PREŞCOLAR (ÎN LIMBA MAGHIARĂ, LA SATU MARE) EXTENSIA UNIVERSITARĂ: SATU MARE ANUL UNIVERSITAR: 2015/2016 SEMESTRUL: I.
MATEMATICĂ – ÎN ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR ŞI PREŞCOLAR Îndrumător de studiu Codul disciplinei: PLM3309
Titularul cursului: lect. univ. Dr. Baranyai Tunde Klara
SZATMÁRI KIHELYEZETT TAGOZAT 2015-2016-OS EGYETEMI TANÉV I. FÉLÉV
ARITMETIKA – AZ ÓVODÁBAN ÉS ELEMI TAGOZATON Tanulmányi útmutató Tantárgy kódja: PLM3309 Tantárgyfelelős: Dr. . Baranyai Tunde Klara egyetemi adjunktus
Az előadás azonosító adatai:
Az előadó tanárra vonatkozó adatok Név: Baranyai Tünde Iroda: Str. Petőfi Nr. 47. Telefon: 0261-711789 Fax: 026-711789 E-mail:
[email protected] Fogadóóra: hétfő: 12-13
Az előadásra és tutorokra vonatkozó általános információk Tantárgy neve: Aritmetika Kód:
1
Az előadás típusa (kötelező, opcionális, fakultatív): kötelező Tutorok: Tutorok e-mail címe: Előzetes ismeretek, az előadásra való beiratkozás feltételei (kondicionálás) Az előadás anyagának megértését, elsajátítását megkönnyíti a középiskolában elsajátított alapfogalmak felelevenítése Az előadás tartalmának rövid összefoglalása A hallgatók a tanulmányi útmutató alapján készülnek fel a vizsgára. A felvetődő kérdések részletes megbeszélésére a kontaktórákon kerül sor. A kontaktórák jó alkalmat nyújtanak a komplexebb témák megbeszélésére, esetleges véleménycserére. Ugyanekkor az egyénileg megírandó referátumokkal kapcsolatosan felmerülő kérdéseket is tisztázzuk.
Az előadás egyes témáinak hozzáférhetősége Az előadás a 2 modulból felépülő tanulmányi útmutatóra támaszkodik. A hallgatók az anyagot tartalmazó cd-t megkapják a többi útmutatóval együtt. Az 1. modul „Logika, halmazok, relációk, természetes szám fogalma, Műveletek természetes számokkal” címet viseli, a tanulmányi útmutató 4 egységből épül fel, az egyes témáknak megfelelően meg vannak fogalmazva a célkitűzések, a kulcsfogalmak, feladatok, bibliográfia és önellenőrző feladatok és gyakorlatok. A 2. modul „ Oszthatóság, egész számok, racionális számok, valós számok, egyenletek és egyenletrendszerek, kombinatorika, mértani alapismeretek” a oldalon található. A kiadott cd, illetve az elektronikus könyvtár anyaga is tanulmányozható. A modult alkotó 4 egység leírása tartalmazza a célkitűzéseket, kulcsfogalmakat, feladatokat, könyvészetet és a modul végén feladatok segítik a hallgatókat ismereteik felmérésében.
2
Az összefüggések megmagyarázása- kontaktórákon A diákok kérdéseinek megmagyarázása- fogadó óra alkalmával A diákok aktív bekapcsolódásának bátorítása- kontaktórákon
Kötelező könyvészet Sorszám 1
Szerző Olosz Etelka, Olosz Ferenc
2
Baranyai Tünde
Cím Matematika és Módszertan, Kolozsvár, (1999)
Aritmetika-Tanulmányi útmutató
Az előadás tematikája (Az egyetemi félév során megtartandó kontaktórák időpontja és helyszíne az van feltűntetve)
Dátum
Tematika
Alapfogalma k/kulcsszavak Forrásmunkák
Matematikai logika
Matematikai kijelentések
Olosz Etelka:
A diákok hozzájárulása saját tudásuk elmélyítéséhez
Ferenc, Olosz A kijelölt matematiak és forrásmunkák
3
Tétel Axióma, Lemma,
I.MOD UL
Bizonyítás Halmaz Halmazok
Elem Részhalamaz Metszet Egyesítés Különbség
Relációk
Reláció Ekvivalencia reláció Ekvivalencia osztályok Rendezési reláció
Természete Természetes szám s számok fogalma Azonos számosságú halmazok
oldunk meg feladatokat? Baranyai
aritmetika Tünde:
Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz Ferenc, Olosz A kijelölt forrásmun Etelka: Matematika és kák Módszertan átolvasása Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz Ferenc, Olosz A kijelölt forrásmun Etelka: matematika és kák Módszertan átolvasása Baranyai Tünde: Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz
Ferenc,
Olosz A kijelölt forrásmun Etelka: matematika és kák Módszertan átolvasása Tuzson Zoltán:Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat? Baranyai Tünde:
4
Műveletek
Természetes
számok
természetes
kivonása
Etelka:
számokkal
Szorzása , osztása
Módszertan
Kommutatív tulajdonság,
Tuzson
Asszociatív tulajdonság Semleges elem
oldunk feladatokat?
Disztributív tulajdonság Összeadandók, összeg Kisebbitendő, kivonandó, különbség Szorzótényezők, szorzat Osztandó, osztó, hányados,maradék
Oszthatóság 2.MOD UL
Olosz
O l o s Ferenc, z A kijelölt matem forrásmu atika és nkák átolvasás a Zoltán:Ho gyan aritme meg tika
Baranyai Aritmetika-Tanulmányi Útmutató
Oszthatóság értelmezése
Baranyai
Oszthatóság tulajdonságai
Aritmetika,
Oszthatósági kritériumok Kongruencia reláció Oszthatósági feladatok
Útmutató
T ü n d e :
T u n d e : A kijelölt Tanul forrásmu mányi nkák áttekinté e
O
Feladatok egész számokkal
Baranyai Aritmetika-Tanulmányi Útmutató
Racionális
Tört fogalma,
Olosz
számok,műveletek
Racionális szám
Etelka:
racionális számokkal számláló, nevező, törtvonal Áltört, valódi tört, egységnyi tört
Módszertan Tuzson
5
e :
O l o s Ferenc, z A kijelölt matem forrásmu atika és nkák átolvasás a Zoltán:Ho gyan
Valós számok
Tizedes tört Szakaszos tízedes tört
Baranyai Aritmetika-Tanulmányi Útmutató
Valós szám értelmezése Irracionális számok Műveletek valós számokkal Műveletek tulajdonságai Feladatok valós számokkal
Olosz Etelka: Módszertan Baranyai Aritmetika-Tanulmányi Útmutató
Feren matem
Olosz
Feren
Etelka: Módszertan
matem
Tuzson oldunk feladatokat? Baranyai Aritmetika-Tanulmányi Útmutató Olosz Etelka: Módszertan Tuzson
Zo meg
Egyenletek Egyenletek, egyenlőtlenségek egyenletrendszere k értelmezése Megoldási módszerek Egyenletrendszerek, egyenlőtlenség rendszerek Megoldási módok Feladatok és gyakorlatok
Kombinatorika
Permutációk Variációk Kombinációk Valószínűség számítás Statisztika, mutatók, diagramok
oldunk feladatokat? Baranyai Aritmetika-Tanulmányi
6
Feren matem
Zo
m e g aritme
Kör, négyzet, téglalap, rombusz, Etelka: mat trapéz,paralelogramma Módszertan Testek: gömb, kocka, téglatest, hasáb Baranyai Aritmetika-Tan Útmutató
7
A kontaktórákon való aktív részvétel A diákok kontaktórákon való részvétele kötelező. Az aktív részvétel a diákok részéről a kitűzött téma előzetes áttanulmányozását, a kérdések megvitatásában való részvételt, a témával kapcsolatos, kialakult vélemény megindoklását jelenti. Tudományos dolgozat, szemináriumi dolgozat elkészítése (25%) A dolgozatot legkésőbb a 11. héten le kell adni. A dolgozat tartalma: Kijelölt feladatok megoldása a tanult módszerekkel E dolgozat összeállítása és leadása, a téli szesszióban megtartott vizsgára való jelentkezés előfeltétele.
Félévi írásbeli/szóbeli vizsga (75 %) A téli szesszióban megtartott írásbeli vizsgán elért eredmény 75 % arányban járul hozzá a végső jegy kialakításához. A dolgozatok osztályozása 1-től kezdődik, és javítási kulcs alapján történik.
