MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ, FAKULTA. Fyzika plazmatu I

ˇ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNE, ˇ ÍRODOVEDECK ˇ ´ PR A

Fyzika plazmatu I.

J. Janˇ ca, V. Kudrle, M. Eli´ aˇ s, (L. Zaj´ıˇ ckov´ a)

Brno

2003

Obsah ´ 1 Uvod

1

2 Sr´ aˇ zkov´ e procesy ´ 2.1 Uˇcinn´ y pr˚ uˇrez, stˇredn´ı volná dráha, sráˇzková frekvence 2.2 Párové (binárn´ı) sráˇzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Reprezentace sráˇzek v rychlostn´ım prostoru . . . . . . 2.4 Pomˇerná ztráta energie ˇca´stice pˇri pruˇzné sráˇzce . . . . 2.5 Dynamika párov´ ych sráˇzek . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Diferenciáln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Pruˇzná sráˇzka jako ráz tuh´ ych pruˇzn´ ych koul´ı . . . . . 2.8 Rozptyl v Coulombovském poli (Rutherford˚ uv rozptyl) ´ 2.9 Uˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro pˇrenos hybnosti . . . . . . . . . . . 3 Kinetick´ a teorie plazmatu 3.1 Rozdˇelovac´ı funkce rychlost´ı . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Boltzmannova kinetická rovnice (BKR) . . . . . . . . 3.3 Sráˇzkov´ y ˇclen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Základn´ı pˇredpoklady a omezen´ı BKR . . . . . . . . 3.5 Tlak jednotliv´ ych komponent v plazmatu . . . . . . . 3.6 Teplota a tepelná energie . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ı BKR pro rovnováˇzn´ 3.7 Reˇ y stav . . . . . . . . . . . 3.8 Maxwellovo rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Boltzmann˚ uv faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Makroskopické (hydrodynamické) rovnice . . . . . . . 3.10.1 Rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.2 Rovnice hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3 Eulerova rovnice (hydrodynamická rovnice pro 3.11 Plazma jako elektricky vodivé prostˇred´ı . . . . . . . . 4 Transportn´ı procesy v plazmatu I ˇ sen´ı BKR obecnˇe rozveden´ım v ˇradu . . 4.1 Reˇ 4.2 Sráˇzkov´ y ˇclen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Elektrická vodivost plazmatu . . . . . . . 4.4 Elektrická vodivost plazmatu v magn. poli 4.5 Difuze voln´ ych elektron˚ u . . . . . . . . . . 4.6 Difuze v magnetickém poli . . . . . . . . . 4.7 Debye˚ uv st´ın´ıc´ı polomˇer . . . . . . . . . . 4.8 Plazmová frekvence . . . . . . . . . . . . . ii

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . plazma) . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

3 3 4 6 7 7 8 10 11 11

. . . . . . . . . . . . . .

14 14 16 17 20 21 22 22 24 27 28 30 31 32 33

. . . . . . . .

34 34 36 38 39 40 41 42 44

OBSAH 5 Z´ akladn´ı jevy v plazmatu II 5.1 Difuze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Difuze elektron˚ u a jejich pohyblivost . . . . . . . . . . . 5.3 Ambipolárn´ı difuze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Difuze v magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Bohmova difuze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Elektrická vodivost a permitivita plazmatu . . . . . . . . 5.6 Vodivost a dielektrická konnstanta izotropn´ıho plazmatu 5.7 Dielektrické vlastnosti izotropn´ı plazmatu . . . . . . . . ˇıˇren´ı elektromagnetick´ 5.8 S´ ych vln v plazmatu . . . . . . . . 5.9 Individuáln´ı a kolektivn´ı p˚ usoben´ı nabit´ ych ˇca´stic . . . . 5.10 Reprezentativn´ı délky v plazmatu . . . . . . . . . . . . . 5.11 Rovnice Fokker-Planckova . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11.1 V´ ypoˇcet Focker-Planckov´ ych koeficient˚ u . . . . . 5.11.2 Slabˇe a silnˇe ionizované plazma . . . . . . . . . . 5.12 Vzdálené(slabé) Coulombovské sráˇzky . . . . . . . . . . .

iii

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

46 46 46 47 49 50 50 51 52 53 54 55 56 57 59 60

A Tenzorov´ a symbolika

62

ˇ B Cesko – anglick´ y slovn´ıˇ cek pojm˚ u

63

iv

OBSAH

Kapitola 1 ´ Uvod Tento uˇcebn´ı text pokr´ yvá náplˇ n základn´ı pˇrednáˇsky Fyzika plazmatu pro posluchaˇce 3.roˇcn´ıku bakaláˇrského studia odborné fyziky. Uvedená problematika je pˇrednáˇsena bˇehem dvouhodinového semestráln´ıho kurzu s jednohodinov´ ym cviˇcen´ım. ˇ y jazyk umoˇzn Cesk´ ˇuje rozliˇsit r˚ uzné druhy substanc´ı oznaˇcovan´ ych jako plazma. Tento pojem zavedl do vˇedeckého obborného jazyka J. E. Purkynˇe. Rozliˇsujeme ta plazma (biologie, medic´ına) a to plazma (fyzika). Plazma je kvazineutráln´ı ionizovan´ y plyn. Podle toho zda kromˇe nabit´ ych ˇca´stic obsahuje i neutráln´ı molekuly a atomy, rozdˇelujeme plazma na slabˇe a silnˇe ionizované. Vlastnosti: 1. Kvazineutralita (N − ≈ N + ), t.j. poˇcet kladn´ ych a záporn´ ych náboj˚ u je stejn´ y, plazma se navenek chová jako neutráln´ı prostˇred´ı. 2. Lineárn´ı rozmˇery plazmatu (plazmového objektu) l mus´ı b´ yt mnohem vˇetˇs´ı neˇz charakteristická délka elektrostatického odst´ınˇen´ı hD , tzv. Debyova délka (l hD ). 3. V ideáln´ım plazmatu je dostateˇcn´ y poˇcet ˇca´stic ND v Debyovˇe kouli ( 34 πh3D N 1) a tud´ıˇz je hD statisticky v´ yznamn´ ym parametrem. 4. Frekvence elektronov´ ych fluktuaˇcn´ıch oscilac´ı plazmatu (plazmová frekvence) Q mus´ı b´ yt podstatnˇe vˇetˇs´ı neˇz sráˇzková frekvence ( − ν).

Q−

V´ yskyt plazmatu • v pˇr´ırodˇe

– na Zemi – ve vesmiru • v laboratoˇri – izotermické Te ≈ Ti ≈ Tg , t.j. teplota elektron˚ u, iont˚ u a neutráln´ıho plynu jsou pˇribliˇznˇe stejné – neizotermické Te 6= Ti 6= Tg (zpravidla vˇsak b´ yvá splnˇeno Ti ≈ Tg ) ˇ Casto rozliˇsujeme plazma dle teploty na • vysokoteplotn´ı (Tg > 100000 K) – nukleárn´ı v´ ybuch, f´ uze, nitra hvˇezd 1

´ KAPITOLA 1. UVOD

2

• n´ızkoteplotn´ı (Tg < 10000 K) – plameny, elektrické v´ yboje za sn´ıˇzeného tlaku, el. oblouk, plazmatrony . . . Pr˚ umyslové vyuˇzit´ı v souˇcasnosti: • v´ yroba LSI a VLSI (very large scale integration) obvod˚ u • plazmové leptán´ı a nanáˇsen´ı vrstev • plazmová chemie • plazmové stˇr´ıkán´ı • plynové lasery • osvˇetlovac´ı technika

Kapitola 2 Sr´ aˇ zkov´ e procesy 2.1

´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇ rez, stˇ redn´ı voln´ a dr´ aha, sr´ aˇ zkov´ a frekvence

Definice základn´ıch pojm˚ u: ´ cinný pr˚ Uˇ uˇrez (Q [m2 ]) je m´ırou pravdˇepodobnosti sráˇzky molekuly (ˇca´stice) s jinou molekulou (ˇca´stic´ı). Sráˇzková frekvence (ν [s−1 ]) je poˇcet sráˇzek dané molekuly (ˇca´stice) za jednotku ˇcasu. Je moˇzno vytvoˇrit celou ˇradu sráˇzkov´ ych model˚ u (model tvrd´ ych pruˇzn´ ych koul´ı, model uvaˇzuj´ıc´ı Coulombovské p˚ usoben´ı, . . . ), které se budou liˇsit závislost´ı u ´ˇcinného pr˚ uˇrezu na vzájemné rychlosti g. Plat´ı ν(g) = gQ(g)N (2.1) kde N je hustota ˇca´stic ([m−3 ]). Stˇredn´ı volná dráha mezi sráˇzkami je pak ¯= g = 1 λ ν QN

(2.2)

Necht’ nyn´ı p(l) je pravdˇepodobnost, ˇze molekula (ˇca´stice) s rychlost´ı g bude m´ıt volnou dráhu alespoˇ n l. Protoˇze νg je poˇcet sráˇzek na jednotku délky dráhy, pravdˇepodobnost toho, ˇze sráˇzka nastane bˇehem probˇehnut´ı vzdálenosti dl bude νg dl, a tedy λ1¯ dl. Potom pravdˇepodobnost toho, ˇze sráˇzka bˇehem dl neprobˇehne bude 1 − dl ¯. λ Pravdˇepodobnost, ˇze molekula (ˇca´stice) probˇehne bez sráˇzky nejménˇe vzdálenost l+dl je rovna pravdˇepodobnosti probˇehnut´ı dráhy l násobené pravdˇepodobnost´ı probˇehnut´ı dráhy dl. Plat´ı tedy dl (2.3) p(l + dl) = p(l)(1 − ¯ ) λ dl p(l + dl) − p(l) = − ¯ p(l) λ dp(l) dl =−¯ p(l) λ l ln p(l) = − ¯ + konst. λ 3

´ ZKOV ˇ ´ PROCESY KAPITOLA 2. SRA E

4

Protoˇze p(0) = 1 ⇒ konst. = 0. Potom ˇreˇsen´ım bude l p(l) = exp(− ¯ ) λ

(2.4)

Tato rovnice nám udává rozdˇelen´ı voln´ ych drah molekul (ˇca´stic), viz. Obr.2.1. Máme-li M l molekul (ˇca´stic) v uvaˇzovaném objemu, potom M e− λ¯ molekul (ˇca´stic) má volnou dráhu alespoˇ n l. 1.0

λ = 1mm λ = 2mm λ = 5mm

0.9 0.8 0.7

p(x)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0

2

4

6

8

10

x [mm]

Obrázek 2.1: Pravdˇepodobnost, ˇze volná dráha mezi dvˇema sráˇzkami bude alespoˇ n x, ¯ prezentovaná pro 3 hodnoty λ.

2.2

P´ arov´ e (bin´ arn´ı) sr´ aˇ zky

Budeme uˇz´ıvat tenzorovou symboliku, kde xi oznaˇcuje vektor, i = 1, 2, 3 (viz dodatek na str.62). Jednotlivé typy sráˇzek lze rozdˇelit do následuj´ıc´ıch hlavn´ıch skupin: • pruˇzné (elastické) – plat´ı zákon zachován´ı kinetické energie a hybnosti • nepruˇzné (inelastické) – ˇca´stice pohlt´ı ˇca´st kinetické energie (excitace, disociace, ionizace, záchyt) • superelastické – ˇca´stice z´ıská dodateˇcnou kinetickou energii z energie vnitˇrn´ı (analogie anti-Stokesov´ ych ˇcar) Uvaˇzujeme dvˇe ˇca´stice (atomy, molekuly, elektrony, ionty, . . . ) A a B s hmotnostmi m A a mB . Zaved’me MA =

mA mA + m B

,

MB =

mB mA + m B

Situace v laboratorn´ım souˇradném systému: viA , viB – rychlost ˇca´stice typu A, B pˇred sráˇzkou v˜iA , v˜iB – rychlost ˇca´stice typu A, B po sráˇzce

,

MA + MB = 1

(2.5)

´ ZEK ˇ 2.3. REPREZENTACE SRA V RYCHLOSTNÍM PROSTORU

5

giAB , giAB – rychlost A relativnˇe k B, rychlost B relativnˇe k A pˇred sráˇzkou g˜iAB , g˜iAB – rychlost A relativnˇe k B, rychlost B relativnˇe k A po sráˇzce

giAB = viA − viB g˜iAB = v˜iA − v˜iB

giAB = −giBA g˜iAB = −˜ giBA

|giAB | = |giBA | = g |˜ giAB | = |˜ giBA | = g˜

(2.6)

Uvaˇzujme pouze pruˇzné sráˇzky a dosad’me do zákon˚ u zachován´ı 1 A A A 1 B B B 1 A A A 1 B B B m vi vi + m vi vi = m v˜i v˜i + m v˜i v˜i 2 2 2 2 A A B B A A B B m vi + m vi = m v˜i + m v˜i

(2.7) (2.8)

Z definice tˇeˇziˇstˇe systému (rovnost statick´ ych moment˚ u) plat´ı xG i =

B B m A xA i + m xi mA + m B

(2.9)

viG =

mA viA + mB viB mA + m B

(2.10)

Jeho rychlost

Ze zákona zachován´ı hybnosti pak plyne, ˇze rychlost tˇeˇziˇstˇe se pˇri sráˇzce nemˇen´ı viG = v˜iG

(2.11)

Kdyˇz dosad´ıme za viB = viA − g AB a uˇzijeme vztah˚ u pro hmotnosti dostaneme viA = viG + M B giAB

viB = viG + M A giBA

(2.12)

v˜iA = viG + M B g˜iAB

v˜iB = viG + M A g˜iBA

(2.13)

a obdobnˇe Tyto rovnice vyjadˇruj´ı rychlosti molekul A, B pˇred a po sráˇzce jako funkce rychlosti tˇeˇziˇstˇe a relativn´ıch rychlost´ı obou molekul. Po dosazen´ı tˇechto rovnic do vztahu pro zachován´ı energie, dostaneme X 1 AX G 1 m (vi + M B giAB )2 + mB (viG + M A giBA )2 = 2 2 i i X 1 AX G 1 = m (vi + M B g˜iAB )2 + mB (viG + M A g˜iBA )2 2 2 i i

(mA

(2.14)

mB mB mA mA mB mB mA mA B AB AB A B +m )g g = (m +m )˜ g AB gÃB (mA + mB )2 (mA + mB )2 i i (mA + mB )2 (mA + mB )2 i i giAB giAB = g˜iAB g˜iAB |gi | = |˜ gi |

Tedy velikost relativn´ı rychlost´ı se nemˇen´ı pˇri elastick´ ych sráˇzkách.

(2.15)


6

B~ M g i AB

χ

B AB

M gi ~ vi A v

G

i

v

ξ

vi

2

v

A

v1

3

Obrázek 2.2: Reprezentace binárn´ı elastické sráˇzky v rychlostn´ım prostoru.

2.3

Reprezentace sr´ aˇ zek v rychlostn´ım prostoru

ˇ sen´ı sráˇzkov´ Reˇ ych problém˚ u se ˇcasto zjednoduˇs´ı pouˇzit´ım rychlostn´ıho prostoru. V pˇr´ıpadˇe tˇeˇziˇst’ového souˇradného systému poˇca´tek souˇradného systému pˇresuneme do kongi | ⇒ |M B giAB | = |M B g˜iAB | tak viA a v˜iA leˇz´ı cového bodu vektoru viG . Protoˇze |gi | = |˜ G vˇzdy na kruˇznici se stˇredem v vi o polomˇeru |M B giAB | = M B g, viz Obr.2.2, kde ξ je u ´hel rozptylu ˇca´stice A v laboratorn´ı soustavˇe a χ je u ´hel rozptylu ˇca´stice A v tˇeˇziˇst’ové soustavˇe. Podobnˇe lze z dˇr´ıve uveden´ ych rovnic nahlédnout, ˇze viB a v˜iB leˇz´ı rovnˇeˇz na kruˇznici se stˇredem v viG , ale o polomˇeru |M A giBA | = M A g (viz Obr.2.3). Avˇsak pokud A je elektron a B je atom, M A g b´ yvá o nˇekolik ˇra´d˚ u menˇs´ı neˇz M B g.

∆ vi

A

B

M g χ ~A vi

vB i

M Ag

G

vi

vA i

v

~B vi

2

v3

v1

Obrázek 2.3: Vzájemn´ y vztah mezi rychlostmi ˇca´stic A, B a tˇeˇziˇstˇe pˇred a po sráˇzce

ˇ ´ ZTRATA ´ ˇ ASTICE ´ ˇ PRUZN ˇ E ´ SRA ´ ZCE ˇ 2.4. POMERN A ENERGIE C PRI Z obrázku téˇz plyne |∆viA | = |viA − v˜iA | = 2M B g sin

2.4

χ 2

7

(2.16)

Pomˇ ern´ a ztr´ ata energie ˇ c´ astice pˇ ri pruˇ zn´ e sr´ aˇ zce

Energie ztracená molekulou(ˇca´stic´ı) pˇri sráˇzce s jinou molekulou(ˇca´stic´ı), která byla p˚ uvodnˇe v klidu, m˚ uˇze b´ yt nalezena pomoc´ı pˇredeˇslého nákresu(Obr.2.3). Pomoc´ı kosinové vˇety m˚ uˇzeme psát (˜ viA − viB )2 = (M B g)2 + (M A g)2 + 2M A M B g 2 cos χ = g 2 (M A + M B )2 − 2M A M B g 2 + 2M A M B g 2 cos χ

(2.17)

V´ıme ale, ˇze M A + M B = 1. Pˇredeˇsl´ y vztah lze upravit následovnˇe (˜ viA − viB )2 = g 2 − 2M A M B g 2 (1 − cos χ)

(2.18)

Poˇca´teˇcn´ı pˇredpoklad byl viB = 0. V tomto pˇr´ıpadˇe viA = giAB = −giBA tedy viA viA = g 2 . Potom (2.19) v˜iA v˜iA = viA viA − 2M A M B viA viA (1 − cos χ) Kinetická energie molekuly pˇred sráˇzkou a po sráˇzce je 1 T A = mA viA viA 2 Po dosazen´ı

,

1 TÃ = mA v˜iA v˜iA 2

TÃ = T A + 2M A M B T A (1 − cos χ)

(2.20)

(2.21)

Pomˇerná ztráta po jedné sráˇzce pak bude δ=

∆T A T A − TÃ = = 2M A M B (1 − cos χ) TA TA

(2.22)

mA mB (1 − cos χ) (mA + mB )2

(2.23)

δ=2

Pro pˇr´ıpad sráˇzky kde mA mB , napˇr. sráˇzka elektronu s atomem (oznaˇcme mA = me = m a mB = mat = M ) δ=2

mM m (1 − cos χ) ≈ 2 (1 − cos χ) (m + M )2 M

Stˇredn´ı hodnota hδi = 2

2.5

2m m h1 − cos χi = M M

(2.24)

Dynamika p´ arov´ ych sr´ aˇ zek

Trojrozmˇern´ y problém lze redukovat na dvojrozmˇern´ y zaveden´ım tˇeˇziˇst’ového souˇradného ˇ systému. Casto lze volit takov´ y postup, ˇze jedna ˇca´stice se pohybuje v poli sférické symetrie. Pro tento pˇr´ıpad lze urˇcit nejmenˇs´ı pˇribl´ıˇzen´ı a u ´hel odklonu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se jedná o sráˇzku dvou ˇca´stic pˇri p˚ usoben´ı centráln´ı s´ıly, lze ukázat, ˇze obˇe ˇca´stice z˚ ustávaj´ı ve stejné rovinˇe.


8

Uvaˇzujme opˇet sráˇzku mezi molekulami A a B s hmotnost´ı mA a mB . Tyto molekuly na sebe p˚ usob´ı odpudivou nebo pˇritaˇzlivou silou Fi , která má smˇer pˇr´ımky spojuj´ıc´ı obˇe molekuly. FiA = mA xÄ , FiB = −FiA = mB x¨B (2.25) i i Násobme jednu rovnici mB a druhou −mA a seˇctˇeme FiA mB + FiA mA = mA mB (¨ xA ¨B i −x i ) Oznaˇcme redukovanou hmotnost systému m0 = x˙ A ˙B i −x i . Pak

mA mB . mA +mB

Vzájemná rychlost ˇca´stic je giAB =

d AB g (2.26) dt i Vid´ıme, ˇze pohyb molekul je ekvivalentn´ı pohybu jedné ˇca´stice o hmotˇe m0 s rychlost´ı usob´ı na molekulu A. g AB pˇri p˚ usoben´ı s´ıly FiA , která p˚ Vˇsimnˇeme si nyn´ı vlastnost´ı vektorového souˇcinu FiA = m0 xÄB = m0 i

A 0 AB AB ~xAB × F~ A = εijk xAB ¨k = 0 j Fk = m εijk xj x

(2.27)

Provedeme u ´pravu 0 m0 εijk xAB ÄB j x k = m εijk [

d AB AB (xj x˙ k ) − x˙ AB ˙ AB j x k ] = 0 dt

(2.28)

Druh´ y ˇclen je identicky roven nule, protoˇze se jedná o vektorov´ y souˇcin vektoru sama se AB AB sebou. Protoˇze x˙ k = gk , vid´ıme hned, ˇze εijk

d d AB AB AB (xj gk ) = (εijk xA j gk ) = 0 dt dt AB = Ki εijk xA j gk

(2.29)

Tedy vektorov´ y souˇcin ~xA × ~g AB je stále konstantn´ı, a proto se ˇca´stice pohybuj´ı stále v jedné rovinˇe kolmé k vektoru Ki . Tˇeˇziˇstˇe systému rovnˇeˇz leˇz´ı v této rovinˇe a pohybuje se nˇejakou konstantn´ı rychlost´ı viG .

Nyn´ı si poˇca´tek souˇradnic v této rovinˇe poloˇz´ıme právˇe do tˇeˇziˇstˇe systému. Napˇr. jedná-li se o rozptyl na Coulombovském potenciálu, u ´hel rozptylu je dle Rutherfordova vztahu tan

χ pc = 2 p

(2.30)

kde p je zámˇerná vzdálenost (sráˇzkov´ y parametr) a pc je kritická zámˇerná vzdálenost pc =

qA qB 4π0 m0 g 2

(2.31)

Pro p=pc je χ rovno právˇe π/2.

2.6

Diferenci´ aln´ı u ´ˇ cinn´ y pr˚ uˇ rez

´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇrez v podstatˇe definuje pravdˇepodobnost, ˇze nˇejak´ y typ sráˇzky nastane. Diferenciáln´ı u ´ˇcinný pr˚ uˇrez definuje pravdˇepodobnost, ˇze nalétávaj´ıc´ı ˇca´stice je pˇri sráˇzce rozpt´ ylena do daného prostorového u ´hlu.

