Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika

Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika Eko Didik Widianto ([email protected]) Sistem Komputer - Universitas Diponegoro

@2011 eko didik widianto siskom-undip

SK205 Sistem Digital – 1 / 38

Review Kuliah • Sebelumnya konsep rangkaian logika telah dibahas, meliputi ◦ variabel, fungsi, ekspresi dan persamaan logika ◦ tabel kebenaran dari fungsi logika ◦ gerbang dan rangkaian logika ◦ analisis rangkaian logika • Berikutnya adalah menggunakan konsep tersebut untuk mengimplementasikan fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar Boolean



Bahasan Aljabar Boolean Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Sintesis Ekspresi Logika Proses Sintesis Sintesis dari Tabel Minterm dan Bentuk SOP Duality SOP - POS Maxterm dan Bentuk POS Konversi Bentuk Menyederhanakan Rangkaian Gerbang NAND dan NOR Rangkaian NAND-NAND Rangkaian NOR-NOR



Aljabar Boolean

• Dalil Teorema Hukum • Pembuktian Aljabar • Diagram Venn • Notasi dan Urutan Operasi Sintesis Ekspresi Logika

Aljabar Boolean



Aljabar Boolean Aljabar Boolean


• Skema untuk deskripsi aljabar dari proses berpikir secara logika dan reasoning (tahun 1849) • Kemudian digunakan untuk menjabarkan rangkaian logika ◦ desain dan analisis rangkaian ◦ menyederhanakan suatu ekspresi logika untuk implementasi fisik rangkaian yang lebih sederhana


George Boole (1815-1864)


Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas Aljabar Boolean


• Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat) 1a. 2a. 3a. 4a.

0·0=0 1·1=1 0·1=1·0=0 Jika x = 0, maka x = 1

1b. 2b. 3b. 4b.

1+1=1 0+0=0 1+0= 0+1=1 Jika x = 1, maka x = 0

• Dalil dituliskan berpasangan →untuk menunjukkan prinsip dualitas ◦ Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan · atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya •

dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya

◦ Dual dari pernyataan benar adalah juga benar



Teorema 1 Variabel Aljabar Boolean


• Aturan ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal 5a. 6a. 7a. 8a. 9.

x·0=0 x·1=x x·x=x x·x=0 x=x

5b. 6b. 7b. 8b.

x+1=1 x+0=x x+x=x x+x=1

• Pembuktian teorema dengan induksi ◦ Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi • Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dan sebaliknya ◦ f1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 dualnya adalah f2 (x1 , x2 ) = x1 · x2 Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 · 1 = 1, sehingga f1 dan f2 dual



Hukum-hukum Aljabar Aljabar Boolean


10a. x · y = y · x

10b. x + y = y + x

→Komutatif

11a. x · (y · z) = (x · y) · z

11b. x + (y + z) = (x + y) + z

12a. x · (y + z) = x · y + x · z

12b. x + y · z = (x + y) · (x + z)

13a. x + x · y = x

13b. x · (x + y) = x

14a. x · y + x · y = x

14b. (x + y) · (x + y) = x

→Asosiatif →Distributif →Absorsi →Penggabungan

15a. x · y = x + y

15b. x + y = x · y

→DeMorgan

16a. x + x · y = x + y

16b. x · (x + y) = x · y

17a.

17b. (x + y) · (y + z) · (x + z) =

x·y +y ·z +x·z = x·y +x·z

(x + y) · (x + z)

→Konsensus

• Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun dengan melakukan perhitungan aljabar • Contoh: teorema DeMorgan secara induktif • Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar



Pembuktian Aljabar Aljabar Boolean


• Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x1 + x2 ) · (x1 + x2 ) = x1 · x2 + x1 · x2 2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2



Pembuktian Aljabar Aljabar Boolean


• Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x1 + x2 ) · (x1 + x2 ) = x1 · x2 + x1 · x2 2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2

f

= x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 · x2 + x1 · x2 + x1 · x2 = x1 + x2

