ELEKTROMAGNETIK TERAPAN 1. PROPAGASI GELOMBANG ELEKTROMAGNET (GELOMBANG DATAR)

ELEKTROMAGNETIK TERAPAN 1. PROPAGASI GELOMBANG ELEKTROMAGNET (GELOMBANG DATAR)

OUTLINE

Propagasi Gelombang Elektromagnet (Gelombang Datar)

PENDAHULUAN Gelombang

Gelombang adalah suatu fenomena alamiah yang terjadi dalam dimensi ruang dan waktu. Gelombang dapat diperhatikan sebagai ‘gangguan’ yang merambat dengan kecepatan tertentu. Jika gangguan tersebut merambat ke satu arah, maka disebut sebagai gelombang 1-D. Contohnya adalah gelombang datar ( plane wave ).

PENDAHULUAN Uniform Plane Wave Gelombang EM yang dipancarkan suatu sumber , akan merambat ke segala arah. Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar. Muka gelombang adalah titik-titik yang memiliki fasa yang sama. Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama

Hampir berbentuk bidang datar

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Persamaan gelombang

dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan. Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi… 0 V  0 r  1 r  1

Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :

     Es   j Hs      Hs    j Es     Es  0     Hs  0

Perubahan E dan H sinusoidal , dengan pertimbangan bahwa perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Bentuk waktu (Real Time) dan bentuk fasor  Karena medan E dan medan H diasumsikan sinusoidal maka kita bisa tuliskan medan tersebut dalam fungsi sinusoidal

Bentuk waktu (real time)

 Misalkan suatu fungsi sinusoidal :

A(t )  A0 cos t   

 A0 Recos t     j sin t   



 Re A0 e

j t  

  ReA e 0

As  A0e j

j

e

jt



Bentuk Phasor Note : untuk sementara Re[….ejωt] di”hidden” dulu

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG             Es   j Hs   Hs    j Es   E s  0   Hs  0 Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi. Dari identitas vektor





       2     Es      Es   Es     Es  0

    2     Es   Es Didapatkan Persamaan Diferensial Vektor Gelombang Helmholtz, sbb :

Dari pers. Maxwell I

         Es   j   HS

     H s    j Es

        Es   j   j Es

 2   Es  j   j Es

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

 2   Es  j   j Es

Atau dapat dituliskan sbb :

 2  2  Es   Es Dimana ,

2 = j ( + j)  disebut sebagai Konstanta propagasi Kemudian, dengan uraian bahwa : 2 2 2 2 2 2   E  E  E ys      2 E zs  2 E zs  2 E zs   E  E  E ys ys 2 xs xs xs  Es   2   aˆ   2   aˆ   2   aˆ 2 2  x 2 2  y 2 2  z y z  y z  y z   x  x  x

Komponen x

Komponen y

Komponen z

Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

E y  Ez  0  E ys  Ezs  0

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

 2   Es  j   j Es E y  Ez  0  E ys  Ezs  0

 2   2 E xs  2 E xs  2 E xs  Es     j   j E s 2 2 2 x y z Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :

 2 E xs  j   j E xs 2 z

atau

  2 E xs 2   E xs 2 z

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Solusi persamaan diferensial

E xs  E x 0 e

 z

 2 E xs 2   E xs dapat dituliskan : 2 z dimana,

2 = j ( + j)  =  + j = Konstanta propagasi

Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :





    j z jt E(t )  Re E x 0 e e aˆ x   z E(t )  E x 0 e cost  z aˆ x

Bentuk waktu (real time) Bentuk phasor

Ingat kembali perubahan dari bentuk fasor ke bentuk waktu !!

  konstanta propagasi    j 

j   j   j  1  j

Alternatif penulisannya :

Es  E0 e z aˆ x

 j  1  j tan 

 

Loss Tangent

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Loss Tangent Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

 tan   

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi terhadap rapat arus pergeseran

Nilai-Nilai Pendekatan Untuk

  0,1 

   2          1  j     

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :

     Es   j Hs

aˆ x aˆ y aˆ z

  1 E xs E xs     aˆ y   j 0 H ys H ys   aˆ y x y z z j 0 z   impedansi intrinsik    E xs 0 0  E x 0 z H e cost  z aˆ y 





Ex j   Hy   j

 1  1  j tan 

 

1 1 j

 

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

 E

Arah perambatan Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan, gelombang

 P

 H

  z E(t )  E x 0 e cost  z aˆ x

 E x 0 z Ht   e cos t  z   aˆ y 

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM). Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Persamaan umum gelombang berjalan Amplituda medan

 =  + j = Konstanta Propagasi  = konstanta redaman (neper/meter)  = konstanta fasa (radian/meter)

