BAB VI. LOGIKA MATEMATIKA

BAB VI. LOGIKA MATEMATIKA Konvers, Invers, Kontraposisi : Ingkaran, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi : Tabel Kebenaran : p B B S S

q B S B S

~p S S B B

~q S B S B

p∨ q B B B S

p∧ q B S S S

p⇒q B S B B

p⇔ q B S S B

Ekuivalen/sama Konvers : Invers : Kontraposisi : Ekuivalensi :

Keterangan : 1. ~ p = ingkaran/negasi dari p ~ q = ingkaran/negasi dari q

q⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p p ⇒ q = ~q ⇒ ~p = ~p ∨ q

2. p ∨ q = Disjungsi Bernilai Benar jika ada salah satu dari p dan q benar atau kedua-duanya benar)

Ingkaran/negasi:

3. p ∧ q = Konjungsi Bernilai salah jika ada yang salah (jika salah satu dari p dan q salah atau kedua-duanya salah)

~(semua p) ⇒ ada/beberapa ~p ~(ada/beberapa p) ⇒ semua ~p

Negasi kalimat berkuantor :

Penarikan Kesimpulan : 4. p ⇒ q = Implikasi Bernilai salah jika p benar dan q salah (jika tidak memenuhi kriteria ini nilainya benar) 5 . p ⇔ q = Biimplikasi Bernilai benar jika p dan q kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama) Ingkaran/negasi : Pernyataan p⇒q q⇒p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p

Ingkaran/Negasinya p ∧ ~q q ∧ ~p ~p ∧ ~q ~p ∧ q

1. Modus Ponens: p ⇒ q (Benar) p (Benar)

∴ q (Benar) Lihat tabel berikut : p B B S S

q B S B S

Lihat huruf yang berwarna merah: jika p ⇒ q benar, dan p benar maka q benar

atau: ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q

~(p ⇒ q) =

p ∧ ~q

p⇒q B S B B

2. Modus Tollens: p ⇒ q (Benar) ~q (Benar) ∴ ~p

(Benar)

www.belajar-matematika.com - 1

6. SOAL-SOAL LOGIKA MATEMATIKA

Buat tabel:

UMPTN1988 1. Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan q bernilai benar, maka pernyataan berikut yang bernilai salah adalah… A. p ∨ q B. p ⇒ q C ~ p ⇒~ q

Note: (Pernyataan p ⇔ q yang bernilai salah adalah bukan jawaban karena untuk memudahkan pernyataan ~ (p ⇔ q) )

D. ~ p ∧ q E. ~ p ∨ ~ q

. Jawab:

Dari tabel yang terlihat yang bernilai salah adalah pernyataan

Untuk bisa menjawab soal-soal logika, tabel ini wajib dimengerti (bukan dihafal): p B B S S

q B S B S

~p S S B B

~q S B S B

p∨ q B B B S

p∧ q B S S S

p⇒q B S B B

p⇔ q B S S B

Buat tabel untuk soal di atas dengan berdasar tabel yang wajib dimengerti di atas :

p

q ~ p ~ q p∨ q p⇒q

S

B B

S

B

B

~p

⇒~q S

~p

B

∧

q

~p

∨~q

B

EBTANAS1987 3. Ingkaran (negasi) dari pernyataan “ Semua orang makan nasi” ialah:.. A. “Beberapa orang tidak makan nasi” B. “ Semua orang tidak makan nasi” C. “Tidak semua orang tidak makan nasi” D. “Tidak semua orang makan nasi” E. “Bebeapa orang makan nasi” jawab: Ingat ! Negasi kalimat berkuantor : ~(semua p) ⇒ ada/beberapa ~p ~(ada/beberapa p) ⇒ semua ~p

yang bernilai salah adalah ~ p ⇒ ~ q Æ C

- semua negasinya adalah ada/beberapa ; - p = makan nasi ⇒ ~p = tidak makan nasi

EBTANAS1988 2. Dua pernyataan p dan q: P : bernilai benar q : bernilai salah

jadi negasinya : ada/beberapa orang tidak makan nasi.

