MASARYKOVA UNIVERZITA Pedagogická fakulta KATEDRA FYZIKY
FYZIKA a SPORT – Studium pohybu míčů Bakalářská práce
Vedoucí bakalářské práce:
Zpracoval:
Doc. RNDr. Petr Sládek, CSc.
Zdeněk Klein
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracoval samostatně a použil jsem pouze literaturu a prameny uvedené v seznamu literatury.
Brno, duben 2007
Děkuji Doc. RNDr. Petru Sládkovi, CSc. za odborné vedení a připomínky k bakalářské práci.
Obsah: 1. Úvod..........................................................................................5 2. Pohyb ........................................................................................6 3. Poloha a posunutí ....................................................................7 4. Rychlost ....................................................................................8 4.1. Průměrná rychlost................................................................8 4.1. Průměrná rychlost................................................................8 4.2. Okamžitá rychlost................................................................8 5. Zrychlení ..................................................................................9 5.1. Rovnoměrně zrychlený pohyb...........................................10 5.2. Svislý vrh (volný pád) .......................................................11 5.3. Vodorovný vrh...................................................................12 5.4. Šikmý vrh ..........................................................................13 5.4.1. Šikmý vrh ve vakuu.....................................................13 5.4.2. Šikmý vrh ve vzduchu .................................................15 5.5. Odporová síla prostředí .....................................................15 6. Nerotující míč v letu ..............................................................17 7. Rotující míč v letu..................................................................18 8. Simulace pohybu nerotujícího a rotujícího míče v odporovém..................................................................................20 8.1. Pohyb míče bez rotace.......................................................21 8.2. Pohyb míče s rotací ...........................................................24 9. Závěr.......................................................................................30 10. Seznam literatury ................................................................31
1. Úvod André Agassi právě proměnil svůj matchball a fantastickým liftovaným forhandem vyhrává U.S. Open. David Beckham v poslední minutě nádherným trestným kopem vyhrává pro Anglii a tým z ostrovů se tímto kvalifikuje na MS ve fotbale. Tiger Woods se nádherným odpalem na 18. jamce přiblížil k celkovému vítězství na British Open. Jan Železný odhodil svůj poslední pokus a stává se olympijským vítězem v hodu oštěpem. Fyzika a její zákony stále zasahují do našeho života. To, že zákony Mechaniky platí i ve sportu, je všem zcela jasné hned při shlédnutí jakéhokoli sportovního utkání. Nejen pohyb sportovce, ale i samotný let míče, míčku, oštěpu či disku je vlastně model fyzikálního jevu, které se řídí právě těmito zákony. V této práci se zaměřím na tyto létající předměty ve sportu, a to právě na pohyb fotbalového míče, či tenisového míčku. Pohyb míče ovlivňují různé okolnosti: zda se během svého letu otáčí kolem vlastní osy, nebo ne, v jakém prostředí se pohybuje (teplota a tlak vzduchu), jaký vítr právě fouká, jaká je hmotnost míče, jaká je kvalita povrchu míče. Zcela jistě se úplně jinak chovaly míče třeba na Mistrovství světa ve fotbale v Chile 1962, než míče Adidas Teamgeist na Mistrovství světa v Německu v roce 2006. Stejně tak byl rozdíl mezi údery Karla Koželuha, než v současné době supermoderními raketami, se kterými hraje třeba Roger Federer.
5
2. Pohyb Část fyziky, která se zabývá popisem pohybu těles i tříděním a porovnáváním pohybů, se nazývá KINEMATIKA.
Než pokročím dále, budu zatím omezen těmito požadavky[1]:
1. Pohyb se děje vůči Zemi (kterou pokládáme za nehybnou) výhradně po přímce. Ta může být svislá, vodorovná, nebo libovolně skloněná. Vždy to ale musí být přímka. Takový pohyb se nazývá PŘÍMOČARÝ. 2. Nebudu se zabývat příčinami pohybu a pouze se budu snažit popsat pohyb. Budu zjišťovat, zda těleso zvyšuje či snižuje svoji rychlost, zda se zcela zastaví, nebo se začne pohybovat opačným směrem. Půjde vlastně jen o sledování změn pohybu v průběhu času. 3. V první části této práce pohybující těleso nahradím hmotným bodem.
HMOTNÝ BOD:
Je nejjednodušší
myslitelný objekt, který zastupuje skutečné pohybující se
těleso v případech, kdy pro popis jeho pohybu nejsou rozhodující jeho vlastní rozměry.
Tento případ nastává zejména tehdy, pohybují-li se všechny části tělesa stejně rychle a ve stejném směru.
Je velmi často užívaným a velmi funkčním fyzikálním modelem.
