ELEKTROMAGNETIKA I. Modul 07 GELOMBANG DATAR PADA BAHAN

ELEKTROMAGNETIKA I

Modul 07 GELOMBANG DATAR PADA BAHAN

1

ELEKTROMAGNETIKA I

Materi :  7.1 Pendahuluan  7.2 Review Gel Datar Serbasama di udara  7.3 Gelombang Datar Serbasama di dielektrik  7.4 Gelombang Datar Serbasama di konduktor  7.5 Vektor Poynting dan Tinjauan Daya

2

Pendahuluan

ELEKTROMAGNETIKA I

Uniform Plane Wave Gelombang EM yang dipancarkan suatu sumber , akan merambat ke segala arah. Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar. Muka gelombang adalah titik-titik yang memiliki fasa yang sama.

Hampir berbentuk bidang datar

Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama 3

ELEKTROMAGNETIKA I

Gelombang yang merambat dalam berbagai medium (review) 

Medium Propagasi Medium propagasi gelombang EM sangat beragam : udara, air tawar, air laut, tanah pasir, tanah basah, kayu, beton, tembok, tubuh manusia, dll  Karakteristik medium propagasi sebagai reaksi adanya gelombang EM ditentukan oleh : 

 (permeabilitas)  reaksi bahan thd medan magnetik   (permitivitas)  reaksi bahan thd medan listrik   (konduktivitas)  reaksi bahan yang bersifat konduktif 

4

ELEKTROMAGNETIKA I


Jenis medium    

 



Free space Dielektrik Sempurna Dielektrik Konduktor yang baik Konduktor sempurna Bahan magnetis



0 r 0 r 0 r 0 r 0 r 0



0 r 0 r 0 r 0 r 0 r 0>>

 0 0 <  >>  

Jenis medium juga sangat dipengaruhi oleh frekuensi. Yang membedakan suatu bahan termasuk konduktor atau dielektrik adalah : perbandingan antara arus konduksi dan arus pergeseran 5

ELEKTROMAGNETIKA I


Syarat dielektrik    1  2f r  0



Syarat konduktor yang baik     1  2f r  0



Contoh : 

Air laut mempunyai karakteristik r=1, r=79, =3 S/m. Air laut ini termasuk jenis konduktor atau dielektrik untuk frekuensi  

20 Khz 20 GHz

6

ELEKTROMAGNETIKA I

Gelombang yang merambat dalam berbagai medium (review) Material



Contoh berbagai karakteristik medium

Material Udara

r 1.0006

Alkohol

25

Tanah kering

7

Tanah lembab

15

Tanah basah

30

Kaca

4 – 10

Polystirene

r

2.56

Porcelain

6

Pyrex

5

Karet

2.5 – 3

Salju

3.3

Styrofoam

1.03

Teflon

2.1

Es

4.2

Air murni

81

Mika

5.4

Air laut

70

Nylon

4

Silica

3.8

Kertas

2-4 7

ELEKTROMAGNETIKA I



Material

 S/m

Material

 S/m

Tanah basah

3 x 10-2

Tanah liat

10-4

Perak

6.17 x 107

Kaca

10-12

Tembaga

5.8 x 107

Emas

4.1 x 107

Porcelain

10-10

Alumunium

3.82 x 107

Perunggu

Besi Air laut

1 x 107

1x

107

Intan

2 x 10-13

Polystirene

10-16

Karet

10-15

4

Air murni

10-3

Tanah kering

10-3

Tanah lembab

1.2 x 10-2 8

ELEKTROMAGNETIKA I



Material

r

Parafin

0.99999942

Perak

0.9999976

Air

0.9999901

Tembaga

0.99999

Emas

0.99996

Alumunium

1.000021

Platinum

1.0003

Ferite

1000

Cobalt

250

Nikel

600

Besi

5000 9

B. Penurunan Persamaan Gelombang

ELEKTROMAGNETIKA I

Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap karakteristik medium perambatan.

