BAB I LOGIKA MATEMATIKA A. PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari setiap orang dapat melakukan komunikasi dengan orang lain , dapat dengan berbagai cara . dapat dengan menggunaka simbul-simbul atau lambang-lambang. Demikian juga dalam matematika untuk menyatakan pernyataan atau kalimat mamatika dapat menggunakan simbul-simbul.Hal –hal seperti ini akan dibahas pada bab tentang Logika Matematika. Untuk memecahkan masalah – masalah yang timbul dalam kehidupan sehari-hari kita dituntut untuk menggunakan akal pikiran kita dan penalaran , apalagi dalam melakukan aktifitas kita harus selalu menggunakan akal pikiran dan penalaran yang sehat.Dengan kita belajar logika dapat membantu kita dalam mengembangkan penalaran kita sehingga dapat mengambil keputusan yang tepat terhadap masalah yang baru kita hadapi dan harus kita selesaikan. Dalam Bab ini kita akan membahas masalah Logika matematika. B.
MATERI 1. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA a. PERNYATAAN Jenis kalimat dalam matematika dibagi menjadi : 1).Kalimat Tak Berarti Kalimat tak berarti adalah kalimat yang tidak bisa diterima akal sehat / tidak logis / tidak rasional.
Contoh : -
Batu bisa bicara. Kursi anak dari meja. Ani adik angka 5, dsb.
2).Kalimat Berarti Kalimat berarti adalah kalimat yang dapat diterima akal sehat / logis / rasional. Kalimat berarti dapat dibagi menjadi : a). Pernyataan (Deklaratif) Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh : 95 bukan bilangan prima. (B) Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. (S) b). Bukan Pernyataan (Non Deklaratif) Bukan pernyataan adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai kebenaran. Contoh : Siapa namamu? ( berupa kalimat tanya ) Kerjakan soal halaman 67! ( berupa kalimat perintah ) Semoga semua siswa lulus ujian.( kalimat ungkapan perasaan )
b. KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka yaitu :- kalimat yang belum tentu berarti benar atau belum tentu salah. - kalimat yang memuat variabel / peubah. 1). Variabel Yaitu sesuatu yang belum diketahui nilai / kepastiannya, dapat dilambangkan huruf abjad (x, y, z, ....) atau berupa (....). Contoh : - y + 3 = 8 ( y disebut variable) .... merupakan ibukota negara Indonesia. (.....disebut variable) 2). Konstanta Yaitu sesuatu yang sudah diketahui nilai-nilai kebenarannya. Contoh : - 5 + y = 10 (5 dan 10 disebut konstanta) Bung Karno adalah presiden RI yang pertama.(konstanta Bung Karno) 3). Himpunan Penyelesaian yaitu sesuatu pengganti variabel pada kalimat terbuka yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai betul Contoh : - x + 3 = 15, jika x diganti12, maka kalimat terbuka menjadi benar. HP = { 12 } 2x – 4 < 10 dengan x C. HP = { x | x < 7, x C } *
Suatu pernyataan umumnya dinyatakan dengan huruf kecil ( a, b, c, p, q, r, s, ...). Nilai benar diberi simbol "B" atau "1" dan nilai salah diberi simbol "S" atau "0". Contoh : - P : Ada 7 hari dalam seminggu. Nilai kebenaran dari pernyataan P adalah B.
C. Latihan 1.1 1.
2. 3. 4. 5.
Dari kalimat-kalimat di bawah ini tentukan mana yang merupakan pernyataan dan bukan pernyataan, kemudian tentukan pula nilai kebenarannya. a. Buah apel berwarna biru. b. Ada 30 hari dalam satu bulan. c. Jangan ambil mangga itu. d. x2 – 5x – 6 = 0 e. Dimana kamu tinggal ? f. D < 0, akar-akarnya khayal. g. 3 adalah bilangan prima. h. Ikan paus bernafas dengan insang. i. Kejar pencuri itu sampai tertangkap ! Berikan 5 contoh pernyataan ! Berikan 5 contoh kalimat bukan pernyataan ! Berikan 5 contoh kalimat terbuka ! Tentukan nilai kebenaran dari kalimat-kalimat berikut ! a. Bandung mendapat julukan kota hujan. b. 22 + 32 = 52 c. 5 - 4 9 d. 75 habis dibagi 5 e. 13 adalah bilangan prima. f. Tidak benar setiap binatang berkaki empat g. 5 x 6 = 25
2. OPERASI LOGIKA, PERNYATAAN MAJEMUK DAN a. OPERASI LOGIKA
KALIMAT BERKUANTOR
Macam – macam operasi logika adalah sebagai berikut : 1). Negasi / Ingkaran(~) Negasi (ingkaran) suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang nilai kebenarannya berlawanan dengan pernyataan semula. Negasi / ingkaran dilambangkan (~), ( ... ). ~p atau ...p atau p dibaca "tidak p", "bukan p" atau "tidak benar bahwa p". Tabel kebenaran untuk negasi : p B S
Contoh :
~p S B p = ~p = ~p = ~p =
Harga beras naik Harga beras tidak naik Harga beras turun Tidak benar harga beras naik
2). Konjungsi () Dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata hubung "dan" disebut konjungsi. Konjungsi dilambangkan "”. Tabel kebenaran konjungsi: p B B S S
q B S B S
pq B S S S
Keterangan : Konjungsi p q hanya bernilai "BENAR" jika kedua pernyataan benar dan yang lain salah. Kata-kata hubung lain lain yang dapat membentuk konjungsi adalah "YANG, TETAPI, JUGA, SEDANGKAN, MESKIPUN, PADAHAL". Contoh : p : 3 x 5 = 15 (B) q : 25 adalah bilangan ganjil (B) p q : 3 x 5 = 15 dan 25 adalah bilangan ganjil
(B)
3). Disjungsi () Dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata hubung "atau" disebut disjungsi. Disjungsi dilambangkan "". Tabel kebenaran Disjungsi: p B B S S
q B S B S
pq B B B S
Keterangan : Untuk lebih mudah menghafal nilai kebenaran Disjungsi, Diajungsi p q hanya bernilai "SALAh" jika kedua pernyataanbernilai salah dan yang lain benar. Contoh : P : log100 = 2 (B) q : (x + a)2 = x2 +a2 (S) p q : log100= 2 atau (x + a)2 = x2 + a2 (B) 4). Implikasi / Kondisional : ( ... ...) Dua pernyataan yang menggunakan kata hubung : "Jika ... maka ..." disebut implikasi. Simbol implikasi : "... ...". Dalam implikasi : "p q"; p disebut anteseden (sebab, alasan, hipotesis). q disebut konsekuen (akibat, kesimpulan, konklusi). p syarat cukup bagi q. q syarat perlu bagi p. Tabel kebenaran Implikasi: p
q
pq
B B S S
B S B S
B S B B
Keterangan :
Suatu implikasi bernilai "SALAH" jika antesedennya benar dan konsekuennya salah dan yang lainbernilai benar. Contoh : 1
: 52 = 5 : 2log32 = 5
P q
(B) (B)
1
p q : Jika 5 2 =
5 maka 2log32 = 5
(B)
4). Biimplikasi / bikondisional (... ...) Dua pernyataan yang dihubungkan kata hubung : ... jika dan hanya jika ... disebut biimplikasi (implikasi dua arah). Simbol / lambang biimplikasi : "... ...". p q artinya (p q) (q p). Tabel kebenaran biimplikasi: p
q
pq
B B S S
B S B S
B S S B
Keterangan :
Biimplikasi hanya bernilai "BENAR" jika kedua pernyataannya bernilai benar semuanya atau salah semuanya. (Kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama).