Výstižnými výrazy zastupujícími pojem hmotný bod jsou ČÁSTICE a BODOVÝ OBJEKT[1].
6
3. Poloha a posunutí POLOHU objektu určujeme vždy vzhledem k nějakému vztažnému bodu, nejčastěji k POČÁTKU souřadnicové osy, popř. ke zvolené soustavě souřadnic, a to jak v rovině, tak i v prostoru. Dále budu uvažovat jen jednorozměrnou souřadnicovou osu[1]:
kladný směr
-3 -2 -1 0
1
2
3
4
5 6
7
x
záporný směr Obr. 1 Souřadnicová osa
z y
y 0
0
x
x
Obr. 2 Soustava souřadnic v rovině
Obr. 3 Soustava souřadnic v prostoru
Změnu polohy objektu z bodu x1 do bodu o souřadnici x2 nazýváme POSUNUTÍ. Značíme jej ∆x a platí:
∆x = x2 − x1 Posunutí v kladném směru bude vždy kladné, opačné posunutí bude vždy záporné. Vrátí-li se objekt zpět do původní polohy, bude jeho posunutí nulové. U posunutí je podstatná pouze výchozí a koncová poloha. Hovoříme-li o velikosti posunutí, není důležité znaménko, hodnota je vždy nezáporná. [1]
7
4. Rychlost
4.1. Průměrná rychlost Podíl posunutí ∆x v určitém časovém intervalu ∆t a délky tohoto intervalu: vx =
∆x x2 − x1 = ∆t t2 − t1
Tuto rychlost nazýváme PRŮMĚRNOU RYCHLOSTÍ. [1] Podobně jako posunutí má i průměrná rychlost velikost i směr. Je-li hodnota vx kladná, pak křivka v grafu zleva doprava stoupá (funkce je rostoucí). Je-li záporná, pak křivka zleva doprava klesá (funkce je klesající). Průměrná rychlost má vždy stejné znaménko jako posunutí, neboť hodnota ∆t je vždy kladná. [1] Průměrná velikost rychlosti v je určena celkovou dráhou, kterou urazí objekt nezávisle na směru pohybu:
v=
celková _ dráha celková _ doba _ pohybu
4.2. Okamžitá rychlost Otázka, jakou rychlostí se pohybuje objekt v daném okamžiku, je popsána veličinou vx nazvanou OKAMŽITÁ RYCHLOST. Okamžitou rychlost získáme z průměrné rychlosti tak, že budeme časový interval ∆t zmenšovat bez omezení k nule:
∆x dx = ∆t → 0 ∆ t dt
v x = lim
Velikost okamžité rychlosti má vždy nezápornou hodnotu. [1]
8
5. Zrychlení Jestliže se rychlost objektu mění, říkáme, že se objekt pohybuje se ZRYCHLENÍM. Průměrné zrychlení ax v časovém intervalu je definováno:
ax =
∆v x v2 x − v1 x = ∆t t 2 − t1
Okamžité zrychlení je určeno derivací rychlosti:
ax =
dv x dt
Z tohoto vyplývá, že zrychlení hmotného bodu je tedy v každém okamžiku dáno druhou derivací polohy x(t) podle času. Má-li zrychlení částice stejné znaménko jako okamžitá rychlost, roste velikost její rychlosti a její pohyb se zrychluje. Má-li zrychlení opačné znaménko než okamžitá rychlost, klesá velikost rychlosti částice a její pohyb se zpomaluje. [1] Svými smysly můžeme vnímat zrychlení, nikoli rychlost. Velká zrychlení někdy vyjadřujeme v tzv. jednotkách g (1g = 9,80665 m*s-1). Např. při jízdě na horské dráze dosahuje velikost zrychlení krátkodobě hodnoty až 3g. [1]
9
5.1. Rovnoměrně zrychlený pohyb Velmi často se setkáváme s pohyby, jejichž rychlost se (někdy jen přibližně) mění tak, že zrychlení je konstantní. Toto pak nazýváme ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÉ. Tyto případy jsou tak časté, že je výhodné mít pro jejich popis zvláštní rovnice:
Rychlost v čase t :
v x = v0 x + a x ⋅ t
Kvadrát rychlosti bez použití času t:
vx2 = v02x + 2ax ⋅ (x − x0 )
