l,l
l.Ll $lS
sl' LI K]LI R L{,luuTl,f{
qa11;U
spttuv)
orL€I sus)lBf 's?J"rc 00I 'oN e,(ug tqdug'11 t
-
1-
n:
'11
.1
666r
,,?(
;:,.1!r
:?sBq?g
{
,iJ:".j
tii:) I ili.tl .,i
qqv
uoslpory'ulsuoxrlY
to t1Pnaq1
*uuaau1&u g 1i rt13 I o tossatotT
kr.
7
NT
I T,I
:K
_290
rlt., i-,.-
Judul
Asli
:
INTERMEDIATE STRUCTURAL ANALrS/S
Hak Cipta O 1983 dalam bahasa Inggris pada McGraw-Hill, Inc. Hak Terjemahan dalam bahasa Indonesia pada Penerbit Erlangga
Alih
Bahasa
Editor Korektor
: : :
Drs. L: Kusuma Wirawan Ir. Mulyadi Nataprawira Ir. Edi Harjadi Fernando Pasaribu
Cetakan Pertama, 1989 Cetakan Kedua, 1990 Cetakan Ketiga, 1999
Dicetak
oleh :
P.1'. Gelora Aksara Pratarna
Buku ini disetting dan dilayout oleh Bagian Produksi penerbit Erlangga dengan huruf PR-l0-M
Dilarang keras mengutip, menjiplak, memfotocopy atau memperbanyak dalam bentuk lain, baik sebagian atau keseluruhan dari buku ini serta memperjualbelikannya tanpa mendapat izin tertulis dari Penerbit Erlangga.
O IIAK CIPTA DILINDI-INGI OLEH UNDANG-UNDANG
ar
' ' uursprrBtued qEurnr snsro^ u?nluel)eley 1?[sro( TEiuPg- lB{EqUog B{8u?ra) -rr?p IBr0lB'I uBp IB{IU0A-u?qe8 srs[suY
z.nl
I.]I
{8,{uus-}8{
-Surlrag elSuuray uessrleuu8uad turrlep Lrute{apuJd apo}aI4J lt
0,
uBgll?.I
Brueroel snsre^
ntuotryI sllels
''' n?lseJg-ra11n;,q qnre8ua4 Eueleg-e13ueu >lntun qnreEue4 slreg
}
t
qBfl
sI'tI
,l.tl Lt ' ' ' ' ' ntual{?I srl?ls {oleg >lnlun n?lsorg-rem-1ru qnre8ue6 ?rueroel €I.e I ' ' ' ' ' nluol{Bl sr}?ts qruuEue4 t sueg (,I.El {opg {nlun . uueuel €€ S
sr1e1g
6Z
s(. SZ
:,:l
i11,*l
Euelug-e48ue5 {n}un n?lserg-rom}ru qnrdue6
eueloel
,:o* -,*o ,o;*|,^", ,.I,ffi'ffff$
:,lrl.rfl1|*,:it -p;
TZ OZ
LI TI
' ' ' ' 3ue1eg-?{EUBU uup rueqeqlel>lel rnsng Ip urnur${?1{ rn}url ueuroq Inlun unIIe}rI) Euelug-el8uu5 uep ru?qoqral rnsng
I I.EI
or.€r
g.EI
L.tl 9.El
S.tI
uped tunturs{El4l
->1opg uped tunturs{Bry Euelurl-e,(ug nBlB r$[BeU {nlun unrrelrr) nlueuoJ sn?rs {oleg 1n1un qnrduod srr?C qnretua; srrug $rrfiJaq
Z
EuBqrep0s
6
I
6'rr
eped 3unqnq4r11 rp tuntu${Ery rnlurl uatuo;41 {nlun unrrelrry nluepol sr1u1g Euelzg-e>Pueg 1n1un qrueEuad srruC ntuaueJ, srlels {opg {nlun nglserg-ralllJl^l qnreEue4 ?tuaroaJ, ' ' ' ?rrerpapes-{olBg eped unurs{ery rnlue-I deuo61 ry1tnyg r4ua.l ueuor\l {nlun unrrelrry
' ' ' ?u?qJopes->1opg
luraSrcg uBqaB uup qruu8uad suBS
I
n.€.1
t't I z'tt I't
t
tl
XI
qB8
?lB)IBJd
ISI UY.LJVO
N
vl r4.3
t4.4 r4.5 14.6
14.7 14.8 14.9 15.1 15.2 15.3
Pengandaian untuk Analisis Beban Vertikal Pengandaian untuk Anali sis Beban-Lateral
45 47
Metode Portal Metode Kantilever Distribusi Momen dan Gaya-Lintang Secara Silih-Berganti PembandinganMetode
48 52
57
.
61
Latihan
62
lntroduksi
Umum
64
Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia
Tetap . Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok dengan
65
15.4
Momen Inersia Tetap . Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia
70
Variabel
72
15.5
Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok
dengan
Momen Inersia Variabel Momen di dalam Kerangka Berbentuk Segiempat dengan Satu Sumbu
77
15.6 15.7 15.8 15.9
Simetri
79
Momen pada Kerangka Tertutup dengan Satu Sumbu Simetri 89 Momen pada Kerangka Berkepala Segitiga dengan Satu Sumbu Simetri 93 Momen pada Kerangka Berbentuk Segiempat yang Taksimetris . . . . . 98
15.10
106
15.1
112
MomenpadaKerangkaTertutupTaksimetris I Latihan ,,,r.,,
...,
I
1 Gambaran Umum I 16 16.2 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur BalokMetode Gaya . ll7 16.3 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur BalokMetode Perpindahan 122 16.4 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Kombinasi Metode Gaya . 126 16.5 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang d.rn Unsur Kombinasi - Metode Perpindahan 138 16.6 Latihan 149 16.
17.1 Gambaran Umum 152 17.2 MetodePenganalisisan.... 153 L7.3 Penyelesaian untuk Persoalan Umum Kerangka-Dwimatra. 155 17.4 Metode Iterasi - Dari Gaya Aksial Primer ke Momen Lentur Sekunder 166 17.5 Metode Iterasi - Dari Momen l,entur Sekunder ke Gaya Aksial Ketiga 174 17.6 Pembandingan Metode 176 17.7 Latihan .......176
v ' ' ' ' srlselg rsBpuoc ?wd 31o83uv nlBns uBJnluole) s{IrlBIl[ s'zz ' uloSEuY nlBns s31?g Isrpuo) v'zz IuBqaqIp>IBI u?Iesole,(uod t'zz us?ru?slod z'zz
. u?r{ue.I L.lz "'ueqBpurdrodepolew g'lz ' ' B[?C opolew s'17.
sgz Igz r""' gL|.
""'tununuBrBqluB) l'zz
f !; b!: 33; _g; _8;
SLZ
jLZ. 697, ggz
IBrsuoreJIC uEetuBsrod luntun
" " '
JES€C
FIsueroJIC
rntuo'I uorrro4 uetnpue-I depeqrel roso3 uelnpuo'I IqslN u?IlreJoqe) n'rc, nluouoJ slluls >lolB{I resoc uslnpuo'I t'lz
. {nluog ro}wc (..12 ulntun;e1uu8ue6 llz
992 l9Z ' ' IeuorseioU gSZ ISZ IgZ 6VZ grz
uendunl
ru8eqes n1e;1-qe8uelag
..'.
ueSunqng
" "
.u€qIlB_I L.OZ ueudueuo6 9'OZ apoleyq S'OZ
u?qepurdra6
ue{serelasralIdalra;-EuninuoruoN
ue{s?relosral eloE8uy u?n{DIo) $lIrlBI ue{strelesJel eloE8uy uernluoley s{I4eI
I I
n.O(, €'07, Z'OZ
lunlun uBrBqu?c l'02
-1
.uewl?_I
sbz
LEZ ' ' ' '
tEZ ItZ OtZ,
s.6I
' uerllund uep >loleg Isewquoy-rnsu1 ue8uap Ispt-lslx e1tuera11 V'61 efeg 1o1eg rnsun ue8uep IslI'lsl) u48ue:ey ' uusrslPue8uod Z'61
'
''''
opoleq
t6l
IsIuUoC I'6t
IeluoslroH ISDI-ISI) elSuure; i..' \i
I
.: I
ri
LZZ
UBqI}87
' ' lrdehel ue8unlSuel eped rsep gZZ -uoC ue{EreC uep '{nsnU u?)iepueulad 'ue1nsn.{ue4 'nqng qruu8ua4 " " ' log-uendurnl qenqos uep lpues ue tZZ -ndun1 r{unqos ue8uop u^rn1 {nluoq:eg elo88uy uernluole) s{Il13I4l
I
i)1lj,
I'8I
O
I'8I 6'8I
" 'lldol
817'
-ra1-uendunl ue8uap B^ln) {Oueqrag ulo8Euy uernluole1 s>[Irle6 " " ' s^rn) {nluoqlog eloS8uy uen{Dlo) s>llrlury ' ' ' ' slrtetuls4el trdeftel ue8mqSuel >1n1un qn;eEuod sIl?C slrlstuls lldetra; ueEunlSuel lntun qnruBued slleC '' snsla^ sllselg'lesnd epolery epolo1,.q tuolo;-tSopuv " ' ildelre; ue8un18ue1 sISIIBUY
Zl(, L6I 9gI nU t8I IgI'''' 6LI 6Ll ' '
8'8 t
t'8I 9'81 s'8 I
,'8I e
'8I
I'8I
unlull u?reqluec IniuaqJJil r1tl33uy u*8ttep nluy tllSutl'trv
z'8r
e^rn)>lnluoqreg u1o33uy{uuntldalra1-rsrpuo;1e,{.e5 c,un),1
g
I (irii
IIA
\
r i
vur
i i
22.6 22.7 22.8
Matriks Kekakuan suatu Anggota pada Fondasi Elastis Gaya-Lintang dan Momen Ujung Terjepit Akibat Beban Terbagi-Rata Gaya-Lintang dan Momen Ujung Terjepit Akibat Beban Berlentuk
,ro
Matriks Lokal
Segitiga
\
293
2gs
[S,4r]
22.10 Penganalisisan Balok dahan .
22.11 kndutan, 22.12 Latihan
29r
dan
lASArl
suatu Bagian di dalam
Balok . . . . 296
di atas Fondasi Elastis dengan Metode perpin-
Gaya-Lintang, dan ordinat Momen di dalam potongan
297
..
.
301
304
f,'?-Eiet apoleur ltue:pleqreleleu tu?F dasuo>1-dauo{ ureppuaur BJsces -rureqptuetu qred Suzrrla E^rslseqBu'B[uunlaqes ssuru-?s?ru uetuep ur{tupusqlq'u?{reseJasrp l?dup ge1al dqtuel BrBJas resaq ueun8ueq qenqas ueeslleuutuad u8tlulqas leqer{ uuDlruep qe1a1 .ralnduro{ 'nll tuldurus IO 'n1uapat rnD{ru}s ueEuap n1uaDlel Jnl{ruls ?re1ue rrB)lBpequotu nlJod {?prl tue,('ueqepudrad epolaru eped uuue>1ouad tuoropuaur qe1a1 ralndurol >ludurzq 'rur unJaqes nlnq lnpn[ mflvqas ntualtlol sltzts tlurtruts ueeuntEuad ugselu rIBIru :ruuaQpt srlels
rnl{nJls
leueEuaur r.IBIruBq ur(ulnluulas uep
wuauat sggls
reuetuaru qsppe esugue eruelrad uequtln>Fad leuorsrperl BrBoes 'rgsoq ralndurorl etEuq
nlss
ratnduo{ Fep 'sluorl>1a1a ralnduro>1 e{ulncunu unloqas unrlel-unqut BpBd '..upe Suer( wunEueq uped ny rr?r{ r{BIIn{ uuqeq uederauad ueultunrue{ pues
'apolsur IEtBqreq
rJBp
Qrlular) rqsru uBSunluna>1 uuSurpueqrad 'ueu1u1snda1 nule qtrefan
'uresap depeqlal esIIBlrB ue8unqnq tuelual tsn>{slp {n}un lre>punftp tedep sele{ Ip nDp^\ ry(ueq qrqal vtllurqas uasop uerln{Bfp Bsurq tuez( s11n1 ueded upud uesqnuad '?nuros
leprl undqsaru '1nqesra1
rp qnSot
'ederaqaq unllluettuetu ledup ru1 n>Inq LUEIEp
Ip
qoluoc'I{oluoJ3.
e101erd IrBp lBurllB)l qsnqes tueln 1ure4 uB{e lul }queg 'IuI ru{nq UBIBp BrBJes ue{treqegadp de1a1 'reque8 uep rytaurnu qo}uoc 4efueq us4rpseur
nlnq
-au Suer( e{uuue,nautlsle{ :slunp qtunlas Ip repaJoq qBIa} lnqasre} nlng '9961 unt{u} eped pg-,nerCcl l qeto u?{llqielp flue( ratrucruJs awulunappul ,fi1ncpo1g lnpn[req Iq DInq UreIBp uBIIeq eStuad Bnp Wqal tuern;1 Eue,t sqnuad n>lnq sul? uel{reseplp
'enpa4 deqet
undnuru BuBuod duqel uuguqnlrad 4nlun >1nq ueluunfiP ludep 1uI n>{nq 'ueuntuuq EsrlerrB uequglnryad dzqel enp e{u8uernl-tuurruIes llruIltuaur sruuq tue{ e>lerour 'qnrn1a,(uaur leJrsreq tuu.( uqeuaEuad drulecuaur Euef ruluetuad deqel ue>lJraqlp q?lals 'uuunEueq sslJetrp puaEuaur u811a>1 uup enpal duqut uBqBIIrul
feq'uegrurap unurBN
-rad lnlun s{al-n>{nq ntuqas ueluunttp {nlun {ococ 1u! qnq 'BfuuuarB{ qelo 'sBqeq -lp {Bpl} ueuntuuq Fusurldo elrx'uegqelsa{ uBp DIIurBuIp 'enpa>1 deqel eslpuu 'seleq esrleuB '(rn11ru1s) ueunEueq uBIIqB$a{ tlradas qnuf qtqal tuef {ldot tdelal 'leluu8uad n{nq {nlun ueqeq tuequn}a{ IJuIJel uep uretereq q1qa1 Ew,{ ueqeq dnlecuau !q ru{nq 'e,(ulry'qeEuauaur tnltql eped rn11nr1s ?slleue ueqt4nryad 4n1un uolnfnllp 1uI qng
E/"{,V.q\.e{d
i,Ij..\ K.\ L\
(force method) dan metode perpindahan (displacement method) analisa struktur, agar program-program komputer dapat digunakan secara seksama. Jadi, untuk membuat buku ini sebagai risalah yang lengkap untuk kedua analisa tersebut, baik tertentu rnaupun taktentu, beberapa pasal dan bab telah ditambahkan pada metode potongan danhubungan (oints and sections) untuk analisa rangka-batang, pada gaya geser dan momen di dalam balok tertentu, pada garis pengaruh dan muatan bergerak, serta pada metode pendekatan analisa kerangka bangunan bertingkat. Sisa sepertiga bagian buku ini, yang tidak terkandung
di
dalam Strukrur Statis
Taktentu, adalah metode rnatriks-perpindahan (matrix displacenrent method). Dasar metode
ini mula-mula disajikan pada
analisa rangka-batang (truss). Kemudian, contoh
rumerik yang sama dan yang telah diselesaikan dengan metode ubahan-sudut (slopedeflection), istilah putaran-sudut juga sering digunakan untuk nama metode ini(Peneriemah), serta metode distribusi-momen akan diselesaikan juga dengan metode matriksperpindahan dalam bentuk tulisan tangan, agar mahasiswa dapat memahami pula langkah yang akan dilakukan komputer. Sebelumnya momen kedua di dalarn rangka batang dengan hubungan kaku diselesaikan hanya dengan rnetode iterasi (iteration method) sambil menggunakan distribusimomen; sekarang penyelesaian masalah rangkabatang dwimatra yang lebih umum dengan menggunakan komputer akan disajikan. Dulu lengkungan terjepit (fixed arch) diselesaikan secara tersendiri. sekarang hal tersebut sudah menjadi bagian dari masalah keseluruhan yang mencakup suatu kurva dari kerangka kaku yang rumit. Deformasi aksial di dalam kerangka kaku biasanya diabaikan di dalam analisa tanpa komputer demi penghematan pekerjaan; sebaliknya pencakupan masalah tersebut justru banyak menyederhanakan proses pengumpulan data masukan (input) pada metode kekakuan langsung di dalam analisa dengan komputer. Kedua pen-
dekatan tersebut akan dilakukan selengkapnya di dalam metode matriks-perpindahan pada analisa kerangka dwimatra. Empat bab terakhir, tentang kerangka kisi-kisi horisontal, hubungan setengah-kisikisi (semigrid), deformasi akibat gaya geser, dan balok di atas fondasi elastis merupakan hal-hal baru yang tidak terdapat dalam blkl Struktur Statis Taktentu. Tanpa komputer, penggunaan metode yang diajukan pada keempat bab tersebut di dalam dunia nyata adalah mustahil. Dewasa ini, penerapan hal tersebut ke dalam program komputer me"upakan pekerjaan "sepele". Enam bab pertama bersifat mendasar: perihal balok statis tefientu, rangka-batarig, dan kerangka-kaku; dan tentang metode gaya untuk penganalisaan balok statis tertentu, rangka-batang, dan kerangka-kaku, terrnasuk persamaan tiga-momen. Pemilihan urutan bab boleh dilakukan menurut urutan yang disajikan, 1,2,4,6,3,5; atau 1,3,5,2,4.6; 1,3,2,5,4,6 tergantung kemauan. Bab 7 dan 8 boleh dibalik urutannya; atau boleh juga disingkirkan dari kurikulum, atau bagian terakhir dari kedua bab tersebut saja yang di singkirkan. Bab 9 boleh dilewatkan jika para mahasiswa telah pernah mempelajari definisi matriks di dalam kuliah matematika. Bab l0 dan I I mencakup bahan dasar metode matriks-perpindahan pada rangka-batang dan analisa balok. Pembaca boleh juga langsung meloncat ke Bab 17 yang berisi penganalisaan kerangka dwimatra umumnya dengan mempertimbangkan adanya perubahan bentuk aksial, berdasarkan penganalisaan rangkabatang dengan penghubung kaku. Urutan tersebut dapatlah mencakup bahan tentang metode matriks-perpindahan. Bab 12 dan 16 dianjurkan bagi mereka yang ingin menggali metode matriks-perpindahan secara lebih mendalam. serta melihat bagaimana hubungan antara metode yang lebih baru tersebut dengan metode deformasi taat-asas (consistent-deformation), metode ubahan-sudut dan metode distribusimomen yang lebih kuno.
\
'8ueA^ "-{ .)
'Udrs BsIIBTTB
ltu{e}
eihsls?qutu >Juun
rnl{ruN
ueqellnryad urEIBp Ip dnlecrp lperu Euu.{ pq uopdmaur'lera8req uul?nru uep '6I geg ruulsp Ip uur{sg'lrelnrn ruEuqlad ue8uap I{BBIalIp qoloq
qrue8ued sue8 Euelual
Eue,{ueqequulednreu'Z7,vep'IZ'OZ'61'81:5I'?I'€I qeg'ru1e[er(uesp qeq-q?g !:;1;)i\:ii'l ',
r 'tnlatl uoqaq wteq -es uBlqsqruslrp uulnlEuesreq tuu/( dnprq-uuqaq rrBp nlueuel uulteqas 'uutryuap tuuf snsg{ ruslgp rq 'tde-e1ara1.uqe[ uelequref uped ufutuoqrat'Euoqrat ulrasaq Jllotuo{ol uep er(er-uepf ueluqtgat eped >1nr1 rgadas IIBBI?pueI nule 'tgnpat rnl{ruN epud uuuud -turs tuereq-twrug mlu 'tuero'u1tuz 'n[1us dn4ecuaur EueI 'dnpq uoqaq ]nq6lp n]F Ip Bp? )tupll ru18 ?p? sslq tuB/( uuqag 'uelnlEuBsreq Eue{ rn11rup eped 4e1aF4 8ue{ stuef -os dulal uedel8uagsd uduraqaq nelu delal qesrurad-turpup leJeq ulltunur uBp ulpues dn>pcuelll nlulas ue{B tmt( 'ltnil uoqaq ue>luluuwp nlF Ip ?peroq efurnl>1ru1s luraq .nDF,/l\ depuqral de1a1 zrucas tuuf ueqag leqsrrE^ elod lunqutaur 'uelequaf nlBns sBlB rp Eueplnpl ?slq uu?I?pue) 'ulBI leduel e1 ue4qepuldlp nBlB >Jrratreq usrq uudurlsrel tuel tuereq-Eue.req nele Euer6 'uBulBIIsq twf n11u,tr upud nulu uetuaregreq Inotmu .uprqJeq tued lsdual eptd Eunluettlueu BsIq u8l?[Erad '1uus ledep nfles uep uFuy u,et iO .>praSlaq-ry1 qod ,repp Bpsreq srueueu-sruol BrBJes 'lesndral tue{ undnule 'rn11ru1s nluns upud ueqaq'u?qaq '1pefrel Eueruf'unure11 etur-Feqrot -re1
tuz{ 4eq
srunpptal ufralaq tue{ .u1q JnlIruN dupuqral
IS
'nufupp tuef
rn11ru1s dePuq
paI-Is)[8aI IIBp u?^\sl ue4edmau
B{arou turras q1qa1 n?13 .rrBlD{Euesroq Eue{ rnl{ru}s epud EunlueSlluatu 8ue[ uelelzrad uduraqaq leraq edrueq uslq lesndrel ueqeg 'ufutunqnq-T]l] 1p uellusndral uuqaq ?nu
-as ,tueluq-nltuzr lqugap lgnueruetu ln1un'e[es nluel 'Il3]rl)ltuesraq tuu^ rrsun sel? EunsEuel {?lelrel Euef epuaq n}?ns l?raq nB13 Irlpues ufurnp1rup-rnsun leroq IPIBpB efuusaq eler tteqrel ueqeg ':pratreq>{ur tued ueqaq elod Inlun uDIn{Bgp qe1a1 'n1ua1 1p
-{?1 slltls undneur nluaual sl181s luJlsreq 8uu[ ryuq 'rup4 ultuure{ u?p 'tu4eq'olEuur ,1opq uup rsBuuoJep uep elet uuduElluel uunluauad Eueluol uesuqeqruad 'p1 qne[a5
YYII'iE:}U:Ifl NVggg NYO HfiUYSNSd SIUYS
SVTAII Y3I-I, at\,1
k,
i- 'i !.,U1-.1,1,i
Karena beban hidup bisa ada atau tidak ada di situ dan karena ia bisa membuat sembarang pola pada struktur yang bersangkutan, muncullah pertanyaan, kedudukan
beban-hidup. manakah yang paling kritis pengaruhnya pada siruktui tersebut. Tentu saja, masalah seperti ini tak akan muncul pada beban mati karena ia selalu berada di situ. Kunci jawabannya adalah dengan meninjiu dulu beban hidup yang melibatkan hanya sebuah beban terpusat tunggal sebesar I satuan berat, misalnya 1,0 kN. Lalu pengaruh dari beban satuan terpusat yang bergerak di sepanjang struktur yang diselidiki. sebagai contoh, pengaruhnya terhadap gaya lintang di suatu titik terpilih pada balok atau penlaruhnya terhadap salah sebuah reaksi pada balok bisa diselidiki. ika besar pengaruh ini diplot tepat di posisi beban-satuan terpusat bergerak tersebut, hasilnya adalah suatu garis pengaruh. Jadi, garis pengaruh merupakan peragaan grafis yang menunjukkan pengaruh dari beban'satuan terpusat bergerak pada suatu fungsi terpilih. Akan diiunjukkan bahwa garis pengaruh merupakan alat yang sangat diperlukan untuk menentukan posisi kritis suatu sistem beban-hidup yang lebih rumit, yang menimbulkan pengaruh maksimum pada suatu struktur. 13.2 Caris Penglruh untuk Balok Statis 'ferlrrrtu Garis pengaruh untuk reaksi, gaya-lintang, dan momen lentur pada balok statis tertentu selalu terdiri dari bagian-bagian yang lurus, karena fungsi tersebut merupakan akibat dari beban-satuan terpusat bergerak yang terletak pada jarak
x
dari suatu titik acuan, selalu
mcrupakan fungsi linier dari x. Tinjaulah balok-gantungABC pada.Gb. 13..2.1. Andaikan bahwa persoalannya adalah menurunkan ekspresi untuk Ro, Rp, dan Mp sebagai fungsi dari x, posisi beban terpusat w yangbergerak. Sejauh rr*yu ..nyungkut Ro,
R{ '= -r-fYP
Ru=
Lrntrik o
-- r :: L *
rr
(
13.1. I )
+
(a)
W
t Rr=
+
(b) W
.:E R.=
tt
R,=
ry
Gambar 13.2.1 Reaksi, gaya-lintang, dan momen lentur sebagai fungsi dari posisi beban.
7 eped Tere8req l?sndrel uenles-u?qaq pep qnru8ued u?{Infunueu 8ue[ 1u>1gef ue -eBered qeppe qrue8uad srre8 :qrue8ued sue8 IsrulJep Il?qtue{ 3ue1n8ue11 'r7 e33u1q aZ'e'il reqrueg ?p?d s?qeq-epueq urer8erp depuqrel ueleure8ued rqeleur qeloredrp l?dep rur ueefuqred-uee,(uelred depeqrel ueqernef 'ef?s ruuel
a,
rp uenlus-u?qeq leqr{?
a7 qeludereq 'g
o11 ge4edeng 'p a B'rp uEnles ueqeq leqpl?
qA
qeledereg '6 i C.ueue{ r{elaqas rp srsred uenl?s-u?qeq Ngl\e 0 \rlt1r{pleqes rp srsred u?nles-uBqeq :r,qtne oA qu4edereg '7 etrrp uenl?s-u?qeq leqple 07 qeledere8 'l L
: ln{rJeq ueu,(ueped-uee, ueged dupeqrel ueqe.ref ueludrueur cZ'Z'tl ruqrrreC eped pqal lllll eur{o{ 'qoluoc re8eqag'4 e38urq aZ'Z'El &qur?C uped uelrele8rp p uep 'g 'A 'V st1u1 rsrsod lzdurea>1 r:ep derlas rp uequs-ueqeq In{Itueru Eue.( lopq rrep '(urulSurp ,tpoq eeq) seqeq-Bpueq urer8erp leduree>1 'rur uerpfteEueu {nlull 'srun1 srruS-sue8 uBAu -ep ue>lSunqnqlp usqeleqesreq 3u3.{ {Ilrl Enures uulpntue{ uep p €BBuIq q1'Z'El rBquBC eped pqel l$1tr ue8uep 1o1dtp uelnlSuesreq Suef qnre8uad sue8 eped srl rqel?p? q?pnur qtqal 8ue,{ er?J 'lnqesJa1 ueqeiuef qeloredureur 1n1un
-u{ Iefu-I?IIu
ue18ueue.{uau 8ur1ed 8ue.,{ eruc q?peInq rur 'untueN 'G'Z't.l) ?A8unr (I'Z'€I) ue?uresJed ruelep Ip JeIuII uepruesred-ueeurestod uep ry;e6 re8eqas Suepuud z1 -p{ qaloq p eBEurq qT,'Z'€.1 r€qureg eped qrue8ued s.tru8 e3{1ey NVIVSA'IAANAd reqqeg eped ue:lluqpedrp 8uu[ SuniueSSueu-{opq lr?p qru uep
'ol'vA
'Z'?'tl
lngun qruz8ued srre?-srru8 qgert ?rBcas ue{lnlunl
I'Z'tI
qoluo] .1ru{p0q
qoluoc ur?lep lp uqre1e31p ue>lu ?ueturcBuqes 'snrn1 suBS-su?E ueEuap lnqosrel slllr{ {1111-{1111 uelSunqnq8uou uB8uop qme8ued sue8 qnrnles uopedepuaur u?Ipnua{ u?p sfus B{usrlu{ Eusdureued-Suedueuad rp uelnlEuusloq 3u?.{ qruu8uad rcllu-tullu 8un1rg -Euau >1n1un uelSueuaXuaw q?Hlqol e.{u4e11erd uelep 'ulareu uep 1oldp ue1n18ues -raq Suef qn[3uod slr?8 qrunles uep ua8uq rc8eq1ed u?Ipnluo>l wp nlnl{Bp ue{urunl -p tedup (t'Z't) uffiutq (t'Z'gt) uu?tu?sred Itrradas ueeruusrad-ueeurssrad undnlseyrg
'l'Z'tl
requeC epud
g
{1111
Ipedas u,(ust1r:1 Suedureued-Euedureuad
Ip nutuo)ppt
esrq Euu.('srun1 3uuf, uurSeq-uufeq Irep Irlptel ez(ueq nlualrel sllels loleq Ir?p de13ua1 qn;e8ued stre8 e,uquq uo{E}u,(u1p runlun urucas qulludup 's4e Ip u?seqeq IrB(l 'q-r >luun n>lBlreq (q uep o2'7'21) ueeruesre6 enpal 'tur snsol tu?Pp I(l
)
I
(nt'z't
)
t
(qr'a't
i) +. 1 :;,y q
=
.\
=
o
1 Q >inrun .rir.:.!;^
rnrirn
{x
.,,
qrll -
12
I
g
o
)
(/'- r
z'a'L I )
ortr
- (l ).14 _. c1,- J-n; : (r - ql..tt - q'H
e{?ur:OuBuB{ q?leqes Ip nele IrD{ qtleqos rp Suef ueepeqred elnd ludeprel -Eru?sred Bnpo{ Buorp{
(qZ a'i (
4,1
=-
"r{
tsrsod epeda4 Eunlue8req
"oN :i.fiufi 'q=x {qun n{?lreq {?pp (q
1p stsred
{B}elrel t$ ellq
fu
uep o7'7'E1) ue
1n1un eie.(u 8ue,,{ Iellu Bp? {epIJ
+r=r-> q rnrur, G_ ]rrni;: ry -
ri-,r
0Inrun .o -,-1),r\ - = ,11 -'U = ,,,4
=
B{etu
:eltep uBuel qEaqos
rp nete IrD[ qeloqas tp /.1
{qun
Bpaqreq n}l
pq 'o1 4nuh ldBJ
>I\ir{g9u3t{ NvB:{s iivo HnuvcNgd sluYc
4
ii i '\\ ii
,l
iI
I
t,0
I
I
4Bcl
ll-"
-ffi
r..-
I,r.J ,1,
(e) Beban-satuan
(a) Balok yang ditinjau
-0,25
I
_ r=_. ,
(f) Beban-satuan di D t,0
i-
,-.E
-0.250
(c) Garis pengaruh untuk
dil
0,i75
+0,625
-o 17i
I I
0$25
R4
(D) Garis pengaruh untuk
lzp
lo
I dia I'o
(s) Beban-satuan
Xl ----\.-
/
(d) Garispengaruh untuk
r.o
-orio +
ifp
t
0,25
1,25
(ft) Beban-satuan di C ',
i:rn
lxir
t -l
"
l. 1 Garis pengaruh untuk balok pada Contoh I 3.2, l.
fungsi terpilih. Sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 13.2.3a, karena !r, !2, dan y3 adalah nilai-nilai dari fungsi akibat beban-satuan di tempat !r,!z,dany3 diukur, maka akibat W t, Wz , dan Wx di tempat-tempat tersebut. lril.r:,
luitl.,t
,,
),
I i
r
I -, .l .i
,
Di. lain pihak, iika terdapat beban terbagi-rata dengan panjang tertentu pada balok sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.2.3b,
q per panjang-satuan
,,*l (o) (irr',:i,t;
\
Y{
1.1.2.,1
(D)
Penggunaangari$pengaruh untuk menghitung nilai fungsi.
6-
'z'z'€I qoruoJ lopq?p?d utntm$pru Is{Beu i. i i l uBusqegued Flsod (p)
s7
v+-.,
0€
v
vf^.,
6--G 0z sz
re rev rev
oz sz
fy
Epor uBqeg
ri1:.ij:,
(r)
l"r,l
| 'e ltzl o-----@--o 0€ N)t sz N{ 0z
Nr
>1uun
qu?tuad
sr.rB5
(q)
sz'0-
oe
oo,t+
V,-zoN
0€
NI s'L- = #NI S't -
nB[r4rlp 8u?d:loIBE
(r)
9Z
vfrrr = (seqaq-Bpueq lr?p) vu
= (SZ'0-h€ = (76 3 = vy
'S IsFod
Nr 0r+ =
CIE+crg
N)r 0?+ = q)(0'r)02
\ntu1
'wnwlstlow !14oilau VY
Q)
= (ssqeq-Bpuaq I,,p) vu
+(o'r)sz = (76 3 = vy .9 rsrsod 1n1un
N)t szt'€s + =
(urnunsleur) NI
Gro*&IirC
= (seqeq-Bpuaq
!rep)'u
SZt'tS+ = (t)(0't)02+(l)(0't)SZ+(0't)05 = (76 3 = vy 'g tstsod
NI 5l'6r+ =
CIa*,*-"
lnlun
{suqaq'upuaq F?p)vU
Nr st'tr+ = (p(0'I)09 + (0't)sz = (41 3 = vv 'Z tslsod
Nr 0s+ =
mElCkTCrG
{nlun
vu = (seqeq-Bpuoq IrEp)
Nr 0s+ = (p(o'r)oe + q)(0'r)sz
+ (d1)s7
=
d11{
3 = vv
'1 prsod {n}uq 'sp!r1 ptsod ueledrueur eslq euulred ueueqeg -uad prsod leduraa4 uep nles qeles, 'wnulsrlow tttlsod YY @) tr'. i \ ! i I 'i.I. \" 1,1 'lnqasrel lopg eped :111eq-{Bloq :leroireq estq 3ue[ 'uu:lluqgradrp euuu4eteqas lesndrel ueqeq e8rl leqpl? urnurls:Juur ;tle8au uep JIIIS
-od vUue{n}uel'V'e-El rBqIu?CepedBunluetflueu-{olBq {n}un i'r f i llciuo"} '(S'Z'e uustupsred (t'Z'EI) qBltucl
t)
uep
1nl?laur qaloradrp tue{ gseq-gsuq lace8ueu {nlun uolnry[p INeu Iq 4tppral 'esurq (fpoq aary) seqaq-upueq epoleru uetuep Eun1p11p qnd ledup lnqa$el ptunJ IBIIU
"uzlludzpp lnqesral dnplq ueqaq npod qales 'e[es n1ual 'dnpg ueqaq luqpp p8un; rrpp runum{Bu glutau-;ugu uup rrmulsletu gylpod p[u-IBIIU qaloradueru 1n1un eEn[ qruetuad uellnqunuaur tuef dnpq uuqaq uulnpnpe{ ue>{n}ueuatu rdu1a1 'sr1rr1 Eugud >1n1un
edueq uulnq E?iisuntlp ludep
nll q?lraq
Suert
(g'7'91) uep (r'z'gI)
ue?Irlesrad
Ta
6 ./
\N.1 LISIS
slR liK'I u R l, \\JLir',\N
t n
(c) Diskusi Apabila terdapat rangkaian beban terpusat bergerak yang pan-
jang, pelbagai posisi pembebanan mesti dicoba. Di dalam Pasal 13.3, metode untuk mendapatkan posisi pembebanan yang paling kritis akan dibahas lebih lanjut untuk balok-sederhana. Contc,h I 3.2.3 Untuk balok-menggantung pada Gambar I 3.2.5, tentukanlah RA po-
sitif dan negatif maksimum akibat beban terbagi-rata
sebesar
6kN/m yang
bisa
bekerja pada sembarang bagian atau bagian-bagian dari balok.
PtrNl'llLES,AIr\N (a) Rn positif maksimum. Untuk posisi Po Re
: q kali
1,
Ar = 6(+4) = +24 kN
(dari benda-bebas) = itoltsl
:
+ 24
kN
(b) Rn negatif mdksimum. Untnk posisi 2, R, = q
kali
A: = 6(-0,25)=
Rr (dari benda-bebas)
: -ry
-l,5kN =
-
1,5
kN
Contoh l-1.2.4 Untukbalok-menggantungpadaGambar l3.2.6,tentukanla}l,Vppo-
sitif dan negatif maksimum akibat tiga beban terpusat sebagaimana diperlihatkan, yang bisa bergerak bolak-balik di atas balok tersebut. 6
+
Az. --
8m
I
(c) Posisi pembebanan No. I
(a) Balok yang ditinjau
ru
kN/m
+ 1,00
6
kN/m
*0,25
(D) Garis pengaruh R4
(d) Posisi pembebanan No
Ganrhar 13.2.5 Reaksi maksimum pada balok Contoh t3.2.3.
..
oo No.
o_ I
(a) Balok yang ditinjau +0.625 No. 2
-0,375 (D) Garis pengaruh
20
kN 25 kN
untuk Z,
30 kN
c__-o____-o lz. I 3mil l.-fFI
(c) Badan roda Gambar 13.2.6 Gaya-lintang positif dan negatif maksimum pada balok Contoh I 3.2.4.
L.
t li
Z 'lnqesrel {ol?q sBl? rp {rIBq-{?Iog {Bretreq BsIq tuBd 'uE{ -tsr{Iradrp euBunESeqes lBsndrel ueqeq e6I1 leqpp tunull$l?rll JIleSeu uep Jlltsod
olg qeluelnluet 'g'Z'€ I 'S'Z'€I qoluo)
reqrueg eped Sunluu8iluaur-{olBq
:1o1uq uped
{nlufl
9'Z'€
urnurs{sur Sle8eu uup ylrsod Suelur.yeAeD
ql
11n+un
Z 'oN uewqoqurad rsrso4 (p)
I
t'Z'tl
qoluof,
rugtueg
qnru8uad srreg (4)
sr€'0-
9795'1+:zY 1--
9Z9S'o-
tulNl
'I
U,/NI
9
=tV
sz9'o+ 9
ru[uplp Sued {olEg (r)
'oN u?ueqoqruadrsrso; (:)
uIlN{
9
NI Sr8'r-
=
8t = (e)e - vu = (sBqeq-?puoq IrBp) {A fu.lf-*G5Et : (SZ'0 - 9Z9S'0-)9 =€y vep t y r1u4 b = a1,
N)t
St8/r-
'g rsrsod \nlvy'wnutstlow !11oBau
Ol Q)
vu = (seqeq-epueq FBp) a,r
N,I slt'6+ = #t=
Nl 9t€'6+ :
(SZ9S't +)9
:.V
IIB{' b = ('A
'1 rsrsod >lrrwfi 'unwlstlow
t111sod
ol
@) NvIVSA-TE-{Nad
'lnqesrel uBItPq Bp?d ?frel Irep nel? tueruqures uer8eq-uu6eq loleq u?p Jtlls -eg unutr$leur Suef ru/p19 roseqes eler-IEeqrel wqeq ?slq lsqple ql qelue>1n1ua1' L'L'€l rr-qvrag upud Sunluetiueu-r1opq {nlun;rleteu S'Z'f I qoruo) -od
'lnqesrel snse{ enpe{ tuelep Ip fcs{ qlqel Euuf Jepu ue{r.requau lngasrel tnBI Islsod 'CI lp Z ?por uDlsdueued trep 8ue[ ue8uep etnl'7 lstsod lrep llssq uBp :O W ?, ?poJ uBled -ueued trep 3ue{ ue8uap uBISulpueqrp Ilseu I tslsod 1wp IISEH ?rt?+rfcr (r)
NI se'l
(lrreunu
Brsces
I
-:
(0t + sA
- (8)sz+Gloa = (sBq6q-3Pueq
urnuqs{stu) NI
SZ'II
-
I'rBp) 01\
('tr4 7= = (Ste'0-)0€ =
a
I
'g lsrsod 1n1un Nr sze'01- : (02 + sz) CIE+Tr*Nr
sz9'01
-:
:
=
(s?qeq-?pueq Ir?P) dA
()(Ete'o-)sz+(sr€'0-)02 = (16 3 'E tsrsod
N)t sz+
(runurrsleur)
CriZiOG
N)t 9z+
-
o1
)fnlun 'utnwtstlow ltto*au o 11q1
= (sgqaq-?Puas F?P) oA
: (:XSz9'0+)Sz + (SZ9'0+)0€ : (6 3 = or1 'Z rsrsod IIUUO
oA Nr sr8'lz+ : fen*f-r*= (sBqaq-Bpueq IJBP) : qxszg'0+)sz + (sz9'0+)02 = Q11 3 = or1
Nlt 9t81z+
'1 tstsod {n1u0 'wnwlstlow lutsod o.,l
(a) ' , i:j
;:: ii:.
:!i!r
7--,,, AN.\ LISIS SI'R(I KI'TIR
8
I-
ANJ U'TAN
30
(a) Balok yang ditinjau
(D) Garis pengaruh untuk r'lfp
20kN
25
kN
No.
3
30kN No.4 (d) Posisi pembebanan
(c) Beban roda
{..inllrr i3.2.8 Momenlenturpositif dannegatif maksimumpadabalokContoh 13.2..6.
Pl.\)'!'Ltr-\.i1,1r' (a) Mp positif maksimum. Sulitlah untuk melihat apakah ketiga beban terpusat tersebut mesti mengangkang titik-puncak (+1,875) pada garis pengaruh. Dari teori yang akan diuraikan di dalam Pasal 13.4, salah satu daribeban-beban terpusat tersebut harus terletak persis diD. Dalam kenyataannya, teori tersebut akan juga mengungkapkan beban yang mana dari beban-beban terpusat tersebut mesti dikerjakan di D untuk menghasilkan Mp maksimum. Cobalah posisi
l. 'l
. "i:
\.'1',
!i
'.',r
''
l:.,
i:.-i'.
Untuk balok-menggantung pada Gambar 13.2.9,tentukanlahMp po-
sitif dan negatif maksimum akibat beban terbagi+ata
sebesar
6kN/m yang bisa be-
kerja pada sembarang bagian atau bagian-bagian dari balok tersebut. (a) M o positif maksirnum. lJrrtuk posisi Mo =
e kali
Mp (dari benda bebas) =
\
l,
Ar = 6(+7,5) = +45 kN.m
Re(3)
-
lE(1,5) = 24{3)
-27 = +45 kN.m
7 dupuqral uequ,re['rpu1 'Bnpe{ rsnod upud
3f
ruepp rp Epureq t41 uuarel
tfl rluppe c1 eped (sso1) turrny'f/ Ip F{Bar rrerleqru?t qe1rzpe 7lz'rs9 'efuueulu{u -a{ tuBIBO 'qruuEued sFeE tuefuedas rp leratraq EueI lopq upud plo] ueqeq qBIBpB g :ueEuap '7lz-rsO qEI?p?, a>1 241 uulqupuilraru uetuap qaloradrp tue,l cA uped uequq -ue1 'a1'g'91 ruqu?C eped ueqeq nrsod unpe:1 ereluu ueturpuuqued o{ qequre) 'rzseq qrqal
tuef
Jnlsd cA rr.qu uu4pseqtuour Uu>IB ,I'E'€l r?quIBC eped uu1ruruaq tuu{ uzqaq rsrcod Bnpel u?p euuur tuul u?Inlueueru {nlun tunuellJ{ nl?ns ualurunuetu nlrad u{ueq u1r>1 'urnrun uuposred pEeqas'e{er{ ? dupuqrel srllolus )plalrol tue{ 4ltt nlens ueledn:eru euel',J rp unurtsrytu Jltpod tuetul ufut uetuep ?tu?s Ilseu Ip urnrus{stu gtlutau tuBluII edut u,rqeq IBqII ?lll 'art€,1 r?qruug rrup rrBqoq gspod uutuap uulEtnpuuq -lp pI'€'€I ruqlu?O rrep u?qaq rsrsod ugqudy requr?C eped '2 rp tuntuls{Bru ylutau tuetul ufet uullnquluau tue,( uup ia1'g'g1 rcqIuBC uped uuryeq-rlradrp tuef rp unurs{eur yllsod Euelutl u{u8 ue4nqurtueur tuuf rr?p nlps q?ps rIBIEps Ip?[ ?qq ueqaq $rsod'{Ipq-{EIoq leretraq usrq tue,( lesndral ueqaq edereqoq leql{B Dl't'tl ruqu?C eped gV ewglepes-{opq IrBp Ip tu?tu.rl e{ut epud qnrutuad qelnefurl '?ueqrapes lopq uped unru6{etu tue1u11 edet nele $TBer uollnq -u4ueu tue{ uqmpuesraq tuuf uuqeq-ueqaq IrBp sl]IDI lstsod ue11ud?puau {nlun uul8uucuerlp ledep apolau nluns E^upq rut psud tuqpp Ip ue4qnfunlrp unly 'lnqesrel uuuqocrad eduraqeq Irseq-[seq Irup pqururp u[uq11r1 rBIIU uep uolnlra&p uuetnpuod uderaqaq 'uugrurap urul?p I11 'e1er-rteqrel u?qaq ?aequaur tuef tuoqrat-tuoqraE qalo pn11 tue{ Jl}oruo{ol Bpor-Bpor 'rdu-u1ere>1-uepf uelequref zpud Euoqrat
,
'pl't'tl
,
,
tuef snsel
-1p uelnlSuesreq
-Buoqrat uetuap Jltoruo{ol snsaI urcpp Ip 'qne[ qlq{, Iapuad 3r1e1ar larutraq Eue{ lusndral ueqaq ledrua nelu utn rr?p qlqel ledepral e4f eure1rua1 '4era8raq lesndral ueq -aq ueplEuzr >1n1un e{qeq uepl1tuap qBpIBplJ 'sqrr1 tugud EuuI qruuEuad uellnqunu -eu r8llulqes edru uznltuapas ru?qaqrp Ilsour {opq nlens IJBp euuu tuuf uetEeq-uetteq
uu4dultunEueu {n1ufl 1ep rctzqas eurndues lqlsraq qruzEuad qrut 'u1u.r-peqrel dnpq uuqaq 1n1Euu{ueu zfuuq qnefas ?rrrr{uq lsqllral qelludup 'ruy runlaqas psed uuq !:iliiilrJl);. !l-1!ftI1:5 irpnd ttintrr,!rit:lt Ir;r:11il'1 ?,{r:,\ nPJrr
l\II.r'{
ru.NI S'?- = (€)S't - = ([)vU- = (sBqeq-Bpuaq IJ?P) ru.NI S'r- = (St'0-)9 = zy IIE)I b = oY1 'Z Islsod
\rgul'unuyqow
'lrltr1r'-r
tiiltu,iti.r}} ir'.
i
or4l
!1g1sod
qw (q)
'r'Z'€IqoruoC>lopqupedunu{sryurJp?SauuepJltlsodrnluelueuo14ll'1'Il rDqurr'i orr,o_oN
:{l:oun qn&8ued slrec (g)
Z 'oN rnuuqequed rslsod (P)
st8'I +
VV
ffiutlN{
I
ns[u$Ip tu"d lotBg (r)
9
'oN nPuPqaquad Flsod (r)
rulN{
9 :.{1.
{jit
L:.Iu
Nvgga Nv(I Hn}IvDNqd sI1{v!
....4i.\l.illlS \ ! RI-\l llR i hNJl,i'j'A\
10
La ;p l.-1.*l (a) Balok-sederhana
fua zr-c
, L-a ,L
er
(d) Posisi beban untuk
(D) Garis pengaruh
Vs negattf
untuk /c
ArD
ooo@
r\
(-.ls,rls23l .i--.]!.--]
^
o@ @ a-c
B
l]
(e) Posisibeban untuk
lz'gpositif
(c) Posisi beban untuk Iz6 positif Ganrbar 13.3.1 Gaya lintang maksimum pada balok-sederhana akibat bahan
persoalan, apakah Wr di C atau
llz
terpust bergerak.
di C akanmenghasilkan Vc yan1lebih besar, adalah:
Kurangan = I1l1 Tanrbahan = Osy-2lL Jika tanibahan (kr-rrangan. ternpatkan W1 dl C Jika tlmbahan) kurangan. lentpatkan ll/2 d'i C dan bandingkan dengan ll3 danC'
113.i la)
(i-l.3.lbl
Di dalam kasus umum, beban roda yaflg pertarna mungkin lebih ringan sehingga penem,patan W2 di C akan lebih bersifat kritis, tetapi kebutuhan untuk memindahkan Wt ke C jarang timbul.
Untuk mendap4tkan reaksi maksimum di,4, Persamaan (13.3.14 dan D) juga dapat digunakan, kecuali bahwa G di dalam persamaan itu tidak akan mengandung l,l1 karena W1 telah keluar dari bentangan dan tak ada tambahan momen darinya terhadap titik -B dalam perhitungan reaksi di,4.
Contoh 13.3.1 Untuk balok-sederhana pada Gambar 13.3.2a, tentukanlah reaksi maksimum di:4 akibat lintasan bolak-6atk dari lima beban roda yang diikuti oleh beban teibagi-rata yang takterhingga panjangnya sebagaimana diperlihatkan pada Gamb'ar 13.3.k.
PENYI.LESAIaN (a)Posrsi. Bandingkan
t
di G(W2 di G(W
W1
diA denlan
W2
diA,
+ l6(18 - 8) = 320 160 + 16(18 - 6) : 352 (di antara 320 dan 352)(2)118 Gsy2f L = (di antara 35,6 dan 39,1)
A, tidak termasuk I/1 ) = A, tidak termasuk I'tz1 ) =
160
= = Kurangan = llr =20.
Tambahan
Tambahan l,l) 1 di A.
\
)
kurangan; 142 akan mengakibatkan R4ryang lebih besar ketimbang
7
)\p
uutuern; OZ=rtll = (9'S I uep 1'1 1 ereluu rp) usqsgluel 8I/(Z) (80€ uep 9LZ ereluerp) = 7fz-ts7 (cw rn)c 80€ = (9 - ?r)9r + 08r = gLz=e-rr)9l +0Br = (JlP tM)g ,Jlp .M us8uep otog @) NVIVSa-IaANAd
t/i.ue16urpueg 'J ry wnwtsyow
l171sod 3uo1u17
'pt'E El
rBqurBC epu d ue:llagredrp eueurye8eq
-es e^u8uefued e33urqre1>1e1 3ue,( eler-r8eqrel u?qaq qelo 4n{up Suef epor ueqaq etuq uep >1rpq-{eloq u?se}url l?ql{? , rp unurs{eru ;rlu8eu uep ;rlrsod tu?1ql ede8 qe1ue1n1ua1 'og'g'E1 rBqIueC eped euuqrepes-{olPq {nlun Z'€'€I qoluo] N)t r0z
:
,rr(zDOr
iGZTr*l .
o',(:i)(f)r, . (#)*-r 'V W zM
ue8uep
:
(s?qeq-?pueq epoleur) vu
NI'OZ:
€i),. 6h)*.
(1)s7 =
(qnlsaued-srwt epoleu) vu
'Z'€'tl reqrueg epedel r8el nce8ue4 'unuls4Du vU (q) .yry e44?uuq
-urrle{ reseq qrqel 8ue,{ vy uerllrseq8ueu ue{? Y W
zil
iue8uerrul
}l=ztll =
>
usq"qursl
us8uBrn)
(82 uep 97ew1uerp) 8l/(Z) (80€ vepgLZ ereluerp) = 'lle-zs1 = u?q?qu?I (z7y-uep I/fl {ns?uuel 1ep$'V\p elDC (cruuvp rl4{nsuurel 1epq'YW zy)g 'yIp eh ue8uep Vlp zlt uE>IEulpusg
9€.8 =G'b - 8I) 9 + OZI - 8I) 9I + 0ZI =
Zlt
=@
'I'g'€I qoluo3
1o1eq epud
tunuqsl€trr Is{seU Z'€'€I requre}
{era8req u?qeg
TUINI
lry 1nlun
9I
(r)
N{ O' N)I
O?
NI O' NI O' NI
OZ
qnlz8ued streg (q)
o'l +
BuBqrapes-{olsg
i
(r)
ul 8l V
II
r}i.:ii. ri.iiri NVBEB NV.l F{nUVONgd 5-lUVC
'i
\\.1 tit \i.i
(a) Balok-sederhana
.t4 *IE
4 -IE
(D) Garis pengaruh
untuk
I/s
.4
'18
(c) Garispengaruh untuk
20
kN
40
kN 40 kN 40 kN 40 kN
2,0m ll,5 mll,5 mll,5 mlt,5
16
lrt
kN/m
m
(d) Beban bergerak t-ianrbar 1 3.3.3 Gaya lintang positif dan negatif maksimum pada balok Contoh 13.3.2.
Tambahan
)
kurangan: ttt2 di c, akan menghasilkan
zs
bangWl diC,
yang lebih besar ketim-
Bandingkan W2 di C dengan W., di C, C (W, di C) =
lEO + 16(14 - 6) = 308 G (W3di C)= lEo+ t6{14-4,5)=332
Tambahan
=
Gsz.tlL = (di antara 308 dan 332)(l,S)llg (di antara 25,7 daln 27,7)
Kurangan = Wz= 40 kurangan; w2 di c akan menghasikat baag ril3 di C dengan W2 di C,
Tambahan (
vc (metode garis-pengaruh) = m(-*)(i). = + 130165 kN
vs yang lebih
,*(jil(l#).
besar ketim-
,.(i)(i{)(*)o,
7e{r/il +rf,e/h +ztztrl +t{t/U
--t{tC
@\
C1ry 1n1un
qnretued qreC (r)
*TJf,[,T-'p>-
lll)/' P'
zc
r
tt
l-r.l
ffiozrtl
'r!,
trl4
tc
Dv
v'lcl
,@ 'A
'I't'tI
gf
qsIBpB J rp Inluel uetuoy[ requug epud su?qrepes-1opq epud €por uuqeq qnfnr lrup resep srsod uderaqaq WIrc[u1I Jul tnTreq rurnu srleualeur u?urunuad 1np1eu pdeclp uu)p sruus tuel uc
lndunsaX'lnqesrol WIIdral >1111 1p slsrad efra1aq snruq uuln48uxraq 3w{ lesndral ueq -eq-uEqaq rJ?p nlss B,r\rPq uurllndunstp qelredep uEpllluap uuEueg 'uulmltuesreq tuuf
rnluel-ueuou ureferp 1o[od->1ofod ry e{ueq tpe$a1 ludep unu4s{Btu IBIIU n1ens ruI snsol ruBIBp Ip ftrer('e[us snrnl Suud urfuq-ue$uq tmp IJIpre] ue>Is nplas lusndrol uuqaq l?qDp rnluol-ueruoru urertep 'e{urstsod und uueu{eteg 'uetuuluaq tuefuedas Ip Wld
-ral {1.rr nl?ns rp rBseqrel rrquel ueruoru uu:lqeqaz(uau U?)I? I{B{?uEIu tuu{ dnptq ueq -aq rqsod Wpps 1ncuntu tuuf ueposrad 'gdu-e1era4-uepf uelequtef nluns trep rquf dutl -as upud uureln (raprrt) ftrzdoued-1o1uq Bnpel epud nele 'ufur uqef uulequef 1e1d p1 -puaur tuul pupnlFuol lopq uderaqaq eped pufrar tuu[ $radas 'Bueqropes-{opq sul? Ip {IIBq-)fEoq lzretraq usrq tuuz( tuzluud
tuuf lusndral
u?qeq uupltuer upe qlqedy
Bueqrepas-{o1ug uped utnuFrle1g mlua.l uatuolU
{qun tunpel!ry 'Nr
usp
NI 0I-
Er?luu rsYtre^req ledsp e,(ute1tu '11eq-1qoq :pratreq
ugs?tql luq11u'uu4leqredrp N{01+ Nr
0r +
r,saq qrqer
=
3
uped tue1ql-edut qnuf
=Gt6l#ffitffi
p lp til
cAuurslseqruaru
lp | il
uetuap ,C
t'tl
99'0€ I + ueqaq
tuef
nlrteqag 'uDsoqDquad
= vu = (seqaq-Bpueq epoleu)
@)
'Jl
(iJ(i)*. (,XT)". (1t)* = (qnrutuad-ryua aporeu) 'J^
ew,
*r, ,JgsH'fi:iltH;g iffiHlfl
0Z=t/i=ugtugrnX (9'SI ueP I'I I ErBluB IP) = 00I ereluz 1p) =1lz'ts9 = g?IPQTUBI
8ll@)bil
uep
oil = cJ '
Ip z/tt)
I
00t =
cJ Ip r^1) 0
uulSutpuug ' ,3 lp unulsrlou tlllcod
NI 99'o€l + = 0z -mzt
+islri*orl+ltm
3uo7u17
o4og 1q)
= (sBqeq-epueq epoleru)'11
8t
_!
ii
l.:
'j
\
..\\,-\t_lsts!tltll(tljR [ANjUi,\N
14
tI f
$
2
Dapatlah ditunjukkan bahwa, asalkan garis pengaruh yang bersangkutan merupakan satu bagian yang lurus, nilai fungsiDlly untuk beban-beban terpusat bisa diperoleh juga dari perkalian antara resultan beban pada bagian yang lurus tersebut dengan ordinat-pengaruh di bawah resultan tersebut. Mengacu kepada Gambar 13.4.1b, ambillah momen-momen dari keempat gaya ll terhadap titik O dan samakan jumlahnya dengan momen dari
Gr,
G0t: Wrat* Wflz* Wpll_
Waaa
Kalikan setiap suku di dalam persamaan di atas dengan tan o1. GrAr tan
01:
W1o1
tan a1*Wgy tan o1 lWflt tan
a1
lWaaa tan
a1
daripadanya
GrIr
:
Wr)r
* W:):+ Wryj+
Waya
Kembalikan ke kondisi dasar dari Persamaan (13.a. l);jika srstem beban yang bersangkutan bergerak dari kanan ke kiri sejauh dx yang kecil, Gr menuruni garis pengaruh dan Gz mendaki garis pengaruh. Tambahan bersihnya adalah
{, tr.r-:
I
,/11tr i
1
'
:
1,
j ,'
I
;il -f i
lt
).; rll
i
Dari pengamatan terhadap Persamaan (13.4.3), dapatlah dinyatakan bahwa, agar momen lentur maksimum terjadi di C, posisipembebanannya haruslah sedemikian rupa hingga beban G1 di dalam AC sama dengan Gaf L.Kesamaan ini jarang terjadi secara tepat; namun, jika sebuah beban ditempatkan pesis di Q, sebagian nilainya dapat dianggap sebagai beban yang terlbtak dalam AC, sehingga memungkinkan terpenuhinya syarat
Maka, secara praktis dapatlah dikatakan bahwa untuk menentukan posisi beban yang menyebabkan momen lentur di C bernilai maksimum, lakukanlah langkah-langkah
berikut
:
l.
Tempatkan sebuah beban di C, tentukan beban total G pada bentangan yang bersangkutan, dan hitungGalL.
2.
Ada dua nilai-mungkin dari beban G1 di dalam AC: nilai yang lebih kecit yang tidak mencakup beban di C dan nilai yang lebih besar yang mencakup beban di C.
3. Jika nilai Gr yang lebih kecil, nilai GafL, dan nilai Gr yang lebih besar berurut, beban di C yang tepat telah diperoleh untuk menghasilkan momen lentur maksimum di C.
Di dalam kasus yang rumit
l-
-
seperti apabila secara serentak terdapat beban dir4,
i.
i I
(s'r)02
- (s'r)or -
(r)ffi
ru.N:l €€.5[9
=
: (s?qeq-Bpueq apoleur) 'Jlp ril
J,11
u?Auaq
:tmllraq 1aqe1 eped UBITBIaEIp r?seq qrqel evet rg uplSunur fco{ qlqel SveA r g uPltunu-Iefu erelu? !p r-?lluraq Tlog ieEe , 1p ep -orueludrueuadueeqocre6 ')lp unur$low tnlual uawoyl (o) , . ii t:i ll."l.--.i
-relru u?p
'pe'V'tl
r?qrueC zped ue:11uqg
-redrp rpedas .efu8uefued e8tuqral4ul 8ue{ eler-rBegrel uugeq qelo r1n>1.up tued spor uegeq ?Illrl rrep {Fq-{BIoq u?s?lul leql{B J rp tuntuls)tEtu rnluel ueluoru q?luelnluel 'DZ'l'El regtupg pp?d ?ueqrepes lolug Inlun : r i ,.. :i:!;,
'uuu?{ aI nfnuau tuuf uezrupual leqpl? J {lt!t 1p qaloradrp 3ue,( ueEuop ?rues rrr{ a{ nfnuetu 8uu{ ueerupuo{ lsqpls A? {lllt Ip qeloradrp Euuf rep11 , {llll 4n1un prades ?{ur{Br? uurss Euu{ ueerepue{ t?q1xe 'J {l1B depeqral srrlorus {?lelrel Euer( ue8uuluaq eped ', {llp rp {unur$[Bru rnlual uaruoru ue>lnlueuotu ue8uop uelolepuad uu>lruI?l Blpl nBIBI ue>l{Epntuetu qupIlqol 'uB -u?^rBIJeq tuez( qere e{ nfnuetu Eue,( urul usqeq uelsrs ssle{s u?{J?qrue8lluaur Euuqunl -e)'ueu?d\Blraq 8uu,{ q?JB rlrelsp efuurul unufls{?ru m[u q?nqas uep 'qereas e[usu1u11 -np1 uyqudu unrul$[Bru rBIIU q?nqas ledeprel 'uurus 3ue^ 2 rypdrar {I}11 {n}un 'rr?c Blpl unuss Suzpes Suur( uuqe,ruf quppe reseqrol Eue.,( tupu uup tunlr-q1p lnqosrel INeu (, plsrsod rp rnlual uetuoru rrzp e,{uqn8Eunsas Eued rEIu-rEIru et8ur-qas Wqel nBlE
{qun,
ueln.rrueq Euul( epor.Bnp rrep nles qBIBs ue{ledrreuoru uetuap rqnuadlp BsIq '(r'r'€I) ue?ru?sJed ruBIEp rp uelelufup eu?rurut?qes '1nqesra1 rururollDl Euepol-EuepuX 'qe1oradry qul
-qu1e1 ufuunu4ldo nele{Bcund tsgsod'qlsreq-uuEuerrq uulquqafuaru - ueuu4 a1 1p qnuf undnelu IrH e{ rp qnefas - ne[u111p Euepes tuef rsrsod 1n[ue1 qqel uuqupulurad e111 -as
1i,! r : l) .
!
'l
_
:ln{req r-Bteqes [?qual Elumt'(7'y'91) ueeuresra4'rzsep uueuresrad
9I
e>1
ue1e1e{r4p tedep
1€qure{ nples ledep BpuV
,'ir'!1.]li1i:'lfl riVU1ti
N n{1
- g tnp 'C
l1a1?lv{rritd SItiVt,
16
ANALISIS SI' RLI KTUR I,ANJU'IAN
(a) Balok-sederhana
(D) Garis pengaruh
untuk .ilfg
(c) Garis pengaruh untuk MC,
20kN ,l0kN 40kN40kN40kN 16kN/m 2,0m ll,5 mll,5 mll,5 mll,5
m
(d) Beban bergerak Gambar 13.4.2 Momen lentur maksimum pada balok Contoh 13.4.1.
Mc
(metode saris-pengaruh)=
rro(?X#).*(fl(?). r(fl(T) .'
ro(i)(f)(ff),'sr
= 579,33 kN.m
(b) Momen lentur maksimum di C
Dengan
Mc
W,
dic'.
(metode benda-bebas)
-
totz's)'/z + tqLo,zs) + zo(to,s)(14)
= 490 kN.m
-
120(3)
-
20(6,5)
€fl rp {E}nru unu4slpu rn}ual uatuo1
l'9'[I
rlrq.ueI)
Lrtlgril
(;'( r" i)
--'l
) -!--
--
er*l rrttttt
zrUtrtt
1
? qaloraduau {ntun
su}u rp ueeuresrad ualmseles
(l:(r'; r- l)ft) '1ou uuEuep ue>letu?s uup x depeqre] sB]? Ip rserdslo (
I
:;'t- l
)
(s,11 rir:per1-rc1 .,11 rrr:p I,11
trup rrtlr.r()lu.)
(t.t1 dcpcq]ot 1t1 rrep
t,11
uu{unrnl
- ta; . "*.rtar:
liri-.tirtit{)tlr)
- r'\'H = t,11 lprt-
'(uer8urp fpoq aarS) stqeq-Bpuaq urerterp uuq
'unurs{Blu
IBIIureq
€4,1'qulu?ry1?4'tp rn1ue1 ualuoru u8llulqas udnr uenpurepos 'I'S'€I reqlue5 upud 'r tsts -od unlledupueu {n}un w>Junrnllp ledup snurnr nl?ns 'efts lesndrel wqoq-uuqeq Fep rrrprel u?ln{Euusraq Eue[ 4eraEreq uuqeq epqude 1ur1e{ 'snsnq4 snse>l LUBIBp IC 'e,(uEuefued uEtwqral44 Euuz( uler-feqrel uuqaq qelo lln>lllp tuef epor ueqeq-ueqaq snse{ Luspp rp uu>pun8tp ledep 11 'utnurn lBJIsJeq rtn rnpesoJd 'runurs{Bru Islureq snruq e[e>1aq rn ueqeq ltdual ry rn]uel
uoruoru B^\rpq rsrpuo{ mplatu ue{Iepelaqp tuu,{ 'rnqu1e4p>p1 Euut( lpufueur IUI ueq -eq ppod wentue11 'nlF Ip umtuls{Btu rn1uol uotuotu uaIlnqu{uotu uop ueEuelueq qe8ual-qeEuel p ueqleduralrp elrqtdu tuef ueqeq uu{nlueueu eurel'eurelred 'I{BIBpB eserq Eue,t qalEuel uelnrn'uer4urap uutueq '1opq Eunfn uuBeq'uerteq rp rpufte1 ledup J?soqJet Jnluol uauou B/rquq IIq?Nnu uep 'snrn1 Euef uefeq'uepeq trep utpral 1ed -up e{ueq }ssndrel usqeq-uuqeq }Bqple uoruoru uerEup ?uoral IpEFal lul IBH '1esndra1 uuqeq q?^\sq 1p ue8ueluaq qe8ual-qeEual JBlples rp rpehal srueq 'uetuulueq Bped El(u -1e1a1 und BuBru rp'1e11nur unurs{Bru Jntuel ualuoru 'lovnw wnw!$lout truual uawout lnqasp Iul reseqret rnluel ueruory 'uulnltuesraq Suuz( >1o1eq upud 1pe[ra1 uqq Euu{ r?seqJol rnlual uatuotu ederaq L{BIBI ?pB qpuur Euef uzposred 1du1e1 'ue1n1ue11p nped efuunurrs4eur rn]uel uetuoru Euuf ueEueluaq Euefuedes Ip lfiIfuel {I}ll ?pB {Bpl} 'd?} tuedureuadreq eues F e{ u?m{ruaq uup 4apuad Euuf zuuqrapas'{opq {ntun -a1 1u8a1
eueqrapas-{o1eg uped IBIlnhi umtulslel^i rnlue'I uauohl S'EI
'ut'N{ t€'6LS nule '967 ueg €€'6LS er?lus Ip reseq qlqal tuef repu q?IBpP J rp Iunuls -{Bru rn1uol ualuotu 'IPuf 'urN{ 06, qEepe 'IrPI qure a1 nfnuaur 8ue[ ueerepua>1 ',r rp rpsaqrel rnluel ueruotu uup 'ur'p:1 €.8'6LS qPIspE I4{ rleru e{ tue{ ueerepue{ lsqDIB, Ip resaqral rnluel uetuon 'uo1ndwlsay (c) leqqe etnf nfnuatu
urN:I 06? =
G?(*)(,,!X?)r' . (rr'Xr.u)*.
(#X$)r,
:tu",,tued-sl*t aporaur) cv
xYu3!)ll38
LT
NVASS NVo IinUVONgat SIUVC
18 Jarak G dari ujung kanan adalah
Bandingkan Persamaan (13.5.2) dengan Persamaan (13.5.3), dapatlah dikatakan bahwa fu dan G mesti ditempatkan masing-masing pada jarak yang sama dari ujung kiri dan kanan balok, agar momen lentur di I/3 bernilai maksimum.
I ' ,: , : Tentukanlah momen lentur maksimum di tengah-tengah bentangan balok-sederhana pada Gambar 13.5.2a dan kemudian momen lentur maksimum mutlak akibat lintasan bolak-balik lima beban roda yang diikuti oleh beban terbagi-rata yang takterhingga panjangnya sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.5.2d. '
,
(a) Momen lentur maksimum
di tengah-tengah
bentangan.
r
Ii
- llr'
:i'1 I
l;r,:i
(a) Balok-sederhana +4,5
(D) Garis pengaruh untuk ily'g
(c) Momen lentur maksimum mutlak 20
kN
40 kN ztt) kN 40 kN,l()
2m
kN
16
di
5
kN/m
ll,5 mil,5mll,5 mlt,5m (d) Beban bergerak Momen lentur maksimum mutlak pada balok Contoh 13.5
.'1 .
'qnrueued-sue8 undnele s?gag-?puaq epoletu u?Buep tun11q1p
'ru'N{0SZ
-
tuef
ue8uelueq qe8ue1-qetuel gp y,g
'ue3uelueq qe8uel-qeSuet \p z il ueSueq'ueEuzlueg qetual-qe8uel rp ualefre>pp €il e{pe{ {oleq rrep rpnle{ q?lel 1,17 euarr-4'reseq qrqel tue,{ repu uzlpseq8ueru psetu ue8uelueq rle8uel-qe8uel 1p cM e^qeq qqsqat 'urnrralrrl Flnuetrretu 'ueSuelueq qe8uel-qeBuetW
lil,l
l.li
'uoEuoluaq qoBuayqolual tp
e
h
undnele 244 'rsrsod enpel
undolse;41
ii)
unu$yDu tnlual uawoq (o)
I
.
:,
'pt' S'El .requreg eped uol{nfunlrp eueure?eqas lesndrel u?qeq efil {lleq'-)Ploq u?selurl IPqDIB {?Ilnur Iununs{Bru rnluel ueurotu uelpnluo{ uBp ,€'s'€I reqtu?c Bped BuBqrepes-{oleq u?3ue1ueq qe8uel-qe8uel
Ip unurs{eru Jnlual ueluotll u?{nluel
-
'dn>1nc rIBIqepns eles ue8uzlueq q?8uel-qe8uel Ip tuntuls{Blu rnluel uour -our :lesJueurloq qeplepll {ellnru runur1s{Btu rnluel ueruoru qeloredureru eqesn 'uBr{rrrrep Suei( snszl {nlun'urN)tT'l6L e\ O6L \rep e,(ueq e.(utelru le{3uru -evt sll rp rn1uel ueurotr 'efuueue>1 Sunfn Ip NIt8't=(20€'g)91 reseqes lopq uped eler-r8eqrel u?qeq qequleueru ue8uap e.&q?q 1?qllral qelledep 'ce'S'El r?qrrr?C
r?qlu?g uelSurpuequreu u?8ueq 'tsn4stq (c) ue8uep 57,'g'tl : ur.N>t
z'l6t
oot-(sol't)ffi=sztlIPfl ur 869'8
:r
0: zxt€ft't + xtt'6t -zz'87.t = rA,#frfi (s4.1
tilyep
depuqrel tl1effivfl.l
uoutotu)-
8I (9'9 + x ( s41
Br)oz + GT,'z+ x - 8I)091 + zl z$
-
depeqrel nlL efi?vtq I M \rcp uoulotu)
9'9I)91
- rvy = s71 !p fll
'tunruls{eur Isllureq s4.1 rp rn1ue1 ueurolu B8ilulqes uauto147 (q) 'ru'N{061 qelepe ue8uelueq qe8uel-qe8uel Ip runurs{Blu rnluel uetuotu e;I?IAI
cZ'S'tl rpqur?C eped xu?{nluel ')lqlnu wnuts4out n1ua1 'tu'N{061
= ue8ueluaq qe8uel-qe8uel tp ;,g
'qrue8ued-srre8 uep
seqeq-Bpueq
:epoleu enpe4 ue8uep 'uu8u?lueq qe8ual-qe8ual lp sh ue3ue6
urN{ t8, -
ue8ueluaq qe8uel-qe8uel 1p
7,9
'qnre8ued-spe8 uep (i(poq aerl) seqeq-?pueq :epoleu enpel ue8uep 'ue8uelueq qeiuel-qe8ual lp vfil ue8uaq
6I
I't\:I. iil:11'Ill \Yi1'Jn \Y{] 1I1'rllYClllld
Si)1
i
20
(a) Balok-sederhana
(D) Garis pengaruh untuk
Ms
(c) Momen lentur maksimum mutlak
20
kN
40
kN
di @
40 kN
o____@__o
..
G
:::,:: Momen lentur maksimum mutlak pada balok Contoh 13.5.2
(d) Beban bergerak
(b) Momen lentur makEimum mutlak. Dari Gambar 13.5.3d, jarak G dari
W3,yaknix, adalah:
_ 40(E) + 20fl2) -i=-=r6m 100 danjarak c adalah c =E-5,6=2,4m
Gunakan Persamaan ( I 3. 5.2),
t=iL- c lt-2.4 =7'Em Dari diagram benda-bebas pada Gambar 13.5.3c, M di w! = R^(7,8) - 20(nl =
fftz,t)
-
80 = 25t
kN.m
(c) Diskusi. Di dalam kasus ini, momen lentur maksimum mutlaknya adalah 258kN.m, sedangkan momen lentur maksimum di tengah-tengah bentangannya adalah 250kN.m.
Pada tahun 1886 dan 1887 Muller.Breslau tampil dengan cara yang brilyan untuk me-
lukiskan dan mendapatkan garis pengaruh dari struktur statis tertentu dan taktentu.t Pasal ini dibatasi kepada pembahasan balok statis tertentu.
tS. P. Timoshenko, Hisfory of York,
1953;
hal.310.
Strength
of
Materials, McGraw-Hill Book Company, New
'nlueuel sB€ls {opq Intrun I'9'€I l?qulso
nqserg-rellnrl qnESuad ?tueroel
Crt {n}un qnre8uad srrzg (p)
c
uentr?s
c/
0'I:
Inlun
z0
+ I0
,,
qnre8uad srruC (r)
Yy ,tnlrn qnre8ued slru5
(q)
vl
5
Busqrapes-Iol3g
DlfuuD7uap Surn&uo1
(r)
'nqasot ts&un! qDJo wolop uop lnqasal tsaur{ ladwat W uzltblaq Zuo t olotowostal uo ru os-uDqopq fua d uwilDqwa w
uDp ru! FSun! qap uo\qoqaslp SuDt uDSuulill unlsndoqSuaw uoauap qapodtp wdop ruuauat sgzls yopq Dpod nnluglp Suort ls&un! ruDrc lruun qnnSuad slng :ln1rJoq pEuqas uu>lelefulp ludep nluegal spsrs
{oleq {nlun nelserg-ralnw qnrutuad Btueroal wef
'qz'9'tl Isqtusc uped ueplnfunilp
cW uetuap qe.rea BuEurrBBBqas 'g3 eped etralaq Suel cW uap VC eped ufte1eq flue( tuseur-Eursuur z0 uep t B utEurqas edru uer4urap'Js z0 1 t 6 uenles-qere'ueqeqn uBIIJaq
:qz'g't l rBquIBC uped uu4rlnfunltp eueunetBqos '9, eped efre1eq BueA cl uep 73 eped ufra>1aq flwA cA ueSuap qerees tuseur-Eurseur 'uelnltuesreq Suef Euolodral {I1l}-{lll u?IrlBsrueur tuet( uunles->pru[ tre4peq lvy ue8uap qureas Eue[ uunles-uuqtpudrad lrg{rJe{ (7) uelpnurel iefuuaurour-uuuuqe} uulsndsq'Inluol uoluolu >1n1un ie^uEuzlut tuolod'tueluq efet 4n1un lu{uuundurnl u?p Ioleq 1o1tue'Is{Bor Inlun (I) uBI?plptutzelEue{lBH'pBJ l=zg+ I6e8Eurg}nqesral -ueu?q?1
:tI?lBpBlnqasrolsnsu>1 et11a1
rpuas le4tue8ueu uep, Ip Ipues qenqes tuesutuau uetuep qaloredrp ludep (p1'9'91 nq -ur?C)J rp rnlual uotuotu lnlun qnrutued suug 'gz2 uutueq re[efas de1a1 r37 ue>fiuep -as u?nles nles luru[ zped qusrdroT z3 uep t3 uEEuIQ uet8eq enp tpuluaur ?{uu?{qssltu -aru u?pr lp 1opq Euotoureur ueSuap qeloredrp ledep (a1'9'91 ruqutg)P rp ree aB e{et .ql.g.tl rqurBc epzd uellrqgradrp uuuurp8eqes 'uenles nles 1n1un qrue8uad srrug p$urles e,(uuendunl rrep efulu4tueEueu ue8uap qaloradrp pdep'o1'9'EI JequrBC IrEp ?lreqrepas-{opq eped tuedes'ts>1eat 1n1un qnreEued slre8 'nelselg-ra11n1,t1 lrunue6
xvugcuss Nvgsa Nvo HnuvcNsa sluvc
TZ
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
22
Teorema ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa nilai-nilai Y pada Gambar 13.6.lb hingga d masing-masing sama dengan ,Ra, vc danMs pada Gambar 13.6. 20. Sehubungan dengan reaksi, sebutlah seluruh sistem gaya pada Gambar 13.6.?a me' ngalami gerakan balok sebagai benda-kaku pada Gambar 13.6.1b. Kerja-semu totalnya haruslah nol karena resultan sistem gaya tersebut bernilai nol'
W = Re(* 1,0) - 1,0(Y) + Rr(O) = daripadanya
0
Y:Re
13.6.1)
(
Sehubungan dengan 26,, sebutlah kedua sistem gaya yan1 bekerja pada bagian kiri dan kanan dari Gambar 13.6.2b mengalami gerakan benda'kaku AC dan CB pada Gambar
13.6.Ic, maka
w
:
RA(o)+
vc(cc,)-
"(#)
+ RB(o)- 1,0(Y)+ vc(cc:)
-
:o
"(#)
1,0 kN
(a
t
) Balok-sederhana
v(
R.
ur( fr
l\ +
(b) Dua bagian dari balok-sederhana
daripadanYa
-! ffn
Gambar 13.6.2 Diagram benda bebas (free body) untuk kedua bagian balok-sederhana yang memikul beban-satuan.
y = Vt.
(13.6.2)
gaya pada Gambar 13.6.2b mengaSehubungan dengan M6" sebutlah pula kedua sistem maka 13'6'ld, lami gerakan benda-kaku AC dan CB pada Gambar
w
:
RA(o)- v(cc') + Mc(0r) + RB(0)- 1,0(Y)+ V(CC',) + M(0,)
daripadanYa
:
Y=Mc
0
(
13.6.3)
FaedahteolemapengaruhMiiller.Breslauterletakpadakenyataanbahwagaris-
"titik tebal" yang diuraikan di garis pengaruh sebagaimani diperoleh dengan metode dengan menerapkan teorema ini' dalam Pasal 13.2, dapat ditinjau kembali secara visual Ra' Rs'
Ms dail
Re' Contoh 13.6.1 Buatlah sketsa garis pengaruh untuk teorema pengaruh menerapkan dengan 13.6.3a, pada Gambar balok statis tertentu dan
Miiller-Bres1au.
PENYELESAIAN Hasil-hasilnya ditunjukkan pada Gambar 13.6.3b hingga e. Di
dalam setiap kasus, kekangan yang disebabkan oleh fungSi yang bersangkutan di hapuskan, perpindahan-satuan yang berkaitan langsung dengannya diintrodusir da-
uBqaq-u?qeq fiqr\B'€Tzn rpluB{?}?{ '3ue1eq urBlup Ip ?/tB8 {qun qnreEued IBIIU'IeIu 'Z'L'el reqtu?C uped uelluqlpedrp 3ue,{ Iuedes uelequral 8ue1eq-z18uur >lnlun 'IEluel {oPq -IoIBq wp lu4rEuad {opq-Iopq InIBIotu e,(r.6unqnq {lgt'{It11 e4 uagepudlp B{areu llnqes.ral ru?qoqral tuu,( Ewluq-apuer rnsng114 uped elro1eq {Bpll lP{osetuus el(u -rln4fuaur tue,( eler-r8eqrol wqaq uep Ior pfue8-pfueE ndunuau le4Euad lopq-{oPq 'l L'tl ftqtu?C upud ue>plnlunlrp tue,{ rlredes rde-e1era1'uep[ uerequraf IrBp snsctr nrBIEp IC 's4rnfnpl uetuep relefos rnfnqrel Euu,( lu4tuad {opq-{opq ndtunuatu e,(u -uenp8 eped w1tre1 {opq-{opg 'u,ttfunqnq {I}Il-{1111 tp Psre^slr?r} rBtIrBt {opq-{opq ndrunuaur rsrs durlas eped etueln Ernleq eltuer-e48uur 'uelequraf Euuleq'a$uer ln1uil 'lr8ueylfuq rIu^\eq rp ue4ErmlueErp 8ue,{ uelelered pep 8ue.( tlredes eduEunqnq 4tp -4r1r1 eped Euns8uel ereces
efte1eq esrq lesndral ueqoq-u?qoq 'de1e Eueleq'ulEuer 1n1u1
nluegel
q1e1g Euulug-elEueg 1n1un qnretuad sFug '4'91
'enures lsls nl?s eped ledepral ei(uuenles -rselor u?p rpues-uendtunl qalo ue{Ilue8rp e,(ulrdefrel-uendrunl' a €' 9' €l r?qureC ?pud 'u?nl?s I 63uqes u?{)tl?wp Irlpues ei(u1rdefte1-uendurnl 'pe'9'El r?qtu?C eped emqeq ue{Ileqred 'e,{useleq rsrpuo{-Ispuol rnedureletu uduel pefte1 u?{JBIq -rp ue6eq e34e1 lrep n{e{-?pueq uelere8 uep 'ue1n18uesraq 8ue.{ $6unJ qeJe urel
'I'9'gI t{oluoJ Ioleq ?p?d nqserg-relln4 qnruBuad
cr{/ {n}un qnru8ued srre5 (a)
eulejoel ueuunSSuetr €'9'€I JBqurBS
Cy
1n1un qnre8uadspug (p)
E D
5
sU' {nlun qn&Sued sueC (r)
Yy Inlun
mfuqlp
qnreEuedsu?C (q)
SuBd
IoI?8 (r)
xv'usgugs Nvsss Nvo Hnuv9Ngd sllrY9
8Z
ANALISIS STRUKTUR LANJ TJTAN
24 Balok-pengikat
Rangka-batang utama
canlal-rel
,f,Rel
rT
\Balok-pengikat
Potongan transversal
Gambar I
3. 7,
I
Tataruang tipikal j embatan jalan-kereta-api.
yang bekeda secara langsung pada titik-titik hubungnya dapat secara mudah dihitung dan diplot sebagai
titik-titik tebal pada gambar itu.
Persoalan yang masih ada ialah me-
nentukan gaya di dalam batang ini akibat sepasang beban-satuan yang bekerja pada balok-balok pengikat sejauh x di sebelah kanan La. Melalui proses pemindahan, balok lantai di Ia memikul sepasang gayayang sama, masing-masing sebesar (1,0) (p - x)lp; dan yang diI5, masing-masing sebesar (1,0) (x/p). Pada gilirannya, beban-beban diZa ur
u2
,rj
u3
L2
L1
L4
Ls
(a) Rangka-batang yang ditinjau
!q
.-__--____=
,-)1----=_
/ (D) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang {12L3
Gambar 13.7.2 Garis pengaruh di antara
titik-titik
hubung yang bersebelahan pada rangka-batang
urelep Ip Eue.( rlrodas '3uu1uq-e13uer nlens uep rlerrreq-rnsnqrlel eloSSue urepp rp e,(eg
Euuleg-ulEueg uBp rueqaqral
-IBI
rnsnq11sl eped
Sunqnq4lll
1p
unuF{BI4{ mlua.l ueuol4l
lnlun unuelF) 6'tI
'ntr rnsnqllel elo8Eue ue8uep ue -depeqreq 3ue.,( Eunqnq-{1l1l Ip runturs{?tu rnluol uetuotu >1n1un tlradas eIUBS se}B-rnsnq -r1e1 uloffilue derles uulep rp resoqre] un1e1-e,{eE uelluqqeEueur Eue,{ ueqaq rsrsod uent -ueued
{nlun turuJolr.r4 'e.,{ueuaru) 'ruBqoqrel 3uu,{ rnsnqlpl eped Sunqnq {l}l}-{l}l}
rnlual uoruoru
>1n1un 8ue,{ ueEuap Bdnros s?tr?-rnsnqrpl e1o33uu
Ip
ledurael 4n1un qnre8u
-ad sue8 uer>lrtuop uu8ueq 'rI'8'EI r?qtuBg eped ueEuolod epoleur ue8uep ueluuru8ued rnl?larrr ue{rl>lnqrp ledep eueurre8zqas '2212 ue?w4ue{ }npns qEIEpB p :ue8uap 'o ces vep zTrn Euefuud ueEuap aq\p z7 Sunqnl{->J1llt Ip rntuel uoruotu uuEuep u?{llu>lrp
ue8uep
et;u:es
'zO lr2 ruelep
p
Euef tlredes '.sele-lnsnqllel elo8Eue urelep
p
e.,(ug
'ueppuop 8ue,( snsnl {nlun Frnt ->lruls rresrslleue8ued urel?p Inqunl uB>l? uelrrurue) 'ue>llrul t8uulnSSueueu ehalaq ue4e 3ue,( puoEurp nlus efueq '1nqesra1 ueluqurel Inplotu Eue,( 1de e1ere1 tlredes leqerrdn '3ue1eq-e48uur eped e,{usegu
rnsflq[?]
e1o33ue u?1ep rp u,{r8 :1n1un qnreSued
srrtC I'8'€ I ruqueC
z2 t2 Bueleq urulsp ?fBB {n}un qnruSued slre5 (q)
er90'r Suedureuad opolew
-
(r)
nBfulllp 3uei( 3uz1eq-u>13ueg (a)
tu8r=tu8@9
-+l' Htzntnl I tn) n
(zn
dnprq-ueqaq ulod-e1od 1uqr4z e.{u1p1 depas epzd 'uE8utqas 'Eutleq-ul8uer qe8uel-qutu -el rulDles 1p Sueprq-Euuprq zpud uuluun8tp ledup epueE puoEztpluuo8etp 'resaq Suef uelequraf 3ue1eq-e4Euer uEIBp tq 'uuEuuef eloEEuz I I uep 'quttuq-rnsnqqel uloEEue l?dua ?p? 'rI'8'€I rcquruC eped 3ue1eq-e>18uer {nlun ureue 'su1e-rnsnqrrcl uloffiue
rnsnqIIBI upud Eunqnq{}lll
1p
'Euelug-qtua1 Irup 1uuqeq.tal tuntur$pr{.rque.I ueulolt {qun unlrall.Dt 8'€I
'snrnl qBIsruBq 3ue1eq-e43uer nlsns IrBp uelpleqesreq Eue^( Eunqnq
{I}I}-{11} ?r?lus rp qruetuad sgeE'r IrBp r?awl ls8uq ue>pdrueru sule tp
('r{*)
(r'r'€ r)
ro', l +
(',()(-j-,
-J
(o' r )
:
/
lepu euorsx
(
'qZ'L'il reqru?, epzde4 ncuEueu ueEuep'e1uyr1 '(dlx)(O't)uep dl@ - d) (O't) rFIspB Surseur-Surseur 8ue1eq-e13uer dertos uep s7 uup xvuscuss Nvsss Nv(I Houv9Nsd sluvc
9Z
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
26
hubung Uz dibagt dengan panjang U2L2. Asakan titik-titik hubung pada talibusur-atas terletak vertikal di atas titik-titik hubung pada talibusur-bawah, bentuk garis pengaruh, untuk momen lentur atau untuk gaya di dalam talibusur-bawah, tetap berbentuk segitiga sederhana, dan metode untuk menentukan posisi pembebanan kritis dari beban-bergerak yang bersangkutan sama seperti untuk momen lentur maksimum di titik-titik terpilih pada balok-sederhana.
Namun, apabila titik-titik hubung pada talibuzur yang takterbebani tidak terletak vertikal di atas yang pada talibusur terbebani, bentuk umum garis pengaruhnya adalah sebagaimana ditunjukkan padaGambar 13.9.1. Kasus yang biasa adalah bahwa titik-hubung yang takterbebani terletak di tengah-tengah di antara dua titik-hubung terbebani yang bersebelahan. Inilah kasus yang akan dibahas di sini. Garis pengaruh y-g diperlihatkan pada Gambar 13.9. I adalah untuk memon lentur di titik-hubung pada talibusur yang takterbebani, dengan titik-hubung di sebelah kirinya pada talibusur terbebani terletak sejauh z buatr bentangan dari tumpuan-kiri di dalam rangka-batang bertentangan z buatr. Hal yang menarik di sini adalah, dapatlatr dibuktikan bahwa perpanjangan AB dm DC berpotongan di titik E yang terletak persis di bawah titik-hubung U3. Penurunan kriterium untuk posisi pembebanan kritis yang mengakibatkan momen lentur maksimum di U3 akan dilakukan sekarang. Tinjaulah posisi dasar dari rangkaian beban terpusat pada Gambar 13.9.1, dengan; Gr terletak di sebelah kiri dari titik-hubung pada talibusur terbebani yang di sebelah kirinya, G2 terletak di dalam bentangan yang berhadapan dengan titik-hubung pada talibusur takterbebani, dan G3 terletak di sebelah kanan dari titik-hubung pada tali-buzur u3
Panjang bentangan
I
Gl
C.ambar 13.9.1 Garis pengaruh
=p
I
I
G2
G3
untuk momen lentur di titik-hubung pada tali takterbebani
(t'98
ru.Nr ,tztlz : + 9'te)91 + (6's + 9's + sg:i + s't)0, + I'doz: ( qruetued-suet epolau) cn \p u'NI i'ZilZ = I .[p _ (O)OZ (S.S)OZI (Zl)0U = ( EunsEwI ?$ces) ,r,: = zn N '''( s'9)0t + z/r( s )9 I u.r. N)t ,.ZrtZ = lZ'tZZt + g' tgz)i = zn lp N - z7 Ip n | = 7 lp w
w
ru.Nr z'€zzt : (tr)02 -(sr'8)09r -zlzc)gr -(8)0u ru.N{ 9't9zz = (9)02 -(i)0}- (s't)0i-(8)ou
'Z'6'El
r?qureC eped qn:e8ued sue8 ue4leeJllelueu ' r 7 Ip n tU ue8uaq neEuep (€) uep '27 vep I? Sunqnq-{rlll F"p Issereq \$Ed z7t7 ue8uelueq urepp rp u?qoq-u?qeq B{etu 'rur snserl tuelsp Ip Atlr-A 'zn depeqrel ueluolu Euns8uel uq-p rT rp mluel ueluolu-uotuoul IJsp el?J-el?J ereces SunlrqSueur ueSuep
regu pqureEuetu ue8uep
,tuplr
ul
(l)
gil
(O:zl
:?rec e8rl ue8uep 8un1g;p
LtZ*tgi+10 fflt *i3
081
Ooe: r9i ozt
*ie
=tD
=r5
zri+ 00t
pdep z2Ip rnluel uetuol\l ZIZ- z1i+tU
?'002-(8eelt'0=pr'0
+,c
0il =rs
89t =
WPTI uIIrJrellrI 6s1!!.st}.{
z'€6I
=
{ttei6'0: pt'0
tV1 =.5 ofl * tD mt:rri+,0
{tgt
*
esr ={029)€'0=9f'0
r:)
=i9
911
t1A
ti
09=rC
'oi* lc
^1=A " s't nn
rili
0Sl = rD
ItI =.ri+rp
rD
-rC
?gl+',
qupqnuedrel
r1 lp usqeg
'zn ry unulsyDu tnlual uawory (D) NYIVSg-IAlNgd 'pZ'6't l requreg eped ue>1>1nfun1rp Bu?tuJe8eqes B{uSuBtuBd e33urqre1>1u1 fluef' elertteqrel uegeq qolo Ilqlp Suei( epor u?rleq Blurl {q?q-{eloq u?s?lull rygr4e'o7'6'9l ruqtu?C tuepp rp 8ue1eq-e18uer zped z, rp tuntuls{etu rn1uel ueluotu u?{n}uel I'6'€I qoluof, 'trecp Euupes Eue..( rpq:pre1 tunurrslBlu Jnluel ueruoru quppe efqtsuq ?npo>l IrBp resoq q1qe1 8ue[ plu uup 'p{Ip11es1p Ilsaru lul uuu113unuro1 ?npo)'e,tuueuel qqaqas tp undnele e^,(uu14 IIEIoqes P'Wlelral EueI rueqaqrol Jnsoqllel eped Eunqnq-{l}ll Ip ue{teduellp ueqoq r{Bnqes egqude e,(ueq ur46unur IuI pq iglet -au a4 ylsod rrep r{Bqnreq snruq (1'6'9 1) ueuruesra4 uq?p IP xpll4lp 'srlrr1 rslsod Inlun
(r'a'sr)
(,c1
+'D -
A
: (,gi+,e) - (#)
D
:
#
te-'9-9
'uu>pueqropos u?p sslu tp ueuuresrad ur?lep Ip
e = 9 qellnqag
v (#;)'c * ,p
- * - o#- q+ o
[(i
1
_ #t _ uf,c
(-:--)'
*,t
-
e
= Np
'ErylN';,O Dppueu €9 usp'gp pnrnueur z9
I,
'11ce>l leEues Euuf rp qne[es lrpl o{ 1n[ue1 qqal fgr runrnuau uu4>1erafip ueln4Suesreq 3ue.{ ueqaq-uuqeq e>flf 'u.(uuuue>1 qeleqaslp 8ue[ ruuqagrel
'qn.ruEuad suuE epud
yvusS'uss Nvsss NYq HnuvSNsd sluvc
LZ
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
28
u5
5@8
i
m=40m
{
(a) Rangka-batang yang ditinjau
(D) Garis pengaruh untuk momen lentur
di
U2
x= 28.75 m (c) Garis pengaruh untuk momen lentur di Ua 20
kN ,() kN 40 kN.m kN 40 kN
16
kN/m
(d) Beban bergerak
Gambr 13.9.2 Momen lentur maksimum di U2 pada rangka-batang Contoh 13.91.
