bab 1 Logika MATEMATIKA ,
RINGKASAN MATERI A. PERNYATAAN DAN INGKARANNYA Pengertian Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah saja. Pernyataan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil. Contoh: p
= Presiden RI pertama adalah IR. Soekarno. (Merupakan pernyataan yang bernilai benar)
r
= Bandung ada di pulau Sumatra. (Merupakan pernyataan yang bernilai salah)
Pengertian Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Contoh: 2x + 10 = 20 Semoga besok tidak turun hujan. Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan Ingkaran atau negasi adalah lawan dari nilai kebenaran pernyataan semula. Negasi pernyataan p ditulis ~p atau 𝑝. Contoh: p
= Ibu pergi ke pasar
~p = Ibu tidak pergi ke pasar q
= Dona adalah seorang pramugari
~q = Dona bukan seorang pramugari
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut! 1. Dari kalimat-kalimat berikut, manakah yang termasuk pernyataan dan kalimat terbuka! a. Pilkada dilaksanakan pada tanggal 9 Desember 2015. b. Sari adalah anak Pak Rendy. c. Hapus papan tulis itu! d. 2 adalah bilangan ganjil. e. Apakah hari ini hujan? 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut! a. Kambing berkaki 3. b. Dua puluh satu habis dibagi tujuh. c. Ikan bernapas dengan insang.
d. Solo adalah ibukota Provinsi Jawa Tengah. 3. Tentukan negasi atau ingkaran dari pernyataan berikut! a. y
= Jajar genjang memiliki 2 sumbu simetri.
~y
= …………………………………………………………………………………………………………………………
b. t
= Bilangan 56 habis dibagi 3.
~t
= …………………………………………………………………………………………………………………………
c. g
= Inggris ada di Benua Eropa
~g
= …………………………………………………………………………………………………………………………
d. j
= 2 adalah faktor dari 60.
~j
= …………………………………………………………………………………………………………………………
RINGKASAN MATERI B. PERNYATAAN MAJEMUK DAN PERNYATAAN BERKUANTOR Pernyataan Majemuk Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan tanda hubung logika. Tanda hubung logika yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Tabel nilai kebenaran negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi
p
Q
NEGASI
KONJUNGSI
DISJUNGSI
(bukan/tidak)
(dan)
(atau)
~p
pΛq
pVq
IMPLIKASI
BIIMPLIKASI
(jika …
(… jika dan
maka …)
hanya jika …)
p→q
p↔q
B
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
Konjungsi merupakan kalimat majemuk dengan kata hubung ‘dan’. Dinyatakan dengan ‘p Λ q’ dibaca ‘p dan q’. Menentukan nilai kebenaran a. Pulau Jawa lebih luas daripada pulau Papua dan dua adalah bilangan genap. p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Bentuk konjungsi p Λ q dapat juga dibaca sebagai: p p p p
dan q tetapi q meskipun q walaupun q
Karena p Λ q = … Λ … maka nilai kebenarannya … b. Singapura berada di benua Amerika dan Rupiah adalah mata uang negara Indonesia. p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Karena p Λ q = … Λ … maka nilai kebenarannya … c. Semarang adalah ibukota provinsi Jawa Barat dan ayam berkaki 4. p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Karena p Λ q = … Λ … maka nilai kebenarannya …
Disjungsi Disjungsi merupakan kalimat majemuk dengan kata hubung ‘atau’. Dinyatakan dengan ‘p V q’ dibaca ‘p atau q’. Menentukan nilai kebenaran a. Presiden pertama RI adalah Soekarno atau mobil beroda 2. p
= ………………………………………………………………………
q
= ………………………………………………………………………
Karena p V q = … V … maka nilai kebenarannya … b. 3 adalah bilangan kelipatan 2 atau manusia tidak perlu makan. p
= ………………………………………………………………………
q
= ………………………………………………………………………
Karena p V q = … V … maka nilai kebenarannya …
Implikasi Implikasi merupakan kalimat majemuk dengan kata hubung ‘Jika … maka …’. Dinyatakan dengan ‘p
q’ dibaca ‘Jika p maka q’.
