Logika Matematika. Bab 1

Bab

1 id

o.

s.c

Logika Matematika

r:

be

s pk

um

S

Pada bab ini, Anda akan diajak untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan konsep Logika Matematika, di antaranya mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka), mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimpilkasi, dan ingkarannya, mendeskripsikan invers, konvers, kontraposisi, menerapkan modus ponens, modus tollens, prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan

Logika adalah ilmu yang mempelajari cara berpikir yang logis. Cara berpikir ini dapat berupa cara menentukan benar tidaknya suatu pernyataan. Misalnya, pernyataan "Air sungai bermuara di danau dan di laut" merupakan pernyataan yang benar karena tidak ada pertentangan di dalamnya. Bandingkan dengan pernyataan "Air adalah zat cair dan zat padat" yang merupakan pernyataan salah karena terkandung pertentangan di dalamnya. Di dalam logika matematika, Anda akan mempelajari membuat suatu ingkaran dengan benar dari suatu pernyataan. Misalnya pernyataan "Semua kasir adalah perempuan", ingkarannya adalah "Ada kasir bukan perempuan", bukan "Semua kasir bukan perempuan", karena dengan cukup seorang kasir laki-laki akan mengingkari pernyataan pertama. Selain itu, pada bab ini Anda juga akan mempelajari cara penarikan kesimpulan yang sah (valid), lebih jauhnya pelajarilah materi pada bab ini dengan baik.

A. Pernyataan dan Kalimat Terbuka B. Pernyataan Majemuk C. Invers, Konvers, dan Kontraposisi D. Pernyataan Berkuantor E. Pernyataan Majemuk Bersusun F. Penarikan Kesimpulan

Logika Matematika

1

Peta Konsep Materi tentang Logika Matematika dapat digambarkan sebagai berikut. Logika Matematika

Penarikan Kesimpulan Silogisme • p q q r @p r

Modus Ponens • p q q @p

Pernyataan

Modus Tollens • p q ~q @~p

Majemuk Mejemuk Bersusun berdasarkan nilai kebenaran

Tunggal contoh

Tautologi

Kontraposisi

Kontingensi

p, q mempunyai

Ingkaran ~p, ~q

Disjungsi p q

Konjungsi p q

mempunyai

Impilkasi p q

mempunyai

~(p Ingkaran disjungsi ~(p q) = ~p ~q

Biimplikasi p q

Ingkaran konjungsi ~(p q) = ~p ~q

Ingkaran biimplikasi q) = (p ~q)(q ~p) Ingkaran Implikasi ~(p q) = p ~q

Konvers q p

Invers ~p ~q

Kontraposisi ~q ~p

Soal Pramateri Kerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.

1. 2. 3.

2

Buatlah lima pernyataan yang bernilai benar. Buatlah lima pernyataan yang bernilai salah. Tentukan kebalikan dari kalimat berikut. a. Semua dokter adalah laki-laki. b. 2 + 5 = 7

4.

5.

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut. a. Es batu terbuat dari air 500 = 5 10 b. Tentukan himpunan penyelesaian dari soalsoal berikut. a. 2 + 3x = 4 b. p adalah bilangan prima genap

A Pernyataan dan Kalimat Terbuka

Kata Kunci • • •

pernyataan kalimat terbuka ingkaran

1. Pernyataan Sebelum Anda mempelajari deÀnisi pernyataan, perhatikanlah beberapa contoh berikut. • • • • •

Manusia adalah makhluk hidup Air sungai mengalir dari hulu ke hilir Indonesia terletak di kutub utara 2+2=5 4,5 adalah bilangan asli Kalimat pertama dan kedua merupakan kalimat yang bernilai benar, sedangkan kalimat ketiga, keempat, dan kelima bernilai salah. Kalimat-kalimat dalam logika haruslah mengandung nilai kebenaran, baik itu bernilai benar ataupun salah. Jadi, pernyataan dapat dideÀnisikan sebagai berikut. Suatu pernyataan (atau proposisi) adalah suatu kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja. Dengan kata lain, tidak sekaligus kedua-duanya. Dalam logika, suatu penyataan disimbolkan dengan huruf kecil, seperti p, q, r, s, dan sebagainya, misalnya pada pernyataan-pernyataan berikut. p : Tiga puluh sembilan adalah bilangan prima q : 39 – 8 > 20 Dari pernyataan-pernyataan tersebut diketahui bahwa pernyataan p bernilai salah, sedangkan pernyataan q bernilai benar. Nilai kebenaran pernyataan p dinotasikan dengan (p) ( dibaca: Taw). Demikian pula untuk pernyataan q, nilai kebenarannya dinotasikan dengan (q). Dengan demikian, pernyataan tersebut dapat dinotasikan (p) = S (salah) dan (q) = B (benar). Contoh Soal 1.1 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut. a. p : Semua sekertaris adalah perempuan, b. q : Satu hari lamanya 24 jam, c. r : Ikan dapat hidup di darat, d. s : adalah bilangan irasional, e. t : Jam kantor adalah 8 jam,

Sumber : www.pearsall.k12.tx.us

Gambar 1.1 "Semua sekertaris adalah perempuan" adalah pernyataan yang bernilai salah.

Logika Matematika

3

Jelajah

Matematika

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

Di Abad ke-19, ahli matematika berkebangsaan Inggris, George Boole (18151864) yang tidak pernah menyelesaikan kuliahnya, ternyata menjadi profesor matematika. Beliau menyelidiki hukum dasar logika dan menyatakannya dalam istilah aljabar. Pada tahun 1854, ia menerbitkan aljabar temuannya, yaitu suatu cara untuk menggabungkan lambang-lambang yang menyatakan aturan-aturan logika secara sempurna. Sekarang, Anda mengenal aljbar Boolean yang dapat menjelaskan logika matematika pada komputer. Sumber: Finite Mathematics and Its Application, 2nd Edition, 1994

4

Jawab: a. (p) = S (q) = B b. c. (r) = S

d. e.

(s) = B (t) = S

Tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Kalimatkalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran, seperti kalimat perintah, kalimat tanya, dan kalimat harapan bukan merupakan pernyataan. Kalimat yang nilai kebenarannya relatif juga bukan pernyataan. Berikut ini adalah kalimat-kalimat yang bukan pernyataan. (kalimat tanya) 1. Berapa nilai ulanganmu? 2. Tolong buka pintunya! (kalimat perintah) 3. Mudah-mudahan besok hujan. (kalimat harapan) 4. Barang ini mahal. Kalimat ke-4 bukan merupakan pernyataan karena kalimat ini memiliki nilai kebenarannya relatif, yaitu ukuran mahal untuk setiap orang bisa berbeda. Menurut seseorang mahal, bisa jadi menurut orang lain tidak mahal.

2. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka selalu mengandung peubah-peubah atau variabel-variabel. Perhatikan beberapa kalimat berikut. • x + 2 < 4, x bilangan real. • y = 2x + 1, x dan y bilangan real. • B dijuluki kota hujan. Kalimat-kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya, sehingga kalimat-kalimat itu belum dapat dikatakan sebagai pernyataan. Kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya disebut Kalimat Terbuka. Ciri kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel. Pada x + 2 < 4, variabelnya adalah x. Untuk y = 2x + 1 memiliki 2 variabel, yaitu x dan y. Adapun untuk "B dijuluki kota hujan" variabelnya adalah B. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan jika peubah-peubah atau variabel-variabel dalam kalimat tersebut diganti dengan suatu nilai (dapat berupa bilangan,


nama kota, nama penyanyi dan sebagainya) sehingga kalimat tersebut mempunyai nilai kebenaran. Kalimat terbuka pada kalimat-kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan yang benar jika peubahnya berturut-turut diganti dengan x = 1, x = 0 dan y = 3, dan B = Bogor. Nilai-nilai untuk peubah pada kalimat terbuka yang membuat kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian. Himpunan dari nilai-nilai ini disebut himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian x + 2 < 4 adalah {xx < 2, x R}. Himpunan penyelesaian y = 2x + 1 adalah {(x, y)y = 2x + 1, x, y R}. Himpunan penyelesaian dari "B dijuluki kota hujan" adalah {Bogor}. Jika peubah dalam kalimat terbuka tidak diganti dengan nilai-nilai pada himpunan penyelesaiannya, kalimat terbuka tersebut akan menjadi pernyataan yang salah. Misalnya, • Kalimat "x + 2 < 4, x bilangan real" akan menjadi pernyataan salah jika x diganti dengan 3. • Kalimat "y = 2x + 1, x dan y bilangan real" akan menjadi pernyataan salah jika x dan y berturut-turut diganti dengan 0 dan 4. • Kalimat "B dijuluki kota hujan" akan menjadi pernyataan salah jika B diganti dengan Bali.

3. Ingkaran Suatu pernyataan yang diperoleh dari pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya disebut ingkaran atau negasi. Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan kata "bukan" pada pernyataan tersebut. Berikut adalah deÀnisi ingkaran.

Solusi Cerdas "Jika nilai Matematika Ani lebih dari 4 maka Ani lulus ujian". Negasi dari pernyataan tersebut adalah …. a. Jika nilai Matematika Ani lebih dari 4 maka Ani tidak lulus ujian b. Jika nilai Matematika Ani kurang dari 4 maka Ani lulus ujian c. Jika Ani lulus maka nilai Matematikanya lebih dari 4 d. Nilai Matematika Ani lebih dari 4 dan Ani tidak lulus ujian e. Nilai Matematika Ani kurang dari 4 atau Ani lulus ujian Jawab: p : Nilai Matematika Ani lebih dari 4 q : Ani lulus ujian Implikasi p q Ingkarannya adalah ~ (p q) p ~q atau "Nilai Matematika Ani lebih dari 4 dan Ani tidak lulus ujian" Jawaban: d UN SMK, 2004

Ingkaran dari pernyataan p, dilambangkan dengan ~p dan dibaca "bukan p", yaitu suatu pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran p. Jika p benar maka ~p salah dan jika p salah maka ~p benar. p

~p

B

S

S

B

Logika Matematika

5

Contoh Soal 1.2 Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya. a. p: Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya. b. q: Pinguin bukan burung. c. r: 1 + 1 = 2 d. t: Semua bilangan cacah adalah bilangan real. e. u: utang dagang termasuk pada kewajiban. Sumber : upload.wikimedia.org

Gambar 1.2 Ingkaran "pinguin bukan burung" adalah "pinguin adalah burung".

