5. Gelombang Datar ( ) ( ) ( )

5. Gelombang Datar Gelombang EM adalah konsekuensi dari persamaan Maxwell. Bagian ini menguraikan perilaku gelombang EM dengan pertama-tama akan meninjau gelombang datar dalam ruang bebas. Selanjutnya akan dijelaskan pula interaksi antara gelombang dengan medium. Asumsi yang diambil adalah gelombang berbentuk harmonik waktu dan bebas dari sumber.

5.1 Perambatan Gelombang EM dalam Ruang Hampa Untuk analisa, kita perlu bentuk solusi untuk E dan H dalam ruang bebas, yang merupakan solusi dari PDE

G K ∇2 E + k02 E = 0

(5.1)

Sebenarnya disini ada tiga persamaan, yakni

∂ 2 Ei ∂ 2 Ei ∂ 2 Ei + 2 + 2 + k02 Ei = 0 2 ∂x ∂y ∂z

i = x, y , z

(5.2)

Kita menempuh prosedur standar dengan pemisahan variabel. Dengan mengambil satu komponen, misalnya Ex, yang berbentuk

Ex = f ( x ) g ( y ) h ( z )

(5.3)

akan diperoleh

ghf ′′ + fhg ′′ + fgh′′ + k02 fgh = 0 ⇒

f ′′ g ′′ h′′ + + + k02 = 0 f g h

(5.4)

Masing-masing suku adalah fungsi satu variabel dan sama dengan suatu konstanta, seperti diperlihatkan pada suku terakhir ruas kiri, dengan demikian haruslah berlaku

f ′′ = − k x2 ; f dan

g ′′ = − k y2 ; g

h′′ = − k z2 h

k x2 + k y2 + k z2 = k02 dengan k0 =

2π

λ

(5.5) =

ω c

Dengan demikian, kita memiliki 3 buah persamaan diferensial biasa:

d2 f + k x2 f = 0 dx 2

solusinya adalah f = e± jkx x

d 2g + k y2 g = 0 2 dy

solusinya adalah g = e

d 2h + k z2 h = 0 2 dz

solusinya adalah h = e ± jkz z

(5.6.a)

± jk y y

(5.6.b) (5.6.c)

Sehingga untuk Ex kita peroleh

Ex = A e

± j (k x x + k y y + k z z )

(5.7)

Ekspresi ini menyatakan komponen-x dari gelombang E yang merambat ke arah suatu vektor perambatan dengan amplitudo A. Arah perambatan diberikan oleh: G k = k x xˆ + k y yˆ + k z zˆ

(5.8)

Selanjutnya akan digeneralisasi ke seluruh komponen. Jika vektor (posisi) normal 3D didefinisikan sebagai r r = xxˆ + yyˆ + zzˆ r r maka k ⋅ r = k x x + k y y + k z z , sehingga diperoleh

(5.9)

v v

Ex = Ae− jk ⋅ r

(5.10.a)

dan dengan cara yang sama diperoleh dua komponen lainnya v v

E y = Be − jk ⋅ r

dan

(5.10.b)

5. Gelombang Datar - 2

v v

Ez = Ce− jk ⋅r

(5.10.c)

Maka kita dapat menuliskan persamaan umum gelombang datar sebagai

r r rv E = E0e− jk ⋅r

(5.11)

v dimana E0 = Axˆ + Byˆ + Czˆ . Untuk perambatan tanpa sumber ∇·E = 0. Jika persyaratan ini dipenuhi, haruslah k·E0= 0. Ini berarti E0 tegak lurus k. Persamaan yg serupa untuk H dapat ditemukan dengan substitusi solusi untuk E kedalam persamaan ∇×E. Hasilnya adalah :

G G k H = 0 nˆ × E ωμ0

(5.12)

dmana n adalah vektor satuan pada arah k. Perlu diingat bahwa H tegak lurus k dan juga tegak lurus E, jadi gelombangnya adalah TEM (transverse

electromagnetic).

Fakta ini diperoleh dari persamaan H di atas. Dengan

demikian, kita bisa menggambarkan gelombang seperti diperlihatkan pada Gambar 5.1.