Pernyataan majemuk di bawah ini bernilai benar kecuali: A. p ∨ q B. p ∧ ~ q C~p ⇒ q

~p ∧ q ÆD

D. ~ p ∧ q E. ~ (p ⇔ q)

Jawabannya adalah A EBTANAS1990 4. Negasi dari: “Semua siswa tidak membuat tugas kokurikurel” adalah……

Jawab : Semuanya benar tapi ada satu yang salah, kita cari yang salah.

A. Semua siswa tidak membuat tugas kokurikuler B. Ada siswa yang tidak membuat tugas kokurikuler C. Beberapa siswa membuat tugas kokurilkuler D. Beberapa siswa tidak membuat tugas kokurikuler E. Tidak ada siswa membuat tugas kokurikuler.

www.belajar-matematika.com - 1

jawab : - semua negasinya ada/beberapa - tidak membuat tugas kurikuler negasinya membuat tugas kokurikuler jadi negasi dari kalimat di atas : Ada/beberapa siswa membuat tugas kokurikuler Jawabannya adalah C

EBTANAS1986 5. Invers dari “jika hujan turun maka jalan di depan sekolah becek” adalah … A. Jika jalan di depan sekolah becek maka hujan tidak turun B. Hujan tidak turun dan jalan di depan sekolah becek C. Jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah becek D. Jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah tidak becek E. Hujan tidak turun atau jalan di depan sekolah tidak becek

A. Jika Amir malas belajar maka dia bodoh B. Jika Amir rajin belajar maka dia tidak pintar C. Jika Amir tidak rajin belajar maka dia pintar D. Jika Amir tidak pintar maka dia tidak rajin belajar E. Jika Amir tidak pintar maka dia rajin belajar. jawab : sesuai teori Ekuivalensi : p ⇒ q = ~q ⇒ ~p p = jika Amir rajin belajar, ~p = Amir tidak rajin belajar q = pintar , ~q = tidak pintar jawabannya adalah : ~q ⇒ ~p jika Amir tidak pintar maka Amir tidak rajin belajar jawabannya adalah D EBTANAS1987 7. Konvers dari kalimat “Jika ia seorang Belanda maka ia orang Eropa” adalah…..

Jawab : Teori : Konvers : Invers : Kontraposisi : Ekuivalensi :

EBTANAS1992 6. Pernyataan yang ekivalen dengan “Jika Amir rajin belajar maka dia pintar” adalah…

A. Jika ia bukan orang Eropa maka ia bukan orang Belanda B. Jika ia bukan orang Belanda maka ia tentu orang Eropa C. Jika ia bukan orang Belanda maka ia bukan orang Eropa D. Jika ia orang Belanda maka ia belum tentu orang Belanda E. Jika ia orang Eropa maka ia orang Belanda

q⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p p ⇒ q = ~q ⇒ ~p

soal di atas invers berarti : p= jika hujan turun , ~p = jika hujan tidak turun q = jalan di depan sekolah becek, ~q = jalan di depan sekolah tidak becek

Jawab : Konvers :

q⇒ p

jawabannya adalah ~p ⇒ ~q : jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah tidak becek Jawabnnya adalah D

p= orang Belanda , q = orang Eropa (tidak diperlukan kalimat ingkaran) maka jawabannya adalah q ⇒ p : Jika ia orang Eropa maka ia orang Belanda Jawabannya adalah E

www.belajar-matematika.com - 2

UN2005 8. Kontraposisi dari (~p ⇒ q ) ⇒ (~p ∨ q) adalah…. A. (p ∧ q ) ⇒ (p ⇒ ~q ) B. (p ⇒ ~q ) ⇒ (p ⇒ ~q ) C. (p ⇒ ~q ) ⇒ (p ⇒ q ) D. (~p ⇒ ~q ) ⇒ (p ∧ ~q ) E. (p ∧ ~q ) ⇒ (~p ∧ ~q)

