BAB I LOGIKA MATEMATIKA A. Ringkasan Materi 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif ). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Perhatikan beberapa contoh berikut! 1) Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam 2) yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya 3) seseorang memakai kacamata 4) 4 + 3 = 8 5) 2x + 8y > 0 6) x + 2 = 8 Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 4 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya. Sementara contoh nomor 2, 3, 5 dan 6 belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka dan bukan pernyataan. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan. 2. Ingkaran/Negasi Ingkaran/Negasi adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan dan dilambangkan dengan ∼ p dibaca tidak benar bahwa p. Perhatikan beberapa contoh berikut! 1) p
: Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam (Benar)
∼ p : tidak benar bahwa Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam (Salah) 2) q
: 4 + 3 = 8 (Salah)
∼ q : 4 + 3 6= 8 (Benar) Artinya jika pernyataan bernilai benar maka negasinya bernilai salah, dan sebaliknya. 3. Pernyataan Majemuk Pernyataan yang dirangkaikan dengan perangkat logika “dan”, “atau”, “tidak”, “meskipun”, “walaupun”, “jika · · · maka”, disebut pernyataan majemuk. Dalam logika matematika, nilai kebenaran untuk sebuah pernyataan majemuk sudah dirumuskan secara pasti, sehingga setiap proses penarikan kesimpulan menggunakan logika matematika selalu dapat dikontrol kevalidannya. Beberapa pernyataan majemuk yang akan diuraikan dalam bab ini adalah negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
2 a. Konjungsi Konjungsi adalah gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata penghubung “dan”. Operasi konjungsi dapat ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut: 1) Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata p
q
lampu menyala. 2) Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off) ternyata lampu tidak menyala. 3) Jika keduanya saklar p dan q terbuka
(off) ternyata lampu juga tidak menyala.
Berdasar kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q pada lampu akan menyala (benar) hanya jika keduanya sama-sama tertutup (on/benar) . b. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perangkai “atau” yang dinotasikan dengan p ∨ q. Operasi Disjungsi dapat juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar berikut : 1) Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata p
lampu menyala. 2) Jika salah satu saklar p atau q terbuka
q
(off) ternyata menyala. 3) Jika keduanya saklar p dan q terbuka
(off) ternyata lampu juga tidak menyala.
Dari gambar rangkaian diatas tampak bahwa lampu tidak menyala jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah. c. Implikasi Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata “Jika” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata “maka” di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional, atau “hypothetical” dengan notasi “⇒” seperti ini: p ⇒ q. Notasi di atas dapat dibaca dengan: 1) Jika p maka q; 2) q jika p; 3) p adalah syarat cukup untuk q; atau 4) q adalah syarat perlu untuk p. Diberdayakan oleh LATEX, Farkhan. S.Pd