Tanulási útmutató
Olvassa át a tanulmányi útmutató anyagát, és a kijelölt könyvészeti anyagot. Az ismeretek jobb elsajátítása érdekében jegyzeteljen. A modulok egységekből állnak. Egységenként tanuljon, készítsen vázlatot az olvasottakról, írja ki a felmerülő kérdéseket. Az anyag átismétlését követően válaszoljon az egység végén található kérdése
9
HALMAZELMÉLET 4.1.Alapfogalmak, értelmezések,tulajdonságok 4.2.Műveletek halmazokkal 4.3. Nevezetes számhalmazok:
FELADATOK RELÁCIÓK 5.1. Relációk értelmezése, ábrázolása 5.2. A relációk tulajdonságai 5.3 Ekvivalencia és rendezési relációk 5.4. Függvények
FELADATOK TERMÉSZETES SZÁMOK HALMAZA 1.4. A számfogalom kialakítása 6.2.A természetes számok axiómarendszere 6.3.Rendezés a természetes számok halmazában 6.4. A természetes számok halmazának számossága 6.5.Számrenszerek
FELADATOK
10
OSZTHATÓSÁG 2.1. Oszthatóság értelmezése és tulajdonságai 2.2. Prímszámok 2.3. A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös(lnko, lkkt) 8.4. A kongruencia reláció
FELADATOK EGÉSZ SZÁMOK HALMAZA 2.4. Egész számok értelmezése 9.2. Műveletek az egész számok halmazán
FELADATOK RACIONÁLIS SZÁMOK HALMAZA 2.5. Racionális számok értelmezése 2.6. Racionális számok egyenlősége 2.7. Racionális számok osztályozása 10.4. Műveletek racionális számok halmazában 10.5. A racionális számok rendezése
FELADATOK VALÓS SZÁMOK HALMAZA 2.8. Valós számok értelmezése 2.9. Műveletek a valós számok halmazán 11
12.2. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlet 12.3. Másodfokú egy ismeretlenes egyenletek 12.4. Egyenlőtlenségek
FELADATOK KOMBINATORIKA ÉS VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS 12.1. Kombinatorika 12.2. Statisztika 12.3. A valószínűség fogalma
FELADATOK GEOMETRIA 13.1.Axiómák és a fogalmak értelmezései 13.2. A háromszög 14.3. Négyszögek 14.4.Kör 14.5. Térbeli alakzatok
FELADATOK AJÁNLOTT KÖNYVÉSZET
12
Relációk értelmezése és tulajdonságai Természetes szám fogalmának megadása, Peano axiómái, N számossága Műveletek természetes számokkal, műveletek tulajdonságai
Tanulási útmutató: Olvassa át az anyagot, és a kijelölt könyvészeti anyagot. Az ismeretek jobb elsajátítása érdekében jegyzeteljen. A modul 4 egységből áll. Egységenként tanuljon, készítsen vázlatot az olvasottakról, írja ki a felmerülő kérdéseket. Az anyag átismétlését követően oldja meg az egység végén található feladatokat.
1 EGYSÉG: Matematikai logika Célkitűzések: A matematikai logika alapfogalmainak ismeretére nemcsak a matematika tantárgyon belül találkozunk, hanem más tantárgyakban is, valamint a mindennapi élet során. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetni e fogalmak megértésére és tökéletes elsajátítására. Az egység két fő részből áll a kijelentéskalkulusból, mely a kijelentésekkel és a velük végzett műveletekkel foglalkozik illetve a predikátumkalkulusból, mely a predikátumokkal foglakozik.
Kulcsfogalmak: Matematikai kijelentés, nyitott mondat, fogalom,tétel,axióma, lemma, bizonyítás
13
Példák: 1.Ma péntek van. 2.Az ég kék. 3.3+15=13 4.a 14 negatív szám Megjegyzések: Egy állítás nem lehet egy időben igaz és hamis (az ellentmondástalanság, összeférhetetlenség elve) Ha egy kijelentés nem igaz, akkor hamis, és ha nem hamis, akkor igaz, harmadik lehetőség nincs (a harmadik kizárásának elve) A fenti két elvet arisztotelészi elveknek nevezzük Egyszerű kijelentésekből és nyitott mondatokból logikai műveletekkel új kijelentéseket és nyitott mondatokat képezhetünk. Ezen kijelentésekkel a logika két fő ága a kijelentés logika illetve a predikátumlogika foglalkozik 1.1. A kijelentés kalkulus Értelmezés: Logikai műveleten a kijelentések összekapcsolását értjük, mely segítségével új kijelentéseket kapunk. A kapott kijelentés logikai értéke a komponens kijelentések logikai értékétől függ. A következőkben értelmezzük a kijelentésekkel végezhető műveleteket. Negáció (Tagadás) Értelmezés: Negációnak (tagadásnak) nevezzük valamely p kijelentésből képzett „nem áll fenn, hogy p” kijelentést és a végzett logikai műveletet. jele : ┐p
14
Például: p: Tavasz van(h) ┐p: Nincs tavasz. (i) Konjunkció (Összekapcsolás) Értelmezés: Konjunkciónak nevezzük valamely p és q kijelentésből képzett „p és q „ kijelentést és a végzett logikai műveletet. jele: pq Logikai értéktáblázata: p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
pq 1 0 0 0
2. táblázat
Megjegyzés: A pq akkor és csak akkor igaz, ha p is és q is igaz. Példa: Legyen p: „3+25 = 32” és q: „-15 < 29”, ekkor pq: : „3+25 = 32 és -15 < 29”,
A p logikai értéke 0, a q logikai értéke 1, a pq logikai értéke 0 Diszjunkció (szétválasztás) Értelmezés: Diszjunkciónak nevezzük valamely p és q kijelentésből képzett „p vagy q” kijelentést és végzett logikai műveletet.
15
logikai értéke 1, értelmezés szerint. A köznyelvben a „vagy” kötőszót kizáró értelemben használjuk: Peti iskolába vagy színházba megy –kizáró vagy Az ember iszik, vagy vezet - itt a vagy összeférhetetlenséget fejez ki, megengedő vagy.
Implikáció Értelmezés: Implikációnak nevezzük valamely p és q kijelentésből képzett „ha p, akkor q” kijelentést és végzett logikai műveletet. Jelölés: pq Logikai értéke p q pq Megjegyzés: A pq akkor és csak akkor hamis, ha p igaz és q hamis.
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 1 1
4. táblázat
Példa: pq: : ha „3+25 = 32 , akkor -15 < 29”, kijelentés logikai értéke 1, mert hamis kijelentésről következtettünk igaz kijelentésre. Ekvivalencia
16
hamis. 5. táblázat
Példa: pq: : „3+25 = 32 , akkor és csak akkor, ha -15 < 29”, kijelentés logikai értéke 0, mert hamis kijelentés, nem ekvivalens igaz kijelentéssel. Értelmezés: Összetett kijelentéseket úgy képezünk, hogy egyszerű kijelentéseket összekapcsolunk a , , jelek véges számú alkalmazásával. Megjegyzés: A és összetett kijelentések, mert „p q” egyenértékű a „p q” kijelentéssel „p q” egyenértékű a „(p q) (q p)” kijelentéssel A kijelentéskalkukus tárgya az összetett kijelentések tanulmányozása, valamint ezek logikai értékének meghatározása. Értelmezés: a p, q, r, ... kijelentésektől függő és összetett kijelentések ekvivalensek, ha a p, q, r, ... kijelentések bármely logikai értékére az és logikai értéke azonos, jelölés . Értelmezés: Ha az (p, q, r, ...) összetett kijelentés logikai értéke 1, a p, q, r, ... minden lehetséges logikai értékére , akkor -t tautológiának , vagy azonosan igaz képletnek nevezzük. Ha pedig logikai értéke 0, a p, q, r, ... minden lehetséges logikai értékére , akkor -t antilogiának, vagy ellentmondásnak nevezzük. A fenti logikai műveleteknek a következő tulajdonságaik vannak:
17
p p p, p p p. 4.kommutatív (felcserélhető) p q q p, p q q p 5.asszociatív (csoportosítható) (p q ) r p (q r) , (p q ) r p (q r) 6.disztributív (széttagolható) (p q ) r (p r ) (q r) (p q ) r (p r ) (q r) 7.(p q) (p) (q),
(p q) (p) (q)
8. p q (q (p Bizonyítás: Bizonyítsuk be a konjunkció asszociativitását p 1 1 1 1 0 0 0 0
q 1 1 0 0 1 1 0 0
r 1 0 1 0 1 0 1 0
pq 1 1 0 0 0 0 0 0
(p q) r 1 0 0 0 0 0 0 0
qr 1 0 0 0 1 0 0 0
p (q r) 1 0 0 0 0 0 0 0
6. táblázat
Megfigyelve az 5. és 7.oszlopot, következik, hogy a művelet asszociatív. A többi tulajdonság analóg módon bizonyítható.