Jawab: a. p: Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya. ~ : Ibukota Jawa Barat bukan Surabaya. ~p ( ) = S, (~p (p ~ )=B b. q: Pinguin bukan burung. ~q : Pinguin adalah burung. (q) = S, (~q) = B c. r: 1 + 1 = 2 ~rr : 1 + 1 ȴ 2 (r) = B, (~r) = S d. t: Semua bilangan cacah adalah bilangan real. ~ t: Ada bilangan cacah yang bukan bilangan real. (t) = B, (~t) = S e. u: utang dagang termasuk pada kewajiban. ~u : surat-surat berharga termasuk pada kewajiban. (u) = B, (–u) = S

Evaluasi Materi 1.1 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1.

6

Tentukan manakah dari kalimat-kalimat berikut yang merupakan pernyataan dan mana yang bukan pernyataan. a. Saya suka akuntansi. b. Harga perolehan sama dengan harga beli. c. Apa yang dimaksud dengan pernyataan? d. 4 + (–4) = 0.


e. f. g. h. i. j. k. l.

2 adalah bilangan real. –6 > –5 Hati-hati di jalan. 3 adalah faktor dari 12. Laporan keuangan harus dibuat tiap awal bulan. Jika 4 < 5 maka 2 < 5 Akar dari x2 = 1 adalah 1 atau –1 Harta adalah utang ditambah modal.

2.

d.

3.

c. d.

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan berikut. a. Deposito termasuk aktiva lancar. b. 8 merupakan bilangan komposit. c. log 10 = 1 Perkalian bilangan bulat dengan bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil.

e.

¨ 1 0¸ ©ª 0 1 ¹º adalah matriks satuan.

f. g. h. i.

51 habis dibagi 3. Garis y = x melewati titik (0, 0). 93 adalah bilangan prima. Akar dari x2 = 4 adalah 4 atau –4.

j.

Faktur adalah bukti pembelian atau penjualan barang secara kredit.

4.

k. 2 2 adalah bilangan irasional. Gantilah variabel-variabel pada kalimatkalimat terbuka berikut sehingga kalimat tersebut menjadi pernyataan yang benar. a. x – 3 = 4 b. 2x = 3

log 100 = 2x pengorbanan untuk memperoleh penghasilan disebut A. e. y = x + 4 f. x2 – 4x + 3 = 0 g. y < 2x h. x2 < 4 i. x adalah salah satu bukti transaksi. j. y + 3x > 3 Buatlah ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Manusia adalah makhluk sosial. b. Semua bilangan bulat adalah bilangan real. 2 adalah bilangan rasional. c. d. Di Kepulauan Seribu ada seribu pulau. e. 24 = 2 + 2 + 2 + 2 f. Beberapa provinsi di Indonesia adalah daerah istimewa. g. log (ab) = log a + log b h. Semua penduduk Indonesia wajib mempunyai KTP. i. Beberapa negara tidak mempunyai kepala pemerintahan. j. Posting merupakan pemindahan bukuan catatan jurnal ke buku besar.

B Pernyataan Majemuk Pada bagian sebelumnya, pernyataan-pernyataan yang Anda pelajari lebih banyak merupakan pernyataan-pernyataan tunggal. Jika pernyataan-pernyataan tunggal ini digabungkan menggunakan kata dan, atau, jika...maka..., atau ...jika dan hanya jika... maka akan terbentuk suatu pernyataan majemuk. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut. • Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimantan Barat. • Pontianak dilalui garis khatulistiwa. Kedua pernyataan tersebut adalah pernyataan tunggal. Kedua pernyataan tunggal tersebut jika Anda gabung dengan kata hubung "dan" akan menjadi kalimat majemuk, "Pontianak adalah ibu kota provinsi Kalimatan Barat dan dilalui garis khatulistiwa".

Sumber : www.gemari.or.id

Gambar 1.3 "Pontianak adalah ibu kota Provinsi Kalimantan Barat dan dilalui garis khatulistiwa" merupakan pernyataan majemuk.

Logika Matematika

7

Terdapat empat bentuk pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

1. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata "dan". Kata "dan" dilambangkan dengan "". Jika p dan q pernyataan tunggal maka konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan p q Contoh Soal 1.3 Tentukan konjungsi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. p : Perahu berlayar dengan bantuan mesin. q : Perahu berlayar dengan bantuan angin. b. r : Gaji pegawai termasuk beban operasional s : Harga pokok barang yang dijual termasuk beban operasional 5 adalah bilangan irasional 2 5 u: adalah bilangan rasional 2 Jawab: a. p q : perahu berlayar dengan bantuan mesin dan angin b r s : gaji pegawai dan harga pokok barang yang dijual termasuk beban operasional. 5 5 c. t u : adalah bilangan irasional dan adalah bilangan 2 2 rasional c.

Sumber : wolstenholme.com

Gambar 1.4 "Perahu berlayar dengan mesin dan angin" adalah pernyataan konjungsi.

t:

Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka terdapat 4 kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari p dan q pada suatu konjungsi p q. Komposisi-komposisi tersebut di antaranya: • p benar dan q benar • p benar dan q salah • p salah dan q benar • p salah dan q salah Konjungsi hanya bernilai benar jika kedua pernyataannya bernilai benar. Selain dari itu bernilai salah. Pada Contoh Soal 1.3, keempat konjungsi bernilai benar. Nilai-nilai kebenaran dari suatu konjungsi dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran sebagai berikut.

8


p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Jelajah

Matematika

Contoh Soal 1.4 Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah, tentukan nilai kebenaran dari konjungsi-konjungsi berikut. a. p q c. ~q p b. p ~q d. q p Jawab: a. p benar dan q salah maka X(p ( q) = S b. p benar dan ~q benar maka X(p ( ~q) = B c. ~q benar dan p benar maka X(~q p) = B d. q salah dan p benar maka X(q p) = S

Pada Contoh Soal 1.4 tampak nilai kebenaran p q sama dengan nilai kebenaran q p dan nilai kebenaran p ~q sama dengan nilai kebenaran ~q p. Dengan demikian, dapat diuji bahwa pada konjungsi berlaku hukum komutatif. Jika p dan q adalah pernyataan maka berlaku hukum komutatif p q | q p. Contoh Soal 1.5 Tentukan nilai-nilai x sehingga kalimat-kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar. a. x + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 b. x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R c. x > 0 dan x2 – 3xx + 2 = 0, x R Jawab: a. Untuk menjadi konjungsi yang benar, kedua kalimat pada x + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 harus bernilai benar. 2 + (–2) = 0 adalah pernyataan benar. x + (–2) = 5 akan menjadi pernyataan benar jika x diganti dengan 7. Dengan demikian, kalimat x + (–2) = 5 dan 2 + (–2) = 0 akan menjadi konjungsi benar jika x = 7. b. Agar x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R bernilai benar, harus dicari nilai x yang memenuhi kedua persamaan.

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002 Kode Biner dalam Program Komputer

George Boole (1815 1864), ahli matematika Inggris adalah orang pertama yang menggantikan nilai kebenaran "benar" dengan "1" dan nilai kebenaran "salah" dengan "0". Sistem bilangan yang hanya terdiri atas dua macam bilangan tersebut dinamakan sistem biner. Temuan ini sangat berguna untuk menyusun program komputer. Proses pengubahan data ke dalam sistem bilangan biner disebut konversi biner, dan notasi yang dihasilkan dari konvensi ini dinamakan kode biner. Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

Notes Pada konjungsi berlaku hukum komutatif p q | q p

Logika Matematika

9

Notes Notasi| dibaca ekuivalen. Dua pernyataan disebut equivalen jika nilai kebenaran kedua pernyataan tersebut sama. Nilai kebenarannya dapat ditunjukkan dengan membuat tabel nilai kebenaran.

c.

Pertama, harus dicari terlebih dahulu himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan. Himpunan penyelesaian dari x2 + x – 6 = 0 adalah {–3, 2}. Himpunan penyelesaian dari x2 = 4 adalah {–2, 2}. Kemudian, substitusikan x = –3, x = –2, dan x = 2 pada x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4 diperoleh: • untuk x = –3 : (–3)2 + (–3) – 6 = 9 – 3 – 6 = 0 (–3)2 = 9 ȴ 4 x = –3 tidak memenuhi persamaan x2 = 4. Jadi, x = –3 bukan penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R. • Untuk x = –2 : (–2)2 + (–2) – 6 = 4 – 2 – 6 = –4 ȴ 0 (–2)2 = 4 x = –2 tidak memenuhi persamaan x2 + x – 6 = 0. Jadi, x = –2 bukan penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R. • Untuk x = 2 : (2)2 + 2 – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 22 = 4 x = 2 memenuhi persamaan x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4. Jadi x = 2 penyelesaian untuk x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R. Jadi, kalimat x2 + x – 6 = 0 dan x2 = 4, x R akan menjadi konjungsi yang benar jika x = 2. Dengan cara yang sama dengan (b), diperoleh kalimat x > 0 dan x2 – 3x + 2 = 0, x R akan menjadi konjungsi jika x = 1 atau x = 2. Jadi, kalimat x > 0 dan x2 – 3x + 2 = 0, x R mempunyai himpunan penyelesaian {1, 2}.