´ Í U ´ CINN ˇ ´ PRU ˚REZ ˇ 2.6. DIFERENCIALN Y

9

dω ψ p

dψ

χ dχ

Obrázek 2.4: Diferenciáln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez. Mˇejme tok ˇca´stic (poˇcet ˇca´stic procházej´ıc´ıch kolmo jednotkou plochy za jednotku ˇcasu, téˇz intenzita svazku) I[m−2 s−1 ] dopadaj´ıc´ıch na pevné rozptylové centrum. Definujeme diferenciáln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez dQ jako poˇcet ˇca´stic rozptylovan´ ych do diferenciáln´ıho elementu prostorového u ´hlu dω za jednotku ˇcasu dˇelen´ y dopadaj´ıc´ı intenzitou (tokem). Z obrázku 2.4 vid´ıme, ˇze dω = sin χdχdψ. Jestliˇze je rozptyl symetrick´ y, tento v´ yraz m˚ uˇze b´ yt snadno integrován pˇres azimutáln´ı u ´hel ψ, takˇze dostáváme dΩ = 2π sin χdχ

(2.32)

Poˇcet ˇca´stic rozpt´ ylen´ ych za jednotku ˇcasu do prostorového u ´hlu mezi kuˇzely o polárn´ıch u ´hlech χ a χ + dχ, dˇelen´ y tokem dopadaj´ıc´ıch ˇca´stic m˚ uˇze b´ yt napsán jako dQ = S(χ)dΩ = 2πS(χ) sin χdχ

(2.33)

kde S(χ) je u ´hlová rozdˇelovac´ı funkce (ˇcasto se naz´ yvá téˇz diferenciáln´ı rozptylový u ´ˇcinný pr˚ uˇrez ). Ze zákona zachován´ı poˇctu ˇca´stic mus´ı b´ yt poˇcet ˇca´stic rozpt´ ylen´ ych mezi u ´hly χ a χ + dχ stejn´ y, jako poˇcet ˇca´stic procházej´ıc´ıch v zámˇerné vzdálenosti mezi p a p + dp. Takov´ ych ˇca´stic je zˇrejmˇe I2πpdp a tedy dQ = 2πpdp

(2.34)

Porovnán´ım posledn´ıch dvou rovnic a uváˇzen´ım, ˇze s rostouc´ım p klesá χ, dostaneme

p dp S(χ) = sin χ dχ

(2.35)

dp Velikost dχ záleˇz´ı na tvaru interakˇcn´ıho potenciálu. Totáln´ı (integráln´ı) u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez dostaneme integrac´ı pˇres vˇsechny moˇzné u ´hly rozptylu

Q=

Zπ 0

dQ = 2π

Zπ 0

S(χ) sin χdχ

(2.36)


10

2.7

Pruˇ zn´ a sr´ aˇ zka jako r´ az tuh´ ych pruˇ zn´ ych koul´ı

Vypoˇctˇeme u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez za pˇredpokladu, ˇze sráˇzej´ıc´ı se ˇca´stice jsou tuhé, pruˇzné koule. Polomˇery koul´ı jsou r1 a r2 .

r1

χ

θ

θ

r2 p θ

d

Obrázek 2.5: Ráz tuh´ ych koul´ı. Z obrázku 2.5 vid´ıme 2θ = π − χ

1 dθ = − dχ 2 p = (r1 + r2 ) sin θ

(2.37)

(2.38)

dp = (r1 + r2 ) cos θdθ Diferenciáln´ı u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez dQ = 2πpdp dQ = 2π(r1 + r2 ) sin θ(r1 + r2 ) cos θdθ Uprav´ıme

1 dQ = 2πd2 sin 2θdθ 2 dχ dQ = πd2 sin(π − χ)(− ) 2 π dQ = − d2 sin χdχ 2 Porovnáme s dQ = 2πS(χ) sin χdχ a dostaneme (r + r )2 2 1 S(χ) = 4

Celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez Q = 2π

Zπ 0

(r1 + r2 )2 sin χdχ = π(r1 + r2 )2 4

Coˇz je v podstatˇe logick´ y a oˇcekávan´ y v´ ysledek.

(2.39)

(2.40)

´ POLI (RUTHERFORDUV ˚ ROZPTYL) 2.8. ROZPTYL V COULOMBOVSKEM

2.8

11

Rozptyl v Coulombovsk´ em poli (Rutherford˚ uv rozptyl)

V´ıme jiˇz, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe tan

χ pc = 2 p

,

pc =

qAqB 4π0 mg 2

(2.41)

Diferencován´ım základn´ıho vztahu dostaneme pc 1 χ dχ = − 2 dp 2 2 cos 2 p dp p2 = dχ 2pc cos2

(2.42)

χ 2

Dosazen´ım této hodnoty do vztahu pro S(χ) dostaneme

p dp p3 1 S(χ) = = sin χ dχ 2pc sin χ cos2

χ 2

(2.43)

p3c cos3 χ2 χ pc 3 = tan ⇒ p = p 2 sin3 χ2

p2c S(χ) = 4 sin4

χ 2

p2c = (1 − cos χ)2

(2.44)

coˇz je znám´ y Rutherford˚ uv vztah. Potom ale relace pro celkov´ y (totáln´ı) u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez Q = 2π

Zπ 0

p2c sin χ dχ (1 − cos χ)2

(2.45)

diverguje v doln´ı mezi, protoˇze Coulombovské p˚ usoben´ı je dlouhého dosahu. Pokud π uvaˇzujeme pouze bl´ızké (tˇesné) sráˇzky χ ∈ h 2 , πi je Q = πp2c , ale pro sráˇzky, kde χ je malé, mus´ıme brát v u ´vahu odst´ınˇen´ı coulombovského pole rozptylového centra ostatn´ımi nabit´ ymi ˇca´sticemi z Debyovy koule, téˇz dalˇs´ı sráˇzky, popˇr. i princip neurˇcitosti. Proto se vˇetˇsinou pouˇz´ıvá tzv. odst´ınˇen´ y Coloumbovsk´ y potenciál U=

q A q B −r/hD e 4π0 r

p ∈ h0, hD i

(2.46)

kde hD je Debyeho polomˇer. Pro tento potenciál jiˇz integrál konverguje.

2.9

´ cinn´ Uˇ y pr˚ uˇ rez pro pˇ renos hybnosti

Pˇredávan´ı hybnosti pˇri vzájemn´ ych sráˇzkách mezi ˇca´sticemi je jedn´ım z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch dˇej˚ u pˇri transportn´ıch jevech v plazmatu (vodivost, pohyblivost, difuze). Sráˇzky, které vedou ke zmˇenˇe ∆~p, jsou d˚ uleˇzité pro zruˇsen´ı jakéhokoliv preferenˇcn´ıho smˇeru pohybu ˇca´stic.


12

V´ıme jiˇz, ˇze pomˇerná (relativn´ı) ztráta energie ˇca´stice A pˇri elastické sráˇzce s ˇca´stic´ı B je ∆T A 2mA mB = (1 − cos χ) (2.47) TA (mA + mB )2 Pro pˇr´ıpad sráˇzky elektronu s molekulou(atomem) se vztah zjednoduˇs´ı na ∆T e . 2me = (1 − cos χ) Te mN

(2.48)

Necht’ F (χ) je nˇejaká funkce rozptylového u ´hlu χ a necht’ hF (χ)i je stˇredn´ı hodnota F (χ) vzhledem ke vˇsem moˇzn´ ym hodnotám χ. Protoˇze F (χ)S(χ)dΩ je pˇr´ıspˇevek k celkov´ e hodnotˇe F (χ), zp˚ usoben´ y ˇca´sticemi rozpt´ ylen´ ymi do dΩ a celkov´ y poˇcet ˇca´stic je RR S(χ)dΩ, tak hF (χ)i =

ZZ

F (χ)S(χ)dΩ ZZ

=

Zπ

F (χ)S(χ) sin χdχ

0

Zπ

S(χ)dΩ

(2.49) S(χ) sin χdχ

0

Uˇzit´ım tohoto vztahu m˚ uˇzeme napsat novou rovnici pro pomˇernou ztrátu energie ˇca´stice A pˇri sráˇzce s ˇca´stic´ı B *

∆T A TA

+

Zπ

2mA mB 0 = (mA + mB )2

(1 − cos χ)S(χ) sin χdχ Zπ

(2.50)

S(χ) sin χdχ

0

Uváˇz´ıme-li nyn´ı, ˇze elektron pˇri sráˇzce s molekulou(atomem) lze povaˇzovat za ráz tuh´ ych koul´ı (v´ıme jiˇz, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe S(χ) je konstantn´ı, t.j. nezávis´ı na χ), m˚ uˇzeme psát

∆T e Te

Zπ

2me 0 = mN

(1 − cos χ) sin χdχ Zπ

(2.51)

sin(χ)dχ

0

Odkud po integraci dostaneme

2me ∆T e = (2.52) e T mN coˇz znamená ˇze vzhledem k pomˇeru hmotnost´ı elektronu a molekuly(atomu) je relativn´ı zmˇena kinetické energie elektronu minimáln´ı, ˇra´dovˇe 10−4 . Zmˇena hybnosti ve smˇeru p˚ uvodn´ıho pohybu v d˚ usledku sráˇzky elektronu s molekulou(atomem) bude mg(1 − cos χ) (viz Obr.2.6). Stˇredn´ı hodnota tohoto v´ yrazu je po proveden´ı stejné procedury jako v´ yˇse rovna mg. Obecnˇeji (pro jin´ y potenciál neˇz u rázu tuh´ ych koul´ı) je stˇredn´ı hodnota v´ yrazu (1 − cos χ) dána vztahem

h1 − cos χi =

Zπ 0

(1 − cos χ)S(χ) sin χdχ Zπ 0

S(χ) sin χdχ

(2.53)

´ CINN ˇ ´ PRU ˚REZ ˇ ˇ 2.9. U Y PRO PRENOS HYBNOSTI

13

mg~ χ mg

Obrázek 2.6: Zmˇena hybnosti ve smˇeru p˚ uvodn´ıho pohybu pˇri sráˇzce elektronu s atomem. RR

S(χ)dΩ, m˚ uˇzeme definovat

(1 − cos χ)S(χ) sin χdχ

(2.54)

Ponˇevadˇz celkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez je podle definice roven Q = u ´ˇcinný pr˚ uˇrez pro pˇrenos hybnosti QM jako QM = 2π

Zπ 0

M˚ uˇzeme tedy psát, ˇze QM = Qh1 − cos χi

(2.55)

Vidˇeli jsme, ˇze v pˇr´ıpadˇe sráˇzky tuh´ ych koul´ı byla stˇredn´ı hodnota h1 − cos χi = 1 a tedy i QM = Q. Ovˇsem pro vˇsechny ostatn´ı pˇr´ıpady potenciáln´ıch energi´ı vzájemného p˚ usoben´ı je h1 − cos χi menˇs´ı neˇz 1 a tedy i QM < Q. Je rovnˇeˇz moˇzné, ˇze QM je koneˇcné i v pˇr´ıpadˇe, ˇze Q diverguje. Sráˇzkovou frekvenci pro pˇrenos hybnosti (od elektron˚ u k tˇeˇzk´ ym neutráln´ım ˇca´stic´ım) pˇr´ı pruˇzn´ ych sráˇzkách lze vyjádˇrit ve tvaru ν = 2πN

(N)

Zπ 0

g(1 − cos χ)S(χ) sin χdχ

kde N (N) je hustota (koncentrace) neutráln´ıch ˇca´stic.

(2.56)

Kapitola 3 Kinetick´ a teorie plazmatu Kinetická teorie vysvˇetluje makroskopické jevy v plazmatu na základˇe sil a interakc´ı mezi ˇca´sticemi jednotliv´ ych komponent v plazmatu. V podstatˇe vˇsak nem˚ uˇzeme zjistit polohu a rychlost kaˇzdé jednotlivé ˇca´stice a proto je nutno volit pˇri ˇreˇsen´ı tohoto problému statistick´ y pˇr´ıstup. Uvaˇzujme systém obsahuj´ıc´ı n ˇca´stic v nˇejakém ˇcasovém okamˇziku. Kaˇzdá ˇca´stice má 3 nezávislé souˇradnice polohy a 3 souˇradnice rychlosti (hybnosti); v systému tedy máme celkem 6n nezávisl´ ych souˇradnic. Tˇechto 6n souˇradnic reprezentuje jeden bod 6nrozmˇerném prostoru. Tento prostor je naz´ yván fázov´ ym prostorem nebo téˇz Γ-prostorem. Po urˇcité dobˇe se vˇsak tˇechto 6n souˇradnic zmˇen´ı a systém (resp. jeho dynamick´ y stav) je reprezentován jin´ ym bodem Γ-prostoru. Kaˇzdému dynamickému stavu jedné ˇca´stice pak odpov´ıdá jeden bod v ˇsestirozmˇerném (x1 , x2 , x3 , v1 , v2 , v3 ) µ-prostoru. Statistická mechanika nalézá pravdˇepodobnosti s jak´ ymi se mohou vyskytovat jednotlivé dynamické stavy souboru. Základem statistické mechaniky je tzv. Liouville˚ uv teorém, kter´ y ˇr´ıká, ˇze objem zauj´ıman´ y urˇcitou mnoˇzinou bod˚ u v Γ-prostoru je konstantn´ı i bˇehem ˇ pohybu tˇechto bod˚ u. Reˇsen´ım Liouvillovy rovnice lze dospˇet k pravdˇepodobnosti nalezen´ı jistého bodu na daném m´ıstˇe v Γ prostoru.

3.1

Rozdˇ elovac´ı funkce rychlost´ı

Nejdˇr´ıve se budeme snaˇzit nalézt tzv. rozdˇelovac´ı funkci rychlosti ˇca´stic jako hustotu bod˚ u v µ-prostoru. Pˇredpokládejme, ˇze v urˇcitém objemu plynu známe kartézské souˇradnice kaˇzdé ˇca´stice. Necht’ objemov´ y element má objem dV = dx1 dx2 dx3 . Necht’ dV je dost velk´ y, aby obsahoval dostateˇcné mnoˇzstv´ı ˇca´stic, ale i dostateˇcnˇe mal´ y oproti celému objemu plazmatu. Tedy N (xi , t) je hustota ˇca´stic v konfiguraˇcn´ım prostoru. Tˇechto N dV ˇca´stic vˇsak m˚ uˇze m´ıt r˚ uzné rychlosti. Abychom mohli tyto ˇca´stice rozliˇsit podle rychlost´ı, zavedeme si kartézsk´ y rychlostn´ı prostor dC = dv1 dv2 dv3 (viz. Obr.3.1). Definujme nyn´ı hustotu N dV bod˚ u (ˇca´stic) v rychlostn´ım prostoru jako f (t, x i , vi )dV , kde f (t, xi , vi ) je rozdˇelovac´ı funkce rychlost´ı tˇechto ˇca´stic. Tud´ıˇz f (t, x i , vi )dV dC je celkov´ y poˇcet ˇca´stic v objemovém elementu dC. Potom je ale f hustota bod˚ u v 6-rozmˇerném fázovém prostoru. Dˇel´ıme-li f dV dC objemem dV dostaneme f dC coˇz je poˇcet ˇca´stic v jednotce objemu s rychlostmi vi uvnitˇr dC. Rozum´ıme t´ım ˇze souˇradnice rychlosti leˇz´ı mezi v1 a v1 + dv1 , v2 a v2 + dv2 , v3 a v3 + dv3 . Jestliˇze integrujeme v´ yraz f dV dC pˇres cel´ y rychlostn´ı prostor dostaneme celkov´ y poˇcet bod˚ u. Následuj´ıc´ı relace tvoˇr´ı normovac´ı 14

ˇ Í FUNKCE RYCHLOSTÍ 3.1. ROZDELOVAC

15

NdV bodu

dC

dV v2

x2 NdV castic x x

v1

v3

1

3

ˇ Obrázek 3.1: Sestirozmˇ ern´ y µ-prostor podm´ınku pro f (t, xi , vi ) N=

+∞ ZZZ

f (t, xi , vi )dC =

+∞ ZZZ

f (t, xi , vi )dv1 dv2 dv3

(3.1)

−∞

−∞

Kromˇe této definice se m˚ uˇzeme ˇcasto v literatuˇre setkat s pˇr´ıpadem, kdy je uˇzito rozdˇelovac´ı funkce F (t, xi , vi ) = f (t, xi , vi )/N , pro kterou je normovac´ı podm´ınka RRR F (t, xi , vi )dC = 1. Kaˇzdá z ˇca´stic m˚ uˇze m´ıt nˇejakou vlastnost Φ(t, xi , vi ) (energie, hybnost, . . . ). Tato vlastnost m˚ uˇze b´ yt funkc´ı rychlosti, souˇradnic a ˇcasu. Závislost na xi je stejná pro vˇsechny ˇca´stice v elementu objemu dV . V nˇejakém ˇcasovém okamˇziku t tedy hodnota Φ pro N dV ˇca´stic závis´ı pouze na rychlosti vi . Seˇcteme nyn´ı vˇsechny hodnoty Φ pro kaˇzdou z N dV ˇca´stic v dV Φ1 + Φ2 + · · · + ΦN dV =

N dV X

Φi

1

Definujeme stˇredn´ı hodnotu hΦi vlastnosti Φ pro N dV ˇca´stic v dV rovnic´ı N dV X 1

Φi = hΦiN dV

(3.2)

Nˇekteré z ˇca´stic N dV v objemu dV mohou m´ıt stejné hodnoty Φ. Budou to zejména ty ˇca´stice, které leˇz´ı ve stejném elementu dC. V´ıme ale, ˇze poˇcet tˇechto ˇca´stic je f dV dC a P kaˇzdá pˇrisp´ıvá hodnotou Φ do souˇctu Φ. Potom pˇr´ıspˇevek tˇechto ˇca´stic do souˇctu bude P Φf dV dC a Φ dostaneme integrac´ı pˇres vˇsechny rychlosti. N hΦi =

+∞ ZZZ

Φ(t, xi , vi )f (t, xi , vi )dv1 dv2 dv3

(3.3)

−∞

hΦi =

+∞ ZZZ

Φf dC

−∞ +∞ ZZZ

(3.4) f dC

−∞

Pouˇzijme nyn´ı tento vztah k urˇcen´ı stˇredn´ı hodnoty rychlosti ˇca´stic v daném objemu dV

+∞

ZZZ 1 hvi i = vi f (t, xi , vi )dC N (xi , t) −∞

(3.5)

´ TEORIE PLAZMATU KAPITOLA 3. KINETICKA

16

Tato veliˇcina se ˇcasto se oznaˇcuje jako rychlost unáˇsivá, makroskopická ˇci driftová. Touto rychlost´ı se pohybuje elementárn´ı oblak jedné komponenty plazmatu jako celek. Je d˚ uleˇzité si uvˇedomit, ˇze zat´ımco vi , xi a t jsou na sobˇe nezávislé, hvi i je funkc´ı polohy xi a ˇcasu t. Po pojmem vlastn´ı (zvláˇstn´ı) rychlost rozum´ıme rychlost tepelného neuspoˇra´daného pohybu ˇca´stic, kterou oznaˇc´ıme Vi a pro kterou plat´ı Vi = vi − hvi i

(3.6)

Je zˇrejmé ˇze stˇredn´ı hodnota rychlosti neuspoˇra´daného tepelného pohybu je nulová hVi i = hvi − hvi ii = hvi i − hvi i = 0

3.2

(3.7)

Boltzmannova kinetick´ a rovnice (BKR)

V´ıme jiˇz, ˇze makroskopické vlastnosti plazmatu jsou urˇceny rychlost´ı vi a rozdˇelovac´ı funkc´ı rychlost´ı f (vi ). Zaj´ımáme se vˇsak nyn´ı o to, jak se budou tyto makroskopické vlastnosti mˇenit v prostoru a v ˇcase. Rovnice, která tyto zmˇeny popisuje je právˇe Boltzmannova kinetická rovnice (BKR). Uvaˇzujme plazma bez sráˇzek. V ˇcase t je poˇcet ˇca´stic daného druhu v objemovém elementu dV (t) s polohou xi a s rychlostmi v rychlostn´ım prostoru dC (t) okolo vi roven f (t, xi + vi )dC (t) dV (t) . Za ˇcas dt je poˇcet ˇca´stic f (t, xi + vi dt, vi + Pi dt)dC (t+dt) dV (t+dt) , kde Pi je zrychlen´ı (t.j. s´ıla p˚ usob´ıc´ı na jednotku hmotnosti). Diferenciály se transformuj´ı pomoc´ı Jacobiho transformace ZZ

···

Z

F (u1 , . . . , un )du1 . . . dun =

kde

ZZ

···

Z

F (v1 , . . . , vn )|J|dv1 . . . dvn





∂u1 /∂v1 ∂u1 /∂v2 . . .   ∂u2 /∂v1 ∂u2 /∂v2 . . .  J =   .. .. ... . .

(3.8)

(3.9)

je Jakobián. Objemov´ y element se transformuje dV

(t+dt)

∂(x + v dt) i i dV (t) = |J|dV = ∂xj t

(3.10)

Je nutno si uvˇedomit, ˇze t, xi , vi jsou nezávislé souˇradnice a proto dV (t+dt) = |δij |dV (t) ⇒ V (t+dt) = dV (t)

(3.11)

Situace pro dC je komplikovanˇejˇs´ı, protoˇze existuj´ı s´ıly (a tedy i zrychlen´ı) závislé na rychlosti. Necht’ Pi je s´ıla p˚ usob´ıc´ı na jednotku hmotnosti plazmatu. Oznaˇcme Pi0 s´ıly nezávisej´ıc´ı na rychlosti (napˇr. Coulombova s´ıla). Pˇr´ıkladem s´ıly závisej´ıc´ı na rychlosti je ~ = qεijk vj Bk . Pak m˚ Lorentzova s´ıla q(~v × B) uˇzeme psát Pi = Pi0 +

q εijk vj Bj m

(3.12)

Jacobiho transformace C

(t+dt)

∂(v + P 0 dt + q ε v B dt) i (t) i m ijk j k C = |J|C = ∂vs t

(3.13)

´ ZKOV ˇ ´ CLEN ˇ 3.3. SRA Y C Ve sloˇzkách

(t+dt)

17

(t) q q = δis + εijk δjs Bk dt C = δis + εisk Bk dt C (t)

m

C (t+dt)

m

1 q = − m B3 dt q B2 dt m

− mq B2 dt q 1 B dt m 1 q B dt 1 m 1 q B dt m 3

Pro dt 1 lze druhé mocniny dt zanedbat a proto

(t) C

C (t+dt) = C (t)

(3.14)

Z Liouvillova teorému vˇsak v´ıme, ˇze poˇcet ˇca´stic se nemˇen´ı f (t, xi , vi )dC (t) dV (t) = f (t, xi + vi dt, vi + Pi dt)dC (t+dt) dV (t+dt)

(3.15)

Kdyˇz nyn´ı pravou stranu rozvineme v ˇradu pro dt → 0, dostaneme !

