Latihan Materi LOGIKA MATEMATIKA 1. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini. (a) Tarif dasar listrik naik. (b) 10 =
50 5
(c) Celana Dono berwarna hitam. (d) Semua jenis ikan bertelur. (e) Beberapa astronot adalah warga Amerika. (f) Mungkin akan hujan salju hari ini. (g) Leony seorang sarjana. (h) Semua anak kehausan. (i) Beberapa ekor kelinci berwarna putih. (j) Semua mahasiswa UNEJ berjaket biru. (k) Semua mobil pemadam kebakaran berwarna merah. (l) Semua kerbau mandi di sungai. (m) Beberapa kambing ada di padang rumput. (n) Hanya seekor ayam yang belum masuk ke kandang. (o) Tidak ada dua orang yang serupa. (p) Hari ini mendung. 2. Tentukan apakah pernyataan majemuk berikut ini merupakan disjungsi inklusif atau disjungsi eksklusif. (a) Pangeran Diponegoro dimakamkan di Sulawesi atau di Jawa. (b) Candi Borobudur terbuat dari batu atau terletak di pulau Jawa. (c) Setiap pagi Agung sarapan nasi atau roti. (d) Hari ini Minggu atau besok hari Senin. (e) Beni akan mendapat nilai A atau B dalam matakuliah Matematika. 3. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut. (a) Setiap bilangan bulat merupakan bilangan genap atau ganjil. (b) Kemaren bukan hari rabu dan sekarang hari Kamis. (c) Kemaren bukan hari Selasa atau besok bukan hari Kamis. (d) Dedy akan lulus atau tidak lulus dalam ujian mendatang. (e) hari ini cuaca cerah atau ramalan cuaca salah. 4. Jika p:”tentara itu gagah” dan q:”tentara itu berbadan tinggi”, nyatakan kalimatkalimat berikut dalam bentuk simbolik.
(a) Tentara itu gagah dan tinggi badannya. (b) Meskipun tentara itu gagah, tetapi badannya tidak tinggi. (c) Tentara itu tidak gagah, tetapi badannya tinggi. (d) Tentara itu tidak gagah juga tidak tinggi badannya. (e) Tidak benar bahwa tentara itu gagah juga tinggi badannya. 5. Jika p : ”Pak Basuki naik pangkat” (benar) dan q : ”Pak Basuki mentraktir anak buahnya” (benar), tuliskan secara simbolik pernyataan-pernyataan berikut dan tentukan nilai kebenarannya. (a) Pak Basuki naik pangkat tetapi tidak mentraktir anak buahnya. (b) Pak Basuki mentraktir anak buahnya asal saja ia naik pangkat. (c) Pak Basuki tidak akan naik pangkat hanya jika ia tidak mentraktir anak buahnya. (d) Pak Basuki tidak mentraktir anak buahnya jika ia tidak naik pangkat. (e) Tidak benar bahwa Pak Basuki mentraktir anak buahnya jika ia tidak naik pangkat. 6. Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini ke dalam bentuk implikasi. (a) Manusia perlu makan untuk hidup. (b) Semua orang yang bercita-cita tinggi suka bekerja keras. (c) Tidak seorang manusiapun dapat terbang. (d) Agar dua buah segitiga sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian dalam kedua segitiga haruslah sama besar. 7. Jika p: ”Albert mengerjakan pekerjaan rumah” dan q: ”Albert akan lulus ujian”, tuliskanlah kalimat verbal yang menyatakan konvers, invers dan kontraposisi dari p ⇒ q. 8. Misalkan p: ”Saya akan datang”, q: ”Saya diundang” dan r: ”Hari tidak hujan”. Tuliskan pernyataan verbal untuk setiap symbol berikut ini. (a) q ⇔ p (b) p ⇔∼ q (c) (p ∧ q) ⇔∼ r (d) (p∧ ∼ q) ⇔ r (e) (∼ p ∧ q) ⇔ r (f) p ⇔ (q ∧ r) (g) ∼ p ⇔ (∼ q∧ ∼ r) (h) p ⇔ (q∧ ∼ r)