18
predikátumokról. A predikátum megadásakor, meg kell adnunk az alaphalmazt is, azt a halmazt, amelyből az elemeket vesszük a helyettesítéskor. Jelölés : p(x), xA, egyváltozós predikátum p(x,y), xA, y B, kétváltozós predikátum Példák: p(x) : „2x+5 = 125”, xN, 6 p(x,y): „ x y Z ”, x,yZ, p(x,y,z): „ 8y = 2x – z”, x,y,zN. Értelmezés: Ha P = p(x, y, z, ...) és Q = q(x,y,z, ...) azonos változójú predikátumok, akkor a P, P Q, P Q, P Q, és P Q is predikátumok. Értelmezés: Az egzisztenciális kvantor ()x: p(x), xA, kiolvasva „ létezik egy x az A halmazból, melyre p(x)” az a kijelentés, mely akkor és csak akkor igaz, ha van legalább egy olyan x*A , melyre a p(x*) kijelentés igaz. Értelmezés: Az univerzális kvantor ()x : p(x), xA, kiolvasva „ bármely x-re az A-ból p(x)” az a kijelentés, mely igaz, ha A minden x* elemére a p(x*) kijelentés igaz, és hamis, ha van legalább egy olyan x* elem az A-ból, melyre a p(x*) kijelentés hamis.
Példák: 2
x : x + 2x +1 0, xR 2
x : x - 2x +1 0, xR A fenti két kijelentés igaz, mert az első esetben a teljes négyzet mindig pozitív, a második esetben létezik az 1 valós szám, melyekre teljesül a feltétel.
19
(x ()y p(x,y) (y ()x p(x,y) (x ()y p(x,y) (y ()x p(x,y) Negációra vonatkozó szabályok: Ha p(x), xA egy egyváltozós predikátum, akkor: (()x p(x)) ()x p(x) (()x p(x)) ()x p(x) Értelmezés: Ha p(x,y,z, ...) és q(x,y,z,...) két azonos változójú predikátum, akkor p(x,y,z, ...) q(x,y,z,...) azt jelenti, hogy ()x ()y ()z ... p(x,y,z, ...) q(x,y,z,...)
p(x,y,z, ...) q(x,y,z,...) azt jelenti, hogy ()x ()y ()z ... p(x,y,z, ...) q(x,y,z,...).
Megjegyzés: A második értelmezés azért fontos, mert sok matematikai tétel ebben a formában írható fel.
Fogalmak és tételek Értelmezés: A fogalom logikai szempontból egy tárgy, tulajdonság, viszonyok lényeges jellemzőit magában foglaló gondolategység. Beszélhetünk a fogalom tárgyáról, tartalmáról és terjedelméről. A fogalom tartalma, a fogalmat alkotó lényegi, meghatározó tulajdonságok összessége. A fogalom terjedelme, mindazon dolgok, jelenségek összessége, melyek rendelkeznek a fogalmat alkotó lényegi tulajdonságok összességével.
20
Értelmezés: A fogalmak közötti viszonyokat a fölérendelt és alárendelt fogalmak bevezetésével mutathatjuk be. A fölérendelt fogalom magába foglalja az alárendelt fogalom terjedelmét. Egy fogalomnak több fölérendelt fogalma is lehet. Mellérendelt fogalmakról beszélünk, ha két fogalomnak van közös fölérendelt fogalma anélkül, hogy közöttük alá-fölérendeltségi viszony legyen.
Példák: 1.A paralelogramma a téglalap fölérendelt fogalma, mert a téglalap rendelkezik a paralelogramma minden tulajdonságával, de ezeken kívül más tulajdonságai is vannak. 2.A racionális számok fogalma fölérendelt fogalom az egész számokhoz viszonyítva, mert a racionális számok halmaza tartalmazza az egész számokat is (minden egész szám felírható racionális szám alakjában). 3.A téglalap és a rombusz mellérendelt fogalmak, mert fölérendelt fogalmuk a paralelogramma, de közöttük nincs alá-fölérendeltségi viszony. Fogalmak fajtái Értelmezés: Tárgyi fogalomnak nevezzük azon fogalmakat, melyek valódi, vagy gondolati objektumok. Példák: racionális szám, kör, egyenes Értelmezés: Reláció fogalomnak nevezzük azon fogalmakat, melyek tárgyak közötti kapcsolatokat, viszonyokat tükröznek. Példák: párhuzamos, ekvivalens, kisebb, osztható Értelmezés: Műveleti fogalmaknak nevezzük azon fogalmakat, melyek valamely tárgyakkal, objektumokkal végzett cselekvéseket jelölnek. Példák: összeadás, hatványozás, eltolás
21
Az adott fogalom az osztályozás legközelebbi fölérendelt fogalma.
során
keletkezett
fogalmak
Értelmezésnek vagy definíciónak nevezünk egy fogalom tartalmának a kifejtését, melynek során a fogalom lényeges, megkülönböztető tulajdonságait soroljuk fel. Az értelmezés két részből áll: meghatározandó fogalom (definiendum) és meghatározó rész (definiens). Példa: 1. Szögnek nevezzük két azonos kezdőpontú félegyenest. A meghatározandó fogalom a szög, a meghatározó rész : két félegyenes, melynek közös a kezdőpontja. Értelmezés: A definíciókat didaktikai szempontból a következő osztályokba sorolhatjuk: 1.Értelmezés a fölérendelt fogalom és a megkülönböztető tulajdonságok alapján: 2.Genetikus értelmezés 3.Rekurzív definíció 4.Értelmezés megadása szimbólumok segítségével 5.Közvetett definiálás axiómák segítségével 6.Leírás, magyarázat, példákon keresztüli absztrakció Példák: 1. Áltörtnek nevezzük azokat a törteket, melyekben a számláló nagyobb, mint a nevező – fölérendelt fogalom: törtek, megkülönböztető tulajdonság: a számláló nagyobb, mint a nevező. 2. Egy háromszög egyik oldalához tartozó magassága a szemben fekvő csúcsból az oldalra állított merőleges. – leírja hogyan szerkeszthető meg a háromszög magassága. 3. rekurzív definíció: A Fibonacci sorozat megadása: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2 , nN* 22
5. Természetes számok értelmezése Peano-féle axiómarendszerrel 6. Kisebb gyermekek esetén használjuk, több példa bemutatása után adjuk meg a fogalmat, például a négyzet esetén.
Értelmezés: Axiómának nevezünk minden olyan állítást, melyet egy tétel bizonyítása során felhasználunk és tartalmilag nyilvánvaló, vagyis elfogadjuk bizonyítás nélkül. Például: illeszkedési axióma, szög axiómája (lásd 13. fejezet) Értelmezés: Tételnek nevezünk egy olyan állítást, melyet bizonyítanunk kell. A bizonyítás ismert tényeket, értelmezéseket, más tételeket, tulajdonságokat felhasználva történik, logikai lépéseket követve. Példa: Pithagorasz tétele, Thalész tétele, stb. Értelmezés: Segédtételnek (lemmának) nevezzük azt a tételt, mely más tételek bizonyításában felhasználunk. A tételek általában két részre oszthatóak: feltevésre és következtetésre. P Q szerkezetűek. Kiindulva ebből a tételből megfogalmazhatunk több kijelentést:
(nevezzük
ezt
direkt
tételnek)
Értelmezés: Fordított kijelentésnek nevezzük a Q P szerkezetű kijelentést, melyet úgy kaptunk, hogy a direkt tételben a feltevést felcseréltük a következtetéssel. Ha az így kapott kijelentést bizonyítani tudjuk, akkor fordított tételről beszélhetünk. Értelmezés: A direkt és fordított tétel összevonásából kapjuk a P Q alakú tételt, mely szükséges és elégséges feltételt jelent.
23
Direkt tétel: A derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a befogók négyzetösszegével. Fordított tétel: Ha egy háromszögben az egyik oldal négyzete egyenlő a másik kettő négyzetösszegével akkor a háromszög derékszögű. Szükséges és elégséges feltétel: Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével. Ellentett kijelentés: Ha egy háromszög nem derékszögű, akkor egyik oldalának négyzete nem egyenlő a másik kettő négyzetösszegével Feladat: Tétel-e a fenti ellentett kijelentés? Értelmezés: Bizonyítani egy kijelentést, annyit jelent, hogy a kijelentés igazságát visszavezetjük már igazolt, vagy igaznak elfogadott tételre (axiómára). A kijelentés hamis voltának kimutatásához elegendő egyetlen ellenpélda adása. A bizonyítás lehet direkt vagy indirekt. A direkt bizonyítás a direkt tételt bizonyítja. Az indirekt bizonyítás a P Q helyett a Q P , vele logikailag egyenértékű bizonyítást végzi el. Beszélhetünk még teljes indukciós bizonyításról, mellyel a következőkben még fogunk foglalkozni (6. fejezet). Egy P Q szerkezetű tétel bizonyítása során, a feltételt (P) és a már ismert tételeket, definíciókat, axiómákat használva, helyes logikai következtetések sejtségével kell eljutnunk a Q következtetéshez. Ez egy lépéssorozat, mely implikációkból áll. Ha a lépéssorozatban a feltevésből indulunk ki és fokozatosan jutunk el a következtetésig, akkor beszélünk szintetikus, vagy progresszív bizonyításról. 24
mutatni, hogy 2 Q .