3 Dalam pernyataan implikasi, komponen kalimat yang terletak diantara “jika” dan “maka”, yaitu bagian kalimat yang lebih dulu yang menjadi syarat disebut “ anteseden” (antecedent). Sedangkan komponen pernyataan yang ditulis kemudian, yaitu bagian belakang yang merupakan akibatnya atau yang mengikutinya disebut “konsekwen” (consequent). Untuk contoh kalimat: “Jika segitiga ABC samakaki, maka segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama.” Yang menjadi anteseden adalah kalimat p: “Segitiga ABC samakaki”, dan yang menjadi konsekwen adalah kalimat q: “Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama”. d. Biimplikasi Perhatikanlah pernyataan : “Jika sore ini hujan, maka jalan raya basah”. Apakah jalan raya basah selalu disebabkan oleh hujan? Tidak, karena jalan raya basah bisa saja disebabkan disiram, banjir, ataupun hal lainnya. Pernyataan seperti ini telah kita ketahui sebagai sebuah implikasi. Sekarang, perhatikan : “Jika orang masih hidup maka dia masih bernafas”. Jika seseorang masih bernafas, apakah bisa dipastikan orang tersebut masih hidup? Ya, karena jika dia sudah tidak bernafas, pasti orang tersebut sudah meninggal. Pernyataan yang demikian disebut biimplikasi atau bikondisional atau bersyarat ganda. Pernyataan biimplikasi dilambangkan dengan “⇔” yang berarti “jika dan hanya jika” Salah satu contoh biimplikasi dalam matematika adalah: Suatu barisan disebut barisan aritmetika jika dan hanya jika Un −Un−1 = k, n ∈ A dan n > 1. Pernyataan majemuk dan nilai kebenarannya Misal p dan q adalah suatu pernyataan maka, a. Konjungsi dari p dan q, bernilai benar jika keduanya benar dan dinotasikan dengan p ∧ q (dibaca p dan q). b. Disjungsi dari p dan q, bernilai salah jika keduanya salah dan dinotasikan dengan p ∨ q (dibaca p atau q). c. Implikasi p dan q, bernilai salah jika pernyataan p benar dan q salah dinotasikan p ⇒ q (dibaca jika p maka q). d. Biimplikasi dari pernyataan p dan q, bernilai benar jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan dengan p ⇔ q (dibaca p jika dan hanya jika q). p
q
p ∧q
p ∨q
p⇒q
p⇔q
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
S
B
S
B
B
S
S
S
S
S
B
B
Diberdayakan oleh LATEX, Farkhan. S.Pd
4 e. Konvers, Invers dan Kontraposisi Konvers, Invers dan Kontraposisi Misal p : anteseden atau hipotesis pada implikasi dan Misal q : konsekuen atau konklusi pada implikasi 1) Konvers adalah menukar anteseden dengan konsekuen. Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q. 2) Invers adalah menegasikan anteseden dan konsekuan. Pernyataan ∼ p ⇒∼ q disebut Invers dari p ⇒ q. 3) Kontraposisi adalah menegasikan anteseden dan konsekuen, kemudian di tukar letaknya. Pernyataan ∼ q ⇒∼ p disebut Invers dari p ⇒ q. p
q
∼p
∼q
p⇒q
q⇒p
∼ p ⇒∼ q
∼ q ⇒∼ p
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Contoh Implikasi dari pernyataan p dan q adalah : p ⇒ q : Jika segitiga ABC sama sisi maka ketiga sudutnya sama besar 1) Konversnya q ⇒ p : Jika ketiga sudutnya sama besar maka segitiga ABC sama sisi 2) Inversnya ∼ p ⇒∼ q : Jika segitiga ABC buka sama sisi maka ketiga sudutnya tidak sama besar 3) Kontraposisinya ∼ q ⇒∼ p : Jika ketiga sudutnya tidak sama besar maka segitiga ABC bukan sama sisi 4. Urutan Pemakaian Operasi Untuk menentukan nilai kebenaran sebuah pernyataan majemuk yang lebih dari dua perny ataan tunggal, dan lebih dari satu operasi, pertama-tama dicari nilai kebenaran pernyataanpernyataan yang terletak didalam tanda kurung kecil (· · · ), kemudian yang terletak di dalam tanda kurung siku [· · · ], dan seterusnya. Jika dalam sebuah pernyataan majemuk tidak ada tanda-tanda pengelompokan, maka operasi-operasi logikadikerjakan menurut urutan berikut : 1) Negasi 2) Konjungsi 3) Disjungsi 4) Implikasi 5) Biimplikasi