∂f ∂f ∂f dt + · · · + vi + Pi f (t, xi , vi ) = f (t, xi , vi ) + ∂t ∂xi ∂vi

(3.16)

pˇriˇcemˇz ˇcleny vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u m˚ uˇzeme zanedbat. Potom ∂f ∂f ∂f + vi + Pi =0 ∂t ∂xi ∂vi

(3.17)

To je hledan´ y speciáln´ı pˇr´ıpad Boltzmannovy kinetické rovnice pro bezsráˇzkové plazma, , je lokáln´ı variace distribuˇcn´ı která je ˇcasto naz´ yvána Vlasovova rovnice . Prvn´ı ˇclen, ∂f ∂t ∂f ˇ funkce. Clen vi ∂xi je variace rozdˇelovac´ı funkce zp˚ usobená ˇca´sticemi proud´ıc´ımi do“ a ” vytékaj´ıc´ıho z“ daného objemového elementu (jedná se vlastnˇe o dif´ uzi, proto se ˇcasto ” uvád´ı pod názvem dif´ uzn´ı ˇclen). Pokud ∂f /∂xi 6= 0 tedy i hustota se mˇen´ı m´ısto od ∂f ˇ je variace rozdˇelovac´ı funkce zp˚ usobená m´ısta (∂N /∂xi 6= 0) a nastává dif´ uze. Clen Pi ∂v i vnˇejˇs´ımi silami p˚ usob´ıc´ımi na plazma (silov´ y ˇclen). Fyzikáln´ı v´ yznam Boltzmannovy rovnice je snadné pochopit, uvˇedom´ıme-li si si, ˇze jde vlastnˇe o totáln´ı diferenciál ∂f ∂xi ∂f ∂vi ∂f df + + = =0 ∂t ∂t ∂xi ∂t ∂vi dt

3.3

(3.18)

Sr´ aˇ zkov´ yˇ clen

Rozdˇelovac´ı funkce se ovˇsem m˚ uˇze zmˇenit i vlivem sráˇzek mezi ˇca´sticemi jednotliv´ ych komponent plazmatu. Tento vliv lze zahrnout do tzv. sráˇzkového ˇclenu ∂f ∂f ∂f + vi + Pi = ∂t ∂xi ∂vi

∂f ∂t

!

(3.19) sr´ aˇ zk

kde ∂f je tzv. sráˇzkový ˇclen (integrál). Reprezentuje rychlost zmˇeny s jakou se ∂t sr´ aˇ zk rozdˇelovac´ı funkce mˇen´ı vlivem vzájemn´ ych sráˇzek r˚ uzn´ ych typ˚ u ˇca´stic (elastick´ ymi sráˇzkami mezi ˇca´sticemi stejného druhu se f nemˇen´ı, pouze dojde k pˇrerozdˇelen´ı energie z d˚ uvodu zákon˚ u zachován´ı). Budeme opˇet uvaˇzovat párové (binárn´ı) elastické sráˇzky. V ˇcase t bude dané rozdˇelen´ı f pˇrisuzovat urˇcité mnoˇzstv´ı ˇca´stic do nˇekteré ˇca´sti rychlostn´ıho prostoru. Napˇr. urˇcit´ y


18

dC

A

~ dC B v 2

~ vB

v3

v1 ~ vA

v

dC B

A

vB

~A dC

Obrázek 3.2: Rychlostn´ı elementy pˇri binárn´ı sráˇzce. (A)

poˇcet ˇca´stic typu (A) z objemové jednotky bude m´ıt rychlost vi v elementu dC (A) (A) (A) tento poˇcet bude f (A) dC (A) . Vlivem sráˇzek se rychlost ˇca´stic zmˇen´ı z vi na v˜i a tedy ˜ (A) . Uvaˇzme, ˇze ˇca´stice B, která se srazila s námi ˇca´stice pˇrejdou z elementu dC (A) do dC (B) (B) uvaˇzovanou ˇca´stic´ı A mˇela pˇred sráˇzkou rychlost vi a po sráˇzce v˜i . Tedy i ona pˇreˇsla ˜ (B) , viz Obr.3.2. z elementu dC (B) do dC mus´ıme zjistit celkovou bilanci ˇca´stic v nˇekterém rychNyn´ı, abychom urˇcili ∂f ∂t sr´ aˇ zk lostn´ım elementu. Jako typickou zvolme naˇsi ˇca´stici s rychlost´ı viA leˇz´ıc´ı v dC (A) . Mohou nastat tyto pˇr´ıpady • sráˇzky typu α, v´ ystup“ ˇca´stic: pˇred sráˇzkou byla ˇca´stice A resp. B v dC (A) resp. ” dC (B) • sráˇzky typu β, vstup“ ˇca´stic: po sráˇzce bude ˇca´stice A resp. B v dC (A) resp. dC (B) ” (inverzn´ı k typu α)

dω B dC

B

dp

g dt

p dψ

ψ A

p χ dχ

dC

dψ

A

Obrázek 3.3: Odvozen´ı poˇctu ˇca´stic rozptylovan´ ych na A za dobu dt. Nejdˇr´ıve analyzujme sráˇzky typu α. V elementu dV je f (A) dC (A) dV ˇca´stic typu A a f (B) dC (B) dV ˇca´stic typu B. Je-li g vzájemná rychlost A a B, pak poˇcet sráˇzek mezi jednou ˇca´stic´ı A a ˇca´sticemi B, nalétavaj´ıc´ımi do oblasti p dp dψ je (viz Obr.3.3) ν1 = f (B) dC (B) p dp dψ g dt

(3.20)

Poˇcet ˇca´stic A v jednotce objemu je f (A) dC (A) a kaˇzdá z nich podstoup´ı ν1 sráˇzek s ˇca´sticemi typu B, tedy ν = f (A) f (B) g p dp dψ dC (A) dC (B) dt

(3.21)

´ ZKOV ˇ ´ CLEN ˇ 3.3. SRA Y

19

Celkov´ y poˇcet sráˇzek typu α, tj. sráˇzek, kdy ˇca´stice A po sráˇzce s B opust´ı element dC (A) , bude ”vý stup” = dC

(A)

+∞ Z Z ZZZ

dt

f (A) f (B) g p dp dψ dC (B)

(3.22)

p ψ

−∞

˜ (A) do kterého Nyn´ı si vˇsimnˇeme sráˇzek typu β. Na Obr.3.2 je rychlostn´ı element dC se ˇca´stice z dC (A) dostane po sráˇzce s ˇca´stic´ı p˚ uvodnˇe v dC (B) . Tato ˇca´stice B je ovˇsem (B) ˜ rovnˇeˇz pˇresunuta do jiného elementu dC . Ke kaˇzdé takové pˇr´ımé sráˇzce, mus´ı existovat inverzn´ı proces (ne nutnˇe stejnˇe ˇcast´ y) Obdobn´ ym postupem jako v pˇr´ıpadˇe pˇredchoz´ım ˜ ”vstup” = dC

(A)

dt

+∞ Z Z ZZZ

−∞

˜ (B) f˜(A) f˜(B) g p dp dψ dC

(3.23)

p ψ

Protoˇze pro pruˇzné sráˇzky plat´ı g = g˜, lze podobn´ ym postupem jako v pˇredchoz´ı kapitole (transformace diferenciál˚ u pomoc´ı Jakobiánu, rozinut´ı v ˇradu) odvodit ˜ dC (A) dC (B) = dC

(A)

˜ (B) dC

(3.24)

Nyn´ı zjist´ıme celkov´ y pˇr´ır˚ ustek (´ ubytek) ˇca´stic typu A v elementu dC (A) zp˚ usoben´ y sráˇzkami s ˇca´sticemi typu B. ”vstup” − ”vý stup” = dC

(A)

dt

+∞ Z Z ZZZ p ψ

−∞

(f˜(A) f˜(B) − f (A) f (B) )g p dp dψ dC (B)

(3.25)

V´ıme jiˇz, ˇze ∂f je zmˇena f (A) zp˚ usobená sráˇzkami. Poˇcet ˇca´stic typu A na ∂t sr´ aˇ zk zaˇca´tku intervalu dt byl f (A) dC (A) v jednotce objemu. Poˇcet ˇca´stic typu A na konci intervalu dt po vˇsech sráˇzkách s ˇca´sticemi typu B bude "

∂f (A) f (A) + ∂t

!

#

dt dC (A) sr´ aˇ zk

(3.26)

Pak porovnán´ım "

f

(A)

∂f (A) + ∂t

∂f (A) ∂t

!

!

sr´ aˇ zk

= sr´ aˇ zk

#

dt dC (A) − f (A) dC (A) = ”vstup” − ”vý stup”

+∞ Z Z ZZZ

−∞

(f˜(A) f˜(B) − f (A) f (B) )g p dp dψ dC (B)

(3.27)

Toto plat´ı pro libovolné A a proto index A m˚ uˇzeme vynechat, ale identitu pro druhou komponentu (B) mus´ıme zachovat. Po integraci pˇres ψ a dosazen´ı dQ = 2πpdp = 2πS(χ)dΩ dostáváme +∞ Z ZZZ ∂f ∂f ∂f + vi + Pi = (f˜f˜(B) − f f (B) )gdQdC (B) ∂t ∂xi ∂vi

=

−∞ +∞ ZZZ

−∞

= 2π

Z

(f˜f˜(B) − f f (B) )gS(χ)dΩdC (B)

+∞ Zπ ZZZ

−∞

0

(f˜f˜(B) − f f (B) )gS(χ) sin χdχdC (B)

(3.28)


20

Toto je obecná forma sráˇzkového ˇclenu. Pro sráˇzky elektron˚ u s neutráln´ımi ˇca´sticemi lze tento vztah zjednoduˇsit za pˇredpokladu, ˇze rozdˇelovac´ı funkce elektron˚ u je bl´ızká rovnováˇzné, a v´ ysledkem je Krook˚ uv kolizn´ı operátor. Pro sráˇzky elektron˚ u s ionty je nutno kv˚ uli dalekému dosahu Coulombovské interakce zapoˇc´ıtat i v´ıcenásobné, aˇc slabé, sráˇzky, coˇz vede na tzv. Fokker-Planck˚ uv sráˇzkov´ y ˇclen, kter´ y bude odvozen pozdˇeji.

3.4

Z´ akladn´ı pˇ redpoklady a omezen´ı BKR

Boltzmannova teorie pˇredpokládá, ˇze 1. Systém lze popsat jedinou rovnic´ı pro jednoˇca´sticovou rozdˇelovac´ı funkci f (x i , vi , t). 2. Sráˇzkov´ y ˇclen je dán odhadem (platnost´ı stosszahlansatz ). K prvn´ımu bodu lze skuteˇcnˇe poznamenat, ˇze nen´ı obvyklé aby systém N ˇca´stic mohl b´ yt popsán jednoˇca´sticovou distribuˇcn´ı funkc´ı f (xi , vi , t). Tento u ´heln´ y kámen Boltzmannovy terorie byl roku 1946 podroben kritice Bogoljubovem. V plazmatu zpravidla existuj´ı podm´ınky, kdy lze poloˇzit τ0 =

r0 hui

(3.29)

kde τ0 je charakteristick´ y doba trván´ı interakce (sráˇzkov´ y ˇcas), r0 je typick´ y dosah meziatomárnách sil a hui je stˇredn´ı tepelná rychlost. Obdobnˇe pak stˇredn´ı doba mezi sráˇzkami t0 =

¯ λ hui

(3.30)

¯ je stˇredn´ı volná dráha. Aby byla Boltzmannova rovnice pouˇzitelná, mus´ı platit kde λ τ0 t 0

(3.31)

coˇz je prakticky vˇzdy splnˇeno. Co se t´ yˇce druhého bodu, sráˇzkov´ y ˇclen je zpravidla odvozen intuitivnˇe a nikoli na základˇe zákon˚ u dynamiky. Nˇekteré pˇredpoklady, jeˇz jsme pouˇzili, nemus´ı obecnˇe platit. Bogoljubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon (BBGKY) vypracovali nezávisle na sobˇe v letech 1939–1946 hierarchii rovnic pro rozdˇelovac´ı funkce vyˇsˇs´ıch ˇra´d˚ u. Liouvillova rovnice je integrována pˇres fázov´ y prostor jedné nebo v´ıce ˇca´stic. Kaˇzdá z rovnic BBGKY hierarchie zavád´ı dalˇs´ı rozdˇelovac´ı funkci vyˇsˇs´ıho ˇra´du f (2) . Abychom nalezli f (1) , je nutno ˇreˇsit cel´ y systém rovnic. K tomu je nutné znát zp˚ usob jak vyjádˇrit f (2) pomoc´ı f (1) a pouˇz´ıt relace (1) (1) Fi(ext) ∂f (1) 1 ZZ ∂Φ(1,2) ∂f (2) (2) ∂f (1) (1) ∂f + vi + = dS (1) (1) ∂t m ∂vi(1) m ∂xi ∂xi ∂v (1) kde Φ(1,2) je interakˇcn´ı potenciál mezi ˇca´sticemi 1 a 2,

∂Φ(1,2) (1) ∂xi (2)

(1)

= Fi(int) je s´ıla p˚ usob´ıc´ı mezi (2)

(2)

ˇca´sticemi, f (2) je rozdˇelovac´ı funkce vyˇsˇs´ıho ˇra´du a dS = dxi dvi . Rovnice pro f (1) je naz´ yvána kinetickou rovnic´ı. Mezi jednu z jej´ıch forem patˇr´ı i forma Boltzmannova.

´ 3.5. TLAK JEDNOTLIVYCH KOMPONENT V PLAZMATU

3.5

21

Tlak jednotliv´ ych komponent v plazmatu

Stav kaˇzdého plynu je dán stavov´ ymi promˇenn´ ymi (tlakem, teplotou, hustotou a objemem). Pouze teplota T a tlak p vˇsak u ´zce souvisej´ı s pohybem ˇca´stic plynu. Bˇeˇznˇe se tlak definuje jako s´ıla na jednotku plochy stˇeny nádoby obsahuj´ıc´ı plyn. My se vˇsak mus´ıme vyrovnat s t´ım, ˇze rychlost vi má kromˇe tepelné sloˇzky Vi i sloˇzku driftovou hvi i vi = Vi + hvi i

(3.32)

RRR

kde hvi i = N1 vi f (vi )dC a hvi i Vi . Tlak Pj na ploˇsn´ y element dS, pohybuj´ıc´ı se rychlost´ı hvi i, je definován jako rychlost s jakou je hybnost ˇca´stic pˇrenáˇsena skrze dS v kladném smˇeru normálového vektoru ni , pˇrepoˇcteno na jednotkovou plochu. dS

Vi dt Vi

ni vi

Obrázek 3.4: Odvozen´ı tenzoru tlaku. Protoˇze dS se pohybuje driftovou rychlost´ı hvi i, ˇca´stice se v˚ uˇci n´ı pohybuj´ı pouze tepeln´ ymi rychlostmi Vi . Poˇcet ˇca´stic, které projdou dS za ˇcas dt bude f (Vi )Vi dtdSni dC

(3.33)

Pak celkové mnoˇzstv´ı hybnosti pˇrenáˇsené tˇemito ˇca´sticemi za jednotku ˇcasu a na jednotku plochy bude +∞ 1 ZZZ Pj = mvj f (Vi )Vi ni dtdSdC (3.34) dtdS −∞

kde m je hmotnost ˇca´stice. Dosad´ıme vj = Vj + hvj i a dostáváme Pj =

+∞ ZZZ

−∞

 +∞  +∞ ZZZ ZZZ m(Vj + hvj i)f (Vi )Vi ni dC = mni  Vi hvj if (Vi )dC + Vi Vj f (Vi )dC 

Z normovac´ı podm´ınky N =

−∞

RRR

−∞

(3.35)

f (Vi )dC a definice stˇredn´ı hodnoty pak

Pj = mN ni (hVi ihvj i + hVi Vj i)

(3.36)

Zavedeme hustotu % = mN a vyuˇzijeme toho, ˇze hVi i = 0. V´ ysledkem je Pj = %ni hVi Vj i = ni Ψij

(3.37)

kde Ψij = %hVi Vj i je tenzor tlaku. Protoˇze nediagonáln´ı prvky tenzoru Ψij jsou v plazmatu jako plynném prostˇred´ı rovny nule, skalárn´ı (hydrostatick´ y) tlak (jenˇz mˇeˇr´ıme tlakomˇerem) je 1 p = (Ψ11 + Ψ22 + Ψ33 ) 3


22

3.6

Teplota a tepeln´ a energie

Poˇcet ˇca´stic v objemovém elementu s rychlostmi v dC je roven f dV dC. Kaˇzdá z tˇechto ˇca´stic má kinetickou energii 12 mvi vi . Potom celkové mnoˇzstv´ı kinetické energie v elementu dV je +∞ ZZZ 1 1 Ek = N dV mvi vi f (vi )dC = mN dV hvi vi i (3.38) 2 2 −∞

Rozloˇz´ıme rychlost na drift a neuspoˇra´dan´ y tepeln´ y pohyb 1 1 Ek = mN dV h(hvi i + Vi )(hvi i + Vi )i = mN dV (hvi ihvi i + 2hVi ihvi i + hVi Vi i) 2 2

(3.39)

Protoˇze hVi i = 0, vid´ıme, ˇze celková kinetická energie se skládá ze dvou ˇca´st´ı 1 1 Ek = %dV hvi ihvi i + %dV hVi Vi i 2 2

(3.40)

ym (driftov´ ym) pohybem kde prvn´ı ˇclen 21 %dV hvi ihvi i je energie spojená s makroskopick´ 1 ym (analogi´ı je napˇr. energie vˇetru) a druh´ y ˇclen 2 %dV hVi Vi i je energie spojená s neustál´ tepeln´ ym pohybem (analogie s hork´ ym vzduchem). Z termodynamiky (ekvipartiˇcn´ıho teorému) pro jednu ˇca´stici plyne 21 mhVi Vi i = 23 kT . Tedy pouze kinetická energie neupoˇra´daného tepelného pohybu m˚ uˇze b´ yt ve fyzice plazmatu spojována s pojmem teplota.

3.7

ˇ sen´ı BKR pro rovnov´ Reˇ aˇ zn´ y stav +∞ Z2πZπ ZZZ ∂f ∂f ∂f + vi + Pi = (f˜f˜(B) − f f (B) )gS(χ) sin χdχdψdC (B) ∂t ∂xi ∂vi −∞

(3.41)

0 0

Budeme se snaˇzit nalézt rozdˇelovac´ı funkci f , která vyhovuje BKR, kdyˇz nep˚ usob´ı ˇza´dné vnˇejˇs´ı s´ıly na uvaˇzovan´ y systém a kdyˇz vzájemné interakce ˇca´stic nemˇen´ı toto rozdˇelen´ı rychlost´ı. Pˇredpokládáme rovnˇeˇz, ˇze dominantn´ım sráˇzkov´ ym procesem jsou pouze binárn´ı elastické sráˇzky. Uvaˇzujme sráˇzky mezi dvˇema ˇca´sticemi A a B. Souˇctový (sumaˇcn´ı) invariant Φ(v i ) je taková funkce rychlosti, jeˇz je definovaná pro kaˇzdou ˇca´stici a plat´ı pro ni, ˇze souˇcet sumaˇcn´ıch invariant˚ u od dvou ˇca´stic bude konstantn´ı i bˇehem procesu sráˇzky, t.j. pro souˇctové invarianty Φ(A) , Φ(B) plat´ı ˜ (A) + Φ ˜ (B) Φ(A) + Φ(B) = Φ

(3.42)

Pro libovolnou ˇca´stici pak m˚ uˇzeme psát ˜ +Φ ˜ (B) Φ + Φ(B) = Φ Známe jiˇz nˇekteré fyzikáln´ı veliˇciny, které se chovaj´ı jako sumaˇcn´ımi invarianty. Jsou to energie a sloˇzky hybnosti. 1 1 1 1 (B) (B) (B) (B) mvi vi + m(B) vi vi = m˜ vi v˜i + m(B) v˜i v˜i 2 2 2 2 (B)

mvi + m(B) vi

(B)

= m˜ vi + m(B) v˜i

(3.43) (3.44)

ˇ SEN ˇ Í BKR PRO ROVNOVA ´ ZN ˇ Y ´ STAV 3.7. RE

23

Tyto dvˇe rovnice jsou v podstatˇe ˇctyˇrmi rovnicemi pro celkem 2 × 3 souˇradnic rychlosti. Abychom mohli tˇechto 6 neznám´ ych urˇcit mus´ıme alespoˇ n 2 neznámé stanovit jinak. V teorii párov´ ych sráˇzek se vyskytuj´ı dvˇe geometrické neznámé p a χ, popisuj´ıc´ı sráˇzku. Kdyˇz budeme znát tyto veliˇciny je problém vyˇreˇsen. Protoˇze kromˇe konstant, energie a hybnosti ˇza´dn´ y jin´ y nezávisl´ y sumaˇcn´ı invariant neznáme, mus´ı b´ yt vˇsechny ostatn´ı sumaˇcn´ı invarianty lineárn´ımi kombinacemi tˇechto Φ(1) = 1 ,

Φ(2) = mvi

1 Φ(3) = mvj vj 2

,

(3.45)

Pˇredpoklady pˇri ˇreˇsen´ı BKR pro rovnováˇzn´ y stav: • na plazma nep˚ usob´ı vnˇejˇs´ı s´ıly Pi = 0 • plazma je homogenn´ı • stacionárn´ı stav

∂f ∂t

∂f ∂xi

=0

=0

Za tˇechto podm´ınek je levá strana rovnice (3.41) rovna nule a tedy pro splnˇen´ı rovnosti postaˇcuje f˜f˜(B) − f f (B) = 0 ⇒ f˜f˜(B) = f f (B) (3.46) Tato podm´ınka je sice podm´ınkou postaˇcuj´ıc´ı pro nulovost integrálu, ale je nutno ukázat, ˇze tato podm´ınka je i podm´ınkou nutnou. To lze provést pomoc´ı Boltzmannova H-teorému, RRR kter´ y tvrd´ı, ˇze ˇcasová derivace veliˇciny H= f ln f dC (H souvis´ı s entropi´ı) je nulová tehdy a jen tehdy, pokud f˜f˜(B) − f f (B) = 0. Logaritmujme nyn´ı naˇsi podm´ınku ln f˜ + ln f˜(B) = ln f + ln f (B)

(3.47)

To znamená, ˇze funkce ln f má vlastnosti souˇctového invariantu. M˚ uˇzeme ji tedy napsat (1) (2) (3) jako lineárn´ı kombinace Φ , Φ , Φ ln f =

3 X

1 (2) α(n) Φ(n) = α(1) Φ(1) + α(2) Φ(2) + α(3) Φ(3) = α(1) + αi mvi − α(3) mvj vj (3.48) 2 n=1 1 (2) (2) (2) ln f = α(1) + m(α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ) − α(3) m(v12 + v22 + v32 ) 2

Zavedeme

(2)

α βi = i(3) α Pak

,

ln α

(0)

=α

(1)

+α

(3)

3 X 1 i=1

2

m(βi )2

1 ln f = ln α(0) − α(3) m[(v1 − β1 )2 + (v2 − β2 )2 + (v3 − β3 )2 ] 2

a tedy f =α

(0)

exp −α

(3) 1

2

2

2

m[(v1 − β1 ) + (v2 − β2 ) + (v3 − β3 ) ] (3.49) 2 coˇz je známé Maxwellovo rozdˇelen´ı rychlost´ı. Zat´ım tato forma zápisu zahrnuje 5 konstant (α(0) , α(3) , β1 , β2 , β3 ), které mus´ı b´ yt urˇceny. Nehledˇe na tuto skuteˇcnost je nutno si uvˇedomit, ˇze (3.49) je jediné moˇzné ˇreˇsen´ı pˇri absencivnˇejˇs´ıch sil.


