MateMatika ekonomi MATRIKS
Nuryanto, ST., MT.
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6. Persamaan linier simultan
Nuryanto, ST., MT.
Deskripsi Singkat • Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang matriks dan operasi matriks • Bagian selanjutan akan membahas tentang jenis matriks dan determinan • Bagian akhir perkuliahan akan membahas matriks invers dan persamaan linier simultan
Nuryanto, ST., MT.
tugas
1.Diketahui : A=
1 1 -1
B=
1 3
2 0 3
0 2
3 -1 2
-1 4
C=1 2 0
2
3 -4
-2 1
• Buktikan : (AB)C = A(BC) 2.Diketahui : a.Jika A =
AT = ?
2 4 -1 3 5 7 6 0 8
b. Jika B =
1 0
B= 0 1 2
2 1
1 1 3
(AB)T = ?
3.Hitung adjoint matriks dari : a.2 4 -1
b.
1 2
3
3 5 7
0 1
2
6 0 8
0 1
1
c.
1 0 2
d.
5 0 0 2
2 1 0
1 1 0 2
3 2 1
0 0 2 1
Nuryanto, ST., MT.
1 0 0 1
matriks • Matriks A ditulis sebagai berikut : A = a11 a12 a13 contoh A = 1 3 5 a21 b22 a23 0 3 7 a31 a32 a33 6 4 8 • Artinya a23 menunjukkan unsur matriks A yang terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 3. Arti aij menunjukkan nilai/angka dari suatu matriks A, misalnya yang terletak pada baris ke i dan kolom ke j. Demikian pula untuk Amxn artinya matriks A berdimensi/berorder mxn. Matriks Anxn dinamakan matriks bujur sangkar, ditulis An. Contoh : matriks A3x3 dapat ditulis dengan A3. Ada 3 macam matriks : 1.Matriks baris, yaitu merupakan vektor baris 2.Matriks kolom, yaitu merupakan vektor kolom 3.Matriks berorder/berdimensi banyak : Amxn Nuryanto, ST., MT.
Operasi matriks 1.Sama dengan, apabila dimensi atau order kedua matriks tersebut sama sehingga nilai unsur yang berindeks sama harus sama. a12 = b12 ; a23 = b23 2.Penjumlahan, dimana matriks A dapat ditambahkan dengan matriks B apabila kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama. A = a11 a12 B = b11 b21 A +B + C = a11 + b11 a12 + b12 a12 a22 b12 b22 a21 + b21 a22 + b22 3.Pengurangan, dimana pengurangan dalam matriks dapat dilakukan dengan syarat kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama. A= 4 6 B=1 3 A–B= 4-1 6-3 = 3 3 7 5 0 2 7-0 5–2 7 3 4. Perkalian, apabila kedua matriks tersebut mempunyai kesamaan dalam jumlah kolom matriks yang dikalikan dengan jumlah baris matriks yang digunakan sebagai penggali. Amxn . Bnxm = Cmxm Nuryanto, ST., MT.
Jenis matriks a.Identity matriks, yaitu jika nilai diagonal matriks tersebut adalah 1 dan nilai unsur lainnya nol. Null matrix (zero matrix) jika nilai semua unsur bernilai nol. Contoh : I= 1 0 0 N= 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 b.Transpose suatu matriks, suatu matriks A ditulis AT atau A’ ditentukan dengan mengubah tiap baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT atau sebaliknya tiap kolom matriks A diubah menjadi baris-baris matriks AT. A = (aij) AT = (aij)
Contoh : A = 4 6 AT = 4 7 9 7 5 6 5 8 9 8 Nuryanto, ST., MT.
c. Matriks setangkup, yaitu transpose sendiri, misalnya matriks diagonal D dan matriks satuan I. D’ = D I’ = I keterangan : D = matriks diagonal I = matriks satuan Contoh : I= 1 0 I’ = 1 0 0 1 0 1 d.Matriks satuan atau identitas I, yaitu matriks I adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur diagonal utamanya = 1 dan semua unsur lainnya sama dengan nol. Sifat : Imxn . Amxn = Amxn Imxn . Amxn = tidak dapat dioperasikan
Nuryanto, ST., MT.