Dráha bez použití okamžité rychlosti:
x − x 0 = v0 x ⋅ t +
Dráha bez použití zrychlení:
x − x0 =
1 ax ⋅ t 2 2
1 (v0 x + v x ) ⋅ t 2
Dráha bez použití počáteční rychlosti:
x − x0 = v x ⋅ t −
1 ax ⋅ t 2 2
kde x – x0 je dráha objektu v0 je rychlost v čase t v0x je rychlost v čase t = 0 ax je okamžité zrychlení (při rovn. zrychl. pohybu je stejné jako průměrné
zrychl.) [1]
10
5.2. Svislý vrh (volný pád) Když v blízkosti povrchu Země vrháme nějaké těleso svisle vzhůru nebo dolů a zanedbáme přitom vliv odporu prostředí (viz.kap. ???), zjistíme, že se těleso s velkou přesností pohybuje se stálým zrychlením, směřujícím svisle dolů. Toto zrychlení nazýváme TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ a značíme je g. Z experimentů víme, že tíhové zrychlení nezávisí na vlastnostech tělesa a je pro všechna tělesa stejné. Tíhové zrychlení se mírně mění se zeměpisnou šířkou a nadmořskou výškou. [1] Zvláštním případem svislého vrhu je VOLNÝ PÁD. Těleso vypustíme s nulovou počáteční rychlostí. Rovnice popisující rovnoměrně zrychlený pohyb uvedené v kap. 1.4.1 platí i pro svislý vrh v blízkosti zemského povrchu (do výšek zanedbatelně malých oproti zemskému poloměru). Tíhové zrychlení je při zvolené orientaci osy y záporné, a tak můžeme ve všech rovnicích zaměnit ay za –g, takže –9,8 ms-2. Jeho velikost je ale g = 9,8 ms-2. [1]
Rychlost v čase t :
Kvadrát rychlosti bez použití
času t:
vy2 = v02y − 2g ⋅ ( y − y0 )
v y = v0 y − g ⋅ t
Dráha bez použití okamžité rychlosti:
y − y 0 = v0 y ⋅ t −
1 g ⋅t2 2
Dráha bez použití zrychlení:
y − y0 =
Dráha bez použití počáteční rychlosti:
y − y0 = v y ⋅ t +
kde y – y0 je dráha objektu v0 je rychlost v čase t v0y je rychlost v čase t = 0 g je tíhové zrychlení
11
1 g ⋅t2 2
1 (v0 y + v y )⋅ t 2
5.3. Vodorovný vrh VODOROVNÝ VRH vzniká složením rovnoměrného pohybu vodorovným
směrem a volného pádu. Soustava souřadnic je zvolena tak, že osa y míří svisle dolů. Jeli objekt v čase t = 0 v počátku souřadnic, potom složky pohybu jsou dány rovnicemi:
y=
x = v0 ⋅ t
1 g ⋅t2 2
Tyto rovnice vyjadřují parabolickou dráhu v parametrickém tvaru. Čas t je v tomhle případě právě parametr. Vyloučíme-li parametr t, dostaneme rovnici paraboly:
y=
g ⋅ x2 2 2 v0
g je pro daný případ konstanta, rovnicí je vyjádřena parabola, jejíž osa 2v02 splývá s osou y. [2]
Protože výraz
Obr. 4 Trajektorie vodorovného vrhu s hodnotami okamžité rychlosti v čase t a aktuálními hodnotami souřadnic v čase t [6]
12
5.4. Šikmý vrh
5.4.1. Šikmý vrh ve vakuu Těleso vrhneme šikmo vzhůru počáteční rychlostí v0, která svírá s vodorovnou rovinou tzv. elevační úhel α. V tomto směru koná těleso pohyb rovnoměrný, avšak současně padá volným pádem. Složením obou těchto pohybů vzniká ŠIKMÝ VRH. [2] Jeho příkladem je právě let fotbalového či tenisového míče nebo golfového míčku. V dalších úvahách se budu zabývat rozborem právě tohoto pohybu. [1] Pro analytické vyšetřování je však výhodné šikmý vrh rozložit na dva pohyby na sebe kolmé, a to na
v x = v0 ⋅ cos α vodorovný rovnoměrný pohyb s rychlostí
v y = v0 ⋅ sin α
a na svislý vrh vzhůru s počáteční rychlostí. Za dobu t jsou potom souřadnice objektu:
x = v0 ⋅ t ⋅ cos α