24

3.8

Maxwellovo rozdˇ elen´ı

Maxwellovo rozdˇelen´ı je nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı ze vˇsech rozdˇelen´ı, se kter´ ymi se jeˇstˇe ve fyzice plazmatu setkáme. Bl´ıˇze neurˇcené konstanty vystupuj´ıc´ı v pˇredchoz´ım vztahu (3.49) urˇc´ıme z definice stˇredn´ı hodnoty hΦi =

+∞ 1 RRR Φf dC. N −∞

Proved’me následuj´ıc´ı transformaci promˇenn´ ych U1 = v 1 − β 1

,

dU1 = dv1

U2 = v2 − β2 ,

dU2 = dv2

, ,

U3 = v3 − β3

(3.50)

dU3 = dv3

Pak stˇredn´ı hodnota libovolné funkce Φ je +∞ +∞ α(3) m 1 ZZZ 1 ZZZ 2 2 2 Φf dv1 dv2 dv3 = Φα(0) e− 2 (U1 +U2 +U3 ) dU1 dU2 dU3 hΦi = N N −∞

(3.51)

−∞

Zvolme nyn´ı Φ=U1 +∞ α(3) m 1 ZZZ 2 2 2 U1 α(0) e− 2 (U1 +U2 +U3 ) dU1 dU2 dU3 hU1 i = N

(3.52)

−∞

+∞ +∞ +∞ Z Z 1 (3) 1 (0) Z 2 − 12 α(3) mU22 − 12 α(3) mU12 hU1 i = α e e− 2 α mU3 dU3 U1 e dU1 dU2 N −∞

−∞

−∞

Protoˇze prvn´ı integrál od −∞ do ∞ je integrálem ze souˇcinu liché a sudé funkce, je v´ ysledek hU1 i = 0 ⇒ hvi − βi i = 0 Z toho plyne hv1 i = β1

(3.53)

Obdobn´ ym postupem dospˇejeme k β1 = hv1 i , U1 = v1 − hv1 i = V1

,

β2 = hv2 i ,

β3 = hv3 i

U2 = v2 − hv2 i = V2

,

(3.54)

U3 = v3 − hv3 i = V3

Rozdˇelen´ı má tedy tvar f = α(0) e−α

(3) 1 m(V 2 +V 2 +V 2 ) 1 2 3 2

= α(0) e−α

(3) 1 mW 2 2

(3.55)

kde W = Vi Vi je absolutn´ı velikost tepelné rychlosti. Zvol´ıme-li Φ=1 +∞ +∞ 1 ZZZ (0) −α(3) 1 m(V12 +V22 +V32 ) 1 ZZZ (0) −α(3) 1 m P(vi −hvi i)2 2 2 dv1 dv2 dv3 = dV1 dV2 dV3 1= α e α e N N −∞

−∞

(3.56)

Po zaveden´ı sférick´ ych souˇradnic (W je izotropn´ı) ∞ 2π π ∞ 4π Z (0) −α(3) 1 mW 2 2 1 Z Z Z (0) −α(3) 1 mW 2 2 2 2 α e α e W sin θdθdϕdW = W dW 1= N N 0 0 0

0

(3.57)

ˇ Í 3.8. MAXWELLOVO ROZDELEN

25

Substituce s=α(3) 12 mW 2 vede k ∞ 4π Z (0) 2s −s 1 α e 1= N mα(3) mα(3)

mα(3) 2s

0

!1/2

mα(3) 2

4π (0) 1 ds = α N 2

Integrál lze ˇreˇsit pomoc´ı gamma funkce Γ(x) =

R∞

!−3/2 Z∞

s1/2 e−s ds

0

(3.58) e−t tx−1 dt a v´ ysledkem je

0

mα(3) 2

4π (0) 1 1= α N 4 α

(0)

!−3/2

mα(3) 2π

=N

√

π

!3/2

(3.59)

Nyn´ı pouˇzijme Φ= 21 mVi Vi a opˇet spoˇctˇeme stˇredn´ı hodnotu ∞

1 4π (0) 1 Z (3) 1 2 hΦi = mhW 2 i = α m W 4 e−α 2 mW dW 2 N 2

(3.60)

0

Po u ´pravách (integrace per partes, gamma funkce) dostaneme mα(3) 2

4π (0) 1 3 hΦi = α m N 2 8

!−5/2

√

π

Z termodynamiky hΦi= 23 kT a tak α(0) = N

m 2πkT

3/2

,

α(3) =

1 kT

(3.61)

!

(3.62)

V´ ysledn´ y tvar rozdˇelen´ı je následuj´ıc´ı

m f =N 2πkT

3/2

mW 2 exp − 2kT

Tedy pro danou hustotu N , stˇredn´ı rychlost hvi i a teplotu T existuje jen jeden typ rovnováˇzného rozdˇelen´ı a to rozdˇelen´ı Maxwellovo (Obr.3.5). Pokud na systém pˇrestanou p˚ usobit vnˇejˇs´ı s´ıly, po urˇcité dobˇe rozdˇelen´ı rychlost´ı ˇca´stic systému postupnˇe samovolnˇe pˇrejde na rozdˇelen´ı Maxwellovo. Ponˇevadˇz rozdˇelovac´ı funkce tepeln´ ych rychlost´ı je izotropn´ı, bude poˇcet ˇca´stic v jednotce objemu s rychlostmi okolo vi roven f dC

m f dC = N 2πkT

3/2

e−

m(v1 −hv1 i)2 2kT

dv1 e−

m(v2 −hv2 i)2 2kT

dv2 e−

m(v3 −hv3 i)2 2kT

dv3

(3.63)

Odtud plyne, ˇze kaˇzdá komponenta rychlosti je rozdˇelena nezávisle okolo své stˇredn´ı hodnoty hvi i. Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u je hvi i mnohem menˇs´ı neˇz ˇcin´ı hodnoty tepelné rychlosti. Zavedeme-li sférické souˇradnice v rychlostn´ım prostoru jako W , θ a φ, dostaneme f dC = f W 2 sin θdθdφdW

(3.64)

Potom poˇcet ˇca´stic v jednotce objemu s absolutn´ımi hodnotami tepeln´ ych rechlost´ı v intervalu od W do W + dW dostaneme integrac´ı pˇres θ a φ.


26

0.035

T=5000K T=10000K T=15000K

0.030

-6 3

f(w) [m s ]

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

6

w [10 m/s]

Obrázek 3.5: Maxwellova rozdˇelovac´ı funkce pro sloˇzky tepelné rychlosti elektron˚ u s hus16 −3 totou 10 m .

2.5

T=5000K T=10000K T=15000K

1.5

N(w) [10

10

-4

m s]

2.0

1.0

0.5

0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

w [106 m/s]

Obrázek 3.6: Maxwellova rozdˇelen´ı hustoty elektron˚ u s absolutn´ı velikost´ı tepelné rychlosti 16 −3 w s objemovou hustotou 10 m .

˚ FAKTOR 3.9. BOLTZMANNUV

27

Je d˚ uleˇzité si uvˇedomit, ˇze p˚ uvodn´ı integrace pˇres rychlostn´ı element nyn´ı prob´ıhá pˇres dW a tedy ˇze se mus´ı ve v´ ysledku objevit faktor 4πW 2 , jeˇz se objevil d´ıky transformaci diferenciál˚ u a fyzikálnˇe souvis´ı s hustotou stav˚ u. Napˇr. tedy poˇcet ˇca´stic s absolutn´ı velikost´ı tepelné rychlosti v intervalu hW, W + dW i v jednotce objemu dV bude N (W ) = 4πW 2 f dV = 4πW 2 N

m 2πkT

3/2

e−

mW 2 2kT

dW dV

(3.65)

Na Obr.3.6 je vidˇet jak se nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost pˇresouvá s rostouc´ı teplotou k vyˇsˇs´ım hodnotám. Oblast vyˇsˇs´ıch energi´ı, kde jiˇz poˇcet ˇca´stic klesá, se ˇcasto oznaˇcuje jako ocas, ohon rozdˇelovac´ı funkce, zat´ımco oblast niˇzˇs´ıch energi´ı a maxima funkce jako tˇelo, tˇeleso rozdˇelovac´ı funkce.

3.9

Boltzmann˚ uv faktor

V´ıme jiˇz, ˇze v pˇr´ıpadˇe, kdy na systém nep˚ usob´ı ˇza´dné vnˇejˇs´ı s´ıly, bude stacionárn´ı rozdˇelen´ı rychlost´ı Maxwellova typu. Vnˇejˇs´ı s´ıly a gradienty hustoty ˇca´stic mohou vyvolat driftové rychlosti jednotliv´ ych komponent plazmatu. Hledejme nyn´ı tvar rozdˇelovac´ı funkce v speciáln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy se systém nalézá v poli konzervativn´ıch sil pˇriˇcemˇz driftová rychlost je rovna nule. =0) BKR ve vnˇejˇs´ım poli konzervativn´ıch sil a ve stacionárn´ım stavu ( ∂f ∂t ∂f ∂f vi + Pi = ∂xi ∂vi

∂f ∂t

!

(3.66) sr´ aˇ zk

Kdyˇz Pi je konzervativn´ı s´ıla p˚ usob´ıc´ı na jednotku hmotnosti, potom mPi = −gradΨ, kde Ψ je potenciáln´ı energie. Pˇredpokládejme ˇreˇsen´ı ve tvaru

f = f (0) exp −

Ψ kT

(3.67)

kde f (0) je Maxwellova rozdˇelovac´ı funkce f

(0)

= N0

m 2πkT

3/2

e−mvi vi /2kT

(3.68)

pro hvi i = 0. Protoˇze faktor e−Ψ/kT nezávis´ı na rychlosti elen´ı je rovnováˇzné, vede Maxwellovo rozdˇ a ∂f = 0 a tedy plat´ı dosazen´ı do sráˇzkového ˇclenu k závˇeru, ˇze ∂t sr´ aˇ zk

vi

∂f ∂f + Pi =0 ∂xi ∂vi

(3.69)

Ukázali jsme tedy, ˇze BKR v pˇr´ıpadˇe konzervativn´ıch sil vyhovuje rozdˇelovac´ı funkce f = N0 Ψ(xi )

m 2πkT

3/2

e

−

mvi vi 2kT

e

−

Ψ(xi ) kT

m = N (xi ) 2πkT

3/2

e−

mvi vi 2kT

(3.70)

Faktor e− kT se naz´ yvá Boltzmannov´ ym faktorem. Je-li s´ıla elektrostatického p˚ uvodu, pak potenciáln´ı energie je Ψ(x) = qφ(x), kde q je náboj a φ elektrick´ y potenciál. Podobnˇe napˇr. v homogenn´ım gravitaˇcn´ım poli s gravitaˇcn´ım zrychlen´ım g by v Boltzmannovˇe faktoru vystupovalo Ψ(x) = mgx.


28

3.10

Makroskopick´ e (hydrodynamick´ e) rovnice

V´ıme jiˇz, ˇze známe-li tvar rozdˇelovac´ı funkce, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat jakoukoliv stˇredn´ı hodnotu veliˇciny popisuj´ıc´ı stav plazmatu. Tyto veliˇciny jsou známy jako stavové promˇenné. Dále si ukáˇzeme, ˇze pomoc´ı BKR lze zjistit i ˇcasové závislosti tˇechto veliˇcin. Budeme se snaˇzit zjistit zmˇenu vlastnosti fyzikáln´ı veliˇciny (jeˇz je funkc´ı polohy, rychlosti a ˇcasu) Φ(xi , vi , t). Protoˇze BKR vlastnˇe udává ˇcasovou zmˇenu f , lze oˇcekávat, ˇze ˇcasovou zmˇenu hΦi z´ıskáme tak, ˇze násob´ıme BKR funkc´ı Φ a integrujeme ji pˇres cel´ y rychlostn´ı prostor +∞ ZZZ

−∞

+∞

!

ZZZ ∂f ∂f ∂f ∂f Φ dC = + vi + Pi Φ ∂t ∂xi ∂vi ∂t −∞

!

dC

(3.71)

sr´ aˇ zk

Zab´ yvejme se nyn´ı jednotliv´ ymi ˇcleny. 1. ˇclen +∞ ZZZ

−∞

+∞

+∞

+∞

ZZZ ZZZ ∂f ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ ZZZ Φ dC = f Φf dC − N h i (Φf )dC − dC = ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t −∞

−∞

+∞ ZZZ

−∞

Φ

−∞

∂ ∂Φ ∂f dC = (N hΦi) − N h i ∂t ∂t ∂t

(3.72)

2. ˇclen +∞ ZZZ

−∞

+∞

+∞

ZZZ ZZZ ∂Φ ∂ ∂f ∂ ∂Φ dC = (Φf )dC − dC = (hvi ΦiN ) − N hvi i (3.73) vi vi f Φvi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi −∞

3. ˇclen

+∞ ZZZ

−∞

=

−∞

+∞

−∞

+∞ ZZZ

−∞

+∞ ZZZ

−∞

=

−∞

∂ (Pi Φf )dC − ∂vi

+∞ ZZZ

−∞

{z

|

ˇ Clen 3a

+∞

ZZZ ZZZ ∂f ∂ ∂Φ ΦPi dC = Pi (Φf )dC − Pi f dC = ∂vi ∂vi ∂xi

}

3a

+∞

ZZZ ∂Pi ∂Φ (Φf )dC − Pi f dC ∂vi ∂xi

(3.74)

−∞

{z

|

3b

+∞

}

|

+∞

{z

}

3c

+∞

ZZZ ZZZ ZZZ ∂ ∂ ∂ ∂ (Pi Φf )dC = (P1 Φf )dC + (P2 Φf )dC + (P3 Φf )dC = ∂vi ∂v1 ∂v2 ∂v3 −∞

+∞ ZZ −∞

P1 Φf

+∞

−∞

dv2 dv3 +

−∞

+∞ ZZ

−∞

P2 Φf

+∞

−∞

dv1 dv3 +

−∞

+∞ ZZ −∞

P3 Φf

+∞

−∞

dv1 dv2 = 0

(3.75)

je nulov´ y, protoˇze lim f = 0 a tud´ıˇz i vˇsechny integrandy jsou nulové. ±∞

Pro ˇreˇsen´ı ˇclenu 3b rozdˇel´ıme Pi na ˇca´st nezávislou na rychlosti Pi0 a ˇca´st na rychlosti závislou (uvaˇzujeme nyn´ı pouze s´ılu Lorentzovu) mq εijk vj Bk . Potom ∂Pi ∂Pi0 q q = + εijk δij Bk = 0 + εiik Bk = 0 ∂vi ∂vi m m

(3.76)

´ (HYDRODYNAMICKE) ´ ROVNICE 3.10. MAKROSKOPICKE

29

3. ˇclen se nám tedy redukuje na +∞

+∞ ZZZ

ZZZ ∂Φ ∂Φ ∂f dC = − Pi f dC = −N hPi i ΦPi ∂vi ∂vi ∂vi

(3.77)

−∞

−∞

Seˇcteme-li nyn´ı jednotlivé nenulové ˇcleny, bude m´ıt upravená BKR tvar !

+∞

ZZZ ∂ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂ ∂f (N hΦi)+ (N hvi Φi)−N h i + hvi i + hPi i = Φ ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂vi ∂t −∞

!

dC (3.78) sr´ aˇ zk

Hledaná rovnice pro jednu, (S)-tou sloˇzku plazmatu (napˇr. elektrony) má tvar !

(S) (S) ∂ ∂Φ(S) ∂ (S) ∂Φ (S) ∂Φ (S) (S) (S) (S) (S) h i + hPi i = (N hΦ i) + (S) (N hvi Φi) − N i + hvi (S) (S) ∂t ∂t ∂xi ∂xi ∂vi

=

+∞ ZZZ

Φ

(S)

−∞

∂f (S) ∂t

!

dC (S)

(3.79)

sr´ aˇ zk

Dosad´ıme nyn´ı sráˇzkov´ y ˇclen, pˇriˇcemˇz uvaˇzujeme pouze elastické sráˇzky (S)-té komponenty s neutráln´ımi ˇca´sticemi ((N)-tá komponenta), t.j. slabˇe ionizované plazma ∂f (S) ∂t

!

+∞ Z2πZπ ZZZ

= sr´ aˇ zk

−∞

0 0

(f˜(S) f˜(N) − f (S) f (N) )gS(χ) sin χdχdϕdC (N)

(3.80)

a obdrˇz´ıme +∞ ZZZ

Φ

(S)

−∞

∂f (S) ∂t

!

= sr´ aˇ zk

+∞ Z2πZπ +∞ ZZZ ZZZ

−∞ −∞

0 0

Φ(S) (f˜(S) f˜(N) − f (S) f (N) )gS(χ) sin χdχdϕdC (N) dC (S)

Ke kaˇzdé sráˇzce existuje i sráˇzka inverzn´ı a proto +∞ ZZZ +∞ Z2πZπ ZZZ

−∞ −∞

=

Φ(S) (f˜(S) f˜(N) )gS(χ) sin χdχdϕdC (N) dC (S) =

0 0

+∞ ZZZ +∞ Z2πZπ ZZZ

−∞ −∞

˜ (S) (f (S) f (N) )˜ Φ g S(χ) sin χdχdϕdC˜ (N) dC˜ (S)

(3.81)

0 0

V´ıme jiˇz, ˇze pro pruˇzné sráˇzky g = g˜ a dC (N) dC (S) = dC˜ (N) dC˜ (S) a tak se sráˇzkov´ y ˇclen zjednoduˇsˇs´ı na +∞ ZZZ

−∞

Φ

(S)

∂f (S) ∂t

!

= sr´ aˇ zk


−∞ −∞

0 0

˜ (S) − Φ(S) )f (S) f (N) gS(χ) sin χdχdϕdC (N) dC (S) (Φ

(3.82) Momentové rovnice (systém hydrodynamick´ ych rovnic) pro jednotlivé komponenty plazmatu dostaneme, kdyˇz za Φ(S) postupnˇe budeme dosazovat souˇctové invarianty. • Φ = 1 ⇒ rovnice kontinuity (nult´ y moment) • Φ = mvj ⇒ rovnice hybnosti (prvn´ı moment) y moment) • Φ = 21 mvj vj ⇒ rovnice energie (druh´

Lze-li vyˇreˇsit BKR, lze urˇcit vˇsechny neznámé v momentov´ ych rovnic´ıch. Momentové rovnice pro jednotlivé sloˇzky plazmatu budou obsahovat ˇcleny se stˇredn´ı hodnotou rychlost´ı (S) hvi i (driftová rychlost).


30

3.10.1

Rovnice kontinuity

Dosad´ıme-li Φ = 1, nult´ y moment BKR nabyde jednoduchého tvaru, kter´ y vyjadˇruje zachován´ı poˇctu ˇca´stic typu (S) +∞

ZZZ ∂N ∂ + (N hvi i) = ∂t ∂xi −∞

!

∂f ∂t

dC

(3.83)

sr´ aˇ zk

Sráˇzkov´ y ˇclen na pravé stranˇe vyjadˇruj´ı rychlost zmˇeny s jakou jsou ˇca´stice typu (S) elementem z´ıskávány nebo ztráceny vinou sráˇzek. Pokud takové kreaˇcn´ı ˇci anihilaˇcn´ı procesy neexistuj´ı (t.j. docház´ı pouze k elastick´ ym sráˇzkám) potom se rovnice kontinuity redukuje na ∂ ∂N + (N hvi i) = 0 (3.84) ∂t ∂xi Je nutno si uvˇedomit, ˇze t, xi , vi jsou nezávislé souˇradnice. Za ˇcas dt se element posune o dxi = hvi idt a tak dN =

∂N ∂N ∂N ∂N dt = dt dxi + hvi idt + ∂xi ∂t ∂xi ∂t

(3.85)

∂N ∂N dN = hvi i + dt ∂xi ∂t Z toho

+∞

ZZZ dN ∂ ∂N + (N hvi i) = − hvi i dt ∂xi ∂xi

∂f ∂t

−∞

+∞

dN ∂N ∂N ∂hvi i ZZZ − hvi i + hvi i + N = dt ∂xi ∂xi ∂xi −∞

+∞

dN ∂hvi i ZZZ +N = dt ∂xi −∞

∂f ∂t

!

!

dC sr´ aˇ zk

∂f ∂t

!

dC

dC sr´ aˇ zk

(3.86)

sr´ aˇ zk

coˇz je alternativn´ı tvar rovnice kontinuity. Vˇenujme nyn´ı pozornost vlivu nˇekter´ ych typ˚ u nepruˇzn´ ych sráˇzek, které mohou vést ke vzniku ˇci zániku ˇca´stic typu (S) v naˇsem elementu. • ionizace

Definujeme si ionizaˇcn´ı sráˇzkovou frekvenci νi jako poˇcet sráˇzek jednoho elektronu za jednotku ˇcasu, pˇri kter´ ych vzniká nov´ y pár e− + iont. ∂N − ∂ + (N − hvi− i) = N − νi ∂t ∂xi

(3.87)

• rekombinace

Poˇcet iont–elektronov´ ych rekombinaˇcn´ıch sráˇzek bude zˇrejmˇe αr N − N + , kde αr je koeficient rekombinace. Pro kvazineutráln´ı plazma plat´ı N + = N − a tedy ∂N − ∂ + (N − hvi− i = −αr (N − )2 ∂t ∂xi

(3.88)

´ (HYDRODYNAMICKE) ´ ROVNICE 3.10. MAKROSKOPICKE

31

• záchyt (attachment) elektronu

Tvoˇren´ı záporn´ ych iont˚ u je pomˇernˇe ˇcast´ ym jevem v elektronegativn´ıch plynech (F 2 , Cl2 , O2 , ale i N2 ). Opˇet zavedeme sráˇzkovou frekvenci νa a dostáváme ∂N − ∂ + (N − hvi− i = −νa N − ∂t ∂xi

3.10.2

(3.89)

Rovnice hybnosti

Urˇceme nyn´ı 1.moment BKR (Φ = mvj ). Jelikoˇz t, xi , vi jsou nezávislé promˇenné, plat´ı ∂Φ ∂Φ =0, ∂x =0 a proto ∂t i +∞

ZZZ ∂ ∂(mvj ) ∂ (N hmvj i) + (N hvi mvj i) − N hPi i= mvj ∂t ∂xi ∂vi

∂f ∂t

−∞

!

dC

(3.90)

sr´ aˇ zk

´ Upravou 3.ˇclenu N hPi

∂(mvj ) ∂vj i = N hPi m i = N mhPi δij i = N mhPj i = N q(Ej + εjkl hvk iBl ) ∂vi ∂vi

z´ıskáme +∞

ZZZ ∂ ∂ (N mhvj i) + (N mhvi vj i) − N q(Ej + εjkl hvk iBl ) = mvj ∂t ∂xi

∂f ∂t

−∞

!

dC

(3.91)

sr´ aˇ zk

ˇ Clen na pravé stranˇe rovnice popisuje celkovou zmˇenu hybnosti zp˚ usobenou sráˇzkami. Obecnˇe bude sráˇzkov´ y ˇclen roven nule pro sráˇzky mezi ˇca´sticemi jedné komponenty. Uprav´ıme 2.ˇclen hvi vj i = h(Vi + hvi i)(Vj + hvj i) = hVi Vj i + hVi ihvj i + hVj ihvi i + hvi ihvj i = hVi Vj i + hvi ihvj i a vyjádˇr´ıme pomoc´ı tenzoru tlaku (viz. rovnici (3.37)) Ψij = N mhVi Vj i ∂ ∂Ψij ∂ (N mhvi vj i) = + (N mhvi ihvj i) ∂xi ∂xi ∂xi

(3.92)

Prvn´ı moment BKR je tedy +∞

ZZZ ∂ ∂ ∂Ψij (N mhvj i) + (N mhvi ihvj i) + − N q(Ej + εjkl hvk iBl ) = mvj ∂t ∂xi ∂xi −∞

∂f ∂t

!

dC sr´ aˇ zk

(3.93) Tuto rovnici lze zapsat v alternativn´ı formˇe. Prvn´ı dva ˇcleny lze upravit následovnˇe ∂ ∂ (N mhvj i) + (N mhvi ihvj i) = ∂t ∂xi ∂(N m) ∂ ∂hvj i ∂hvj i + hvj i + hvj i (N mhvi i) + N mhvi i ∂t ∂t ∂xi ∂xi Z rovnice kontinuity lze urˇcit prostˇredn´ı dva ˇcleny = Nm

+∞

ZZZ ∂ ∂N + mhvj i (N hvi i) = mhvj i mhvj i ∂t ∂xi −∞

∂f ∂t

!

dC sr´ aˇ zk

(3.94)

(3.95)


32

Alternativn´ı tvar 1. momentu BKR je tedy !