EBTANAS1996 9. Kesimpulan dati tiga premis : (1) p ⇒ q (2) q ⇒ r (3) ~r Adalah: A. p

B. q

C. r

D. ~p

E. ~r

Jawab: Yang harus diperkuat pemahamannya dalam soal-soal seperti ini adalah mengenai ⇒ (implikasi)

jawab: Kontraposisi adalah ~q ⇒ ~p :

Tiga hal utama yaitu : 1. Modus Ponens: 2. Modus Tollens: p ⇒ q (Benar) p ⇒ q (Benar) p (Benar) ~q (Benar)

Misal p = (~p ⇒ q ) maka ~p = ~(~p ⇒ q ) = ~p ∧ ~q Harus dipahami teori ini:

∴ q (Benar)

∴ ~p (Benar)

Ingkaran/negasi : Pernyataan p⇒q q⇒p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p

Ingkaran/Negasinya p ∧ ~q …..(1) ….(2) q ∧ ~p ~p ∧ ~q …..(3) ~p ∧ q …..(4)

3. Sillogisme p ⇒ q (Benar) q ⇒ r (Benar) atau:

perhatikan ketiga modus di atas mana yang tepat:

~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q .….(5) ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q …..(6)

~(p ⇒ q) =

p ∧ ~q

yang tepat adalah silogisme karena terdiri dari 3 variabel p, q dan r

…..(7)

Misal p = (~p ⇒ q ), ~p = ~(~p ⇒ q ) = ~p ∧ ~q (lihat ..(1) Æ kondisi p tetap, q menjadi berlawanan) dan berubah menjadi ∧

(lihat …(5) p dan q berubah tanda semua, operasi berubah menjadi ∧

p ∧ ~q ⇒ ~p ∧ ~q Jawabannya adalah D.

cara 1: jika p ⇒ q dan q ⇒ r maka p ⇒ r jika r = ~r maka p juga ~r cara 2: jawabannya misalnya x sehingga : x ⇒ ~r (benar) pernyataan yang benar adalah ~p, karena ~p ⇒ ~r atau S ⇒ S hasilnya benar jawabannya adalah D

q = (~p ∨ q) , ~q = ~(~p ∨ q) = p ∧ ~q

Jawabannya adalah ~q ⇒ ~p yaitu :

∴ p ⇒ r (Benar)

UAN2003 10. Penarikan kesimpulan dari premis-premis p∨ q ~q

∴

adalah……

A. p B. ~p

C. q D. ~q

www.belajar-matematika.com - 3

E. ~(p ∨ q)

Jawab: Ingat p ∨ q = Disjungsi Bernilai Benar jika ada salah satu dari p dan q benar atau kedua-duanya benar p ∧ q = Konjungsi Bernilai salah jika ada yang salah p ∨ q bernilai benar jika p=benar dan q=benar ~q adalah salah maka p ∨ ~q Æ untuk bernilai benar p= benar atau p jawabannya adalah p (A)

www.belajar-matematika.com - 4

Lihat tabel berikut :

p B B S S

q B S B S

p⇒q B S B B

Lihat huruf yang berwarna merah: jika p ⇒ q benar, dan ~q benar maka ~p benar (q adalah S maka ~q adalah B, p adalah S maka ~p adalah B) 3. Sillogisme p ⇒ q (Benar) q ⇒ r (Benar)

∴ p ⇒ r (Benar) Lihat tabel berikut: p B B B B S S S S

q B B S S B B S S

r B S B S B S B S

p⇒ q B B S S B B B B

q⇒ r B S B B B S B B

p⇒ r B S B S B B B B

terlihat dari huruf yang berwarna merah bahwa jika p ⇒ q Benar dan q ⇒ r Benar maka p ⇒ r adalah Benar

www.belajar-matematika.com - 2