Pertemuan ke-5
Logika Matematika Aljabar Boolean
Oleh : Mellia Liyanthy
1
TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2007/2008
Bentuk Kanonik dan Bentuk baku atau standar Fungsi boolean yang setiap sukunya memiliki literal lengkap (mengandung semua variabel yang didefinisikan pada fungsi tersebut), maka disebut fungsi boolean dalam bentuk kanonik, jika tidak demikian, maka disebut bentuk standar. 2
Bentuk Kanonik Terdapat dua macam bentuk kanonik : 1.
Minterm atau Sum Of Product (SOP), yaitu penjumlahan dari hasil perkalian, sehingga setiap sukunya merupakan hasil operasi perkalian, kemudian antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan oleh operator penjumlahan.
2.
Maxterm atau Product Of Sum (POS), yaitu perkalian dari hasil penjumlahan, sehingga setiap sukunya merupakan hasil operasi penjumlahan, kemudian antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan oleh operator perkalian.
3
Bentuk Standar Terdapat dua macam bentuk Standar : 1.
Sum Of Product (SOP), yaitu penjumlahan dari hasil perkalian, sehingga setiap sukunya merupakan hasil operasi perkalian, kemudian antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan oleh operator penjumlahan.
2.
Product Of Sum (POS), yaitu perkalian dari hasil penjumlahan, sehingga setiap sukunya merupakan hasil operasi penjumlahan, kemudian antara satu suku dengan suku yang lainnya dipisahkan oleh operator perkalian.
4
Contoh : 1. f (x, y, z) = x’ y’ z + x y’ z’ + xyz kanonik SOP
2. f (x, y, z) = (x + y + z)(x’ + y + z) kanonik POS
3. f (x, y, z) = x’ y’ z + x y’ z’ + yz standar SOP
4. f (x, y, z) = x( y + z) 5
standar POS
Minterm atau SOP Setiap suku merupakan hasil perkalian
f ( x , y ) = x’ y
+
x y’
+
x’ y’
Setiap suku memiliki literal lengkap
6
Setiap suku dipisahkan oleh operator penjumlahan
Maxterm atau POS Setiap suku merupakan hasil penjumlahan
f ( x , y ) = (x’+ y)
.
(x+ y’)
.
(x’+ y’)
Setiap suku memiliki literal lengkap
7
Setiap suku dipisahkan oleh operator perkalian
Minterm (SOP) dan Maxterm (POS) Minterm dan Maxterm untuk dua variabel :
8
x
y
0
Minterm
Maxterm
Suku
Lambang
Suku
Lambang
0
x’ y’
m0
x+y
M0
0
1
x’ y
m1
x + y’
M1
1
0
x y’
m2
x’ + y
M2
1
1
x y
m3
x‘ + y’
M3
Minterm (SOP) dan Maxterm (POS) Minterm dan Maxterm untuk tiga variabel :
9
x
y
z
0
0
0
Minterm
Maxterm
Suku
Lambang
Suku
Lambang
0
x’ y’ z’
m0
x+y+z
M0
0
1
x’ y’ z
m1
x + y + z’
M1
0
1
0
x’ y z’
m2
x + y’ + z
M2
0
1
1
x’ y z
m3
x + y’ + z’
M3
1
0
0
x y’ z’
m4
x’ + y + z
M4
1
0
1
x y’ z
m5
x’ + y + z’
M5
1
1
0
x y z’
m6
x’ + y’ + z
M6
1
1
1
x y z
m7
x’ + y’ + z’
M7
Contoh Nyatakan fungsi berikut dalam bentuk Kanonik SOP dan POS !
10
a
b
c
f (a, b, c)
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
SOP : f (a,b,c) = a‟b‟c + a‟bc + ab‟c + abc‟ + abc atau f (a,b,c) = m1 + m3 + m5 + m6 + m7 = (1, 3, 5, 6, 7) POS : f (a,b,c) = (a+b+c) (a+b‟+c) (a‟+b+c) atau f (a,b,c) = M0 ● M2 ● M4 = (0, 2, 4)
Perlu dipahami, bahwa .... “ Untuk membentuk minterm, tinjau kombinasi variabelvariabel yang menghasilkan nilai 1. “ “ Untuk membentuk maxterm, tinjau kombinasi variabelvariabel yang menghasilkan nilai 0. “ “ Notasi dan berguna untuk mempersingkat penulisan ekspresi dalam bentuk SOP dan POS “
11
“ Lambang untuk minterm menggunakan huruf m, sedangkan untuk maxterm menggunakan huruf M ”
Latihan Nyatakan fungsi boolean f (a,b,c) = a + b’c dalam bentuk kanonik SOP dan POS !