∂Ψij ∂hvj i ∂hvj i + + hvi i − N q(Ej + εjkl hvk iBl ) = Nm ∂t ∂xi ∂xi =

+∞ ZZZ

mvj

−∞

∂f ∂t

!

sr´ aˇ zk

dC − mhvj i

+∞ ZZZ

!

∂f ∂t

−∞

dC

(3.96)

sr´ aˇ zk

Jak jsme jiˇz odvodili, 1.ˇclen sráˇzkového integrálu lze pˇrepsat v pˇr´ıpadˇe elastick´ ych sráˇzek následovnˇe +∞ ZZZ +∞ Z2πZπ ZZZ

−∞ −∞

0 0

m(˜ vj − vj )f f (N) gS(χ) sin χdχdϕdC (N) dC

(3.97)

Po integraci pˇres azimutáln´ı u ´hel ψ bude nenulová jen ta sloˇzka rychlosti (˜ v j − vj ), jeˇz je orientována ve smˇeru p˚ uvodn´ı relativn´ı rychlosti pˇred sráˇzkou (detaily viz. cviˇcen´ı) +∞ ZZZ

mvj

−∞

∂f ∂t

!

dC = 2π sr´ aˇ zk

+∞ Zπ +∞ ZZZ ZZZ

−∞ −∞

0

mm(N) g(1 − cos χ)f f (N) gS(χ) sin χdχdC (N) dC m + m(N) (3.98)

(N) vj

kde g = − vj je vzájemná rychlost sráˇzej´ıc´ıch se ˇca´stic. (N) Pokud se vj t´ yká elektron˚ u a vj tˇeˇzˇs´ıch ˇca´stic, plat´ı dˇr´ıve odvozená sráˇzková frekvence pro pˇrenos hybnosti νen = 2π

Zπ 0

N

(N)

g(1 − cos χ)S(χ) sin χdχ ,

N

(N)

=

+∞ ZZZ

f (N) dC (N)

(3.99)

−∞

Pˇredpokládáme-li nyn´ı, ˇze S(χ) (a tedy i Q) závis´ı na rychlosti právˇe takov´ ym zp˚ usobem (≈ 1/g), ˇze νen na rychlosti nezávis´ı, lze psát +∞ ZZZ

mvj

−∞

∂f ∂t

!

dC = m sr´ aˇ zk

+∞ ZZZ +∞ ZZZ

(N)

(vj

−∞ −∞

− vj )

νen (N) f f (N) dC (N) dC = mN νen (hvj i − hvj i) N (N) (3.100)

Po pˇreznaˇcen´ı index˚ u bude v´ ysledná rovnice hybnosti ∂hvi i 1 ∂Ψij q ∂hvi i + hvj i + − (Ei + εijk hvj iBk ) = ∂t ∂xj N m ∂xj m =

(N) νen (hvi i

− hvi i) −

+∞ ZZZ

−∞

∂f ∂t

!

dC

(3.101)

sr´ aˇ zk

Pˇri elastick´ ych sráˇzkách mezi stejn´ ymi ˇca´sticemi docház´ı pouze k pˇrerozdˇelen´ı energie, ale celková hybnost z˚ ustává zachována a tak zde nevystupuj´ı napˇr. νee nebo νnn .

3.10.3

Eulerova rovnice (hydrodynamick´ a rovnice pro plazma)

Jedná se o upravenou rovnici hybnosti, která je vhodná zejména pˇri ˇreˇsen´ı astrofyzikáln´ıch problém˚ u ale i v´ yboj˚ u v plynech proud´ıc´ıch tryskou, tedy vˇsude tam, kde je nutno uvaˇzovat i makroskopick´ y pohyb plazmového u ´tvaru.

´ PROSTRED ˇ Í 3.11. PLAZMA JAKO ELEKTRICKY VODIVE

33

Zanedbáme vˇsechny kreaˇcn´ı i anihilaˇcn´ı procesy dané komponenty plazmatu, takˇze z˚ ustanou jen elastické sráˇzky ∂ Ψij ∂ (N) (N mhvi i) + (N mhvi ihvj i) + − N q(Ei + εijk hvj iBk ) = mN νen (hvi i − hvi i) ∂t ∂xj ∂xj (3.102) Zpátky slouˇc´ıme oba tlakové ˇcleny a nahrad´ıme je gradientem skaláru ∂ Ψij ∂ ∂p ∂pij = (N mhvi ihvj i) + = (N mhvi vj i) = (3.103) ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj Zavedeme hustotu % = mN a hustotu proudu Ji = qN hvi i. Pˇredpokládáme dále, ˇze hvi i. Nav´ıc dopln´ıme rovnici o gravitaˇcn´ı s´ılu mgi , kterou nelze napˇr. v astrofyzice zanedbat a dostáváme ∂hvi i 1 ∂p 1 q + (3.104) − Ei − εijk Jj Bk + gi + νen hvi i = 0 ∂t % ∂xi m % (N) hvi i

3.11

Plazma jako elektricky vodiv´ e prostˇ red´ı

Zavedeme oznaˇcen´ı N − , N + , N (N) pro koncentrace (hustoty) elektron˚ u, kladn´ ych iont˚ u − + (N) a neutrál˚ u, obdobnˇe pak hustoty hmotnostn´ı % , % , % . V dalˇs´ım budeme pouˇz´ıvat obecné oznaˇcen´ı (S) pro jednotlivé sloˇzky plazmatu. Celková hustota % a driftová rychlost vi∗ plazmového u ´tvaru jako celku jsou %=

X

N (S) m(S)

%vi∗ =

S

X S

(S)

N (S) m(S) hvi i

(3.105)

Zavád´ıme driftovou rychlost komponenty (S) vzhledem k celému kvazineutráln´ımu plazmovému u ´tvaru (S) (S) Ui = vi − vi∗ (3.106) (S)

Obecnˇe hUi i 6= 0, ale X S

(S)

N (S) m(S) hUi i =

X S

(S)

N (S) m(S) hvi i −

X S

N (S) m(S) vi∗ = %vi∗ − %vi∗ = 0

(3.107)

Pro hustotu náboje v homogenn´ım plazmatu plat´ı η=

X

N (S) q (S)

(3.108)

S

kde q (S) je náboj. Pak celková hustota proudu ˇcin´ı Ji =

X S

(S)

N (S) q (S) hvi i =

X S

(S)

N (S) q (S) hUi i +

X

N (S) q (S) vi∗ = Ji0 + ηvi∗

(3.109)

S

Celkov´ y elektrick´ y proud má tedy 2 sloˇzky: konvekˇcn´ı ηvi∗ . . . a kondukˇcn´ı Ji0 . V´ıme, ˇze plazma je kvazineutráln´ı tzn. N − = N + = N . Potom Ji = N e(hvi− i − hvi+ i)

Z toho plyne

(m+ + m− )vi∗ = m+ hvi+ i + m− hvi− i

Ji m− m − Ji ∗ = + + ≈ vi + + m + m− N e m Ne + Ji m J i ∗ ≈ v − hvi− i = vi∗ − − i m + m+ N e Ne Je vidˇet, ˇze témˇeˇr vˇsechen kondukˇcn´ı proud je zprostˇredkován elektrony. hvi+ i

vi∗

(3.110) (3.111) (3.112) (3.113)

Kapitola 4 Transportn´ı procesy v plazmatu I 4.1

ˇ sen´ı BKR obecnˇ Reˇ e rozveden´ım v ˇ radu

Pˇr´ım´ ym ˇreˇsen´ım BKR pro rozdˇelovac´ı funkci f lze z´ıskat vˇsechny makroskopické veliˇciny. Jiˇz dˇr´ıve jsme napˇr. odvodili makroskopické rovnice (hybnosti, kontinuity), které popisuj´ı ˇcasovou zmˇenu makroskopick´ ych veliˇcin. Tento popis vˇsak nen´ı zcela u ´pln´ y. − Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze plazma je slabˇe ionizováno a tedy pohyb e je v nˇem dominantn´ı. Zahrneme sráˇzky e− s neutráln´ımi ˇca´sticemi do v´ ypoˇctu, ale iont elektronové nikoli (ty totiˇz hraj´ı roli aˇz v silnˇe ionizovaném plazmatu, jak si ukáˇzeme pozdˇeji). Dále budeme pˇredpokládat, ˇze vnˇejˇs´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na plazma ˇci pˇr´ıpadné gradienty koncentrace naruˇs´ı rovnováˇzné rozdˇelen´ı jen velmi málo. Za tˇechto podm´ınek je moˇzno rozvinout rozdˇelovac´ı funkci rychlost´ı v ˇradu pomoc´ı kulov´ ych funkc´ı. Omez´ıme-li se v tomto rozvoji jen na prvn´ı dva ˇcleny, dostaneme dvˇe rovnice (pro izotropn´ı a anizotropn´ı ˇca´st rozdˇelovac´ı funkce). ˇ sen´ım tˇechto dvou rovnic lze napˇr´ıklad vypoˇc´ıtat makroskopické proudy tekouc´ı plazReˇ matem a r˚ uzné transportn´ı koeficienty (vodivost, pohyblivost, dif´ uze). Pˇredpokládaj´ıc izotropn´ı ˇca´st rozdˇelovac´ı funkce jako maxwellovskou lze obdrˇzet explicitn´ı vztahy pro r˚ uzné transportn´ı koeficienty. Tento postup nen´ı jedin´ ym moˇzn´ ym. Existuje v´ıce metod, jak rozvinout rozdˇelovac´ı funkci. Základn´ı tvar BKR (stále bereme v u ´vahu jen elastické sráˇzky) jsme obdrˇzeli ve tvaru +∞ Z2πZπ ZZZ ∂f ∂f ∂f + vi + Pi = (f˜f˜(N) − f f (N) )gS(χ) sin χdχdϕdC ∂t ∂xi ∂vi −∞

(4.1)

0 0

Jiˇz prvn´ı pohled na tuto rovnici nám ukazuje, ˇze se jedná o parciáln´ı integrodiferenciáln´ı rovnici. Exaktn´ı ˇreˇsen´ı tˇechto rovnic nen´ı obecnˇe známo. Jiˇz z dˇr´ıvˇejˇska v´ıme, ˇze absence vnˇejˇs´ıch sil a gradient˚ u hustoty vede k funkci Maxwellova typu. Pro plasma v klidu je tato funkce izotropn´ı vzhledem k poˇca´tku souˇradnic. Vnˇejˇs´ı pole zp˚ usobuje zejména drift elektron˚ u. Pak se jiˇz rozdˇelovac´ı funkce stane anizotropn´ı ponˇevadˇz v jednom smˇeru se nabité ˇca´stice budou pohybovat rychleji neˇz ve smˇerech ostatn´ıch. Pro tento pˇr´ıpad lze rozdˇelovac´ı funkci napsat ve tvaru f = f 0 + Φ(vi )

(4.2)

coˇz jsou ony zm´ınˇené prvn´ı dva ˇcleny rozvoje v kulové funkce. Izotropn´ı ˇca´st f 0 je velmi ˇcasto Maxwellova rozdˇelovac´ı funkce. O anizotropn´ı ˇca´sti Φ(vi ) se pˇredpokládá, ˇze Φ(vi ) f 0

Φ(vi ) = 34

vi 0 f = f 0 cos Θ w i

(4.3)

ˇ SEN ˇ Í BKR OBECNE ˇ ROZVEDENÍM V RADU ˇ 4.1. RE pˇriˇcemˇz plat´ı w 2 = vi vi . Zavedeme cyklotronn´ı u ´hlovou rychlost (frekvenci) Ωi =

35

e B. m i

e ∂f ∂f ∂f ∂f + vi − Ei − εijk vj Ωk = ∂t ∂xi m ∂vi ∂vi

∂f ∂t

!

BKR má tedy tvar (4.4) sr´ aˇ zk

Rozvineme f v´ yˇse popsan´ ym zp˚ usobem a zkoumáme jednotlivé ˇcleny BKR. 1.ˇclen ∂f ∂ vj ∂f 0 vj ∂fj0 = (f 0 + fj0 ) = + ∂t ∂t w ∂t w ∂t 2.ˇclen ∂f vj 0 ∂ ∂f 0 1 ∂fj0 0 vi = vi (f + fj ) = vi + v i vj ∂xi ∂xi w ∂xi w ∂xi 2 Pˇri ˇreˇsen´ı 3.ˇclenu pouˇzijeme w = vi vi ⇒ wdw = vi dvi

f 0 vi vj ∂ fj0 ∂f ∂ vj vi ∂f 0 ∂ vj 0 vi ∂f 0 = (f 0 + fj0 ) = + ( fj ) = + δij j + ( ) ∂vi ∂vi w w ∂w ∂vi w w ∂w w w ∂w w ∂f vi ∂f 0 fi0 vi vj ∂ fj0 = + + ( ) ∂vi w ∂w w w ∂w w

(4.5) (4.6)

(4.7) (4.8)

4.ˇclen εijk vj Ωk

vr ∂ vi ∂f 0 ∂ vr 0 ∂f = εijk vj Ωk (f 0 + fr0 ) = εijk vj Ωk + εijk vj Ωk ( f )= ∂vi ∂vi w w ∂w ∂vi w r

(4.9)

vi ∂f 0 f0 vi ∂ fr0 + εijk vj Ωk δir ( r ) + εijk vj Ωk vr ( ) (4.10) w ∂w w w ∂w w V tomto v´ yrazu se mus´ı prvn´ı a tˇret´ı ˇclen rovnat nule, protoˇze pˇri zámˇenˇe index˚ u se tyto ˇcleny rovnaj´ı záporné hodnotˇe sebe sama. Tud´ıˇz = εijk vj Ωk

εijk vj Ωk

∂f f0 = εijk vj Ωk i ∂vi w

(4.11)

BKR potom dostáváme ve tvaru !

∂f 0 vj ∂fj0 ∂f 0 vi vj ∂fj0 eE + +vi + − ∂t w ∂t ∂xi w ∂xi m

vi ∂f 0 fj0 vi vj ∂ fj0 f0 + + ( ) −εijk vj Ωk i = w ∂w w w ∂w w w

Rovnice ortogonality

1.

Z2πZπ

sin θdθdϕ = 4π

0 0

2.

Z2πZπ

vi sin θdθdϕ = 0

0 0

3.

Z2πZπ

vi vj sin θdθdϕ =

0 0

4.

Z2πZπ 0 0

4π 2 w δij 3

vi vj vr sin θdθdϕ = 0

!

∂f ∂t sráˇzk (4.12)

KAPITOLA 4. TRANSPORTNÍ PROCESY V PLAZMATU I

36 2π R Rπ

Rovnici() násob´ıme

sin θdθdϕ

0 0

! Z2πZπ ∂fj0 e fi0 4π ∂ fj0 ∂f ∂f 0 4π sin θdθdϕ + wδij − Ei [ + wδij ( )] = 4π ∂t 3 ∂xi m w 3 ∂w w ∂t sráˇzk

∂f 0 w ∂fi0 e f 0 w ∂ fi0 1 + − Ei [ i + ( )] = ∂t 3 ∂xi m w 3 ∂w w 4 fi0

0 0 Z2πZπ 0 0

∂f ∂t

!

sin θdθdϕ sr´ aˇ zk

w ∂ w ∂ 1 ∂ 3w3 fi0 1 ∂ w3 fi0 + ( )= + ( )= + ( )− = ( ) w 3 ∂w w w 3w2 ∂w w w 3w2 ∂w w 3w3 w 3w2 ∂w w fi0

fi0

3

fi0

fi0

w3 fi0

! 2π π ∂f 0 w ∂fi0 e 1 Z Z ∂f 1 ∂ 2 0 sin θdθdϕ + − Ei (w fi ) = ∂t 3 ∂xi m 3w2 ∂w 4π ∂t sráˇzk 0 0

toto je 1 ze dvou rovnic, kterou jsme hledali je to rovnice pro ˇcasovou zmˇenu symetrické ˇca´sti rozdˇelovac´ı funkce. Reprezentuje zákon zachován´ı energie (veskryté formˇe) rovnici() násobit

2π R Rπ 0 0

vr sin θdθdϕ

! Z2πZπ 4π ∂fi0 4π 2 ∂f 0 4π ∂f 0 eE fi0 4π 2 ∂f sin θdθdϕ wδir + w δir − wδir − εijk vj Ωk w δjr = vr 3 ∂t 3 ∂xi 3 ∂w m w 3 ∂t sráˇzk 0 0

∂f 0 e ∂f 0 ∂fr0 +w − εrki Ωk fi0 = − Er ∂t ∂xi m ∂w

Z2πZπ 0 0

3 ∂f 0 vr ( r )sr sin θdθdϕ 4πw ∂t

tato je rovnice pro ˇcasovou zmˇenu nesymetrické ˇca´sti reprezentuje zákon zachován´ı hybnosti (skrytá forma). Pomoc´ı f = f 0 + vwj fj0 se BKR rozˇstˇepila na dvˇe ˇca´sti.Na symetrickou a nesymetrickou rovnici ˇcasové zmˇeny.

4.2

Sr´ aˇ zkov´ yˇ clen

Dosad´ıme nyn´ı za f = f 0 + +∞ Z2πZπ ZZZ

−∞

0 0

vj 0 f w j

do sráˇzkového ˇclenu do rovnic()()

(f˜f˜(N) − f f (N) )gS(χ) sin χdχdψdC (N)

f -rozdˇelovac´ı funkce e− f (N) -rozdˇelovac´ı funkce tˇeˇzk´ ych ˇca´stic (Maxwellova typu) f (0) je funkc´ı w f 0 = f 0 (w) explicitn´ı závislost na vi je v druhém ˇclenu rozvoje dána v´ yrazem funkc´ı vi

vi ; w

vi v˜i (f˜f˜(N) − f f (N) ) = f˜0 f˜(N) − f 0 f (N) + f˜i0 f˜(N) − fi0 f (N) w w

tedy fi0 jiˇz nen´ı

´ ZKOV ˇ ´ CLEN ˇ 4.2. SRA Y

37

Protoˇze neutráln´ı ˇca´stice jsou hmotnˇejˇs´ı neˇz e− a jen tˇeˇzko mohou pˇri sráˇzkách s e− ovlivnit rychlost e− (zvláˇstˇe kdyˇz byly neutráln´ı ˇca´stice v klidu). w ˜ = w ⇒ f˜(N) = f (N) ; f˜0 = f 0 v˜i 0 vi 0 ˜ fi = f 0 cos Θ f = f 0 cos Θ w w i ˜ = cos Θ cos χ + sin Θ sin χ cos ψ cos Θ v˜i 0 (N) vi 0 (N) ˜ − cos Θ) = f (N) f 0 [cos Θ(cos χ − 1)] sin Θ sin χ cos ψ] f f − fi f = f (N) f 0 (cos Θ w i w ∂f ∂t

!

= sr´ aˇ zk

+∞ Z2πZπ ZZZ

−∞

+∞ Z2πZπ ZZZ

−∞

0 0

0 0

f (N) f 0 cos Θ(cos χ − 1)gS(χ) sin χdχdψdC (N) +

+∞ Z2πZπ ZZZ

−∞

1.ˇclen je nula 3.ˇclen je nula

(f˜0 f˜(N) − f 0 f (N) )gS(χ) sin χdχdψdC (N) +

f (N) f 0 sin Θ sin χ cos ψgS(χ) sin χdχdψdC (N)

0 0

w = w˜ ⇒ f˜0 (w) ˜ = f 0 (w) integrace pˇres psi f 0 cos Θ =

vi 0 f w i

+∞ Zπ ZZZ vi ∂f f (N) fi0 (1 − cos χ) sin χgS(χ)dχdC (N) ( )sr = −2π ∂t w −∞

0

Dosad´ıme-li tento ˇclen za sráˇzkov´ y ˇclen do symetrické ˇca´sti BKR dostaneme aplikac´ı relace ortogonality, ˇze tento v´ yraz je roven nule.Tento závˇer vypl´ yvá z toho, ˇze zanedbáváme vliv neutráln´ıch ˇca´stic na elektrony. Dosad´ıme-li ho do nesymetrické ˇca´sti a pouˇzijeme rovnici ortogonality. g∼ =w

N(N) =

+∞ ZZZ

f (N) dC (N)

−∞

(

∂fr0 ∂t

4π 3 2πN(N) fi0 w2 δij 4πw 3

Zπ

(1 − cos χ) sin χS(χ)dχ

∂fr0

Zπ

(1 − cos χ) sin χS(χ)dχ

)sr = − (

∂t

)sr = −2πN(N) fr0 w

0

0

V´ıme jiˇz, ˇze sráˇzková frekvence pro pˇrenos hybnosti byla νEN = 2πN(N) w

Zπ 0

(1 − cos χ) sin χS(χ)dχ (

∂fr0 )sr = νEN fr0 ∂t


38 Závˇer:

e Ei ∂ ∂f 0 w ∂fi0 + (w2 fi0 ) = 0 − 2 ∂t 3 ∂xi m 3w ∂w ∂fi0 ∂f 0 e ∂f 0 +w − Ei − εijk Ωj fk0 = −νEN fi0 ∂t ∂xi m ∂w tok ˇca´stic (jedné komponenty plazmatu) Γi = N hvi i Γi =

+∞ ZZZ

dC = w 2 sin θdθdϕdw

vi f dC

−∞

Γi =

+∞ Z2πZπ ZZZ

−∞

Γi =

+∞ Z2πZπ ZZZ

−∞

0

vi f w2 sin θdθdϕdw

f = f0 +

0 0

2

vi f w sin θdθdϕdw +

+∞ Z2πZπ ZZZ

−∞

0 0

vi

0 0

vi 0 f w i

vj 0 2 f w sin θdθdϕdw w j

opˇet pouˇzit´ım rovnic ortogonality ∞

∞

0

0

4 Z 2 4 Z 3 0 0 Γi = π w δij fj wdw = π w fi dw 3 3 Tok závis´ı na nesymetrické ˇca´sti rozdˇelovac´ı funkce, ale fi0 z´ıskáme ze () a tedy závis´ı na sym. ˇca´sti f 0 .