Gambar 5.1 Gelombang EM dengan E dan H tegak lurus satu sama lain dan sekaligus keduanya tegak lurus arah perambatan (TEM)


Koefisien pada ruas kanan (5.12) memiliki arti khusus dalam gelombang EM. Kita bisa menguraikannya menjadi k0 2π 2π f 1 ε0 = = = = ωμ0 λ0ωμ0 cωμ0 cμ0 μ0

(5.13)

Suku ini berdimensi admittansi, dan sebenarnya Y0 =

ε 1 1 = = 0 Z 0 η0 μ0

(5.14)

disini Z0 disebut impedansi ruang hampa dan bernilai ≈ 377Ω. Dengan demikian, kita bisa menuliskan (5.12) sebagai:

G G 1 H = nˆ × E η0

(5.15)

5.2 Perambatan dalam Medium Penghantar Kita telah melihat perambatan dalam ruang hampa (dielektrik sempurna dng σ = 0). Sekarang kita tinjau perambatan dalam media menghantar (konduktif) dimana σ bisa bernilai sampai ∞. Kita mulai dengan persamaan

∇2 E− με

ρ ∂2 E ∂J =μ +∇ 2 ε ∂t ∂t

(5.16)

yang telah diperoleh dari bagian sebelumnya. Dengan mengasumsikan tak ada muatan bebas dan memilih gelombang bentuk harmonik, maka kita dapat mengubahnya menjadi

r r r ∇ 2 E + ω 2 με E = jωμσ E r r ∇2 E − γ 2 E = 0 ⇒

(5.17)

dimana γ 2 = jωμσ − μεω 2 , yakni koefisian perambatan kompleks akibat nilai hantaran terbatas.


Di dalam logam, arus hantaran (σE) jauh lebih besar daripada arus perpindahan (jεω0E). Keduanya akan kurang lebih sama hanya pada daerah optik. Misalnya,

σ = 5.8×107 untuk tembaga dan εω0 = 2πx1010× 8.854×10-12 = 0.556. Jadi, untuk kasus bahan sangat menghantar pada frekuensi dibawah cahaya tampak, kita hanya perlu memperhitungkan jσμω. Persamaan diferensial parsial dapat disederhanakan menjadi

G G ∇2 E − jωμ0σ E = 0

(5.18)

5.3 Gelombang Jatuh pada Penghantar Tinjau gelombang datar menuju medium menghantar dan jatuh tegak lurus, sepeti dilukiskan pada Gambar 5.2 berikut ini.

. Gambar 5.2 Gelombang jatuh tegaklurus pada medium menghantar

Untuk permasalahan ini, maka (5.18) mengambil bentuk berikut

∂ 2 Ex − jωμ0σ Ex = 0 ∂z 2

(5.19)

dimana solusinya adalah E x = E0 e

− j ωμ0 σ z

(5.20)

Eksponen disederhanakan menjadi:

γ=

jωμ0σ = (1 + j )

ωμ0σ 2

(5.21)


Jadi, kini γ punya bagian riil dan imajiner sama. Selanjutnya gelombang bisa dinyatakan sebagai

Ex = E0e−α z e− j β

z

dengan α = β =

ωμ0σ 2

dan bisa juga kita tuliskan sebagai −z

Ex = E0e

δ

− jz

e

(5.22)

δ

Persamaan terakhir memberikan factor kedalaman kulit: δ=

2 1 1 = = ωμ0σ α β

(5.23)

Di permukaan, pada z = 0 kita punya Ex=E0 dan pada kedalaman kulit z = δ diperoleh Ex=E0/e. Artinya, medan meluruh sebesar 1/e atau 36.8% dari nilainya di permukaan. Perluruhan kuat medan ini diilustrasikan pada Gambar 5.3 berikut ini

Gambar 5.3 Peluruhan kuat medan listrik saat memasuki medium menghantar

Sebagai gambaran, untuk tembaga dengan σ = 5.8x107 S/m diperoleh 2 6.61×10−2 . δ= = ωμ0σ f

Maka pada frekuensi

60Hz

tembaga memiliki

kedalaman kulit δ=8.5x10-3 m, pada f=1MHz δ=6.6x10-5 m dan pada f=30GHz, diperoleh δ=3.8x10-7 m. Sebaliknya air laut memiliki konduktivitas σ = 4 S/m, 2.52 ×102 sehingga δ = . Maka pada f=1 kHz air laut memiliki δ=7.96m. inilah f

alasan mengapa kapal selam memakai frekuensi gelombang EM yang sangat rendah (ULF) untuk berkomunikasi.


Gambar 5.4 Komunikasi kapal selam dengan ULF

5.4 Impedansi karakteristik bahan Impedansi karakteristik bahan didefinisikan seperti pada definisi impedansi sebelumnya, yakni

Zm =

μ0 μ0 = σ εc ε− j ω

(5.24)

Tetaapi disini arus hantaran sangat dominan. Konsekuensinya adalah suku kedua pada penyebut (denominator) menjadi sangat besar. Dengan pendekatan ini diperoleh akan diperoleh

Z m = (1 + j )

ωμ0 1 + j = σδ 2σ

(5.25)

Sebagai contoh, tembaga pada frekuensi 10GHz

memiliki impedansi

karakteristik sebesar Zm= 0.026(1+j) Ω.

