Susunan Antena. Oleh : Eka Setia Nugraha S.T., M.T. Sumber: Nachwan Mufti Adriansyah, S.T., M.T

Susunan Antena Oleh : Eka Setia Nugraha S.T., M.T. Sumber: Nachwan Mufti Adriansyah, S.T., M.T.

A. Pendahuluan Dalam kuliah Medan Elektromanetika Telekomunikasi kita sudah mengenal penjumlahan/ superposisi medan. Telah dikenal bahwa medan total disuatu titik merupakan superposisi dari medan-medan yang datang dititik tersebut (medan-medan datang dan/atau medan pantul).    

E t  E1  E 2  E3  .....

Dalam hal antena, medan total (magnituda dan fasa) dari suatu susunan antena tergantung dari magnituda dan fasa dari medan-medan yang dihasilkan masing-masing elemen antena. Fasa dari medan-medan yang datang dari masing-masing elemen antena berbeda karena adanya perbedaan jarak yang ditempuh masing-masing gelombang. Jika perbedaan jarak tempuh dua buah gelombang adalah d , maka beda fasa antara kedua gelombang tersebut pada titik observasi adalah :

2    .d  d  2

A. Pendahuluan Contoh.. Lihat gelombang langsung dan gelombang pantul di bawah ini ..

A Tx B

h1 1

O

2

Rx

h2

Di penerima ( titik B ), medan total adalah penjumlahan / superposisi dari gelombang langsung dan gelombang pantul

Gelombang Langsung ( ES1 ) ( Melalui lintasan AB )

Gelombang Pantul ( ES2 ) ( Melalui lintasan AOB )

ES1  E 0e j1

ES2  E 0e j2

Beda fasa antara kedua gelombang,

  1  2   d 

2 AOB  AB 

 = konstanta fasa ( rad/m ) 3

A. Pendahuluan Persamaan medan totalnya menjadi...

E t  E S1  E S2  E 0e

j1

 e

 E 0e

 E 0 e j1  e j2  E0

j1

e

A

j 2



j1   

Tx



B

h1 1

O

2

Jika medan E1 dianggap sebagai referensi ( fasanya dianggap = 0 ), maka akan didapat persamaan :



E t  E0 1  e j



4

Rx

h2

A. Pendahuluan • Konsep Dasar Susunan

a. Susunan 2 antena isotropik untuk berbagai kasus ( amplitudo dan fasa sama, amplitudo sama fasa berbeda, amplitudo dan fasa berbeda ), meliputi : (1) persamaan medan total susunan, (2) penentuan letak medan maksimum dan minimum, (3) diagram arah medan dan fasa b. Prinsip perkalian diagram dan sintesa pada susunan antena sejenis, meliputi : syarat-syarat, teknik perkalian, dan sintesa

Susuna n Antena

• Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis a. Distribusi Arus Uniform, meliputi : penurunan persamaan medan total susunan, arah maksimum dan minimum, Array Factor, gain susunan, teknik desain antena b. Distribusi Arus Non Uniform, terdiri dari : (1) Susunan Binomial (2) Susunan Optimum (Dolph Tchebyschef), (3) Susunan Edge

• Macam-Macam Susunan

a. Susunan Distribusi Arus Kontinyu b. Susunan Antena Parasit c. Susunan Antena Log Perodik

• Pencatuan Susunan

5

B. Konsep Dasar Susunan B.1. Tujuan Membuat Susunan / Array Antena….. • Mendapatkan diagram arah dengan pola tertentu ( beam forming ) • Mendapatkan diagram arah dengan pengendalian arah tertentu ( beam steering )

B.2. Susunan 2 Sumber Titik Lihat susunan 2 sumber isotropis di bawah ini ! Isotropis Ke titik observasi pada medan jauh

y

d cos f 2

d cos f 2

0

1

d

garis dianggap sejajar k a r e n a j a r a k titik observasi >> dimensi antena (di medan jauh)

f 2

x

Interpretasi gambar.. • 2 sumber isotropis dipisahkan oleh jarak d • Titik observasi adalah ke arah sudut f dari sumbu horisontal (sumbu-x)

• Garis orientasi dari sumbersumber isotropis menuju titik observasi dianggap sejajar karena d (jarak antar sumber isotropis) << daripada jarak antena menuju titik observasi 6