Menentukan nilai kebenaran
Bentuk implikasi p juga dibaca sebagai:
a. Jika kucing dapat melahirkan maka ayam dapat p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Karena p
q=…
… maka nilai kebenarannya …
q dapat
jika p maka bertelur. q p hanya jika q p jika q p syarat cukup bagi q q syarat perlu bagi p
b. Jika 3 bilangan ganjil maka Sydney ada di Indonesia. p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Karena p
q=…
… maka nilai kebenarannya …
Biimplikasi Biimplikasi merupakan kalimat majemuk dengan kata hubung ‘… jika dan hanya jika …’. Dinyatakan dengan ‘p
q’ dibaca ‘p jika dan hanya jika q’.
Menentukan nilai kebenaran a. 2 + 5 = 7 jika dan hanya jika 23 = 8. p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Karena p
q=…
… maka nilai kebenarannya …
b. Komodo adalah hewan khas pulau Komodo jika dan hanya jika mobil adalah transportasi laut. p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Karena p
q=…
… maka nilai kebenarannya …
c. Ikan arwana dapat hidup di darat dalam waktu lama jika dan hanya jika kambing bertelur. p
= ……………………………………………………………………
q
= ……………………………………………………………………
Karena p
q=…
… maka nilai kebenarannya …
Pernyataan Berkuantor Suatu kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan menambahkan tanda kuantor. Ada 2 macam tanda berkuantor: Kuantor Universal (∀)
∀x , p(x) dibaca untuk semua/setiap x berlaku sifat p(x) Contoh: ∀x bilangan genap, x habis dibagi 2 (B) ∀x bilangan ganjil, x habis dibagi 3 (S) Kuantor Eksistensial (∃)
∃x, p(x) dibaca ada/terdapat/beberapa x yang memenuhi sifat p(x). Contoh: ∃x bilangan genap, x habis dibagi 5 (B) ∃x bilangan ganjil, x habis dibagi 4 (S)
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut! 1. Diketahui pernyataan-pernyataan tunggal berikut: p : Nilai Santi tertinggi di kelas q : Santi juara kelas r : Orang tua Santi senang Nyatakan pernyataan majemuk berikut: a. p Λ q
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
b. p V r
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
c. p
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
r
d. ~q Λ ~p: …………………………………………………………………………………………………………………………… e. (p Λ q)
r
: …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………… f. ~( p Λ q)
~r : …………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. p V ~q p
q
~q
p V ~q
b. q
(p Λ ~q) p
q
c. (p
~q) P
~q
p Λ ~q
q
(p Λ ~q)
(~p Λ q) q
~p
~q
p
~q
~p Λ q
(p
~q)
(~p Λ q)
RINGKASAN MATERI C. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN DAN INGKARAN/NEGASINYA Ingkaran/negasi pernyataan majemuk ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q ~(p ~(p
q) ≡~p V q q) ≡p
~q ≡ ~p
q
Contoh:
Ibu pergi ke pasar atau ayah pergi bekerja Ingkaran/negasinya
Kakak belajar dan adik bermain Ingkaran/negasinya
: Kakak tidak belajar dan adik tidak bermain
Jika hari ini hujan maka jalanan macet Ingkaran/negasinya
: ibu tidak pergi ke pasar dan ayah tidak pergi ke kantor”
: Hari ini tidak hujan atau jalanan macet
Farah menjadi juara kelas jika dan hanya jika Farah belajar dengan giat Ingkaran/negasinya
:
Farah menjadi juara kelas jika dan hanya jika Farah tidak belajar dengan giat Farah tidak menjadi juara kelas jika dan hanya jika Farah belajar dengan giat Ingkaran/negasi pernyataan berkuantor ~(∀x, p(x)) ≡∃x, ~p(x) ~(∃x, p(x)) ≡ ∀x, ~p(x)
Contoh:
Semua mamalia berkaki 4
Ingkaran/negasinya
:
Beberapa mamalia tidak berkaki 4/Ada mamalia yang tidak berkaki 4
Beberapa anak memakai topi Ingkaran/negasinya
: Semua anak tidak memakai topi
Pernyataan majemuk yang ekuivalen pΛq≡qΛp pVq≡qVp (p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r) (p V q) V r ≡ p V (q V r) p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V ( p Λ r) p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ ( p V r) p
q≡~q
p
q≡(p
~p ≡ ~p V q q) Λ (q
p) ≡ (~p V q) Λ (~q V p)
Contoh: 1. Buktikan ekuivalen pernyataan majemuk berikut: a. p V q ≡ (p V ~q) b. p