13
Solusi untuk SOP.... Lengkapi literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = a + b’c a = = = =
a.1 a . ( b + b’ ) (a.b) + (a.b’ ) ab + ab’
hk. identitas hk. komplemen hk. Distributif perjanjian kita
Sehingga bentuk fungsinya menjadi : f (a,b,c) = ab + ab’ + b’c 14
a
Latihan Apakah sudah terbentuk SOPnya ?
15
Solusi untuk SOP.... Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = ab + ab’ + b’c ab = = = =
ab . 1 ab . ( c + c’ ) (a.b.c) + (a.b.c’ ) abc + abc’
hk. identitas hk. komplemen hk. Distributif perjanjian kita
Sehingga bentuk fungsinya menjadi : f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ + b’c 16
ab
Solusi untuk SOP.... Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ + b’c ab’= = = =
ab’ . 1 ab’ . ( c + c’ ) (a.b’.c) + (a.b’.c’ ) ab’c + ab’c’
hk. identitas hk. komplemen hk. Distributif perjanjian kita
Sehingga bentuk fungsinya menjadi : f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + b’c 17
ab’
Solusi untuk SOP.... Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + b’c b’c = = = =
b’c . 1 b’c . ( a + a’ ) (a.b’.c) + (a’.b’.c) ab’c + a’b’c
hk. identitas hk. komplemen hk. Distributif perjanjian kita
Sehingga bentuk fungsinya menjadi : f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + ab’c + a’b’c 18
b’c
Solusi untuk SOP.... Periksa literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + ab’c + a’b’c Jika terdapat lebih dari satu suku yang memiliki literal yang sama, maka tuliskan salah satunya saja. Sehingga bentuk SOP fungsi tersebut menjadi : f (a,b,c) = a + b’ c
19
f (a,b,c) = abc + abc’ + ab’ c + ab’c’ + a’b’c = m7 + m 6 + m 5 + m 4 + m 1 = ( 1, 4, 5, 6, 7 )
Latihan Tapi ingat anda masih harus membentuk POSnya !
20
Solusi untuk POS.... Ubah menjadi bentuk standar POS.
f (a,b,c) = a + b’c a + b’c = a + (b’.c) = (a+ b’ ) (a+c)
perjanjian kita hk. Distributif
Sehingga bentuk standar POSnya menjadi : f (a,b,c) = (a + b’ ) (a + c) 21
Solusi untuk POS.... Lengkapi literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = (a + b’ ) (a + c) a + b’ = a + b’ + 0 hk. identitas = a + b’ + (c.c’ ) hk. komplemen = (a+b’+c) (a+b’+c’ ) hk. Distributif
Sehingga bentuk fungsinya menjadi : f (a,b,c) = (a + b’ + c) (a + b’ + c’) (a + c) 22
a+b’
Solusi untuk POS.... Lengkapi lagi literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = (a + b’ + c) (a + b’ + c’) (a + c) a+c
= a+c+0 = a + c + (b.b’ ) = (a+b+c) (a+b’+c)
hk. identitas hk. komplemen hk. Distributif
Sehingga bentuk fungsinya menjadi : f (a,b,c) = (a+b’+c) (a+b’+c’) (a+b+c) (a+b’+c)
23
a+c
Solusi untuk POS.... Periksa literal untuk setiap sukunya.
f (a,b,c) = (a+b’+c) (a+b’+c’) (a+b+c) (a+b’+c) Jika terdapat lebih dari satu suku yang memiliki literal yang sama, maka tuliskan salah satunya saja. Sehingga bentuk POS fungsi tersebut menjadi : f (a,b,c) = (a + b’ ) (a + c)
24
f (a,b,c) = (a+b’+c) (a+b’+c’) (a+b+c) = M2 . M3 . M0 = ( 0, 2, 3 )
Solusi Akhir.... Sehingga bentuk kanonik SOP dan POS dari :
f (a,b,c) = a + b’c SOP : f (a,b,c) = ( 1, 4, 5, 6, 7 ) POS : f (a,b,c) = ( 0, 2, 3)
25
Konversi antar Bentuk Kanonik Kita dapat memperoleh fungsi boolean dalam bentuk kanonik POS dari suatu fungsi kanonik SOP. Langkah – langkahnya : 1. Cari fungsi komplemen dari fungsi tersebut, 2. Gunakan hukum de Morgan. 27
Contoh : Ubah kedalam bentuk kanonik POS ! f (x,y,z) = (1, 4, 5, 6, 7) Solusi : 1. Cari fungsi komplemennya : f ’ (x,y,z) = (0, 2, 3) = m + m + m 2. Gunakan hk. De Morgan (f ‘ (x,y,z))’ = (m + m + m )‟ = m„.m „.m „ = (x‟y‟z‟)‟ . (x‟yz‟)‟ . (x‟yz)‟ = (x+y+z) . (x+y‟+z) . (x+y‟+z‟) = M .M .M = (0, 2, 3) 0
0
2
3
0
28
0
2
2
2
3
3
3