Di dalam soal ini, dengan W4 di Lr beban terbagi-rata telah memasuki benLrLz; oleh sebab itu, tak ada lagi beban terpusat yang dapat ditempatkan
tangan
di Z2 untuk memenuhi kriterium dari Persamaan (13.9.1). (b') Momen lentur maksimum di Ua. Dengan mengacu kepada posisi pembebanan pada Gambar 13.9.2c,
Gr:180+16(x-16) G::16(8):128 G:180+16x Gantikan nilai-nilai di atas ke dalam Persamaan (13.9.1) dan samakan dengan nol,
? - ro,+ iG, =
(!!t+aXfD - [r80 + 16(r - 16) + i(r28)] : 0
daripadanya,
x:28,'75
m
Untuk posisi ini, R c = 326',3125kN, dan
M di L 4= R(8) - l6(8)'?/2 : 2098,5 kN.m M di L3- Re(t6) - t6(1q'n: 3173,0 kN.m M di ll4= l2Osa,S + 3173,0): 2635,75 kN.m M di U4 (secara langsung) = Re(12) - t6(8X8) - j(l6X8X4) = 25,35,7t **.rn
'1
'0ZZ
'f
'pq'LS5I 'IroA map'r{ueduoS loog
uep SueA 'x
'l
llrH-.,1\prCrgg'sa.fiDnrls to rOoaql ttoluawa1g\aqta tErlII 'uene1-puo8etp ueeunSSued 3ue1ue1 Icuual qlqal 3uu,{ ueseqeq In}un}
'n{Blreq Fq {epll
(t'Ot'gt)
ue?ruesred lur
snse>1
LUBJBp rp EueA'27 {Ill} IleAaleu uaf? u?qeq ntens p,rrpq pcal uuurx8unure>J tuduprel '9 eynd u8r{nuep uep llou qnreEued-4tll rl?^\oloru Euu,( uuqeq enp nBle nles ledeprat u113unur undrlelas 'e 7 Eunqnq-4r111 uedap rp u?qoq unuas dnlvcuau Ilsaur tg 'unue11 'n1 .tequru8 eped uellnfunlrp uueurre8eqos q?pp? (t'Ot'Et) ueur.uBsrod r.uel?p rp uo;eunfip uap 8ue,( Tuup D lerel->1urel'aI'0I'tI rEqurEC eped unllnfunlrp efuqme8u -ed srreE Bue,\'€7zO Eueleq urul?p 1p tuntuls{Bru 4rre1-u^{eE {n1un 'w{Bunfip ledep I?sBd ruBIBp rp ?ueqJopos-{opq uped rnluol ueruou {qun ue{rmrnlrp qe1e1 3ue,{
t'e I
,..-u roDgp-*P
(r'ole r)
erues Eue,( tunlJallr>l' Euuleq'e13uer trep uu8ut-t -e[ uloE8uu ruBIEp rp runurrs{?ru e{e8 4n1un tunlrollr{ 1n43uu,{ueur e.(uuq qnefag 'rueqeqlp ueln48uusreq 3ue.{ Eueluq-elEuur ueuel uefeq B4ra\ snbT upud rpu[re1 estq 3ue,( edu rlrodes eruus II?lBp? Iuuqeqlp uelnlEuesraq 3ue,{ 3ue1eq-u18uur rrr>1 uer8eq Bgle1 .'ILn'qBIuu>IBl?{ 'epud rpe[re1 esrq Eue,{ ede 'o1e61 'e1o33ue dalas 4n1un'ue1n43uesreq 8ue,( Eueleq-u>1Eue: uuuu4 ueduq tuuqeqrueur 3uv1 -ep tuu.{ dnpnr ueqeq nufutuau nlred efutq e1t1 'und uesnrnf'unp uulequa[ {nlun Ue>I -qeq 'ueurulreqBueA epuel ueEuep uufeq unp pflIuretu qnreBuad Euuprq qDIBdy 'uuEuolod epoloru uu8uap Sunlrqrp Eue,( sr1rr1 qnre8uad lBuIpJo ue1ede1e1 laceEuaur Inlun u?{uunEradrp ledep 1u1 uue1e.,(ua11 'uer8uq unp tpefuoru Euulzq-e48uer qnrnlos us>lrlBsrueu 4n1un Euolodlp Ilsotu 8uu{ e}offiue efi1 uu4udnreur nufuplp Eue^ uz8urrel eto8Eue elrlusraq Euu,( 'qeineq rnsnqlle] u?p s?le rnsnqll?l srEluu Euolod-{1t I{E/r?q Ip IDIIuo^ {B}elrol Eue[ 4r1r1 ntens Ip ueEuolofueq a uBp pI'0I'€l rBqtuEC eped qrue8uad sueS-sueE psp srunl 8uu[ uEr1a1 u?p n]?sel s?nr B^tIIBq '4traurnu
qoluoc-qoluoc ruel?p rp seEalradlp uelu eueuruEeqas 'ueltleqredrp 4n1un >llJ?uor\l 'a uep
p1.01.t[ ruqure5 uped'p1tdr1
Br?ces 'up>ll?qrtradrp ufuupl luuo8etp Euesed ?np uep Ie{Itro^ uloS8ue Suesedes 1n1un qrueEued sueS 'dnpru uuqoq l?qpF und Bde u,{e8 eulraueur ut>18unur {?pll nll qe8ua1 -qe8uol rp {?lolret Buefr e'IeO l?{rue^ eloSlluu'uu4eunErp >lupll luul(Elpuo8ep e>p1 'rI'0I'€I reqrueC eped ue>l4nfuntlp eueure8eqes LIEIEpB (sf n rrep) r7t11 SunlueE -Euad urepp rp u,,(eE >p1un qnre8uad srreg'SI'01'tI rBqIIr?C eped ue1luql1redlp euuur -m8eqes 'qe,neq qslaqos rp e,(u4ecund ue8uep ?usqrapos e8tlt3as {nluaqrog (s7s2 nep) t2o7 Sunln-e1o38uu tuel?p rp efu8 lnlunqnre8uad suBB'uBBuuB[ u1offiue II-o{ I]B(I 'prydr1 8ue1eq-el8uur mEuqes Euepuudrp qeloq B^Jn>l {ntueqraq u,(use1e-rnsnqqel uu8uap uu8ueluaq tu?ue I{qlueur Euu.,( 8u4eq-e48uur 'uusulefuad uenfn1 1n1un'I'0I'EI rBqIuBC epud uepln[un11p Euz[ rrup lrunr q1qa1 Euu,{ resaq Euuleq-alEuur 4e,{ueq undqsepq
Euuleg-u1Euu6 lrep ue8ugel eloEEuy urepp Ip tunuls{Bl4l ufug 1n1un
utngelpy
6I'tI
'w'N>lt'ZiLZ qel?pe e?rl bA Ip tuntuls{etu rnluel uotuotu eleur'uu -srunf-?np ssluq-nlel ledeprel e>1tf 'unurup 'tu'N{St'S€92\eppe tn rp uep 'u'N{ 7'T,VLZ r1elepe z1? rp unufis{Blrr rnlual uetuotu eleur'ut4 e{ uPuP{ uep uesnrn[ -nlps splrnl-nlBl uuprppue{ tnlepp ledep er(ueq rur uelequref e\q '$n48tQ (c) 'ur.N{ 9l's€92 = (szgsto'trt)9t + Gz6'z +
;Ll'z
+ 9zo'z + sLg'lDot + GL6r0)02
:
(Itrru?tued-srre3
apoletu) bn lp hl
x\/ugcusa Nvsss Nvc HollvcNsiI sluvc
6Z
rl 30
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
t
r *
t i,
i
L, 8
L4
L5
m=48 m
Rangka batang yang ditinjau
-|a=
-r,1785
(D) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang Z6 U1
(c) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U1L1
(d) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U1L2
L -ftffil'". a= -o,s76i (e) Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U2L3
Gamba 13.10.1 Garis pengaruh untuk gaya di dalam anggotajaringan dari rangka-batang.
contoh
l3.l0.l
rentukan gaya-tarik maksimum dan gaya-tekan maksirrum di darangka-batang jembatan pada Gambar 13.10.2a akibat lintasan bolak-balik lima beban roda yang diikuti oleh beban terl-ragi-rata yang takterhingga panjangnya sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.lO.2d.
lam batang u2L3 dari
:-Jiuad
sgp8 u?p ?ureln sIrBE uBI8Bq salpe{ u?tuefuedred-uetuefuedrad B/(q?q ueEuep u?{n{EIIp 1n[uu1 rpqel ue{ecetued 'e7?7 aep
-rie.iue1 uelrleqraduatu
:-l:-? 8ueleq ueiuufuedred erelue Euolod-1pr1 depeqrel uaruoru Sunlrqlueur uetu -rp'ue8uolod apoleu ml?leru qeloredrp e{usr1lrq leurpro SueA'ay91'EI rBqIu?C uep 3ue[ rgades ?ru?s qZ'SI'€I reqursg eped eTzp Euulzq u?pp 1p ede? >1n1 -un qru?8uod
slreg '€Tzn wrlop tp wnu$1r)u
41.tot-o,(og
(z) t{VfVSg'IAINAd '
8ue1uq-u>18uur
lrr-p €7Ln
3ue1e
q ruzpp Ip unuqs{Brs u?Iel uup
I'0 I'€ [..rloluoJ ulepp Ip
{u4
oi(?C
egI'€I
DqUtuC
4ere8.reg ueqes @)
uS'tluf IluS'tluS'tl tu 0'Z urlN{ 9t
Nt 00 Nr 0t Nr 0r
N)t
0t NI 0z
tn€Tfluratagruqup rp efet 1n1un qnre8ued slreC (r)
"
aa.!t
-
E77n Sue.wqurepp p,(e8 lnlun qnrutuad sFeC (g)
"
nefqlp
3ue,( ftre1zq
c.rff- =" "qffill-
qBu?U (r)
l
rt,,
tn
,n
xvuscusg Nvsea Nvc Eouv9Nsd sluvo
T8
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
32
berpotongan di titik di bawah pusat momen yang digunakan di dalam metode potongan. Posisi pembebanan kritis pada alas segitiga pada bagian kanan dari garis pengaruh diperoleh dari tabel berikut. Beban
di
L3
?ldatam L2L
+= "ffi:o,lreoc
11 dalam
L2L Terpenuhikah lztitotirrm ? kriterium
20
Tidak
55,7
60
Ya
0,r 190(492): 58,5
100
0,1190(436):51,9
Wt
0
Wz
z0
0,
Wt
60
:
il90(468)
Tidak
Dengan W2 di L3,
*o:16,r8f 12+ t$Q!Beban titik-hubuns di
,,
2,25)+2oQO
:8i,13
-!:J:1:3IL-8m
=
=
5
Hitung momen dari gaya-gaya pada penampang kiri terhadap titik-titik potong ar:l,ara
UzUx dan LzUs, 137t33(40)- 5(56)
-
:0 UzLr : 102,40 kN
U:L; cos 0(64)
(tarkan)
20(0'l 198) + 160(0'2832) + l6('(0'234375X18) u2lr(metode garis pengaruh)-
:
102,40
kN
t,rriLtltl
"
(b) Gaya-tekan maksimum di dalam LtU+. Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang LtUq yang diperlihatkan pada Gambar 13.10.2c dapat diperoleh dengan pemikiran yang sebaliknya dari Gambar 13.10.2b. Posisi pembebanan kritis pada alas segitiga pada bagian kanan dari garis pengaruh ini diperoleh dari tabel berikut. Beban
di La
) 1 dalam
L3L.
+:
Wt
20
"H#=o,zzszc 0,2292(340) : 77 ,9
Wr
60
Wt
100
ll
dalam
L3L,
Terpenuhika
kriterium?
60
Tidak
0,2292(364) = 8t,4
100
Ya
0,2292(388) = 88,9
140
Tidak
Dengan W3 di La, R0
-
l6(11,5)'?/2+ 160(16- 0,75) + 20(16+ 3,5) 48
Beban titik-hubung di
- "l
1r:19C-4-141J) = 16,25
Hitung momen dari gaya-gaya pada penampang kiri terhadap titik-titik potong antara U3Ua dan L3La, 8
LrUr =
-
l(88)
-
I 19,58
16,25(64) +
kN
Li Ur cos o (64)
:
0
(negatif berarti tekanan)
'rI' I I't I rBqtus0 urBlsp
Ip
c
u?8uop ?IuBs
rI' I I'€ I
rBqurBC ur?t?p Ip
^'r'rrele 0=
rpefi1ou q?lsruBq
(0'I ueqepuldra4)
rI'II'tI
r +(,{) (6'1 e,(e9) -
r?quBC Ir?p seJ?les w?p?e{ ur?lBp Ip uelnlEuusreq Eue{
B{erar,u ueqepudrad-ueqepurdied ue8uap s?1? ry lnqesJe} suqaq ?puoq-Bpueq 71-o1 eped u traleq Buetl e AeE Entuos eJ?lug uerp>pad IIBIun['nures-u Fo>1 dsuFd uuldere;'Eunqnq -{IU} delles 1n1un trnseur-Ernseur (selpoq ear;) seqaq'epuoq'Bpueq 71 rpe[uauul'I I'€ I &qur?g pep uetuuqunese{ rsrpuo{ lrerIrl?sltueru ue8uep 1n[ue1 r4qa1 uu4ulnqrp ledup requr?C tuspp Ip g uetuep ?tuus qI'I I'€I rcqtuug urBIBp Ip ,1 sarleg
,I'I I'g
' z' I 1p e tlet rnluel uoruoru \e>l H I I ue8uap uures ledal e 7 z 7 Etlr-pq tu?pp 1p u,{eteuarul'p'l'g'tl JBquBC I{elo uB{sDlnpp eueurreEeqes zn Ip rnluel uauotu {n}un qnrutued suut ue8uap ue{Eulpu?qlp er epqedu Euulqure8 rpefuaur e7z7 Euuleq uupp rp u,(ufl >1n1un qruetuad sFut I{BIBpB gI 'I I'€ I r?qur?C ?1r'qgg '(g=) twleq-elEuur rflllqt ruqur?C eped zg 4 tp :ue8uap 'zn >{ytl rBll{es 38772
rteqlp nenlus g'g ue8uep ev,ns
qZ'lI'gI
e,{ueq sele e{ rnsnquau ledep ef,uqea?q'rnsnqls} eEihnqx }acuadral vr.lle u?u?{ r{Blsqes 1p efuurel wp zTxn uDI qBleqes rp n18s 'lnqesIe} trnluq-altuer ue6uq
snpe) .rrgnl3s
u?p u? 1 redecueur uBlsnrel 8E6qq gr uep c e,(et Eu6edes unpfratueur Suolouaru ueEuap qeloradp ledep a1 ' 1 I '€ I reqruuC eped 3ue1
-1n>lEuesroq Euu,( 3uu1eq
uq-elEuur Vep E7z7 Eueleq ur?Iep Ip efuE 1n1un qnru8uad spuE'rsurpnlt teEuqa5 'uoryDs I Dsaqas (doYaao) uo -1*na1 po!4 otrluttl o,(utuaq owos Suot( o,bt Suosodas uoSuap uotrru1?uostaq tuot( tuolodtal ]unln-flunln Zuquau uop rutw11p Euot( tuoloq Suorcwaw uofluap qa1 -otadtp Suot( lunqaqpl nsnqlpt opod tunqml ,tl1l7-4llq 1n111oa-1s1sod lold gndas Dtat)s ruuauat suots nuo\oq-o4?uot ttop &uo1oq woPp lp o,to? t1ruun qnmtuad s1n9 : ln{IJeq I?Eeqes ue1u1ufutp sslq nluepel sqep 8ut1eq -elEuer {n}un nBlsarg-relllw qnreEued ?rueJoe} B^\r{Bq B>lor spuB ledup 'nlua1ra1 st1 -els >loleq depeqrel efuuederauad ur?lup lnqasrel Btueroel tunum 1u31s 11n46ua11 'nlu01Iel
sr131s
Eueluq-elEuer lml$uufuaur efuuq qnetas 'qnreEuad-euoJoa] epoletu Suequpel 1o13uts qlqol'r'tI IBs?d tIrBI?p Ip unl1?rrup eueure8eqes 'Eunqnq->1t1t1 ledruel-ledrue1 p pEun; rr?p IBqet {nl}-I$Il uolSunqnq8ueu uBSuop Euns8uq opoletu ?^\qBq uulndrulsel rcdec -uetu Bsrq ?pue ,un psud ueteledtuolu q?leles 'nlualJel sr1u1s Eueleq-eltuer dupeqrel efuuedereued ur?pp lnqosrel ?tueroel IruqBsqea>l un14nfunlp uur[B IUI psed uepp tq 'nluoDlel srlels undntl? nluauol sllBls lsJlsroq tuer( Teq 'n1u1 alEuerol usp 'Euuluq
-elEuur ,1opq :rn14nr1s ?n1ges depuq;al ualdurelp ledep ut eESulqes efurunun nlfaq rur Brueloel 'eftruee1u,(ue{ u?lB(I 'nluollo} sllels >loleq qnru8uad sInE-suBE IBnSIA uJ?c
-es qeloredruetu {nlun erec rcEuqes lequ?Lrueg nulsalfl-Iell!}N qnre8uod sluoroel suetu -reEeq uellntunlrp qe1e1 '1g'tl qoluo3 tuEIBp Ip Bur?1ru01 uup '9'€I IEsBd urepp IC nluarel q1u1g Bueleg-e16uu5 {qun nelsarg'rellnru qnruEua; Bureroal I I'€I
'lere8req tuef lesndrel ?por ueqeq-ueqeq qrue8ued 1n13ue[uau e{ueq qnefes '11>197'39 1 reseqes ryre1 tneT Auepq tuBIBp Ip -ez(u8 e1 N{8S'6II r?seqes ue1e1-ufe8 u?p q€qrueq BsIq nele E7?,n 8uu1eq ruBIBp Ip efe8 'uesrunf-?np u?luquel >lnlun '!sn4811 Q)
NI 8S'6tl-= D SOJ
@)
+ (0rxrs€r €.0-) + (02)(r r tzt'0-) (qnre8uad-sue8 opoleur) tn t'J
>rvussugs Nvges Nv(I HouvcNsd sluvc
88
34
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN ul
u2
u3
u4
us
L
L
1\N/t/ L
L
(a) Pemendekan
lrZ,
sebesar 1,0 satuan
(D) Bentuk talibusur-bawah,01+
0r=
1111
(c) Beban-satuan di titk-hubung Za
Gamba l3.f 1.l Teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk rangka-batang statis tertentu.
l3.ll.l Untuk rangka-batang statis tertentu pada Gambar 13.11.2a, pertama-tama didapatkan garis pengaruh untuk gaya di dalam batang U2L3 melalui definisinya sendiri, dan kemudian tentukan lendutan vertikal semua titik-hubung pada talibusur-bawah akibat penyusutan sebesar 1,0 satuan pada panjang-batang Contoh
UzLt. PENYELESAIAN Garis pengaruh untuk gaya di dalam batang UrL3 yatgdiselesaikan melalui definisinya sendiri, ditunjukkan pada Gambar 13.11.2b. Lendutan vertikal semua titik-hubung pada talibusur-bawah, akibat pemanjangan sebesar -1,0 satuan pada batang U2L3 saja, diselesaikan melalui merouj geometrik dengan menggunakan LoUl sebagai anggota acuan dan menerapkan persamaan perpindahan titik-hubung, Persamaan (3.6.2). Hasil-hasilnya, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 13.ll.2c, sama dengan ordinat-ordinat pengaruh pada Gambar
t3.tt
.2b.
EsIq .rEseq wqal EuEr uEleqtuef BpBd 'rd?I 'Psro^su?I} 13ld ndunuauj B/(uw4IIE epsd .suru11-qe1 ueEuap rulelos Eue^'purpn16uo1 {oleq'{opq leduprel efueq uqEunu .?ue-i .tr!a{ 'efudepuqrel srunDfeEol {Blelre} tuei( 1o1 Wqol Euel{ elter-uepf uuluquret {qun -eq ndurnuaur ufuurnun eped Euedouad->1opq 'u,(usnsnq4 ilopq upedp?p reseq qlqel Swdouad-1oFg s^\rIEq uB)t?l?{Ip qelledep 'Jr}BIer BrBcas 'Irlpues IJIpJeq tusutu'tup -eur egqede Euedoued-4oPq uep {ol?q ?r?luz e1u,(u ueepaqred epe >[Bpl] 'Btueued 'ruI lrullroq uulselafip ve>le Tuotn nutq uup twl -uDd u\Su7lual qeIIJq e.,(uuopunErp uesslY '..?III?]n B^In{-BAIn{.. IJep I4pIOl tdUl 'Sru nluoD{el sl181s Eledoued ,.tueftred ue8ueluer-ue8ue1uor.. uep IJIpIol {EpIl stre8-streE 'n1ua1re1 sqeN IoPq:1n1un qradas {BpII -n1 sueS-syreE
-{opq ns}E >loleq {nlun qnru8ued
nluaplel snBls {ole{ 1n1un qnretuad slrug ZI'€I
'nulserg -reII.r.lW qnre8ued eureroel uu8uep €.Tan ZuewgII'I"tBp
e7z2
eped
0sz't+ '0
9Z'l+'0
802'0-'0
0'0 -gdl-:5
0't -
lp e,(z8 1n1un qn're8ued sge5
Z'll'El
Dqrlleo
ueq"purdred (,) = a treqpl? Sunqnq-11111
Ltt'0+'0
zro'i:-0
€€8-o:'0
0sz't+'0
Ltt'o-'8Lz'o+
802'0+'8tz'0+
ZW-t-=TEdt
€€T-5:-8tz-o+ '0
0sz't+
osc,'t+
sz9'0+'0 Ltt'o-'o saT;n rrrG-d 0'0
802'0-'0
8025:5
0'0
,----q'O \sz'l+
929'0+'qLZ'0+
sz9'o:-8tz5T
osz'l+
'0
Ltn'0-'8Lz'o+
0'0
05
0'0
8oz'0-'8tz'Gr
LwE-aFo+ mZFEZmr '0
eTzn flur-wq urEup Ip s,(z3 Inlun tlnreiued sreg (g)
Ltt'o-
929'O+
'ne[up1p Sued tuuluq-e13uea (z)
tn
zn
rvuscusa
98
NYAgS NVO HOUVCNSd SIUV9
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
36
terdapat dua balok-penopang utama longitudinal, masing-masing pada setiap sisi jembatan, yang menumpu balok-balok lantai yang ditempatkan pada jarak yang sama di sepanjang bentangan utama. Balok-balok lantai tranwersal pada gilirannya akan menurnpu balok-balok longitudinal, yang sering disebut balok-pengikat, yang pada gilirannya akan menumpu geladak jembatan. Pada jenis yang pertama, garis-garis pengaruh untuk kasus statis taktentu akan berupa kurva kontinu di seluruh panjang balok (disebut balok karena lak ada pembanding lain), sebagaimana ditunjukkan oleh kurva penuh pada Gambar 13.12.1b. Pada jenis yang belakangan ini, bagian-bagian pendek di antara titik-titik hubung tempat balok-balok lantai bertumpu mestilah lurus, sebagaimana ditunjukkan oleh garis terputus-putus pada Gambar l3.lZ.lb jadi garis pengaruh yang bersangkutan tidak memiliki "rentangan-rentangan panjang" garis-garis lurus, tapi mereka terdiri dari bagian-bagian yang lurus dan pendek dalam bentuk "kurya-kurya utama" di seluruh panjang balok-penopang (disebut balok-penopang karena ada balokbalok lantai yang masuk ke dalamnya). Pembedaan antara garis pengaruh balok dan garis pengaruh balok-penopang telah dilakukan, persoalan berikutnya ialah menguraikan cara menentukan ordinat-ordinat pengaruh di titik-titik terpilih pada bentangan. Tentu saja, untuk balok-kontinu duabentangan pada Gambar 13.12.1, ordinat-ordinat pengaruh di
titik
L, 2,4,5, dan 6 da-
pat diperoleh masing-masing melalui penganalisisan balok untuk lima kondisi pembebanan, yang masing-masing mengandung beban-satuan tunggal di titik l, 2, 4, 5 dan 6. Penganalisisan ini dapat dilakukan dengan salah satu metode yang biasa, seperti metode persamaan tiga-momen, ubahan sudut, distribusi-momen, atau metode matriksperpindahan. Hanya di dalam metode yang terakhir kelima kondisi pembebanan tersebut dapat ditangani sekaligus dengan menggunakan matriks empat persegi,panjang [P]. Metode langsung ini boleh kita sebut metode deftn*i-gais-pengaruh.
,^1234561
4ffi
(a) Balok atau balok-penopang yang ditinjau
-----
jika beban-satuan bekerja langsung pada balok jika beban-satuan bekerja pada balok-penopang hanya di titik-titik hubung
(b ) Garis pengaruh
Gambar
13.l2.l
untuk momen lentur di
I
Garis pengaruh untuk balok atau balok-penopang statis taktentu.
Contoh 13.12.1 Untuk balok-kontinu dua-bentangan pada Gambar 13.12.2a,hitunglah ordinat-ordinat pengaruh pada setiap selang 2 m dan buatlah sketsa garisgaris pengaruh untuk R n, Ra, R c, M4, M s, dan M 5. Andaikan bahwa beban bergerak yang bersangkutan bisa bekerja langsung pada balok.
PENYELESAIAN Balok yang ditinjau dianalisis untuk lima kondisi pembebanan, masilg-masing mengandung beban-satuan di titik 1,2,4,5, dan 6, dengan metode matriks-perpindahan. Penganalisisannya sendiri tidak ditunjukkan: hanya hasilhasitnya digelarkan pada Tabel 13.12.1. Apabila beban tersebut dikerjakan di,4, B, atat C, ia membebani langsung tumpuan, menghasilkan nilai +1,0 untuk reaksi di bawah beban tersebut tapi tidak menghasilkan sesuatu lainnya di dalam balok itu sendiri. Garisgaris pengaruh yang bersangkutan pada Gambar l3.l2.lb hingga g.
tuetauau Euntn rp (rudat Ernr( rqsru Brsrau ueurour rnEuap) T}s?Id ,,qruelr uralaltueru '{ur1 ueEuep unuoleroqul tu?pp qaloredlp IIDtos qspnu ,rrr*-1"arp otlZl.€t Ip J?q.'BC rr,p nr[]uo{-4opq eped I.y qrue8uod sFeE .qoluoc re8eqa5 .quag 4n1un -{81 srl?}s 40pq eped rs{Bor'rs{eer qrueEuad suuS pluau4radsla uenlueued *pp ,{rr" neFerg-ralJnw qnle8uad Duaroel uep. turluad qrqal Euur( srl4urd usuerad nsr{Ewreg nluel{Bl srlu}S IolBfl {nltm nulserg-ra[nn qnre8ue; Bureroel .t
02908'0+
ut889't
+
1968r'0- 8€€29'0-
SaLZL'O+
s?srs'o-
08t61'0+ 69t l€'o+ f.Lttz,0+ 0tl0t'0+ 80ezr'0+ z8t8t'0+ 0196t'0+ gtttt'o+ tsts6,0+ tpt60'0- ,8S9t'0- 9{9f I '0-
t
I
I
rN
6e61510l16?9'0* 'L6stil* ?e185'0rr3r00-
.n
916920:.
.
i6i90'0' ifgt['0+
S86Ztt-
vrtr
t.I
st$tz':s+
.l9IS€10+ x698t'0+
Yll rp u?nl?s uuqrg
I'C I'€
I qoluoJ uped lopq {qun I'ZI'€I
queftred leurprg
I
.Z
I
.t
I leqel
r{o}uoJ eped qoluq 1n1un qnruBuad srre5 9.71.91 .Equcg
Cy 1n1un qnru8uad srreg (p)
slry
Inlun
8y
qn.rs8ued sueC (E)
r1n1un qnru8ued
sueg (r)
a
utnlus 6'1 = rp + rg
I/y Inlun aN \ntun qnre8uad srreg
uBn|?s
Q'[
=
qnre8ued sFug (g)
(,f)
261 t6 ne[u11Jp 8tr?i(
&
Y;,9
Io{eg (r)
I tu8=urZ@, ltu9=tuZ@fl Jy sa va
1n1un qnreSued srrug (a)
sn
A
L8
sy,t
xvueruss Nvsss
t
),^
lsw
NY(I HnuvcNad sluvg
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
38
titik-titik B dan C di
antara paku-paku, dan kemudian mengangkat kelem tersebut
se-
tinggi 1 satuan. Karena baloknya sendiri bersifat statis taktentu hanya berderajat dua, sekali lagi ketiga garis pengaruh untuk Ro, Rs, danRg, sebagaimana ditunjukkan pada Garnbar 13.12.2.b hingga di diperoleh dari pengukuran di laboratorium, kecocokan satu sama lain di antara mereka dapat ditinjau-ulang. Sejauh hanya menyangkut garis pengaruh untuk momen lentur di A, B, dan titik 5, sebagaimana ditunjr,kkan pada Gambar 13.12.2e hingga g, metode Muller-Breslau bersifat sama. Sebuah sendi dipasang di titik yang bersangkutan, kemudian sepasangM dan M (dan sepasang V dan I/ untuk titik 5) dikerjakan hingga 01+02 sama dengan I ,0 satuan. Maka teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk balok statis taktentu dapat dinyatakan persis seperti yang untuk balok statis tertentu. Namun, untuk pembuktiannya, tidaklah lagi mungkin kita terapkan prinsip kerja-semu terhadap satu atau dua bendakaku terbatas. Kondisi keseimbangan dari Gambar 13.12.20 harus dibagi-bagi menjadi benda-benda bebas yang panjangnya kecil sekali yang banyaknya takterhingga. Kerjasemulah, yang dilakukan oleh semua gaya tersamarata yang bekerja pada benda-bebas ini, yang mengalami perpindahan-perpindahan yang bersangkutan dalam keadaan selaras dari, katakanlah, Gambar 13.12.2c, yang disamakan dengan nol. Jadi, + (Rs) (perpindahan + 1,0)
-
(beban 1,0) (Y) = 0
atau
Y padaGambar 13.12.2c =R6 pada Gambar 13.12.2a
(r 3. I 3.1)
Kerja-semu yang dilakukan oleh semua gaya tersamarata adalair nol, karena hal ini selalu terjadi secara berpasangan pada permukaan-permukaan yang bersebelahan dari dua benda-bebas (free body) yang berurutan.
Bukti untuk Persamaan (l 3 .l 3 .l ) dapat juga dilakukan melalui penerapan teorema kerja-semu timbal-balik sebagaimana telah dibuktikan di dalam ksal 4.3, dengan menyebut Gambar 13.12.2a sebagai sistem P dan Gambar 13.12.2c sebagai sistem Q, yang keduanya diterapkan pada balok tanpa tumpuan di B, meskipun lendutan di B pada balok di dalam Gambar 13.12.2a tetap bernilai nol. Maka,
P*AQ:Q*Ap -(1,0)(y) + R6(1,0):0 Perhatikan bahwa kerja-semu yang dilakukan oleh gaya-gaya di dalam sistem Q yang mengalami perpindahan-perpindahan di dalam sistem P adalah nol. Bukti yang sama berlaku di antara sistem P dari Gambar 13.12.2^a dan sistem Q dari Gambar 13.12.k, yang keduanya diterapkan pada balok dengan sebuah sendi yang dipasang di titik 5, meskipun garis singgung di titik 5 pada Gambar 13.12.2.q tetap kontinu. Ordinat-ordinat pada setiap dari keenam kurva elastis pada Gambar 13.12.? dapat diperoleh baik dengan metode gaya ataupun metode perpindahan. Jika metode gaya digunakan untuk menentukan kurva elastis pada Gambar 13.12.2f . kita akan perlu menentukan M, pada Gambar 13.13.14 yang menyebabkan ketakkontinuan garis singgung di B sebesar 1,0 rad. Jika metode perpindahan digunakan, persoalannya adalah mendapatkan kurva elastis terakhir mulai dengan salah satu dari dua kondisi terjepit pada Gambar 13.13.1r. Jika metode gaya digunakan untuk menentukan kurva elastis dari Gambar 13.12.25, M5 dan Vs pada Gambar 13.13.2a'mesti diselesaikan dari kondisi bahwa terdapat ketakkontinuan kemiringan sebesar 1,0 rad tapi kekontinuan lendutan di titik 5. Jika metode matriksperpindahan digunakan, matriks P harus ditentukan dari salah satu dari dua kondisi terjepit pada Gambar 13.13.2b.
Ip uenlEs Ieuorselor
uPnurluol{elaI {n}un
uBr8seledued urE?p urE
spolew
'IRrl
SuEPquJes
z'€,|il t"qtu?c
tldefrel rsrpuo{ en( :usqsptndrad epo}eN (q)
+.=*^,#*:*^ pe.rgil\J V it 'd o'tj
_
''tIgl
=x,n::1-"I7Z
=tow
'rd
td
pBr 0'
I uEnurluo)I)lelei uelqBqei(uau Suel sA
s
A vep
s
N :Bd?t epolal{ (r)
sA
vJt E_
\, tw
\-/tw
'ueueqaquod rspuo{-rsrpuo4 uep durlas depeqral e>{I}B1s uederauad rnluloru qelo -redrp ledep u.{uute1 qnre8uad srie8-srre8 uep '
I'eI'€I
mq
Itdafra] rslpuol
uEnr4luo)plslal Inlun u?Iesal
-ofued urq?p UIE apot?H
:uequpurdod epota1 (q)
#h,. =ww:ffi+
rBqtuuC
=nn
€
-.-J-,'IEN
per 0' I u?nrn tu o)plqerl w {qB qef
i=--t - =tiry ''I3IZ
=ZoW
ueur,Y
ep
n*lrn*
^r,
oleH ( r)
y':--Jlu1 J,G 8n sN
68
Z4
xvugcugs Nvsas Nvcr HnuvcNsa sluv3
r ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
40
{ { {
13.14 Garis Pengaruh untuk Rangka-Batang Statis Taktentu versus TeoremaPengaruh Mriller-Breslau Teorema pengaruh Miiller-Breslau untuk rangka-batang statis taktentu, sejauh hanya menyangkut gaya di dalam batang, dapat dinyatakan persis seperti yang untuk rangkabatang statis tertentu. Keuntungan menggunakan teorema ini untuk memperoleh garis pengaruh gaya di dalam suatu batang sembarang, ketimbang metode definisigaris-pengaruh, tidaklah seberapa, terutama apabila rangka-batang yang bersangkutan masih memiliki reaksi-reaksi kelebihan atau batang-batang kelebihan meskipun batang yang garis pengaruhnya akan ditentukan telah dipotong. Di dalam kasus rangka-batang yang bersifat statis taktentu hanya secara eksternal, akanlah memudahkan kalau garis-garis pengaruh, hanya untuk reaksi-reaksi kelebihan, ditentukan melalui teorema Miiller-Breslau. Kemudian, setiap garis pengaruh lainnya dapat diperoleh melalui penerapan statika terhadap setiap dari kondisikondisi pembebanan.
4.l Uraikanlah suatu prosedur untuk memperoleh garis pengaruh B3 dari rangka-rangka statis taktentu pada Gambar 13.l4.la.
Contoh l3.f
PENYELESAIAN Kerjakan gaya-satuan ke atas di titik-hubung'3 dari rangkabatang statis tertentu tumpuan-antara. Lendutanlendutan vertikal semua titikhubung pada talibusur-bawah ditunjukkan pada Gambar 13.l4.lb, dengan: 6;7 adalah lenclutan di titik-hubung ke+ akibat beban-satuan di titik-hubung ke7 pada rangka-batang sederhana. Kemudian dapatkan garis pengaruh untuk R3 pada Gam' bar 13. 14.1c dengan membagi semua ordinat pada Gambar 13.l4.lb dengan 6 33.
I
1,0 kN
Rtz
(a) Rangka-batang kontinu dua-bentangan
(D) l*ndutan vertikal akibat beban-satuan di 3 dari rangka-batang sederhana
titik
(c) Garis pengaruh untuk R3 pada rangka-batang dua-bentangan Gambar 13.14.1 Garis pengaruh untuk reaksi pada rangka-batang kontinu dua-bentangan
I
0I'€I
uep
9'€I
uBqrlB'I
g.sI.€I leqtupc
6'gI u?p s'tI usqrr?'J S'9I'tI
I?gurBO
's?qeq-epueq !:.:
-
rr
::fl [
-neruqru?8ued-srrB8apoleu ue8uep {1uq 1ul r?lru-r?llu uerlledeq'rl't'€l rpi=?- r.-nrrrl uu>11nfun1rp Bu?u{B8eqes ?l(utu?fusd e8:,ulqrel{€l 3u?^ Elpr-I3pqral ueqeq r:;: ---rr'rr:ll 8ue{ zpor u?qeq eturl {IIBq-{eIoq u?se}url Nqrne cN uep'cr, 'Yy Irep Issu?! :T.ilirr:.run ue{nluel '8'SI'€I et6uq g'SI'€l r?qtueg eped eueqrapes-Ioleq {nlun 8'f t r r ;':
,'€I usqp".I t'sl'fl rvquBc
u?qrt?T
lN ,?A,oN .oA./N.vd
tN .rA,?N:1A o{
t'gI u?qp?'I c'sl'EI rDquDg
z'€I
)w tJA.vN,td
z.sI.€I lgqurec
)I'€I usrlp?'I I'sI'€I
)w,rN.:1A,8A
Dqur8c
ru8
I
(poqleur ,{poq aerg) segeq-?pueq opolatu undnur -,fran,,
1n1un qnretued s--i+':ril urmunr -ruB6'?'SI'€I e88uq 1'91'61 r?qtupg eped n1ue1rel srlels {oleq {ruu-l t:. : , ulrrrrrlr
1l
uE{pq : XVUSCUSA NVSSS NV(I F r fi€it&!
T?
-
Nmufli
l7
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
42
24m Gambar 13.15.7 Latihan 13.7
l0m Gambar 13.f5.8 Latihan 13.8
t-
13.9 danl3.10 Untuk balok-sederhana pada Latihan 13.5 dan 13.6, tentukan momen ientur maksimum di pusat bentangan dan juga momen lentur maksimum mutlak akibat lintasan beban bergerak yang sama seperti yang digunakan di dalam Latihan 13.5 dan 13.6. 13. I I dan 13. l2 Tentukan momen lentur maksimum mutlak pada balok-sederhana yang masing-masing panjangnya 12 m (Lati[an 13.11) dan 18 m (Latihan 13.12), akibat lintasan empat beban terpusat yang sama, masing-masing sebesar 40kN. Jarak antara dua beban yang bersebelahan adalah 3 m.
13.13 s/d 13.16 Tentukan garis-garis pengaruh untuk balok statis tertentu di dalam Latihan 13.1 hingga 13.4 dengan teorema pengaruh Mijller-Breslau. 13.17 dan 13.18 Tentukan momen lentur maksimum di U1 d,an U5 (Latihan 13.17) serta di Ug (Latihan 13.. l8) untuk rangka-batang di dalam Contoh 13.9.1 (Gambar 13.9. 2) akibat pembebanan yang sama di dalam contoh itu. Tentukan momen lentur ini baik dengan metode garispengaruh maupun metode benda-bebas (free body method).
13.19 dan 13.20 Tentukan gaya-tarik maksimum dan gaya-tekan maksimum yang bisa bekerja di dalam batang LsUl (Latihan 13.19) dan batang UtLz (Latlhan 13.20) untuk rangka-batang di dalam Contoh l3.l0.l (Gambar 13.10.1 dan 13.10.2) akibat pembebanan yang sama di dalam contoh itu. Tentukan gaya batang yang bersangkutan di dalam setiap kasus baik dengan metode garis-pengaruh maupun metode benda-bebas. 13.21 dan 13.22 Tentukan garis-garis pengaruh untuk gaya di dalam batang UrL2 (l-atihan 13.21) dan di dalam batang UzLz (Latihan 13.22) dari rangka-batang di dalam Contoh 13.11.1 (Gambar l3.l1.2), pertama-tama melalui definisi mereka sendiri dan kemudian dengan teorema
p
engaruh Mii ller-Breslau.
13.23 sld 13.28 Tentukan setiap dari keenam garis pengaruh pada Gambar 13.12.2 (atau pada tabel pengaruh dari Tabel 13.12.1) melalui teorema pengaruh Miiller-Breslau, dengan menggunakan metode gaya. 13.29 sld 13.34 Tentukan setiap dari keenam garis pengaruh pada Gambar 13.12.2 (atat
pada Tabel 13.12.1) melalui teorema pengaruh Miiller-Breslau, dengan menggunakan metode perpindahan.
'IEralBI rmdnrna p{Iua^-uuqeq uesngeuuEued 1n1un uuleun8tp I}seu uB{B erues tuul rBsep 'Ir86eqr -qy1 3ue,( Eunqnq-{}I} reEeqes nelu eurndures-ruPl Eue.{ Eunqnq-{I}4 IBEBqes us{ -npadrp u,(u8unqnq {I1}-11}l} IIeIos '?[es n]ual '02 qBB urEsp Ip s?qBqlp Uu>P m1r:l -qetuales ue8unqnq ueEuap n1e1 e46uera{ sFII?uY 'ue1Eeqes undnul? sulndrues'uBn)P{ -e1 ue>irepueEuaru tue{ slsryus lr?p u?{lIsBWp Euef uotuotu In4tuelu {n}un lrteseptp ludep uro1o1-a>l-{oleq uuflunqnq 'uleq tslnrlsuo{ lu?lep tq 'e,{uresaq eures EUBI tse]or ruele8ueru gDIB eures Eue,( Sunqnq->l111l Ip nualroq Euu,t uro1o1 uep {oleq Sunfn'3unfn {IlIl-{91 'Euelnlraq
utlluqes :ru[B{ reueq-reueq 'stltlouotu lBJIsJoq Eue,f' 'e(v?unqnq
uoloq lqrulsuo{ urEIEp tq 'uu6eqas-op4 zfulupllas ne}e 'rup1 Sunqnq'lllll pEBqes uB{rBpu?Ip tlsaur e,{uEunqnl{ {lllt-T}r1 '1ern11nr1s uespryeue8uad uupp 'rroa1 urepp ue{qunq Ip 'nll Euere) 'uolo{ uep >loleq ?r?lu? Ip uetuotu'u?I{e} EUB^ ueEunqnq (InEus lEqlt? -urau eEEulqes .efuurolol-ruolo{ Bped uetuotu uup 3uu1ur1 eAeE epe llsalu e{uuserq .prelBl u?qeq-uBqaq Inlm }d?I 'u[es prs>1u e[eE-eKeB ln)Irluatu uB{? uslpnlu -a1 Euu,{ ,ruo1o4-ruo1o>1 epud ndunlraq Suef eueqrapas lolEq-{oPq ruSeqas uEsepIP
ledep pluosuoti {opq-{ol?q 'p{IUe^ ueueqaqued lnl8ue,tuaru e,{ueq qne[ag 1u1Ern1-enp
'1.1 nl r?queC epud ue>p1nfun1rp Ewl( 4redas uep uutuulueq-uEr1 r4gwaru Eue,{ tunpaE e16uere1 q?PpB IsBJ}sqI {qtrn Eue,{ r8llurl uep uetueluaq rndelap et!h4r{
usql[d'Wqel
nB]? ]B{EuIt
0, '0g uep lrlprq
ruBue rrep urpral Eue,( reqol I4rgtualu BsIg Iu1 6tq} lq8u11req Sunpa8-EunpaE eltue-t -ay'uedep a>l rru-096I unrpl Irep lurnqru]s wsrqpuuEued *itp sunl Breres {luorqala relndruol ueeun8flued tunleqes rpel'qn1nd enpe{ p?qB ueelnured 4efas un8uuqlp usP lnqes1p Euues 'rffiut1 'resaq Eunpet-tunpag
'uluseplp 'srsqeuetp
qqol '1fu?l-ru4ecuad
4edueg-1u$u;peg u:puera; IrBP Iurarq usp turllpe1-uuqe{ slsIIBuV
I'9I
YYANYg-IVXCNIIUgg YXC|{YUSX NYSISITVNYCNSd
IAIVTYC NYIYXgONgd flCOIgW
SVTflfl
IYdI IS
svs
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
44
l4.l.l
.Kerangkagedung yang memiliki tiga-bentangan, dua-tingkat.
Gambu
Sehubungan dengan kasus umum pengandaian semua titik-hubung pada kerangka
bertingkat-banyak sebagai titik-hubung yang kaku-sempurna, analisis yang bersangkutan dapat dilakukan dengan metode ubahan-sudut distribusimomen, atau metode perpindahan matriks. Karena kemudahan komputer elektronik, metode perpindahan matriks lebih disukai, meskipun metode distribusi-momen dapat juga diprogram pada komputer. Namun, selama bertahun.tahun, metode-metode tersebut di atas, disebut analisis elastis dengan metode eksak, barryak memakan waktu dalam penggunaannya, kecuali untuk tinjauan terakhir struktur setelah beberapa percobaan dalam proses pendesainan atau untuk kasus-kasus yang takbiasa. Meskipun demikian, telah ada metode-metode pendekatan yang dikembangkan dan berhasil digunakan, terutama untuk penganalisisan bebanJateral. Inilah tujuan dari bab ini, menguraikan metode-metode pendekatan ini agar mereka bisa terus bermanfaat dalam pendesainan awal; mereka juga bisa membantu penganalisis dan pendesain untuk secara lebih lengkap mengerti dan memahami lembaran-lembaran keluaran yang sangat banyak dari penganalisisan elastis pada komputer.
14.2 krajat Ketaktentuan
versus Jumlah Pengandaian
Derajat ketaktentuan merupakan salah satu karakteristik yang dimiliki oleh suatu struktur; ia tidak tergantung kepada pengandaian (yang mana pun) yang digunakan dalam penganalisisan, seperti pengandaian panjang anggota yang tak bisa bertambah. Dari sudut-pandang metode perpindahan, derajat ketaktentuan A? dari suatu kerangka kaku sama dengan NF-NP, di mana Nf' sama dengan dua kali jumlah anggota dan ly'P adalah jumlah rotasi dan goyangan-ke-samping yang takdiketahui dari titik-hubung. Dasar untuk pernyataan ini telah digelarkan di dalam Persamaan ( I I .3. 1). Ringkasnya, untuk kerangka kaku seperti diperlihatkan pada Gambar 14. I . 1 , yang takdiketahui bebasnya adalah momen-momen di ujung-ujung semua balok dan kolom, karena gaya-gaya aksial di dalamnya dapat diperoleh dengan persamaan-persamaan keseimbangan resolusi di titik-titik hubungnya. Dari ke-16 persamaan keseimbangan resolusi yang tersedia di kedelapan titik-hubungnya, 2 buah telah dipakai sebagai kondisi goyangan-ke-samping di dalam penyelesaian dengan metode perpindahan, tinggal 14 buah persamaan untuk ke-l4 gaya aksial yang takdiketahui. Dengan demikian, jumlah yang takdiketahui bebasnya sama seperti jumlah momen-ujungnya, atau 28. Jumlah perpindahan titik-hubung tersamarata yang takdiketahui adalah 10, 8 buah dari antaranya berupa rotasi dan 2 buah lainnya berupa goyangan-ke-samping. Derajat ketaktentuan 1// adalah NF-NP = 28 - l0 = 18. Sesungguhnya, rumus umum untuk 1/1 bisa diturunkan untuk kerangka bertingkat-banyak sebagai fungsi dari jumlah bentangan dan
jumlah tingkatnya.
Dari sudut-pandang metode gaya, derajat ketaktentuan adalah jumlah gaya keiebihan tersamarata yang bekerja bersama-sama dengan beban pada struktur statis tertentu dasar, yang diturunkan dari struktur statis taktentu yang ditinjau, dengan memotong atau membebaskan di tempat-tempat kelebihan. Untuk kerangka kaku dari Gambar 14.1.1, diulangi pada Gambar 14.2.1a, satu pilihan yang mungkin untuk struk-
\
rBdBp e{upos rrepsalarued B{Bru 'lnqesrol rnl{nlls u?p .,trut usEueluul.. uefuep uBll?>l -raq lsflqlp ez(u4elueq euus Euef uurupueSued B){If 'IoIBq qBltun[ 11e1 g ueSuep ?ru?s eluuun1ua14e1a4 leferap B^\qBq efuurnlaqos psed uepp tp uelseEelrp \ryPI 'Dltll Eue,{ tuadas Inl?ret >p,{ueq-1e1Eur1req nfuero>l Inlun rejur?D ,P{lue^ IrBqeg slsllBuY tnlun uuppuuEue4 g'71
,
I ll
I
lL-*-
:p:g _TTrl.[un1rp . , 1, ;:."., 'r' i r: r u,:r , ::j:1.: j.; -t
)rlrrii
sN * gN *€
:
)
'l i
i
[sN- + sN * (t + slr)] - [(t + sf\i) *
'u,(uumleqes eueune8eqes
sN+sN*gNlz: dN-CN:IN 'ueqepurdred
epoleu {n}un .u?slsrleuuSuad urepp efet apoleu urp SunsEuel w{unJntrIp IUI snurnu
SN*dN*€=1N
0'z'vt)
:r{EIBpB rnleJel r8esred 4efueq-tel8utpaq elEuure{ n13ns IrBp 77\1 uen1ue11e1e1 lefur -op lrup ueEueluaq qeltunf m8uqes 5r1,r {eltnqeg qelurnf re8eqas ite{3uti E{Bru SA/ n?lu'e8Euor qulurnfrle>1 € qBIBpB t,{uuen1ua1>p1e>1
'8I
1elurep'rEe1 uelas'uetpnura>1
inlt requre8 eped dnlngel e33uor tu?ue
1BI{II
eT1'Dl'Z'll
r?q1ggc uped lrdalra1 uendrunl-uendurnl ereluu rp ue{qeqruglp u,(uresaq efiluqra14e1 Euur( rnlualuun{B>lo{ ueEuep p,(uq1-uloE:lue eE11 e411 'e8r1 1efureproq n]uetr>l?] sll?ls lqlsJoq dnlnual EueleE-ne1t effluolrn14ruls nl?ns ?^\qeq uel4nfunltp uuly pt8unl u88uor nles treSuep dn1n1re1-ul8uBJo{ sNIIEIIB >lnlun {ococ Eue,l'e,le? apolotu qBI?pB '8I ru13 e,(u1o1od uped g1 q?g tuBIBp Ip ue>ll?rnlp ue4e 3ue,( uo1o1'tSopuB opolary
'Iol8qqEltunlW>t
'ut8uo]od tsrs E q?IBpB uIBI 1el u,(uuenlual{Ble{ 1elurep 'u,(uuuere;1
Bnpa{ rp eues Eue,{ p{lua^ u?lnpuel u?p pluosuoq slsq?uu uep ue8uuttue4 qelepe e,(u -rrgsenlase{ rsrpuol ueEuap 'mrlete{lpryl Eue{ Suesed uE11 ledeprel ue8uolouad detlos Bp?d'{opq enures qetual uefeq rull{os tp ue8uolourad-ue8uolotued ue8uap qlz'nl r8qrueC rrBp lB{luo^ re^ellluB>l rnl{nJls ludruael uBIl?qfleur JBs?p nluauo] sl1?]s rnl 'ei(z8 epoleu lnpns F?P nuflq{p u"n}ue}Iutel plelcq y7'91 reqursg
'wqlqelal
Suused 91 uep rrcqaq
3ue,( rusup
In4uretu nlueuel s[€ls rnunrls (q)
L,,L,,
:r:L
tuel rnl)InIls (r)
nu[u111p
*_-JA_
q =t1
---.-_u
...
9?
@
z--
=tE
V)ICNVUAX NVSISI'IVNVCNSd IAIV'IVO NVI\rISCINAd SCOI:IYT
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
46
I
+0,500v2
:
h"t'
*nr,
t46L
0,t46L (a) Kerangka yang ditinjau
(b) Diagam momen optimum
I
,k-
l-
lrQJq6L \ < o,
0,146L
t+et
=0tl46L
(c) Tempat titik-belok yang Gdmbar 14.3.
I
diandaikan
(d) Tumpukan kolom
Pengandaian untuk analisis beban-vertikal.
diselesaikan melulu dengan statika. Sejauh hanya menyangkut pembebanan terbagirata vertikal pada semua balok, diagram momen-lentur untuk setiap balok harus berbentuk seperti pada Gambar l4.3.lb; hanya momen di ujung-ujungnya berupa yang takdiketa-
hui. Untuk bentangan-dalam tipikal, kedua momen ujungnya mestilah hantpir
sama,
dan, jika balok yang bersangkutan terbuat dari baja denganpenampang tegak yang tetap, distribusi-momen yang ekonomis di sepanjang bentangan akan menghasilkan momen positif dan negatif yang sama, sebesar **L'. Di dalam kasus ini, titik-beloknya terletak
pada jarak O)46L dari kolom. Untuk bentanganJuar, titik-belok di dekat kolom-luar bisa terletak pada jarak yang sedikit lebih kecil dari 0,146L darinya, dan yang di dekat kolom-dalam bisa terletak pada jarak yang sedikit lebih besar dariO,l46L darinya. Jika penganalisis, dengan menggunakan intuisi atau pengalaman yang lampau, hendak menentukan tempat dua titik-belok secara sembarang pada setiap bentangan balok, derajat ketaktentuan struktur yang bersangkutan dikurangi dengan 2 kalijumlah balok. Akibat pembebanan vertikal, reaksi-reaksi horisontal di dasar-dasar kolom biasanya bernilai kecil sehingga gaya-gaya aksial di dalam balokjuga bernilai kecil. Jika pengandaian lebih lanjut dilakukan, bahwa gaya aksial di setiap balok adalah nol, maka derajat ketaktentuan struktur akan tereduksi lebih lanjut hingga noI, karena jumlah total pengandaiannya kini adalah 3 kali jumlah balok. Pengandaian-pengandaian terdahulu telah dibuat, bagian-bagian balok di antara titik-titik belok dapat didesain sebagai balok-sederhana tanpa momen-momen ujung, dan
tumpukan-tumpukan kolom dapat didesain sebagai struktur kantilever sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 14.3.ld. Di dalam cara ini, suatu desain pendahuluan diperoleh sehingga momen-momen inersia nisbi dari semua balok dan kolom akan tersedia sebagai masukan dalam penganalisisan yang lebih ketat. Dalam kenyataannya, letak-letak titikbelok, juga besar gaya-gaya aksial, sebagaimana ditentukan dari analisis yang lebih ketat tersebut, dapat dibandingkan dengan yang digunakan di dalam analisis pendekatan. Informasi seperti ini dapat dikumpulkan dan disimpan pada arsip di biro pendesainan, untuk penggunaan di kemudian hari.
IErelEI wu?qaqured rulslzSueur 3u3d lBrtuPq-l?{SuQreg
Ie)IIdr}
e{tu?Ie)
I'r'rI
luqu?c
urolo) (r)
CI
\_t
UI
te)fldll {otBg (q)
Isralsl uEusqequad leqrls rsBrlroJep u3d?33u?J (r)
*q J
_l_
L,
seleq ledurg 'rrcnluel{?lol 1efzrap ue8uep e,(u4e,{ueq erues 'uewpueEued g1 ?pE INaIU 'ueqepurdrad nele e,(BB opolau qalo u?{ueqlp Eue{ uen{?{o)t urc1es'efus B{IlBls InlBJoIu reqtueg eped tlEuere4 {nlun Pretel-u?qoq uesnquueEuad refu 'l?luosrroq uuruel tuuluq
uu{n{BIIp
I'r'rI
-e,(e8 ueu4nurred szle Ip plol lurolsl ueqaq ueEuep BIUBs snr?q le>Fqt Bnpe{ uep Bnues qumuq Eunln-Bunfn rp pluospoq uumel tuelug-ufu8 qupunl i(eloE8uu Euntn eped durlas uped
uolo{
';
e.(urs1e epeda4 nce8uau uelurnrefqerees uep ueIurnrelqure us^\31 uerpaEuad) urel urruefqerees lopq-8unfn uetuou IIJeunu q?1urn[ ueEuep stuus snruq ueI unref qe:u -uB^\EI ruolo>1-3un[n ueuroru >lrraulnu qEpun!'Sunqnq-{-Ill} uedelepa>1 Fep degtes IO 'I :ln{ueq rcEuqa qBIEpB
lnqesrol e{rle}s uueuesrad 0I-eX'uenlual>[e]o{ 1eferop m8eqas qunq g1
ue:pt
0I u,{wq rdel seqeq ml{elo{Ip>p1 Euu{ tunfn-uourou rBqtuBD epud ue4eqllradrp tuel( e13uera1 {n}un
-Surueur 'e41e1s ueuuresrad qenq
rpnq gZ ledepral
'lynt
'1o1uq derlas upud loJaq'>1411 nlus 1udup.ra1 iu{uueue>1 8un[n-8un[n rp se1e a>l uep ulurrr4 tunfn-Eunfn Ip qezrreq a{ IETUo^ lreil\e1 'uref urnrel qeJsas leJlsroq lopq-Euntn uaurotu enuas '€ Eue1u11-e,{e8 ue4psuqEuaru
.uolo{
derles eped
loleq-T1l
nles ledepral iefuqemuq Eunln-8unfn Ip FI{ e{ u?u?{ Ir?p leluostrot{ ue,$e[ Euelurl uulpseqEuau'ursf unref qere uu8uep uBuBAtBIreq uro1o1-3un[n ueuour snuras': -e,{e8
'IrDr IrBp 8u?rsp Euu{ pra1u1 uuuuqaqurad r1n1un uref urnref qe.rees lsJlsreq Sunqnq {I}I1 ls?lor enue6 lse1e'1a1Eu1 a1 qemeq-1u1turl rr€p ledac luEu lnfrnuaur Euduns-e1-uetuur(o8 rusag : ?slo{s lrsp m{n)Islrp ledup tDlrreq wluuretuad
'I
'I'n'vl requng rped
ue llntunlrp uueure8u qes'Jpeuen{ BrBc as ue>lsllnpp rede p IBr elsl u?us qequrad ruupfu -aur Eue,( rnleral >Jefuuq-te16ur1raq Eunpat e4Euere4 IrPp IszturoJap uzp efeE uudut8uel
IBrelrl-uuqafl slsguuv {n1un uqspuBiued ....
LT
,'tl
YXCNV)IDI NVSISI'IVNVCNSd I^IVTVq NVIYIAONSd AOOIIX
r
T ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN
48
dari pengandaian-pengandaian ini adalah bahwa titik-titik belok terletak di titik-tengah dari semua kolom dan balok. Keempat pengandaian lainnya, dua buah untuk setiap tingkat, menyangkut nilai nisbi gaya-gaya-lintang di dalam balok. Ada tiga balok di setiap tingkat, nilai-nilai nisbi di antaranya Eaya-gaya lintang di dalam mereka dapat berlaku hanya untuk dua pengandaian bebas. Secara umum, sebutlah -A/B sebagai jumlah bentangan dan 1/S sebagai jumlah tingkat, jumlah balok adalah 1/B * 1/S, jumlah kolom adalah (,r/B + l) * r'/S, dan jumlah titik-belok terciri (PO adalah JumlahPl = (1/B *1/S) + (I/B +
l) x i/S
(r4.4.1)
gaya-gaya lintang balok di setiap tingkat memberikan (NB andaian bebas per tingkat; maka jumlah pengandaian tambahan adalah
Nilai nisbi
Jumlah pengandaian untuk gaya-lintang nisbi balok = (1/B Junrlah Persamaan (14.4.1\ dan (14.4.2), Jumlah total pengandaian = 3 x (1/B *1/S)
yang sama seperti derajat ketaktentuan
NI
- l) buah peng'
- l) * NS (14.4.2) (14.4.3)
yang diekspresikan oleh Persamaan$a.2.1).
Telah ada dua metode pendekatan yang terkenal untuk analisis bebanJateral pada kerangka bertingkat-banyak: metode portal dan metode kantilever. Metode portal dikemukakan oleh Albert Smith di dalam makalah "Wind Stresses in the Frames of Office Building" di dalam Journal of the Western Society of Engineers (April l9l5). Metode kantilever dikemukakan oleh A.C. Wilson di dalam makalahnya "Wind Bracing with Knee Braces or Gusset Plates," Engineering Record (September 5, 1908). Pengandaian penempatan titik-titik belok di titik-tengah semua balok dan kolom dilakukan di dalam kedua metode ini; perbedaannya adalah di dalam cara pemberian nilainilai nisbi kepada gaya-gaya lintang di dalam balok. Di dalam dua pasal berikut, setiap metode akan diuraikan dengan penjelasan tentang mengapa masing-masing dinamakan demi kian. 14.5 Metode Portal
Di dalam metode portal,
semua gaya lintang di dalam balok dari tingkat yang sama dian-
daikan bernilai sama. Kerangka berbentangan-tiga dan bertingkat-dua yang telah digunakan sebelumnya untuk ilustrasi ditunjukkan lagi pada Gambar 14.5.la. Di sini garis-garis kolom ditandai dengan A B, C, dan D, dan garis-garis balok dengan 1 dan 2. Diagram benda-bebas diagram kerangka dari puncak kolom ke tengah-tengah tinggi kolom pada tingkat kedua dan kesatu masing-masing ditunjukkan pada Gambar 14.5.lb dan c. Dari pengandaian dasar bawah gaya-lintang tetap di sepanjang setiap garis-balok, kesimpulan lebih lanjut dapat ditarik: l. Terdapat gaya aksial tarik dan tekan yang sama besarnya pada kolom'luar yang menyongsong angin dan kolom-luar yang tidak menyongsong angin, tapi tak ada gaya aksial di dalam kolom-kolom dalam.
2. Momen-momen ujung-balok, yang adalah perkalian antata gaya-lintang vertikal dengan setengah bentangan balok yang bersangkutan, sebanding dengan bentangan balok, seperti Lr lL2lh. 3. Momen-momen ujung-kolom sebanding dengan Lt, Lr + L2, L2 + L'r,d,anLa,atau dengan L r/2, (Lr + L)12, (L2 + L3/2, dan La, yang tak lain adalah perbandingan
zp?d uBrupuuSued
.l31jod apoleur I's''I IBgur?g
n]?s
Illll-IIlp
eI lDISurl
DpBd
ulolol loleq
depeqrel seqeq-epueq urBr8pr(
(oA - toY, ne$ (zvY
-
t
(r)
vA)
6 1o1eq-suu8 uep 8ue1ug-u,{e3 urur8erq
I
I
o=rsu
o=rJy
'aH+
'enpa1
,ty
t
tuolol loleq
le>13ur1 Epsd
)illl}-)lllF depeqrel
s?qeq-upueq uler8Er( (q)
1 lzoynele zvy
f ft t
rr
orrq
-r,.
70{
l
;e-l, rp aun1!-FfnF r*SEo
O:zJy
lrd
o=zsy
,.r*! ,'u*! ,**!,,, *! llll__ :O ttep
7 uep ; >1opq-srre8 'J'€r'yuolo{ sr.reo (r)
@o@a YYYY l'7t'11'71 rilr
'uBl{flIrep erE -es Ingtrrrl 1o1tod apolaut BrrrBN 'ruelep-tuolo{ qenqes {n}un ue{npedrp uele uer{Blaqs -raq Suur{ ppod enp rus?p rp l€luosrror{ Js{Eer-ts{eeJ euarol Z'g'fil :eqtuzC rJ"p r{B^\Eq -uetEeq eped ue41n[un1tp Eue{ plrod apuera>1 e&1 rrep rsrsodradns ruEeqas SuepueC -rp rnDlnJF qnrnlas e41f uelnlqrp led?p eurps Euel( usl?ru?Eued 'lunJ-tuolol tuEIBp rp ?ue,( ge>1enp q?lepe urulpp-urolo{ urulep Jp Euu}urJ-u.(eE'eurus e.(u1o1uq uuEueleq-ue8uer
-ueq B>JI1 'Z/nTuep'Zlr7 + 7'D'ZlL7 + t7)'ZlrT ltap uu8urpueqrad tuupp uur8eq luduro rpefueur 6eqlp IB]ot pre]q uuqaq :ueEuop'Z'g'Vl requr€C epud uuuurcEeqx uaplnfunlp ludup Suef snsnq{ 4ru EunpueEuou lnqesrol uelndunsal leduaoy
q c
N
'vxcNvua>I NvslsrrvNvcNsd r^rv'rvo NvJvxaoNsd sooJ,sri
q'
'wolo{ derlas depeqrol lutuosrroq Isuorurp-rsuoulp uep ueEulpueqred r{BIBpe urBI >1e1Eue,{ 'Zlb7 uep'Zl(7 +..0'Zl(7 + 17)'Zlt7 ue8uap Eurpuuqas e8n[ etues rp pluosrJorl uu,ne1 Euelurl er(uE-u{eg 'g 'urolo)t derles depeqrel IeluosFor{ rsueturp-$ueurp u?p
Euel( relEurl epud ruo1o1 q?^\eq Eun[n-Eunfn
''
6V
n d -z
50
ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN
wz+
I oG,*r., l-ry' --T i*-__zLl
'*[._ *_l[_ *ll_*l
Gambar 14.5.2 Konsep portal.
Penerapan metode portal di dalam soal numerik akan cukup sederhana apabila bentangan-bentangan baloknya tetap. Jika bentangan-bentangan baloknya berbeda-beda, dengan mengacu kepada Gambar 14.5.1, langkah-langkah berikut dapat diikuti :
l.
Selesaikanlah untuk memperoleh Eayagaya aksial di dalam kolom-kolom luar dari setiap tingkat dengan rnenerapkan persamaan momen terhadap setiap benda-bebas sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 14.5.|b danc.
2. Selesaikanlah untuk memperoleh momen-momen ujung-balok
searah
jarum jam di
se-
panjang setiap garis-balok dengan mengalikan gayalintang yang tetap tersebut dengan setengah bentangan balok yang bersangkutah. 3. selesaikanlah untuk memperoleh momen-momen ujung-kolom lawan arah jarum jam dengan menggunakan kondisi bahwa jumlah numerikal momen-momen ujung-balok searah jarum jam harus sma dengan jumlah numerikal momen-momen ujung-kolom lawan arah jarum jam untuk titik-hubung yang sama. 4. Selesaikanlah dari momen-momen ujung-kolom, untuk memperoleh gaya-gayalintang horisontal pada semua kolom dan ceklah bahwa jumlah gaya-Eaya leintang lawan horisontal pada kolom-kolom dari tingkat yang sama, sama dengan beban lateral total di atas permukaan itu.
Prosedur lain adalah dengan membalikkan keempat langkah tersebut, yakni dengan pertama-tama menentukan gaya-gaya lintang horisontal pada kolom-kolom dan menggunakan persamaan-persamaan momen yang disebutkan di dalam langkah pertama tersebut untuk pengecekan.
Contoh 14.5.1 Untuk kerangka bertingkat-banyak pada Gambar 14.5.3a, tentukan, dengan metode portal, semua momen ujung-kolom dan ujung-balok akibat beban-beban laterai sebagaimana ditunjukkan.
PENYELESAIAN (c) Gaya aksial di dalam kolom-kolom luar. Mengacu kepada Gambar 14.5.3b, (Re: atau Ro:XLr + Lz+ (Ra2 atau Ro:Xl8)
=
16(1,8)
Li
= WtHzl2 Rr: : Ro: = 160 kN
Mengacu kepada Gambar 14.5.3c,
L): wr(ur+\)+ wfit2 (Rer atauRrrXl8): l6(6,3)+40(2,7) Rer : Ror : ll,60kN (Rer atau Ror)(Lr +
Lt+
(b) Gaya geser dan momen di dalam balok. Gaya-lintang di sepanjang garisbalok 2 adalah --R4 z = -1,60; gaya-lintang di sepanjang garis-balok I adalah -(Rar - Rez) = -(11,6 -1,6) = 10,0. Sehubungan dengan gaya-gayalintang ini, diagram momen yang bersangkutan diperlihatkan pada Gambar 14.5.4. Nilainilai momen di sepanjang garis-balok 2 adalah 1,60 (I 112), t,6O (L212), l,60
(Ltl2); 1
0,0 (z
atau 3,84, 5,76,4,80. Nilai-nilai momen di sepanjang garis-balok
rI
2), | 0,0 (L z I 2), t 0,0 (L z I 2) ; atau 24, 3 6,
3
0.
I
adalah
'Blrr?s tu€.{ Sunqnq-ry1p rp uzf urnref qBrB u?irrel uo1o1-8unfn ueruoru-ueruotu qqurnf ue8uep ?ru?s'snruq tuef un.ref qerees 1o1eq-3unfn uatuour-ueuroru qulurnf el\q?q rspuol ueleunSSuaur 'lrunl -lnrngeq ?rBces uu{l?salesrp Z uep I {o1eg-srre8 uped Sunqnq >111I1-{FI1 8q11l f urnref q?JB uelr\?I uro1o4-8un[n uourour-ueluou u?Ipnue) 'og'g'tl
-eles rp
ure
uel unJBf {olsq 8un[n ueuroru-ueruoru elntu-elnru 'wo1ot1-Bunln uawory (c)
rDquBC epEd uBlsrlnllp (C) uer8uq eped uB{ntruellp Sued -es
'Iolaq u?IBp rp ueuour uep 3ue1uq-u.{eg :p1rod epotan Z
08'n
-+.
r{?re
,'S'}I [qursg
IoFq{rnC (r)
gL'S o8',
?8't
9t'9
tc't
'rsnl tuolo{-tuotol urelep rp I€rsI€ e,{e5 :p1rod epo}e4 €'S'rI ruqu?C (r)
g(ll = rvu
gill:loy
t
I
@)
g'l=zoY
*ltll *l Irrelq
uBCIoq
0
9'l
q
*l
=
lvy
t-s *l-Ti l.l
rrtrtgt
Inrgrueur SuBf {eIuuq-}313uqreq elSuerey (a)
ru0'9=i7
-N,t
Ol = ',1
NI 9l ='.fl
it ll
6
3
I9
' \/X CNVUA)I NVSISI'IVNVCNAd I^IVIYC NVJVXSCNSd STIOTSI'i
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
52 3,84 I^
3,E4 5,76 ^,A
\_ --)I_
J\_
5.76 4,80
4,E0
^,^ _tr*/\-
\
-)
(io''o
03,84 6f,60
il"
U,,. (l)r,* L
24
24^
C-----\/-!/\- ^16 20,t6 50,40
36^
,+30
1,, l=,, l-,, 5
+
25,20
55,44
50,40
l*
30-
+/\-
I I I I
20116
l*.,
l-*,
18.667
2s20
55,44
(a) Dari momen balok ke momen kolom
l*,,, l*
(D)Dari rnomen kolom ke gaya-lintang kolom
Gambr 14.5.5 Metode portal: Gaya-lintang dan momen di dalam kolom.
(d) Gaya-lintang uiung-kolom: Gaya-gaya lintang lawan di ujung-ujung bawah kedelapan kolom dihitung dengan membagi momen-momen ujung-kolom dengan setengah tinggi tingkat yang bersangkutan. Nilai-nilai ini digelarkan pada Gambar 14.5.5b. Perhatikan pengecekannya bahwa ?,133 + 5,3t3 + 5,667 + 2,667
dan
7,46'7
+
18,66'7
-- Wt = 16,000 r-20,533 +9,313 = W: .l Wr = 56,000
14.6 Metode Kantilever
Di dalam metode kantilever, Eaya-gaya aksial di dalam kolom diandaikan sebanding dengan jarak mereka masing-masing dari titik-berat luas-luas kolom, menarik pada satu sisi dan menekan pada sisi lainnya, dengan menganggap semua luas kolom sama.
Kerangka yang sama, berbentangan-tiga dan bertingkat-dua,yang digunakan dalam penyajian metode portal, diperlihatkan pada Gambar 14.6.1a. Pengandaian untuk variasi linier gaya-gaya aksial di dalam kolom berarti bahwa nilai-nilai nisbi gaya-gaya aksial di dalam kolom sama untuk semua tingkat, seperti ditunjukkan pada Gambar 14.6.1b dan c. Pada gilirannya, nilai-nilai nisbi gaya-gaya lintang di dalam bentanganbalok yang sama untuk semua tingkat, juga ditunjukkan pada Gambar 14.6.lb dal:. c. Nilai-nilai gaya lintang ini adalah yang terbesar secara numerik di bentangan atau bentangan-bentangan tengah balok, berbeda dengan gaya-lintang yang tetap untuk semua bentangan di dalam metode portal. Karenanya, momen-momen ujung-balok, dan juga momen-momen ujung-kolom di dekat tengah-tengah lebar bangunan, relatif lebih besar dari yang di dalam metode portal. Penerapan metode kantilever langkah-langkah berikut :
l.
di dalam soal numerik dapat dilakukan di
dalam
Tentukan letak titik-berat kolom-kolom dengan mengandaikan bahwa semua kolom
memiliki luas yang
sama.
2. Selesaikan untuk memperoleh gaya-gaya aksial di dalam kolom-kolom dari
setiap
tingkat dengan menerapkan persamaan momen terhadap benda-bebas dari puncak kerangka ke titik-titik belok kolom pada tingkat itu.
.ta/ralrlusl Bptd uerupu?8ued
I.9.rI
epoletu rEqurBC
nlEsaI l8{3ur} ?p?d ruolol
{oleq-Il}lt dzpuqrel (zotr _
seqaq-spueq uelBurO
tou)_ t"* -rsv)+(zvy- tr'r)l- (va
(rr
_ t>N
t_
g 1o1eq-srre8 uep Suulurt-e,{e8 ue.r8erq
t
Iuolo{-luolo{ ,nrno-rrorl)
toH*>
I
I
IJy
,od
,'U
'a2I
t
I
enpel leq8ult eped u_ro1o1 IOIEq-II]I1 depeqral s?qaq-ppueq uz:3er6 (q) ,ra _
'ou-
ruoror-ruoror
ioY
tt
irro-ro,
)
oa
zrY
tt
'"H+[ ''r*l
7 uep 1 1o1eq-srre3 '€r 'y uololt-srr83
'q u?p '3
zrY
(r)
@o@@ -tJI,.Y t,'-tillr,tli
#z,h ..
89
VXCNVUS>I NVSISI"IVNVCNSd
nvlv(I
NVMSONXd gcloIstr
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
54
3. Gambarkan diagram gaya-lintang untuk balok pada setiap tingkat dan dari mereka
4.
hitunglah momen-momen ujung-balok searah jarum jam dari tingkat itu. Selesaikan untuk memperoleh momen-momen ujung-kolom lawan arah jarum jam dengan menggunakan kondisi bahwa jumlah momen ujung-kolom lawan arah jarum jam harus sama dengan jumlah momen ujung-balok searah jarum jam di setiap titikhubung.
5. Selesaikan untuk memperoleh gayalintang lawan horisontal di ujung-ujung bawah semua kolom pada setiap tingkat dan cek nilai totalnya terhadap beban lateral di atas permukaan itu.
Prosedur lain akan membalik urutan langkah 2 hngga 5 di atas, yang di dalam kasus ini kita masih perlu menempuh langkah 2 tnngga 5, dengan pertamatama menggunakan hanya nilai-nilai nisbinya untuk mencapai angka-angka pembanding distribusi yang dapat digunakan untuk membagi beban lateral total menjadi gaya-gaya lintang lawan di dalam kolom-kolom. Balok kantilever adalah balok yang terjepit di salah satu ujungnya dan bebas di ujung lainnya; pula, distribusi tegangan di dalam balok bersifat linier, berubah dari tarikan menjadi tekanan di titik-berat Penampang tegaknya. Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 14.6.2a, kerangka gedung tinggi yang memikul beban lateral dapat dianggap sebagai kantilever vertikal; dan, dengan meninjau keseimbangan benda-bebas pada Gambar 14.6.2b, gaya aksial di setiap,kolom, karena kemiripannya dengan balok kantilever padat, boleh diandaikan sebanding dengan jaraknya dari titik-berat semua luas kolom. Nana metode kantilever berasal dari konsep ini.
Contoh 14.6.1 Untuk kerangka bertingkat-banyak pada Gambar 14.6.3o, tentukan, dengan metode kantilever, semua momen-ujung-kolom dan ujung-balok akibat beban-beban lateral sebagaimana ditunjukkan. PENYELESAIAN (a) Titik-berat kolom. Mengacu kepada Gambar 14.6.3b, jarak f, vaknijarak-titik-berat kolom dari garis-kolom D adalah 1,0(6,0) + 1,0(11,2) + 1,0(18,0) x_ = 9,3 m 4,0
(b) Gaya aksial di dalam kolom dari setiap tingkat. Gayaaaya aksial berupa tarikan di dalam kolom-kolom yang menyongsong angin dan berupa tekanan di dalam kolom-kolom yang tidak menyongsong angin, masing-masing sama dengan
titik-berat kolom-kolom
(
(o)
Cambar 14.6.2 Konsep kantilever.
s?qaq-Bpueq
N{ ZZr'l N)t %S'0
: :
r),t'6 : zou NI 90s'0 : z{E'€ : : :8U NI I€e 'l = .I/(8 : .),61
zJu zYU
'e:[eyl
e6zsr'o=#Sl=., Q€'6 +
,t't
+ ,6'e + ,L'8)z\ = (8't )9t
'uolo{ lereq->{gp depeqrel uaruoru tunlrq uep cE'9'll ruqureg eped ue{eung 'uolo{-tuolo{ lereq-Irlrl rrep eduleref qe>1 uelsuo{ nlpns
'ruolo{ rrlqep !p Iels{e eiet-eie) :ra^ellluo{ epo}e €'9'tI Iuqurso
(p)
NI fl€.0t = rrl€(6 = toy
N)t 099'€ = rrtr€ =
I
t
NI
rru
SZ€',r =
t)t6,8 =
ts
A
t
I
= Nr gos'o= qt;'6=zoy tlE t=zcA
Nr zzr't
*l1t*l
NI
N)t 8t9'6
Irl'8
{pII
= =
t
96S(0= qtde =tsy
N)t It€.t =
*ltt*l
IIIolo{ s?nl-s?nl feraq
z4L,B--:, e
-(
(q)
e -d
u
C'6
=x -
Q _o
.l
I 0'l
-e
0,t=s?n.I dt=isen"1 i\ Irenq:1p1rl
-Il
ql SE
lnlureu
Ierelsl u?qeq
Suzd )p{uuq-}E{Suqraq ulSuurey (a)
-u
-u -e
IP
IP
+
N:l
qr
0t= -r
<_
NI 9l
='-+r
'{ tu u.r
3)i
oc
'
"' vrcNvuax
Nvsrs[IvNvcNa.r rlv"Ivo NvI\DIecNad scoJ,gx
N\
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
56
Gunakan benda-bebas pada Gambar 14.6.3d, dan hitung momen terhadap titikberat kolom-kolom, 16(6,3) + 40(2,7)
= k'(8,72 +
+ 331+ 9,32)
3,92
u,=trIH#@=
r,roeo
Maka,
Rer:8,7kr = 9,648kN Rsr: Rcr :
=
3,3kr
3,660
kN
3,9kr
:4,325 kN
Roz = 9r3kr :
10,3-14
kN
(c) Gaya-lintang ddn rnomen di dalam balok. G'tnakan gaya-gaya lintang di dalam kolom yang diperoleh pada bagian (D) dan ditunjukkan pada Gambar 14.6.3c dar- d, gaya-gaya lintang dan kemudian momen-momen dihitung dan ditunjukkan Pada Gambar 14.6-4. (d)Momenuiungkolom.Momen-momenujungkolomlawanarah-jarum
jam yang ditunjukkan pada Gambar 14.6.5a diperoleh dari kondisi bahwa jumlah momen ujung-kolom lawan arah jarum jam harus sama dengan jumlah momen ujung-balok searah jarum-jam untuk titik-hubung yang sama' - 1,331
-
-1,927
t
t+LL
43,36
,,r_ u'Pl* 3,19
o,3L-6,94
4,27 43,36
(a) Garis-balok
(D) Garis-balokl
2
Gambar 14.6.4 Metode kantilever: Gaya-lintang dan momen di dalam balok.
3.19 3.19 6.94 ;+ '^ /-i \_ 3,
g.!
l9
.[ 3,19 19,96
)+
\-
10.
6,94 -\/+4,21
4rn
o
{1,
J
J,
+./ \-
l-,
l*^
l*,,
l*"
l*,_
l*,,, l*
l,*
4,27
10,13
'- i43,36
1
v
l3
19,96
4,27
--ri26,61
43,36 r/
!
26,67
1
a,
(D) Dari momen kolom ke gaya-lintang kolom
Gambr 14.6.5 Metode kantilever: Gaya-lintang dan momen di dalam kolom.
^eA ruqureg
I't'rI
uep
'4ueAreq-qIIs ?rBJas tu?1urr-e ueruotu rsnqlrlslp dasuoy
-NI
Or
3
NI 9:
?{EI [ 'Eue]url?.,(BE Isnqu]slp uB8uap '1ept1 ery[ iulpues e.{uE1o33u?-e1o33u? sped Bfrolaq Eue,( ueqeq-ueqeq leql{? lrdefrel-Eunfn ueuoru-ueuou ledeprel B{I[ ueuour Isnqlrlsrp ueBuap rclnurrp rlseur rlueEreq-r{rlrs eruces Sueluri-e.{uB uep uotuotu rsnqlrtslp epoleH 'Dl' L'Vl reqtue5 uped ue41n[un1rp euuurret -eqas 'ue1n>l8uesreq 8ue.{ u13uera1 eped tuolo:1 u?p loluq ?Isreul uetuotu lqslu IBIIU-IBIu r{rlnuou nFad u1r1 'sr1se1e srsllsrrB uB{nrylelu >1n1un '(ueserBlose{ Iqnueueu Ispn 9'rI u?p S'?I psed tuelep rp rre>lrurnrp 8uz,( uelelepued epo1a4) '..sllsqe sIsIIErrB.. rnl?loru ueser?lase{ undneur ue8uequrrasa>1 rqnuouotu uE8urqas udnr uerlturepes sIsIIBrr? -lp ledep wp suleq uedelap 1eferepreq nluol{?t srlu}s leJrsroq pl';il requreg eped uapln[un1rp uueureSuqes Isrolul ueqeq In>ntuotu Eue,( >1u[ueq-1u1tut1req ulSueray 'lerolel uBqoq InTtuaur 3ue.,( ry,{ueq-lulEurpaq olSuera{ sISIpu? {n1rm Brecos 3uu1u11 e^,(e8 uep uoruotu ISnqIJlsIp opolotu B^\qBq
{o?oc leruu rur rlue8raq-qllls
(ru
ue>ppfun1rp us>[B lesed urupp rq 'rpe[ra1 ue{relqrp Eudues-a1-ue8ue^{o8 er?luetues Eunqnq-Tlll ISBlor uerrun8uad ue8uep rlue8req-qrtrs qzEacrp e,(uEurduresal-ueEue.{o8 ereluoruos Sunqnq-T11l Iselor uessqequed ufuurelep rp 8ut.{ tlue8raq-q1n urucas EuulurJ efie? uep ueruoru rsnqrrlsrp opotreu ue>Je4nure8ueur I{BIa} surol I u^\I{Bq 0I'8 IBsBd tuBIEp lp e8n[ ue{lnqesrq 'mqstoTp ry1 3ue.,( Eunqnq-{ll} IsEIsII?rl Suurequres rcpu detlas {nlun ueqsqruel uoruoru rsnqu}srp nlEs lrcrpnuo1 uup 'qe8ac1p Sunqnq-4}ll IsBlsu?rl -rs?lsuurl ereluetues uhalaq 8ue,( ueqeq-usqoq lEgpIB lrdaf-3un[n uetuolu-uoruoru {nlun uu>ln)ppp nlrad ueurotu lsnqulslp rtles '?uns?uo1 apotaw lnqo$p rplEtnres 'rul epoleu IC 'up{relnrp qelal rnr{Blo4p>Iel Eue,{ Eunqnq-{-I4} ISBISuurl ue8uap nluel{€l sll?ts elSuure{ srsll?ue epud ueurow-lsnqlrlslp epoleru uedereued '0I'8 ruBIBp
I?sBd Lu?lep IC
n>Je1
puutrag-qrpg u.ruceg Eu4rn3-edug uup ueruon IsnqFlsIO
=266'99 = 962'8 +
S8L'17. +
l'rl
t/n + L/rl 00t'61 + llZ'9 q€lep? nl?se{ le{8ull eped qelunt
14 = 000'9 I = Z LE' Z + gT,T,' 9 + gZ9' S + 7, L L' I qepp? snpe{ lB{tql eped urol qemeq-8un[n 3ue1ug-e,(e8 leduree>1 rrup qBILun[ 'uu1n18uesreq 8ue.( uro1o4 t33ur1
uap'
-ol
L
qe8uales uetuep og'9'Vl requreC ep?d tuef urnre! qere-ue,rel ruo1o1-8unfn ueurou -ueruorr rrep derles t8equreur ireSuep qeloredrp S9'9'nl requeC eped uerplnfunllp Eue[ ruo1o1 qe.truq-8unfn 3ue1ur1 ele?-eteg 'wo1oy-Bun[n ?uo1ut1-otog (a)
V)CNVUSY NVSISI'IVN1/CNAd I^IV'IVC NVIY>IAONSd AOOIAH
L9
r 58
ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN
distribusi momen dan gaya-lintang akan berlangsung secara silih-berganti, dan proses tersebut berlangsung terus hingga semua perubahan nilai-nilai momen di dalam dua siklus yang berurutan berada di dalam toleransi yang dikehendaki. Secara urnum, proses tersebut mesti berhenti pada akhir distribusi momen.
Contoh 14.7.1. Analisislah kerangka bertingkat-banyak pada Gambar ngan metode distribusi-momen dan gaya-lintang secara si_lih berganti.
l4.j.la
de=
PENYELESAIAN Bagianttas tabel distribusi. Tabel distribusi lengkap digelarkan pada Tabel 14.'7.1 . Titik-titik hubung pada Gambar 14.7 .la telah ditandai dari A hingga.L, baris I hingga 4 di dalam tabel ini disusun seperti di dalam tabel distribusi momen. (b) Dist/ibuEi gaya-lintang pertatna, baris 5. Jika kedelapan titik-hubung di. kunci terhadap rotasi tetapi balok dibiarkan bergoyang ke kanan, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 14.7.lb, nilai-nilai nisbi momen ujung-kolom mesti sama seperti yang sebesar 6(EI\*NH2, atau hanya (I'l)- untuk Ldan H yang tetap. Jumlah keempat pasang momen ujung-kolom pada tingkat kedua mestilah W2H2 = 16(3,6) = 5'7,60 kN.m, yang jika dibagi 8 menghasilkanT,2O. Jumlah keempat pasang momen ujung-kolom pada tingkat kesatu mestilah (W1 + la/z) (Hr) = (16 + 40) (5,4) = 302,4,yangjika dibagi 8 menghasilkan 37,80. Nilai-nilaiinidimazukkan ke dalam baris 5. Perhatikan bahwa jika nilai-nilai kekakuan kelenturan (EI)1o1 tidak sama, gaya-lintang total pada tingkat tersebut harus dibagikan di antara kolom-kolomnya dalam perbandingan nrlai-nilai EI meteka.
(c) Distibusi momen pertama, baris 6 dan 7. Titik-titik hubungnya dibiarkan beiotasi; mereka diseimbangkan dan pemindahan dilakukan. (d) Distribusi gaya-lintang kedua, baris 8. Karya gaya-lintang diseimbangkan untuk tingkat kedua pada baris 5, momen ujung-kolom takdikehendaki yang ditambah adalah (+2,88 + 7,10) + (14,21+ 1,44)+ (2,06 + 5,40)+(10,80 + 1,03)+ (2,25 + 5,82) + (l 1,64 + 1,12) + (3,27 + 7,85) + ( I 5,70 + 1,64) = +94,21, yans jika dibaei 8 dan dibalik tandanya menghasilkan -11,78. Untuk tingkat kesatu, momen-momen ujung-kolom yang takdikehendaki pada baris 6 dan 7 adatah (9,4'7 + 0) + (0 + 4,7 4) + (7,2O + 0) + (0 + 3,60) + (7,76 + 0) + (0 + 3,88) + (1 0,46 + 0) + (0 + 5,23) = +52,34, yang jika dibagi 8 dan dibalik tandanya melghasilkan -6,54. Nilainilai -11,78 dan -6,54 ditempatkan pada ujung-ujung kolom yang bersangkutan pada baris 8. (e) Distribusi rnomen dan gaya-lintang secara silih-berganti, bais t hingga 11, 12 hingga 14, 15 hingga 17, dan 18 hingga 20. Proses yang dilakukan pada baris 6 hingga 8 diulangi di dalam keempat distribusi momen dan gaya{intang secara silihberganti ini. Qfi Berhenti pada distibusi momen, baris 21. Momen-momen pengimbang pada baris ini dianggap berada di dalam.toleransi sebesar 0,02 atau 0,01. (g) Momen-momen uiung terakhir, baris 22. Nilai-nilai pada baris ini adalah jumlah-jumlah yang dari baris 5 hingga 2l . (h) Momen uiung-terjepit akibat goyangan-ke-samping, baris 2-1. Nilainilai pada baris ini adalah jumlah-jumlah yang pada baris 5, 8, I l, 14, 17, dan 20. (i) Pengecekan pada distribusi momen, baris 24 hingga 27. Prosedur pengecekan yang biasa untuk distribusi momen diterapkan untuk memperoleh rotasi-
rotasi titik-hubung. Q) Hasil dari keluaran komputer, baris 28. Nilai-nilai ini diambil dari keluaran komputer dengan menggunakan program komputer yang disesuaikan untuk analisa kerangka-gedung yang tinggi dengan teknik jajaran, yang di dalamnya, invers terbesarnya tidak lebih dari jumlah titik-hubung pada setiap tingkat ditambah 1.t Penyelesaian lengkapnya digelarkan pada Gambar 14.7.2. tC.-K. Wang, Matix Methods of Structural Analysis, ed ke-Z., American Publishing Company, Madison, Wis., 1970, Bab 19 dan Apendiks P.,
r
,t' o
'E'
6
s
B
ssa$f - r
B;*J-t -h-:-9 3 Ei:
<. {}. 6
-c9 16rtfi
>.> o rl. <.8
a-{
o
ottf)
>:> o
=E
e.I, n >>o rla 3:r -
a.l, ,'! >.rl o f- t: i'
E.B
o.D { .!3
p ri
>.> o F.
r:
=8
I
ri .o9 o.i
++
l+
_e.r .e
o
oo
lt
I
oa
E*"
ll
p
\@
€556€
rat
*Q.,-. '€.. .-q! ,,4.
l... C:,ii
".!
'(a., ts.ts-!,
k
€
+
9.6
r,.F
{tr
rI + 6
o
+l
9
.st:_i. Bl:
-6'
,
g-p ia 66t
-ltl
F ,fi
a
E
-a
o
Lc
L $
60
-9
c +
?.," i+-...I
+
1..
9A
'r t'l #.+ e**
9L
.,,,-
I :ii.
" -q.:a,
P,
G E
o
Fl
T c
.,| t cr
o
5
{ A
H E
-6 a
B
I
G
*
L a
lg
E
oc
a
{
E
n oa
G
c
G
E
n
.{1
:'.6 ...o ira
&
l,x
I
nt
:::.*l
.:]t
.it
9
.g:. *,1 'ili
r'it ::.,.{. .,lE
o
a) C:
o O _a
ci b
,$ 't*a
q{
','r:E'
:,'E
88,
d3{
.,:,:r.+jr..
a..SS|i
'!r
o
{ .a ,..8
'a }i
+:
t ,*r . '':i,.
a
L t {
r
*.J
-{ _{
t,S
k.! t.:
+..
l? "-e
l
il.
lj:i^
J{
.r.
rria{
i.:.'.i:
,r:li,.
.irj*,.
.P-€,1
t
:..
.
i^B
:'.':',tt'
?n
€
I
_c
+l
a+ p.e
-t
€ r.t \t
co
.+.. I 9.i.l
JI
e
400 e8E 'EiE
,
1,.
+:11
*€
eltlJP,.
bbl
,r.,:rii
i.l::i':1"
.',,.,1.
:r:
t!
E
+.1
a + c
'i
-a ,?
8,,t
'rG
+_1. *
.+.,_r1_.+
+r. J...1
rla 6
+r. Ii
.a.,rc:
t,bi.it:l
:s -o -6
l+ oo ao +
9P
tl
88JH
+1.
$l
.p..9 o.&
*Q -o cE
eo-r5 rt+
::lx lt
r.-3,s:$
a
+ + I.l \+ _+ lr lL
-!'
?
-6rJ6i
.. .+: t..
a
'r., A
+....
.a::iri
,F'rl'::rlli
J?:l 6.i:
(?,
.t.,1 .3*r'.r
',:€91 {E
6
,*.|
.'.:tliJiit;..€
Oo t?'
i
-' t.:,,*.- .r,-:
: t::
-a
triii_t+
r r +:': JP.O
*t.; :,€6l,::
o*9-;s -*l rEs.g*,'
a
& +
rg
+
----*
9
.-.
66-;l UE
B
+
t', g:
t,
tr:
a
-s'i,
,.,r,t: .r:,l,,.i*iii.,Ji
..
.,
E
.
++ r + J9P-{-e +. + I:*
o '+ + t + I -6-l t -u L
l+. oa
I
\ '{
iE
p
-e t
'.11
SiXESe
Ek"sl
3
+i.* l':.+ DAUil6 -o'tz -* i.
'i: r:1i.iL:::{i :l.r:
xEk
^a*-* xtshE'*
B
.a:.'
.1:
g-=: x^o^^il-
I ,.:
.:,*.'
i
-9
T
'*, .o
i.t
':F
:j[
'''' YXCNVUSX NVSISTTVNVCNSd WVIVC NVIy)sONiId
69
AqOJ,Sx
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
60
x
{ €Er
& IL
.:*.:*,,,r9: -e,.&::e..
O6-
t:ii;,';..
.*l:,1 L. :'*-,ri
6 *:6 .f, 6-d ,{.'-:.1.rr..
Ots, ,tar
:Eai
ir.!r -rrl.l
rt.'
-r,::l!,-
,.ii*
:r:1r3. -i +. i.l . +.
d
+.
bo
L
t:i.,
!
b0
4+:
e- q -^-: +.....1:il+:.+.
.-:t.:
''i.l + ri_ +:.+
t9=,
e^':1
60r 6: .i.6'i +tl.'
sr6r6 ?6'6*-
eo@
1'-:.1.:.
i..:
8.,8. a,a.',4 l:,8 I:.friii,:d:
H
o
.t:
i* +l
q .r +.i
+
L
I + l++
I I
3A € o-'
+
I
r
o o
r9-+ l++
*l
O+S-
EI
*i*
d cq
!
r
r
+
;x8
t-
E.
o0
j
+t
+
I
a
ar'
+l+
I
I
l
o€
t-
t e-.1 !" 6l+t++
I
6
j
++
I
+ i +$
-o
I
:
t1
l+
a
'+
q
qT
++
'tr,
F
ifdig
:r.::.il .
+t
a:. ++
o' d.
..:.::j*i.
'':{:i.
-oo
fJ
l
s'--+f
1+ e
q-
q
{s8rg
'++
F
6g*e6 rr-nq.{c^
!fl!*6
!:r::: it i.,:t:i: +ri+.:r'
an
.o
'*,.i. II,r.J:
qii.
:.*r*.
i
!.,8;.,ai,ir:a
k
:a:.
do'd
:+.i, r::,,:.i*i:,::
6d6
l,;',.;tti
a.l
l
cJ 6€.
&,r:.:';.$;:,:
:.&il
s
6:.6":6.
,*:i.6o'o .1., +'.i
:..&.:.
'ild,:l
rl
q,&,,9
+
t
1++
a€
a0
;s o-
!!
++
o
ci
o"
l+
o-
@_d. q. +
o_
it++
oa.
+
o -- .: E
l+
I
9-
a
O_
+t
+i
+
+1+i
ED
rr t
j4
6)
i!
6 of +
o 6 N a!
l{
E}
J il!
JJ
*
r> JJ
o<<
(JO6
E> J c<< UES ..,1
t>
-]J o<< U'OB
JJ o<< (Je@
I} JJ o<< U'OE
G,
H
I
I
+l
o
6 t
ddd
+t+
ra
to
-o
a1
6O-
d
ilH= 4== E{ ;.9 .ii 5 I o I d -, Q A HO O ;
9.
o
.}a
tue,( '
re1ue1
ueelmured Euufuedas rp de1e1 Eue1ur1e,(ut-e,{eE 'p1rod epolor.u ruel?p IC
I'8'tI pqur?g IJBp rlztuztp Bilq loleq Euuluq-efu8
rqslu relru-ml1u uuEurpuequa4 'ul(ur88u4 Eg'g
uBp 'tS'0 ,ZS'O'US'O epud 'sz1e-ru1u?l u?Blnurad Euuqu41a1 iesep-tu1uu1 u??{nu -red uup qnef q1qe1 )plalrol ntBSO{ te>fiurl r.rup ruolo{-uo1o1 eped {oleq {BIl-{lllJ 'uBuBI 3urrcd Eue,( uro1o1
't
eped 1o1aq->1yy1 ledeprel 1epr1 'e.,(uuue1e.{ue1 urelup 'uep '.Irp{ IrBp uurelrod uro1o1 eEr1a1 4n1un ez(qEEup 6E'0 upp 'It'6 '9I'0 eptd'du1z Euuqunla>1 Br?1uB-I?luBI a) 1?{ep Wqel leEues >1e1e1ret ?npe>l }BIEuIl epud ruo1o1-uro1o1 epud {oloq {IlIl-{}II 't 'ez(uue8ueluoq yg'g e33urq 79'g eped 'urBl?p-urolo{ 3uegun1a4 renl -ruolo{ rrep qnuf qrqol {4elro1 rrEEurd us8ue}ueq-ue8uulueq uped >1o1aq {Ilp-)gllJ 'a 'lp{1pos q1qe1 ueEuqal uuSuap IsIs e{ le>lap qtqey ry3u 'qeEuel-111y1 uped >1o1aq Illp-)tlllJ 'l
eI
t?>Jap le8ues 1e1apa1 quEual-1o1?q lreSuBlueq-us8uetruoq
:Z' L'Vl rEqtuBC
epud uu>ppfun1rp Eue,{ Eunfn'ueurour repu
-rBlru rr?p uB{n{BIIp ssrq }n{-uoq ueleue8ued 'uo1o1 uep loluq enuas qe8uer1.rtll Ip u?Tspu?rp Euu,( 4o1eq-qrtrl ludural y1-e4 rnl8uu,(uetu e,(ueq qnule5 'ues?relese{ rqnu -eruetu Eue[ uutesale.,(uod uep s{erou uuupaqrad upeda>1 eXuue4lelSuatu uu8uap {ntp BsIq lnqesrol uelulapuad epolour-epolaul urBIBp lp ue4eun8tp qu1a1 3ue,( uempuu8uad selaquedulepo{'L'rI IBsBdurulupIpue{n{BIIpBue,(slselauestsqeueEuedpseqlseqteql
-ew 'uB{nsBr.u reSuqas zfuurolo>1 u?p {opq Brsraur uaurotu rqsru rcpu-I?Ilu u?{nlreuau iseleq uedelep 1efurepreq nluol>Iel sll?ls leJlsreq IUI unlaqet uuuurreSeqos enp-lnJ8ullraq 'e8g1-ue8ueluoqleq elSueray
e,(usr1se1e uesrsqeueEuod
psed-psed
urpp Ip ue{rurnrp
apoloru uuturpuuque4 g'91 qlsqe srsll?u? fisell 8€0'z
l
0ss
z.
269'01
981'9
r
,.,*f;,,.,,
rl),.,,
L.tI
l?qur83
w6'9r
.,rf)*',, *,*1r*''
t I
J
(.b t
&'Le
ot'7.€
J
JJ, I'8€
I
I t
ZE'rt l
Z8'92
w'te
,l_
rl----f
8t8''
ott'6
otL'6
tV'
858''
ors'f
l.
ots't
r
I
I
-l
60's€
06'62
rr0'9 l'
t
Ls'l
/h
+,
l'
ost's
t
,l_
t/
SI'II 76'8
7V'L
99'o
,rffl)
J\
I
vd.l7-t )
1
i
I
J
I
u
I
U
,1, rs't
08tl
t
N
6''8
l C
\J 91,9
ZZ'L
\Ze'Z
\Zt'Z
n6{t
,l__t, \-,/
.'
T9
..