Diberdayakan oleh LATEX, Farkhan. S.Pd
5 Contoh Tentukan nilai kebenaran daripernyataan majemuk berikut: £ ¤ 1) ∼ p ∧ (∼ q ∨ r ) 2) p ∨ q ⇒ r ∧ ∼ p ⇔ r Penyelesaian £ ¤ 1) Nilai kebenaran ∼ p ∧ (∼ q ∨ r ) (2)
(1)
(3)
(4) £
p
q
r
∼q
∼ q ∨r
p ∧ (∼ q ∨ r )
∼ p ∧ (∼ q ∨ r )
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
S
B
B
S
B
B
B
B
S
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
S
S
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
¤
£ ¤ 2) Nilai kebenaran p ∨ q ⇒ r ∧ ∼ p ⇔ r sama dengan (p ∨ q) ⇒ (r ∧ ∼ p) ⇔ r Buatlah tabel nilai kebenarannya sebagai latihan 5. Ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk berikut ini beberapa pernyatan majemuk yang setara (ekuivalen). Pernyatan majemuk yang ekuivalen Misal p dan q adalah suatu pernyataan maka, 1. Sifat Komutatif pada konjungsi p ∧ q ≡ q ∧ p. 2. Sifat Assosiatif pada konjungsi dan disjungsi ¡ ¢ ¡ ¢ p ∧q ∧r ≡ p ∧ q ∧r ¡ ¢ ¡ ¢ p ∨q ∨r ≡ p ∨ q ∨r 3. Sifat distributif pada konjungsi dan disjungsi ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ p ∨ q ∧r ≡ p ∨q ∧ q ∨r ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ p ∧ q ∨r ≡ p ∧q ∨ q ∧r 4. Ingkaran dari konjungsi dan disjungsi ¡ ¢ ∼ p ∧ q ≡∼ p∨ ∼ q ¡ ¢ ∼ p ∨ q ≡∼ p∧ ∼ q 5. Implikasi dan Ingkarannya p ⇒ q ≡∼ p ∨ q ¡ ¢ ∼ p ⇒ q ≡ p∧ ∼ q
Diberdayakan oleh LATEX, Farkhan. S.Pd
6 6. Biimplikasi dan Ingkarannya ¡ ¢ ¡ ¢ p⇔q≡ p⇒q ∧ q⇒p ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ∼ p ⇔ q ≡ p∧ ∼ q ∨ q∧ ∼ q 6. Konvers, Invers dan Kontraposisi p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p
Implikasi ekuivalen Kontraposisi
q ⇒ p ≡∼ p ⇒∼ q
Konvers ekuivalen Invers
6. Pernyataan berkuantor dan ingkarannya a. Kuantor universal Berikut ini beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal. 1) Semua kucing mengeong. 2) Tiap-tiap manusia yang dilahirkan memilikim seorang ibu. 3) Setiap benda langit berbentuk bola. 4) Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol. Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernytaaan: “Untuk setiap x di dalam S, maka p(x) benar.” Disebut pernyataan kuantor universal dan kata untuk setiap dalam pernytaan di atas disebut kuantor universal. Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan kuantor universal adalah semua dan untuk setiap. Simbol matematis untuk kedua kata tersebut adalah “∀”. Dalam aljabar, pernyataan kuantor universal ini dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi kalimat tertutup (pernyataan). Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan himpunan penyelesaian dari p(x) pada himpunan semesta S dapat ditulis sebagai berikut: ∀x, P (x) dibaca “semua x bersifat p(x)”. ∀x ∈ S, p(x) dibaca “semua x anggota S bersifat p(x)”. Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ∀x, P (x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x). Nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor ∀x, P (x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x). Contoh: 1) Apabila p(x) : x +4 > 3 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀x ∈ Z; x + 4 > 3 adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena H P = {1, 2, 3, 4, ...} = Z 2) Apabila q(x) : x +1 > 8 dengan himpunan semesta Z (himpunan bilangan asli), maka pernyataan: ∀x ∈ Z; x + 1 > 8 adalah suatu pernyataan yang bernilai salah, karena untuk x = 1, 1 + 1 < 8 dan H P = {8, 9, 10, ...} 6= Z
Diberdayakan oleh LATEX, Farkhan. S.Pd