Perhatikan kembali Contoh Soal 1.5. Pada Contoh Soal 1.5 (b), himpunan penyelesaian dari x2 + x – 6 = 0 adalah P = {–3, 2} dan himpunan penyelesaian dari x2 = 4 adalah Q = {–2, 2}. Oleh karena itu, x = 2 adalah irisan dari P dan Q, yaitu P Q = {–3, 2} {–2, 2} = {2}. Diagram Vennnya adalah S P

–3

Q

2

–2

Untuk Contoh Soal 1.5 (c), misalkan himpunan penyelesaian dari x > 0 adalah P = {xx > 0, x R} dan himpunan penyelesaian dari x2 – 3x + 2 = 0 adalah Q = {1, 2}. Oleh karena itu, x = 1 atau x = 2 adalah irisan dari P dan Q, yaitu P Q = {xx, x R} {1, 2} = {1, 2}. Diagram Vennnya adalah

10


S Q

P

1 2

Dengan demikian, uraian di atas menggambarkan ketentuan berikut. Jika P adalah himpunan penyelesaian untuk p(x) dan Q adalah himpunan penyelesaian untuk q(x), himpunan penyelesaian dari p(x) q(x) adalah P Q. Contoh Soal 1.6 Diketahui p(x) = x2 – x – 2 0, q(x) = x2 – 4xx + 3 = 0, x R. Tentukan himpunan penyelesaian dari p(x ( ) q(x ( ) sehingga kalimat tersebut menjadi konjungsi yang benar. Kemudian, gambarkan diagram Vennnya. Jawab: Himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 – x – 2 0 adalah P = {xxx –1 atau x 2, x R}. Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 – 4xx + 3 = 0 adalah Q = {1, 3}. Himpunan ppenyelesaian dari p(x) q(x) adalah P Q = {xx –1 atau x 2, x R} {1, 3} = {3} Diagram Vennnya:

Kata Kunci • • • •

konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi

S P

Q

3

1

2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata "atau". Kata atau dilambangkan dengan "". Jika p dan q pernyataan tunggal maka disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan p q

Logika Matematika

11

Perhatikan beberapa pernyataan disjungsi berikut. 1. Timor Leste terletak di Timur Tengah atau di Asia Tenggara. 2. Air adalah zat cair atau padat. 3. Akar dari x2 = 2 adalah –2 atau 2. 4. Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan atau uang perusahaan yang disimpan di bank. Seperti juga konjungsi, terdapat 4 kemungkinan komposisi dari p dan q pada suatu disjungsi p q, yaitu: • p benar dan q benar • p benar dan q salah • p salah dan q benar • p salah dan q salah Disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataannya bernilai salah. Selain dari itu, disjungsi bernilai benar. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut.

Sumber : upload.wikimedia.org

Gambar 1.5 "Air adalah zat cair atau padat" merupakan pernyataan disjungsi.

1.

2.

3.

4.

12

p

q

p q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

"Timor Leste terletak di Timur Tengah" adalah pernyataan salah dan "Timor Leste terletak di Asia Tenggara" adalah pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar. "Air adalah zat cair" merupakan pernyataan benar dan "air adalah zat padat" merupakan pernyataan salah maka disjungsi bernilai benar. "Akar dari x2 = 2 adalah –2" merupakan pernyataan benar dan "akar dari x2 = 2 adalah 2" merupakan pernyataan benar maka disjungsi bernilai benar. "Kas adalah jumlah uang yang tersedia di tangan" adalah pernyataan yang benar dan "Kas adalah uang perusahaan yang disimpan di bank" adalah pernyataan yang benar maka konjungsi bernilai benar.


Contoh Soal 1.7 Jika pernyataan p salah dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari disjungsi-disjungsi berikut. a. p q c. ~q p b. p ~q d. q p Jawab: a. p salah dan q benar, maka b. p salah dan ~q salah, maka c. ~q salah dan p salah, maka d. q benar dan p salah, maka

((p q) = B ( ~q) = S (p (~q p) = S (q p) = B

Notes Pada disjungsi berlaku hukum komutatif p q |q p

Pada Contoh Soal 1.7 tampak nilai kebenaran p q sama dengan nilai kebenaran q p. Nilai kebenaran p ~q sama dengan nilai kebenaran ~q p. Dengan demikian, pada disjungsi berlaku hukum komutatif, yaitu jika p dan q adalah pernyataan maka berlaku p q | q p Hukum komutatif Contoh Soal 1.8 Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat-kalimat berikut sehingga menjadi disjungsi yang benar. a. log 100 = 2 atau log x = 1. b. x2 + x – 2 = 0 atau x2 + 5xx + 6 = 0, x R. c. x2 – 3xx + 2 < 0 dan x2 + x = 0, x R. Jawab: a. log 100 = 2 adalah pernyataan benar. Oleh karena pernyataan pertama benar, Anda dapat memasukkan nilai-nilai x > 0 pada log x = 1 sehingga kalimat log 100 = 2 atau log x = 1 menjadi disjungsi benar. Jadi, himpunan penyelesaian untuk log 100 = 2 atau log x = 1 adalah {xxx > 0, x R}. b. Misalkan p(x) = x2 – 2x 2x + 1 = 0 dan q(x) = x2 + 5xx + 6 = 0. Agar p(x) q(x), x R bernilai benar, cukup dicari nilai x yang memenuhi salah satu persamaan. Oleh karena itu, penyelesaiannya adalah gabungan dari himpunan penyelesaian masing-masing persamaan. Himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 + x – 2 = 0 adalah P = {–2, 1}. Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 + 5xx + 6 = 0 adalah Q = {–2, –3}. Jadi, himpunan penyelesaian dari x2 + x – 2 = 0 atau x2 + 5xx + 6 = 0, x R adalah P Q = {–2, 1} {–2, –3} = {–2, –3, 1}.

Logika Matematika

13

c.

Dengan cara yang sama dengan nomor 2, diperoleh himpunan penyelesaian untuk x2 – 3x + 2 < 0 dan x2 + x = 0, x R adalah {xx = – 1 atau x = 0 = 1 atau 1 < x < 2, x R}.

Perhatikan kembali Contoh Soal 1.8. Untuk Contoh Soal 1.8 (b), himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 – 2x + 1 = 0 adalah P = {–2, 1}. Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 + 5x + 6 = 0 adalah Q = {–2, –3}. Himpunan penyelesaian dari x2 + x – 2 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0, x R adalah P Q = {–2, 1} {–2, –3} = {–2, –3, 1}. Diagram Vennnya adalah S P

Q

1

–3

–2

Untuk Contoh Soal 1.8 (c), misalkan himpunan penyelesaian dari x2 – 3x + 2 < 0 adalah P = {x1 < x < 2, x R} dan himpunan penyelesaian dari x2 + x = 0 adalah Q = {–1, 0}. Oleh karena, x = –1 atau x = 0 adalah gabungan dari P dan Q, yaitu {xx = –1 atau x = 0 atau 1 < x < 2, x R} atau dapat ditulis {x1 < x < 2, x R}{–1, 0} = P Q. Diagram Vennnya adalah S P

Q

–1

0

Uraian tersebut menggambarkan ketentuan berikut. Jika P adalah himpunan penyelesaian untuk p(x) dan Q adalah himpunan penyelesaian untuk q(x), maka himpunan penyelesaian dari p(x) q(x) adalah P Q.

14


Contoh Soal 1.9

Jelajah

Diketahui p(x ( ) = x2 – 3xx + 2 = 0, q(x ( ) = x2 – 5xx + 6 = 0, x R. Tentukan himpunan penyelesaian dari p(x (x) q(x (x) sehingga kalimat tersebut menjadi disjungsi yang benar. kemudian gambarkan diagram Vennnya. Jawab: Himpunan penyelesaian dari p(x) = x2 – 3xx + 2 = 0 adalah P = {1, 2}. Himpunan penyelesaian dari q(x) = x2 – 5xx + 6 = 0 adalah Q = {2, 3}. Himpunan penyelesaian dari p(x) q(x) adalah P Q = {1, 2} {2, 3} = {1, 2, 3} Diagram Vennnya adalah sebagai berikut. S P

Q

3

2

1

3. Ingkaran dari Konjungsi dan Disjungsi a. Ingkaran dari Konjungsi Ingkaran dari suatu konjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari konjungsi sebelumnya. Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan maka tabel nilai kebenaran dari konjungsi dan ingkarannya adalah sebagai berikut. p

q

p q

B

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

Matematika

Sumber: media-2.web. britannica.com

Russel (1872-1970) Seorang filsuf dan ahli logika asal inggris yang memperoleh hadiah nobel untuk bidang kesastraan pada tahun 1950. Kejeniusannya mulai terlihat pada saat ia kuliah di universitas Cambridas Inggris, di mana ia belajar matematika dan filisofi. Ia berkeinginan mengekpresikan ilmu pengetahuan dalam bentuk yang disederhanakan, dan menghubungkan logika secara langsung dengan matematika. Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

~(p q)

Perhatikan contoh soal berikut agar Anda memahami cara menarik ingkaran dari pernyataan yang mengandung konjungsi.

Logika Matematika

15

Contoh Soal 1.10 Buatlah tabel nilai kebenaran dari ~ ~p ~q. Jawab: p

q

~p

~q

~p ~ ~q

B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

S

B

B

S

B

S

S

B

B

B

Tampak pada Contoh Soal 1.10, nilai kebenaran ~p ~q sama dengan ~(p q). Dengan demikian, diperoleh ~(p q) |~p ~q Sifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan. Contoh Soal 1.11 Tentukan ingkaran dari pernyataan "2 adalah bilangan genap dan bilangan prima". Jawab: Berdasarkan Hukum de Morgan, ingkaran dari "2 adalah bilangan genap dan bilangan prima" adalah "2 bukan bilangan genap atau 2 bukan bilangan prima".

b. Ingkaran dari Disjungsi Ingkaran dari suatu disjungsi mempunyai nilai yang berlawanan dari disjungsi sebelumnya. Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan, maka tabel nilai kebenaran dari disjungsi dan ingkarannya adalah sebagai berikut.

16

p

q

p q

~(p q)

B

B

B

S

B

S

B

S

S

B

B

S

S

S

S

B


Contoh Soal 1.12 Buatlah tabel nilai kebenaran dari ~ ~p ~q. Jawab: ~q

~p ~q

S

S

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

B

B

p

q

~p

B

B

B

S

S S

Tampak pada Contoh Soal 1.12, nilai kebenaran ~p ~q sama dengan ~(p q). Dengan demikian diperoleh ~(p q) | ~p ~q Sifat ini dikenal dengan Hukum de Morgan.

Notes Hukum de Morgan ~ (p q) |~ p ~q ~ (p q) | ~p ~q

Contoh Soal 1.13 Tentukan ingkaran dari pernyataan " 2 adalah bilangan rasional atau bilangan irasional". Jawab: Berdasarkan Hukum de Morgan, ingkaran dari " 2 adalah bilangan rasional atau bilangan irasional" adalah " 2 bukan bilangan rasional dan bukan bilangan irasional".

4. Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan "jika … maka …." Implikasi dilambangkan dengan " ". Jika p dan q adalah pernyataan, maka implikasi "jika p maka q" ditulis p q. Implikasi merupakan pernyataan sebab akibat. Pada implikasi p q, maka p disebut sebab atau alasan, dan q disebut akibat atau kesimpulan. Berikut adalah pernyataan-pernyataan implikasi. 1. Jika tanggal di kalender merah maka hari libur. 2. Jika harga naik maka permintaan turun. 1 3. Jika a > 0 maka > 0. a 4. Jika 2 faktor dari 6 maka 6 bilangan genap.