U,
tor'€
te€'t
.l____J, \, \) 96'n eo's
tot't
98'r
6r'8
YXCNVUS)I NVSISI'IVNVCNSd IAIV'IVC NVIYXAONSd SOOIAW
i l :
i )
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Metode portal
t.z* c.sm I r-_=-.rI
tt
I o.o'n
1,331 I
lt.6
I
0
0
l
-
1W-
-1,422
tl,6
Metode portal
I
I
4,325
9,648
t
3,660
t
10,314
Metode kantilever
rtl
16p44 t0,692
5.786
t
12,038
Analisis elastis
Analisis elastis (a) G:aya aksial pada kolom dasar
(D) Gaya geser di kolom balok
Gambar 14.8.1 Pembandingan gaya aksial kolom dan gaya-lintang balok
sirma, yang berarti bahwa gaya-gaya aksial di dalam kolomluar yang menyongsong angin dan yang tidak menyongsong angin sama secara numerik tetapi bernilai nol untuk kolom-kolom dalam. Di dalam metode kantilever, gaya-gaya lintang balok secara numerik lebih besar di dalam bentangan-bentangan tengah, karena pengandaian variasi linier gaya-
gaya aksial di dalam kolom-kolom terhadap titik-berat semua luas kolom. Namun, dari analisis elastis, gaya-gaya lintang balok jenuh lebih kecil pada bentangan-bentangan tengah, karena gaya-gaya aksial di dalam kolom bersifat menarik dan menekan secara silihberganti mulai dari kiri. Sekilas pandang, seseorang akan mengira bahwa pengandaian variasi linear gaya-gaya lintang di dalam metode kantilever sangat masuk akal, dan penganalisisan eksak struktur-kerangka (sekeleton structure) mesti memperkuat dugaannya, tapi hal itu tidak demikian. Penulis telah membuat peringatan seperti "Pengertian biasa berasal dari penumpukan pengetahuan"; barangkali inilah kasus yang mengena.
14.9 Latihan 14.1 Vd 14.27 Analisislah kerangka gedung empat persegi panjang pada Gambar 14.9.1. hingga 14.9.3 dengan metode sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 14.9.1
30kN+
Gambar 14.9.1 Latihan 14.1 hingga 14.9.
'9I'?I
E33wq
o\
o
7
.LZ.tl
pls
grll
1
7
u?rlpE'I €.6'rI IEqutlC
7 1z
7z
NI S'
5
€
7 'Iz
7
"I
7z
7z
i
5 -@
l=
,Z'tI oI'tI
7
,I
7
"I
qq I'rt
Z'6'rI
NI
OI.
7z
7z
7z
€E
u?I{rl€'I
N)t(E
u€q11c'I
{n}un uc{IlsBlu 8l8O I'6'?I IsqBI
Iequl?9 t7
z7
tI
I
7
,I
'l
1
N r.s,
"t?.
,I
,I
't.
NI N O'
"tz
Nl@
'' ' 'vvcNvuav
89
NVSISI'MVCNSd Nv'Iv(I Nvrvxs(N8d AOOrgrl
BAB
LIMA BELAS METODE ANALOGI KOLOM
15.1 Introduksi Umum
Dua sumbangsih penting pada analisis struktural yang diberikan oleh Prof. Hardy Cross dari University of Illinois adalah distribusi momen dan analogi kolom. Menguraikan selengkapnya metode analogi-kolomf , secara bertahap dari kasus sederhana ke kasus yang lebih rumit, lebih merupakan tujuan dari bab ini, ketimbang menurunkan teorema umum dan menerapkannya pada semua kasus. Dalam kenyataannya, teorema umum yang bersangkutan digelarkan di dalam dua pasal terakhir dari bab ini. Pertama-tama, metode analogi-kolom bermanfaat dalam penentuan momen-momen ujung-terjepit, juga faktor-faktor kekakuan dan pemindahan, untuk unsur balok yang memiliki momen inersia tetap atau variabel. Kedua, ia bermanfaat dalam penganalisaan lengkap kerangka kaku simetris atau taksimetris, baik yang memiliki dua tumpuan terjepit ataupun satu rongga tertutup. Meskipun contoh-contoh dan latihan-latihan yang digunakan di dalam bab ini bisa mengacu kepada unsur balok dengan hanya sejumlah kecil perubahan mendadak momen inersia di seluruh panjangnya, keuntungan metode tersebut terletak pada penerapan prosedur yang sama terhadap unsur balok dengan banyak perubahan momen inersia untuk bagian'bagian yang sangat kecil di seluruh panjangnya, seperti unsur balok berpinggang pada Gambat 15.l .la. Demikian pula, prosedur yang sama, yang digunakan untuk penganalisisan kerangka berbentuk segiempat atau kotak pada Gambar 15.l.lb dan c ,dapat diterapkan terhadap struktur jembatan kerangka-kaku atau struktur-saniter berongga-tertutup, dengan: momen inersianya dianggap tetap hanya untuk setiap bagian kecil di sepanjang sumbu kurva kerangka yang bersangkutan. Prosedur yang digunakan untuk penganalisisan kerangka berbentuk segi-empat taksimetris pada Gambar 15.1.\d dapat diterapkan terhadap leng-
iHardy Cross, "The Column Analogy," University of Illinois Engineering Experiment Station, Bulletin 215, 1930; juga, Hardy Cross dan Newlin D. Morgan, Continuous Frames o1 Reinf orced Concrete, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1932.
-flun[rueq {ol?q IJ?p ueluou urerEetq
'oI'Z'Sl
'I €6I')uo^ .t\aN "ruJ'stro,s
rBqurEC eped uu4lnlunltp uueunefleqei
ruBgoqlp uup u.,(u8unIn enpel eptd lldo[ra] Bue,\, 'gy lopq 3un[n-3un[n 1p ehalaq 3w ' ydattet?un[n ueurou-uotuotu u?{nlueuou >lepuoq ?}pl u?>lIBpuY 'uelEuuqurellp UB B uulrulEuesroq 3w'.
BW
urp
vy
rnsun epud uuqeq leqplu de1e1 ersreut uotuotu Dllftuetu 8ue, 1opq rnsun 1n1un tlCau -re1-Eunfn uetuotu-uetuotu uplnluouo1u >lnlun uro1o4-tEopue opoleru ueeunEEued 'ru1-'q
dqal
ursraul ueruol l uu8uap
{olu{ rnsun >l$un lldaFel-Eunfn ueuo}\l z's t
'zures Euzr( ueleosrad uerx -a1er{uad uu>lpseqtueru e.(ue,(Eo,(es erues EuB,( s?qeq-Bpuog ruerEetp'z[es n1ue1 'uo8re.rr; ieures rtdtuex lnqosrol epolelu enpel e.,(uue8unllqrad-rnpesord IIq>1e Suelefuaur e'{ueq ruolo1-r8opu? opololu u?p srls?le-l8snd apoleur'e.,(uuue1u.(ue{ uIBIsp 'err\qBq '8I qE8 tuspp rp ue41n[unIp uB>[v 'lrEl?qruaf etuelruel 'ltdeha] ueEun4tuel uBsIsIIsIrBEued rulr -?p uolq?pntueru Eue,{ opolotu I?EEqes Puo{ry Btu?l qelol lsqsele-1esnd opo}e4
'Bpx.
-Bpeqreq Euu,{ ersreur ueluotu ue8uep Eulseur-Eutsutu'Wqel nB}B ueFeq g1 rye[ueur €eqr; 's1r1eruts1e1 usEunr
16au uulnltuusreq 3uu.{ srrleturs{e1 ue8un{suol Bd\quq IIBnco{ 'ruo1o4-18opue ue8uap qsrpuu
{ntun 1oJoc
8ue,{ m11n45
I'I'9I
requrS
(p) @)
Euu8tutdreq Suqnlraquolaq )1opg
U dnlnued 1qd ue8uep CA\ )iopg
no'rox I50'rvNv EqoJglri
q9
T ti
66
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
terjepit yang ditinjau tersebut merupakan jumlah diagram momen akibat beban yang
jika bekerja pada balok-sederhana AB, Gunbar 15.2.1b, dan yang akibat momen-momen ujung, Gambar 15.2.lc. Kondisi-kondisi keselarasannya, yang dapat digunakan untuk menentukan kelebrhanMa danMg, adalah sebagai berikut :
bekerja,
l.
Beda kemiringan antara
dan .B = 0 (karena
EI
A d.an B = 0;atau jumlahJuas bidang momen di antuaA tetap); atau luas diagram momen pada Gambar ll.Z.lb =
luas diagram momen pada Gambar 15.2.lc;
2. kndutan di .B dari garis singgung
di A = 0; atau jumlah momen dari luas bidang momen di antara A dan B terhadap B = O; atau momen dari diagram momen pada Gambar 15.2.1b terhadap.B = momen dari diagram momen pada Gambar 15.2.lc terhadap B.
Sekarang jika suatu kolom-khayal yang pendek dengan penampang tegak sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.2.le di-visual-kan sedemikian rupa sehingga pembebanan pada puncak kolomnya adalah diagram momen pada Gambar l5.2.lb dan tekanan yang bekerja pada dasarnya adalah diagram momen pada Gambar 15.2.1c, jelaslah bahwa kolom tersebut berada dalam keseimbangan karena kedua kondisi yang telah dinyatakan sebelumnya, yang tak lain adalah (l) beban total pada puncak sama dengan tekanan total pada dasar, dan (2) momen dari beban terhadap .B sama dengan momen dari tekanan terhadap B. Makajika diagram pembebanan dari Gambar ls.z.ld diketahui, diagram tekanan dari Gambar 15.2.lf dapat ditentukan. Suatu perjanjian tanda perlu ditetapkan untuk diikuti dalam pekerjaan berikutnya. Dengan mengacu kepada Gambar 15.2.2, perjanjian tanda ini mencakup hal-hal
berikut
1.
:
Pembebanan pada puncak kolom berarah ke bawah jlka M, (momen statikal, atau momen akibat pembebanan yang terjadi pada balok-sederhata AB sebagaimana d!
tentukan oleh hukum-hukum statika) bernilai positif, yang berarti bahwa ia mengakibatkan tekanan pada sisi-luar. wl
w2
w per
jarak satuan
)
MR
(d)
E/ konsian
Pembebanan pada puncak
kolom aaalogi; diagram sama seperti (6)
(a) Balok yang ditinjau
M'
I satuan (sangat kecil)
(D) Diagram momen
;'
akibat
beban yang bekerja, digam bar pada sisi-tertekan
T-
,t
-L
I-
)-a (e) Penampang tegak kolom analogi
l*la
(c)Diagram momen akibat momen ujung, digambar pada sisi-tertekan
t_
-j(f) Tekanan pada dasar kolom analogi
; diagram M i, sarna
seperti (c)
Gambar 15,2.1 Momen ujung-tedepit untuk unsur balok dengan momen inersia tetap.
i
i li
'rDsep
nlueual sllEls rnl{ruls u[3] uBt{![il €'z'st
mug
'ue:1elral rsrs epud .req -ureErp'B;,g uep By ueqrqel
(a) predes eures 'lTguzrterq
:I3oFu? ruolo)t.rEsBp epud ueuelal (][)
T
-eI loql{e (8r Ip s?qeq uBp ,'lp lldaFel) Bf re^eFlu?){ -1opq upud ueruour ur?r8wq (r)
I... lo --Ia
-\l-'-
__
I
_.1
TE
l7
I
l1/
'uB{euel -rsrs eped requlu8tp'efrelaq Euef uBqeq leqrry (€r rp sBqeq uBp
rSoluue urolo>1
y rp lrdafel)
tB8el SuPdurEuod (a)
grU
re^elpu8l
-1opq uped ueurorr urBrSBK (q)
rl-T-
(Iroe{ l?8u?s) uenlzs I
pradas eurgs'shl
wefiew'rr"#
ruo1o1 >pcund uped
uuulaqure4 (p)
nEfqllp 8ue,{
>1o1ug
(a)
)'t, ,rl
zru
-etu nlrod B/(uBrI ?lpl 'uulnlEuesraq 8ue,( rnsun spBd wqeq lBqplE dBlal ?IsJeIr ueuoE ue8uep {oleq Jnsun {n}un lldeftel-Eunfn uauotu-uotuotu lru{nluaueur {nlun 'lp?f 'n>IBIraq dstal/effiurq p€'Z'Sl I?quIEC spBd uBIsplnIP sueu4BEBqas uolo,
w-Foleus-tued 'lu1eI ErBJes pruil-rp spuel uBIfIIEfred {nlun IIBrn}B IIDIoS 'e.(u?uarE; iefurunlaqas rlredas c vep qEZ'gI rBquEC EpBd uatuotu urBrSEIp dupzqral ue{dBla: -rp Suntfiuls qre8 gep 8r Ip u?lnpuel (Z) trBp '0 =*8 wp Y ?r31uB Ip Itr ledEp E Ip 0 = -Euurura>1 ?paq ( I) - ?IIrBs tue,{ ueserulese{ FIpuoI Bnp 'unuBN ') uep qe'Z' S I ruqu-rP! BpBd uauotu urerEelp-urur8up qelumf ue)Fdnreu uap nefu-qrp Eue,( lopq psp uauou: ururterp 'rusep nlualrel sllBls >1opq reEeqas q{ldp g Ip wqaq uep P' p lrdefral Euu{ g1 ro^e[]u?{ lopq 'ueqlqaleq-e,(ut lmslslpusEued-apoleu uedsrauad tuepp tp 'e411 'renl-Frs eped uutre>lel IrD[]Bqp{BBuour BI e>IIIJIIlsod IBIIuJeq iuuf,'llry
-
uu8uap erues n?[urlrp tuef lrda[a1-tunfruaq {oleq BpBd ry}t1 Euzruqures Ip
tW
=W
uetuon ': Jrlrsod
npuo{-Flpuo{ Flnuarrrotu {ntun ue{nluelry Ire{B 8ue{ ueqtqaJ -e{-wqqele>l nB}B 'n}ue1>1el slluls ueuour) },g'uro1o>1 resep epud sBlE 3{ uBuDIaJ
I?lIuJeq (uzserelasel
u.ro1o1
ltopuu
zped upuel ue1[ue[ra6 Z'Z'SI EqursC tj z
':
renl-lsls
urePp-PIS ;.
| 4---------:--:--:--::-------.2--
rBnl-lsls
wo'Iox I50'IvNv gCIo&ex
L9
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
68
nentukan tekanan, atau Mi, di kedua ujungnya apabila kolom-analoginya dibebani dengan diagram Mr;makaMa danMg akan sama denganM = M, - Mi.
Contoh 15.2.1 Tentukan momen-momen ujung-terjepit untuk balok pada Gambar | 5.2.4a dengan metode analogi-kolom.
PENYELESAIAN (a) Diagram Mt dari balok-sederhana.
Sebagaimana ditunjuk-
kan pada Gambar 15.2.4b, diagram momen balok-sederhana akibat beban terbagirata dikerjakan sebagai beban ke bawah pada puncak kolom analogi karena momen ini mengakibatkan tekanan pada sisi-luar (atau tepi-atas) balok. Tekanan di sepanjang dasar kolom bernilai tetap di dalam kasus ini dan sama dengan beban total dibagi luas kolom.
Mi:tekanan= Maka,
di,4
ry=+
atart B,
M-=o
*,=*# Me=Ms=M"-Mt:t-#=-#
Tanda negatif untuk Ma (atau M3) menunjukkan bahwa Ma (atau Mg) berarah sedemikian rupa sehingga mengakibatkan tekanan pada.sisi-dalam (atau tepi bawah) balok,4 (atau 8) (b) Diagram M, dari balok-kantilever. Sebagaimana ditunjukkan pada Gambu 75.2.4c, diagram mOmen akibat beban terbagi-rata yang bekerja pada balokkantilever yang terjepit di A dan bebas di I dikerjakan sebagai beban ke atas pada puncak kolom analogi karena momen ini mengakibatkan tekanan pad,a sisi-dalam (atau tepi bawah) balok. Tekanan di A dan B dapat diperoleh dengan rumus : Mi = tekanan
w per
PMc A_I
jarak-satuan
(a) Balok yang ditinjau
wL2
wL2 1,wL2,,, wL\ 2 +\ 11\ 2 \L'- 6l IN I
lh*i lrirrrH t-; II
,=j
8
I
satuan
l<SxLt=$
L----z--lr wL2
{-rTTFITrFI-TTI
12 illlLlllILlll12
ry_L:
(b) Penyelesaian pertama Gambar 15.2.4 Balok Contoh 15.2.1
(c) Penyelesaian kedua
Bnps{ u"rEsalerued
'z'z'sI qoluoJ IoFs s'z'gl
tqrS
eurelDd ua?sapi(ued (q)
(r)
rm
7
qDtt
-t-ffi
uenl?s I nBfulup 8uB,t )tolEg uBtsuot
-1n[un11p suBuIleABqoS 'TuDqppas-rloPq yDp
s1,t7
(r)
Ia
'qS'Z'g l r?queC zPed ue1 (o) NVMA'IA1NSd
wotSotg
'uro1o>1-rtopue epoleu ue8uep DS'7,'Sl rcqureC eped ue>11nfun1
-rp 3ue[ lrdafrel-3unfn ueurou-ueurour LIBIUB{nlueL 7'Z'Sl qoluo3 {n}un {opg 'g p plpod ueu?{el uep }z 1p ;qe8au uurm{el ue>11eq11e8uetu
w?[ IIIru?f rIBJBes (lueuroru twlunueao) tuqunt-uetuolu- uelSuepas ';rleteu uBuu{al ue:lieqpluausu uolo{ lereq-{Illl 1p u[re:1aq ellgede uulnlSuesrag 8ue{ e{ ueqaq 'g rrela Y rp !;g ueuelel uunluaued UreIBp BlYiI{?q u?>Illeqled sElB
'g {pP {nlu-l
'r{Ilp {uu:} htol0>I Ico'rvNv gqo&srf
69
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
?O
Beban ke bawah total pada kolom = diagram mome4 balok-sederha
i:ffi=ry
Eksentrisitasr=j(i-,) Mc _ (Wabl2\lirt-/z
*, :
M"
l- + = ry.
- a\
all _ wab(LlZ
(D(LT6--:---'T-
I=
Untuk titik,4,
n^:*;o
:0
w#-'
=
\#,,
M,=M,-Mi=o-(.#)
+L
-
2a) =
-ry
=-ry
Untuk titik B, M" =0
a =\#,r- L+2a)=.*r4
-wab(Lt2-
",=X.-+=wab Ma=M,-Mi=o-(.Y+)
=-ry
Tanda negatif untuk Ma (atat M3) menunjukkan bahwa Ma @ta'u Mg\ berarah sedemikian rupa sehingga mengakibatkan tekanan pada sisidalam (atau tepi-bawah) batok di,4 (atau 8). (b) Diagram M, dari balok-kantilever' Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.2.5c, Beban ke atas total pada kolom = diagram momen balok-kantile u"' Eksentrisitas Y.e
Untuk titik
"
=r_\
: $ a'1t?\)gf!--
X: at
3)
=
_H#:
$
=Y
-Y
o, -,
ot
/, M'-- -Wa
= ", *,-
Me:
M"
-
Mi =
+
: Y -Y#o' -
2o)
: -Y:(zL
-*" -l-Yor-,)] : -$tt
-,)
-zta + a21 =
ry
Untuk titik B, M.
*, = *,*
:0
Y : -Y.#(31 - 2o) = *$e,Ms:M"-M,=o-(.Y4
+ 3L
-
2a) =
.ry
=-ry
15.3 Faktor Kekakuan dan Faktor Pemindah untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia Tetap Faktor kekakuan SA di A dari unsur balok ,48 telah terdefinisikan sedemikian rupa se' hingga jika momen searah jarum jamMa yang sama dengan Sa@a dikerjakan di;4, rota' si searah jarum jam garis singgung di,4 adalah @a apabila ujung B terjepit. Faktor pemindah @on dari ,4 ke I adalah perbandingan antara momen di ujung-terjepit .B de-
ngan momen yang dikerjakan di,4 menunrt kondisi-kondisi di atas. Unsur balok dengan momen inersia tetap ini ditunjukkan pada Gambar 15.3.1a hingga c, dengan: diagram MIEI-nya merupakan beban pada balok-padanan, dengan @a serta nol adalah reaksi'
,Ni-
=,0
h- :gtffi h:
'ovs
lp YO -
-
vw
:'oh=9ffff V
q#
=
* -I :,^
vsueruIu{el roulzc
. ry#
=
*** :'^
?,h = a s€llsuluaqg urolo{ uped qeinuq e{ ueqeg
tgll =O) UAlt) = JSopue uro1o1 Euedurzued
sunl
'e{upguep yrySnuteu
trep g4rsod uerru{e1-u?ua1a1 pEuqes tunsEuq qaloradrp *dep ty, ,np vW uep1rtuop uutuag'u?nlBs-rtl-ru lluu8fluad re8uqas pl1 wiluap uurus udu6opue luolo{ reqel 1nq6s
?lq
nBIe{ rrp{r{upntuetu WIue>IB
'leffiwr1pl't'il
r?quuC eped
uqlntunlp
euuunuEuq
-es JrluEau stluep Jppod v7q edanq Euns8uq Bslq g wp Y IP uetm{e1-uzuu>1a1 ruty 'uetuequ4esa{ tu€IBp Bpureq detat wlru[Euusraq tuef urolo{ 6e1 ry1ed 1el 'uo1o4 resep upud g4eteu uep yqrsod upu?{e1-uerr?>1a1 ptuqes dettuurp lglsl4l wp rulvw ruertep -tue.r8erp uep €opue uro1o1 eped (v@ ueqaq nlus ledupral elueq ufuqnB8unsas) rnqeg rutuqes du8iluerp lnqesrel uuueped'1o1eq eped Iq?er'l$lear u4r[ tuure>1eg 'u,(up1ea:
'd4a1 ersreut ueluolu ueSuap
:1o1eq
rrsun
Iuun
qepuluIed uep uen{s{el ro}{Bc
I't'9I Dqulc
uzuuped-1o1eq eped rs:peg (c)
13opue uro1o4
uuuelal (/)
resep eped
ueueprd->1opq upud urwqequrad(g)
-ry tht
€o1uue uo1o4 Swdueue4 (a)
,F -r -t L! t
f
=
*qe1 (D) 13o1euu
ljr
u?tsuol
uro1o1 lucund uped ueucqaqure;(p)
hlo.rox I00'IvNv gooJ,ex
TL
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
72
Tanda negatif untuk Mg berarti bahwa Mg dan M, memiliki tanda yang berlawanan menurut perjanjian tanda yang digunakan di dalam metode analogi-kolom;atauMg dan M1 mesti memiliki tanda yang siuna menurut perjanjian tanda yang digunakan di dalam metode ubahan-sudut, distribusimomen, dan perpindahan matriks. Maka,
COF: *: Ma
+\
I5.4 Momen Ujung-Terjepit untuk Unsur Balok dengan Momen Inersia Variabel Metode analogi-kolom dapat digunakan, secara sangat memudahkan, untuk menentukan momen-momen ujung-terjepit untuk unsur balok yang momen inersianya variabel sehubungan dengan beban yang dikerjakan pada unsur yang bersangkutan' Andaikan kita perlu menentukan momen-momen ujung-terjepitMa darrMB yarrg bekerja pada ujung-ujung unsur balok,4B yang momen inersianya variabel akibat pembebanan yang terjadi pada Gambar 15.4.1a. Apabila metode gaya'kelebihan digunakan dan jika balok-sederhana AB dipilih sebagai balok statis tertentu dasar, kondisi keselarasan yang dapat digunakan untuk menentukan ;V/a d.an M e adalah sebagai berikut :
l.
Beda kemiringan antara
A
dar.
B = 0, atau luas Gambar 15.4.1b = luas Gambar
t5.4.tc;
2.
Lendutan di B dari garis singgun1 di A = 0, atau momen dari luas Gambar 15.4.lb terhadap B = momen dari luas Gambar 15.4.lc terhadap B
e),,
un(A-
1
variabel
(d)Pembebanan pada puncak kolom analogi (e); Diagram M r/EI, satna seperti (D)
(a) Balok ),ang ditinjau
(b-) Diaeram M IE I akibat pembebanan
yang terjadi, digambar pada sisi-tatekan.
lr-. ,a 1T[ layl Tt il,ltt" i
>\L
,,
)-v
(c) Diagram MIEI akibat momenmomen ujung, digambar pada sisi-tertekan
(e) Penampang kolom analogi
ru --1 !-
ll
d.
rD'vB \A-L--Y
-FI
(f) Tekanan pada dasar kolom analogi (e); diagram M rf E I, sama seperti (c)
Gambu 15.4.1 Momen ujung-terjepit untuk unsur balok dengan momen inersia variabel
'l0q -elr?^ Ersreu uoruoru uB8uop lldeftel Eun[nraq lopq ru4uf,'tut Sutrzlas uuposrad uupp rp eirl[teq eurgs n{elroq 'sy,g urer8elp re8eqas Br rp segaq usp ,, Ip lrdo[ra1 Suuf rare[r -ue>l-Ioleg upud efte1eq 8ue.{ ueqeq Is{e tBqDrc uoruoru tuur8utp ueeunSSued 1n43ue,(u -au 3ue,( 'n1r lused uelsp Ip uBs?q?q 'lnluei qrqel 'tBle{ erucas rlsqule{ I}n{p Itseur 7'91 I?s?d urBIBp tp uu1e1e,,(utp uueure8eqos EruBS 8ue.{ epun uurluelre; 'B n [n uaurour- ueluotu uu11 u dupu au 1n1un
uuleun8rp uulu
747
uep vtr41 ydalrc1-iu
l e33uq 3f V'Sl requre5
! vep
qt't's I 'rqc
ruBl?p
(f)t,rrtnrr
-'l
Irep ueuBqequred-Suudueuod-ueuu1a1 uolsrs
f/uep aI'i's1'rqg (uenles
-]=L
uuJep-l
r,(,p,(#)_]
euorB{ n{?lreq rEe1 ry1ed 4e1 8wr( 'urues repuraq uelnlSuesreq Eue,( ruo1o1-uolo1 JBsBp rp xp uefieg Suuruques dupuq;el sBlB o>l IS{Bar-IS{EaJ ?&q?q uu41n[unueur Inlun ue>lnlredp de1e1 a 'epaqraq >1epr1 e88ulq Suep pyy'gI reqrmC u?p u?u?qoqurod urer8urp-ruerBetq 'l e88rnq 3f V'Sl raqurcC uep Eue,( qalo gueStp pdep t z33uq pln'Sl rBqtuBC lrep ..ueueqaqurad -Eusdureued-uBuu{o}(. urer8utp B^\q?q uu41n[un1p uely 'e.{urunleqas ue4e1e.(up I{EIaI Eue,( uesrrelaso>l ISrp{Io{ enpo{ Buat?{ uu8uequnesel tu?lup ?p?Jaq IW tuolo>l ?/tlrleq qqselef '! uep p1t'SI J?qu?C epud Eur.seur-Eutsuru unplnlun1tp uueune8eqas u,{uresep eped ueuzlal uup u,{ulecund zped uuqoq lmllurew aI'V'gI rBqLuBD epud uol4nlunl p,(eplurolo{ nl?ns s{If -rp eueune8eqas 1eEe1 Suedueuad ueEuap lapued 8uu,{ (uotnluofl
I'r'9I
lugurs5
lyJ unt1ery :( r/) lSoleue rEsBp zpud ueue>1e1 (1)
ruolol
rSopue urolo1 Suedruuue; (v)
(4) ltrades euns'1 gfs 1,t1 uer8utp i(4) rSopue tuo1o1 lecund eped ueueqaqure6 (3)
NO'rO>I rCO'IVNV goorg?t
8[
v ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
14
Contoh 15.4.1 Tentukan momen-momen ujung-terjepit untuk balok pada Gambar 15.4.2a dengan metode analogi-kolom
PENYELESAIAN (a)K arakteristik penampang kolom analogi. Panjang penampang kolom sama seperti panjang bentangan balok yang ditinjau, dan lebarnya sama dengan llEI. Karcna ntlai EI bervariasi di sepanjang bentangan, maka lebar penampang kolom analogi bervariasi pula, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.4.2b. Untuk mudahnya sebutlah EI" = 1 supaya penampang kolom yang ditunjukkan pada Gambar | 5 .4.2c dapat digunakan Luas penampang kolom = i(r) + t(o) + kf) = q,s _ _ 2(-4,5) + 6Lq)_+ l,s(+4,5) _0,2368 =
la=Ir-Ar2 =2?r'
+ z
$
+t's'91' +
l
'5(4'5)'?
-
e'5(0'2368f
= 90,967
atau ,o
=2$+z4,s - o,zr8)'+ =
I
+
6(0,2364)'?+!$ + 1,5(4,5 + 0,2368F
9O,967
Karakteistik penampang kolom analogi yang ditentukan di atas di-ikhtisar-kan pada Gambar 15.4.3e dan 15.4.4e demi kemudahan penggunaannya' (b) Diagtam Ms dari balok-sederhana. Balok-sederhana,4B dipilih sebagai ba-
lok statis tertentu dasar. Diagram-diagram Mr/EI-nYa ditunjukkan oleh garis€aris penuh pada Gambar 15.4.3b. Perhatikan pula bahwa
EI,
dianggap sama dengan I
1 safuan
SebutE/c = (c)
1
Gambu 15.4.2 Penampang kolom analogi di dalam Contoh
15
.4.1.
ost =(0ZIX€)i c
'$
=;;u
=d
-- FD{
otz
=(o9txtx='d
uundurnl treP s2'1u1a'1
0r8€=(0f9XZr)E=sd
'S€'V'Sl r?qureg epud e2, uep d ueEuep 1epupllp Euef lrce>1 eqlpas enp rtuernlrp'g79 ueEuep eurus efulEtup uep ru 61 uu8uep eures ufusele tued B8rlr8es Vep ed senl rz8eqas lesndral u?qaq leqple 1g/s14 uefierD qellnqes
c,-t
8ZrL = $Z9Da = @So)Z - Qt\O6Z:Dt =.; -898'0r u?p 0z9l : 'g' senl - 1rp1-uendurq xz]r\of lBreq {t}1} BrB}ue {eI?[
-_ozgl 6Stt
rp (xxzrgg _
t!
0I8 = (rgr)! = 0Z9t
=
xp(,x96
td
080I = (rqD)t = 'd
- rTgp;
of
tJ
=
,qorrnl
'tu-€ uep 'ru-9''ut-€ tuedueued EpBd Autseur-Surseu PlBr-ISeqJel uegaq leqpl? 1g/s?,tg :0u.et1erp-tuertulp sPnI IBABqes sd uBp 'zd 'rd qBllngas
'q€'V'g 1 requreg eped
1g/s1,tJ
we$erp spn1-senl qeppu 6opue ruolo{ {Bcund eppd ueqog-ueqag 'uen1es
'I't'sI
qoluoS rrr?pp Ip rEssp nluelral srle1s 10pq re8eqes ?uegrepes-{oFs
€'r'9I crltccr
foluue uro1o1 rJucund eped ueqe8
dolPuE uroJo)i resep epud
uuuBIeI
(r)
(, ru S6't
ur S0? I I td
oI8 =
6t'LLzt
tu
SO'r l.u SO,;
SZtL=zd
i=ctfi
-Fp
"ped
080I =
ra
u?{euel requretp
'Ig/sNulf-frew(q) urolo:1 ftredureuad
{lsFal)lBI?X (a) Lg6'c5=cI
s'6 = sBnT
\i
I
IIr
89td9
I
8t9
le
zL6
rusep
goluue
96Zr
nlualial spels IoIBg (r)
uro1o1 >Jecund eped uuqeq (p)
't
1z I
8e?zI
l'rs'r N't otz
y\to10x Ico.IvNv soo,f,elr
9L
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
76 240 kN
17.898
(d) Beban pada puncak kolom
(a) Balok statis tertentu dasar
aaalogis
6,2368 m
5,7632 m
Luas = 9,5
Ic=9),967
160
*ffi,,
(e)
Karakteristik penampang kolom
960
@
ffaa$arn,
digambar pada
sisi tertekan (EI"=11
6 d .A
Pt--7992 Pz=E424 Pt=162 1,3581
mf3,7188mt
4,6731
m
T22Sfn 4805, I 2
(f) Tekanan pada dasar kolom analogi
(c) Beban pada puncak kolom analogi
Gam oar I
5.4.4 Balok-kantilever
seb_agai b
alok
statis tertentu di dalam Contoh15.4.1.
Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.4.3c dan d,
Beban total pada kolom = Pr* Pz* Pt- Pt* Ps=
1080 + 7128
+ 810
-
Pe
240 + 3840
-
180
= 12.4f8 ke bawah
Y;il"#",tf,li:*f'=
1080(5,7632
-
t,ss) -7tzl(0,2368)
-240(3,7632) + 3840(5,7632
=
Untuk titik
-
- 810(6,2368 -
5,3333)
+ 180(42368)
467;70 berlawanan arah jarunr jam
24,
M,=0 Mt =
n.438
467.70$J632\ +w = + 1309,26+ 29,63 = + 1338,89 Mt = M"- M = 0- (+ 1338,89) : - 1338,89 kN'm
+ff
Untuk titik B, M, =0
Ms =
M"- M
=
0-
(+ 1271,19) :
- 1277,19
kN'm
r,e5)
'lrqlJoq qoluos tu?tBp Ip uB)plnfun1lp
uolo{ flu?duuued {I}slrel{erpl
tlrBIBp
B/{uSoFtt{ wBuap ?IuBs lnqasr:
uB13 Bu?tul?8sqos
Ip uDIuegBUadIp Idela}
'I
IEpl] {pq qlqel '1s 'tur snsul tuBIEp Io 'u?lsuo>l llri I u?8uep ?ru?s 6?l {?pll uep 'E ':: -Suetued qnJnlos rp loqerru^ edmeq e,{u6opuu uro1o1 Suedueued ruqel ?rt\q?q lpnr::r ldulel ursteut uetuotu sns6l tu?l3p Ip lpodes ?ru?s flue^ BIBo u?ftIop w>lnluellp ledep 1a: uoluoru DIIIItuotu 3ue,{ 1oluq rnsun {nlun qepurured IIBp u?n>Ie>Io{ Iol{El -BrJeA BISIouI
uB8uap {0188 rnsun
{nlun I{BPI{urad rol{8J
IaqBIIBA BIsIeuI uauol{ uBp uBn{B{ex rol{BJ s's I
'{spspuolu EJeces qeqnJeq elsreul ueurolu ledurel-1edue1 tp rrelep-rpues enp ueSuop lrdefrel-Suninreq {ol?q 'uelqepnueu qlqol uB{qeq nel?
'.Z rp s?qoq u?p g Ip lrdefrel Bue,{ reaeplu?{-{oleq rlredes '.resep nluepel sl}Bls -Eq {nlun utel uuqlltd-ueqqrd 1edep.rel ?.tII?q uelllBqrodlp estg 'xsnqsxq (p)
ur.NI 0Z'lrZl 0z'LLit
-
= $a' LLZI+)
-= 0i'reti r ?88r -
=
-
0
:
tN
-
sN
:
lol
8N
-#L-
tsr##%iri
=
0:'x
^ 'g
{i111
{nlun
tx.NI 88'8€el - = (ZI'S08f-) - Wl9- : tN * tN : v7'l
zl'so8r-
: 7,t' t267.- r88t - : (89#ffir9' :'N
*
ffi
- ='^
nnt9-
'v l.llll {n}un urel runref qerees 9'161'99
:
\862t'7)Ot +
(862r't)082t + (8e86't)zel
- (ze8e'O)tzt8 + 0sot't)2661:
sel?
eI868'll =
"3r:'J?rH1Tl#,li}#h
0t + 08zl + z9l + tzlS + z66L : td + td + id 124 +rd : 1rlolo{ eped 1e1o1 uuqeg uep cb'V'9I rBqIueC eped ue>11nlun1rp eueurte8eqeg
'p
or=(r)(08)i=u oszl =(r)(ore)i:'d gZ'Z=$)i: B Ir"P id IBI?I Z9l = (€XZ9I)i: I Iftp zd {?.ref ItZ6'g:
(xx.x[)
rp
ed
=
I 5J
'
wre:
rxggtJ:2, g ru,p rd r,rsf
6li9'ol = '*t ,,l; = ry(r)(,r€) ' zrJ'
= ,a
= xp,ree
z66L
,,Jl '6oPur tuolo{
?Ped u?qoq Ie8?qas sd uep
'nJ 'ed 'zd'rd qellnqes 'qV'n'gl rBqiusg eped qnuad srreS-srru8 qelo ue>11nfun1 S rp s?qoq uep 1p etulllsW tuerABI( 'resBp nlueuel sllels >1o1eq te8eqes qudlp sw ut'ot"*otq (c) BueA gy ra^alllue -)loleg 'boafruoy-qoPq 1op rp lrdefrel ' I'0 I't qoluoJ ruelsp Ip 8ue,( ue8uep {ococ reueq-r?ueq s?tr? Ip IIs?q{IseH
f
wo'Io>I ICO'MV SCOrsvi
LL
78
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAfi
Contoh 15.5.1 Tentukan faktor kekakuan di:{ dan B, dan faktor pemindahan dar: ke .B serta dari B ke A untuk unsur balok dengan momen inersia variabel se-
A
bagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.5.Ia.
PENYELESAIAN (a) Karakteristik penampang kolom analogi. Dari bagian
(a)
pada Contoh 15.4.1, Luas penampang kolom analogi = 9,5/EI, Jarak titik-berat dari A = 5,7632 Jarak titik-berat dari B = 6,2368 Momen inersia terhadap titik-berat =90,926/EI,
(b) Faktor kekokuan Sa dan faktor pemindahCa6 dariA ke B. Di dalam Gambar I 5 .5 . 1 D , beban $a dikerjakan di tepi-kiri kolom analogi. Me =
Srde: tekanan di 24.
6e $;76326i$,7632) : g,slEI,n,g6ilEI" = r : 0,2632 + 4,3'tr* o
l#.
WIT
^
^
=s,wtffb^
(a) Unsur balok yang ditinjau 6,c
= l,o
da= 1,0
I
I Sa
Qa
4s,t$z6e
t\6,2368d8
G G
G
I
i
6,2368 m
EI.
qeu1ff1
s,6441(i) (D) Untuk S/4 dan
Gambu 15.5.1 Faktor kekakuan toh 15.5.1.
(c) Untuk Sg danCg4
C13 dan pemindah
untuk unzur balok
di
dalam Con-
-qeq qBI4B{ubl'0p [ce{ tnpns uB8uap d{1111 Ip.ssutu e{ B{nq!p.. 2.9'SI ruqurBg IDJV eNr.\sInB ?T['nlnwp s8qeqrp uB{B ?rr?qropes 4rlatuoa8 uuposrad nleng
uped
'tuns?uo1 npasord rnluJaur
qoloradrp ledep elEuere>1 epud 11lltr Suurequros rp uatuoru 'tuo1o4-Eopuu epolaru uu8u -ap '.unrlreN'uullntuls ueutuesrad e8q ueresalefuad uerlnyeurolu uer{rqele{-u[eE epoleu.r uuEuap rur u13uura1 upsrsqpu?Eued 'e[re1aq Euuz( uuqaq-ueqaq lnlEuur(ueu >luprl rrup uu1ru13uesraq 3uu^{ ulEuere{ {r}srropleJel 1n13ue{uaur rfueq ]nqesral u]eturs-nqtuns B^\r.l?q uafl]sl{red 'I'9'SI rBqrrrBC eped ue4lnfuqp 1ul uuleredsrad runuaurqu 8ue[ p>Jrdr1 ulEuure{ n}ens 'e[ra4aq 8ue[ uuqaq edu:aqeq Iqluraur uup 11def ludruefas -ra1-uundurnl Bnp Dlrftueu rnl{nJls epqede lJleup-nquns nlus ueElrap ledua lnqasJol )nlun m{eunErp ledep uro1o1-rtopue opolal{
-r8as >lnluaqreq u43uure1 srsrpue?uaur
gtauls nquns nleg
ueEuap ledtua6ag
{uuaqr?g elEuaay
86€ts'o+
ueuou-Isnqrqslp epoletu
urBIBp
urBIBp
Ip ueurol^l 9'St
=ffi* ="c
Ip eueup8eqes ?pu?l uBr[uBfrad
r3e1
ueleung
'a#va&'t-= r96'ffi s'61
I -^'t '
'rsL(z€9r'sx89tz'9)zr zt )
'IAIL%'6 _,tg19'6 @IilaEsset6- --sT7
_ =
!P uBus{e} = v;g
ft*w't:,s 'u{eI[
,gfrrzrr,s
d-
GtadelGFst€zD--
=
#]
*+[dffi
=
'Q*uwoe\ + ztsz, l)=
'tglL96'M
ru?1ep
-
, "till9'6 _
B'IP ueuB)lel = soss = 8r4I rSopue urolo{ usu?{-ldel Ip uu{?fte{rp Aq ueqaq'eI'g'SI reguru5 uop Eg r.ronqo{aq nqDd (r)
r( 'v al g 1,op v89 qopltuad rcqo!
zzsts'o+=ffi*=*" 'e{utunfn enpa{ {n1un
-eqes
;11rsod uaruou-ueurour
wt
{ol?q rnsun eped efre4ag Suef ruel urnref qeraes ueuou-ueuotu qeldettuy
frn-l
'e-
'e*
196'M
v67l '
= =
_s'61:
'rsL(89€z'9xaegl'.stzt 7t
l
'tglL96'M 'IAIS'6 (Bt€z5mzeefd---i6- = B'Ip u?us{el =
fit
srltl
ws='s 'Br?ru HO10X r501VNV
6L
gqo.ler
r. ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Gambr 15.6.1 Kerangka berbentuk
segiempat dengan satu sumbu-
simetri
dengan
BT
C-ambar I
5.6.2 Perpindahan
tersama-
rata di ujung-ujung anggota berbentuk kurva.
wa bidang PCB akan berotasi terhadap titik P melalui sudut d@ dalam arah lawan-arah jarum jam, sehingga menempati posisi baru PCA'. Jika sudut dQ sangat kecil, maka, dengan pengandaian orde-pertama, BB' dapat diandaikan tegaklurus terhadap PB. Sebutlah LO, Lu, dan A, sebagai rotasi garis singgung, lendutan horisontal, dan lendutan vertikal di B. Dapat terlihat bahwa
L6d,iB = dSlawanarahjarumjam LH di B = BB' sin g = (PB dO sin 0 = (PB sin 0) d@ = (+"/) dQ = + y dQ ke kanan diB = BB'cos 0 = (PB dilcos0 = (PBcos'l)dQ 4 = (-x) dQ = -x d@ (positif untuk ke atas)
(15.6.1a) (1s.6.1D) (1s.6.1c)
Perhatikan bahwa x dan 7 adalah koordinat-koordinat P dengan mengacu kepada .B sebagai titik-pangkalnya. Dengan demikian pada Gambar 15.6.2, x bernilai negatif dany bernilai positif; maka - x, yang karenanya bernilai positif, mesti disubstitusikan untuk PB cos 0 di dalam Persamaan (15.6.1c). Sekarang andaikan garis kurva pada Gambar 15.6'.2 benar-benal sebagai anggota berbentuk kurva yang kaku (takterdeformasi) kecuali untuk bagian ds yang sangat kecil di P, yang padanya terdapat momen M yang bekerja. M dianggap positif jika ia mengakibatkan tekanan pada sisi-luar (atau sisi-cembung). Anggota berbentuk kurva tersebut, yang tertekan pada sisi-luar di P pada bagian ds yang elastis, akan "terbuka ke atas". Rotasi garis singgung di P, d0, sama dengan (M ds)lEl, menurut persamaan (2.12.1) yang diturunkan di dalam Bab 2. Dengan menggantikan dQ = (M ds)lEl ke dalam Persamaan (15.6.Ia hingga c), ketiga perpindahan tersamarata di B akibat aksiM terhadap ds diP adalah:
* 4!
LodiB
=
LH diB
__ My ds
Lv diB
=-
EI
! "!, EI
(positif berarti lawan arah jarum
jam)
(15.6.2a)
(positif berarti ke kanan)
(ls.6.2b)
(positif berarti ke atas)
(ls.6.2c)
'uEslsll?uuSued urEIEp u?q!gale{-?/t33 epolal\l
(c)
€'9'sI rEqusc @\
o11
:l
'lou q?lBp? slr83 nl?ns Iuqel '{I}BIuel?u BlBces :..su efueq uu4uunStp pts tp
-et Euuprq., rrep ..ue1epede1.. ue>plnfunuau {nlun Isqol lnqosrp
Euu.,t ede
nefu111p 8ue,( rn11ru1s
'unuuN 79/1
ue8uep BurBs
1e1e reSeqas
{I}B
Eueruqruos Ip leqel
rltllueur
rdet
rlrades eurss 3ue,{ {nluaq rxlluaru Suez( 't8oJuuu uro1o1 Eued
-ureuad tsraq-{Ilp p8uqas uDIIspUapIp 'V'9'SI r?qureC eped 6 >gll} 'sqsela-tresnd '1ou uuEuep (a eE8rnq uy'9'SI\ uueluesred ueeue.{uad rr?p IBsBroq 'or1 uep 'oH 'q14[ Uul{Iqele{-u?qlqal0{ ue{n1uouotu {n1un UEI -uun8rp ledup Euuf 'uzserulasal rsrpuo>J e31la4 'e,(uuee1e,tue1 ruepq 'e,(qe43uud-1rt1t ruteqes O upede{ nceEueu uuSuap u,{uleutproo>1'}?ulploo{ qeppe rf uBp x :u?8uap (su]u
(crg'sr)
aI
qru.Ieq JqtJsod)
ru spx(r!1 -f,oH+aW+'y{) [-:ow^v (uuue1 e{ pmreq JrtIsoO
(qr'9'sr
)
sp
((xo1
ru
- {oH + oI4l +'r4l) J*:o'"v
(uref urnref qere Iruit\EI qrereq;tlrsod)
(prq'sr)
ru
sp
(x"A
-
(aH + olru + W) J+:
o
ru
'v
qspp? C {pp 1p Iulol ul?l€tuesral ueqrputdraC 'g3gye4\uero{ qrunles depeqral uu4pr8alut uup (a e38uq oz'g'SI\ ue?trusred IuEIsf o{ (€'9'SI) uuuruested ue{Ilu€C 'e13uera1 eped 4 tstsod snues 1n1un ;11e8au Isllur{ (E'S'St) uBBIU?sred epud x'tut Euere4as snsu>l tuul?p Ip '?^\qeq UDIIl?I{red 'e,(qel8uei p8eqas 6' epeda4 nce8uatu ue8uap dr leuJproo{-}sulprooI qelzpe ,t uep x :ue8uap
-{lill (e
(fl,1-(oH+or{)+'N:N
'9'91)
aup
r
uep D€'S'% ruqu?C uep elEuure4 luun 'u>JEIiI 'JBnl-IsIs epud ueuelel uulleqpp8uau ?{orau eryf g4rsod du8Euerp uauolu ?ntues E/rrr{Eg t8ul ue4qeqred 'n}uaual sl13}s re^eI1 -u?{-rnqnt}s epud s4e1s uaruotu nelE's14[ qEIBpB g€'9'SI requuC pep ulEuurel eped pvep qtg'91 r€qurgD uup e13uere1 eped 7Ip ueulotu qelurni drrp uetrrotrr q?pnqes ', IrsF ueEuap BruBs ?€'9'gI rzqru?C uup alfiuural epzd 4 44t1 Euurequos Ip uauo,\l q€.g.Sl rcqtue3 eped ralapluel-ulEuure>1 Bnp IrEp qelurnfue8uep Brelos deSEuury qeloc el8uura>1 'wqtqe1a4-e,(uE ueststpuutuad-apoleu: eueu4e33q3s 'ruolo{-fopue opolsul ueSuap Dt'9's'.
Dt'g'Sl r?qu?C riep nu[q11p 8ue{ e,{uunleqas s?qeqlp
rrrelBp rp
qe1a1
rsquBc eped ludruel8os {n}uaqreq nlSuure:1
ssIlBuE nu[u4 e114 uu4e '8uera1og' r?quIBO eped q2gy ryec '
D€' g' 9
I
-as ludtuefes {nluoqJeq 4o8!lu? depeqrel uoldurellp ledep 'e[us n1ue1 'zun4 {n}ueqIs. yloS8ue tunum snsu{ )inlun u?>[unrnlrp Suef '(e uEEqq q'9',9i uBBLrIBsJad 'u,(u1o$uei
-41q
rcEuqas
g
epeda>1 nce8ueur ue8uep
dlsulproo{-}eulproo{ qelepe /uep
r
:ue8uag
no.rox rDo'rvNv sqoJer
I8
82
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Gambar 15.6.4 Penampang kolom analogi.
Sebutlah A, Ix, ly, d.an I* sebagai luas. kedua momen inersia, dan momen sentrifugal (product of inertia) penampang kolom analogi terhadap sumbu x dany yang melalui titik-berat. Maka, melalui definisi,
o=l# ex:!ff:o et:[ff:o r, J%f : o $:'Iil#1j*'fi ffi|;i
(,5 6 5)
=
''=l+',=l#
jika suatu batang kaku oD yang'menghubungkan pusat-elastis o dan tumpuan-terjepit D dicantelkan pada struktur yang ditinjau dari Gambar 15.6.5a, kita peroleh struktur padanannya pada Gambar 15.6.50. Karena batang oD kaku (dengan: EI = taklerhingga) dan tidak dapat terdeformasi, ketiga perpindahan tersamarata di titik O juga sama dengan nol. Sebutlah Mo, Ho, dan Vs sebagai tiga kelebihan yang tak di ketahui yang akan bekerja pada pusat elastisnya. Jika huruf D di dalam Persamaan (15.6.k hingga c) digantikan oleh huruf o dan kemudian ekspresi-ekspresi yang dipersekarang
oleh disamakan dengan nol.
Ad di AH
Av
o
:*lW**"1#*r.[#-r.[#=o *lryf * *.1#.
".[+- */otf : di o =-l*#f'-r,l#-",J#+q\ff:o di o =
(r5.6.6c) o
(15.6.6b)
(15.6.6c)
HD
t),,
I VD
(o)
Garnbar 15.6.5 Struktur-padanan dengan batang kaku.
(qot'q'sr)
1I
.'l -v:
x^N' {*N' d
rEoprn tuolo{ resep upud ueue4el
-
!y11
: ue8uep
(rorg'sr)
ly,r
_'N=
(;# _e_:_)
'(O'S'St) u?Bruesred (o's'sr
(Pd,
)
-
LrrBIBp
{oH
*
+'N = N
a{ (e eEEuq 28'9'SI) u?eu?sred
oW)
+'yrl =
Ue>IIIuBC
fI
urEuop uur?s '.rs'9'SI requ?C uped nelwlrp 3w,( rn11ru1s nele'qs'g'gl rEqIuEC eped ueuuped'rn11ru6 IrBp >11tll Sutreques !p /,g ueruotu sti\qeq ue41nfunuaur 8ue,{ (g'9'91) uustuusJed ue4dera;
(r8'9'SI) (qs'q'sr)
(Ftaurfs-nqurnsue>pdnreu
/
nqruns e4f u,(ueq
(lrtauls-nquns
^I , _o^ n4elleq) WT - 1r
ue>Jedn.raur 'I _ ott n1e1.req) ,W- - rt
.{nqurns e4r[ufuuq
Y-=on d
(D8'9'st)
rpeluaru (a e83urq DL'g'-g
I)
uueru?s
-ratr ',f uep { nquns depuqral rul ueqaq IrBp uetuotu teEegas Sutsetu-Eursutu iy1 e1rcs xq uep '6opue tuolo{ uped urqaq ru8eqas dr r{?linqes 'uerpntuoy '{ uep x nqurns depeq -;e1 pfsy4Jwer8erp uep uoruoru qul?ps Surseu-Butsutu (c uep q7'9'91) ueeurusre4 urupp 1p Suepqrued-8uegque4 'rSopue uolo{ 4ecund epud uuqaq te8eqes deSSuurp tudup 141 uter8erp qeppe (pt'g'St) ueeurBsred uBI?p Ip Suepqura4 '(e u8Eurq DL'9'SI) u??russred urel?p rp Euepqurad-Euzlrqured qquefqad Suure>1a5
er:rnl{nrts qrunles eped pf
()L'9'91)
ue>pdruau
(rrleurs-nqurns
trnq*n, e4te,(ueq n4eFaq)
4* ^I
= uA
sp x'r4l J
GL'9'sL)
(rrleuns-nquns
inq*n,
ue4ednrau
e41te,(ueq
'l n4eyraq) 4spiw
(o t'g'st)
= uH
l
rul
SP'N
:oN
J
rpu[ueu (a eE8urq ryq50 ueuru?srad t>I?It'(S'9'S1) ueeruesra4 epud fopue tuolo{ Suedureu -ed 4ts1rat1ele4 reEeqes FrulJeptol Suef ue8uap uures (a e83uq ry'9'Sl) ueuuusre6 uped oA uep'oH 'oW uBr{lqela{-u?q1qa1a1 Suaplaq lzdupral Euuf pr8elulpr8alul
p
'g3gye4Euere1 qndlleu npad ufueq e.{ureuaqa (a e88urq p9'9'SI) uzuruBsred urelsp Ip uelur8alur8uad unures 'eEEu1qre14u1 repureq tnqesrol n1u1 Eurluq lrr 'unurBN 'OO DI?{ 8ue1uq eEnf uep OJgy elSuure>1 qrunles rlndrJoru rlseu lnqesrel uepr8elufued-uepr8eluSued uep e,{uplEued-111p p8eqas 6 srlsele-1usnd upede>1 nceSuaru ue8uep e,{ulvurprool-leurproo{ qelepe
t
uep
x
:ue8uap
wo'rox rco'IvN'r/ scroJex
88
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
84
Peng-analogian kolom yang bersangkutan secara gamblang ditunjukkan oleh Persamaan (15.6.10a dan D). Dengan peng-analogi-an ini, sekali karakteristik dan pembebasan pada kolom analogi telah ditentukan, momen di titik-titik terpilih (sebanyak mungkin, seiring kehendak) pada struktur yang bersangkutan langsung diperoleh. Telah ditunjukkan di dalam Bab 4 bahwa dalam penerapan metode-penganalisisan gaya-kelebihan, pada umumnya terdapat beberapa cara pemilihan struktur statis tertentu dasar. Suatu cara lain untuk mendapatkan struktur statis tertentu dasar dari kerangka berbentuk segiempat yang memiliki dua tumpuan-terjepit ditunjukkan pada Gambar 15.6.fu hingga c; di dalam kasus yang demikian, kelebihan-kelebihannya adalah Me, Mo, dar, Hp dan kondisikondisi keselarasannya adalah 0.q. = O, 0 o = 0, dan As di D = O. Apabila sebuah batang kaku yang menghubungkan pusat-elastis dan tumpuan-terjepit D dipasangkan, terlihat bahwa Gambar 15.6.6d setara dengan Gambar 15.6.60, Gambar L5.6.6e dengan Gambar 15.6.6b, dan Gambar 15.6.6f dengan Gambar 15.6.6c karena pasti terdapat himpunan nilai untuk Mo, Ho, dan Vs yang dapat diperoleh sedemikian rupa sehingga momen di sembarang titik pada kerangka di dalam Gambar 15.6.6f sama seperti yang di dalam Gambar 15 .6.k . Karenanya, m omen M di sembarang titik padakerangkadidalamGambar 15.6.6d adalahjumlah dariMs didalamGambar 15.6.6edan (Ho + Hoy - Vox) di dalam Gambar 15.6.6f , dan dengan demikian metode analogi-ko-
lom masih berlaku.
Ringkasnya, metode analogikolom dalam penganalisisan kerangka berbentuk segiempat dengan satu sumbu-simetri dan dua tumpuan-terjepit melibatkan langkahJangkah
berikut
l.
2. 3.
:
Pembebanan pada puncak kolom analogi samB dengan diagramMrfEI, dengan: M, adalah momen statikal pada sembarang struktur statis tertentu dasar yang diturunkan dari kerangka yang ditinjau. Pembebanan tersebut berarah ke bawah jtkaM, bernilai positif, yang berarti bahwa ia mengakibatkan tekanan pada sisi-luar. Penampang tegak kolom analogi terdiri dari bidang-garis, yang bentuknya sama seperti bentuk kerangka yang ditinjau dan kepadatannya di sembarang titik sama dengan llEI. Momen di sembarang titik pada kerangka yang ditinjau sama dengan14 = Mi - Mr, dengan: M, adalah tekanan pada dasar kolom analogi di titik yang ditinjau.
+ U,C
P/ q/ -ut
"l I
Ho+
Gambar 15.5.6 Pilihan lain struktur statis tertentu dasar.
'o
uep
ue{leqpl? .? -rp Jlrlsoa ueue{e}-ueu?Ial wp 'g uep Y rp;rle8eu ueuelel-u?ue>le1 *W 'C u'p -8ueru er rpef iuedep Ir"p 1?qryp epqede ulef urnref qere llredes >1e'le8raq g Ip Jllrsod usuu{el-ueu3{e} uep 'O tfip 7 rp Stle8eu ueus{e1-u?ue{et ue{trBqD{e -auau: er rpefiueuel-rsrs rJ?p leq{Ip elqede urelunrefqere rtrredasrlereSreq rleuatp xyg '6opue uro1o1 eped {I1I1 ?nues rp '3r1e3eu duSSuutp 8uu'{ 'ue1tre1 ue{1?qDle -3uau er pefise1e e1 >1ere8req d l?trol ueqeq 'qoluoc re3eqe5 'uws{irolued Inl?Ieu */*nw uep 'x1l("x71tr 'Yld :nlq urelsp Ip IePu-I?lIu {n1un ?puel-epuetr 'rur 1eqe1 ?p?d'l'9'SI Ieq?I eped Sunlrqrp Ouep'J 'S 'Y \IlP Ip ,t IB1IU-IBIIN
ue{nluolrp
lurdap utp tur{flIP) uruf urnrefqerees L'ZZte: O)(zL + (,Er) + (199'
(ueu€I
t)w
: N t
uep leqgp) u.ref runref qeruas 1'199 : (st I't)rg (s88'e)z/ + (s8t'l)z€, ='r{ eI 89S : ZL + ZW + t9 -- d sE13
'1 snsey {nlun 'uelrfzsrp u3{3 '.8'9'9 I r?qtus5 uped ue4lnfunlrp eueurreS?qes r?sep n}ueuelsll?lsJnl{nJlse311ue1eun88ueru8uef.e^(udelSueluereselefued.Is?JlsnII s1'r7 tuo't8otg 1q1 >lrrlu1 'uuutDltaq SuoK.tDsDp nluartal sllzls rn14n4s o3!1 lrDp
'I'9 9I r{o}uo) rSoltue
uoiol
1nlun leduar8es In}ueqroq elSuere;1
Suedureue4 (q)
n?fultlp
3u3,,{
98'9u
t'9'SI
ruqur?5
e]8u€re) (r)
NI
zLE=
(1oco3)
(ucr?unc)
'Z
zo)G'n)z*fu:
:.(su't)€l -fits'llz+0:-(v
^,
-)sI:xl
.
t8'et I = [,,rrr',,r', #-r)r+z(sll'€), . tI
:'I
Ct t'C : .......'...--...............-......:: (
(s'rxs't)z + (o),
EI
=(o)f+(6)i+(zl)i:v
'I?relBI Isueulp HIIIureur 1upr1 sue8 nl?ns sqlroel er?c -eSeuoJs{.1ouue8uepetu?slnqesJel..srres..uesuepqereesSueflJlpuesefulereq
'qL'9'91
r?qlu?C -srre8 depeqrel srreS-Suuplq slsreul ueluolu ?"tlq?q uellluqred c1g desSue8ueur ueEuep '13o1eue uo1 eped ue4lntunlrp 'u?nl?s 1 ue8uep ewes -o1 Buedtueued 't\o1ouo uto1o4 SundwDuad lltcLtallDtoN @) NVIVSA'I:IINgd '
0L'9'SI l?queC ePed
uroiol-r8o1eue oPoloul ue8ueP
ledruer8es {nluaqreq e13uere1 qelslslleuv
I'9'SI goluof,
WO'IOX ICO'IYNV gCOIgFi
98
r ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
86 24 kN
24 kN
24 kN
8kN
8kN laa
kN.m(;
144
24 kN 11"3g51
Kasui
Z
8kN
kN.m
(a) Struktur statis tertentu dasar
"re -ffi] H*ll*H'''\l * X,
E
HI
Kasus
(D)
IE'"XHI
I"EII
I
Kasus 2
(c) Diagram
nr',
lEI, digambu
;E -l Kasus 3
t6-2 Fffi
Kasus 3
pada sisi-tertekan
(Dengan menganggapEl, = 1)
32U
-tKasus I
Kasus 2
(d) Beban pada puncak kolom analogi Gambar 15.6,8 Tiga struktur statis tertentu dasar untuk Contoh 15.6.1.
3
t
12 kN
DiagramM* digambar pada sisitertekan
: ,ffi,, =
Kasus
Kasus
=Sffiffin.**,
Kasus 2
1
77>17
t 12 kN
24 kN
Kasus
3
l'9'sI
qoruoJ urqEp Ip l?duerSas 4nluaqraq ?)lSusreIluun uBr?seleltuad sps?Ie
ffiut,
?^rnx (p)
u?Is?JEesrp
6.gsI r"quEg
tu?{ ueuloul t,tr?JtsJ( (r)
ffiut,
uetuoru ul?lturc (q)
p t6,8
s?qeq-epuaq
urE6q( (r)
r'91 L0'9
$ol
:te I
e9'z
:-id F.--t,
tl,
P tV G
=l I
x 1,,*
lu
@
Ji',ri I
,'t-
z8'9r
€6'8
F 'tl
Lo'g
'uyurufre1 eduueps -eleIued ueludele>1 eEllulqas 'uer1nr1e1rp efuueserqasal uelece8ued u€p eselq e>IB -e1s uelece8ued '6'9'5I rBqruBC eped ue>1:1nfun1rp eueurre8eqes ue{reqtueSp uep enures tunlrqrp sIlsDIe ?^rn>{ rr?p e uep 'C 'S 'V )llllt Ip Bl?reuresrel 6unqnq-ry1r1 ueqepurdred uup'uetuotu ururEerp's?qaq-ppuaq ure.derp-ururte1p r1eletes (rsnl.Fp epzd uutrulal) u.NI dzltz+ (ruslDplsF uped uuueqel) uI. Nt 00'82 (urE?prsls epud ueuu:1e1) tu'NI Z8'9I ur.NI €S'ZI (urepp-1s1s epud
uuuelal)
= or J = rr^i
= 8I{ =
vr^J
:rIEI?p? e.{uueqe,tr
-?f'uurllele{ s?luq-s?leq tuelep rp uel?{epreq dnrlnc lnqasrel uuurelreq tuef r?s?p nluepel srlels rnl{nrls ueqrpd e8rle>1 rrep qaloredrp 8ue{ gseq=pseg I 1eqe1 eped Sunlrqrp O uep 'C 'V 'V >filll tp ,11 EIIU-IcIIN 'g:9'S
luedap uzp lzqgJp) uref urnref qu.ru up,aE E Wll : Osg'o)ezt - (ts€'€)'9 + Oy'ilzt + O\(zL +zD = rN (uuuq uref urnref qurues 76'979 = r?qmp) - (sI t'eX8zl + f9 + z€) + (st9'I)zl = 'r4l lrep
(s88'I)zr
r#/r\eqeI 89€=8ZI
+W+Zt+ZL+ZL: d 'E snsB)J tn]url
'Z'9'Sl laqe; eped EuniHIp O uep 'C 'g 'V (uedap Fep
lzqgp) (9)8r
(u"us{ F"p (ses'zDze
-
reqfip)
(Er
uref urnrefqerz ue
\E
\llt
1p ,11
IEIIU-IuIN
I ,t
.:L
€'S09S
=
- (gxrzt + 98r) + (ee''o957, = ^N ure[urruefgere u&$q 6a'SSZ =
r'o)s8r + (sr r'€Xgsz + %) + (sr r'z)8I = 'r4i
sEle e)t
08II =lzt+98t+992+lX+8I = d
1,8
I001VNV SGO&8I
HO.IO>r
{qun
'z sns?)
t6
ANALISTS STRU KTUR LANJUTAN
TltEl
rlgrr
15-5.1 Uomen di titik A, B, C, dan di drl.m 6oo,oh 15.5.1: Kasus I
D
pada kerangka berbentuk segi-
M,
-,a
&r
A
; lil4
-S-.rlr,e*
,tffits,ranl :34,1.1.
B
,
rt&
Pr:
!x:
-43;69
+,:,''
c
0
r43"69
f,:
D
6
:rl1;@
-.-.,.
Tabel 15.6.2 Momen
!4{
.,t*.,:
Mi
t,.t,
-ffi-=:rJr
&,
llt,$
-!u}
tE;l&
:,i3*e
i
i:?g;IE
.16I?
11,$,lq
,J3fe
t
}E,S
-?8,@
:.,.,:,..{5,&$ *,ir}d,1.?-
*S3159
-
24129
+24,;e
..":,,,
$,lit}i.+
...F.rtl5J
di titik A, B, C, dan D
pada kerangka berbentuk
segi-
empat di dalam Contoh 15.6.1: Kasus 2 Tiiik:.rr
f.
,ffi
,.&1., ..
A,
I;,.r'
..
4e,c,.
,.M.
,Iv::
.
*{
A
s
-ffg;,-*e'rr
;ffis,x*;;rzo .$;sr9;l4r
B
a,74
-90fl
teoJl
.'
C
nZl6
-fir77
-ro-41-':
-l8e,66:.
-23'm
D
,:'!4{
;90:41
i168;S
+2.[,:S
:
{3'Il5}=*
6,82
+ :..,:,{s!*ll=+1af,8
Tabel 15.6.3 Momen
di titik A, B, C, dan D
+
t?,52
:.11!
-.12,52
,
-
16,t2
pada kerangka berbentuk segiempat di
dalam Contoh 15.6.1: Kasus 3 TItT(
:i,'&I
Pr::
t{;
A
,...r..ifi*
Ir.
Iy
Mr
h*
+rrys
- l2J5
+64,11_
-ql :Z7r*
+er;rl
_ffir,**1-al7 +Sttrl+q,*r
+.ttt
+28,3t
ar' '
{}1115}* +18,09,'
+
C
0
*ZEJI
+
,t3rlrl5),'.'|'1*j09
iIq,{l
+t1,99
D
0
+,28,31
{5,SJ}= -:34,1?
:.1lr4t
-9121
A
0
B
+$=
r: 1:rr
.
"
18141
(r)
' uusrslleue8ued ur?lep usqlqele>1-e,{t8
ep
(c)
,,,.8,, t. -
'yl
o1a;41 Z'
t' S I
rEqurBC
(r)
I
"'r/
I
I
lu
zd
'rrleuls-nqurns nles uu8uep 1t4dr1 dn1n1re1 elSuerey I'1.'SI rEquEC (D)
@)
+
Ivl
lzu
tN
zvn_tvn
zv11
-tv11
zvyt11
:tv111 'e41u1s UBSBI? Buel
uueruru8uqes I{31?pE zY uep 1p 8ue,('qZ'L'Sl requrs3 eped uu44nlunltp LY uep I f ]nq epud efra4eq Eue.,( ueuroru uup '8ue1uq-e[e8 '(tsruUt) lesap-t,(e8 '
-e1 'u,(uuelup r
Z{tn
-esrp Surseu-Sursetu lnqosIal uu8uolod tsrs dutlas eped 41r1->p1ll uep F'1t14 Suurequras E\II'tZ'L'91 reqtu?C eped dn1n1re1 e48uural qBInBF4I '3uns3uo7 tnpesord rnluleul qeloredrp ledep elSuere>1 uped 41t1 Euerequres 1p
Suolodrp nn nlEuure>1
rp ue1llotu'ruo1o>1-r3o1uu? epolelu ue8ueq 'Irlpues e{ualEuerel lrleluls-nqluns dupeqrat sularurs ufinl ueplaqa>l lnqesrel lEuequn8uetu Euqes Eue,( wqoq-utqeq qI' L'SI requ?C
upud undplsatu 'e[re4aq Euu[ ueqaq-ueqeq upedel {BpI} uBp ulSuere>1 T}slJel>l?rul
epedel efueq nceSueur uelnlSuesreq 8ue.,( Ir]euls-nquns saqBq r3e1 ueltleqred epue rBqLueC eped ue4>1nfunllp IuI uelerufsred rlnuetuotu 8ue'( pTdrl dnlnlrel IlseN
'
I
'L'
S
I
elEuerel ?nc 'leurelqo rs{Ber-rs>luar qelo ndunllp
BSIq
nule 'tEuequrrEuetu flules 3ue{
ueqeq-wqoq In4truetu >1n1un uuln[n]lp lnqesrol u13uure4 epqede Ir]etuls-nquns nles *arrp dnlnlra1 e13uure1 srsleueSuau {ntun uu{?un3rp ledep tuo1o1-t8opue opoleri
Fleuqs nquns n1u5 uu8uep dnlngal elEuula; uped ueuro;'q 4'91
'O trete 'D 'g 'Vrsu>1o1 leduea>1 rrup (efes eueur 8ue[) e8rl rp (e'tusnsel Surnes qeloredrp etnt 'u?lep-rpuas nele r?nl-Ipuos) rpues qenq e8rl uelledureueur ue8uep 'tsnqs''O Q) l?d?p resep nlueuel sllels rnl{nJls nl?ns "'i\q?q q?p?{r}eqred wo'Iov I90'IvNv sqo&slt
68
90
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
jika posisi tiltk Ar dan arah garis singgung di,41 dipertahankan tetap (setelah beban-beban dikerjakan), jelaslah bahwa LA, An, dan Ly di A2 relatif terhadap,4.1 mesti bernilai nol semua. Jadi, apabila metode-penganalisisan gaya-kelebihan digunakan, kelebihan-kelebihan Mar, Har, dar' Vo, d,apat ditentukan dari ketiga kondisi keselarasannya dengan menyamakan persamaan-persamaan yang serupa dengan Persamaan (15.6.k hingga c) dengan nol, kecuali bahwa titik D di dalam Persamaan (15.6.4a hinggac) kini digantikan oleh titik A2, dan M, Y,tni adalah momen statikal akibat beban yang bekerja pada kerangka-kantilever yang terjepit di,41 dan bebas di A2. Jrka suatu batang kaku yang menghubungkan tittk A2 dal pusat-elastis 0 dipasangkan pada kerangka dari Gambar 15.7.2b, kerangka-padanannya dari Gambar 15.7.2c diperoleh. Katena OA2 ad,alah batang kaku dan tidak dapat terdeformasi, LO, Lr, dan Ly di titik 0 relatif terhadap titik,41 juga bernilai nol semua. Kelebihan-kelebihanMe, f1o, dan Zs kini dapat ditentukan dui persamaan-persamaan yang serupa dengan Persamaan (15.6.6a hingga c), dan setiap dari ketiga persamaan tersebut mengandung hanya satu yang tak diketahui. Maka dengan demikian, Persamaan (15.6.7a hingga c), (15.6.8c hingga c), dan (15.6.10a hingga D) berlaku semua untuk kasus kerangka tertutup sekarang ini. Jadi, metode analogikolom sebagaimana dilukiskarr untuk kerangka berbentuk segiempat di dalam pasal sebelumnya dapat diterapkan secara sama pada penganalisisan kerangka tertutup dengan satu sumbu-simetri. Dalam kenyataannya, apabila suatu kerangka tertutup memiliki dua sumbu-simetri, posisi pusat+lastisnya didapatkan melalui pemeriksaan. Bahasan yang menyangkut perjanjian tanda dan kemungkinan pemilihan struktur statis tertentu dasar yang berbeda-beda, sebagaimana telah disajikan sebelumnya, dapat diterapkan terhadap kerangka tertutup dengan cara yang $rma. Sekarang
Contoh 15.7.1 Analisislah kerangka tertutup berbentuk empat persegi panjang yang di{unjukkan pada Gambar 15.7 .3a dengan metode analogi-kolom. PENYELESAIAN (a) Karakteistik penampang kolom analogL Penampang kolom analogi, dengan menganggap Ef" sama dengan I satuan, diperlihatkan pada Gambar 15.7 .3b.
A:2(\(12)+2(ixe)= l7 I,
:
2(4)(4
f)2 + z(4,, nq :
ty -- z(4,s)(6)2 +
222,7
s
2@# = oo
24 kN
_
l2kN
12
_t__
kN
(a) Kerangka yang ditinjau
C'arnhr 15.7.3 Kerangka tertutup untuk Contoh
(D) Penampang kolom analogi 15.7.
l.
g+el-
rr9r:
mtzl-
tfcz,-
,0duI1
cfst+
ge'et +
-
,df!.-
%'el96tel
fi
m'zr+=ffi+
ref*+ 1,,6ffi61+
00'et:,
Ifit+
oa:$!:
-
50t3
961er:
o1'l$+
5t'62 +
ste*
0f"!+
-
*#bt+
sfrr
O uap 5
'g 'Y
m.tz-
ti'ilsr.tt*
it'rt,
d
'ot*
0
.'71-
''tc* 0
st'os-
:II
0
-fi:
?*t:
?
Y d
,(1,$.,
,'tal
) I v IG}II,
0
5€'0s-
*,r-*ffi-
"* z snsBx
:I'4'sI
Ip ueruor{ U'1'SI I.qBI
11llll Ee
oo't?+
*
lr
rF
96*
It'05:
m'rc+
*i
v
rfr
urBIBp Ip dn1n1ra1 elEuura{ lrep
,orti.
to:{6l;
c6,tr-
se'il*=#-
xl
ar
;fr
,:ft-
qoluof,
,w
'fiI
qotuoJ ruulsp
o
) g
v
ryu
I snse)I :I'l'sI Ip dn1nlrel B{Euu.te{ up O ucp2 'g 'Y 1.l4t Ip uauol^l I'4'SI IeqEI (runyrsrs zped ueuelal) tu'511 99'91 + : o141 (tustEPlsls eped ueue4el) tu'1r11 95'67- : (urEI?PIsIs eped ueuelel) ur.N{ S6rtl - : 8r I - = v141 :.141
(urelsPrsrs
eptd ueue>1e1)
tu'1114 96'91
q?l -upe e,(uuequl/.ef 'Z'L'Sl Ioq?I ?pBd Sunltqrp O ugp 'C 'S 'V 4ll\l Ip ,tr IgI}u-I?IIN (uudap u?p 1€qmp) uref urnre[ que uBAq ,'ltl I = (9rsr - (z)8? - u99'0)8ZI + ft)Wt + o)ast = {N (u"uu>{ Ixsp
}"q$p)
ruef
unruf qere ue^\sl t6S =
(E'rXBzr -Bn +wt) + (s'I)zgt + (s'€)8I = 'nl y17:8Zl-Z9l +t t +8t+8I - d se1ed1.
'7
' ' 'd:::'#i,"1T*'H
snse11
1::i,::,::;r.H
o)(7.1 + Z€t) + Q)882 + (lsD' dW =
tuq1lp)
(u"uelllr?p
G,
urufunrefqerees 88ll _ G,dZL + G,?)B$Z
ilW
(
{nlun
- I/t/I,rru-I?rIN N
: =,N
s?lu eI 9S8:887,+W+ZEt+ZL: d '.I snse)
{qun
'ue{
-rfusrp uele 'b'L'Sl requ?C eped ue>lluqrpedrp 8ue{ ?paqreq Eue{ resep nluelral srl?ls rn1>lnrls enp ue4uunEilueur Eued 'zdude43ua1 ueresalsduad 'rserlsng u?n[n]
\teun'Dpaq,taq ?uo{"rDsop nluay?l sliz:,s tryqn.qt tttp Lnp
sytl
tuotSog (q)
wo.Iox r00'rvNv goorax
I6
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
92
Kasus
I
Kasus 2
(a) Struktur statis tertentu dasar
% 144
$ Kasus
Kasus 2
1
(b) Diagram M", digambar pada sisi tertekan
Kasus
Kasus 2
1
(c) Diagram M, fEI, digambu pada sisi tertekan (Dengan menganggap E/" = l) 4,667 m
o+a-,,y
*r$S*'"ry'
g ,rff ,' l-v#," i I $T+ i(rsrf.rr;,(rssrrrr9
/ -f-.
ADmiD H
v Kasus 2
(d) Beban pada puncak kolom analogi Gambar 15.7.4 Dua struktur statis tertentu dasar untuk Contoh 15.7.1.
Setelah diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan perpindahanperpindahan tersamarata titik-hubung di titik A, B, C, dan D dari kurva elastis dihitung semua dan digambarkan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.7.5, pengecekan statika yang biasa dan pengecekan keselarasannya dilakukan untuk menjamin ketepatan penyelesaian.
l
I
(
I
rEnluauad ur?lBC 'lldeFol-u?ndr.unl Bnp uESuop l?dulorEos {quoqroq ?{Eu?Jo{ rued -as eruEs Ew,{ erec ue8uep uo1o1-rSopuu opo}eu ueEuep srs[euerp ledep 1.g.g1 rBqu?C eped w>11n[unllP 8ue.,( Iuadas lrlauls-nquns nles ue8uep u3r1r3as epderyeq elEuere;
Irleuls nquns
'I'l'gI sllsBla
n1e5 ue8uep uEppag qudaryag
qofuo) urqep Ip dnlnlrel
u4Suere:1
qEutral
lntun
e^lnx (r)
eped uauroy,11 g'91
uurrsela,{ued
S'l'gI r?qurg
uetuotu ulErBuO (g)
ffi,u, 06'w
'Sunqnq-1nn uep 4o33ue enuas s?qaq-epuaq ruur3e61 (o)
7l
ZI
-*f
'*1'-1" ,"--
:i
8z'6
sr'sr3fzi'z tffoffi'z
CI
E+| o
'
F z[n zr'zf
r
h+.
_)so'e
El
=l
lI
il
sr'oz"frz'o
8Z'6
L
,lJ
il-
tt's
-,f
-f
ri"
t
ve
S zr'rt
86
NO.TOX TCO.TVNV SCO&srt
94
ANALISIs STRUKTUR LANJUTAN
momen inersia penampang kolom analogi untuk kerangka berkepala segitiga, kita perlu menentukan momen inersia suatu bidang-garis terhadap garis-berat yang membentuk sudut 0 dengan arah garis tersebut. Dari Gambar 15.8.2a,
,, = rlo''' (bds)(s
sin el' =
_ (bLXL sin
:4U t2
g)'?
t2 dengan:
A
[]a.']'"
,in,
o
(15.8.1a)
adalah luas total bidang garis. Demikian pula,
AL? ,t,=17
Gambar
(r5.8.1b)
15.8.1 Kerangka berkepala
segitiga dengan satu sumbu-
simetri.
(a)
(D)
Gambar 15.8.2 Momen inersia bidang-garis yang miring.
Melalui teorema sumbu-sejajar, pada Gambar 15.8.2b,
\,=#
ttr=#
(15.8.2a dan D)
contoh 15.8.1 Analisislah kerangka berkepala segitiga pada Gambar 15.g.3a
de-
ngan metode analogi-kolom. Perhatikan bahwa kerangka berkepala segitiga yang sama telah diselesaikan sebelumnya dengan metode ubahan-sudut, distribusimomen, dan perpindahan-matiks.
PENYELESAIAN {a) Karakteistik penampang kolom analogi. penampang kolom analogi yang bersangkutan, dengan menganggap Er" sama dengan I satuan, diperlihatkan pada Gambar I 5.8.3r.
A = 2(i)(6) + 2(l)(e,zosz) = to,47z .= _ 2(3X3) -2(2,236)(t,s)
'
r,
10,472
:2
*
ze)o,s2
=
t7 )2
+
1,0783 m
2(2,8$#
+ 2(2,23
6)
(2,sj
s3),
: T,24
':,ttlfe .,:
+
tfffi+
;t}{.J-
,,.*'.,:
oi.ir$.,-t.,
Wzt
*
,f,r€ti+
-stttt-
tt'(,.,.,.
dr+
tl'f6
+
@:tf,,
-
;.1gga6l$.:r"::
+,,
Ar
G
'af.* 0 0
Y .d
.,?s
14I';,
epdelraq erlEuere{ IrBp
;6:11,;:.;;
'ff,rii+" ,:!(le6+,:: ,.,F:ZtZ&,*.':
tr +;ffi+ ,T
w
1p u{11Eas
(ruel?Flsrs rped
uep 'O
ueuu>1e1)
u?u?>lol)
(rBnl-Isls upud
u?uE{e}) u'NI
(rBnI-IsIs up?d
lu'
'J 'g 'y {$$ u.1111 95,(71a
tz'te I -
:
:
'r'tf.
J g
v ?B!r.
'I'g's I rloluof, IP uatuol^l I'8'S
I
urqsp
leqeI
;;41
aN = 8N : vN
NI l,t'66 + '- aN
r{BIBp? e,(uueqemel 'uBuB>l q?leqes lr?p l?qllp eueure3eqes ur?[ urnrcf qereos uetuoru nele 'qerrreq e{ ueqeq Is{p ue{I?nsrlurau x1l6x1al u€8uop qeloredrp IuI
rp ?pu?l-?pueJ ' I'8'9
uep Vld rnfel eped uu8uqrq untues uedap [eqp1 r;I-p 1eqe1 eped Sunlrqtp g uep 'O 'J 'g 'V {1111 1p nr IBIIU-I?IIN
I
0: (ueuzl r.rrp q?^\uq
*r{
luqum)
uref unref qErues 8'ZS8Z = (€8to'r + ostg't)(ffi'zyilz ='N
aI 86's96:zd+rd = d
66'28?:(28019)(801)t=zd =td
't'8' g I
reqr.u?C epedarl
rlBqual nce8ue;41 '6o1eue uo1o1 uped suletuls 8ue.,( ueqeq-ueqog'uelpseq3uaur ue4u e8n[ O uep 'C 'g rp urepp-rpues Sueseuaur ue8uep qeloredrp Suef resep n1ua1 Jnl{ruls 'rSopue urolo>1 eped srrlaufis Euur( ueqeq-uugeq uurxruep ue?u -rel slluls
-ep uep srrlelurs ?uef,s14J urer8erp ue{lrseqBueu Db'8'gl requre9 epud uellnfunlrp 8ue,( resep nluelrel srlels rnplnr1s u?qrlld 'g uop 'e 'C 'g 'y tp uautoltl (q)
'I'8'SI qoluof,
4nlun uE;l1Bx epdaryaq elSuera) t'8'SI rsqureg rcfi4tlp 8ue,,( eISuBra) (r)
rSopuu uro1o1 Suudueual (g)
rug 2'7
/
w9
1/r
ee' 6ez
()tocoJ)
e7'21
-
= ,(E810'iZLt'Or
=
ft1lfz'Zlz
fi<s*'trc *
fu,=
*,tex€)z ='*r oq = ,r
,o' -
96
NO'IOX r00TVNV
ego&el
96
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
ltttrrtzl'=:za
l8 kN/m
ffi
Kr\ l0g kN (a) Struktur statis tertentu dasar
,
(b) Diagwn
M*
digambar
pada sisi tertekan
Pz= 482,99
2,25m
-
(c) Diagram
14,
lEI,
digambar
pada sisi tertekan (dengan menganggap EIc = 1)
1
2,25m
-9- -v/
(d) Beban pada puncak kolom analogi
Garnbar 15.8.4 Beban pada kolom analogi dari kerangka berkepala segitiga di dalam Contoh
15.8.l. Diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan kurva elastisnya telah diselesaikan di dalam Contoh 7.9.1.
contoh 15.8.2 Analisislah kerangka berkepala segitiga pada Gambar 15.8.5 dengan analogi-kolom. Perhatikanlah bahwa soal ini telah diselesaikan sebelumnya dengan metode ubahan-sudut, distribusi-momen, dan perpindahan matriks.
PENYELESAIAN (a) Karakteristik penampang kolom analogi. Penampang kolom yang bersangkutan sama seperti yang dari Contoh I 5.8.
I
z
Gambar 15,8.5 Kerangka berkepala segitiga untuk Contoh 15.8.2
l.
-uo]
urEIEp rp E8llr8es
qtdalroq ?I8u8Je{
IJEp ISoteuE
tuolol
Bp?d
'z'8'sI qol usqa{ 9'8'SiI Isqul?c 'u€{etrJe}
rSoIPu?
urolol
rsrs epEd rEquje8rp
{€cund ep?d uBq{I (p)
u?IelJel tsts zped reque8rp IsTg urer8ulq (q)
'1g1s141
r?s?p
nlueu4
sBels
utetlerq (c)
rnunlls (r)
tll.NI S'rgt
n U U. N1z
U} tt. FI H 'z'6'L ltroluoJ luBIBp Ip up{ -r?selesrp q?Iol slls?le ?AJn>l u?p 'ueurour ru?rEBrp'.s?qeq-?pueq urerSslp-ul?.6elo
u?uB{al)
(urElEP-IsIs
u?wIel)
(urBPP-rsIs ?P€d
uuue{el)
(ren1-rsrs EPtd
(run1-tsts ?Ped
(tuBI?p-rsls BPtd
uuuu{al) uu
uB{al)
ru.NI
6l9t *=aN
tu.NI6€'1, - =aN tu'N)ttl'tz -=rN ru.NItt(,9 +=sN tu. NI 60' ItI - = vrt
qBI?pe E^uueq?/r?[
(uEuDl u"p
'z'8's I loqsl Epsd SunIqrp g vep 'o 'c 'g 'v {nll Ip ,.{ Ieliu-IulrN lsqflIp) ursr urnref LIErses 8't6zt = (S't)Ot'og + (9)s'9zs : ir{ (u?dap uep
lDrIIp)
(00sr'0 + €8t0' I )61'0€
g'Zril
uruf urnruf qaues
-
(€8r0'
I
-
lEz6' !J9' 979
=
=
-N
, s31? e{ 69'99S = 6I'0t + S'\ZS =td +rd = d ;'gzs = I4{-uendunlo)t
*rrr<arnzo,Lv c s'gLs
\S/qgl,oa - GZ')SI-'WS I y I'rreq-Illp rr?p {eref 6l'0€ = (280r'9xs'tr)i = iv =.d = 9z'oz'sL'9t9: (€)(Sz'ozx - (6)(SZ'Z8l)i = tV = td
'.e{ew'19'8'SI rsqrueg ?ped ue)plnfun}Ip Bu?Iurc8eqes 'g u?u{ntu -r-ed sele Ip Uce{ ?IoqBrEd uep snlnd-sntrndJel su?3 ue8uep s?nlredlp 8ue,t 1e1o1 u3r33rp ?rBluB qlsles reEuqes deSSuerp yg eped ueulotu luBJSsI( 'qBpnru ?Jsces qaloredrp B^ul?req-{I1lt u?p s?nl ?83urqes igg uu8uep lldlllrreq 8ue[ 3 Ip AunEBuIs srr?8 l{{Iuew 3g eped uetuour uerSerq'9'8'SI r?qlu?C eped uel4nfuulp Bu?Iu s1,g tuur8glp -r?apqes 'Ar rp suqoq uep 7 Ip ll.datrel 8ue{ reae111up{-rn1{nrtrs qeppu {trlun rPs?p nlueuel sll?ls rnl{nJls u?qllld 'g uop 'O 'C 'g 'V ry uauohl (Q)
wo.rox r501vNv sco,Lslr
L6
s
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Trhl 15.t.2 l{omen di titik A, B, C, D, dtnE fi dalrn Contoh 15.8-2 .,-
rilft
M"
A
-364'
B
-
?,
dafi kerangka berkepala segitiga
.',lt4i.r'
i't:{" '11
ui'
M
-ffir--,,,,,
;221;*l
-141,0|,
-
+ #,11
L.
....:.4
'jffi=-'r,,u
*ffileirt=;eo.l+
40;5
-53,16
+
c
0.
-t3,16,
+
1{4,$l$tl=+*,11
D
0
:51.16
+
1,1,U7811=,r?tr;24
+
E
o
'53.16
-
{de?t?};-96,'94,
+ '
rt,0z83!.:
+?!?l
..
(6)
*
ls5,?3
$
+
27,17
-
27,17
+?3,31
+
41,39
-
41,39
;
,6J9
+76;r9
(6I:- +7111
I5.9 Momen pada Kerangka Berbentuk Segiempat yang Taksimetris Metode analogi-kolom dapat digunakan untuk menganalisis kerangka berbentuk segiempat yang taksimetris apabila kerangka tersebut memiliki dua tumpuan-tedepit dan ditunjukan untuk memikul beberapa pembebanan tertentu. Penganalisisan kerangka berbentuk segiempat taksimetris pada Gambar 15.9.1 dengan metode gaya-kelebihan membutuhkan penyelesaian tiga persamaao simultan. Namun, dengan metode analogi-kolom, momen di sembarang titik pada kerangka yang bersangkutan dapat diperoleh melalui prosedur langsung. Masalah penentuan tekanan di sembarang titik pada suatu kolom yang memiliki penampang tegak taksimetris, akibat aksi-kombinasi dari beban langsung di titik-berat-
nya dan dua momen lentur terhadap sepasang sumbu yang tegaklurus satu-sama-lain yang melalui titik-berat tersebut, akan dibahas terlebih dahulu. Tinjaulah kolom yang pendek pada Gambar 15.9.2,a.Ia memikul beban ke bawah Pr, Pr, P3, dan seterusnya di titik-titik @r, V r), @r, /z), (xz,ls), dan seterusnya. Melalui prinsip-prinsip statika, beban-beban Pt, Pz, P3, dan seterusnya yang ditunjukkan pada Gambar 15.92t tersebut dapat digantikan olehP, M*,My yang ditunjukkan pada Gambar 15.9.2b.Maka,
P=Pr+P2+Pj+ M, =
PJrI
Pzlz*
ke bawah =>P Prlr f ' ' = IPy searah jarum jam
(15.9.
la)
(15.9.
lb)
jam
(15.9.
lc)
(dilihat dari kanan)
M, = P61 +P2x2+P3r3+
" ': IPx
searah
jarum
(dilihat dari depan)
dengan: Pr, Pr, P3, dan seterusnya positif apabila bekerja ke bawah dan (xt, yt), (xz, yz), @2, yt) dan seterusnya adalah koordinat-koordinat titik-kerja Pt, P2, P1 dan seterusnya dengan mengacu kepada titik-beratnya sebagai titik-pangkal.
Gambar 15.9,1 Kerangka berbentuk segiempat taksimetris
(
c9'5'Sr
)
(4),
(4),
-*N=tN -'N =',r'r ; ue8uap
(De'6'sr)
L=, L=, n,L\l
',W
Y:o d
'o vep 'q ? qeloraduraur 1n1un (e u8Eulq . S'O': (cs'e
*'rc + *lq
'sr)
yp (Kxt +
zxq
+ -",
:l
= G)(vp o\
,o,l
t)
uesruusrad uu>lreseles
: =
^^
*'lq 'lc + =
(qs'6'sr) vP (,rt
a
t'xq +
gt
Vo = yp
(rs'o'sr)
*q
:[=
a xq *
4 :
^t
(t'o'sr)
=yp
u,
rr rol
((XYP q
rol
= yp
)l
:'^ :a
a ro!
ln{leq
{*
=yp
ueeuusred-usuuresrad qalorad u1r1
ro[ \ =vp r* rof
o: vp, ,o,l o: rp * ,oJ v : vp 'l
[qu?s uBp '(e'o'st) u,EruBsrad urelsp a{ (z'o'st) usBruBsred ,}fi:rHl'i#,.lr#';
(€'6'Sl)
t1a
= 1x'1(yp d)
,o[
'1a1
= 1{,1(yp
d)
,0,!
'Iurpl( '?{Il?ls ueeurssrad uft1 uup rrc{n}uelrp ludep
O= a
rp o
nol
u?p 'q ', uBlsuo>1 :ue8uaq
{.c1-xq+o-d
(z'o'st)
qalo ue1-lserdqep ledep
(f
'x)
XU
Euereques rp duuuel;:
'>p8e1 Suudureued upud Bleroru Euel( uuuulal FnqlJlslp Euelual uurcpueEuad rreq
uerntuq rr.uEusueur uep Suns8uq ueqaq InTureu Suei( sul€urrsryt {?3a} Suedurcuad Z'6'5I
66
i
fr'#,
wo'rox I00'IvNv scoJ,sn
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
100
l'r:Ir('-+)
ri:r,(,-*) Gantikan Persamaan (15.9.6a dan b) ke dalam Persamaan (15.9.2),
. P 'Mi,x*tM|v p:o+ Dx*cy:A+ n
(ls.9.7)
Persamaan (15.9.7) menghasilkan tekanan di sembarang titik pada kolom dengan penampang-tegak taksimetris akibat aksi-kombinasi dari beban langsung P dan dua momer. lentur l.{, dan M, terhadap dua sumbu acuan yang melalui titik-berat. Penganalisaan kerangka berbentuk segiempat taksimetris pada Gambar 15.9.3r2 dengan metode analogi-kolom akan dibicarakan sekarang. Bahasan yang menyangkut kerangka berbentuk segienii:at dengan satu sumbu-simetri di dalam Pasal 15.6 berlaku juga pada persoalan kerarrgka berbentuk segiernpat taksimetris sekarang ini, kecuali bahwa 1r, sekarang tidak sama dengan nol. Nyatakan kembali Persamaan (15.6.6a) sambil mengacu kepada Gambar 15.9.3b,
: *P * MoA+ Ho(0) - Vo(0):0 AH di O : *M, + Mo(0) + Hol, - VoI,, :0 Av di O : -Mt- Mo(0)- IIoI,, * V6f, = 0 Ad di O
Selesaikan persamaan-persamaan di atas untuk memperoleh M6 ,
M":-* ,.=-Y
(o)
(15.9.8a) (15.e.8b) (15.9.8c)
Hs, dan Vs.
vo=*#
(15.e.e)
(b\
Gambar 15.9.3 Struktur-padanan dengan batang kaku.
M'*,M'y, l'*, I'y adalah sebagaimana terdefinisikan di dalam Persamaan (15. 9.60). Gantikan Persamaan (15.9.9) ke dalam Persamaan (15.6.9), dengan:
M
:
M,+(Mo+Ho)- vox): M,-
G.ry.+)
(15.e.10)
Jumlah ketiga suku di dalam kurungan dari Persamaan (15.9.10) terlihat serupa dengan rumus di dalam Persamaan (15.9.7) untuk tekanan pada kolom apabila memikul P.M* dan M, Maka, dengan menyebut tekanan pada kolom-analogi sebagai Mi, Persamaan
(l
5.9. I 0) menjadi
M: M,- M;
(
1s.e.l
l)
'I'6'gI rloluoJ Inlun rSoleuB-urolo{ Suedureu a4 (q)
ledulolSes {n}ueqreq
?I8wre) t.6.sI rBquEc
npluFlp 3w{ €I8u?Ie)J (r)
{
N{96
-nloso{ ErBces 1D8e}-Suedureuad lBreq srrBS-srreA e>l rlsqure{ ?1tuu?>lq?pnujetu aue,{ nqruns Suesedes eI snlnl srre8 Sueprq deqes lereq srJeS-sr&8 uep e,{.uuulqupur-rueur u?8uep'enpo{ uep'ueqnrnlese{ Ercces 1e8e1-Suedueued lereq srreS-sFei e{ snrnl srre8 Sueprq derles lereq su?8-sue8 uep e^uu?{qepunueur ueBuop 'eurelred :erea enp ue8uep Sunlgqrp Surseu-Surseur "rx1 e8n[ uep'tI'x7 ersteur ueruol4l 'qn'6'gl JBqureD epud ue>p1n[unlrp 'uenlBs 1 ue8uep eures'7g deBilueEueru uuEuap 'r8o1eue pl D tD N (o) NV IV S a'I g1Nad 13 o 1ouo wo o t1 S uo dutou a d l u s u a
urolo{ Suedu eua 6'
1
'uroio{-r8ol?u? epoleru ue8uap DF' 6' g I qelsrslleuv I'6'gI r{oluoJ
r?queC eped strlsurrs4el ledruer8es {nluaqraq
elSuere>1
'x4 e^\qeq u?Irleq:edruau u?8uap
'n'Iunp't'x'd
-runlu?Juetu ru?lep rlurl-rler{Jeq snJuq
e1r>J 'se1u
=
t1y uep {J = 'I4l
1n1un 1ede1 8rre,( epuel-epuet uB{ rp snrunr enuras uude:auad urupq
-ti-*-J-*y=,n x)r4 ()r{ d
(t)'^ - 'N =', tN (4)'^ -'tr :',tN '!W-
tW
-
y,g ueSuep eurus
: ueSuep ne[ut1tp 8uef, e13uere1 eped ry1r1 Suuruquas Ip uotuo4
(#-r)',:r,
(+-r)rr:r, : ue8uep
'n,l u*p
'' I 'nI "{x, k,'z
q?FpB e.{u>p1srre11erey, '(sr1se1+1esnd nete)
tuioq-{llll Inl?latu 8ue.{ 'epuu }nlnuatu uu{qBpnueur 3ue,( ,{ uep x nquns ue8uesed qelo:edrp ledep rSopuB-tuolo{ Suedureuad >plstro}>lerB)
upuda>1 nce8uetu uuSuep
'renl-rsrs uped
ururlel
:
ue1
-qeqe,{treru Br B,4 rIBq r}reroq 8uu,{'grtrsod rulrureq s,frtl uX[ qB,^ABq o{ lero8req e,tuue -usqequrod ISIsW ruu:8urp ue8uap uurus 6opue-uolo>l >luound upud uurreqaqrua6 : ln\.
-
-eq qe43ue1qe13ue1 ueryeqtleru lrdehel-uendunl unp ue8uep sulotus{el ledtuar:: {nluoqreq e18uere1 uusrsrpue8ued urupp tuolo>1-r8oleue opoleu 'e,(use18urg
IOI
wo'Iolr rco"IvNv sooJS](
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
LO2
ruhan. Perhitungan ganda ini akan lebih menjamin ketepatan hasil-hasilnya.