Contoh : P Q
: Selalu ada 360 hari dalam setahun : 10 > 4
(S)
p q : Selalu ada 360 hari dalam sesetahun jika dan hanya jika 10 > 4
(B) (S)
B . PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN Pernyataan-pernyataan majemuk yang ekuivalen : 1) ~(~p) p (NEGASI RANGKAP) 2) ~(p q) ~p ~q HUKUM DE MORGAN 3) ~(p q) ~p ~q 4) p q = ~p q 5) p q (p q) (q p) 6) ~(p q) p ~q 7) ~(p q) (p ~q) (q ~p) 8) p q ~q ~p 9) q p ~p ~q 10) p (~p q) p q Kebenaran ekuivalensi di atas bisa dibuktikan dengan tabel kebenaran. C. PERNYATAAN BERKUANTOR Ada 2 jenis kuantor yaitu : 1). Kuantor Universal (x) Sebuah pernyataan dinyatakan berkuantor universal, jika pernyataan tersebut menggunakan kata : SETIAP, SEMUA. Contoh : Setiap siswa SMK trampil mengoperasikan komputer Lambang / simbol : (x) P(x) : Semua / setiap x berlaku P(x) Ingkaran : 1) ~(x) P(x) : Tidak semua x berlaku P(x) 2) (x) ~P(x) : Ada x yang tidak berlaku P(x) Contoh : Setiap segitiga samasisi sudutnya sama besar. Ingkarannya : 1) Tidak semua segitiga samasisi sudutnya sama besar. 2) Ada / beberapa segitiga samasisi sudutnya tidak sama besar. 2). Kuantor Eksistensial (x) Sebuah pernyataan dinyatakan berkuantor eksistensial jika pernyataan tersebut menggunakan kata : ADA, BEBERAPA. Lambang / simbol : (x) P(x) Ingkaran : 1) ~(x) P(x) 2) (x) ~P(x)
Contoh : -
: Ada / beberapa x berlaku P(x) : Tidak ada x yang berlaku P(x) : Semua / setiap x tidak berlaku P(x)
Ada bilangan prima genap. Ingkarannya : 1) Tidak ada bilangan prima genap. 2) Semua bilangan prima tidak genap. Ada pengendara sepeda motor tidak memakai helm. Ingkarannya :1) Tidak ada pengendara sepeda motor tidak memakai helm. 2) Setiap pengendara sepeda motor memakai helm.
Latihan 1.2 1.
2.
3. 4.
5.
p "Topan malas belajar." q "Topan tidak lulus ujian." r "Topan ikut test masuk perguruan tinggi." Tulislah dengan kalimat verbal lambang-lambang berikut : a) p q c) p q b) p q d) p q Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut : Diketahui :
e) (p q) r f) ~q r
2 termasuk bilangan irasional dan 4 = + 2. a) b) Kambing berkaki empat atau pemakan rumput. c) Jika suatu logam dipanaskan maka akan mengkerut. d) Segitiga ABC siku-siku di A jika dan hanya jika c2 = a2 + b2. e) Semua persegi kedua diagonalnya sama panjang. f) Ada bilangan prima genap. Tentukan ingkaran dan nilai kebenaran dari soal-soal no 2 di atas ! Lengkapi tabel kebenaran di bawah ini. ~p ~(p p q ~p ~q pq ~p q ~q q) B B B S S B S S Tentukan ingkaran dari kalimat berikut ! a) Setiap orang ingin hidup bahagia. b) Jika guru tidak datang maka semua murid senang. c) Jika perang terjadi maka semua orang gelisah. d) Ani lulus ujian jika dan hanya jika Ani rajin belajar.
~p q
~p ~q
3). KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI a. URAIAN MATERI Dari implikasi : p q dapat kita buat pernyataan-pernyataan implikasi yang lain, yaitu : : qp : ~p ~q : ~q ~p
1). Konvers 2). Invers 3). Kontraposisi
Tabel kebenaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi. p
q
~p
~q
pq
qp
~p ~q
~q ~p
B B S S
B S B S
S S B B
S B S B
B S B B
B B S B
B B S B
B S B B
sama sama Dari implikasi-implikasi tersebut diperoleh kesetaraan / ekuivalen sebagai berikut : a) p q ~q ~p b) q p ~p ~q
Contoh : -
Jika x2 –16 = 0 maka Konversnya : Inversnya : Kontraposisinya :
x = 4atau x = - 4. Jika x = 4 atau x = -4 maka x2 – 16 = 0 Jika x2 – 16 0 maka x 4 atau x -4 Jika x 4 atau x -4 maka x2 – 16 0.
Latihan 1.3 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari kalimat 1. Jika Tofa rajin belajar pasti jadi juara 2.
Jika harga sembako mahal maka semua orang gelisah
3.
Jika Udin ingin jadi pembalap yang handal, maka harus rajin berlatih
4.
Jika terjadi sunami di pantai selatan Yogya, maka perumahan di Parangtritis akan porak porandam.
5.
Jika hujan turun deras lagi , maka akan terjadi banjir bandang.
4). PENARIKAN KESIMPULAN a. MATERI Pada dasarnya logika adalah ilmu yang mempelajari cara-cara atau prinsip-prinsio pengambilan suatu kesimpulan. Pengambilan kesimpulan harus didukung dengan data-data yang akurat serta harus memperhatikan hukum-hukum yang berlaku agar dalam pengambilan kesimpulannya menghasilkan kesimpulan yang tepat. Dalam proses pengambilan kesimpulan, digunakan beberapa pernyataan dan konklusi. Pernyataan-pernyataan itu disebut PREMIS atau ANTESEDEN dan konklusi merupakan KONSEKUEN atau KESIMPULAN. Dalam logika, ada beberapa metode dalam mengambil suatu kesimpulan yang disebut sebagai argumen-argumen, yaitu :
1) Metode Modus Ponnens P1 : p q P2 : p K : q
2) Metode Modus ToLLens P1 : p q P2 : ~q K : ~p
3) Metode Silogesme P1 : p q P2 : q r K : pr
Contoh:
menggunakan metode Modus Ponnens
P1 = premis ke-1 P2 = premis ke-2 K = konklusi
Premis 1 Premis 2 Konklusi
Contoh :
menggunakan metode Premis 1 Premis 2 Konklusi
Contoh:
menggunakan metode Premis 1 Premis 2 Konklusi
: jika hari ini hujan maka saya bawa payung : Hari ini hujan : Saya bawa payung Modus Tllens : Jika Nisa sakit maka minum obat : Nisa tidak sakit : Nisa tidak minum obat Silogisme : Jika Tofa rajin belajar maka nilainya bagus-bagus : Jika nilai Tofa bagus-bagus maka jadi juara : Jika Tofa rajin belajar maka jadi juara
Latihan 1.
Periksalah validitas pernyataan berikut yang menggunakan tabel kebenaran. a. [p (~q ~p)] ~q b. [(p q) (q r) r] p c. [(p q) ~q] ~r d. [(p q) ~p] q e. [(p q) (r p) (r s)] q s f. [(p q) ~q (r ~p) (~s r)] s
2.
Manakah penarikan kesimpulan yang valid / absah dari argumen-argumen berikut : a. p q c. p q e. p q ~q ~r p q sr q pr p ~s r b.
3.
pq ~q p
d.
~p qp ~q
Tentukan validitas argumen berikut ini ! a.
Jika rem ditekan maka mobil berhenti Mobil berhenti Jadi : Rem ditekan
b.
Jika saya seorang artis maka saya terkenal Saya tidak terkenal Jadi : Saya bukan artis
c.
Presiden RI seorang pria atau wanita Presiden RI bukan seorang wanita Jadi : Presiden RI seorang pria
D. Rangkuman Dari pembahasan diatas , secara sederhana dapat dibuat skema tentang kalimat sbb : 1.
Bernilai benar ( B ) Pernyataan Bernilai salah ( S }
Kalimat berarti Bukan pernyataan
Kalimat Kalimat tak berarti
2. Himpunan semua penyelesaian dari suatu kalimat terbuka disebut
penyelesaian.
himpunan
3. Operasi pada logika Matematika terdiri dari : Negasi, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi
dan Biimplikasi
4. Untuk penarikan kesimpulan ada 3 metode yaitu : 1. Metode Modus Ponnens 2. Metode Modus Tollens 3. Metode Silogisme.
E. Tugas kelompok 1. Buat 5 contoh masing-masing dari : a. Kalimat yang bernilai benar b. Kalimat yang bernilai salah c. Kalimat yang tak berarti 2. Buat 3 Contoh cara penarikan kesimpulan dengan : a. Dengan metode Modus Ponnens b. Dengan metode Modus Tollens c. Dengan metode Silogisme
F. Latihan soal 1. Dari kalimat-kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan pernyataan? a. Pegunungan Himalaya letaknya jauh. b. Kota Bandung adalah Ibu Kota Jawa Barat. c. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. d. Bahasa Indonesia adalah bahasa Negara Republik Indonesia. 2.