Logika Matematika

17

Sama seperti konjungsi dan disjungsi, terdapat empat kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan pada suatu implikasi, yaitu sebagai berikut. • jika p (alasan) benar maka q (kesimpulan) benar • jika p (alasan) benar maka q (kesimpulan) salah • jika p (alasan) salah maka q (kesimpulan) benar • jika p (alasan) salah maka q (kesimpulan) salah Implikasi hanya bernilai salah jika pernyataan yang merupakan kesimpulannya bernilai salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut. p (alasan)

q (kesimpulan)

(p q)

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

Contoh Soal 1.14 Jika pernyataan p benar dan q salah, tentukan nilai kebenaran dari disjungsi-disjungsi berikut. a. p q c. p (~q p) b. p ~q d. (q p) ~q Jawab: a. p benar dan q salah, maka X (p q) = S. b. p benar dan ~q benar, maka X(p ( ~q) = B. c. ~q benar, p benar, dan X(~q p) = B, maka X(p ( (~q p)) = B d. q salah, p benar, dan X(q p) = B, maka X((q p) ~q)) = B

Pada contoh berikut, Anda akan mempelajari cara membuat suatu implikasi yang bernilai benar. Contoh Soal 1.15 Tentukan nilai-nilai x sehingga x2 – 5xx + 6 = 0 x2 – 2x 2x = 0, x R menjadi implikasi yang benar. Jawab: Misalkan p(x): x2 – 5xx + 6 = 0 dan q(x): x2 – 2x 2x = 0 Agar p(x) q(x), x R bernilai benar, harus dicari nilai x yang membuat q(x) menjadi pernyataan benar atau nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah. Himpunan penyelesaian dari p(x ( ): x2 – 5xx + 6 = 0 adalah P = {2, 3}. Himpunan penyelesaian dari q(x): x2 – 2x 2x = 0 adalah Q = {0, 2}.

18


Substitusikan x = 2 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 22 – 5 2 + 6 = 0 02 – 2 0 = 0 B B Diperoleh implikasi bernilai benar. Substitusikan x = 3 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 32 – 5 3 + 6 = 0 32 – 2 3 = 3 ȴ 0 B S Diperoleh implikasi bernilai salah. Substitusikan x = 0 pada x2 – 5x + 6 = 0 dan x2 – 2x = 0, maka 02 – 5 0 + 6 = 6 ȴ 0 02 – 0 0 = 0 S B Diperoleh implikasi bernilai benar. Selanjutnya, Anda cari nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah. Ambil, x = 4. Substitusikan x = 4 ke persamaan x2 – 5x + 6 = 0 dan q(x) : x2 – 2x = 0, diperoleh 42 – 5 4 + 6 = 2 ȴ 0 42 – 2 4 = 8 ȴ 0 S S Diperoleh implikasi bernilai benar. Jadi, x2 – 5x + 6 = 0 x2 – 2x = 0, x R hanya akan bernilai salah untuk x = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {xx ȴ 3, x R}. Diagram Vennnya adalah sebagai berikut. S Q

P

3

2

1

5. Biimplikasi Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata. Jika dan hanya jika... Kata "Implikasi" dilambangkan dengan . Jika p dan q adalah pernyataan, maka biimplikasi "p jika dan hanya jika q" dinyatakan dengan p q. Misalkan: 1. Karyawan akan dapat bonus jika dan hanya jika ia tidak pernah datang terlambat. 2. log b = c jika dan hanya jika 10c = b. 3. 2n bilangan genap jika dan hanya jika n bilangan bulat. 4. a + b = 0 jika dan hanya jika b = –a.

Sumber : www.kanwilpajakkhusus. depkeu.go.id

Gambar 1.6 Karyawan akan dapat bonus jika dan hanya jika ia tidak pernah datang terlambat.

Logika Matematika

19

Biimplikasi bernilai benar jika kedua pernyataan yang menyusunnya benar atau kedua pernyataan yang menyusunnya salah. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut. p

q

q

p

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B

Contoh Soal 1.16 Buktikan p

q | (p ( q) (q p).

Jawab: Buktikan dengan membuat tabel nilai kebenaran ((p q)(q p), kemudian Anda bandingkan hasilnya dengan tabel nilai kebenaran p q.

Soal Pilihan Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi-biimplikasi berikut. 3

a. 2 = 8 b. x2 = 4 c. x2 > 9 x>3

p

q

p q

q p

(p q) (q p)

B

B

B

B

B

B

S

S

B

S

S

B

B

S

S

S

S

B

B

B

3

8 =2 x = 2 x < –3 atau

Tampak nilai-nilai pada tabel nilai kebenaran (p q) (q p) sama dengan nilai-nilai pada tabel nilai kebenaran p q. Dengan demikian, terbukti p q | (p q) (q p). Contoh Soal 1.17 Jika pernyataan p salah dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut. a. p q c. (~q p) q b. p ~q d. q (~p ~ q) Jawab: Diketahui p salah dan q benar. a. (p q) = S b. (p ~q) = B c. (~q p) = S, maka ((~q p) d. (~p ~ q) = B, maka (q (~p ~

20


~q) = B q)) = B

Pada contoh soal berikut, Anda akan mempelajari cara membuat suatu biimplikasi bernilai benar. Contoh Soal 1.18 Tentukan himpunan penyelesaiannya sehingga menjadi biimplikasi yang benar. x2 – 3xx + 2 = 0 x2 – x = 0, x R. Jawab: Misalkan p(x): x2 – 3xx + 2 = 0 dan q(x): x2 – x = 0. Agar p(x) q(x), x R bernilai benar, harus dicari nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan benar atau nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah. Himpunan penyelesaian dari p(x ( ): x2 – 3xx + 2 = 0 adalah P = {1, 2}. Himpunan penyelesaian dari q(x): x2 – x = 0 adalah Q = {0, 1}. Substitusikan x = 1 pada x2 – 3xx + 2 = 0 dan x2 – x = 0, maka 12 – 3 1 + 2 = 0 12 – 1 = 0 B B Diperoleh biimplikasi bernilai benar. Substitusikan x = 2 pada x2 – 3xx + 2 = 0 dan x2 – x = 0, maka 22 – 3 2 + 2 = 0 22 – 2 = 2 ȴ 0 B S Diperoleh implikasi bernilai salah. Substitusikan x = 0 pada x2 – 3xx + 2 = 0 dan x2 – x = 0, maka 02 – 3 0 + 2 =2 ȴ 0 02 – 0 = 0 S B Diperoleh implikasi bernilai salah. Selanjutnya, Anda cari nilai x yang membuat p(x) dan q(x) menjadi pernyataan salah. Ambil x = 10. Substitusikan x = 4 ke persamaan x2 – 3xx + 2 = 0 dan x2 – x = 0, diperoleh 102 – 3 10 + 2 = 72 ȴ 0 102 – 10 = 90 ȴ 0 S S Diperoleh implikasi bernilai benar. Jadi, x2 – 3xx + 2 = 0 x2 – x = 0, x R hanya akan bernilai salah untuk x = 0 dan x = 2. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {xxx ȴ 0 dan x ȴ 2, x R}. Diagram Vennnya adalah sebagai berikut. S P

Q

2

1

0

Logika Matematika

21

6. Ingkaran dari Implikasi dan Biimplikasi a. Ingkaran dari Implikasi Ingkaran dari suatu implikasi mempunyai nilai yang berlawanan dari implikasi sebelumnya. Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan yang berbeda, maka tabel nilai kebenaran dari implikasi dan ingkarannya adalah sebagai berikut. p

q

p q

~(p q)

B

B

B

S

B

S

S

B

S

B

B

S

S

S

B

S

Contoh Soal 1.19 Buatlah tabel nilai kebenaran dari p ~q. Jawab: ~q

p bq bq

p

q

B

B

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

S

S

B

S

Tampak pada Contoh Soal 1.19 nilai kebenaran untuk ~(p q) sama dengan p ~q. Dengan demikian, diperoleh ~(p q) | p ~q Dari hubungan tersebut, Anda peroleh hubungan implikasi dengan disjungsi, yaitu p q | ~(p ~q) | ~p q

22


Contoh Soal 1.20

Soal Pilihan

Tentukan ingkaran dari pernyataan: Jika harga naik maka permintaan turun.

Tentukanlah ingkaran dari

Jawab: Misalkan p: harga naik dan q: permintaan turun, maka pernyataan di atas menjadi p q. Telah diketahui bahwa ~(p ( q) | p ~q maka ingkaran dari pernyataan "Jika harga naik maka permintaan turun" adalah "Harga naik dan permintaan tidak turun".

14 < 4 jika dan hanya jika sin 60° =

1 3 2

.

b. Ingkaran dari Biimplikasi Sebelumnya telah diketahui bahwa pernyataan berikut ekuivalen p q | (p q) (q p) dan p q | ~p q. maka diperoleh ~(p q) | ~[(~p q) (~q p)] | (p ~q) (q ~p) atau dapat ditulis ~(p q) | (p ~q) (q ~p) Lebih jelasnya, pelajarilah Contoh Soal 1.21 berikut. Contoh Soal 1.21 Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut "xx adalah segiempat jika dan hanya jika x mempunyai 4 titik sudut". Jawab: Misalkan, p: x adalah segiempat q: x mempunyai 4 titik sudut, maka pernyataan di atas menjadi p q. Diketahui ~(p ( q) | (p ( ~q) (q ~p ~ ). selanjutnya diperoleh ingkaran dari pernyataan "xx adalah segiempat jika dan hanya jika x mempunyai 4 titik sudut" adalah "x adalah segiempat dan tidak mempunyai 4 titik sudut atau x mempunyai 4 titik sudut dan x bukan segiempat".

Logika Matematika

23


2.

3.

4.

5.

24

Tentukan nilai kebenaran konjungsi-konjungsi berikut. a. Jakarta dan Kuala Lumpur adalah kota besar di Indonesia. b. Indonesia terdiri atas 30 Provinsi dan setiap Provinsi di Indonesia memiliki ibukota. c. Thailand dan Perancis dikepalai oleh raja. d. 5 adalah bilangan asli dan bulat

b.