A=7,5+3+5=15,5 _ _ 7,5(0) + 3(3) + 5(6)
=
I 5,5
J(0) /r _ 7,5(3,75) t15,5
,,
=''t{f,'
*
=75,815 I, = rac =
7
r,5(1,
r
29)2
I
-
$+
5(0,
r2 l
F
+s(fll - $,5(2,62\2
',
ili,87
*
3(0,484)2 + 5(3,4M)r
=
+ - 5(6)'] - 15,5(2J 16): = il7,88
2,5 16)(+ 1,129) + 0
= +27,218 I,y = fea-ac
+ 3(z,ezg'z +
(Cocok)
15,5(2,516)2
= 0 + 7,5(+
= 2,621 m
'5 'q.'''1
-7
15,5(2,62D'1
t, = i,5(2,516)2*
I.
+ 5(2,5)
16 m
(Dipergunakan)
5,812
I, = In-
?,_s
=
(Dipersunalian)
(Cocok)
+ 3(-0,484)(- 2,62 l) + 0 + 5(- 3,484X-0, I 2l)
lpipergunakan)
15,5(-2,516X+2,621)
= 5(-6)(+ 2,5) - I 5,5(-2,5 l6X +2,621) = +27,214 (Cocok)
,-*=r-#ffi%r=o,er7ro Il
= 0,91710I, = 0,91710(75,815) = 69,53
I i -- 0,917 l0ly
:
0,917
l0(l 17,87) =
108,
l0
(b) Diagram M, dari dua struhtur statis tertenht. dasar yang berbeda Untuk ilustrasi, penyelesaian lengkapnya, yang menggunakan dua struktur statis tertentu dasar yang berbeda sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.9.5, akan disajikan. Di dalam kasus kerangka berbentuk segiempat dengan satu sumbu-simetri, penekanan telah dilakukan pada penafsiran fisis apakah aksi dari beban langsung dan kedua momen lenturnya akan mengakibatkan tekanan-tekanan positif atau negatif pada kolomanalogi. Untuk kasus taksimetris, akanlah lebih memudahkan kalau kita ikuti secara ketat tanda-tanda yang tepat dari P, dari koordinat-koordinat x dany, dan darilrr, M*=Py danMr= Pr. Untuk Kasus 1, beban-beban pada kolom-analoginya adalah sebagai ber-
ikut: 'lil:,:,
.
i{iaP,
::itffi. t,:,i.*i&,,, ir;w ,*l:W;$, :r"*:idl) ,,;y,$1$l&,: 4979. ,+5434i6 lt*.r ,}i$.$l& *1;&l' ': .,fW, 'W M,, =
y::
)t.t i...i::j|.!
M,- M,?
M,,= M,
| | .
:
t:
1
+.Li{18' -,966;1
::*:::::7
'.:,. :::a:. .:tt:.:.,
= +3514,7 -
- M,?=
+rw'l
+6e84,8
(+6e84,0(##)
+1*:*4*
= + rmr,a
- (+ 3st4,T(H#) = +szz3,0
'I'6'gI qoluoJ {nlun
r?s?p n}uelrel sl}?ls
rnllnjls En(I s'6'sI rPqtII"c
€ol?u?-ruolo{ {"cund EpBd ueqag (p)
{
s, o
I
p 3
- n i,l: r ogr+
t.rt
Z
68t+ 5 oer+&t
\ zgr+
ru
0'l
ru
0'l
erz- fi 01
uu:lelral-$rs upud requreirp
'rulswunfreIqQ) I snss) 3
z snss)
w{elral-Fls epud ruquru?rp 'sl,g ururSerg (g) 1 snsey p
p 6 p
ftsep nlueuel sqels
rulnrl5
(z)
I
SnS?)
%
lr*
y\to10x Ico'rvNv sqo.Lglrl
80r
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
r04
ol
I
t\ ft
+
\a
{':...
t
h
6
+
l.
I
l
t
(t\
6h.
r
t.-
F
\o
I
+
+
I
.fl
ll
It
ll
N
i\r
\D
tn 6
hl
|"-
$ I €t -'lm EKld -+tI\o
\a.,
,.
N
int
rl
..
''',.11
El*
\o
!
\o
J11-.
F
!t
I
x
\o (.l
s
r 2
..io. .'YI .61 l' Ql^l
t\
9i d +
Fr
N.
a,
r+
iq
.,eo
\o {ai
+
i
!t
1...
*
.1., ':$' '8,.1, :t: & .Ni
l:
..
+-
d
.L
* * 11
l*.1 &':
t
+
ra-l=
fllc' tit
,,.
ia
+i-i
lri,
is ? .6.
iE,i 'S,: '*t,:
lli:r'f:,
et
rJ
:l
$+ Gi
:1:l :,::.,:a
.:.....
*i:
ti
:i1:
or
,.4
t' ;f.
L.-
x
[i
lr
..et
:!oi.
r.aI' .:+
\o
\c
N'
tl
.t I
ta
-& 6A a
?
6t L'. t{
dr t*:
$. s. $-.
:ii &
t
+
+
\)
N
ti'' tq.
a
..l 6 5
sA 5
I
+
+
B
a
tr
D
il
a
D]
o
}f
(,r
io .n)
i')
I
I'J
lJ! cr\
o\ tD
pI -.t g
+'
r "h,
rl
$ .6l
tJ
r
I.
$ a
^.J
!O
\ *
*
!.)
o
ar\
o. Ai
+ ql6 rl{ uts fl
*
rt
I
ll
.6.
d\
'&-
J.'
s5
}.J
5 a 5.
I
+
+
*at
0o
Q
'tr
+
+
6
>l!
D'
o
a3
a
A'
0q A)
-ll oIu 6tq olt;
1
I
o tD
I
+
1
iI
*[<
o
oa
o
.6
..J
o\
a
6\
.-l
o\
+
I
-t 6
\o
6
{
+
{
6
+
I
ll
lt
tsJ
}.J
\o
Ol
..j
t\)
+
I }J
pI
A'
6
\o
A'
d 6
o .a
o &
_.1
\o
I+ al-
3 o
Jolg a tt-
l\O
!q
p
+
6 tl
\C)
I
.F {*
l> tv
\o
a o o)
o,
o
ll
o
d\ UI
I
o\
+ }] ._t
G
$.)
I
5 E N
+ }J
{
arl
3
: X
A'
t'J ,
s
o\ -J
soI
v\to.Ioll Ico.Iv Nv soo,Lsr4i
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
106
ditittkA, B, C, dan D dihitung pada Tabel 15.9.1. Untuk kasus 2, beban-beban pada kolom-analoginya adalah sebagai berikut:
Nila-nilai M
,I
,.P
,:}.
!&+-f*
:+t. ,164:
:,,:-;$223:; :2L16,: :,+.7 9,' *!,51s:: ,,tl,Ul' .ii16!S;41 *tlJ'16 ,,1.?J63r: l::-.,.1:45;6.:
,*.:
189r
+
-0J16
,+1621'
1$9:
t.l;!tE4
''t?r04t'
+ 486 {'548
:l':-:::-
',.;.::'%51:
',:l' :$ff.J
;.,91,,? *',726;*.
*:,4246,
* :495,4 + 495,4 +t2!8,6
+:,1:87.*:.
'?.
M',=
M,- M,Ii= +1228,6-(-zets,8\(W)= *teot,r
M,,-- M,
15,&
- M,+= -2et5,B-(+1228,6)(H#)= -rise,r
Nilai-nilai M di titlk A, B, C, dan D dihitung pada Tabel 15.9.2. Jawabannya, setelah merata-ratakan kesalahan-kesalahannya, adalah
kN'm Mr = -41,84 kN.m Mc = -71,50 kN'm Mo = +65,25 kN'm M,r = -52,68
(tekanan pada sisidalam) (tekanan pada sisidalam) (tekanan pada sisidalam) (tekanan pada sisi-luar)
Diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan kurva elastisnya telah diselesaikan di daltm Contoh 4.6.2. 15.
l0 Momen pada Kerangka Tertutup Taksimetris
Metode analogikolom dapat digunakan untuk menganalisis kerangka tertutup taksimetris apabila kerangka yang demikian tersebut memikul beberapa pembebanan tertentu. Telah ditunjukkan di dalam Paqal 15.7 bahwa prosedur untuk penganalisisan kerangka
tertutup dengan satu sumbu-simetri serupa dengan yang untuk kerangka berbentuk segiempat taksimetris dengan satu sumbu-simetri dan dua tumpuan-terjepit, sebagaimana diuraikan di dalam Pasal 15.9, dapat diterapkan juga sama baiknya pada kerangka tertutup taksimetris.
Contoh 15.10.1 Analisislah kerangka tertutup taksimetris pada Gambar 15.10. la dengan metode analogi-koIom.
6m
24 kN
6m
B
C 31,
-+I
21,
E
i
3I
A
D
ffi
2kN per meter horisontal (D
) Penampang kolom-analogi
(a) Kerangka yang ditinjau Gambar
f5.l0.l
Kerangka tertutup untuk Contoh 15.10.1
-rlesrp
uBI?'Z'0I'SI
rBqLueC Pp?d ue)plnfunllp Buelulet?qas ueulqreg
tue^
.IIBI resep
nluepel sllels ml{nrls enp u?{sun8Euau Eusd 'u[ude18ua1 uepselat(ued 'sur1snl >lntan'ut utoltaq Suotl
.tosop
t4ualal sllols tn14n4s
ort'p
yop
s1,t1
tuot8olq 1q)
,9'0s, = (€I'Ilths9s5'0 ='r0s9s6'0 = {I = (ss'Irthssse'o = 'I0s996r0 ='iI
ztngt
oses6,o=,%?ffy _,=#-, ({oco3) 952'69(w
I L' E +\( L9l 9'
(s't+)(e-)€zl', * #W;(Wt
L, E
I -\EZg' 8r
=
-
G'r+Xzt -)s'r =
+)Ugt',E _)eZg,et _
rs -
svl = (xt
(ue:Jeun8radlq) 862'69-= (gsrr'€ +)(€e8t'o -\ea\ *
6ffi16-
19931/qt)(€€8t'9-)s'r+
(rrr t'€ -X€€8r' o -)t + (rt
,(Ler s's\Eze' Br -
I L'
o-)Og
t s' s +)q
+
+=
=
fu +,(zr)s't
=
()tocoJ) el'lLl
fu
.
,(l9Is's)€29'8t
(ue>Jzun8radrq) z(€€Br,o)€2r,, z(€€8r'0), +
#i)t
"r
- av1 =41 tt'lw=
*ffi*
,(t€8t'9)s't + .(l9l s's)9 = 'r
(IoroJ) Li'lLl = t(wrL.E)Ezs,Bt
- ,G,L)€u,r
&p. fr*. &=
+
,(wlt'il829'8t-rsr=rI (uzluun8radrq) 8S'Itl:
,(gsldt)Ezrt+fu. 1t*r'o'ts'v+fi -a,.,,v,{wtt'o)9+,?1sn+,(wtteh=.t
wrilL't=ffi=r urrers's=ffi=r
EZ9'
Br
= 9't
+ s + Et
r't +, = (6X
+
O)l + (59€'ZIX + (ZIX =
v
'efury1uqas n31B usncu nqluns-nqurns e4 ez(u -1ereq srruS-srre8 rrep SunsSuelreq ledep ez(uuequputurad'I?8nJI4ues uetuotu {nlun refefes-nqurns ?uoroal ueeunSSued ue1e6 'leduee{ uep Enpe{ uPrpBnI urelep Ip er eryt;r1u8eu uep 'e8r1e>1 uep nlese{ uerp?n{ Iuelsp Ip {?lelrel q ?II! JIt
{elalrel -1sod
'71 6eqrp lnqesrel
srreB
p{qre^
IrBp
l?luoslroq rs4elord-rqeford uutuep urp
-uas efuspe*Suuprq s?nl Brplu8 uegerysd ueSuep {Feunu sJBcas ?ru?s plpues edu '{I'OI'SI -1ureq sueS-suetdepeqrel Surrur Sued sue?tulp\q,t'I Blr\qeg u?{ner{rad
rpqu?C eped uerl4nfunlrp'uanles 1 uu8uep uurus '7g deSSuetueur ue8uep 'Fopue Sueduruue4' E olouowolotl Suodutoua d 4llslolrlorDx (z) NVMA1AANAd
uolo{
wo'Iox r9o'rvNY ssoJsv|i
t0r
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
108 24
I
tltl--___-\t,
,. f.IE]--]-l 2 kN/m
TII-fIE 2 kN/m Kasus
I I
Kasus 2
1
(a) Struktur statis tertentu dasar
Kasus 2
(b) DiagramM' digambar pada sisi-tertekan
+
rEEmI-r----------l
48-
I
*+48
I
-\_J
I
Kasus
Kasus 2
(c) Diagram M,
lEI,
digambar pada sisi-tertekan
(Dengan menganggap
EI, = 1)
tr
2m I-Jtr 6l
"l
r C,
6m
v
B
t-\I.
tr 6-L ;,Y r 4J
I
3m
{t
t+ ID
5,5 167 m
v Kasus
1
Kasus 2
(d) Beban pada puncak kolom-analogi Gambar 15.10.2 Dua struktur statis tertentu dasar untuk Contoh 15.10.1
+
o\
5
o
j
Fl A)
o
,f q
+
I
;
I
6r.
5 a
{
cl\ J
3 (!
5
5 5
$ @ 6.
+
+
I
{ { }!
t
TJ
t9
@
a I
I
$ 5
=,
o
ll
A)
-l6[p
illiwl€ t6
r
o, I
ll I
-o, +
s
+
+
A
{ {
{A
I
I
!
I
F (D
{ 5t
5
oe
7i
AI+
o,
(D
^t= 6
ao
?
e
a
cc
lt
il
I
--l
g
+
-
I
+
&
_9 p
?
i
@
u &
: se
l> lk
]l
o,
o
I
(}\ Po
o 09
l+
.rlN
* h)
a
I
h
!
\c)
& \t
+
+
.)
ul\o t@
+
j,
{
-,t
A il
T 6 d\
E
!h
f X
A'
I
?,
I
?
I
5
5
lv
!l u 5
I
il € a
I
'€
t?
lJ s .t1
II
5 5 +
+
It
I
I
* €
E
ilro'Iox Ico'IvNv s(Iorgt\
60r
110
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
i:lii$li :h
't!ir."l l:r'8..1:,
ol
o o (g
v
V;
Q "o
. :!i:,:: $l .'
Eq o o ,:i(!
tsl*
a
.:9.::
':i:r.
'llt.l
.'L{ir..
i: 'rfl.:i' ts \a
''::IL
''.it.:i -Su' ..fi, .:lri:f &.,. l&.1 'o&;
.,
.rtt'
.: ':{.:.::
It!
.{r. 'rS' r ,',
i
.irq: .ir\O
tt+ri
,
'r+..1
Itfi
'+1.,
+lt
ja
oo
.'Otr r..' .
C!
k
ff. t
ID
&l
!o
'lt :'
61
rrt:l :dr. 'N,..
6t. I
{.
8,
Oi
ti{ fi .1
..*'
-{N
lrl
'
st .t *
.'.
Et'o.
?16 1
(\,
U a{
\ & E
f
l-
\a
'l !A
a
&:
\o
l1"
{
{l
i\0 I it
c{,
f:
r
l'
+
+
\l'
i' !e '&.
qi
''{}: .1..
OJ
o 2
}!'
iO rai:
a-.1
o
.l
E
!t,..
.fa)
a t
ll.
\o
E
qr
+.
m
!(
\At
f
ra (u
6'
F
t. ,',8.:
.
l
' 1l9j,i.
$jg
L
q.)
v
:r$.. ,,.l:{i
.
.,
xl
r:l
&,,
:ait
E
'I'0t'SI rloluo3 Is?urroJaprel rnUrutS
Jrz
(r)
urepp tp dntntral elSuera:1 1n1tm uzresele,(uod €.0I'SI rDqu:D ueruour urar8"r(
({)
------_> I
Pft1o'oe #=o,rs /,--;-*-\\ 1z t-.-
cu.Nrt
(Ipoq eer;)
'
seqaq-spueq
z8t'zt
"''ql,
19s'1
utl3sr6 (r)
UIINI
m
Z
8te'rr ,il:ot>---\ ze;.'er -\.-b'8
v
819'l i
ostQf +l]' l-l
Lgo'l
RI
*.#t'
,,fr{,
:l8l
:l zqt'zl
8
I'0 I' g I 1eqel eped tunlnlm O uep' C' g' v
r{.lJ:ll
Ip
I4r
19'il
IgIp-!BIIN
c'oess+ = (#-)o€'Iss-) - 88'0t ts+ = 4'N -'N =tN (t#)-8'0as+)-et'rrr- ={ -'N =iN
B6'tLt-=
^
,z'Llg-
tt'991t + 0?'90q +
sl'oo9+
+
s0'86,
-
88'oll.s +
xd:
^N
9t'r
ss
9Seo't
-
o6'sozr -
oo'rot r98
LglE'z-
wlL'o+
L|'tt s :'w
Lgls's
-
r
d
tgtt't-
wtL't+
{d
wtd
'I
TII
{qun
sns?x
llto.rox lcoTvNV SOOfan
tt2
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Untuk Kasus 2,
P
.x
49,48
- 162
M-=Py
M":
l9l,6l
+0,7144
- 154,31
+I
-
+ 6,4833
-0,7856
+ 187,30 + 127,27
- r050,29
+ 160,26
+
5,5 167
3,7856
-42'7.48
M',: M,-
Px
+0,4833
-
-216
-
v
M,?:
+160,26-
-
(+tti,4t)(#):
21,9t
ll7,4l
*rzs,on
M'r:Mv-*,rb:+117,41-(+160,2o)(#):*nZ,le
.
Nilai-nilai M di titik A, B, C, dan D dihitung pada Tabel 15.10.2. Jawabannya adalah
kN'm
(tekanan pada sisi-dalam)
Ms: - 14,90 kN'm Mc = - 19,49 kN'm
(tekanan pada sisidalam)
kN'm
(tekanan pada sisidalam)
Mt=
Mo --
-
8,50
9,89
(tekanan pada sisidalam)
Setelah diagram-diagram benda-bebas, diagram momen, dan perpindahanperpindahan tersamarata titik-hubung di titik A, B, C, dan D dari kurva elastis dihitung semua dan digambarkan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 15.10.3, pengecekan statika yang biasa dan pengecekan keselarasannya dilakukan agar ketepatan penyelesaian terjamin.
15.11 Latihan Dua puluh satu latihan ditampilkan. Kecuali untuk Latihan 15.8 dan 15.9, terdapat lebih dari satu penyelesaian untuk setiap soal dengan menggunakan struktur statis tertentu dasar yang berbeda-beda. Latihan 15.6 hingga 15.9 dan 15.15 hingga 15.20telah digunakan sebelumnya di dalam bab-bab sebelumnya.
EI Gambar 15.11.
I
konstan
E1 konstan Gambar 15.11.2 Latihan 15.2
Latihan 15.1 w per
jarak-satua w per j arak-sa1
EI
.81 konstan
Gambar 15,11,3 Latihan 15.3 w
f1
perjarak
konstan
Gambar
l5.ll.4
konstan
Latihan 15.4
sa
Gambar
l5.ll.5
Latihan 15.5
lI'sI
ueqrl€'I
II'II'SI
I?gurBC
zI'9I
ueqllB.I
zI.II.sI
rBqurPc
usl
0I'9I
uBqlle'I
0I.II'9I
rEquDg
urlN)t z€
5'gI
ueqrrE'I
6'II'SI
Iequl?o
8'SI uEqrre'I
TU6
8'II'9I
wrz
u?z 't
IZ
ur6
,'sI urwlu'I l'II'9I
ru9
rEqur?9
--_._, ru6
'tT.
rBqurBc
9'SI ueqp?'I
9II'9I
utlz
NI
Nt
096
rsqursC
'rz
09€
'(Z t' t t'S t efflu1q 0I' I I'g I requrug) Irletuls -nquns nl?s ITIIIueu 8wt( luduer8as Inluoqroq ul8uura4 l{elslslleuy ZI'SI pA 0I'SI
8ue[
>1o1eq
'(O' t t'S t u?p g' I I'S I ruquru5) laquue,r BIsJeuI ueluotu DIII(uouI rnsun {ntun qeprnuted rot{eJ uep ueruP{a{ ro1>leJ uDIn}uoI 6'SI uup '8'S t
'(f 't t'S t. uep 9'I I'S I i?qluug) leqetrul ?Israu ueuou r:{rr >1n1un ltdafral-3unfn ua(uotu-ualuotu ue>lnluol l'SI uep 9'SI
-ruetu Suef loluq rnsun
'(S't
I{IInuou Eue{
f
'Sf ESEqq I'I I'SI
rsgr.uB3) du1a1 ?rsraur ueruour
4o1eq rnsun 1n1un 1rdofte1-8unfn uoruotu-uatuotu
w{nluol S'SI p/s I'SI
wo.Iox Ico.IvNv gqoJ,sni
8II
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
.
lSm
a|.-_----___lc
32
kN/m
Gambar 15.11'13 Latihan 15'13
Gambar f5.11.14 Latihan 15.14
9,6 kN,zm
Gambar 15.11.15 Latihan 15.15
Gambar 15.11.16 Latihan 15.16
z +
Gambar f5.11.17 Latihan 15.17
%kN
Garnbar
l5.ll.l9
Latihan 15.19
Gambar 15.11.f8 Latihan 15.18
6I'I
'fi7tl'St
reqrueg) slrlluls>1e1 dnlnlrel e13uura1 q?lslslr?uY IZ'S I
'(oz't t'st I'E I ruqueg) suteuF-yul leduratSos {n}uoqreq B>lSuerel qelsstluuy 0Z'S
'(St't t'St
u8Eurq
I
uep
uep 6I'S I
SI'I I'SI requruS) u: 8I'SI pA St'SI
-orurs-ruquns nlss l)illltuotu Eue,{ eErlfos epda4raq e13utra1 I{slsIsI?uV
'(t,t't t'St -ueg) ulaturs-nqtuns nles I{qlruaru
3ue,(
dnlnpal elEuure4 I&lsEIIEuY
uup
tI'I I'SI req
,I'SI uep €t'SI
0z'sI uewls'I
IZ'SI uEr{rle'I IZ'II'SI DqurBC
0r'II'sI
Equruc
ptuosrror{ raleur rad P191
I
V
t.
ltl-
_t s
wo'rox Ico,IvNv sqo.Lsyr
9II
BAB
ENAM BELAS STRUKTUR PADUAN (COMPOSITE) DAN KERANGKA KAKU DENGAN DEFORMASI AKSIAL
16.1 Gambaran Umum
Hingga di sini, telah kita tinjau tiga jenis struktur berbentuk kerangka (framed structures), yang berbeda satu-sama lain: rangka-batang, balok, dan kerangka kaku. Pada rangka-batang, setiap batang mengalami tarikan aksial atau tekanan aksial; panjangnya akan bertambah atau berkurang karena kehadiran gaya aksial. Pada balok, setiap bentangan, atau suatu bagian pendek di daiam bentangan, memikul gaya-lintang transversal dan momen lentur. Deformasi geser tidak akan ditinjau hingga Bab 2l; deformasi lentur menyebabkan perubahan kemiringan, di separrjang dx, sebesar (M dxlEI). Pada keranlka kaku, setiap batang, atau bagian pendek di Calam batang lurus, bisa memikul aksi-kombinasi dari gaya aksial, gayaJintang transversal, dan momen lentur. Sejauh ini deformasi akibat gaya-lintang maupun gaya aksial telah diabaikan; hanya deformasi lentur yang ditinjau. Namun, harus anda perhatikan bahwa meskipun deformasi aksial diabaikan dalam penentuan "tanggapan deformasi" dari suatu kerangka kaku, gaya aksial harus diperhitungkan di dalam "tanggapan gaya", dan kekokohan anggotaanggotanya harus didesain untuk kombinasi gaya aksial dan lenturan. Jika deformasi aksial dalam penganalisisan kerangka-kaku akan diperhitungkan, hasil-hasilnya mestilah lebih "seksama" ketimbang yang diperoleh apabila deformasi aksial diabaikan, tapi jika mereka tidak berbeda banyak, pertanyaan yang timbul ialah apakah penganalisisan yang lebih rumit itu tidak membuang tenaga. Hasilnya memang tidak berbeda banyak di dalam sebagian besar kasus, kecuali mungkin di dalam kasus gedung yang sangat tinggi, yang ketinggian tingkat-tingkatnya tidak teratur, yang dalam hal ini deformasi aksial yang taksama pada kolom-kolom bawah yang bersebelahan di tempat berubahnya ketinggian tingkat secara tiba-tiba, akan menyebabkan rotasi sumbusumbu balok-penopang. Namun, penganalisisan yang lebih rumit itu - dengan memper-
l
I
I
(
!
)
r
r
t I
t
'uBqrqele{ PtPqes !r Ip F{Ber u?IPnueI u?p leqrueued
-tueleq urepp Ip 1Fe1-edut Bur?1-?ruepad u?)pung 'B^et epoleu uetuep Dl'2,'91 requ?C eped uelleqgradtp tuuf uunped Jnl{ru}s qBIsIsI?uV i i ',: :r,}j',ri'}
'IcelJel-?qtsn ?urerool ue4durauau ueEuap u?p 1e:11su uBnB[uIl Inleletu ue:l -ntuallp Bi(urrBsBr?lase)t Flpuo{ 'snse1 depas urupp rp iur4rl)l?[p uBuIBIraq tw/( uBqlqol -a:1 ueqlrd unp '(rser6n11 {nlun {ocoe 'n1es lufurapraq zfuuq nluoDlul s!1u]s tsJlsraq uulnltuesraq tuef rn14rup undl4seu 'tue,! 1ru1paq qoluot urBlup KI 'IlJo{r3}-3qssn Buaroel uoldurauau uuEuep nele'p1ysg uBnuluq InFIeu qalomdlp ludep e{ut epoleu ur?Iup Ip ues?rqase)fsrpuol-Nrpuo) 'nlual)pl snuls rnD{nrts {n}un u?{n[n11p eluultof -es 'ueqyqalel-ur(eE apoleu nule 'er(uE epoleu 'qnu 4u[as unt?{nluo{p uueunuEuqag ,!";l(-. I {l
i
'lul q?q tu?pp Ip s?I{BqIp stuBs-Blussreq w{B lnqssrel Ieq Bnp -e{'IBIsry rseluroJap rurepEuatu tuef n1u1 ultuera4 slsllsuu uped utuus urecas unldural -rp l?d?p 'ueqeptndred nelu e{et opoleur uetuap 'uunped mtr{tu}s s$Wtre ?uaru) 'uu:l -tunlqredrp qEInBlB u?{l?qulp uu>p er(qe1s4e I$urroJap ?ntues nBlB eduraqeq qopde uelnlEuusraq Euuf utstsqeue8uad uuEuequtgad epedal Eunluutrag 'seutqurol-rnsrm >1n1un ituelug-e:puer uuslslluuutuad urupp uB{n{BIIp usetq tuef tlrades 'ua18un11qradtp rlsaur ufquts{? IseturoJap 'uenpud rn1>lruls urBIEp Ip 8uu1uq-e48uuJ Jnsun {qun 'uusrsqeue8uad urepp s{rpu-ueqepuldrad apolau tuelup Ip uuleunfip sruzq Euu[ tqlpes Eupd Eue{ rnsun qqtunf 1n1tuz{ueur efuuq elurnsun qBI -un[,snsu1 du11es urepp IC 'Isgutquo{-Insun qenq uE11 uep Eueleq-e>1Euel Jnsun qgngos 'cI'l'91 rBqurBC upud uep :lseulquo>l'Jnsun qenqes uup tueleq-u18uer rnsun qBnqes 'qI'I'9I rpqurB3 uped l1o1eq rnsun qunq efl1 uep 8ue1uq-eltuzr rnsun r{Enqes DIIlLu -errr ,I'I'9I requeC uped rnp1m15 'ue1eun8ry uonpod truyruls etueu e{ueuer?{ :n>Iul1 elSuera>1 nege '>1opq '8ue1eq-e4tueJ lnqesp 1udep1u1 z1 'tnsun sruaf nles 1np qlqa1 tunp -ueEuaur u1Euu.re1 ln1ueqroq rnDIruls nluns qlqudy '(Eueleq'u4Euzr u?p {opq $?ulq -ruol rrsun nele) pouqwal npun$tges1p uurquel u?p IBI$I? er(ut tseutquo>l IDIIueu >1n1un uelnfnttp 8uel( wp:t1oyoq.lttsln lnqaslp 'u[us uernlual uup tuelrnlu{eE plnuou 1nlun uaJnfnrp Euez( !3uo7oq-aPuot,l/Bun lnqeslp 'e[es psle eIeE 1ru11uraur {$un uu:l -n[nllp Euu[ :quof u81l ledepral 'prn1>1nr1s Jnsun'Jnsun 1n18ue[uaru ufueq qnefag 'uzlnpadlp uqu qgdrat elofflue-u1offlue Ir?P rmuel -u?rup{q lqslu IBIIu-ls11u efueq'e{u1r;uqac Prl urulsp q?qas '1z1sp peuuo;ap uu46uruq -raduau lnlun uuqzSacuad uu:pdrueru EsIq 1ul uetrnlunl 'ludal tuef slelerr puolsrod -ord uetunqnq tu?pp ep?raq snreq lnqasrol uBruPIe{ spof snpe{ udulepnes nelu 'ue1 -euntp l6eur /!r rn1ual-u?ruplal u?p 7g pupqpuofu?qqo{ {?Dnur regu'rcgu'e{u rc .snuouo{e qlqel uelqBq 1pe[-qe1oq n1e1-afueral uuslslluuu8uad -uB{ns?ru Bl?p ruslBp urBIBp
I?Iq? I$uuoJap uunu[u1ued'urunuelu uml uuq
uu.n1
8un11q-edaq euerr;1 're]nd
-uro>1 ruer8ord 4n1un sllerualsls qlqal ulucas u{uuelnsuru elup unsn{uaru uetuep ru1u,{ '1u1tr4s rgqatr tued nDlear ur?I?P uqruf?[p eslq urfuruuaqes 'P1s:tE IsBuuoJaP uoltunlg
1e>Jrd4wnpedrnl{n$S' r' "'
I r"''
(o)
lequreued-turleg
luqureued-3ue1eg
LtI
AN,\I-ISIS
118
S
l l{t-r
KrI
R LANJUTAN
P['.NYELESAIAN (a) T sebagai kelebihan teorema usaho-terkecil. Terapkan statika terhadap balok ABCDE pada struktur dari Gambar 16.2.1b,
*' = Til r6i- il i:'+r ,i r ' '1'6s - 0"11 q ls 11 (6r {2.4' ri r = 1,72 - 0,6r R. = rt ii Energi regangan total pada balok dan batang-penambat adalah
rll i ;- ,tlr J.t tV. I I:,1-,4. :,1 {,,i,
o 4r}.(tr - I l'i2 . .1 I E,A. lE,It, {lJ,,l"' t,r,o*
t)
- | l({.hR-0..1T)r- 6(x JJ,\
* I t,t.r: -t! .
't,r,-,
u,6
.rY
-4.5)lrdY
l'rrl:dr
-().n, { - :,J(x t,l'dri
f
brtang-pctrmb.t bajr 0-12 mm, &prnjeng I 2 m
R,r=4,6E-0'4I
Rr=3,72
= l0 kN/mm2 = 200
kN/mm: (b)
(o)
t'
2r,06
E,l u
I
t 97.605
Balok-padanan
t 87,345
E,l o
E,l
a
(c)
r-rl;4+r ! {r.},1 Metode gaya, I
sebagai kelebihan, Contoh 16.2.1
Balok-padanan
-0,67
I rp -ttC
t
-
xp
xtt'Z
*
il(i't
r.ru x)9
I
'f - ,rP,(xqu), :f t
"J
J
- x(02'Z - ,U*lltT *
rp Jx(oz,i+ ,u:)l ,,T] T!. ei;1,$f*,
;
=
"t'3 fz,'y'3a qBI?p" lequeuad-3uzleq uep
i
')l
o;'q
=
.6 ()i'; - rul
=
{opq
..
uIBIsp Ip
Plo} uedueter rireug
t
,uit ,;rjt,; . Crfy - I ir*,: frlr_*-'x
'oZ'Z'gl rBquBC Ir?p rnpltuls eped gOCgV 1opq depeqral B{I131s ue>1dere1'f ) aqrzy -Dqosn D utato ay'uoqtqal 2q toSoq a s s A Q) '(") u?I8Eq uped qeloradrp Suei( J {nlun ueeuresred ue8uep Bdrues 8uE,( oI'A 'Y'3 'l'g nsle iirr-r = fi'ru s6'oor
'!q
(zt).t =.
'! -''r
-ed-8ue1eq uetuu[ueured ue8uep ?ru?s snreq
"I'? ,-g.fg,
zcy-lcV
.. 'r':-I -Z-' 16' (t',0' lrT
qI'3 .19.:l
?{Blu:l?qu€u r{IsJeq q?a?q
e{ uelnpue'I
- z,rt rIBI?p? l?q u?uad-tueleq
urBIBp rp
J
ryrrz1
efut lBqpIB, {pp Ip z'y sele e{ uelnPuel 'Pl'Z'gl reqtueC IIEC cI'g
s6m= (s'rxr'r)
#ri
lll{ i- orts'rr #+ i (6r{}
1g;1e'p;
=
''v
q?ppe 'ol7'91 requsC Bp?d ueruoru ure€ep depuqrel ueueped->1opq BrEerool uedereued Wp 'gOCgY ,lopq pV ge^\?q e{ u?lnpuel 'uelsnd eped etreleq Suef ueqeq Bnpe{ 1?qpp , Ipp 1p -eqrp e,iulequreued-tuuleq e41 's1,r.r/ uofanlacarl 'uoryqap4 Dtogas J (q)
uI'E
^
'!''3
',l'l
'=-r.grc*scoot-cru eleur isele rp,qeuuesred ueleuuqrepeluaur uu8uep qaloradrp uesuqesa{ Flpuo) o-
{t,
{re'0-)[(t -' x)]'i r( le'0 xp
xp
-;-'r)l,J -
(x9,0-)[x(.ry'o -
(xt'0-)[(S't
r)9
-
;r'trl '[
+
- t(Jt'0 - S,r'trl"[
-
OJ
rP (x?'0-)lx(Jt'o -
cl'l 'V'', =
0rl
89'
'" r,JJ
'1ou ue8uep ue{?ru?s
uep;
I
"(zr)J
.Ie
m
depeqrel 44 ptsred ueurunl Eunry1
' NvgNao nvvx v>I9Nv'ttsx
6TI
NVCI
(sJlsodrlioc) Nvoovd lroJllniL
ANALISIS
t20
S
RUKTUR LANJUTAN
n^=tar+z,zo
1.2
Gambar 16.2,2. Metode gaya,Rg sebagai kelebihan, Contoh 16.2.1'
Samakan turunan parsial W terhadap R6' dengan nol,
t9.4:illx-ix {: I:.{ iRr -
tzr
+ ?,20).r](ir) { lt' - =L ,,1, iJ [(iRr
d.x
' i' 1,tn. * l.l{l)r 6t t { ))lr.r , rir ';, r, ) ' -l, {RIr){rr ch ' J, IRrx - ].rrr " ttl'.ItJr I =,0
Sederhanakan persamaan di atas,
li4 * l00Rr l,l.<' 180R, lE.^\, F;,I^ E.l. "
E,A.
(d) Rr
sebagai kelebihan, keselarasan f'sls. Keselarasan fisisnya menghendaki
Arr
pada Gb. 16.2.2b = Aru pada Gb. 16.2.2c
Pada Gambar 16.2.2b,
EEr = CC' = pemanjangan batang-penu*U.t
,, = + .
;h,,
Arr = EEr + ErEz*
124
,1,35 = E4"'E,h
(3) -
i
(;)
=
=ffi=ffi
# -#
"1i,, ,r"' =ffi+ee, *)ffi
(searah jarum jam )
I'Z'9I qoluo)
uIslep rp Eunlue8ral
nupuol-Iopq !ftp
Is?turoJap uup B{!}e}S
€'Z'9I rsqurB)
otvt6'9-
owL6b
s6zl0'01 + MTLL,T_
p s9L€0'0(sdzr
r'o-
(sol8o'r+ ru
)r 01 x l6ttz'i - .).) rperr 0txil[0'11 = :10 pe:, 0l x6060'6 0l x 9(tZ'02+ .
per
,
1.,
otgzz'z+
...t
0tszz'z
s9r€0'0
I lI
szLe(s=t
)t
b
rur uD{aceSued .3^r[s?urroJep usSBrBIaSe{ dspPqJel u?{OceEued qenqas }?d?pIal suarEx 'E'Z'91 Jeqursc Ilseur'nlBS lBfBrapJeq ntuaDt?t stlBls lBJrsreq IuI rnl{ruls uerSerq eped ue>llnfunllp lnqesrel {oIBq {nlun ualuolu uep tuelull-?fet N,r ser€o'o =
# =w#H
#
rIeIBpB
Nrszr€r.e rserds4a
sU {nlun
=,*
rserds:{e '(p) uep
=rs$P!:-!3tlzt
=
(r)
usr8eq trBC
r
q?IBpe J {nlun '(q) uep (r) u?rtsg :ue1'uocz.t'olasaq uop o1fioys uoqacatua4 (a) '(r) wl&q epud qaloredlp tued ag' 1n1un ueeuesred uutuep edrues Suef
cltg ,v"gE qlg ,v'g -ruml = sl.l-Tfj.
,uoBI
.ZsV uetuap IaV ueIBurBS
clg
,y"g€
E[61--= _ OXsl
ffi
f
+ roe +
ffi =,sts +tsts + tss =zav
#.#=€)n'#'i.*=*
rgl = #& = lequruued-tuuleq uuTepuetued = ,CC =
#
'eZ'Z'91 rBqurBC BpEd
'
TGI
NV5Nf,CI
nvvr
YvgNYUSv NVo (s,llsodhloc) Nvoovd unJ>lnu].s
I22
ANALISIS STRUKTLTR LANJUTAN
dapat dilakukan dengan (l) menghitung lendutan di C dari balok-sederhana ABCDE dan melihat bahwa lendutan ini sama dengan pemanjangan batang-penambat, atau (2) menggunakan pemanjangan batang-penambat
sebagai lendutan di C dan melihat bahwa kemiringan di C yar.g diperoleh dari diagram momen pad.a AC sama dengan yang diperoleh dari diagram momen pada CE. Pembaca mesti memeriksa benar-tidaknya rotasi-rotasi dan lendutanlendutan,dititik-hubung yang diberikan pada Gambar 16.2.3.
16.3 Struktur
Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Balok-Metode
Perpindahan Persamaan dasar di dalam metode perpindahan terdiri dari dua susunan; yakni
{X} = [ASB]-'{P} dan
iF*): {r,} + tsBl{x}
(16.3.
(r
l)
6.3.2)
Dalam penerapan metode peryindahan, pertama-tama struktur paduannya dipisahkan menjadi unsur-unsur yang terhingga banyaknya yang dihubungkan di titik-titik hubungnya (atau titik-temu);setiap unsur tidak boleh memiliki gzyayarl1 tak diketahui yang bekerja padanya. Derajat kebebasannya adalah jumlah dari banyaknya rotasi yang tak diketahui di titik-hubung dan banyaknya lendutan horisontal dan vertikal yang tak di ketahui di titik-hubung; dengan kata lain, ia adalah jumlah total perpindahan tersamarata yanB tak diketahui di titik-hubung. Banyaknya gaya-dalam tersamarata yang tak diketahui yang bebas sama dengan I kali banyaknya unsur rangka-batang, 2 kali banyaknya unsur balok, dan 2 atau 3 kali unsur-kombinasi, bergantung kepada apakah deformasi aksial dari unsur-kombinasi yang ditinjau tersebut akan diabaikan ataukah diperhitunfr-an. Apiblia deformasi aksial pada setiap unsur-kombinasi akan diabaikan dalam penganalisaan, gaya aksial di dalam unsur ini tidak lagi merupakan gaya-dalam yang tak diketahui yang bebas dan dengan demikian tidak akan terdapat di dalam matriks {F}. Karenanya, banyaknya lendutan horisontal dan vertikal yang tak diketahui akanlah I buah lebih sedikit daripada yang dalam hal sebaliknya, untuk setiap perubahan dari yang tak diketahui bebas ke yang tak diketahui tak-bebas. Maka haruslah kita berhati-hati untuk menetapkan perpindahan-perpindahan yang tak diketahui di titik-hubung hanya pada lokasi-lokasi yang tepat. Dalam kenyataannya, bahasan di sini lebih mengait kepadaPasal 16.5 ketimbang pasal ini, karena contoh berikut hanya mengandung unsur rangkabatang dan balok. Contoh 16.3.1Analisislah struktur paduan di dalam Contoh 16.2.1 denganmetode perpindahan, dengan memperhitungkan deformasi aksial di datam batang-bajanya.
PENI'ELESAIAX (a) Penomoran P-X dan F-e. Dari pengamatan terhadap struktur yang ditinjau yang ditunjukkan lagi pada Gambar 16.3.1a, jumlah terkecil titikhubung yang mungkin untuk digunakan adalah empat, di A, C, E dan F. AC darr CE merupakan unsur-unsur balok dan CF merupakan unsur rangka-batang. Penomoran P-X dan F-e ditunjukkan pada Gambar 16.3.lb dan c; jadi N/ = NF - NP = 5 - 4 = 1. Perhatikan bahwa F5 adalah gaya-tarik di dalam batang-baja, dan tidak terdapat gaya aksial di dalam unsur l-2 dan 34.
(b) Matriks masukan. [Al , [Bl , {Sl , dan {Pi; Matriks statika [l ] ditentukan melalui baris-barisnya dari diagram benda-bebas titik-hubung pada Gambar 16.3.ld; matriks deformasi [B] melalui kolom-kolomnya dari diagram perpindah-
8Zt
I' €'9 I r{otuoJ'8un}ueSrel nq}uol-Iopq'uequpqdrad epolen i.f
.
.------
7 .9
I
ruqurE
i
__--_b._ o+rxJ --\-.
Sunqnqlrlq suqaq-"pueq ure€ulg (p) 9
'.q
+tr
-r,
(,
o!
td
6
g'd6
zr+U
-\l ti.'
I (-s
(€.+-{Z ), ,r* tJ- / Lt a
'r*' (J a
vI g=lN'a-l$eJotuoued (r)
l=dN
tx-dIur-tououetr (g)
nefup1p 8ue,( rn11nr15 (a) ,tutu711>1 967 =
ztuuj/N{ 0l
nderl uo
ai
\rl)
NJ
cI i,Y
VY v lI'-) i\i\j U.j ]1 liY O ( :{ JI
67
x
E
sE
='?
1
SOd rNo
S) NVn Cl\j.I U n'lx nu lq
L24
X1+0
,(e) Diagram perpindahan
2,4
6
+ 1,8
+6,75
-6,75
- I,8 AGaya kondisi terjepit
ii'1111i.1i1
ir'.,i.! .,',rlrtl;li;.
an pada Gambar 16.3.1e. Namun, perhatikan bahwa X4 + O tidak hanya menyebabkan rotasi-rotasi ujung el = €2 = -Xc19 dan e3 = e4 =+X416, tetapijugapemanjangan es = +X4.Isi matriks IS] adalah .+
k,.;i-:
i.\
;t!
\t.. I
,,t.
';..
.
.:lirr,{littt.11)r',: tt( i:;
!1.1 t!
\tr.-
.
.l),,i, -, . r:"ri: i :.,\.:. ,
.q,,:
{,i:i\;
4".
I rr,i..l<.
il
\\.
.
i
Isi matriks{P} didapatkan dari gqyaaaya kondisi-terjepit pada Gambar 16.3.1f.
,l
,-l
ir ..,i
t,
i
I t)
\l
-:
l
I I
i'
_l
i
l I
i
j I I I
.i
6,tt
-
.1,9)
-
l,li{.}
i I
'l
:
.
.I
[A]r's= l
i
!
+'!.
{P}.', =
l
-1
l
-l
I
I
i.9 'I
I
l
1
I
ll,i i *ii{r l
'liit 1
'i.
i I
I
I
I ()ti'fi II ;
I I
I I
l
I '' t;
=
i'f[8sl
I
li
'l'z'91 rloluoJ urBlep Ip Edst epoleu IrBp llssq{ssrl uBtu -op r?ueq-reuaq {ocoo {X} [AS] + {o,{} = {*.{} rrep qaloradrp tupt( {*f } slul -e;,q 'udu)pprl-I?ueq fnlp f uep '1'7'91 rlotuoC g'Z'9t { } [ASf] = { d }ueuurusred rBgueD uBp u?)nBdeplp {X} s4r1ery {*.{l uop lxl uoun|aT sqypw (t)
!=
t4[Sl
= rxr[g]
\
9Zr
\.i:1ii!r.i
{lI!
i\;
i
126
A.NAI-ISIS
ST
Itti K'I
U
It
i.A1.N J tl
r
A
N
0,0m0 + 6,9741
{X}0,' =
16.4 Struktur
Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Kombinasi-Metode Gaya
Tiga contoh akan digelarkan di dalam pasal ini. Contoh pertama melibatkan balok-kantilever dengan batang-batang yang miring yang menghubungkan ujung-luar balok dan titik yang terletak vertikal di atas tumpuan. Untuk struktur paduan ini, yang bersifat statis taktentu berderajat satu, dua penyelesaian pilihan ditinjau, yang satu menggunakan gayatarik di dalam batang-penambat sebagai kelebihan dan yang lain menggunakan momenreaksi di tumpuan-terjepit sebagai kelebihan. Contoh kedua adalah yang biasa dikenal sebagai rangka-batang bertiang-tunggal (king-post truss), yang dalam hal ini, daya-pikul balok kayunya dapat ditingkatkan hampir empat kali lipat dengan menambahkan sebuah tiang kayu yang pendek di bawah titik-tengah balok, dengan dua batang-baja yang menghubungkan ujung-bawah tiang tersebut ke ujung-ujung balok-kayu. Untuk soal ini, wajar tampaknya kalau kita ambil gaya aksial di dalam tiang tersebut sebagai kelebihan. Contoh ketiga melibatkan kerangka kaku yang berbentuk segiempat, yang ujung-bawah kolom-kirinya bersendi, ujung-bawah kolom-kanannya bertumpu pada tumpuan-rol, dan ujung-ujung bawah kedua kolomnya ditambat satu-sama-lain oleh suatu batangbaja.
Untuk ketiga contoh tersebut, ekspresi-ekspresi "bentuk-tertutup" untuk kelebihan diperoleh baik melalui keselarasan fisis maupun teorema usaha-terkecil, dengan maksud menunjukkan bahwa teorema usaha-terkecil tak lain adalah suatu cara matematikal untuk merumuskan syarat fisis bagi keselarasan deformasi. Ini merupakan sifat-dasar metode gaya, sebagaimana ternyata dari ekspresi-ekspresi untuk kelebihan tersebut, bahwa pengabaian deformasi aksial dari suatu unsur rangka-batang atau suatu unsur-kombinasi dengan mengsubstitusikan nilai takterhingga untuk kekakuan longitudinal unsur itu merupakan masalah sederhana. Karena kekakuan longitudinal selalu muncul pada penyebut di dalam persamaan keselarasan, hasil-baginya (yang tak lain adalah kelenturan longitudinal unsur) menjadi nol. Dengan demikian, pengaruh dari penijauan atau pengabaian deformasi aksial pada beberapa atau semua unsur dapatlah ditentukan secara mudah.
Contoh 16.4.1 Dengan metode gaya, analisislah balok-kantilever dengan batangpenambat yang ditunjukkan pada Gambar 16.4.1o, dengan menggunakan pertamatama gaya-tarik di dalam batang-penambat dan kemudian momen-reaksi di C sebagai kelebihan. PENYELESAIAN (a) T sebagai kelebihan, teorema usaha-terkecil. Terapkan statika terhadap balokABC pada Gambar 16.4.1b,
Hc:0,8T Mc = 24{2,5)
-
Vc
=24-0,67
0,6T(4)
:
60
- 2,47
el pln'91
#.:(:)ffi=-" ffi*="v nule 'se1e ueuel rBqruBC eped
yy
uelnpuel ':1opq eped efte1eq Suef
;
e.{.e8
1eqtly
lg_ =,^v o=,Hv e'Ltz =r+\!g_ \s'6l sa
uleru'su1u
e{ I/V
r{Bllnqos 'lequreued-Bueleq
uBp ueuel e1
eduel
"-
:s1s1t
IHy
q?lupe
rl't'91
rPqurBC eped ,YY
uoson1asill 'uDqtqap4 pSDqas
c|'g qlg cv,g 'y.3 s'znt rgg'L 9s'z ' Ls
J
(q)
'se1e rp lsards4e-rsards{e ue{susqropes o
=
[*
(re'o)[(s't -xhz-,rr'o]'l
+ xp
(xe'6)(x1en,,,,1]T..'
qvtg
_'v'g _ Jg (rx8'o-XJ8'o-) (s)J l^e '1ou uu8uep
Ir, t
',,,r'r - x/'l.rrs'o]''l+ ''
q?IBpD
J
xp
dppBrlJel rt4 I?rsEd u?unml uE{BrueS
z(rJ9'0),.,or]ry
-
, ,1.r,r. ,g*)u,,a1= m (r),(J8'o-)r'(s)zJI
luqupued-tueleq wp {oIBg utelep Ip p1o1 uutuuter 6reug
'I'r'9I
qoruoS'uzqrqelal re3eqas,6 'ede8 apolen
I'r'9I
ruqure5
(p) q
I'g
ZTA
t
9'0
(Dl
@\
zuulNI
tg'O - nz=)A
002 =
slr :zuItu/Ntl OI = '!r
uc 0Z x SI nfBI
t8'o=rH
' ' ' ' NVCNso nxvx vrgNvusv Nvo (f,JISOdWOC) NVOCM1IOT:.
LGT
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
128
Kondisi fisis untuk keselarasan ialah bahwa komponon lendutan titik A dalam arah perpanjangan b-atang-penambat harus sama dengan pemanjangan 6atangpenambat; maka -(As r + lr:X0,8) - t-!r r I
-
li
(-
jrll. t#)
;***,H-
#-'#' Iyang
(r.H)
(o,B)
-
r)(t1,6)
(0,6)
: - ;-"?
:
*
;+
Sederhanakan persamaan di atas, n
yang serupa dengan persamaan untuk diperoleh pada bagian (a). (c) U" sebagai kelebihan, teorema usaha-terheciL Ketiga persamaan statika
diterapkan terhadap struktur pada Gambar 16.4.2a untuk mendapatkan T, Hg, da Vg sebagai fungsi dari kelebihan I1c.. Untuk 2M terhadap C = 0, 0,6T(4)+
U,=Za{Z,Sl f =25-iMc
Untuk EF, =0. Hc = 0,87 = 0,E(25
-t,n
)
=m
-lMc
Untuk :F, =0, Vc = 24
-
O,6T = 2a
-
0,i5(25
-*U.)
= 9 + lMc
D
ur={e* (ol
lurt
(aa2, Ly2l
A'A
A',_<:a_1
(am' Ar'r)
(b) {
iarirbar l6.4.2Metode gaya,Mg sebagai kelebihan, Contoh 16.4.1.
?frii-lrrra-@ =s6,62--G---6 rtrslepe
e{uueserqasel ueeurusrad .zr0 uetuap lcp ueleurug
ql _qlge -/{y'95 -'v?9[\ 2 = -qv'96 -'v'gt?l =.IiI,i\,,{et'InlZI/i'ilti-,ryrlli' ,Ns:'J
i lrZ'V'gt reqursJ tuBIEp ususpsd\ =.ro cpcd c lprrrq aI FIeeU / ' sslu eI r^V \Iopq
qv'96
(s?rE ex r^v) )Ngl'+'v'ggc rN9Zl =
'W
=,t'01
ffi
- tr oX sele
e1 zae;
-i#e = o, 't*u"uad = (s'g)(Fl:l olzxv) - (9'0)(selu e1 z'rv; tiffiP
= 3gY ueiueru?uted
=l,,r elrrv
'q'f 9l ruqu?C BPEd
1'A ryge .'v'elzl clg . lygt, 'l/'g€\ rszgtz* 08 --@- =szgTz'\ ou€ - szg 17t . lqz'n'ilIequrBJ urslspuculpBd\
(
W;;ilt;;*i;e,,;l W.'#=
ffi = o'o(ffi '#,= o,
-
)+1;*r,n *='Je
(qe,neq
er
I^v)
(e'o) (q"aBq e1 laey
uu8uufuerued = (8'o) (uBuDI
W =ffi= *y
eI
Ing; -
(9'o) (qu^sq e1 lae;
uelepueued = uuuurt a1
Ilry 'q?'?'91 r?qruBC
Gp?d
'J'Z't'gl JBquBC eped, zcg uIBf urnrf qer?es Felor uetuep ?uus snrsg qz'n'91 ruqru"g eged, tcg uref urnruf qsr? u?inq F?loJ B,$qBq qqq zluuuscrslesa{ F -puo) 'lpueeuunduml lpsfuaul 3 p 11defreyuendurnl qeqntueur utEuep qeloradlp rnllruls 's1s{ uoson1asarl 'uoqqapl pSoqes cnl @) rBsep rguagat sllBls
^ $=
crgt
. crg
cv36 . yge
,N|-WM,- ,Nr -
og
. Y'azl - 'v'gwl ,r{szt --F5--lserdsla uoleuBqrapes
1p
, {rr
tq
xp
+ 1 -1x1;111 +o) + rN
({-Xr(cN? -
cv'g _L I
CTGTffiT
+ oz=I
,:1e
-l {zl +
sz)e.ot .,T}
T.
Y'a
_JNe -ztr
641(cvry1=g) - e cW dePe\lc141 psred u?urunl
'1ou uetuap
frr .tr(cry
+ o) +
"n
I
ol
+rp ![r(rru? - szte'or,.,J]
ff
uB{eIu?S
+
6;ffii.CIffii-";i=^ qBppB luqruuuad-tueluq uup
{opq
uIBIsp Ip IBlol uutuetel
preu!
t*lv$NAC fl>Ivlr vX$NvUAx NvCl (A.IISOdhloO) NvnoYd UnJIIOIIIS
6ZT
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
190
yang serupa dengan persamaan untuk Mg yang diperoleh pada baglan (c). (e) Pengecekan statika dan heselarasaz. Ekspresi untuk I dari bagian (a) dan (b), adalah t42,5lE tI,
f
5/E.A" + 2,561 E,At + 7,681 E,lt 142.-5
=
x l0-l
(0,3183
I + 0,00853 + 7,6E000) x l0-'
17,7973
kN
Untuk ungkapat Ms, bagian dari (c) dan.(d), adalah
62.s 80 , 20,625 DE,/"' 3E"Ar- EI" Mc= 115 - 4 * 4
144E,A,' 9E,At,' 3E,lt (3,31-r73 + 0,08889 + 20,625)
(0,05526r+-;00t481 + 17,2866
x lo-r xT0=
r,3xx)
kN.m
Pengecekan keseimbangan dari keselarasannya kemudian dilakukan dengan menggunakan hasil-hasil di atas, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 16.4.3.
AH di A = +0, I 89E4 x l0 -r m r,.. diA = -9,69487 x l0 I m 04- 10,42692x l0 r rad
t3,3216
-t3,32t6
-t7,2866 Gambar 16.4.3 Statika dan deformasi dari kantilever dengan batang-penambat di dalam Con-
toh 16.4.1.
contoh l6-4.2 Dengan metode gaya, analisislah struktur-bertiang-tunggal pada Gambar 16.4.4a, dengan menggunakan gaya-tekan di dalam tiangnya sebagai kelebihan.
PENYELESAIAN (a) Gunakan teorema usaha-terkecil. Dengan menyebut s sebagai gaya-tekanan di dalam tiang, diagram benda-bebas dari struktur yang ditinjau tenebut menjadi yang ditunjukkan pada Gambar 16.4.4b. pada diagram ini tercan-
'Z'?'9I tloluoJ1?t8unl-SuBrueq rnt{nr}s
'ui(EB
epolel
J
t'r'9I
.EqurEC
<s)
IBIs{e ?i(B8-e,(BA r{eppe tunrol-epuel tu€l?p Ip lellu-IeM
o
N{t
I
NII
rqo-
Q,'
o\
),"uJ"-,
I
,"'r"t-' NI
v
OI (D)
zuu/Nl
002 =
5E :zlutulN>t
ot
:',s
;*k €r uc
tur 0z x
sl
\JZ N{ 0l
Ie{rgo^ u?lnpuel Inlun lpnca{ cf t'91 requt?C eped enwes Iou Ie1ttuaq Sunqnq -{1111 uelnpuel-uelnpuel uep IeIsIe eAeS-efieg '3uer1 uelepueued ueSuep urues
sue\ pf V'gl reqruuC eped g uep €r ?r?]ue
1u.re[ ueqeqtuel t8uern>1tp ?F't'91
J?qrrr?g eped g uep 8r ?J?luB 1e:uf ue8uernl ?rtlqeq qeler e,(uuesuJulesa{ Islpuo) Suesedes qalo u?Tlue8rp rn11ru1s eped u,{urs1e rBqIuBC eped ue>Jsndergp SUBIJ 's1s1t uoson1asry uryDunC (q)
'pV'V'% ruqureg eped g e{e8 vep
ct'l'gI
ol'gg
n +qv'g}l sg s9t-.'v'a6 sffn tt sszt -'ov'E '- sgzl*113 .
'se1e tp rsords{e ue{?uerlropas
rp
,p
(,r-)[,(f - 4]
(xr-)[(r-
r)or
-'(3-4]
JT.
JT.,r *i-r[,(!-,)] JT. ov'.g=
"y'a _a _ @c-@cr(0'l;GXsJ-4,1e
_.
ov'g
_
_
sg
-
'1ou ueBuap g depeqrel 44 lursred ueunrnl u?{Brues
,r,[r, -'ror -,(! - r)),'Jry
*,[,(3 -,)],'l
ry.*.[,G-')]
J
t
ry.
E r;ffiar r(i)..ort"ffis=(i),.ffif =^ ml{nrls ur?lep rp 1e1o1 ue8ue8er 6raug 'elotSuB urelep Ip .fivoNao
I8I
1ers1e
qq?p?
efet-ede8 urnl
nvvl{ v>rrNvu-Jv Nv(I (uusodhioc) Nvnovd lioJvnu-
r32 /(0,0)
D (0, 0) Gaya aksial dan perpindahan titik-hubung
2l kN.m
( a*,
s?.
59.5
105
45.5
E,lt
E,It
E,lt (c)
r(o,o) t-tl
B(aasz,arrr)
(-z*?)
c(Arc2,o)
D(Ayp2, Lya) Gaya aksial dan popindahan titik-hubung
fr
fr
625
6.25
2,5S
(d\
titik A, yang dihitung
dengan metode balok padanan sebagai
1i'.r irii,.,',,..,r'., 15'i''; f-:'
i lt'rr,i:\". .'', ' lr,i,
l1l 't,1.
Karena titik A beralih ke bawah dan titik D tidak beralih, kurangan jarak antara I dan D pada Gambar 16.4.4c adalah l65lB{b. Dengan mengacu kepada Gambar 16.4.M, sebutlah &tgz,\tcz,dan Asp2 sebagai lendutan horisontal ke kanan dari titik{itik B, C, darn D,' dan Aya dar
&
'S'r'9 t rpqureg BpBd uq{nfirnl[p 'O uup 'e ?:tpn r.np[Bral srsod-rsrsod utnf uup 'C veg 'g .y Ip uuEuuurelurEqryua; ;lg ue8ueluaq Inltm p, Ip ueturnrua:1 uu8uep BruBs yg uetuuluaq {nlun g rp udulluua{ EArqBq lwm
-eru e[u4q1e uped uup pgy uped uaruou ure.6em ue:luunttueu eduul tunqnq -{qS uempuel snues uu{nluaueu (Z) nsfs 'q, usp A IBB tsISJa^ wlnpuel sp -eda1 sese-1epl lnqe$el tuerl uelapuarued e,trqeq lprllleu efu4q:p uped uup e,(rduerl ue:lepuaured uu>Jeuntllusur eduel tunqnq-{Ilrl uBlnpuel Bnuras u?{
-nlueueur (I) wtuep upIrulBIIp gedep efuuessrBlasa{ uelecatua4 'S'r'9I r?qtusC eped enues ueryniunlyp Inlun ueruoru egas tuu1q1-er(et uerSurp uep 'Cgy epud efralaq EueI ps.reirsuBrl e^EABI?t'elotlfue Bnutas urBIBp Ip tsFr1e ef,efl-e&eg-
rgf
:
qeJepe
usp
(r)
uertuq IrBp 'S :1n1un perdslig ltosotqasel uoP oqtp$ uoqetotued (c)
'(r) uBlteq upud qeloradlp tue,(
S
{nlun
ueeuresred ue?uap ednras
qBIBpB rur:1'uAuueserulese{
uslnpuel uup qeprnfqrype
W'f gl
.(g)
tuef
FIpuo)I
'q?Ar8q e{ or uElnpual ueP s31E e{ 8r rBqruEC eped
g uep Er BrBluB:1ere[ueqequrel
'sels Ip ueeuresred ?npel uulleseleg
'q)wp OVtuvt -uq dupuqrel iupeur-tusuur (Z' S' O ttmqnq-1nFuuqepqtued uueutusred
uulderel
i ,.
'O vep g
{pF
Lr?p
sop a\ p)t!Ua^ u?lnpuel Teteqas acIAV
88r
ANA I-ISIS STRI] KI'I IR L,A.NJt]TAN
134 l0
Ac6,s2842\B+G6,s2842)
t 3
,/
,& e,szsqz
'' .l ,463 I i x l0 I' rad . , u,GXlX.t .< l0 rad ir( .. 10,:.16S9 x ltl ' rai tf/ diR , {),i0i181 :i i() r nr lf diB. 1,1s96.1 r lo r m J//diC. 0,ll16lxi0rm l//di D, 0,lotiSl a t0 r m .-\r di, = 1,55.161 x l0 r m 0.t
t),
t7
;
Gaya aksial
I
0,91705
tt
0,91705 6,91705
-4,58525 Gaya-lintang dan momen
Gambar 16.4.5 Statika dan deformasi struktur bertiang-tunggal di dalam Contoh 16.4.2.
Contoh 16.4.3 Dengan metode gaya, analisislah kerangka kaku dengan batang-penambat sebagaimana terlihat pada Gambar 16.4.6a, dengan menggunakan gaya-
tarik di dalam batang-penambat sebagai kelebihan. PENYELESAIAN (4) Gunakan teorema usaha-terkecil. Sebutlah Tsebagai gaya-
tarik di dalam batang-penambat, diagram benda-bebas dari struktur yang ditinjau ditunjukkan pada Gambar 16.4.6b. Gayaaayt aksial di dalam anggota-anggotanya dicantumkan pada diagram ini. Energi regangan total di dalam struktur adalah
l(-300)19), l(-240)19), r(-T)118) ,,,_ r(+T)lrE)-1 -1 -,
" -, EL
E*
EA*
EA,
'€'r'9I
qoluoc'1?queued-tu?1eq ueEuep nryI e{8u?re)t'e/{?3 epolaN
g.t.gl Dqur"5
(r) (p) Q) g
v \filur.
u
eruoru uIerSBIo
,€r {nlun ueruoru uI?r3BI( qIa
fi9'tz
wz Sunqnq-1qq uuqepurdrad uep ptslu u{ug Sunqnq-1pp uequpurdred uep IutsIE ?d?C (o'o)
j
o.zoHv)o"r
I*,
F,
(o'o) H
{O.toHV) O
p s
I
I
(z.J^v .zJHv\
u_)
J
(cAv
.28H9\
g
8 (tc^v .tsHv) g
(tr^v .1,H9\ 3
(r)
@)
FrsI? ef?8-BdEB qeppe
zuflu/N{
002
=g
ur 8l
zuu 000'8t ='7
I
97{
urur 1
,ruu
tequuuad-Eueleq xOZ'l = -"1
601
'l gE' I = 601 x -eI zwwOAO'W=qV I
,u[u
NI
"^
NI
O'S
qla
@S
qlg.
_qvg. +'vg + + 98, ' JSstI oot't6t J8I J8l
_ 'rg
'se13 IP ueeuresrad uDIBuBqJePaS
0=
xp G
*p,<'D
)06
'[Y* ry(rxxJ) '[E*rP(6-xJ6 -xttz.) '-' or) I Z "! -,ooer
o
I (ru),
+
J
f . 6,ffi;
.
rsl
ffi-- # =
'1ou ue8uep; depuqrel 4 ppred ueutunl u?teIuBS * t6 -'ooo "[
xP,( t6
- *wz\,,'I
ff
+ xp
T
.(
NVTNSO nXY>I VXSNVUA>{ NVO (gJISOdhloc) Nvnovd un.LxnuJS
98r
136
ANAI-ISIS srRtrKt'uR LANJUTAN
(b)
6G
unakan
e
keselarasan /rsiu. Batang-penam bat dihapuskan pada Gambar
i6.4.6c dan aksinya pada struktur digantikarr oleh sepasang gaya Tpada Gambar |
6.4.6d. Kondisi keselarasannya adalah (
r*:'"[l,flfl
- ( r"il'd,
)
l;#"
)
= pe m anj an gan
b a t an g- p e n
am
b
at
Pada Gambar 16.4.6c,
arr,=
ke
H
=
Kcmiringan talibusur B'C'
bawah t,r,=2#
ke bawah
-rytr#
=-
30
EE
(negatif berarti lanan arah janrm jam)
Dari diagram momen untuk 8C,
,,=*'b'#-# Arar = eos =
"=-ttdfl-# r(+#-#) ='Ef -# = o*,
Aror = Arcr + 9(d" lawan arah jaum jam)
=(Y-#).,(#.#)
=# Pada Gambar \6.4.6d,
Ava:=Avc:=0 Dari diagram momen untuk BC,
e,=-|ffirre)=-H e. =
*ffi
(Positif bcrarti searah jarum jam)
Aear ke kiri = 91 0g lawan arah jarum jam) + (momen dari luas bida;ng
M/EI
pad^
BA
tarttadap A
=r(*fl.iH <no=ff+ff Arrcr ke
kiri= (Arerke kiri) + (pemendekan BA
729T 243T Tfl8)
= Eh- EI"-d
Aror ke kiri = (Arczke kiri) + 9(0c searah jarunrjam) + (momen dari hus bidarrg MIEI
=H.#.gp.r(H).lffioxo
vdacDtohadapD)
t45tT 4t5T ltT =E-E--eA, Gantikan ekspresi-ekspresi untuk tersebut ke dalam kondisi keselarasan,
Agpl
rtan A,sp2yarg baru sqia diperoleh
#-(-!gr.ff.#)=H yang serupa dengan persamaan untuk T yang diperoleh pada bagian (a). Apabila Asp1, pada Gambar 16.4.6c dan A,sp2 pada Gambar 16.4.6d telah ditentukan
trglp
'€'r'9I qoruoc tp luqunued-tuupq ueiueprnlq e13uzra1 pup $sruroJep u?p ?rlpuls a'f,'gi r?qurer)
x,jg'n8
t5}9'tz8
rus_ol
ur?Iup
tunqnq-{llt
ucqepu;dred uup uetuefueua; (g)
(o'oHv)o
'8Hvl g pqs>Je ui{eE uup
t! , 0l
u,
ol
x 29661'9
l+ ., ottf
NI
F{saU (r)
O?Z
Nl
I
xtnu)9'o- = -)lv
ul r ot x Iotsl'oz+ .rHv ur r 0i xumit'0- - srv gil\r ol )( Ig96f'oz+ , 0i t{ gggii'sl ,.(/0
00€
I
ur
pPj
Perr 0lxZSS[6'6 =rB pe.l, ol rTgggE';1 + =.rg pe:
y)g , - 01 )<
LB'z- -
t
e
NI
ODg
uduel g uep 5 'g 'f Ip u?lnpual uep ue8utrrurel uu:lluduPueru Inlun ue>punttp lFleuroat apolan' q L' y 9 | ruqulsg upud tunqnq-{Iryt uuqBpuldred-uuqeputtued 'DL't'91 rBquBC eped uu>pgnfunllp Isls)t? efiet-e&el uup Is)PaJ-Is{eeU BUes u?p
N:t lllzg'16 =
98'' +
SZ0|Z + St€00'0 +
9,€[8I'0
8',9
(qlgl8slr) + ('vgl98t) + (qval8t) + ('yal8l)
-r -qBppe'(q) uep
(r) uaeeq Irep
J
1n1un
perdqg 'uosonlasaq uoP olgots
Ia
ussruBsJad
ol
.Va*7I'
uoqacaEua4 (c)
'
s ,P-n ,J n"le'( g'r'€) uep (t' 9' Z) uu8unqet ue>lednreur 11saur 'urltuqlqredlp ue lE I?Is)lB IsuluroJep {nlun ?fre{{nulnr 'u[Bs n1ue1, '[ce{re1-sq?sn ?ru us?urBsred eped luduprel tue[ uetuap slues =
qlqudu 'u?nlus-ueqeq epolau -eroe1 uuldzreueu
qpal O = Jelile
tuuf pdelurqelored e1q uule 'uaruotu tusprq u"p uslrepud-:1opq ?ueroel uuluunt -tueu tuef Lrrleuroa8 epoleu rrtp quuttlued pteqes u?nlssuuqoq epolaur'uutuap
t8r
nyV>: YYCNYUS)i S,ltC {A.LISodhloC) NVnOrtd Utlrgnu-l
NVgNSCI
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
138
menggunakan pemanjangan batang-penambat. Pengecekan keselarasannya dilaku-
kan dengan mengamati kesamaan antara lendutan horisontal di tumpuan-rol dengan pemanj angan batang-penambat.
16.5 Struktur Paduan dengan Unsur Rangka-Batang dan Unsur Kombinasi-Metode Perpindahan
Kali ini, seyogyanyalah telah anda amati, bahwa penerapan kedua rumus
{x}: [AsB]-'{P}
(r6.5.1)
{F*}={Fo}+tSBl{X}
dan
(
16.5.2)
secara universal merupakan sifat metode perpindahan-matriks yang tidak berbelit-belit. Karena inilah metode tersebut sangat cocok untuk penye-lesaian dengan komputer. Program komputer yang menggunakan matriks global [,4 LSJ, dan {P } sebagai masukan-
{X}
],
dan {F*} sebagai keluarannya bersifat lebih terhadap pemula, dan kadangkala lelebih bersifat menuntun mendasar dan karenanya dan takbiasa. Program komputer yang khusus masalah-masalah bih berguna di dalam global ke dalamnya matriks kekakumemasukkan kekakuan dengan membentuk matriks balok, atau unsur-kombinasi lebih rangka-batang, unsur an-i-nAviauA dari setiap unsur lebih disenangi dalam penerapan industri skala-besar. karenanya bersifat otomatis dan Pendekatan yang belakangan ini, sebagaimana diterapkan pada persoalan umum penganalisisan kerangka-dwimatra dengan memperhitungkan deformasi aksial, akan dibahas lebih lanjut di dalam Bab 17. Terdapat beberapa versi yang disederhanakan dari kedua jenis program komputer yang dilukiskan di atas.t Di dalam pasal ini, tiga contoh yang sama, yang telah diselesaikan dengan metode
nya dan menghasilkan matriks global
gaya di dalam Pasal 16.4, akan diselesaikan dengan metode perpindahan. Sekali lagi, untuk tujuan ilustrasi, persamaan lPl = IASBI {I } dan {F'*} = {Fo } + [sa ]tX) diperiksa benartidaknya dengan menggunakan nilai-nilai {X} yang terdapat pada pengecekan statika dan keselarasan di dalam penyelesaian dengan metode gaya untuk soal-soal yang sama. Namur,, akan terdapat bahasan lebih lanjut tentang penyelarasan yang manakah yang mesti dilakukan di dalam prosedur penyelesaiannya jika deformasi aksial di dalam beberapa anggota yang kokoh akan diabaikan.
Contoh 16.5.1 Analisislah balok-kantilever dengan batang-penambat pada Gambar 16.5.|a dengan metode perpindahan-matriks, dengan memperhitungkan deformasi aksial baik pada balok-kayu maupun pada batang-bajanya.
PENYELUSAIAN (a) Penomoran P-X dan F-e. Gunakan tiga titik-hubung
dan
ilua unsur (sebuah unsur rangka-batang dan sebuah unsur-kombinasi), penomoran P-X dan F-e dilakukan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 16.5.lb dan c, dengan: N1 = NF - NP = 4 - 3 = 1. Perhatikan bahwa sepasangbilangan ganjildan genap yang berurutan digunakan untuk momen-momen ujung dari unsur yang sama, diikuti oleh bilangan-bilangan berurutan berikutnya untuk gayagaya aksial.
(b) Matriks mas.han tel, [a), ls), ao" {r}. Ketiga persamaan keseimlA1 dapat diamati dari diagram benda-bebas titik-hubung
bangan di dalam matriks
A
pada Gambar 16.5.1d. Pengaruh perpindahan-perpindahan titik-hubung rotasi-rotasi ujung e1 dan e2 dapat ditentukan dari diagram perpindahan
t Sebagai contoh, lihat C.-K. Wang, Matr* Methods Publishing Company, Madison, Wis., i970.
pada pada
of Strucrural Analysis,2ed., America:'
tu.N:l 0001
:
'
tu/Nr6s.trrr:.a#*. ur/Nt ooo's.
=
# = "t
(ooz)fu nl =
#E =.t
=
.u.Nroot
:&:rzs
ftth ol YJoo-6stroiir=
t
Wt:
=zts
;is = rrq
q?pp? [Sl q1r1etu FI /l 'E'91 rBqLuBC eped lrdefrel-Islpuo{ efeB-ef,efl rrep qaloredrp {a} s>pfeu IsI 'rre?s{rreured rnpilaur qeloradrp ba uep €a elo?Bue ue8uefuurued-ue8uefueured eped efuqrue8ued ue8uep Suuf 'al'9'91 reqlu?C
'I'g'9I
rloluof,'lequreuad-8ue1eq uefluap ra^afl]usl'ueqrpuldred epo]efi I'S'9I rBqurES lrde fre1-rspuol
l=CN'a-luerououed (r)
ete1 (/)
uuqupuldred ururBerC (a)
E=dN
'X-d
uetouroua6 (q)
-----*.-----*91-4
ne[uplp 8uu,t rnl{n4s (r)
y Sunqnr{-Inrl s?qeq-€pueq uer8etq (p)
zuu/Nl 002=? :zrulu/Nl 0l ='g t1
N)t
,#hz!
+'J
I
o!
68r
rz
,a
f
luc 0ZXSI
rd
nf?I
nIY}i VXDl{V d.{il iiYi (''iJ,lsodr roJ) Nvnclvd lIoJ}I-i:-
NYrN:{O
140 '.:1', i,.
i
i
lAh,.= ,.,
I i
{Ph,r=
,
i
lBl.,r
[S]r,r =
(c\ Matihs keluarun
dan {.F rt}. Matriks
lxl
{x}
diambil dari Gambar
16.
4.3 Contoh 16.2.1, dan persamaan {P} = [,{SBJ {X} diperiksa benar-tidaknya. Matriks {f*} yang diperoleh dari {r*} = {.Fo} + tSBl {X} benar-benar cscok de-
ngan hasil-hasil dari metode gaya di dalam Contoh 16.4.1. ! \.
!.
i
\\
t
lsBl1'r=
{FrL'r
I
i" I
ti
:'
lAsBh,r=
'
i
t-
{Xh',
=
L*
l;
I
': i0.'il69l ^
i0
1
1
r 0.i8984,: li)
r
-.''-...'-
:
.
9,69487
x l0
r
.l i I
i j'
I
I
I
l-:ttiit
'
:.;.t:.i
=
'Z'S'9 I qoruoC 1e63un1-Buulraq mrtrruls'ueqsPrlld.red apolallf 'S'qI jgq l{ls{}
nu[u111p
tuel rn1ryr15 (z)
zuu/N:l 967='!r:ruruTp:l oI ='s
o 3
x
"">"-B
o :t
ndBI
'I=g-6=dN-CN=IN :uetuep'o aep qZ'S'9I ruqu?C ?pBd w)Hnfunlp euuuneEuqas Ue>In>I?Fp a-d uep x-d u?roruoued '($eurquro{-msun enp UBP tueluq-eltuat rnsun etp) Jnsun ?ruII X-d uatououed (r) NVIVSS'ISAN:IiI uup tunqnq->1qq l?due u?{Bung
'a-l
uop
'?loetu? enures eped
prs1p IseruroJep utltunlrqradureur w8uep 'ueqepugdred epoleu u?tuep rZ'g'91 ruqu?C epud uulluqrpedrp tued p8ilunl-8uerlreq rnl{ruls slsryuv Z'S'9I rloluo3
'uuleun8rp srusq uu>Ie U qug u?IBp Ip sBrIBqIp tuei( seqeq rarull uEsBqeqatlsfBraP EIUBTI u8{?unttuaur tuef epoleur uBp u3$qeqel-l?fuap nl?ns rBtuqas uolnluelrp l?dBp lnqosrel ufuunpe>1 IrBp n1ss qeles efuuq ettlulqes :qB&Bq e{ , u?p uBuB{ e{ g tutpuuquad-e1tuu tunpuetueur sn.lutl f 41fll IB{11 -ra^ uep Ieluoslroq u?lnPuel '(ugtunrml4 tuuf uzqgd nlens) ue>puqerp uu4e efuq -Eueleq eped pplu Is?urroJap e:ilf unuuN 'Z rouou u?s?qeqa{-lBferep seputueur nlred e3r1 'uelreqerp uele n{e1->1opq uped I3I$l? IsuurroJep E{II e,nqeq qupr e{u
:qeqes 'qeps Sued llsuq{ser{ ue{reqrueu Bslg tuBf 'ruseq letues tuuf s€X u?p . z€,y 'Qtry 'zz, rBlru-lqlu ue{q?qeiueu u?{e rEsaq l?tu?s tu?^ ,}S IBIIU 'unurBN '1ede1 4duruq Suef €X uup IX IsIIu-rcIIu uep 1ou-4dureq tuef zX IEIIU UDIIISBq -8ueru '[aSr] = [r] s4rtetu uqep IP rusaq lstuus eue( rzX repu uelquqafuaur u?{B ruseq lutues tuef s€S FIIU'1uI tuureles 1eos luelep Ip'qoluoc luiuqag'qq"s I -eleseurs tuef gszqlpeq ue{q"q nBlB { x } lntm 1eI^I4 ueresele^uad ue:IlFuq8uau q rdqel'e[ra>1eq tueperySuepul 1uI Xu:IaI 'ue:IIBq?Ip uerlu elqupl? IsuturoJ tuel msun durles.1n1rm 'talnduro{ ?uuelrp ludep tuef qltunur &seqes '(?t usrq
-ap
-turq-ra1:p1 llp{epuau) reseq lutuus XueA yg repu uu:pun83uau ue:1u srspuBtuad edereqeq'relndruo:1 ueresala{ued ruBIBp Ip elueltuel'unprmtlp uuqupurdred epol -eur B{r{ 'uuleuntlp eAeX epoleu ogf ettuqreplel uetuep Bruus nll rnsun UBn>Ie>Ia{ ufuuq uulppusfireu nlrad e1q 'ue>peqetp uele
lrr-p
yg
luei
luugpnlpuol
(EfBs Bueru
tuef)
rnsun nlBns BpBd IsI$l? rsElurosap
I7I
i
qtqedy ?nSsKI (P)
i ,,rs(.t.iii.tlJ:
\r'.i(li
d iiil.i_}lllii_
142
AN,A.LISIS
(c) Penomoran
F<, NF=9
F,tF, +"i 'c t,; F. F. ,l ,l{'t"+-o -T_F_F,
Fr+
P.5
K.,
S'1 RU
:U,
Fo P1
',
#A*Fs
1", (d) Diagram benrla-bebas (free body) titik-hubung.
7
Xr+0
(e) Diagram PerPindahan
7,20
l0
IT
4,80
) 3,52
+4,80
0
-7,2O
(/) Gaya kondisi-terjepit
{r*r-,l,rr
16
"3.2 / i,ariutc n}
Kl LIK LANJ Uf
AN
ur Nr ur
rf's//
or
I '0
'0
8r'9-
_ _8 L
s s
7.
a?tL+
t
08''-
t
'0
'0
I
:,r8{d}
I
x = e,e[V]
::: =6s =8ss =,-Tl,= ,(ol )'ooi 'Y'3
fir rr.rrr.rr
ur,N,t 000 0e=
=,*#*
mz,#rfi
tu.Nl00t
=
=
+
-s
=,;s
= ws'
=
{6
='tS = ris = zrs
= #={'S
IIEBPB
[S] $Jur?ul FI /Z'S'9I .r?qureg uped lydefrel-Flpuo{ ef'e*e(et uup rlaloredlp {a} s:lpteu FI 'aZ'S'9I ruqureg epud tunqnq-lpgguequpugrod ruurtulp-urerielp p -Bp lrB{nluellp ledep b2 ?teuru I, eloElluetrmfn $?lor-rs€lor epud sx. IrEp uep €X e6:lurq tX Vep qruutued '.qppnu ereces rl?ruerp elo8llue ueEuufueued-u?euuf -uarrred eped, sX etilurq tX Aunqn)t-{lrl uBlnpuel-u?tnpuel uep qnre8uad ?r?luau -aS 'pZ'S'9I rBquBC upzd tungnq {pB-IBp seqaq-?pueq rue.6u1p FBp lm{n1uatrp uetuuqtulase{ uB?ru?sred eun1a1 uep uetuotu ue8ueq uDlnsout. sq!4ory (q\
[7] s{Irreu utBlep Ip efet
NVSNSO nvV)r VX9NvlrgX NVO (SJISOdhtoC) NVnCrVd UnJ.XOUIS
8'I
BSue)'{d} uop'lsf 'Igl'lyl
-uneso{ useuresred
,44
ANALISIS STRUK'I'UR LANJ UTAN
\x
I
2
3
a\
4
6
5
-* - l
7
E
I
+l
I 2
+l
+ l/5
--_l
3
+l
- l/5
---
*
+l
4
[B]g'e =
--
+ l/5
5
+1.
6
- l.
-t
115
_l
+l
rtN-il
I
3
4
5
6
+5|Vv.
3/vil -3lv ---l
- 5l\/ 34
3/V34 -3/
,-j
1
I
i
9
!
F I
Srr
i
Srz
i
2
Sl
Sz:
l I
3
Srr
I
Sr
I
-t
I
4
Srr
Ss
I
--.1
IS]q,r =
5
Slr
-'l 6
Sto
I
I
-l
i
7
Sr
.-i F
8
I I
Sar
-'-
s
I
I
-J
e
l
-l
-tl -l
8
9
I
I
+1.
7
I
-1
Ss
I 1 i
i
(c) Matriks keluaran \x\ aan {r*}. tr,tatriks {X} diamUit dari Gambar 16.4. 5. Contoh 16.4.2, danpersamaan {p} = [eSfl {X} diperiksa benar-tidaknya. Matriks {r'it} vang diperoleh dari {r*i = iro}'* lsrl {x} benar-benar cocok dengan hasil-hasil dari metode gaya di dalam contoL 16.4.2. Hanya matriks {x} dan {..F*} yang ditunjukkan.
I
I
!u.\)t 999 o, =
_
n,
*0,
ur.f({ t€€ ut.Nrt 999 901 = ,, 91 x (o0l
6. x0z
,.1 '.-ui.r
_ gl _,*.._ ns - r,q xno;rt = lilr=
fi - -.#i
= re\- = lts = ::.; = irs
'tgt r)(00c)r -L=*t=;,s=:isi,:S' [s] qFreur IsI'./€'s'9I rIBI?pB
rPquEC
'Iou
eped efuurel eped lrdefre1-Islpuo{ etlet:e1'el uep qqoredp {a} strteur FI X IBIIu pnlues ue{ueqelradureur Fqures IoDI?1 tpefuau X IBIIU q?nges lenqluetu uetuep u?{n}ualrp [g] s{Fleur ul?lsp Ip tuolo>1 deqes B/t\q?q ue4leqred ia6'9 . rselor-rselor dupuqrel Sunqnq-{Illl 9 I rBqurBC ?ped uu{lerglredrp u1o8llue-tunfn rrBlnpuol nsl? rsBlor uup qru?Eued uu4:p[unueur tued p1rd4 uequpurdred ure.6up
Bn61 'p€'S'9I rBqIrBg uped ttmqnq {pP-)t$F seqeq-?pueq uru6erp u?p ue{nluellp [tr] qlrtBur ulBIBp Ip er(e8 ue8uuqtulase{ uB?tu?sred uu41e4 usp uellloul u33u?q -*,"r.r1 ueBussred 1eduree11 'lal uop'[S] '[g] 'lvl uoqnsout sq#ow (q)
wp q€' S' 9I rBqurBC 'I = 6 - 0 I = dN - CN = 11tr :ueEuep', uped ue:p1n[un11p uueurret?qes uB{n)lBIIp a-.{ u?p X-d u?rotuoued '(rsuutquorl -msun rlBng u8n uep 3uu1ug-e4tuer msrm rlBnqes) rnsun qenq ledura uep tunq 'e-i uop X-d uDrcuouad (o) NYIYSS'IA.\NAd
-nq-{p$ qenq ledure ue{Bung
'elo8tlue unures eped PrsTB Is?turoJep
uelSunlqradrueur uetuep'ueqepurdred epoleu ue8uap o€.'S'gl rsqru?C eped ue1
-leqqredrp tued leqtueued-8ue1uq ue8uep n:p:1 e18wre{ qBI?srPuV
t
S'9I qoluof,
'uueslpuu8uad urepp w:1eunt1p tuud uerepueiued-uerepue8ued ?uerE{ ItrBgrueq u?{e {spB q:FlpIq Eue1l e{t4e;n ue1 -ednreu rnl{ruls uenluallele{ l?tBreo'I = S * 9 = dN -.fN = 711 ueryrseqtuetu qnd '(e[uq tueleq-8ue1eq urulsp Ip prsrle ei(ui Bnp BUes Cg ueP gy eped Xur.frr ueruotu ludue) 9 qBIPpB uluseqeq FIIEIoIIp :1e1 6uef ueppefet eftqefueq uep (O nBlB B. I?{qlel uelnpuel usP 'O pluoslrol{ uelnpual 'C Ltep 'g 'f p tur,tqnq -rlliri orro, esp) S qsppe efuuuseqeqe:1-1e[urep 'uoprmllqredlp uB{? tuef u[Es uijqtueleq-Euuleqepudlul$lsFeturoJapqlf 'I = € - l=dN -j'N=lgutiluq -es 'rg uep gV eped Sunfn ueuou-uotuour qepfueq e{usegeq mqe1a4tp1e1 tuef urupp-efet uBp (, usp 'g 'y 1p Eunqnq-ry1q rsqor) € WIBp? ufuueseqaqel-1eferap
.,rr1pqqp uele el0tilue enues epud tBI$l? IsBIIuoJap qIqBdY Tsnq*o (P)
_.ryI
__1_
__!"2_
_!_
_ ottt8't-
___1 _
*'il?l:
__
t
zt8t9'9-
f
-
9ZS8S'r
i 0l \ zgllz'o = rx5{+c}
r
01
xt968t'l * =
'4{xi
v
0
c
szs8s'' + ,0
r 0l x 689€5'01 {,0t x00000'8 + r-01 x
I
iltg?'g -
\*g J?\
I
97I
NVTJNgO OXVII YvSNV',UglI
NVfl (SrISOdI iOS) NVnOVd Un'tr.l!
-
L46
ANALISIS STRUKTUR LAN JUTAN P6 Ft+F2 I l8
540 kN
Fr+F,
--i#
P.l I
&illlJ, r.+r._!l
Ao= 24.000 mm'
Ir, =1,50x
'6 ' I-l ' F-r,.
lOemmn
.-1rat' =18.000mm' = l,2o x loe mmr
t
F,+ F,
f-gf,*o,,
batang-penambatS25 mm
ps
F,+Fu
'rr*${r,
(d)Diaetarn benda-bebas titik-hubung E= 200 kN/mm2 (a) Struktur yang ditinjau
Xt+0
,-
(D) Penomoran P-X, NP=9
(e) Diagram popindahan tipikal
314,81482 A
(c) Penomoran F-3, NF=10
225,18518
Gaya kondisi-terjepit
Gambar 16.5.3 Metode perpindahan, kerangka kaku dengan batang-penambat, Contoh 16.5.3.
S,.
-
-S".
-
:ll^ rQ
13.r
rr
k\
rrr
F-A,- lirL)( . i B.0U0r = +i)0.000 kN/m - 1'. , E.{r :001:4.000) - - '9 = .-- -- --l-:L = ltr6.r'tr, k\/m .S..
s.- .- s_
^
.Sr,,r,
=
E,q, -""-1-'--':* "1f = 100;(11.5)r
i454,1r4
k\/m
l-i-ltij
ltl:; i t- ,
. i
lr
i,, r- --r1 '
l', i
,ltt'.
,^'r r lu,'-f ii i r'lr i rrr.
rlrl-
r
;
i
,'
=6'0rIg]
;
!ltl-
'
'r',,-: iilll
,
l-;,;
tj''' I
I
t-
1,,i ,, '! * jl .-
I
|
I
o Ii t ii r.-
'
i
8I/1
-
=0'x5[v]
NY,tri:{O Il}t\i}l V}ICNVII3X \lV(1 (sJISOdl^'lOC) NVndVd UnJvnU]-:
LVT
\1;1; ll:1.,,- rrrr:'1 i i')l j...rfitrl,,.:
1,18
:-;,.i,,1 ':, rii rl -
.;.
....f
,i i
ll :
i'-i
I - ., IS]ro,ro
=
ii
I:i'i
'I
lal
{Ph,, =
:i $
.*
t t$ $ .{
.* .fli
'Bl(ul?TUe^ u??{nured tuefuedes rp s?qaq ?reces 4culle8Eueur usrq
uB
-Sulges edru uerlrurepes resaq {olq nlens tuBIEp eI {ttselu Suef >1opq ueue>1-8un[n ngtur IC 'u?qlqelo{ teSzqas i) Ip p{Itre^ qoluoJ r8el uelteseles 'eie8 epoleu ue8ueq g'91
-elu Ilseu ei(qseraua8eprel
rnl{uls
rsI?er ue>leunEtlueur uetuap
'1u1 snse>1 ur?lEp
I'r'9I
ueuoru uuluun8ilueru uetuep
I'Z'9t
'uerlrgolel rBBBqes ;t rp rqual ltroluo3 t8el ue>pesales 'e{e8 epoletu utSucq X'91 'u?qrqele{ rc3eqes y rp
rs{?er uoluunSSueur uetuap l'Z'91 tloluoC r8el ueryesales 'u,(e8 epoleu uetuaq 1'91 '(O'9t uep '8'91 'L'91 lruqllr1 {nlun DIBIraq Irn ?tuss Eue.{ ue.rnfue) sng uesurelase{ undneur lco>lre}-?r{Bsn Bruoroel 4req uapuntiluaur uu8uep qaloredtp qsau u?DIrruep Eue.( rsards4e-tserds4e 'e>IeIAI 'qotruoc-qoluoc urBIBp Ip ledepral 3ue[ dnlngal -{nluaq [s?q+s?q depuqral efulacaEuetu uep 'rnluelueo1nle{ u?p IsupnllEuol-ue -DIDIe)t uep tsEung teEuqas u.,(uuuqrqalal 1n1un dn1n1rotr-{queq tsardsla ue{unJnl BIII
nep{ unlunuour
lsJrsJeq qrqal r{BIue>tE
'9'91
efl3untr
I'9I
uBqllBT uemsalaz(ued urepg
uBqIlrI g'gI
'l
=9
-
L = dN
-
=1,L1 eSSurqes
JN
!(lequreuad-3u?leq urPIEp rp 1rru1-e[e8
uep 8un[n uetuotu ueue) t ue8uep etu?s u?ry efuseqeq Inqele{lp{e1 8ue{ urelep -efeE ui(ulefrreq u?p (1or-uendurnl Ip 1zluosuoq u?lnpuel uep '9 nele Br l?luosrroq u?lnpuel'Sunqng-r1r1r1 rselor ledure) 9 ?ttqq Is{nperel uule efuueseqeqa>1-1ufur -ep 'uelrequrp ue{u ruolol-tuolo{ uep {opq uped prsle rseluroJep u{rf 'Ipues -uendrunl ue8uep ewlas Bfulenqureu '1ou ue8uep sltres ue{? efulor-uundunl 1p
Iuluosuoq uulnpuel uep eE8ulqral{Bl Suef um{pla pllllrueru u?>lu lnge$el }ug -urzued-8ue1uq u?Dlrluep ue8uep ?uere{ 'lequiuuad-8uu1eq eped IBIS{B IselrrroJep uB)tIEqB plpl nBIE){ I?I? {nsutu u?{? {3pI1 '1u1 leos {ntun ?s"?sto (p)
':..f;* .t;,c*'*j@&..*
:3.
l*&*re6{,,1
= rxor{*C}
= ',e{x}
'iggi;*
j.r,,
i:iill,'i'l:.l':li:i:;'' . -:...,." ''- '-:,'{. "
:
',: .,'".1
"
'ue>11nfun1rp
{*f}
uep {X} trttrl
-eu ez(uu11 'Et'gl qoluo] ruqBp Ip efe8 apoleru u?p [s?q-Issq ue8uep lococ {X} [gS] + {0.{} = {*J} rrep qeloredrp tuui(.{*J} s1g1ey1 'e,(u reuaq-r?uaq
-{eprl-&ueq es4rredrp r?gruBC rrpp Irqururp
'
6tT
uep 'E't'91 qotuoJ 'L'V'91 lyl lgsvl = {7,} ueeuresred {X} s:paeq :l*t\ uop \X\ uonn1aq sqyvq (2)
NV,9NS(I nXVX VXCNVUSX NVO (SUSOdIIOC) NVnOVd Unr>Irllrrs
V ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
150
16.4 Dengan metode gaya, selesaikan lagi contoh 16.4.2 dengan menggunakan tarik di dalam batang-baja kiri sebagai kelebihan.
ii .l
gaya-
15.5. Dengan metode gaya, selesaikan lagi contoh 16.4.2 dengan menggunakan momen lentur di B sebagai kelebihan. Di dalam kasus ini, struktur terdegenerasinya akan memiliki titik-hubung berpasak di B yang menghubungkan tiga unsur-kayunya' 16.6 Dengan metode gaya, selesaikan lagi contoh 16.4.3 dengan menggunakan momen lentur di lokasi beban pada balok sebagai kelebihan. 16.7 Dengan metode gaya, analisislah struktur bertiang-ganda (queen-post structurel yang diperlihatkan pada Gambar 16.6.1 dengan menggunakan gaya-tekan di dalam tiang
kiri
sebagai kelebihan.
16.8 Selesaikan lagi Latihan 16.7 dengan menggunakan gaya-tarik di dalam batang-baja horisontal sebagai kelebihan. 16.9 Selesaikan lagi Latihan 16.8 dengan menggunakan momen lentur di dalam balok pada puncak tiang-kiri sebagai kelebihan.
16.10 Balok kayu yang diperlihatkan pada Gambar 16.6.2 bertumpu pada tiga pegas elastis yang bisa berdeformasi pada kelajuan 0,5 kN/mm. Analisislah dengan metode per' pindahan, perlakuan setiap pegas sebagai suatu unsur rangka-batang dan gunakan jumlah minimum titik-hubung yang mungkin. Tentukan matliks lXI melalui penyelesaian persamaan simultan pada komputer atau terlebih dulu melalui penyelesaian soal dengan metode gaya.
l6.l I
Selesaikan iagi Latiiran I 6.10 dengan metode perpindahan, dengan menggunakan
lima titik-hubung, empat unsur balok, dan tiga unsur rangka-batang. Kerjakan soal ini hanya jika program komputernya tersedia.