7 b. Kuantor Eksistensial Eksistensial merupakan kata sifat dari eksis, yaitu keberadaan. Kuantor eksistensial ar˘ ˘ ˙I tinya penukur jumlah yang menunjukkan keberadaan. Dalam matematika âAIJadaâ A artinya tidak kosong atau setidaknya satu. Contoh kuantor eksistensial adalaha ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu. Berikut beberapa contoh pernyataan menggunakan kuantor eksistensial. 1) Ada rumah yang tak memiliki jendela. 2) Ada bilangan cacah yang kurang dari satu. 3) Beberapa presiden adalah wanita. 4) Terdapat bilangan asli x yang jika dikalikan 5 hasilnya 6,24. Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefinisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan: “ada x di dalam S sedemikian sehingga p(x) benar” disebut pernyataan eksistensial (khusus) dan kata ada dalam pernyataan di atas disebut kuantor eksistensial. Kata-kata yang sering muncul/dipakai dalam pernyataan eksistensial adalah ada, beberapa, dan paling sedikit satu. Simbol matematis untuk ketiga kata tersebut sama yaitu “∃”. ∃x ∈ Z, p(x) dibaca “ada nilai x anggota Z sedemikian sehingga p(x) menjadi pernyataan benar” atau secara singkat dapat dikatakan “terdapat x yang bersifat p(x)”. Bentuk ∃x ∈ Z, p(x) dapat pula ditulis sebagai ∃x, p(x) bergantung pada himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka p(x). Contoh: 1) Apabila ∃n ∈ Z, n + 4 < 7, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan benar, karena: {n|n + 4 < 7} = {1, 2} 2) Apabila ∃n ∈ Z, n + 6 < 4, dengan Z = himpunan bilangan asli adalah pernyataan salah, karena: {n|n + 6 < 4} = {1, 2} Pernyataan berkuantor dan ingkarannya Pernyataan berkuantor dibedakan menjadi dua yaitu Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial. Kuantor
Penulisan
Ingkaran Kuantor
Universal
∀x, P (x)
∼ (∀x, P (x)) ≡ ∃x, ∼ P (x)
Eksistensial
∃x, P (x)
∼ (∃x, P (x)) ≡ ∀x, ∼ P (x)
∀x dibaca Untuk semua x dan ∃x dibaca Ada beberapa x 7. Jenis-jenis Penarikan kesimpulan. Suatu pembuktian dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam matematika berkenaan dengan pernyataan-pernyataan yang saling berkait. Pernyataan-pernyataan tersebut adalah pernyataan-pernyataan yang kebenarannya dapat dibuktikan atau dapat diterima. Dengan pernyataan-pernyataan tersebut orang berargumen agar dapat menarik suatu kesim-
Diberdayakan oleh LATEX, Farkhan. S.Pd
8 pulan atau konklusi. Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis. Hasil dari suatu penarikan kesimpulan disebut konklusi atau kesimpulan. Rangkaian premis dan konklusi yang memuat bukti disebut argumen. Suatu argumen dikatakan valid bila kesimpulan dalam argumen tersebut benar-benar diturunkan dari premis-premisnya. Validitas suatu argumen dapat dilihat dari nilai kebenarannya. Secara teknis dapat dilihat dengan menyelidiki apakah argumen tersebut selalu bernilai benar. Dengan kata lain implikasi dari konjungsi premis-premisnya dan konklusinya selalubernilai benar. Pernyataan yang selalu bernilai benar disebut tautologi. Pernyataan yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi. Sedangkan pernyataan yang dapat bernilai benar atau salah disebut kalimat sintetis atau kontingensi. Penarikan kesimpulan Cara Penarikan Kesimpulan dari dua premis: 1. Modus Ponens Premis 1
:
p⇒q
Premis 2
:
p
Kesimpulan
:
q
Premis 1
:
p⇒q
Premis 2
:
∼q
Kesimpulan
:
∼p
Premis 1
:
p⇒q
Premis 2
:
q ⇒r
Kesimpulan
:
p ⇒r
2. Modus Tollens
3. Silogisme
B. Latihan Soal
Diberdayakan oleh LATEX, Farkhan. S.Pd