B. Konsep Dasar Susunan Kasus 1 :

y

Amplitudo dan Fasa Sama

• Referensi titik 0... Jika titik O dianggap sebagai referensi (dianggap sbg titik dengan fasa = 0 ), maka E1 akan tertinggal sebesar :

d cos f 2

d cos f 2

f

0

1

2

E 2  E 0e

dan medan E2 akan mendahului sebesar :

 2 d  cos f 2  2

d j

x

 2 d  cos f 2  2

 2

Sehingga, medan gabungan Et dapat

 2   2

Et

dituliskan sebagai berikut : j

E1  E 0 e

j

 2

 2

E t  E 0e  E 0e 7

j

 2

B. Konsep Dasar Susunan j

 2

E t  E 0e  E 0e

j

 2

Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama

Medan maksimum terjadi ketika, ( d =  )  

cos

 j 2  j 2  e e  E t  2E 0   2     Jadi, untuk referensi titik 0

 E t  2E 0 cos 2

dengan,

  d r cos f

2 dr  d 

 1  d cos fm  0 2   cos fm  0  3  fm  ,  2 2

Medan minimum terjadi ketika, ( d =  1  ) 

cos

2

0

 cos f0 

2  f0  0, 

2

mencari medan maksimum dan minimum dimaksudkan untuk menggambar diagram arah medan 8

B. Konsep Dasar Susunan Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama

y

• Referensi titik 1... Jika titik 1 dianggap sebagai referensi d cos f

(dianggap sbg titik dengan fasa = 0 ), maka E2 akan mendahului sebesar :

f 0

1

x

2

2   d cos f 

Sehingga, medan gabungan Et dapat

d

dituliskan sebagai berikut : E 2  E 0 e j



E t  E 0  E 0e j Et

E1  E 0 9

B. Konsep Dasar Susunan

E t  E 0  E 0e

j

  j  j    2 2 j e e  2 E t  2E 0 e   2    

Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama



  E t  2E 0 cos 2 2      magnituda

 2 d  2E 0 cos cos f   2 

dengan,

  d r cos f

2 dr  d 

Diagram Arah Medan

f

Jadi, untuk referensi titik 1 

 j2 E t  2E 0 cos e 2

fasa

Diagra m Fasa

 2 d  cos f    2 

f 10

B. Konsep Dasar Susunan Diagram arah medan Berbentuk “Donat”

Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama

Diagram arah fasa

y

f p (f) 90o

f

0o

x



90

o

referensi titik 1 referensi titik 0

180

o

360

o

 90o

2

 1  2  E t  2E 0 cos  d cos f    2  Lihat cara mencari arah maksimum dan minimum pada slide 9 !!

Ref. titik 0 Ref. titik 1

 E t  2E 0 cos 2   E t  2E 0 cos 2 2     



magnituda 11

fasa

f

B. Konsep Dasar Susunan Pengaruh perbedaan fasa arus... Beda fasa pada medan-medan yang dihasilkan oleh 2 antena yang dicatu dengan amplitudo arus yang sama di titik jauh disebabkan karena jarak relatif antara dua antena tersebut, dinyatakan oleh :

2   d cos f 

Jika dua antena tersebut dicatu oleh arus dengan beda fasa tertentu, maka beda fasa antara medan-medan yang dihasilkan dinyatakan oleh 2 :



d cos f  f

  d r cos f  f

beda fasa medan karena perbedaan jarak relatif antar sumber

beda fasa medan karena beda fasa arus catuan sumber

Kasus 2 : Amplitudo Sama, Beda Fasa 180o

• Referensi titik 0...

 2 E t  2E 0 cos 2    d cos f     E t  2E 0 cos  d cos f   2  Harga maksimum, d = ½

    cos fm   2k  1  2 fm  0,  12

B. Konsep Dasar Susunan Kasus 2 : Amplitudo sama, beda fasa 180o

Harga minimum, d = ½

 cos f0   k   3 f0  ,  2 2

y f 1  60o 2

Harga ½ daya, d = ½

 1 cos f 1  2 diagram arah medan 2 2 2   cos f 1  2k  1 2 2 4 f 1  60o

x 

2

2

HPBW  2f 1  120o 2

13

B. Konsep Dasar Susunan Kasus 3 :

y

Amplitudo Sama, Beda Fasa 90o

• Referensi titik 0...  E t  2E 0 cos 2  2   d cos f   2   E t  2E 0 cos  d cos f   4 

x d 

2

Untuk menggambarkan diagram arah fungsi tidak sederhana, hitunglah untuk nilai medan untuk nilai maksimum dan minimum, serta terutama untuk sudutsudut istimewa. Buat tabel perhitungan sbb :

f

0 o o 10 dst

 2

y

x

Et(f)

d

setelah itu…plot !!