persamaan

gelombang

adalah

Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi…

 0 V  0 r  1 r 1

Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :

     Es   j H s      H s    j Es     Es  0     Hs  0

Perubahan E dan H sinusoidal , dengan pertimbangan bahwa perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier 10

Penurunan Persamaan Gelombang

ELEKTROMAGNETIKA I

            Es   j H s   H s    j Es   Es  0   H s  0 Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi. Dari identitas vektor Dari pers. Maxwell I

      2      Es      Es   Es

         Es   j   H S

   2      Es   Es

        Es   j   j Es



    Es  0



Didapatkan Persamaan Diferensial Vektor Gelombang Helmholtz, sbb :

     H s    j Es

2    Es  j   j Es 11


ELEKTROMAGNETIKA I

2    Es  j   j Es

Atau dapat dituliskan sbb :

2   2  Es   Es Dimana ,

2 = j ( + j)  disebut sebagai

Konstanta propagasi

Kemudian, dengan uraian bahwa : 2 2 2 2 2 2   E  E  E ys      2 Ezs  2 Ezs  2 Ezs   E  E  E ys ys 2 xs xs xs  Es   2  2  2  aˆ x   2  2  2  aˆ y   2  2  2  aˆ z y z  y z  y z   x  x  x

Komponen x

Komponen y

Komponen z

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

E y  Ez  0  E ys  Ezs  0 12


ELEKTROMAGNETIKA I

2    Es  j   j Es E y  Ez  0  E ys  Ezs  0

 2   2 Exs  2 Exs  2 Exs   Es     j   j Es 2 2 2 x y z Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :

 Exs  j   j Exs 2 z 2

  Exs 2   Exs 2 z 2

atau

13


ELEKTROMAGNETIKA I

2  Exs 2 Solusi persamaan diferensial   Exs 2 z dituliskan :

Exs  Ex 0 e

z

dapat

2 = j ( + j) dimana,  =  + j = Konstanta propagasi

Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat  dituliskan :    j  z jt Ingat kembali perubahan dari



E (t )  Re Ex 0 e

e

aˆ

x

bentuk fasor ke bentuk waktu !!

 z E (t )  Ex 0 e cost  z  aˆ x

  konstanta propagasi    j   j   j   j  1  j  14


ELEKTROMAGNETIKA I

Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :

     Es   j H s aˆ x aˆ y aˆ z

     E xs 1 Exs  aˆ y   j 0 H ys H ys   aˆ y x y z z j 0 z E xs 0 0  Ex 0 z   impedansi intrinsik    H e cost  z aˆ y  Ex j  1 

Hy



  j





 1 j  15

Penurunan Persamaan Gelombang Loss Tangent

ELEKTROMAGNETIKA I

Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

 tan   

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi terhadap rapat arus pergeseran

Nilai-Nilai Pendekatan Untuk

  0,1 

   2          1  j      16


 E

Arah perambatan gelombang

 P

 H

ELEKTROMAGNETIKA I

Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan,

 z E (t )  Ex 0 e cost  z  aˆ x

 Ex 0 z H t   e cost  z   aˆ y 

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM). Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa

17

C. Persamaan Gelombang

ELEKTROMAGNETIKA I

Persamaan umum gelombang berjalan Amplituda medan

 =  + j = Konstanta

Propagasi  = konstanta redaman (neper/meter)  = konstanta fasa (radian/meter)

 z E  Exo e cost  z aˆ x Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z positif. Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z negatif

 Volt     meter 

Gelombang bergetar searah sumbu-x

18

Persamaan Gelombang

ELEKTROMAGNETIKA I

Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah sumbu-x negatif , dan bergetar searah sumbu-z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz Jawab : Konstanta fasa = 0.5 Frekuensi = 1 MHz = 106 Hertz (radian/m), merambat ke sumbu-x negatif Bergetar searah sumbuz