y = v0 ⋅ t ⋅ sin α −
(1)
1 g ⋅t2 2
(2)
Rovnici dráhy hmotného bodu v soustavě souřadnic v rovině dostaneme, když z obou rovnic vyloučíme parametr t. Pak tedy:
y = x ⋅ tg α −
g x2 2 2 ⋅ v ⋅ cos α
(3)
2 0
Koeficienty při x a x2 jsou konstanty, v tomto případě je tedy rovnicí tvar rovnice paraboly s vertikální osou. [2] V nejvyšším bodě dráhy je svislá složka rychlosti vy = 0, z čehož platí pro dobu výstupu k vrcholu dané paraboly:
tv =
v0 ⋅ sin α g
13
Největší výška dosažená tělesem se potom vypočítá dosazením této hodnoty do výrazu pro hodnotu souřadnice y, tedy:
v 02 ⋅ sin 2 α yv = 2⋅g Délku vrhu xD dostaneme dosazením celkové doby letu objektu do výrazu pro hodnotu souřadnice x, tedy:
v02 ⋅ sin 2α xD = g Z posledního vztahu vyplývá, že pro α = 45˚ je délka vrhu největší. Šikmý vrh je nejobecnější případ vrhu těles. Dosadíme-li do odvozených výsledků pro šikmý vrh za úhly 90˚ a 0˚, dostaneme hodnoty platné pro svislý, resp. vodorovný vrh. [2]
Obr. 5 Trajektorie šikmého vrhu ve vakuu s hodnotami okamžité rychlosti v čase t, aktuálními hodnotami souřadnic v čase t a maximální dosaženou výškou [6]
14
5.4.2. Šikmý vrh ve vzduchu Trajektorií šikmého vrhu ve vakuu je parabola, trajektorií šikmého vrhu ve vzduchu je tzv. balistická křivka. Odporem vzduchu, který v podstatě závisí na rychlosti pohybujícího se objektu a mnoha dalších činitelích, se rychlost objektu stále zmenšuje a dráha se zakřivuje směrem dolů. Zpočátku dráha skutečná dosti přiléhá k dráze teoretické. Největší výška nastane však dříve a je menší. Druhá polovina dráhy je zakřivenější, takže dráha je nesouměrná. Délka doletu je tedy značně menší. [2]
5.5. Odporová síla prostředí Při pohybu tělesa ve vzduchu, kdy se těleso pohybuje klidným prostředím, anebo prostředí proudí kolem klidného tělesa, působí prostředí na těleso ODPOROVOU SILOU, která pohybu brání. Tato síla směřuje proti rychlosti, jíž se těleso pohybuje
vzhledem k prostředí. Pokud budeme uvažovat moje případy s fotbalovým či tenisovým míčem nebo s golfovým míčkem, kdy je dané těleso zaoblené a proudění je natolik rychlé, že již může být považováno za turbulentní (za tělesem se vytváří vzduchové víry), souvisí odporová síla F s relativní rychlostí vztahem:
F=
1 ⋅C ⋅ ρ ⋅ S ⋅ v2 2
(4)
kde ρ je hustota vzduchu, S je účinný průřez tělesa, definovaný jako obsah největšího řezu tělesa rovinou kolmou k rychlosti v. Součinitel odporu C se zjišťuje experimentálně a jeho typické hodnoty se pohybují v rozmezí od 0,4 – 1,0. [1] Ze vztahu pro odporovou sílu je vidět, že při pádu oblého objektu vzduchem velikost odporové síly F postupně narůstá s rostoucí rychlostí pádu. Jelikož se v této práci zabývám pouze krátkými pády (šikmý vrh míče), dále se rostoucí odporovou silou a s ní spojenou mezní rychlostí nebudu zabývat. [1] A právě tyto změny rychlosti způsobují, že nedokážeme odvodit jednoduchý vztah například pro délku vrhu nebo maximální výšku míčku. Dráhu míčku však přesto můžeme z počátečních hodnot sestrojit, a to například tak, že ji budeme kreslit kousek po kousku tzn. nejprve v čase ti , dále pak pokračujeme v čase ti+1, kde i = 0,1,2,…,n. Vyjdeme z počáteční hodnoty rychlosti a úhlu vrhu míčku a spočítáme jeho polohu za 15