Pantulan pada antarmuka logam-udara adalah ρ =

Zm − Z0 ≈ −1 karena Z m << Z 0 . Zm + Z0

Juga kita catat bahwa, ketika →σ ∞, Zm→ 0 dan bahwa ρ= -1 pada penghantar sempurna. Sehingga syarat batas terpenuhi. Koefisien transmisi pada logam diberikan oleh τ = 1+ρ.


Bahan dapat berperilaku baik sebagai dielektrik maupun sebagai penghantar, bergantung pada frekuensi kerja. Dari persamaan Maxwell bentuk harmonik kita dapatkan

∇ × H = σ E + jωε E

Pada ruas kanan, suku pertama menyatakan rapat arus konduksi sedangkan suku kedua menyatakan rapat arus perpindahan. Disini akan ada tiga kemungkinan sifat bahan, yakni:

εω >> σ : arus perpindahan >> arus penghantar ⇒ dielektrik εω ≈ σ : arus perpindahan ≈ arus penghantar

⇒ kuasi-konduktor

εω << σ : arus perpindahan << arus penghantar ⇒ konduktor Untuk keperluan praktis, aturan yang bisa dipkai untuk menentukan sifat-sifat bahan adalah sebagai berikut Dielektrik:

σ 1 < ωε 100

(5.26.a)

Kuasi-konduktor:

1 σ < < 100 100 ωε

(5.26.b)

Konduktor:

100 <

σ ωε

(5.26.c)

Gambar 5.5 menunjukkan batas-batas sifat ini untuk beberapa jenis bahan, yakni: tanah, air laut, dan tembaga.

Gambar 5.5 Daerah konduktor, kuasi-konduktor dan dielektrik dari beberapa material


Kasus Umum Dari hasil sebelumnya telah diperoleh

⎡ σ ⎤ ⎥ γ 2 = jωμσ − μεω 2 = −ω 2με ⎢1 + ⎢⎣ jωε ⎥⎦ Jika γ = α+jβ, kuadratkan dan samakan bagian riil/imajiner lalu dipecahkan untuk α dan β. maka akan diperoleh:

1

2 ⎧ ⎡ ⎤⎫ 2 ⎪ ⎪ ⎛ σ ⎞⎟ ⎪ ⎪ 1⎢ ⎥ ⎪ ⎪ α = ω με ⎨ ⎢ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎬ ⎪2 ⎢ ⎝⎜ ωε ⎠ ⎥ ⎪⎪ ⎦⎭ ⎪⎪ ⎣ ⎪ ⎩

Np/m

(5.27)

rad/m

(5.28)

1

2 ⎧ ⎡ ⎤⎫ 2 ⎪ ⎪ ⎛ σ ⎞⎟ ⎪ ⎪ 1⎢ ⎥ ⎪ ⎪ β = ω με ⎨ ⎢ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1⎥ ⎬ ⎪2 ⎢ ⎝⎜ ωε ⎠ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎦⎪ ⎪ ⎣ ⎭

Dengan ekspansi binomial dan penyederhanakan, kita akan mendapatkan pendekatan nilai α, β dan Z sebagai berikut Besaran

α

Dielektrik yang baik

σ μ 2 ε

Penghantar yang baik

ωμσ 2

β

ω με

ωμσ 2

Zw

μ ε

ωμ (1 + j ) 2σ

5.5 Gelombang Datar di Perbatasan Medium Tinjau suatu gelombang berjalan ke arah +z dengan polarisasi linier (pada arah-

x) dan (magnitude) kuat medan listrik Ei. Kita akan meninjau perilaku gelombang di perbatasan dua buah medium dengan menganalisis medan-medan listrik dan megnetnya, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 5.6.


Gambar 5.6 Gelombang datar jatuh pada batas dua medium

Ada beberapa syarat batas yang harus dipenuhi oleh medan-medan di perbatasan tersebut, diantaranya adalah kontinyuitas medan tangensial di perbatasan:

Ei + Er = Et

(5.29)

Hi + H r = Ht

(5.30)

Terlebih dahulu didefinisikan impedansi berikut

Ei = Z1 Hi

Er = − Z1 Hr

Et = Z2 Ht

(5.31)

Substitusi ke (5.29) dan (5.30) dan eliminasi Er akan memberikan

τ=

Et 2Z 2 = Ei Z1 + Z 2

(koefisien transmisi)

(5.32)

Dengan cara sama, substitusi ke (5.29) dan (5.30) dan eliminasi dan eliminasi Et akan menghasilkan

ρ=

Er Z 2 − Z1 = Ei Z 2 + Z1

(koefisien pantulan)

(5.33)


Kita perhatikan bahwa τ = 1+ρ. Proses pantulan ini serupa dengan yang terjadi pada saluran transmisi. Pengertian koefisien transmisi dan koefisien pantulan diperjelas dengan Gb 5.7. Selanjutnya akan beberapa kasus khusus.