  Volt   z E  E xoe cost  z aˆ x  meter  Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu z positif. Tanda ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu z negatif

Gelombang bergetar searah sumbu x

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah sumbu x negatif , dan bergetar searah sumbu z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz Jawab : Frekuensi = 1 MHz =

106

Konstanta fasa = 2 (radian/m), merambat ke sumbu x negatif

Hertz

Bergetar searah sumbu z

 2x 6 H  100 e cos 210 t  0,5x aˆ z





 A   m 

Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu x negatif Amplitudo = 100 (A/m)

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsi waktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar di samping. Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalan dapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang berubah, maka suatu titik dengan amplitudo tertentu akan berubah posisi

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

    D H  J  t

Dengan substitusi,

   B E   t     B  H D  E

Kedua ruas dikalikan dengan E

       D E  H  J  E  E  t





Dengan Identitas vektor

         D   EH  H  E  J  E  E  t





       E  H    E  H  J  E  E   H  t t





   E   E 2   H   H 2    H    E    t t  2  t t  2 





      E 2 H 2      E  H  J  E    t  2 2 

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA





      E 2 H 2      E  H  J  E    t  2 2  Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume





      E 2 H 2   dV     E  H dV   J  E dV     t  2 2  V V V Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :





      E 2 H 2   dV   E  H  dS   J  E dV     t V  2 2  S V Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi daya total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)

Ruas kanan :

Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/ tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut, kemudian turunan parsial terhadap waktu menyatakan daya sesaatnya

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA Didefinisikan Vektor Poynting =

 E

Arah perambatan gelombang

 P

 H

 H

 E

 P

   P  EH Pz aˆ z  E x aˆ x  H y aˆ y

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA Peninjauan Daya ... Misalkan :

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x  E x 0 z Ht   e cos t  z   aˆ y 

Maka,

   P  EH E x 0  2 z  Watt   e cos t  z  cos t  z    aˆ z  2   m   2

E x 0  2 z  e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2 2

 Watt   2   m 

VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA Daya Rata-Rata ... T

Pz ,av

2

E x 0 2z 1   Pz dt  e cos  T0 2 • Terjadi redaman kerapatan daya seharga

e 2z

• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos  yang juga menentukan kerapatan daya

GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA Untuk ruang hampa :

   0  4.10 7 H / m 

0

   0  8,854.10 12 (F / m)

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

     Es   j Hs      Hs    j Es     Es  0     Hs  0 • Persamaan gelombang Helmholtz

 2   Es  j   j Es

Pada ruang hampa,

     Es   j 0 Hs      Hs  j 0 Es     Es  0     Hs  0

 2  2  Es   0 0 Es

GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA • Konstanta propagasi

Pada ruang hampa,

  j   j 

  0  j 00

  j  1  j  • Impedansi intrinsik

    

j     j 

1  1 j 

• Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

• Persamaan medan magnet

 E Ht   x 0 e z cos t  z   aˆ y 

0   3770o 0  E(t )  E x 0 cost  z aˆ x  Ex0 Ht   cost  z aˆ y 377

GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA Pada ruang hampa,

• Bentuk Gelombang

E P

H

• Vektor Poynting

 E x 0 2 2z P e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2





 Ex02 P cos 2 t  z  aˆ z 377

• Daya rata-rata T

Pz ,av

2

E 1   Pz dt  x 0 e 2z cos  T0 2

• Kecepatan gelombang

1 3.108 v   rr

2

Pz ,av

1 Ex0  2 377

 dt 

v  3.108 m

GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA Untuk dielektrik sempurna :

r  1

0

r  1

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

     Es   j Hs      Hs    j Es     Es  0     Hs  0 • Persamaan gelombang Helmholtz

 2   Es  j   j Es

Dielektrik sempurnan memiliki sifat dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum

Pada dielektrik sempurna

     Es   j Hs      Hs  jEs     Es  0     Hs  0

 2  2  Es    Es

GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA • Konstanta propagasi

Pada dielektrik sempurna

  j   j   j  1  j

  0  j 

 

• Impedansi intrinsik

    

j     j 

1 1 j

 

• Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

• Persamaan medan magnet

 E x 0 z Ht   e cos t  z   aˆ y 

 r   377  r  E(t )  E x 0 cost  z aˆ x  E x0 r Ht   cost  z aˆ y 377  r

GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA

Pada dielektrik sempurna

• Bentuk Gelombang

E P

H

• Vektor Poynting

 E x 0 2z P e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2



2



 Ex02 P 377

r cos 2 t  z  aˆ z r

• Daya rata-rata T

Pz ,av

2

2

E 1   Pz dt  x 0 e 2z cos  T0 2

Pz ,av

1 Ex0  2 377

• Kecepatan gelombang

1 3.108 v   rr

3.108 v rr

r r

GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA Pada konduktor yang baik :

 r  1   r  1   0

  1 

• Konstanta propagasi

Pada konduktor yang baik

  j   j   j  1  j

  f  j f

 

Cobalah menurunkan sendiri !