e. Sifat invers matriks, yaitu invers A-1 suatu matriks A memenuhi syarat : AA-1 = A-1 A = 1. Matriks A harus bujur sangkar • (A-1)-1 = A • (AB)-1 = B-1A-1 • (AT)-1 = (A-1)T Invers transposenya suatu matriks sama dengan transpose invers faktornya dengan urutan terbalik. f. Matriks diagonal, yaitu matriks bujur sangkar yang setiap elemennya sama dengan nol; kecuali elemen diagonal pokoknya, minimal salah satu elemennya tidak sama dengan nol. Contoh : A = 10 0 B= 0 0 0 0 ½ 0 1 0 0 0 0
Nuryanto, ST., MT.
g. Skalar, yaitu matriks bujur sangkar yang hanya mempunyai satu baris dan satu kolom saja. 3 = (3)1x1 = (3) ; 10 = (10)1x1 = (10) h. Skalar matriks, yaitu matriks bujur sangkar yang nilai setiap elemen diagonal sebesar k (bilangan skalar) dan elemen lainnya sama dengan nol. aij = k apabila i = j aij = 0 apabila i ≠ j Contoh : S = k.I3 = k 0 0 ; S = 1/3 0 0 k 0 0 1/3 0 0 k i. Matriks invers, yaitu matriks bujur sangkar dimana aij = aji Contoh : A = 2 4 ; B = 2 4 6 7 4 3 4 1 2 9 6 2 3 8 7 9 8 4 Nuryanto, ST., MT.
j. Vektor, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau satu kolom saja. Contoh : A = (1 4 6) B = 2 5 1 3 k. Matriks singular, yaitu matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers dan determinannya sama dengan nol. l. Matriks nonsingular, yaitu matriks bujur sangkar yang mempunyai invers dan determinannya tidak sama dengan nol. m. Matriks commute, yaitu bila AB = BA, maka kedua matriks tersebut adalah commute.
Nuryanto, ST., MT.
determinan • Determinan adalah sumbu bilangan (skalar) yang didefenisikan secara unik dalam hubungannya dengan suatu matriks bujur sangkar dan dinamakan determinan matriks, ditulis | An |. Matriks bujur sangkar order 2x2
Bentuk umum :
Menguraikan determinan derajat tiga dengan cara sarrus • Aturan sarrus hanya berlaku khusus untuk determinan berderajat tiga. (-) (-) (-) 3 2 1 3 2 2 3 1 2 3
= (3.3.3 + 2.1.1 + 1.2.2) – (1.3.1 + 2.1.3 + 3.2.2) (33) – (21) = 12
1 2 3 1 1 ( + )( + ) ( + ) Nuryanto, ST., MT.
Menguraikan determinan dengan cara menentukan terlebih dahulu determinan matriks minor tiap elemen dan kofaktor • Menentukan minor elemen, kalau dari suatu determinan B matriks Bnxn dihapus baris I dan kolom j, maka determinan | M | orde (n-1) yang sisa dinamakan minor elemen bij pada potongan baris i kolom j. Minor unsur bij yang diberi tanda minus bila (i + j) ganjil, dinamakan kofaktor unsur bij determinan | B |. b11 b12 b13 B = b12 b22 b23 b13 b23 b33 Minor elemen bij adalah sebagai berikut b11 = | M11 | = b22 b23 ; b33 = | M33 | = b11 b12 b32 b33
b21 b22
Nuryanto, ST., MT.
b13 = |M13| =
b21 b22 ; b22 = |M22| = b11 b13 b31 b32
b31 = |M31| =
b31 b33
b12 b13 ; b12 = |M12| = b21 b23 b22
b23
b31 b33
Demikian pula untuk : • |M21| dihapus dari baris 2 dan kolom 1 • |M23| dihapus dari baris 2 dan kolom 3 • |M32| dihapus dari baris 3 dan kolom 2 Kofaktor = Kij = (-1)i+j |Mij| Contoh matriks kofaktor K = K11 K12 K21 K22
; K = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K23 K33
Nuryanto, ST., MT.