Gambar 5.7 Koefisien pantulan dan transmisi

(1) Medium 1: udara; Medium 2: penghantar Z1 = 377Ω

>>

Jadi Et = τ Ei ≈

Z2 = Zm =

1+ j

σδ

2Z 2 Ei . Z1

Lalu, gunakan H t =

Et 2 ⇒ H t = Ei ≈ 2 H i Z2 Z1

(5.34) (5.35) (5.36)

Persamaan ini mengatakan bahwa medan magnetik yang diteruskan hampir bernilai dua kali yang datang sebelum akhirnya meluruh sesuai nilai kedalaman kulit. Di sisi pantulan Hi ≈ Hr yang berarti bahwa hampir seluruh medan-H dipantulkan dan membentuk gelombang berdiri. (2) Medium 1: penghantar; Medium 2: udara Situasi menjadi sebaliknya, kini gelombang datang dari sisi konduktif. Dapat kita tunjukkan bahwa gelombang hampir seluruhnya dipantulkan didalam konduktor, tetapi gelombang berdiri mengalami pelemahan akibat konduktivitas medium. (3) Medium1: dielektrik; Medium2: dielektrik


Z1 =

μ0 , ε1

Z2 =

μ0 ε2

⇒

ρ=

ε1 −1 ε2

(5.37)

ε1 +1 ε2

Hasil ini mengatakan bahwa pantulan dapat dikendalikan dengan mengubah nisbah konstanta dielektrik. Analogi dengan saluran transmisi dapat dipakai untuk membuat peralatan penyesuai seperempat-gelombang.

Gambar 5.8 Penyesuaian impedansi dengan keping λ/4 Penyesuaian gelombang dapat dilakukan dengan keeping penyesuai λ/4. Gambar 5.8 menunjukkan suatu contoh kasus penyesuaian impedansi. Menurut teori saluran transmisi, agar terjadi matching maka haruslah Z p = Z 0 Z 2 . Karena

Z0

Z 0 = 376.7Ω,

Z2 =

Z p = 266Ω

dan ε r' =

εr

=

376.7 = 188Ω , maka 2

Z0 =2 Z2

Prinsip penyesuaian λ/4 tidak hanya berlaku dalam permasalahan saluran transmisi. Sesungguhnya prinsip yang sama dipakai untuk menghilangkan pantulan pada berbagai peralatan optik dengan memakai lapisan coating λ/4 pada lensa dan prisma untuk meningkatkan efisiensi transmisi cahaya. Dengan cara sama, irisan setengah gelombang dapat dipakai sebagai jendela dielektrik. Yakni, transparansi secara penuh. Disini Z2=Z0 dan bagian penyesuai


adalah λ/2. Peralatan demikian dipakai untuk melindungi antena dari cuaca, es, salju dsb dan disebut radome (Gambar 5.9).

Gambar 5.9 Radome harus dedesain dengan prinsip penyesuai impedansi

Perlu diingat bahwa kedua aplikasi tsb sensitif terhadap frekuensi dan bahwa bagian penyesuai bernilai λ/4 or λ/2 pada satu nilai frekuensi saja. 5.6 Gelombang Jatuh Miring Analogi saluran transmisi dng pantulan gelombang datar hanya terjadi pada gelombang jatuh tegak lurus. Jika gelombang jatuh miring, maka karakteristik pantulan dan transmisi akan bergantung pada polarisasi dan sudut datang. Di sini harus dibedakan dua kasus polarisasi. Pertama-tama akan dijelaskan perilaku gelombang datang, lalu perbedaan setiap jenis polarisasi. Tujuan kita adalah menentukan koefisien pantulan. Sekali lagi perlu diingat bahwa kita hanya berurusan dengan gelombang datar.


Gambar 5.10 Geometri untuk analisis gelombang jatuh miring

Gambar 5.10 menunjukkan geometri yang akan dipakai dalam analisis. Lebih lanjut lagi, bidang gelombang datang adalah bidang x-y dan E dapat sejajar atau tegak lurus bidang gelombang datang. Untuk jelasnya, kedua kasus ini diberikan dalam Gambar 5.11.