(q V r) ≡ (p
p q) V (p
r)
Jawab: a. p V q ≡ (p V ~q)
p
p
q
~q
pVq
p V ~q
(p V ~q)
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
p
Ekuivalen b. p
(q V r) ≡ (p
q) V (p
r)
p
q
r
qVr
p
(q V r)
p
q
p
r
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
B
B
Ekuivalen 2. Tentukan ingkaran/negasi dari pernyataan majemuk berikut. a. Kubus memiliki 6 sisi dan 12 rusuk b. Jika harga barang naik maka daya beli masyarakat menurun Jawab: a. Kubus tidak memiliki 6 sisi atau tidak memiliki 12 rusuk
(p
q) V (p
r)
b. Harga barang naik dan daya beli masyarakat tidak menurun (meningkat) 3. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan “ Jika Andre mengantuk maka ia malas belajar “! Jawab: Jika Andre tidak malas belajar maka ia tidak mengantuk Andre tidak mengantuk atau ia malas belajar
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut! 1. Tunjukkan bahwa ~p V q ≡ p
q
JAWAB: p
Q
~p
pVq
p
q
2. Tentukan ingkaran/negasi dari pernyataan berkuantor berikut. a. Semua pemuda mempunyai prestasi b. Setiap bilangan real mempunyai lawan bilangan c. Ada hewan mamalia yang hidup di air JAWAB: a. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… b. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… c. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. Tentukan ingkaran/negasi dari pernyataan majemuk berikut. a. Jika guru tidak hadir maka semua murid bahagia b. Siska pergi ke Jakarta atau Leli Pergi ke Bali c. 2 adalah bilangan genap dan bukan bilangan prima JAWAB: a. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… b. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… c. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Buatlah pernyataan majemuk yang ekuivalen dengan pernyataan berikut. a. Jika panen melimpah maka harga beras murah b. Jika sungai banyak ikan yang mati maka sungai tercemar limbah JAWAB: a. …………………………………………………………………………………………………………………………………………… b. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………
RINGKASAN MATERI D. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Misalkan terdapat suatu implikasi p
q. Maka dapat dibentuk pernyataan baru seperti berikut:
1. Konvers
: pernyataan berbentuk q
p
2. Invers
: pernyataan berbentuk ~p
~q
3. Kontraposisi
: pernyataan berbentuk ~q
~p
Tabel nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi Implikasi
p
Q
~p
~q
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
p
q
Konvers q
p
Invers ~p
~q
Kontraposisi ~q
Contoh: Jika langit mendung maka akan turun hujan p
= langit mendung
~p = langit tidak mendung q
= akan turun hujan
~q = tidak akan turun hujan Konvers q
p
= jika akan turun hujan maka langit mendung
Invers ~p
~q
= jika langit tidak mendung maka tidak akan turun hujan
Kontraposisi ~q
~p
= Jika tidak akan turun hujan maka langit tidak mendung
E. PENARIKAN SIMPULAN Aturan dasar penarikan simpulan dalam logika matematika sebagai berikut. Modus Ponens Premis 1
:𝑝→𝑞
Premis 2
:𝑝
Konklusi Contoh:
:∴𝑞
Premis 1
: Jika hari ini hujan maka aku membawa payung
Premis 2
: hari ini hujan
Konklusi
: ∴ aku membawa payung
Modus Tollens Premis 1
:𝑝→𝑞
Premis 2
: ~𝑞
Konklusi
: ∴ ~𝑝
~p
Contoh: Premis 1
: Jika harga bensin naik maka rakyat bersedih
Premis 2
: rakyat tidak bersedih
Konklusi
: ∴ harga bensin tidak naik
Silogisme Premis 1
:𝑝→𝑞
Premis 2
:𝑞→𝑟
Konklusi
: ∴ 𝑝 →r
Contoh: Premis 1
: Jika libur panjang maka aku pergi berlibur
Premis 2
: Jika aku pergi berlibur maka aku senang
Konklusi
: ∴ Jika libur panjang maka aku senang
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut! 1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut. a. Jika Jono lulus kuliah maka ia akan bekerja b. Jika adik menangis maka ibu sedih JAWAB: a. Jika Jono lulus kuliah maka ia akan bekerja p
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
q
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
~p