krátký časový úsek ∆t, například setinu sekundy. Nyní upravíme velikost vodorovné a svislé složky rychlosti v čase vx,y(ti), které se zmenšily působením odporové síly (pozor - svislá složka se samozřejmě navíc zmenší také působením gravitační síly), a které v dalším kroku, pro vx,y(ti+1) považuji za počáteční hodnoty. S novými hodnotami rychlosti pak vypočítáme další polohu (souřadnici) míčku, po další setině sekundy. Celý tento proces opakujeme, dokud nevykreslíme celou křivku. Takovému postupu se říká Eulerova metoda. [3]
Počáteční rychlosti ve vodorovném a svislém směru: Další
v x 0 = v0 ⋅ cos α souřadnice
po v y 0 = v 0 ⋅ sin α
jednotlivých
krocích dopočítáváme podle následujícího schématu:
Fx = − k ⋅ v x2 ( t i −1 )
F y = − k ⋅ v y2 ( t i −1 ) − m ⋅ g
Fx m v x ( t i ) = v x ( t i −1 ) − a x ⋅ ∆t
ay =
ax =
Fy
m v y ( t i ) = v y ( t i −1 ) + a y ⋅ ∆t y ( t i ) = y ( t i −1 ) + v y ( t i ) ⋅ ∆t
x ( t i ) = x ( t i −1 ) + v x ( t i ) ⋅ ∆t (5)
(6)
Koeficient k [podle (4)] odporové síly určíme z Newtonova vztahu pro velikost odporové síly při turbulentním obtékání jako: (7) kde C je součinitel dynamického odporu, který má pro obtékání koule hodnotu přibližně 0,48, ρ je hustota vzduchu a S je obsah průřezu míčku kolmo ke směru pohybu, tedy obsah kruhu. [3] Souřadnice pro pohyb s horní(-) a dolní(+) rotací v odporovém prostředí:
Fx = − k ⋅ v x2 (t i −1 ) ± Fz ⋅ cos (α )( t i −1 )
F y = − k ⋅ v y2 ( t i −1 ) − m ⋅ g ± Fz ⋅ sin (α )( t i −1 )
Fx m v x ( t i ) = v x (t i −1 ) − a x ⋅ ∆t
ay =
m v y ( t i ) = v y ( t i −1 ) + a y ⋅ ∆ t
x ( t i ) = x ( t i −1 ) + v x ( t i ) ⋅ ∆t
y ( t i ) = y ( t i −1 ) + v y ( t i ) ⋅ ∆t
ax =
(8)
Fy
(9)
16
Další veličiny: m je hmotnost míčku, g je tíhové zrychlení, ∆t je malý časový úsek, po kterém počítáme přírůstky souřadnic. ∆t volíme s ohledem na celkovou dobu vrhu tak, abychom dostali alespoň 40 hodnot souřadnic v grafu - tedy například ∆t = 0,05 s pro pohyb, který trvá přibližně dvě sekundy (čím menší je ∆t tím přesnější křivku dostaneme, ale musíme počítat déle). [3]
6. Nerotující míč v letu Pohyb takovéhoto míče by se zdál pro laika velmi předvídatelný, ale jak se následně přesvědčíme, nemusí tomu vždy tak být. Obtékání míče vzduchem totiž není zdaleka tak jednoduché, jak by se mohlo zdát. Malý míček pohybující se nevelkou rychlostí proniká vzduchem „spořádaně“. Rozráží vzduch a ten se za ním zase rychle „uklidní“. Pohyb míčku je klidný, dráha je předvídatelná. Říkáme, že proudění vzduchu kolem míčku je laminární. Ovšem při nějaké míčové hře takový pohyb nemá valný význam. [4]
Obr. 6 Laminární proudění [4] Situace se výrazně změní při větší velikosti a vyšší rychlosti míče. Proud vzduchu za míčem se nestihne klidně uzavírat a proto za ním vznikají vzdušné víry. V nich vzduch proudí neuspořádaně a značnou rychlostí. Říkáme, že proudění vzduchu kolem míče je turbulentní. Důsledkem je snížení tlaku za míčem. Míč je tedy brzděn, a to i značnou silou. Tato brzdná síla však není konstantní. Mění se v čase, ale především také na různá místa míče působí různé síly. Takový míč tedy letí velmi nepředvídatelně.