16.12 Dengan metode perpindahan, selesaikan lagi Contoh 16.4.1, tapi perhitpngan deformasi aksial di dalam batang-bajanya. Cocokkan hasil-hasilnya dengan yang di dalam Contoh 16.4. I dengan menganggap EAbalokkayu sama'dengan takterhingga. 15.13 Dengan metode perpindahan, selesaikan lagi Contoh 16.4.2,tapi perhitungkan d.e' formasi aksial di dalam kedua batang-bajanya. Cocokkan hasil-hasilnya dengan yang di dalam Contoh 16.4.2 dengan menganggap f,',4 balok kayu dan tiang sama dengan takterhingga. 20 kN
kayu 15 x kayu 10 X 10 cm baja O20 mm
"d''JP
E,= l0 kN/mm2; E,=2m kN/mm2 Gambar 15.6.1 Latihan 16.7, 16.8' dan 16'9'
ri
i rl
E = l0 kN/mm2
Gambar 15.6.2 Latihan 16.10
$
*
;
i
'6'gI nBlB'8'9I 't'9I
usrtr-Il?'I ruElpp Ip
e^Bt apolal'u uBp lrssq-fs?q ue{Bun8:luetu u?Euep nel? ra}ndr.uo{ Bp€d uBllnulls usEruEs -red ueruselefued rnl?leru,{x} trft re* ue{nlual'elottue enures eped pF)t? rsuluroJop uu4Eunllqredtueur uetuep'L'9 I ueqIlB'I Irp{ruselos'uuqapqdred epoletu uetueq g 1'91
'etllurqrellul
u?3uep
eures efuurolo{-uolo{ uup {oIBq yg dettuetueur uetuep €'?'9I ltroluo3 urplep 1p tue,i ue8uep ulupseqlrseq uelp{oco3'edulequruuad-Eueleq u?IBp rp IBrs{? IseruroJep efueq
uultunllqrad IdBt'€'t'9I qoluoJ 6e1 uelleselas 'ueqepuldred epolaur uetueq
I9I
'
NVCNUO
nlMr
il'gl
VX9NVUS>I NVCr (SUSOdWOC) NVOCTVd Un&XnUIS
BAB
TUJUH BELAS MOMEN SEKUNDER DI DALAM RANGKA _ BATANG DENGAN TITIK _ HUBUNG KAKU
l7.l
Gambaran Umum
Rangka-batang baja yang biasa merupakan suatu struktur yang dibangun dari anggota. anggota individu yang secara bersama-sama membentuk rangkaian segitiga. Titik-titik hubungnya bisa dipasak, dibaut, atau dilas. Namun, pada tahap pertama analisis struktural, titik-titik hubungnya diandaikan berfungsi sebagai sendisendi yang licin. Jika rangka-batang yang bersangkutan benar-benar dibangun secara demikian, maka anggotaanggotanya akan ditujukan untuk memikul hanya gaya aksial tarik atau tekan dan tidak ditujukan untuk memikul lenturan. Gaya aksial di dalam setiap anggota yang dihitung demikian, baik untuk rangka-batang statis tertentu ataupun statis taktentu, disebutgaTa aksial primer. Apabila panjang anggota-anggota berubah karena kehadiran Eaya-gaya aksial di dalam mereka, titik-titik hubungnya (pasak-pasaknya) haruslah beralih ke posisi-posis yang baru untuk menyesuaikan diri mereka terhadap panjang-panjang baru anggota yang bersangkutan. Perpindahan-perpindahan ini, disebut perpindahan titik-hubung. atau lendutan, haruslah diikuti oleh perubahan-perubahan sudut antara anggota-anggota yang bersangkutan. Hal ini bisa terjadi secara mudah jika anggota-anggota yang lurus tersebut dapat berorientasi secara bebas terhadap titik-titik hubung yang bersangkutan. atau,dengan kata lain,jika
titik-titik hubungnya dapat berfungsi
secara sempurna sebagar
sendi-licin. Bahkan untuk rangka-batang yang titik-titik hubungnya dipasak, anggotaanggotanya tidak bisa berputar secara bebas terhadap pasaknya karena gesekan yang mungkin timbul. Pada rangka-batang yang dibaut, anggota-anggotanya hampir tidak mungkin berotasi pada titik-titik hubungnya kecuali untuk beberapa penyesuaian tertentu, atau "permainan", akibat pengurangan daya gesek yang mungkin terjadi pada sambungan bautnya. Pada rangka-rangka yang dilas, atau dalam rangka-batang beton
V rseruroJep Bduul uep Eurdures ueEue,(oE eduel n4e1 elEuere>1 nlens reEeqes slsryrrEc ueln>JEuusraq 8ue.( rn11nr1s 'rsurelr sesord rrep unpa>1 qu13u?l tu?pp rq 'uu1et-ra:p: epud uuplnlun1rp uueurre8eqes lrdafral-8unln uotuolu-uatuoru 'qpq:
sueq
)yZ'Ll'qg
-req w{qeloqradrp 1epr1 uloE8uu qer?-rpr? u>{lf 'lu1 IBr{ ureleq 'ue>ln]uolrp uelnltrm -req 8uq[ Sunqnq-{llp ueqepuldred-uequpurdred uu8uep erues-?rrrcsreq nruud Tuqo oiri -o,to?uup '>lesedrp uolreprrerp e.(u8unqnq {llp-{l}p '1sete1r sasord uep uuel;ad qa{3rry ruBIBp Ip 'e,,(ueuere;r1 '>lesedrp ue{nq u?p n1u1 uqn4Suusraq Euu,{ Sunqnq {l}ll-{Jllt ei'j -I?puuos l?nl{? BrBJes InJunu repurules ueurou-uetuour eueunuSeq 8uu}uol e,(uunlaqa-. lesed uep runrun uer?qure8 4rup8ueru Eue,( '1sere1r epolau qelepe eurulred 3ue1
u?p u?1(?l re8eqas) ru1q Eunqnq
'(>1esed Sunqnq-ry1r1 ue8uap 8uu1eq-el8ue; srsrpueEc
{l}ll-{Ill} ITItueru Eue.{ 8ue1eq-u18uur
-otu >lnlun ueur?lreq 3ue.{ epoleru e8tl ledeprel 'sr1rroe1 eruces efu4upllos
'unurn
Er?f,e(
uusrsrteuuEued apo1e6 g'1
1
'n1r e1o33uu sr1su,:
erun1 SunEBus srru8 e1 e1o33uu slnules-qere rrep lepued qeued-upue1 qelo ue11n[ur* -rp uuqnrnlese{ Bruces Sunqnq-41r1 derles tselor ruseq'I'I'rI 'qO ?p?d'I1eqnreq )sp:: n1r Sunqnq-1n[ Ip nruouoq Eue,{ srlsple B^]n{-earn4 eped Sunffiurs streS-stre8 ereru: tnpns ue{lesu u?r{runloso{ Brecos IsB}oreq esrq Sunqnq->1t1t1 dutles B/t\IIBq uu>ll}Eqrad 'ufurusoq q?qrueq >ppr1 ulo8Eue 3un[tt-8unln Ip snselo B^rn{-s^rn{ eped EunSSuts sur: -srreE urelue eEEuqes snlnd-sn1ndre1 srre8 qelo uaplnlunlrp uueunu8eqes ruu:' lnpns -erlr Ilsoru ve4e elo?flue-elo88ue uer>[tuep uuSuaq 'qeqnraq ledu; ,v,) uep >luprl trnqesrel lnpns-lnpns uern1n e>pur 6n>Ie>I n1t u.,{u8unqnq >lpll-{llll u4tl'unure-1
2
"),9 "g,y
Elntuos lnpns rr?p resaq qrqel rtseru
/J lnpns
ue>J8uepes '.Br uup
y
Blnuos lnpns-lnpni
qlqel rlseu Surseur-Sursutu ,g uep ,y }npns-}npns uzuqeq qepledurul'snrn1 dera: rrBp lrco{ eloflEue e3na1 u41 '(e,{uuendtun} Islpuo{ BuerB{ IEIuG \seur tYt) vep'p,g -rror{ uelnloqe{,gg uu8uop ltdurraq uelnleqGi ,V rrap V) 'J ' ,8 ' ,v e1 ue>lqupurdlpJ '8" "{,v 'p,3unqnq {llJl-IJ}ll'e.{uuto33uu e8rla4 Suufirnd uuqeqn.red leql)iv'l'l'll 'qD ppE: efltyflas {nlueqreq Euuleq-e18utr qelnefuq '1n[ue1 qlqel uDIselalueur 1n1un
1gV
'ue>leun8rp rlseu u?>le 0Z qeg tuepp Ip ueltfesrp 8ue.{ epolau 'uur8uqes-n>1e4 e,(uEunqnq {l}l}-{lll} ullqedy '1ul qeq UBIBp Ip seI{BqIp ue4e n>1e>1 3un; -nr{ {11p-{IlB pllltuetu Eue,{ Eueluq-e4Euer ureiep Ip ropurules uotuoru u?nlueuod
'lnqesral e,(ue1o33u:
-e1offlue ruBIBp rp Inqu41 uulu 'raurlrd prqe e.(u8 depeqrel Dpurblas ualuow lngasr: eserq 8uu,( '6rnluol uaruoru-uoruotu '.e>IBW 'rnluolatu llsatu uB{? Irlpuos u,(ue1o33uu-eto: -8ue 'n1u>1 8uu.,( Sunqnq-41}l} snse{ UBIBp Ip lltadas lle{oseluss qu8ecry nele 'uut8uqa -n1e1 3ue,,( Sunqnr{-{I}lt snsol rrrulep rp tlredas u,{uqnuad tuyu tuducueur 1n1un 3ue>1a4: rde1e1 qeqnreq {nlun Sunrepuec efueloSSue I{Br?-I{?re Br?lu? }npns-1npns epqedu '(unr -rpues snsu{ rpncal) sns?{ enrues uE?p IC 'IIB{osBtuBs L{eqnroq ledup 1epr1 efueto: -Eue-elo8Eue ?ruluu lnpns-1npns 'tu1e.{ in4q deEEuelp efu8unqnq >ll}p-{I}l} 'Eut1n1:a; n1u1 Sunqnq-411r1 ue8uep e8n€as {ntueqraq
SueleqdlEw1
I'I'lI
r?qurg
V7 89T nxvx
oNosnH-xrJrJ NvoNso cNvJvs-vxcNvn r4rv'Ivct Iq usclNoxss NsI rox
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
154
+
lD)
(c)
Gamber 17.2.1 Metode iterasi.
aksial, tapi hanya memikul aksi momen-momen ujung-terjepit yang dibebaskan. Untuk operasi ini metode distribusi-momen paling sering digunakan, meskipun metode, ubahansudut atau matriksperpindahan dapat juga digunakan. Momen-momen pengimbang yang bekerja ke ujung-ujung anggota tak lain adalah yang disebut momen sekunder. Momenmomen ujung ini pada gilirannya memerlukan gaya-gaya lintang transversal yang bekerja di ujung-ujung anggota untuk mempertahankan agar anggota-anggota tersebut tetap berada dalam keseimbangan. Di dalam langkah ketiga dari proses iterasi, lawan gaya-gaya lintang transversal pada ujung-ujung 'anggota mesti bekerja pada titik-titik hubung rangka-batang yang juga dipasak, menimbulkan apa yang boleh disebut gaya-gaya aksial ketiga. Selauh sistem beban semula, seperti tt/r, Wz, W3 pada Gambar 17.2.la,melibatkan hanya Eaya-gaya yang bekerja pada titik-titik hubungrya sendiri, gaya-gaya aksial ketiga biasanya sangat kecil apabila dibandingkan dengan gaya-Baya aksial primer sehingga proses iterasi tak perlu lagi diteruskan.
Pilihan bagi metode iterasi ialah memperlakukan rangka-batang yang memiliki
titik-titik hubung kaku sebagai suatu "struktur paduan" atau sebagai zuatu "kerangka kaku dengan deformasi aksial", sebagaimana yang telah dibahas di dalam Bab 16. Apabila pendekatan ini digunakan, hasil-hasil analisis yang bersangkutan bersifat eksak dalam arti bahwa mereka mencakup seluruh iterasi yang takterhingga banyaknya di dalam metode iterasi. trbih lanjut, apabila sistem bebannya melibatkan gaya-gaya selain gaya-gaya linier yang bekerja pada titik-titik hubung - seperti bobot anggota-anggota yang berat dan panjang, atau'peralatan berat yang tergantung pada anggota-anggota,
titik-titik hubung akibat eksentrisitas hubungan anggota terhadap plat buhul (gusset plate) - pendekatan ini mungkin merupakan satu-satunya metode yang logis digunakan karena metode iterasi tidak dapat mencapai atau momen-momen yang bekerja pada
konvergensi secara cepat. Rangka-batang yang memiliki titik-titik hubung kaku, seperti struktur paduan, be-rsifat statis taktentu. Karenanya, metode penganalisisan yang kedua dan ketiga adalah
-r1 ue{rupuerp 8ue1eq sruuos ?uorul rnqetoTp{el Euef Eunqnq-{}1l uelnpuel ledBpra: ue>{B {Bpr} 'qndr8el 'e[ia4eq Suef uuqeq-uegoq luqple lrde[ra1-3un[n ueruoru-ueuou iedeprel u?)tu I?pq 'ufu8unqnq 1pll-{l}ll rp ufueq e[.re>1eq rreqeq Bnruas e4r[ uuerrl 'rut ru[u>l e16uere1 uesrsrpueSuad urepp prs{? rseuJoJap ue4uqe8ueu {n}un uBsBIB spr >luprJ'uur{Bpurdred-s4u1eu epoloru uu8uop srsrleu?rp Bsrq ?r u?r{nuep ue8uap uep '.n{sr e13uere1 ue4uduau u.{urrueqes n1e1 Eunqnq {llll-{llt r1rlrruotu Euu^( 8ue1eq-e18urg
u4uur;,nq-e16uuJey runrun uBIBosJad {rqun usp!e1a{ue4 g' 1 1
-as w{r,rnrp u?{B rul,,I tunqnq >lpll-{pl} r{rluoru Eue,{ Bueleq-el8uur ,rr'ffffJt'J; >lnlun rssralr opoletu rcp ueqepudred epoleur'e,{ulnlrreq psed ederegeq u?Ipp IO ' t' Z' Ll'qg eped ue44nlunlrp 'n1e1 Sunqnq {I1I}-{Illl Drlfuretu Suef eE46es {queqroq Euuleq-u13uer {ntun 'a-l vel X-dr uBJotuoued 'qoluoc ru8eqa5 '9I q?g urBIBp Ip uB>lIBrnIp Suui( rnpesord rln)p8uatu Iut apoleu uzderaue4'lell81p ralndurol u?nlu?q ue8uap etuelnrol'ue>luun8rp leue 8ue.i opoleu uelednreur's{irlutu rselou luBl?p ll?>lsnumrrp epqede'uuqepurd:ed opolaW
.lln
qBq urBIBp Ip lnfuBl qtqol us{rernrp u?{s {?pll Iul epo}e[Iou rlBlsnrBrl u,(uurc1 ue8uo: -od tsrs rp Blereru?sro1 ueqepurdred e8qal '1rda[.ra1 duB8uerp lnqesrel ue8uolod rsn ntes qupselrf'e,(ur1rz:louq?lsnJerllnqesrel uu8uolod Ip Iqsp rs?lor uup'[E{r}ro^ uuqupuri
-red 'pluosuoq ueqepurdred e,rqeq qupr e.{uueserulose>l Flpuo) 'lnqosJo} ue8uolod rsr -rsrs eped ue1ufte4p 'htruep'r1 '11 ruav( 'ueu?^\ulroq uep Bru?s Eue.,{ eleruureslel u?qrqa, -a>1 u,(u8 Suesed efiI')g 'TIBIUu>IBIe>I '3uufuudas Ip {llll Euereqruas lp uu8uolorued rqei -arrr nluolrel st1e1s uellpufip iudep e1 'eE4 leferepraq n1uol{B} srls}s leJrsreq Z'Z'Ll 'q, uped rn11nr1s 'qoluoc re8eqag 'uolderalp Uns rde1q 'puorsdosuo{ ereces un8Sue'ufr6 -epole141 'uenpud-rnp1nrls rrcsrsrleueEuad urepp ueqepurdred epolew uep u,{u8 epolou: 'uzqrpqdrad epolery
6=lN:t=fVN'.9-L4,IEN
9
: alrrEroruoued(q)
=dN :€:SdN
EZ'Ll lrqwe1 :t: ydN
'X-dr ugJouroued (r)
uI?8 epotelll
9qI
Z'Z'Ll
IP,gltt?/rJ
oxvx cNoaoH-TIJIJ NvcNscI oNVJva-vvgNylr wv'Ivct Iq uscrNoxss Nsr royr
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
156
dak berubah panjangnya. Dengan demikian, mustahillah bahwa suatu rangka-batang yang memiliki titik-titik hubung kaku dapat dianalisis sebagai kerangka kaku tanpa deformasi aksial. Apabila rangka-batang yang memiliki titik-titik hubung kaku dianalisis sebagai kerangka kaku dengan deformasi aksial, maka prosedur penyelesaiannya akan mengikuti pola untuk persoalan umum kerangka-dwimatra. Apabila metode ini digunakan, bebanbebannya bisa bekerja tidak hanya di titik-titik hubungnya tetapi juga pada batangbatangnya sendiri. Metode matriks-perpindahan untuk penyelesaian yang demikian selalu melibatkan kedua persamaan.
{X}: IASA,l-'{P} {F*}: {Fo} + tSA.l{X}
dan
(17.3.1) (17.3.2)
Apabila suatu program komputer disusun untuk melaksanakan operasi-operasi di dalam Pers. (17.3.1) dan (17.3.2), dua pendekatan boleh dilakukan. Dalam pendekatan yang pertama, matriks-matriks masukannya adalah matrik global [A] (yang telah dicetak terhadap matriks global [B] melalui hubungan [B = lA'l). matriks global [S], dan matriks-matriks global {Fr} serta {P} Matriks [S] terdiri dari beberapa submatriks 2x2 untuk bagian lentur dan sebuah matriks diagonal untuk bagian aksial; karenanya, beberapa jalan-pintas dapat diupayakan di dalam pe' rangkat-perangkat komputer. f Dalam pendekatan yang kedua, ekspresickspresi untuk unsur-unsur di dalam matriks [,4S,4r] diturunkan untuk anggota-tunggal yang miring pada kerangka kaku apa' bila anggoti itu memikul kombinasi aksi dari gaya aksial dan lenturan. Matriks-matriks [Al, lB1, [S] , (SB] , dan [,4S8] dari anggota yang demikian sebagaimana ditunjukkan pada Gb. 17.3.1 adalah
(a) Penomoran P-X, NP
=
6
(b) Penomoran
F-e,
NF =
3
Gambu 17.3.1 Anggota tipikal dengan deformasi aksial pada kerangka kaku'
tSebuah program komputer yang demikian, terdapat di dalam C.K.Walrg, Matrk Methods of Structural Analysis, ed ke-2, American Publishing Company, Madison, Wis., 1970, Apendiks H.
$ $ *,
&
(s's'rr)
llffilt+
4
€
:.$
$
\a a\
I
t
'nlwl
L
,9
:.{',
:,,$:,
r
:
T
tsl
(t'€'Lr) _-i!'ii.-'l
:$
ii:.trf
: tsl
***ffit
i:&:.,. :l.l:
rl:iiilti:::::l:r:iii?:!:fil :li::r"-i!::*ir!:in'r:1-i
E;1i:d!:3;iill:.:!i
ffi##
19,
.tt ,.':*tii.til|;.].:i
l ilf :l
f;,r:,'
(€'6'fl)
,l.ft
:i
:.:'i:r:iil.l:.1:i
:,.,:..,'l
LgI
r:
j:if,,
)::.r
.r.
i
- tvl
r:.:
rl
c
:,1
nxvx gNnsAH-xrJrr NvcNsc oNvrvg-vxcNvlr wvlvcl'Io usqNnxss NsIIon
.U 158
ANALISIS STRUKTUR LANJUTr.\,
ISB]:
\x F\
):
4
3
0
i,.Ed i'. -t6.;!Qsc
jEA : -' :-:t:$fi:{r
2'.
,4EI .-E-
6EI +;r sln a
3
+-zEI
.6EI $fl e iTr
:,T{csla
L
5
6
lrA
0
*.,=?*eos rr
,EA srn a rT-
?Treos I
i:6.EI-,':'r'
,zEt a-?:
6Et :T?i.srn c
6EI +Trcos.
i,68I".,,:, ,, ,
*-4EI
::;-r
T,
6EI
.6EI cos. +T:-
$rn a
(17.3.6)
tAsBl: x
l
,
3
4
5
6
+4.E,Ilf,
+TJ
:t4
+ZETI.L
*T5
*T4
:r:U{m,-.,f?}:,
+i?5
'.!{f,l,*.,?E},
:;{f,,e-
ra
r {f?
-1ft+
T6)
,.P
I ,,2;
'.&f,
3
-74
:+,{f2':-11'?)
+.tTi'+,?6)
-?4
4
+twL
*,T5
iT{
+{EljL
5
-T5
*t"l
-tT2; TA
-T5
+(?1+
f8l
+(T2* TTI
6
+T4
*(77.,,T7\
i
+f*
+172- 77,
+(T3 + T6)
+ T8)
-(T3
T6l
,;..:,r'1:7}i
*TJ
+T4
(17.3.i
,, : +cosz c
12 = +sin o cos a
rt:ff r6:#Lcos2
a
cos o
17
13: E|
sin' a
6EI I):,7srno
:ryLsin
d
cosc
Di dalam cara ini, data masukan yang akan diperlukan untuk
18
:ff
,in, o
penyusunan matriks ke-
kakuan global bagi setiap anggota hanyalah (1) keenam nomor derajat-kebebasan global yang berkaitan dengan keenam nomor derajat-kebebasan lokalnya, (2)jarak-jarak',bergerak'l.H dan z (positif ke kanan dan ke atas) sebagaimana ditunjukkan pada Gb. lj .3.1a, dan (3) karakteristik anggota EA dan f/. Melalu ilup Do tunggal, dengan algoritma yang semestinya, matriks lokal fasnT ] dari setiap anggota dimasukkan ke dalarnpetat-pltat yang semestinya di dalam matriks global IASAT]: Kemudian persamaan (tz.3.rjaryunakan untuk menghasilkan matriks-perpindahan {x} . Kemudian persamaan (17.3.2), atau Persamaan (17.3.6) di dalam kasus ini, diterapkan secara lokal untuk menghasilkan gaya aksial dan momen-momen ujung bagi setiap anggota.t tProgram komputer semacam ini terdapat di dalam buku yang sama, Apendiks K.
t
'ot'g'tt)
eX
sX
D
iealtnl:{a} uetuap 16'6'11) 'sta6
{ax}[?x] = iad] ue8uap
SOC+ r' UIS-
p urs+
D soc+
,x 0 0 eX 000 000 _000
0
0
I+
000 000 000
(e'e'f t) 'sre4 uoJese.(p
esx ssx
EX
DSOf,+ pUrSp urs+ r0 soo+
zy tX
0
0
Iax
I+
zt11
0
eex
0
qelo eX Bttqg IX usqepuldrad-rnquprn
G't'tt\
oad €ed zad
rad
rosoJ+ purs+ 0 0 0 0 0 0 0 0 I+ 0 0 0 g osoc* purs+ 0 0 Durs- lrsoc+ 0 0 I+ 0 0
purs- r,soc+ 0 0 0 0 0 0 0 0
,d sd
td ed
z4
Id
qalo e fr4 effiu1q t,fur e[uE-e{et uep rstunS reEeqes unpsardulap redsp
uped e4 eBEuru t4 e,Az?-etle? uelpntua) 'rl u88rqq cz'e'LI 'q9 uped seqaq uuferp w?uee{ dupeqrol ueleuuBuad Inpleu qeloradrp ?stq sele Ip us?unsJad
qz't Ll'qg -Bpuoq
!+,-I
eax
ruzt
z'I Igge'r _
tax
0
sax
,gx (8'€'rr)
0
zrx
o #*#o h* #'o fi-#.
#-oo
o h*
,
rag-
,
#*
ofr-o
h.o ,
IqZI
z'I
rax
#r-
ead sed
o**
tsd
ofi#.0 o#*
sed zad
ted
: lrullroq pEuqas esx tsX lnp
rsEun3
Btllqnl
m8eqes uelsards4alp ledep (rnsun grereq uetrc{-rotuou eped gD ezd
e88qq rt4 eleE-eieB'q't tt 'qg epedol nce8uatu ue8ueq 'ue1n18uusraq 8uz,( rnsun qere Eue[uedes rp luulprooI nquns nles ue8uep IB{ol Uen>Ie>Ia>I $[rlulu Wnqos u?p rseruroJsu?rl sIrrl?ru enp ueluunEraduatu ueEuap TIEIBI Iu1 s>llrleu qeloraduraur 1n1un rrEI ?rEC 'l?urproo{ nquns Euesedes upede4 ncsEuau ue8uap '{opq uep Eueleq-o1tuu (t'g'tt) uueuresre;
rs?uquo{ rnsun rrzp IE{ol uBDIDIa{ qgl€ur }nqaslp qatoq
69I
nxv>I cNnsnH-vrJrr NvgNsq DNvJvs-vxcNvu mv'rvq Iq usqNnxss Nstllor
V 160
ANALISIS STRU KTUR LANJ UT.LX Pa-xo
*o*,
Po-Xo
Pz Xz
_t,-
6!
_-+p
e i* 'v
!"i
)v
Gamba 17.3.2 Penggunaan matriks transformasi untuk menurunkan matriks lokal kombinasi rangka-batang dan balok.
[(]
dari unsur
?pEd
nryI
Sunqnq
{tlr-IItI}
ue8uap ledure-ueSuelueqraq r1ur6 8uz1rq-r{AUEU
rur
SIZt
nquruC
€'€'l.I
qoluoc
'I'€'lI
I .tuc/N:l 000'02 = 3 Se I =/ :zruc gl = V :zlzn\nlufi ;zw) ZL = V :t7e2 uep' Zh Inlun tw) A?ZE = I'ur rur 0?il =7 l,urc A7'99 = y :t227 uepz7tn Inlun :zrur S'.Zl I = V :rTtn uup Ip071n1un rluu.) OOZL= l izwr Sl=y :,7t7uep't7 zt ':lt7 'lZoZ{nlun ,ur, 009€ =/ :zuD 06 = V :t222 tIP-pz?tpargun
=l
tn
zn
,n
'sl = lz - 6€ = dN - cN = IN rl?l?p? e,(uuen1ual1e1 -e:1 lefe.rep 'uu8uges reEeges 'ueqepurdred epoleu urelop Ip uulnpadp r1epr1 und -Ii{sen'uBu?{ e{ IIDI rrpp ei(uenures rlE{qJeA e1o38uee1oE?u? u?p 'puoterpleuot -Erp 'qB^\Bq rnsnqlpl'splo rnsnqfl?l :IBrs{? el,e*e1,et uep Sunfn Blv\qeg u?{R?qJed '6€ = €I + 97, = IYN + WZN = CN ?{EIu i6g e8llwq Le Vep'efuelo8tue prulu elle*e(e8'.97 effiwq I rrep rJoruourp e{uulotElue-8unfn uoruoru-ueuo1 'IZ = tI + 8 = SdN + UdN = dN ?{?lu:17 eEEwU 6 uup 'er(r6unqnq-{pB uBlnpuel-uBlnpuel :g etllqnl I u?p uouowp u,(utunqnq-{I}Il F?lor-rs?lo5 'r'€'LI r?qu?C uped uz1 -1n[un11p a-g uep X-d u?roruoued 'a-i uop X-d uDtououad (r) HVrySA"IiIlNiId
'E
t'Ll'q9
upud n1e1 Sunqnq
11}lt-{Ilp rIIFtuaIu Euez( ledur+ue8uelueqreq 11ur4 3ue1eq-e18uer uesrslleue8uad ry1un {a} uep ' [s ] ' lsl ' lvl u?Insetu s{Irletu-slrrleur ue1>1nfun1 t't't I qo}uof, 'rlE{ nlES uellnfunllp u{ueq zfuuerenle; 'uuqepurdred epoletu ueduraued ur?lBp (?1o83uu de4es Irzp teIol u?rulnlel s{rrtBur uedndunqSuad snsrea Iy] pqof $lrrturu uuuunE8ued) uule4epuad Bnpe{ {$un uoplnf -unlrp n>lell Eunqnq {Bp-{DI1 pJllruau 8ue{ ludura-uu8uuluaqreq 11er4 3ue1eq-er1Ew; uesrstpue8ued >1n1un ue4nyredrp 8ue.,( uelnseu el?p 'ln>Ilreq qoluoJ Enpe>l ?pud
(trt
Lr) '
[,x][?x][n] = tgltsltyl (t't'tt)'sre; ue8uap (t t'e'f t) 'sra4 uelSurpuug ltyl = [g] uerl>lnquad rlredas eures u.{uuenlnqtued inuras-rfro4 dFur:i
rrep qerurele leqqe ueludnreu lnqasrel rszruroJsu?rl sIrrl?ru ?npoI Er?1ue rsururo-: -sue:1 uu8unqnH 'rs?urroJsu?rl sIrrluru uB)Br.uuurp BIoJolu u,(wuerel l,{ zy} uuqeprni -red-uuqupurdrad ueqepurdred-uuqepurdred ua[s?ruroJsuerfiiuau [rgi ete?-etu8 uelrseurro3suert8uau [g] sryrleq
rpefueu {X}
slu1eu u?p {d}efie?-efie8 rpefuaur (r
{r4\
{x}[ru][?x][a]: {sx}['x][H]
r'€'rr)
= {sa}[H] = {a}
'1nqasra1 uueurBsred eEpel ualnped uerpntuel uei
{x}trrrl
= {gx} ue8uep
I9I
oxvx oNnsnH-)IIJrr
(Ot'e'f t) 'sled uer
NvgNqcr gNvrva-v>rcNvlr urv'rvo Io usoNoxas Nshlox
? L62
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAT
$
(b) Matriks masukan [1] . Unsur-unsur taknol di dalam setiap kolom dari ma] dapat ditabelkan dan kemudian dimasukkan ke dalam komputer. Sebagai contoh, komponen-komponen efektif dari sistem gaya-dalam F11 dan F2s pada Gambar 17.3.5, di sepanjang arah-arah positif derajat-kebebasannya, dicantumkan pada Tabel 17.3.1 . Perhatikan bahwa tidak terdapat derajat-kebebasan vertikal di ujung !an! memikul F26 triks
[,4
l4
t2
l0
fi,,,
A,
+
4E ,,
18 (a)Penomoran
P'X;
NPR = 8,,l/PS
Gambar 17.3.4 Penomoran
= 13,NP = 2l
q@to
z@d (D) Penomoran
20
n u4t2
F<; NEM = 26'NAF = 13'NF = 39
P-X dan F< untuk
rangka-batang
di
dalam contoh
t7.3.1.
/i
Jo,orto,,
'.'12'l tr\
o,o75F)0\
('((-*0,,0r,,
i *
t 0,075F,,
H
\7"
&
fr (b)
Gambar 17.3,5 Unsur taknol di dalam kolom ketujuhbelas dan keduapuluh [,4] untuk rargka batang di dalam Contoh 17.3.1.
dar:
qoluo3 ur?l?p rp 8ue1eq
u>13uer
Inlun
s?l€
rp
(r)
u1o33ue IS?lOI-rSUlOr
t'x
(s)
ul8 _ t'x8'o =oz2=ht2
Y!9 t,X
lrep IoJ:I
9'€'lI
'I'€
_
luqur?3
(D)
ru8
=eza
e
lxSto
_
lt
,,r/1
L; 'e.{uueleceBued 1nlunued ueBuep rdelSuepp uurpnue{ qpp}seru [7] ueleqelued rrup ueleceSued ruolol 'Igl syrleur rrup ruolo{ entues tuelep-ru?lep ue{rrTruou srslleueSuad qe1e1 -eS 'Ip,] s{rr}Bru ueleqelued uped ue4ece8ued uro1o1 rrrBIBp Ip uu>11edtue1tp ludep Q't) V = (/'r)g ue>lece8ued >1nfunued errrquq ue>pleqredueur ue8uep ilenqrp nped >Wp\l Z't'Ll 1eqe1 'u.,{uqnSSunses Suef 1e1>prd tuelep p1r\qeq ulnd ue41eqre4 .ErX 9,0- _ eEauep.€IX 9,0+ _sEa,€rX+ - szarBseqeseloSSuuue8uefueued ue1 -qeqe,{ueur uule u8ni €rX'r?'9lEtX- = eza = sza uvp'€IX 001'0- = 8/€IX 8'.0.;rle8eu a ue>grseq8ueu tEry 00I.0- = glEtX g.0- = ar2 = 112 eleq = oza = 6t2 urel r.unrBI qerees y 'A-X = a evefi>l '9't'Ll requreg uellnlunltp BueIuIEApqes e1o88uu-nqurns rsuloJ u8rl uelqeqe,(ueur uele €IX Ilrodes Sunqnq-ry1t1 uulnpue'I 'n1r Sunqnq-qllll ur?pp e{ {nsuur 8ue,t e1o33uu 8un[n enures rp ey ue8uap eures 3ue.{ rselor-ts?lor uu{quqe.tueur uele ey rgedes Sunqnq-41t1 IsBloU 'Z'€'tI Ioqel uped ue>lurnluecrp Ig] s{rrl?rrr rrep seleqB8rle{ uep ueuoa{ uolo{ IuelBp Ip Iou -{Btr rnsun-Jnsun'qoluoc rP8?qes ' I u] s{ulBtu uulequlued eped rElJ?p uBSuep u€{ -{ococrp uulpnue{ upp ue?s{rrorued rnlqeur rllle} ?reces rluuerp ledep [g] s1tr1 -Eru rJ?p ruolo{ d?rles tuelep Ip lou{?l rnsun-rnsun 'Igl uDtltsotil s[tUDW Q)
I+
{e:tr}a }"qn
TI
LI
00t'0*
cl'fi)fr13!["r
hl
LL
gl0'o+
Lt
II
00I10+
8I
LI
810i0-
I
0r
'l+
at
OI
{BI!0*
II:
,&
rtoio-
l7
0z
.00t'0+
$?tuap $3+looo3
&*g
Ll
{{ ?}v
I
J
!
I'€'lI '[f.] lrep
qqndu npe:1
qoluof,
uep sqaqnfnle4
ulolol ruE?p Ip lou{sl rnsun 'I'€'lI loqsl
89I
nxvr
oNnsnH-xrrr& NVcNso cNvrvs-vxcNvrr nY'Iv(I Iq usoNovss Nsllolt
w 164
ANALISIS STRUKTUR
LANJUTA]{
Tabel I 7.3.2 Unsur taknol di dalam kolom keenam dan ketigabelas dari [.8], Contoh 17.3.1. l.rk::il
s.(&i*
;:*
6
.r 3,,
*
,
+,r:
.::j ]]
.,161f
fi
,1?,,
r,iq.,
*
',.1i,:;:.:, :ar;:! j:ti;:r::1:i': j...:._:: ti i :ri.j:.:,ii.lri::;',:it.: r!, f :ai.!: ,:lli:llljrl
iil#ii
t
t.*::
firig;,g**
-ii:'i,1;::':iiii
iffi :i{#:; .tr,':
i;ia:ut:i
i!.':
.'...
lil .:.:.r.;
1
i.r..,
,+.,i:.],]:li,ir,::::.}':riii,:iirri.r'i:,;
il::.ii,:1i_!:i i::.i1:::i.:i;i::ii,.ra:. :i.
r$5:r.:
:...:1.:':r:
ii'1::: rr,l.l.. :ja!,.{:Xr::j
:
(d) Matriks mawkon [s] . tsi matriks [s] adalah +4EIlL dan +ZEIfL dalam lenturan dan +EAIL dalam pemanjangan aksial, sebagaimana ditunjukkan di bawah
ini
secara khusus
35,36, dan 37
untuk momen-momen ujung
"11
l8
,7
1AflXro:'
?2S00,
IE
?KX}:
l"imm,
G
33
F
tst =
,r,,.35
fi :,3'l
l7 dan
18 serta gaya-gaya aksiat
.
36
t7
''
r!06rs
xll,t .A*i
I
-roJap u?{ece8ued 'ue>lnFedrp reuaq-reueq eruu4rluls uelaceSuad ,rur snsel urepp IO' u8{DIBII p rlseu' ue q>1nfun{ p plf undrlseur.,B.{urserur ogiep ?)[I}els uulecotu {e -ed 6g-e1 uep B{rluls uelecaEuad 17-aa utuuotap uop uluDls urtlaca*ua4 1q)
N{65'SS€* =ur' NIZ€'l + =srC NIZd6fl+ =.eC NI 65(195- = 9fC NI 60'ZII+=trC NL0''ZZ+:trd N{ Zrr67t- = €tC NI I0{t€6+ : z€J N:l f€'lE€+ :'rc Nrlll'0LZ*:*, eC
NI Ia'692+
=
NI 8S'tOt- = 8zg
NI Ls'iot- = r.C
r.ur.N{€r'l0l- =ezc ul3.NI€g'?lI- =r.c :E7inB1o33uv rur.Nlrl.t I =rzg rur.Nl Er,, + =ez:I izl.neloBiluv tur.p159rgg11:zzg ur.N)tl,g.gzt + =tzl :r-Itnelot8uy urr.p1 1pr7g1- : ozg urr.Nl 92.g6 + =6Ul irltnelo8iuy ruo.p1 19.61 rur.NlLg(9€ +=ud:enz-Ielo88uy -=srg txr.Nl ruo.Nl 60'lC + -ttd :z'ItneloSilUv + SS'l =etC rur.p1 gg.6y - = ilg uc.511 gg,3g1+ = rg, :t1.1o7e1o88uy rur.NI Lt.zst + : zrJ urr.Nl gz.gtz+ = lc :rTr7eloEauy urc.p1 57,191 - : org ruc.p1 47.91 - = og :f1.-Ie7o33uy ruc.111 rur.Nl€['tt +=rd ]'It'lelot$vy 6g'17 -=rg IIrr.NI urc.p1 90'391 - = tC :I?o'Jelo88uy 19'lrl U = rur.Nl l9'ZZ + : tC urr.Nl 9€'.9t2+ = tC :€n.n BloSSuv : zC rur.NI €2.9t t - = rC :znrn ?lo8tuv rur.NI
ralnduo{ qelo ue{rreqrp
{*l} = {g} sryrleu ruBIBp rp rnsun-rraun '{*C} = lll
{y} s{Irleru r)9€- =
e
oS'.oSZ-
qelepe -es
ruc 91991'9- = ozy wtT1gggtg- =aty wt 19y79'n- =ery ruc 1756919- =rty w) Le9Lt0- =ztx wcTgg6gtg- --ory purr_01 x0688Z'I- =tX per,-01 xZS06l'0+ =X tX
per r-Ot x 85,lxli(0+ =
per.-0I x gSggliga = zy -ueqrp "uerure8eqes
uLZ_
euuune8eq
uotoryatl s4luohl
-ay
rur6619g,91
- I.X - ory
ruc ag197,ga
tuc 9slr9'0+
(t)
u, Sg€il.o+ =irx uro0'IgI'0+ =flX rry ruc 53699,6a =
u) LIL6EO+ =6X pe.rr_0t x298S9.0- =lX perr_01 x gur
per
Ig09/0+ =rX
r_0I xgy76g'g- =ey r_01
x 11669'91 =
urslep Ip rnsun-rnsulf
@d
ry
qPIPpe relnduo{ qalo uB{ uoan1atl s1lttDl4t A
'\yl
08I _ = ed
=et"
tunpuetuau {d} $Iu}Bur uep ({0J} 1ou sryrleur) Inqury Eue[ lrdafral-8unfn uauroru-ueruour ledepral {?pp '..n{s{ Sunqnq {Blf-{np uep Euuleq-e13uer.. 'rur snsnq{ urBIBp rp Bl(uulo8eue-s]offlue eped efra>1eq Suef ueqeq-u?qoq 'rnpuos Ipos Iq tuntun epoleu undqsa1,t1 'lJ\ uottnsout syutDI4J @) Sunduruueur ledep uEnt
ruc/Nr oszz urr/N)t
:Arffi-oz=
#
=.,t
1 ="g s'zl8z=--9q!--= '"- (9'ZII)000'OZ vg
ru3/N{ sz'eorr
=GzTffi0z=
p'r/urt.Nr 000'rt=
# = "t
*,=.t{rs
per/ruc.Nl000'rrliorr#OzD:1ft
99I nxvx gNngoH-xI&I&
=
=
sr-r.rs
rrtrs = u+rg
NvcNscl cNvrvg-v>roNvrr
wvrvo ro uscrNAxss Ngr{ox
Y 166
ANALISIS STRUKTUR LANJUT.{\
masinya, karena tiadanya beban yang bekerja gantung hanya kepada ketepatan matriks [,S] .
di antara ujung-ujung anggota,
ter-
Contoh 17.3.2 Sehubungan dengan analisis rartgka-batangyangmemiliki titik-titlk hubungan kaku di dalam contoh terdahulu dengan metode perpindahan, tunjukkanlah data anggota yang diperlukan sebagai masukan pada program komputer yang di dalamnya, matriks kekakuan globalnya disusun dengan menghimpun surnbangsih kekakuan lokal dari setiap anggota. PENYELESAIAN Sesuai dengan nomor-nomor dan arah-arah anggota yang ditu:rjukkan pada Gb. l'l .3.7 , nomor-nomor derajat-kebebasan global pada Gb. l7 .3.4; nomor-nomor derajat-kebebasan lokal pada Gb. l7 .3.1a, dan dimensi-dimensi serr: karakteristik anggota pada Gb. l'7.3.3, data untuk ke-l3 anggota yang mesti d:gunakan sebagai masukan ditunjukkan pada Tabel 17.3.3. Perhatikan bahwa pad. tempat terdapat kekangan, kita gunakan derajat-kebebasan global yang sama dengan derajat-kebebasan seluruh struktur ditambah 1; di dalam kasus ini, 22. Dalar. hal ini, baris kedua puluh dua dan kolom kedua puluh dua yang disediakan unrui matdks kekakuan global digunakan sebagai "tempat pemtiuangan" unsur-unsu: yang tak dikehendaki di dalam matriks kekakuan lokal dari anggota yang sama saja
^,/l\, 'r=l \
(o
=
Gambar 17.3.7 Arah-arah anggota untuk rangka-batang di dalam Contoh 17.3.2
Tabel 17.3.3. Data anggota untuk digunakan sebagai masukan di dalam metode kekakuan langsung: Contoh 17.3.2
Nomor NPI
NP2
NP3
NP4
NP5
r0
2
1l
H,
cm
cm2
V, cm
A,
o. 0o. Q, . . 0. 0. +640: -64&. *li{S-540, +ffi. +6S. +6{0.
90.. 90. 4J. .45,. 45. 45. ,17,5
I, cm'
anggota
, I . 1 ' 221112313 3 4 22 i 5 i .- 15. 4 ,5 '. t7 5 67192082r 742272t9 i 1: . , 9' 8 ....,..6: :r: ..1?: 9 103.l1I4,a2l lt31516,t9 ',6.,, tZ t7 13. '..:7... '..:: :.1$. .
17.4 Metode Iterasi
-
22 "5 16. .-., 6 .. 18 .,1 10.. r, 5 18. .,. ..r3, ..
15 17.
l9
'11 .13
1r.,...2 Il .:.:,.3r... . .13
.W,
l2 .. +480. +480. l4 16 +480. tEr' ,. +4&!. +480. 20 72 +4E0. +480, r0 +48A. lE 14 .. *{&" 22 +4fl). lo 0. 'O. 12 .0. 14
,
36m. 36m_
t2r5. 1215,
l2r5 l2tJ. 72m.
t4/o.
'6,25 I,140. 56125 , ?2Ur tlzJ 77. 32{[ t8. lt5, 12. }24{D.
Dari Gaya Aksial Primer ke Momen Lentur Sekqnder
Jika rangka-batang denan titik-titik hubung kaku langsung menjadi rangka-batang statis
tertentu setelah titik-titik hubung kakunya tersebut digantikan oleh titik-titik hubung berpasak, gaya-gaya aksial primer dan perpindahan-perpindahan titik-hubung yang ber-
&
(ix
'3unqnq-1p11 urqepurdrad
leqrlu qo88ue-nqruns rscto5
I','lI
requreo
+
(x-rx\
rulru-rulru ue8uap Supuuqes uap ufultdafra1-Eunln uotuolu-ualuoru 'Burss Eut.,( rs4o: -1npns ue8uap uBqnrnleso{ €recas rsu}oraq n>I?{ Sunqnq-4pprsq Eueluq-e18uer opf'rnr Br?ces u?rpflruad ue8ueg 'qaloradrp IIBIIlseu eures Eue.,( repurules ualuotu-uetuour 'sns -B>l Bnruos urel?p KI 'szss-1?sl lrdaftel-Eunfn uoluoru uuundtutq uenluaued uepp 3uu1ec. -u18uur Blntu?s {nluaq ue8uop uc}r?>lraq 3ue,{ 1s1sod Suurequres upud ue4ludtuellp qelot qepurdraq Eue,{ tueleq-elEuer Eunqnq {plt-)9111 effiurqes Sunqnq {1lt-11llt lreru{e>{er rapun>Jas rnluel uauoru-uetuotu ?,rq?q q?lBI BIuuBs?[v 'ueleun8lp qepc EUsJu{ Inqql
Iec?
?r?ces
qrldp
Euer( uznce rlo8Eue Euerequas >1nlun eloSEue-nqums
Iou tselor uuEuap
ue1m1:eq Etre.,t Eunqnq-1qr1 ueqepurdrad-ueqepudred'ue{ulelol4l '1or-uendtunl Iou Inlur p>lqJe^ uuqepurdred n?le rpues {nlun Iou uzqeprndred uredas 'l?uJel${e s?}sq FrDuor -Isrpuo{ qnuoruotu 3w,( e,(uqnSilunsas Euef ueqepurdrad ednraq nlred >ppt1 elottw 8ue.( Eunqnq-1nrl uuqepurdra4 'ludal Eue,{ e,(uupur-nqruns rsslor-6?tor Sunlq8uaur
Inlun unl?unElp
ru?Iep 'y {nlun {ueunu nards>1e uu>1tusa1e;(ueur uBIpruuel uilp 'quputdreq ufu8unF -Euntn Euef elo88ue dullas sr;urE ruquuE uullensr^uoru Iltpnru rlqol Breces ledep sr -geueEued'ue8uel ue8un1rq.rad urepq 'ue8usl uBgunlllred unpp ufus n16aq ue4euG -rp undnele ralndtuo>1 tuerEord nlens LuBI?p a1 uu13uun11P ledep
't
;socfxlm
Q'r'Lr)
D uls
-I :zU (rx - cx) +
-rU:
(Z'V'tt)
Ireulu"sr3d
U
'uurelred apro uurupuu8uad squ rr?{Iusepreq 'f y Ll'qg epud 1e:tldn eloEtru 1n1uq 'e,(rfun[n-Eun[n uequputdrad uep Sunlrqrp ledep y eloEEue-nquns Is?lou '8 qug u?lup Ip (I'g'g)'sra4 ur8uap udnres sulu !p snumg
-I : ura9
(J'v'tt)
{oN
-
lol\I
u?D{rruop uu8uep l19 e1o38w rntuafu?Dlu{o{ u?p 'TeloEilue Euefuud 'y ruel tunrE qereaS eloEEu?-nquns rsslor rrup rs8un; uu4edn.raur '(Eunqnq-{n4 uulIBputdred-ueqepur -red euarel) rs?loJaq 8uu^,{ elo88ue nquns uu>lJerqruou ?Jqueues qeqruoq >1upq eloEtm
Eunfn-Eunfn tp srlsBle err:n1 eped Eun88urs sueE-susE reSe uelueqelraduraur {n}un rrEr -nlradrp Eue.( '1rdefrat-Eunln ueruoru enpan'c1'7'71 'q9 epud uolleqlgadp u ueuretx -eS't qeg tuepp rp ue11[esp Eue[ apolotu ru8eqlad ue8uep rrelnlueltp ledep uuln$ru
,.9I
i ii
it JI:
$
H
flr
oxvx cNnsnH-xr.Lrr NvgNsc cNvrva-vxoNVlt wv'Ivc rq usqNoxss Ngwor
ffi
Y ANALISIS STRUKTUR LANJUTAX
168
fi ,ti
EIIL
anggota-anggota yang bersangkutan, dan mereka akan dibebaskan pada siklus per-
tama dari distribusi momen, tanpa menghasilkan momen sekunder. Baru apabila anggota-anggota tersebut dipaksa untuk mengalami rotasi-rotasi sumbu-anggota yane berbeda-beda, anggota-anggota tersebut akan dengan sendirinya mengalami lenturan untuk mempertahankan. sudut yang sama antara arah-arah anggota (atau garis-garis singgung pada kurva elastis) yang bertemu di titik-hubung yang sama. Sumbu anggota adalah garis lurus yang menghubungkan ujung-ujung anggota, sedangkan arah anggota mengacu kepada garis singgung pada kurva elastis di suatu ujung anggota. Mengikuti uraian pada alinea sebelumnya, rotasi-rotasi sumbu-anggota R dalam kondisi primer bisa diperoleh dengan salah satu (yang mana saja) dari ketiga metode berikut, setelah memilih secara acak suatu anggota untuk dijadikan anggota acuan dengan rotasi sumbu-anggota nol. Tentu saja, sebagai suatu alternatif, rotasi-rotasi sumbu-anggota yang sesungguhnya, yang memenuhi kondisi-kondisi batas, boleh digunakan. Ketiga metode tersebut adalah sebagai berikut : I
.
:$
Dengan menggunakan Pers. (3 .5.Ia hingga c) di dalam metode beban-sudut, tentukan ubahan semua sudut di dalam semua segitiga rangka-batang. Kemudian, sebagaimana ditunjukkan pada Gb. 17.4.2a, jlka BE dipilih sebagai anggota acuan, nilai-nilaiR untuk kedua sisi lainnya dari segitiga nomor 2 dapat diperoleh dengan menyusuri sisi sisi segitiga tersebut dalam arah lawan arah iarum iam. Maka,
R untukBE = R untuk ED = R untuk DB = R untuk BI' = Pada
O
(R untuk BE) + (tambahan ukuran sudut di E, LEz) (R untuk ED) + (tambahan ukuran sudut di D, ADz) (R untuk BD) + (tambahan ukuran sudut di B, AJz) = 0.
Gb. 17.4.2a,
dengan
R untuk BD yang diketahui, penyusuran sisi-sisi segitiga
arah jarum jam akan menghasilkan rotasi-rotasi sumbuanggota DA dan.4B. Demikian pula, penyusuran sisi-sisi segitiga nomor 3 dalam arah lawan arah jarum jam menghasilkan rotasi-rotasi sumbu-anggota BC dan CE. Dengan menggunakan sebuah ujung dari anggota acuan terpilih sebagai titik acuan.
nomor 1 dalam arah lawan
2.
dapatkan perpindahan-perpindahan titik-hubung dari semua titik-hubung melalui penggunaan secara berturut-turut persamaan perpindahan titik-hubung, sebagaimana dipaparkan di dalam Contoh 3.6.1 dan Gb.3.6.2b. Dengan perpindahan-perpindahan ini, rotasi-rotasi sumbu-anggota dapatlah kemudian dihitung dengan menggunakan konsep Gb. 17.4.1. Perhatikan bahwa translasi dan rotasi tidak diperlukan untuk memenuhi kondisi-kondisi batas eksternal yang sesungguhnya seperti pada Gb. 3.6.2d.
R
R
untuk ED = R untuk 8E+AE2
untukBC=R untuk E8+483
(a)Ubahan sudut A8r, AEr, dst.
Rotasi
lD=
ff
searah
jarumiam
(b) Titik-titik di atas diagram Williot: A' , D' , dst
Gambr I 7.4.2 Rotasi-rotasi sumbu-anggota dari ubahan-sudut atau dari diagram Williot.
&
urEep Ip 3u4eq-z13uer SunqnrI-IIIR uuqrpuldred gep elo8fluu-nqtuns $?lo1 e 227 eloBiue Inlun U uuSunllqrod (g)
(o'o)
(t€'€+'zt'€-) p?r
V I'?'LI qoluof,
€'r'l,I
rBqurBC
Gz't-'ge'o+) zt
(90'z+'9t'z-) tn
urelep e1o38ue-nquns
1se1or E_gI :qZ'g'e :r,qne1 rrep uur Sunqnr{-{Il uuqzpudre6 (a)
(09'6+'9s't+) r7
(gt'o+'gL'z+)
t7
(gz't-'96'o+) (08'0-'8t'0-) (w't+'26'l-)
z7
o7
000t'0+
te88'0+
/,<
h-tu
,/s
992'O+'n
(90'z+'9tlz-) (82't-'80'r-)
(0'0)
uBncs
Irlrl
qoluoc ue8unlrqrs4 'DEV'Ll Jequr?9 uelnlSuesreq 3ue,( e1o33uu-u1o33ue eped ue{sllnllp 'l'b'Ll ruqtueg desuo>1 ue>ldzreuaur ueSuep Sunlrgrp Suef 'e1o33ue -nquns rs?lor-lseloU 'De'V'Ll reqrueC eped r8el ue>11n[un1tp uep I'9'€ l{oluoJ 'qZ'9't rBquIeC uep 1rqtuelp 3ue.( uence e1o33ue re8eqes z7t2 uep uenc? {1I1 re8eqes rr2 ueeunSSued uep uB{lIsBt{Ip 8ue,{ 'Sunqnq-Illll u8qEpurdred-ueqepurd -n6'Sunqnq-4!1!l uDtllputdnd ttop o1o88uo-nqwns 8o1o[ (a) nVtVSatAlNAd 'z't'Ll u?p I'€'II qoluoJ llurd 3ue1eq-e$uer ru?I?p rp n1e1 Sunqnq
{Pll-{pll
u?Auep ledu+ue8uuluageq
eloB8ue Enrues tuel?p rp lepun{es rn}uel ueuoru-ueluotu qe18un1tg
I't'L I qoruof, 'repun)los Jnlu;
uoruoru-uetuoul uB{Bdrueu uf,uEuequr8uad uauour-uoruo4 'uotuotu-IsnqlJ}Slp IoqEzped uelunlugcrp u?rpnuel 'Eunqnq-4lrl rstloJ-rs?lor qeloreduretu >lnlun e,{uuu1x -a8ued ulresaq .uouloul rsnqrrlsro 'fi'v' t)'sred uelBunSSueur uuSuap Suqqtp e.{ultda, -re}-8un[n ueruoru-ueruour .qeloradrp qe1a1 uloESue ?ntues IIsp ur IBIIU-IEIIU II8){oS
,i
ll ir
li
rlerrrelp
';tlrsod nele 'rue I runJe I qerBes leql.ueC BpBd B{orotu uelnpuol-uB}npuol IrBp aL'n'Ll
Or {nlun A 'sL'r'Ll
.qg eped ue.p ur>lledruaueru u?Euep ly ueSuap 8lu3s O ltap Y elo8Suu 8un[n rz ,o .8un[n Iqsiu psreisuurl ueqeputdrad 'qz'f LI 'q5 eped ueplnfun1p uueune8eqas ,qoluoc ruSeqa5 .ueBs{rJeruod rnlBlatu uDln}uolrp snrcq y elo88uu-nqutns Is?lor Bp -uutr'rur sn5e{ gIBIep tq 'e1offlue-nquns Isg}oJ Iedpcueu e8fiulq eloEfiue Eln111os-!u3[ -ued ueSuep qupEeq uup elo88uu tunfn-8un[n ?r?]u? rp rqsru lesre^suer1 uequputdred urer8ulp lr?p IoIIIIA\ u?FBq e{ueq uzrleun8tueu ut8ue( : uDIlBd?p
69I
fl
'iqory-lolllA\
oxvy cNnsnH-xl&rI N\/gNsG CNVJ, -VXCNVIr WV'MI I(I USONnXgS NSIIOT
170 i
ANALISIS STRUKTUR LANJUTA.\
untuk L2(lx,
I
dengan menggunakan sketsa pada
R
dat-
Lzut= -
3,#[0dq
#-
Gb. l7 .4.3b,adalah
= -0,5625 x loa
Tanda negatif di dalam ekspresi+kspresi di atas diperoleh dengan memeriksa Gb 17.4.3b.
(b) Rotasi sumbu-anggota dari ubahan sadat Nilai-nila.i satuan regangan yaDt ditunjukkan pada Gb. 17 .4.4 diambil dari Gb. 3.5.3c di dalam Contoh 3.5.1 . Ubahan-ubahan sudut pada ketiga sudut-dalam dari keenam segitiga yang dirancang de' ngan nomor t hingga 6 dihitung dengan menggunakan Pers. (3.5.la hingga c). Perhitungan contoh untuk segitiga nomor 4 adalah sebagai berikut:
Ubahan sudut
di L2 -- e0,225 - 0X0) + (-0,225 - 0,100xil : -0,243E di IL = (0 + 0,225X0) + (0 - 0, loole't = -0, t f f f
Ubahan sudut
di
Ubahan sudut
U, = (+0,
100
-
O)C, + (+
O, tOO
+ O,22rG)
:
+ 0.377
t
3 Perhatikan bahwa ubahan-ubahan sudutnya adalah dalam l0- rad dan jumlah ketiga ubahan pada segitiga yang sama adalah nol. Demi kejelasan, hanya ubaharubahan sudut untuk segitiga nomor 4 ditunjukkan pada Gb. 17.4.4. Denga: ubaha-ubahan sudut ini, nilai-nilaiR-nya dapat dihitung, mulai dari segitiga nomo: 3 dengan menyamakan R dari U1L2 sama dengan nol, kemudian segitiga nomor -1 5, dan 6 ke arah kanan. Kemudian mulai dari segitiga nomor 2, menyusur ke kL--
kita selesaikan segitiga nomor 1. pada Gb. l'7.4.3a diperoleh.
NilainilaiR yang
sama sebagaimana ditunjukka:
(c) Momen ujung-terjepit akibat rotasi sumbu-anggota. Persamaan (17.4.1 menghasilkan kedua momen ujung-terjepit di ujung-ujung anggota. Untuk itu, relah terdapat rotasi sumbu-anggota, tetapi garis-garis singgung pada kurva elastis:ujung-ujungnya tetap dalam arah sumbu-semula anggota. Rotasi-rotasi searah jarurn jam sumbu-anggota dianggap positif, dan momen-momen searah jarum ja= yang bekerja pada ujung-ujung anggota bernilai positif; karenanya terdapat tanri.l negatif di dalam Pers.(17.4.1). Momen-momen ujung-terjepit di ujung-ujung setia; anggota, apabila U1L2 diprlth sebagai anggota acuan, dihitung dengan menggunrkan persamaan ini dan ditunjukkan pada Tabel 17.4.1.
ul
-o,225
u2
-o,225
u1
A
f/
""1
\" \
o
rul
-ll
ol A *I
\o,
A\
A
+0,300 Lo
+0,37 Regangan dalam
5 ,4
IL2L3
10-3 dari Gb. 3.5.3c
Gambar 17.4.4 Regangan di dalam anggota-rangka-batang di dalam Contoh t7 .4.1.
w+
fitt,l
+
000'02
{r}z{ w7L
000'{x r00q0I
stzt stI
f,+ 9t r9f,[I r tzl 0
000'0u
srlr
{xtgf
9*r 8rs + 0ll + 0t* S9E I -
T{9 +
olz
000'02 0{m'02
000'0I
00rt
TTJ.I
urr.Nrt'7/ula9-
$9r'o?81f0-
0tr0'0+
sLttt*
tzgs'00000'0
000Tu
oaea
00s'02
$er
ml'o+
0Qo"0e
Ezgt'0*
000'0t
00t'0+ Z?M'I-
000'04
gttt slzl SI'I
000'02
,ur/Nr'g
'ln'Ll
tf88'0+ 8t69'0-
lggz'sr pur, 0l
'U
0rg 0f9 gig 009 Oos 008 008. 08, ogt $s? ogt 08' ' rur'7
i'FtD.
.'m t'ra
vl.fr
rncr z'ItI]
tnn .Tn
f'.'l .Tl '-rrl
zntfi
elo8iluy
tloluoJ:uenc? eloEEus re8eqes z7I-1 I'r'aI Ieqel
gqure8uaur uuEuap eloEEuu-nqruns lsBlor leqgxu ltdetrel-8unfn ueruo141
'uetuou $nqrJlslp ue>lece8ued sesord urelep rp Sunqnq-:11lrl rselor-rs?lor epeda>1 uslqequr?llp uence e1o33ue rrep e,(uqnEtunses rsploJ up)[[?se 'eures Suez( efuqnSSunses Sunqnq-4r1rl rsBloJ -rselor eEn[ uep 'qeloredrp rlseu eures Suef Sueqtu6ued ueruoru-ueuroru 'sns?{ sntrres ruplep
IC 'I'9'€ qoluoJ pT,'9'E'qC eped e{uqnSSunsas
8ue,,( Sunqnq-:11r1
ueqepudred-uyqepurdred uep u?{quel1p eueurre8eqes ufuqn5Sunsas Suez( elo8 -3ue-nqruns rseloJ-rs?loJ ue>1eun88uaru ue8uep iete'27?n rlredes 'uence e1o33ut re8eqes e.{uure1 eloE8ue Suerequres ueleunSSueur ue8uep ue{n{elp ledep tlue3 -Jaq-qlls BJBcos ueluolll IsnqIJlsIC 'tluo3,taq-q9ps D.totas ualuout ,snq24s.2o (2)
'l'E Ll qoluoJ (j ue6eq
tupl?p rp Suef uetuap uues qrqel Su?rnrI IuI rselor-rselou
per, 0l x 982't -
:t'l
lP
0
tsl.'o+ :21 tp
per r-01 x
0
s6s'0- = tn Ip
r_01 x
pe: rp 0 r_01 x 899'0- --t'l pe:r_0I xrSl'0+ --z'llp 0 Per
r-0[ x €09'0+
:
pur, 0l x L66to+:
'7
IP
07 IP 0
:ln{ueq
per
per, 0l x s0g'0+
0 0
: 'o IP 0
rB8eqes qeIBpB 8ue1eq-e18uur uped
-qniltunses Suez( n1e1 Sunqnq-1r1q Is?lor-rselor
efu
'Z'V'Ll IeqBJ ue{eco8uad sasord
ru?Iep rp Sue. epedel rur rs?lor ue{q?qu?ueu ue8uaq 'uref urrue[ qer? tu?l?p
pe:,-or x8oz€'o
=##6 '(ot'n' LI reqtuug epedal
nce8ueru) reseqos '3ue1uq-uq8uel setrBq rsrpuo{-rsrpuo{ rqnueurotu {n1un '(Isel -oreq) relndreq z71n u1o88ue-nqurns u,(ureueqes '(rseloreq 4ep14 zTrn e1o33ue -nqruns pIqBdB) e,(uBunqnq-4rlrl rsplor-Iselo-r qeloredrp 'u,{uuelece8ued sesord ue1 -eq,'Z't' Ll leqel eped ue1.re1e8rp e.{uueurotu rsnqrrlsre 'uautout tsnquislq (p)
ILT
n>rvx cNoanH-xIrIr NvcNscI cNvrvg-vxgNvlr htv'Ivc ro usclNnxss Nqwon
t72
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
-.t
R
) t
tr: 88 o
o-
38
o
s:sQ.
c
ERSq. + r++
I !
) I
r+
+
{n
-J
lr
J
ea l+
+l
f, -J
E
t +l
EE
3S
+
XR
c I
r+tt
t+tl
pSFs-
6
Es +l
l+
l+rr
6E!{
XB +l
+l
Sstra ;ISa
SE I
t
Ep$5
t+
l+
1+rl
J
t
i+rl
r'-
?8
o o
++
:uF3
++
I
(J
v
.-R{
)
*t
()
o a o !
+
) J d
q
o al
{t-
o
3 ct F
+
lr
5
r+
I E
!
o jl
F
{
u
z E j l{
I
3E +
s
+
&
x a
a<
+1
j
o< OE
!
96
J o< UE
o< U@
j
o< UO
J o< ()E
J o< UO
++
ESES + t++
sf;!3
J o< UE
6
a
;.;.2--
!ayia,
r
6
s
tr : -:c
,.4
-
ls l\ l4 lO
++
E ,(
ri,:l
E
m
.<1r'9 i -
p
,f g
a!
F+
Fl
D
EO
I >ol>o
"l -l ox
6 .tr 0c
o
EO
-l-
z
',
* 6 I
3
F
s
E
6
{ 5 hJ
l+
ErrE a * '[ssJ
D
Eo
a
?
a
0e
s
r
p
? p
D
{
a t a
*E*t
8lI
oxvx cNogoH-xI.LrJ
NvcNs
oNvrvg-vvcNvlr wv'Ivct IC uscNnxas Nexo,r
t74
ANALISIS STRU KTUR LANJUT^{}
17.5 Metode Iterasi
-
Dari Momen Lentur Sekunder ke Gaya Aksial Ketiga
Dengan distribusi momen, kerangka kaku dalam bentuk rangka-batang yang memilik titik-titik hubung kaku telah dianalisis untuk rotasi sumbu-anggota yang taksama yan: mesti terjadi pada kerangka kaku yang bersangkutan berdasarkan atas kekakuan long:tudinal EA yl;ng takterhingga, artinya, dengan mengabaikan deformasi aksial. Demi ke. seimbangan, momen-momen pengimbang yang bekerja di ujung-ujung anggota memerlu. kan gaya-gaya lintang transversal, yangjuga bekerja di ujung-ujung anggota, sebagaimani ditunjukkan pada Gambar 17 .5.|a. Pada gilirannya, kebalikan gaya-gaya lintang di ujungujung anggota ini akan bekerja di titik-titik hubung rangka-batang, sebagaimana ditur.. jukkan pada Gambar 17.5.|b. Jika kebalikan semua Eaya-gaya lintang transversal yanr bekerja di semua ujung-ujung anggota tersebut dikumpulkan di titik-titik hubung yan; bersangkutan, himpunan gaya-luar yang bekerja pada titik-titik hubung dapatlah diper. oleh karena setiap pasang gaya lintang yang bekerja ada titik-titik hubung setara secar3 statis dengan jumlah semua momen ujung yang bekerja pada ujung-ujung anggota, dar karena jumlah semua momen ujung yang bekerja pada semua anggota ialah nol, mali.i resultan himpunan gaya titik-hubung yang menggantikan Eaya-gaya lintang tersebu: haruslah nol. Karenanya, tidak akan terdapat penyelarasan reaksi-reaksi eksternal pac: rangka-batang yang memiliki titik-titik hubung kaku. Dalam hal ini, titik-titik hubung rangka-batang yang bersangkutan dianggap lagi sebagai pasak. Gaya-gaya aksial di dalam anggota akibat himpunan gaya titik-hubung yans timbul dari gaya-gaya geser transversal dari momen-momen lentur sekunder dinamalargaya aksial ketiga. Hal yang selalu terjadi ialah, jika perpindahan-perpindahan primer r:. tik-hubung disebabkan oleh gaya-gaya luar yang bekerja hanya di titik-titik hubung, gaya gaya aksial ketiga terdapat tapi bernilai sangat kecil apabila dibandingkan dengan gaya. gaya aksial primernya. Hal ini menunjukkan bahwa proses iterasi boleh dihentikan apa. bila momen-momen lentur sekundernya telah diperoleh. Di dalam contoh berikut, gaya. gaya aksial ketiganya dihitung untuk menunjukkan nilai-nilai mereka yang hampir tak. berarti.
\:t
t /\ (a) Bekerja pada
anggota
.
(D) Bekerja pada titik-hubung rangka batang.
Gambar 17.5,1 Gaya-lintang tranwersal akibat momen lentur sekunder
Contoh 17.5.1 Hitunglah gaya-gaya aksial ketiga dari momen-momen lentur sekunder yang telah diperoleh di dalam Contoh 17.4.1. PENYELESAIAN (a) Gaya lintang transveisal. Momen-momen lentur sekunder yang positif jika bekerja searah jarum jam di ujung anggota diambil dari tabel distribusi-momen di dalam Contoh 17.4.1 d,an ditunjukkan pada Gb. 17 .5.2a. Gayagaya lintang transversal sebagaimana mereka bekerja pada titik-titik hubung ditunjukkan pada Gambar 17.5.2b, dengan meninjau diagram benda-bebas setiap anggota'
gLT
'I'S'rI N{ e-0I
qoruoJ urupp rp 8uu1uq-e18uer:1nlun eSPa{ IBrs)P sfBC Z'9'l,I Dqursg
urqep e8rlerl 1u1s{e Ed?8 uep
600t
88n-
ue1e,rp1a
9ZZ
Irt t7 Ltl-
Sunqng)flll} B{EC (r) gLt
9II+
L6E
t7
ss tn
tzn+
9€r+
.n 0s€
LZg
tn
+l6t
86r
r
'Sunqnl{-{P!l ePed zfralaq Suzd
N{ €4I
urulep l"sralsu?rg 3uz1t41 e,(eg
({)
LZ
Z0S
eL9
.1'g'11 qoruoc lreP
urc.NI tust?p repunles rntuel uauoyq (a)
glz+'7
j7
,I
fl+
7 .92
+
il"
7 ODI
-
o7
N J
+
{
N
tn
sz+
l+ osz+ ls zn tST.-
,n
O>Ivx CNoaOH-XI,ttJ NvcNsC oNVJvA-VXCNVII
Wv'M IC UScNnXSS Nelloi
L76
ANALISIS STRUKTUR LANJUTA\ Gaya-gaya yang ditunjukkan pada Gb. 17 .5.2b, apabila ditransformasikan menja*, gaya-Eaya horisontal dan vertikal, ditunjukkan pada Gb. 17.5.2c. Sebagai penge. cekan, jumlah horisontal, vertikal, dan momen dari semua gaya titik-hubung pada
Gb.17.5.2c mestilah nol; jadi f, F,
:0:
!R=o: X
MhinggaL6:0:
+904-904=0 +2834 -2834 = 0
+16,302
-
16,302:0
(b) Gaya aksial ketiga. Dengan metode hubungan, gaya-gayz aksial (gaya-gaya aksial ketiga) akibat himpunan gaya titik-hubung eksternal pada Gb. 17.5.2c dthitung, dengan jawabannya dituliskan pada anggota-anggota yang bersangkutarpada Gb. 17.5.2c.
I 7.6 Pembandingan Metode
Rangka-batang Pratt sederhana berbentangan-empat dengan titik-titik hubung kaku telah dialanisis untuk tiga beban vertikal yang taksama yang bekerja pada tiga titik-hubung talibusur-bawah. Pertama-tama, rangka-batang yang memiliki titik-hubung kaku tersebu: diperlakukan sebagai struktur paduan, yakni, kerangka kaku dengan deformasi aksid Metode matriks-perpindahan digunakan dan hasil-hasilnya diperoleh melalui suatu program komputer karena terdapat 21 persamaan simultan yang terlibat. Selanjutnya, metcde iterasi digunakan dengan pertama-tama mengabaikan kekakuan titik-titik hubungrl'r tapi memperhitungkan hanya deformasi aksialnya, kemudian dengan mengabaikan deformasi kekakuan titik-titik hubungnya, dan akhirnya dengan mengabaikan kembali kekakuan titik-titik hubungnya. Dapatlah ditunjukkan bahwa metode iterasi memberikar. hasil-hasit yang hampir sama seperti metode perpindahan dalam penganalisisan strukturpaduan. Hal ini demikian karena aksiprimernya adalah aksirangka'batang, dan momenmomen lentur akibat deformasi di dalam aksi primer tersebut bersifat selamder. Apabil.i sistem bebannya melibatkan gaya-Eaya selain gaya-gaya linier yang bekerja pada titiktitik hubung, maka aksi primernya bukanlah lagi aksi rangka-batang dan metode iteras:nya tidak bisa konvergen. Untuk contoh sekarang ini, hasil-hasil yang diperoleh dengar kedua metode tersebut hampir serupa; sebenarnya perbedaan bisa timbul akibat kenyataan bahwa metode iterasi menggunakan angka-desimal yang lebih sedikit ketimbang metode perpindahan komputer. Mesti Anda perhatikan bahwa metode iterasi dapat jug: disusun ke suatu program komputer.
. Bandingkan jumlah gaya aksial primer dan ketiga di dalam setia; di dalam Contoh 17.5.1 dengan gaya aksial dari metodt rangka-rangka anggota perpindahan di dalam Contoh' 17.4.1.
Contoh
17 .6.1
PENYELESAIAN Pembandingan tersebut digelarkan pada Tabel 17.4.2.
17.7 Latihan
17.1 Dengan menggunakan U2L2 sebagai anggota acuan, hitunglah momen lentur se. kunder di dalam semua anggota rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku di dalan Contoh
11
.4.1.
L'Lt
Eafli4tt
g'Ll ueq\e1
l.t.t I rEqurBg
J r
zurr/N>l 000'02 = rnr
.?
o6t
I
,ur3ots=1 !-wtgg:V
NI
OOT
'g u?p tr rp lor-wndurnl r{Bnq Bnp uep J Ip lBluosrror{ rs{Bor wSuop [or-uBndunj r{Bnqos r{rlrlueu Euef ereles rnl>lruls nlBns qBlsrslleuB .rnr.IB]aTp{ef Eue,( u.{u1e(ueq rs -{nper {nlun 'furs{B rsururoJap ueEuap oJel rl8uere4 reEzgas f L.LI ;r"qrteg eped n>1uv Sunqnq {I}l}-{pp uu8uep 8ue1eq-u18uer '.1npns-u?rpqn epoteu ue8uap ,q?NrsrIBuV S.t I !'usncu elo?Eue p8eqes rpoT uy4eun? $e7'g'y1 uu{IlB'I qBluu>lr?solos ,'/l 'qe8ual p>llue 8uu1eq {n}un ,tuc 009 uup 'Sutdurus 1elt1rat 3ue1ec -Eueleq >lnlun 'ureluu puo8erp-puo8erp 1n1un euc 00ZI '3un[n leuo8erpluuoi 969 rtuc -Brp >[nlun ruc 008I 'su].8-rnsnqllE] >ln]un ruc 009i 009€'qE/hBq-rnsnqll4 {nlun ruc {ruun 'n4u4 e.(u3unqru{-{llli ?ntuos SuureIes BrAq?q llenl :ue>1uun3'u,(uelsrern ueruoru
-0>l I'8't rBqtuEC eped ue>lleqqradrp 3ue,( Eueleq-e18uur e1o38ue Enr.ues urelep rp rep -un{es rnluel uo(uoru rplSun1rq 'uencu zloE8ue reSeqas zTcp ue4eunSSuau ue8uag g.41
't'n'Lt qoluo] urepp
1p n1e>J
Sunqnq
{np-{ltp
uu8uap 3ue1eq-e13uur ulo88uz Bntuas urui?p lp lepurulas
rntual uor.uou qqEunlq 'uence elo88ue ru8eqes
t2o7
66'85gr rd*se + e€'t + (fr+
ueqeun88ueru ue8uog g'11
ro 1*
8t'0-
Zso6Lt+ Zf6tt+ ,55f
t-1tn S[+ .Tzn 0 0BI+ t.Itn EtC95.. t'II n En'l t'zlt+ 9?Z+ zltll tfi1 osfFts't { tts+ g'Ltt+ e'Iu'l 0&+ t1t-l 0ttr+ tfil rntfi ,w: sot-: tntn
5t'I + I6U+
I9E*
6S'I9t*
&'ell + t0:elr + t0'r{H+'; s$vzz+ 7'{:$9r- . let'6!f10 tf,r"r '{o'Lt{+ ?t'L€f+: 9t'Ltt+ ll'&ffi+ ,tl'olr+ It'dsE+ l4las*+
*f}0f-
r?u* 16'0r-
,f0+
.
6t'ost'oeI'0+
sz'0-
.8r:,w-
zt'$+
etpe;
q?Iulnf
,t'0+
&f?ry*''',' '':ggti&-
:!
,ll ,ii rl $l'
fi: .i1
uzgepwdrad epoley\l
reu4rd
eloElluy'
$
,lti, ]lll
F?retl epolsl I
'l'9'Ll qoluoJ 'prqu eduE-efet LLI
'*, rI lIi n6
ueEurpuequrad
Z.t'lt
laqsl
nxvx oNnSAH-)II.LII NvgNsq cNvrvs-vrcNvu r rvlvG rq usoNnxss Ngylof,
L78
ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN
"n
rf
E
b
8
\,*
il
%
\%"
F
\!/
\ lt
A =30 cm2;
/=
A = 3O cmz: /
480 cma
,E
= 480 cma
= 20.000 kN/cm'?
Gambr 17.7.2 Latif,ar. 17.8 hingga 17.10 masing-masing dengan reaksi vertikal. Ketiga perpindahan yang takdiketahui adalah per-
pindahan vertikal hubung
diA
C
dan nilai-nilai mutlak perpindahan horisontal dan rotasi titik-
atau B.
17.6 Dengan menggunakan tiga derajat-kebebasan rotasional dan tiga derajat-kebebasan secara numerik matriks lAl, [81, [^S], {P}, [SBJ, dan [,4S8] dalam penganalisisan struktur di dalam t^atihan 17.5 dengan metode matriks-perpindahan. Gunakan jawaban-jawaban pada Latihan l7.5,ujilahbenar-tidaknya persamaan{P} = [r{Sf ] {X} dan {F*} = {Fo} + {sB} {x};
linier, tentukan
17.7 Analisislah rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku di dalam Latihan
17.5
dan 17.6 dengan metode iterasi.
lAl,
17.8 Siapkan secara numerik matriks-matriks masukan [B] , [SJ, dan {P} untuk penganalisisan rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku pada Gambar 17.7.2.
17.9 Tunjukkan data anggota yang diperlukan sebagai masukan untuk penganalisisan struktur pada Gambar 17.7 .2 dengan progam komputer, yang di dalamnya, matriks kekakuan globalnya dibuat dengan metode kekakuan langsung.
l7.10Analisislah rangka-batang dengan titik-titik hubung kaku di dalam latihan 17.8 dan 17.9 dengan metode iterasi.
'uup{epraq le8ues EuB,( w}nfBr-ue}nfuJ Intueqroq 8ue,{ ueunEusq ntens purpnlfuol qere urepp rntsrel Euelas-Buelas epud ueleun8tp usrq efeq uu8unlEual-ue8un18ual '{Bq}d ul?l rq 'uofunlrqradtir nlrad purpnlSuol qeru tuel?p uunlps-r?qol DIIIueu Eue,( lnqasral uu8uru18ue1 rrup p4dr1 uerEeq e,(uuq'91'1'gI reqr.ueC eped uel4nfunlp euzunuSeqes 'u?r{ruep Euez{ uuEun4Eual uesrsrpuetued urupq '1rdef:e1-uendrunl Bnp I{Iptueru deSSuelp qoloq urpuos ntr uz8unlSuel eSSurqes I?srelsuuJl ue8ueluaq Sunfn -8unfn 1p 1un>1 8ue,( uelufid-ue1uftd eped ue{ueuelrp ledep 'ueun8ueq leurpnl8uol qErE uepp de1al Isueunp r)flrtueru Euuf 'Euelnlreq uoleq dele uu8un4Suel 'efrs e,(uEunqnq {l1l}-{1111 Ip ufuelueln uuEunlEuel enpe{ rrBp derles lucund e1 ue4lqelp lnqosre: uuluqure[ lupula8 uprd u?gag-ueqeg 'rI'I'8 I r?qu?C epu d uelluqlpedrp p4dr1 lrdafra: -uu8uh16ua1 uulegura[ n1un5 'dnpq uep ll?ur u?qoq qelo uu{ttqDlerp Eue,{ dypuqra: ;r1qer ueln4Suesreq Suef ue8unlSuel tu?pp rp ruseq dnlnc Eue,( uzpp e,,(r8-e,{e8 ue--ue8unqtuaca{ lBqDIe zpe 8ue,( uernluelar -lnqurueu
e,{ueserq 'ue8un18ua1 uep sele
a>1
euelp{'uendurnl ueunrnued-ueunJnued'uuln18uesreq 8uu,,( rn14nr1s dnpq
Bs?lij
srueles pcel leEues Suer( uendunl ueunrnued qtpueq8ueur 3ue,( tsenlts uelep 'urepp 3ue,{ qequel rEueraqe.,(ueu Euef ue8ueluaq 3unfn-Eunln tp sepec IsBru]oJ eped ndtuntrr ludup ?ue.t uelequal {nlun Ue>IIBBJU?Iup rleJol ue8unlSuel 'rs1nrlsuo1 ru?leq
'?rsnuuru e43uera1 u?{r{E. nelu '3ueqra1 lerrresad '[qou 'urseu uer8eq-trerSeq upud e,un1 {nlueqJeq elo38ue-etc! -3ur doJecuaur tue,{ uelrlerad srsIIBuB uepp eun8raq BLUBs ?r?cos uEIIBJnrp ut>p 8ur; epotreu Buere>l 1ns tp ueltun8p lnqosrol wntun EIUBN'Irlpues EAJn>l Inluoqreq eloE8ui :eseq uerEeqes {nlun runun qrqel 3ue.( eureu ue4ednraru uo8untlSual eueu rplSuere; qeq Jnpnf 4ntun qtlrdtp qqat Dttnq lruuaqtaq otoSSuo unrun etueu undr1sal1
'lul
untun uBrBqurBg I'El
vauox xoJ,Nuflugfl YIOSCNY NY9NS(I
nxvx Yx9NYusx SYTgfl NYdYTSO svg
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
180
(a) J embatan lengkungan-terjepit
(D) Lengkungan atap beton-bertulang
(c) Lengkungan atap baja yang memikul rangkaian beban
(d) Jembatan lengkungan-kontinu pada pilar elastis.
(e) Kerangka bangunan berbentangan-dua Gambar
18.1.1
Lengkungan tipikal untuk jembatan dan atap,
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
182
bertulang dengan garis-bentuk beton dan juga penulangannya merupakan variabel. Maka, terlepas dari sebagian besar kasus biasa, dalam kasus pbnampang tegak tetap pada suatu sumbu lengkungan lingkaran atau parabola, rumus-rumus bentuk-tertutup untuk reaksireaksinya tidak dapat diperoleh. Prosedur-prosedur yang4kan diuraikan di dalam bab ini dapat diterapkan apabila bentuk sumbu lengkungan maupun variasi momen inersianya telah terdefinisi secara numerik dari titik ke titik. Jika metode perpindahan digunakan, anggota berbentuk kurva pada Gambar l8.2.la digantikan oleh kerangka-kerangka kaku dengan bagian-bagiannya yang lurus yang pojok-pojoknya terletak pada sumbu lengkungan yang sesungguhnya. Karena setiap bagian dianggap memiliki penampang tegak yang tetap, maka semakin banyak bagian yang digunakan, akan semakin seksama pulalah hasil-hasilnya. Kerangka-kerangka kaku yang dihasilkan, sebagaimana terlihat pada Gambar 18.2.1b, dapat dianalisis dengan metode Bab 12 dengan mengabaikan deformasi aksial, atau dengan metode Bab 16 dengan memperhitungkan deformasi aksial. Metode Bab 12 tidak dikehendaki karena kesulitannya dalam memperoleh matriks [,4] dan [.8] untuk kerangka kaku yang takberbentuk empat persegi panjang tapi dengan derajat-kebebasan bergoyang ke samping yang besar. Metode Bab l6 cocok untuk kasus-kasus di mana suatu program komputer yang menggunakan metode kekakuanJangsung tersedia, karena data masukannya akan dapat secara mudah disiapkan, sebagaimana dilukiskan di dalam Contoh 17 .3.2 atau Ta-
bel 17.3.3 sehubungan dengan momen-momen sekunder pada rangka-batang yang memi-
liki titik-titik hubung kaku. Apabila pendekatan pertama digunakan, hanya nilai-nilai nisbi molnen inersia untuk bagian-bagian lurus tersebut diperlukan; tetapi jika deformasi
Pos
Pot
+
o91,,,
J
2r* ,r,ot
(a) Anggota berbcntuk kurva
(D) Pcndekatan dengaa kerangka kaku yang memiliki bagian-bagiar lurus.
w
4
li*-r. /' \,#,, t\
-*y \,#,, ,,/ I --#'\-
/
il,,
* (c) Pendekatan dengan 'tiilang-titik" pada penampang kolom analogi.
Gmbu
lE2.l
Gaya kondisi'terjepit utrtuk anggota bqbentuk kurva.
eped
hluep
7
'^,V:{nlun
'lldaftet u?Eunl8ue.I rsqu?C
upwl uutluefrad
I't'8I
.1rdefra1 u?Sun)IEuoI uesrsllBu8Euad urepp uul8ueue,tueu Surpd Ew,( apoleu -epolor.u ueludrueru ,sr1se1e-1esnd epolau 'e,(urserrea uup 'uro1o>1-€ol?ue opolery 'eEtl-1ef
-?ropreq ntruol{?} srlBls lsJrsteq ue1ru18uusreq Suef lrdalral ueEunlEual '?tposlal B{I13}s sBqaq u??tuesred ?EIl e,(uuq (,(poq ear;) suqeq-epueq nluns re8eqas elEueral qruqes nefuruaul ueEuep'euerey'Inqu1e{Ip e{u}tdefrel-uendurnl unpe4 eped ts4ear ureueel zltf g>lrlels un>lnq-un{nq InlBIoIu uB)lnluotlp t{Epntu Br?cos l?d?p }lde[re] w8urul8uol nl?ns Eusdueued Euereqtues rp uoruou uup 'Eue1ul1-u,(e3 '>psep-e,{e8 e,nquq qeple,(ura1 '8uu1npeq uoloq uep nleq ueuntwq ue8u?cuured uped eserq 3ue,( 1uq 'tur snsnq>1 Istnlls BpBd Jlflsod du8iluetp qe1a1 (ueualal nule) lesap-e,{e8 e,nqeq ue{l}Btlrod 'Jl}lsod q?l?pe I'€'8 I reqtueC uped ue44n[un1p ewurreEeqase,(uqure-qere'wwp '/ 11 {n}unBpuulr?ueEua61 '1uEa1 Euedueuedepud utra>1->11I1 depuqral plol ueuIotu qpl?p? J,lI uotuow 'Euedtueuad uetuap re[efas u[ra1
g
-aq Euu,{ e1o1 u,te8 q?IBp? 1Bueryr1-e1le5 'e.{ulereq-11}11 Ip tuedueuad dupuqrel snrnl -ry6a1 e[ra>1eq Emr( p1o1 e,{e8 qBl?pu 'ue8uorop {nluog urepp e,{uuselq 'lrr {ssep-Breo
.up{lgd?prp
qqel lnqoslel
ugfluplEuol-nq1llns depeqral srun14e8a1 Euzr( EueduIguod
tuerequres rp uotuotu IIBp'EueluU-e,(eE'4esep-e^{uE egqzdu delEuel sJeces sIsIlBIIBJol tplal ,Idafrol ueSunlEuel nBlB ,lrdeFol-u?ndunl enp ueEuep B^Iru{ {nluoqraq ulottue n1rn5 lgdafra1 wEun>;6uar1 qslIBuV
t'8I
'l?r$lu rseluJoJap qnretuad'qnretued uu1 -requ8uour 3uu,{ uep u?qlqelo)ru?qrqole{ qeloredureur >1n1un u?s?IBlosa{ tslpuo{-tslpuo{ ueluuntlluaur tue,( er(eE epole1lI rIBIsp? r4BI :lB1 tuolo)t-FoFlIs epolou B,ll\qBq Fq u?)[nluoilp snre11 'e,{u1n{gaq'lBsed urEpp Ip 1n[ue1 q1qa1 uqsuloflp uop efulcquar rnpasord .)l.Z.gl reqrrrEC eped uu4lnfunltp euuunetBqos Trr/SV uztuep eulBs tuel '(.{r}r1 Eueprq.. n}?ns qolo {DIB^\Ip ledep lnqesrel rtopue urolo{ uurEuq rrep qrsEuuqurm r{nJnles 'e,(ueueru;1 'Iflpuos e,(ulureq-suet depeqral lnqasle} srru8 tuuptq BIsIeur ueurcul uB)plnsBruelu uBlpnua>l uep fiIlI J?qeles uep SV 8uefuedas suut tuzprq nlsns wT?Imt -tuaur 'er(urEoPIIB luolo>l Euedrueued uerequreflEuad urepp 'nped qeppprl ufuledurzt 'e[ur1e[ueq w,(erunl Eued lepuad uer8eq-uepeq DIT[.nxour lnqesrel n1e1 opueral
eue;g)
.qfz-gl
rBqurBC eped uulleqSradrp tuu.( ttdafral-uendunl snp g4tgureur
twa
qeg
urBIEp IP ru121 opueral sIsIIBrrB rteq 4ledtuls IBEuBS Erecas u{qr;p ue>plpa,{ueu S I 'Inlual ueurcu ue4frsrp Ern,( uro1o1-l8opue apolelu 'ueruoped ue4ednraur tued Iut DIIf q.1o urrllrqrXegp efuqnrnles xdureq lnqasJel IsBIluoJeP qEIuIEIB EIBces suercI '1tde[-rat uunu[quad'u1nd 611 Flpub)t ehefl-etlel lqnrutuaduraur edereqas {?pn pI$lE ISEIuJoJap .plnu4p uesrsrpueEuad urnleqas Eunllpp lle1lqepnluetu erecas ludup tuef utsraul uetuoul
rqsru l?lru-rBgu e,(uuq efuesurq 'ueurusapuad slpprd ISBn]Is_ BnIUoS tu?Pp Io 'e.{uuulnseur ?}ep uEIBp Ip ledBPrel srusq UrrIR 'Ilr u?p vg Bfilue ludal Euu.( {ueunu ueEunqnq e,(u4upqas nule 'ue>lnpedtp er(uursraut uotuoto uaruoru undneu 1eEa1-Suedureuad senl IBIlnu plu'IBF-u 'uultunllqredtp efqup1r
ttr
v^unv vn,LNssusa vro5gNv
NVSNS(I nXVX V>ICNVliltI
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
184
Sebagaimana halnya dengan struktur statis taktentu yang mana pun, karakteristik
lengkungan terjepit haruslah didapatkan secara lengkap sebelum ia dapat dianalisis. Jadi, sebelum suatu lengkungan dapat dianalisis, suatu model haruslah diandaikan. Dari hasil' hasil penganalisisan berikutnya, model yang diandaikan tersebut dapat diselaraskdn, dan, jika ferlu, dianalisis kembali. Proses ini mesti diulangi hingga model yang dipakai terakhir dapat menahan gaya-gesek, gayalintang, dan momen di semua penampang sebagai' mana yang diperoleh dalam penganalisisan terakhir.
Sementara suatu lengkungan terjepit bisa digunakan untuk ataP atau jembatan. penganalisisannya dapat dilakukan sebaik-baiknya dengan membuat garis pengaruh jarak untut< reat<si-reaksi dan untuk momen-momen di penampang'penampang dalam maksimum kombinasi pengaruh untuk tertentu yang sama. Biasanya posisi beban hidup
sembarang Penirmpang ditempatkan sedemikian rupa sehingga memenuhi kriterium untuk momen maksimum, dan gaya-lintang serta gaya-desaknya kemudian didapatkan untuk posisi pembebanan ini. Di dalam bab ini, pembahasannya dibatasi pada penentuan garis pengarut untuk reaksi-reaksi dan momen'momen pada lengkungan tSliepit apabila karakteristiknya diketahui. Dalam kenyataannya, untuk tujuan ini, hanya bentuk sumbu
di
lengkungan dan nilai-nilai nisbi momen inersia di pelbagai penampang di sepanjang ,u*bu lengkungan diperlukan. Kemudian pengaruh suhu, penyusutan, pemendekan rusuk, dar lerakan fondasi akan dibahas. Dalam kasus yang belakangan, nilai-nila: mutlak momen inersianya diperlukan.
18.4 Metode hrsat-Elastis versus Metode Analogi'Kolom Sebagaimana telah dibahas
Pasal 18.2, biasanya bentuk sumbu lengkungan darsepanjang sumbu lengkungan tidak mengikuti persamear
di dalam
variasi momen inersia di matematis yang mana pun. Dengan demikian anggota berbentuk kurva tersebut harur dianggap terdiri dari bagian-bagian lurus yang terhingga banyaknya, masing'masin5
memiliki momen inersia yang tetaP. Semakin banyak pembagian yang dilakukan padr lengkungan, akan semakin saksama pulalah hasil-hasilnya; biasanya delapan hinggt sepuluh bagian cukup untuk lengkungan dengan kecembungan sedang. Bagian'baeb: tersebut mesti memiliki panjang yang kira-kira sarn4 di sepanjang sumbu lengkungar' meskipun di dalam contoh-contoh nunierik bagian-bagiannya dibuat memiliki proyeksproyeksi horisontal yang sama. Hal ini dilakukan sekedar untuk tujuan ilustrasi suPa)r pembaca dapat secara mudah melakukan pengecekan pada segi'segi hitungan decontoh-contoh. Dalam kaitan ini, kerangka berbentuk segiempat dgngan dua tumpua-cterjepit dapat dipandang sebagai suatu "lengkungan yang disederhanakan" dengan hanlr tiga anggota terhingga; dan kerangka berkepala segitiga berbentangan'tunggal, denF
l: empat anggota terhingga. Maka metode anaiogi-kolom yang disajikan di dalam Bab dapat diterapkan juga pada analisis lengkungan terjepit' Kadang-kadang dikatakan bahwa terdapat dua metode penganalisisan lengkungn terjepit: yakni, metode pusat-elastis dan metode analogikolom. Dalam kenyataar kedua metode tersebut serupa dalam setiap rincian hitungannya dan hanya berbe'or sedikit pada langkah terakhir ketika momen di sembarang penampang diperoleh' 1 dalam metode pusat-elastis, gaya-gaya kelebihan I1o, Ho, dan I! sebagaimana ditunru kan pada Gambar L8.4.lo didapatkan dahulu, dan momen rY di sembarang penamPaf, dite;tukan sebagai momen lentur pada struktur kantilever ABCDEFGO yang terte'D'r di .,{ dan bebas di pusat elastis
O;
M
:
atau
M,+ Mo+
Hoy
- Vd
(rt.4 I
i. .
i
i1
'ruoIoI-IEoPuu epoleu snsre^ spselo-lBsnd I'lIolol-rSolBuu epoler\l (g)
lN-'w:w
-vH ri 'tl
epolew I't'8I llqoq,
spsPla-}?snd apolew
(r)
Pr1- {99+o1rg+'W=W
'u[qe18ued-4t1t1 tuEeqa srlsule-l?snd Bp?dal noe8ue1ll u?8uep {Illl-Eueplq }Blrlproo{'}?ulproo{ =
#mK:^n
NfuK:,T\I
(,t 'x) : usSuaF
tg
sv-nr S = d
ffi<:t .ftK=*r ffi<=, #K:o 'srr1arurs1e1
uu8uopual undneu syleu4s ue8urultual
{nlun
:IuI r{B,treq tp €uqntp SI qeg urepp Ip uu1uun31p uep u?{uunlp .q?lel Eue( snunr-snurnr 'uequpnuo{ Itueq 'eures>1as letrm Br?ces u?In>lBpp npad Eue.,( lnqasrel uetu4 ue8unlqrad qeruerEord wrIBIBse{ {Br -slalll {n}un ue4uunttp tue,t qoluoc IBos urBIEp rp e,(ueq ileuSueurreq q?H?pI} delSuer uetunllqrad 'unsnslp uzle ralnduol urerEord nluns epqude 'qerurzlu erecag '1golol
-6opue opoleu uelep Ip tW-"[ = y'f uB?tuBSrad uup Ipque{ Eunlrqlp 't. uep Z I{u>IEU?I epzd qelored1p qelai Eue[ ueuel usp Iryl uendtunltp 8uu{ uEnf uup 'S qqEuel uped qaloredrp qu1a1 Suef rntual ueruo1ll IslIu-IBIIu (S) uup iseqeq-epuaq nlens rcEeqas uutunl -Eua1 uuuel ue6uq undnele rrq uu$eq nefurueur uuSuap tun11q1p ueturupual nquns {lln-Tlll Ip DlspuaqeTp Euut( rn}uel uatuotu plu-IBIIU (g) isuqaq-upuaq n1q Eueleq uduel uuEunlEuel qrunlas nefulueur ueEuep >{uotunu BJ?3
upud q1ptua1
nlens reEeqas
-os {ecrp eduue8uequresa{ rrpBru?sred eErla>1 (7) lseqeq-epuoq nlens rcEeqas tnpues u,(u 8ue1eq nehnuaur uuEuep Eunlrqrp ueuel-uundurq Ip B)Far I?Eu-IBIIU (g) :(Ipoq ear3) seqaq-upueq n1?ns rcEeqes Dl'V'81 ruqIrEC re^e[]u3{-rnUru1s qunles nufqnt
-n1q
-eur ue8uep Eunlqlp u11-uendurnl Ip r5:per IBIIU'IBI-ru (7) isqsela'1esnd epoleu qalo oA urp : uetuap 'oy IBIIu'EIru u?{Brpesry Eue,( snunr.snunr ue8uap tunlqp uu8uz1 uuEunllqred urBl?p us{Bun8lp >p1un u?Tu8r8srp uerndurec rnpesord nlens
to,
([)
'popue tuolo{
urBIBp Ip
s;,g : ueEuap uz1a1-ue8ue6el q?lBpB ly4J uep z{uurnlaqas Isluuepral euuu4e8eqas I{BIBpB
lN -tN:
(z't'st)
N ueeuresrad trep Euns8uul
tH
Brecos uu>lnluatlp Euedureued Eurrequres p ,t/ ueruotu iotl ,np 'IN ueqlqols{ e(f,-efte| ueeunElluod undneu m1u1 Eueleq u,(uepe ue:llnqoslp 1ep4 'tuo1o1-poluue opolour nrBlep Io .efqopuud-11111 reEeqes qlsqa lusnd upudal ncE8ueru uuEuap nquns eped efre1aq p1 le&:nl T]Il leulpJootl?ulproo{ ltBIBp? euas s7g : ueBuap uep (yne8au efuesutq) zfre1aq tue,( ueqoq l?qlip rnlual uoruolu qsl?pE
/
'uuEuru18ue1
r
v^uox
98r
>In.LNssusa v,LoccNv NvcNsc
nrvx Yx9Nvugx
186
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Untuk lengkungan simetris,
,o = -'A ruo: -* vr: *+ M : M, + Mo + Hoy - VA (metode pusat-elastis) atau
M: M,-
Mi
(metode analogi-kolom)
dengan:
*,=*,.Y.ry Untuk lengkungan taksimetris,
(?) M',: M,-* (?) r;:r,(,-t) r;=r,(,-t) Mo: H.:-Y u.:*Y
M',r= M,
-", P
A
M: M:
atau
M, + Mo + Hol - V6x (Metode pusatclastis) M, - Mi (metode analogi-kolom)
dengan:
*,=*,.+.ry 18.5 Garis Pengaruh untuk Lengkungan Terjepit Simetris Garis pengaruh untuk beberapa reaksi, gaya-lintang, dan momen di dalam lengkunrrc terjepit simetris tipikal dihitung dan ditunjukkan pada Contoh 18.5.1. Dari hasil-ha-si. nya, perlu kita perhatikan bahwa, secara umum, (1) pembebanan terhadap tiga per &,r pan bentangan pada bagian kiri dan lima perdelapan bentangan pada bagian kr,o' masing-masing menyebabkan momen lentur negatif dan positif di tumpuan-kiri: i posisi pembebanan yang sama ini masing-masing menyebabkan momen lentur pcrs: dan negatif di titik seperempat bentangan;(3) pembebanan terhadap kedua bagian;ur tiga perdelapari bentangan dan seperempat bentangan pada bagian tengah masing.m..mT menyebabkan momen lentur negatif dan positif di puncak lengkungan. Dengan u:o,:u keras, ketiga kesimpulan ini dapat direka melalui penafsiran secara fisis perilaku tangn" an sebelum penganalisisan, meskipun seseorang dapat merasionalkan dan merasa belr nan terhadap hasil-hasil penganalisisannya. Maka, pengetahuan ini menjadi berguna ru* gai panutan akal-sehat untuk menentukan, misalnya, bagian mana dari atap yane:!Em dibebani oleh salju yang paling hebat pengaruhnya pada pelbagai titik pada lengk,-,rq,
Contoh 18.5.1 Untuk lengkungan tedepit parabolis simetris pada Gambar li -',& gambarkan garisgaris pengaruh untuk (1) reaksi horisontal di tumpu"t:r.{c" (2) reaksi vertikal di tumpuan-kiri, (3) gaya-lintang vertikal di puncak, (4 t =:unr di tumpuan-kiri, (5) momen di titik seperempat bentangan horisontal. jr" ihfrr momen di puncak.