Buatlah ingkaran dan tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut ini ! a. Setiap pelajar diharuskan memakai seragam. b. Tidak dibenarkan pengendara sepeda motor tidak memakai helm. c. Bentuk umum bilangan kompleks adalah a + bi, dengan a, b anggota bilangan real dan i anggota bilangan imajiner. d. Matematika termasuk ilmu pasti.
3.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut ini ! a. Fisika dan matematika termasuk ilmu pasti. b. 24 dan 25 habis dibagi 3. c. Arus yang dikeluarkan oleh generator adalah arus searah atau arus bolak-balik. d. Jika ia seorang anggota AD maka ia seorang anggota ABRI. e. Himpunan penyelesaian persamaan linear dapat dicari dengan menggunakan substitusi atau eliminasi. f. Jika 2 < 6 maka 6 < 7. g. Tidak benar bahwa arus yang dikeluarkan dari generator adalah arus bolak-balik. h. PQRS adalah sebuah bujursangkar jika hanya jika diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. i. Segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki memiliki dua sudut yang sama besar.
4.
Lengkapi tabel kebenaran di bawah ini : p
q
B B S S
B S B S
~p
~q
pq
pq
pq
qp
pq
5.
Buatlah ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut ini ! a. Setiap bilangan asli merupakan bilangan cacah. b. Ada bilangan prima yang merupakan cacah. c. Setiap pengendara kendaraan bermotor harus memiliki SIM. d. Beberapa jenis mobil memiliki enam buah roda. e. Tidak semua pria berambut panjang. f. Semua siswa SMK Kelompok Teknologi dan Industri adalah laki-laki. g. Setiap segitiga sama kaki memiliki dua buah sudut yang sama besar.
6.
p : 2 adalah bilangan genap. q : 2 adalah bilangan prima. Dari kedua kalimat di atas, buatlah a. p q e. b. ~p q f. c. p ~q g. d. ~p ~q h.
qp
kalimat-kalimat majemuk berikut ini ! qp i. ~p ~q pq j. q p ~p q p ~q
7.
p : ABC adalah segitiga siku-siku. q : Salah satu sudut segitiga siku-siku adalah 900. Buatlah pernyataan yang artinya sama dan tentukan nilai kebenarannya dari pernyataan-pernyataan berikut ini : a. p q d. q p g. p ~q b. p q e. ~p ~q h. ~p ~q c. q p f. ~p q
8.
Buatlah pernyataan yang artinya sama, kemudian tentukanlah nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini ! a. Tidak semua kendaraan bermotor beroda empat. b. Setiap tahun kabisat bilangan tahunnya habis dibagi empat. c. Tidak ada bilangan bulat positif p sehingga p + 5 = 0. d. Hasil kali setiap dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. e. Ada bilangan bulat p sehingga memenuhi persamaan p + 10 = 5.
9.
Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan ekuivalensi dari pernyataanpernyataan berikut ini ! a. p q ~p q
b. c. d. e. f.
~p q p q ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q ~(p q) p ~q ~(p ~q) ~p q
10. Tulislah ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini ! a. Ibu pergi ke pasar atau kantor. b. Jika x dan y bilangan genap maka x – y adalah bilangan genap. c. Fikri sedang belajar dan mendengarkan musik. d. Jika x2 = 36 maka x = 6. 11. Buatlah pernyataan yang artinya sama dan tentukan nilai kebenarannya dari pernyataan-pernyataan berikut ini ! a. Jika seluruh siswa belajar dengan baik maka nilai ulangan setiap siswa akan baik. b. Ada bilangan yang habis dibagi 3 atau 5. c. Ada bilangan prima yang merupakan bilangan genap. 12. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari masing-masing pernyataan berikut ini ! a. Jika 2 < 10 maka -10 < -2. b. Jika x = 7 maka x2 = 49. c. Jika n bilangan asli maka 2n + 1 bilangan ganjil. d. Jika saya lulus ujian maka saya akan melanjutkan sekolah yang lebih tinggi. 13. Dengan menggunakan tabel kebenaran periksalah validitas pernyataan-pernyataan berikut : a. [(p q) (q r) (r s)] (~q p) b. [(p q) (~q ~r) (s r)] (p ~s) c. [(p q) (r p) (r s)] (q s)
DAFTAR PUSTAKA 1. Sudjana, Dr, MA, M.Sc. 1981. Statistika untuk Ekonomi dan Niaga Jilid I Edisi Baru. Bandung. "TARSITO". 2.
Nurbaya, Dra. Pratikno, Drs. Sukamto. U.R, Gawatri, Dra. Matematika Jilid 3 SMK. Jakarta. "YUDHIST
BAB IV GEOMETRI DIMENSI DUA A. PENDAHULUAN
Geometri dimensi dua sering kita jumpai penggunaannya dalam kehidupan seharihari.Sebagai contoh pemakaian sudut dalam bidang pertukangan, dalam memasang kaca jendela pada kayu. Disini pengukuran sudut kayu dengan sudut kaca haarus sangat teliti. Karena jika sudutnya tidak sama maka kaca tidak dapat dipasang pada kayunya, dan masih banyak lagi kegunaan yang lainnya.
B. Materi 1. SUDUT a.Titik Titik tidak mempunyai ukuran (besaran), artinya titik tidak berdemensi. Suatu titik hanya ditentukan oleh letak dan diberi tanda noktah, biasanya diberi lambang huruf kapital A, B, C, dsb. b.Garis Suatu garis ( garis Lurus ) hanya mempunyai ukuran panjang (besaran). Garis biasa disebut dengan garis k, garis l,dsb Suatu sudut adalah besar kemiringan dari 2 sinar garis yang dimulai dari satu titik pangkal sinar. Titik pangkal sinar disebut titik sudut. Besar kemiringan disebut
K
besar sudut. B
A
B C
L
BK, BL (sinar garis) = besar sudut
AB, AC adalah sinar garis. Titik sudut A. = besar sudut A. Kaki sudut adalah ruas garis / sinar garis. c. Satuan sudut dengan derajat Satuan sudut dengan derajat yang ditulis dengan simbol "...0 ". Untuk perhitungan besarnya sudut 1 derajat (10) adalah Maka 1 lingkaran penuh = 3600. 10 =
1 360
1 360
x keliling lingkaran.
keliling lingkaran
10 = 60 menit atau dengan simbol : 10 = 60'. 1' = 60 detik atau dengan simbol : 1' = 60".
Contoh : -
Sudut 45 derajat 30 menit 15 detik ditulis dengan simbol : 450 30' 15". 38,560 = 380 +
56 x 60' = 380 + 33,6' 100
= 380 + 33' + = 380.33'.36"
-
6 x 60" = 380 + 33' + 36" 60
82 x 60' = 500 + 49,2' 100 2 = 500 + 49' + x 60" = 500 + 49' + 12" 10
50,820 = 500 +
= 500.49'.12"
D. Satuan sudut dengan Radian Besar sudut disebut satu radian dan ditulis 1 rad, jika sudut pusat suatu lingkaran berjarijari (r) menghadapi busur lingkaran sepanjang jari-jari (r). Perhatikan gambar disamping. Panjang busur AB = panjang jari-jari OA (r)
B
Sehingga
busur AB OA
= 1 rad.