¨ 1 0 0¸ ¨ 1 0¸ e. © dan © 0 1 0 ¹ adalah matriks © ¹ ª 0 1 ¹º ª 0 0 1º identitas. f. log 25 = 5log 2 dan log 4 = 2log 2 Jika p benar dan q salah, tentukan nilai kebenaran dari konjungsi-konjungsi berikut. a. p q e. ~(~ p q) b. ~p ~ q f. ~p ~ ( ~q) c. p ~q g. ~p ~ ~q d. ~(p ( q) Tentukan nilai x sehingga kalimat-kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar. a. x + 8 = 5 dan 4 + 8 = 12 b. (–5)2 = 25 dan x2 = 4 c. log 10 = 1 dan log x = 2 Jika p salah dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari disjungsi-disjungsi berikut. a. p q e. ~(~p ~ q) b. ~p ~ q f. ~p ~ ( ~q) c. p ~q g. ~p ~ ~q d. ~(p ( q) Tentukan nilai kebenaran disjungsi-disjungsi berikut. a. Ibukota Nusa Tenggara Timur adalah Mataram atau Kupang.

1 c. adalah bilangan rasional atau 2 irasional. d. Neraca atau laporan perubahan modal termasuk laporan keuangan. Diketahui p(x) = x 2 + 4x – 5 = 0 dan q(x) = x2 – 1 = 0, x R. Tentukan himpunan penyelesaian dari p(x) dan q(x) sehingga kalimat tersebut menjadi disjungsi yang benar dan gambarkan diagram Vennnya. Tentukan nilai kebenaran dari implikasiimplikasi berikut. a. Jika Jakarta adalah ibukota Indonesia, maka Jakarta terletak di Indonesia. b. Jika suku Dayak ada di Sumatra maka suku Dayak ada di di Indonesia.

Susilo Bambang Yudhoyono adalah Presiden RI ke-6 atau ke-7.

Sumberr : ww.antaratv.com

6.

7.

1

8.

9.


c. Jika 3 5 = 5 3 maka 3 8 = 2 . d. log 6 = (log 2)(log 3) dan log 8 = 2 log 3 Jika p salah dan q benar, tentukan nilai kebenaran dari implikasi-implikasi berikut. a. p q c. ~(~p ~ q) b. ~p ~ q d. ~p ~ ( ~q) Tentukan nilai kebenaran biimplikasibiimplikasi berikut. a. Jakarta adalah ibu kota Indonesia jika dan hanya jika pusat pemerintahan Indonesia ada di Jakarta. b. Inggris adalah kerajaan jika dan hanya jika Inggris dikepalai oleh seorang raja.

2 adalah bilangan irasional jika dan hanya jika bilangan irasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat. log 10 = 2 jika dan hanya jika log 100 = 3.

c.

d.

10. Jika p benar dan q salah, tentukan nilai kebenaran dari biimplikasibiimplikasi berikut. a. p q c. p ~q b. ~(~ p q) d. ~(p q)

C Invers, Konvers, dan Kontraposisi Perhatikan pernyataan implikasi berikut. "Jika Ira seorang penyanyi, maka ia seorang artis" Pada pernyataan ini, p: "Ira seorang penyanyi" sebagai hipotesis dan q: "Ia seorang artis" sebagai konklusi. Anda dapat membentuk beberapa pernyataan berhubungan dengan implikasi p q, seperti q p : Jika Ira seorang artis, maka ia seorang penyanyi. ~p ~q : Jika Ira bukan seorang penyanyi, maka ia bukan seorang artis. ~p ~p : Jika Ira bukan seorang artis, maka ia bukan penyanyi. Pernyataan q p disebut konvers, ~p ~q disebut invers, dan ~q ~p disebut kontraposisi. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. • • •

Kata Kunci • • •

invers konvers kontraposisi

~p ~q disebut invers dari p q q p disebut konvers dari p q ~q ~p disebut kontraposisi dari p q

Pelajarilah contoh berikut agar Anda memahami penggunaan dari konvers, invers, dan kontraposisi. Contoh Soal 1.22 Diketahui p: I adalah matriks identitas ordo 2 ¨ a b¸ ¨ a b¸ q: © I= © ¹ ª c dº ª c d ¹º Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dalam kalimat yang benar. a. p q c. q p b. ~q ~p ~ d. ~p ~ ~q Jawab: a.

¨ a b¸ ¨ a b¸ Jika I adalah matriks identitas ordo 2 maka © I =© . ª c d ¹º ª c d ¹º

Logika Matematika

25

Notes •

•

•

•

Ingkaran dari implikasi adalah ~(p q) | p ~q Ingkaran dari konvers: q p adalah ~(p p) | q ~p Ingkaran dari invers: ~p ~q adalah ~(~p ~q) | ~p q | q ~p Ingkaran dari kontraposisi: ~q ~p adalah ~(~p ~p) | ~q p | p ~q

b.

¨ a b¸ ¨ a b¸ Jika © I ȴ© maka I bukan matriks identitas ordo 2. ¹ ª c dº ª c d ¹º

c.

¨ a b¸ ¨ a b¸ I =© maka I adalah matriks identitas ordo 2. Jika © ª c d ¹º ª c d ¹º

d.

¨ a b¸ ¨ a b¸ I ȴ© . Jika I bukan matriks identitas ordo 2 maka © ¹ ª c dº ª c d ¹º

Bagaimanakah hubungan antara implikasi p q dengan invers, konvers, dan kontraposisinya? Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut. p

q

~p

~q

p q

~q ~p

q p

~p ~q

B

B

S

S

B

B

B

B

B

S

S

B

S

S

B

B

S

B

B

S

B

B

S

S

S

S

B

B

B

B

B

B

Tampak dari tabel tersebut nilai kebenaran implikasi p q sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q ~p. Nilai kebenaran konvers suatu implikasi q p sama dengan invers dari implikasinya ~p ~q. Dengan demikian, diperoleh p q | ~q ~p q p | ~p ~q Pada Contoh Soal 1.22, pernyataan "Jika I adalah matriks ¨ a b¸ ¨ a b¸ identitas ordo 2, maka © I = ©ª c d ¹º " ekuivalen dengan ª c d ¹º ¨ a b¸ ¨ a b¸ I ȴ "Jika © ©ª c d ¹º maka I bukan matriks identitas ordo 2". ª c d ¹º ¨ a b¸ ¨ a b¸ I =© maka I adalah matriks Pernyataan "Jika © ¹ ª c dº ª c d ¹º identitas ordo 2" ekuivalen dengan "Jika I bukan matriks ¨ a b¸ ¨ a b¸ Iȴ © ". identitas ordo 2 maka © ¹ ª c dº ª c d ¹º Contoh Soal 1.23 Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari implikasi-implikasi berikut. a. Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar.

26


b.

Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan Rizky meninggalkan ruangan.

Jawab: a. Invers dari pernyataan "Jika tidak ada pejabat korupsi maka pembangunan berjalan lancar" adalah "Jika ada pejabat korupsi maka pembangunan tidak lancar". Konversnya adalah "Jika pembangunan lancar maka tidak ada pejabat korupsi". Kontraposisinya adalah "Jika pembangunan tidak lancar maka ada pejabat korupsi". b. Invers dari pernyataan " Jika waktu istirahat tiba maka Rifki dan Rizky meninggalkan ruangan". Konversnya adalah "Jika Rifky dan Rizky meninggalkan ruangan maka waktu istirahat tiba". Kontraposisinya adalah "Jika Rifky dan Rizky tidak meninggalkan ruangan maka waktu istirahat belum tiba".


Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari implikasi berikut. a. Jika Bandung ibukota Jawa Barat maka Bandung terletak di Jawa Barat. b. Jika Fandi suku Jawa maka Fandi orang Indonesia. c. Jika Pak Odi anggota DPR maka Pak Odi anggota MPR. d. Jika 4 bilangan bulat maka 4 bilangan real. e. Jika alog b = x maka 2alog b = 2x 2 . f. Jika x bilangan irasional maka x bilangan real.

g. h. 2.

Jika x adalah bilangan positif maka –x adalah bilangan negatif. 1 1 Jika a – 1 = , a ȴ 0 maka 2– 1 = 2 a

Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi implikasi berikut. a. ~p ~ ~q b. (p ( ~q) q c. (p ( q) ~q d. (p ( ~q) (~p ~ q) e. ~q (p ( q) f. p ~(p ( ~q)

Tugas Siswa Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikanlah ekuivalensi berikut ini. Hasilnya diskusikan dengan teman-teman Anda. 1. ~(p q) | ~ (~q ~p) |p ~q 2. ~(q p) | ~ (~p ~q) |q ~p

Logika Matematika

27

D Pernyataan Berkuantor Anda telah sedikit mempelajari di awal bab tentang pernyataan-pernyataan berkuantor. Pada bagian ini, akan dibahas lebih lanjut tentang pernyataan-pernyataan berkuantor. Pernyataan berkuantor terdiri atas kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal dilambangkan dengan "" (dibaca: untuk setiap) dan kuantor eksistensial dilambangkan dengan "" (dibaca: terdapat). Jadi, x R, p(x) artinya untuk setiap x R berlaku p(x) dan x R, p(x) artinya terdapat x sehingga p(x). Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial dan sebaliknya. Misalnya, x, yR, x + y = y + x, maka ingkarannya x, yR, x + y ȴ y + x. Sekarang, perhatikan pernyataan berkuantor universal berikut. "Semua bilangan bulat adalah bilangan real." Jika Z adalah himpunan bilangan bulat dan R adalah himpunan bilangan real maka pada pernyataan tersebut menyiratkan Z R, sehingga pernyataan tersebut dapat ditulis x Z x R Jika digambarkan dengan diagram Venn diperoleh S R Z X

Sumber : www.sharkattackphotos. com

Gambar 1.7 "Ada mamalia yang hidup di air" adalah pernyataan berkuantor eksistensial.

28

Pernyataan berkuantor universal "Semua P adalah Q"ekuivalen dengan implikasi "Jika x P maka x Q". Contohnya pernyataan "Semua tumbuhan adalah makhluk hidup" ekuivalen dengan "Jika x tumbuhan maka x makhluk hidup". Selanjutnya, perhatikan pernyataan berkuantor eksistensial berikut. "Ada mamalia yang hidup di air" Pada pernyataan ini, tersirat sekurang-kurangnya ada satu jenis mamalia yang hidup di air, misalnya ikan paus.