 A   2x 6 H  100 e cos 210 t  0,5x aˆ z   m





Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu-x negatif

Amplitudo = 100 (A/m) 19

Persamaan Gelombang

ELEKTROMAGNETIKA I

Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsi waktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar di samping. Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalan dapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang berubah, maka suatu titik dengan amplitudo tertentu akan berubah posisi

20

D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

ELEKTROMAGNETIKA I

Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.  Dengan substitusi,   

D  H  J  t

   B  E   t     B  H D  E

Kedua ruas dikalikan dengan E

       D E   H  J  E  E  t





Dengan Identitas vektor

         D   E  H  H  E  J  E  E  t





       E  H    E  H  J  E  E   H  t t





   E   E 2   H   H 2      H  E    t t  2  t t  2 

      E 2 H 2      E  H  J  E    t  2 2 





21

      E 2 H 2      E  H  J  E    t  2 2 





Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume

      E 2 H 2   dV     E  H dV   J  E dV     t  2 2  V V V





Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :

      E 2 H 2   dV   E  H  dS   J  E dV     t V  2 2  S V





Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi daya total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)

ELEKTROMAGNETIKA I

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

Ruas kanan : Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/ tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut, kemudian turunan parsial terhadap waktu menyatakan daya sesaatnya

22

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya Didefinisikan Vektor

 E

Arah perambatan gelombang

 P

 H

Poynting =

ELEKTROMAGNETIKA I

 P

   P  EH  E

Pz aˆ z  Ex aˆ x  H y aˆ y

 H 23


ELEKTROMAGNETIKA I

Peninjauan Daya ... Misalkan :

 E (t )  Ex 0 ez cost  z  aˆ x  Ex 0 z H t   e cost  z   aˆ y 

Maka,

   P  EH 2  Watt  E x 0 2z  e cos t  z  cos t  z    aˆ z  2   m  

E x 0 2z  e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2 2

 Watt   2   m  24


ELEKTROMAGNETIKA I

Daya Rata-Rata ... T

2

Ex 0 2z 1 Pz ,av   Pz dt  e cos  T0 2 • Terjadi redaman kerapatan daya seharga

e 2z

• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos  yang juga menentukan kerapatan daya

25

E. Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

ELEKTROMAGNETIKA I

Untuk ruang hampa :

   0  4.107 H / m 

0

   0  8,854.1012 (F / m)

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

      Es   j H s    H s    j Es     Es  0     Hs  0

• Persamaan gelombang Helmholtz

2    Es  j   j Es

Pada ruang hampa,

     Es   j0 H s      H s  j 0 Es     Es  0     Hs  0

2   2  Es   0  0 Es 26

Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

Pada ruang hampa,

• Konstanta propagasi

  j  j   j  1  j

ELEKTROMAGNETIKA I

  0  j 00

 

• Impedansi intrinsik

    

j     j 

1 1 j

 

• Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

0   3770o 0  E(t )  E x 0 cost  z aˆ x

• Persamaan medan magnet

 E x 0 z Ht   e cos t  z   aˆ y 

 Ex0 Ht   cost  z aˆ y 377 27

Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa

ELEKTROMAGNETIKA I

Pada ruang hampa,

• Bentuk Gelombang

E P

H

• Vektor Poynting

 Ex 0 2 2z P e cos   cos 2t  2z    2





• Daya rata-rata

 Ex 0 2 P cos 2 t  z  aˆ z aˆ z 377 2

2

T

Ex 0 2z 1 Pz ,av   Pz dt  e cos  T0 2 • Kecepatan gelombang 8

1 3.10 v   r r

1 Ex0 Pz ,av  2 377

 dt 

v  3.10 m 8

28

F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna Untuk dielektrik sempurna :

r  1 r 1

0 0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

     Es   j H s      H s    j Es     Es  0     Hs  0

• Persamaan gelombang Helmholtz

 2   Es  j   j Es

ELEKTROMAGNETIKA I

Dielektrik sempurnan memiliki sifat dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum

Pada dielektrik sempurna

     Es   j Hs      Hs  jEs     Es  0     Hs  0

 2  2  Es    Es 29

Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

ELEKTROMAGNETIKA I



  j  j 

  0  j 

  j  1  j  • Impedansi intrinsik

j          j 

1  1 j 

 r   377  r

• Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 cost  z aˆ x


 E x0 r Ht   cost  z aˆ y 377  r

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x  E Ht   x 0 e z cos t  z   aˆ y 

30

Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

ELEKTROMAGNETIKA I


• Bentuk Gelombang

E P

H

• Vektor Poynting

 E x 0 2 2z P e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2 • Daya rata-rata T

Pz ,av 

2

E x 0 2z 1 P dt  e cos  z  T0 2

• Kecepatan gelombang

1 3.108 v   rr

 E x02 r P cos 2 t  z  aˆ z 377  r 2

Pz ,av

1 Ex0  2 377

r r

3.108 v rr 31

G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

ELEKTROMAGNETIKA I

Pada konduktor yang baik :

 r  1   r  1   0

  1 


Pada konduktor yang baik

  j  j   j  1  j

  f  j f

 

Cobalah menurunkan sendiri !

• Impedansi intrinsik

    

j     j 

1 1 j

 

Didefinisikan “Skin Depth”

1 1 2  j  45o   

1 1 1    f   32

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik • Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

ELEKTROMAGNETIKA I






 z E(t )  E x 0 e  cos t  z aˆ x 






   z E x 0 z E x 0 .e  cos t  z   aˆ y Ht   e cos t  z   aˆ y Ht    4 2  Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8 siklus) terhadap intensitas medan listrik

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :

J x (t )  E x (t )  E x 0 e

z





cos t  z



33

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

ELEKTROMAGNETIKA I


• Vektor Poynting

 E x 0 2 2z P e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2 2z      2z     2  P E x 0 e cos  cos 2t    aˆ z  4  2   4 • Daya rata-rata T

Pz ,av

2

Ex0

E x 0 2z 1   Pz dt  e cos  T0 2

2

Pz ,av

2z  2 

1   E x 0 e 4

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z =  adalah sebesar e-2 , atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ). 34

x L

Propagasi Pada Konduktor ELEKTROMAGNETIKA I Yang Baik  Jika misalkan ditanyakan daya yang menembus permukaan z = 0 , yang memiliki lebar 0 < y < b , dan panjang 0 < x < L ( kearah arus ), maka dapat dihitung : b L z

z

PbL,av

  1 2 2    P  dS     E x 0 e .dx.dy 4 s 0 0 z 0

PbL,av

1 2    b L Ex0 4

b y

Rapat arus pada permukaan konduktor akan menurun dengan cepat dengan faktor e-z/ jika masuk kedalam konduktor. Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam konduktor, akan tetapi merambat di sekeliling konduktor, sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus yang mengalir dalam konduktor akan mengalami redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugian bagi konduktor sebagai pembimbing gelombang.

Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan konduktor sangat buruk dipakai sebagai medium penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk pembimbing / penghantar arus dan cukup dalam bentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi. 35

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 1 Diketahui:

 E  cos(2 106 t    z )aˆ y

Merambat dalam air suling dengan r = 1 r = 4. a). Arah propagasi dan arah polarisasi. b). Cepat rambat gelombang di dalam air suling tsb

c). Panjang gelombang dan konstanta propagasi . d). Medan Magnet H !

