππ ππ + π π
βππ½ππ
sin
ππ π¦ π
π βππ½ππ π§
pers.26a
2 π΄πΆ sin
ππ π₯ π
cos
ππ π¦ π
π βππ½ππ π§
pers.26b
2 π΄πΆ cos
ππ π₯ π
sin
ππ π¦ π
π βππ½ππ π§
pers.26c
π΄πΆ cos
ππ π₯ π
sin
ππ π¦ π
π βππ½ππ π§
pers.26d
2 π΄πΆ sin
ππ π₯ π
cos
ππ π¦ π
π βππ½ππ π§
pers.26e
2
23
Mode Gelombang dalam Wave Guide Dari persamaan transverse medan pada pers.26 diatas didapat : πΈπ₯ π»π¦ πΈπ₯ π»π¦
= =
π½ππ , ππ π . π
dengan substitusi π½ππ dari pers.17 didapat : 1β
ππ,ππ 2
pers.27
π
Hal yang serupa berlaku untuk πΈπ¦ dan π»π₯ πΈπ¦ π»π₯
=
βπ½ππ ππ
=β
π . π
1β
ππ,ππ 2 π
pers.28
24
Mode Gelombang dalam Wave Guide Dari dua persamaan di atas yaitu pers.27 dan pers.28 , ada keterkaitan untuk pencarian impedansi (Θ ) mode TM, dengan mengingat bahwa perbandingan antara medan listrik dan medan magnet merupakan impedansi, maka : Θ ππππ =
π π
1β
ππ,ππ 2 π
pers.29
Adapin hubungannya antara impedansi, medan listrik, dan medan magnet dapat ditulis sebagai berikut : πΈπ₯ = Θ ππππ .π»π¦ πΈπ¦ = β Θ ππππ .π»π¦ = Θ ππππ .(βπ»π¦ )
25
Mode Gelombang dalam Wave Guide ΖTM ο¨ο½ o
ο ο₯
ΖTM
fc,mn
f
Dari kurva dapat dilihat bahwa, impedansi meningkat menuju impedansi instrinsik, dan jika frekuensi nya lebih kecil dari sama dengan frekuensi cutoff maka kondisinya short circuit.
26
Mode Gelombang dalam Wave Guide Adapun syarat batas yang dapat dipenuhi untuk kasus Mode TE adalah : πΈπ¦ |π₯=0 = 0 πΈπ¦ |π₯=π = 0 πΈπ¦ |π¦=0 = 0
πΈπ¦ |π¦=π = 0 Sehingga bentuk umum untuk persamaan medan magnet (π»π§ ) adalah : π»π§ = π΅π· cos ππ₯ cos ππ¦ π βπΎπ§
pers.31
27
Mode Gelombang dalam Wave Guide Sehingga solusi untuk syarat batas dapat dipenuhi untuk : sin ππ = 0, dimana ππ = ππ, atau π =
ππ , π
π’ππ‘π’π π = 0, 1, 2, β¦
Hal yang sama juga berlaku untuk : π=
ππ , π’ππ‘π’π π
π = 0, 1, 2, β¦
Dengan substitusi M dan N pada pers.31 didapat : π»π§ = BD cos
ππ π₯ π
cos
ππ π¦ π
π βπΎππ π§
pers. 32
Tidak seperti pada mosde TM, pada mode TE nilai m =0 atau n=0 masih diizinkan diterapkan pada pers.32.
28
Mode Gelombang dalam Wave Guide Adapun konstanta propagasi πΎππ untuk mode gelombang TE adalah : πΎππ =
ππ 2 π
+
ππ 2 π
β π 2 ππ
Dan propagasi mode TE dimana πΎππ = ππ½ππ terjadi ketika : π2 ππ
>
ππ 2 π
+
ππ 2 π
Sedangkan mode non-propagasi atau tidak merambang (evanescent) terjadi ketika : π2 ππ
<
ππ 2 π
+
ππ 2 π
29
Mode Gelombang dalam Wave Guide Sedangkan untuk cutoff mode TE adalah ketika πΎππ = 0 : ππ,ππ =
1 2π ππ
ππ 2 π
+
ππ 2 π
pers.33
Untuk dimensi wave guide seperti pada Gbr.7.2 Rectangular wave guide, dimana b < a , maka mode terendah untum mode TE adalah ππΈ10 . Untuk mode ini, maka frekuensi cutoff nya adalah : ππ10 =
1 2π ππ
π 2 π
=
π£π 2π
30
Mode Gelombang dalam Wave Guide Sedangkan untuk mode ππΈ01 adalah : ππ,01 =
π 2 π
1 2π ππ
=
π£π 2π
Adapun hubungan medan listrik E dan Medan magnet H adalah bentuk impedansi sebagai berikut : Θ ππΈππ = πΈπ¦ π»π₯
πΈπ₯ π»π¦
=
=
ππ π½ππ
βππ π½ππ
=
π π
= 1β β 1β
ππ,ππ 2 π π π
ππ,ππ π
2
Θ π
= 1β
ππ,ππ 2 π
βΘ π
= 1β
ππ,ππ π
2
,
dan
= βΘ ππΈππ
31
Mode Gelombang dalam Wave Guide
ΖTE ο¨ο½ o
ο ο₯
ΖTM
fc,mn
f
32
TERIMAKASIH
33
