SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2017
MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN
MATEMATIKA BAB IX LOGIKA MATEMATIKA
Dr. Djadir, M.Pd. Dr. Ilham Minggi, M.Si Jaβfaruddin,S.Pd.,M.Pd. Ahmad Zaki, S.Si.,M.Si Sahlan Sidjara, S.Si.,M.Si
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL GURU DAN TENAGA KEPENDIDIKAN 2017
LOGIKA MATEMATIKA A. Kompetensi Inti Menguasai materi, struktur, konsep dan pola pikir keilmuan yang mendukung mata pelajaran yang diampu. B. Kompetensi Inti Peserta dapat mengunakan logika matematika dalam menarik kesimpulan. C. Indikator Pencapaian Kompetensi 1. Mengidentifikasi jenis-jenis pernyataan majemuk: konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 2. Memahami jenis-jenis pernyataan majemuk: konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi 3. Mengidentifikasi ingkaran dan kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor. 4. Memahami Ingkaran dan Kesetaraan dari pernyataan majemuk berkuantor 5. Mengidentifikasi prinsip-prinsip silogisme. 6. Memahami prinsip-prinsip silogisme. 7. Menerapkan prinsip-prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan. D. Uraian Materi 1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduaβduanya, ingkaran/negasiπ dilambangkan ~π dibaca tidak benar bahwa p. Jadi apabila penyataan π bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah begitupun sebaliknya. Berikut ini merupakan jenis-jenis dari pernyataan majemuk: a. Konjungsi (π β§ π, ππππππ: π πππ π) b. Disjungsi (π β¨ π, ππππππ: π ππ‘ππ’ π) c. Implikasi (π β π, ππππππ: ππππ π ππππ π) d. Biimplikasi (π βΊ π, ππππππ: π ππππ πππ βπππ¦π ππππ π) a. Konjungsi Konjungsi dari pernyataanπ dan π (π β§ π: dibaca p dan q) bernilai benar ketika π dan π keduanya bernilai benar.
Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi 1
π
π
πβ§π
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Kata-kata yang membentuk konjungsi selain kata dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, yang, juga, walaupun, dan lain-lain Contoh: 1). Tentukan kebenaran dari kalimat β2 + 6 = 8 walaupun Makassar bukan ibukota provisi sulawesi selatanβ Jawab: π: 2 + 6 = 8
(B)
π: Makassar bukan ibu kota provinsi sulawesi selatan (S) Jadi, kalimat β2+6=8 walaupun Makassar bukan ibukota provisi sulawesi selatanβ berdasarkan tabel kebenaran bernilai salah. Catatan: Pada suatu pernyataan majemuk, kedua pernyataan tunggal boleh tidak memiliki hubungan. 2. Tentukan nilai π¦ β β agar kalimat β(3π¦ + 1 = 7) dan 3 adalah bilangan primaβ bernilai a. Benar b. Salah Jawab: π(π¦): 3π¦ + 1 = 7 π
βΆ 3 adalah bilangan prima (B)
Karena pernyataan π merupakan pernyataan yang benar maka agar kalimat π(π¦) β§ π bernilaibenar haruslah pernyataan π(π¦) bernilai benar dan hal tersebut tercapai ketika π¦ = 2 dan bernilai salah ketika π¦ β 2 Dengan demikian π¦
π(π¦)
π
πβ§π
π¦=2
B
B
B
π¦β 2
S
B
S
2
b. Disjungsi Jika pernyataan π dan π dihubungkn dengan kata hubung βatauβ maka pernyataan p atau qDisjungsi disebut dari disjungsi ( π β¨ π: dibaca pernyataanπ dan π p(πatau β¨ π:q), dibaca p atauq) bernilai benar ketika salah satu dari π dan π bernilai benar.
Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk disjungsi π
π
πβ¨π
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Contoh: Tentukan nilai π₯ β β agar kalimat βSoeharto adalah presiden ke-4 RI atau π₯ + 5 = 7β bernilai salah! Jawab: π
βΆSoeharto adalah presiden ke-4 RI (S) π(π₯) βΆ π₯ + 5 = 8
Karena pernyataan π merupakan pernyataan yang salah maka agar kalimat π β§ π(π₯) bernilai salah haruslah pernyataan π(π₯) bernilai salah dan hal tersebut tercapai ketika π₯ β 3 dan bernilai salah ketika π₯ β 3 Dengan demikian π¦
π
π(π₯)
πβ¨π
π₯=3
S
B
B
π₯β 3
S
S
S
c. Implikasi Implikasi dari pernyataanπ danπ (π β π: dibaca p makaq) bernilai salah hanya ketika pernyataan π bernilai benar dan π bernilai salah.
Tabel kebenaran dari suatu pernyataan implikasi adalah sebagai berikut: 3
π
π
πβπ
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Pada suatu implikasi π β π tidak diharuskan adanya hubungan antara pernyataan π danπ Contoh: 1. Jika 7 merupakan bilangan genap maka hari akan hujan. 2. Jika pelangi terlihat maka Ani ke pasar. d. Biimplikasi Biimplikasi dari pernyataanπ danπ (π βΊ π: dibaca p jika dan hanya jikaq) bernilai benar hanya ketika pernyataan π dan π memiliki nilai kebenaran yang sama.
Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari Biimpilasi π
π
πβΊπ
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor. Jenis Kuantor: Kuantor
Penulisan
Cara Baca
Universal
βπ₯, π(π₯)
Untuk semua x berlaku P(x)
Eksistensial
βπ₯, π(π₯)
Ada beberapa x berlakulah P(x)
Ingkaran Kuantor Ingkaran Kuantor
Cara Baca
~(βπ₯, π(π₯)) β
βπ₯, ~π(π₯)
Ada beberapa x bukan P(x)
~(βπ₯, π(π₯)) β
βπ₯, ~π(π₯)
Semua x bukan P(x)
4
Contoh Soal 1. Ingkaran dari pernyataan βSemua anak-anak suka permen.β Adalah β¦ a. Tidak ada anak-anak yang suka permen. b. Semua anak-anak tidak suka permen. c. Ada anak-anak yang tidak suka permen. d. Tidak ada anak-anak yang tidak suka permen. Jawab: C. Ada anak-anak yang tidak suka permen 2. Negasi dari pernyataan βHari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payungβ adalah a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa payung b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa payung c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak membawa payung d. Hari ini hujan atau saya membawa payung Jawab: d. Hari ini hujan atau saya membawa payung
3. Jenis-jenis Penarikan kesimpulan. Berikut ini merupakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi βΌπ βΌπ
πβ¨π
~π β¨βΌ π ~(π β¨ π)
π
π
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
B
5
Tabel Kebenaran Pernyataan majemuk: βΌπβ¨π π
π
βΌπ βΌπ
πβ§π
πβ¨π
πβΉπ
πβΊπ
(π βΉ π) β§ (π βΉ π)
βbukan atauβ
B
B
S
S
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
B
B
B
B
ekivalen ekivalen Tabel Kebenaran Ingkaran Pernyataan majemuk: π
π
βΌπ
βΌπ
πβ§π
βΌ π β¨βΌ π
πβ¨π
βΌ π β§βΌ π
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
negasi
negasi
π β§βΌ π
πβΊπ
(π β§βΌ π) β¨ (π β§βΌ π)
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
S
B
S
π
π
βΌπ
βΌπ
πβΉπ
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
βdan tidakβ
negasi
negasi
6
Tabel Kebenaran implikasi: π
π
βΌπ
βΌπ
πβΉπ
πβΉπ
~π βΉ ~π
~π βΉ ~π
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Senilai/ekivalen Senilai/ekivalen Pernyataan Senilai dengan implikasi: (π βΉ π) β
(~π β¨ π)βbukan atauβ (π βΉ π) β
(~π βΉ ~π)βkontraposisiβ
Pernyataan senilai dengan ingkaran implikasi ~(π βΉ π) β
(π β§ ~π)
Cara Penarikan Kesimpulan dari dua premis: 1. Modus Ponens Premis 1
:π βΉ π
Premis 2
:π
β΄ Kesimpulan βΆ
π
2. Modus Tollens Premis 1
:π βΉ π
Premis 2
:
~π
β΄ Kesimpulan βΆ ~π 3. Silogisme Premis 1
:π βΉ π
Premis 2
:π βΉ π
β΄ Kesimpulan βΆ π βΉ π 7
Contoh: 1. Wawan rajin belajar maka naik kelas Wawan dapat hadiah atau tidak naik kelas Wawan rajin belajar Kesimpulan yang sah adalahβ¦ A. Wawan dapat Hadiah B. Wawan tidak dapat hadiah C. Wawan naik kelas dan dapat hadiah D. Wawan dapat hadiah atau naik kelas. Jawaban: Misalkan π: Wawan rajin belajar. π: Wawan naik kelas. π: Wawan dapat hadiah. Jadi diperoleh P1: π βΉ π P2: π β¨ ~π β
(~π βΉ ~π) β
π βΉ π P3: π Perhatikan bahwa π βΉ π dan dilain pihak, π β¨ ~π β
(~π βΉ ~π) β
π βΉ π Jadi diperoleh π βΉ π dan π βΉ π, dengan demikian berdasarkan silogisme haruslah π βΉ π jadi kesimpulan jawabannya adalah A. wawan dapat hadiah. 2. Diketahui premis-premis sebagai berikut : Premis I : βJika Anto lulus ujian maka saya diajak kebandung.β Premis II :β Saya tidak diajak kebandung.β Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalahβ¦.. A. Jika saya tidak pergi ke Lembang maka Anto lulus ujian. B. Jika Anto Lulus Ujian maka saya pergi ke Lembang. C. Anto lulus ujian dan saya pergi ke Lembang. D.Anto tidak lulus ujian. Jawaban: π: Anto lulus ujian. 8
π: Saya diajak kebandung. Jadi diperoleh P1: π βΉ π P2: ~π Dengan demikian, berdasarkan Modus Tollens, kesimpulannya haruslah ~π yaitu Anto tidak lulus ujian, jawaban D.
9
Daftar Pustaka Bittinger, L, Marvil (1982). Logic, Proof and Sets (Second Edition).Indiana: Indiana University. M, Theresia dan H, Tirta Seputro (1989). Pengantar Dasar Matematika (Logika dan Teori Himpunan). Jakarta: P2LPTK. Larsen, Max D and Fejfar, L James (1974). Essentials of Elementary School Mathematics. London: Academic Press. Inc.
10
11