Contoh : K11 = (-1)1+1 |M11| = b22 b23
= b22.b33 – b32.b23
b32 b33 K12 = (-1)1+2 |M12| =
b21 b23 b31
= -b21.b33 + b31.b23
b33
Nilai determinan |B| dapat diuraikan dalam kofaktor unsur bij suatu baris atau kolom sebagai berikut ; n
bij Kij
• |B| = • |B| =
j 1 n
bij Kij j 1
(terhadap sembarang baris i = 1,2…n) atau (terhadap sembarang kolom j = 1,2…n)
Contoh : Terhadap baris 1 |B| = b11K11 + b12K12 + b13K13
Nuryanto, ST., MT.
|B| = b11(b22.b33 – b32.b23) – b12(b21.b33 – b31.b23) + b13(b21.b32 – b31.b22) Dan seterusnya Terhadap kolom 3 |B| = b13K13 + b23K23 + b33K33 |B| = b13(b21.b32 – b31.b22) – b23(b11.b32 – b31.b12) + b33(b11.b22 - b21.b12) Dan seterusnya Contoh : B = 1
2 1
1
2 3
2
1 3
Misal terhadap baris ke 1 maka : |B| = b11K11 + b12K12 + b13K13 = (1)(-1)1+1
2 2 + (2)(-1)1+2 1 3
1 3 + (1)(-1)1+3 2 3
= 6…..(1)
Nuryanto, ST., MT.
1 2 2 1
Misal terhadap kolom 2, maka |B| = b12K12 + b22K22 + b32K32 = (2)(-1)1+2
1 3 + (2)(-1)2+2 2 3
1 1 + (1)(-1)3+2 2 3
1 3
= (2)(3) + 2(1) + 1(-2) = 6…(2) Ternyata (1) = (2) yaitu |B| = 6 A = adjoint A = Transpose dari matriks kofaktornya Contoh : A = 1 4 , cari Ā 3 2 Jawaban : A = a11 a12 K = a21 a22
K11 K12 KT = K11 K12 K21 K22
1 1
K21 K22
Nuryanto, ST., MT.
A = KT
K11 K21 K12 K22
K11 = (-1)1+1 |M11| = 1|2| = 2 K12 = (-1)1+2 |M12| = -1|3| = -3 K21 = (-1)2+1 |M21| = -1|4| = -4 K22 = (-1)2+2 |M22| = 1|1| = 1 Jadi : Ā = KT = 2 -4 -3 1
Nuryanto, ST., MT.
Matriks invers A-1 = Ā invers = adjoint |A| determinan Contoh : hitung invers matriks 1
2 3
B= 2
1 4
2
1 3
Jawab : |B| = 1 2 3 1 2 = (1.1.3 + 2.4.2 + 3.2.1) – (2.1.3 + 1.4.1 + 3.2.2) 2 1 4 2 1 2 1 3 2 1 K = K11 K12 K13 B = KT
K11 K21 K31
K21 K22 K23
K12 K22 K23
K31 K32 K33
K13 K23 K33
K11 = (-1)1+1 |M11| = 1 1 4 = -1 Nuryanto, ST., MT. 1 3
K12 = (-1)1+2 |M12| = -1 2 4 = 2
-1 -3 5 B = 2 -3 2 0 3 -3
2 3 K13 = (-1)1+3 |M13| = 1 2 1 = 0 1
1
K21 = (-1)2+1 |M21| = 1 2 3 = -3 1
B-1 = B = 1 -1 -3 5 |B| 3 2 -3 2 0 3 -3
3
K22 = (-1)2+2 |M22| = 1 1 3 = -3 2
3
K23 = (-1)2+3 |M23| = 1 1 2 = 3
1 -1 5 3 -3 = 2 -1 2 3 3 0 1 -1
2 1 K31 = (-1)3+1 |M31| = 1 2 3 = 5 1
4
K32 = (-1)3+2 |M32| = 1 1 3 = 2 2
4
K33 = (-1)3+3 |M33| = 1 1 2 = -3 2
1
Nuryanto, ST., MT.