'I'S'8I
rloruoC urqrp
gp sracuir.s
qdafr4 uudunfue.l
I'g8I lqung
uB6?q-u"rts8 (q)
u0l siur
t
tu
0I
utl
lu
ttl0l rus II
ur0I i tu0l s UI
us
lu, s urg
tu
Iul
0I rxs
rs
rs
lu 0I oI rus :us s
a
H
c :
-no
_Jl
c
d
A_
rl
nzfuprp tue,( ltdeFel uu8un:fu.-l (Dl
iw x,o' 'l I urp'x7'V lyedas edupopue
urolo>1 Euedurzuad 1r1srra11ere1 eped lnqai(uad reteqes Incunu :4sauo )Jg u?J?seq D^\q?q u?)fl?qrad '(rtrEA?q rp ueplnfunlp O, uqrt?q Inlun qoluoc utaunlrurod) I'g'8I Iaq?I eped uelrele8rp eueune8eqas Sunlqrp Fopue uro1o1 Suudureued 11lqrel{BJel{ 'rur uen1ua1e1 ue8uaq 'ue8unq3uel nquns ?ped {plelrel edusn-ralas vep 'O ? 'g 'V IrIl tr?lueures efusruales uep 'O, ?g 'Sv sn.tnl-srreE Euefued ru3eqas de88uerp uur8eq derlas lr?p t(SV) Suefue6'uetun13ue1 nquns epud 4e1e1ra1
8ue( zfusrueles
uep'€'Z'l
ry1r1 eped
uelledrualrp q wp :8 ettulq
|
=
t'(Idu)
ueSuap ernBs rSopue uro1o1 Sueduruuad eped 414-Sueplq derlag '1nqasre1 ua8eq-uer8eq :1n1un edusn:eles uup
/l(gy)
{n1un uoleun8rp e{usnreles uPp'€'C'l :11lll Ip ueSunltual {nsnJ 1eqel u?p ''^I lnqosrp '.? 111}11 '>lecund InlBIeu tue[ tuBdureued srsteur uaruolt ' q I ' S' 8 I r?qru?C eped edusn:alas usp ' €. 'e ' | rylll rp8eqas lelsclp 1uI luteq {!II1-ITIIJ 'e,(u4r1eru1rru ue8unllqrad wr{BpnuaI Iurep u?{rblupp u8nf tue{'er(upluosrroq rsle{ord qetuel ->11lll Ip Euequnlel uer8zq dules IrBp BIuqn88unses Suefued q"3uel-{Ilq rp lereq -ry1r1 ue4ledrueueu {req q?Igqe1 'e1nd uel{Iue( 'pluostrotl Eleces u?Im[?llp ui(uuer8equred 'ue8unlrq usnefuruad tu?lpp ?c?qtued uuqupnuel rurep rde1al 'lrpues e,(unqurns 3ueluudes rp elu8uefued eurss Suef uerSeq-uur8uq rpefueu Teq WIqIqeI 'e{uu:nleqas l?lecrp euuu4e8uqe5 ue8unlSuel {nsru r3€guretu
'qlS'gI r€qur?g eped efusnrales uep 'O) ')g 'gy ue?uep u?{sp{nJrp euerura8uq -es'srues l?luosFoq rolei(ordraq uer8eq uudqep qelo Suereques ?r?ces uerlaue8yp uu8unlSuel lnsng 'rSoJazb tuolo4 Suodwouad 4usuat4o,toy (r) NVTVSS'I1IANEd
t8r
v^lrov xnJNsaugg vJoccNV Nv9Nsq nxvy vll9riYEt
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
188
ra
€ o
o
I
6
€!, E a
(, a
A !) o t!
o0
E
.v
ao
E (,
v,
,
EI
o0
o
6 !l
E
o
o
&
o0
c A !, !)
o.
I 0 i,
xo a
u
ra
€ c,
!a li
il ::i riJ;
iilj
&
'u€ue{ qsleqes €'s'8 I r?qurBc ppsd uE{lsqllredrp tuB{ s?qeq-?pueq uPrtBIp-ul?I8elp ueryunfflueut uetuep {ectp O = W3 uep'0 = ^lZ, '0 = !r3 ueEuequrrese:1 useuesrad eBtle:1 'e.(ur1qle u?q 'g {-rll1 tp ue8unlSuel eped zfre>1eq up{e g {IlIl depeqral 0A uep ' o/ir 'or;tr rnluel ueruolu iBures Euef qere uep reseq ue8uep ueuel-uendunl eped ufta>1eq de1e1 s1se1+1esnd eped ufrs:1aq ?ued plBrea usp Ieluosuoq e&e*-eie3- 'ueue1-uendurnl a{srlwla-lesnd epad ufre>laqEuei( efefl-etet usrlBpurued qepfueq uu>1nlredp tuef lue>Jrequretrp nlrad >1epr1 lnqesral n1er1 tueleq-Sueleq Inlun qesrdrel sBgeq-epuoq urer8erpuerEerp 'unue51 'sEqeq-Bpuaq reteqes eIun1e:1-Eueleq ue>leunttueur uetuap qsloredrp ledup 'ueue1 qelaqes €'S'81 requr?C Bped seqeq-?puaq ruerterp -tuerSerp eped us{{nfun11p 3ue{ 'ueue1-uendurnl rp rs{per-Is:paX 'tunlrqlp lrlrt uendurnl rp rs{per-lsrya.r 'ru1 seqaq Bpuaq-Bpueq depuqral O = WZ uep'g = frgg '0 = 'C3 uedereued nlelan 'ur{ rleloqes €'g'8t requrBs epud uelluqqredtp Eue[ ssqeq-?pueq urer8srpure.dep rdu4tualeu {nlun ueletmEtp (g) ue6eg Irep Is?q -ltsep'uoulrl uop !4rt uondwru p lsqDil qa1otadutaut t1ruun uo?uwttpaT Q)
'O, snrq srret rleuroeg Z'g8I ruqureg w sL'€
'sBlE e{ qepr;rlrsod orl uep 'uzue4 o{ TIBIeI yglrsod og 'uref unref qere.uetuep uBuslr\Blreq nlref ;rlrsod oy4J ex4eq u?:1rlurlred 'sr1se1e-1esnd eped efre:1eq EueI teqrqela>1 e[u3-u{ut 8un11q?ueur >1n1un ue>punttp
fi* =',r fi-
=', \- ='w snIuru
'Z'g'gl Ieq?I sele uepeq epe6 'rtoluue tuolo{ Iecund eped (su1e a:J) yrleiau lesndrel ueqaq-usqeq uu>pdnraur uB{B B{oreur W{ sru '1t1r1 senl-senl qBIBp? (?tSu)lSV EuorBX '€'S'8I rBgIu?C eped uerplnfunlp BuetulB8eqes 'efuqlsep -1esnd 1p ssgeq uep f Ip lldeftet-uendurnl ue8uep re^efluq-rnltru$ u?Wdru -evJ'sN r?[u-I€[u uu:lludepueur {nlun ue>leunftp AuEd'efuresep nlue1rel sr}Bls rnl)tuls 'g uvp 'O 'J 'g traueqequrad rsrsod-1srcod {ruun '(ururac-ue8uei(eq) ei(u -uesrJleu[sa{ rrB}nlunl 1rlnuerueu '9 rp epereq u?nl?s-ueqeq E{Ilet upl-uendurnl lp Eued rlredes ?ruus uo{B , Ip Bpereg uenles-ueqaq DIr}e{ ueu?{-uendunl rp rslBer-r$leer'qoluoc teSeqes lue:p1redry {Bp!f 11 u?p 'g dr ususgequred lsrsod usneftrrued'ueq.r1eu4sa>1 euere; 'H uep 'g '.{ 'g 'O 'C 'g Islsod lrunl-lunuaq erecas lleduaueur tuBd u?nles-ueqeq IBABqos u?{nluefp w{B DPpuaqeLrp tuu,( qrue8ued sr.ret-srre8 eped 11Ut->1111 L.oA uop'oH 'oN ywun uotuntlgad (D ru
€['I + =
l8'z-tt't
= 6 {Ru u8p
wtt'e-=ffi-
(
=,r
00e'z =,(#) =,(+) = iiffiiff =+ =' ,u8e'or=;ilfix:;; u! :
(Z' g'g
r8'z- = (02)zQ)- = (0zLq)- = E:[S$ peP,(
I
r?qru?C lpr{Il)
O,
uo1aoq
qruun qouoc uoturu1qn4
v^unx xoJNgausa v.Loo9Nv Nv9Nsq nrvx vx9NvElr
68r
ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN
190
A
()
()
r r +
+
€ @
a @
+
+ il
,ra o0
o tr
€ q ,u
@
€
3
I
r
eo @
U
=
+
+
q o
a
+
+
Io
e
HIA
ax .il
t16 I
co
il
ol)
{lb'J al
N J I
€ a
r
I
1
il
ll
II
d
+
a.
@
o.
a I
tl
l<
Hld I
ll
at*
I
I
il
il
2
C
N
-+
o il
nl=lr
+l+ il
al\ + il
.3
L
rc
o
e
I
I
tr
€
N
o
+
N
N
+
+ lt
tr
2
€ o o .l
q
q) (g
o
€-
a
N
N
N
+
+
+ il
d
+
I 99 lN ^lx t16
o
I
ll
E
a
@
I
I
@
I
il
ru ru
,l(
I
F0) ru
u
.v
ll!
<
d
E6 d^
oo; ,o .:9
^oE
q€ €v
r
o
}(
I
s
€ r .i
{
tr
ra
€
I
6
r'
+
+
aiq da
d
N I
E
I
I
I
illlll
< J'a
o
&
*
=d li!
o
a.2
J'd
'6 l: t4'd
V
ox
d
6
m
€ EA
U
E
U
r{
a.
l<
+ lt
@l€
N'lr + i+ il
fl.
I
+
li
il
o
a
x
lrj
+
x
,l
-l
,.]
X
lrl
+
I
o
-T
I
o
+
I
@
! F
I
I
5
o
+
I
I
I
@
@
+
i
5
I
I
I
.o
1,
6
a
@
+
I
l! o cl p i,
r
I
-
J^ o\
@ a
tD
I
I.' p
@
s
lv
II
il
il
f.J
I
5
-l< lx
lt
ll
+
I
I
!!
+
I
>l'u
ll I
I
{
il
ll
+ o
I
-t9
$lp @16 +
-t< IX
I
ll
I
I
o
:l
I
8t": pl-
>l!
il
5
I
I
+
I
{
N
I
E
I
@
I
I
N o
-l
-el.F Nl@
{
rl+ €tr alNl'a
o p
-613 Nl.
r
o
_6
_5
s
il
:'{
o
:{
!
-l* Olu
olqt{t@l'6
t+ +
I6
{ €
5
I
+
I
g
$
p
I
p o\
F
@
{
o\
@
€
I
+
+
I
I
o
{
{
I
I
o
p
-O.
@
6
N 6
{
o\
a
v^lro>t XII,LNSSUSS VrOgoNv NvcNso Axvx V)ISNVAAT
16I
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
192
q
o-
N
ql
tu .F
()
@
6
?la
r
+
\o
€
d
+
\
N N
d
N
@
+
I
ll
>t
tr
t: N N a +
6, oo
I
tr
&
u tr ru
(t
(l
a
r{
€
>t
tll{
I oi I N
+
i N a
rr
6 € d
6 € N
+
+
+
+
+
o
c
;l-
E
€ r I
r
N
9P
€
I
I
\o-
?. I
x
o () E
lt
il
R.ls
\oIaK
rlI
Flt +lI
ll
gl{
+ il
3le Oli^ frlo
+l+
I
€ d
a.l<
N
N
I
I
$r + fl
I
I
lt
I
€
6
E
ll
d I
I
I
+
I
rN
€
o
I
xt5
a cl
+
r@ €
+
I
r€ € + ll
E tr
a
6
\o
E a a
o
a €
(,
p6,
CB
q
3 r +
o
€ N
@
+
3()
+
d
ll
a
rl-
€
o
ll
d
d
+
I
G'
1 I
d d !
N I
I
I
x EE -cs .a l')
Eod d= DOY
ei
'E \J kt OH
ar
q€-E '15
il
il
I€ d I
fi
?la ?t$. I
il
a
d
+
I
3le o li^ ;lci +l+
I
sl{ >l{ + I
ll
E
I
o
N
.Eb
o
6 H
I o
I
J bo cd A
I
I
€ $
€
r d
r
o o
r€ I
6
ror a_
+
+
I
I
N I
tr
I
o
A
J
a,l @ Odr qoi"? H60 6t-: [ilI
(.I*r
d
HE F< .o
!
d
o
EB
J.
?'6
v
G,tr
a.l< I
I
o
O ':l
VI
9l^ .il8
+
+
E
tr
\o
ll
t)
q E
od
3
+
A.
o
a d
t-'
I
to
oo
I
s
pd
v
s.
r r
v
6 6
d bo
d
!o
a
U
e
a
Q
a o i :li
ill .*ii,
*
{ I
{
o
O
s
5 !
h
I
+
I
c
t+
llr
n
Fi
x
Gl
r
+ 5 5 I +
I
I
g ll
I
-s
o I c
F
t I
o
5 5
't
+
I
I
& a
I
o
o
o
lt I
o\
ilF
h:
I
6
F I
8lJ.' pl6
>l!
{I
i
sd A
I
'ts
lY
>l!
I
P 6
o
Pl'o
I
t6
+
5
6 +
I
I
fi
ll
tl
o\
o
}J
D
5 A
I
J.
I
..15
tr
il I
-a I
o\
dl-! T
e I p o
-l+ ola qlo
-lx
t+
-l< llr
il
I
"E
I
o I
s
I
L
{ {
N
>In&NA SUSS
il
+
I
I
p
t
N
+
{
l,
v^lrox
o
{
{
p
N
I
I
5
{ +
+
+
I
,J
,t
t+
I
!
I
5
ul
slJ El-H I
.H
fi
!J
o\
sta
o
SIE ',"|t
t.J
t) o\
9
t+
olv! 'qlB +
0 +
B
ii F
{
t
-l N
86r
+
o
t
I
N 6 -a 6
I
E
E
I
I
\o
VJO9CNV NVCNSG nXVX YXCNT-IE
L94
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
0.l.tOS
6,116(/ t o,9ffi
Mc=
u,,,ucy'
, I
Mc= -0,230
0,9666
(a) Beban
0,4851 .JXA
|
+tsil()
f J',,,u
0,0334
di8
0,4857
Mi = +4,1+5
s,on(11
s,6n()t
0.1409 <+
+1,106
Mr = -o,267
0,E675
Mr = -0,633 Mc = -0,855
0,8675
'f
0-€5<-:
c''.'
0, I 325
(b) Beban di C
0,8J%
r,rre(/
,/
0,8596
+
A
,,rrn()l
t
0,7067
0,7M7
(c) Beban
Mc = +0,121
Mr = -0,M3
Mc=
-l,6ll
i\(
. o'trh
tJ,,.'
q2e33
diD
I
.i t,m(l
tru(, I 0,5000
t,02\114
rn(,
0,5000
I
0,5000
*YJ=
tJ,--
0,5000
(d) Beban di E Gambar 18.5.3 Diagram benda-bebas (free body diagram) untuk pelbagai posisi pembebanan di da.:-: Contoh 18.5.1.
(d) Perhitungan untuk momen lentur di titik seperempat kiri, puncak, *seperempat kanan. Momen-momen lentur di tiga lokasi ini dihitung deng.: menggunakan diagram-diagram benda-bebas pada Gambar 18.5.3 sebelah kanHasil-hasilnya juga ditunjukkan di situ. {e) Penerapan rumus analogi-kolom M = M, - Mi. Tanpa menggunakan n:-.:-nilai Ms, H6, dan 26, mom€n lentur di sembarang titik pada sumbu lengkung.dapat dihitung secara langsung dengan menggunakan rumus
titik
M=
M,-
Mi ",=l.Y.Y
I.r--gl qoluo) urqsp
rp srrterurs rfdoftel uutunrt8uot ryerund eped
Inun
qnre8ued
sgeg
g.g.g1 raqursC
Jerlllra Suelurt-e{e81n1un (a)
+ o
N €
urq-uendurnl eped p4lra,r Is)iper {n}un (q)
II
{
a
t4:1-uundurq eped pluosrroq IsIper
Inlun (r)
o
a
't'g'g I rsql,uec eped eueunrSeqes u?{JequeSrp uelpnua>1 I{epueqe{Ip 8ue,( qrue8ued srreS-srreg'uu?s4retued InIEeur ueuu{ q?leqes €'g'8I rBqu?C ?pBd s?qeq-?pueq"uruferp-ure.6em rI?p qeloredrp ledup I/ uep ', d. fp u?nles u?qeq-ueqeq {n}un qtus3uad I?IIU-relIu eueurreBeq ue{rl?qred ' €'s'8 I Iaq"I eped ue4unlueclp euarlrle8uqes qnre8uad loqel nlens lenq Elr{ e.,(u{reqes 'e.,(uqru -e8uad srreS-srre8 loldurau unleqes 'qruD8uad stto? uop qruotuad PqaJ (3) 'leqBl {n}ueq Iuelsp u8{8uEn}rp q?pnu ureces ludup 'ru1s tp ue1 -tunluuclp 1upr1 undrlseu 'IuI ue8unlrqtad-ueBunlrqra; 'ei(u1e13ued->1r1ttr re8eqes y epede>1 nce8ueur ue8uep i {Ill1 lgqproo{-lsuproo)t qBI?p? !t uep lr : ue8uap
'IA,u ),
o=,sv..T,ru
+
^ 'lg.'u t u=Evw+
'e{eln{ ;r uep y IIII1 eJeluu rp '(a e88urq 4'9' 9l) ueetuesrod rgedes 'elzteurzsrel ueruour-Sueprq slueroel efilel ue{derol E1rI uep 3 e3ttr.n4 I {llll Ip rnluel uaruoru-ueluoru 3un11q u1r1 qelnlred 'rqnuedral eduuesereles -e{ rslpuo{-tstpuo{ B^lq?q ururelueur {nlu11 'uosDtDlasill uotlaca?ua4 U) urruefueur runleq undplseru 'e,(uer1nu1s
uefeq
'efuueszrelesa>1 uef eq uuruselaz(ued ueledelarl ururefueur
'€'E'BI reqtup3 ueuerl uer8uq e{ ue{{nseunp q?le1 '(p) uer8eq rrep 8ue.{ ueluep rlq{eJel rnlual uatuoru-ueruol{ 'Z'9'8t Ieq?I qeaeq eu?sraq
rurs 1o 3un1r3pp 3ue,(
ue6?q ?pud ue{leqollp eueune8eqas
X vep 'g 'r,
>11lll
{nlun ue{n{?Fp ,uI
IeH
v^unx xoJ,Nsausg YfocSNv Nv9NscI nxvx YlI9Nv&l}
96I
ANALISIS STRUKTUR LAN'UTAN
196
(d) Untuk momcn pada tumPuan-kLi
(e) Untuk momen pada
(f) Untuk
titik
rcperempat bentangan
momen Pada Puncak
Gambar 18.5.4 (laniutan)
Tabel 18.5.3 Tabel pengaruh untuk lengkungan terjepit simetris di dalam Contoh 18.5.1.
Boban
di
Jarak
dariA
Ht
eruces pfre{eq Eued uenles uuqeq-uuqeq : uuueqeqursd -rqPuoI uudelep :1n1un 'oH 'oy4J t1nyun uotunqad (q) $rsTprrerp lnqa$el ryde[re1 ue8unltuel
r:ur
'otl
sr?ruolo ereces rpefta1 ue{u IEItrIsep UPI{qrueE nele 'uedulep 'qnfn1 e8tuq uql11el -a1 'efes n1ue1 'ue:pun3redrp relnduro>1 elqedy 'uulrnfuerp q?Ile8u?s uetuepq uplep Ierulsep lsdua wls eErl ueleun8iluelu uB?s?Ige:1 'tfuqntEunsas 3ue^ "nuas Erpsap uoleosred urep6'qesrdrel erecas e[re>1aq Sued u€n1es u?qsq-ueqaq l?gDI? ueln4Suesreq tuef e>lereur IBIIU-relu r{Blurnl IIBIBpP lrrq {?l usnlss-u?geq entues u?p u?llnrrrs rs{B }BqDI? uetuotu-ueuolu uDp Is{?er-Is{Ber eA\q?q ue{{nfunueur edur.uple eped 6uel( 'qeloradrp ledep ryeq tue[ uerleca8ued nlens reie uu>Jn:1epp IuI '?52rq >p1 3uu,( ugrl11elo{ leferep uped ue:p:1upp eduutEunlrqred enures 'tur qoluoc u?Iep Ip ?lr\qeg uelrleqred epue ledeq 'I'9'8I 1eqel eped ue4rele8rp e,(u -ueSunlrqred SueL '6opu? uolo{ {nslreptera1 eped lnqadued reteqes Incunu 'fe{ TU}-Ewplq Fe>{ol rp ue8unlSuel Ieqel sBlE uelressptp rlseur '7g lserdslg 3ue[ r-er1 uer8eq ersreul ueluour ItrePpB cllu ue4BuePes 'lecund rp slsraul ueuour qelepe ,7 'rapl II?{oS 'eures tue^ pluoslroq luledord sele u?{resepreq uB{mIDIrp uerSequred e,nqeq uetunllqred oy8o1 pn4tueu ledep ecequed ruSe uBqspnua{ rruep rBpa{es 't8ueln rurey 'lecund Iglp{es W .'ig q?IuB{?ls{ 'ue13eq rrep Euefued qrqey qnef 'erues ?uel( pluo$roq rs4eford uetuep gY uet6eg euers{ 1uI snse{ urepp Ip ue:1deraryp lDdBp qrqel u?{rtr?q 'ue3un13ue1 nqruns Euefusdes rp efu -tuefued eures tue/( uer8eq-uerSuq uu:1eun8lluetu 1u)1e/( lqnsp q1qe1 3ue,( uB{?pu-Il tuzluel '(r) ue6eq ur?Iep Ip uBsBqBq 'I'E'8 I qoluo3 Inlrm u?IEsalefued urPIBp IC 'ql'9'8I irq,urg eped edtsnrelos uep 'o) ')g'gy qelo uelruquretrp euuuneteq slBces uqnwtp Isluosuoq rs>lafordreq uq6Bq uedqep qelo tuzrequres uolol tuoduouad 1ltsyaPPnx (r) UV1VSS'MANAd -es .eures
uetun>1tua1 >1nsng .l3olzzv
'uuueq-uendurnl Ip uauou (t) uep 'rpcund;p ueulout (9) 'leluosrroq ue8uelueq ledurerades {IlP Ip uetuolu (9) 'I4:l-uendurnl IP ueruolu (9) '>lucund tp p{Iue^ tuelurl-ei(ut (6) 'rn1-uundurnl Ip IB{Iue^ -lsryer (Z) 'I4{ -uendurnl rp I?luoslJoq rqeer (1) >Jn1un qnretued srre*srret ueryeque8 'zI'9'8I rEquEC uped srrleurs:p1 srloqered lrde[re] ueEun4tuel {n}un I'9'8I lloluoJ
1or-uendurnl qenqas uei rpuae tnndtuq qgnqes llrytuetu tuer( resup quepel sllug Inl{uls IIsp qaloradlp tnc -asra1 s;,gregu-r?[uBIIqB& rE{qEq ruplreq eurus tuef. uesE&D 'rlEl){Iutep 8ue[ rn11mr ol uEp '? 'o1,g >1qun sruuru{nturu saIIBq wr' ue:punSuour uBSuep uB{urunllp wIFl *,(ue4 qalo ue{qeqslp !q 'sllsele-1esnd rp s?qeq uup e[uu1>1'tun[n Ip lldeft4 Eued ra'ra {luu{-JnDIruls upud ue>lderellp sruBq qrseru (rnuu1'utndurnl Ip Isryar el(u8 euaa ueluoa
rrep nsqss-ueqeq) t t/ uelsrs qrunlae eped eAeE-eAeE qBqtuerlp st1e1o'1esnd apolxj ,prd ,.,Ill--rnturu uup qqoradrp twi 01 tWp'oH'o7,g ueq1qa1o1 eleE'u1(u8 tnsnn
uelteqrad uB{nlJelreu {Bplf uolol-ttopue epoleu eped !14-s11 = ,li{ snturu uueu:i -tuad uepp undllsau'uet4luap tue{ snsel ursPp !C 'u?n}Bs-ueqeq wun[ tlBlaqas :] sy,g tr're seqaq uup uerru:I IP nguppu qaloraduaur {nlun In>I Ip +Ur tueplq-auuplq Ip -.rat tuef re^apIre{-rn}>1ru6 ue4uun88uau ledep e1t4 Jm1'trendurnl 8uequry1el u?sr} -uendurnl a)t lo1ep rnqal ufutrenles'uuqaq e4f 'e1nd UBI{1ureg 'uelle>[ Ip ueqaq trm
t4{ Ip Ude[;t tue^ re^elnue{'rnt{ruls
IrBp
s;g repu'repu
uelludup
e1r>1
qep{uzftc'"r
:*rlr1-uend.,rn1 tuuqurlta>1 pryuendrunl a{ le)top Wqal s^ulruqes'u?qaq zgqudy
'tuo1o1'rtopue ePolau tuqs: .r'
rrEp srlsele lDsnd
epoleu tll€Fp
o,,1 uep'?'o7g w4edepuau {n}un ueleunftp sr:r:
'1ou 1ir1 >1epp el(u-b1 ueEuap 'suleuqs{B} snsu{
{nlun snurnrsnultu e.'lrlpq uep 'ude
-u.q'qriurj* rtul uelnq ,uetuelueq qrunle. Inl,lotu leretraq smuq ufuuenlus'u'q{ :tr rldatrat ueSunltuel :1n1un u6nf-n{Blraq slrlou[s ilda;e Ip{ s/f.rPq [pnce{ tuu{ g?p resaq ugdr"ur
"rr1"*r1rl suet*uet tuelual ue>IBIB{Ip qu1a1 uetun:Pua1 1n1un qnruEued slJlauqstpJ.
lda[rel uEEunSu{ {nlun quBtuad slrEg qI
v^unx xor,Nssuss v&o99NV
16r
NV9NSO
nllvx vll9liYum
198
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Puncak
Titik seperempal
\ ,lro,**
#r.
Bentangan = 80 m
(a) Lengkungan terjepit yanC ditinjau
'lill'' 6
5
/l-
r
--J
E
D
8
-x
C
1
B v
A
5n 5n 5m
5
I0m
l0m
II
5m
I0m
m
5n
l0m
m
rT
m 5m
l0m
l0m
r
l0m
5
l0m
v (b) Bagian-bagian Gambox
18.5.1
Lengkungan terjepit taksimetris di dalam Contoh 18.6.1.
demi satu di B, C, D, E, F, G, atau ll dan kemudian beban-beban satuan )'a3i bekerja secara bersama-siuna di ketujuh titik tersebut. Sebagaimana diperlihatir: pada Gambar 18.6.2 sebelah kiri, untuk beban-beban satuan yang bekerja se;;:. satu demi satu di B, C, D, atau d nilainilai Mr-nya diambil dari struktur ders yang terjepit di ,4 dan bebas di r(; tapi untuk beban-beban satuan yang bekt-bersama-sama di ketujuh lokasi tersebut, struktur dasarnya memiliki tump',j.Lrsendi di-4 dan tumpuan-rol di8. Pada bagian atas dari Tabel 18.6.2 hingga 16.:.-" rumus-Iumus
*"=
-*,
H":
-Y
v"--
nY
digunakan untuk menghitung gaya-gaya kelebihan yang bekerja pada pusat-eks:r Gaya-gaya kelebihan dalam arah mereka yang sesungguhnya hi ditempatkan ;arrr diagram-diagram benda-bebas yang diperlihatkan pada Gambar 14.0.2 sebela-h iza Perhatikan secara khusus di sini himpunan Eaya-gaya yang saling mengimba.g l
>
x
it I al'!,
trt
U
EI
o t)
s .)
> t!
$
m
p
JE' d o
II
r
90
5 d\
6
{
9 U
6
X AT
{ € p I
t
ll
lt
Ia &
&
o
b
o
-J
o
It
I
Fl-
Fl-
&
$ \o }J &
&
p
6
4\
t{ s
sr
x
{ * N
5 6
6
s
Q
6 6
{
N q 6
?] p
o
r :-l
a
g
.N a
A a
\a
lo \o
6
:n-l
a 6 a
l
g"ixi
x a)
o n
n p
o o D' at
o
$
+ p
I
(
oe
n
EE
N 6
F
I
:r
{peL
+
+
I
{*
5 6 I
-J
(D
e .IJ
H
{
q
6 p
I N
_{
a s
@
{ {* { p
I
^i
{
I
t
i
t
u
il
o\ 6 s
+'
a
N
I
s
p
r) 6
6 N
U
t
lr
&
I
p
br
c t
x
l
i
I
I
p '6 6l
xa
s
(D
N
oa
0a
t
l
s
fi
IJ *r
+ 6 N
B
()
u:
5
}J
6 5 p
\p
I
I
6
{a
al
-,t
I
I
b
(:)
6 E
E
(,1
*
\o
rlr
I
NIN plN
L
lt
* 6
{
I
a
tr
I
n 'h 6
{
J
N
t!l>
(! (D
E
I
t9
\.t
*I
€
*0
{ o s
I
pI a
I
I
p
?
o o
I
s
B
l+
p E
N a
6
E
.t
6
ErlP
6i
+
+
lo o lo l5 llo\
lr l.
rlr:
i
l,'i
$.
EB
L
Elr
s.
r*
t:
.x.
lrl
i.8
:'g,
.s
t p
!C,.:,,
t!
s
bs L
tsI
F
I &
'6 &
N o a s a
& u
a
-l
I
*
I
I
{& }' ** u
a
&
.i:
B '+
s s,
s
N
H 6
I
6 a
g
9
N
I
6\
{
R
t
M.
P u
5 p.
E
*I
p
{ {& b I x
g
_*
b
,14
H
l)
t
I
I
t
N 5 a
t
a
9l€
€
\6 6 $
{p { p*
+
+
+
,:
^r
G
b
s
+
+
+
af
N € s6
{ .-t F .{
I * .{a !+ { { {
B at.
M 6
\a
o.
I
+.
*ag { {o
I
6
$ L
,a
c
v^lrox xnrNssuss
66r
YJOSCNV NV9NSO
n)Ivx vxoNvllg>l
2OO
ANALISISSTRUKTURLANJUTAN
dalam seluruh sistem Mradalah Gambar 18.6.2e hinggag, dan pencantuman reaksi vertikal di tumpuan-rol pada diagram benda$ebas Gambar 18 .6.2h.
(c) Perhiungan untuk reaksi di tumpuan kiri dan lwnan. Reaksi-reaksi di tumpuan kiri diperoleh dengan menerapkan persamaan DFx = 0,DFy = -0, dan 2M = 0 terhadap diagram-diagram benda-bebas pada Gambar 18.6.2 s"ebelah kiri. Reaksi-reaksi di tumpuan kanan dihitung dengan menggunakan penjumlahan gayagaya horisontal, gayagaya vertikal dan momen-momen terhadap titik I dari semua gaya yang bekerja pada batang kaku.di antara pusat-elastis dan titik B sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 18,6.2 sebelah kanan. Kemudian pengecekan-pengecekannya dilakukan dengan menerapkan }Fx = 0, DFv = 0, dan
a a a rt
a
a
2M = O pada seluruh lengkungan sebagai suatu benda-bebas tanpa batairg kaku. (d) Perhrtungan untuk momen lenrur di titik seperempat kiri dan puncak. Karena pernyataan soal menghendaki hanya garis pengaruh untuk momen di titik seperempat kiri, tidak seperti lengkungan simetris, momen di titik seperempat kanan tidak perlu dihitung karena dalam kenyataannya beban-beban satuan bekerja di semua lokasi dari satu ujung ke ujung lainnya. Momen-momen lentur di titik seperempat kid dan puncak dihitung dengan menggunakan diagram-diagram
I a
!
a
benda-bebas pada Gambar 18.6.2 Sebelah kanan. Juga hasil-hasilnya diperlihatkan
di situ. I
(e) Penerapan rumus arwlogi-kolom M = M t - M i. Tanpa menggunakan nila! ntlai Mo, Ho, dan Zp, momen lentur di sembarang titik pada sumbu lengkungan dapat dihitung secara langsung dengan rnenggunakan rumus
M=
a
M,-Mi M'=X+ry++ a
! tI
Ini dilakukan untuk titik-titlk A, C, F, danr( sebagaimana ditabelkan pada bagian bawah dari Tabel 18.6.2 hingga 18.6.5. Momen-momen lentur terakhir yang dihitung di sini dengan yang dari bagian (d),yang telah dimasukkan pada Gambar 18.6.2 bagian kanan, menjamin ketepatan penyelesaian bagian statikanya, meskipun belum menjamin bagian keselarasannya.
(fl
Pengecekan keselarasan. Untuk menjarnin bahwa kondisi-kondisi ke-
selarasannya terpenuhi, perlulah bahwa momen-momen lentur
di
titik I
hingga
E
dihitung dan ketiga teorema bidang-momen tersamarata [Persamaan (15.6.2, hingga
a
c)l diterapkan di antara titik
/4 dan.r(. Maka,
$Mas,_n $tw,y,as=o ^ +MriAsr 4 *EI" =u + *EI" =" + "EL dengan: x; dan !; adalah koordinat-kordinat titik i dengan mengacu
kepada I sebagai titik-pangkalnya. Perhitungan-perhitungan.ini, meskipun tidak dicanturnkan di sini, dapatlah secara mudah dituangkan dalam bentuk tabel.
(g) Pengecekan stperposisl. Pengaruh total pada lengkungan terjepit dac beban-beban yang bekerja secara satu demi satu di B, C, D, E; F, G, atau 11 harur sama seperti pengaruh dari beban-beban yang bekerja secara bersama-sama d: ketujuh lokasi tersebut. Verifikasi pengaruh ini bertindak sebagai suatu pengecelan lain terhadap ketepatan penyelesaiannya. Pembandingan-pembandingan untuh
Ha, Va, Mt,Mc, Mp, dan M6
T
I
a a
I
a el
I
e' :i
r'!
I
r!
dicantumkan pada Tabel 18.6.6. Ternyatala} bahwa karakteristik penampang kolom analogi, terutama lokasi pusat-elastis, perlu dihitung hingga enam atau tujuh desimal agar pengecekan yang teliti dan memuis
CI
kan dapat diperoleh.
-l
(h) Tabel pengaruh dan garis pengaruh. Tabel pengaruh, yang mengandung semua nilai yang diperlukan untuk memplot garis-garis pengaruh yang dikehendak'
sl
ililll +tl
{l+
I
II
I {l+ {la @lu
l
al -!la -lo ul'^
I
*lH
l-l,i Flf,: i lt I IIll + + sj: -e
f
>
+a-A
E H isx
o
'tl
lo
h.J
+
+
+
o\
-l
6
E
x
\o ! 6 -I N I
N 6
o\ D{ U O\
\-p \oo
8: r
i+
5 6 -J }J
+
{
ir. -.t 5 6
c5
)o 5 O p
{
+ 5
{-l { {
@
tJ
ittn
U ll,
o U
5
I
I
o N
@
+
|.J 6
+
{ {o\ -t 5
-J
o
@
E
o
I
-o hJ
6
CE
w p
m
s
dlg o t;: ts le. + l--
N
I
hJ N) o
t
x
F'
E]
,l o
,r
I
x
|.J 6
o D
tr m
I
-5
-.t
o
-t @ N
t-.)
6
N -l 5 6
I
P 6
N O
x
p e !.J I
o o
6
tJ
&
o\ @ o\
d,
3 p o
trll>
otl
E-t tsr Fot i't F
o.. A: B: -t Ets
I=
o= Yt o, 6:
9i 7 t a a
I
I
!
\t
€
-_l
O 5
5
t> F,lF \l> lq
t
{
+
+
l..J
F €
{
s{
-.1
-l 5 N
N
F
o\
o\
+
+
t?,
*l> r?, I T(
I l
o d tt il
i E
o b
t
t f
rnlq< *l>
t
o\
o\
I
,1.
I
q
F
G I
I
t
I
j,N
t,
I
-,1 \o
@
N €
o,IF \l>
B
o d
€g
+
p{ o6 --t L
\ie \oo
+
p
o
F
s{
.-:
6
B
6\6 Ilt
g
F
o\ O\
o
lt
ul
J'
P -t 5 o
H=
I
Ill
++ -lu {u tsJ
tl :lR :lR >lr ++ ililt
al+
-l{ qlu .*t8 alk
d|g SI-= HIB sto 5tc) ll Iti + +lo ,9 -o ie
tsG ss
A\6 illl ++ p\o 6 6 'o\ OO oo
[[ ++ tsJ6 q _\O {o
ooo [illl +ll
:lR :13 >lr illl + al+ O\l5lo
'il"d rls ilil+ +t ao:^
i?-i 60
F
p
-
D
+
\o 1..)
l<
lnlir
-l>
r
o
,
o\ a
+
+
++
o
&u -t! N\T qu
to?
\o @
-:
L
.8 N
E
+ 5
F €
t
l=
a
f
EIQ -l>
E
v^?rnx roeNsausa vroccNv Nv9NEq oxvx YxcNvugx
202
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
€
o\ o\
N
\o
ct
I
+
I
@
N
r
!
\o
+
I
8. +
I
a,
o c 3o I
*a.
s ri t--
o I
+
\o
F-
I
x
r
ct
a
xl
sl*
{)
o\
o\
x
o\
r €
s q
I
I
I
o\ a-
.i-
i
r r
+
I
I
+
ll
il
lt
il
il
N
N
Vl !
Vl N I
r6
$
t i
+
+
>l*
d
@
N
r€ s
N F.
t
N
+
.t
+
+
I
99
la
o
NIG +16
+ l\o
I
d
\t
l
I
il
CB
a)
€ a
a
€ !
^l
at
d
€o
\\o
@
I
I
r
N
o\
ll
I
N .+
&
€ !+ .t
+
ll
U
r
o.l<
rc
o\
i
I
o\
o\
N
N
v I
€
€
\o
\o
I
d .t
r
€ i_
I
+
€
N
d vl d
6a
I
t
€ t---
'+. !t
+
2
@
\o
r
I
I
*
il
99lto
N I
€
€
r_
@
€ N I
I
€ N
r€ !d
t +
l( Fr
€
\€ -
-l--
6
6 N
@
x
6'lt
N
dt, \a=
+
I
a.l<
3ls
I
a $_
-i
I
I
,d
it
d $
F:lrr
$
o
i't,
d
+
I
I
8
+lr
I
EU
j
€ N
.+ l-1 6le
s .'l
r
tl
€ € r
N
r l-i tt6
tr-E gcg
€ r
d
I
€-l'+
iU
I
I
I
o
\t
N
!E o JZ:
FAa
+
il
6
o\
IN
+ a
8lg +lr
fd o
ocg OE .!
r
r-lir
gs
rs
€
Qlt
cq
€ 9-
€l+
o
cl
I
€ N
nl; rlx'
ac
+
+
ru
q o
ro\
I
r€ $
I
\o
il
€ 6l
8^
N
I
€ 6l
r
+
il
I
o
\o @ o\
+
\ I
€
d
n
v1
t
N I
I
J1
U
Y
U
N $ € t
{
* r
+ N
r€ $s +
rx q-
l-li Fl.|:: ;
5 *o\
ll +
il + I
"; t
>
llllll a{a a{-
s-re
o
\o
Jo
+
+
+
o\
{
6
E
E X
B
F,
o U
tr
o
E
p s
G
€
5
L6
{a { N
+
N
+ 5
I
di 6-i a,f
p
I
_u N 6
+
p O
+
I
!i
I
N 6 I
I
l(
N)
FD
E
6
p I
o 'r. o
p
s
@
D
o
q3.
N
o\ O
@
t",l
rb 6
E'glDa
oi F!:G Or
r
D= ts= o Or ln
>
a
I
tr-
B
X ,l o
x
Eo
q
-u
'q
N 6
0a I
6 p @
-J
N
a p
p
E.f
,C
D
6
N
5 6
-.t p
550\
p
b. { { -s{ {a op \t { { { { 5 5 { a{ a a{5 @
I
o! 9r
?
? I
{ 5 o
\o N
*{
I
sl"E Hls
+tN
I
I
I
6
tt
++
ll
ul
I
J'
{p @
I
fl[
++
N-*l \o6 a6 *6
coo lllrll +ll
-13 *13 !l!
<-l-: '-l'llllt | +
t?
I
\o N
{
N
rnlF \l> lb
w
E
o
rN 6€ €a \OH a{
al+ {l* -la qle ;ls il:
:;lf
rri
p
NJ
+
+
{ {
{u \oo r\o u{ o\a ll il
biE
\o{u \oa 50
@
6 5
+ \o p N o\ p
d g
+
o 6
\
t<' FIIT<
l> la
t
a
B D
U
&
3
+
++
+ 5
@
O.6 60 a \c) 56
{
-\o
+ N j-J 5 a
+ G
{
,a 6
I
I
I
ll
I
N
l>
Elq 'l>
?
F
q
il
++
ooo illlll +ll
:lR :13
@ -.1 t-.J \o a!J "5 "O O5 ll
>lto
rYr.|*,xr
1*T
ni* .*i*
ll
;l"e ll
+Hq
I'J
I
I
!i u 5 p
o\ -.t
I
I
5 N)
N }J
t
I
$ \o
E
-lF \l>
=
lq
t!
o
+
+
F
{u
sEi A NJa
I
++
I
{6 \op OA 50
iIE TE IIE ,1* tt "l+
\oo eE o\6 il[ o\6
5 €
+
{
5
a 5
l.J
N
+
{
o\
+
p N N 5
D
l= Gl! 't>
o. |r:
,
l4
\o
?
+
F
H{
N!
@E
-5
$.,
I
{\o
I
s
+ -1
\i
+ A
Ja
o\ \o
+ 5 5
\o
l
l<
F,la 'l> lq
t=
;:,
t *: iI:
& E
{i
{ fii
fi
v^uo>I voJNsauss vroDcNv NVcNso n>Ivx vxcNvusv
802
fi
il
il
&
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
204
e c
a
ca
*c
o i e
I N
+
I
IIt) I
x
=
T
t
F N
I
+
+
I
I
n F
o\ FN 6
N FN o
t-
I
+
I
\o a'.1
ct
t C'
e )
{)
>l-
t
I
I
il
I
€ N "I t
6 GI
$ o
+
I al
I
+ € \o !i +
t I
€
c ri
\o
+
I
It
r@ +
+
r
xl
{!
sli
o\ \o
o
a €
a)
E: L
p
6 0
>l
o
o
€ € o
N
+
+
6! t-
N F 6 !t
I
€ .+ ?
I
\o
6 il
t'
+
+
@ N
N
6 N
\o
€ t-
o\
c.l @
I
I
+
I
I
I
il
I
il
il
I
6
€
il
6
\o
,d
6
cr .c @ t t
Q
\o
\o \o
\o E: \o
I
+
I
I
+
I
I
I
I
tt
o N
o
I
I
€
@
\o F.
i € .+
\O'
\o t: \o
\o
t
I
I
I
+
€ c.l
@
al
i
N
N I
rr
€ \o F\o I
lrl
€
1l
>l-
\
C.l
cd
! o
t
rt
+ I N .q @ !+ !c
r 6 I
I o \o r d
6lF - :to
co
Flr
EIF
ct
N
€
a:
alx Aldt
ta
i
(,l
€ t
r
=l{
€ cl
lt
+,
6lh Nlr' -li \O I\O - l\O
N
o o at
I 6 at
FI
N
\
!, 'E
I
I
-ilriolS \ol6
L o
o
\0
F N
3lq
o
N F6l
N F
tir-
I
6l @
t $
N
I
{)
A ES
n r--
+
I
I
o \o t
€ N
F.
q
6 6r
6-i
EE. pS
+.d E€ j55 'oO oc ,IO ].(J ,4 E6l ,E
ql{
sN
sN
sd
$
I
I
I
I
I
I
el<
8lH
Elr-
rl-
tlo
x
o I
sE
a
€
\o
\o
.=r
.6
\o
€
r-
Elq
N
EA 'E (nE
q.g
6-
-!i €
F
I
I
@ N
cr
.c
cl
I
ar .c
6 $
+
\o
r-
+ N l'€ !t
6l i-. 6
I
+
+
Q
lI.
r(
@
t'
*a
@
N
ar
t
+
J
F
il
s.ln
:ls 6l-' I
!H .r -c F€
a
N
I
a.l
F.
€ i i
I
+
(J
rq
€
€ r: € I
d F G I
n
J li
Y
I l, + 9l^:
-rl
r+
i Tili
x
o
B
trt .lt
tr
Et
I
E e'
E
E!
ts
m D
:t
+
+
+ p
o\
{
O
1o
{
a N
9 s o
t ut
ro N
10
{_
p
t
I
+
+
I
I
p 6
p o
.B
I
I
E.3 6r
u
F
-t
x
E
l! F o f.
tt
Eo
I
i
N O'
It ;
tE
frl I
p o
{
|J 5 6
+
I
+
I
.a Lp {{ {{ {{ { { b{ a p{ { oa .!
6
C
j
a o O
b{ O N
! 6
O N
I
I6 p 6
o
ro
pI a o N o
N
b
6
I
trrl
>
o 5 6 3 e. o G
Iil
1r' ce, Eg *;
ri
,s5 rP t!E
r=
F5'
cir
rE r.F o atr
rg r9 (1E
o,
i
lI lt o(oEs lll I ;:l{ ti" !E ir
+lt rl|
+ -lr
IFH EI$ hl: ll
E EU
t
^ltti
bx {{ xx io
9B ao II t+ o{ Pi, at
I
N
I
a
.e {{ op{ I
5
F
6 p
pI o N
p p 6
p
+
I
b
{
L
{ I
E
I
I
6
!,, ri
F
=o a
9.E
I
I
or5
rlF \l>
Or
a
N I
A
\e
t! o 6 p
I
li trrll -lD
I
N
F6
{ 6
I
c a a
E
A
i
\
t I
a
,
I
o { { I 5
(>
o I
<.FE
ovu
n[[
+ll
;L{ 1ll
;:lF ol' l
$i lF-F
-sEE
I11 t+ ao l.b 6q
tt +t
)<x
I
F a
I
I
!
a
t{
p N N
I
N I 5 p
rlF ilr
a IE
o 6
oa '6 J' -6
I
I
i
{p €o AO ilil
6 O
t+ 6\ EE
+
+
c P o
I
rl; -l>
p p
I
\o
:J
.3
t
B
o o
;l
tl ,
t<
t.
lt,lq 'tD
a
t
ilr
t;i ttt it,
i; 111
I
fi
v^unx rnrNgsuss v.togcNv NvcNeq oxv:I v)rgNvuex
902
f;
206
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
€{)6,
r
g
s
+
I
+
E"
r x
6
& E
&
a
a
6
!
I
€
qt
q
0)
!,
-'{-
E
-
>l*
o
I
I
ra .i
+ il
il
il
€ d
il
@
N r€
N r€
1
N I
+
I
.
{)
!
N 6
.2
N
t'
q
c
?
8.
-as
.- .tl tE'
-s a
\ t
>l*
pd
{l<
i€ aE
3 rr v
€ r d I
I
€ r
(t
€
+
I
U
€
c pd
>l-
I
I
6 € d
a I
I
I
ll
s
6.r H'tJ
I
+
+
r € n
t'
t €
I
+
I
il
lt
il
a
a rI
€
d 6 .?'
€ ts
I
+
t.
€
\€
@
€\
s^l*
l<
B
4
I
I
I
{
o
o N
I
I
il
p.t; €l-' tla
o
o
o
d
I F
T *
I
+
€
6 d
d
f
N F 6
c
a I F I
I
O
\o F
.d N
€ d
N F
€ .f
I
+
+
(J
lr
Y
o r€ d
I
I
J
Fr
d
a
I
a.
ils
€ d
r€
=lr
I
a€ 9\
d
I
N
o
6 6 d n'
€ d
a
II
il
lt
d
9
!a
a fl6
€ r
rJ EE
I @
€
5E
5E -6,
+
I
il
o
lt
d
t'
I
I
hE EE
-
ra t'
rlo
j
lt
j
B11
I6
I
il
3
+
+1ts
&-
I
€
@ N
ilj
s
SIP
l)-
€o !lE
d
xt: h'lir
ca
+
il"
@
rI d N
d
j19
I
o
5e g€ EO c .!i
I
o
I9'
+
xl
I
-l! ql3
I
hv
!5X
I
I
I
a
N
TIU
ql
Ij
+
I
sts
o E
I
d
od
I
+
i
a
rN
dt +
I
+ +
F
N
t N d rl
€
6\ N
d
E tr
€
r a
N
I
*.
+
i
a
I
a d
d
?-
t
d I
€
+ d F
€
1
x
a 6 F I
d
r6
tt
+
I
+
+
Q
l&
x
J'
F
:t
:;
&
coo illl il +ll rl< >l! *lR '-tr: Y-L: il Itltt I ul - + aJ l .J+ Orla --'il- --lal-u {16 -i;lato ulJ ata I
--l{ (lE '1.-'lo rr Fl: ; iil.:. ,/o -o Jaa u6
I
I
-a
o
o
i
6
@
6
x
u
6{a
l!
'll
frt
a
E
o
E
p ts. D
\lF + + -lFE\>-,iii ''f ',I € € q-*; { { { 5 ;{ --u!4 p q : xlH +
d Orl '-l OB
I
I
N
6 N
N
@6
@
N
+
p
€ +
N @
X tr
Ir
N 6
D
N
@
6
p
oe i
{{ {{ {{ { { { { 6
o ,l o
I
I
F
I
+
+
I
N a
J J
{ s
I
p
N
6
,(
I
p o
o
@
N
'ii 6 6 a
G,l>
o 5 p o E.
\ra
rCg
gE o6 3a ir.
E
Fo-
E=
se
?E
ctD o3 Ee l, I
Er g(D
ig rF gH E(!
I
I
t+
=e-
I
*ir
-cF Dg
ou !^i au t^
(
I
i€o6 t
98
P t{ o{
+i
9r ^l
ab !^ !i {r aa p€
*lF
"lr ID
o
6 $ I?
I
I
-9 {N
rrli *l>
-q 6 I
a@ ilil
u.t
t+ {o Li ON a
+
F
+
o
\
o.* g; EP
t1E=4
E5
NIQ
p
9s 903 o\O
t< I>
{ { p
(D
o + + + + + { { a{ {{ {{
Ill
111
*l= v-Li ll
*l= x-lr:
l+
{{ >l!
dl;
ul.-!
EIfr lu t
+
6 j.J
+
+
{ {
(D
F TE
I
6i
+
6
-8
e
+t
{{
'6 i.
{
xx
s'-o {p EO 6@ II
NN
1j
o +
!
lt
il
il
^rrrl, rEilo
:l:
llii il ill'l{ll
El.s EgE
6
{
s.
g
$e a
+ I
+
{
J' t {{ 6
{{
6 o p a o
I6
a
+
+
N
F
{
+
+
+
I
+
t+
t=
J9
5
I
N a p N p
N
E
li.
E
+ 6 a
I
N o o N
+ N 6 o N
+
a
€
+
+
6
p
p I
I
€ N
N o
t I { I
J I
I
o\
o o
I
{ {{
(D
d
+
€ { .!, { o{ o5
a La I
I
{
iJ o +
o\ N p 6
rlF *l>
ro
B
tt
3
"tr
x
-a -b
t<
rtrlL
-iD
_t!
5
,i
cr (! cr
-o
$
s:, t<
*l>
Erlq
\
8 D
r
v^unlr xoJ,Neauss v&occNv NvcNtrc nxYx YxcNvllgll
LOZ
248
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
t
q,
,o
F 6
c)
3
+
,L
a
s
x
I
I
rE
F a d
o I
c d
+
F
a
N
+
o
e I
o
o'
g $
I
I
6 N
F N
o
N
x
d
.t
d
+
+
+
+
o r
o
N
ts
at
+
F +
I
@ I
ql
o
di
o ra
1, ar
+
+
lt
il
9S tr'5 ES
a N
G N
rs
-ril-,
>l*
I
I
E= E-tr eS ct
€o (J
a
qqct
9E 3E lo
E(d g:
.-*
\io sod pq
il
@
>l-
€ I
\o
r +
I a
I N
I
n'
€ r
I
I
€
I
6
+
I
r
+€ trC
3lH rla
-gE €
-t-'
r€tu
r
F
ct I
r
*
I
6
Eotr
i'o .;= FE oo erJ(
U]Etg
9\ OO .x
ci
at
F'El
o
I
I
@
@
I
€ r 6
N N
N
sn
r a r
E
rd
I
I
+
I
ll
lt
lt
I F d
a
d
@
I
d
€
I
+
I
t
InI
I
€ r
I
t 6 !
Ir
ilx
:tr ;tr
-o
8
Fa
a
+ N F 6
{
x
I+
E +
I+
E
r
@
N
\€
3 +
il
o
+
t'
I
I
+
I
a N
N
a
N
r@
d
!'
!
I
+
+
Q
q.
Y
€ r 6 N
I
d
ra
+
I
+
+
U
l(
X
o
+
a € t: I
@
€ r 6
I
N I
$
rE
x
L t-r
€ rd
€l!
a
ri
+
EI;
€ € r € N N
!
+
E.IH
c3
,:E
tr.'
tll
I
I
tGl
I
I
€
o.l<
o
EE -tg
N
:
d !o
Fil t
.!
s
F
cd
I
i,
I N F 6
3 o
€
d I
\tr
qi
i
{l<
I
I r6
I
\)
\lFr
--
oaq o=
>l*
il
6 IF
€t! Ntts ot6 6lr -lr
5'r 4; GH
I r I d
I
€ d
8tx rl"
+
EE
s5 -oE '0
+
!'
N1
I
-o
+
-al--
t'
r6
I 6 N
lt
a
+
N
o
+
+
=lx*i F'l Tls
rD \O
:J tD
N
!
I
d F 6 t
r6
r ?
il
I
{ N
c
d
Fr
89?'n
'I'9,gI
r.IoluoJ urelep rp u?qeq Ispod p8eqled
Iqun
sBqeq-spueq
urer8elq Z'98I rsqun5
9 tp ueqe6 (,/) 80LZ'0
l1'"'t rW Wg'O+ =
N*srgs'o
g0I'I- =rN
eou'orryo,r
drlp ucqeg (r) oo€s'o
lY?'e+ =
l-'',*'
\{ai-ru'o
rw
Ln5'l- =3lN
d*' glp ueqe{
(P) 9L9L'0
SLSL'O
NLI,E
ez00't
zLz'o- =
tzL't-
rn
=)vt
x
a
OIP utqeg (r) 9006'0
t90'z ogLL'0
,660'0
x
lgz'l-
=
rN
x
o€t'o+ =rW
09LL
p rp ueqeg (c) 6tL6'0
6tL6'O
la,,rn 00tt'0
Igzo'o
100't
986'0- = rN
x
t6g1+ =)w
x grp ueqcg
(z)
29(6'0
z966'o gsz'g
ztzl'o 6lz'o
v^lrox rn,rNgarlss vlocSNv NvoNeq nyvr vr9Nvuss
602
I ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
210
$
ll
0.r680
680
r
T,,
,,9lr,o,u
5,900
Mc= -0,291
Mr. = +0,013
0,1680?(4
0,9267
1,59?Y 0,0733
(e) Beban
1ll
difl
Mc =
,,ro
+ 1,250
Mr = +1,250
|,251 4,5000
(ft) Beban diB, C, D, E, F, G, daa H Gambar 18.6.2 (laniuton)
Tabel 18.6.6 Pengecekan superposisi' untuk lengkungan terjepit taksimetris di dalam Contoh 18.6.1 Jumlah nilai-nilai akibat beban-satuan yang bekerja satu demi s€tu di B, C, D,
E, F, G,
t*i Y;
atalu
H
,:,
li
4;O@
41ff00r
4JSr.
4;5ffi t;2tl'':
r&
tr732:.,,
jr&
1,239,.:
:bf,r
l;25r
Ivlx
Nilai kombinasi akibat beban-satuan. yang bekerja betsama-sama di B, C, D, E. F, G, dan H
:i
{
1,250
r
1i50
1
I
l'250
1.259
dibuat sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 18.6.7. Garis-garis pengaruh
yang
dikehendaki digambarkan pada Gambar 18.6.3. Tabel 18.6.7 Tabel pengaruh untuk lengkungan terjepit taksimetris di dalam Contoh 18.5.1. Jarak
Bebandi dafiA
He 0
r
A B
l0
C
2S
0,124 0,430
30
fii37-6''
0
0
E
4S
r'
50
o
60
H
1&
,,w2
0,932
Ve
Vr
l'000
00
0,996
:-0,@4
0,9?: 0,901 0,758
0,530
t
-6,?6
-0,0?8
-6,14
-0,7s2 :0i.4?0
+6,{S
-0,0s
*2,{N +3,17
+0,530
x
80
0,568 0,168
00
Q,271
0,073
Mc
Mt
+0,27,
+0,07 0$
+4183 + 1,60
Mr
Mx
000 I,18, -0,32 +0,96 *4,69 -0;99 +3,01 +0,43 ^l,z* *4t7 -1,72 -0,n +3,13 *1,95 +tl1 -0,15 +
-1,10 +0;63 -0,30 +0,01 000
-4S6 -5.90
TIZ
I.9'BI qoru€) trr?Pp $tlaurs:I4 ldafrer uufunltual tntun qnrclfued s;reg g98I *rrund tp uoruotutrnluo
lrlut9
(,
Ip ucurotu )lnrun
(r)
ZL,I_ gr'0+
gl'l
+
59ir+
uq-uendrunl !p u.tuotu
$run
(P)
60'9+
lucund
1p
luryrrair 3ue1u1-u,(e3:ppn (c)
0€9'0+
r41-uundrunl rp.I?{Rre^ I$Fer lnruq (g)
mluendrunl !p pluoslror{ rslEer Inlun (r)
tzt'0
200'l
v^un)r xorNsausg vfocsNv
NVCNSO O>IVX VXSNVUSX
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
2L2
_5,s
-,1160 G) Untuk momcn di tumPuan'kanan
18.6.3 (laniutan)
Gambar
18.7 Matriks Kdskuan Anggota Berbentuk Kurve Andaikan bahwa anggota berbentuk kurva pada Gambar 18.7.1 adalah komponen dari suatu kerangka kaku yang besar. Ujung-ujung / dan I dari anggota berbentuk kurva ini bisa mengalami rotasi X1 dan Xa, perpindahan horisontal X2 dan Xs, sorta perPindahan vertikal X3 dan Xo, yutg ditunjukkan semua dalam arah positif mereka pada Gambar 18.7.1. Matriks kekakuan [I(] perlu diturunkan (dengan mengabaikan deformasi aksial) untuk anggota berbentuk kurva ini yang memenuhi persamaan (18.7.1)
{P}e,r = [Kle,c{X}e"r
,i
Pext
prxl A
Pr'xrL I'Pr-X,
Gurtbrr 18.7.1 Anggota berbcntuk kurva pada ruatu kerangka kalu.
Metode pusat-elastis dapat digunakan. secara menyenangkan untuk memperoleh isi
[(],
sebuah kolom pada setiap kalinya fir{aulah struktur-kantilever statis tertentu yangditunjukkan pada Gwrbar 18.'l .2a.
matriks
Akibat ketiga gaya tersamarata Mo, Ho, dn Yo yang bekerja pada ujung-bebasnyr (identis dengan pusat-elastis), momen M di P (x, y), dengan memperhatikan perjanjian tanda pada Gambar 18.7.2b, adalah
{=Mr-Hol+Va
0r.7.2)
Akibat rotasi searatr Jarum jam X1, perpindahan horisontal X2 ke kanan, dan perpindahan vertikal X3 ke atas, yang semuanya terjadi di titik.,{, ketiga perpindahan tersamaratr di pusat-elastisnya adalah
'
0s =
*Xr
(searah jarum jam)
Aro :
-y7,X1* X2 Avo = +r^Xr + X3
dengan:
(xe, yn)
adalah koordinat-koordinat
(18.7.3o)
(ke kanan)
(1r.7.3b)
(ke atas)
(1E.7.3c)
titk A
dengan mengacu kepada pusat@' akibat X1 sebagai
elastis sebagai tiiik-pangkatnya. Perpindahan sesungguhnya adalatr
mana ditunjukkan pada Gambar 18.7.2c. Hasil-hasilnya yang tePat, baik besar mauPutr
tandanya, dapat diperoleh dengan tanda negatif di depan ltXt pada Perumarn (18.7.3b) dan tanda'positif di depan xaXl pada Persamaan (18.7.3c). Akibat Xz dzr X3, tentu saja, batang-kakunya hanya mengalami translasi sedeihana pada setiap krsl
(rs.f.gl)
*pA + ^'log-
:
^IoA + ^'log
-
(O)onf
+ =tX +txvx+
sv (x0'I +xx"A + (uH - t N) ulo1
_,IoH: *lo1 -*log
17_
.\-
+txvx+:6nv
#^K:'x
(qs'r'sr)
+ (O)of4f
- :.X
+,Xo(
-
ry_
SV
((0'I -XlpA + ,(oFI - oW) .\-
ru
S5-Futw
(rs'r'gt)
voN = (o)oa
7 I +rxv{- : r\ -:zY
+ (o)orr
oHV
- vow : tx
#<=*fuK='x=oo ftr
'sI
'\
q?g
'tul '*I'p. fopue tuolo>l Suudueu uup '*,1 ruel?p Ip u?{l$uuepret euetutu8uqes -ad ry1sFe11urDl trsp .ueqeprndrad EunlqBueur 1n1un uenles-u?q3q epoleu IIB>lBun3
rQ'lf =Au.r (0'I-- rur
(r'r'st)
0'I+:eul
r{BIBpB J{I}I1 Ip ueuou-ueuour ,f effiutll pZ' L'81 rBqruBC uped 1eqrye1 etreune8eqas uBnlBS wqeq-uzqeq uelelre8ueur udueq .efes
uduuuwl-8unfn Ip lldafrel-uendrunl qenqss wSuep ?^rn{ {oueqreq u1o33uy
o rp lqnre,r uentts edzg
(;
O
g rp uenles-uouroN (p)
V
Z'l'8I
ruqursC
Ip Pluoslrott u?nl?s e,(?C (r)
tp I X t?q!ry O rp uuqupurdrsl (a) V I
I
J,[{nlun Ppuel uBlfuefrea (g)
otp
oA
wp 'oH 'ow @)
xotr 1 r(.og -o7a1=7a1
,( \^ v^un)I xn.lNssusa vJ,occNv NvcNeo nvvx vxcNvusx
8TZ
zia
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Selesaikan ketiga persamaan simultan (18.7.5a hingga
c),
c),
uo=**
(18.7.6c)
., _ X,[- y^ + xa(I,r/Ir)] + Xz + Xr(I,r/Ir) no=I',
(18.7.6b)
,,tar: _ Xr[xo- y^(I,,/I,)]+X{I,,/I,)+ X,
(18.7.6c)
Ketiga kolom pertama dari matriks f(l di dalam Persamaan (18.7.1) dapat ditentukan dengan menyebut Xr, Xz, dan X3 masing-masing sama dengan I satuan di dalam Persamarrn (18.7.& hingga c), menghitung nilai-nilai Ms, Hs, dan Vs, mengerja' kan mereka pada diagram benda.bebas Gambar 18.7.2a, dan kemudian menentukan reaksi-reaksi
diA
dan B.
Selanjutnya, tinjaulah struktur-kantilever statis tertentu yang ditunjukkan pada Gambar 18.7 .3a. Akibat ketiga gaya tersamarata Mo, Ho, dan Vo yang bekerja di ujung bebasnya (identis dengan pusat-elastis), momen di.(x, y), dengan memperhatikan Perjanjian tanda pada Gambar 18.7.3b, adalah
M=-Mo*IIo)-VA
M=
(a)Mo Ho,datVodio
Gambar
18.7.3
-Mo+ Hoy -
(D) Pcrjanjiut tanda
Vor
untukM
(d) Momcn-satuan di O
(c) Perpindahan di O akibat Xa, di B
(e) Gaya*atuan horisontal di O
(1E.7.7)
(fl
Gaya*atuan vertikal di O
Anggota berbentuk kuwa dengan sebuah tumpuan-terjepit di ujung-kirinya saja.
g wp r Ip rs>lBar-Is>Per uB>lnl -uouo(u u?rpnue{ uep 'ot'L'gl rBqtuEc s?qeq-?puoq urBrSerp-uErE?Ip ?ped ?>leJetu u3{ -elra8ueu 'o.A uep'oH 'oNlellu-relu Eunll$ueur '(a e8Eqq I't'gI) u?Er.rresrad ureI?p "I rp uenl?s 1 uuEuap eures Sursetu-Eutseu eXuep'9X'nX 1nqa,{ueur ut8uep uoln}uelrp redep 11't't1) ueuuresre; urelpp Ip [y] sllrlzru lr?p nrp[pro] urolo>J e8na)
(ct t't'gt )
(qrrlst) (o
r
(^lflt)'x + tx
^,1 ,r7
+ [(^I/^1I)"x +
sd
rrgr)
-]oX V
-_1Io t
:oH
**=uN 'Blaraur uupesoles
l(a u88uq DS';gl\ utsruesred ueSuep ednres rtdruzq (a ut8ulq rcI'Z'8I)
(aOt't'gt) *lo1 + *'log- : ,IoA + *'IoH -
(O)ol,lt+
ru sv (r0'I -xr{,A - doII + oN -)
(q0t't'BI)
uIgA
-'toH
:
@
doH
+ (o)orar-
+oN_)
:
sy
useulesJad
ar;ax4
t7_
.\-
: r * rxrd_ ry_ .\-
tX +rXqK- = oHV + (o)og
vohl = (o)oa
ru (0.I_XlpA _
ioxax+: o^v
ffiK:'x
*'f A -'PH ta
ffiK: (nouer) SV
- vow :tx
K=ffiK=,x:oo
l8opuu ruolo{ Euedueuad TFIrol -IBr?)t uep ueqepurdred-ueqepurdrad SunlqEueur {n1un uunl?s-u?qoq epol?tu u?I?unC
x0'I- = ^ul
G'f'St)
(0'I+
erl
0'I- -
-'ur
r&Iepe
d{ltl1 Ip ueruoru-ueruou JeSllugq
pE'
tgl
rBqurEC uped uu4r1n[unl1p uuuuneEeqes usnles ueqeq-u?qeq uelefraEuaur uu8uaq 'snsu1 derles epud eueqrepes Iselsusrl grep?ueu e{ueq u,(un1u1'8uu1eq'sbs n1ua1
'sx wp
?
teqp{v'(as'r'st)
u?Blu?srad eped vy82, uzdep rp gppod epuel uetuep
uep (C8'l'8I) ue?ruusred eped vye,( vedop tp yleEau epuul uti8uap qalorsdrp ludup'ei(u -epuel undneu resaq lreq'ledel tuel e,&rgseq-LrseH 'r€'r'8I rBqurBO eped leqnral eueu: ueqepurdred 'e{up1€ue d->18I1 p€eqes sUsup -m8r qas ty tuqge ,OO WVpe u,(uqnB8unses 'sx) :ue8uap -1esnd rpedarl .,ce-tueru ueEuap g {1I} leuproo{-13ulproo{ I{Bppe
(t
(ueueu
(qs'r'gr)
(se1e
(r8'r'8I) (rs'r'gr)
e1)
,X
+,X,r- :
o^V
e>1) sy atya{,- = oHV qureas) vy + = o0
(uref uruef
q?ppu ufususel+1usnd
Jp
u
Blereru?srel uuqupurdred z8pal 'g >1pyl Ip IpEFal u^uenuos tue.{ 'se1e e4 ey p>1pra,r -qupudrad uup 'u?rru{ e{ sX luluoslroq uequprnd nd 'b X unf umref qerues Bu]or lsqp1t'
gtz
v^un}I vn,rNasues vJoc9Nv Nv9Ngo nxvx \rxcNvm
2L6
ANALIS$STRUKTURLANJUTAN
Contoh 18.7.1 Tentukan secara numerik matriks kekakuan 6 x 6 dari suatu anggota berbentuk kurva yang memiliki karakteristik senrpa dengan lengkungan terjepit parabolis taksimetris di dalam Contoh 18.6. l. PENYELESAIAN (a) Karokteristik petumpang kolom onologi. Lokasi pusat-elastis yang ditunjukkan pada Gambar 18.7.4a dan Gambar l8.7.sa diambil dari contoh 18.6.1. Karakteristik lain dari penampang kolom analogi yang diambil dari Contoh I 8.6.1 adalah sebagai berikut: .o =
(b)
,, -778.3L4m3 r;=(n7.4m'
",fi:'
f
=
r,zlso
TiSa kolom pertana dari
l=olwt
*otrf*s keluhtan.
Gunakan persamaan
(18.7 .6a hingga c),
*A = + =-J+: = +31,793xtx 3t.45361Et,. + xAIryl I)_,+ X2 + X{I,yl Iy) X Ho _ l- ^
Mo = +
to-rEl.
y
_ Xr[+26,7658
-
45,5128(0,20978)] + X: + Xr(0,20978) 778,1741E,t,
= (22,,121X1+ 1,285X2+ 0,270X, x lo-rEl. IT ,
r,
_
x(x^-
y^l,rll,)_! xdl,rll,)+
ri
x,
_ xr[-45,5t28 + 26,7558(1,79t56)] + Xdl,79156) + X3 =
ffi1,541El, x l0-38I.
(0,367 X t + 0,270 X z + 0,150X3)
€
34.4812
\o
r
22,t21
Jt94,tl 0,361
22.12t
*r,,uCi o,367 (a)
AkibatX, =
+ 1,0 rad
+ t.285
I .285
),,,,,, 0,270
i),,,*,
1,2E5
0,270
,,,,,,Ci
m: ,
0,270
(D)Akibatxr= +tp
o,!ro'"""
m
o''4
0,367\
ft,i,,
I
0,1 50
(c)AkibatXr= +t,Om Gambar
18.7.4
Tiga kolom pertama dari matriks kekakuan di dalam Contoh 18.7.1.
o,iso
ueplnfunlrp '0'I+ = ex
lep'0'I+ = sx'O'I+ = nX leql{e sel? rp uSBruSsJed 'og 'o74J qew uPp Jsseg
u8rle{ rrBp rleloJedrp Suei( 'elursueqas Suef orl unp
"Mr-ot x (txost'0 + sxo LZ'\ + tX ll0' D : : "tgl?s'Lwg
'gX +
\t ('Il"I)tx ('Il"Is,( +
'rgr-01 x ("x'LZ' o + sxs}z' I
.
+,x
sxl'X :OA
LB6'
Ll)
"tg ltL|'8LL
: =
,,1
(YrI),X
+ sX
'Igr ol x rxt6L' lE+ :
r
(^I/^'I8r
+ s( -),X
=oH
'talgest,tt v ^- r**=: * : *+ : oN
.
'(a e33utq ,I I'r'8 I ) u?Burusred uBIBunC 'uonqnlil! $llaDu uDp 4tplDal uto1otl o3t1 (a) 'ue{ lndunryp I'l'8I IeqBI eped ue4urnluecrp tuei( u?n{B{o{ s{uleru Irep eruepad ruoyol efitre1 efuepedrrup 'ueu?1 q?leqes ?'t'8I ,pqtueg eped uellnfunlrp g uep V rp rs{Ber-rs{pe1 'uD[ r1eleqes ]'f,'8l requreg epud qesldrel ereces uelluqrpedrp'0'I+ = €X uep 'O'[+ = zX'O'l+ = IX teql{e sslg Ip useuesrad etrle:1 uep qayoredrp 3uel( 'el(ureueqes 6uuf oA urp 'oH 'oW reseq uep t{BrV
'I'l'gI
r{oluof, ur?pp Ip u?n:l?Iel s:1.ul?ul tr"p 4rg?rel urogorl
eft1 gl'8l
ru6'1+ =e,y1eqr:1y(r)
rsqurs5 0sr'0
0sr '0
t)^0
I
oLz
urO,t+ =sXteqq$(4) 0rz'0
oLz'o
llrztzz
+
l)rzr'zz
'
s8z'r
perg'1+ I
=?reqqv(e)
h','#
t-;,,'*,
IO'/
IO,I
I
rsrir
r
I
E L.{ a
@
v^uox >IofNgsuas v,[oc9NY Nvcltlsq oxvx vI9Nvusx
LTZ
2t8
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
secara terpisah pada Gambar 18.7.5 sebelah kiri. Reaksi-reaksi di,4 dan B ditunjukkan pada Gambar 18.7.5 sebelah kanan, daripadanya ketiga kolom terakhir dari matriks kekakuan pada Tabel 18.7.1 dikumpulkan.
Tabel 18.7.1 Matriks kekakuan anggota berbentuk kurva di dalam Contoh 18.7.1
K
2
3
t
+160I,16
*n.r2l
+0.S?
1
+
2V;121
+
1,285
+,0;270
+,
,Q.367
'+
0,270
+0,150
;1,...i3i.
tKt
I
4
l
6
5
+ Ir*4,11
*4.,*t
'0,36?
*-
1?-98?
'
ilrz8,
*0,?7s
*
'7;grl
-
0,270,
-S',150
=
4
:- 194.I I
*17,ffil
:7,Sll
+'395,29
+ 11987
+7,01I
5
-
22;l2l
*
1.28'
*8,270
+
1?:!87
+
1,:85.
+0,270
6
*
&367
--'$,21fr
::&l5S
:,*,',..7,,011
+
0,270
+0,150
[K]
* EIc
(d) Sifat simetri dari matriks kelukuan. Dapatlah terlihat bahwa matriks bersifat simetris, sebagaimana seharusnya ia, menurut hukum gaya timbal-
balik yang diuraikan di dalam Pasal 10.10. Selain itu, dalam ketidakhadiran gaya yang bekerja di antara ujung-ujung unsur berbentuk kurva, terdapat tiga persamaan statika takbebas di dalam matriks [K] . Dengan demikian, rank matriks 6 x 6 tersebut hanyalah 3, dan matriks kekakuan unsurnya sendiri tidak memiliki invers.
18.8 Matriks Kelenturan Anggota Berbentuk Kurva
dengan Tumpuan-Terjepit
Di dalam pasal terdahulu, matriks kekakuan anggota berbentuk kurva dalam kenyataannya diperoleh melalui penginversan dua matriks kelenturan 3 x 3. Pertama-tama, Persarnunn (18.7 .5a hingga c) diselesaikan secara simultan, dan kemudian Persamaan (18.7.10a hingga c) diselesaikan secara simultan. Melalui penggunaan pusat-elastis. jawaban untuk Mo diperoleh secara langsung, dan jawaban untuk I/, dan Vo dihasilkan dari penyelesaian kedua persamaan simultannya; namun, untuk unsur berbentuk kurva simetris, I ,, sama dengan nol dan pelsamaan-persamaan untuk F/o dan V o terlepas satu' sama-lain. Keistimewaan ini mencirikan hakekat keuntungan dari penggunaan pusatelastis.
Dengan kemudahan yang disediakan oleh kalkulator-tangan elektronik, jangan bi yang mempunyai kapasitas lebih besar, penyelesaian ketiga persamaan si komputer lang. multannya tidak lagi merupakan pekerjaan yang melelahkan" Tinjaulah unsur berbentuk kurva dengan sebuah tumpuan-terjepit di ujung-kanannya, bebas di ujung-kirinya, dan tanpa batang-kaku, sebagaimana terlihat pada Gambar 18.8.1. Sebutlah X r,, X r, dan X 3 sebagai perpindahan-perpindahan di ujung-kiri dalam arahPr, Pr, dan P3. Dengan mene' rapkan metode beban-satuan, (Pr - P:Y + lrxX+l'0) AS
x,
:
) U+#
-2
:
*PrA - PzAj +.hA/v 2s, Mrnz AS Z' s (Pr - Pzy + P:xXZ'I EI EI _P,AY.I : PZI,- PJ.,
(18.8.1c 1,0y) AS (18.8.1b)
t
(e
'8'sr)
{fx.l,:
:ilt1ll
z
f
rlx
'1),r
,!rlI
l?x,
.tI'x
It?x
:! I
: txl
T
I tIEIpp? (Z'g'S
r.'rr+:.
l)
u?Btu?sred sre^u uep
:,:tl
,,*1I.
(z'8'8r)
,:S}., l
,'.:.:,{:,
6v;
= [o]
I 'fX...,.
nBtB
'(, uttqq ,I'8'8I)
tru
-suesxad sIIIleIu {nluaq ue>1udruaur Ea1ml {ntueqlaq Insun nlens ut1-tun[n rp gequputd -rad-uequpurdrad 1n1un € x € uBrnluale{ s{I4?r.u 3{BIl[ '7 {pU lnlBleul tuef luurproo:1 ot) tuEuqes uup 'u{qe>puud':g1l1 Eussedas epeda>1 ?nluas ncstuau :ue8uap metuau uetuap qtsela-1esnd.1?ulprool'lstrlproo{ TIBPpE
1t\ tt
nquns
y
(f ?)
epeda>1
*l,d + ^'I'd
(ct'g'gt)
- trVtd.+ =
ffiK=r#tK=',x 'ufes e,(uueuuatunfn
Udalret-uundrrnl qBnqed uetuep e,rm:1 Imueqreq eloffluz u?mlutlel x1't+ =tu
(P\
s{rl?}tl I'8'8I
p
rEqusC
{g'1- =zu (cl
i'
U 0't+
U+O *t4+{zd-t=n
= Iur (g)
@)
U U'
r.-'-+?-,,
6rz
v^lroll xnrNggugE vfoD9Nv NvcNsG oxvx vxcNvuex
220
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
yang tak lain adalah submatriks dari matriks 6 x 6 Persamaan (18.7.1). Demikian pula, dengan mengacu kepada Gambar 19.8.2,
&=)w:>w x,=)w:>ry =
*PtA-
PsAj +
P6AX.
: -PrAj * Psl,- PoI,, rz _ S Mmo AS _ (-Pr+ P5y - P6x)(ao-L EI EI : *PtAI - PsI,y + P6I,
(a)
M: -Pn+Pry-Pux
l,0x) AS (18.8.4c)
,/a..
/1,1. Gambar
(18.8.4b)
(b) mo= -1,9
A* (c)
(18.8.4a)
mt: a1,9,
(d) m6= -l,Ox
18.8.2 Matriks kelenturan anggota berbentuk kurva dengan sebuah tumpuan terjepit
di ujung-kirinya saja.
dengan: @, y) adalah koordinat-koordinat pusatclastis dengan mengacu kepada I sebagai titik-pangkalnya, dan (I*, Iy, I*r) men9acu semua kepada sepasang sumbu koordinat yang melalui titik .8. Maka matriks kelenturan 3 X 3 untuk perpindahan-perpindahan di ujung-kanan suatu unsur berbentuk kurva merupakan bentuk matriks Persamaan (18.8 .4a hingga c), atau
\P
tDl
=
x\
4
5
6
4
+A
-As
+Ai
5
-Ai
+I
- I*,
6
+Ai
-
*I'
Iry
(r8.8.5)
'IAIS'0SS'0?+ =
rrl
,IflS'€0g'St= rI
V 'IfllfMf€Z ='l 'tslgest\e
=v geppu efuqelunl
qBIBpB
udupltued {pH-{IfB
retuqes yryl$ epudel ncetueut u?tuap E{ereru luurproo{-leurproo{ uup {Bq senl -sen1'1t1t1-tun!n 1p uryopuldnd lryun uanrualal srlttory (a) tWfVSg'IiIANiId
'l '9'8I qoluoC urepp Ip suletuls{Bl sloqered
1tdefta1 uu8unl
-tue1 uep uulSuequrelp 3ueI earn>1 {queqreq elo8tuu u?ItB{ UBP up4-Eunfn rp ue -qepurdred-uuqepurdrad {n1un € X € uernluele)t s{ulBlrt ue:11udeq I'8'8I t{oluoC
'tz'g'gl u?p ,I'8'gI requreg epud $qeq-Bpueq dupeqral u4nltuesreq Euuz( uutuequflesa{ ueeu?srad uEqe>1 uu>ldurauau tunlqlp lNeru UE)I? B^IDJ {nluaqreq rnsun uen)p{e{ s{pl?ru tusl?p rp sul? uutuep
-u?uDI !p
u?p TIB,trBq-F.n{ 1p € x € $[r]Burqns 'uu>Jeuntrp 1uI epoleur e11['unuep u??rrrusrod 9 x 9 $[Irluru u?p s{Irlur.uqns r1upp? uel >1e1 Euef
'(t'f'gt)
i:ffi ii$*li i*#
,:i:::.:ir'
ii;j:*
*{#i
(e'8'8r)
il,ffi
=
[x]
,u,tg1r:;.:
rlet?ps
tzz
(g'g'gt)
uuer.uusred
sra^u usp
v^unx xn,f,Nesues vJoccNv NvcNgc nxvx vxcNv2rex
T 222
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Penggantian nilai-nitai di atas ke dalam Persamaan (18.8.2) menghasi.lkan matrils kelenturan yang dikehendaki. fl
ffi
;!: ;:r.i.;..t:.:ait:,lal;!.f l
..:: --r 1
1r i.r,ii'i:r, .:
:itj
:"
::i-!:1.:|.1
#
: i
#
i;llii ti;:r,l-?rr'.,:::ali
H
4
tDl=
I
;t,',i"'
EI,
1
$i
*?3$ry1r'
Invers matriks di atas didapatkan serupa dengan hasil-hasil dari Clcntoh 18.7 .l . (b) Matriks kelenturan untuk pqpindahan di uiung-ktr1an. Luas-luas titik dan koordinat-koordinat lokasi mereka, dengan mengacu kepada titik g sebagai
titik-pangkalnya, adalah
,r:di
)
I
.X,::
,lfst5$a|;. ;{S
y
l
.1.' '*,':
dtSS/Sf,,: '.?.:fl
?{$rr
,''.?i.#8
',+*5,.
+tS;9S7,$,'
.,,*.$d37'
-t5',.
,::.*':.:$43c5'
.,
,:i',;
+,15j::1.
.8::,l
i:,'5:.:'
*,1_{;$6*$:
Jumlahnya adalah A = 31,45361El, r, -_ 2686,881E,1"
Ai = -fi8a,751Et, Iy=4E.W,2lEI,
Penggantian nilai-nilai di atas ke dalam Persamaan kelenturan yang dikehendaki
At
tDl=
+212,8091Et,
& = -5105,0UEI. (I
8.8.5) menghasilkan matriks
i$ e,.,
:
:.6
:
IS{,75
:.rb':;qgr-ofSli,
I
EI,
,H:,;.:,
Invers matriks di atas didapatkan serupa dengan hasil-hasil dari contoh
lg.7.l.
(cro'sr)
#3'r*gfuigu+fifuaK,c= IA
SV (€ul)(€C€ttl + zlzut + Idr ur) (e
r'o'sr)
!=ra
ffiKu+ifuKu+Effi*K,s ru
SV (zuxtCtu +zdzw +tC,w)
(Dr'6'8r)
=
K:,,
#*3'r**fira3'r*ffi3'.r: @
rl-z:te
.g)[Et^l
'O'T+ = EC uep 'O'I+ = zl'O'l'+ = lg leqg:p tursuru-tr4suur'e,rrn1 lquaqrog m$m epudryl*suenquos,r'1H',l,*1r'rH;s"h1l,,1,Tr'iurl,j,j#,y,;i'.[H;'1,r.,, slureruBsral uepp efuE-e{ut ue8uap uBlIBIreq Eue{'ueuu>1-tm[n Ip Burus ErBJes rru{.rs -rugeprel Eue,{..ea lnpns uep '(lnqasral B^rn>[ {nlueqreq rnsun qrunlos F?p n:Irl[-Bpueq F -Blor {ns?rurel rypp) ur(qr.Dl-Eun[n rp sIlsBIe ?arDI upud tunEllurs-suut a>1 Jnsun Elnrues rpre rr?p za rsnt urnrefqureas tnpns 'ueuerl uep prytunfn efiltn re ryruf ueqequnl 'Z'6gI rBquEC eped urlleqqred;p euuune8uqes 'ufuueuel-8unfn 1p 1or-uundrunl rlunqas uep z{r441-Bun[n 1p ryues-uundunl rpnqes rre>llreqtuou uu8uep qeloradrp redep g1'6't,
ruqureg uped unppfrmgp tued eNnI {nlueqreq rnsun uemlualol sry}Ef^t 'eduuernfuola:I $[r}?ur sre^ur rIBIspB.IrI € x € msun u?rup{o{qlr}sn'uu{que11p nlrad ?armt {quaqreq msun 1rup [S] sryrlurir efueq lg'11 Fsed urBIBp Ip ue>llslruoprel tued uu8qep ednras [Sl usp [f.] s4rtEt ?^m{ Inluaqreq ftrsim p)iol }Jr u"p x-dlrurououad I'5'gI ttluttlc F?lruoJep usp sBqeq uIq?p?XBg (q)
I?:lol rr?s?qeqeplufereq (a)
exsd
txf,d
(t'o'st)
tsllsllyl = [x]
npletu qeloradlp tedep [y] 1u>lol uBqu>Iet $luluur Fl1 snsol ruupp tued 'I'6'Bt rsqure5 uped 1eq11:a1 rueu4uluqas sond-snlndrel srunl rnsrm qelo Jlplu,tuol wryuIeq4rp ledup lnqesrel euml {n}uogroq rnsun 'eftueuaqes 'suru[ {nluaqreg ms -rm nluns urppp Ip spqeq rnqula{lp{sl tuer( urepp-e{u8 etrl ledeprol usq u{uuq e/.upq a{or Bprre ledup utilu.ntrCI l€ ttutBt B,trml tnluoqreq msun nlsns F?p 9x9 rrunryIel silrl?ru {rrer s,rrryq uu>Ielelnlp'(p) uegSeq uped'I't'8I rloluoJ r.npp tuulefue111 uep pues-uunduml qenqa5 uutuap BAInX Intueqrag gGG
v^unI
1oX-uundrunl qsnqa6
eottuy uemluep) srgrlu1q 6'8I
xo,LNssuss v,roc9Nv NvcNEIc Axv:I vIlor{vm:r
2U
ANALISIS STRUKTUR LAN'UTAN
(a)
mr= a1,gY'
(c)
mr=
(b) mr=
+t,o-
tf1
-fx'
c;mbG 18'92 Ekspresi untuk tfit, ffi2, dan m3akibat
gaya-satuan tersamiuata.
It{atriks kelenturan dari unzur-khayal }urus, yang sepadan dengan anggota berbentuk -"t", kurva, merupakan bentuk matriks plrsamaan'(ia.i.ta-,inga r), ,::;i-:i,:ri,ia:l.t,.
-:.
r,!,tirr;.r::.
:i::!i1]::;ii:::.ii:;r.,i'i:
ti::ai.i.1l:'..ri::i;:t:1,;l:,.r::. ,:;,i.'-'; ,i..:,: 1: :. i?,t_:r
,".
jl;:iL;: i.i:.r!:1: ::!l!:j1.;a ji,:.!::: i.,:i!:.i.,:. i:::.';. r' li.::,i
',r
*
,.l:1:*".r.;,:,:;:
ir*''ii,
iqi.i;,:r. ji
*i:a
IDI =
(18.9.2)
sesungguhnya, Persamaan (18.9.2) membawakan metode umum untuk menentukan matriks kelenturan dari sembarang jenis unzur takkontinu.
contoh lE.g.l selesaikan lagi contoh
lr{ltsl[Bl ,
yang
di
dalamnya, matriks
lgJ.t [gJ
dengan menggunakan
padanan yang menghubungkan ujung-ujung anggota berbentuk kurva. PENYELESAIAN Dengan mengacu kepada Gambar 1g.9.2 dan 1g.9.3,
sinc:l/VU cosc=41y'fr sina ),= _x sinc + y cosa mr = +1,0y'= +);gy vr1' ' - x,1
x'= x coso *y
,,=+r,o-$: r,o_S
,,=-+I=-%l
[(]
=
adalah yang dari anggota lurus
I'r'8I
qoluoJ rr?lup Ip Buuur.ret?q6 [rfr] tSl
.i-
--"
tfl = [r]
sures
'rIeIoJedlp
tue,(
s>1lrluru
,
r*6#lr
=
tvl
',r.,nli'nttli
.j
rr:iLi.it:- ":,::."i
it.:i ,l:;., a']].:'.i,*.lii:rI.i 't'1,
$il::.
i
-..j
:lii:ii,itii;ii:.t:iit
uuerup8eqes
I Fsed UruIBp Ip ue1rs.nqJeprel
[
7] sry1uu
#ffiffi i$#ffi
"Ifl t
s.eff i:,.:l$ir:.:t:.
=
uB:IBIrnC
tsl
i#ffi
;:r'i,:a:11
gappz eluslaaul tuuz(
'le -l
tol
I
jr
-"'l
i'" '. s.i
;ils
r1s1upc
,.,
H
'lA
S$ir/zur
ffi
=
=
W=
S
ffiti{W,,,tr
*:$fii
*$:,
e{uuuuupud snml elofilue usrnluelal sl!4s}tl
'Ig
S
svla
,7
H
'IA
SFE'u S =
0s6r!Fe+
sv lra
0Z60EI+
s
tffiLl+
H
= =
t7
Sv?ur"r,
S
s
SE;1,
't'8'8I rloluoJ ue{
-unllruclp (z) uB.rtuq upud uepsapluad tuuf
9A
(/ 'r) uBp I1ISV lB11u-p11u u?TBunC
VAIIAX Xn&NeSUeA V.LOOONV NvOtitgq nXVX VX9NVSg:N
228
ANALISIS STRUKTUR LANIUTAN
v 1-
(l
\t
Gambar 18.9.3 Koordinat-koordinat baru akibat rotasi sumbu.
1 8.10 Penganrh Suhu, Penyusutan, Pemendekan Rusuk, dan Gerakan Fondasi pada l-engkungan Terjepit
Setiap struktur, baik yang bersifat statis tertentu ataupun statis taktentu, akan menanggung gaya-gaya dalarn yang timbul di dalamnya apabila memikul beban. Suatu struktur yang takterbebani, jika ia bersifat statis tertentu, tidak akan terkena gaya-lgaya dalam sebagai hasil dari perubatran zuhu atau gerakan tumpuan, tapi struktur statis tak tentu akan mengalami tegangan akibat gangguan-gangguan semacirm itu. Karena lengkungan terjepit bersifat statis taktentu berderajat-ltga, n akan mendapat raksireaksi yang saling mengimbangi sa{u-sama.lain akibat perubahan suhu atau gerakan tumpuan, yang bisa berupa gerak-rotasional, perpindahan horisontal, atau perpindahan vertikal. Jika lengkungan .terjepit yang bersangkutan dibangun dari beton-bertulang, penganrh penyusutannya perlu diselidiki. Dapaflah kita pikfukan bahwa pengaruh dari penyusutan setara dengan yang dari penurunan suhu. Biasanya besar penyusutan dianggap sama seperti yang akibat penurunan 8 hingp 10"c, tergantung pada karakteristik campuran betonnya. Reaksi-reaksi yang timbul pada tumpuan kiri dan kanan dari suatu lengkungan terjepit akibat perpindahan-perpindahan (roiasi, perpindahan horisontal, atau perpindahan vertikal) tumpuan-tumpuannya dapat diperoleh melalui pengalian kolom-kolom yang semestinya di dalam matriks kekakuan anggota berbentuk kurva, yang mewakili lengkungan tersebut, dengan perpindahan tumpuan yang diketahui atau telah dihitung besamya. Di dalam kasus kenaikan suhu pada kekangan dari tumpuan-turnpuan terjepit, pertama-tama dapat anda visualkan gambaran dari Gambar 18.10.Ia yang dalam hal ini lengkungan yang bersangkutan tidak memiliki kekangan dan karenanya bebas memuai. Dari Gambar 1 8 .10. la hingga D, kondisi batas pada tumpuan-terjepit kiri teqpenuhi, tetapi tidak pada tumpuan-kariannya. Dengan demikian pengaruh-dari kenaikan suhu setara dengan peryindahan yang harus terjadi pada tumpuan kanan sebesar BB' cos c ke kiri dan siir o ke bawah, sedangkan Bd s;:imadengan perkalian dari panjang garis lurus.4.B kali kenaikan suhu kali koefisien muainya.
B/
(o) Gambor 18.10.1 Pemuaian rusuk lengkungan akibat kenaikan suhu.
(b)
ii
&
'g'gl' l'gl'g'gl'z'gl usqpr"I ut 08 =
rII.gI tqu.c
u?tuslue8
^o$ooE
3q. & g
i-tffi*''or=X
uauotu (4 uep'lucund rp ueruotu (f;'pluoqroq uetuulueq luduraredas {IlIf Ip ueruoru (a) 'ur+u?ndun1 Ip uaurou (p) 'lucund Ip pTUa^ tue1q1-edet (a)l '14:g-uundurnlllp IsIIUe^ Isryer (q) 'yUluundurnl rp l?luo6uortr Is{?ar (r) :p1un qn-ru8uad suut+rret w1 I'8I rBgIusC upud ry1au4s:p1 uerultql 11de[a1 wtun:;tue;arJ Tnlun Z'8I
-requret'Z'I
S'8I
Ir'8I '€'gI 'I'8I rr€qpl.l I'II.8I rsqure
ut 08 = n?Suslueg
''7 B'xAu,"oct
)@r-0.
'ueFeq dsltes ssleq {Jt!l-{JIl u"p luluoqroq ?recas uztunltuel:1nsn: qutuel-{6ual 1p H/SV. 1llp s"nl ue11edua1 ugp ?urcs leluoslroq .rs1e{ordraq uerteq uadulep rpufueur lngesrel uetunltuel
:1nsnr qepteg ':pcund Ip uetuoru $) uep'pluoqroq uefluuguaq ledruaradas :1J{1 m uetuotu (a)i'I41-uendunlpp u.ruour (p) 'lecund Jp prygaa tuelugl-zfet (r) lJp1-u?ndunl Ip Iu{IUe^ pleer (g) 'pp1-uendurnl Ip pluoslrorl !$per (r) {nlun qruetuad sue&Eret
u"{reqtrrst
'I'II'8I
requ?C epsd srrleuqs uB.rBrFqI lrdefrel uz8rmltuel
ryfun t'gl
uErIBrI
II'gI
zfuuolaq u?sl]s?loe{ snlnporu q?ppe ,fl wp
uetrmltuel rJrsru eped elerete, ue:Ja1-uetrntel rpppo ct :uz?uap 'cflfct rnEuap eutw e{ulnsns-uepgeol uetuep er{uurrplrad efflu.qc udnr uq4urapo6 mlns uurmrnued uu:1 .eunttluaur uutuap ue{Ierqeqp ludzp 1q {rnru nnlepueued qnre8ued 'nqm upurunuad Fep tuuf uaEuap ureles uetun$uE {mru eped uler-e1ur uo1e1-u[eE gep qnretuad uo1 -umpedueur:1qun trmrapuec qsgzuuSued ederaqeq'uz1edz1o1 fure( 1uI quq qrun{s lp nufu.qrp unleq ud8rmltiral
>Jnsnr pls>le
FguroJop : u?:tnurfed zpue
eluqply
v.{\uox ]In&Nasues v&oc9Nv NVSNIIO nXVX VXCNVUXX
LZZ
228
ANALTSTSsTRUKTURLANTuTAN
di tumpuan-kanan. Bagilah rusuk lengkungan tersebut menjadi delapan bagian berproyeksi horisontal sama dan tempatkan luas titik AS,/EI di tengah-tengah rusuk lengkungan secara horisontal dari
titik-titik
batas setiap bagian.
18.3 Dengan menggunakan metode pusat-elastis, tentukan secara numerik matriks
kekakuan 6 x 6 anggota berbentuk kurva yang bentuk dan variasi momen inersianya serupa dengan lengkungan terjepit lingkaran taksimetris dari ktihan lg.l.
18.4 Selesaikan Latihan 18.3 melalui pencarian invers matriks kelenturan untuk
perpindahan-perpindahan di setiap ujung anggota berbentuk kurva sementara ujung lain-
nya terjepit.
lE.S Selesaikan Latihan 18.3 dengan menggantikan anggota berbentuk kurva tqrsebut dengan anggota lurus khayal dan menggunakan persamaan t(l = t/ltsl[J]. perhati-
kan bahwa [S] adalah invers matriks kelenturan untuk deformasi-deformasi
bebas
apabila sebuah ujung dari anggota berbentuk kurva tersebut bertumpuan-sendi dan ujung lainnya bertumpuan-rol.