25
2. Határozza meg a következő kijelentések logikai értékét: „ Minden természetes szám páros ” „ Nem minden természetes szám páros. „ „ Minden páros szám prím. „ „ Van olyan természetes szám amely prím.” „Létezik páros természetes szám is.” „ Egyik páros szám sem prím.” 3. Adottak a P, Q, R, S kijelentések, logikai értékük rendre 1, 0, 1, 0. Határozza meg a következő összetett kijelentések logikai értékét: (PQ) R, P(QR), R(SP), P (RS), P(RS), (RP)(RS). 4. Anna egy négyzetlapot tíz darabra vágott. Ezután vett egy szeletet és azt is tíz darabra vágta. Ezt így ismételte tovább. Amikor abbahagyta öccse megszámolta a keletkezett szeleteket és közölte, hogy 2000 darab papír van. Rövid gondolkodás után Anna közölte, hogy öccse téved, valószínűleg egy lapot kétszer számolt. Kinek volt igaza? 5.
Állapítsuk meg a következő kijelentések logikai értékét:
a.) Van olyan 9-cel osztható szám, amelyik páros. b.) Minden prímszám páratlan. c.) Ha egy összeg osztható 5-tel, akkor valamelyik tagja osztható 5-tel. d.) Minden 24-gyel oszthatószám osztható 6-tal is.
26
Halmaz, elem, hozzátartozás, részhalamaz, metszet, egyesítés, különbség, komplementer, Descartes-féle szorzat Alapfogalmak, értelmezések, tulajdonságok A halmaz alapfogalom, elemeinek felsorolásával, példákon keresztül szemléltetjük. Szintén alapfogalomnak tekintjük az relációt. Ha x az A halmaz egy eleme, akkor ennek jelölése: xA. Ha egy x elem nem tartozik az A halmazhoz ennek jelölése xA. Jelölések: A halmazokat az ábécé nagybetűivel jelöljük. A halmazok megadása kétféleképpen történhet: - szintetikusan (az elemek felsorolásával) Példa: A={1,2,3,4}, B={a,b,c}…
- analitikusan (a közös tulajdonság megadásával) A = { x p(x) }- azon x elemek halmaza , melyek rendelkeznek a p(x) tulajdonsággal. Példa: C ={x Nx 2}, D = {x Z x +12 -25} Az üres halmaz jelölése , ez az a halmaz mely egyetlen elemet sem tartalmaz. Értelmezés: Az A halmaz részhalmaza egy B halmaznak (jelölése AB) ha az A minden eleme a B-nek is eleme, -t bennfoglalási relációnak nevezzük. Példa: Ha A={1,2,3,4}, B={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, akkor AB. Tétel: A bennfoglalási reláció rendezési reláció,vagyis rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: 27
Antiszimmetria: Legyen xA és A B x B, és legyen yB és B A y A. A két összefüggésből következik, hogy a két halmaz azonos elemeket tartalmaz, vagyis egyenlő.
Értelmezés: P(A)–val jelöljük az A halmaz részhalmazainak a halmazát. P(A) = {X X A}. Az üres halmaz és az A halmaz az A halmaz nem valódi részhalmazai, a P(A) többi eleme pedig az A valódi részhalmazai. n Ha az A halmaznak n eleme van, akkor P(A)-nak 2 eleme van. Példa: Ha A={1,2,3,4},akkor P(A) =, 1, 2, 3, 4, 1,2, 2,3, 3,4, 1,4, 1,3,2,4,1,2,32,3,41,3,4,1,2,41,2,3,4. Mivel az A halmaznak 4 eleme van ezért P(A)-nak 4 2 = 16 eleme lesz. Halmazok egyenlősége Értelmezés: Két halmaz egyenlő A B, ha A B és B A. Tétel: A halmazok egyenlősége a halmazok halmazán, ekvivalencia reláció, vagyis az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: Reflexív: A A Tranzitív: ha A B és B C akkor A C Szimmetrikus: ha A B akkor B A. Bizonyítás: Reflexív: AA, mert A A , reláció reflexív. Tranzitív: ha A B és B C, akkor A B és B A, valamint B C és C B. Csoportosítva az összefüggéseket a következő képen: 28
Értelmezés: Adottak az A és B halmazok, értelmezhetőek a következő műveletek: 1. Egyesítés AB x xA vagy xB, az egyesítés tartalmazza mindkét halmaz elemeit 2. Metszet: AB x xA és xB, a metszet tartalmazza a két halmaz közös elemeit Az A és B halmazok diszjunktak, ha nincs közös elemük, vagyis AB . 3. Különbség: A\B x xA és xB, a különbség tartalmazza az A halmaz azon elemeit, melyek nincsenek a B-ben . 4. Részhalmaz komplementer (kiegészítő) halmaza Ha AE, akkor CE(A) x xE és xA, az E halmaz olyan elemeit tartalmazza, melyek nincsenek A-ban 5. Két halmaz Descartes-féle szorzata, a két halmaz elemeiből képzett rendezett elempárok halmaza: AB (x, y) xA és xB, az elem párok első tagja mindig az első halmazból, második tagja a második halmazból van. (az értelmezés szerint az AB BA.) A halmazokkal végzett műveleteket ábrázolhatjuk Venn-Euler diagramok segítségével. Az alábbiakban két halmaz egyesítését, metszetét valamint különbségét ábrázoltuk.
29
1. ábra
Példák: Legyenek adottak a következő halmazok: A 0,1,3,5, B 0,2,4,5, 7, 9 , ekkor AB 0,1,2,3,4,5,7,9, A B 0,5 A\B 1,3, B\A 2,4,7,9 CB (A) 2,4,7,9, AB (0,0), (0,2), (0,4), (0,5), (0,7), (0,9), (1,0), (1,2), (1,4), (1,5), (1,7), (1,9), (3,0), (3,2), (3,4), (3,5), (3,7), (3,9), (5,0), (5,2), (5,4), (5,5), (5,7), (5,9)
A halmazokkal végzett műveletek értelmezéseinek egyszerű következményei: Következmények: 1. AA=A
AA=A
2. A=A
A=
3. A\=A
\A=
30
b.) A(BC)= (AB) (AC)
disztributív
4. (De Morgan azonosságok) Ha A, B E akkor CE (A B) CE A CE B CE (A B) CE A CE B
5. A =
Nevezetes számhalmazok Ebben a paragrafusban a nevezetes számhalmazokról ejtsünk szót, mint az N - természetes számok halmaza, Z - egész számok halmaza, Q - racionális számok halmaza, R - valós számok halmaza, C - komplex számok halmaza. Az alábbiakban megadjuk ezen halmazok értelmezéseit, és a közöttük lévő kapcsolatokat, később külön fejezetben foglalkozunk minden halmazzal. A természetes számok halmazát szintetikusan adjuk meg az elemek felsorolásával: N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,…} A zérótól különböző természetes számok halmazát N*-al jelöljük. Mivel a természetes számok halmazában nem minden esetben végezhető el a kivonás, ezért szükség volt a számhalmaz bővítésére, így kaptuk az egész számok halmazát. Az egész számok halmaza szintén az elemek felsorolásával adható meg Z = { …, -3,-2,-1,0,1,2,3, …}, Z* pedig a zérótól különböző egész számok halmaza Az egész számok halmazának bővítésére, azért volt szükség, hogy elvégezhető legyen minden esetben az egész számok osztása (kivéve a zéróval való osztást) az így kapott számhalmaz lett a racionális számok halmaza. 31
második lépésben meghatározták a komplex számokat , mely számhalmazban elvégezhető minden algebrai művelet, ezért minden algebrai egyenlet is megoldható. A valós számok halmazát R-rel jelöljük. Minden valós szám felírható végtelen tizedes tört formában. R*-al jelöljük a zérótól különböző valós számokat. A valós számok halmazát két részre bonthatjuk a racionális és irracionális számok halmazára.( I = R\Q) . A racionális számok véges vagy végtelen szakaszos tizedes alakban írhatóak fel, az irracionális számokat végtelen tizedes alakjában írhatjuk fel. A komplex számok halmazát C- vel jelöljük és
1
C = { a+iba, bR }, ahol i . A fenti halmazok közötti összefüggések a következők: NZQRC RQI
32
