Gelombang Datar Serbasama. Oleh : Eka Setia Nugraha, ST,MT

Gelombang Datar Serbasama Oleh : Eka Setia Nugraha, ST,MT

Organisasi Gelombang Datar Serbasama • A. Pendahuluan

page 3

• B. Penurunan Persamaan Gelombang

page 5

• C. Persamaan Gelombang

page 13

• D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

page 16

• E. Gelombang Datar Pada Ruang Hampa

page 21

• F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna

page 24

• G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik

page 27

• H. Polarisasi Gelombang

page 31

2

A. Pendahuluan Gelombang adalah suatu fenomena alamiah yang terjadi dalam dimensi ruang dan waktu. Gelombang dapat diperhatikan sebagai ‘gangguan’ yang merambat dengan kecepatan tertentu. Jika gangguan tersebut merambat ke satu arah, maka disebut sebagai gelombang 1-D. Contohnya adalah gelombang datar ( plane wave ).

3

Pendahuluan

Uniform Plane Wave Gelombang EM yang dipancarkan suatu sumber , akan merambat ke segala arah. Jika jarak antara pengirim dan penerima sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan dapat dianggap sebagai sumber titik dan muka gelombang akan berbentuk suatu bidang datar. Muka gelombang adalah titik-titik yang memiliki fasa yang sama. Amplitude medan pada bidang muka gelombang untuk medium propagasi yang serbasama adalah bernilai sama pula, karena itu disebut sebagai gelombang uniform / serbasama Hampir berbentuk bidang datar

4

B. Penurunan Persamaan Gelombang Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan. Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan

Pada Dielektrik Merugi… 0 V  0 r  1 r  1

Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik merugi :

     Es   j Hs      Hs    j Es     Es  0     Hs  0

Perubahan E dan H sinusoidal , dengan pertimbangan bahwa perubahan periodik lain spt segitiga, persegi dsb dapat didekati dengan pendekatan Fourier

5

Penurunan Persamaan Gelombang      Es   j Hs

     Hs    j Es

    Es  0

    Hs  0

Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi. Dari identitas vektor





       2     Es      Es   Es     Es  0

    2     Es   Es Didapatkan Persamaan Diferensial Vektor Gelombang Helmholtz, sbb :

Dari pers. Maxwell I

         Es   j   HS

     H s    j Es

        Es   j   j Es

 2   Es  j   j Es

6

Penurunan Persamaan Gelombang

 2   Es  j   j Es

Atau dapat dituliskan sbb :

 2  2  Es   Es Dimana , 2 = j ( + j)  disebut sebagai Konstanta propagasi

Kemudian, dengan uraian bahwa : 2 2 2 2 2 2   E  E  E ys      2 E zs  2 E zs  2 E zs   E  E  E ys ys 2 xs xs xs  Es   2   aˆ   2   aˆ   2   aˆ 2 2  x 2 2  y 2 2  z y z  y z  y z   x  x  x Komponen x Komponen z Komponen y Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub kasus pemisalan :

E y  Ez  0  E ys  Ezs  0

7

Penurunan Persamaan Gelombang

 2   Es  j   j Es E y  Ez  0  E ys  Ezs  0

2   2 E xs  2 E xs  2 E xs  Es     j   j E s 2 2 2 x y z Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan diferensial biasa sbb :

 E xs  j   j E xs 2 z 2

  E xs 2   E xs 2 z 2

atau

8

Penurunan Persamaan Gelombang  2 Exs 2 Solusi persamaan diferensial   Exs dapat dituliskan : 2 z  z 2 = j ( + j) dimana, xs x0  =  + j = Konstanta propagasi

E E e

Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :





 E(t )  Re E x 0 e j z e jt aˆ x

Ingat kembali perubahan dari bentuk fasor ke bentuk waktu !!

  z E(t )  E x 0 e cost  z aˆ x

  konstanta propagasi    j   j  j   j  1  j 

9

Penurunan Persamaan Gelombang Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :

     Es   j Hs

aˆ x aˆ y aˆ z   E xs    E xs 1  aˆ y   j 0 H ys H ys   aˆ y x y z z j 0 z E xs 0 0  E x 0 z   impedansi intrinsik    H e cost  z aˆ y  Ex j  1 

Hy



  j





 1 j 

10

Penurunan Persamaan Gelombang

Loss Tangent Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

 tan   

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi terhadap rapat arus pergeseran

Nilai-Nilai Pendekatan   0,1 Untuk 

   2          1  j     

11

 E

Penurunan Persamaan Gelombang Arah perambatan gelombang

 P

 H

Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah kita dapatkan,

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

 E x 0 z Ht   e cos t  z   aˆ y 

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM). Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa

12

C. Persamaan Gelombang Persamaan umum gelombang berjalan  =  + j = Konstanta Propagasi

Amplituda medan

 = konstanta redaman (neper/meter)  = konstanta fasa (radian/meter)

  z E  E xo e cost  z aˆ x Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z positif. Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu-z negatif

 Volt     meter 

Gelombang bergetar searah sumbu-x 13

Persamaan Gelombang Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah sumbu-x negatif , dan bergetar searah sumbu-z. Diketahui amplitudo gelombang adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz Jawab : Frekuensi = 1 MHz = 106 Hertz

Konstanta fasa = 2 (radian/m), merambat ke sumbu-x negatif Bergetar searah sumbu-z

 2x 6 H  100 e cos 210 t  0,5x aˆ z





 A  m  

Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu-x negatif Amplitudo = 100 (A/m)

14

D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

    D H  J  t

Dengan substitusi,

   B E   t     B  H D  E

Kedua ruas dikalikan dengan E

       D E  H  J  E  E  t





Dengan Identitas vektor

         D   EH  H  E  J  E  E  t





       E  H    E  H  J  E  E   H  t t





   E   E 2   H   H 2   H   E      t t  2  t t  2 





      E 2 H 2      E  H  J  E    t  2 2  15





      E 2 H 2      E  H  J  E    t  2 2 

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

Kedua ruas diintegrasikan terhadap seluruh volume





      E 2 H 2   dV     E  H dV   J  E dV     t  2 2  V V V Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :





      E 2 H 2   dV   E  H  dS   J  E dV     t V  2 2  S V

Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi daya total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)

Ruas kanan : Integrasi suku pertama menunjukkan disipasi ohmik Integrasi suku kedua adalah energi total yang disebabkan/ tersimpan dalam medan listrik dan medan magnetik pada volume tersebut, kemudian turunan parsial terhadap waktu menyatakan daya sesaatnya 16

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya

 Didefinisikan Vektor Poynting = P  E

   P  EH

Arah perambatan gelombang

 P

 H

 E

Pz aˆ z  E x aˆ x  H y aˆ y

 H 17

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya Peninjauan Daya ... Misalkan :

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x  E x 0 z Ht   e cos t  z   aˆ y 

Maka,

   P  EH E x 0  2 z  Watt   e cos t  z  cos t  z    aˆ z  2   m   2

E x 0  2 z  e cos   cos 2t  2z    aˆ z 2 2

 Watt   2   m 

18

Vektor Poynting dan Peninjauan Daya Daya Rata-Rata ... T

Pz ,av

2

E x 0 2z 1   Pz dt  e cos  T0 2 • Terjadi redaman kerapatan daya seharga

e 2z

• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos  yang juga menentukan kerapatan daya

19

E. Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa Untuk ruang hampa :

   0  4.107 H / m 

0

   0  8,854.1012 (F / m)

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

     Es   j Hs      Hs    j Es     Es  0     Hs  0 • Persamaan gelombang Helmholtz

 2   Es  j   j Es

Pada ruang hampa,

     Es   j 0 Hs      Hs  j 0 Es     Es  0     Hs  0

 2  2  Es   0 0 Es

20

Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa • Konstanta propagasi

Pada ruang hampa,

  j   j   j  1  j

  0  j 00

 

• Impedansi intrinsik

j          j 

1 1 j

 

• Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

0   3770o 0  E(t )  E x 0 cost  z aˆ x

• Persamaan medan magnet

 E x 0 z Ht   e cos t  z   aˆ y 

 Ex0 Ht   cost  z aˆ y 377

Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa • Bentuk Gelombang

Pada ruang hampa, E P

H

• Vektor Poynting

 E x 0 2 2z 2  E P e cos   cos2t  2z    aˆ z P  x 0 cos 2 t  z  aˆ z 2 377 • Daya rata-rata T

Pz ,av

2

E x 0 2z 1   Pz dt  e cos  T0 2

• Kecepatan gelombang

1 3.108 v   rr

2

Pz ,av

1 Ex0  2 377

 dt 

v  3.10 m 8

22

F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna Untuk dielektrik sempurna :

r  1

0

r  1

0

• Bentuk umum pada dielektrik merugi,

     Es   j Hs      Hs    j Es     Es  0     Hs  0

• Persamaan gelombang Helmholtz

 2   Es  j   j Es

Dielektrik sempurnan memiliki sifat dan karakteristik yang hampir sama dengan udara vakum