• Impedansi intrinsik

j          j 

1 1 j

 

Didefinisikan “Skin Depth”

1 1 2  j  45o   

1 1 1    f   30

GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA

Pada konduktor yang baik

• Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x



 z E( t )  E x 0 e  cos t  z

• Persamaan medan magnet

 aˆ



x



  z   E x 0 z   H t  E . e cos t  z   aˆ y x 0 ˆ  4 Ht   e cos t  z   a y 2  Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8 siklus) terhadap intensitas medan listrik

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :

J x (t )  E x ( t )  E x 0 e

z





cos t  z



GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA

Pada konduktor yang baik

• Vektor Poynting

 E x 0 2 2z P e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2 2z      2z     2  P E x 0 e cos  cos 2t    aˆ z 4  4  2   • Daya rata-rata T

Pz ,av

2

Ex0

E x 0 2z 1   Pz dt  e cos  T0 2

2

2z

Pz ,av

1 2    E x 0 e 4

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z =  adalah sebesar e-2 , atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ).

GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA

x L



Jika misalkan ditanyakan daya yang menembus permukaan z = 0 , yang memiliki lebar 0 < y < b , dan panjang 0 < x < L ( kearah arus ), maka dapat dihitung :

z PbL,av b

y

z   bL1  2 2   P  dS     E x 0 e  .dx.dy 4 s 0 0 z 0

PbL,av

1 2    b L Ex0 4

Rapat arus pada permukaan konduktor akan menurun dengan cepat dengan faktor e-z/ jika masuk kedalam konduktor. Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam konduktor, akan tetapi merambat di sekeliling konduktor, sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus yang mengalir dalam konduktor akan mengalami redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugian bagi konduktor sebagai pembimbing gelombang. Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan konduktor sangat buruk dipakai sebagai medium penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk pembimbing / penghantar arus dan cukup dalam bentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi.

POLARISASI GELOMBANG Polarisasi adalah sifat GEM yang menjelaskan arah dan amplitudo vektor intensitas medan listrik (E) sebagai fungsi waktu pada bidang yang tegak lurus terhadap arah perambatannya.

Macam-macam polarisasi : Linear, Sirkular (lingkaran), dan Ellips

POLARISASI GELOMBANG Polarisasi Vertical

Polarisasi Horizontal

Polarisasi Slant

POLARISASI GELOMBANG RHCP

LHCP

Elips

POLARISASI GELOMBANG Polarisasi eliptik dapat dipandang sebagai bentuk •

polarisasi yang paling umum : Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi linear yang saling tegak lurus (orthogonal)

•

Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi sirkular dengan arah berlawanan dan magnitudo berbeda

Jika polarisasi eliptik dipandang sebagai penjumlahan polarisasi linear yang saling tegak lurus, maka :

    Ex  Exo sin t  z   x  aˆ x  Et  Ex  E y E y  E yo sin t  z   y aˆ y  Et  Exo sint  z   x  aˆ x  E yo sin t  z   y aˆ y Polarisasi selalu ditinjau untuk jarak tertentu. Misal pada z = 0, akan didapatkan

 Et  Exo sint   x  aˆ x  E yo sin t   y aˆ y

POLARISASI GELOMBANG Polarisasi Linear

Polarisasi Sirkular

Syarat ( salah satu ) :

Syarat :

 E x 0 ada nilainya; E y 0  0

 Ex0  E y 0

 E y 0 ada nilainya; E x 0  0

 1  2n  , n  0,1,2,3...  2     y   x    1 2  2n  , n  0,1,2,3...

    y   x  n , n  0,1,2,3....

 

 

RHCP/CW

LHCP/CCW

Polarisasi Eliptik Syarat :  Ex0  E y 0

 

 

 1  2n  , n  0,1,2,3...  2     y   x    1 2  2n  , n  0,1,2,3...

RHCP/CW

LHCP/CCW

POLARISASI GELOMBANG Kasus paling umum : Polarisasi

Eliptik

Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah : a. Major Axis ( 2 x OA ) OA 

1 2 2 4 4 2 2 E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2  2 

b. Minor Axis ( 2 x OB ) OB 

1 2 2 4 4 2 2 E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2  2 

c. Tilt angle ( )

 2E x E y  1    arctan cos   2 2 E E  2 y  x  d. Axial Ratio (AR ) Major axis OA AR   Minor axis OB

AR = 1 Polarisasi Circular AR =∞  polarisasi linear 1
ANY QUESTION???