 14

4

 2

B. Konsep Dasar Susunan Kasus Umum :

Amplitudo Berbeda, Beda Fasa =d

• Referensi titik 1 Misal :

Et

E1  E 0 dan E 2  aE 0

E0

Beda fasa sembarang !! Bentuk Umum :



E t  E 0 1  a cos   a sin  2

aE 0

2

2

 a sin    tan   1  a cos   1

dan,

2   d cos f  d  15



B. Konsep Dasar Susunan B.3. Prinsip Perkalian Diagram dan Sintesa Pada Susunan Antena Sejenis a. Perkalian Diagram... • Susunan antena biasanya akan terdiri dari antena-antena sejenis. Antena sejenis adalah antena yang memiliki diagram arah medan dan fasa yang sama, dan orientasinya juga sama. • Susunan dari sejumlah n antena-antena sejenis, dapat diperhatikan sebagai susunan sejumlah n sumber isotropik dengan catuan arus dan fasa tertentu, sehingga memiliki Diagram Arah dan Diagram Fasa yang terkoreksi dari diagram susunan isotropiknya.

• Pada susunan antena yang sejenis, dapat dipakai PRINSIP PERKALIAN DIAGRAM • Untuk susunan TAK ISOTROPIK DAN/ATAU TAK SEJENIS TIDAK BERLAKU PRINSIP PERKALIAN DIAGRAM 16

B. Konsep Dasar Susunan • Misalkan suatu antena A, memiliki diagram arah yang dinyatakan sebagai berikut :

E e  f , f.e

jfp ,f 

• Dan susunan sejumlah – n antena isotropis memiliki diagram arah :

E ti  E0 F, f.e

jFp ,f 

• Maka, susunan sejumlah – n antena A, akan memiliki diagram arah sesuai Prinsip Perkalian Diagram, sbb :

E te  E 0 f , f F, f f p , fFp , f   magnitude medan

fasa 17

B. Konsep Dasar Susunan

JD Krauss, Marhefka, RJ, “Antennas For All Applications”, McGraw-Hill, 2002 page-100

18

B. Konsep Dasar Susunan JD Krauss, Marhefka, RJ, “Antennas For All Applications”, McGraw-Hill, 2002 page-101

19

B. Konsep Dasar Susunan b. Sintesa Diagram... • Definisi / tujuan Proses untuk mencari sumber atau susunan yang sintesa memberikan diagram arah sesuai keinginan designer • Problem sintesa Sintesa diagram tidak selalu sederhana dan mungkin menghasilkan susunan yang kurang realiable. Salah satu sintesa yang sederhana adalah dengan menggunakan Prinsip Perkalian Diagram

• Contoh persoalan sintesa Carilah susunan antena yang mempunyai diagram arah dengan radiasi maksimum ke arah utara (f = 0 ) dan radiasi minimum ke arah barat, timur, tenggara, dan barat daya

20

B. Konsep Dasar Susunan • Pada susunan primer Bentuk umum :

E t  2E 0 cos

 2

2   d cos f  d 

 Misalkan kita tentukan d = 0,3 

 E1  cos dengan   2 0,3  cos f  d  0,6 cos f  d 2 

E1  0 pada f  135o    2k  1 , k  0,1,2,...dst

Maka :

1  0,6  d  2k  1 2  d  2k  1  0,425

k  0  d  104o 21

B. Konsep Dasar Susunan • Pada susunan sekunder Bentuk umum :

E t  2E 0 cos

 2

2   d cos f  d 

 Misalkan kita tentukan d = 0,6 

 E 2  cos dengan   2 0,6 cos f  d  1,2 cos f  d 2  E 2  0 pada f  270o  d  180o

• Jadi, medan total hasil perkalian : E t  E1  E 2

0,6 cos f 104  cos 1,2 cos f  180   cos o

2  cos 54o cos f  52o cos 108o cos f  90o



 

o



2

22

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis • Telah kita sepakati sebelumnya bahwa diagram arah medan maupun fasa dapat diubah-ubah dengan mengatur distribusi arus pada masing-masing elemen antena