Kulcsfogalmak: Reláció, reflexív, tranzitív, szimmetria, antiszimmetria tulajdonság, rendezési reláció, ekvivalencia reláció Relációk értelmezése, ábrázolása A reláció latin eredetű szó jelentése kapcsolat. Értelmezés: Legyenek A és B nem üres halmazok, A B Descartes-féle szorzat részhalmaza. Azt mondjuk, hogy az xA elem -relációban van yB elemmel, ha (x,y). Jelölés: x y A bináris relációk ábrázolása A bináris relációk ábrázolása rácsdiagrammal. Lássunk néhány példát: a.) nyilakkal: 1 2
3
4
történhet nyilakkal, diagrammal, gráffal,
6
2. ábra
2 3 9
4 9
b.) nyíldiagrammal A3. ábra a következő relációt ábrázolja: A = 4, 6, 9, B = 2, 3, 4, 9 , a b: „a osztható b-vel” 3. ábra
33
4. ábra
d.) Rácsdiagrammal
5. ábra
A homogén relációk tulajdonságai Az alábbiakban bemutatott tulajdonságok homogén relációkra érvényesek. Ezen homogén relációk tulajdonságait négy fő kategóriába sorolhatjuk. Az első ilyen tulajdonság csoport a reflexivitás. A reflexivitás csoportba tartoznak a reflexív illetve az irreflexív tulajdonságok, melyeket a következőképpen értelmezzük: Értelmezés: Egy relációt reflexívnek nevezünk, ha () xA esetén x x Egy R relációt irreflexívnek nevezünk, ha () xA esetén x R x Példa: A természetes számok halmazán az egyenlőségi reláció reflexív. A valós számok halmazán a kisebb reláció irreflexív. A szimmetricitás kategóriába a következő tulajdonságok tartoznak:
34
Értelmezés: Az R reláció nem szimmetrikus, ha () x, yA, uh. x R y y R x. Értelmezés: Azon relációt, mely rendelkezik a reflexív, tranzitív és szimmetrikus tulajdonságokkal ekvivalencia relációnak nevezzük. Függvények Értelmezés: Adott A és B két nem üres halmaz. Ha az f megfeleltetés az A halmaz minden x eleméhez a B halmaz egy és csakis egy elemét rendeli, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény, mely értelmezett az A halmazon és étékeit a B halmazból veszi fel. Jelölés: f: A B Megjegyzések: Az A halmazt az f függvény értelmezési tartományának, a B halmazt az f függvény értékkészletének nevezzük. f(x) a függvény értéke az x pontban, vagy x képe f megfeleltetési törvény (szabály) Egy függvény megadásához három dologra van szükségünk: az értelmezési halmaz, értékkészlet és a megfeleltetési szabály. A függvény szintetikus megadás módjai: 1. Értéktáblázattal x -3 f(x) 0
-1 2
0 3
1 4
3 6
35
Az f függvény analitikus megadási módja, ha adott az a képlet, összefüggés, mely minden elemnek megfelelteti a képét. Az analitikus medadás módjai a következőek: 1. Hozzárendelési szabállyal: például: x x + 3, x R 2. Képlettel: például: f(x) = x + 3, xR 3. Több képlettel:
2x 1, ha x 0 ha x 0 3,
f : R R,f x
4. A törvény szavakkal való leírásával: Legyen A az év hónapjainak halmaza, B az évszakok halmaza. f: A B, f minden hónapnak megfelelteti azt az évszakot, amelyben van. Értelmezés: Az f: A B függvény esetén a Gf {(x,y) xx A és y f(x) B halmazt az f függvény grafikus képének nevezzük.
FELADATOK 1. Döntsük el az alábbi r relációkról, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkeznek? A. x, yN, (x,y) r, ha x osztója y-nak. B. x, yR, (x,y) r, ha x kisebb (kisebb vagy egyenlő) mint y. C. x, yR, (x,y) r, ha x = y. 36
b.) g: R R, g(x) =
1
3x2
3. Legyen adott az A = {2, 3, 5 } és B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } halmaz és az R: “x osztója az y-nak” reláció. Ábrázoljuk gráffal, ráccsal és táblázattal a relációt. Milyen tulajdonságai vannak az R relációnak?
4. Legyenek adottak a következő halmazok: A = {2, 4, 5, 6, 7}, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 15}. Határozza meg az AB halmazt majd az R1: „x osztója y-nak” R2 : „x < y”, R3 : „x y (mod 3)” relációkhoz tartozó részhalmazokat. Ábrázolja a relációkat ráccsal, diagrammal, táblázattal.
5. Adottak az f: RR, f(x) ax+b-9 és g: RR, g(x) 2bx-a függvények, ahol a és b valós számok. a.) Tudva, hogy az f és g függvények grafikus képei áthaladnak az A(2,3) ponton, határozza meg az a és b valós számokat. b.) A 5 és b 2 esetén ugyanabban a koordináta rendszerben ábrázolják az f és g függvényeket c.) Ha A 5 és b 2 az f függvény grafikonja az Oy tengelyt a B pontban, míg a g függvény grafikonja a C pontban metszi. Számítsa ki a C pont távolságát az AB egyenest
37
bemutatása, a matematikai indukció típusai és ezek alkalmazásainak lehetőségei A természetes számok halmazának számossága, a megszámlálható halmazok sajátosságainak bemutatása Tízes és más alapú számrendszerek használata valamint a váltás lehetőségeinek bemutatása és elsajátítása
Kulcsfogalmak: Természetes szám, Peano axiómai, matematikai indukció, megszámlálható halmazok, számrendszerek Értelmezés: Két halmazt ekvivalensnek nevezünk, ha létezik egy bijektív leképzés a két halmaz elemei között. Jelölés: AB Tétel: A halmazok relációja egy ekvivalencia reláció, vagyis reflexív, tranzitív és szimmetrikus. Ha A B , akkor azt mondjuk, hogy A ugyanolyan számosságú, mint B. Jelöléssel :Ha A B card (A) = card(B). A természetes számok axiómarendszerében, mely G. Peanotól (18581932) származik, az alapfogalmak a követezőek: a nulla fogalma, a rákövetkező fogalma. Az axiómák pedig a követezőek (Peano axiómái) 1.A nulla természetes szám 2.Minden természetes számnak van rákövetkezője 3.A nulla nem rákövetkezője egyetlen természetes számnak sem 4.Csak egyenlő természetes számoknak lehetnek egyenlő rákövetkezői 5.Ha a nulla rendelkezik valamely T tulajdonsággal és ez a tulajdonság átöröklődik n természetes számról az n’ (n’ = n +1) rákövetkezőjére, akkor minden természetes szám rendelkezik a T tulajdonsággal.
38
5.
Az ötödik axióma a teljes indukció elvét fogalmazza meg. Teljes indukció változatai: 1.) Legyen T(n) , n ≥ a egy n től függő tulajdonság. (1) Ha T(a) kijelentés igaz és (2) T(n) T(n+1) implikáció igaz, bármely n ≥ a esetén, akkor T(n) igaz bármely n ≥ a természetes szám esetén. 2.) Legyen T(n) , n ≥ a egy n től függő tulajdonság (1) Ha T(a) kijelentés igaz és (2) T(k) T(n+1) implikáció igaz, bármely k N és a ≤ k ≤ n esetén, akkor T(n) igaz bármely n ≥ a természetes szám esetén.
3.) Legyen T(n) , n ≥ a egy n től függő tulajdonság és a, k két rögzített szám, a,k,nN (1) Ha T(a), T(a+1), ..., T(a+k+1) kijelentések igazak és (2) T(n) T(n+k) implikáció igaz, bármely n ≥ a esetén, akkor T(n) igaz bármely n ≥ a természetes szám esetén. A feladatok típusától függ, hogy melyik változatát használjuk a teljes indukciónak. Tízes számrendszer Alapja, hogy tíz egységet mindig egy nagyobb egységbe foglalhatjuk. Tíz egységből egy tízest, tíz tízesből egy százast, tíz százasból egy ezrest stb.
39
Többjegyű számot úgy is képezhetünk, ha nem 10 kisebb egységből alkotunk egy nagyobbat, hanem pl. 12, vagy 16, vagy 60 kisebb egységet váltunk be egy nagyobbra. Ezt a váltószámot nevezzük a számrendszer alapjának. Bármely 1-nél nagyobb természetes szám választható egy számrendszer alapjának, tehát beszélhetünk 2-es, 3-as, 4-es, stb számrendszerekről. Általánosan tekintve legyen q a számrendszer alapja, ekkor egy bizonyos N természetes szám esetén N-et mindig q-val osztva megkapjuk azokat a maradékokat, melyek a szám számjegyei lesznek a q számrendszerben.