Gambar 5.11 Medan listrik (a) parallel dan (b) tegak lurus bidang datang

Untuk medan listrik yang tegak lurus bidang datang, analisis medannya adalah sebagai berikut. Untuk gelombang jatuh, maka berlaku

ˆ 0 exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θi + y cos θi )⎤⎦ Ei = zE

H i = (−xˆ cos θi + yˆ sin θi )

(5.38.a)

E0 exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θi + y cos θi )⎤⎦ Z1

(5.38.b)

Sedangkan gelombang pantulnya

Er = zˆρ⊥ E0 exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θr − y cos θr )⎤⎦

(5.39.a)


H r = ( xˆ cos θr + yˆ sin θr )

ρ⊥ E0 exp ⎡⎣ jβ1 ( x sin θr − y cos θr )⎤⎦ Z1

(5.39.b)

dan gelombang yang diteruskan akan berbentuk

Et = zˆτ ⊥ E0 exp ⎡⎣ jβ2 ( x sin θt + y cos θt )⎤⎦ H t = (−xˆ cos θt + yˆ sin θt )

(5.40.a)

τ ⊥ E0 exp ⎡⎣ jβ2 ( x sin θt + y cos θt )⎤⎦ Z2

(5.40.b)

Hubungan berbagai komponen medan diperlihatkan pada Gambar 5.12.

Gambar 5.12 Hubungan berbagai komponen medan di perbatasan

Arti ekspresi matematika dalam (5.38), (5.39), dan (5.40) adalah sebagai berikut. Argumen dalam eksponensial menyatakan arah perambatan gelombang. Jadi untuk medan listrik/magnet dari gelombang datang Ei dan Hi

Diluar eksponensial menyatakan komponen vektor dari medan ybs misalnya untuk Hr

Selanjutnya diterapkan syarat batas: Medan E tangensial (Ez), match pada y=0 Medan H tangensial (Hx), match pada y=0


Maka akan didapatkan exp ( jβ1 x sin θi ) + ρ⊥ exp ( jβ1 x sin θr ) = τ ⊥ exp ( jβ2 x sin θt )

(5.41)

Kita tahu bahwa τ =1+ ρ, sehingga argumen dari eksponen haruslah bernilai sama. Kadang-kadang ini disebut sebagai phase-matching dalam optika. Hal ini ekivalen dengan menerapkan syarat batas.

jβ1 sin θi = jβ1 sin θr = jβ2 sin θt

(5.42)

Persamaan pertama menghasilkan

θr = θi ,

(5.43)

dan dari yang kedua, karena β = sin θt =

μ1ε1 sin θi μ2ε2

2π λ (5.44)

Dengan matching komponen Hx dan menggunakan hukum Snell,

kita

mendapatkan koefisien pantulan Fresnel untuk gelombang dengan medan E tegak lurus bidang datang

ρ⊥ =

Z 2 cos θi − Z1 cos θt Z 2 cos θi + Z1 cos θt

(5.45)

Hukum Snell bisa dipakai untuk menghilangkan θt dan menuliskannya dalam sudut datang, di saat yang sama diasumsikan medium non-magnetik (μ= μ0 untuk kedua media)

cos θi − ρ⊥ =

ε2 − sin 2 θi ε1

ε cos θi + 2 − sin 2 θi ε1

(5.46)


Kedua bentuk akan sama dengan pada kasus saluran transmisi saat

θi=0.

Bentuk terakhir inilah yang paling sering terdapat di textbook, bentuk terdahulu bersifat lebih umum. Dari persamaan tersebut kita dapatkan hasil-hasil pengamatan berikut ini:

•

Jika ε2 > ε1 , maka akar pangkatnya positif,

•

Jika ε1> ε2 , maka gelombang merambat dari medium lebih rapat ke kurang rapat DAN

sin 2 θi ≥

ε2 , maka ρ⊥ kompleks dan ε1

ρ⊥ = 1 . Hal ini menyebabkan gelombang

datang mengalami pantulan total internal ke medium yang lebih rapat. Jika kesamaan terpenuhi, kita mendapatkan sudut kritis. Dengan kata lain, jika sudut datang lebih dari atau sama dengan sudut kritis dan gelombang merambat dari medium yang tapat ke kurang rapat, akan terjadi pantulan total internal.

θic = sin −1

ε2 ε1

(5.47)

Untuk θi> θic , maka ρ⊥ = 1 seperti sebelumnya. Kita juga mendapatkan hasilhasil ”aneh” berikut ini.

sin θt =

ε1 sin θ i karena ε1 > ε 2 ε2

cosθt = 1 − sin 2 θt = jA dimana A =

⇒

sin θt > 1 !

cos θt imajiner!

ε1 2 sin θi − 1 ε2

Apa arti fisis hasil ini? Untuk melihatnya, kita kembali ke ekspresi medan yang diteruskan dan menggantikan ke hasil di atas. Sebelumnya


Et = zˆτ ⊥ E0 exp ⎡⎣ j β 2 ( x sin θt − y cosθt ) ⎤⎦ = zˆτ ⊥ E0 exp [ j β 2 x sin θ t ] exp [ −α y ]

dimana α = β 2 A = ω μ2ε 2

ε1 2 sin θi − 1 ε2

Secara fisis, nampak bahwa medan yang diteruskan merambat sepanjang permukaan (arah –x) tetapi melemah pada arah +y. Gelombang semacam ini disebut sebagai medan gelombang permukaan.