• Pada sub bab ini, dipakai elemen antena isotropis dan kemudian dilihat pengaruh perubahan distribusi arus pada masing-masing elemen terhadap perubahan diagram arah dan fasa, gain susunan, dan sebagainya • Distribusi arus yang diamati : • Distribusi arus uniform

• Distribusi arus tak uniform

23

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis C.1. Distribusi Arus Uniform Pengantar

Kita memakai prinsip-prinsip yang sudah dipahami sebelumnya untuk menurunkan persamaan medan total yang dihasilkan oleh susunan sejumlah n antena isotropis • Referensi titik 1 Lihat gambar berikut, y Dengan dinormalisasikan terhadap Eo, Ke titik observasi pada medan jauh



d cos f

1

f 2

d

E tn e j  e j  e j2  e j3  .....  e jn

2 d cos  





E tn 1  e j  1  e jn

-

Didapatkan, 3

d

E tn  1  e j  e j2  .....  e j( n 1)

n

x

jn

 2

1  e jn e E tn    j j 1 e e2

 jn 2  jn 2  e e   j  j   e 2 e 2   

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Sehingga, didapatkan medan total ternormalisasi untuk referensi pada titik 1

  sin  n  2  E tn    sin   2 n 1  dimana,   2 2 dan,   cos f  d 



d = jarak spasi antar elemen d = beda fasa antar catuan arus yang berdekatan

Dengan cara yang sama, kita bisa mendapatkan persamaan medan total ternormalisasi untuk referensi titik tengah, sbb :

  sin n  2  E tn   sin   2

Diagram fasa persamaan disamping berupa STEP FUNCTION yang diberikan dari polaritas (+/-) harga Etn

Selanjutnya kita akan pelajari : • Menurunkan syarat medan maksimum dan minimum •

Array Factor

•

Konsep Gain Susunan

•

Tinjauan berbagai kasus 25

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Medan Maksimum dan Minimum ... Lihat kembali persamaan berikut !

  sin n  2 E tn     sin   2

• Medan maksimum terjadi jika suku penyebut sama dengan atau mendekati nol

   sin   0 atau    0 atau   0 2 2 Jika  tidak pernah mencapai harga nol, maka •

medan maksimum terjadi jika  mencapai harga minimum Medan minimum terjadi jika suku pembilang sama dengan nol

   sin n   0 atau n   k k 0,1, 2,...dst 2  2 Tetapi , k tidak boleh merupakan kelipatan dari n (k  mn) PR : Mengapa ? 26

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Array Factor ... Array factor adalah normalisasi medan total susunan antena terhadap nilai maksimum dari medan total susunan tersebut

Et Array Factor  AF  E N  E maks

Contoh, lihat persamaan medan total sebelumnya !!

  sin  n  2  Et   sin   2

Emaks tercapai pada  = 0

  sin  n  2 E tmaks  lim    n  0  sin   2 Et EN  E tmaks

Array Factor

  sin  n  1  2 EN  n  sin   2 27

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Faktor susunan (untuk sejumlah sumber) dapat digambarkan sebagai fungsi . Jika  adalah merupakan fungsi f, maka nilai dari faktor susunan dan pola medan akan dapat langsung diketahui dari grafik di bawah ini !

28

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Gain Susunan ... • Jika daya W masuk pada 1 antena  maka • Jika daya W masuk pada n antena  maka

E1  E 0 E0 E1 '  n

E0  E0 n • Dan E t maks  n E1 '  n n • Sehingga, - Penguatan Medan

E0 n GF   n E0

- Penguatan Daya

G  G F   n 2

29

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Kasus 1 (Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Broadside Untuk menghasilkan pola pancar broadside, dapat dicapai dari contoh berikut :

