LOGIKA MATEMATIKA
Bab 1
Dalam setiap melakukan kegiatan sering kita dituntut untuk menggunakan akal dan pikiran. Akal dan pikiran yang dibutuhkan harus mempunyai pola pikir yang tepat, akurat , rasional , logis , obyektif dan kritis. Dengan menggunakan logika diharapkan kita lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan penalaran. Prinsip-prinsip logika sering digunakan dalam penalaran aplikasi pemrograman untuk tehnologi informasi. 1. Pernyataan ( Kalimat Dekaratif) Suatu pernyataan adalah suatu kalimat yang hanya dapat mempunyai nilai kebenaran saja atau mempunyai nilai salah saja dan tidak berlaku kedua-duanya secara bersamaan. Contoh : a. " Jika x real maka x 2 0 " Kalimat ini merupakan suatu pernyataan , karena kalimat ini menerangkan sesuatu yang benar. b. "Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama " Kalimat ini merupakan suatu pernyataan sebab kalimat ini menerangkan sesuatu yang salah c. " Harga logaritma suatu bilangan , sama dengan 3 " Kalimat ini bukan merupakan suatu pernyataan , mengingat kalimat ini menerangkan sesuatu yang mungkin enar atau mungkin salah. 2. Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan dapat menerangkan suatu kejadian yang benar maupun yang salah, maka diperlukan suatu nilai kebenaran untuk membedakan pernyataan yang benar dan yang salah. Untuk menyatakan nilai kebenaran dari pernyataan ada 2 cara yaitu : a. Cara empiris : kebenaran berdasarkan kenyataan pada saat itu ( tergantung ruang dan waktu) b. Cara non empiris : suatu kebenaran yang mutlak. Nilai kebenaran dari suatu pertnyataan “p” dituliskan dengan lambang ( p ) Contoh : “p”= “ Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama” maka dalam hal ini ( p ) = S 3. Pernyataan berkuantor. Ada dua kuantor, yaitu: a. kuantor universal dengan notasi ( untuk semua , seluruh, setiap ,….) - ( x ), x 2 0 - Setiap kucing mempunyai ekor Pernyataan ini benar sebaba tidak dapat ditemukan kucing yang tidak mempunyai ekor. b. Kuantor eksensial dengan notasi ( ada , beberapa, diantara , …. ) - ( x ), x 3 6 pernyataan ini benar sebab dapat ditemukan beberapa bilangan yang jika dijumlah dengan 3 mempunyai nilai 6 Operasi-operasi pada Logika. Seperti pada system bilangan real, matriks ataupun fungsi, maka pada logika matematika, kita juga mengenal operasi antara pernyataan, antara lain : a. Operasi Negasi / Ingkaran Suatu pernyataan yang baru yang nilai kebenarannya kebalikan dari pernyataan semula. Negasi pernyataan p ditulis ~ p ( bukan p ) Tabel kebenaran : P ~ p B S S B
Matematika SMA
1
~(~p) p
Contoh : p : “ ada bilangan real yang logaritmanya sama dengan satu “ ~ p : “ Semua bilangan real logaritmanya tidak sama dengan satu” b. Operasi Konjungsi Operasi yang menggabungkan pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung “ dan “ dilambangkan “ ” Kata-kata tetapi , hanya saja , walaupun identik dengan dan. Sebuah konjungsi akan benar apabila nilai kebenaran dari p dan q keduanya benar, dalam hal lain sebuah disjungsi akan salah. Tabel kebenaran Konjungsi P B B S S
Q B S B S
p q B S S S
Negasi dari Konjungsi ~ (p
q)
~ p
~ q
Contoh :` p : " x 2 0 untuk semua bilangan real” q : " log x 0 untuk setiap x real” p
q :" x
2
0 untuk setiap x real dan log x>0untuk setiap x real"
(p) = B ,
(q) = S maka
(p
q)=S
c. Operasi Disjungsi Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk dari pernyataan p dan q menggunakan kata penghubung atau dilambangkan p V q Disjungsi ada 2 macam : Disjungsi Inklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena dua pernyataan benar, atau hanya salah satu pernyataan yang benar Disjungsi eksklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena salah satu pernyataan saja yang benar karena tidak mungkin keduanya benar. Dalam persoalan jika tidak ada pernyataan /keterangan maka dianggap disjungsi inklusif. Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif P B B S S
Matematika SMA
Q B S B S
p q B B B S
2
Tabel Kebenaran Disjungsi Ekslusif P B B S S
Q B S B S
p q S B B S
Contoh : p : "x = 0 merupakan akar persamaan x 2 x 0 " q : "x = 1 merupakan akar persamaan x 2 x 0 " Jadi p q : " x = 0 merupakan akar persamaan x 2 Terlihat bahwa (p q) = B
x
0
atau x = 1 merupakan akar persamaan
x
2
x
0
Ingkaran dari Konjungsi : ~(p V q) ≡ ~pV~q Konsep konjungsi dan disjungsi pada rangkaian listrik a. Konsep konjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan seri S1
S2
Lampu menyala hanya jika sakelar . S 1 dan S 2 terhubung. Jika hanya salah satu sakelar yang terhubung lampu tidak menyala. (lihat table kebenaran konjungsi) b. Konsep disjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan parallel pada rangkaian listrik tersebut.