18.5 Selesaikan Latihan 18.3, tapi andaikan anggota berbentuk kurva tersebut terwakili oleh lengkungan terjepit lingkaran taksimetris pada Gambar l g. I I .2. 18.7 Selesaikan Latihan 18.4, tapi andaikan anggota berbentuk kurva tersebut terwakili oleh lengkungan terjepit lingkaran taksimetris pada Gambar l8.l1.2. I 8.8 Selesaikan Latihbn I 8.5 , tapi andaikan anggota berbentuk kurva tersebut terwakili oleh lengkungan terjepit lingkaran taksimetris pada Gambar l8.l1.2.
lE.9 Untuk lengkungan terjepit taksimetris pada Gambar 18.11.3, hitunglah reaksireaksi di A darl E akibat beban vertikal 1,0-kN yang bekerja di c, dengan metode pusatelastis. Cek dengan struktur statis tertentu dasar yang berbeda. Luas titiknya adalah At =3 m/EI, Az = 8 m/EI, At = 5 m/E16, dan Aa = 4 m/EI" E
N
E !t
2ml2ml 3m
I 3m I 3m I 3m l2m
Guiber l8.l13 Latihan 18.9. 18.10 Tentukan kolom pertama dan kedua dari matriks kekakuan unsur anggota menyiku pada Gambar 18.1 1.4, pertama-tama dengan sembarang metode konvensional (misalnya, metode distribusi-momen), dan kemudian cek dengan,metode pusat+lastis taksimetris.
r
9m
r
-J
Prxs
lJ-*ot PeXe
Pt-Xz
Pr'Xt
Gurbrr 18.11.4 Iatihan
18.10.
T
'zI'8I rr?qlle'I 9II'8I rqurc
'lnqo$al srunl {B} rnsun IIEP gx 9 u?n:F)te{ s)[IrlBlu uB)Inluel 'prn1:1nr1s slottue q?nqas p8eqes 9'II'8I rBqIuBC eped OC7V ue>1n1e1redurau uBP srr$ele-lesnd apoleru uelzuntiluaru uetueq 71'31
'II'8I
'sulaluls{B}
rr?qFg.l
9II'8I
s11se1a-1usnd
rsqurE9
epoleu uetuap ufugseq-pseq ueledela:1 qepfn 'pr wnd
-urn1 Ip L?/rur.tr11 0O0I &soqes uref urnre[rlerues puolselor->pret uetuep uetunqnqas S'I I'8I reqrireg epud n1o1 ulEuurel qelslilryue 'uetuotu FnqIrFIp epoleu uetueq 11'31
v^lrox xnfNsausa v&oc9Nv NvoNu(I nrvx vxcNvllsx
6ZZ
BAB
SEMBILAN BELAS KISI.KISI HORISONTAL METODE PERPINDAHAN DALAM PENGANALISISAN KERANGKA
l9.l
Definisi Kerangka Kisi{risi Horisontd
Kerangka kisi-kisi horisontal yang ditujukan untuk memikul pembebanan vertikal biasanya terdiri dari dua himpunan balok sejajar, yang satu tegaklurus terhadap yang lain. Setiap balok dapat ditumpu hanya pada ujung-ujungnya, atau terjepit untuk melawan rotasi terhadap sumbu longitudinalnya. Jika sebuatr himpunan balok terletak secara langsung di atas himpunan yang lain, maka terdapat hanya interaksi vertikal di
titik pertemuannya. Sebagai contoh, ketig balok timur-barat pada Gambar 19.l.la terletak secara langsung di atas ketiga balok utara-selatan, membentuk kisi-kisi horisontal (/akni, dalam bidang horisontal) yang terdiri dui 12 buah tumpuanantara kedua
dasar dan 24 buah unsur-balok.
Di lain pihak, jika kedua himpunan balok tersebut terletak semua pada ketinggian yang sama dan jika titik-titik hubung pertemuannya bersifat kaku (baja yang dilas atau beton-bertulang monolitis), sebagaimana ditunjukkan pada Gambar lg.l.lb, setiap dari ke.24 unsur tersebut akan mampu menahan puntiran (torsion) sebagaimana juga momen lentur dan gaya-lintang. Suatu unsur yang dapat menganggulangi puntiran dan lenturan, dengan mengandalkan sambungan-sambungan ujungnya, dinamakan unsur'kombinasi balok dan puntir. Ke-12 tumpuan pada Gambar lg.l.lb dapat didesain dan dibangun untuk menanggulangr reaksi vertikal saja, atau reaksi vertikd bersama-sama dengan tahanan-puntir, atau dengan tahanan momen, atau lebih disukai dengan keduanya. Suatu tumpuan yang dirancang secara khusus diperlukan untuk menanggulangi puntiran dan reaksi vertikal tanpa memiliki tahsnan momen-lentur. Kerangka kisi-kisi horisontal pada Gambar l9.l.lc merupakan struktur beronSSa (cellular structure) dengan 40 unsur-kombinasi balok dan puntir, yang ditumpu oleh empat buah tumpuandasar di keempat pojoknya. Struktur kisi-kisi seperti itu mungkin
' uu8uecuurad s esord urepp uz1du1a1p e.,(uesutq rrlund-ueuour punuou IEIIu nlens 'uepl.nuep Eued snsnl urepq 'uznlund :esaq tuulual >1n[un1ad lrB{lraqtuetu >1epr1 rdul lr4npuol IrBp uBrque.l {nlun IEI? {IrsBU
3uu,{ ueqeaaut uagrseq8uaur tue[ uz>Ispllq nluns 'uer11und uolpquEuou I{BI?pB Bs?Iq Euu{ uurcpuuEuad e4e61 'uu1d4a1rp 1[ns qlqal e,(uuuserelese{ FIpuo{-Flpuol uup luEuus rpufueur e,{uuen1ue14u1a1 lefurap 'uuslslluuutuad urepp 3{ ue)plnsetulp IlsoIIJ uBp ug>I?p?rp usrq rrlund-uBueqBl egqedy 'BuIBs tIsFnI?q und uueur Eue,( lopq ueundulnl
ffup
Irep uu{l$?Wp tue,( uenuelred {pp-Ipp Ip lu>llue^ uelnpu0l-u?1npu0[ ?^\qeq WPpB e{uuusurulesa{ Flpuo{ ueEuep'uuqrqalo4-uuqqelo{ rctuqas w>leunErp ledep e{uuenrual -rad>14r1->1r1p rp p{IUeA I$[BlaluI uBllquroso{:?ueqropes-{olBq uermduuq Bnp u?p l4prel ol'l' 6l r?queC epud tstl-tsty 'z{uraurFd Inqule4p{sl 3uu[ teEeqes uB4qolo{-wqlqela{ u?{BuntEuotu uz8uap 'u1e,( 'e,(u8 epolau ue8uap sIsIFIIPIp 'rtlund zduul 'efes lopq rnsun-Jnsun ueEuap leluospoq Ispl-Fpl elEuera4 'lncunur {uoJl{olo relndurol tunloqas
ueqqpuutua; apoler{ Z'6I .u{u1n1ueq esElq
pI'I'61
{el
3ue,( qeuel Sueplqas eped dule n$uura1 rcEuqss uu4zunftp qaloq 'qoluoc reEeqag 'Fpt-lsl1 otl?uotaq lnqeslp esq ru8e
rBqr.uBC eped el8uura>1
n4fueur nples suBq {Bprl lnqesral ueEuolodroq 3ue,{ rnsun-Insun 'z[uruuaqoS 'rrlund uep {o1eq Iseuqtuol-rnsun undnel? {oluq rnsun 4eq tunp -ueEuaul 3ue,{'1u41ral eleces luuqeqlal P}uosuoq IsH-Ispl u4Euere>1 reEuqas slslBu?Ip rlsaur tuB,( Eurlued uep sllurd Jn11;111ls :p{ueq up1llp111xa11r ledup ecequed 'IIsIuB} nlens uped n4edrat-n{q dete rn}{nrls Isfleqos unluzqrp 'resaq letues 3t 'uDltunu nele ,1ereq le8ues EuB,( ueqaq Buelnfflueuour llsalu uep efzq uep lenqJol 'gca1 lu8ues 'Ietuoqroq tsl)t-$r:l ?ISuureX
4lund ueP loPq
IsEulquol-rnsun
,I
(p)
UT
\_rr
I'I'6I
r"qucC
4trmd ueP loPq F?r4qurotrnsun 0t (r)
TtrDtr trtrtrtr trtrtrtr
UT NtrTtr
4lund uzp:1oPq
Iseqqurolmsul nZQ)
)toFq rnsun ,Z (r)
tru trI ' NV.IVC
T8Z
NVHVG NrdUSd
SqO,Lgn'MNOSTIIOH ISIX'ISIX
V
232
ANALTSTSSTRUKTURLANJUTAN
Dengan kemudahan dalam penerapan metode matriks-perpindahan pada komputer, masalah penganalisisan kerangka kisi-kiri horisontal, dengan atau tanpa puntiran, menjadi lebih sederhana sejauh menyangkut penyusunan masukannya. Persamaan dua-susun standarnya.
dan
{x} = [AsB]-'{P}
(te.2.t)
{F*}: {Fo}+ ISBl{X}
(te.2.2)
dapat secara mudah diprogram dengan menggunakan matriks [r{], [S], {.Fo} dan {P} global, atau dengan memasukkan matriks [.,a.98] lokal dari setiap unsur ke dalam matriks [/asB] $obal. Kedua versi program komputernya tersebut.t Di dalam teks tingkat menengah ini, pendekatan pertama akan diuraikan dan diilustrasikan dengan beberapa contoh; karena pendekatan kedua lebih merupakan latihan perangkat lunak. Bagian penting dari metode perpindahan adalah penandaan P-X dan Fe dengan bilangan. Sejauh hanya menyangkut derajat-kebebasan, setiap titik-hubung dapat memiliki kemiringan dalam dua arah acuan (rotasi-rotasi, masing-masing terhadap sumbu timur-barat dan utara-selatan) dan lendutan vertikal, sehingga jumlah maksimum perpindahan tersamarata yang takdiketahuinya adalah tiga. Dengan tiga sumbu ortogonal sumbu x positif ke arah timur, sumbu y positif ke arah utara, dan sumbu z .positif ke arah bawali - ketiga derajat-kebebasan pada suatu titik.hubung tipikal ditunjukkan pada Gambar 19.2.1a, yang dalam hal ini, notasi vektor "aturan tangan-kanan" dalam tanda panah ganda digunakan untuk rotasi. Dengan notasi vektor yang sama, diagram behdabebas unsur-kombinasi balok dan puntiran tipikal dalam arah timur-barat diperlihatkan pada Gambar l9.2.lb; dan dalam arah utara-selatan, pada Gambar 19.2,1c. Dengan demikian, untuk suatu unsur balok, banyaknya gaya-dalam yang takdiketahui bebasnya adalah dua (F; dan F); untuk suatu unsur-kombinasi balok dan puntiran, ialah tiga
(Fi, Fi, dan Fs). Untuk kerangka kisi-kiri Gambar 19.l.la, terdapat 30 kemiringan yang takdiketahui dan 9 lendutan yang takdiketahui'sehingga derajat-kebebasannya, A?, sama dengan 39;ke-24 unsur baloknya membutuhkan 48; dengan demikian derajat ketaktentuannya 1// = NF-NP = 48-39 = 9, sebagaimana dinyatakan sebelum dalam kaitannya dengari metode gaya konvensional. Dengan mengandaikan tumpuan-tumpuannya teradalah
jepit secara sempurna, derajat-kebebasan kerangka kisi-kisi pada Gambar l9.l.lD adalah 3 kali 9 titikpertemuan,atau NP =27, sedangkan.try'F samadengan72untukke-24 unsur-kombinasi balok dan puntiran; sehingga.l// = 72 - 27 = 45. Kerangka kisi-kisi tertutup pada Gambar 19.l.lc memiliki hanya empat kekangan vertikal; sehinggaderajat-
.ffi.
Fl
4/
Fj
v
(** I Prxt
Fi+ Fj -'T-
Fi+ Fj
t,
19.2.1 Titik-hubung tipikal
il
,r/l (r)
Gambar
:f
---L-
dan unsu!-unsur pada
'lp
*,
$ .|}
(c)
{
kisi*isi horisontal.
f Lihat C.-K Wang, Matrix Methods of Sttuctural Analysis. ed ke-2., American Publishing Comp ny, Madison, Wis., 1970. Apendiks H dan L.
fi fl -
fr
&
ru.Nrorer?ru.N) I8€S['t
=
-
=
tu.Nr 68u,e,s_ ru.N:r s6€sz,r
-
=m#h" =
,(€I)
.GX8)t6[rr'r
;rgffir*ffi re#k" ffi *
-=oN - -- rtv _=
"^
- =,^
'uresapued epuel uerfuulred Bn>11 uep 1rdefte1
-Eunfn ueurotu-uetuoru
{nlun
?un8req
tueL snruru-snuru
ue>1eunt 'uapnura;1
N:I T6€TI,I = U
u80t88[0'0 = USItl€r0'0 - 9{9t
- (s'txs'tt)e - (s'rtXs'Ir)er
-
60'0
'lnqesJel gV
u8ot88€o'o = **ffi u8r€r.€r0'0
l(s'r)e
=
oJ
:toPQ
-
gV ue:pures 3v
"P?d
9091160'0 =
= sv ropq eped ay
f.ffi
'cl'€'61 requr?C epud snurnr u?{?ung'qlE'61 ruqueg uped ueplnfunllp eueuneEuqas '63r lopg uped tuef uetuep Eru?s rlsau gv \o1'l"q upud g 1p p{pre^ uelnpuel BAguq qqspe uduueserqese{ rslpuo) 'uB -qlqalal reteqes Ie8ilurgel qrseur Euef 'y '{oleq rulrru Is)prelul e{ueq 'edueueru;tr rEgruBC epud lrdetrsl-Eunfnreg {opq {n1un snturu qelo ue:lsndeqrp efuueqrqelel ledtua 'eru11-luferepteq nluel {Bl srlsls l?Jrsraq p1 e43uere1 'cl'E 6l
qu1a1
undp1sa11 'ruI IBos uer?seleduad urepp ue>luuntrp uep , I ' €'6 I rBqruBC e ped 6uqnm lnqesrel Ferdsle 'ueqepnuro{ rrueq'lesndrel rreqeq nl?s In{ruraru tuel >1opq eped tuurequres rp u?lnpuel {n1rm pardsle uelueqrueru unlunuad-n1nq uderaqeq 1r1r1
'Isulor u?A\BIeru {nlun lrdefral O uep
'J 'g
'y uendurnl-uendunl vep '(D Iol?q s?18 rp Eunstuq ?reces )felalrel grf {oIBq 1ttl prtr tuupp tuef 'Dl'€.'61 rBqruBC zped pluosuoq rql-r${ u16uera1 qelsrslleu? 'uequpurdred epoleu uutuap u?rpnue{ uep ui(et opoleu ueEueq I'g'6I rloluof,
'ln{uaq qoluoc urEpp Ip uE{sDInIrp ?tr?ru -nEeqas 's1u1eu {nluaq ul?lup lnpns-uerluqn epo}eu uelleduaueru u{ueq uequpurdrad -s{rrleru epolepqeloredrp uelnpuefuBtnpuel uup uutul4ural-uetur4ural ufuupudpup 'uu11nurs uesurBsrad-ueuuresred qeloraduaur eEturq eruseloJtuetu uup ufulnpns-uBrl?qn ueeurusrad Bnpo{ unlsrlnuau uetuap ue>punSrp qaloq lnpns-uurpqn apolau 'sryr1eur rselou-Iselou ue>leuntfluaru snreq uduel 'uuqupuldrad-epolau 1oduo1a1 tu?Iep untrleg 'uBqqelo{-uBr11qele{ rctuqas uapunBtp uol8ueuaduaur erecas ledep eduuunurouad {-rlp
-Tlp !p IBIIUaTT $[sJalu-r BuarB{ 'ueleuntradrp }udep tuud opolaur uapdruaur qpuu efet epolaur '1opq rnsun-rnsun u{uzq tunpuztueru Is.DI-Ispl u4Euural nlens qrqudy efes
{opg rnsu;l uutuap FpflsDt uliuu.rey g'51
'pme ryfas 41d -rp sru?q ntl edu:pdueq tuef u?wqele{-uBqlqalal 'e,(e6 apoleur ur?l?p Ip qBIBr(u?q 6,r iuetugas uu4edrueur uunluoryu1a>l 1uferap 'uuqupurdrad epo]eu UBIBp Ip 'e[us n1ua1 71g
'6t =ZE-yS -.f1Vuup:tS
=
(tt)g =gN:ZE = [t-(Zt)e] =dll {epp? ufuuusegaqa:1
' -nv.Ivq NvHvqNlirugd sco&er{ lvJ.NosluoH rslx-Isrx
882
! ,
il
ANALISIS STRUKTUR LANJI,JTAN
234
$
i J
it
3kN
fi
f
# ,t
l
'ffio
EI umtrk AB = 600 kN.m2 (pend. pipa std. 4-in.) E/ untuk CD = 250 kN.m2 (pend. pipa std. 3-in.) (a) Kerangka kisi-kisi yang ditunjau
(b)
AB
lR
dan CD sebagai benda-bebas
W
o,:
ffi
o,=
H#,untukx=a
oot - 3ax -
bx), untukx<
a
Gambar 19.3.1 Metode gaya, kerangka kisi.kisi Contoh 19.3.1.
(c) Rumus-rumus yang berguna
(b) Metode perpindahan. Karena tidak bisa terdapat gayayar.g takdiketahui yang bekerja pada unsur yang mana pun, jumlah minimum unsur yang harus digunakan adalah empat. Penomoran P-X digelarkan pada Gambar 19.3.2b, dengan: X1 adalah kemiringan lawan arah jarum jam di E pada balok CD apabila dipandang dari kanan ke YJlri, X2 adalah kemiringan searah jarum jain di E pada balok AB apabila dipandang dari depan ke belakang, dan X3 adalah lendutan E ke bawah. Penomorar. F-e dicantumkan pada Gambar 19.3.2c, dengan: semua momen ujungnya berarah jarum jam apabila dipandang dari kanan ke kiri atau dari depan ke belakang.
Ketiga persamaan keseimbangan
di titik-hubung
.8, sebagaimana teramati
dari diagram benda-bebasnya pada Gambar 19.3.td, diekspresikan dalam baris matriks
lAl
x
t
2
{
.i3il
5
I lA}'e =
:
,,lr'.,,...
"'7,6';,:
6
7
-,1.0
* lr0
.I
*l
,.8
+r$
+I,0
2
t
baris
yane dicantumkan di bawah ini:
::..'a.,1.
]**
. 1r5.
.l+$..'
-! ':tt
,,,8,,
+:i
Sejauh hanya menyangkut isi matriks [A] , akibat X1 lawan arah jarum jam dipandang dari kanan ke kiri, €o = -Xr dan e, = -X1 ; akibat X2 searah jarum jam dipandang dari depan ke belakang, €2. = *Xz dan e3 = +X2. Diagram-diagram perpindahan akibat X3 dicantumkan pada Gambar 79.3.2e, dengan: e adalah rotasi-rotasi searah jarum jam dari sumbu anggota terpindahkan ke garis-singgung kurva-elastisnya; maka
Xt
et= ez= -13
Xt
e5: e6= -V
.Xq q= e4: +76
et:
ee=
.Xt +i
rl?I?pB
5fl*
,i-,
SFJr,: ,#*,;-,'.
S:1: 0{r{
= 8xe[g]
{ srf
*l$l-
dI+
o#l+
',:.fi::
$?r* al:i::.,..i
t:
L
I
[g] s{rrFru 's4r1eur {nlueq rllel?p u?{tunluBcro
I'€'6I qoluo3
Iuuqupurdred epo1e11 lsp1-Fpt e13uera1
I = CN'a-l
vetouroued
Z'g'6I reqrusg
(r)
lldefrel rspuol e(eg $) u,(uqn6Sunses
9t0'I+
EriF tt+
tu?d q?re
uruJup qeued-upue1
,16'I+
ETF
€=
dN 'X-J wroruoued (g)
N{e €X leqrxd u?qspqdrad
ur?$qq (r)
mfunlrp
Eu?,(
('rq-g 'pfs zdrd'puad) ('rn-, 'pls e{d 'pued) s?qaq-Epueq letuqes
g Sunqnq-4111
ot
eiI+
t$trsrl ?fu?reX (r)
zu'NI zu'NI
1p1
092 = O, ryrun 13l 009 = gV youn lg r[
0l
tt
/
s'L
tJ
"r"r,| ,;ru
.r,
1! + Lf-
' wv.rvo NvHvoNrdusd scrofsfl
982
.Iv.LNosIlIoH rsl)rlsrx
236
ANALISISSTRUKTUR LANJUTAN
Isi matriks [,S] adalah 4EIIL dan 2EIf L dalam kilonewton-meter per radian; maka
x lSh,o =
t'
f
}ffii
2
't# ,:ffi
3
li, l
s
4']...
,$s.
.*
,:!iS,::'
,-{.
''Im
':r:l&;
j'
!ffi
,q]
{&{,.
1: ,:.*,
Dari Gam bar I 9.3 .2f , For= Rol
Maka isi matriks
=
Eay a- Eay a k on
-4,32kN'm -
1,944
kN
disi-terj epitnya
{F*}
dalah
{P} adalah
Dari kedua persamaan: dan
a
Fol= +2,EtkN'm Ror = - 1,056 kN
Pr=0 pr=-(Fa+For)=+432 {X}
,:ffii
.:
pr:-(Rn+Rlr)=+194,4
Persamaan (19.2.1) dan (19.2.2), matriks keluaran
adalah
'-
t.
,:ir,, tf.*i:ii.ir,i|". ',::.ri:.!ritjir:.:_:.::t
,ffi
1i,;..r,:ra:,'ri:rr{
i::i1. ;rr:-ri
iiffi
{X}r,' =
llt
{F*}s'r =
.
l::::.*F::*
I I
.$ffi
8ue,{ msun
'u?nlund lu?I?Sueru I't'6I ruqurs5
In}un }lde[ro] IsIpuo)I
7:
Dl
7 t qt- -qi.
W
de]3t
Ig
ro-rffi-rg
-ednroru InIEI Blpl eles ru?q 8ue,( ueseqeg 'Btues qelsnreq 'ra^olllue{ derlas t:ep qeloredlp 8ue.( nlrs Ip IB{I}ro^ ue}npuel u8n[ uep ',( uep x nqwns depeqral g p ryEa1 Euedueued rs?1or-rs?1or B.{,\qBq r&lepe e.(uuBsBrulose{ ue?luBsred ueJrqurasay 'seqeq Euu.{ Inqe}o)l -lp{et 8ue,{ ueqrqele{ uulrquos leduprel 'g Sunqnq-4}Il :n uuEuequlese{ ueuuesrad e8rlo{ il{nuouretu sruBl{ lnqosre} rnqeloIlp>lel Eue,{ 31-e>1 Eu6;?)'P{lUa,r e,{eE qunq -es uep'.rnlueyueurou qenqos 'ttlund-uaurou 9'rnqas :mr{etre>IJp{el tuef, e8rl leduprel 're,reglue1 durlos Eunfn Eped 'nluolrel slluls is3lsreq Sutseur-Suseur 3ue.,( 'reaalrue>1 ledrua rpe[uetu uB>I.IBsIdIp ledep lngesrel ne[tn1tp 8ue,( rn1>ln4s '/fl uuqoq In>Ilueru efuuapsrrlp Eue.{ ltdafrel-uendurnl ledure ue8uep e13uere1 uup .? uunure]rad 41111 eped uurusreq sEIIp Z'?'6I r?qtue9 eped efuq edrd Buedru?uad ludueal ue>llspuY 'urqeputdred-s>llJ1etu epoletu ue8uep sISrI?uB -lp 4saul uerrlund ueSuep Fpl-ppl el8uetel 'lesreiuun ereces ldtueq 'rut; 's4tr1eur tsul -ou ruelep npedrel elod t1n1€ueur ue8uap relndruo4 uped sasordp rulB slleruelsls BrBc -os uulresaleslp tedup lrlpues rut ueuuresrad-ueeuestad 'u,(e8 apolotu tuBIBp Ip Euuf uup reseq qrqal Euupe>1-Euepu{ nulu resaqos ?slq ueqBpurdred apoleur urBIEp Ip u?{Isseloslp n1:ed 3uz,{ uBllntuF ueeurusied ufu1u,(ueq undqsell 'u?Wqelo>l-usqlqele{ uup efta1eq 3ue,( ueqaq-ueqeq qelo u?{leqplelp Suef rseuro3op u?r?saq 1e,(ueq uenluaued ue>1n1 -retueru e.,(ueserq e.{e8 apolau uBIBp u?s?r?lose{ $Ipuo>l-Islpuol ttup 'Ftt4t le8ues Euer{ u?nlueDlgle{ lulurep DJIInuoru 'uurllund elllopuetu Eue.( euzqrapas nDI-Isp{ ulEuerel ue>il{?g 'delo} e..(uruund-ueru1n1al uDIIBSB 'I'l'61 rBqurBC uped ue11n[unl!p Bugru ufulrdefrel $Ipuo{ tuelsp Iq?er rtlund ueurou-ueuou 'upatu uepuq -reBuqes r{BIuu>Iu
-ue6eq eped rpzlre1 ru1ze1 Euel( eueune8eqes 'e,{uEuefued l{nrnles tp lesndrel 4lund -ueruoru In{luratu 4n}un uolnlnllp ?Furnsun e1lI'ql1'61 Equr?C eped ue11uq1ped1p euuurreEuqas qBIue>IE efuseqaq-epueq urerEerp 'e,tuEunfn-Eunln tp luncel Iugqaqral{gl rrrpues u{urnsun sIIf 'u?Inlue1 llredes e,(upeq surus Brucos uertlund 6ue1n3llueuaur ludep u,(uEunqnq >fl1I1-T111 ?reluu Ip rnsun derlas 'stqouotu ?rucos rocp Euu,{ qnln Euelngeq-uo1aq cqtuere>1 nule eft6unqnq-{}11 eped supp SueI uleq edtd uderaqeq snsel ruepp qredes 'm1u1 leytsroq Fpl'Isp{ el8uerel nlens eped tunqnq {I111-Tlll epqedy ueqlund u?p {opg Isuuquo)-rnsun uu6uap FltlsrJ
opuera;
7'61
'ue>ln)plp q?lal Iui uelaca8ued-ue>1ece8uad 'ue:lurnluectp 1epr1 undtlseyl I'u
G'z'6r)
{::}t;t
; l{l
llu
- 'xl - -I
eE8urqas edru uerlruapes'(q vep DV'l I'I I) uep (€'tI'I I) u?Brrr?sJed r1n:p8uatu suuq ei(ursetuJoJap ue{ece8ue6 'tseuro;ep ue>lace8uad ued -?Iep u?p ?{B?ls uuleca8uad etrl epu srueq 'ertuuerenlel laceEuetu Inlu1
' nvlv(I
LgZ
NvHvoNIaIuga gqoJsl{'rvrNosllroH IsIv-IsI>I
Y
238
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
(r) Struktur yang ditinjau dipisahkan
(a) Struktur yang ditinjau
rnenjadi empat kantilever Gambar
19.4.2
kisikisi
Penganalisisan kerangka
sederhana dengan metode gaya.
kan ilustrasi tentang metode-penganalisisan gaya, yang menghendaki agar penganalisis memikirkan metode yang sesuai untuk pemecahan setiap persoalan khusus yang mana pun. Penganalisisan kerangka pada Gambar 19.4.2 dengan metode perpindahan akan dicantumkan kini. Contoh 19.4.1 Dengan metode perpindahan, analisislah kerangka kisikisi horisontal pada gambar 19.4.3a, yane dalam ha' ini empat penampang pipa dilas pada titik E, dan empat tumpuan-terjepitny r terdapat di A, B, C, dar^ D.
,-, \?/"
z1 y)/F)n '"J 4,4'uJ*' o'i + -To-
3kN
F5+ F6
---EAB: El=600 kN.m2: GJ=480 kN;m2(pipa std.4-in.) cD:Et= 250 kN.m2; cJ=zoo tu.m: (fifa sta. l-in.i (a) Kerangka
kisikisi
yang ditinjau
(d) Titik-hubung
.E sebagai,trenda-bebas
--*-_E-
---'
-''--=-l:-' (e) Diagram perpindahan akitut X3
(D) Penomoran P-X,
3kN
NP =
+l,2
Tanda-panah dalam arah sesungguhnya
L2
(c) Penomoran F-e, NF = L2 Gam'Uar
19.4.3
(f)
Gaya kondisi terjepil
Kerangka kisi-kisi dengan momen-puntir, Contoh 19.4.1.
b
x, p,r o'e* qrne r;"fi ;fi
0, 9Z
8t
ZI
II
OI
6
w
zt
-
o'I
Y_
7t
II
= ztxzr[s]
OI
\c a\
6
'T] i;T'Jl#:JJ;' 3/{?'ffi Y",T,;"i: i'f;ffi
II
+ ',. o'l
6
6!I +
OI
0:l*
I
z
E
i
= fxzr[9,]
x I{?IBp?
Iur l?os :1n1un [g] s4rleur. LUBIBp rp u?r{Bqu?l srreq ledurael urp11 ';rleBeq zI2 uep ;rlrsod tta 'tX qnrz8uad lyrle8au oIa uep grlrsod 6a edrueq uele Iy qnre8ue4
t 0lr
*
'zt lpefueru
0:€d
[/]
o't +
L
6
OI
olt+
01-
II
s>1r4?uI tuulsp
= zrxt[v.]
I
X
Ip ue>11ndurn4rp egqude
tuu{
orC-6J+=rd
zrC-iljJ+=zd
qelepe zrg e33uq 63r qelo r8uelntEluegp lzdup ?uei 4 eie$-efiil'pE V'61 rBqIreC DIIItuetu Ilseu IIBO ' I'€'6 I qoluo3 1n1un Suef 1r$qelaur ueqeqlu?l tuolo>1 ledura rur I?os {nlun [y] sTr1ery 'tfll uop'[Sj '[g] '[7] uotrsou slt0ow (q) '6 = IN'7,1 = ,LN'€ = 4,r 'lul IBos Inlun 'e1e;41 '>pre1-e{zt tuesedes rnp tue{ ueBuep ednres eIurol4a,r-ro1>lal tue{ llund-ueurour SuBsedes uqlEqIleut ul eilAu1r\ 6.{ Fep derles iry'E 6I r?qureC uped 3uet( ueSuep edntes c€'V'61 requeC eped a-g eurelred uerouroued uedelepey 'qesrdral Suef lopq uped zpereq Eulseu-Surseur ?ueru{ I4?I-Blu?s-nles sedepel zX uep IX nll qoluoc tuepp Ip IdBl 'qZ't'61 requ?C eped 8ue[ ue8uap edn:es efuuet?qflal S€.'b'6l rBgIu?C eped y-4 uerououed .?{eleq sr}Foel le}Isreq g InFIeu 8ue,( 1e3a1 Suedueued uzp tueqnFaq Ip I?lalral A {llll 'ufuueulelual urel?C '€X q?l?pe Inqe}e{pry} edrd-edrd ruelsp
tue{ 1erp1ra,r u?lnpuel uep ?'X uep IX quppu efulu8al Suedueuad mqu1e4rp1u1 tuz,( rselor-rselor g Sunqnq-{Rll IC 'a-l uDp X-d uDtowouad (o) HVfVSgfSLNAa
' nrv'rl/c NvHvqNldltsd Ecorsw'IVINOSIUOH ISIX'ISDI
682
24O
ANALTSTSsTRUKTUR LANJUTAN
Matriks {P) sama seperti yang di dala{ {&ntoh 19.3.1
\Lc P\ [P]r,r =
I
I
0.
2
+4,32
3
+1,944
(c) Matriks keluaran
x
{Xh,' =
LC
:
lxl
dan {
F*}. ttt"trit.
keluaran
{X} dan(F*}
adalah
I
I
+Q0035903 rad
2
+0,008E344 rad
3
+0,M29l2rad
\Lc F*\
{F*}r2,,
:
t
I
-t,332U
2
+0,08065
3
-0,65493
4
+5,48494
5
-1,23013
6
-
7
+ 1.85664
8
+2,2156'l
9
+0,22978
l0
-0,17233
It
+0,22086
t2
-0,35338
|,45453
(d) Pengecekon statika dan deformasl. Untuk soal ini, akanlah terdapat tiga pengecekan statika dar. 12 pengecekan deformasi. Meskipun tidak dicantumkan iengecekan-pengecekan ini telah dilakukan. (e) Diskusi. Penampang-penampang pipa tersebut secara relatif memiliki tahanan-puntir yang lebih besar ketimbang penampang-penampang terbuka lainnya karena nilai-nilai GJ ad,alah 80 persen dari nilai-nilai ^81 apabila angka-
X derles rrep ueuoduo{-ueuodtuo{ re}Jsp lenq e1r{ qelnlJed Sunstuel {Bl Breces 'epue8 qeuud epu?l ruelep IseloJ-rselor rlsl?po X ery1 'ei(uurolo{-uolo{ InIBIeIx un{r?selesrp ledep e8n[. [gr] uolns?ur sTrlBII '[gl uo4rsow st1ulo74J Q) 8'0+ =.,rO !'g- = zt+y '[+: tt*O 'l-: tr.zy
'I1 =6ey g'0+ =
sy
'l- =eLv l-:edv
'I=6ty /6y ++ =
'l- =ttv 't+:cey
9'0+
$+=eV
9'0+ = zt-c, = otsY
'I -
8'0- = zt+o = ol'Iv
9'o+ = 'eY
l_:^v
'l+:ztY
'l *
:
eoo
8t0+ = rrY
'l+ =BV 'l+=tzY
qeppe Iy] s{lrleru urBIEp rp lou{Bl rnsun-rnsun 'B^uurolo{-uolo{ InlBIeu Iy] s{lrlBru ue{r?solefueru uep 1eluatu or?ces nll uersqur?E-ueleqtue8 lonqtuatu ledep 3ueroeses ip7.7.61 rsqlupc epud uelleqllredrp aus1( Iuedes ruertBlp Bnrues us$pqrustSuetu nlrad qol{epl} ue{q?q 'urnurn Preces '8'!0+ = zr-e9r usp '9'0zt-ty'9'gq = ct-e pr qeppe IVl VeP s?laqBnpe{ uolo{ luelsp rp = zt-s {.9,0- = zt.{9'OIou )tel rnsun-rnsun u:1ep'eTSuefuudes 1p 2r.48'O+ uep's73uefu?des Ip Sueluedes Ip ?IJ8(0- '€d Suefuudss rp 2r.19'O+ qeppe e.i(.uues?qeqe{ ztl enpa{ II?P ueuodtuo:1-ueuodtuoy
'n4
-l?tBrop Suetuedes \p pn'V'61 reqlu?C eped
'0I/I+ = L6y uep'9'0+ = LeV'8'0+ = Lsy qelepe [fr] Fup qn[n1e>1 uolo{ ru?Iup rp Iou {El rnsun-rnsun u?I{Iurep u?8ueq ' L.tOt I I qspp? 62r run:nueur Suel td8'0+ q?lup? 61/rg uauoduro{ uep l eg Suefuedes 1p t.{9'0+ 's7 Buufutdes Ip
rJrpuas tg usuodtuo:1-ueuoduroy'e{uueseqeqa>1-lefurap qBrB tu?lep W'i'61 dr ulelsls urelep Ip BlBreuresrel s1(BE 3tl1a{ 1J!-p tlltlata ueuodtuo{ u?{?duau qe1ue:p [7] sryr1eu trep qnfnlel uolo{ ur?1ep rp
requ?O
-ueuodtuo>1
rnsun-rnsun 'u.fueuetey '4 etefl udereqeq rtuequntuaur ndumut qn ue,trul edet -e{e8 iru1 rnsun Sunfn-Eunfn Ip Sunqnq >111l1-{llll eped e[re:1aq ue{E rur e1urelrres -rel eIuB Btrle{ ue^\el 'W'n'61 reqIuBC uped seqaq ?ued t'g ruelsls qepe[u11 'efuurolo>1-urolo{ rnlelalu efuuelnluauau rlEIspB ledal tu?f [7] sry1eur'uu1 -lud?puaul {nlun sueqrepes turpd tuei( erec 'untue11 'utltunu Euuqrapeses lnqes -rel desuo{ uBIB/r?queul :1n1un 'Eunqnq-{Iill ssqeq-?puaq uerturp depuqrel ue -leuretuad IrBp ue{nlualrp tut{ '?{I}Els ueeutesrad nluns ue:pdnlau I f] s{u}eu 'lyl uotlnsow srlluDru (q) ruBIEp
eped
!p sueq du11es ?^rqeq ue{us{e{p WIoI
uqln[unllp
't= IN uup'ZI = -2r1,r: uu8uep'cuep qp'y6I rBquEC BuelurcS?qes uB{n>IEIp a-d uep X-d uerotuoue4 'ttmqnq-:1pp
lN'6
ledua uep rnsun ]edue ludepral
'a-l
uop X-d uototuouad
(2)
NYIVSA'IAANAd
'ur/NI 9'0 resaqas efusele-rda1 EpBd ?1er-rteqrel uugeg Inrytuetu >1n1un ueln(nllp uep ?rutuell etq eped ndurnlp ?uvf,''oP'9'6l rBqurEC Bp?d dnlnlel rsrl-rsl{ uqtuurel qBIsIsIsuP 'ueqeputdrad epoleu wtueq Z't'6t qoluoC 'ue{n{ -?Irp qelrlsetu uurrlund uup {oteg rsculquo{-Jnsun ueleuntllueu uetuap de{8uel uBBslleuetuad '4o1ug 1s1s nl?s L{Elos eped n4s-n)[ts Prellr8red BpBd Bfte{aq 3ue/( lBsndrel u?qeq lens rlredes 'I?uJels{a ereces e$a1aq tuef rpund ueurolu-ueuour ledeprel qntlluns-qn8iluns 6ueri snse{{nse{ urstep IP i uetuequ4red qnued uetuap efes n1ua1 '8uu1ngeq-uo1eq uuSuecuurad urepp ufuturzul '1r4 ue 'usrlBqruBl t?8Bqas I?uluou 41und-ueqo4ole{ uB{lrequeu rl?lpntue{ uBp
u?{nryIlp q?lsnjPrl
-{spull
sqrlouour ereces untuuqrp 3ued pluosgotl lq{{q{ e{tuerol ueeqpue8uad urupp uerrlund up{pqeeueu ssrleu?tued 1efueq 'Irurnluel lnltuedueur e[ueq qnefes 'edetueru ?^uuesel? qsful '11ce{ dn:1nc er(u4lund ueutou-uoutotu uap '?IuEs tue{ re1ru fe:flull EpEd ?p€req a^uunutn rnlual ueurou-ueuron 'uu:ltungqred -rp Bfurlund-u?uBrlel egqude w Zl6CtO'O eI €€rtrg'O IrBp urunueu uduuq g 4t1 -rl rp uptnpuel'uul{ruep undlryep '17 = t uep'SZ'0 qqupe rl uosslod tutpuuquad
' ' ,rlv'rvq NvHvoNralusd sqo.Lsn lv,LNosluoH
T?Z
ISIX'ISIX
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
242 4,,
\
0,6 kN/m
(d) Sistem tr' tipikal G.I konstan = 480 kN.m'?
(Untuk pendekatan pipa std.4-in.) (a) Kerangka kisikisi yang ditinjau
(D) Penomoran P-X.
NP = 9
Tanda panah dalam arah sesungguhnya (e) Gay a6ay a kondislterjepit
(c) Penomoran F-e, NF = 12 Gambar
19.4.4 Metode perpindahan, kerangka kisi-kisi tertutup, Contoh 19.4.2.
di
sepanjang arah-arah e, yang juga dalam tanda panah ganda. Sebagai contoh. komponen-komponen X a ad,alah +1,0 X a, di sepanjang e 2, +0,6 X a di sepanj ang eg . dan -0,8Xa di sepanjang e 12. Maka unsur-unsur taknol di dalam kolom keempat dari [B] adalah B2a = +1,0, Baq = +0,6, dan Bn-c = -0,8. Sejauh hanya menyangkut pengaruh-pengaruh dari Xs, ia cenderung untuk memutar sumbu
{
o=6126't+6126'l0 - ?l6}'t - El6O't + o:6116'l - 6Ll6't+ 0 = z0zt'8 0 = 6Lr6' y
'6d fttefuedes IC (6) '8dr 8uefu?des rO (g) . r2, Euefuudas rq (1)
'?
'ed. euetu?dec
+
"g
+
'ed
- (8'o\rLqL'E+ 0'0Ds0I0'6+ - o'o)rrgt'€ - (8'0)s0r 0'6 +
o = $'o),4g/E- LLB6'r + (g'o)sola't ,Q = 8829'€ -o'DrLsL't+ (8'0)S0Il.'t 0=€t60't-€t60'r+
Suutu?des rC
(9)
Euefu?des rO (S)
Suefuudes rq (7)
I(
(€)
'z2r Suefuedes rq (7) ' rd Eu?Iu?des rd (t)
0=8829'[-8829'€+
: ln{IJeq reSsqes qelepB ?^,(uu3{acaEuad ueyquresex' ?s' t' 6 I Jeqruec rpud ue4leqrFedrp uurnluel uuauep uE8unqnqes rnsun-Jnsun sBqeq -ppuaq IlI?Spr( 'p^uups?qeqerl-1e[erep uBFqurese{ Euefuedes Ip B{q?ls trel0cetued
u?[quas ledeprel qBlrlseur 9191'5+ =z!J $C It
S0II'I + = ZOZ?'8- = }9,0LZl'0+
=8x 'x
'rur leos ut?pp Io 'qlws 6115'r- =olt l,t
€160'r+ = IC iC [c S010'6+ =
,I60'tLotLN',}+
=
= Lx rX'
99020I'0- =
686110'0- =
unlacatua4 (t) 8SZ9'€- = [C lC
6Lt6'r+ = LL86'l
8829'€+ =
+ = lC
€160
t+
:
I,C
Se996t'0+ =5X 9Z8E€0'0- = sx
I0€t0I'0+ = ex 'X
518850'0+ =
99|9ZO'O-
='tX
'q ueP os't'6[ rBquEc sPBd ei(uqnt -Sunses e{ereru qBJB-qerB ruulup uB)plnfun1rp uep rrn q?ihuq rp ue{unlu?clp {*.d} ruel?p rp rnsun-rnsun 'eIuuerenlal s{rrlBru {ocetueu eueun:e?e{ uEp B^uuB{ns?ru s{!J1?ru€{u1?u l?nqrueu BuEunBE?q uDplnfunueur qqq
,i"p {X} s{Irtreru
Irn qoluoc uenfnl'Z'5I l?s?d urepp Ip uB{lnqesrp tuu{ ralnduro{ tusrtord IJ?p qeloredrp efuuerenls>1 $Irrluur-s{rrl?n '{*/} uDp {Xl uoonlaq srtupry A 8'0+ = 8d
0,9- = td
Z'l+ =6d Z'E+ =Ld
0't-
=ed
Z'Z+
=ed 0'l+ = td zd Z'e- = td
0'S+ =
u?p
'0=zru =sd mc
'0=rr{d' 0'S- =4d
0'S+
8'0-
8'0+ =
qElepe f
dl
=
tu
'0 = oric Z'E+:nt 9+ = aC
oc
'0 =
Z'e- =nt S- =roC
uep { oC} s)tulslu tuBIBp tp rnsun-rnsull
'at't'61
rBqtuPC
eped ueryunlueclp el(ulldefrel-rsrpuol efet-edeg 'ldl uotlnsow sttl,tlDry @) g, - zr-zrs 0g = il-l's 0zI = or{rs g? = 6s 0tZ=6S 0ZI=.8$ 0ZI=&S WZ=uS fi)€ = es OsI = es OsI = ss 0Q[ = srg 009=rs 00€=f's 00€=trs 009=€€s o?Z=aS 0ZI = rzS Q!1 = ztg Ofl: ttg 'fgl uotlnsou frtlttoru (p) I{BIBW [S] s{lrlBtu
rrrBIPp Ip IouTpl rnsun-rnsuo
'ltV1 = [g]
s,rrlI?q IrBrluPIBfeu
{nlun uP{
-n{BIIp nplas sruBq ueleceEuad n}Bns '8[Bs n1ua1 '91/0x. uPSuap 8a uPp ta (lnBI -Jntull qsJB a:1 Suepuedp etn$ urut runr?f qBrges Jnlual rsBloJ-rsBlor Psagredueru etilqqes l(mu1-mun1 rIBrB oI tuepuedrp) uruf urnwf rIBrP u?^\q I{BIB urepp 8-L rnsun nquns JBlnrueru >1n1un trmrapuec stnr er iplay:uetuep ,a usp €a ure[ urnr -?f qsrBes rnlual rsBlor-rsplor rs{npereru eStqqes 'ure[ urnraf quJ? ut?Isp ,-€ msun
' ' ,{vIvc
8VZ
NvHvcNrdusd e(IoJexl lv.LNosllloH IsIx-rsI]I
244
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Dari Gambar
19
.4.5c, reaksi-reaksi diA, B, dan D adalah
Rt =
1,3279 + 2,3921
= 3,72 kN
i: :1;il,iii:ll1 I = l:fr IX Ketiga reaksi ini akhirnya diperoleh di dalam metode perpindahan sebagaimana digelarkan di sini. Sebenarnya, untuk soal ini, mereka dapat ditentukan sejak awal dengan meninjau seluruh kerangka kisi-kisi tersebut sebagai suatu benda-bebas dan meninjau keseimbangan sistem gaya tak sebidang tersebut. Maka ketaktentuannya berada semua di dalam kerangka tertutup tersebut. (h) Pengecekan deformasi. Mesti terdapat tiga pengecekan deformasi untuk setiap unsurnya, atau seluruhnya berjumlah duabelas pengecekan deformasi. Ketiga pengecekan deformasi untuk unsur 7-8 apabila dipandang ke arah timurlaut akanlah dicantumkan. Untuk puntiran, sudut-puntir di titik 7 denganvektor ke arah luar dari unsur ditambah yang di titik 8 juga dengan vektor ke arah luar dari unsur harus sama dengan puntiran total di sepanjang 7-g;sehingga dari Gambar 19.4.5a dan b, [0, 10730 I (0,8) + 0,033326(0,6)] + t0,04 I 989(0,8)
-
0, 102066(0,61r
: ffi-!9)
0,078488 = 0,078488 (Cocok)
o,t27w E $
8,4202
0,007407
4,0913 0,058875.
t,9877
0,041989
(a) Rotasi dan lendutan titik-hubung lentur dan puntir di ujung-ujung unsur
(D) Momen
a'@ra6tP$}ts)8'a202
t+
4,3279 ra 6
,1
1,9279
N r:f
o
+-gr KU e\*/ r,orr:( 2,392t
i
t
3,fi79
(d) Pengecekan deformasi di titik 7 dan 8
(c) Dagram benda-bebas (hanya beban transversal) Gambar 19.45 statika dan deformasi kerangka kisi*isi tertutup di dalam contoh 19.4.2.
'z'6l!trP-p
I'5I uBqIl"'I I's'6I
IsqUr?C
r u?lsuolI3r qnmles
ue{Bun38ueu uBBueO '?^u}BJ?q-Jnufi} {opq e8r1e4 qeneq rp SunsEuel ?Jeces lelelrel eduueleles-zreln {ol?q efup>1 '7'9'51 reqtueg Bp?d IsI>l-IsI{ e13uere1 tu?lep IO €'6I 'Iou rIqBpB 'e[uuelnpual uelng undqseu 'n1p rp ue8uuuerl 'I4eurrs-sfiBa 'rnsun ledule uep Sunqnq-{Ilp euII ueSuep epud Euesedrp Sunqnq-ry1ll n1?ns "fq?dv 'rn11nr1s rlnrnles rrep ledrueredes er(uuq nefuttr epue qelledep 'epue8 uesrrleulse{ ?uerey 'ueqepurdred epoleu ue8uep I'6I u?q-IlB'I ISI{-FI{ e>ituerel qelslsrlBuY Z'5I 'Btues uern{nreq ?fu>Ioleq Bnrues uBp Ip{IUe^ ue3ue{e{ edueq ueLrrequeur e.,(uuendurnl uedelepe{ P^\q?q u?>l -Iepuy'{ol?q Enures eped leluosroq lerefrad eures 3ue.( eler-t3eqre1 ueqeq 1n1un er(23
epolatu ueiuep qelsrslleue 'ueqrqelel ru8eqas u,(uuenureged Tltl nles qBIBs Ip Is{?lelur uapunSSueur ue8ueq 'e,(ulereq-rnur1 {oleq ?npe{ qB/\\Bq rp Suns8uel ?reces >lelelrel {ol?q enpel '1'g'5I rcqI'uBC eped rsnl-tst1 e13uere1 ur?I?p rO I'5I
ui(uuu1e1as-er?1n
uErIrlB'J s'6I
(009)e*
ioil(sorr'iD
({ocoJ) €6IrS0'0- = €6It90'0(009)9 (00e)?z -&il0t -
(oilGoroF)
e
(aa#m -) - [(e'0x8or0'0 - (8'0)ee0z0r'0-]
#.#r-*
Tslu- (8 {It!ltp tnetrnurl qzr, e1 y roqen) u?p
(oop)s-
(0-rlc0 iZ1 +l
({ocol) tL69g0'O-€a6980'0 (009)€ . (oo9)rz = t + )',(0r )et''
(0-m0 fi
#-ffi.^a
T
s|u
(s'o)roe ror'01 Gas5 -) - t(s'o)szsse o'0 - (r xllt Ip lnelrnurt r{?re e{ a ro11en) UPDIITrlop ue8uep
:!g uep fd 3un[n ueruoru-ueruour uep efre1aq 8ue,( eler-r3uqre1 ueqeq lBqI{P ?uBq -Jepes-Iol?q Sunfn rselor-rsploJ IJ?p ue{nluellp euerure8eqes 3ue.( ue8uep ?tu?s rlsl -sruBq X rEIIu-rBIIu Fep ue{n1uo1rp eueurru8eqes pS't'6I rEquBC eped 8a uep L2 ruel urnret r{ereos Is?lor-lselor ?aqeq l{e1ep" efuure1 IseruroJep ue>lece8ued enpey .' fiIV'IYq NVHVCINIdUAd SCIOJ,gW'IVJNOSI'IIOH ISIX.ISI>I
9?Z
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
246
Seluruh Ef konstan
Gambar
195.2
Latihan 19.3 dan i9.-+.
empat buah interaksi kelebihan (sebuah di pusat, sebuah di pojok, masilg-masing sebuah arah utara-selatan dan timur-baral). analisislah dengan metode gaya untuk beban terbagi-rata yang sama per jarak satuan pada semua balok. Andaikan bahwa ke-12 tumpuannya memberikan hanya kekangan vefiikal dan semua baloknya berukuran sama.
di tengah-tengah balok-balok pinggir dalam
19.4 Analisislah kerangka kisi-kisi Latihan 19.3 dengan metode perpindahan. Karena kesimetrisan ganda, dapatlah anda tinjau hanya seperempat dari seluruh struktur, dengan delapan titik-hubung dan delapan unsur. Balok pada garis-simetri akan memiliki setengah dari momen inersia dan memikul setengah dari beban terbagi-rata. Titikhubung pojok pada kerangka seperempat tersebut (pusat seluruh kerangka) akan memiliki rotasi nol terhadap kedua sumbu dan lendutan nol. Titik-hubung pada garis-simetri akan memiliki rotasi nol terhadap sumbu yang tegaklurus terhadap arah balok. 19.5 Kerangka kisi-kisi tertutup yang diperlihatkan pada Gambar 19.5.3 memiliki kekakuan-lentur tetap EI dan kekakuan-puntir tetap GJ, dan ditumpu pada keempat pojoknya dengan kekangan vertikal saja. Dengan menggunakan momen lentur di ujung salah satu unsur sebagai kelebihan, analisislah dengan metode gaya untuk beban terbagirata yang sama yang bekerja pada keempat unsumya.
19.6 Analisislah kerangka kisi-kisi tertutup Lalihan 19.5 dengan metode perpindahan, dengan menggunakan empat titik-hubung dan empat unsur. (Derajat-kebebasannya masihlah 8, barangkali lebihlah bersifat menuntun kalau anda periksa ketepatan matriksmatriks masukannya dengan menggantikan jawaban Latihan 19.5 ke dalam persamaan dua-susun metode perpindahan.
E/ dan Gambar
L
195.3
El dan G"Ikonstan
G"I konstan
Latihan 19.5 dan t9.6.
Gambar
195.4
Latihan 19.7 dan 19.8.
'ueq?puldred epoletll ueEuep I
I'6I
uErIrlB'I tnpn^uau-B{Arr?re{ qplsrslleuv
?npue{r,qrraurBrures,pnlueue}sr}ersrn;f
T
ZI'6I
fi:i"rHl'"l;T'.1ffiii;:'J1Hffi'#}
euJndures er?cas Iueuplral lnqesrel ud14 'p8ilunl 1usnfue1 ueqaq >lnlun efut epolaur ue8uep 9'9'61 ruqureC ?ped ue4luqqradrp Sued lnpn{ueu-eltuera>1 qelsrsryuv II'OI 'ueqepurdred epoletu uu8uep
6'6I ueqpe"I T-{nlueqreq eltuere>1 rlelsrsypuy 0I'(I
'eIulofod epzd edrd uu8uoloued
rn1eloru re^eplup>J ?np
uB{leglleru
e{uresep nluepel srl?ls Jnl{nrls eE8urqes ednr uer>lnuepes lnqasJel ueqelaqasreq tued Surpurp-Eurpurp eped eulndruas pr?ces tueu?lrel lnqesrol edr4 'p33un1 l?sndJel u?qaq 1n1un ei(e? epolelu ueSuap S'9'61 r?qule5 eped ?-{nluaqroq e13uera1
qplslslpuy 6'6I
'ueqepudred apolaur unsns-pnp ueeurssrod
ruul?p o{ L'61 ueqqel eped uuqua.lef ue>pluut8ueur ue8uep e.,(uue4nseu sTrl?u -s{rJl?tu ueludela>1 us4rred ?pue nele{ unlunuau leJrsJeq qelqlqel qelSue.req '6 qelqrseur e{uueseqeqel-lufereq) 'lnsun ludure uup Sunqnq-1r1r1 ledure ue>1eun33ueur ue8uap t'61 ueryle"I dn1n1ra1 Isll-lq{ e>fuere>1 q?Frsrleuy 8'6I
ueqepurdrad epolatu ue8uap
'efurnsun ledueel epud epe4eq
8ue.rt eures
Auei etet
-r8eqrel ueqeq {qun zi(eB epoleru uuauop r{?lsrsrleue 'eduuegrqelal z8r1e1 retuqes et(u {?ITUOA rs{Pre}ur EUeS I?rs)prq rs{BJe}U uoruoru-ueluou ur>leunESueu u?p eluqndurnl uetuu>1er1 ueEuep
-ral {Bl 4o[od 1p ]nqesrel e{8uere{ Suoloueur ue8ueq 'eles 1e41rea
,e,{u>lolod e8rl rp ndutnllp uep 'Ig du1e1 rtlund-uen{?{e{ uep Ig de1e1 rn1ue1-u?n{?{e{ r{{rurau t'S'61requeg eped uelleqrpadrp Suui( dn1n1re1 ?ue,{ tsrl-tst>1 elSuerey 1'5,1
'zI'61 uep II'6I
ueqllrl g.g5l l?qusc
zu.N)t 08t=/C
:,tu.111;1
'0I'6I
u?p
6'6I uuqn€'I 996I r?qurBo
zu.N)t 08i=rc :,ur.111 669=7!'
969=79
qu^\Eq
L'Z
e{ |pl 0I
hIV'IVCI NYHVqNIiIUgd AOOTSW TVINOSIIIOH ISIX.ISIX
BAB
DUAPUL-UH KERANGKA KAKU DENGAI'i HUBUNGAN SETENGAH-KAKU
20.1 Gambaran Umum
Dalam pembangunan kerangka baja, hubungan balok-ke-kolomnya boleh didesain sebagai hubungan kaku, sederhana, atau setengah-kaku. Suatu hubungan kaku akan mempertahankan agar sudut-sudut semula di antara anggota-anggota yang berpotongan tidak berubah; suatu hubungan sederhana akan membiarkan ujung balok berotasi secara bebas akibat beban gaya-berat; suatu hubungan setengah-kaku memiliki daya-pikul momen dengan kemampuan menengah di antara hubungan sederhana dan kaku. Sebuah model tipikal balok dengan hubungan-hubungan ujung setengah-kaku ditunjukkan pada Gambar 20.1.1 , yang dalam hal ini ujung-ujungnya tersebut dibaut pada dua buah plat yang terjepit untuk melawan translasi dan rotasi. Andaikan bahwa bautbhut tersebut tidak mengisi secara rapat lubang-lubangnya; karenanya, momen Mi alau
M1 yan1 bekerja pada sambungan tersebut bisa mengakibatkan kurangnya gesekan dan dengan demikian terjadilah gerak-rotasional dalam arah ujung balok tersebut yang sama dengan gi atau U1. Dapatlah anda reka bahwa, untuk hubungan setengah-kaku yang sama, momen Mi yan1 lebih besar akan mengakibatkan sudut-gelinciryang lehih besar. Meskipun hubungan mutlaknya dapat diperoleh hanya dari percobaan laboratorium, suatu variasi linier yang tersederhanakan dapat diekspresikan dalam bentuk
Mi= R,T*, M, Penggunaan panjang s4maan
Z
= RiT*i
dan kekakuan lentur
EI
(20.1.
la)
(20.1.1b)
dari anggotanya sendiri di dalam Percara untuk memperoleh besaran tak-
(2O.l.la dan b) hanyalah merupakan suatu
'n{€I-qe3ue}as Sunfn ue8unqnq ue8uap e}o88us rseruroJop u?p u{r}els
IZ.OL
raaqure1
rseurroyeq (g)
u{Ile}s (r)
(
'w
8uu.,{ uef tunref qerBas lnpns-lnpns r{BI}nqeS 'y tuel runref qBrBOs tnpns ue8uep /gr,y e\ gy rrBp rs?loreq lnqosrel BloSSue nquns e88urqas ednr uer4urepes r{Bl?pe lnqosrel 1u1d unpe>1 rqsru lesrolsuBr] u?rlepurdred-uuqepurdred uep '90 t:r-p Vg wel utnref qure lnpns rnlularu rseloreq lnqosrol g vep V lp 1u1d-1e1d qelinqes'!y uep I7g reEeqas 1nq -esrel eloSSue 3un[n-Eun[n eped elre1eq 3ue,{ rueI tunreI r{u]Bes uoruoru qBI}nqoS '/y ue
-os
-n{B{e{ 4nfunued uuEuap g Ip l?ld rlenqos us8uop uep .ty uun>le>lo{ 1n[unued ueluep y Ip luld r{Bnqos ue8uep uulSunqnqrp lZ'OZ lr-qweg eped ue>puqrlredrp Ew,\ gy elo8Euy us{sBrBIesJaI uloE8uy uurnluelo) $lIrlBI4l Z.0Z 'n>p4-qe8uales elo8Eue-Eunln ue8unqnq-ueEunqnq rrrlrtuow Eue,( nry4 u4Euere>1 .srslleu?Eueru >ln]un uelteunErp tedep Euef rnposord-rnpesord uBp srl?rueleru ueuuresiad-ueeuresred ue>JrernEueru UI qeg 'e33urqre1>p1 /y !y'n4u1 rulruraq uu8unqnq o :1ou reluraq /y {n}un nelu !y'?uer{repas ue8unqnq >lnlun 'uDnyoryaq qntunuad uule /y nele ry e,{u }nqosrp lue,\'ly nele iy rsueurpreq -?uaJB{ iefuueEunqnq uun>Ie>Io{ 1elurep ueru{?l uuledrueut
'n1u1-qe8ualas Sunfn ue8unqnq uuSuap 1o1eq ue8uuluag
oOO
6VZ
I.I.0Z ruqurug
OOO
nxvr-HvSNsrss NvcNngoH NvDNgq ox.vx VISNVUSX
25O
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
diukur dari sumbu-baru anggota A'B' ke arah-arah baru plat di
fi;maka
A
dan.B sebagai fi.dan
:oa-R
(20.2.1a)
Ai:0e-R
(20.2.1b)
di
Sudut-sudut gelincir rlt;dan rJt1, sebagaimanadiekspresikanolehPersamaan(20.1 .la dan b), adalah sudut lawan arah jarum jam yang diukur masing-masing dari arah-arah baru plat di ,4 dan B ke arah-arah kurva elastis di,4 dan.B. Perhatikan bahwa rJt; dan t!1 harus diukur berlawanan dengan arah jarum jam dari arah-arah plat karena momen-momen M; dan M1 bekerja berlawanan dengan arah jarum jam pada plat-plat tersebut. Matriks kelenturan anggota terselaraskan [D] untuk anggota dengan hubungan setengah-kaku mengekspresikan rotasi-rotasi ujung anggota Q; dan fi, sebagaimana terdefinisi pada Gambar 20.2.1 , sebagai fungsi dari momen-momen ujung-anggota M; dan M1;maka
{fi}:
tD1{il}
(20.2.2)
Ekspresi untuk unsur-unsur di dalam matriks
[D] akan diturunkan sekarang. Dengan teorema balok:padanan, yang menyatakan bahwa sudut-sudut antara sumbu baru anggota dan arah-arah kurva elastis pada ujung-ujung balok sama dengan reaksi-reaksi pada balok-sederhana yang dibebani oleh diagram Mf EI,
M,L M,L ei-Vi:*3EI6fr M'L M,L Qi-Vi:-eEI*tfr Gantikan ekspresi-ekspresi untuk
0i
dar' 01
di
(20.2.3a)
(20.2.3b)
dalam Persamaan (20.1.1a dan D) ke
dalam Persamaan(2O.2.3a dan D),
* _W _,luI,L_W * e,&.sI: lu 6EI . M,L M,L M'L o,-&rl:-6EI*Til Sederhanakan,
*,: (+-'+)(#).(-*)(#)
(20.2.4a)
r,:(L)(W)-'(1.+)(#)
(20.2.4b)
Dari persamaan (20.2.4a dan D), matriks kelenturan anggota terselaraskan mana terdefinisi oleh Persamaan (20.2.2) menjadi
u:hl!i, l:l:h
I
sebagai-
l1
'3P, 6
r_l
[D]
-* .+l
I
(20.2.5a)
7 -es'.r01[rrup !oWeserq lrdefrel-Eunfn uetuotu-uoruour pep rstung ruSeqes ,ql.yo(, DqurBD j$y,guep $$y,gue4serelesrol lrdafra1-tunln uouour-uouou qa1o.rn1>1n[un1rp zueureEuqes '
{qun
sntunr-snrunr ueunrnued quleseru ludeprel qrsel/{'ru{e{-qe8ueles Eunfn uutunqnq
plryruoru 3ue,{ eloE8uu-eloE8uu {n}un u?>leunftp rlsaur (p e33uq of tO() useru?sred qalo uelrserds>lerp Bueu[BEeqas uelserelasro] eloE8ue u?ru{e>Ia{ s{rr}Bru rnsun-rnsun
{n}un snturu-smuru 'e.{urq luserq Euz,( erec ueEuep qeloradrp ludep n1q-qu8ualas ue8unqnq D{Ilrtuetu 3uz.( u1u1 oJEuera>J nlens rrBp
lfiSyl
leural$lo uun>Ie>le{ qlr1?I4[
ue{seJ?lasreJ lrdel.ra1-Eunf1 uauroll[ r'OZ
'qu1-qe8ualas uloEEue-tunfn uu8unqnq pl111ruoru Suer{ n1u1 e13uera1 rresrs{?ne -Eued urepp ueqeprndred opoloru urplep Ip uulnpedrp ue1e '(p effiurq Dl't'OZ) uuerrrus -rod r{olo uulrse.rdslerp eueune8eqes ' [g] uulserulasrel elo8Eue wn>Ie>[o{ s>lrrlel l
@t't'oz) (crs'oz)
Grt'oz)
|-
(tdtd)1,
'dlzt
| - ({dtd)lv 9
_gi'lt - (td,ddlt _ (tdillt
stlr - (dtddlr 9lr
:
(td'ddlt
t - (tdtd)lv _9t lr 2l --ldtu - ---TFtn _- -
: t{g
ttltt
:
:
Its
{tg
lts
uersre,rur8uedrnr,ro,uqeloredrp,,J;'ilT'rT::3;!?:il,1,1.':".Tr'Ji:i',lfl#u"* (ot't'oz)
t;[]ti:: ;::l+:
[fi]rsr
:
t,#]
'sqoqluls eJ -BcoS 'srls?lo B^rn>l r{Bre-qeJe o{ ue{nq '1e1d ruuq qel?-qetp e.\ F,V eloEEuz nJ?q nquns rr?p rrulnrp Eue,( uel umref qerues lnpns-]npns qepp? 'f Z'OZ, reqruu, uped ue>p1nfun1 /p uep !4 uar'quq ue>lrleqred 'tq uep t@ e1o83ue-Eunln rsulor-rselor -ry euuurw8zqes Irep wp lq elo1frue-Bunln uetuou-uoruotu uurysardsle8uatu n4e1-qe8uel 8un[n ueEunqnq ue8uep elo8Eue >1n1un [g] u?{serelesrel e1o33ue uuru1u>Io{ $[r]BI^[
rs8ung ru8eqes {W -as
uDIsBrEIesreI uloEEuy uurulqe)I s{lrlul4l
'
t'02
e,{uuu4eun33uau {nlun utesepuad
uu{llepntuoru qlqol BI 'uesred 961 e88uq 0 rrep rseup^Jeq r4ueuad rol>lsJ euarc) 'uasrad 00I q?lepe u.{unlueued ToDIEJ u?p u33urqra14e1 r1epps efuuen4ole>1 1nlunuad '(sepp 'e,{qusur) n1u1 ue8unqru{ {uun rdel ilou relruraq e,(uuenlueuad ro11eg undneru ufuue rlntunuad {req '.rpues ue8unqnq >ln1un 'nJuauad rc14o! lnqosrp qaloq /d uep ld
-rr>Ie>le{
'ff:'*
(ts'z'oz)
'1ri,
:,, 'ur(u:11uqas 'uep
Iu/€+t_,, ru/€+t:rd
{qs'z'oz)
II : ueEuap
tgz
oxvx-HvcNa.Lgs NvcNnanH
NVCNSCI OXVX V>ICNV',USX
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
252
a)', *rrt (a) Momen ujung-terjepit
Mol
dan
M4
sebagaimana biasa digurukan
oo
ooo
..:rt (b) Momen ujung-terjepit terselaraskan.+ff a"n At';R Cambar 20.4.1 Diagram benda-bebas anggota yang dihubungkan dengan dua plat terjepit di
ujung-ujungrya.
bagaimana ditunjukkan oleh Gambar 20.4.1a. Transformasinya dapat dilakukan sebagai fungsi dari faktor-faktor penentu pi dan pi ataupun penunjuk-penunjuk kekakuan R, dan Ri karena mereka dapat dieskpresikan satu-sama-lain oleh Persamaan (20.2.5b dan c).
Ekspresiekspresi tipikal untuk momen-momen ujung-terjepit biasa Mg, dan M61
untuk anggota pada gambar 20.4.la adalah
-wgt
(20.4.1a)
uo,:*iq1-,*W
(20.4.1b)
uo, = -SaL''
68/s'I =3| ssre,o =
-
!!s
_ I - [(09'oxot'o)l/t =6t tz 0s'0/zl
?d.
E
t' t(oJ,ol-Qr'o)1/t -',
I - I(0s'0-X0t'0)l/t : $-
7co7,t
= !s _,,s
'ltsU?p'tls = t's
,I.Nr o'z€+ ru.N)t0,9l
g'1 = la =
:
-:
&#H* r-Lrs)eoa-
e4tl loq uep
lol,U
:
(Q) "ts SUnUH
.rar
="^t
8unlrH (z) NVtVSaf 'uuueped
iIINAd
{opq epoleu
ueiuap uetuotu ruer8erp rrep 3un11qrp eueurrcSeqes slls?le e Jn{ Sunin ue8urrrurel
-ue8urnurel depeqrel 1uI IEr-u-Iellu 1e3 '8unfn ueuroru uep u?ru{e{e>1 lnfunued ErEluB rerurl ue8unqnq Fep 14 uep r41 ncuqet lnpns-1npns u?{nlueJ'6g'g = Id uep 0?'0 = !d nlueued ,o1>leJ ue{eun88ueu ue8uep 'Z'V'OZ JeqIrBC eped trul>1ntun1 -rp euuure8eqes n1e>1-quEueles ue8unqnq-uuEunqnq ueEuep elo88ue >1n1un j$rv upp i$r{ u?>ls?rBlesrel lrdetlra1 Sunfn ueurou-ueruoru u?{nluel I'?'02 qoruo3
Gv-v.od (oV'V'Od
I0r{('rse - ttsf +) + 'or{(rtsi + {rs?-) : u|3/4r : ,.sru
lort(lrs! + !'s?-) + loI4l(r's? -
rlsf
+)
e,tuepuduep
: {1,#i1;,#+;}t::: ll:l {$#} '(t'V'OZ) 'sred ul?lup a1 (q uep eZ'i'OZ) 'sled uu{Iluu3
Gv'oo
{;l$-}rt**urelesral)
t, : t;6#} e4eut'!og uep Io0 rldefuel
-Eunln rselor-rsutror ll?qrue{ u?>llouueru ledep eleretu uSSutqes udn.r uetlturepos t[Blllsetu
'DI'?'O?. reqtue3 [o
epedjlW ueO*fht 'uelserulosrel }rdaftetr-3unln uoruotu-uetuol\l
'/oB uep log rs?lor-rselor ue>Jpseq8ueu u?>le {oy41 uep tory uE$eI '.lou o{ rleqruol g uep lo0 ?s>l?uretu 4nlun uendueuo{ r{lpuotu {oyJ uep rol4/'ISIuIJep Inploru'euoru)J
@z.v.oz) (oz'v'Oz) Ig
a,oyllt-t
^^T
-,oyylle a :
^^#
nE
-:
,04,
,nrrrt ,rTJTJr'.;^rXlTHH?#
uep rop ure[ uruul qerees rs,lo,-rs,ror 'e.{uaun[n
892
nxvx-HvcNerss NvDNosnH NvcNscr oxvx v>rgNvusx
254
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Pi= 0,40
0.50
Yi:-
17"6U
EI
(c)
Gambar 20.4.2 Momen ujung-terjepit terselaraskan, Contoh 20.4.1.
Hitung Mff danuff:
Mff
= (+isr -*s,t)Mo,
=
t(-lsii
+lsir)Moi
(.qP - ry!}-,o,or * (-q]?. qf!)r*:z,or
= -9,262kN'm
ivrff
:
(-ls,i + lsii)Moi + (lsii - lsr)Mor
=
(-qq.
qi!!)r-'o,or * (.q!2 - qI!}*
rzor
= +17,684kN'm
Perhatikan bahwa, karena hubungan ujung setengah-kaku, nilai-nilai mutlak momen ujung-terjepitnya menurun masing-masing dari -16,0 dan +32,O ke -9,262
dan+17,684. (d) Hitung
{i dm rlti. R, : - 3(0'40) -, n | - o,- I - q4n- ''" '3P' . M 9.262--r 83-36.-_ , r(N'mv= n,,nw:-TdEI|TB= lQ'5E:3.0 R= r-e2L,= v' =
MJn Et
t
t
:
#
-Ea 1p.r'
* =tl = *ale$Je == 3 p EIl l 8-
Qys'oz) (ot's'oz)
Ig9
W-u-'o
Ig.L_.!- !06
_
!ud)
=t,lt-y-r6:ruf IiBIBp B
tur ueeuesr ed-uueurBsred : (qZ'
S'
OZ
wp
(Ct'S'OZ) 'sJed rrBp Eunlrqrp euurure8eqas rur ?rues tue,{ lnpns-1npns ue8uap '(oZ'S'OZ)
l*O r:r-p !ud) tnpns-tnpns ue13r4pwq trlp uup Eunlqrp uueureEeqas (ol'g'OZ)'sra4 Intun IseturoJep uelacaEuad enpa)
-ureur ueEuep u?{n{?Fp ludep ulo8Eue dstles
.Us)I
{BJ?lesJel elo8Eue u?n>le{e{ sryrl?tu rnsun-rnsun uup uu>{ssrulesrel lldsfrat Etmfn uaur -oru-uotuoru uuEu?l-ueEunlrqred (ralndurol ue.6ord urelep e{ uapuunlp ledep mpuas pg sasord 'e[zs nluol) sesord urepp uB{DI?[rp ludep ueqqese{'u?q?pse{ Buore>{ IUB -req r{ElrIqel e,(ursuurrogep uelaceEued 'ru1e)1-qe8uelos Eunfn ue8unqnq uuEuap elo8tue -elo88ue 1n1un 'unure51 'ra1nduo1 us{nsutu luelup e{ ledel ereces uDPInsBLmp qBlal e,tueloE8ue Bsurq uerup{e{ s{rrleu uep eselq 11defta1- Eunfn uotuolu-uoruotu qnpde eped Sunlue8req ?1eru-?leruos e{eralu Buere>I'ueqlqalreq qel4eEe rur uelacaEued-ue1ac -e8ued 'n>1e>1 8un[n ue8unqnq pselq sns?>l-snsal ruulsp tq 'e.(uuloB8ue deqas >lnlun Uu>I -ace8usd qenq Bnp ledepral g?11Naur'tseurroyap uulace8ued ueEuep ue8unqnqag 'nlnqep ue>In>Iullp rlsou u?sBqoqa>1-leferep ueEuap uuus u,(u1e.,(ueq 3ue,{ es?Iq B{I}Bls IrB -lace8uad 'qaloredrp {*-{} uep t/} ls1r'u-lu11u- rlelo}es rrrpl?rol uuleceEued {nlun 'ueruotu urer8ep eped ueuupud->loluq stueroetr uederaued mlqour qoloredrp uueuru8eqes srls?lo e^rDI 3un[n ueEuunue4-uuEuurura>1 ueEuep u?DIoJocIp ludep rur .re1nd lnpns-1npns uerpnuey 'Eunfn uoruoru uep u?DI?{01 1n[unuad ereltre raru11 ue8unqnq rrep /4 *p lfr rrcurle8-1npns EunlnlSueur ueEuap B>loretu uuledale>1 >1ac upue efulepueq'Eun1n18ueru ue8uep ?>lerotu ue1ude1e1 >lac BpuB u.(ulzpueq 'Sunlptnp ualsuJulasretr tldafrel-Eunfn uouolu-uouour qe8ueles 'ue8uel uu8unllqred UrBIB(I 'uu4eun8rp r1s eru '(p eEEuq DI' t' OZ) 'srod qolo ue{rroqry eueureSeqes [g] uu>1sere1es.re1 e1o33ue ITBDpIaI s{IJlBru uup '(tutuouts uu4 -edn:eru W $ep C B,r\qeq uelneqred) (g uep on'V'OZ) 'srod l{olo lre>llraqlp uuuureSuqes JBg ,np jfg ue>lserqasrel lrdefrat-Eunfn uatuoru-uetuoru 'n1e1 qeEualas ue8unqnq -uuEunqnq pgnuaur 3ue,,( uloE8uu-eloffiue unruBu iue>luun8rp nseu {X} hUSl + {oC} {d} r-l;ySYl = {y} userq ueuuresred-ueeuresred 'n4e4-quEu4es Eunqnq ue8uep n1e>1 ulSuure>1 uestsrpuu8uad urupp uequpurd.red opolotu ur?pp IC
= {*C} uep
{pp-{llll
uuqupmdrel apolen S'OZ
utnto! rlotoasqelepe
srtrsele
'wo! ?Arn{ e{ p}uosuoq qer? rr?p rs?lor t{Bre e:y[;4rsod re1 urp vB >1n1un epuel uerfue[rad etrqeq uB{IlBqrad
-IuJeq ?)iareu ?1{\qBq q?Fp? s 0
(rocor) .*.N,r #;i- #- #,* *Fr- = ,t =#-#- =" '=
({ocof,)
,*.N,r#.€8L+
^E^* 'Z'b'OZ roqrueg tusl?p uu{{nlrtrlqp ru/W ure.6erp etr1e1 e83uru ueueped-1opq epoleru uedereue4 '!e *p !B ue8ur4ure4 3un1rg (a; 'uto! qDn UDMDI qel?pe wn,m! pld qere elrf ;ursod qere rselor u?p ear'qeq ue{tr?Itrred
srlsele B^rn{ e1 (rur snsel IuBIBp Ip pluosrroq) r-Blruroq
e{ereu e}\q?q qeppp rd ,rnp ,4
,l.tr.* zpuel uertuefred
nx\/>I-HvcNsJss NvcNognH NvcNscI nxvx vxSNvusx
992
256
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
0^;
:
0i- R - {,
: 0i - R *-ry-*
Q^i=ooi-W.W
(20.5.2a)
(20.s.2b)
Sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 20.5.1, Q*i dN Qm1 adalah putaran-putaran searah jarum jam dari sumbu baru anggota masing-masing ke garis-garis singgung pada kurva elastis di ujung-ujung ke-i dan kel. 0; dan @, adalah putaran-putaran searah jarum jam plat, dan, sebagaimana telah diketahui, mereka diambil dari nilai-nilai keluaran {X}. R adalah rotasi searah jarum jam dari sumbu semula anggota ke sumbu baru anggota; juga, ini dapat diperoleh dari nilai-nilai yang bersangkutan di dalam matriks {X}. Sudutsudut gelincir ry'; dan rltl adalah putaran-putaran lawan arah jarum jam dari arah-arah baru plat ke garis-garis singgung pada kurva elastis;mereka dapat dihitung dari nilainilai terakhir momen-momen ujung dan penunjuk-penunjuk kekakuan. Persamaan (20.5.1a) dan (20.5.?a) dapat diuji benar-tidaknya melalui pemeriksaan fisis terhadap geometri pada Gambar 20.5.1 . Sejauh hanya menyangkut Pers. (20.5.1b\ dm (20.5.2b), mereka merupakan penerapan sederhana metode balok-padanan, dengan; @oi dm Qo1 adalah rotasi-rotasi ujung arali jarum jam beban-beban yang bekerja pada anggota yang kedua ujungnya bersendi. Suku-suku yang masih ada di dalam persirmaan-persamaan ini hanyalah putaran-putaran ujung arah jarum jam akibat momen-momen ujung terakhi r Ul dan Ml , yang tak lain adalah unsur-unsur di dalam matriks keluaran {F *},
Arah plat asli
Gambar 20.5.1 Geometri pengecekan deformasi.
Contoh 20.5.1 Dengan metode perpindahan, analisislah selengkapnya kerangka kaku yang diperlihatkan pada Gambar 20.5.2n. Faktor-faktor penentu pada hubungan-hubungan ujung-anggota nomor t hingga 6 ditunjukkan pada Gambar 20.5.2c. Gambarkan diagram momen dan gaya-lintang terakhirnya. Juga tunjuk-
kan sudut-sudut gelincir di semua hubungan ujung setengah-kaku pada kurva elastis terakhirnya.
PENYELESAIAN (a) Anggota 1 - 2. Dengan mengacu kepada bagian (b) dan (c) dari penyelesaian untuk Contoh 20.4.1, koefisien-koefisien kekakuan terselaraskan untuk anggota ini adalah s11 = 1,2632, srz = szr = 0,3158, dan s22 = 1,5789; momen-momen ujung terjepit terselaraskannya adalah f'o'I
:
-g,ZeZ
tN'm
Fff :
+ 17,684 kN.m
7
T : . [1ffi:3 ;::?:3] "H dhl8:;::8 ff::t1 = Kr
zesrz:#=##=-' oele'g=!/t?=ses=ets
t
Ls6,0
__€/fi _ r - (q8_'g)q€'0)l/, _
'08'0
(IocoO)
ts w'L;t
s,s
= e d: O€,'O - s d'g-S otoSSuy Q)
HIAIq
6z'gtz' Lz't\z'
008
-14+* Ja:= -,,q :'uE 7J8C 7xr8C
({ococ)
&.=#-#-oo3E*= lgg _ Igt
7#C 7,'3d
ts
uzltsz
+€od
: r(o
uzltg,u.
w'L|t' wtst+
tg *ut-
J8c
_o|,figs't _ozfigtd _,^ -'''
,'8J -
'ueurotu ruer8erp uep qeloredrp tuef (e,{uBunfn-6un[n rp srlsqe sAJn{ e{ e1o33ue nquns rrep uref urnref qerees e4r[ ;4rsod) er(u8unfn ueturnuel-uetqr-lu -eq ue8uap (ufutunfn-3unfn 1p srlsele ?^rn{ e{ 'I?luosuor{ qer? nel? '1tde[ra1 1e1d uep uref runrefqere uenel e>1r[;rlrsod) rcu11ee lnpns-lnpns ue>lSulpuequreur ue8u -ep u?{ruFIIp ludep uelserelesral lrdefrel-8unfn uetuour-ueuou eped uu>1aca8ue4
z=#:H#=,u s'r=H#:'u IU'NI |tl.'St+ :986'82 + 808'9+ (08 +)(0€8€b2-
-(ffi . ffi - #.)+ ror
tu'NI 082'19- =
078'91
-
: roc
tu.Nr 08- =
r-Lt*VZ-
=#[#fi:i
--
:
-) : *u
096'St-
tor*r(ffi* #fr)+(08-)(osh-rh+) r.u.N{ 08+
[:f:;:3 ffit:8].*
: =
*,
*, =rsr
iiii:i]
eeLZ't=W=##=-' oe1t'o=ry:€,s ='€s 6il6, |
.o,t
=
lii?:,!,
za
:€/1t _ I - (ql'91_('?'0)y'
u,p o,z=
?ff::31
,,
=
€rs
il ,n:f{';IJil
ur',o,f"o,iJ#1i,9;
.,, : ffi[f:i:,|
.*,
= tsr
::;::?]
rpefuaur etro8Eue UBn>Ie>Ie{
sIIr}?N
nxvx-Hvc NgIss Nvc NnsnH Nv9NscI nxvy rf,xcNv.us>I
LgZ
258
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Pt=0,4O
Pt=0,50
Pt=0'@ P4:0'40 Ps = 0,30 P6 = 0,80
ditinjau (b) Penomoran p- X, Np = 3 (c) penomoran F-e, NF = 6 Gambar 20.5.2 Kerangka kaku dengan titik-hubung setengah-kaku, contoh 20.s.1. (a) Kerangka kaku yang
R,=#iffi:t,zlsi (d) Matriks mosukan
IAl
adalah sebagai berikut:
\F P\
IAI:.e =
I
2
3
+,I
+l
,lBl, 4
+l
2 3
Y ?\
I
- t8
-
I
2
I
3
+l
lBlo,r =
-
4
+l
5
+l
l_
l8
I
-ii
l-5
I
3
4
l
0,4787
0,0958
4
0,0958
0,3192
2
I t5
1tt
-
6
\'F\
+l
3
-
+l
6
5
I
I 2
rz
[S] , dan { f }. Matriks-matriks masukannya
-i3
18
n.:ffi=
2
0,2 t05
0,0526
0,0526
0,2632
5
6
* EI.
lSlo,u =
5
0,1276
0,05 r I
6
0,05 I I
0,3404
('le)gg
(yo3ol)
T 'Ig _ _'Ig _ 'Ig _'Ig + _ Z€'8 t6'tL ?9'
EZ'9t
('l€)96
lg9
Igt
_ ! _ +rod,: -_ --'Ig w - -'rl. i GIX?' z€5+) (8msde-a:) 'la 'lg 'lg f,st-=eB'oII'ZitZI-=
rrd
,Jffiy - ffi-'o =,4 -z,u -,o =,&O
'7-1e1ottue {ntun '(q uep r(,'S'OZ) ?Ues (q uep o1'9'97)'sre4 ue>leuntEueur uep €'S'02 r?qur?g upeda>1 ncetuaru uuEuap w{n{spp ludep peurro;ep uerlecetue4 'poutolap uo4aca?ua4 (t1 '9-9 elo8ilue epud g {11} Ip N{-S60r'9 3uu1ug-ei(e8 ue8uep elues ,-€ e1o33ue uelpnua{ u?p 7-1 elofltae usp u?{nluelrp eueurre8uqes , IpIl Ip N{-S60t'9 Eun[n ue:1e1e,ft3 B/AWq
t'S'02 rDqIu?C eped
1u1ucre1
lnqasrel ue>lecetued
e6r1e>1
fi)
1n1un '0'0 =
J
gqei( iuluuus?qeqe{ + *d {Ilp 1p 'g < (E) u?p:0'0 =;,1 +lC (Z) :O'O = -1u[erep t6rle:1 Eue[uedes 1p uetuequrese{ depuqrel ueleuretued FIEeur ue{nls11p efurlelueq SueI e{Iluls uelece8ue; 'Dtltlots uoryacaSua4 Q[1 ledep g =
f/
2r1,r
ru.1q:t
888?9- = 888'29
-
'0+ = tC
ru.N)t 55Z'6I- = SSZ'E€, -'0+ = lC ru.N{tSZ'€€+ =61'Z-WL'S€+ = I,{ ru.NI sz€'8-
= 9s6'zs + o8z' 19- = tc l.{
u!.N)trZ€'8+ =991€'6-tt9'LI+ = ru.NI €S6'9€- = t69'LZ-Z9Z'6- =
tC u?p
'Ifllrtu' 11;1 l'lZeZ+ = eX 'rillzu''NI z9'€l- =zX 99'6ll+ = tX
'Ialru'111:1
lu:re.t {X}[-uZS]
+{031} = {*.1} upp {d} r-l.r,VSVl = {y} ue8uer-uetrmlrqred szredo'rserado InIEeur nule '1e1rdr1 relnduro>1 ue.6ord nlens ue>1eun38uaur ue8uep qeloredp u?r?nle{ s{FlelI 'l*t} uop lyl uo"on1ay sqtttory @) ledep{*jr} uep {X}
Nr 619r'8+ (S
:lfg
epsd sete IrDt Isl?er) + (Z
-- 8t l(Z9Z'6
lpq
- t89'4)
+8
:
eprd ssl€ Fpl Isl?er) = td
ru.NI ffr'sr- : (0+7,t'sg+)- : (Jsd + #d)- = zd : (082'19 - rs9'tt+)- = (Jsc + b-fc)- : Id
ru.Nr 96s'Er+
uep qeyoredrp
-BIt'&(ulepn
{a}
"rprt reueq rfnrp ltVl = [g] rcelrodsuerl ue8tmqnq uep rnq ?ru?s nles [g] uep []'l s{IIlBu emqeq 'r3e1 IIB{es uelrlBqred
s?qeq erBces u?{nluellp sru?q
z
WL,ST-
i
6L9r'8 +
= 'xr{d}
96S'tr+ I
)'t
d
oxv >r-HvcNg.Ls s Nv9 NnanH Nv9Nso nxvx vxcNvusx
692
260
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN 2,4 kN/m
2,4
kN/m
6,4095 kN
t\J62,8E8 36,953
kN.m
25,24tt kN
kN.m 22,7536 kN
8,324
6,W5
:^ bo
x
@iJ
,{
a,=
_l[ '
.(
3
'}a
!
-|
[fu.
uilu
5905
vE
36,951
LJ3'zss
d
J1 J4
.\,
'i?r,,
il d
J
m I
,lt:;
-I
o
Gambar 20.5,3 Pengeceka n statika dan deformasi, Contoh 20.5.1.
g^z =
oz
- Rn -
{z =
+ryf
-
ft,,r"44}
-
ffi-
26,42 =- Er. -r8EI.- t6,65 Er,=- Et, 80 (-36,953X18) *, (+8,324X18) t _ e02t FIL *, FrL: -EI. qd2= - 6E(xJ 6EI 3EI 3E(xJ
, I 19,35 129,12
=_#.H L I
-#:_r#
(cocok)
-a{ rra{?dnJeur rrnlnq rur Fq rde1e} 'ue>Jqequrulry nsau Eue,( puorseloJ-utndurnl e,(u -lefuuq qelo uapelSurlrp u4nl6uesraq 3uz.( rnl{ruls uss?qoqe>l-le[urep e,rquq ue{{n[ -ururp qBIu?{V 'n4e1-qe8uales uu8unqnq de4es uped epu deffiuery u?Dlruep Etre, uend -tun1 q?nqas 's1sleue uenfn1 urap u^\rpq'uuryqrdrp rIEIlBdBp 'b1eyg 'uu1n13uesraq Euef rsBlor lnpns uep e,(uuenlB{o{ rrBp ue4e1-red uu8uep eues e.(wped e[re>1aq 8ue,{ ueuroru
'lq pq urepp
Eue,t 'lzuorsulor uundurnl pep 3uu,( ue8uap edruas rpeluetu u,(unluprad
q,frta : (q
r'rep
q'lOZ)'srod
rys
,4*,a:,w
'1uF Ip Fuelnrp Eue,( r{elo ue44n[un1p euuune8eqes'rtcut1a8-1npns uep e[re4aq Euel
uoruou BrEluB Jeru{ uuEunqnq uu>1;u1eB8ueu ru1e1-quEueles ue8unqnq nlens eltqedy Ieuolsulo1 uundurnl reiuqas qu;-quEualeg uu8unqql uuuetuuue4 9'61
()ocoJ) 'F -:
(e
'tE '11 * 99'St I ZZ'L;t LS'tt elt)at . ?ta\ag _.^_= tgt +:-%E _ tgg _n6 rxs8s'Zg-) ' (sr)(ssz'esJ-'0 ffi
-
= =ewQ
,ru ,ET "ru tr-st-:E6t-i*st-: stl('tz'tgzt (st)'Ia =ffi - 16-'0 = e4 -eiu -e0 = euq
'ru "ru''l'€8 'ru
(>loroJ)
etdag
t;'t
t9'81
CIOat _ *.0 Iqg-+--= _ tlt +r0o GD(ssz't€,- v -= 1lt-'ltJa'-Y ,IE ,IA ,IE, 'Ig
-= soo
m 6'eil' t6'tst zg'et
sll('tdaLssz't -littz GIPE _ 'Ia -
-s;zdt€-
_ : s/i '1' _esx 'a _rg dEr- - - -' =,uq
-
t
uloEEuu >1nlu61
(roroJ) 4-=E*!l*lr-': I I '01 I t€.'tt 99'9 091 ('rs)a9 'ru rut . Iag na_nu^
('Is)a€
'la - : 'ru 'Ig = Ew- zs'€?-
€rorr
W#
-
o
-
ffi-='/,, -xu
-'o :,uo
"!s *:4-J1--"tE + = (xocor)t[gzt L\'ZZ 0t'il 09t
('rs)ag ('rs)E€ ,'ru , rsg rgt , ,^^ ,wa @Wdill- (04(szd8--) -oer - -'rl"c-'ru i-'Y -' Y 'li] ' "Ia 'ru. sL'gzt
uzlel)gs't . _ ::ii_+ 'tg "-, )_j=1r -' _.0 s4t
E-
sL 6t I
}t'L' 9t'6u' _q = rrl _rru
= twe
7-6
uloEiluu
{ntun
nxv>I-HV9Ng,LAS NVCNnSOH NVCNSCI nXVX V>I9NVUS>I
tgz,
262
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
rugian besar jika suatu komputer digunakan. Tentu saja, keuntungannya terletak pada kenyataan bahwa tidaklah lagi perlu kita hitung momen-momen ujung kenyataan bahwa tidaklah lagi perlu kita hitung momen-momen ujung-terjepit terselaraskan dan matriksmatriks kekakuan anggota terselaraskan. Gambar 20.6.1 menggelarkan analogi perilaku antara tumpuan-linier, tumpuanrotasional, dan hubungan setengah-kaku, yang dalam hal ini, momen yang bekerja padanya merupakan fungsi linier dari sudut-gelincir. Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 20.6.1a, tumpuanJinier berperilaku persis seperti anggota pada suatu rangka-batang; pemanjangan e sama dengan Xz-Xr, dengan: X1 dan X2 adalah perpindahan ujungujungnya. Untuk tumpuan rotasional yang diperlihatkan pada Gambar 20.6.1 b,gaya-gaya dalam .F dan .F tak lain adalah momen-momen (gaya tersamarata); deformasi-dalam e juga sama dengan Xz-Xr, tetapi X1 dan X2 adalah rotasi searah jarum jam pada ujungujung kumparan. Pada hubungan setengah-kaku yang diperlihatkan pada G ambar 20.6.lc . X 1 adalah kemiringan baru searah jarum jam sumbu plat, X2 adalah kemiringan baru searah jarum jam sumbu anggota, dan e = Xz-Xt adalah rotasi nisbi searah jarum jam sumbu anggota terhadap yang dari plat. Deiinisi yang belakangan ini penting untuk menunjukkan perjanjian-tanda yang tegas untuk pasangan-pasangan momen yang bekerja pada tumpuan rotasional padanan. Kerangka kaku pada Gambar 2O.5.2 mengandung tiga buah anggota dan enam buah hubungan setengah-kaku. Jika pendekatan yang melibatkan momen ujung-terjepit terselaraskan dan matriks kekakuan anggota terselaraskan digunakan, derajat-kebebasan ,n/P adalah 3 dan banyaknya gaya-dalam tr/F adalah 6. Sekarang jika enam tumpuanrotasional ditambahkan pada keenam hubungan setengah-kaku yang bersangkutan, derajat-kebebasannya akan ditambah dengan 6 hingga NP = 9 banyaknya gaya-dalam juga
r=oc{o+r=o F=&
F=& e=Xz-Xt
e= Xz- Xr (a) Tumpuan
(b) Tumpuan-rotasional
linier
,=\,=* e=Xz-Xt (c) Hubungan setengalr-kaku
Gambar 20.6.1 Analogi perilaku antara tumpuan-linier, tumpuan-rotasional, dan hubungan s:tengah-kaku.
-r.uoJ Sulqsllgnd uucrreruv 'Z-eI :pa 'sptQouy
l+
ptrycru$
lo
I+
l+
'H slpuedv'0t6I''sl{t'uoslpBl^l'ru?d spotfiaw xulo1t1J,Bve17 )- f, feql.I+ 6
I+
l+
8
I+
l+
L
I+
I+
l+ l+
I+ flT
ZI
OI
II
I_
't-
flT
r8l-
8lT
9 s
=
[v]
b
c
Z
8
6
t-
I_
L
9
S
?
t
z
I
\,{\
'ue{eco8ued nlens re8?qas uuleun8rp snrer{ [J€r] [tr] IslsodsuBJl = ue8unqnq e^\qeq ue{rleqre4 'ue1n48u?sreq 8ue{ ?{oreu rsrurJop Ir?p r{elorodlp r{?ABqrp u?{trrnlu?crpAue,(
[g] u?p If] s{rrlElI'[S] uep [y] $tltlDw
@)
'er(uqe1
-eqes rp 1e1d uep Suud depuqrel elo8tue nqruns ue[ runref q?Jeas rgsru rselor up{ -leqyrle8ueur ue{e leuors?lor uandurnl derles eped ;rlrsod ueuoru u?Suesed B/(qBq u?{rleq.Ied '7y eflSurq usp Lrouourp leuorselor uendurnl-uendu.rnl eped ueuour ue8uesud-ue8uesed lp7'9'gz rr-ql.;le1 eped roruou qelo uu1>lnftmlrp Bueru -reE?qes'9 u3?uq I uep rrouourp u1o33ue-3un[n ueurour-ueurour 'utues ?uur( eruc uBBueC 'IZ'7'OZ r?qrue5 eped 6 eflBult4 y \np X-d ror.uou-rorrrou ue8uep repuul -1p nurol {Illl->lltl} rp uetumura4-ue8urnural lefuueEuep uetunqnqreq tuul
l
a-i
Iq
B1o33u? 8un[n uep puors?]or-u?ndun1 duqes erelue rp Bpe ue{rupuelp usrluqurel nuel-{rlrl qenqes 'Z'g'07, requr?C eped Sued uz8uap runses u?{n{etrp cZ'g'O(, regru?C Bp?d etueped X-d ve;ovroved e8r1a4 'l;OZ qoluoJ tu?pp 1p qelorod -lp qqel 3ue,{ uu8uep ue>lSurpueqrp u?{3u?ue{ueru ?Jecos l?dup rw 1eos ruEeplp qeloredrp Suef ueqepurded-ueqeputdred re8y 'a-l uDp y-4 uotoutoua1 (q)
rd_l
-d -e-
=',
.(
qe",l qZ'9'O(.req,,,BC ,rr, ;:ilil::,J (r) XV1VSatgANad
ntueued rotleJ-rol{eJ u?p
'un}rqrp 'uDn)lblat1 1n[unua4 -ip 8ue,( uen{e{e{ >lnlunued-lniurllred
'q uep DZ'9'OZ requre5 eped rBuelnrp uulrreqrp flueAeyq'ueueped Ieuors?1or-u?ndurnl qenqes ue8uep uziun>1e1-qe8ueles ueSunqnq durles ue>p1uet -8uetu ue8uep I'S'02 qoluol n{B{ e4Suere>1 Ileque{ qBISISII?uV I'9'02 rtoluof, 'pffilun1-rnsun elo8llue ueop{e1 ueEuep e,(uuru1 tue.( uup 7 y 7 eloflEw UBn>IB Io>l slrrluru ue8uop r{Bnqos Euu^{ 'urepp-e,(e8 sruel unp Sundureueur ledep Euuf'{tu>[dll relnduro>1 ur?JEoJd nlens uu4uun88uour ueEuel uu8uap UrlIn>I?1p ledup lnqesral ue8unlrqred qrunles 'ue1n>fuusreq 3ue,( uloSSuE uEr1a4 tun[n derlas rp eloE8ue nquns uep e,(uqnffiunses Eu?^ ruuf urnrc[ r{EJ?as ue8urrrruel-uuErnrrue>1 pEuqos Il?urBIp sru?q tnqesrel Sunqnq-1llll uer{Bqur?1 ueqepurdrad ureuaal'ru1u4-rpEuelas ue8unqnq durlas pzp rsrs durtr epuq Buoloq 8ue,( ueurour-ueluoru us{Bdnretu selaf lnges ueq?quu+ urelep ?.,(eE uuueo{ ereluetuos 'ZI = gN u8auq 9 rrebuap r{Bqurs}p us{e -Je1
892
nxv>r-HvcNcJss NvcNnsnH NvsNso oxvx vvSNvue}l
tr li t'
ANALISIS STRUKTUR LANIUTAN
264
\x e\
I
2
4
3
1
9
+l
I
-18
+l
3
+l
4
tBl
8
7
+l
-18 2
6
5
+l
I
5
-i5
6
-
1t5
+l
=
+l
7 8
-l
9
-l
+l
+l
l0
-t
lt
-1
+l +l +l
12
(d) Matriks [S]. Koefisien-koefisien kekakuan-lentur biasa, 4 dan 2, harus digunakan untuk anggota-anggota l-2,34, dan 5-6. Untuk setiap tumpuan rotasional, kekakuan unsur tunggalnya tak tain adalah RiEIlL. tsl
=
\e F\
\e F\
I
I
2Er"ll
El,l3
3
EI,
Et,l2
2
EI"Il
2Er.t1
4
EI.I2
EI,
2
t,:
4
3
2,0E(3I.):3EI,
lg
5
6
5
8Er./15
4Et,lt5
6
4EI.l1s
8Er,lt5
\e F\
- 3,0E(3r.):2EI, "r= lg
^ = 4'58(51') : r,tttEr, : EJ' trt/)t lc ,>to: s,.: 2'oII5t) 20 29 = 2 ,,,:llq#glg) =o,t|t43ilt, ,,,:!O#4 = t,6Er, Jn
(d
Matriks
{Pl Pr:O. Pr = + 16,0
Pz:
t
-80,0
Unsur-unsur di dalam matriks
Pz=O. kN'm kN'm
Ps
= -32,0
Pa:0.