Arah maksimum, dicapai untuk  d r cos fm  0  n  4, d  , d  0 2

didapa fm  t

 3 dan 2 2

Arah minimum, dicapai untuk    n   k sin n   0 2  2

k 0,1, 2,...dst

1 

2k 1 f0  cos     d    dr   n didapa t

 k  f0  cos    2 

k 1 f0  60 /  120 o

k  2 f0  0o / 180o 30

o

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis • Pola pancar dan fasa susunan broadside

31

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Kasus 2 (Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Endfire Biasa

• Endfire memiliki sifat : E maksimum pada sudut f = 0 (fm =0) • Proses desain dilakukan dgn menentukan beda fasa d yang memberi f=0 , pada harga Emaks atau =0o.  0  d r cos fm  do • Jadi, =0o untuk fm =0 2  d  d r   d  • Untuk n = 4, d = /2, didapat :

d = - 32

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Kasus 3 (Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Endfire HansenWoodyard Dengan Direktifitas Diperbesar • Susunan Endfire Hansen-Woodyard dgn direktifitas diperbesar , dicapai dgn syarat :   d   d r   n      d r cos f  1  n • Emaks terjadi pada :  fm  0 dan fm   n • Faktor susunan dapat dituliskan sbb:  n  sin  2   Gambar diatas E N  sin    adalah contoh untuk  2n  sin    5   n  4, d  , dan d    33 : 2 2 4

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Kasus 4 (Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Dengan Medan Maksimum Untuk Arah Sembarang Misalkan ditentukan medan maksimum untuk arah tertentu yang sembarang • Maksimum terjadi ketika :

0 • Minimum terjadi ketika :   sin n   0  2 2 cos f  d dimana,    • Gambar disamping berasal dari perhitungan untuk :  n  4, d  , dan fm  60o 2 34

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis C.2. Distribusi Arus Non-Uniform Seperti juga dengan pengaturan fasa untuk tiap catuan susunan, maka perubahan pola pancar dapat juga dicapai dengan mengatur distribusi arus tiap catuan. Tujuannya adalah untuk mendapatkan pola pancar yang diinginkan. Pada sub-bagian ini kita mempelajari beberapa macam distribusi arus tidak seragam dan pengaruhnya pada pola pancar yang dihasilkan

35

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis C.2.1. Distribusi Binomial • Distribusi arus Binomial disebut juga sebagai Distribusi John Stone • Susunan dgn distribusi ini berarti urutan amplituda arus harus sebanding dengan koefisien-koefisien pada deret suku banyak yang memenuhi :

a  b

n 1

a

n 1

 n  1a

n 2

 n  1n  2 n 3 2 b a b  ...dst 2!

Koefisien-koefisien tersebut membentuk Deret Segitiga Pascal

• Sifat pengarahan yang didapatkan : (1) perbandingan mayor terhadap minor lobe  , (2) lebar berkas mainlobe cukup besar 36

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis C.2.2. Distribusi Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF) Distribusi Dolph-Tchebyscheff digunakan untuk mendapatkan kriteria optimum dari pola pancar antena susunan.

Kriteria optimum terdiri dari 2 macam :

•

Jika lebar berkas mainlobe ditentukan, maka perbandingan mayor terhadap minorlobe akan (menuju) maksimum.

•

Jika perbandingan antara mayor terhadap minor lobe ditentukan, maka lebar berkas main-lobe akan (menuju) minimum.

Dalam distribusi Dolph-Tchebyscheff, diasumsikan syarat sbb: • • •

Antena ISOTROPIS dengan distribusi amplitudo arus SIMETRIS Beda fasa antar catuan elemen isotropis berdekatan = 0 (d = 0) Jarak spasi antar elemen isotropis SERAGAM (d seragam) =0 sehingga, selisih fasa kuat   d r cos f medan penerimaan dari  f

elemen berdekatan pd titik observasi yang jauh

 d r sin  dgn d  2 d r

37



C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Penurunan medan total susunan dilakukan dengan cara yang sama (spt sebelumnya), dengan referensi titik tengah susunan.