◦ Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, rangkaian logika lebih sederhana ◦ Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi logika di perangkat CAD



Diagram Venn Aljabar Boolean


• Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual • Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggota dari s ◦ dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan • Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan kontur seperti kotak, lingkaran atau elips



Diagram Venn Aljabar Boolean




DeMorgan: x · y = x + y Aljabar Boolean


• Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi sama



Notasi Operator Fungsi Logika Aljabar Boolean

• Dalil Teorema Hukum • Pembuktian Aljabar • Diagram Venn • Notasi dan Urutan Operasi

• Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika dan aritmetika ◦ Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum)

Sintesis Ekspresi Logika

◦ Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product) Operasi OR AND

Notasi Operator W +, , | V ·, , &

Keterangan Bitwise OR Bitwise AND

• Ekpresi ABC+A’BD+A’CE ◦ Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP, sum-of-product terms)

• Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E) ◦ Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS, product-of-sum terms) @2011 eko didik widianto siskom-undip


(Konvensi) Urutan Operasi Aljabar Boolean

• Dalil Teorema Hukum • Pembuktian Aljabar • Diagram Venn • Notasi dan Urutan Operasi

• Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi logika dilakukan dengan urutan: 1. NOT


2. AND 3. OR

• Misalnya ekspresi x + x · y ◦ variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kan dengan variabel y ◦ term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan • Latihan ◦ Gambar rangkaian untuk persamaan logika f = (x1 + x2 ) · x3 dan f = x1 + x2 · x3



Hasil yang Diharapkan Dari Kuliah Aljabar Boolean


Mahasiswa mampu: 1. mengerti tentang dalil, teorema dan hukum aljabar 2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif, manipulasi aljabar dan diagram Venn 3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar) 4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) dan urutan operasi logika



Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika

• Proses Sintesis • Sintesis dari Tabel • Minterm dan Bentuk SOP • Duality SOP - POS • Maxterm dan Bentuk POS • Konversi Bentuk • Menyederhanakan Rangkaian

• Gerbang NAND dan NOR • Rangkaian NAND-NAND • Rangkaian NOR-NOR




Proses Sintesis Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika

• Proses Sintesis • Sintesis dari Tabel • Minterm dan Bentuk SOP • Duality SOP - POS • Maxterm dan Bentuk POS • Konversi Bentuk • Menyederhanakan

• Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? ◦ Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya

Rangkaian


• Misalnya ◦ Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1 dan x2 ◦ Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x1 ,x2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0)

◦ Pernyataan lain: jika switch x1 tersambung dan x2 terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1



Proses Sintesis Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? ◦ Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya

Rangkaian


• Misalnya ◦ Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1 dan x2 ◦ Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x1 ,x2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0)

◦ Pernyataan lain: jika switch x1 tersambung dan x2 terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1

• Langkah desain: membuat tabel kebenaran untuk menuliskan term perkalian yang menghasilkan keluaran 1



Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP) Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika

• Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis



• Realisasi f adalah f = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2



Latihan Sintesis • Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z ◦ Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1

1. Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya 2. Sederhanakan rangkaian tersebut



Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika

• Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1 , x2 . . . xn )



◦ Sebuah maxterm dari f adalah satu term perkalian dari n variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan ◦ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 1 atau xi jika xi = 0 ◦ Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: •

•


Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 minterm: m0 = x1 x2 x3 Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 minterm: m1 = x1 x2 x3


Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Tiap baris dari tabel

minterm mi

f

0

0

0

x1 x2 x3

0

1

0

0

1

x1 x2 x3

1

2

0

1

0

x1 x2 x3

0

3

0

1

1

x1 x2 x3

0

dengan ekspresi

4

1

0

0

x1 x2 x3

1

penjumlahan dari semua

5

1

0

1

x1 x2 x3

1

minterm di mana tiap minterm

6

1

1

0

x1 x2 x3

1

di-AND-kan dengan nilai f

7

1

1

1

x1 x2 x3

0

• Fungsi f dapat dinyatakan


x1 x2 x3

0

kebenaran membentuk satu buah minterm

Rangkaian

Baris i

yang bersesuaian

• Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP: f

=

m0 · 0 + m1 · 1 + m2 · 0 + m3 · 0 + m4 · 1 + m5 · 1 + m6 · 1 + m7 · 0

=

m1 + m4 + m5 + m6

=

x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3



Notasi SOP Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika

• Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m


f

=

m1 + m4 + m5 + m6

=

x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 | {z } | {z } | {z } | {z } 1

Rangkaian


• Notasi Persamaan SOP: f =

4

P

5

6

m(1, 4, 5, 6)

• Implementasi: ◦ Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik ◦ Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang paling sederhana



Prinsip Duality Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara: 1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau 2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0

Rangkaian


• Pendekatan (1) menggunakan minterm • Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebut maxterm



Penjelasan Dualitas SOP-POS Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsi inversnya f , dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm dengan f = 1, yaitu di baris di mana f = 0

f

Rangkaian


=

m0 + m2 + m3 + m7

=

x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3

• Fungsi f dapat dinyatakan f

=

m0 + m2 + m3 + m7

= =

x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · (x1 x2 x3 )

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )

• Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentuk perkalian semua term perjumlahan, maxterm @2011 eko didik widianto siskom-undip


Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1 , x2 . . . xn ) • Sebuah minterm dari f adalah satu term penjumlahan dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan

Rangkaian


◦ Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 0 atau xi jika xi = 1 ◦ Notasi Mj (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 maxterm: M0 = x1 + x2 + x3 • Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 maxterm: M1 = x1 + x2 + x3 •



Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Tiap baris dari tabel

maxterm Mi

f

0

0

0

x1 + x2 + x3

0

1

0

0

1

x1 + x2 + x3

1

2

0

1

0

x1 + x2 + x3

0

3

0

1

1

x1 + x2 + x3

0

dengan ekspresi perkalian

4

1

0

0

x1 + x2 + x3

1

dari semua maxterm di mana

5

1

0

1

x1 + x2 + x3

1

tiap maxterm di-OR-kan

6

1

1

0

x1 + x2 + x3

1

dengan nilai f yang

7

1

1

1

x1 + x2 + x3

0

• Fungsi f dapat dinyatakan


x1 x2 x3

0

kebenaran membentuk satu buah maxterm

Rangkaian

Baris i

bersesuaian

• Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik POS: f

=

(M0 + 0) (M1 + 1) (M2 + 0) (M3 + 0) (M4 + 1) (M5 + 1) (M6 + 1) (M7 + 0)

=

M0 · M2 · M3 · M7

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )



Notasi POS Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M f

M0 · M2 · M3 · M7

=

(x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x2 + x3 ) · (x1 + x2 + x3 ) | {z } | {z } | {z } | {z } 0

Rangkaian


=

2

• Notasi Persamaan SOP: f =

3

Q

7

M (0, 2, 3, 7)

• Persamaan berikut benar untuk fungsi f (x1 , x2 , x3 )di atas: X

m(1, 4, 5, 6)

=

Y

x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3

=

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )

M (0, 2, 3, 7)

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 )



Konversi Bentuk POS-SOP P

Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika



Q

• Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk m atau M P, maka dengan mudah dapat dicari fungsi f atau f dalam bentuk m atau

Q

M

Bentuk

Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan

f =

Asal

f =

P

m

P

m

-

f =

Q

M

Nomor yg tdk ada dlm daftar

(1,4,5,6)

(0,2,3,7)

f =

Q

M


(0,2,3,7)

(1,4,5,6)

-

f =

P

f =

m

Q

M

Nomor yang tdk ada dlm daftar

Nomor yang ada dlm daftar

(0,2,3,7)

(1,4,5,6)

Nomor yang ada dlm daftar


(0,2,3,7)