4.3

Elektrick´ a vodivost plazmatu

Ei 6= 0 Bi = 0 ⇒ Ωj = 0 plazma je homogenn´ı,tj v celém prostoru plat´ı

∂N ∂xi

=0⇒

∂f 0 xi

=0

e ∂f 0 ∂fi0 − Ei = −νfi0 ∂t m ∂w Ei = E0i e−iωt pole stˇr´ıdavé (vysokofrekvenˇcn´ı), toto pole zp˚ usobuje drift. rychlost s n´ıˇz souv. nesymetrická ˇca´st rozdˇel. funkce ∂fi0 Pak nutnˇe fi0 ∼ e−iωt = −iωfi0 ∂t e ∂f 0 Ei + νfi0 = 0 m ∂w 0 e E ∂f e ∂f 0 0 0 m i ∂w fi (ν − iω) = Ei fi = m ∂w (ν − iω) −iωfi0 −

´ VODIVOST PLAZMATU V MAGN. POLI 4.4. ELEKTRICKA

39

i hustota elektrického proudu Ji = −eN hvi i = −eΓi = σEi ⇒ σ = − eΓ Ei tento vztah pro σ je platn´ y zcela obecnˇe

∞

e2 Z 4π w3 ∂f 0 dw Ji = − E i m 3 ν − iω ∂w

ν = N Q(w)w

0

Pot´ıˇze nastávaj´ı v tom, ˇze naznáme pˇresnˇe závislost u ´ˇcinného pr˚ uˇrezu na rychlosti a proto dalˇs´ı v´ ypoˇcet provád´ıme za pˇredpokladu ν 6= f (w) ∞

4π e2 Z w3 ∂f 0 dw σ=− 3 m ν − iω ∂w 0

3

mw2

m Vezmeme-li za f 0 Maxw. rozdˇel. funkce f 0 = N ( 2πkT ) 2 e− 2kT a dále pˇred., ˇze neexistuj´ı gradienty teploty a T nen´ı funkc´ı w. Pro vyˇreˇsen´ı integrálu pouˇzijeme substituci m 21 ) w u = ( 2kT

w 2

8N e √ [ σ= 3m π σRe =

νN e2 m(ω 2 +ν 2 ) ωN e2 m(ω 2 +ν 2 )

Z∞ 0

4 −u2

3 ∂f

0

∂w

3

2

dw = −2N π − 2 u4 e−u du ∞

2

Z u4 e−u νu e + iω ] = σRe + σIm ω2 + ν 2 ω2 + ν 2 0

odpor

σIm = posun fáze plazma se chová jako kapacita+indukˇcnost 2 pro ω = 0 σ = σRe = Nmνe pokud ν ≈ 0, pak σRe = 0 a plazma vede jako kapacita.

4.4

Elektrick´ a vodivost plazmatu v magn. poli

Ei 6= 0 Ωi 6= 0 0 Pˇri ˇreˇsen´ı opˇet pˇredpokládáme, ˇze plazma je homogenn´ı∂f =0 ∂xi ∂fi0 = −iωfi0 ∂t 0 ∂f 1 e − εijk Ωj fk0 = −νfi0 / −iωfi0 − Ei m ∂w −iω 0 e i ∂f i fi0 − i Ei − εijk Ωj fk0 = − νfi0 mω ∂w ω ω iν 0 Ωj 0 e Ei ∂f 0 (1 + )fi − iεijk fk = i ω ω m ω ∂w iν Ωj 1+ =U = Yj ω ω e Ei ∂f 0 (U δij + iεijk Yk )fj0 = i m ω ∂w e ∂f 0 Mij fj0 = i Ei mω ∂w Ei ∼ e−iωt

fi0 ∼ e−iωt ⇒


40

~ kz Zvolme magnetické pole B

Bk = (0, 0, B) ⇒ Yk = (0, 0, Y )



U  Mij =  −iY 0 cij je inverzn´ı k Mij ⇒ cij =



cij =  

U U 2 −Y 2 iY U (U 2 −Y 2 )

0

iY U 0



0 0   U

cij Mij = 1

1 ∆

∆ = det|Mij | = U 3 − U Y 2 = U (U 2 − Y 2 )    − iY (U 2 − Y 2 ) 0 µ11 −µ21 µ31 U  U 0  µ22 µ32   =  −µ12  U 2 −Y 2 1 µ µ µ 0 13 23 33 U e ∂f 0 fj0 = i cij Ei mω ∂w 2 Z∞ 0 i4πe ∂f Ji = −eΓi = − dw = σij Ej cij Ej w3 3mω ∂w 0

pˇred, ˇze ν nen´ı funkc´ı ω a proto m˚ uˇzeme opˇet pouˇz´ıt Maxw. rozdˇel. rychlost´ı. 



∞ σT −σH 0 i4πe2 Z ∂f 0  0  σij = − cij w3 dw = σij =  σH σT  3mω ∂w 0 0 σL 0

Z∞ 0 U i4πe2 3 ∂f w dw σT = − 3mω U 2 − Y 2 ∂w 0

2

σH =

Y i4πe 3mω U (U 2 − Y 2 ) 2

σL = −

i4πe 1 3mω U

Z∞

w3

∂f 0 dw ∂w

Z∞

w3

∂f 0 dw ∂w

0

0

v´ yraz pro σL je stejn´ y jako v´ yraz pro σ v pˇr´ıpadˇe pouze el. pole ⇒ ve smˇeru osy z, tzn. ve smˇeru osy z nen´ı J ovlivnˇeno magnetick´ ym polem. Pokud Y U pak v kolmém smˇeru ~ na B je el. vodivost zt´ıˇzena.

4.5

Difuze voln´ ych elektron˚ u

Ei = 0, Bi = 0, Ωj = 0 ∂f 0 Plazma je stacionárn´ı stav ∂ti = 0, pˇri nepromˇenném gradientu hustoty ∂N ∂N 6= 0; ∂xi = konst (existuje gradient hustoty, ale nemˇen´ı se) ∂xi w

∂f 0 + νfi0 = 0 ∂xi w ∂f 0 0 fi = − ν ∂xi

´ POLI 4.6. DIFUZE V MAGNETICKEM

41

difuzn´ı tok ˇca´stic ∞ ∞ 4π Z w4 ∂f 0 4π Z 3 0 w fi dw = − dw Γi = 3 3 ν ∂xi 0

0

Za pˇredpokladu ν 6= f (w) je f 0 Maxwellovské m 3 −( mv2 ) f0 = N( ) 2 e 2kT = N F (T, w) 2πkT ∂N ∂F (T, w) ∂f 0 = F (T, w) + N ∂xi ∂xi ∂xi Pˇredpokládáme, ˇze nen´ı gradient teploty ⇒

∂F (T,w) ∂xi

=0

∂f 0 ∂N ∂N f 0 = F (T, w) = ∂xi ∂xi ∂xi N ∞ ∂N 4π 1 ∂N Z w4 0 f dw = −D Γi = − 3 N ∂xi ν ∂xi 0

∞ 4π 1 Z w4 0 D=− f dw 3 N ν 0

kde D je koeficient difuze. Pokud ν nen´ı funkce rychlosti, vztah se nám zjednoduˇs´ı na kT mν Difuze neprob´ıhá, tak jednoduˇse protoˇze kdyˇz e− uteˇcou objev´ı se el. pole, které je pˇritahuje zpˇet a urychluje ionty smˇerem k e− prob´ıhá tzv. ambipolárn´ı difuze. D=

4.6

Difuze v magnetick´ em poli ∂fi0 ∂t

plazma se stacionárn´ım stavu

= 0; Ei = 0

∂f 0 − εijk Ωk fj0 = νfi0 ∂xi ∂f 0 (νδij + εijk Ωk )fj0 = −w ∂xi ~ kz B Bk = (0, 0, B) Ωk = (0, 0, Ω)   ν Ω 0 0 ∂f  Nij fj0 = −w Nij =   −Ω ν 0  ∂xi 0 0 ν w

det(Nij ) = ν 3 + νΩ2 = ν(ν 2 + Ω2 )

Fij je inverzn´ı k Nij 

Fij =  

ν ν 2 +Ω2 Ω ν 2 +Ω2

0

Ω − ν 2 +Ω 2 ν ν 2 +Ω2

0



0 ∂f 0 0 0   ⇒ fi = −wFij ∂xi 1 ν


42

Pak tok ˇca´stic zp˚ usoben´ y difuz´ı bude ∞ ∞ 4π Z 4 ∂f 0 4π Z 3 0 w fi dw = − w Fij dw Γi = 3 3 ∂xi 0

0

Je-li f 0 Maxwellovské nejsou gradienty teploty ∞ 4π 1 ∂N Z 4 ∂N Γi = − w Fij f 0 dw = −Dij 3 N ∂xj ∂xj 0

Dij =

4π 1 3 N

Z∞ 0





DT −DH 0  4 0 0  w Fij f dw =  DH DT  0 0 DL

∞ 4π 1 Z w4 ν DT = f 0 dw 2 2 3 N ν +Ω 0

DH =

4π 1 3 N

Z∞ 0

w4 Ω 0 f dw ν 2 + Ω2

∞ 4π 1 Z w4 0 DL = f dw 3 N ν 0

koeficient DL 6= f (Ω) nezávis´ı difuze na mag. poli, pohyb se dˇeje podél siloˇcar, DT , DH difuze mimo smˇer magnetického pole je zt´ıˇzena.V tˇechto vzorc´ıch pro Ω ↑ je ν zanedbatelné, v plazmatu docház´ı k anomáln´ı difuzi (kolmo k siloˇcarám magnetického pole), která zde nen´ı zapoˇctena (Bohmova difuze DL ∼ B1 )

4.7

Debye˚ uv st´ın´ıc´ı polomˇ er

Debye˚ uv st´ın´ıc´ı polomˇer je jednou z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch charakteristik plazmatu. Nabité ˇca´stice na sebe p˚ usob´ı individuálnˇe Coul. silami (moˇzné i kolektivn´ı p˚ usoben´ı). Pole vytváˇrené jednou nabitou ˇca´stic´ı (e− ,iont) je v urˇcité vzdálenosti zcela odst´ınˇeno polem ostatn´ıch ˇca´stic. Tento st´ın´ıc´ı efekt nen´ı vlastn´ı jen el. nabit´ ym ˇca´stic´ım tvoˇr´ıc´ı plazma, ale lze jej aplikovat na jak´ ykoliv objekt s urˇcit´ ym el. potenciálem, kter´ y je do plazmatu vloˇzen. Takov´ ymi objekty mohou b´ yt r˚ uzné sondy, elektrody a pevné stˇeny obklopuj´ıc´ı plazma.Pak mezi objektem a plazmatem se vytvoˇr´ı zvláˇstn´ı vrstva ve které neplat´ı podm´ınka kvazineutrality. Proudy v plazmˇe jsou pak ovlivnˇeny potenciálem zvláˇstn´ı vrstvy. Do kladného iontu poloˇz´ıme poˇca´tek souˇr. systému (testovac´ı). V bl´ızkosti tohoto testuj´ıc´ıho iontu bude kvazineutralita naruˇsena. Vznikne prostorov´ y náboj η. η = e(N + − N − ) tento prostorov´ y náboj dává vznik el. poli o intenzitˇe Ei a splˇ nuje Poissovonu rovnici Ei = −gradψ = −ψii ψii = −

η ε0

∆ψ = −

η ε0

˚ STÍNÍCÍ POLOMER ˇ 4.7. DEBYEUV

43

V´ıme jiˇz, ˇze kladné ionty jsou pomˇernˇe hmotné tud´ıˇz málo pohyblivé ⇒ hustota kladn´ ych + iont˚ u bude v kaˇzdém m´ıstˇe dána pr˚ umˇernou hustotou nab. ˇca´stic N = N0 . V bl´ızkosti − − testovac´ıho náboje bude N = N (xi ) N − (xi ) 6= N0 . Po dosazen´ı e ∆ψ = − [N0 − N − (xi )] ε0

−

N (xi ) =

+∞ ZZZ

f dC

−∞

rozdˇelovac´ı funkce f mus´ı splˇ novat BKR. ∂f ∂f ∂f + vi + Pi = ∂t ∂xi ∂vi

∂f ∂t

!

sr´ aˇ zk

V poli centráln´ıch sil lze BKR ˇreˇsit pomoc´ı Boltzmannova faktoru m 3 mv 2 eψ(xi ) 0 ]f = N0− ( ) 2 exp[− ] kT 2πkT 2kT +∞ ZZZ eψ(xi ) eψ(xi ) − N (xi ) = exp[ ] ] f 0 dC = N0 exp[ kT kT f = f 0 exp[

−∞

V plazmatu plat´ı eψ(xi ) kT ⇒ N − (xi ) mohu rozvést v ˇradu ψ(xi ) . N − (xi ) = N0 [1 + e ] kT s 1 e 2 N0 ε0 kT ψ = 2ψ h= ) ∆ψ = ε0 kT h e 2 N0 h je tzv. Debye˚ uv polomˇer, je vidˇet ˇze má rozmˇer délky. V Debyeovˇe kouli 4π h 3 N0 1 3 je plazma ideáln´ı. V´ıme, ˇze ψ je sféricky symetrické. Rozep´ıˇseme-li ∆ ve sférick´ ych souˇradnic´ıch ⇒ závis´ı e pouze na r. Poˇca´teˇcn´ı podm´ınky pro r → 0ψ → ψC = 4πε0 r a pro r → ∞ψ → 0. ψ(r, ϑ, ϕ); 1 1 d 2 dψ (r ) = ψ r2 dr dr h2

∂ψ ∂ψ = =0 ∂ϑ ∂ϕ 2 dψ dψ 2 1 + 2 = 2ψ r dr dr h

ˇreˇsen´ı hledáme ve tvaru ψ = ψC Z e e dZ dψ =− Z+ 2 dr 4πε0 r 4πε0 r2 dr e e dZ e dZ e d2 Z d2 ψ = Z − − + dr2 4πε0 r3 4πε0 r2 dr 4πε0 r2 dr 4πε0 r dr2 e d2 Z e e 1 + Z− Z = 2ψ 2 3 3 4πε0 r dr 4πε0 r 4πε0 r h 2 e dZ 1 e = 2 Z 2 4πε0 r dr h 4πε0 r Z d2 Z = 2 2 dr h r r −h Z = C1 e + C2 e h

44


Zpoˇca´teˇcn´ıch podm´ınek C1 = 1 C2 = 0 r

Z = e− h

ψ=

r e e− h 4πε0 r

Coulombovsk´ y odst´ınˇen´ı potenciál pro r = h klesá na ψ = ψeC T 1 h = 6.9[ ] 2 cm N0

3

4π 3 T2 N0 = [cm ]ND = h N0 = 1.38.103 1 3 N2 −3

0

ND 1

4.8

Plazmov´ a frekvence

Plazma je elektricky kvazineutráln´ı. Ionty tvoˇr´ı nepohybliv´ y kladnˇe nabit´ y oblak.Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze nˇejaká skupina elektron˚ u je statistickou fluktuac´ı vych´ ylena z rovnováˇzn´ ych poloh. Elektrony potom zaˇcnou kmitat kolem tˇechto rovnováˇzn´ ych poloh.Tepeln´ y pohyb elektron˚ u je zanedbán, veˇsker´ y pohyb je dán fluktuaˇcn´ım (driftov´ ym) pohybem. Plat´ı rovnice kontinuity a rovnice hybnosti ∂N − ∂ + (N − hvi− i) = 0 ∂t ∂xi − − − ∂hvi i hv − i 1 ∂ψ e ∂hvi i + hvj− i + − − ij − − (Ei + εijk hvj iBk ) = νEN (hviN i − hvi− i) − i− Ssr ∂t ∂xj N m ∂xj m N ~ =0 Z pˇredp. vypl´ yvá ψij− = N − m− hVi− Vj− i, B ∂hvi− i e ∂hvi− i + hvj− i = Ei ∂t ∂xj m ~ je fluktuaˇcn´ı el. pole vzniklé vych´ kde E ylen´ım oblaku elektron˚ u vzhledem k iont˚ um. ¯− N + = N0 N− = N0 ± N η e ¯− =− ∆ψ = −Ei,i = − N ε0 ε0 dosad´ıme do rovnic a zanedbáme takové ˇcleny, kde se setkávaj´ı dvˇe fluktuaˇcn´ı veliˇciny ∂ ¯ − ) + ∂ [(N 0 ± N ¯ − )¯ (N 0 ± N vi− ] = 0 ∂t ∂xi ∂N 0 ∂N 0 =0 =0 ∂t ∂xi ¯− ∂N ∂hvi− i e ∂hvi− i + N0 = − Ei =0 ∂t ∂xi ∂t m 2 − 2 − 2 2 ¯− ∂ hvi i ∂ hvi i e ∂Ei e ¯− ∂ N + N0 =0 =− = N 2 ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂t m ∂xi mε0 ¯ − e 2 N0 ∂2N ¯− = 0 N + ∂t2 mε0

´ FREKVENCE 4.8. PLAZMOVA 2

1

kdeΠ− = ( emεN00 ) 2 je plazmová frekvence plazmon-kvantum energie¯hΠ− 1 2 y zvuk). iontová frekvenceΠ− = ( emεN00 ) 2 (iontov´ √ Π− −3 0 = 9000 N 0 N0 = [cm ] N ≈ 1010 v bˇeˇzném plazmatu 2π pro ideáln´ı plazmaΠ− > νEN plameny, hoˇra´ky atd.Π− < νEN (n´ızk´ y stupeˇ n ionizace).

45

Kapitola 5 Z´ akladn´ı jevy v plazmatu II V této kapitole se v podstatˇe budeme zab´ yvat tzv. transportn´ımi jevy v plazmatu

5.1

Difuze

Existuje-li v plazmatu gradient hustotu potom maj´ı ˇca´stice snahu pohybovat ve smˇeru k niˇzˇs´ı hustotˇe. Tento proces difuze lze nejsnadnˇeji analyzovat pouˇzit´ım odvozeného vztahu pro rovnici hybnosti v plazmatu (S)

∂ψij ∂ ∂ (S) (S) (S) (S) (N (S) m(S) hvi i) + (N (S) m(S) hvi ihvj i) + − N (S) q (S) (Ei + εijk hvj iBk ) = ∂t ∂xj ∂xj (S)

= νSN m(S) N (S) hvi i Pˇritom pˇredpokládáme, ˇze neutráln´ı ˇca´stice nemaj´ı nˇejakou stˇredn´ı rychlost. Sráˇzková frekvence νSN je efektivn´ı sráˇzkovou frekvenc´ı pro pˇrenos hybnosti ˇca´stice nabité (druhus) s neutráln´ım ˇca´stic´ım. (S) (S) (S) Tenzor tlaku ψij = N −(S) m(S) hVi Vj i lze redukovat pˇredpokladem, ˇze tlak bude ˇcistˇe hydrostatick´ y. (S)

ψij = P (S) δij = N (S) kT (S) δij kde je ovˇsem pˇredpokládámo Maxwell. rozdˇelen´ı rychlost´ı. Kdyˇz tepelná rychlst s-t´ ych (S) ˇca´stic je mnohem vˇetˇs´ı neˇz jejich driftová rychlost hvi i, potom druh´ y ˇclen m˚ uˇze b´ yt zanedbán vzhledem ke tˇret´ımu. Pak m˚ uˇzeme psát ∂ ∂ (S) (S) (S) (N (S) m(S) hvi i) + (N (S) kT (S) ) − N (S) q (S) (Ei + εijk hvj iBk ) = −νSN m(S) N (S) hvi i ∂t ∂xi Z této rovnice budeme vycházet v dalˇs´ıch v´ ypoˇctech.

5.2

Difuze elektron˚ u a jejich pohyblivost

Uvaˇzujme elektrony, jako plyn interauj´ıc´ı s neutráln´ım plynem. Pˇri zanedban´ı (nebo ~ = 0 lze rovnici hybnosti psát ve tvaru nepˇr´ıtomnosti) vnˇejˇs´ıch magnetick´ ych pol´ı B ∂N − ∂ (N − m− hvi− i) + kT − N − eEi = −νEN mN − hvi− i ∂t ∂xi 46

hviN i = 0

´ Í DIFUZE 5.3. AMBIPOLARN

47

Pˇredpokládáme-li dále, ˇze teplota je vˇsude stejná lze pro hustotu toku elektron˚ u Γ− at i ps´ − − Γi = Ni hvi i kT ∂N − N − eEi 1 ∂Γ− i + − − − Ei = −Γ− i νEN ∂t m νEN ∂xi m νEN Tok elektron˚ u zp˚ usoben´ y transportn´ımi jevy lze rozdˇelit na difuzi a pohyb vlivem el. pole (pohyblivost). ∂Γ− Ve stacionárn´ım stavu ∂ti = 0 lze psát Γ− i

= −D

− ∂N

−

∂xi

+ N − µ− E i

−

elektronová pohyblivost kde µ− = m−qνEN kT − − D = mνEN difuzn´ı koef. voln´ ych elektron˚ u kT − D− Vˇsimnˇeme si, ˇze µ− = e Einsteinova relace. Plat´ı jen pro Maxwellovo rozdˇelen´ı Bez pˇritomnosti el. pole Ei = 0 ∂ 1 ∂Γ− i =D / + ∂xi νEN ∂t ∂xi − 2 − 2 − ∂Γ 1 ∂ Γi ∂ N − i = D− + 2 ∂xi ∂xi νEN ∂t∂xi

−Γ− i

− ∂N

−

s vyuˇzit´ım rovnice kontinuity ∂ ∂N − ∂Γ− i + =0 / ∂t ∂xi ∂t 2 − 2 − ∂ Γi ∂ N + =0 2 ∂t ∂xi ∂t 2 − ∂Γ− 1 ∂ 2 Γ− i i −∂ N − =D + 2 ∂xi ∂xi νEN ∂xi ∂t − 2 − ∂N 1 ∂ 2 Γ− ∂ N i − = D− ∂t ∂x2i νEN ∂t2 Jedna z forem telegrafn´ı rovnice Kdyˇz charakteristick´ y ˇcas pro zmˇenu hustoty (difuzn´ı ˇcas) je dlouh´ y ve srovnán´ı s 1 dobou, která uplyne mezi dvˇema sráˇzkami τsr = νEN τdif tak posledn´ı ˇclen m˚ uˇzeme zanedbat. Tato podm´ınka b´ yvá obyˇcejnˇe s rezervou splnˇena v normáln´ıch typech plazmatu. Potom difuzn´ı rovnici dostáváme ve tvaru ∂2N − ∂N − = D− ∂t ∂x2i

5.3

Ambipol´ arn´ı difuze

Lehké elektrony difunduj´ı mnohem rychleji neˇz tˇeˇzké ionty. Vzniká vˇsak rozdˇelen´ı náboj˚ u a s n´ım i elektrické pole, které bude difuzi elektron˚ u zpomalovat a difuzi iont˚ u zrychlovat. V´ ysledkem bude, ˇze elektrony s ionty budou difundovat spoleˇcnˇe nˇejakou stˇredn´ı rychlost´ı.