Jika A adalah himpunan mamalia dan B adalah himpunan makhluk hidup yang hidup di air maka pada pernyataan tersebut dapat ditulis x, x A dan x B Jika digambarkan dengan diagram Venn, diperoleh S B

A x

Pernyataan berkuantor eksistensial "Terdapat P anggota Q" ekuivalen dengan "Sekurang-kurangnya ada sebuah x P yang merupakan x Q". Contohnya pernyataan "Ada bilangan genap yang merupakan bilangan prima" ekuivalen dengan "Sekurang-kurangnya ada satu bilangan genap yang merupakan bilangan prima". Contoh Soal 1.24 Tentukan ingkaran setiap pernyataan berikut. a. Semua orang menyukai Matematika. b. x bilangan asli, x R. c. Ada nilai x sehingga x + 1 = 5 dan untuk setiap x berlaku x2 > 0. Jawab: a. p : "Semua orang menyukai Matematika" ~ : "Tidak setiap orang menyukai Matematika" atau dapat juga ~p dengan pernyataan "Ada beberapa orang tidak menyukai Matematika" b. Ingkaran dari "" adalah "" dan ingkaran dari "x A" adalah "x R". c. Misalkan, p : Ada nilai x sehingga x + 1 = 5 ~ : Untuk setiap nilai x berlaku x + 1 ȴ 5 ~p q : Untuk setiap nilai x berlaku x2 > 0 ~q : Ada nilai x sehingga x2 0 Oleh karena ~(p ( q) |~p ~ ~q, ingkaran dari pernyataan berkuantor tersebut adalah Untuk setiap nilai x berlaku x + 1 ȴ 5

Sumber : urip.files.wordpress.com

Gambar 1.8 Implikasi "Semua orang menyukai Matematika" adalah "Ada beberapa orang tidak menyukai Matematika".

~ ~p

atau Ada nilai x sehingga x2 0 ~q

Logika Matematika

29


Ubahlah pernyataan berkuantor universal berikut ke dalam bentuk implikasi. a. Semua makhluk hidup memerlukan oksigen. b. Semua negara mempunyai kepala pemerintahan. c. Semua ikan dapat berenang. d. Semua pernyataan mempunyai nilai kebenaran. e. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah. f. Semua bilangan komposit adalah bilangan bulat. g. Semua bilangan rasional adalah bilangan real. h. Semua bentuk akar adalah bilangan irasional.

E

2.

3.

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut. a. x R, x2 – 2x 2x + 1 = 0 b. x A = {1, 2, 3}, x2 + 44xx – 5 = 0 c. x R, 2x 2 2 + 7xx + 1 < 0 d. x {bilangan asli}, 2log x > 0 Jika A = himpunan bilangan asli, C = himpunan bilangan cacah dan R = himpunan bilangan real, tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut ini. a. x A ; x C b. x R ; 0 < a < 1, berlaku ax > 0 c. x R ; x2 + 2 – 15 0 d. Ada nilai x sehingga x2 – 4 = 21 dan untuk setiap x berlaku x2 > 0.

Pernyataan Majemuk Bersusun

Anda telah mempelajari pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan yang berbeda, yaitu p dan q, serta ingkarannya. Pernyataan majemuk dapat juga disusun lebih dari dua pernyataan yang berbeda, misalnya p, q, r, dan ingkarannya atau p, q, r, s, dan ingkarannya. Bagaimanakah nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang disusun dari tiga pernyataan atau lebih? Perhatikan contoh berikut. Contoh Soal 1.25 Jika p, q, dan r adalah pernyataan tunggal yang berbeda, buatlah tabel nilai kebenaran dari ((p q) r. Jawab: Tabel nilai kebenaran dari ((p q) r adalah sebagai berikut.

30


p

q

r

p q

(p q) r

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

S

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

S

S

B

S

B

S

S

S

S

S

Kata Kunci • • • • • • •

Perhatikan susunan nilai benar dan salah antara p, q, dan r pada tabel Contoh Soal 1.25. Susunan ini dibuat sedemikian rupa sehingga pada setiap barisnya diperoleh susunan p, q, dan r yang berbeda. Tampak dari contoh soal tersebut, tabel memuat 8 kemungkinan komposisi nilai kebenaran p, q, dan r. Pada uraian sebelumnya, terdapat dua kemungkinan komposisi nilai kebenaran untuk pernyataan yang terbentuk dari pernyataan tunggal p pada tabel nilai kebenaran. Sekarang, pelajari cara mendapatkan 4 kemungkinan komposisi nilai kebenaran untuk pernyataan yang terbentuk dari pernyataan tunggal p dan q pada tabel nilai kebenaran. Perhatikan hubungan berikut. 2 komposisi nilai kebenaran – 1 pernyataan tunggal 4 komposisi nilai kebenaran – 2 pernyataan tunggal 8 komposisi nilai kebenaran – 3 pernyataan tunggal 5 pernyataan tunggal

komposisi kontradiksi kontingensi hukum komutatif hukum asosiatif hukum distributif tautologi

Notes Jika terdapat n pernyataan tunggal maka terdapat 2n komposisi nilai kebenaran.

Ternyata ini memenuhi rumus 2 n dengan n adalah banyaknya pernyataan tunggal. Jadi, jika terdapat 5 pernyataan tunggal maka terdapat 25 = 32 kemungkinan komposisi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh Soal 1.26 Jika pernyataan p benar, q salah, dan r salah, tentukan nilai kebenaran dari pernyaan majemuk bersusun berikut. a. p (q r) b. (p ( q) (p ( r) Jawab: Diketahui p benar, q salah, dan r salah a. (q r) = S, maka (p ( (q r)) = S. b. ( q) = B dan (p (p ( r) = B, maka ((p ( q)

( r)) = B. (p

Logika Matematika

31

Pelajarilah contoh soal berikut agar Anda memahami cara pembuatan tabel kebenaran untuk pernyataan majemuk bersusun. Contoh Soal 1.27 Tunjukkanlah bahwa p (q r) | (p ( q) (p ( r). Jawab: Anda gunakan tabel nilai kebenaran untuk menunjukkan bahwa p (q r) | (p ( q) (p ( r). p

p qq

(q

q rr

r)

B

B

B

B

B

B

B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

B

S

S

S

S

B

B

B

B

S

S

B

S

S

S

S

S

S

B

S

S

S

S

S

1

3

1

2

1

(p

q)

(p

r)

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

B

S

B

B

B

B

B

B

S

B

B

B

S

S

B

B

B

S

B

B

S

S

B

B

S

B

S

S

S

S

S

S

B

B

S

S

S

S

S

S

S

1

2

1

3

1

2

1

Dari tabel nilai kebenaran pada Contoh Soal 1.27, tampak nilai kebenaran p (q r) sama dengan (p q) (p r). Jadi, terbukti p (q r) | (p q) (p r). p (q r) | (p q) (p r) adalah hukum distributif terhadap konjungsi. Hukum-hukum lain yang berlaku pada konjungsi dan disjungsi adalah sebagai berikut.

32


Jika p, q, dan r adalah suatu pernyataan tunggal maka pada konjungsi dan disjungsi berlaku: 1. p q | q p hukum komutatif 2. p q | q p hukum komutatif 3. (p q) r | p (q r) hukum asosiatif 4. (p q) r | p (q r) hukum asosiatif 5. p (q r) | (p q) (p r) hukum distributif 6. p (q r) | (p q) (p r) hukum distributif Perhatikan kembali tabel pada Contoh Soal 1.26. Tampak cara pembuatan tabel berbeda dengan pembuatan tabel sebelumnya. Ini merupakan cara singkat membuat tabel. Banyaknya kolom sesuai dengan banyaknya pernyataan tunggal dan operasinya. Cara mengisi kolom sebagai berikut. Misalnya pada tabel p (q r), kolom pertama yang diisi dengan nilai kebenaran adalah kolom-kolom yang memuat pernyataan tunggal. Kemudian, isi kolom yang memuat operator yang berada di dalam tanda kurung. Terakhir isi kolom yang memuat operator di luar tanda kurung. Pada tabel di atas, angka 1, 2, dan 3 di bawah tabel menunjukkan urutan pengisian kolom. Jika pada pernyataan terdapat operasi ingkaran pada pernyataan tunggalnya maka setelah mengisi kolom-kolom yang memuat pernyataan tunggal, isi kolom-kolom yang memuat operator ingkaran. Pada tabel kebenaran, pernyataan majemuk yang memuat dua atau lebih pernyataan berbeda akan terlihat adanya kombinasi nilai B dan S dalam kolom-kolom tertentu. Anda akan mendapatkan suatu pernyataan majemuk dengan semua nilai kebenarannya B atau S. Pernyataan dengan semua nilai kebenarannya B dinamakan Tautologi. Dari tabel pada Contoh Soal 1.26, terlihat semua kemungkinan komposisi nilai kebenarannya merupakan benar. Jadi, [(p q)p] q adalah tautologi. Pelajarilah contoh soal berikut agar Anda memahami pengertian tautologi.

Notes • Tautologi adalah pernyataan majemuk dengan semua nilai kebenarannya adalah benar. • Kontradiksi adalah majemuk pernyataan dengan semua nilai kebenarannya adalah salah. • Kontingensi adalah peringatan majemuk yang nilai kebenarannya kombinasi benar dan salah.

Contoh Soal 1.28 Tunjukkan pernyataan [(p ( q) p] q adalah tautologi. Jawab: Anda tunjukkan bahwa [(p ( q) p] q adalah tautologi dengan menggunakan tabel nilai kebenaran berikut.

Logika Matematika

33

p

q

p q

(p q) p

[(p q) p] q

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

Sebaliknya dari tautologi adalah kontradiksi, yaitu pernyataan majemuk yang semua kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya adalah salah. Contohnya ~[[(p q) p] q]. Kontingensi adalah pernyataan majemuk yang kemungkinan komposisi nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya adalah kombinasi antara benar dan salah. Contoh kontingensi di antaranya p q, p q, p q, dan p q.