(1,4,5,6)

• Bagaimana bentuk kanonik POS dan SOP untuk fungsi 4 variabel? ◦ Walaupun bisa menjadi masalah untuk implementasi di FPGA yang hanya mempunyai LUT 2-masukan • @2011 eko didik widianto siskom-undip

Dilakukan dengan sintesis multilevel SK205 Sistem Digital – 28 / 38

Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika

•

Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen


◦

Misalnya: f1 = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 dan f2 = x1 + x2 adalah ekivalen secara fungsional

◦

Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost)

◦

Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay

Rangkaian


Fungsi: f = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2

•

Replikasi term 2: f = x1 x2 + x1 x2 + x1 x2 + x1 x2

•

Distributif (12b): f = x1 (x2 + x2 ) + (x1 + x1 ) x2

•

Teorema (8b): f = x1 · 1 + 1 · x2

•

Teorema (6a): f = x1 + x2



Latihan Sintesis 1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z

• Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 (a) Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya (b) Cari invers fungsi tersebut (c) Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya 2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari

• fungsi f = (x1 + x2 ) · x3



Rangkaian Logika dengan NAND dan NOR Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


•

Fungsi NAND adalah inversi fungsi AND

•

Fungsi NOR adalah inversi fungsi OR f (x1 , x2 ) = f 1 (x1 , x2 ) = x1 + x2

f (x1 , x2 ) = f 1 (x1 , x2 ) = x1 · x2

• •



Gerbang NAND merupakan gerbang

Gerbang NOR merupakan gerbang OR yang diikuti gerbang NOT

AND yang diikuti gerbang NOT


Rangkaian NAND Lebih Sederhana dari AND Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND dan NOR lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR ◦ Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk mewujudkan fungsi logika yang sama

Rangkaian


CMOS NAND (4 transistor)


CMOS AND (6 transistor)


Rangkaian NOR Lebih Sederhana dari OR Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


CMOS NOR (4 transistor)

CMOS OR (6 transistor)

Rangkaian




Recall: Teorema DeMorgan Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika





Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Rangkaian AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadi rangkaian NAND-NAND

Rangkaian


•

Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan ekspresi

◦

Contoh: f =

f


P

m(1, 4, 5, 6)

=

x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3 + x1 x2 x3

=

x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · x1 x2 x3 · x1 x2 x3


Rangkaian OR-AND dan NOR-NOR Aljabar Boolean Sintesis Ekspresi Logika


• Rangkaian OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadi rangkaian NOR-NOR

Rangkaian


•

Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan ekspresi

•

Contoh: f =

f

= =


Q

M (0, 2, 3, 7)

(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 + x3 ) x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3 SK205 Sistem Digital – 36 / 38

Latihan 1. Sederhanakan fungsi f = dan NOR-NOR-nya

P

m (0, 2, 4, 5) dan buat rangkaian NAND-NAND

2. Dalam rangkaian multiplexer, terdapat 2 sinyal data masukan x1 dan x2. Keluaran dikontrol oleh sinyal s. Asumsi keluaran akan sama dengan nilai x1 jika s=0 dan sama dengan x2 jika s=1. Desain rangkaian logika sederhananya. Gambarkan juga rangkaian NAND-NANDnya.



Hasil yang Diharapkan dari Kuliah Aljabar Boolean

Mahasiswa mampu:



1. melakukan sintesis ekspresi logika dari suatu tabel kebenaran fungsi logika

Rangkaian

3. menuliskan maxterm dan bentuk kanonik POS suatu fungsi


dan ekspresi logika

2. menuliskan minterm dan bentuk kanonik SOP suatu fungsi

4. mengkonversi bentuk SOP - POS untuk menyatakan fungsi yang sama 5. menyederhanakan ekspresi logika menggunakan prinsip aljabar 6. mengimplementasikan fungsi logika dengan gerbang NOR dan NAND



Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika

Recommend Documents