´ Í JEVY V PLAZMATU II KAPITOLA 5. ZAKLADN

48

Tento jev je naz´ yvám ambipolárn´ı difuz´ı. Ve stacionárn´ıch stavu bude hustota toku elektron˚ u (iont˚ u) rovna ∂N − + N − µ− E i ∂xi + + ∂N + N + µ+ E i Γ+ = −D i ∂xi

− Γ− i = −D

Kdyˇz jsou rychlosti, se kter´ ymi v objemu plazmatu vznikaj´ı nové elektrony a ionty stejné + − pak Γ− = Γ = ν N ν cn´ı sráˇzková frekvence I I . . . ionizaˇ i i Elektrické pole za uveden´ ych podm´ınek bude ∆Ψ = Ei,i =

e (N + − N − ) ε0

Systém tˇechto rovnic je nelineárn´ı vzhledem k vyskytuj´ıc´ım se ˇclen˚ um N + Ei a N − Ei . Pˇredpokládejme vˇsak N + = N − = N, N NN (hustota neutráln´ıch ˇca´stic) Tyto podm´ınky ˇr´ıkaj´ı, ˇze difuze hraje podstatnou roli i na vzdálenostech vˇetˇs´ıch neˇz Debuyeho + délka. Lze rovnˇeˇz pˇredpokládat, ˇze Γ− ´vahám o mechanizmu i = Γi = Γi vzhledem k u ambipolárn´ı difuze. Γi = −D−

∂N + N µ − Ei ∂xi

∂N + N µ + Ei ∂xi ∂N Γi + D− ∂x i Ei = N ν− µ+ ∂N ∂N + − Γi + D − Γi = −D+ ∂xi µ ∂xi ∂N ∂N µ− Γi − µ+ Γi = −D+ µ− + µ+ D − ∂xi ∂xi ∂N (D− µ+ − µ− D+ ) Γi (µ− − µ+ ) = ∂xi ∂N D − µ+ − µ − D + Γi = −DA DA = ∂xi µ+ − µ − Γi = −D+

DA . . . koeficient ambipolárn´ı difuze Protoˇze |µ+ | |µ− | lze pˇribliˇznˇe psát DA ≈ (1 −

D − µ+ + )D µ− D +

Uˇzijeme-li nav´ıc Eisteinovu relaci dostaneme DA ≈ (1 −

T− + )D T+

V kladném sloupci doutnavého v´ yboje je T − T + , zat´ım co v izotermickém plazmatu − + + T = T = TN DA ≈ 2D .

´ POLI 5.4. DIFUZE V MAGNETICKEM

5.4

49

Difuze v magnetick´ em poli

Jestliˇze nebude pˇr´ıtomno el. pole a elektronová teplota nebude funkc´ı polohy, potom rovnici hybnosti pro elektrony lze psát v následuj´ıc´ım tvaru ∂ ∂N − (N − m− hvi− i) + kT − − N − q − εijk hvj− iBk = −νEN m− N − hvi− i ∂t ∂xi vyuˇzijeme-li relace D − =

kT − mνEN

D

lze pro stacionárn´ı stav psát

− ∂N

−

∂xi

+

εijk Γ− j

Ω− k = −Γ− i νEN

−

kde Ωk = − qmB−k je cyklotrovová frekvence. 1 lze pˇredeˇslou rovnici psát Protoˇze τsr = νEN − − (δij + εijk Ω− k τsr )Γj = −D

Pˇredpokládame-li, ˇze magnetické pole má smˇer osy z m˚ uˇzeme rovnici napsat v maticovém tvaru.  



∂N − ∂xi − Bk = (0, 0, B) ⇒ Ω− k = (0, 0, Ω ),





1 Ω− τsr 0 Γ− 1   −  − 1 0   −Ω− τsr   Γ2  = −D  − 0 0 1 Γ3







1 Ω− τsr 0 Γ− 1 D−   −   − 1 0  −Ω τsr  Γ2  = −  − 2 1 + (Ω τsr ) − 2 Γ− 0 0 1 + (Ω τ ) sr 3

∂N ∂x1 ∂N ∂x2 ∂N ∂x3 ∂N ∂x1 ∂N ∂x2 ∂N ∂x3 −

     

D 1 + (Ω− τsr )2 ∂N − ∂N − − = −D Γ− + Ω τ D ⊥ sr ⊥ 1 ∂x1 ∂x1 − ∂N ∂N − − = −D Γ− Ω τ + D ⊥ sr ⊥ 2 ∂x1 ∂x1 − − 2 2 ∂N − − ∂N ) = −D (1 + Ω τ Γ− = −D Ω ⊥ sr 3 ∂x3 ∂x3 D⊥ =

Odtud je vidˇet, ˇze difuze elektron˚ u ve smˇeru magnetického pole nen´ı t´ımto mag. polem ovlivnˇena. − = 0; lze rovnici kontinuity napsat Pro bezsráˇzkové plazma Ve stacionárn´ım stavu tj. ∂N ∂t následovnˇe − − − − div ~Γ− = Γ− i,i = Γ1,1 + Γ2,2 + Γ3,3 = νI N z pˇredcházej´ıc´ıch v´ ysledk˚ u dosazen´ım do div ~Γ−

− D⊥ (

2 − ∂2N − ∂2N − −∂ N + = D + νI N − = 0 ∂x21 ∂x22 ∂x23


50

Odtud vid´ıme, ˇze aˇckoliv difuze ve smˇeru mag. pole nen´ı mag. polem ovlivnˇena je ve − smˇerech kolm´ ych k mag. poli velmi zt´ıˇzena, ponˇevadˇz D⊥ < D− . Pro velká mag. pole je 1 D⊥ ≈ B 2 . Bylo provedeno mnoho experiment˚ u z nichˇz vyplynulo, ˇze difuze ve smˇeru kolmém na mag. 1 pole je u ´mˇerná B . Vysvˇetlen´ım této ,,anomáln´ı difuze” zavád´ı pojem mikroelektrick´ ych pol´ı, která v plazmatu vznikaj´ı fluktuacemi hustoty. Tato pole zp˚ usobuj´ı vzr˚ ust difuze ve smˇeru kolmém k mag.poli. Kdyˇz je difuze bez mag. pole sp´ıˇse ambipolárn´ı neˇz ˇcistˇe elektronová, potom v mag. poli bude DA amb D⊥ = − −τ + 1 + Ω Ω+ τsr sr

5.4.1

Bohmova difuze

Koef. difuze v mag. poli p˚ uvodnˇe odvozen´ y D⊥ ∼ B −2 . Experimenty vˇsak vedou k závˇeru, −1 ˇze D⊥ ∼ B . Toto anomálnˇe slabé zt´ıˇzen´ı difuze bylo zkoumáno v r. 1956 Bohmem, Barbopem a Masseyem. Bohm obdrˇzel semiempirick´ y vztah D⊥ ∼

1 kT − = DB 16 eB

ˇ Povˇevadˇz DB nen´ı funkc´ı hustoty, je rozpad plazmatu exponenciáln´ı funkc´ı ˇcasu. Casov´ a konstanta ve válcovém plazmatu délky L a polomˇeru R potom ˇcin´ı τ≈

N dN dt

=

nπR2 L nR = Γr 2πRL 2Γr

kde N je celkov´ y poˇcet elektron-iontov´ ych pár˚ u v plazmatu. Γr - je radiáln´ı tok dan´ y Fickov´ ym zákonem. Bohm˚ uv difuzn´ı ˇcas potom bude τ = τB ≈

nR nR R2 ≈ ≈ 2DB Rn 2DB 2DB ∂n ∂r

Mˇeˇren´ı na stellarátorech toto potvrdilo. DB je, ale mnohem vˇetˇs´ı neˇz D⊥ . DB se uplatn´ı hlavnˇe u uplnˇe ionizovaného plazmatu.

5.5

Elektrick´ a vodivost a permitivita plazmatu

Pro plazma neplat´ı pˇresná analogie s el. vodiˇci ani s dielektriky. Tyto oba rysy plazmatu demonstruje jednak reálná a imaginárn´ı ˇca´st vodivosti, jednak komplexn´ı diel. konstanta a dielektrické ztráty. Langervinova rovnice Langevinova rovnice je odvozena nezávisle na BKR a je to v podstatˇe jednoduchá pohybová rovnice, která je vhodná zejnéna pro slabˇe ionizované plazma. Interakce elektron˚ u s kladn´ ymi ionty je zanedbána stejnˇe jako elektron-elektronové interakce-Lorentz˚ uv plyn. Pro tento model plazmatu urˇc´ıme rovnici pohybu jednoho elektronu v el. a mag. poli mv˙ i− = −e(Ei + varepsilonijk vj− Bk )

´ KONNSTANTA IZOTROPNÍHO PLAZMATU51 5.6. VODIVOST A DIELEKTRICKA Do této rovnice vˇsak mus´ıme dodat ˇclen zahrnuj´ıc´ı sráˇzky p˚ usob´ıc´ı na ,,pr˚ umˇern´ y” elektron Levá strana reprezentuje rychlost zmˇeny hybnosti elektronu a je rovna celkové s´ıle p˚ usob´ıc´ı na elektron. Sráˇzky el. s tˇeˇzk´ ymi ˇca´sticemi budou mˇenit hybnost elektronu ve smˇeru jeho p˚ uvodn´ı rychlosti. Uvaˇzujeme-li hmotnost neutráln´ı ˇca´stice za nekoneˇcnˇe velkou bude tato zmˇena rovna ∆(m− vi− ) = m− vi− (1 − cos χ) Vypoˇcteme-li stˇredn´ı hodnotu pˇres vˇsechny u ´hly rozptylu zaveden´ım rozptylové rozdˇel. funkce dostaneme, ˇze h∆(m− vi− )i = m− vi− h1 − cos χi = m− vi− (toto plat´ı pro model tuh´ ych koul´ı) Tedy v pr˚ umˇeru pˇri kaˇzdé sráˇzce docház´ı ke zmˇenˇe hybnosti rovné p˚ uvodn´ı hodnotˇe hybnosti. Za jednotku ˇcasu to bude m− vi− ν , kter´ y to ˇclen mus´ıme dodat na levou stranu naˇs´ı pohybové rovnice. mv˙ i− + νEN mvi− = −e(Ei + varepsilonijk vj− Bk ) Coˇz je Langevinova rovnice. Je ˇcasto pouˇz´ıvaná spolu s Maxwellov´ ymi rovnicemi pˇri popisu dynamiky plazmatu. Jednoduché pˇredpoklady o sráˇzkách vˇsak obecnˇe neplat´ı a proto je pˇri aplikac´ıch této rovnice m´ıt na zˇreteli skuteˇcnou povahu jev˚ u.

5.6

Vodivost a dielektrick´ a konnstanta izotropn´ıho plazmatu

Uvaˇzujeme plazma na kkteré je aplikovateln´ y model Lorentzova plynu. Aplikujeme zat´ım jen elektromagnetické pole vln, neuvaˇzujeme statické vnˇejˇs´ı magnetické pole. Na elektron bude p˚ usobit jak vektor intenzity el. tak imag. pole vlny. Jaké je silové p˚ usoben´ı obou pol´ı Fel = −eE

Fmag = −ewν0 H

kde w je rychlost elktron˚ u. 1 Z Maxwell. rovnic plyne, ˇze H = ( νε00 ) 2 E, takˇze 1

Fmag −ew(ν0 ε0 ) 2 E w = = Fel −eE c

Potom lze u ´ˇcinek mag. pole vlny vˇetˇsinou zanedbat. Langevinova rovnice potom bude mv˙ i− + νEN mvi− = −eEi Pˇredpokládame, ˇze Ei = Ei0 e−iωt

vi = vi0 e−iωt

v˙ i = −vi iω

Pak z rovnici dostaneme ve tvaru e −iωvi + νEN vi = − Ei m e − vi = − Ei m(νEN − iω)


52

Pro rychlost ovˇsem plat´ı vi− = µ− Ei , kde µ je pohyblivost e µ− = − m(νEN − iω) Hustota proudu Ji = −N evi = σEi

σ=

N − e2 −m(νEN − iω)

Vodivost σ lze téˇz psát ve tvaru σ=

νEN ω N − e2 N − e2 + i 2 2 2 m− νEN + ω ) m− νEN + ω 2 )

Vodinost tedy má reálnou a imaginárn´ı sloˇzku coˇz znamená, ˇze vlna je pˇri ˇs´ıˇren´ı plazmatem nejem zeslabována, ale je posunutá ve fázi. Je-li ω = 0 dostáváme znám´ y skalárn´ı vztah pro vodivost σ=

N − e2 m− νEN

Tyto vztahy byly odvozeny za pˇredpokladu konstantv´ı sráˇzkové frekvence. Je-li vˇsak sráˇzková frekvence funkc´ı rychlosti (a to je u vˇetˇsiny plyn˚ u) je pˇri v´ ypoˇctu nutno integrovat pˇres rozdˇelen´ı rychlost´ı elektron˚ u

5.7

Dielektrick´ e vlastnosti izotropn´ı plazmatu

Ukáˇzeme, ˇze pohyb elektronu vlivem stˇr´ıdavého el. pole bude dávat vznik polarizaˇcn´ımu proudu i proudu vodivostn´ımu. Uvaˇzujeme elektron situovan´ y v dobˇe A.Jako v´ ysledek pˇriloˇz´ıho el. pole se elektron pˇrem´ıst´ı o vzdálenost xi , tj. do bodu B. V´ ysledné rozloˇzen´ı náboje by vˇsak bylo stejné kdyby p˚ uvodn´ı elektron z˚ ustal v klidu a pouze dipólov´ y moment rovn´ y −exi byl dodán do plazmatu. Z tohoto myˇslenkového pokusu vypl´ yvá, ˇze pohyb elektronu lze uvaˇzovat jako r˚ ust vektoru polarizace Pi , coˇz je vlastnˇe dipólov´ y moment jednotky objemu. Pi = −N − exi = ε0 αEi α - dielektrická susceptibilita plazmatu a ε0 je permitivita vakua. Uvaˇzujeme nyn´ı Lorentz˚ uv plyn. Potom v pˇr´ıpadˇe, ˇze vnˇejˇs´ı mag. pole neexistuje lze Langvinovu rovnici psát ve tvaru e m¨ xi + νEN mx˙ i = Ei m −iωt e Ai x˙ i = Ae−iωt xi = A = e−iωt xï = −iω x˙ i −iω ω e −ω 2 xi − iωνEN xi = − Ei m eEi xi = mω(ω + iνEN ) Dosad´ıme-li odtud xi do vztahu pro vektor polarizace dostaneme α=−

N − e2 m− ε0 ω(ω + iνEN )

ˇ Í ELEKTROMAGNETICKYCH ´ 5.8. SˇÍREN VLN V PLAZMATU

53

Tak zv. plazmová frekvence Π, kterou se jeˇstˇe budeme zab´ yvat, je definovaná vztahem Π− = (

N − e2 1 )2 ε0 m −

Po dosazen´ı lze pro α psát α=−

Π−2 νEN Π−2 ω + i 2 2 ω 2 + νEN ω 2 + νEN

pro permitivitu plazmatu plat´ı Π−2 νEN Π−2 ω ε=1+α=1− 2 +i 2 2 2 ω + νEN ω + νEN V pˇr´ıpadˇe, ˇze νEN = 0 ⇒ ε = 1 +

5.8

Π2 ω2

ˇ ıˇ S´ ren´ı elektromagnetick´ ych vln v plazmatu

a)tenzorov´ y charakter permitivity plazmatu ε=1+ v magnetickém poli

σij → εij εij

T =1−

X U

i σ ωε0

εij = δij +

i σ ωε0 ij

1 − U 2XU −Y −2 − = −i UXY 2 −Y 2 0

−

i U 2XY 0 −Y −2 XU 1 − U 2 −Y −2 0 0 1− X U

N − e2 Π−2 −2 Π = X= 2 ω mε0 νEN Ω− U = 1 + iZ Z= Y− = ω ω S −iD 0 S 0 εij = iD 0 0 T XY − XU D=− 2 S =1− 2 −2 U −Y U − Y −2 ZM axwell.rovnice

~ ~ = εijk Ek,j = −B˙ i = − ∂ B rot E ∂t ∂ ~ = εijk Bk,j = µ0 ε0 εE˙ i rot B / ∂t ˙ ¨ ˙ εijk Bk,j = µ0 ε0 εEi − Bk = εkrs Es,r εijk εkrs Es,rj = −εijk B˙ j,k Ei,jj = µ0 ε0 εEï

~ = µ0 ε0 εEï ∆E


54 Vlnová rovnice pro Ei má tvar

~

~

Ei = Ai eik(αq xq −ut) = Ai ei(kαq xq −ωt) kde u. . . fázová rychlost 1 2π ω u2 = |~k| = ~u = ~k λ µ0 ε0 ε −2 ν −2 Π Π n2 = ε = 1 − 2 + i 2 ω 2 = εRe + iεIm 2 ω +ν ω +ν √ ω ω n = µ + iχ = ε k = n = (µ + iχ) c c ω ω Ei = Ai e− c χx3 ei[ c µx3 −ωt] −2

pro pˇr´ıpad ν ω εRe = 1 − Πω2 pokud ν = 0 → χ = 0 vlna nebude tlumena Π−2 k 2 c2 = 1 − ω2 ω2 2 −2 ω = Π + k 2 c2 1 ω c 2 µ= = >c −2 k (1 − Πω2 ) n2 =

fázová rychlost je vˇetˇs´ı neˇz c ω > Π− cut off frekvence ω < Π− permitivita ryze imaginárn´ı (i index lomu) Ei = Ai e−kI x3 e−iωt vlna evanescentn´ı 1 kI = 1c (Π−2 − ω 2 ) 2

5.9

Individu´ aln´ı a kolektivn´ı p˚ usoben´ı nabit´ ych ˇ c´ astic

V plazmatu existuje, jak odvod´ıme pozdˇeji, jistá kritická vzdálenost do které nabité ˇca´stice interaguj´ı navzájem. Pˇri vzdálenostech vˇetˇs´ıch neˇz tato kritická vzdálenost (Debyeova vzdálenost) se uplatˇ nuje pouze kolektivn´ı p˚ usoben´ı. Jak, ale budeme analyzovat interakce nabité ˇca´stice s ostatn´ımi nabit´ ymi ˇca´sticemi uvnitˇr Debyeovy sféry. Sráˇzky s ˇca´sticemi, které jsou nabity a nalézaj´ı se uvnitˇrsféry lze rozdˇelit do dvou skupin. Do prvn´ı skupiny patˇr´ı pˇr´ımé Coulombovské párové sráˇzky s ostatn´ımi nabit´ ymi ˇca´sticemi. Do druhe skupiny patˇr´ı souˇcasná interakce se vˇsemi ostatn´ımi ˇca´sticemi z Debyeho sféry. Dynamika prvn´ıho typu sráˇzek jiˇz byla probrána. Je-li u ´hel odch´ ylen´ı ϑ potom tan

ϑ pc = 2 p

|pc | = −

Ze2 4πε0 mq 2

kde p je zámˇerná vzdálenost a pc kritick´ y sráˇzkov´ y parametr (nejvˇetˇs´ı pˇribl´ıˇzen´ı je dvakrát menˇs´ı p ≤ pc (tˇesné) ϑ ≥ π2 silné Coulombovské sráˇzky π p ≥ pc ⇒ ϑ < 2 slabé Coulombovské sráˇzky

´ 5.10. REPREZENTATIVNÍ DELKY V PLAZMATU

55

potom definujeme sráˇzkov´ yu ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro tento typ tˇesné Coulombovské sráˇzky vztahem u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez tˇesné sráˇzky Q90 = πp2c Potom sráˇzková frekvence a stˇredn´ı volná dráha tohoto typu sráˇzek budou L90 =

1 Q90 N

=

1 πp2c N

ν90 = Q90 N g = πp2c N g

ν90 . . . sráˇzková frekvence g . . . vzájemná rychlost N . . . hustota rozptylov´ ych center Pˇredpokládáme, ˇze pouze sráˇzky vedouc´ı k odch´ ylen´ı vˇetˇs´ımu neˇz 900 se uplatˇ nuj´ı pˇri zmˇenˇen hybnosti sráˇzej´ıc´ıch se ˇca´stic. Sráˇzková frekvenci ν90 uˇz´ıváme proto jako tzv. efektivn´ı elektron- iontovou sráˇzkovou frekvenci zahrnuj´ıc´ı Coulombovské sráˇzky. Tato efektivn´ı sráˇzková frekvence vˇsak nevyhovuje v pˇr´ıpadˇe silnˇe ionizovan´ ych plyn˚ u. Znamená to tedy, ˇze tento druh´ y typ interakcesouˇcasná interakce s ostan´ımi ˇca´sticemi v Debyeho sféˇre je podstatná pˇri popisu chován´ı silnˇe ionizovan´ ych plyn˚ u. Shora probran´ y ˇr´ıpad Coulombovsk´ ych sráˇzek se ˇcasto rovnˇeˇz naz´ yvá ,,tˇesné Coulombovské sráˇzky”.