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
~q
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
Konvers
: …………………..……………………………………………………………………………………………
Invers
: …………………………………………………………………………………………………………………
Kontraposisi : ………………………………………………………………………………………………………………… b. Jika adik menangis maka ibu sedih p
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
q
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
~p
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
~q
: ……………………………………………………………………………………………………………………………
Konvers
: …………………………………………………………………………………………………………………
Invers
: …………………………………………………………………………………………………………………
Kontraposisi : ………………………………………………………………………………………………………………… 2. Tentukan simpulan dari premis-premis berikut. a. Premis 1
: Jika hewan itu pemakan daging maka hewai itu karnivora
Premis 2
: Singa pemakan daging
Konklusi
: ∴ ………………………………………………………………………………………………………………
b. Premis 1
: Jika hari ini hujan lebat maka listrik padam
Premis 2
: Listrik tidak padam
Konklusi
: ∴ ………………………………………………………………………………………………………………
3. Premis-premis berikut benar. i.
Jika si A selalu berkata jujur maka orang lain percaya pada si A
ii.
Jika orang lain percaya pada si A maka segala urusan si A lebih mudah
iii. Jika segala urusan si A lebih mudah maka kehidupan si A menyenangkan iv. Anwar selalu berkata jujur Tulislah simpulan yang sah dari keempat premis tersebut! JAWAB: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Tentukan ingkaran atau negasi dari simpulannya i.
Jika aku berolahraga maka badanku sehat
ii.
Jika badanku sehat maka aku bisa belajar dengan baik
iii. Jika aku belajar dengan baik maka aku bisa lulus dengan nilai yang memuaskan JAWAB: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ULANGAN HARIAN A. Pilihlah jawaban yang tepat! 1. Di bawah ini yang merupakan pernyataan adalah … a. Pindahkan meja itu!
d. Soni berbadan kurus
b. Untuk x = 2, berapa nilai 3x + 27
e. Carilah nilai y pada persamaan 4y +
c. 100 habis dibagi 5
3 = 10
2. Pernyataan “Jika hari ini hujan maka sungai meluap” ekuivalen dengan … a. Hari ini hujan dan sungai meluap b. Hari ini tidak hujan dan sungai tidak meluap c. Jika sungai meluap maka hari ini hujan d. Jika sungai tidak meluap maka hari ini tidak hujan e. Jika hari ini tidak hujan maka sungai tidak meluap 3. Pernyataan “saya tidak sedih atau bahagia” ekuivalen dengan … a. Saya sedih dan tidak bahagia b. Saya sedih dan bahagia c. Jika saya sedih maka saya bahagia d. Jika saya tidak sedih maka saya bahagia e. Jika saya bahagia maka saya tidak sedih 4. Ingkaran/negasi dari “Heri memakai baju berwarna pink atau ungu” adalah … a. Heri memakai baju berwarna pink dan ungu b. Heri tidak memakai baju berwarna pink dan tidak ungu c. Heri tidak memakai baju berwarna pink atau tidak ungu d. Heri tidak memakai baju berwarna pink dan ungu e. Heri memakai baju ungu 5. Ingkaran dari “semua bilangan genap habis dibagi 2” adalah … a. Beberapa bilangan genap habis dibagi 2 b. Beberapa bilangan tidak genap habis dibagi 2 c. Setiap bilangan genap tidak habis dibagi 2 d. Ada bilangan habis dibagi 2 yang bukan bilangan genap e. Ada bilangan genap uang tidak habis dibagi 2 6. Kontraposisi dari “Jika Ali lulus ujian maka ia membeli motor” adalah … a. Jika Ali membeli motor maka ia lulus ujian b. Jika Ali lulus ujian maka ia tidak membeli motor c. Jika Ali tidak lulus ujian maka ia membeli motor d. Jika Ali tidak lulus ujian maka ia tidak membeli motor e. Jika Ali tidak membeli motor maka ia tidak lulus ujian 7. Invers dari “Jika ayah pergi maka ibu tinggal di rumah” adalah … a. Jika ayah tidak pergi maka ibu tidak tinggal di rumah b. Jika ibu tinggal di rumah maka ayah pergi c. Jika ibu tidak tinggal di rumah maka ayah tidak pergi d. Jika ayah pergi maka ibu tidak tinggal di rumah e. Jika ibu pergi maka ayah tinggal di rumah 8. Diketahui dua premis sebagai berikut.