17
Tohoto jevu lze nejvíce vysledovat při podání ve volejbale. Volejbalový míč je totiž relativně lehký a při správném úderu je schopen se v letu odklonit ze své dráhy i o několik centimetrů. [4]
Obr. 7 Turbulentní proudění [4]
7. Rotující míč v letu Kolem letícího míče proudí vzduch určitou rychlostí. Kromě toho se míč otáčí kolem své osy (rotaci mu udělil fotbalista nebo tenista svým kopem resp. úderem rakety). Svou rotací způsobí míč také kruhové proudění vzduchu. Mohli bychom říci, že míč strhává vzduch ve své blízkosti a nutí ho k proudění ve směru své rotace. [5]
Obr. 8 Dolní rotace míče s vyznačenou tlakovou silou [5] Nad míčem se setkávají proudy vzduchu v opačných směrech, celkově se proto proudění vzduchu nad míčem zpomaluje. Na spodní straně míče se setkávají proudy vzduchu ve shodných směrech, celková rychlost proudění se zvyšuje. Nad míčem tedy proudí vzduch pomaleji než pod ním. Změny rychlosti proudění souvisí se změnami tlaku vzduchu. V místě pomalejšího proudění (nad míčem) se tlak zvyšuje, v místě
18
rychlejšího proudění (pod míčem) se tlak snižuje. Výsledkem je tlaková síla působící směrem dolů. Tato síla nutí míč po výkopu rychleji klesat. [5]
Snadno již vysvětlíme chování míče, jemuž je udělena rotace opačná než v předchozím případě:
Obr. 9 Horní rotace míče s vyznačenou tlakovou silou [5]
Nyní je vzduch míčem strháván k rychlejšímu proudění nad míčem. Tlak se tedy snižuje nad míčem, zvyšuje se pod ním a výsledkem je tlaková síla působící směrem vzhůru. [5]
19
8. Simulace pohybu nerotujícího a rotujícího míče v odporovém prostředí Jestliže už znám všechny potřebné veličiny a hodnoty, můžu na závěr nasimulovat reálný pohyb míče v odporovém prostředí a při působení Magnusova jevu, tzn. při rotaci míče, a to dva případy, rotaci “zhora” a rotaci “zdola”. V mém případě jsem uvažoval fotbalový míč, který má téměř hladký povrch, takže jej můžu považovat za ideálně hladký (narozdíl třeba od tenisového míčku). Postup simulace je stejný jako v případě modelování pohybu míčku v kapitole 5.5. pomocí Eulerovy metody, jen se k odporové síle přičte nebo odečte (podle rotace “zhora” nebo “zdola”) vztlaková síla podle Kutta – Žukovského vztahu. Oba úkazy z kapitoly 7. jsou způsobeny tzv. Magnusovým jevem. Uvážíme tzv. potenciální vír Γ (cirkulace), obtékání tělesa prostředím, které definujeme jako:
Γ = 2 ⋅ Π ⋅ r02 ⋅ ω
(10)
kde r0 je poloměr tělesa (míče) a ω je úhlová rychlost. Jestlliže pak známe rychlost proudění vzduchu w, můžeme definovat tzv. Kutta – Žukovského vztah:
Fv = ρ ⋅ L ⋅ w ⋅ Γ
(11)
kde ρ je hustota prostředí (vzduchu), L je rozpětí tělesa (průmer míče) a w je rychlost proudění vzduchu.
20
8.1. Pohyb míče bez rotace Rychlost vx míče v odporovém prostředí
-1
v x [m*s ]
17,0
14,0
11,0
8,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 12 Závislost složky rychlosti vx na čase t při pohybu míče bez rotace v odporovém prostředí [podle (5)] Vidíme, že složka rychlosti vx klesá s časem mírně exponenciálně, to je dáno právě odporovou silou. Počáteční hodnota vx0 = 17,36 m*s-1. V čase 1,8 s, kdy míč narazí do země je hodnota vx = 9,26 m*s-1.
Rychlost vy míče v odporovém prostředí 8,0
vy [m*s-1]
4,0 0,0 0,00
0,25
0,50
1,00 cc
0,75
1,25
1,50
1,75
2,00
-4,0 -8,0 -12,0
t [s]
Obr. 13 Závislost složky rychlosti vy na čase t při pohybu míče bez rotace v odporovém prostředí [podle (6)] Jelikož v čase 0,93 s je míč v nejvyšším bodě, je v tomto čase vy = 0 m*s-1. Dále má tato složka rychlosti zápornou hodnotu. Počáteční hodnota vy0 = 9,94 m*s-1. Při nárazu do země je hodnota vy = 9,13 m*s-1.Zde jsou grafy závislostí souřadnic (x, y) a
21
rychlostí (vx, vy) na čase t, při pohybu fotbalového míče o průměru r = 22 cm (klasická velikost 5), počáteční rychlosti 20 ms-1, v odporovém prostředí (vzduch o hustotě 1,2 kg*m-3).
Souřadnice x míče v odporovém prostředí 24,0
x [m]
20,0 16,0 12,0 8,0 4,0 0,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 10 Závislost souřadnice x na čase t při pohybu míče bez rotace v odp. prostředí [podle (5)]
Souřadnice y míče v odporovém prostředí 5,0
y [m]
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
t [s]
Obr. 11 Závislost souřadnice y na čase t při pohybu míče bez rotace v odp. prostředí [podle (6)]
22
Trajektorie pohybu míče v odporovém prostředí 5,0
y [m]
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,00
4,05
7,68
10,98
14,00
16,78
19,36
21,77
24,03
x [m]
Obr. 14 Trajektorie pohybu míče v odporovém prostředí Trajektorie pohybu míče se na první pohled zdá, jako by na míč odporová síla nepůsobila a pohyb by se konal po křivce (parabole) šikmého vrhu ve vakuu, ale není tomu tak. Při bližším shlédnutí a hlavně při pohledu na tabulku vypočítaných hodnot je jasné, že odporová síla, byť malá, na pohyb míče působí. Maximální výška nastává asi po 13 m od výkopu míče. Náraz míče do země nastává ve vzdálenosti asi 22 m od počátku. Odporová síla sice ovlivňuje vzdálenost dopadu fotbalového míče, ale v malé míře.