Gambar 5.13 Pantulan total

Kita mengasumsikan εr = 81, σ = 0 dan μr = 1. Mis θi = 45° tentukan

θic = sin −1

1 = 6.38° . Dengan demikian θi > θ ic , yakni diperoleh pantulan total. 81

Selanjutnya, dengan hukum Snell sin θt =

81 sin 45° = 6.38 1

cosθt = ± j 81sin 2 45° − 1 = + j 6.28

(dilih tanda +untuk atenuasi pd

arah +y)

α = β2 A =

2π

λ0

6.28 =

39.5

λ0

Nep / m


1 − 0.5 81 τ = 1 + ρ⊥ = 1 + = 1.42∠ − 44.6° 1 0.707 + − 0.5 81 0.707 −

Ini

berarti

bahwa

jika

kuat

medan

di

permukaan

1V/m,

maka

Et = τ Ei = 1.42Vm -1 . Kita tentukan medan E yang diteruskan pada λ/4 diatas

permukaan

⎡ −39.49 λ0 ⎤ ⎥ = 73.2μVm−1 Et = 1.42exp ⎢ ⎢ λ0 4 ⎥⎦ ⎣ ⎛ 73.2 ×10−6 ⎞⎟ ⎟ = −85.8dB = 20log ⎜⎜ ⎜⎝ 1.42 ⎠⎟⎟

Ini berarti bahwa gelombang permukaan terikat secara kuat pada permukaan dan aliran daya pada arah tegak lurus permukaan adalah nol. 5.7 Gelombang Terolarisasi Parallel Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, kita bisa melakukan analisis pada gelombang dng medan E sejajar bidang datang gelombang. Koefisien pantulan Fresnel adalah

ρ =

Z 2 cos θt − Z1 cos θi Z1 cos θi + Z 2 cos θt

(5.48)

Atau, untuk bahan non-magnetik

− ρ =

ε2 ε cos θi + 2 − sin 2 θi ε1 ε1

ε2 ε cos θi + 2 − sin 2 θi ε1 ε1

(5.49)

Untuk polarisasi parallel, ada kemungkinan pantulan dibuat nol. Dalam kasus demikian, maka


ε2 ε cosθ i = 2 − sin 2 θi , atau ε1 ε1

ε 2 ε1 1 + ε 2 ε1

sin θi =

karena

tan −1 x = sin −1

θi = θ B = tan −1

x 1 + x2

, maka

ε2 ε1

(5.50)

Disini θi adalah sudut Brewster dan transmisi sempurna terjadi pada sudut ini.

Gambar 5.14 Perhatikan bahwa delombang dng polarisasi paralel mengalami lompatan fasa sebesar π pada θB B

Kadangkala sudut Brewster ini disebut sbg sudut pemolarisasi karena gelombang datar yang terdiri dari gelombang dengan polarisasi

paralel dan

tegaklurus (mis. pada polarisasi sirkuler) yang jatuh pada sudut Brewster, maka hanya polarisasi tegaklurus saja yang dipantulkan. Komponen gelombang dengan polarisasi paralel akan diteruskan seluruhnya. Fenomena ini dipakai dalam optika (atau teknik gelombang mikro) untuk mengubah radiasi sirkuler menjadi linier.


Gambar 5.15 Gelombang datar merambat di ruang hampa

Gambar 5.15 berikut ini menggambarkan gelombang datar yang merambat di ruang hampa, dengan kuat medan listrik sebesar 1.2π mV/m dan kuat medan magnet 10μA/m. Perhatikan bahwa E tetap berada di bidang x-z, E terpolarisasi pada arah-x. 5.8 Polarisasi Gelombang Polarisasi menggambarkan perilaku berubah-waktu dari vektor E pada suatu G ˆ x , ini berarti gelombang terpolarisasi pada arah x. titik dalam ruang. Jika E = xE G ˆ x + yE ˆ y dan Ex= Ey, maka gelombang E = xE Sedangkan jika terpolarisasi linier pada sudut 45°. Perhatikan bahwa definisi lain bagi H tidak diperlukan. Contoh diatas menunjukkan bahwa arah E konstan terhadap waktu. Akan tetapi, pada beberapa kasus, arah E berubah terhadap waktu. Tinjau superposisi 2 gelombang terpolarisasi linier, satu pada arah-x dan yang lain pada arah-y, tetapi berbeda fasa waktu (tertinggal) sebesar π/2. G ˆ 1 ( z ) + yE ˆ 2 ( z ) = xE ˆ 10e− jkz − yjE ˆ 20e− jkz E ( z ) = xE