2
9. Jika p: ”Deni belajar”, q: ”Deni akan lulus” dan r: ”Deni akan sukses”, nyatakan simbol berikut dalam bentuk verbal dan buatlah tabel kebenaran untuk setiap pernyataan berikut. (a) ∼ (p ∧ q) (b) (p ⇒ q) ∨ r (c) ∼ p∧ ∼ q (d) p ∧ (q ∨ r) (e) q ∧ r ⇔ p (f) p ⇒ (q ∨ r) 10. Manakah pernyataan berikut yang merupakan tautology? (a) p ⇒ (p ∧ q) (b) p ⇒ (p ∨ q) (c) p ∧ q) ⇒ p (d) p ∨ q) ⇒ p (e) q ⇒ (p ⇒ q) 11. Jika p benar dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut. (a) p ∧ (∼ q) (b) ∼ (p ∨ q) (c) ∼ (p∨ ∼ q) (d) (p∨ ∼ q) ∧ q (e) ∼ p∨ ∼ q 12. Nyatakan konvers, invers dan kontraposisi setiap kondisional berikut. (a) Jika suatu segitiga samakaki maka kedua sudut alasnya sama besar. (b) Jika Pepeng tersenyum maka ia bahagia. (c) Jika x habis dibagi 4, maka x merupakan bilangan genap. 13. Tuliskan masing-masing proposisi berikut dalam bentuk kondisional. (a) Bilangan prima bukanlah bilangan komposit. (b) Seorang guru yang baik tidak akan mencerca muridnya. (c) Sekelompok burung yang sama selalu terbang bersama-sama. 14. Tentukan apakah pasangan proposisi berikut ekuivalen atau tidak. (a) ∼ (p ∧ q) dengan ∼ p∨ ∼ q (b) ∼ (p ⇒ q) dengan p∧ ∼ q 3
(c) ∼ p ⇒ q dengan p ⇒∼ q (d) p∧ ∼ q dengan ∼ (∼ p ∨ q) 15. Tentukan apakah proposisi berikut merupakan tautology atau bukan. (a) (p ∧ q) ⇒ p (b) (p ∨ q) ⇒ p (c) (p ∨ q) ⇒ (p ⇒ q) (d) (p ⇒ q) ⇒ q (e) (p ⇒ r) ⇔ (∼ p ∨ r) (f) (p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) 16. Verifikasi kebenaran dari masing-masing proposisi berikut. (a) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) (b) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r (c) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (d) (p ∨ q) ⇔ p (p ∧ q) ⇔ p (e) (p∧ ∼ p) ⇔ c, dengan c = kontradiksi (p∨ ∼ p) ⇔ t, dengan t = tautology (f) (p ∨ c) ⇔ p, dengan c = kontradiksi (p ∧ t) ⇔ p, dengan t = tautology 17. Tuliskan kondisional berikut sebagai disjungsi. (a) Jika kamu tidak mandi maka kamu akan sulit tidur. (b) Jika kamu belajar logika maka kamu akan mudah belajar matematika. (c) Jika terjadi angin ribut maka akan banyak pohon tumbang. 18. Tuliskan disjungsi berikut sebagai kondisional. (a) Kamu belajar keras atau kamu akan gagal ujian. (b) Kamu bersedia main catur atau kamu akan kehilangan keanggotaanmu dalam tim. (c) Kamu memperbaiki atap rumahmu atau kamu akan kehujanan. (d) Kamu mengisi bahan bakar atau motormu akan mogok. 19. Buatlah diagram Venn untuk masing-masing hal berikut. (a) Semua manusia adalah makhluk hidup. 4