Premis 1
: Jika Upik seorang penyanyi maka suara Upik merdu
Premis 2
: Suara Upik tidak merdu
Konklusi
: Upik bukan seorang penyanyi
Prinsip penarikan simpulan tersebut adalah … a. Modus ponen
c. Silogisme
b. Modus tollen
d. Negasi
e. Argumentasi
9. Diketahui dua premis sebagai berikut. Premis 1
: Jika Merry rajin belajar maka ia pandai
Premis 2
: Jika Merry pandai maka ia lulus UN
Simpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah … a. Merry rajin belajar tetapi tidak pandai b. Merry rajin belajar dan lulus UN c. Merry pandai dan lulus Un d. Merry tidak pandai e. Jika Merry rajin belajar maka ia lulus UN 10. Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut. i.
Jika penguasaan matematika rendah maka sulit untuk menguasai IPA
ii.
Jika IPA sulit dikuasai maka IPTEK tidak berkembang
iii. Jika IPTEK tidak berkembang maka Negara semakin tertinggal Simpulan dari tiga pernyataan di atas adalah … a. Jika penguasaaan matematika rendak maka Negara semakin tertinggal b. Jika penguasaaan matematika rendah maka IPTEK berkembang c. IPTEK dan IPA berkembang d. IPTEK dan IPA tidak berkembang e. Sulit untuk memajukan negara B. Kerjakan soal-soal berikut! 1. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut. p : 52 > 25 q : 12 adalah kelipatan 5 r : 19 bilangan prima Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk berikut. a. p Λ ~q
= ………………………………………………………………………
b. ~p V r
= ………………………………………………………………………
c. q
= ………………………………………………………………………
~r
d. (p V q)
r= ………………………………………………………………………
2. Buatlah tabel kebenaran pernyataan majemuk (p Λ ~q) JAWAB: p
q
~q
p Λ ~q
(p Λ ~q)
p
p!
3. Tentukan ingkaran/negasi dari pernyataan berikut. a. Ada kelipatan 4 yang tidak habis dibagi 2 b. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil c. Jika ayah berangkat ke kantor maka adik menangis d. 27 habis dibagi 3 dan 21 habis dibagi 6 e. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah atau 14 adalah bilangan ganjil JAWAB: a. …………………………………………………………………………………………………………………………………… b. …………………………………………………………………………………………………………………………………… c. …………………………………………………………………………………………………………………………………… d. …………………………………………………………………………………………………………………………………… e. …………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan “Jika ΔPQR sama kakai maka sisinya sama panjang” ! JAWAB: Konvers
: …………………………………………………………………………………………………………………
Invers
: …………………………………………………………………………………………………………………
Kontraposisi
: …………………………………………………………………………………………………………………
5. Tentukan ingkaran/negasi dari simpulan pernyataan berikut. i.
Jika angin bertiup kencang maka daun-daun beterbangan
ii.
daun-daun tidak beterbangan
Konklusi: …………………………………………………………………………………………………………………………… Negasi konklusi : …………………………………………………………………………………………………………………