23
8.2. Pohyb míče s rotací Následují grafy závislostí souřadnic (x, y) a rychlostí (vx, vy) na čase t, při pohybu fotbalového míče o průměru r = 22 cm (klasická velikost 5), počáteční rychlosti 20 ms-1, v odporovém prostředí (vzduch o hustotě 1,2 kg*m-3) s rotací (horní a dolní). Úhlová rychlost míče je 10 ot*s-1 a rychlost proudění vzduchu je w = 10 m*s-1.
Horní rotace míče: Rychlost v x míče s horní rotací v odporovém prostředí 18,0
vx [m*s -1]
16,0
14,0
12,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 17 Závislost složky rychlosti vx na čase t při pohybu míče s horní rotací v odporovém prostředí [podle (8)] Jak bylo očekáváno, složka rychlosti vx sice klesá, ale celkový pokles není moc strmý, jelikož horní rotace brání složce rychlosti vx ve strmějším klesání, proto také míč s horní rotací doputuje do větší vzdálenosti od výkopu než při opačné rotaci míče. Rychlost v y míče s horní rotací v odporovém prostředí
8,0
vy [m*s-1]
4,0 0,0 0,00 -4,0
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
-8,0 -12,0
t [s]
Obr. 18 Závislost složky rychlosti vy na čase t při pohybu míče s horní rotací v odporovém prostředí [podle (9)]
24
Jelikož v čase 1,06 s je míč v nejvyšším bodě, je v tomto čase vy = 0 m*s-1. Dále má tato složka rychlosti zápornou hodnotu. Počáteční hodnota vy0 = 9,94 m*s-1. Při nárazu do země je hodnota vy = 11,35 m*s-1. I tu vidíme změnu danou horní rotací míče.
Souřadnice x míče s horní rotací v odporovém prostředí 30,0
x [m]
25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 15 Závislost souřadnice x na čase t při pohybu míče s horní rotací v odp. prostř. [podle (8)]
Souřadnice y míče s horní rotací v odporovém prostředí 6,0 5,0
y [m]
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 16 Závislost souřadnice y na čase t při pohybu míče s horní rotací v odp. prostř. [podle (9)]
Maximální výška 5 m nastává v čase 1,06 s. Vidíme, že oproti pohybu bez rotace je maximální výška větší téměř o jeden metr a nastává za delší čas, což je důsledkem horní rotace míče.
25
Trajektorie pohybu míče s horní rotací v odporovém prostředí 6,0 5,0
y [m]
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,00
4,20
8,22
12,10
15,89
19,60
23,24
26,83
30,34
x [m]
Obr. 19 Trajektorie pohybu míče s horní rotací v odporovém prostředí
Nyní už jde velmi jasně poznat, že pohyb míče je již ovlivněn nejen odporovou silou prostředí, ale i Magnusovým jevem tzn. horní rotací míče. Trajektorie míče s horní rotací v odporovém prostředí nám ukazuje v první části křivky pomalejší nástup, ve druhé části však strmější klesání. Maximální výšku asi 5 m dosahuje míč asi v 17 m od výkopu. Náraz míče do země nastává ve vzdálenosti asi 30 m od počátku. Horní rotace velmi ovlivňuje délku dopadu fotbalového míče.
26
Dolní rotace míče: Rychlost v x míče s dolní rotací v odporovém prostředí
-1
v x [m*s ]
16,0 12,0 8,0 4,0 0,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 22 Závislost složky rychlosti vx na čase t při pohybu míče s dolní rotací v odporovém prostředí [podle (8)] Zde vidíme, jak složka rychlosti vx klesá a celkový pokles je dosti strmý, jelikož dolní rotace napomáhá složce rychlosti vx ke klesání, proto také míč s dolní rotací doputuje do kratší vzdálenosti od výkopu než při opačné rotaci míče. Všimněme si též, o jak velkou hodnotu tato složka rychlosti klesne.