36

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 2 Suatu gelombang berjalan ke arah x - positif dalam medium dielektrik tak merugi non-ferromagnetik (r = 1), dengan bentuk fasor untuk intensitas medan magnetik-nya di x = 0 :

  j / 2  H s ( x  0)  (80a y  60 e a z ) Impedansi Intriksik medium tersebut 200 . Setelah menempuh jarak 10 meter, gelombang tersebut fasanya tergeser 1 rad. Tentukan : a). Permitivitas relatif bahan (r) b). Vektor intensitas medan elektrik gelombang tersebut dalam bentuk sinusoidal domain-waktu!

37

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 3 Hitung Tangensial Loss pada frekuensi 100 MHz untuk material Silika, Air Laut, Tanah Basah ! Bandingkan nilai ini untuk Tembaga dan Perak!

38

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 4 Gelombang EM merambat di air laut yang memiliki karakteristik: r = 1; r = 70 ;  = 4. Tentukan: a). konstanta propagasi gelombang pada frekuensi 100 MHz! b). Cepat rambat rambat dan panjang gelombang di air laut tersebut.

39

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 5 Gelombang EM merambat pada lossy dielectric dengan tangensial loss 8 pada frekuensi 100 MHz. Dielektrik memiliki r=4 dan r=1. Tentukan 8

    2 f  0 r

a. Konduktivitas dielektrik | b. Konstanta redaman (α), konstanta fasa (β) c. Kecepatan rambat (v) dan panjang gelombang di bahan (λ) d. Impedansi Intrinsik dielektrik e. Medan magnet (real time) pada dielektrik tsb jika medan listriknya berbentuk z

 E s ( z )  377e aˆ x

40

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 6 Gelombang datar serbasama berfrekuensi 150 Hz menjalar dalam bahan dielektrik merugi non magnetik dengan r=1,4 dan tangensial loss 10-4. Berapa meter gelombang tsb akan berjalan dalam dielektrik sebelum

a. Amplitudo menjadi setengahnya b. Fasenya bergeser 90o

41

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 7 Gelombang EM merambat sepanjang sumbu z pada tembaga (=1,26.10-3, σ=58) dengan frekuensi 1 GHz. Jika pada z=0 (perm. tembaga), amplitudo medan listriknya 10 V/m, tentukan a. Skin depth b. Konstanta redaman, konstanta fasa β c. Medan listrik riil time-nya d. Impedansi Intrinsik Tembaga tsb e. Medan magnet (real time) pada dielektrik tsb jika medan listriknya berbentuk

42

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 8 Standar keamanan radiasi gelombang EM dalam udara adalah 10 mW/cm2. Berapa standar radiasi ini jika dinyatakan untuk medan listrik dan medan Magnetnya?

43

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 9 Gelombang planewave menjalar dalam medium Lossless nonmagnetik dengan daya rata-rata 377 mW/m2. Medan listriknya berbentuk

 4iz Es ( z )  E0e aˆ x V / m

a. Cari impedansi bahan b. Berapa frekuensi gelombang tersebut c. Tulis medan listrik riil time-nya d. Cari medan magnet riil time-nya

44

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 10 Gelombang planewave menjalar dalam medium lossless. Fasor Medan listriknya berbentuk  4   E ( z, t )  377 cos t  z  aˆ x V / m 3 3  Rapat daya rata-rata 377 W/m2

a. Jika medium memiliki =0, cari impedansinya b. Berapa frekuensi gelombang tersebut c. Tulis medan magnetnya d. Cari Vektor Poynting 45

ELEKTROMAGNETIKA I

Contoh 11 Gelombang EM merambat sepanjang sumbu z pada tembaga (=1,26.10-3, σ=58) dengan frekuensi 1 GHz. Jika pada z=0 (perm. tembaga), amplitudo medan listriknya 10 V/m, tentukan a. Skin depth b. Konstanta redaman, konstanta fasa β c. Medan listrik riil time-nya d. Impedansi Intrinsik Tembaga tsb e. Medan magnet (real time)

46

ELEKTROMAGNETIKA I. Modul 07 GELOMBANG DATAR PADA BAHAN

Recommend Documents