Dikatakan bahwa : AOB = 1 rad
O
A
Maka
1 keliling lingkaran = 1. rad 2
Jadi 1 keliling lingkaran = 2 rad Dapat dicari sudut 3600 = 2 rad sudut 1800 = rad sudut 900 sudut 450 sudut 10 10
1 rad 2 1 = rad 4 1 = rad 180 =
= 0,017rad
75 sudut 750 = rad 180 135 sudut 1350 = rad 180
2. Bidang. Setelah kita mempelajari titik , garis dan sudut ,kemudian kita akan mempelajari bidang.Sebuah bidang ( bidang datar ) biasa digambar sebagian saja (wakil bidang). Bidang biasa diberi nama dengan bidang , bidang , dsb.
a. Luas daerah bangun dimensi dua
Jenis – jenis segitiga : Segitiga lancip ketiga sudutnya masing-masing kurang dari 900. (lancip) Segitiga tumpul salah satu sudutnya lebih dari 900. ( A > 900) Segitiga siku-siku salah satu sudutnya = 900. C
-
t
1 alas x tinggi 2
L=
A
B a
1 at 2
= atau
1 AC X BC X sin C 2
L =
>
A
B
Trapesium
t D
C
> B \
-
Ada 2 garis yang sejajar Keliling = AB + BC + CD + DA
-
Luas =
Layang – layang
/
A
C
-
Diagonal berpotongan tegak lurus Cara penempatan pada bingkainya = 2 Keliling = AB + BC + CD + DA
-
Luas =
\\
//
1 (a + b) . t 2
1 (AC x BD) 2 1 = . (diagonal x diagonal) 2
D Belah ketupat
B
A
lditengah-tengah
D
C
-
Keempat sisinya sama Sudut yang berhadapan sama besar Diagonal berpotongan tegak lurus
-
Keliling = 4.a
-
Luas =
Lingkaran
juring lingk. R
A
B
P
E
1 (AC x BD) 2
tembereng
D
-
Keliling lingkaran = 2 r Luas lingkaran = r2 AB = garis tengah = 2r DE = tali busur
-
DE = busur lingkaran DE
3. TRANSFORMASI BANGUN DATAR a. TRANSLASI Translasi adalah pergeseran dari titik mula-mula ke titik yang baru. Dalam sistem koordinat (x, y) ke titik (x', y') sehingga x' = x + a; y' = y + b dalam bentuk matriks :
Contoh :
x' x a x a y' y b y b
1. Segitiga ABC dengan A(4,2), B(2,6), C(0,4) ditranslasi T = hasil bayangan A'B'C'. Titik A (4,2)
x' y' x 3 + y 2 4 3 = + = 2 2
3 diperoleh 2
Titik C (0,4)
x a + y b
=
7 4
=
(x',y') = (7,4)
0 3 + = 4 2
(x',y') = (3,6)
Titik B (2,6)
x' y'
2 3 5 + = 6 2 8
=
ABCdenganA(4,2),B(2,6),C(0,4) A'B'C' dengan A'(7,4), B'(5,8), C'(3,6) (x',y') = (5,8)
y B'(5,8)
8 7
B(2,6)
C'(3,6)
6 5
C(0,4)
A'(7,4)
4 3
A(4,2)
2 1 2. PQR dengan P(-3,1), Q(1,-4), R(2,5) ditranslasi T = 0
1
2
3
4
5
6
4 3 7
x' y'
x
=
3 6
Titik P(-3,1)
Titik R(2,5)
x' x 4 = + Titik Q(1,-4) y' y 3
x' = y'
x 4 + y 3
x' 3 4 1 = + = y ' 1 3 4
x ' 1 4 5 = + = y ' 4 3 1
x' x 4 = + y' y 3 x' 2 4 6 = + = y' 5 3 8
P'Q'R' dengan P'(1,4), Q'(5,-1), R'(6,8). y
R'(6,8)
R(2,5) P'(1,4)
P(-3,1) x Q'(5,-1)
Q(1,-4) Dari kedua contoh tersebut dapat pula dibuat :
x1 ' x2 ' x ' 3
y1 '
x 1 y2 ' x 2 y 3 ' x 3
y1 4
y2 4 y 3 4
x 4 y1 3 1 3 x 2 4 y2 3 3 x 3 4 y 3 3 3
Untuk 1 titik dapat ditranslasikan dengan matriks :
x' x a x a y' y b y b
untuk 2 titik atau lebih dapat ditranslasikan dengan matriks :
x1 ' x2 ' x3 ' x ' 4 ...
y1 '
x1 y2 ' x 2 y3 ' x 3 x ' x 4 4 ... ...
y1 a
y2 a y3 a y a 4 ... ...
x1 a b x2 a b x3 a b x4 a ... ... b
y1 b
y2 b y3 b
y4 b ...
b. REFLEKSI ATAU PENCERMINAN
Pencerminan terhadap sumbu x.
Mx, memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x',y') sehingga : x = x' y = -y'
Contoh :
y
P(5,3)
P(5,3) dicerminkan pada sumbu x maka hasilnya bayangan adalah P'(5,-3), dalam hal ini absisnya tetap ordinatnya berubah jadi lawannya. x
0
P'(5,-3)
Secara bentuk matriks dapat ditulis : 0 x 1.x 0y x x' 1 y' 0 1 y 0x 1y y
Contoh : ABC dengan A(1,4); B(6,1); C(8,8) dicerminkan pada sumbu x maka x = Tetap; y = -y y A(1,4) A'(1,-4) x' = 1 y' = 4 – 8 = -4 = -y y' = 4 – 2.4 = -4 = -y y' = y – 2y = -y B(6,1) B'(6,-1) x' = 6 y' = y – 2y = 1 – 2.1 = -1 C(8,8) C'(8,-8) x' = 8 y' = y – 2y = 8 – 2.8 = -8 A(1,4)
C(8,8)
B(6,1) x
0 B'(6,-1) Jika dicari dengan menggunakan matriks :
x' 1 ' x2 ' x3
y1'
x1 ' y2 x 2 y' x 3 3
y1
1 y 2 x 0 y 3
x1 x 2 1 x3 0
- y1
- y2
A'(1,-4)
- y 3
C'(8,-8)
Matriks
1 0
0
adalah matriks untuk pencerminan terhadap sumbu x.
1
Pencerminan terhadap sumbu y. Untuk sembarang titik (x,y) yang dicerminkan terhadap sumbu y maka bayangan titik (x',y'), simetris terhadap sumbu y.
Contoh :
y
1.
V
A'(x',y')
My : memetakan titik (x,y) ke titik x' = -x dan y' = y.
V
A(x,y) x
0
2.
Apabila ditulis dalam bentuk matriks adalah : x' - 1 0 x - 1.x 0.y - x y' 0 1 y 0.x 1.y y
Diketahui ABC dengan A(1,4); B(6,1); C(8,8) dicerminkan terhadap sumbu y. A(1,4) A'(-1,4) B(6,1) B'(-6,1) C(8,8) C'(-8,8) y
C'(-8,8)
A'(-1,4)
C(8,8)
A(1,4)
B'(-6,1)
B(6,1) x
0 Jika ditulis dengan menggunakan matriks adalah :
x' 1 ' x2 ' x3
My
-1 0
y1'
x1 ' y2 x 2 y' x 3 3
y1
-1 y2 x 0 y3
- x1 - x 2 1 - x3 0
y1
y2
y3
0
adalah matriks untuk pencerminan terhadap sumbu y.
1
Pencerminan terhadap garis y = x. My=x : menentukan setiap titik (x,y) ke titik (x',y') sehingga x' = y dan y' = x.
Contoh : Titik A(3,5) dicerminkan terhadap garis y = x diperoleh A'(5,3). Jika dihitung dengan matriks : y x' 0 1 3 0.3 1.5 5 5 y' 1 0 5 1.3 0.5 3
x' 0 y' 1
3
3
0
1 x
y 0 y x
x
5
Contoh : Diketahui ABC dengan A(1,5); B(-2,8); C(3,6). A(1,5) A'(5,1) B(-2,8) B'(8,-2) C(3,6) C'(6,3)
y
C(-2,8)
y=x
C(3,6)
Jika dicari dengan matriks :
x' 1 ' x2 ' x3
A(1,5) C'(6,3)
y1'
x1 y'2 x 2 y'3 x 3
y1
0 y 2 x 1 y 3
y1 y 2 0 y3
x1
1
x2
x3
A'(5,1) x
0
B'(8,-2)
Pencerminan terhadap garis y = -x. My=-x : adalah memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x',y') sehingga x' = -y dan y' = -x.
y
A(3,5)
Contoh :
A(3,5) dicerminkan terhadap y = -x menjadi A'(-5,-3). Jika dicari dalam bentuk matriks : x' 0 - 1 3 0.3 1.5 - 5 x' 5 5,3 y' - 1 0 5 - 1.3 0.5 - 3 y' 3
y = -x 0
A(-5,- 3) Dengan cara dan jalan yang sama bila titiknya 2 atau lebih dapat dipakai dengan matrik, sbb :
x' 1 ' x2 ' x3
y1'
x1 ' y2 x 2 y' x 3 3
y1
y2 y 3
- y1 0 - 1 - y 2 -1 0 - y3
- x1
- x2
- x 3
x
Contoh :
Diketahui segiempat ABCD dengan A(1,2), B(8,2), C(10,6), bayangan segiempat tersebut bila dicerminkan terhadap y = -x.