5.10

Reprezentativn´ı d´ elky v plazmatu

Nyn´ı jiˇz známe nˇekolik délek, které hraj´ı d˚ uleˇzitou roli pˇri posuzovan´ı vlastnost´ı plazmatu. Jsou to: h- Debyeho délka L90 - stˇredn´ı volná dráha pro sráˇzky s odch´ ylen´ım 900 pc - kritcká zámˇerná vzdálenost pro 900 párové Coulombovské sráˇzky 1 d = N − 3 - vzdálenost ˇca´stic v plazmatu D˚ uleˇzité jsou i lineárn´ı rozmˇery plazmatu. Ukáˇzeme si názornˇe jak tyto charakteristické délky závis´ı na hustotˇe plazmatu a jeho teplotˇe. Uvaˇzujeme plnˇe ionizované plazma (t.-neutráln´ı ˇca´stice nejsou uvaˇzovány). Bohr˚ uv polomˇer bude spodn´ı hranic´ı pro pc . 3 Pro hustoty vˇetˇs´ı neˇz 4.1021 T 2 cm−3 je jiˇz plazma degenerováno, ponˇevadˇz se ˇr´ıd´ı sp´ıˇse Fermiho neˇz Boltzmannovou statistikou. Bylo odnozeno |pc | =

Ze2 Ze2 1 = = 5.55.10−4 (cm) 0 2 4πε0 m g 12πεkT T

Posledn´ı u ´daj plat´ı pro Z = 1 Podobnˇe jiˇz v´ıme, ˇze L90 =

2 1 144π ε0 kT 2 6T ) = 1.03.10 = ( (cm) πp2c N N Ze2 N

Pozn.: Pro hustoty menˇs´ı neˇz 101 2cm−3 pˇri pokojové teplotˇe (3000 K) plat´ı |pc | < d < h < L90


56

5.11

Rovnice Fokker-Planckova

V´ıme jiˇz, ˇze nabité ˇca´stice mohou indivuálnˇe interagovat s ostatn´ımi ˇca´sticemi pouze do vzdálenosti hD (Debye˚ uv polomˇer). Jedinˇe tehdy kdyˇz je zámˇerná vzdálenost (sráˇzkov´ y usobovat odchylky vˇetˇs´ı neˇz 900 . parametr) menˇs´ı neˇz p900 bude Coulombovská sráˇzka zp˚ Povˇevadˇz je v Debyeho kouli v´ıce kladn´ ych iont˚ u m˚ uˇze elektron interagovat souˇcasnˇe s v´ıce ionty. Tato souˇcasná interakce m˚ uˇze zp˚ usobit kumulativn´ı odchylku elektronu o u ´hel 0 vˇetˇs´ı neˇz 90 . Kdyˇz tento jev nastává ˇcastˇeji neˇz ν900 potom nastávaj´ı i zmˇeny v pˇrenosu impulzu mezi nabit´ ymi ˇca´sticemi. Stoj´ıme nyn´ı pˇrer problémem jak spoˇc´ıtat (matem. vyjadˇrit) souˇcasnˇe Coulombovské interakc s mnoha ˇcasticemi z Debyeho sféry. Uvaˇzujme opˇet ,,testovac´ı ˇca´stici”. Bˇehem pohybu skrz Debyeoho kouli interaguje tato ˇca´stice s mnoha jin´ ymi ˇca´sticemi, které nazveme ,,ˇca´stice pole”. Tato celková interakce bude ˇradou slab´ ych párov´ ych sráˇzek. Nyn´ı jiˇz z˚ ustává u ´kolem sestavit vhodn´ y sráˇzkov´ y ˇclen pro BKR. Jiˇz dˇr´ıv jsme ˇreˇsili otázky párov´ ych sráˇzek a proto pouˇzijeme dˇr´ıve odvozen´ y sráˇzkov´ y ˇclen. Pokud Φ(vi ) je libovolná funkce rychlosti, potom jak jsme vidˇeli, lze sráˇzkov´ y integrál napsat ve tvaru odvozeném pˇri odvozen´ı rovnice zmˇeny molekulárn´ı vlastnosti. +∞ ZZZ

−∞

∂f Φ ∂t

!

dC = sr´ aˇ zk


−∞ −∞

0 0

˜ − Φ)f f (B) gS(χ)dωdC (B) dC (Φ dω = sin χdχdψ

budeme-li uvaˇzovat nyn´ı párové sráˇzky, které zp˚ usobuj´ı jem malou zmˇenu u ,,testovac´ı ˇca´stice”. Potom ˜ v˜i = vi + ∆vi Φ(vi + ∆vi ) = Φ ∂Φ 1 ∂2Φ Φ(vi + ∆vi ) = Φ(vi ) + ∆vi + ∆vi ∆vj + . . . ∂vi 2 ∂vi ∂vj 2 ˜ − Φ = ∂Φ ∆vi + 1 ∂ Φ ∆vi ∆vj Φ ∂vi 2 ∂vi ∂vj ˜ − Φ) do základn´ı rovnice pro sráˇzkov´ Dosazen´ım rozvoje pro (Φ y ˇclen dostaneme +∞ ZZZ

−∞

∂f Φ ∂t

!

dC = sr´ aˇ zk


−∞ −∞

(

0 0

∂Φ 1 ∂2Φ ∆vi + ∆vi ∆vj )f f (B) gS(χ)dωdC (B) dC ∂vi 2 ∂vi ∂vj

Dalˇs´ım postupem provedeme interakci na pravé stranˇe. (Prvn´ı ˇclen per partes, druh´ y ˇclen dvakrát per partes) plat´ı f pro v → ∞(−∞) ⇒ 0 Definujeme Fokker-Planck. koeficienty h∆vi ist = h∆vi ∆vj ist =

+∞ Z2πZπ ZZZ

−∞ 0 0 +∞ ZZZ Z2πZπ

−∞

∆vi gS(χ)dωf (B) dC (B)

∆vi ∆vj gS(χ)dωf (B) dC (B)

0 0

5.11. ROVNICE FOKKER-PLANCKOVA

57

Jsou to stˇredn´ı honoty vzhledem k rozptylov´ ym u ´hl˚ um a rychlostem rozptylov´ ych center. Potom lze rovnici pˇrepsat +∞ ZZZ

−∞

∂f Φ ∂t

!

dC = sr´ aˇ zk

+∞ ZZZ

Φ(−

−∞

∂ 1 ∂2 f h∆vi ist + f h∆vi ∆vj ist )dC ∂vi 2 ∂vi ∂vj

Protoˇze Ψ je libovolná funkce rychlosti, mus´ı platit ∂f ∂t

!

sr´ aˇ zk

=−

∂ 1 ∂2 f h∆vi ist + f h∆vi ∆vj ist ∂vi 2 ∂vi ∂vj

to je hledan´ y Fokker-Planck˚ uv sráˇzkov´ y ˇclen. Pokud ho dosad´ıme do BKR vysledná rovnice je Fokker-Pl. rovnice. Fokker-Planckovy koeficienty vyjadˇruj´ı stˇredn´ı rychlost s jakou ∆vi a ∆vi ∆vj jsou mˇenˇeny pˇri mnoho slab´ ych po sobˇe jdouc´ıch Coulombovk´ ych sráˇzkách. h∆vi ist je ˇcasto naz´ yván ,,dynamické tˇren´ı” h∆vi ∆vj ist jako diffuze rychlostn´ıho tenzoru.

5.11.1

V´ ypoˇ cet Focker-Planckov´ ych koeficient˚ u

Oznaˇcme {∆vi } = {∆vi ∆vj } =

Z2πZπ

∆vi gS(χ)sinχdχdψ

0 0

Z2πZπ

∆vi ∆vj gS(χ)sinχdχdψ

0 0

h∆vi ist =

+∞ ZZZ

−∞

h∆vi ∆vj ist =

+∞ ZZZ

−∞

{∆vi }f (B) dC (B)

{∆vi ∆vj }f (B) dC (B)

Snaˇz´ıme se vypoˇc´ıtat {∆vi }, {∆vi ∆vj } v souˇr. systému spojeném s tˇeˇziˇstˇem. V pˇr´ıpadˇe, ˇze uvaˇzujeme elektrony rozpt´ ylené polem stacionárn´ı grupy iont˚ u, potom nen´ı rozd´ılu mezi tˇeˇziˇst’ovou a laboratorn´ı soustavou souˇradnic. Zmˇena vi v systému spojeném s tˇeˇzistˇem jiˇz byla vypoˇctema dˇr´ıve. Kdyˇz v1 je smˇer p˚ uvodn´ı rychlosti: χ 2 ∆v3 = M B sin χ sin ψ

∆v1 = M B g(1 − cos χ) = 2M B g sin2 ∆v2 = M B g sin χ cos ψ

M˚ uˇzeme rovnˇeˇz napsat u ´hlovou rozdˇelovac´ı funkci S(χ) (rozptylov´ y u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez)pro Coulombovsk´ y potenciál, jak jsme jiˇz provedli dˇr´ıve S(χ) =

p2c p2c = (1 − cos χ)2 4 sin4 ( χ2 )

p = pc ⇒ χ = 900


58

Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme dosadit do vztahu pro {∆vi } {∆vi } =

Z2πZπ

M B g 2 p2c sin χ

0 0

{∆v1 } =

1 dχdψ 1 − cos χ

2πM B g 2 p2c

Z2 0

r = 1 − cos χ

dr = 2πM B g 2 p2c ln |r|20 r

Je vidˇet, ˇze v tomto v´ ypoˇctu nevyhovuje doln´ı mez. Je to vˇsak pˇrirozené, kdyˇz si uvˇedom´ıme, ˇze Coul. s´ıly jsou silami dalekého dosahu ciˇz znamená, ˇze i pˇri velmi velké vzdálenosti interaguj´ıch ˇcastic by se mˇely nepatrnˇe vych´ ylit. V´ıme vˇsak, ˇze ˇca´stice interaguj´ıc´ı na vzdálenost vˇetˇs´ı neˇz je Debyeho polomˇer jsou navzájem odst´ınˇeny a existuje pouze kolektivn´ı p˚ usoben´ı. Divergenci v doln´ı mezi tedy odstran´ıme, kdyˇz doln´ı mez v rozptylovém u ´hlu nahrad´ıme u ´hlem, kter´ y odpov´ıdá zámˇerné vzdálenosti rovné Debyeho délce h. Uˇzit´ım znám´ ych vztah˚ u zaved’me promˇennou χ dχ 2u p = cotg du = − sin χ = u= pc 2 1 − cos χ 1 + u2 Pouˇzijeme-li nyn´ı novou promˇennou a oznaˇc´ıme-li h u= =Λ pc {∆v1 } =

2πM B g 2 p2c

Z0

Λ

Ze2 pc = 4πε0 mg 2

2u du = 2πM B g 2 p2c ln(1 + Λ2 ) 2 1+u

V´ıme jiˇz, ˇze obecnˇe Λ 1. Uˇzit´ım tohoto faktu spolu s v´ yrazem pro pc lze vztah pro {∆v1 } upravit M B Z 2 e4 ln Λ 4πε0 mg 2

Z 2 e4 ln Λ 4πε0 m0 M BΘ {∆v1 } = g2 pro {∆v2 }, {∆v3 } bude situace velmi jednoduchá jsou rovny 0.Podobnˇe jde ukázat, ˇze {∆v1 } =

Θ=

{∆v1 ∆v2 } = {∆v1 ∆v3 } = {∆v2 ∆v3 } = 0

Z dˇr´ıve uveden´ ych vztah˚ u lze vypoˇc´ıtat rovnˇeˇz {(∆v1 )2 } 2

{(∆v1 ) } =

−2π(M B )2 g 3 p2c

Zπ

sin χdχ

χmin

Kdyˇz provedeme stejné substituce jako poslednˇe Λ2 Λ1 1 + Λ2 (M B )2 Z 2 e4 (M B )2 Θ {(∆v1 )2 } = 4π(M B )2 g 3 p2c = = g ln Λ 4πε0 m0 2 g {(∆v1 )2 } = 4π(M B )2 g 3 p2c

2

2

{(∆v2 ) } = {(∆v3 ) } =

4π(M B )2 g 3 p2c

ZΛ 0

u3 Λ2 B 2 3 2 du = 2π(M ) g p [ln(1 + Λ) − ] c (1 + u2 )2 1 + Λ2

(M B )2 Θ (M B )2 Z 2 e4 ln Λ . {(∆v2 )2 } = {(∆v3 )2 } = 4π(M B )2 g 3 p2c ln Λ = = g 4πε0 m0 2 g

5.11. ROVNICE FOKKER-PLANCKOVA

59

Abychom nyn´ı vypoˇcetli Fokker-Planckovy koeficienty mus´ıme integrovat {(∆vi )} a {∆vi ∆vj } pˇres rozdˇelen´ı rychlost´ı ˇca´stic vytváˇrej´ıc´ı pole. Tento problém je velmi sloˇzit´ y a proto zavedeme nˇekterá zjednoduˇsen´ı. Pˇredpokládejme, ˇze testuj´ıc´ı ˇca´stice je elektron, kter´ y interaguje s elektrostatick´ ym polem ladn´ ych iont˚ u. Dále pˇredpoládejme, ˇze ionty (B) jsou nepohyblivé, takˇze rozdˇelovác´ı funkci f lze psát f (B) = N + δ(vi+ ) kde δ(vi+ ) je Diracova delta funkce. Protoˇze v1 byla vybrána ve smˇeru p˚ uvodn´ıho pohybu e− , lze psát h∆v1 ist = h∆vk ist =

+∞ ZZZ

−∞

{∆vk }N + δ(vi+ )dC (B) = {∆v1 }N +

h(∆v1 )2 ist = h(∆vk )2 ist = {∆v1 }N + h(∆v2 )2 ist = h(∆v3 )2 ist = h(∆v⊥ )2 ist = {∆v2 }N + m+ . B M = − = M+ = 1 + m +m + N Θ N +Θ N +Θ 2 2 h(∆v ) i = h(∆v ) i = h∆vk ist = st ⊥ st k g2 g ln Θ g Tyto v´ ysledky nyn´ı budeme aplikavat pˇri v´ ypoˇctu relaxaˇcn´ıch dob v plazmatu.

5.11.2

Slabˇ e a silnˇ e ionizovan´ e plazma

Rychlosti ˇca´stic v plazmatu za stavu termodynamické rovnováhy jdou dány Maxwellov´ ym ˇ rozdˇelen´ım a jsou prostorovˇe izotropn´ı. Cas nutn´ y k tomu, aby skupina ˇca´stic s urˇcitou rychlost´ı byla rozpt´ ylena natolik, ˇze jejich rychlost pˇrejde v prostorovˇe izotropn´ı bude jedn´ım z faktor˚ u, kter´ y urˇcuje relaxaˇcn´ı dobu, pro dosaˇzen´ı rovnováhy. V´ıme jiˇz, ˇze v pr˚ umˇeru mˇen´ı ˇca´stice svoji hybnost pˇri sráˇzce o h∆(mvi )i = mvi to je ostejnou hodnotu jako ˇcinila jej´ı p˚ uvodn´ı hybnost- to odpov´ıdá u ´hlu odch´ ylen´ı 90 0 . Pak pˇrevrácená hodnota sráˇzkové frekvence- stˇredn´ı doba mezi sráˇzkami, bude m´ırou pro relaxaˇcn´ı doby Toto zaveden´ı u ´plné izotropnosti rychlosti po jedné (fiktivn´ı) sráˇzce bude natolik uˇziteˇcné, ˇze se budeme snaˇzit definovat sráˇzkové pr˚ uˇrezy a frekvence pomoc´ı tˇechto relaxaˇcn´ıch dob. Párové Coulombovské sráˇzky lze rozdˇelit na ty, které vedou k rozptylu nejménˇe 90 0 a v´ıce, jakoˇz na ty, které zahrnuj´ı kumulativn´ı efekt dalek´ ych Coulombovsk´ ych sráˇzek jeˇz vedou 0 k odchylkách do 90 . Relaxaˇ cn´ı doby pro sr´ aˇ zky elektron˚ u s neutr´ aln´ımi ˇ c´ asticemi a pro Coulombovsk´ e sraˇ zky Sráˇzky, které vedou ke zmˇenˇe hybnosti jsou nej´ uˇcinnˇejˇs´ı pro rozruˇsen´ı jakéhokoliv preferovového pohybu elelktronu v plazmatu. Tedy pˇri sráˇzkách mezi elektrony a neutráln´ımi ˇca´sticemi bude nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı veliˇcinou sráˇzková frekvence pro pˇrenos hybnosti νEN = gQM NN kde QM je u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro pˇrenos hybnosti a NN hustota neytráln´ıch ˇca´stic. Zavád´ıme relaxaˇcn´ı dobu τEN jako stˇredn´ı dobu, která uplyne mezi takov´ ymi sráˇzkami. Potom 1 1 τEN = = νEN gQM NN


60

Mus´ıme tedy k urˇcen´ı τEN znát teplotu a tlak plynu jakoˇz i hodnoty QM (tyto se nejˇcastˇeji zjiˇst’uj´ı experimentálnˇe. Tˇ esn´ e Coulombovsk´ e sr´ aˇ zky Jiˇz dˇr´ıve jsme odvodili u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez pro 900 odchylku v Coulombovském poli. Sráˇzková frekvence pro tento typ sráˇzek je νEN . Uvaˇzujeme-li sráˇzkou elektronu s kladn´ ym iontem dostaneme ν900 =

4g 3 ln Λ ΘN + Z 2 e4 N + 0 = = ⇒ τ 90 16πε20 m0 g 3 4g 3 ln Λ ΘN +

Uvidime vˇsak, ˇze vzdálené Coul. sráˇzky maj´ı kratˇs´ı relax.ˇcas neˇz τ900 a tedy i efekt vzdálen´ ych Coul. sráˇzek pˇreváˇz´ı nad efektem tˇesn´ ych Coul. sráˇzek, které nastávaj´ı mnohem ménˇe.

5.12

Vzd´ alen´ e(slab´ e) Coulombovsk´ e sr´ aˇ zky

V´ıme jiˇz zFokker-Planckovy rovnice, ˇze h∆vi ist a h∆vi ∆vj ist jsou rychlosti s jak´ ymi se ∆vi a ∆vi ∆vj mˇen´ı pˇri mnoha slab´ ych po sobˇe jdouc´ıch Coul. sráˇzkách. Ptáme se nyn´ı, jak dlouho potrvá neˇz mnoho slab´ ych Coul. sráˇzek dá v absolutn´ı hodnotˇe 0 kumulativn´ı odchylku 90 . Doba, za kterou to nastane, oznaˇc´ıme τD a je to relaxaˇcn´ı doba pro slabé Coul. sráˇzky. Pˇri odvozen´ı Fokker-Planckov´ ych koeficient˚ u jsm zjistili, ˇze {∆v2 } a {∆v3 } jsou rovny 2 nule a tedy i h∆v⊥ i je rovna nule. h(∆v⊥ ) i ovˇsem nen´ı rovna nule, protoˇze charakterizuje pohyb v rychlostn´ım prostoru kolm´ı k p˚ uvodn´ımu smˇeru. (Difuze v rychl. prostoru). Povˇevadˇz ionty jsou témˇeˇr nepohyblivé je M B = 1 a proto m˚ uˇzeme rychlost tˇeˇziˇstˇe viG pro elektron-iontovou sráˇzku povaˇzovat za rovnou nuel. Kdyˇz velké poˇcet elektron˚ u zaˇcne v ˇcase t = 0 pohybovat s rychlost´ı v10 , potom difuze tˇechto el. v rychlostn´ım prostoru vypadá následovnˇe. Budeme uvaˇzovat pouze v⊥ ,tak se F-P rovnice zredukuje na jednoduˇsˇs´ı z˚ ustane pouze ∂f ∂2f = f rac12h(∆v⊥ )2st 2 ∂t ∂v⊥ Jelikoˇz m˚ uˇzeme rozdˇelovac´ı funkci nahradit f (v⊥ , t) = N + p(v⊥ , t) pak pro jistou ˇcasovou zmˇenu lze ukázat, ˇze ξ 2 = kt p(v⊥ ) = √

v2 1 ⊥ e−( 2kT ) 2πkT

dosazen´ım takto upravené funkce do () bude splnˇema pokud k = h(∆v⊥ )2 ist Definujeme nyn´ı stˇredn´ı kumulativn´ı odchylku rovnou 900 ,které vznikne kdyˇz ξ = g v tomto okamˇziku asi 68P˚ uvodn´ı rozdˇelen´ı rychlost´ı se zmˇen´ı a ˇcas nutn´ y pro toto bude relaxaˇcn´ı doba τD ξ 2 = g 2 = τD h(∆v⊥ )2 i 3

τD2

( 3kT− ) 2 g3 = + = m+ h∆vk ist τD N Θ N Θ

´ ´ ´ COULOMBOVSKE ´ SRA ´ ZKY ˇ 5.12. VZDALEN E(SLAB E)

61

Kdyˇz Λ 1 potom koeficient h(∆vk )2 ist je mnohem menˇs´ı neˇz h(∆v⊥ )2 ist a lze jej zanedbat. srovnán´ı relax. ˇcas˚ u τ900 = 4 ln Λ ⇒ τ τD m˚ uˇzeme τ900 zanedbat, protoˇze tyto sráˇzky jsou sice velmi τD 1 u ´ˇcinné, ale málo ˇcasté τD = νEI . . . efektivn´ı sráˇzková frekvence elektrony s ionty νEN νEI - slabˇe ionizované (bˇeˇzn´ y sráˇzkov´ y ˇclen) νEN νEI - silnˇe ionizované ( Fokker-Plack˚ uv sráˇzkov´ y ˇclen) Konstanty 1

ε0 kT 1 T 2 h = ( − 2 ) 2 = 6.9( − N e N 1 Ze2 h = 5.53.10−4 [cm] ln Λ = ln |pc | = pc 4πε0 m− g 2 T 3

ln Λ = ln(12.4.10

3

Te2 1

Ne2

)

Dodatek A Tenzorov´ a symbolika Karteziánsk´ y tenzor • 0. ˇra´d – skalár • 1. ˇra´d – vektor • ≥2. ˇra´d – tenzor Pˇr´ıklady jednoduch´ ych tenzor˚ u • Kroneckerovo delta δij • Levi-Civit˚ uv tenzor ijk Tenzorové pole ∂ψ = ψ,i ∂xi ~A ~ = ∂Ai = Ai,j ∇ ∂xj ∂Mij ~ = ∇M = Mij,k ∂xk ~ ∇ψ =

tenzorové znaˇcen´ı ψ Ai Ai Bj Ai Bi ijk Aj Bk ψ,i Ai,j Ai,i ψ,ii Ai,jj ijk Ak,j Ai,ij

vektorové znaˇcen´ı ψ ~ A ~B ~ A ~B ~ A ~×B ~ A ~ ∇ψ ~A ~ ∇ ~A ~ ∇ 4ψ ~ 4A ~ ×A ~ ∇ ~ ∇ ~ A) ~ ∇(

popis skalár vektor dyadick´ y souˇcin skalárn´ı souˇcin vektorov´ y souˇcin gradient skaláru gradient vektoru divergence vektoru laplacián skaláru laplacián vektoru rotace vektoru gradient divergence

62

Dodatek B ˇ Cesko – anglick´ y slovn´ıˇ cek pojm˚ u plazma ˇca´stice sráˇzka sráˇzková frekvence u ´ˇcinn´ y pr˚ uˇrez stˇredn´ı volná dráha zachován´ı rozptyl u ´hel rozptylu souˇradná soustava tˇeˇziˇstˇe rychlostn´ı prostor pomˇerná ztráta energie zámˇerná vzdálenost pˇrenos hybnosti rozdelovaci funkce Boltzmannova kineticka rovnice srazkovy clen unasiva rychlost rychlost tepelneho neusporadaneho pohybu telo, teleso rozd. fce ocas, ohon rozd. fce zachyt elektronu

63

plasma particle collision collision frequency cross section mean free path conservation scattering, diffraction scattering angle coordinate system centre of mass velocity space fractional energy loss impact parameter momentum transfer distribution function Boltzmann kinetic equation collision integral drift velocity random velocity, peculiar velocity body of distribution function tail of distr. function electron attachment

MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ, FAKULTA. Fyzika plazmatu I

Recommend Documents