(5.51)

Ekspresi sesaat untuk E(z) ditentukan dengan mengalikan dengan exp{jωt} dan mengambil bagian riil-nya


G ˆ 1 ( z ) + yE ˆ 2 ( z )⎤⎦ e jωt } E ( z , t ) = Re {⎡⎣ xE

(5.52)

Penjabaran persamaan tersebut lebih lanjut menghasilkan

G ⎛ π⎞ ˆ 10 cos (ωt − kz ) + yE ˆ 20 cos ⎜⎜ωt − kz − ⎟⎟ E ( z , t ) = xE ⎜⎝ 2 ⎠⎟

(5.53)

Perlu diperhatikan bagaimana arah E berubah terhadap t. Ambil referensi, misalnya z=0

G ˆ 10 cos (ωt ) + yE ˆ 20 sin (ωt ) E ( z , t ) = xE

(5.54)

Sementara kita ambil E10 = E20, dan menggambarkan arah E untuk berbagai ωt. Pada ωt=0, E menarah ke +x, kemudian saat ωt=π/2 E mengarah ke +y, dan saat ωt=π E mengarah ke

-x.. Terlihat bahwa medan listrik berputar

berlawanan arah jarum jam. Karena E10 = E20 gelombang terpolarisasi sirkuler. Dengan cara yang sama, jika komponen-y mendahului 90° kita akan mendapatkan E yang berputar searah jarum jam.

(a)

(b)

Gambar 5.16 Polarisasi sirkuler dengan arah putar: (a) berlawanan arah jarum jam (CW) dan (b) searah jarum jam (CCW)


Untuk kasus lain dimana E10≠E20, atau pergeseran fasa tidak tepat sebesar π/2 (mendahului atau tertinggal), maka gelombang akan terpolarisasi secara eliptik (Gambar 5.17).

(a)

(b)

Gambar 5.17 Polarisasi eliptik (a) medan dan (b) sumbu major/minor

Dalam polarisasi eliptik dikenal faktor AR (axial ratio) yang didefinisikan sebagai

Axial ratio (AR) =

major axis minor axis

1 ≤ AR ≤ ∞

Gambar 5.17(b) menjelaskan kedua sumbu ini. 5.9 Teorema Poynting Gelombang EM yang merambat akan membawa energi. Secara intuitif, kita bisa memahami bahwa aliran energi ini searah dengan arah perambatan gelombang. Vektor Poynting adalah suatu besaran yang berhubungan dengan kuantitas dan arah energi gelombang EM. Karena gelombang EM memiliki komponen E dan H, tentu vektor Poynting akan merlasikan kedua medan ini kedalam energinya. Akan ditinjau terlebih dahulu kedua buah komponen medan dalam gelombang EM. Dengan melihat satuan atau dimensinya, kita ingat bahwa medan E berdimensi V/m sedangkan medan H berdimensi A/m. Hasil perkalian keduanya akan berdimensi VA/m2 atau W/ m2, yakni besarnya daya persatuan luas. Lebih lanjut lagi, persamaan Maxwell memberikan nilai pusaran E dan H (setalah konversi melalui hubungan kuantitatif untuk B) sebagai berikut:


r r ∂H ∇ × E = −μ ∂t

(5.55)

r r r ∂E ∇× H = J +ε ∂t

(5.56)

Dengan memakai identitas dari kalkulus vektor berikut G G G G G G ∇⋅ A × B ≡ B ⋅ ∇× A − A ⋅ ∇× B

(

)

(

)

(

)

(5.57)

lalu kita substitusikan A = E dan B = H, maka G K G G G G ∇⋅ E × H ≡ H ⋅ ∇× E − E ⋅ ∇× H

(

)

(

)

(

)

G G K ∂H G G G ∂ E = −H ⋅ μ − E⋅ J − E⋅ε ∂t ∂t =−

G G μ ∂ G G ε ∂ G G H ⋅H − E⋅E −E⋅ J 2 ∂t 2 ∂t

=−

∂ ⎛⎜ 1 2 1 2⎞ 2 ⎜⎜⎝ εE + μ H ⎟⎠⎟⎟ − σ E ∂t 2 2

(

)

(

)

Kemudian kita integrasikan hasil terakhir ke seluruh volume V

G

G

∫ ∇⋅ ( E × H )

dV = −

V

∂ ⎜⎛ 1 2 1 2⎞ 2 ⎜⎜⎝ ε E + μ H ⎠⎟⎟⎟ dV − ∫ σ E dV ∫ 2 ∂t V 2 V

(5.58)

Sisi kiri dari persamaan tesebut ekivalen dengan integral permukaan

G G ∇⋅ E × H

∫ ( V

)

dV =

G

G

G

∫v ( E × H ) ⋅ dS S

yang menyatakan menyatakan daya yang keluar dari volume melalui permukaan S. Suku pertama ruas kanan adalah laju perubahan energi listrik dan magnet pada medan sedangakan suku kedua ruas kana menyatakan disipasi daya dalam volume. Secara keseluruhan, ruas kanan pada persamaan tersebut menyatakan penurunan daya netto.