D(1,6). Carilah koordinat
Jawab :
x' 1 ' x2 ' x3 ' x4
y1'
x1 x2 2 y '3 x 3 x4 ' y4
y1
y2 y3 y 4
y'
A' (x1', y1') B' (x2', y2') C' (x3', y3') D' (x4', y4')
1 0 - 1 8 - 1 0 10 1
A' (-2, -1) B' (-2, -8) C' (-6, -10) D' (-6, -1)
2 6 6
- 2 0 - 1 - 2 -1 0 - 6 - 6
-1
- 8
- 10
- 1
y
y = -x
D (1,6)
A (1,2)
D'
2
A'
0
C (10,6)
B (8,2)
x
B'
C'
A (1, 2) B (8, 2) C (10, 6) D (1, 6)
y = -x
A' (-2, -1) B' (-2, -8) C' (-6, -10) D' (-6, -1)
c. Rotasi / Perputaran.
Dalam perputaran, titik pusat perputaran dan besar sudut putarnya. Untuk pembelajaran ini titik pusat perputaran selalu diambil titik O(0,0) yaitu titik pangkal koordinat sedang sudut putar diambil 90o, 180o, 360o. Sudut positif mengukurnya berlawanan dengan arah jarum sedangkan sudut negatif yang searah dengan jarum jam. Rotasi dengan sudut rotasi 90o, pusat rotasi O(0,0) R 90 o : memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x',y') sehingga x' = -y dan y' = +x
Contoh ; A (4,7) dirotasi 90o R 90 o A' (7,-4), dengan bentuk matriks :
x' 0 y' 1
- 1 4 0 - 7 - 7 0 7 4 0 4 atau
x'
0
y' 4
1
7
- 7
0
-1
Contoh :
4
Diketahui ABC dengan A(2,3), B(8,3), C(10,6). Dirotasi R 90 o . Carilah bayangannya. Jawab : A (2,3) B (8,3) C (10,6)
A' (-3,2) B' (-3,8) C' (-6,10)
Jika dengan cara matriks :
x' 1 ' x2 ' x3
y1'
2 ' y2 8 y' 10 3
3
3 6
- 3 - 3 0 - 6
0 -1
2
1
8
- 10
y
C' (-6,10) B' (-3,8)
C (10,6)
A (2,3)
B (8,3)
A' (-3,2)
O Rotasi dengan sudut rotasi -90o, pusat rotasi O(0,0) R -90 o : memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x',y') sehingga x' = y dan y' = -x
Contoh :
A (4,8) dirotasi -90o A' (8,-4), jika dengan matriks :
x' 0 y' - 1 atau
1 x
y 0 y x
x
x'
y' x
x'
y' 4
0
- 1
1 0 8 1
y 0
- x
- 1
- 4
y
Contoh :
8 0
Diketahui segiempat ABCD dengan A(2,5), B(7,3), C(6,8), D(1,9). Dirotasi R -90 o . Carilah bayangan Jawab : A (2,5) B (7,3) C (6,8) D (1,9)
segiempat tersebut.
A' (5,-2) B' (3,-7) C' (8,-6) D' (9,-1)
x' 1 ' x2 ' x3 ' x4 Dengan menggunakan matriks : x' 1 ' x2 ' x3 ' x4 y
y1'
x 1 y1 x y -1 2 2 2 0 0 y '3 x 3 y 3 1 x 4 y4 y '4 y1' 5 2 5 ' y2 7 3 0 - 1 3 6 8 1 ' 0 8 y3 1 9 9 ' y4 y'
D (1,9) C (6,8)
A (2,5)
B (7,3)
D' (9,-1) x
O A' (5,-2)
C' (8,-6) B' (3,-7)
- 2
- 7 - 6
- 1
Rotasi dengan sudut rotasi 180o, pusat rotasi O(0,0)
R 180 o : memetakan setiap titik (x,y) ke titik (x',y') sehingga x' = -x dan y' = -y Contoh :
A (6,4) dirotasikan 180o menjadi A' (-6,-4), jika dihitung dengan cara matriks :
x' - 1 0 x - x y' 0 - 1 y - y atau
x'
y' x
-1
y
Contoh :
0
0
- x
- 1
- y
Diketahui ABC dengan A(1,7), B(6,2), C(5,8). Dirotasi 180o. Carilah hasil bayangan tersebut.
Jawab :
x' 1 ' x2 ' x3
y1'
1 y'2 6 y'3 5
7
2 8
-1 0
-1 - 6 - 1 - 5 0
- 7
-2
- 8
A'B'C' dengan A' (-1,-7); B'(-6,-2); C'(-5,-8) y C (5,8) A (1,7)
B (6,2)
O B' (-6,-2)
x
A' (-1,-7) C' (-5,-8)
C. RANGKUMAN 1. Sudut terbentuk dari dua sinar garis dan berpotongan di suatu titik. Jadi sudut dibatasi oloh dua ruas garis dan satu titik pangkal. 2. Satuan sudut adalah dapat dinyatakan dengan derajat dan radian.
3. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar ( dimensi dua ). Suatu bidang dapat berbentuk segitiga, segiempat ( persegi, persegipanjang, belah ketupat, layang-layang, jajarangenjang ), segilima, segienam, dan seterusnya. 4. Transformasi adalah perubahan letak suatu bangun geometri bangun datar dengan menggunakan aturan tertentu. 5. Macam-macam transformasi adalah translasi ( pergeseran ), Refleksi ( pencerminan ), Dilatasi ( perkalian bangun ), Rotasi ( perputaran ).
Latihan 1.
Berapa banyak cara penempatan pada bingkainya untuk : a). b). c). d). e).
2.
Carilah luas bidang datar berikut : a) b) c) d) e)
3.
Segitiga sama sisi Segitiga siku-siku sama kaki Bujur sangkar Belah ketupat Trapesium sama kaki
segitiga sama sisi dengan sisi = 10 satuan segitiga siku-siku dengan kaki siku-siku 6 dan 8 bujur sangkar dengan sisi 15 satuan belah ketupat dengan sisi 25 satuan dan sudut A = 60o lingkaran dengan diagonal = 42 satuan
Ubahlah sudut – sudut berikut ke satuan radian. a) 80o
3 rad = ... o 1 g) rad = ... o 3 1 h) rad = ... o 4 1 i) 2 rad = ... o 4 2 j) 1 rad = ... o 3 f)
b) 105o c)
135o
d) 150o e) 200o 4.
Diketahui ABC dengan A(7,5), B(9,2), C(12,10). Carilah hasil bayangannya dan gambarlah dalam sistem koordinat jika dikerjakan dengan : 3 a) Translasi 4 b) c) d) e)
5.
Refleksi Refleksi Refleksi Refleksi
dengan sumbu x dengan sumbu y terhadap garis y = x terhadap garis y = -x
Diketahui segiempat ABCD dengan A(1,0), B(2,6), C(3,4), D(5,1). Carilah koordinat bayangan segiempat tersebut jika dikerjakan pada : a) Rotasi 90o dan gambar grafiknya
b) Rotasi -90o dan gambar grafiknya c) Rotasi 180o dan gambar grafiknya 6.
Diketahui segiempat ABCD dengan A(3,4), B(7,1), C(11,4), D(7,12). Carilah koordinat bayangan dan gambarlah dalam sistem koordinat yang dikerjakan pada operasi : a) dirotasikan 900 b) dirotasikan -900 c) simetika terhadap garis y = -x d) simetika terhadap garis y = x
Paket 3
BAB III HITUNG KEUANGAN
A. BUNGA TUNGGAL 1. PENGERTIAN BUNGA TUNGGAL Untuk memahami pengertian bunga, coba kita lihat contoh berikut :
Contoh : 1.1
Tofa meminjam modal pada sebuah Bank sebesar Rp 1.000.000,00. Setelah satu tahun tofa mengembalikan modal tersebut sebesar Rp 1.200.000,00. Pengembalian modal ini terdiri atas pokok pinjaman Rp 1.000.000,00 dan kelebihanya sebesar Rp 200.000,00. Dari contoh diatas dapat diambil pengertian bahwa kelebihan uang yang dikembalikan Tofa dari modal yang dipinjam sebesar Rp 200.000,00 disebut bunga / jasa atas pinjaman modal tersebut. Dari contoh diatas dapat diambil kesimpulan bahwa bunga adalah jasa yang berwujud uang sebagai imbalan dari modal atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka waktu yang telah ditentukan atas kesepakatan bersama.
Perbandingan bunga dengan modal yang dipinjam atau simpanan dan dinyatakan dalam bentuk persen , maka disebut suku bunga, biasa dilambangkan dengan p%. Periode bunga biasanya dinyatakan dalam jangka waktu tertentu; misalnya tiap satu bulan, tiap triwulan ,tiap catur wulan, tiap semester ,tiap tahun dsb. Dari contoh diatas prosentase bunga dari pinjaman tersebut adalah ;
200.000 x100% 20% 1.000.000 2. Persen diatas seratus dan persen di bawah seratus a. Persen di atas seratus Persen diatas seratus adalah pecahan yang selisih penyebut dan pembilangnya adalah seratus . Secara umum dapat ditulis sbb :
P 100 P Untuk menentukan P % diatas seratus dari modal M adalah :
P XM 100 P Apabila dirubah dalam bentuk deret geometri adalah
P = 100 P
P 100 100 P 100
=
P 100 P 1 ( 100 )
Bentuk terakhir merupakan jumlah deret geometri turun tak tehingga dengan : Suku pertama a =
P 100
Rasio
P 100
,
r=-
Sehingga :
P P P 2 P 3 P 4 P 5 = -( ) +( ) -( ) +( ) - . . .+ ... 100 P 100 100 100 100 100 Dengan demikian, untuk menghitung
P X M , dihitung dengan langkah 100 P
sebagai berikut : 1). Hitung
P xM; 100
2). Hasil 1). Dikurangi (
P 2 ) xM 100
3). Hasil 2). Ditambah (
P 3 ) xM 100
4). Hasil 3). Dikurangi (
P 4 ) xM 100
5) danseterusnya.
Contoh 1.2 Hitung 5 % diatas seratus dari Rp 100.000,00
Jawab : Cara !.
5 % dari seratus dari modal Rp 100.000,00 adalah = =
5 X 100.000 100 5 4.761,86
Jadi 5 % diatas seratus dari modal Rp 100.000,00 adalah Rp 5.268,,75. Cara 2. 5 % dari Rp 100.000,00 = Rp 5.000,00 5 % dari Rp 5.000,00 = Rp 250,00 5 % dari Rp 250,00 = Rp 12,50
5 % dari Rp 12,50 = Rp 6,25 Jadi 5% diatas seratus dari modal Rp 100.000,00 adalah Rp 5.268,,75. b. Persen dibawah seratus Persen dibawah seratus adalah pecahan yang jumlah penyebut dan pembilangnya adalah seratus. Secara umum dapat ditulis :
P 100 P Untuk menghitung P% dibawah seratus dari modal M dapat dihitung dengan dua cara yaitu :
Cara 1 Dengan menghitung biasa :
P XM 100 P Cara 2, dengan deret geometri turun tak terhinggga
P P P 2 P 3 P 4 P 5 = +( ) +( ) +( ) +( ) +... 100 P 100 100 100 100 100 Contoh 1.3
Hitunglah 5 % di bawah seratus dari modal Rp 100.000,00
Jawab: 5 % dari modal Rp 100.000,00
5 x Rp 100.000,00 100 5 5 = X Rp 100.000,00 95 =
= Rp 5.263,12 Jadi 5% dibawah Rp 100.000,00
= Rp 5.263,12
3. Perhitungan bunga tunggal Perhitungan bunga tunggal adalah perhitungan bunga dimana perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan modal yang tetap
besarnya.
Jika kita memperbungakan modal sebesar M dengan perhitungan bunga tunggal P% setiap tahun, dan bunga dinyatakan dengan B, maka : a. Setelah t tahun, besar bunganya adalah B=
P MXPXt XMXt= 100 100
b. Setelah t bulan, besar bunganya B=
P XMX 100
t 12
=
M .P.t 1200
c. Setelah t hari, besar bunganya adalah 1). Jika satu tahun 360 hari, maka : B=
P t XMX 100 360
B=
MxPxt 36.000
2). Jika satu tahun 365 hari, besar bunganya adalah
B=
P t XMX 100 365
B=
MxPxt 36.500
2). Jika satu tahun 366 hari ( tahun Kabiset ), besar bunga :
B=
P t XMX 100 366
B=
MxPxt 36.600
Contoh : 1.4
Nisa menyimpan uang di bank sebesar Rp 1.000.000,00. Bank memberi bungan tunggal 10 % setahun. Hitung besar bunga jika disimpan selama ; a. 4 tahun b. 6 bulan c. 36 hari dan satu tahun dianggap 360 hari Jawab ; Diketahui M = Rp 1.000.000,00 P = 10 % setahun a. Bunga setelah 4 tahun :
MxPxT 100 1.000.000 x10 x 4 B = 100 B=
B = 400.000 Jadi bunga setelah 4 tahun adalah Rp 400.000,00 b. Besar bunga setelah 6 bulan
B=
B=
MxPxt 100x12 1.000.000 x10 x6 100 x12
B = 500.000 Jadi bunga setelah 6 bulan adalah Rp 500.000,00 c.
Besar bunga setelah 100 hari ( satu tahun dianggap 360 hari 0) B=
MxPxt 100x360
B=
1.000.000x10 x36 100x360
B = 10.000 Jadi besar bunga setelah 36 hari adalah Rp 10.000,00. 4. Metode perhitungan bunga tunggal a. Metode pembagi tetap Dari rumus bunga yang telah kita bahas didepan , dengan modal yang dibungalan sebesar M, dengan suku bunga P % setahun dan dibungakan selama t tahun SBB : B=
P XMXt 100
B =
P Mxt x 360 100
B =
Bentuk
360 Mxt : p 100 Mxt 100
disebut angka bunga dan
360 p
disebut pembagi tetap,
sehingga rumus bunga tunggal diatas menjadi :
B =
Angkabunga Pembagitetap
Jika ada beberapa modal yang dibungakan atas dasar suku bunga yang sama ,maka : Jumlah bunga =
jumlahAngkabunga pembagitetap
Contoh :1.5 Hitunglah jumlah bunga dari modal-moodal , Rp 1.000.000,00 , Rp 800.000,00 , Rp 500.000,00 yang dibungakan atas dasar bunga tunggal 10 % setahun dan dibungakan berturut-turut 80 hari, 100 hari dan 40 hari ( 1 tahun = 360 hari ).
Jawab : M
t
1.000.000 800.000 500.000 Jumlah angka bunga Pembagi tetap =
Jumlah bunga =
=
360 P
80 100 40
Mxt 100 800.000 800.000 200.000 1.600.000
360 36 10
Jumlahangkatahun Pembagitetap 1.800.000 36
= 50.000 Jadi jumlah bunga dari modal-modal diatas adalah Rp 50.000,00. b. Metode persen yang sebanding Metode persen yang sebanding digunakan apabila suku bunga merupakan bilangan pembagi habis 360, dan satu tahun dihitung 360 hari, misalnya kita ambil suku bunga 6,5 %, maka langkah menghitungbunga adalah sbb : 1. Hitung bunga berdasarkan persentase yang mendekatai pembagi habis 360 yaitu 6% 2. Hitung besar bunga yang dicari sesuai metode persen yang sebanding.