Rychlost v y míče s dolní rotací v odporovém prostředí
8,0
-1
v y [m*s ]
4,0 0,0 0,00 -4,0
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
-8,0 -12,0
t [s]
Obr. 23 Závislost složky rychlosti vy na čase t při pohybu míče s dolní rotací v odporovém prostředí [podle (9)] Jelikož v čase 0,77 s je míč v nejvyšším bodě, je v tomto čase vy = 0 m*s-1. Dále má tato složka rychlosti zápornou hodnotu. Počáteční hodnota vy0 = 9,94 m*s-1. Při nárazu do země je hodnota vy = 7 m*s-1. Opět vidíme změnu danou dolní rotací míče. 27
Souřadnice x míče s dolní rotací v odporovém prostředí
16,0
x [m]
12,0 8,0 4,0 0,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 20 Závislost souřadnice x na čase t při pohybu míče s dolní rotací v odp. prostředí [podle (8)]
Nyní jasně vidíme, jak je pohyb míče s dolní rotací výrazně kratší než v případě horní rotace, a že míč v tomto případě výrazně zpomaluje svůj pohyb (zakřivení křivky).
Souřadnice y míče s dolní rotací v odporovém prostředí 6,0 5,0
y [m]
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
t [s]
Obr. 21 Závislost souřadnice y na čase t při pohybu míče s dolní rotací v odp. prostředí [podle (9)]
Maximální výška 3,5 m nastává v čase 0,77 s. Vidíme, že naopak oproti pohybu bez rotace je maximální výška menší téměř o jeden metr a nastává za kratší čas, což je důsledkem dolní rotace míče.
28
Trajektorie pohybu míče s dolní rotací v odporovém prostředí 6,0 5,0
y [m]
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,00
3,89
7,14
9,83
12,03
13,82
15,27
16,45
17,44
x [m]
Obr. 14 Trajektorie pohybu míče s dolní rotací v odporovém prostředí
I tu je velmi jasně poznat, že pohyb míče je již ovlivněn nejen odporovou silou prostředí, ale i Magnusovým jevem tzn. dolní rotací míče.Trajektorie míče s dolní rotací v odporovém prostředí nám ukazuje v první části křivky rychlejší nástup, ve druhé části však pozvolné klesání. Maximální výšku asi 3,5m dosahuje míč asi v 10 m po 0,77 po výkopu. Náraz míče do země nastává ve vzdálenosti asi 16 m od počátku. Dolní rotace velmi ovlivňuje délku dopadu fotbalového míče.
Srovnání jednotlivých trajektorií horní rotace
6 5
y [m]
4
šikmý vrh ve vakuu
3 2
odpor. prostř.
1 0 0
5
10
15
x [m]
29
20
25
30
35
dolní rotace
9. Závěr Byla provedena simulace pohybu fotbalového míče, a to bez rotace v odporovém prostředí, s horní rotací v odporovém prostředí a s dolní rotací v odporovém prostředí. Jednotlivých trajektorie těchto pohybů nám potvrdily, že odporová síla ovlivňuje dráhu míče jen velmi málo. K opravdu většímu ovlivnění letu míče je potřeba udělení rotace, a to rotace horní, pro delší a vyšší let míče, a rotaci dolní pro kratší a méně vysoký let míče. Každý, kdo si někdy s míčem házel nebo hrál nějakou míčovou hru ví, jak se míč v jednotlivých fázích letu chová. Pro např. fotbalistu je právě předpovídání trajektorie míče velmi důležitou činností, a to jak pro brankáře, který musí letící míč chytit, tak i pro samotné hráče, kteří letící míč zpracovávají do klidu buď nohou, tělem, nebo i hlavou. Jistě by zcela jiné byly trajektorie pohybu např. volejbalového míče, který je jen o něco málo menší než fotbalový, ale jeho hmotnost je výrazně menší. A právě pomocí mé práce si může každý tuto trajektorii a jednotlivé hodnoty vypočítat a nasimulovat.
30
10. Seznam literatury
[1] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika (Část 1. – Mechanika). Nakladatelství Vutium, Prometheus, Praha 2000
[2] Doc. Hlavička, A. a kol.: Fyzika pro pedagogické fakulty I.díl. SPN, Praha 1971
[3] http://fyzweb.cuni.cz/dilna/krouzky/vrhy/vrhy.htm
[4] http://projektysipvz.gytool.cz/ProjektySIPVZ/Default.aspx?uid=745
[5] http://projektysipvz.gytool.cz/ProjektySIPVZ/Default.aspx?uid=744
[6] http://web.gfxs.cz/gpole/
Příloha Tabulka hodnot pro pohyb míče bez rotace v odporovém prostředí:
Tabulka hodnot pro pohyb míče s horní rotací v odporovém prostředí:
Tab. s hodnotami a výpočtem Kutta – Žukovského vztahu pro horní rotaci:
Tabulka hodnot pro pohyb míče s dolní rotací v odporovém prostředí:
Tab. s hodnotami a výpočtem Kutta – Žukovského vztahu pro dolní rotaci:
