Lineární algebra 1) Vektor, lineární závislost a nezávislost Def.: Číselným vektorem n-rozměrného prostoru nazýváme uspořádanou množinu n čísel r a = (a1 , a2 ,...a n ) . Čísla a1 , a2 ,...an nazýváme souřadnice vektoru, číslo n dimenzí nebo rozměrem vektoru. Operace s vektory : sečítání vektorů, násobení vektoru číslem r r r r r Př.: Vypočítejte vektor a = 3b − 2c , kde b = (2,−3,5), c = (−1,2,3) . r Řešení : a = 3(2,−3,5) − 2(−1,2,3) = (6,−9,15) − (−2,4,6) = (8,−13,9) rr Skalární součin vektorů : a.b = a1 .b1 + a 2 .b2 + ... + a n .bn r r rr Př.: Vypočítejte skalární součin vektorů a.b , kde a = (−1,2,3), b = (2,−3,5), . rr a.b = (−1,2,3).(2,−3,5) = (−1).2 + 2.(−3) + 3.5 = −2 − 6 + 15 = 7 r r r Uvažujme vektory v 1 , v 2 ,..., v k . r r r r a) Každý vektor v = c1 .v 1 + c2 .v 2 + ... + ck .v k , kde ci jsou konstanty, nazýváme lineární kombinací
daných k vektorů. r r r b) Je-li možné aspoň jeden z vektorů v 1 , v 2 ,..., v k vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních
vektorů, říkáme, že tyto vektory jsou lineárně závislé. r r r c) Není-li možné žádný z vektorů v 1 , v 2 ,..., v k vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů, říkáme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé. r r r Př.: Vektor v = (−8,12) je lineární kombinací vektorů v1 = (2,3) a v 2 = (4,−2) , protože platí r r r v = 2.v1 − 3v 2 = 2(2,3) − 3(4,−2) = (4,6) − (12,−6) = (−8,12) . r r r Př.: Vektory v1 = (1,2), v 2 = (3,1), v 3 = (1,1) jsou lineárně závislé, protože jeden z nich je možné vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních : (3,1) = −2.(1,2) + 5(1,1) .
2) Matice Def.: Maticí typu m/n nazýváme m.n reálných čísel, sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru a11 a A = 21 M a m1
a12 a 22 am 2
... a1n ... a 2 n . M ... amn
První index i značí řádek a druhý index j sloupec, ke kterém prvek aij leží. Prvky aii , které mají stejné indexy tvoří hlavní diagonálu matice.
Druhy matic -
čtvercová ( m = n )
-
obdélníková ( m ≠ n )
-
transponovaná matice k matici A (matice, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce při zachování pořadí), značíme ji A T
-
jednotková (čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a všude jinde samé nuly), značíme ji I
-
stupňová (každý následující řádek má na začátku alespoň o jednu nulu více než řádek předchozí)
Operace s maticemi Součet matic (obě matice musí být stejného typu) :
C = A + B, kde cij = aij + bij
Součin čísla k a matice A :
B = k .A, kde bij = k .aij
Součinem matic A.B (kde první matice je typu m/n a druhá matice je typu n/p) je matice C typu m/p, kde r r cij = a i .b j (jde o skalární součin řádku i matice A a sloupce j matice B). Součin matic není komutativní, tedy obecně A.B ≠ B.A . 2 3 3 − 1 , B = . Vypočítejte matici 3A, 2B − A + 4I, A.B . Př.: Jsou dány matice A = − 3 4 2 0 2 3 6 9 = Řešení : 3A = 3. − 3 4 − 9 12 3 − 1 2 3 1 0 6 − 2 2 3 4 0 8 − 5 − + 4 = − + = 2B − A + 4I = 2 2 0 − 3 4 0 1 4 0 − 3 4 0 4 7 0 2.(−1) + 3.0 12 − 2 2 3 3 − 1 2.3 + 3.2 . = = A.B = − 3 4 2 0 − 3.3 + 4.2 − 3.(−1) + 4.0 − 1 3
Hodnost matice Def.: Hodnost matice A udává počet lineárně nezávislých řádků této matice. Píšeme h( A) . Dvě matice, které mají stejnou hodnost se nazývají ekvivalentní a píšeme A ~ B . K určení matice používáme následující větu.
Věta : Hodnost matice ve stupňovém tvaru je rovna počtu nenulových řádků této matice (= počtu řádků, které neobsahují samé nuly). Při určování hodnosti je tedy potřeba matici nejprve upravit na stupňový tvar. K tomu používáme tzv. ekvivalentní úpravy, které nemění hodnost matice. Jsou to následující úpravy : a) transponování matice, b) výměna řádků,
c) násobení řádku nenulovým číslem, d) přičtení k-násobku některého řádku k jinému řádku, e) vynechání řádku, který obsahuje samé nuly. Všechny uvedené úpravy je možné bez změny hodnosti provádět i se sloupci. 1 1 . 2 0
3 2 1 1 4 2 Př.: Určete hodnost matice A = 1 5 −1 5 − 2 5 3 2 1 1 4 2 1 5 −1 5 − 2 5
1 1 5 −1 1 1 4 2 ~ 2 1 3 2 0 5 − 2 5
5 2 1 −1 2 1 5 −1 2 1 5 −1 2 1 0 − 18 5 − 7 0 − 9 5 − 3 0 − 9 5 − 1 ~ ~ ~ 1 0 − 9 5 − 3 0 0 − 5 − 1 0 0 − 5 − 1 0 0 0 0 − 27 10 − 10 0 0 − 5 − 1 0 0
Tedy h( A) = 3 .
Inverzní matice Def.: Matici A −1 nazveme inverzní maticí ke čtvercové matici A , jejíž determinant A ≠ 0 , jestliže platí : A.A −1 = A −1 .A = I . Postup určování inverzní matice. Napíšeme vedle sebe matici A a jednotkovou matici stejného rozměru. Tuto „dvojmatici“ ( A I ) převedeme pomocí ekvivalentních úprav tak, aby na místě matice A vznikla jednotková matice. Napravo od ní pak automaticky vznikne matice A −1 . Tedy ( A I ) ~ … ~ (I A −1 )
3) Determinanty Def.: Determinant 2.řádu je reálné číslo a11 .a22 − a12 .a21 , které je přiřazeno čtvercové matici a A = 11 a21
Píšeme det A =
a11
a12
a 21
a22
= a11 .a 22 − a12 .a 21 .
Př.: Vypočítejte hodnotu determinantu 2. řádu Řešení :
2 4 . 5 −3
2 4 = 2.(−3) − 4.5 = −6 − 20 = −26 5 −3
a12 . a 22
Def.: Determinant 3.řádu je reálné číslo a11 .a22 a33 + a21 .a32 a13 + a31a12 a23 − a31a22 a13 − a11a23 a32 − a12 a21a33 , a11 které je přiřazeno čtvercové matici A = a 21 a 31
a12 a 22 a32
a13 a 23 . a33
6 1
2
Př.: Vypočítejte hodnotu determinantu 3. řádu 0 3 − 1 . 6 1 2 6 1
2
Řešení : 0 3 − 1 = 6.3.2 + 0.1.2 + 6.1.(−1) − 2.3.6 − 6.(−1).1 − 1.0.2 = 0 6 1 2
Def.: Determinant řádu n je reálné číslo (−1)1+1 .a11 A11 + (−1)1+ 2 .a12 A12 + ... + (−1)1+ n .a1n A1n , které je a11 a přiřazeno čtvercové matici A = 21 M a n1
a12 a22 an 2
... a1n ... a 2 n . Přitom A ij je determinant vzniklý z původního M ... a nn
determinantu vynecháním řádku i a sloupce j. Uvedený způsob vyjádření hodnoty determinantu nazýváme rozvoj podle prvků prvního řádku. Rozvoj lze provést analogicky podle libovolného jiného řádku nebo sloupce. Je vhodné k rozvoji použít řadu, obsahující co nejvíce nulových prvků. Př.: Vypočítejte rozvojem hodnotu determinantu 3. řádu 6 1
2
0 3 0 −1 3 −1 + (−1) 3 .1. + (−1) 4 .2. = 6.(6 + 1) − 1.(0 + 6) + 2.(0 − 18) = 0 0 3 − 1 = (−1) 2 .6. 6 1 6 2 1 2 6 1 2
Př.: Vypočítejte rozvojem hodnotu determinantu 4. řádu 2 −1 3 0 −1 2 3 1
0 2 3 0 1 2 −1 2 2 −1 2 2 1 1+ 3 2+3 3+ 3 = (−1) .0. − 1 2 − 2 + (−1) .2. − 1 2 − 2 + (−1) .0. 3 0 1 + 0 −2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 2
(−1)
4+3
.1 . 3 −1
−1 0 2
2 1 = 0 − 2(4 + 6 − 2 − 12 + 4 − 1) + 0 − 1(0 + 1 + 12 − 0 − 6 − 4) = −2.(−1) − 1(3) = −1 −2
Vlastnosti determinantů Při výpočtu hodnoty determinantů vyšších řádů je možné používat následující pravidla, která nám umožní vytvořit nulové prvky na zvolených místech. 1) Hodnota determinantu se nezmění, překlopíme-li jej kolem hlavní diagonály. 2) Vyměníme-li dva řádky determinantu, hodnota determinantu změní znaménko. 3) Je-li některý řádek k-násobkem jiného řádku, je hodnota determinantu rovna nule. 4) Hodnota determinantu se nezmění, přičteme-li k některému řádku k-násobek jiného řádku. 5) Má-li determinant v některém řádku samé nuly, je jeho hodnota rovna nule. 6) Násobit determinant číslem k znamená násobit tímto číslem všechny prvky jednoho (libovolného) řádku nebo sloupce. Vzhledem k prvnímu pravidlu je zřejmé, že uvedené vlastnosti determinantů platí i pro sloupce.
4) Řešení soustav lineárních rovnic Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 ,...xn rozumíme soustavu : a11 x1 a21 x1 M am1 x1
+ +
a12 x2 a22 x2
+ a m 2 x2
+ ... + + ... +
a1n xn a2 n xn
+ ... + amn xn
= b1 = b2 M = bm
Řešením soustavy rozumíme každý vektor ( x1 , x2 ,...xn ), který vyhovuje všem rovnicím soustavy. Dvě soustavy lineárních rovnic se stejným počtem neznámých, které mají stejné řešení, se nazývají ekvivalentní. Následující ekvivalentní úpravy soustavy nemají vliv na řešení soustavy : a) výměna pořadí rovnic, b) násobení rovnice nenulovým číslem, c) přičtení k-násobku některého rovnice k jiné rovnici. Matice soustavy : a11 a A = 21 M a m1
a12 a 22 am 2
Rozšířená matice soustavy : ... a1n ... a 2 n M ... amn
a11 a A R = 21 M a m1
a12 a22 am 2
... a1n b1 ... a 2 n b2 M M ... a mn bm
Ekvivalentním úpravám soustavy tedy odpovídají příslušné úpravy její rozšířené matice. Soustavu proto řešíme tak, že její rozšířenou matici převedeme na stupňový tvar. Tomuto tvaru odpovídá soustava, ze kterého zpětným dosazování snadno určíme řešení soustavy. Uvedený postup se nazývá Gaussova eliminační metoda.
Pomocí získané stupňovité matice můžeme navíc rozhodnout o řešitelnosti soustavy na základě Frobeniovy věty : Věta : Soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají stejnou hodnost.
Př.: Soustava odpovídající rozšířené matici 1 2 3 4 0 2 3 1 má právě jedno řešení protože h( A) = h( A R ) = 3 = n 0 0 2 1
Př.: Soustava odpovídající rozšířené matici 1 2 3 4 má nekonečně mnoho řešení, závislých na jednom 0 2 3 1
parametru, protože h( A) = h( A R ) = 2, n = 3, tedy n − h( A) = 1