Contoh: 1.6 Uang sebesar Rp 1.000.000,00 dibungakan selama 72 hari dengan suku bunga 6,5 % setahun. Hitung besar bunganya !
Jawab. Angka bunga
=
Mxt 100
1.000.000x72 720.000 100 360 = 60 6 720.000 = 12.000 60
= Pembagi tetap Besar bunga 6%
1 x12.000 1.000 12
Besar bunga 0,5 %
=
Besar bunga 6,5%
= Rp 12.000,00 + Rp 1.000,00 =Rp 13.000,00
Jadi jumlah bunga adalah Rp 13.000,00. B. Metode persen yang seukuran Metode persen yang seukuran menggunakan satu tahun dihitung 365 hari, sehingga mula-mula bunga dihitung bunga 5 % Sbb : B=
5 t xMx 100 365
=
Mxt 5 x 100 365
=
Mxt 100 x 10.000 73
Bilangan
100 1 1 1 1 73 3 30 300
Jadi besar bunga 5% sebanding dengan
Mxt 100 1 1 1 ) x( 1 10.000 73 3 30 300
Bunga yang dimaksud dari soal dihitung dengan metode persen yang sebanding.
Contoh : 1.6.
Modal sebesar Rp 1.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal setahunselama 40 hari. Hitung berapa besar bunganya.
Jawab
M = 1.000.000 P=5% T = 40 hari B=
Mxt 1 1 1 ) x( 1+ 10.000 3 30 300
5 %
Angka bunga =
Mxt 1.000.000x40 4.000 10.000 10.000
Bunga 5 % = 4.000 x ( 1 + 4.000 x 1
= 4.000
4.000 x
1 3
= 1.333,33
4.000 x
1 30
=
133,33
=
13,33
4.000 x
1 300
Jumlah
1 1 1 ) 3 30 300
= 5.479,99
+
Jadi bunga 5 % adalah = Rp 5.479,99. 5. Tugas Kelompok Dengan terlebih dulu membentuk kelompok kerjakan soal – soal dibawah ini ; 1. Hitung 5% di atas seratus dari modal : a. Rp 105.000,00 b. Rp 210.000,00 c. Rp 550.000,00 d. Rp 3.300.000,00 2. Hitung 5% di bawah seratus dari modal : a. Rp 95.000,00 b. Rp 190.000,00 c. Rp 450.000,00 d. Rp 2.850.000,00 3. Hitung jumlah bunga dari modal- modal berikut, jika dibungakan dengan bunga tunggal 6% setahun : a. Modal Rp 1.000.000,00 dibungakan selama 100 hari b. Modal Rp 800.000,00 dibungakan selama 80hari c. Modal Rp 200.000,00 dibungakan selama 30 hari d. Modal Rp 100.000,00 dibungakan selama 15 hari
6. Soal latihan 1
1. Nisa menabung uang di Bank sebesar Rp 200.000,00 dengan bunga tunggal 5%setahun. Berapa bunga yang diterima Nisa jika uang tersebut ditabung selama 1tahun 6 bulan. 2. Tofa menyimpan uang di Bank sebesar Rp 1.000.000,00 dengan bungga tunggal 8% setiap catur wulan . Hitung besar bunga yang diterima Tofa apabila simpanan tersebut diambil setelah 2 tahun 3 bulan 3. Reza meminjam uang sebesar Rp 600.000,00 dan akan dikembalikan setelah 18 bulan dengan suku bunga pinjaman 2% setiap bulan . Berapa uang yang harus dikembalikan. 4. Rafi meminjam uang sebesar Rp 7.500.000,00 , setelah 10 bulan Rafi mengembalikan pinjaman tersebut sebesar Rp 9.000.000,00. Hitung suku bunga pinjaman tersebut apabila diperhitungkan dengan suku bunga pinjaman bunga tunggal.
5. Asizah meminjam uang di Bank dengan suku bunga tunggal 8% pertahun. Setelah 5 tahun Asizah mengembalikan pinjaman tersebut Rp 9.000.000,00. Berapa uang yang dipinjam asizah semula.
C. PERBEDAAN BUNGA DAN DISKONTO Untuk memperjelas membedakan bunga dengan diskonto , kita lihat Ilustrasi di bawah ini : Kesa meminjam modal sebesar Rp 1.000.000,00 di koperasi “ Usaha Bersama”, dengan perhitung bunga tunggal 10% pertahun , dan akan dikembalikan setahun kemudian. Pada saat meminjan Kesa hanya menerima sebesar Rp 900.000,00 jadi sudah dikurangi bunga sebesar 10% yang jumlahnya Rp 100.000,00. Dari ilustrasi diatas dapat diambil sebuah pengertian bahwa bunga yang dibayarkan pada awal saat menerima pinjaman disebut Diskonto
Jika nilai diskonto = D , jumlah uang yang diterima saat meminjam disebut Nilai Tunai = NT , dan modal yang harus dikembalika disebut nilai Akhir = NA, maka terdapat hubungan sbb: D = NA – Nt a. Diskonto ditinjau dari Nilai Akhir adalah D=
P t xNAx 100 h
,
D = Diskonto P = Suku bunga diskonto NA = Nilai akhir t = Waktu pinjaman h = 1, 12 ,dan 360
b. Diskonto ditinjau dari nilai Tunai adalah D=
P XNT 100 P
Jadi diskonto di tinjau dari nilai tunai dapat menggunakan rumus P% di bawah seratus.
Contoh: 1.7. Pak Udin meminjam modal dengan suku bunga diskonto 10% setahun. Jika pada saat meminjan hanya menerima Rp 1.800.000,00 , berapa pinjaman yang harus dikembalikan setelah 1 tahun ?
Jawab : NT = 1.800.000 ; P = 10 , dan t = 1
D=
=
P XNT 100 P 10 X 1.800.000 200.000 90
NA
= NT + D = !.800.000 + 200.000 = 2.000.000.
Jadi, uang yang harus dikembalika setelah 1 tahun adalah Rp 2.000.000,00.
Contoh : 1. 8. Pinjaman sebesar Rp 1.200.000,00 akan dikembalikan 5 bulan kemudian dengan suku bunga diskonto 10 % setahun. Hitung nilai tunai pinjaman tersebut.
Jawab. NA = 1.200.000 ; P = 10 ; t = 5
D =
10 5 X 1.200.000 X 50.000 100 12
Nt = NA – D = 1.200.000 – 50.000 = 1.150.000 Jadi, nilai tunai pinjaman tersebut adalah Rp 1.150.000,00.
Latihan 1.2. 1. Rafi meminjam uang sebesar Rp 2.500.000,00 dan akan dikembalika 5 tahun kemudian , dengan suku bunga diskonto 10% pertahun. Berapa uang yang harus dikembalikan Rafi ? 2. Pengembalian suatu pinjaman setelah 12 bulan sebesar Rp 1.200.000,00 dengan suku bunga disknto 5% pertahun. Berapa nilai tunai pinjaman tersebut ? 3. Hitung persentase suku bunga diskonto pinjaman sebesar Rp 3.000.000,00 , yang setelah satu tahun dikembalikan Rp 3.300,000,00. 4. Anisa meminjam modal dalam waktu 2 tahun dengan diskonto 7,5% setahun. Berapa besar pinjaman tersebut agar dia menerima uang Rp 1.700.000,00 5. Rita menerima pinjaman sebesar Rp 2.500.000,00 dan setelah 5 tahun Rita mengembalikan pinjaman tersebut sebesar Rp 3.000.000,00. Berapa suku bungs diskonto dari pinjaman tersebut ?.
B.BUNGA MAJEMUK 1. Pendahuluan
Jika kita menyimpan modal sebesar M , dengan suku bunga P% setahun . Maka setelah satu tahun bunga tidak diambil dan menambah modal kemudian ikut berbunga pada tahunberikutnya, dan seterusnya untuk periode- periode berikutnya. Sehingga modal dari tahun ketahun sejumlah bunga dari tahun sebelumnya, maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.