Vektor Poynting adalah vector yang mengambarkan aliran daya , baik besar maupun arahnya, yang diambil dari sisi persamaan, yakni

G G G S = E×H

(vektor Poynting)

(5.59)

Jika kita tuliskan,

1 1 r r we = ε E 2 = ε E ⋅ E ∗ 2 2

Rapat energi listrik: (5.60.a)

1 1 r r μH 2 = μH ⋅ H ∗ 2 2

Rapat energi magnetic:

wm =

Rapat daya ohmic:

Pσ = σ E = 2

J2

σ

(5.60.b)

r r r r∗ J ⋅ J ∗ =σE⋅E =

σ

(5.60.c)

Maka persamaan (5.58) dapat dituliskan sebagai berikut

⎫ G G ∂⎧ ⎪ ⎪ −∫ S ⋅ dS = ⎪⎨∫ ( we + wm ) dV ⎪⎬ + ∫ Pσ dV ⎪ ∂t ⎪ ⎪ ⎪ S ⎩V ⎭ V

(5.61)

dan dapat ditafsirkan sebagai Daya mengalir KEDALAM per-

laju peningkatan = energi listrik dan

mukaan saat tertentu

magnet tersimpan

daya ohmic + yg didisipasi dalam V

Sejauh ini kita hanya membahas vektor Poynting umum. Tetapi, yang akan kita pakai adalah medan harmonik-waktu. Kita perlu mengevaluasi daya rata-rata, dan karena medan bersifat harmonik waktu, kita bisa memperoleh harga rataratanya dengan mengintegrasikannya didalam satu perioda.


Dari hasil sebelumnya, kita ingat cara mencari nilai sesaat adalah, kalikan dengan exp{jωt) dan kemudian ambil bagian riil-nya. Tetapi, kita harus hati-hati karena akhirnya akan diperoleh hasil berupa suku kosinus dan menangani hasil campurannya (tdk linier). Begitu vektor Poynting berubah-waktu diperoleh, nilai rata-ratanya

ditentukan dengan integrasi paa satu perioda.

Maka

hasilnya adalah

G G G G G 1 Pav = Sav (r ) = Re E × H ∗ 2

{

}

(5.62)

Sebagai contoh, tinjau m,edan di suatu titik R dalam ruang yang ditimbulkan oleh arus vertikal elementer (antena) sepanjang dl di titik pusat koordinat bola yang diberikan oleh:

K 60π Id A E = Eθ θˆ = j sin θ e− jβ Rθˆ , λR

dan

G Id A sin θ e− jβ Rφˆ H = H φφˆ = j 2λ R Maka vektor Poynting sesaat adalah:

G S ( R, t ) = Re θˆ Eθ ( R, θ ) e jωt × Re φˆ H ( R, θ ) e jωt

{

}

{

}

⎛ Id A ⎞⎟ = θˆ × φˆ 30π ⎜⎜ sin 2 θ sin 2 (ωt − β R ) ⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟ 2

⎛ Id A ⎞⎟ = rˆ15π ⎜⎜ sin 2 θ ⎡⎢1 − cos (2 {ωt − β R})⎤⎥ ⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟ ⎣ ⎦ 2

G G G G G 1 Diperoleh rapat daya rata-ratanya, dengan memakai Pav = S av (r ) = Re E × H ∗ , 2

{

}

adalah 2 G ⎛ Id A ⎞⎟ sin 2 θ S av ( R ) = rˆ15π ⎜⎜ ⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟

W/m 2


Ini adalah rata-rata waktu dari S(R,t). Untuk mendapatkan daya total kita harus mengintegrasi Sav(R) ke seluruh bola. Dengan demikian 2 G G 2π π ⎛ Id A ⎞⎟ 2 2 ⎜ S dS Total Daya = ∫ ⋅ = 15 π v av ∫ ∫ ⎜⎜⎝ λ R ⎠⎟⎟ sin θ R sin θ d θdφ S 0 0

⎛dA ⎞ = 40π 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎟ I 2 ⎜⎝ λ ⎠ 2

Hasil ini akan kita bahas lebih mendalam lagi dalam pembahasan antenna dan radiasi EM.


5. Gelombang Datar ( ) ( ) ( )

Recommend Documents