{P}
adalah
P::8,8889kN
kN'm
Po
= +80,0 kN'm
Ps:0.
-r 'uB1n>l3u8sreg
Suef e1o33uu 3un[n ruuueel rp e.{uqnt8unses Bue,{ spsele ue8ur.rnuel-ue8urnrual uu>lednreu 6X eflButt4 uy repu-re1ru ?ue&{ I'S'02 qoluol ru?Iep rp erues Bue.{ uelace3ued-ue>1ece8ued Suequrle>1 Iur sns?{ tuelep rp uu{n{elrp >1n1un uelSueu 8ue.{ rseurro;ep uelece8ued, uep 6 - dN -efuaur
qrqel qnef d =.iN efulefuuq
e,(ur1e,(ueq 8uu.( e1r1e1s
uelece8ue6 'tsow,to!ap ulp DltlDls uotlaca7ua4 (t1
68'29+:r,, 9Z'Et+--rr, gL'tt-:otg Z{g+ : 6g Zt'8- : 8C 56,9t+ : ,g 68tzg- = 6g'29- OIO = U +$C : l.{ sz't€- = sz'et - 0'0 = u + sotl = lc 9Z'tt+ = sl'9t - 0'08+ : u +'oc = ig Zt'B- :89'lt + 0'08- : t{ + toC : &d z€'8+ : 99'eZ-}'Zi.+:zl +zol : lc S6'9€- = S6'02 -0'91 - : Id +'oC : +d 'I1 l}E 6t + : 5X 't& l6t'09t + = 8X "Ig lzt'}It - : LX 'Iill?L'gzl+=eX'IAIO'ZO!+:sX "IAlg}'Ott+=rx "rglt'tz,z+:tx'Ialz9'tt-=zx "tgls€.'6tt+:tx qeloredrp WIel
I
S'02 qoluof, ru?lep rp eueruteSeqes
eutes 8ue.{ uerusela,(ued ?l\q?q ue{rleqJed 'rur qe,,rneq
rp up{runluuJrp
e,(uue-ren1
-o{s{rJ}err-$Jrrleu {d} + {0C} = {*C}uep {X}[JZS] = {A} {a} ,_ lr,VSVl u?{Bung {"-{} uDp {j} {Xl uDnnlay s114o14J {g
= {X}
ueeruesred
'n1r1-qu8uelas Sunqnq-{Brl ue8uep n1e1
ZI =,iIN'.a-C uerououetr (p)
el8uerey
Z.7-OZ
wqute1
6 = dN: X-d urroiuoue;. (:)
z
uenle{e{ 4nfunued uep
nzfupp 8ue,{ n4z1 ulSuurey(a)
n?lulllp 8uu,( nlueued ro]IDC (g)
o'z: ta
Ol0= td
ls8z't
:
I
su
992
oxvx-HvcNgJ,as NvcNnsnH NvSNgCI nXVX VXCNVUSI
266
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
20.7 Latihan
20.1 untuk balok yang dihubungkan dengan dua plat terjepit yang diperlihatkan pada Gambar 20.'7.1 , hitunglah momen-momen ujung terselaraskannya dan lakukan kedua pengecekan deformasinya untuk menunjukkan bahwa hasilhasil benar. 20.2 Selesaikan Latihan 20.1 dengan metode matriks perpindahan telah
memasang
sebuah tumpuan-rotasional untuk hubungan terjepit-sebagian.
E1 konstan
Gambar 2O.7.1 Latihan 20.1 dan 20.2
40 kN
.El konstan B per
7
Gambar 2O.7.2 Latihan20.3 dan20.4
jarak satuan
Fret
\-r,.?t'
,\P=
1;
r\F=
3
Gambar 20.7.3 Latiharr 20.5
40 kN
E/konstan 20qo
Penentu
12
Gambar 2O.7.4 Lanhan 20.6
50qo Penentu
Gambar 2d.7.5 Latihan 20.'7.
t-
r
'u?q?purd
rp rnq?leIrp{el 8ue,( re8eqes g Ip leld Is?tror uelsunSSueur ue8uep'g'L'OZ reqrueg ep?d u?{leqrpadrp Suei('I-{nluaqraq e13uere1 qplsrsq?uy l'02
-red-sr,lrJtretu epolerrr ruelBp
'(E =.{ru'Z = dN) e^(urrr1-3un[n rp Ieuorselor-uendurnl r{Bnqes Suesuu.r -aur (a) uap'(Z = CN'l = dr4) Ior-u?ndurnl qenqes Bp?d isploreq seqeq 8uu.{ 'uesred 961 nlueued rol{eJ u?8uep 1e1d eped uelSunqnqrp efuueuel-8unfn unqeq ue4epue8ueur (q) '1ou nlueued rol{?J ue8uap }rdefiel 1e1d eped uelSunqnqrp u,(uueuel-3unfn elrquq ue1 lepue8ueru (z) ueSuap V'L.OZ wqweg eped ue>11eq11redrp 8ue.( 1o1eq qelsrslpuv 9'02 'ueqepurdred -s{rJ}eru epoleu ruelep rp uelrunlueJrp euururu8eqes a-l uep X-d rouou-roruou ue4eun8 -8ueru ue8uep e8nf u?>1reseles 'u?{s?JelesJel lrdefrel-8unfn ueuroru {nlrm snrunJ-snru -nr ue>1eun38ueur ue8uep g vep V ry mluel ueruo{u-ueurou u?{nlue}'E ;Oe r?qtueg eped uelluqrpedrp Suef 4opq eped g 1p 0S'0 r?seqes nluaued ro1>1u; ue8ueq g'OT. 'e1oE8ue
Sunfn uep lrdefrel 1qd erelue Ip 3u$eu-3urs?ur '?i(uueueped leuorselo.ruandunl unp ue8ueseured qelales'uuqepurdred s{rrleru epo}eu ue8uep t'OZ ueq1z-l ue>ll?selas ,'02 'e.(u8unfn-Buntn rp srlsele ea:n1 ue8urrrual-ueBurrruel ue41niun1 uep '1nqesre1 ?lo8:luu 3ue1u11-e,{e8 urer8erp-urer8erp q?lu?{nluetr 'ue{serslesrel lrde[re1
{nlun ueruotu u?p
-8unfn ueuroru epoleru ueluunSSuaur ue?ueq 'ueue1-3unfn rp uesred OZ uep rrr>1-8unfn rp uas;ed 69 deSSuerp ledep e.(unlueuad ro11e; eSSurqes edru uer4nuepes Suzouerrp lnqesrel uu8unqnq ?.,rrrleq ue{r?puy 'n{BI 8ue.{ Surpurp nlens eped lrdefrel 3ue[ 1e1d q?nqes ueSuep e,(u8un[n derlas rp ln?q €3r1 qelo uelSunqnqrp u?p
In{rtrretrr Z';OZ fiqureg eped uellzqrlredrp 8ue,( LgZ
ul g'i1
1q>1
gy lesndrol ueqeq
Suufuedes e1o33uy 9.96
oxvx-HvcNa,Lgs NVCNnAOH NVCNA(I OXVX VX9NVUSX
BAB
DUAPULUH SATU PENGARUH DEFORMASI GAYA-LINTANG
21.1 Pengantar Umum Definisi yang biasanya disepakati untuk kurva elastis suatu balok adalah bahwa rotasi penampang tegak dan lenturannya adalah akibat momen lentur semata-mata. Dengan dasar ini, rotasi nisbi d0 antaru dua penampang tegak yang terpisah sejauh dx (Gambar
2l.1.la) telah dicantumkan
sebagai
or:H*
(2l.l.l)
M adalah momen lenturnya dan EI adalah kekakuan lenturnya. Namun, teganEan geser di dalam penampang tegak yang bersangkutan, seharusnya juga mengakibatkan beberapa perubahan luar yang cukup berarti pada posisi balok. Akibat gaya-lintang saja. penampang-penampang tegak yang bersebelahan seharusnya saling bergeser relatif satu terhadap yang lainnya secara vertikal (ika sumbu balok semula horisontal), tanparotasi. Berdasarkan hal ini, lendutan geser A, (Gambar 21.1.1b) akibat beban yang bersangkutan akan sama dengan lla alau Tzb, dengan:7r dan 72 merupakan perpindahan vertikal nisbi di antara dua buah penampang tegak yang bersebelahan yang terpisah satu satuan. Sebenarnya, di dalam kasus-kasus yang biasa dengan perbandingan lebar terhadap tinggi sama dengan sepuluh atau lebih, lendutan geser A" tidak berarti ketimbang lendutan akibat momen lentur A6. Namun apabila balok tinggi dalam dan balok dengan perbandingan biasa bekerja bersama-sama di dalam rakitan yang lengkap, pemasukan pengaruh dengan;
deformasi geser di dalam proses penganalisisannya boleh jadi akan menghasilkan manfaat yang berbeda pada penyelidikannya. Tujuan bab ini adalah untuk menyajikan metode teoritis yang memungkinkan pencakupan pengaruh deformasi geser di dalam balok kontinu dan kerangka kaku.
7
T_ z4t/ 'u/
G'z'tz)
*pY+:<.taUfotl=
i**ro).uffi r{Bl?pe urslsp/l urupp ue8uuEar
(z'z'tz)
Frouo'elereu
-v''*prl Eue,t resat ue8ue8el rsnqulsp {n1un
'vP Ai="n1ll qeppe (1'7'19 ruqurug) gsgVeped
rn4e[ra1rpflue('enr/l rBnl ?r{BsO'g'1ut8uep?Lu?sqBIBpur]{quoq rc14e1 '(qy7'lZ ng -ureg) elerau lBJIsJeq Sue8al Suedureued nluns uped rasa8 uu8uuEal Bnqlrlslp ?{If ' urelep ustueEar-6reue ueEuap J?nlsqesn ?J?lu? uBuruuso{ sBzB ue>1eun88uatu uuEuap qeloredrp pdep {q urp DI'Z'lZ) ueuure'srad uped ntugeprel euerureEuqas {nlueq ro14e3 'eunrelP ledep raseE ueSueEal rsnqrJlsrp qeles 'uurryruep unul?N 'I${nr}suo{ uup ueEuecuur urBIEp Ip Irnlqntnglp Eue,( uBrlllete>{ selBq uBIBp uulelepuad uzlednreur qup.{ueq uel{Bq e>IIUE>lau Euuluel resup n{nq-n>lnq epud ue4festp Euef resa8 ueSue8al sntunr u?p rnluol snunl{ 'uffiunru 1up -lt r{?lzpe ue8ueEer depeq:4 ue8ue8al ue8unqnq uep e.(useleq Flpuo{ depeqral del8uel ueqnuerued'sula[Eue[ i1r1ns uup ltunr 8ue.{ u?sBquq 1o1od nluns ue>lednreu se}Isl}s?le r:oe1 ue8uep srlsela lepud spueg nluns rc8eqas >1opq eped 1?10{ qlqol 3ue,{ uesrsquuefiue4
VD,
(qt'z'tz)
ue8uap
An
(ot'z'tz)
xp
L:'yp w8eqas uellsardslerp BsIq lu1 ue8unqnq B,!\qBq Ip rasa8 ue8ue8el
uu4luqpedrp ludep luelnlEuesraq Suef 4e8e1 Euedureued urBIBp
rsnqrJlsrp rrep rs8un; ue4udruatu ?ue,\ n {ruueq ToDIBJ u?p '9 raseE sullsllselo snlnporu 'V4e*al Eusduruuod senl 7 3uu1u11-e,(e8 rrtp ts8ung uolednreur xp >1erulrcg Eue,( ueqel -oqasroq 8uu.( 4e8a1 Sueduuued Bnp Brelue W (Di'Z 17 ;equug) "Vp Iqsp ueqeputdra4
{nluag 'Ioleq q€nqos u?lnpuo.J
I'I'Iz
r?glu"c
rollsc z'Iz
3ue1u1 t.{z8 {oJA (q)
rnluel uetuotx IaJg (r)
ffi
xp
-' -\
ep/\'l 692
CNVINI'I-VAVC ISVNU
O.{ACI HNUVCNXd
270
ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN
A
,l
= =
B
lv/Al
@1=#
(b) Dstribusi tegangan (c) Dstribusi tegangan geseJ geser;0= 1,0 bersifat parabolis; a = 1,2
Gambar 21.2.1 Lendutan geser dA, di antara dua buah penampang tegak bersebelahan yang berjarak dx.
Samakan usaha luar dari Persamaan (21.2.2) dengan energi regangan dalam dari Persama-
an (21.2.3),
at,
=
fiax
Apabila persamaan di atas dibandingkan dengan Persamaan (21 .2.1), dapat anda lihar bahwa faktor bentuk q.yang bersangkutan adalah 1,0. Untuk penampang tegak empat persegi panjang dengan lebar b dan tinggi d,yang distribusi tegangan gesemya bersifat parabolis sebagaimana terlihat pada Gambar 2l .2.1c faktor bentuk a yang bersangkutan adalah 1,2. Di dalam keadaan demikian, usaha luar yang bersangkutan lagi-lagi ditentukan dari Persamaan (21.2.2) narrun energi regangan dalam
I/64"*
adalah
wd^,am:)c =
{.*.'lr,t}(,- fi)f'a at a.
+,|i,.'"[','X(' - #)]'
b
d, d,
yang, setelah pengintegrasian terhadap y, menjadi
||d^t^^:ff
a-
(21.2.4)
Sanrakan usaha luar dari Persamaan (21 .2.2) dengan energi regangan dalam dari Persamaan (21.2.4).
at,:l{
a*
Apabila persamaan-persamaan di atas dibandingkan dengan Persamaan (21 .2.1), dapat anda lihat bahwa faktor bentuk a yang bersangkutan adalah I,2.
21.3 Lendutan
Geser Balok Statis Tertentu
l.endutan geser balok statis tertentu dapat diperoleh baik dari pengarnatan ujud nyata geometri deformasinya maupun melalui metode beban satuan. Sementara tidak terdapat rumus umum untuk pendekatan ujud nyata, metode yang disebut belakangan I
l,-
7 uslsuo{
IJ?Eued
{nlun llence{'ue1ru13uesreq Euef
ute.6e1p ueruou ueEuap ednres
.uueqrepes .I {}1g Irep srrlauroe8 eruces rase8 uelnpuel urer8urp {oleq {nluq q?puer qrqel {BleIJel Z {rlr} n?}B';rlrsod e8nf I"V - z"V;rlrsod tW - zW epl ?/t\q?g u?{rlpqrad 'lngosrel Euedureued Hlpa{ EJ?lue (edurnluel ueuoru usq?qn -rad) ueln4Suesreq Suer( rese8 uer8erp sBnI IIu>I yglo veeuap eures eluresaq 6uef
1,v 1
-,1ry1ff = *p A,',1+= "v
J.rleled
ue8uap eru"s q"Iep? tuerequras Suedureued Enp ?J?lup Ip 1Blol rqsru rrelnpuel
*pY!:xpL-,jp ,AN qpppe xp aelcllc,q SuuI Suedureuad qenq
?np IrBp Iqsru uulnpual BuerBX 'o1otu-pnln uqzyapuad
(p)
NVfVSA-IA;N1Id
]ry{
u8
-ndun1 Irep ru 1 4eretreq 3ue,{. Suedrueued nlens Eped lese8 uelnpuel qe18un1rq eped uelleqrpadrp 8uu[ ?ueqrepas {opq {nlun I'€'IZ qo}uof, 1
'T(,'t'lZ r?queC
'rese8 uelnpual
uqEI?qI
Inlun
u?nles u?qeq epola;41
I'€.IZ ruqruug
u?ntus
ueqeq ueupeey (g)
e,(uruuaqes Sued serulas
u?Bp?e) (r) A
'G.'t'rz) uEBruBSJed
dupeqrel
(Z't'tZ)
u??ru?stod ug?ure.{uod rr?p r{olorodrp
(I'€'IZ)
rrgeur?sred
r{PIepB qI't'lz r?qruec ?p?d rre ol.t IZ rBqtuBC eped 11 urupp Euelurl-e,{e8 ueqe>pe;
-lnlEuesreq Suef uuqupurdred uep
*pfllt -
(t t'tz)
Q't'tz)
"V *
ren;t4t
otl -*evglll
rI'€'Iz r?qu?c
rleppe
uped ue
-lnlEuusreq Eue,{ ueqepurdred uep qI't IZ ftqurcC eped ,1 urepp 3ue1rrye,(eE uenopa; '(g'y pse4 nues-efre{ Bruoroel epud ueryesuplp uB{B (t'E tZ) u?Br.u?s teqll) {lluq-lBqrurl yg rrup }tnluaq rol{BJ qBlBpB o 'uep.(eq4 uenles -Jod ueunJnueg ';esa8 UBn>IB{a{ qEIBpe
uuqaq Euequrlos uu?pue>l uup e,{ureueqas Eue,( surelos rrBBpBo{ urBIEp rp 3ue1u11-e,{uE qe1 -upe o uep,.1 'Suuduruued nluns eped qepuaqa>1rp Euu.{ rese8 uelnpual qBIBpB sy :ue8uep
.o#n[: 'v * otl
fi'e'rc)
sntunr rnl?letu ue>1uie,(qp ledep
TLZ
CNYINI'I.VAVC ISVWUOJAC HNUVCNAd
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
272 20 kN
Rr
:25'2 kN
Rz= l8'
Y# ,#
(o) Balok yang ditinjau
(d) Lendutan geser r1( )
1,0 kN
0,55 kN
-o
ss
(e) Keadaan beban-
(c) Diagram momen
satuan khayalan
Gambar 21.3.2 Balok sederhana Contoh 21.3.1.
Dengan demikian, dari Gambar 21 .3.2d, lendutan geser dari penampang yang berjarak I 1 meter dari tumpuan kirinya adalah
alGA.
o' =
#(*ffiil:#h-) = *tros'o* r'2(3)r = Sf
r'N'
(b) Metode beban satuan Jika alGA adalah konstan untuk seluruh balok, rumus metode beban satuan menjadi r,o * A"
:
filv,
a,
Dengan menggunakan diagram V dan a dari gambar 2l .3.2b dan e, o" =
#[f,.
25.2-ix)\+0,451dr +
*/'t*,,rx-0,55)
dr +
+-$
-
= GA
47,52
+
1,62
:$f **,n
fr+
t.2)(+0,4st dx
fr-,t,rx-o,r:l
*]
1,98 + 62,04).
(cocok)
Contoh 21.3.2 Hitunglah lendutan geser pada ujung bebas balok kantilever seperti terlihat pada Gambar 27.3.3a. PENYELESAIAN (a) Pendekatan uiud nyata. Karena lendutan nisbi.di antara dua penampang sembarang adalah sama dengan otlGA kah luas geser di antara kedua penampang yang bersangkutan, dan karena lendutan gesernya sama dengan
I
7 T !2--
'n L'z
a rrele ;r g
gp sB
qelored e111 e,(urreP 'lV't'tZ 'u?Iqtqurellp qelsnreq 'Z r?qrueD eped ue>lleqrpedrp ?uei( rese8 uelnpuel IIseH uefeq'rese6 uelnpuel nep aV'E' IZ lsqurcD rJep n{B>l ?pueq Iselor'lou snreq O rp uelnpuel 8/r\q3q sBlPq Islpuo{ fl{nuallroru {nlun 'vcfn ue$uo4 1e8ued >1n1un rJsnca{ 'ue1n13uesreq ?uB,{ ueuour ue.x8erp depeqrel lrrleuroe8 ereces edrues e.(rr
-ienqure* ueguep qelore dW
pV.
t
IZ
t,qr.ue'
rrep '1 ue6eq 'reseg uelnpual 'nefurltp
-rp tuef 8un1ue88ueur {oluq {nlun c uep qV't I Z Eqru?C eped rese8 ez(e8 uep ueur -our ururBerp ue>1o1ed u?{res?preg 'o1otu pnln uDlD4apuad (') NYIVSA'IAANgd 'DV't' rz
requreg eped 1eq1pe1 eueurre8eqes 8un1uu88ueru 1o1eq eped g ttep ,p ur1npr.1 uep (>1e8e1 Suedureued rselor) resei rs.elor qelSunllH
'3 'g {I}11-{1111 €'€'IZ qoluoJ
({ocoJ) * N{# :Otz+eezlff: o[*'p1s'111's-"-'J]# =.'HI='o t to't' *)(*e-8€+) -' 'o'J L'p -trr?C
uep lvep
/l
a uep qt-t uer8erp uz4etmSSueu qe8ueq 'uDntDS uoqaq apolal\ (q) *.Nr
#
rz
tz(l
= "v
qelepe efuseqeq Sunfn-8unfn eped sy rese8 uelnpuel 6ue'{ 'p€'E'l(, requreg eped 'Suuduruuad ue>lletppedrp rul er?c ueEuep qaloradrp Euu[ rese8 uelnpual .rs?Ire1 Suerequras eped rese8 u?lnpuel uelledepuetu >1n1rm e'tuseqeq Sunfn Irep IFAeIp
Suef rase8 senl ueryser8elufueu nlred er(ueq e1q 'raleplue{ wqeq Sunfn rp 1ou
'Z't'IZ tloluoJ
uped reireplue:1 )toPS
€'€'IZ requ'q")
uetuoru we.6elc (r)
'uqe,(uut u?ntEs uuqeq uEupeex (a)
99t-
o'l +
o't +
N{
O(I
JZ
rese8
uuderq
1q1
99+
nefurllp 3ue,{ 1o1eg 1a1
NI 59=zU -F
a5
I
Jex
z I
N)l
8
N)t SI
CNVINI'I.VTVC ISVWUOJSO HNUYCNSd
8LZ
274
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN 20 kN
Rr = 16,l kN
R: = 45'9 kN
(/)
Lendutan geser
(a) Balok yang ditinjau
1,0
kN.m
kN
2oIkN
-27,9
-frI
-mI
(b) Diagram geser
(g) Keadaan momen satuan khayalan di B +96,6 1,0 kN
-54,0 (c) Diagram momen
-0,3 (h1 Keadaan beban satuan
khayalan di B 1,0 kN
(d) Lendutan geser, bagian
W ""- 2.7a cT\
1
-0,6
|
_0,6
(r) Keadaan beban satuan klnyalan di C 1,0
kN
GA
(e) Lendutan geser,.bagian 2 1,3 kN + 1,0
-o1
-0,3
U) Keadaan beban-satuan
Gambar 21.3.4 Balok menggantung pada Contoh 21.3.3.
khayalan di
I'
dan
A, diB
I
:W
a, dic=.l.%#
A" di.E
=70,2&
G'v'tz)
,(i),,: (fX$Xf) rz',,ffi : (fxYx?)"#=(#x##) :+ y08 ,o-lhl '11
sv
IAYSE :qv
r'IhlS
eleu?eqtal ueqoq BtrrJopueu 8uel.'7 e.,(uuu8uelueq uep
p e,luf.?ur1Euu.,( uueqrapes 8uufuud pasred ledrue 4opq Suelueq qe8uel-qu8ual 61
'Il'0 =,
B/v\r{eq uerepue8ued
W/'\?q
\p'Z'l = o :ue8uep'Suefued r8esrad ledue >lnluaqreq efu8uedureued Eue,{ eueqrep -es >loleq nluns Euelueq qu8uel-qe8uel p 4y dupuqrel sy ue8urpueqred uuplnfunuaut lylZ pqel'7 depuqral p uu8rnpueqred uuqequelrad uu8uep Eurrres ruseq q1qe1 rpul -ueur {V depuqral sy ueEurpueqre4'qnlndasredas relrxes epuroq 7 uu8uelueq dupeqrel p 63qt ueEurpueqred qrqedu uasrad g e33qq 7 ue?uelvat ur?lep Ip BpBJeq ey rn1ua1 uulnpuol depeqral sy resaE uelnpuel ue8upueqred B^\rIEq uo14n[un1rp ledeq 'rn]uel uetuotu u?lnpuol depeqrel rese8 uelnpuel rqsru uenrureqo{ rulruetu qred u1q 'ue4de1a1 -lp qelol Euuluq-u.(e8 leqr{B rselor uup uB}npuel ualnlueuetu >lnlun epoloru uzp
r?sEO
rnlue.I ueuol,ll uu1npurl dupuqral reseg uqnpua.I lqslN uBIUBJeqe)
({ocof,) #=(,s+9I'8t
+zyL+8682-)W
['o,o', xp
(E'I-)GE
-
)'l+
6'e
ry (s'0-x6'g
({ocof,) Ir, ,r'o-ur, - 6'€-)J
uep qv' t'
I
z
-t"l
#h:
+ rp (r'0+x6'r -l
(>tocof,)
Ir, ,r'o-,,r, - a'rt'l+ u,rnpuer'!
xp
,of
+ rn
-t'l
+xrE+)J
'o-)(r'lr
(e
,'[Z
=
+
+),[]# : r ,, ,o
(zt'sL+st'6-ts'telf; * ,o (r'o+)(r'er +lJ]#
"Y*:
(r'0-x6'r
=
:
, * "o
otst+zo' t+zs' Ls)Y* =
+ ,o (r'o+)(r'lr
+)J]Y = , *
'o
wqwe',rr, ;llH'rl 11TT T:;';f X: 3;[;.,r'ffi; 1 wefreyp ue>lermB8ueur ueEueq
r:lew 'q uep qb't'lC, rBqruBC rr?p d uep
rr;};[l ;fjTiil'-ts"HJ Jff 3;
rnq os,e I 1eB e1 Eue drueued rsel or r pe r n{prreq eAeE wefrerp 'e.(uure1 {EI} Ip r.et:- g yp ueryfre>1p .
(ure[ runre[
,r
(f
gerees)
-)tet -)'[ *'p
#. (f
uenlss ueruou lnpred :1epr1
= Gt g + Lt,t a gg,,v-1ff
:
[*(f-)t,' -o't-t'l+ .rJ]* =,0 ffi [ : *'n ",
-) r''r,
r?q
-u?c usp dtrep Aueraerp ueleuntaueur ueaueq 9LZ
'uDnlDs
uoqrqt
fr!r;;'€'Iz
CNVINI'I.VAVC ISVWUOJAC HNUVCNAd
276
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAI\_
Untuk balok sederhana yang serupa, tetapi yang menderita beban terpusat
tl
di tengah
bentangnya,
.
A
^o
--_
.
wLl
u' -
4BEI
WLa 4GA-
il:ffi)(ffi):f"(8)(*)(+) : Nilai di dalam
f;r,,a(fr)(#X+)
:,(f)'
(2r.4.2)
Tabel 21.4.1 diperoleh melalui penerapan Persamaan (21.4.1) dan
(21.4.2). Tabel 21.4.1 Perbandingan lendutan geser A* hingga lendutan
lentur 46 Perbandingan A, hingga Perbandingan pertambahan d terhadap bentangan L
terbagi-rata
0,01666
L t0
0,02400 0,03750 0,06666 0, I 5000
8
1
6
!
4
21.5 Metode
di tengah, a= I,2. G = 0,48 Beban terPusat
Beban
-L t2
I
46
di tengah 0,02083 0,03000 0,04688 0,08333 0, l 8750
Gaya
Untuk balok statis taktentu dan kerangka kaku, pemasukan pengaruh deformasi geser akan mengakibatkan beberapa perubahan pada besaran gaya dan momen kelebihannya, yang pada gilirannya akan berpengaruh terhadap besaran semua gaya-dalam dan perpindahan titik hubungrya. Jika metode perpindahan yang digunakan, kita dapatkan bahwa ekspresi baru untuk momen ujung terjepit dan matriks kekakuan anggota haruslatr di turunkan dengan memasukkan pengaruh deformasi geser yang bersangftutan. Namun demikian, dipercaya bahwa penanganan dengan metode gaya akan meningkatkan pengertian metode perpindahan sebagaimana yang akan dibahas pada pasal berikut. Pada contoh-contoh berikut, balok kontinu yang terletak di atas tiga tumpuan akan dianalisis. Tentu saja salah satu dari ketiga reaksi tersebut, atau momen lentur di tumpuan tengah, dapat digunakan sebagai kelebihannya. Penyelesaian yang menggunakan reaksi pusat sebagai kelebihannya akan dicantumkan secara terinci. Setelah nilai kelebihan tersebut diperoleh dari kondisi keselarasan, keseimbangan balok statis taktentu yang sedang kita tinjau menjadi diketahui seluruhnya; ketertutupan diagram momen dan gaya-lintang menjamin kecocokan statikanya. l,alu rotasi penampaag tegak di ujung kiri dan kanan dari bentangan sebelah kiri, sepertiju1ayarrg terletak di ujung kiri dan di ujung kanan dari bentangan sebelah kanan, dihitung dengan metode' balok padanan yang nyaman itu. Kesamaan rotasi di ujung kanan dari bentangan kiri turhadap rotasi di ujung kiri dari bentangan kanan menjamin kecocokan dalam hal keselarasannya.
t
'ufuueqrqelal
rellg
'V+cV=8U(T+ca)r uessr?Iese>l upeutBsred rrep qeloradrp ledup 'g Ip rs:leer nqu 'uosaqlasarl uDouDsad ltop uDqtqepl uonluaua4 (c)
(se1e e1) #9-*.#=
B tp("s + ce) q?IBP3
uer{ruep ue8uep 'rnluol uatuoru uep 8ue1uq-e[e8 leqqe g Ip
plol
uslnpuo'I
ffi='ro"* ei(uepedFep
pl
g'17, reqursC eped uerlleqgredlp 33nf efurese8 uqnpuel ure.64q
({ocof,) #=t(sxst)(sze's)t-(sl)s'€6'0€tf H nftsz=
t(€)G)(sze'sx
=
aln's
qe - (6)szes'e€lf = E IP
qupps g Ip eg rnlual uetnp
-uel'pl'g'lZ rBqIuBC epede>1 ncutueur yqures 'ueueped lopq epoletu uuSueq 'pl'g'I1, rBqurEC uped ue>peqllredrp aU uunles ueqeq leqpfe resep ?ueqrepas {opq uetrrorrr rue.6u16 'sA uonps uDqaq Pqtlo tosDp ouoqopat t1o1og (q) (rIB^\Pq
e{) ffi.;*=
s
rp ('v + cv)
'r{eppe u?ppruep ue8uep 'resat uep rnluel uatuotu lsqPI? g Ip lelol u4npue'I
#fr:
s tP 'v
rtslupe g Ip 'V rase8 uelnpuallqls'l(, r?qrueg eped rn1ue1 uetuou urerSelp dep -eqre1 8o1eue leJlsreg clS'lZ rBqurBC eped leqgpel 8ue[ raset lrelnpuol ururSerq
(1oco31 eZ#-rr= (€x6xs'eszx
- o)G)u6z)1 - or )168 - (sr )r r szlf
: a n'v
ez9'rrr-= t(r
xr)(s'esz)i
- (zxrxsrz)i -
(s
)ezt
qv - {o)ottzlf = & IP
qplupe Br rp 4y rn1ue1 uetuour l?ql{u uulnpuel'qyS'lZ reqursC upedel nce8ueur Suei( 'ueueped {opq epoleu ueBueq 'qyS'IZ JequI?C uped ue>lluqrgedrp ef:e1eq tuef ueqeq leql{e rusep eu?qrepes 1o1eq 8ue1uq'e[e8 uBp uetrrorlr urer8erq 'uoqaq lDqltlo tosDp DuoqDpac LolDg (r) NVMS.ISANAiI
'efue{uels uup Ir?ser?Iese1 dupuqrel der13ue1 ue>leca8uad ue{n:[e'I'ufuueqtqelal reteqes qetuel Is)per ue{Bun8tueur uu8uep qEuDIIBseIeS 'efet epoleur uetuep Dl'g'l1. ruqurpg epud leqqrel rlrades uendurnl qunq efl1 sels Ip 1e1epe1 Sued nmluo{ {opq qelslslpue 'lese8 IsuluroJep qnrefued ue{{nsel\l I'S'IZ qo}uoC
cNvJNrr-vIVc IsvnuoJeo HnuvcNed
LLZ
278
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN 36 kN
I
9m I
lsm
r
.E/ konstan dan GA (a) Balok yang
36
kN
ditinjau
54 kN
(c) A, dan
r
-
+,10,5
A, dan balok
dasar akibat beban
vkN r.orN '
0,625
I
0,375 kN
-49,5
253.125
2349 729 _ET
TI
l45E _ET
t782 EI
25lt EI EI
891
(b) Balok dasar akibat'beban
(d) Balok dasar akibat reaksi safuan
Gambar 21.5.1 Metode gaya analisisdari balok kontinu.
Dengan menggunakan nilai 46 t A, dan 6u + 6, yang telah diperoleh pada bagian (o) dan (b), dan sambil mengingat kembali P = dEIlGA,
_
_ ""D
+ 256,5 B _ 2912,4 + 45,68 45+g 253,125+5,625p
16,3E2,25
-
Nilai R6 dan R6, dapat diperoleh dengan mensuperposisikan nilai-nilai pada gambar 21.5.1b, yakni. Rs kali nilai-nilai yang bersangkutan pada Gambar 21.5.1d; sehingga
Rr=,r0,5
-o,ezszuffi&
Rc =4e,5
-Wlsz))ffilp
Diagram momen lentur dan gayalintang dalam bentuk akhir diperlihatkan pada Gambar 21.5.2. Tertutupnya diagram gaya-lintang tersebut menunjukkan bahwa ia memenuhi persamaan ZFy = 0 untuk seluruh balok. Ordiuat pada diagram momen dihitung dari penjumlahan luas gaya{intang; ketertutupan diagram momen tersebut menunjukkan ia memenuhi persamaan 2M = O untuk seluruh balok. Diagram lendutan geser bersifat analog terhadap diagram momen lentur dan diperlihatkan pada Gambar 21 .5.2.
I
r 'uBuEped {oIBq epoleu uB{?unEtueu uE8uep uBp €'S'IZ r?gru?c e{ Iequra{ ncBSuelu ustueo 'cg uep g.y uBtrrElueq-u?8uElueq ?pBd JrlBAeu uerrrotu ru?.6elp pq elunles tuef uep 'Cg trep gr7 veflvelueq-uutuulueq epud Srlrsod ueruoru ure.6erp leqFI? FE efunles Suuf 'ue1n13uesreq tue^ raset uelnpuel u?IrseslleJleueu {nlun g. Ip eJu1es uendurnl u?unrnued rrep nlus Sued :pq et11 ueqelunfuad uup 3un1g1p pdep'(p7'9' IZ r?qru?C eped leqgJrel qredas 8ueluq-e.(e8 tuelep rselor epe )teprl) efes rn1ue1 ueruoru legl{e ', uep g 'f Ip {e8el tuedureuad rsglou '€'S'IZ rggru?C uped leqqrel urades 'qer\?q e{ qsru ur?pp 'Bl(u -r{Blurnf eruss 3ueli mlual uetuotu l?qpl? wlnpuel ledeprel qulsnrsq 'Z'S'lZ fiq -tueg eped leqllrel euerup8eqes 'g.tp sele e{ rese8 rrelnpuel ledeprel ?uers)I 'ueu?{ q?Ieqas ue8uuluaq FBp IrpI Eun[n p pufra1 3ue[ uetuap sur?s rypll nBlB ?rues efuFpl ue8ueluaq uep trm[n 1p IpBFaf u[uuq 3ue[ rn1ual uotuotu leqple 4eta1 Euudtueued nulor qe4ede l?qleur uetuep ue{ru1?Ip l?dup ruI lru{acetuad 'e,{uuasureleso{ uu{ocetued qupfueq w{n{eflp nlred tu?^ 'n1es 1uferepreq n1uel {81 srl?ls lqrsroq nsfqllp 6uu/( >1opq EuarB)I 'aoso$psul uo4aca8ua4 (p)
'I'S',It
:{oluoJ'sFl[?ue F.SBH
z's'Iz Eqursc
rasai ualnpuel (p)
ueluour
uefq(
(o)
, d+st , \TI'BiI',_
,
g+st
)+
'dt't6l+I'2t89' raset
ruefqq
(g)
g+st
, tdfrrttTt
l'\_
, r*' tgg'tz+ s9'p6zt' nefup;p 8ue,( :1olug
121
g + Sr di1iiiiTut- -.).,d
=ra
NI
NI
9T
'S
cNvrNl'r-vlvc IwwuoJ3o HnuvcNed
6LZ
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
280 0t= |ttl- 0n- 0n
=#h.;(#)-i(#xiF?fl, =
nd*
r-u3i,.sp
+u*o+ tup-72ss,62s)
= r;1d1,5-lls'62s + 6Er'75P\ qst:
qatr
- Qsp* 9att
=ffi6''JH.i(#Xfi#)o,
Oan
37,.sp -8100- l80p + 14.51e,25)
=
nd*
:
Ad;A'*rs2s + 3s7'7
= -Oanr =
r-u
s
B)
i 0sr:- 0anr
-affir,- *(#) - 3(#X##), ",
A#Ar322,6s8+ 30'618 + 680,48 -24'tes,75) : nfrrr*ls,25 + isT,is\) (cocok)
--
36 kN
RB
(a) Balok yang ditinjau
0or.
(D) Kemiringan ujung, pada bagian ketiga
Gambar 21.5.3 Pengecekan keselarasan, Contoh 21-5.1.
L-
r 's1?r-r3?qrel u?qeq
F{Iureu Suef lrdefral tunfn
(r)
1o1eq $ans rnluel uup reseS
(c)
,tt
h-
(ot'g:.tz)
fu.:
@t'g'tz)
6=trg+|+
$?turoJeq I '9'I Z ruqurBg @)
fu* ='^
N+:toI/'I
=
N-:tot\[
'resat rszuuo;ap qnruEuod uulEunlqredtuaur uuEuap 'rpu1
zt
_
o+uaorL _z'0+"0 _,^, rt ss
,1^= oTTrudlAA:
*or:
uutuep etuss q?l .rasat -epe uer.uotu'l'9'lZ r?qr.uuC epud uelluqpadlp Euel( rlredag neuro; Wvetqqolal -ep qelo qnrutuedral e>Iaretu eaquq uu>ppfun11p uz>yu uBqaq Blrrop ''e1ur-6eqra1 rypr1 -ueur Euud elo8ilue nlens eped Eunfn uauoru 3ue{ qnufeg lrdalret 1n1Euu{uau 'ueqepurdrad epolaru ruelup Ip ue4uunfip 1n1un uelnlEuesraq tuef elot8ue ueru[e>lo{ s{rrluru u?p ufultdaftel Eunln uu4ensefueu uu8uep uu>In{BIIp ludep rur I?H 'nll luBcctuos eloEtlue rrep resaE rseruroJep qnretued uelEunlqredueur ryprl nule unpunpqradruou >1n1un rlJlltueur qaloq s$rlurr?tuad 'Euernl nele 'V'9 'g qulunlelol 'llcel Euet( reqal depeqrel F8rqt ue8qpueqrad Dll[urew n1e1 elEuerel n?1? nu.rluol
lopq
elotEue nl?ns epqudy
uuqupuldrag apolel
l
9'
IZ
'qeloredp u?Euep qepnu ereces 6un11q-rp e{ar ludep efur1r1rl rsulor anures reee aa e vep "s0 rq 'uuser?Iese:1 uelece8ued {nlun uelnlredrp >1epr1 c 0 uBp vg pUN -eru rurs
- dsg'zzt'r(d
GLe'ffi'zt + dg'LLL-26'w
szs'z6s'zz)(d
-
(dsz'oor r
+ +
!')ra 5r)ra
sr)Ygsl,.,r( d + sv\(Isz\q-l ra \sl ""\sl.'6€8r./\ t /t'\sstt/8 -(d+st'6€gr. t)0 +7r0
_t)0_
= )0
cNvrNrr-vlvc Isvwuocsc HnuvcNsd
T8Z
282
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
Momen ujung terjepit pada anggota yang memikul beban terpusat, apabila pengaruh deformasi geser diperhitungkan, dapat diperoleh melalui perkalian ekspgesi biasa dengan faktor penyesuai seperti yang diperlihatkan pada Gambar 21.6.2a. Faktor perryesuai tersebut dapat diturunkan dari kondisi keselarasan seperti yang diterapkan terhadap balok sederhana dasar. Perlu ditekankan bahwa rotasi penampang tegak dari arah vertikallah, dan bukan kemiringan gabungan dari kurva momen lentur dan lendutan geser yang harus sama dengan nol di setiap kedua ujung terjepit tersebut. . Terapkan metode balok padanan pada diagram momen lentur dari Gambu 21.6.2b,
o'or:
Wab(L+ b) ==ifrf
dan
-
!--
vibt
-
Wab(L* al 6LEI
(21.6.2)
Diagram lendutan geser dari Gambar 2l .6.2b adalah serupa secara geometris dengan diagrirm momen lentur; jadi
dan
0i"r:0
Moi
)
0;.1
:0
(21.6.3)
uo,=-Y(*.-)
*,=*T(+d (a)
Miq,ot
Mioitt
[,sntur
Mioio,
Lentur Mto,t,
+
*r lw
'*',=o
orrl=o
-Try-',-rr,.rtffi" 1
''-
,"affi;i@ryI
o,=s
GA
M,ouz
(b) i
I
t_
Gambar 21.6.2 Deformasi geser dan lentur dari suatu balok ujung terjepit yang memikul beban terpusat.
7
T
*p
tW ,ni tplerrp tuuf pseq IrBC 'r0 uep tO unf urnre[ qeruos tunfn pelor tntuap lN urmu[ qereas tun[n uaurour eruluu uutunqnq uuryserdsletuaur qluurqrd elotllue nlens u?tt>Ie{el wp wrnluele>l $lrrlplu'E g'lZ reqr.usC upud wlleqlpadrp 8ue{ rlradag
(qor.q.rz)
ffi: a tffilfu-:\41q:'oY1
(ror.s.rz) ffi= q'9'IZ
o
l rlllz! +tf ,a _ L5illdg + t),qo14 -
t1,11_
-
toy11;
rBqruBC eped rlradas lory *p,o7g 4n1un epuel uer[uufrad ueleunttuau luqqral uussaq lnlun (g wp D6'7'IT) u?Bruesrad us{rcselas
ue8uap tnp
'lN wp tN {Bllntu
(qe'g rz) @ffiR : (,* * ff)'^. (Y -T)'^ kffifr=(ry-ff)'^.(Y#*T)'^
(oe'g'rz) q'ytd
upBuresrad urelep
eI Q'ytd
rsrp
(Ds'9'rz)
rcl6
(q8'e'rz)
'({
uep
etllur-q (Z'S'1Z\ uu?ruusrad sardsla rrB{puBC
(€s!0
=
(€r!g yen!g)!ya1+
:
-ect1)!N
*
(zslg -.ct1)ty * zug)ty11
(zst,
'rur qu,req rp w1{usrp
tuz{
uradas uBs?JBIeseI ueeuresrad enpal sntrp4es ue:1resa1efuaur ue8uap qeloradm ledup 'p eilBurtq qz'g'lZ r?qtuuC epud 1eq1pa1 rlradas 'lIN rnp l4r >1q1nur rrzJBsaq-u?rBseg 'u?ququrul rurs rp ue4[us1p tuer( srsg uesqefued luenlus uuqaq epoleur leJlsJeq uup (9'9'IZ) rnBruesred IrBp IFBr{ 'e[es n1ua1
uetuap qaloredrp u8n[ ledup
(t'S'td
n2o,
(t'g'tz)
=€sI^
-
€s!0
'p(,'9'lZ ruqueC rrup rrurru{ undneu
O2o'
(s's'rz)
141 Eunfn
!p'u?p
=zst1 -zsr1
'q,.9'lz rBquBc uEp ueuel trmfn undneru pq tunfn 1p {utor Eueduuuad rs4or edruaq tue.{ er4uaures 1uq -p1u uetuap 'u{uuutrul Eunfn rp Hupuaqe{rp lupn tuu,{ Irutnpuq qslo rtsIlBr}eutp ledup up1 uendurnl depuqral {oIBq r{runlas rrBp Dl?{-epuaq reEeqes IsBloU 'nmued
-rol r.lululnlaq 'lou uBlnpual Iu>IBl( 'ueu?{ Wleqas uendunl rp setsq FIpuoI s/r\q?q q?l tuef ludural Ip {eEar Suedueuad rselor eEnf rdelal e{uuendum} !+l q?leqas -sslaf'BurBS
rp rasat u?lnpuel {nlun Iou -Jss?preq u?{nluelrp p wp
rc[u ueluer{elradureur efuuq w>1nq Eue,t tnlupull
)Z'9'lZ reqtueC epud leqrpq Eue,(
sBlB rru:I rasaE u?lnpual urerEerq
ff :ns u'p E9 :'o,s
G'g'tz)
H19:'otg
O'g'tz)
u,p
Hie
:r*g 'p trup cz'9'lT rBqutBc
Irep rnluel ueruour ururterp depuqral tursuu-tuneu uuuepud
{opq apoteu uelderel
cNvrNl'r-v/\vc IsvwuoJsq HnuvcNsd
882
284
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
M,
C A'
Gambar 21.6.3 Anggota prismatis yang menderira pada ujung momennya.
pada sisi kiri Persamaar (21.6.9a dan D), matriks kelenturan anggota, sambil memperhatikan pengaruh deformasi geser akan berbentuk
-ffi-#)l L-\or, -LA .(#-#)l
rDr=[.]+.#^)
(21.6.11)
Penginversian matriks
[D] sebagaimana terlihat di dalam Persamaan (21.6.11)menghasilkan matriks kekakuan anggota, sambil memperhatikan pengaruh deformasi geser, sebagai
.?(##)l ,",:[*T(##) LvI
}+ff#) .?(##)j
.aElB
*D___L -
L'GA- L' (2r.6.12)
Ekspresi untuk momen ujung terjepit yang telah disesuaikan, ditunjukkan di dalam Persamaat (21.6.1a dan D) untuk beban seragam terbagi-rata di dalam Persamaan (21.6.1U dan D) untuk beban terpusat, dan ekspresi untuk matriks kekakuan yang telah disesuaikan, ditunjukkan di dalam Persamaan (21 .6.12), merupakan semua hal yang di perlukan untuk memasukkan pengaruh deformasi geser pada sembarang anggota tertentu di dalam metode perpindahan pada penganalisisan balok kontinu atau kerangka kaku.
Contoh 21.6.1 Dengan menggunakan hasil penganalisisan balok kontinu dengan metode gaya sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 21.5.2, perisalah secara numeris benar tidaknya persamaan. {M*}2,,= {Moh,r + [S]z,z{dh,r pertama-tama anggota
AB
darr kemudian
untuk anggota BC.
PENYELESAIAN (a) Anggota AB. Dai Gambar 2l .5.2, momen ujung akhir di u4 dan .B dari anggota AB adalah
MX:0
u*= +ff
(searah jarum jam pada BA)
Momen ujung terjepit yang telah disesuaikan adalah M^. _ _36(6x3)'z
( t+68t27 \ _ _72(s+28)
*, =*qfiq(#ffi)=]#i;? f,.
r 'I'IZ uslIB?.I
I'I'IZ
r8quoC
F * 0 fl
$
TO drr
3 ll',,
3 s
Nr
zl
'e{uueqrqelerl
uelSuequnlrad'SZ'0 uossrod ueturpuuqred e13ue ue8uep 'urc 0ZI r8turl uep urc a'L'lZ lr-qureg eped ue4leqrlradrp 3ue[ lopq >1e8e1 Suedureued Z.lT, =flu?p Xl'O=, ue{Bun0'srrl
-e8ued
efuueuel uendrunl rs)per uplpunSllueru ue8uep q?Isrsrleuu 'rese8 rseurroJep rIru
ruEeqes
0€ reqel 'qel?pB
'euciN>{
€01 X S0'I
-euoe8 epoleu uup u?nlus uuqeq epolau uu8uep uelnlSuesreq 3ue{ uelnpuel uerEeq-ue -6uq qups4re4 '3ue1ur1-ei(e8 uep rnlual uaurou 1uqr1e eiuseqaq Sunfn rp uclnpuel qBI eped uu>lleqgredrp 8ue,( rlrodes tunluzSllueur
-Bunlg'l'L'lZ rBqu?C
{oleq {ntuq I'IZ uBqpq l,'Iz
'Iilerunu
Bteces
rBuaq?1?{uJal J4'JrS!+sosrs+ror{i:*r^JuBpJOrsS+a+sss+sory:qtw ueBruBsjed
6 +9y119
_ -ra d.f,sorl - szs*6tzz - - v @ + 9v71s
dfrdsz.'frtw='E rI?IBp?
s{erau:t'S'tZ qoluoJ
eped (p) uepuq pep UquIBIp Srmfn elo8iluu rsulo1
a#.#^.=(###)&i8*.:-^ dt+st
idTElsTs€-
:
_lszaldat + +r
\s/-de
I\
zst _ :_ ""^ )M-
8o,^,
q?l?pu u?{lunsosrp 0=
(Sgeped tuef urruef
qe.re
tuef rqle
Sunln uouro4
irll
u?^\q)
ff**- =f^ r{BIBp? Cgr elo8ilue
usp C uep Er rp rpple tunfn ueurour 'Z'S'yZ r?qu?C IIBC '39 tyo8fluy (q) 'ua{rsnsesrp Suuf uunlu4e{ ql.q?ur u?p up{rensoslp Suei( 1rdefre1 8un[n ueurou {nlun uu{unrnlrp tuef snurnr ueJeuaqe:1 depeqrel Bsed qrqel pefueur ue4e tueroases Bue&{ euntreg tuepuudrp nll IBrtr lm(ueu nn uB?$lF -auad tuepp rp leqrlrel tue{ ue8unlrqred leAueg 'slJelunu erecas reuaq elzr(u + sory = a*ytr uep sfsvs + IrQvrls + WN = f71r ueeuusre4
-$l sfsss + vQvss
+sr)ru
@
dsi.l'r;ffAw= (d+gv)tg
aa
''
dy'1gga979'61*--v^ qq?p? B{ereru : t'
S'
tZ qo}uoJ
Eped
(p) ue6eq Fep Ilqtuqp 8rm[n elotEluu rsulog
[-/ts/dzr*rt o nltdzt+r\ 6'l | \leE€ + r /rar- \ls/d-eL / rsz L^, I lrsldzr+lt o ltltdzt+A e l-tDr r8/d-€. r / rErl L\l8/d-t- r / rsz \
rIEI?p? u?{r?nsasrp qe1e1 tuu,t
cNvINrT-VM
982
wn{u1e{ s{Irl?W TSVnUOCSC HnUVCNSd
v ANALISIS STRUKTUR LANJUTA}i
286 40 kN
Gambar 21.7.2 I-anhan 21,2 Can 21.3. l.l4 kN
Gambar 21.7.3 Latthan 21.4
NP=l: NF=2
Gambar 21.7.4 l-atihan 21.5.
40 kN
Gambar 21.7.5 Latihan 21.6.
21.3 Setesaikan Latihan 21.2 dengan metode matriks-perpindahan dengan menggunakan (a) satu unsur 7,5 m, dan (b) dua unsur 3 m dan 4,5 m. 21.4 Untuk batok kantilevernya yang diperlihatkan pada Gambar 21.7.3, tentukanlah ekspresi kemiringan dan lendutan di ujung bebasnya sebagai fungsi dan I = odllG,l', dengan menggunakan diagram momen lentur dan gaya-lintang dari statika. Analisalah balok kantilever tersebut dengan metode matriks-perpindahan dengan menggunakan satu unsur 5-m. Tunjukanlah bahwa kemiringan dan lendutan di ujung bebas yang diperoleh sebelumnya memenuhi persamaan {P} = t, SBl {x} oan {F*} + ISsl {X}. 21.5 Dengan mempertimbangkafl deformasi geser dan menggunakan konstan 9= aEIl Gz{, turunkanlah suatu ekspresi untuk reaksi di tumpuan kanan dari balok pada Gambar 2l .7 .4 dengan metode gaya. Periksalah penyelesaian tersebut dengan metode metriksperpindahan dan dengan menggunakan bilangan-bilangan P-X dan F-e sebagaimana tertera. 21.6 Dengan mempertimbangkan deformasi geser dan dengan menggunakan konstan P = oEIlGA, analisislah balok yang diperlihatkan pada Gambar 21.7.5 (a) dengan meng-
gunakan reaksi ditumpuan kanannya sebagai kelebihannya, (D) dengan menggunakan reaksi di tumpuan kirinya sebagai kelebihannya, dan (c) dengan menggunakan satu unsur l2-m pada metode matriks-perpindaha.
Is.
r u?nlBs lnqesJol snsBr ru?lBp rp 'lsr nd u?IBp uB{ueqp tlInlDetu lnqesJel IJBp rrs)lal ".ie? snppotu Euepel'Euepex 'senl uunles red u,(uE urupp rrqn1p ,sr1se1a .rsspuoJ wruIe{a>l
sqnpou :ueEuap .1ure[ uenlus tad ,$1 Esaqes 2 s?l? e{ WtEps etle?-et|.Ilt urp ryre[ .1.Z.ZZ, ruqureg uenl?s rod at'quqn-quqnroq Euu{ rlB^r?q e{ ueqoq eped In>{Ituoru qC ui(ususula B^rru{ rrBp g7 rnqirrls elofflue rrE)lllBqrad l?qllrel Suef eueurcteges
$y
J?sso lBFuareJlg usstuusred z.zz
:fr#:IT#'[Lt':J;1ff lHf,:Hf
.u?rup{e{ n ardol+F ards4e'rur qsq ur?pp rc 8s?rq lBsre^su?rl u4Bnru-rrBl?nu 18qp{? uoruoru upas efqldatrE tunfn F{B3r-r$l8eJ {nlun u?p e{uzlo8tuu u?DJDJe{ s{rJlBru 4n1rm nerdsla-rserds4a efes pse ue4uuntp du1a1 uequpurdred epoletu uesrsrpue8uad ludup r$puoJ $Bns rl6lo tuefunlrp udu 'sr1se1a -ueuumelred 8uu{'n4e1 nltuero4 ru}? nurluo{ >1opq e1offiue edureqaq pq uTBIBO 'srlsula rsupuoJ sBlB Ip JnDIruls ulotllus
eped ufre1aq Ewl( rnqula4p>lul tuei( I?sre^srrcrl uelnpuel uep tuolo{ued uzqeq Fep ..u?n{Dle{ snlnporu.. rr?p UBrIB{Jed ue8uap eurBs Eu?^ ,rnq?}e{Ip{ul Eu?1( IEsreAsuul e(efl-e&e? ?pB usDlrr.uep uutueg .srNele ?puoq sel? Ip {utetrat tuu{ rsupuoJ {opq qBIppB r.un(un qoluoc nluns llusrarrsu?4 rrqnpual lnqosJel depuqrq IrBp Suroueqas I?q u?rrB,lt?I -red rn4upadusu Suer 'sgsnp u?>t?ruuulp edr4n[ue1es .suods lsopuo! wq?q llredas sel? rp {qelrol Euef qeppu ufuurc1 sruaf rn11ru1s elottuz nlus qBI?S .1rda[ra1 Flpuo{ uepp 'u{u4oEEue dunes tunln enpal uped ue4qupqdp lnqasral IBsJa^srrBJl eftet-efisa 'ueqepurdrad epoletu epud uesrsgeuuEuad urepq 'rnqele{Ip tuef psramuun e/let-efiet BlFepuetu Sued eped.rs?l?qp q?lel Jnl{nJls ulo8tuu-eloE8ue uuuetu?uad 'nnr e8tuH
umlun uuJBqruBg I'zz
SIISYTS ISYONO.{ SYIY IC XOTYfl
VNC HNTNdYNO svs
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
288
ldxl
,ct Gambar
22,2.1 Atggota struktur di
H m ll2,;."
atas fondasi elastis.
modulus kekakuannya merupakan perkalian dari modulus tekan dengan lebar anggota
struktur yang bersangkutan. Dari persamaan keseimbangan resolusi dan rotasi suatu potongan anggota struktur yang kecil sekali,
dv -:dx dM
lcv
(22.2.1)
l?
-
E_'_,,
dan
(22.2.2)
dengan arah positif dari gaya-lintangY darr momen lenturMsepertipadaGambat22.2.l. Perubahan kemiringan di antara dua buah titik berurutan yang berjarak dx sembarang adalah sama dengan
.dv
d
M
(22.2.3)
-d*: - EI'l*
tanda negatif tersebut adalah akibat kenyataan bahwa kemiringan yang bersangkutan semakin mengecil dalam lengkungan positif atau cekung. Penggabungan Persamaan (22.2.1) dengan (22.2.3) menghasilkan persamaan diferensial dasar dari kurva elastis tersebut, yakni
davkw ar: dXA'EIJ -L-
+-
(22.2.4)
EI
gaya-lintang dan momen lentur yang bersangkutan menjadi
V:_H{1 axu
dan
:
(22.2.s) (22.2.6)
-Et 4'r, dx'
22.3 Penyelesaim Umum Persamaan Diferensial Apabila tidak ada muatan transversal yang bekerja pada anggota, persmaan diferensial dasar (22.2.4) menjadi
#.#,:o
(22.3.r)
yang penyelesaian umumnya adalah
!: A.o.f r cosh L* *r cosf x sinhf x I
t-
*Csinf ,cort *,r*osinf xsinhf
x
Q2.3.2a)
@rs'zz)
(O,cc
-J,s, -
€[,rs +
V,tt)
#Z+
:
(r:.'n#ru-):q (ot's'zz)
o#-:(o:x\e#ru-)=,w :ln{rroq rc3eqes g
uep ? 'g 'y Buewqutas uetsuol lzduae4 rrup rsEun; rcBuqas uululefurp rcdep yp.77 rpqlueD eped uu4rsrur3eprp 8ue,,( euaurrcSeqes lrl *p ,rr1 ,!W ,17ry u[e8 u?lBseq lrduael ,c ,rs ,s '@ qsoc uup @ soc '0 quls '@ urs >1n1un loquns-logurs uu{Bun88ueur uuEuec ,c r;r-p snsEg rsgpuog upud 4oE8uy rqgns uarnluele) qr.[BI,{ s.ZZ 'rntln4s
vlo?Bue nlens ssiuq
., x r u?r n r o q r,J^ I,f, uu 1e 1 ep u e d w p ::; lXffi uelpsuq8ueur trele uurelrad",ruulelapuad uuzunE8ued Bmqpq
f,Tfi
rstpuoy l.l.ZZ
lr
,:'#1T*1'#rX,' :r,,,,',1 u?{{nfunlp
ue>1y
'q?les u?p sqoc ?r?c rnl?lelu u?>lnluol -rp snI8q e,{u3uo1o,{uad ueqeq rr?p s?qeq rpufuaur Bue,( ue6uq .lnqosro] q?lBs?r.u rrrDJB
uuresalafued uped pe[re1 Iu] I?q uEp ue{r{eloqradrp'>1epq u?{rr?l erJrl .u4rupuesreq tuef urnrpetu depuqrel tuetedraq delueur erecas uulnl8uusreq tue,{ rnl{nJls 4oEEuu uelpzrFuoru {nlun ndursru w{Ispu? q?lo-qBloes >IIre1 undnutu
tuorop
vf,e?-efiuz >1req
-Ip qqel lnqesJel srlsBle rsspuoJ ?^\q?q n;rad 'rur ueEunqnq uj?l?o .l.tzz teq l4BJIp ,, lhl ,t1y 4n1un3r1rsod qery -ureg uped 1zqryp ledep r{?re 'IV 'tV '{0 't0 {nlun uep , 'fV 'rV lgsra^suerl u?lnpuol wp t6 ,tg ueturrnuel-uzEurrrural uerrcuad (Z) nete it uep t 8un[n 4r1r1-4tgW tA'tr1 nsafl efeS-e,lel uep'l^'tyy mlualueuou ueucued (1) quppu urnr.un uelelepuad qBnq ?nO 'lnqesral u?lsuo>1-uslsuo{ uB>lnlueuolu >lnlun uu4nFedry ludtua'tuereques u?lsuo{ ledure EunpuuEueu srlsela rsBpuoJ s?13 rp {el urnun ueluselefuad ?uore) sBlsg rsrDuo>l
-epe1 Euu.,( u?qeqrp{el eloffiue >lnlun prsuereJrp uuerrresrod
ruuqeqry{Bl elo8iluy nluns sslsg Islpuo) ,.ZZ
'0't'Zd u??ruesred ru?Fp a{ (Z't'Zd u??ruusred rI?p upunrnl uelllueEEueru uzEuap eqrradp ledup lnqesrel uurusala.,(uad u4edaley lg?L _ :/\4lr 'I: Q
@z't'zz) 682
uuEuop
SIJSV'IA ISYCNOC SVIV IO XO,IVS
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
#
v, =
(-.u
v,:
(-u#
ur-
: o) = *'ry@ -
c)
(22.5.1c)
u,.: r)
: .'zry[(sc'+
cs')A + (ss'* cc')B +
(ss'-
cc')C
+(sc'- cs')D] (22.s.1d)
Sebaliknya, keempat konstan senbarang A, B, C, dan D dapat dinyatakan sebagai fungsi dari keempat besaran M;, Mi, V;, dan V1 dengan menyelesaikan keempat persamaan simultan (22.5.1); sehingga,
A
:
+
rfr#-...
+ s')M
[-,r''
*
Zss'Mi
*
(22.5.2a)
+fi r''v,+ t"'l%] |
(22.s.2b)
f rr, - s'c')v, -trrrr' - "tr%] * s'c')Mi- (sc'+ cs')Mi B = *rEl#-o[*r"
c
: + rEI#" -\
*l
[+tsc
+ s'c')Mi- (sc'+ cs')M
t"'l%] "v,+ f
(22.5.2e)
D=*{-r*e*,1
(22.5.2d\
Namun keempat besaran deformasi 0;, 01, fungsi dari keempat konstan sembarang oleh
,,
: (* fiu, t= o): *to
r,:(-*di ,:
L)
: *t[(sc'-
cs')A +
L;, dan A;
dapat dinyatakan sebagai
* cl
(22.5.3a)
(ss'- cc)B - (ss'+ cc)C -(sc'+ cs)D,
Ai : (-y. di .r :0): -A A; : (*) di t : L) : lcc'A*
,rr.r.ro, (22.5.3c)
cs'B
*
sc'C
* ss'D
(22.s.3d)
Akhirnya keempat besaran deformasi 0;, 01, Li dan A; dapat dinyatakan sebagai fungsi dari keempat besaran gaya M;, Mi, Vt dan \ dengan memasukkan Persamaan (22.5.2) ke dalam Persamaan (22.5.3); hasilnya dapat disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut:
a
(ct'g'zz)
. +,rs)-,v(,e,s + os) -,0+-, [,o{,t, ,h] d# + = ) Gt'yzd +,rs) + ,v(,r,s + rs) + ,0 +.,. n [,ot,r, #] +d + : g
(ot'g'zz)
'
ueeurss-rad
ledueol
ue>1rcse1afuatu tre8uep
-o>l rJEp rstung re8uqes
!v-=y
uerlrruep ue8uap : (t'
S'
Zd
rmt
Jnurs
'!v 'tv '!e 're rwuilogap ueresaq ludrua
uulelefup pdep q wp ,J ,g ,y sBsEIiJ
Buetegrues rrBlsuo>l ledureey
ls?puoJ upud qo8tuy n1sns usutnlql
srll4fi
9.ZZ
'0
rv '0
:
!V '0
:
:,V
:,t '"-' * = t0 ,1+ =tA ,1* :,A .I + = lIN ,0: tN (y,)
'H-t *
uEp
:g
:'v 'E9 * : t0 '+ + :'0 '1- :,A '+ -:
,,1 '0
:
1N 'r+
:
.ru (r)
ru1e,( uqEuntu Eus[ sr]Bls u?Burusrad rsrpuo4 Bnp BpB efueq euaral
G's'zz)
rpefueur rsereue8epleq [6r] ueinl -uela>l s>JulBlu 'ueryrurap snse{ Iu?Ipp Io '0 = @ e>pu '1ou ue8uep BtU?s lnqosrol srlsBla tunrpetu uep ,1 uen{e{e{ snlnpou epqudy .snsele upud elot8uu nluns uern1uol Is?puoJ [6rl sryriuyq
-eI
s>Julsru r{?Ieps
(t'S'ZZ;
ue?ruBsrod qelo uu4e1e,{rnp BuuX rlredes
@'s'zz) (,r
(.s
-,,rl.$tez -,r,s)rJ
{rs
;z,s)r+Ig_( _ (.sr -,rs)rz
(Js
cs -,,s\,+Lgz
ttr=;tJ
+
(rs,,- r,slrolgz -
(rs
- rflrQIA ,ss.T
(t
-,r,sL?
-",,qLfrg _ ,ss;-I
(,s
(.s -
2,3).9IAZ
z,st?
!p
+
-
rv
=
rrr[o]
!0
rsh
{rs
:rrt
(zs +
-,,r)+rs
(,r,$ +
* r,s)+It (,r, +,rs).r
(,s -,,slfre ,++ ,sf.T tA
*
,e
w
*s
T6Z
SIISV'IA ISVANOJ SVJV IC )IO'IYS
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
292 D=
*r+
[*i,,.
*
- s'c')o;
f trr'- cs')g; (22.6.1d)
+ (s'2 + s)A, + 2ss'Ai]
Matriks kekakuan [S] suatu anggota pada fondasi elastis dapat diperoleh dengan menggantikan Persamaan (22.6.1) ke dalam Persamaan (22.5.1); sehingga:
IS]+"a:
A.
A1
0i
0i
Mi
+TEMP1
-TEMP2
_TEMP5
-TEMP6
M1
_TEMP2
+TEMPI
+TEMP6
+TEMP5
V;
_TEMP5
+TEMP6
+TEMP3
+TEMP4
V1
_TEMP6
+TEMP.5
+TEMP4
+TEMP3
(22.6.2)
dengan
* 20f,,1;,"1
rEMPr
-
rEMp2
- * 2ol:ir ;i'
)
.+
di @:6
+ :.+
+d3(-s=c_ll'c') TEM'3 _ *
-
#: .ry
ai@:6 di
-zo,lliio 'i= *Y
rEMP6=*#+'#=*Y
f :g
di
*ffif{ #:.ry
rEMp4= rEMP5
+:
di
0:0
+:0
dio:o
Nilai-nilai yang terdegenerasi dari TEMP1 hingga TEMP6 pada @ = 0 adalah koefidari anggota prismatis biasa sebagaimana yang didefinisikan di dalam kekakuan sien Nilainilai yang membatasi pada 0 = 0 di sini diperoleh secara beba' 12. dan Bab 11 dengan menggunakan ekspansi deret sin
sin{:
@,
cos @, sinh
@
dan cosh
o-,.$- #.
_Qu cos{= ,' _o' 2r.'-604t. 6! -. '
=
o*n*$* #.
cosh rf =
r+$+#.#-
sinh
lp..
@
.
.
@,
yang berupa
V 'ul?8?res u?qoq l?qH? lrdefrel Sunfn
ueruoru u?p 8u?lr4t-?dec
6't'zz)
r L.zz ,eglJuir,}
ff*: *+.
r,eo
qqppe I L'ZZ requre9 upud uellnfunlrp Euef lrdelra1 8un[n lopq Inlun lursuoroJrp u?ur.uusred (p.Z.Zd rreeuusled a1 ncuEuau uuEueq {n}un us{urunlrp uDIe srlsBle r$puoJ sulB rp eloEEuu nlens >1n1un 1rd 'e1er-r8uqrel u?qaq
.0
-a[rel Eunfn uoruotu-ueruour uep Euuluryetlef-e(eE,rur psed uBI?p IC = fo uup g = f 'O = !0 'O = !0'q?Ipp? e.,{useleq rsrpuo{-rsrpuo{ .wplluep uuEueq .1ou uu8uep eues uu>luequlredrp u,(r.6unfn ?npor ry u4npuol uep uuEulrrural epqede 6rnq4o{rp lpsre^su?tl u?qeq-u?qoq lBqrxB rnl{nr1s elo8Suu Eunln eped e.{ulrde[rel Sunln ueurotu-uoruoru uep 3ue1u1-e.,{u8-e.(e8 uecrp nFed'ueqepurdrad epoletu uesrsrpueEued uedereuad ruepq elrg-6uqra1 uuqeg lBqDIv 11da[a1 8un[n ueurop urp Euulurl-u te1 tZZ
e8Eurq
'
s
-
@
uu8uap edhrar eE8ulq
rdr^raill,:;.zJ#HHJHiffi'H*','^',X'j
t =*
u?8uop uEn)I€{eI uersueol \seIreL l'9'zz rBqru?c
uay lri b-l = 0
'uB{eJ .r-re>11ntun1rp
-e8ued nluns eEeqes ue>lrulelrp q?let u?rlu>lrod lnqo$ol I?pB undqsoru 'u?nl?soI $lIJlBIu uulednratu snm4(7'9'77) weurus,re4 ruepp p [g] uzn1e1a1 s{rrtur.u uep (n'S'ZZ) rru?ruusrod tuepp rp [6r] uernlualal s{u}eru uuplred ules nlueJ
862
SIJSV'IS ISVCINOI SVJ,V IC )O'IVS
294
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
dengan
q
adalah suatu konstan. Penyelesaian persamaan diferensial tersebut mencakup
bukan hanya bagian umum dari Persamaan(22.3.2a) narnun juga bagian tertentu dari yo = +qf k;1adi,
)=Acosf r"o.t
t,*n"o.f
,sinhfx
+Csinfrcost tx+osinfx
sinnfx+f,
e2.7.2o)
dengan
6:LTIE
(22.',7.2b\
Terapkan kondisi batasnya
: (* ff o, *= o) = +to e,:(-ffdi*=r)
,,
: .I[(sc'A
+ c) =
cs')A+ (ss'- cc')B
:(-) di x=o):-A
o
-(ss'+
(22.7.3a)
cc')C
-ffi=o
-(sc' * cs')D].:
Q
iiXliil
At: (*y di x: L)
:
lcc'A+
cs'B
*
sc'C
*
ss'D
+ffi:O
(22.'7.3d\
dan selesaikan keempat konstan integrasinya,
A: -?
(22.7.4a)
B:+Hf
(22.7.4b)
-- c'-cq \---s'+tE
(22.'t.4c)
D=*t,-tg .s'* .s k
(22.7.4d)
Jika ekspresi untuk,4., B, C, dwt D pada Persamaan (22.7.3) disubstitusikan ke dalam Persamaan (22.5.1), ekspresi untuk momen-momen dan gaya-lintang ujung terjepit Moi, Moi, Yo;, dan I/o; (Gambar 22.7 .l) dapat diperoleh sebagai berikut:
ffi;:Mq;:-zq.ffiqr'
(22.7.5a)
Voi:-Yoi:+ffirt
(22.7.sb)
Di dalam kasus terdegenerasi dari 0 = 0
dan
!\
Mo,:Mr,:-SqL2
(22.7.6a)
Voi:-Vsi:*lqL
(22.',t.6b)
#t
0{
Gt's'zz)
Ql
(cv'e'zz)
,s -,,s d q,ssz-(c-,cXs+,s)'
@t's'zz)
,s-r,s
w -"
d (,cs +,sc)Q - zf + Is ---^ ,s - -.s d 1,cslJ4$1p -,. ps-r : fl
(ov'g'zz\
\r
0:Y 'efunu.6e1ur u?1suo{ ledurea>1 {nlun usrlrusales rrcp
@EB'zz)
o
:ry+o,ss
+ J,rs + g,s,
(re'g'zz)
+vtrc+ :
0:
@e's'zz)
o
)(,cc +,ss)
-
=
V_
(l :r
ry
: (0: x rp (_):
ry
:
ry-
rp
(a)
[o(,sc +,rs)
-
g(,cc -,ss) + y(,s, -,cs;1 + = fr
(r:*nlf-) ='e o=ff+(r + il$+: (o =, n ffi*) ='e
(ote'zz)
efus4eq Flpuo{ uaJdura;
fl*:ffi*=,^
(oz'8'zz)
#l:'r=e
@z'e'zz)
uu8uep
: r1?lep? '(oZ.t ZZ) u??ruusrad lr?p tuntun uersala.{uad depeqrel uequq -ru4 reteqes IgrsuoroJrp ueetuusrad snsnq{ uercsela{ua4 .uulsuo{ quns qBIBpB d ueEuep
'e3r1r8as
Inlueqraq u?qeq lzqr{B ydafral Bunfn ueuroru uep ftrelug.edeg yg.77 rrzqud
,OA
)'o^
Ifl?*=tE*'lP
(.:''e'zz)
xd
{rP
4
eped urrlreqqredrp Eue{ euuunugeqes rrdelrer tunfn >Jopq
,nrun Hl',1r1.1fl1'#,1Tn?
eftyEeg-lnlueqrag uBqag lsqHv 11dapa1Eunft uaurop uup Eu4uq-eir.J g.ZZ
962
SIJ,SV'IA ISVONOJ SVIV IC XO'IVS
296
STRUKTUR LANJUTAN .ANALISIS
Jika ekspresickspresi untuk 24, B, C, dan D di dalam Persamaan (22.8.4) disubstitusikan ke dalam Persamaan (22.5.1), ekspresi-ekspresi untuk momen ujung terjepit dan gaya lintarngMq;, Moi, Voi, dan Vq (Gambar 22.8.1) dapat diperoleh sebagai berikut:.
Moi--#(.$]-ffi)or'
(22.8.5o)
ivoi:-;6=(ifr.5+
(22.8.sb)
o)or,
vo,:*
#1.$+-4s,ffi]r. voi= -;Tl5=.4$i5to],' D
dalam kasus terdegenerasi dari
@
(22.8.5c) (22.8.sd)
= 0,
-$pL2
(22.8.6a)
= -LnpL2 Vsi: lafrpL
(22.8.6b\
Msi = Msi
Vs;
=
(22.8.6c) (22.8.6d)
-$pL
22.9 Matriks Lokal [S/"] dan[ASArl suatu Bagian di dalam Balok Ekspresi untuk matriks kekakuan suatu anggota pada fondasi elastis yang berukuran 4 X 4, sebagaimana terlihat pada Persamaan (22.6.2), diperlukan dalam menetapkan matriks lokal [S,4r] dan IASAT] pada penerapan kekakuan langsung sembarang dari metode matriks-perpindahan. Di dalam pasal ini penerapan khusus akan dilakukan pada kasus yang anggota strukturnya berupa bagian suatu balok. Dari hubunganP-X dan F-e
untuk bagian semaciln itu sebagaimana yang terlihat pada Gambar 229.1, matriks PrX,
PsXr
.}G
(i
Fz-ez
l)
ll
I
I
Po-Xo Ft-et
PrXt Gambar
Fret
22.9.1
Fn'€ o
Hubungan P-X dan F-e untuk suatu bagian di dalam balok.
statika [,4J dan matriks deformasi
[B]
adalah sebagai berikut:
\F P\
3
4
I
+l
2
0
3
0
0
-t
0
4
0
0
0
+l
f.At=
!\.
2
0
-l
0
0
0
0
(22.9.1)
7 urupp
e{ I,VSV]
'Eunsfuel uen>lu>leI
p>[ol qrr]B.u u?{s?{Eurreu (1) dqecuau lnqesrot quqEuq u?trnrn ep oloul uup eselq Euef ge4Euel uelnrn r1n1t8uaru n1r ureceues uu8uci
{opq uBsIsIIBueEuad eped uuqeprnfuad epoleru 'l'6'ZZ IBsBd urelsp Ip lrVSVl u?P [-rlS] P{ol ${Irlctu Iq?pu sI}sBIo ISBpuo.I ssl? Ip lopq uer3eq nl,ns u?p
4u,tueq ueEuap
a-l
leurctw r?lru-relru uu8uep X-d lerxols{a u?rBseq-uerusaq uelSunqnqEuau r{BIeloS uuqupudrel epolan uutuap srlsulg Isupuof suls rp {olug uuslsfluueEua; 91'77
'uuue>I tunfn rp qe,lazq e1 3ue1u1-u.,(e8 unp uep rrq 8un[n Ip s?18 a1 8ue1ur1-qfa? 'nl vep €C uup iqulruq o{ u?trnpuel 'bX ,sep ey'.antt unru[ qurees >lpn rseloJ 'zy uep ,X iqem -zq e>1 e[re1aq Euel e(eB-e,le?'bd wp eTiuelnlSuusreq 3uu,( 4opq uu8uolod pep uurnl uep rrpl tunln rp urzf unruf qereas ufra1eq Eu?^ uotuoru qeppe 7d u?p Id '(V'e ZZ) aap (t'6'Zd u??ruesred eped e,nqeq ryquo{ letur e1q r{EpllBq'IuIs Ip rcdureg 'T'9'ZZ JBqtuBC upud 1o1dtp qe1a1 Eue,t ltrJedos e,{uuetsgeo>1-ualsgoo{ u?p 9'ZZWsed, uEIEp Ip tpedes ue>llsluuoprel gdlI1IJ e8Eurq IdI [gJ IBIIU tu?uoe{ ue8uap
b'e'zi)
(E 6'ZZ)
sd$Iar-
?d$[EIT-
{{$[a}+
c
t
i
gdfttrJ{t
Eilli{g&;
garr[aJ+
{aifill.L+
?dsH.L,:
ilI,{S}*
la frl-
e{*'{!tI*
.tdiltEJ+'
'1
r,
,:{d}![itriL]-,::
Ed$laJi
9d$[A&.
fdlrlffI:
'9dr{![tr*
gdns&+
o
I+
9r{I{!I:t':
tdll[s[+
:
z{ng:Li
?
I
IdI,IAI+
[rysy]
i f
r.l
=
[rys]
Z l:
X $llrtulu
ue>luunE8uetu uuEuap
r
0
l
'$'
s].:,
li.
z
X
I
gdfi[A{-
!dI{&I+: ed.r{H.r-
ldra{il}i; I
7
useruesrad FBp [S]
,o
0
= $
0
j.:{}'.:l
0
[g]
,,.2
I
.,tr+
t
x
,;,;8:,a
e
=
rdrt[s}+
,gdRI-gA-
,.f{BEII*
t
?
'(Z'S'Zd
t-
0
Q'e'zz) .fi
q
I
srJsv'ra IsvoNoil svrv IC xo'Ivs
L6Z
298
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
bentuk matriks kekakuan luar dari struktur keseluruhan; (2) mengumpulkan momenmomen ujung dan gaya-lintang akibat muatan tranwersal yang bekerja pada setiap potongan, sebagai tambahan terhadap gaya-gaya terpusat yang bekerja pada titik-titlk ujung di antara bagian-bagian, untuk membentuk matriks [P] , (3) menghitung matriksperpindahan [X] dari
[X]Np,Nrc: tAsArlntp,Np[P]rvp*Nrc
(22.10.1\
A? dan Iy'ZC masing-masing adalah derajat kebebasan dan banyaknya kondisi pembebanan; dan ( ) menentukan momen ujung akhir dan gaya-lintang yang bekerja pada setiap bagian dari
dengan
[F*]r,Nrc : [Fo]r"rvrc + [SAr]4x4[X]4xNrc
(22.10.2)
Meskipun rincian perhitungannya sebaiknya ditangani melalui program komputer umum, namun diperlukan juga ilustrasi konsep umum tersebut melalui contoh numeris sederhana.
Contoh 22.lO.l Analisislah balok di atas fondasi elastis pada Gambar 22.lO.la dengan metode perpindahan. Modulus tekan medium elastisnya adalah 0,03 2 kN/cm3 , 0,96 kN/cm
150 cm
E=
r_25(Lof = 5orffi
1200 kN,zcm2
k = 0,8 kN,zcm2
cmn
(a) Balok yang ditinjau
PrXt
a\
Pz-Xz
(b) Diagram P-X
(c) Diagram F
(d) Dagram.Fs Gambu 22.10.1 Balok di atas fondasi-elastis untuk Contoh 2Z.LO.L.
t\
7 N{ see'02- = (0sr)(%'0)
lffi-ffi
.]
ff -
=
--T "*
ori
8€'6Be-
=
ruc.Nr00,8ror_ =,(osr)o6.0)
:"J."|'$T:*ff f
e'rlr' es {nl un ue{ pun'rp 1e d ep ra n r ffi;l,. 8ue[ e8rldas uegaq {nlun u?>luruntrp",1"r"#:,HX:i' (S'y'ZO uep (yg1d ueuru?sred undulsery ?7St'Z
=lc
os'r
eAZt|:1s
L0L0'O
=rc
St66'0 =
zs
=92lzlP(oozU^ *,=#A z-I =zQ 'Bnpe{ ue6eq >1n1un
'(€dWgD+
tuc/1i11 69'697a = IsqolE: (y,y\ eped [rVSV] N{ TI?'ZI _ =
=(1,'OWd [rysy]
'(SdWAI)_ = (I
,Z)
"pd [rysy]
IEqotE = (Z
,p) eged
Flot
[rysy] pto.r
NI II?'ZI _ = I(SdI^[AD-:(Z'I) W"n [rysy] IsqotE= (t'Z\ Wed [rVSVl tr}tot ruc.NI 00s'108+ =
'(IdI^IAD+
= (1 '1) uped [rysy] I"qotE = (1,'Z) epea [rvsvl tP)to'I :(V'6eO ue?ru?sred Irep (, 't) uep '(Z'il ,G,d ,e,,2,) [rygy] pqoF stuluru depuqrel eurelred ueFeq qFtuequrn5
e33u1qas
rnsun udn.req ue4e
NI 016'SI-:'od Nr
0r 6.s r
+ = (n,r)k€' o\z
16r.0 + : toor ){ze,ol ${f
+ =,ou
tur.NI Sr'r9Zuro.N:t
sl'r9z-
= ,(0orXze'o)se L1(o',o- =.{ootXSg'6;
=
zog
(Il]l)i9! - = ,0,
'G' t'ZZ) u?Buresred ueermSSue4 0€t9'I '0 qsof,
zgLt'I:ls €0rs'0 = tr E1y3'jg = rs :,s .+ sor = c .Q urs : s B{tu?-e{tue
: ,,
=,qu?p'f
qurs
ueeun6Elue4
00'I = 'eurelred uedeq >1n1un
zur/N:l
S'O
:
(Zeg'g)SZ
=
rt
e8turqas ue8uep {oleq reqel uzp
!ue>1e1
snlnpour
uerplred qel?pu ,/ uen{?{e{ snlnpo4 NVIySATSINAd '1rde[re1 rsrp
-uo{ trr?l?p 80Cr ?33wq IoC eSSultI Jg urepp e(e?-eie? elias zX. uup 'fdr Insuurre} IX rcnl ueqepurdre d gelup? elururp Suea . zuc/N{ 002I eduselrsrls?le snlnpou ueEuep r33ur1 urc 0Z uep reqel ruc 96 qeppe ue1ru18uesraq Suud nfe:1 {opq uep
662
SIISV'IX ISVCINOC SVIV IC XOTVS
ANALISIS STRU KTUR LANJUTAN
Sumbangsih potongan kedua terhadap matriks global IASAT ] akan berupa unsurunsur di (1, l), (1,3), (3, 1) dan (3,3) dari Persamaan (22.9.a);sehingga Lokal
[ASAr] pada (1, l) = global [ASAT] pada
(1,
l):
+(TEMPI),
= +558.200 kN'cm Lokal [ASAT] pada (1,
l): :
global tASATl pada (1,2) = +(TEMP5)z +6249,0 kN
Lokal [ASAT] pada (3, l) = global IASAT] pada (2,1) = +(TEMP5)z = +6249,0 kN Lokal [ASAT] pacta (3, l) = global [ASAI] pada (2,2): +(TEMP3), = +lt4,82kN/cm
Matriks
VSnrl
dari struktur secara keseluruhan adalah, dengan superposisi,
rAsArr =
l,lo+srqqiT, ,l]?;iil j,\T?r,] x
I
P
Matriks
IASArl-1
I
+ 1.365.7fl) kN'cm
-616E kN
2
-
+
N
3&4,42kN/cm
2
t
+ 2
6l68kN
diperoleh melalui eliminasi Gauss-Jordan yakni
\P IASAr)-'=
2
0,7894 x 10-6 rad/kN'cm
+12,ffi
x 10-6cm/kN.cm
+ 12,ffix
10-6rad/kN
+2E04,6x l0-6 cm/kN
Unsur di dalam matriks (P) adalah:
-
Pr = *Foz
Fos= +(-264,75)
Pz: - Fu* Fu = -(r
- (- 1048,00):
15,910) + (+49,384)
+783,25 kN'cm
:
+65,294 kN
Dari Persamaat (22.1 0.1),
Xt:
+1445,4x l0-5rad
Xz= +193.050x l0-5cm Dari Persamaar (22.9.3) dar. (22.10.2),
[Fil IF,,.| [+(rEMP2), -(rEMP6h-l j"l [_ ] r, [ *l -trruPl)r +(rEMPs)' I Ix'l
lril l",l I -GEMP6), +creuPr)r I lxzj Irll Ir*J L-oPuPs)' +(rEMP3hJ r
-264,15
I
| =ll-zu,ts + rs,no [
[+394.300 . | -soz.soo
[*l
-
- ll.755l + 12.417 l1+o,mrasa1
rr.zss +2zs,B2 ll*o,rrloso I +269,fi )
- ls,gto ] l- n.tn
7 (ot'tt'zz)
,
, u,.*q fi uul. fr
* 'fruur. fr.oo *E 'fru.o,
,fr'o, -o . (+)
+ xfrusoc
-a
*
(1-
F rfru,. *3 + r)
+. # * : ^
r{?IEpB (I'il'ZZ rcqulr"1) srlsqe B^rn>l ueeruusrad 'ju, uel 'il 'it 'ad '7d 't*l b 'f 'g it rsBun; rcEeqas 7 Euuluq-e.(e? uep 'y 7 ueruoru uelnpuel >lnlun ue?r.uesred uelurunuaur '/ n1;ed BII) 'I'I r.'ZZ rcgu:r-1 eped w>1 -1eqr1:edrp Bue, eueunuEuqos srlsele rsepuoJ eped p4rdr1 lopq uer8uq ue{qeqred 'lou UBDIDIo{ ry snlnpou uu8uep rrrpuosretr uel}?q nlens te8eqes ssle o>l uBlnpuol ludeprel e.,(uurepp rp Eue,{ leref ua1n1e1-redu-reur ueEuep rl?quJo{ srslleu?rp qelsruBr{ lnqosro} >loluq 'w{upualradrp >ppr1 e,{uurnrpow qolo {ol?q
ue4rreued u4r['e.(usnsnpl iuresap uenlnl 1n1un uolnpadrp u,{uuserq ue€eq derles uelep 8ue1q1-ufuE uep 'ueuou 'uelnpuel rsuu?,r 'u?r4tuop unureN 'ue8uolod derl-der1 urulep eures >p;e[roq 8ue,( 4r1r1 edereqaq 'ue>lulu] Ip {Bpl} rdel 'uet8uq-uerEeq erelue Sunq -nq {lqt rp Euuluq-e^{u8 uep uelnpuol 'uu8uurtual edruaq qu1e,{ueq 'e.{urunleqas lesed urel?p Ip uaIsDlnlrp Eue,{ eueune8eqes 'uesrsrleue8ued eped ueqepurdred epoleru pseg
ue8uolo4 ruulep Ip uaruol^l lBuIprO uup'Euqur.1-udug' ue1npue1
1,1'
gg
'N{ 981'8I+ = tdrBBnf uep N{ 681'81+ = nd
qelepe e1e,(urel eru?s 8ue.t ue8uolod eped 3ue1u11-e.[u8 (Z) uep ur3.N{ 6l'996+ = eAni uup rrrr.N{ 6I'gg6+ = 7l qeqpe u1e,(ure1 }nqesretr ue8uolod enpel Sunfn
iJ
Ip rnluel ueruour
(t) pq 'tuepp lococ elefurel ?{rlels
uelece8ued znpey
90s'8€ - I 98I'8t * tI
LO,;Lil_ I 6t's96 + J
f Lt9'zr l r.,',,
899'02 8€'68e
I
ur'rrr,-
I
ygt'6t * oo'sror
L u,'r,or*
-
I
l: |
-l
899'02
vxE'6t + g€'689 -
00'8t0I
_t i:: -l*J*, *.1 [*,
*".*ru,'rru * l=
1
Nr 68l'81 + I Nr ssz'sl +
I I
I
["'*, il'r%t-) fffi'w *l 10l6'sl -1 lstt'tz +l lorr'sr+l
lr:*;l:l.li|x-l= r08
SIISVTS ISVONO.{ SVJV IC YO'IVS
ANALISIS STRUKTUR LANJUTAN
302
F4
Gambar
22.ll.l
Bagian balok
tipikal di atas fondasi elastis.
dengan
4ln-
o:L \i4Er
(22.tt.tb)
Konstan sembarang A, B, C, dan D dapat diperoleh dari nilai-nilai yang telah diketahui yakni ,F1, Fz, Ft, dan Fa dari Persamaan (22.5.2), dari notasi-notasiM;. Mi. V,. dm V, telah digunakan untuk Fr, Fz, .F,3 dan,Fa;sehingga, dengan s = sin @, c = cos 0. s'= sinh
n*
@,
dan c' = cosh 0,
12 : +1E*{y:75[-tr"*
s)Ff
+
2ss'Ff
-l{r'r' - sc)Ff -'6trr' - cs)Ft] (22.11.2a)
(sc'+ cs)Ff +Lrs''?Ft+ B* = + 2EI6#E=-O|*1.. * s'c')Ff -
ftss)rI]
(22'll'2b)
n* v - -,
L2 28r62(s,
[-rr.^ *- s'c')Ff o,n,\F* - /cn (sc'+ cs')F]
- ,) [*(r"
+
+
]s'zri ftss)rt] (22.1r.2c\
o*=
12 +fut-Ffl
(22.11.2d)
Dari Persamaan (22.2.5) dan (22.11.1),
V:_EI{1 dx: *'lr+[(sc,+ cs,)A* + (ss,+ cc,\B*+ (ss,- cc,)C** (sc,- cs,)D*] (22.rr.3) D"ri P.rru*u an (22.2.6)
dan(22.11.1),
u = -EI4't, dx' .'-t+(ss'A*
+ sc'B*
- cs'C* -
cs'D*)
(22.11.4)
Ringkasnya, lendutan gaya-lintang, ordinat momen di dalam bagian tersebut dapat diperoleh dengan pertama-tama menghitung konstan sembarang dari Persamaan (22.11.2) dan kemudian dengan menggunakan masing-masing Persamaan (22.11.1),(22.11.3),dan
(22.1r.4).
a I i
uL'?t6t 00s'8t 00'1oil- tz\'Lew'9t8 tz6'9t0s'8ze B6'zt0S'1tl + 800'6206'9fs + t$o'tz0B'rE8 + 9€l'81 0r's[0] + 9t0'U 06'08il + wtz 0s'lsll+ zt6'9 + 0l'S9(i + 881'81+
urr.Nl
fi
NI
/1
0
200t0'0+ ,8Se0'0+
0zlt0'0+ 0€0t l'0+ t6Ltl'0+
096il'0+ ?Lloz'o+ 88t IZ'0+
0l'996 + W,?LL + 0t'99S + 09'8tt + +
0€'68
0r'€8t 0s't8? 0l't08 -
0I't961
,0€6t'0+
08't9r l 0z'L?9t
98802'0+
ruJ'(
tur.Nl
fi
881?l + +
806'61
081'lZ+
tzg'tz+
t90'92+ 80s'82+
zsl'l€+
886't€+ ,86'99+
tol'0t+ z6z'tt+ NI'
t0€6t'0+ legLl'O+
glg9l'0+ giael'o+ 8zt0l'0+ 9fl80'0+ 9ll.s0'0+
0't 6'0 8'0 L,O
9'0 s'0
,'0 7.'0
98910'0+
€'0
86re0'0+ 99t00'0+ 0
l'0 0
ruc.(
l'Ol'27. rEquBC usp ueurour IoIBq uup.Eue1u11-efe8,uetnpue,J I.II.ZZ IegBI 'ueBu -e1 ue8unllqred uelep u?r1{el{epr1e{ leqpls qBIepE lnqosrel uu>1rlesrp Buef 1e4rr -atrrnu reTru urq?p gce>1 ue8uedurrs edereqeg .l ll.ZZ 1eqe1 uped ueryqe8rp uep Ip ueeuesred u?p tunlr-qrp lnqesret w8uolod
O"WZ)
u?p
'(€'IIZO '(l'11'77)
enpelepudqnlndese>1qr1r1 durles rp uoruour uep .Buuluryez(e8,ue1npue1 rep51
wc7197'g-: *g ur) 8?lz'0+ tuc y669.6+
: *J : *g
urf,8900'I-: *y
k'll'(d NIS0S'8€-:Ic rur.Nt t0.St6I _ :;.{ tzgtz: ,c E6Z1,Z =,s tur/Nl 0 : ud
u?Btuesred rr?C
N{98I'.8l+:fC ujr.NI :;C 6I,596+ t010,0 : r sr66.0 = s 7d 0 = b =7 0S.I = 0
96'0 =
zur.NlsOI x}Z=
IZ
ur.0SI
anperl ue6eq 1n1un
*c
w)71?s'0- =
*g
ruc g16y'91 = uto 71yg'91 ruf,
: *g
000,t'0- =
*y
'k'
1
t' ZZ\ u?euesred rrBC
NI 68r '8r + : jc N{ 982'.€?+ : jc rur.NI : jC uro.NI _ =ld SI,196I zsLt't: /s t0ts.0 = , slt8,0 = s 61,S96+
o€ts't
=,r
0 = ud 0 = zd lZ
zuc.N{
cOI
xuZ =
ur./NI z€.0 = b rur 001 = 00,1 = +
7
'uuelrad uu6eq >1n1un NVIVSA'IiIlNAiI .efu8unqnq
{lq}->11}ll
eped 3ue1ur1-e.{u8 uep ueruour rcIu-rBlru u?p u?{nluelrp Bue,( ueueqaqrued rrep fi'1y'Zz requ?C nule) l.6l.ZZtloluoJ {opq ruBl€p rp uer?eq enpe>1 epud qnlnd {rlrl derles rp uetuour uup ,8ue1ur1-efe8 ,ue1npue1 qepunlrg I l.Z.T. qoluoJ
-ese{
808
SIJSV'I3 ISVCINOJ SVIV IC XO'IYS
iS
STRUKTUR LANJUTAN
22.12 Lou,,o^,' pada Gambar 22.12.1 brngga .tnngga 22.5 Balok kayu sebagaimana diperlihatkan adalah 25 cm lebar dan 20 cm tinggi, dengan E = l20O kN/cm2. Balok-balok tersebut diletakkan di atas tanah dalam arah memanjang; modulus tekanan tanah dapat diambil sama dengan 0,032 kN/cm3. Analisislah setiap balok dengan metode matrikspgrpindahan dengan memperlihatkan diaglam beban-bebasnya, diagram gaya lintangnya, dan diagram momen, dan kurva elastisnya. Derajat kebebasannya adalah 2 untuk Latihat 22.1 dan 22.3; 4 untuk Latihan 22.2 darr 22.4;4 untuk Latihat 22.5; dan 6 untuk
22)
22.i5
Latil:ran 22.6.
Ganibar 22.12.2 Latihan 22.2.
Gambar 22,12.1 Latthan 22.1.
I
l50cm
Gambar 22.12.4 Latihan 22.4.
Gambar 22.12.3 Latihan 22.3.
0,32 kN/cm
Gambar 22.12.5 Latihan 2.2.5.
Q96 kN/cm 0,32 kNlcm
Gambar 22.12.6 Latihan 22.6.
i
i1 u: 5 ;.
[
IIi r t' t
L_.-"
_
\!
I
'']
I
I
I