FELADATOK 1.
Alakítsa át a következő számokat tízes számrendszerbe:
125478(9), 25456(7), 42310(5), 125AB(13), 32331(4), 10011001010(2), 21002110(3), 324510(6) 2.
Alakítsa vissza tízes számrendszerbe az 1. feladat eredményeit!
3. Igazolja, hogy az A ={ 2k+1 | kN} (páratlan számok halmaza) B = { 3k+2 | kN } halmazok megszámlálhatóan végtelenek.
4. 1111 2
Határozza meg az x 2 természetes szám értékét, ha 1111 1111 1111 208 , ahol a(n) az n alapú 3
4
5
x
számrendszerben felírt a számot jelöli.
40
Célkitűzések: A természetes számokkal végzett alapműveletek értelmezése és ezen műveletek tulajdonságainak
elsajátítása,
a
műveletek
elvégzésének
sorrendje.Kulcsfogalmak: Természetes számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása, kommutatív, asszociatív, disztributív tulajdonság, semleges elem, egység elem
Összeadás Értelmezés (halmazelméleti úton): Adottak az A és B halmazok, ha card(A) = a, és card(B) = b és AB (diszjunktak), akkor a+b természetes számon az AB halmaz számosságát értjük. Elnevezések: a, b összeadandók, a+b összeg Tétel (az összeadás tulajdonságai): A természetes számok halmazán az összeadás a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
Kommutatív (felcserélhető): a + b b + a, ( a,bN
Asszociatív (csoportosítható): (a + b) + c a + (b + c), ( a,b, cN
A nulla semleges elem az összeadásra nézve:
41
vagyis a-b card(A\B). Elnevezések: a: kisebbí Tétel (a kivonás tulajdonságai): 1. a – a = 0, () aN 2 . a – 0 = a , () aN 3
(a – b) +b = a , a kivonás próbája összeadással
4.
a – (a – b) = b , a kivonás próbája kivonással.
5. ha
a – b = a, akkor b = 0
6. ha
a – b = 0, akkor a = b
7. ha
a – b = a –c , akkor b = c,
Ha a – b = c – b, akkor a = c. 8.
(a – b) – c = (a – c) – b.
Megjegyzések: A kivonás nem kommutatív, ez a kivonás értelmezéséből következik. tendő, b kivonandó, a-b különbség. A szorzás A szorzást a természetes számok halmazán szintén többféleképpen értelmezhetjük. Értelmezés: (ismételt összeadással): Szorzásnak nevezünk egy olyan ismételt összeadást, melyben a tagok mind egyenlők
42
Tétel (A szorzás tulajdonságai): 1 Kommutatív (felcserélhető): a . b b . a, ( a,bN 2 Asszociatív (csoportosítható): (a . b) . c a . (b . c), ( a,b, cN 3 Az 1 semleges elem a szorzásra nézve: a . 1 1. a = a , ( a N 4. a. 0 0. a 0, ( a N 5. A szorzás disztributív a az összeadásra nézve: a . ( b + c ) a . b + a. c , ( a,b, cN.
6.
Ha a . b = 0, akkor a vagy b, vagy mindkettő 0
7.
Ha a. b = a, és a 0, akkor b 1.
8.
Ha a .b 1, akkor a 1 és b 1.
Az osztás Értelmezés: Osztásnak nevezzük a szorzás fordított műveletét: adott szorzatból és annak egyik szorzótényezőjéből a másik tényező kiszámítását.
43
Elnevezések: A hányados meghatározását osztásnak, a-t osztandónak, b-t osztónak nevezzük.
FELADATOK 1) Végezze el a fejezet azonosságainak nem igazolt bizonyítását! 2) Végezze el a következő számításokat:
i. 521(6) + 223(6) – 112(6) ii. 521(6) 223(6) iii. 56754(8) + 1254(8) iv.
50A23(12)-4587A(12)
v. 2313(4) : 23(12) vi. 1456(9): 8(9) 3) Ellenőrizze az számrendszerbe.
eredményeket
úgy,
hogy
visszaalakít
10-es
4) Melyik számrendszerben végeztük el a következő számításokat:
44
7) Melyek azok az ab alakú kétjegyű számok, amelyekre
ab a b .
8) Számítsa ki: a. 2008.2009 - 2007.2008-2.2007 b.
2
3 8
: 2 . 2 2 3
6
6
46
10
:2
: 2
28
2
2
9
9) Egy apa egy anya és két gyerek összesen 120 évesek. A nagyobbik a. gyerek akkor született mikor az apa 30 éves volt, a kisebbik pedig akkor mikor az anya 40 éves volt. b. Mennyi a két gyerek életkorának összege? c. Ha a kisebbik gyerek 7 éves, számítsuk ki a családtagok életkorát! 10) Határozza meg az a számjegy értékét, ha teljesül a a.
2a2 a2a 2 összefüggés.
45
Tanulási útmutató: Olvassa át az anyagot, és a kijelölt könyvészeti anyagot. Az ismeretek jobb elsajátítása érdekében jegyzeteljen. A modul 4 egységből áll. Egységenként tanuljon, készítsen vázlatot az olvasottakról, írja ki a felmerülő kérdéseket. Az anyag átismétlését követően oldja meg az egység végén található feladatokat.
1 EGYSÉG: Oszthatóság Célkitűzések: Oszthatósági reláció és ezen reláció tulajdonságainak elsajátítása. Az oszthatósági kritériumok bemutatása és ezek igazolása felhasználva az oszthatóság értelmezését. Kongruencia reláció értelmezésének és tulajonságainak bemutatása és elsajátítása. Feladatok és gyakorlatok megoldása felhasználva az oszthatóság értelmezését és a tulajdonságokat Kulcsfogalmak: oszthatóság, kongruencia reláció, oszthatósági kritériumok Értelmezés: Azt mondjuk,hogy m osztja n-et (vagy n osztható m-mel), ha m különbözik zérótól és létezik egy olyan k természetes szám, melyet m-mel szorozva megkapjuk az n természetes számot. Szimbólikusan: m n ha m0, és k N úgy, hogy n = mk.
46
m n és m p m (n+p), és m (n-p), ha n > p Multiplikatív tulajdonság: m n m np
m n mp np m n és p q mp nq, m,n,p,qN. Nulla minden számmal osztható: m 0, nN Eggyel minden szám osztható: 1 n, nN
FELADATOK 1. Anna egy 200-nál nem nagyobb számra gondolt . Megmondta, hogy a szám osztható 15-tel. Mennyi a valószínűsége, hogy elsőre eltaláljuk melyik számra gondolt? 2. Adottak a 144 , 264 és 336 számok, számítsa ki a számok lnko és lkkt-t! 3. Határozza meg azon 125abc alakú számokat melyek oszthatóak a.) 18-cal b.) 6-tal c.) 15-tel
47
53266, 3117, 4062, 1380, 878504, 213231, 608, 715, 4455, 789. 7. Melyek azok a háromjegyű számok, amelyeket 19-cel osztva a hányados p és a maradék q, 11-gyel osztva a hányados q és a maradék p? n
8. Mutassuk ki, hogy ha 16 +n osztható 5-tel, akkor n+1 is osztható 5tel! 9. Mutassuk ki, hogy ha 7 (2x+3y), akkor 7 (3x+y). 10. Egy doboz cukorkát több gyerek között szeretnénk szétosztani. Ha minden gyereknek 7 szem cukorkát adnánk, akkor két gyereknek nem jutna cukorka, egy gyerek pedig csak 4 szem cukorkát kapna. Ha minden gyereknek 5 szem cukorkát adunk, akkor megmarad 41 szem cukorkánk. Hány gyerek és hány szem cukorkánk van?
2EGYSÉG: Egész számok halmaza Célkitűzések: Ismerjük meg az egész számok értelmezését, valamint az egész számok ellentettjének moduluszának fogalmát. Az egész számokkal végzett műveletek bevezetése és a műveletek tulajdonságainak elsajátítása. Az egész számokkal kapcsolatos feladatok megoldása felhasználva a tanult ismereteket.
48
Értelmezés: Egy egész szám modulusát (abszolútértékét) x -el jelöljük és a x, ha x 0 x 0, ha x 0
- x, ha
képlettel határozzuk meg
x0
FELADATOK 1. Ha (a, b) = a-b jelölést használjuk, akkor igazoljuk, a következő összefüggéseket: (a, b).(c+1, c) = (a,b) (a, b) .(c, c+1) = (b, a)
Általánosítsa a fenti összefüggéseket! 2.
3.
Végezze el a következő műveleteket:
Számítsuk ki a A y Z
2y 1 N halmaz elemeinek y 1
összegét.