Pada rangkaian seperti gambar , lampu akan menyala apabila sakelar satu sakelar saja yang terhubung.
S1
dan
S2
terhubung atau salah
c. Operasi Implikasi ( pernyataan bersyarat) Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " Jika ….maka ……." Pernyataan p disebut sebab (hipotesis/antesenden) dan pernyataan q disebut kesimpulan(konklusi/konsekwen) Sebuah implikasi akan salah jika hipotesanya benar tetapi konklusinya salah dalam hal lain akan benar. Implikasi " Jika p maka q" dilambangkan p q Contoh : p : Jakarta terletak di Pulau Jawa q : Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesia y: Jika Jakarta terletak di Pulau Jawa, maka Jakarta merupakan ibu kota Negara Indonesia. Parto berjanji pada Parti " Jika hujan maka ia akan datang ke rumah Parti " Matematika SMA
3
hari hujan , Parto datang hari tidak hujan, Parto tidak datang Parto ingkar janji jika hari hujan ia tidak datang Tabel Kebenaran Implikasi P B B S S
Q B S B S
p
q B S B B
Negasi dari Implikasi : ~ ( p q ) p ~ q ( Buktikan ) Suatu pernyataan jika …… maka …….. bernilai selalu benar (tautologi) dinamakan Implikasi Logis dan untuk mengetahui suatu pernyataan adalah implikasi logis maka perlu pengujian dengan tabel kebenaran. Konvers , Invers dan Kontraposisi Dari implikasi p q dapat dibuat implikasi-implikasi lain yaitu : a. q p disebut Konvers dari p q q disebut Invers dari p b. p q c. q
p
disebut Invers dari p
q
Contoh : Implikasi : Jika x = 3 , maka x 2 = 9 Konvers : Jika x 2 = 9 , maka x = 3
Invers : jika x 3 , maka x 2 9 Kontra posisi : Jika x 2 9 , maka x
3
Hubungan antara Implikasi , Konvers , Invers dan Kontraposisi Konvers p
q
q
p
q
p
Kontraposisi
p
p
q
q
Konvers
d. Operasi Biimplikasi ( bi kondisional / ekuivalensi). Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " ……..jika dan hanya jika ……." p q dibaca : " p jika dan hanya jika q " Tabel kebenaran Biimplikasi P q p q B B B B S S S B S S S B Negasi biimplikasi : ~ ( p q ) ( p ~ q ) (~ p q ) Buktikan !! Suatu biimplikasi akan benar jika nilai kebenaran dari p sama dng nilai kebenaran dari q Contoh : ABC adalah segitiga sama kaki jika dan hanya jika A B Jika pernyataan biimplikasi benar untuk semua keadaan(tautology) maka disebut biimplikasi logis. Matematika SMA
4
e. Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar dalam segala hal. Contoh : P q ~q p ~q (p ~q) p B B S S B B S B B B S B S S B S S B S B (p ~q) p adalah implikasi logis Kontradiksi : Adalah pernyataan majemuk yang selalu salah dalam segala hal f. Penarikan kesimpulan Dalam menarik kesimpulan dari beberapa pernyataan yang ada digunakan beberapa prinsip penarikan kesimpulan yaitu : a. Modus Ponen Pernyataan 1 : p q benar Pernyataan 2 : p benar Kesimpulan : q benar b. Modus Tollens Pernyataan 1 : p q benar Pernyataan 2 : ~ q benar Kesimpulan : ~p benar c. Silogisme Pernyataan 1 : p Pernyataan 2 : q Kesimpulan : p
q benar r benar r benar
Soal Latihan : 1. kalimat ingkaran dari kalimat “ semua orang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan” adalah : a. semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan b. tidak ada orang yang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan c. ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan d. ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan e. tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan 2. Kesimpulan dari pernyataan “ Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacau “ adalah a. jika perang terjadi maka setiap orang gelisah b. jika perang terjadi maka kehidupan menjadi kacau c. jika setiap orang gelisah maka perang terjadi d. Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacau e. Jika kehidupan menjadi kacau maka setiap orang gelisah 3. Kontra posisi pernyataan “ Jika devisa negara bertambah maka pembangunan berjalan lancar “ adalah a. jika pembangunan tidak lancar maka devisa negara tidak bertambah b. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan tidak lancar c. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan berjalan lancar d. Jika pembangunan berjalan lancar maka devisa negara bertambah e. Jika devisa negara bertambah maka pembangunan tidak lancar 4. Pernyataan p dan q masing-nasing bernilai benar P: saya lulus SMA Matematika SMA