Persamaan linier simultan •
Matriks dapat digunakan untuk mencari jawaban persamaan linier simultan. Sistem n persamaan tak homogin dengan n/hasil yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x2 + a22x2 + … + a2nxn = b2 ……………………………………..
----- I
an1x2 + an2x2 + … + annxn = bn •
Mengingat rumus defenisi hasil kali matriks baris dengan matriks kolom dan bahwa suatu matriks dapat juga dianggap terdiri atas sejumlah matriks baris maka sistem persamaan (I) dapat ditulis sebagai berikut : a11 a12…a1n
x1
b1
a21 a22…a2n
x2
b2
……………..
.
an1 an2…ann
xn
=
.
Ax = b
bn
Nuryanto, ST., MT.
Anxn . Xnx1 = bnx1 • Matriks pertama adalah matriks bujur sangkar Anxn = A • Matriks kedua adalah vektor kolom Xnx1 = X • Matriks ketiga adalah vektor kolom bnx1 = b Sehingga sistem persamaan dapat ditulis sebagai berikut : Ax = b x = b/A = A-1b = Ā . b |A|
Cara I : mencari harga-harga x dengan invers A-1 A-1 A = I IX=X Persamaan : Ax = b, kalikan ruas kiri dan kanan dengan A-1, maka A-1 A X = A-1 b A-1 b syarat |A| ≠ 0 Invers A-1 diperoleh dari matriks koefisien A persamaan-persamaan itu
Nuryanto, ST., MT.
Cara II : mencari harga-harga dengan kaidah Cramer X1 = |Āj| ; syarat A ≠ 0 |A| Keterangan : |A| = determinan matriks A |Aj| = determinan matriks A yang kolom ke j (=i) telah diganti oleh vektor kolom b Contoh soal : x1 + 2x2 – 3x3 = 7 6x1 + 4x2 + x3 = 37 5x1 + 3x2 + 2x3 = 31 Jawaban : Cara I dengan invers matriks koefisien 1 2 -3 64 5 3
x1
1 2
7
x2
= 37
x3
31 Nuryanto, ST., MT.
A.X=b |A| = 1(8-3) -2(12-5) -3(18-20) = -3 Matriks kofaktor A K = K11 K12 K13
4 1 - 6
1
6 4 = 5
K21 K22 K23 =
3 2
2
5 3
K31 K32 K33
2 -3
1 -3 - 1 2
3 2
5 2
5
3
2 -3 - 1 -3
1
2
4
6
4
Ā = KT = 5 -13 14
1
5
6 1
-13 17 14
Ā = A-1 = 1 -5 13 -14 |A|
3
7 -17
19
2 -7
Nuryanto, ST., MT.
-7
8
-2 7
-19 -8
X = A-1.b = 1 -5 13 -14 3
7
7 -17 19
37
2 -7
31
8
Maka l x1 = 1 x2
-7.5 + 37.13 – 31.14
3 = 7.7 – 37.17 + 31.19
X3
7.2 – 37.7 + 31.8
4 = 3 1
Jadi diperoleh harga-harga x sebagai berikut ; x1 = 4;
x2 = 3 dan x3 = 1
Cara pemecahan II dengan kaidah Cramer Kolom 1 diganti matriks kolom b |A1| = 7
2 -3 = 7(8-3) – (12(74-31) – 3(111-124) = -12
37 4 1 31 3 2 |A| = -3; jadi x1 = |A1| = -12 = 4 |A|
-3
Nuryanto, ST., MT.
Kolom 2 diganti matriks kolom b |A2| = 1 7 -3 = 1(74-31) – 7(1-5) – 3(186-185) = -9 6 37 1 5 31 2 |A| = -3; jadi x1 = |A2| = -9 = 3 |A|
-3
Kolom 3 diganti matriks kolom b |A3| = 1 2
7 = 1(124-111) – 2(186-185) + 7(18-20) = -3
6
4 37
5
3 31
|A| = -3; jadi x3 = |A3| = -3 = 1 |A|
-3
Ternyata jawaban cara 1 dan cara 2 sama.
Nuryanto, ST., MT.
Terima kasih, Semoga Bermanfaat
Nuryanto, ST., MT.