49
50
tört, számláló, nevező, törtvonal
a racionális számok halmaza, analitikusan megadva: a Q
a, b Z , b 0
b Elnevezések: Az a számot számlálónak, a b-t nevezőnek, az őket elválasztó vonalat pedig törtvonalnak nevezzük. Egy racionális számot mindig ábrázolhatjuk tört alakban (értelmezés szerint). A törteket a következőképpen viszonyíthatjuk az egységhez: Értelmezés: Egy törtet valódi törtnek nevezünk, ha számlálója kisebb, mint a nevezője. Példa: 2 , 10 , 7 , 3 5 23 45 11 Értelmezés: Egy törtet áltörtnek nevezünk, ha számlálója nagyobb, mint a nevezője.
FELADATOK 1. Írja fel a következő racionális számok inverzét!
51
4
5
1 3 c.) 5 22 . 7 14 3 3 2
2
10 .1 9 19 1 : 4 1 3 10
d.)
2
2
6 4 2 7 5 25 3
1 5 40 200 100 10 1 5 1 3 1 15 1 2 4 6 12
60 :
17
1
:
e.)
5
1 11 3 .1 :1 10 16 5 40 f.) 18 39 33
: 25 100 50
2. Határozza meg a következő racionális számok osztályának minél több elemét!
2
5 12 3 18 3,- 6, 5,- 4, 7
52
2 1
3
után 3 4 kilogrammot szedtünk a kertben. 4 kilogrammos adagokat osztottunk szét a családtagok között. Hány tagú ez a család (nagyszülők, szülők, gyerekek), ha mindenki egy adagot kapott, és a cseresznye elfogyott? 6. Cili 14,2 km-t, Jutka 2,1 km-rel többet tesz meg 1 óra alatt kerékpáron Egyszerre indultak egy helyről, de ellenkező irányba egy egyenes úton. 0, 25 óra múlva milyen messze lesznek egymástól? 7. Anna, Peti és Jutka együtt vásárol ajándékot. Mindegyikük 12, 5 lejt adott. Az ajándék az összeadott pénz 1,8 –szeresébe kerül. Mennyit kell kérniük apukájuktól, hogy megvehessék anyukájuknak a kivsztott ajándékot? 8. Két cső vezet a medencébe. Az első csövön 1 perc alatt 2,45 vödör víz folyik át, a másikon ennek 0,6 része. A két csövön keresztül 8 óra 20 perc alatt telik meg a medence. Hány vödör víz fér a medencébe? 9. Végezze el a kijelölt számításokat: a.) 0,1 : 0,002 7,91 : 0,565 11,1 : 1,48 b.) 0,29 0,03: 0,83.0,3 0,72.11
c.)
5,3 3,75 5,3 3,75 1,583 1,583
53
Célkitűzések: A valós számok halmaza bevezetésének szükségszerűsége. Az irracionális számok tulajdonságainak ismertetése. Az irracionális számok felírása végtelen tizedes tört alakjában. Valós számokkal végzett feladatok és gyakoratok megoldása felhasználva a valós számok tulajdonságait
Kulcsfogalmak: Valós szám, irracionális szám, négyzetgyök A racionális számok bevezetésével elértük, hogy az osztás egy zérótól különböző számmal mindig elvégezhető legyen. De van még olyan algebrai művelet, (a gyökvonás) mely nem végezhető el a racionális számok halmazában sem. Valamint találkozunk a mindennapi életben is olyan mennyiségekkel, melyek értékei nem fejezhetők ki racionális számok segítségével. Legyen a például a
szám, vajon racionális-e?
Tétel: A nem racionális szám. Tétel: A valós számok halmaza nem megszámlálható halmaz
FELADATOK 1. Állapítsa meg , hogy az x 13 25 13 25 1 szám pozitív, negatív vagy zéró. 2. Számítsa ki:
54
4.
Döntse el, hogy az alábbi számok közül melyik a nagyobb?
a..)
11 5 vagy
19 11
b.)
2 8 - 15 vagy
30
3
3
5. Igazolja, hogy ha a, b, c pozitív valós számok úgy, hogy a + b + c = 1, akkor:
1 1 1 abc
9.
Milyen feltételek mellett kapunk egyenlőséget? 6. Igazolja, hogy teljesül a következő egyenlőtlenség, bármely a, b, c valós számra: 2
2
2
ab ac bc a b c .
5 EGYSÉG: Egyenletek és egyenlőtlenségek Célkitűzések: Az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenség rendszerek értelmezéseinek elsajátítása valamint a megoldási módszerek bemutatása, alkalmazása konkrét feladatokon.
55
Értelmezés: Adott egyenlet gyökén, megoldásán az alaphalmaz olyan elemét értjük, melyet az egyenletbe behelyettesítve az egyenlet igaz kijelentéssé válik. Az egyenlet megoldása során az alaphalmazból meghatározzuk annak egy részhalmazát, mely részhalmaz elemeit megoldás halmaznak, gyökök halmazának nevezzük, általában M -mel jelöljük.
FELADATOK 1) Oldja meg a következő egyenleteket a racionális számok halmazán! a.) 5x 3x 24 2 6 b.) y 17 5y 7 2 5 4
c.) 2x 1 2 5(2x 1) 2x 2 4x 2 2 4 2 3 3 4 1 3 x 1 8x 3 1 d.) 4 3 :1 x8 10 15 5 4 0,75 3
56
5 10 3x 2 1 2x 9 3x e.) 8 4 12 f.)
x 3 5 2x 11 6 12 12
g.) x 15 2x 11 x 1 2 3
3) Hány egész megoldása van a természetes számhármasok körében az x + y+ z 10 egyenletnek? 4) Egy 42 éves apa három gyereke 12, 8 illetve 6 éves. Mennyi idő múlva lesz az apa annyi idős, mint a három gyerek együttvéve? 5) Két szám hányadosa 7, osztási maradékuk pedig 70. A számok különbsége 670. Melyek ezek a számok? 6) Hétfőn egy újságárus egy drágább folyóiratból eladott 4 darabot és egy olcsóbból 12 darabot. Kedden a drágábból csak kettőt, az olcsóbból pedig tizet, összesen 76,4 lejért. Hétfőn 33,2 lejjel kapott többet a kétféle folyóiratért. Mennyi volt az ára az olcsóbbnak és mennyi a drágábbnak? 7) Egy könyvtárban 42235 darab irodalmi és tudományos könyv volt. Irodalmi könyvből még hoztak 324 darabot, tudományosból pedig 2641
57
ceruzája és hány füzete van Marcinak? 10) Két kosárban alma van. Az elsőből átteszek 7-et a másodikba. A barátom szedett még kétszer annyit a másodikba, mint amennyi az elsőben maradt. Így a másodikban összesen 30 almám lett. Mennyi alma volt az első kosárban eredetileg, ha a másodikban csak 5 alma volt?
58
Értelmezés: Az n elemű A halmaz különböző elemeiből alkotott olyan n elemű csoportokat, amelyek csak az elemek sorrendjében különböznek egymástól , n különböző elem ismétlés nélküli permutációinak nevezzük. Tétel: : n különböző elem k-ad osztályú variációinak száma
Értelmezés:
k n
n elem k-ad osztályú kombinációja C
vagy
azt
jelenti, hogy n különböző elemből hányféleképpen tudunk kiválasztani k darabot úgy, hogy a sorrendre nem vagyunk tekintettel.
V k n
n ! n k!
Statisztika A matematikai statisztika valamely jelenségre vonatkozó adatok csoportosításával, elemzésével és értékelésével foglalkozik. A matematikai statisztika elmélete a valószínűség-számítás törvényein alapszik. Egy statisztikai felmérés általában négy fontosabb szakaszból áll: 1. Adatgyűjtés 2. Az adatok csoportosítása, rendezése 3. A jellemző paraméterek kiszámítása 4. Az eredmények értelmezése, értékelése, prognózis megadása.
59
Mértani középarányos: mg
n
x1.x 2 ...x n ; x1, x2, …, xn
Harmonikus középarányos: mh
n 1
1
x1
...
x2
1
; x1, x2, …, xn R*.
xn
Négyzetes k Véges kimenetelű A esemény valószínűségét P(A)-val jelöljük és P(A) egy olyan valós szám, melyet a következőképpen értelmezünk: kedvező esetek száma PA lehetséges esetek száma Az A esemény valószínűsége 0 és 1 közötti racionális szám. 2
2
1
2
x x ... x középarányos: mp
2 n
n
; x1, x2, …, xn R.