Didapatkan medan total untuk n-genap sbb:

   ne 1  E ne  2A 0 cos  2A1 cos 3  ...  2A k cos  2 2  2  k  N 1   E ne  2 A k cos 2k  1  Dimana, 2   k 0



ne = jumlah elemen (genap) ne N 2 k = 0, 1, 2, … , (N-1)

38

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Sedangkan medan total untuk n-ganjil sbb:

 no 1  E no  2A0  2A1 cos   2A 2 cos 2  ...  2A k cos   2  kN   E no  2 A k cos 2k   Dimana, 2  k 0



no = jumlah elemen (ganjil) no 1 N 2 k = 0, 1, 2, … , N

39

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

E ne  2

k  N 1

 k 0

  A k cos 2k  1  2 

kN

  E no  2 A k cos 2k   2  k 0



Dua persamaan di atas, dapat dipandang sebagai suatu DERET FOURIER dengan suku terbatas. Sepasang suku menyatakan kontribusi dari “sepasang” sumber atau dari sumber tengah. Dan dapat dianggap sebagai penjumlahan konstanta DC, fundamental, dan harmonik-harmonik.

 Contoh : n  9, dan d  2 2    maka ,     sin    sin   2

dan konstanta Ak diasumsikan  2A0 = A1 = A2 = A3 = A4 = 40

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis kN

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

  E no  2 A k cos 2k   2  k 0



 n  9, dan d  2

2         sin    sin   2

1 E9   cos   cos 2  cos 3  cos 4 2

D

Fundamental

Harmonik#2

Harmonik#341 Harmonik#4

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Dalam distribusi arus OPTIMUM (DolphTchebyscheff), nilai konstanta-konstanta Ak adalah sesuatu yang ditentukan dgn perhitungan yang akan kita lakukan, untuk mendapatkan pola pancar optimum. Optimum ditinjau dari sisi : Perbandingan mayor terhadap minorlobe-nya, atau lebar berkas mainlobe

42

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Polinom Tchebyscheff Teorema de Moivre

e

jm

 2

      cos m  j sin m   cos  j sin  2 2  2 2

m

sehingga,

    cos m  Re cos  j sin  2 2 2 

m

Persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai Deret Binomial sbb:

 m  m( m  1) m2  cos m  cos  cos 2 2 2! 2 m(m  1)(m  2)(m  3) m4  4   cos sin  ... 4! 2 2

A 43

Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis

A

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

substitusi

sin 2

   1  cos 2 2 2

 1 2   m  1  cos m  cos 2 2   m  2  cos m  2 cos 2  1 2 2    m  3  cos m  4 cos 3  3 cos 2 2 2    m  0  cos m  8 cos 4  8 cos 2  1 2 2 2 dst m  0  cos m

Bentuk disamping kiri bawah, bersesuaian dengan Polinom Tchebyscheff, dgn rumus rekursif : Tn 1 x  2x Tn x  Tn1 x







T0 x   1

T1 x   x

T2 x   2x 2  1

T3 x   4x 3  3x

T4 x   8x 4  8x 2  1

T5 x   16x 5  20x 3  5x

T6 x   32x 6  48x 4  18x 2  1

T7 x   64x 7  112x 5  56x 3  7 x dst

 x  cos dengan 2 44

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Dibawah ini adalah grafik untuk polinom-polinom Tchebyscheff untuk nilai m = 1 sd 5 Sifat polinom : 1.

Semua Tm(x) melewati (1,1)

2.

Jika –1 < x < 1, maka : -1 < Tm(x) < 1

3.

Semua akar Tm(x) ada diantara –1 dan 1 atau -1 < x0 <1

4.

Semua harga ekstrim adalah 1 45

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Pemahaman grafik polinom Misalkan R adalah perbandingan antara mainlobe maksimum dan minorlobe level R

Tn-1(x)

R

mainlobe maksimum minorlobe level

• Tn-1(x) adalah menggambarkan diagram arah medan untuk sejumlah n elemen  En • Titik (x0 , R) pada kurva menggambarkan harga mainlobe maksimum • Akar-akar polinom menunjukkan hargaharga NOL diagram medan • FNBW (First Null Beamwidth) pada titik (x = x1’)

46

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Dalam distribusi arus OPTIMUM (Dolph-Tchebyscheff), artinya adalah :

Metoda Dolph dipakai untuk mendapatkan susunan optimum dengan menggunakan polinom Tchebyscheff • Jika direncanakan susunan antena terdiri dari n sumber, maka diagram arah medan susunan merupakan suku banyak orde (n – 1)  Suku banyak ini yang kemudian diekivalensikan dengan Polinom Tchebyscheff orde (n – 1)  Tn-1(x) 47