Evaluasi Materi 1.5 Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. Jika p salah, q benar, dan r salah, tentukan c. [(p ( q) ~q] ~p ~ nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan |[(~p ~ q) ~q] ~p ~ berikut. d. [(p ( q)(q r)](p ( r) a. ((p ) ~r | [(p ( q)(~r ~q)](p ( r) b. ((p q) r e. [(p ( q)(q r)](p ( r) c. (~p ~ q) (p ( r) | [(~p ~ q)(q r)] (p ( r) d. p (q ~r) 3. Tunjukkan bahwa pernyataan pernyataan e. (~p ~ ~r) (p ( q) berikut adalah tautologi. 2. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan a. [(p ( q) ~q] ~p ~ berikut ekuivalen. Gunakan tabel nilai b. [(~p ~ q) p] q kebenaran. c. [(~p ~ q) ~q] ~p ~ a. p q | ~p ~ q d. [(~q ~p ~ ) p] q b. [(p ( q) p] q | [(~p ~ q)p ) ] q e. [(p ( q) (q r)] (p ( r)

F

Penarikan Kesimpulan

Salah satu metode penarikan kesimpulan pada logika yaitu metode deduksi. Metode ini merupakan penarikan kesimpulan yang bersifat khusus dari pernyataan yang bersifat umum. Metode deduksi selalu memuat tiga pernyataan. Dua pernyataan

34


pertama disebut premis dan pernyataan yang terakhir disebut kesimpulan atau konklusi. Premis-premis ini mendukung kesimpulan. Jika salah satu premis salah maka kesimpulan akan salah. Susunan penarikan kesimpulan sebagai berikut. Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Rangkaian premis-premis dan kesimpulannya disebut juga argumen. Argumen dikatakan sah jika proses penarikan kesimpulannya benar. Dengan demikian, dapat terjadi kesimpulan berupa pernyataan yang salah meskipun argumennya sah. Argumen yang sah merupakan tautologi. Metode penarikan kesimpulan yang akan dipelajari pada bagian ini adalah silogisme, modus ponens, dan modus tollens.

Kata Kunci • • • • • •

argumen premis konklusi silogisme modus ponens modus tollens

1. Silogisme Silogisme adalah suatu metode penarikan kesimpulan dengan aturan sebagai berikut. Misalkan p, q, dan r adalah suatu pernyataan. p q premis 1 q r premis 2 @ p r kesimpulan @ dibaca "jadi" Bentuk di atas dapat ditulis [(p q) (q r)] (p r) Argumen yang memenuhi silogisme merupakan argumen yang sah, ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran untuk [(p q) (q r)] (p r) sebagai berikut. p

q

r

p q

p r

p r

(p q) (q r)

[(p q) (q r)] (p r)

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

B

B

S

S

S

S

S

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

S

B

Pada tabel tersebut tampak [(p q) (q r)] (p r) merupakan tautologi.

Logika Matematika

35

Soal Pilihan

Contoh Soal 1.29

Beberapa filsafat memperhatikan bagaimana manusia berdebat. Ketika Anda berdebat, tentu Anda akan melakukannya dengan baik dan masuk akal (logis). Aristoteles, seorang filsafat Yunani, menulis tentang jenis argumen yang disebut silogisme. Semua jenis sapi berkaki empat. Daisy adalah seekor sapi maka Daisy berkaki empat. Namun bagaimana dengan pernyataan "Semua sapi berkaki empat. Anjingnya, si Rover, berkaki empat. Jadi, "Rover adalah sapi". Dapatkah Anda lihat, apa yang salah dari argumen ini?

Buatlah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah. a. Jika matahari bersinar maka cuaca cerah. premis 1 Jika cuaca cerah maka hujan tidak turun. premis 2 b. Jika 2 bilangan cacah maka 2 bilangan bulat. premis 1 Jika 2 bilangan bulat maka 2 bilangan real. premis 2 c. Jika x > y maka –x < –y premis 1 –x –y atau –2x < –2y premis 2 Jawab: a. Misalkan p: matahari bersinar, q: cuaca cerah, dan r: hujan tidak turun. maka pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan dengan p q premis 1 q r premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka penarikan kesimpulan harus memenuhi aturan silogisme, yaitu sebagai berikut. p q premis 1 q r premis 2 @ p r kesimpulan Dengan demikian, kesimpulannya adalah "Jika matahari bersinar, maka tidak turun hujan". b. Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan "Jika 2 bilangan cacah, maka 2 bilangan real". c. Misalkan p: x > y, q: –x < –y, dan r: –2x < –2y. maka pernyataan-pernyataan tersebut dapat dinyatakan dengan p q premis 1 ~q r premis 2 Telah diketahui bahwa q r |~q r maka pernyataan di atas menjadi Jika x > y maka –x < –y premis 1 Jika –x < –y maka –2x < –2y premis 2 Dengan demikian, kesimpulannya adalah "Jika x > y, maka –2x < –2y"

2. Modus Ponens Modus ponens adalah suatu metode penarikan kesimpulan dengan aturan sebagai berikut. Misalkan p dan q adalah suatu pernyataan. p q premis 1 p premis 2 @q kesimpulan

36


Bentuk di atas dapat ditulis [(p q) p] q Argumen yang memenuhi modus ponens merupakan argumen yang sah, hal ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran untuk [(p q) p] q berikut. p

q

p q

(p q) p

[(p q) p] p

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

B

B

S

B

B

B

B

S

S

B

B

B

S

S

B

B

B

Tampak [(p q) p] q merupakan tautologi. Contoh Soal 1.30 Tariklah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah. 1. Jika x burung maka x dapat terbang. premis 1 Gagak burung. premis 2 2. Jika x bilangan asli maka x bilangan cacah. premis 1 Jika 3 adalah bilangan asli. premis 2 3. Jika x > y maka ––xx < –y. premis 1 3 > 2. premis 2 Jawab: 1. Misalkan p: x burung dan q: x dapat terbang. maka pernyataan di atas menjadi p q premis 1 p premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka kesimpulan yang ditarik harus memenuhi aturan ponens, yaitu p q premis 1 p premis 2 @q kesimpulan Dengan demikian, kesimpulannya adalah "Gagak dapat terbang". 2. Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan "3 adalah bilangan cacah". 3. Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan "–3 < –2".

Search Ketik: www.e-dukasi.net/ mapok/penarikan kesimpulan Website ini memuat materi penarikan kesimpulan pada logika matematika, seperti modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Selain itu, memuat latihan dan simulasi dengan animasi yang memungkinkan Anda berlatih secara on-line.

Logika Matematika

37

Solusi Cerdas Diketahui premis-premis: P1 : Jika ia dermawan maka ia disenangi masyarakat P2 : Ia tidak disenangi masyarakat Kesimpulan yang sah untuk dua premis di atas adalah …. a. Ia tidak dermawan b. Ia dermawan tetapi tidak disenangi masyarakat c. Ia tidak dermawan dan tidak disenangi masyarakat d. Ia dermawan e. Ia tidak dermawan tetapi tidak disenangi masyarakat Jawab: Jika p : Ia dermawan q : Ia disenangi masyarakat maka sesuai dengan modus tollens P1 : p q

3. Modus Tollens Modus tollens adalah metode penarikan kesimpulan dengan kaidah sebagai berikut. Misalkan p dan q adalah pernyataan tunggal. p q premis 1 ~q premis 2 @~p kesimpulan Bentuk tersebut dapat ditulis sebagai berikut [(p q) ~q] ~p Argumen yang memenuhi modus tolles merupakan argumen yang sah, ini dapat ditunjukkan dengan tabel nilai kebenaran untuk [(p q) p] q sebagai berikut. p

q

p q

(p q) p

[(p q) p] p

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

S

B

S

B

B

B

B

S

B

B

S

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

B

Tampak [(p q) ~q] ~p merupakan tautologi. Contoh Soal 1.31

P2 : ~q @~p sehingga kesimpulan adalah "Ia tidak dermawan ". Jawaban: a UAN SMK, 2003

Tariklah kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga terbentuk argumen yang sah. 1. Jika bulan di atas laut maka laut pasang premis 1 Laut tidak pasang premis 2 2. Jika log x = y, x > 0 maka 10y = x premis 1 102 ȴ 1.000 premis 2 3. Jika x > 0 maka –x < 0 premis 1 –x 0 –x premis 2 Jawab: 1. Misalkan p: bulan di atas laut dan q: laut pasang. maka pernyataan tersebut dapat dinyatakan menjadi p q premis 1 ~q premis 2 Agar menjadi argumen yang sah, maka kesimpulan yang ditarik harus memenuhi aturan tollens, yaitu p q premis 1 ~q premis 2 @ ~p ~ kesimpulan

38


2. 3.

Dengan demikian, kesimpulannya adalah "Bulan tidak di atas laut". Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan "3 adalah bilangan cacah". Dengan cara yang sama, diperoleh kesimpulan "x 0".


2.

Tentukan kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga menjadi argumen yang sah. a. Jika kita rajin berolahraga maka badan kita sehat. Jika badan kita sehat maka pikiran kita sehat. @ b. Jika Fifi bersuku Sunda maka Fifi orang Jawa Barat. Jika Fifi orang jawa Barat maka Fifi orang Indonesia. @ c. Jika pemanasan global terjadi maka suhu udara naik. Jika suhu udara naik maka es di kutub mencair. @ d. Jika x bilangan bulat maka x bilangan rasional. Jika x bilangan rasional maka x bilangan real. @ e. Jika x bilangan genap maka x bilangan bulat. Jika x bilangan bulat maka x bilangan rasional. @ Periksalah sah atau tidak argumen berikut. a. p ~q c. p q ~q r ~q br @ p r @ p br b.

3.

4.

Tentukan kesimpulan dari premis-premis berikut sehingga menjadi argumen yang sah. a. Jika kita rajin berolah raga maka badan kita sehat. Badan tidak sehat @ b. Jika x bersuku Asmat maka x orang Papua. Roni bukan orang Papua. @ c. Jika harga minyak dunia naik maka harga bahan pokok naik. Harga bahan pokok tidak naik. @ d. Jika x bilangan prima maka x bilangan ganjil 2 bukan bilangan ganjil @ e. Jika x bilangan bulat maka x bilangan rasional. bukan bilangan rasional. @ Periksalah sah atau tidak argumen berikut. a. p ~q c. p q ~q q @ ~q @ ~p b.

~p q ~q @ ~p

~p q ~r bq @ ~p ~ r

Logika Matematika

39

Ringkasan Pernyataan (proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya sekaligus. Kalimat terbuka adalah kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan. Ingkaran dari pernyataan p, dilambangkan dengan ~p dan dibaca "bukan p", jika suatu pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai kebenaran p. Jika p benar maka ~p salah dan jika p salah maka ~p benar. Konjungsi p q (dibaca"p dan q") hanya benar jika p dan q keduanya adalah benar. Disjungsi p q (dibaca "p atau q") hanya salah jika p dan q keduanya salah Implikasi p q (dibaca "p jika dan hanya jika q") adalah benar jika p dan q keduanya adalah benar atau jika p dan q keduanya adalah salah. Tautologi adalah pernyataan majemuk dengan semua nilai kebenarannya adalah benar. Negasi dari tautologi adalah kontradiksi, yaitu pernyataan majemuk dengan semua nilai kebenarannya adalah salah. Adapun kontingensi adalah pernyataan yang bukan tautologi ataupun kontradiksi.