(b) Beberapa orang pandai. (c) Tidak ada kucing yang merupakan anjing. (d) Semua pemuda adalah manusia dan beberapa pemuda pandai. (e) Hubungan antara kuda, kerbau dan binatang. (f) Beberapa P adalah Q; beberapa P adalah R; tidak ada R yang Q. 20. Tulislah negasi dari masing-masing proposisi berikut. (a) Beberapa professor tidak bodoh. (b) Tidak ada orang yang beratnya lebih dari 250 kg. (c) Tidak ada bilangan prima yang genap. (d) Ada bilangan cacah yang lebih besar dari 10. (e) Untuk semua x, x(x + 5) = x2 + 5x (f) Semua burung pandai berkicau dan terbang. (g) Semua mahasiswa PSSI mengikuti kegiatan PK2 atau character building. (h) Untuk semua manusia, jika rajin berolahraga maka badannya akan sehat. (i) Ada bilangan yang bukan prima maupun komposit. (j) Untuk beberapa orang, jika makan sambal maka akan sakit perut. 21. Manakah di antara argumen berkiut yang valid? Jika valid, tentukan juga tipe argumen yang dipakai. Jika kamu seorang profesor, maka kamu pandai (a) Kamu pandai Kamu seorang profesor Jika semua manusia suka damai, maka tidak ada peperangan (b) Beberapa manusia tidak suka damai Tetap ada peperangan Jika udara dingin, saya akan tinggal di rumah (c) Jika udara dingin, saya akan minum kopi panas Jika saya tinggal di rumah, saya akan minum kopi panas Jika kamu baca banyak buku, maka kamu akan tahu banyak hal (d) Kamu tidak tahu banyak hal Kamu tidak baca banyak buku Saya makan jika saya lapar (e) Saya makan Saya lapar Saya pergi mendaki gunung atau memancing ikan di pantai (f) Saya pergi mendaki gunung Saya tidak memancing ikan di pantai 5
Panci itu berwarna hitam atau terbuat dari aluminium (g) Panci itu tidak berwarna hitam Panci itu terbuat dari aluminium Jika saya sedih, saya akan berdoa; dan jika saya berbahagia, saya akan tertawa (h) Saya tidak berdoa, tetapi saya tidak bahagia Saya tidak sedih dan saya tidak tertawa Perut saya sakit jika makan rujak pedas, dan tidak dapat tidur nyenyak sehabis menonton film horor (i) Perut saya tidak sakit dan dapat tidur nyenyak Saya tidak makan rujak pedas dan tidak menonton film horor 22. Pada setiap nomor berikut terdapat dua premis. Tentukan (jika ada) konklusi valid yang dapat ditarik dari premis-premis tersebut dan argumen apa yang digunakan. (a) Semua manusia ingin menjadi kaya. Semua yang ingin menjadi kaya, hidup tidak bahagia. (b) Jika saya tinggal di sini, saya berada dalam bahaya. Tetapi saya ingin tinggal di sini. (c) Jika saya menjadi raja, saya sangat berkuasa. Tetapi saya bukan seorang raja. (d) Saya akan tinggal di istana jika hanya jika saya seorang milyuner. Sekarang saya tinggal di istana. (e) Semua biantang buas makan daging. Semua binatang buas mempunyai gigi yang tajam. (f) Saya akan datang jika kamu mengundang saya. Kamu mengundang saya. (g) Tidak ada binatang buas yang makan rumput. Setiap binatang yang makan rumput adalah sejenis sapi. (h) Saya makan jika saya lapar. Saya tidak makan. (i) Saya orang yang bijaksana atau bodoh. Tetapi saya pasti bukan orang bodoh. (j) Ketika berlari, saya cepat menjadi letih jika tidak berlari perlahan-lahan. Saya tidak letih. (k) Jika tidak ada tugas rumah dari dosen, mahasiswa merasa senang; dan jika mengikuti perkuliahan, mahasiswa merasa mengantuk. Mahasiswa merasa tidak senang atau tidak mengantuk.
6