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Prosedur Perencanaan 1. Untuk susunan n-sumber, pilih polinom orde (n – 1)  Tn-1(x) 2. Selesaikan Tn-1(x0) = R untuk mendapatkan harga x0. Untuk m = n – 1 , dapat dihitung sebagai berikut : 1 1

 





 1 2 2 x 0   R  R 1 m  R  R 1 m  2  

3. Penyekalaan. Jika R > 1, maka x0 > 1 juga. Padahal nilai x adalah berkisar (-1 < x < 1), sebab x = cos (/2). Lakukan perubahan skala xx w  w

x0

w  cos

2

48

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

4. Persamaan medan total n-sumber

E ne  2

k  N 1

 k 0

  A k cos 2k  1  2 

kN

  E no  2 A k cos 2k   2  k 0



ne n genap N  n o  1 N 2 2 Persamaan dapat dinyatakan dalam w (setelah penyekalaan)

n ganjil

5. Penyetaraan. En(w) disetarakan dengan Tn-1(x), dengan : x w

E n w  w  x  Tn 1 x  x0

Modul: 4ASusunan Diperoleh harga-harga A 2, … A k 0, A1,Antena

49

x0

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Contoh:  n  8, d  , ditentukan R dB  26 dB 2 1. Untuk n = 8, dipilih T8-1(x) = T7(x) = 64x7 – 112x5 + 56x3 – 7x 2. R = 26 dB  R(numerik) = 20 1 1  1 x 0   20  202  1 7  20  202  1 7   1,15 2  



 



Untuk orde tinggi, x0 harus teliti: 3-5 digit

3. R = 20  R > 1 , sehingga perlu perubahan skala !. w

x 1,15

 untuk w  cos 2 50

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

4. Persamaan setengah medan total (n = 8) E ne  2

k  N 1

 k 0

  N  ne  A k cos 2k  1  2 2 

persamaan medan total

    E8  A0 cos  A1 cos 3  A 2 cos 5  A3 cos 7 2 2 2 2 Substitusi dgn w, setelah penyekalaan

persamaan setengah medan total

 w 2  cos 3  4w 3  3w 2  cos 5  16w 5  20w 3  5w 2  cos 7  32w 6  48w 4  18w 2  1 2 cos

51

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)







E8 w   A 0 w  A1 4w 3  3w  A 2 16w 5  20w 3  5w



 A3 64w 7  112w 5  56w 3  7 w





E8 w   64A 3 w 7

 112A 3  16A 2 w 5

 56A 3  20A 2  4A1 w 3

 7A 3  5A 2  3A1  A 0 w 5. Penyetaraan E8 w  w  x  T7 x  = 64x7 – 112x5 + 56x3 – 7x x0

52

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Didapatkan :  64A 3  7 x E8 w    7   1,15 

= 64x7

A3 = 2,66

 112A 3  16A 2  5  x   7 1,15  

= – 112x5

A2 = 4,56

 56A 3  20A 2  4A1  3  x   7 1,15  

= + 56x3

A1 = 6,82

 7A 3  5A 2  3A1  A 0   x   7 1,15  

= – 7x

A0 = 8,25

Jadi, kita dapatkan distribusi amplituda arus : A3 A1 A2 A0 A0 A1 A2 Atau,

A3

2,66 : 4,56 : 6,82 : 8,25 : 8,25 : 6,82 : 4,56 : 1 : 1,7 : 2,6 : 3,1 : 3,1 : 2,6 53 : 1,7 :

2,66 1

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Diagram Arah : Untuk mendapatkan diagram arah kuat medan, dapat ditabelkan lalu diplot, untuk nilai-nilai variabel : , x, En  d sin   x  x 0 cos r  dan En = Tn-1(x) 

2



54

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Di bawah ini adalah perbandingan pola pancar yang dihasilkan dari beberapa distribusi arus untuk jumlah elemen 8 (n = 8)

Modul 4 Susunan Antena

55

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis Berbagai distribusi arus (ternormalisasi) untuk berbagai R dengan n = 8. Susunan dengan distribusi BINOMIAL dan EDGE merupakan SUBSET / kasus dari distribusi DOLPHTCHEBYSCHEFF

56