Jika terdapat implikasi: p q maka Konvers : q p Invers : ~p ~q Kontraposisi : ~q ~p Ada dua macam pernyataan berkuantor, yaitu kuantor eksistensi dan kuantor universal. Kuantor eksistensi dilambangkan dengan "" (dibaca"ada beberapa"). Kuantor universal dilambangkan dengan ""(dibaca "untuk setiap" atau "untuk semua"). Argumen adalah penarikan kesimpulan dari serangkaian premis. Argumen adalah sah jika bentuk argumen merupakan tautologi. Silogisme adalah suatu metode penarikan kesimpulan yang sah dengan bentuk Premis (1) : p q Premis (2) : q r Konklusi : @p r Modus Ponens adalah suatu argumen yang sah dengan bentuk Premis (1) : p q Premis (2) : q Konklusi : @q Modus Tollens adalah suatu argumen yang sah dengan bentuk Premis (1) : p q Premis (2) : ~q Konklusi : @bp

Kaji Diri Setelah mempelajari materi tentang Logika Matematika, tuliskan bagian mana saja yang belum Anda pahami. Selain itu, tuliskan juga materi yang Anda senangi beserta alasannya. Bacakan tulisan Anda di depan kelas.

40


Evaluasi Materi Bab 1 I.

Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. Tuliskanlah jawabannya di buku latihan Anda.

1.

Dari kalimat-kalimat di bawah ini yang merupakan pernyataan adalah .…

d.

Ibukota Jawa Tengah adalah Semarang dan Surabaya.

a.

2x + y < 1 2x

e.

b.

Benarkah 1 + 1 = 2

Presiden RI pertama adalah Soekarno dan Soeharto.

c.

Buku adalah gudang ilmu

d.

Lukisan ini indah sekali

e.

log 10 = x

2.

3.

a.

x = –4

b.

x = –2

c.

x = –6

d.

x=0

e.

x = –5

Pernyataan berikut yang merupakan disjungsi yang salah adalah …. a. b.

Nilai-nilai x berikut menjadikan kalimat terbuka x + 5 < 4 menjadi pernyataan yang benar, kecuali ….

c. d. e.

Akar dari 25 adalah 5 atau –5 4 adalah bilangan rasional atau real 2(–3) sama dengan 6 atau -6 1 3 sama dengan 3 atau 3 3 ¨ a11 ©ª a 21

a12 ¸ adalah matriks berordo a22 ¹º

2 v3 atau 3 v 2 6.

Ingkaran dari pernyataan "Semua penduduk Indonesia makan nasi" adalah ….

Jika p benar dan q salah maka pernyataan berikut yang benar adalah …. a.

~(p ( q)

Semua penduduk Indonesia tidak makan nasi.

b.

~(p ( q)

c.

b.

Semua penduduk Indonesia makan sagu.

~ q ~p

d.

c.

Ada penduduk Indonesia yang makan nasi.

~ q ~p

e.

~(p ( ~q)

d.

Ada penduduk Indonesia yang tidak memakan nasi.

e.

Ada penduduk Indonesia yang makan sagu.

a.

4.

5.

7.

Pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan konjungsi yang benar adalah …. a. b.

2 > 1 dan 1 > 3. 4 adalah bilangan rasional dan bilangan real.

c.

2

log 4 = 2 dan 2log 8 = 3.

8.

Jika p salah dan q benar maka pernyataan berikut yang salah adalah …. a.

p ~q

b.

~(q p)

c.

~ q ~p

d.

~q p

e.

~(p ( q)

Pernyataan "Jika x bilangan ganjil maka x bilangan bulat" ekuivalen dengan …. a.

Jika x bilangan bulat maka x bilangan ganjil

Logika Matematika

41

b.

Jika x bukan bilangan ganjil maka x bukan bilangan bulat

d.

Jika x bilangan genap maka x bukan bilangan bulat.

c.

Jika x bukan bilangan ganjil maka x bilangan genap

e.

Jika x bilangan bulat maka x bilangan genap.

d.

x bukan bilangan ganjil dan x bilangan bulat

e.

x bukan bilangan ganjil atau x bilangan bulat.

a.

9. Konvers dari pernyataan "Jika A bersuku Sunda maka A orang Indonesia" adalah ….

b.

A pelajar dan berseragam.

c.

Jika A berseragam maka A pelajar.

12. Pernyataan "Semua pelajar berseragam" ekuivalen dengan ….

a.

Jika A orang Indonesia maka A bersuku Sunda.

d.

Jika A bukan pelajar maka A tidak berseragam.

b.

Jika A tidak bersuku Sunda maka A bukan orang Indonesia.

e.

Jika A pelajar maka A berseragam.

c.

Jika A bukan orang Indonesia maka A tidak bersuku Sunda.

d.

Jika A bersuku Sunda maka A orang Jawa Barat.

e.

Jika A tidak bersuku Sunda maka A bersuku Jawa.

13. Argumen-argumen berikut sah, kecuali …. a. p q p @q

10. Jika p salah, q benar, dan r salah, pernyataan berikut yang benar adalah ….

b.

p q ~p @bq

c.

~p bq ~p @bq

d.

~p bq p @q

q

a.

p

b.

(q p)

c.

~p

d.

q p

e.

(p q)

r

(q r) r

11. Diketahui pernyataan berikut. Jika x bilangan genap maka x bilangan bulat. Jika x bilangan bulat maka x bilangan rasional. Kesimpulan dari pernyataan di atas agar terbentuk argumen yang sah adalah ….

42

A pelajar jika dan hanya jika A berseragam.

a.

Jika x bilangan genap maka x bilangan rasional.

b.

Jika x bukan bilangan genap maka x bukan bilangan rasional.

c.

Jika x bilangan rasional maka x bilangan genap.

q bp p @bq 14. Argumen-argumen berikut adalah tidak sah, kecuali …. a. p q q r @r b. p q ~p @bq


e.

c.

~p bq ~p @bq

d.

e.

~p bq ~p r @ br

Kesimpulan dari pernyataan di atas agar terbentuk argumen yang sah adalah …. a.

Harga bahan pokok turun

q bp ~p @q

b.

Harga bahan pokok tidak naik

c.

Harga bahan pokok naik

d.

Harga bahan pokok stabil

e.

Harga bahan pokok naik turun

15. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut. Jika harga minyak dunia naik maka harga bahan pokok naik. Harga minyak dunia naik.

II.

Kerjakanlah soal-soal berikut.

1.

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan berikut. a a. log ¨ ¸ = log a – log b, a, b > 0, b ȴ 0 ª bº b. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan pembagian dua bilangan bulat. c.

8 adalah bilangan komposit dan bilangan bulat

d.

Akar dari x2 – 2x + 1 adalah x = 1 atau x = –1

e.

3.

Diketahui pernyataan "Jika x ikan maka x hidup di air" "Kucing tidak hidup di air" Tentukan kesimpulannya sehingga terbentuk argumen yang sah.

4.

Diketahui pernyataan "Semua makhluk hidup dapat bernafas" "Tumbuhan makhluk hidup" Tentukan kesimpulannya sehingga terbentuk argumen yang sah.

5.

Diketahui pernyataan "Jika 6 bilangan komposit maka 6 bilangan bulat" "Jika 6 bilangan bulat maka 6 bilangan rasional" Tentukan kesimpulannya sehingga terbentuk argumen yang sah.

6.

Diketahui suatu pernyataan "Jika devisa negara bertambah maka pembangunan berjalan lancar" Tentukan Invers, konvers, dan kotraposisi dari pernyataan tersebut.

7.

Diketahui premis-premis berikut. P1 : Jika x2 –2 < x < 2 P2 : x < – 2 atau x > 2 Tariklah kesimpulan dari premis-premis tersebut sehingga menjadi argumen yang sah.

Jika –2 < –3 maka 2 > 3

9 adalah bilangan irasional jika dan hanya jika = 3 Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut.

f. 2.

a.

Semua burung dapat terbang.

b.

Ada raja yang tidak berkuasa. ¨ 1 0¸ ©ª 0 1 ¹º adalah matriks persegi dan

c.

matriks identitas. d.

23 24 = 27 atau 23 24 = (2 + 2 + 2)(2 + 2 + 2 + 2)

e.

Jika a > b, maka –a < –b

Logika Matematika

43

8.

Tunjukkan dengan tabel kebenaran singkat bahwa pernyataan [(p q) r]

[p (q r)]

adalah tautologi. 9.

10. Jika A = {2, 3, 5}, tentukan nilai kebenaran dari: a. (x A), [(x + 3)2 = x2 + 9] b. (x A), (x2 – x = 20)

Gambarkan diagram listrik dari pernyataan berikut. [{(p q) r} {s (t ~q)}][(~p ~q)]

Pilihan Karir Dalam praktiknya, Pengacara atau Advokat dikenal juga dengan istilah Konsultan Hukum, yaitu seseorang yang melakukan atau memberikan nasihat dan pembelaan mewakili orang lain. profesi ini biasanya berhubungan dengan penyelesaian suatu kasus hukum. Istilah pengacara berkonotasi dengan jasa profesi hukum yang berperan dalam suatu sengketa yang dapat diselesaikan di luar atau di dalam sidang pengadilan. Dalam profesi hukum, dikenal istilah berita acara yang terkait dengan pengaturan hukum acara dalam Kitab Undang-Undang Hukum Acara Pidana dan Kitab Undang-Undang Hukum Acara Perdata. Istilah pengacara dibedakan dengan istilah Konsultan Hukum di mana kegiatannya lebih ke penyediaan jasa konsultasi hukum secara umum. Di Indonesia, untuk dapat menjadi seorang pengacara, seorang sarjana yang berlatar belakang pendidikan tinggi hukum harus mengikuti pendidikan khusus dan lulus ujian profesi yang dilaksanakan oleh suatu organisasi pengacara.

44


Logika Matematika. Bab 1

Recommend Documents