FELADATOK 1. Egy urnában 10 golyó van, melyek közül 3 fehér, 4 piros , 2 kék és 1 zöld. Az urnából kihúzunk egy golyót. Határozza meg a valószínűségét a következő eseményeknek: A: „ A kihúzott golyó fehér.” B: „A kihúzott golyó piros vagy zöld.” C: „ a kihúzott golyó kék.” D:”A kihúzott golyó nem piros.”
60
4. Egy tanuló 9 rajzot készített, de a kiállításon csak 4 rajzot állíthat ki. Hányféleképpen választhatja ki a kiállítandó rajzokat a munkái közül? 5. Hány háromjegyű szám képezhető a 2, 3, 4, 5 számokból? 6. Valakinek a zsebében 15 kulcs van, amelyik közül egy nyitja a lakása ajtaját. A kulcsokat egymás után véletlenszerűen próbálja ki. Mennyi a valószínűsége, hogy harmadik próbálkozásra kinyitja az ajtót? 7. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy szabályos kockával hatszor dobva, minden dobás eredménye más? 8. Az 1, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek egyszeri felhasználásával hány olyan hatjegyű szám képezhető, amely osztható hárommal? Hány olyan van közöttük, amely hattal is osztható? Van-e közöttük néggyel osztható szám? 9. Egy matematika verseny dolgozatait 0-10-ig pontszámokkal osztályozták.. 1-es pontszámot 4-en, 2-es pontszámot 5-en, 3-as pontszámot 2en, 4-es pontszámot 5-en, 5-ös pontszámot 5-en, 6-os pontszámot 7-en, 8-as pontszámot 12-en, 9-es pontszámot 4-en, 10-es pontszámot 7-en értek el. Ábrázolja diagrammal az eredményeket. Számítson ki minél több átlagértéket!
61
A síkgeometria illeszkedési axiómái: 1. A sík egy ponthalmaz, amelyet P-vel jelölünk Minden egyenes a P -nek egy részhalmaza Minden egyenesen van legalább két pont. A síkban van három olyan pont, amely nincs ugyanazon az egyenesen Két különböző ponton egy és csakis egy egyenes szerkeszthető.
Értelmezés : Zárt illetve nyílt félegyesnek nevezzük a következő ponthalmazokat: [AB = {M M[AB] vagy B(AM)}-zárt félegyenes, tartalmazza az A kezdőpontot is (AB = [AB \{A} Nyílt félegyenes ,nem tartalmazza az A kezdőpontot Az AB egyenes az [AB illetve (AB félegyenesek tartó egyenese, A pedig a kezdőpontja. Értelmezés: Két közös kezdőpontú zárt félegyenest szögnek nevezünk. A közös kezdőpontot a szög csúcsának, a két félegyenest a szög szárainak nevezzük. Négyszögek Értelmezés: Egy négyszöget konvex négyszögnek nevezünk, ha bármely két pontját összekötő szakaszát tartalmazza.
62
1. Egy 2 km hosszúságú útszakasz két végpontjában rögzítsünk egy 2001 m hosszú kötelet. A kötél középpontját pedig felemeljük, amennyire csak lehet. Át tud-e menni alatta egy felnőtt ember anélkül, hogy lehajolna? 2. Az MNP általános háromszög MN és MP oldalait meghosszabbítjuk – az M ponton túl – az MA = MN szakaszokkal. Igazoljuk, hogy PN AB. Ha PN AB D, igazoljuk, hogy a DAP és DNB háromszögek egyenlő szárúak. 3. Hány fokos szöget zár be egy óra nagymutatója és kismutatója 4 óra 12 perckor? 4. a.) Adottak az A, B és C kollineáris pontok úgy, hogy AB 7 cm, AC 4 cm és BC 11 cm. Határozza meg az OB szakasz hosszát, ha OAB és OM 3cm, ahol M az AC szakasz felezőpontja. b.)Az A, B, C és M pontok kollineárisak ebben a sorrendben. Mutassuk ki, hogy AC + BM AM + BC.
5. Határozzuk meg az összes olyan téglalapot, melynek kerületét és területét ugyanaz a szám fejezi ki, tudva, hogy az oldalak mérőszámai természetes számok.
63
9. Egy 1 m sugarú kör alakú lemezből a lehető legnagyobb egyenlő oldalú háromszöget illetve négyzetet vágunk ki. Mennyi a hulladék területe az egyes esetekben? Határozzuk meg mindkét esetben a kivágott sokszöglapok és körlap területének arányát! 3
10. Egy szabályos négyoldalú hasáb térfogata 80 cm és magassága 5 cm. Számítsa ki a hasáb alapterületét, valamint a hasáb alapélének hosszát.
11. Egy 10 cm élű kocka minden csúcsát levágjuk egy –egy olyan síkkal, amely a csúcstól kiinduló éleket a csúcstól 2 cm távolságra metszi. Hány lapja, éle és csúcsa van az így kapott testnek?
12. Az egyiptomi Kheopsz-piramis négyzet alapú szabályos gúla alakú. Mekkora a piramis tömege, ha alapéle 228 m, magassága 145m és az 3 építéséhez felhasznált kő sűrűsége 2,4kg/dm ? 13. Henger alakú 60 cm belső átmérőjű edényben víz van. A vízbe egy vasból készült téglatestet helyeznek, melynek egyik éle 25 cm, a másik 1,8 dm. Mekkora a téglatest harmadik éle, ha a vízszint a vas elmerülése után 0,8 cmt emelkedik? 14. Egy kockából a lehető legnagyobb gömböt esztergályozzák ki. Mekkora a gömb felszíne és térfogata, ha a kocka éle 8,4 dm?
64
5. Ambrus Gabriella: Valóságközeli matematika-Munkafüzet, Műszaki Kiadó, Budapest, (2007) 6. Ábrahám István, Bedő László, Czétényi Csaba, Frigyesi Miklós, Juhász Attila, Korányi Erzsébet, Matematika a felvételi vizsgára készülők részére, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (1994) 7. Balázs Márton, Kolumbán József, Matematikai analízis, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, (1978) 8. Baranyai Tünde: Tanulmányi Útmutató, Matematika, BBTE, Szatmárnémeti, (2002) 9. Baranyai Tünde, Tempfli Gabriella, Kooperatív módszerek bevezetésének lehetőségei matematika órákon, STATUS Kiadó , Csíkszereda, Editor: '', 2010 10. dr. Bitay László, A prímszámokról, in. Matlap, Ifjúsági matematikai lapok, Radó Ferenc Matematikaművelő Társaság, Kolozsvár, (2003/5 szám) 11. Borsodi István, Dr. Göndöcs László: Matematika a tanítóképző főiskola első évfolyama számra, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (1995) 12. Brindza Attila, Csatlósné dr. Fülöp Sára, dr. Daragó József, Járai József, dr. Kopasz Éva, Náfrádi Ferenc, Pappné dr. Ádám Györgyi, dr. Vajda János, Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, (1996) 13. Dezső Gábor, A gazdasági matematika alapjai, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, (2004) 14. Dienes Zoltán: Építsük fel a matematikát, SHL Hungary Kft, Budapest, 1999 15. Fazekas István, Bevezetés a valószínűség számításba, EMTEXJATEX, Eger, (1993) 16. Fábosné Zách Enikő: Te is szeretsz tanítani?,Calibra Kiadó,Budapest, (1997) 65
23. C.Năstăsescu, M.Brandiburu,C. Niţă, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme de algebră, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, (1983) 24. Olosz Etelka, Olosz Ferenc: Matematika és Módszertan, Kolozsvár, (1999) 25. Olosz Etelka, Olosz Ferenc, Tanulmányi Útmutató az I. Évfolyam számára, BBTE, Szatmárnémeti, (2001) 26. I. Petrică, C. Ştefan, Şt. Alexe, probleme de matematică pentru gimnaziu, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1985 27. Pólya György: A gondolkodás iskolája, Gondolat Kiadó, Budapest, (1977) 28. Reimann István, Geometria és határterületei, Szalay Könyvkiadó, Kisújszállás, (1999) 29. Richard R. Skemp: A matematikatanulás pszichológiája, Edge 2000 Kiadó, Budapest, (2005) 30. Tuzson Zoltán: Hogyan oldunk meg aritmetika feladatokat?, Ábel kiadó, Kolozsvár, (2005) 31. ***, Matlap, Ifjúsági matematikai lapok, Radó Ferenc Matematikaművelő Társaság, Kolozsvár 32. http:/www.ementor.hu/matek/kompetencia/6.evf.htm 33. www.edu.ro 34. http://www.banki.hu/jegyzetek/mat/szma/szma_1_felev/bmfhalm az.pdf 35. http://www.ttk.pte.hu/matek/toth/A%20matematikai%20logika% 20alapjai,%202005.pdf 36. http://thesaurus.math.org 37. www.mimi.hu/matematika 38. http://matek.fazekas.hu
66