5
Q : saya mengikuti SPMB Implikasi berikut ini benar kecuali : a. jika saya tidak lulus SMA , maka saya tidak mengikuti SPMB b. jika saya mengikuti SPMB, maka saya lulus SMA c. jika saya tidak mengikuti SPMB, maka saya tidak lulus SMA d. jika saya tidak lulus SMA , maka saya mengikuti SPMB e. jika saya lulus SMA , maka saya tidak mengikuti SPMB 5. Pernyataan yang ekuivalen dengan “ Jika 4 > 5 maka –4 < -5 adalah … A. Jika –4 > -5 maka 4 < 5 B. Jika 4 > 5 maka –4 -5 C. Jika 4 5 maka –4 < -5 D. Jika –4 < -5 maka 4 > 5 E. Jika –4 -5 maka 4 5 6. Ingkaran dari kontra posisi p q ialah . A. ~ q 7. Bentuk p A. p
p (p
B. q
p
C. p
~ q
D. p
~ q E. p
q
q ) senilai dengan … B. q
C. p
~ q
D. p
q
E. p
q
2
8. Nilai kebenaran dari pernyataan : “ f ( x ) ax bx c mengalami definit negatif jika dan hanya jika a 0 dan D 0” A. B B. S C. B dan S D. 0 E. ~ 9. Diberikan empat pernyataan p,q,r dan s . Jika tiga pernyataan berikut benar: p q, q r, r s , dan s pernyataan yang salah , maka diantara ernataan berikut yang salah adalah .. A. ~p B. ~q C. ~r D. p r E. p ~ r 10. Kesimpulan tiga premis 1. ~ p 2. q 3. ~r adalah …. q r A. p B. ~p C. q D. ~q E. p ~ r
May it be a sweet, sweet sound In Your ear
Matematika SMA
6
Soal – soal logika matematika Ujian Nasional Materi pokok : Invers, Konvers, Kontraposisi 1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p → ( p V ~q ) adalah …. a. ( p V ~q ) → ~p b. (~p Λ q ) → ~p c. ( p V ~q ) → p d. (~p V q ) → ~p e. ( p Λ ~q ) → ~p 2. Invers dari pernyataan p → ( p Λ q ) a. (~p Λ ~q ) → ~p b. (~p V ~q ) → ~p c. ~p → (~p Λ ~q ) d. ~p → (~p Λ q ) e. ~p → (~p V ~q ) Materi pokok : Penarikan Kesimpulan 3. Diketahui pernyataan : I. Jika hari panas, maka Ani memakai topi II. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung III. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah …. a. Hari panas b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi 4. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut : Jika Siti sakit maka dia pergi ke dokter Jika Siti pergi ke dokter maka dia diberi obat. adalah …. a. Siti tidak sakit atau diberi obat b. Siti sakit atau diberi obat c. Siti tidak sakit atau tidak diberi obat d. Siti sakit dan diberi obat e. Siti tidak sakit dan tidak diberi obat 5. Diketahui premis berikut : I. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. II. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. III. Budi tidak lulus ujian. Kesimpulan yang sah adalah …. a. Budi menjadi pandai b. Budi rajin belajar c. Budi lulus ujian d. Budi tidak pandai e. Budi tidak rajin belajar 6. Diketahui argumentasi : I. p → q ~p ---------∴ ~q II. p → q ~q V r ---------∴p→r
Matematika SMA
7
III. p → q p→r ---------∴q→r Argumentasi yang sah adalah …. a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja
7. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumen tasi berikut : ~p → q q→r ---------∴… a. p Λ r b. ~p V r c. p Λ ~r d. ~p Λ r e. p V r 8. Ditentukan premis – premis : I. Jika Badu rajin bekerja maka ia disayang ibu. II. Jika Badu disayang ibu maka ia disayang nenek III. Badu tidak disayang nenek Kesimulan yang sah dari ketiga premis diatas adalah …. a. Badu rajin bekerja tetapi tidak disayang ibu b. Badu rajin bekerja c. Badu disayang ibu d. Badu disayang nenek e. Badu tidak rajin bekerja 9. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus tolens didasarkan atas suatu pernyataan majemuk yang selalu berbentuk tautologi untuk setiap kasus. Pernyataan yang dimaksud adalah …. a. ( p → q ) Λ p → q b. ( p → q ) Λ ~q → ~p c. ( p → q ) Λ p → ( p Λ q ) d. ( p → q ) Λ ( q → r ) → ( p → r ) e. ( p → q ) Λ ( p → r ) → ~ ( q → r ) 10. Kesimpulan dari premis berikut merupakan …. p → ~q qVr ---------∴p→r a. konvers b. kontra posisi c. modus ponens d. modus tollens e. silogisme
1. B
2.E
Matematika SMA
3.B
4.A
5.E
6.B
7.E
8.E
9.B
10.E
8