Pada dielektrik sempurna

     Es   j Hs      Hs  jEs     Es  0     Hs  0

 2  2  Es    Es

23

Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna • Konstanta propagasi

Pada dielektrik sempurna

  j   j 

  0  j 

  j  1  j  • Impedansi intrinsik

j          j 

1  1 j 

• Persamaan medan listrik

 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

• Persamaan medan magnet

 E Ht   x 0 e z cos t  z   aˆ y 

 r   377  r  E(t )  E x 0 cost  z aˆ x  E x0 r Ht   cost  z aˆ y 377  r

Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna • Bentuk Gelombang

Pada dielektrik sempurna E P

H

• Vektor Poynting

 E x 0 2 2z  Ex02 P e cos   cos2t  2z    aˆ z P  2 377

r cos 2 t  z  aˆ z r

• Daya rata-rata T

Pz ,av

2

2

E x 0 2z 1   Pz dt  e cos  T0 2

Pz ,av

1 Ex0  2 377

• Kecepatan gelombang

1 3.108 v   rr

3.108 v rr

r r 25

G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik Pada konduktor yang baik :

 r  1   r  1   0

  1 

• Konstanta propagasi

Pada konduktor yang baik

  j   j   j  1  j

  f  j f

 

Cobalah menurunkan sendiri !

• Impedansi intrinsik

j          j 

1 1 j

 

Didefinisikan “Skin Depth”

1 1 2  j  45o   

1 1 1    f  

26

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik Pada konduktor yang baik

• Persamaan medan listrik



 E(t )  E x 0 ez cost  z aˆ x

 z E( t )  E x 0 e  cos t  z

• Persamaan medan magnet

 aˆ

x





   z E x 0 z E x 0 .e  cos t  z   aˆ y Ht   e cos t  z   aˆ y Ht    4 2  Pada konduktor yang baik, intensitas medan magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8 siklus) terhadap intensitas medan listrik

Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik, kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi, sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :

J x ( t )  E x ( t )  E x 0 e

z





cos t  z

 

27

Propagasi Pada Konduktor Yang Baik Pada konduktor yang baik

• Vektor Poynting

 E x 0 2 2z P e cos   cos2t  2z    aˆ z 2 2z      2z     2  P E x 0 e cos  cos 2t    aˆ z 4  4  2   • Daya rata-rata T

Pz ,av

2

Ex0

E x 0 2z 1   Pz dt  e cos  T0 2

2

Pz ,av

2z  2 

1   E x 0 e 4

Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat daya pada bidang z =  adalah sebesar e-2 , atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada permukaan konduktor ( z = 0 ). 28

H. Polarisasi Gelombang Polarisasi adalah sifat GEM yang menjelaskan arah dan amplitudo vektor intensitas medan listrik (E) sebagai fungsi waktu pada bidang yang tegak lurus terhadap arah perambatannya. Macam-macam polarisasi : Linear, Sirkular (lingkaran), dan Ellips

29

Polarisasi Gelombang Kasus paling umum : Polarisasi

Eliptik

Terjadi untuk a, b, c, sembarang. Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah : a. Major Axis ( 2 x OA ) OA 

1 2 2 4 4 2 2 E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2  2 

b. Minor Axis ( 2 x OB ) OB 

1 2 2 4 4 2 2 E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2  2 

c. Tilt angle ( )

      n  dan E1  E 2 2 

n = 0, + 1, + 2, …dst

 2E x E y  1    arctan cos   2 2 E E  2 y  x 

d. Axial Ratio (AR )

AR 

Major axis OA  Minor axis OB

33

Polarisasi Gelombang

Polarisasi Sirkular

Polarisasi sirkular terjadi untuk :

      n  dan E1  E 2 2  n = 0, + 1, + 2, …dst

35

Polarisasi Gelombang Arah Polarisasi Perputaran

 E  f t , z  k

Searah jam (CW) GEM mendekat atau Berlawanan jam (CCW) GEM menjauh Searah jam (CW) GEM menjauh atau Berlawanan jam (CCW) GEM mendekat

Definisi klasik

Definisi IRE

Definisi Umum (IEEE)

Putar Kanan (Right Hand) RH

Putar Kiri (Left Hand) LH

Putar Kiri (Left Hand) LH

Putar Kiri (Left Hand) LH

Putar Kanan Putar Kanan (Right Hand) (Right Hand) RH RH

Polarisasi dapat ditinjau terhadap referensi tertentu, misalnya terhadap bumi, lantai pesawat, dsb. Bahkan terhadap polarisasi lain. • Polarisasi vertikal , E tegaklurus leferensi • Polarisasi horisontal, E sejajar bidang referensi • Polarisasi Silang ( cross polarization ), E tegaklurus terhadap E referensi 36 • Polarisasi Sejajar ( co-polarization ), E sejajar terhadap E referensi