2 . PERBEDAAN BUNGA TUNGGAL DAN BUNGA MAJEMUK Untuk memahami perbedaan bunga tunggal dan bunga majemuk , kita pahami 2 conto berikkut ini
Contoh : 1 Ani menabung uang di Bank sebesar Rp 1.000.000,00 , dengan suku 5% setahun.Hitung uang Ani setelah 4 tahun !
bunga tunggal
Jawab M = 1.000.000 ; P = 5 ; t = 4 B
=
P XMXt 100
B
=
5 X 1.000.000 X 4 100
B
= 200.000
Jadi jumlah uang Ani setelah 4 tahun adalah = Rp 1.000.000,00+Rp 200.000,00 = Rp 1.200.000,00.
Contoh : 2 Ani menabung uang di bank sebesar Rp 1.000.000,00 , dengan bunga majemuk 5 % setahun. Hitung tabungan Ani setelah 4 tahun !
Jawab
M = 1.000.000 ; i = 0,05 ; n = 4 - Modal tahun I Bunga tahun I ,0,05 X Rp 1.000.000,00 Modal akhir tahun I - Modal tahun II Bunga tahun II = 0,05 X Rp 1.050.000,00 Modal akhir tahun II
Rp 1.000.000,00 Rp 50.000,00 + Rp 1.050.000,00 Rp 1.050.000,00 Rp 52.500,00 + Rp 1.102.500,00
- Modal tahun III Rp 1.102.500,00 Bunga tahun III = 0,05 X Rp Rp 1.102.500,00 Rp 55.125,00 + Modal akhir tahun I Rp 1.157.625,00 - Modal tahun IV Bunga tahun IV= 0,05 X Rp 1.157.625,00 Modal akhir tahun IV
Rp 1.157.625,00 Rp 58.881,25 + Rp 1.216.506,25
Jadi Tabungan Ani setelah 4 tahun Rp 1.216.506,26 Dari contoh 1 dan contoh 2 diatas dapat diambil kesimpulan, bahwa dengan modal yang sama, waktu pembungaan juga sama tetapi dengan suku bunga yang berbeda menghasilkan modal akhir yang berbeda. Sistem bunga majemuk menghasilkan nominal bunga yang lebih besar dari pada bunga tunggal.
a). Perhitungan nilai akhir modal 1).Dengan menggunakan rumus Mn = Modal Akhir Mo = Modal Awal
Mn = Mo (1+i ) n
P I= 100 N = Jangka waktu
Contoh : 3 Risa menyimpan uang di bank sebesar Rp 1.000.000,00 dengan bunga majemuk 3% sebulan. Berapa uang Risa setelah 10 bulan ? Jawab M = 1.000.000 ; i = 0,03 ; n =10 Mn = Mo ( 1+ i )
n
M10 = 1.000.000 ( 1 + 0,03 )
10
M10 = 1.000.000( 1,03 )10 , Nilai (1,03)10 dilihat pada daftar bunga I = 1.000.000 X 1,34391638 = 1.343.916,38 Jadi nilai akhir simpanan Risa adalah Rp 1.343.916,38
2). Dengan masa bunga pecahan M n+a/b = Mo (1+i ) n ( 1+a/b i) Dengan a/b masa bunga pecahan
Contoh : 4 Adnan menyimpan uang sebesar Rp 1.000.000,00 pada sebuah bank dengan bunga majemuk 3% tiap tahun. Hitung simpanan setelah 2 tahun 4 bulan !
Jawab. M
= 1.000.000 ; i = 0,03 ; n = 2
Mn
= Mo (1+i)n ( 1+
1 tahun 3
1 .i ) 3
Mn = 1.000.000 ( 1,03 )2 ( 1+
1 . 0,03 ) 3
Mn = 1.000.000 ( 1,0909 ) ( 1,01 ) Mn = 1.101.809,00 Jadi simpanan Adnan setelah 2 tahun 4 bulan adalah Rp 1.101.809,00
b). Perhitungan Nilai Tunai Modal. a. Dengan menggunakan rumus
Mo =
, atau Mo = Mn ( 1+I ) -n
Contoh : 5 Agus menyimpan uang di Bank dengan bunga majemuk 4 % setahun, setelah 12 tahun uang Agus menjadi Rp 6.500.000,00. Berapa uang Agus pada waktu permulaan menyimpan di Bank /
Jawab Mn = 6.500.000 ; i = 0,04 ; n = 12 Mo= Mn ( 1+i ) –n Mo= 6.500.000( 1,04 )-12,( 1,04 )-12 dapat dilihat dalam daftar bunga II
= 6.500.000 X 0,62459705 = 4.059.880,82 Jadi uang Agus pada menyimpan di Bank Rp 4.059.880,82 b.Dengan masa bunga pecahan
NT =
Contoh : 6 Anisa menyimpan uang di Bank selama 5 bulan 5 hari, dengan suku bunga majemuk 2 % sebulan. Ketika diambil ia menerima uang Rp 6.000.000,00. Berapa uang yang disimpan Anisa /
Jawab. NT =
M (1 i ) n(1 a / b) =
6.000 .000 5.416327 ,85 1,1048080 X 1.0033333
Jadi, uang yang disimpan Anisa sebesar Rp 5.416.327,85
RENTE A. PENDAHULUAN Rente adalah deretan / rentetan modal yang dibayarkan atau diterima dalam setiap periode tertentu yang tetap besarnya. Misalnya periode bulanan, triwulan, catur wulan, semester, tahunan dan sebagainya. Jenis-jenis pembayaran yang dapat dikelompokkan sebagai rente antara lain : 1. Pembayaran barang secara kredit 2. Pembayaran angsuran perumahan . 3. Pembayaran asuransi dsb Macam-macam rente : 1. Menurut saat pembayaran angsuran : a. Rente Pranumerando b. Rente Postnumerando 2. Berdasarkan banyaknya : a. Rente terbatas b. Rente Kekal / Rente Abadi 3. Berdasarkan cara pembayaran : a. Rente Langsung b. Rente yang Ditangguhkan.
B. RENTE PRA NUMERANDO
1. NILAI AKHIR RENTE PRANUMERANDO.
Rente Pra Numerando yaitu rente dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap awal periode Andaikan suatu rente pra numerando dengan angsuran sebesar M setiap tahun, selama n tahun dengan suku bunga majemuk i= p% per tahun, maka jumlah nilai akhir dari semua angsuran itu dapat dicari sebagai berikut : Setiap angsuran dibayarkan pada awal tahun yaitu 1 Januari. Nilai akhir dari semua angsuran dihitung pada akhir tahun ke n yaitu 31 Desember tahun ke n sehingga dapat dibuat bagan kalkulasi sebagai berikut : 1 2 3 ...... .n-2 n-1 n 1/1
1/1
1/1 ...... 1/1
1/11
M
M
M
M
..... .M
1 /12 31/12 M M ( 1+i ) M ( 1+i )
1 2
M (1+i )n-2 M ( 1+n )n-1 M ( 1+i )n + n
A(1 i)
k
k 1
Jadi semua nilai akhir modal n
Na M(1 i) k atau k 1
n
Na A (1 i) k k 1
n
Nilai dari
M (1 i)
k
dicari pada tabel III
k 1
Jika Na dihitung dengan deret geometri maka
Na
A (1 i) (1 i) n 1 i
Contoh : 1 Tuan Hadi setiap awal tahun menyimpan uangnya sebesar Rp 20.000,00. Simpanan pertama dilakukan pada tanggal 1 Januari 2001 dan seterusnya setiap tanggal 1 januari menyimpan uang yang sama besarnya. Simpanan itu diperhitungkan dengan suku bunga majemuk 5%/th a. Hitunglah jumlah simpanan Tuan Hadi sampai dengan tanggal 31 Desember 2006 b. Seperti no. a gunakan rumus deret geometri
Jawab :
Diketahui
M = Rp 20.000 i = 5% / th n=6
a. Dengan tabel III n
Na A (1 i) k k 1
6
20.000 (1 0,05)k
(lihat
tabel)
k 1
20.000 . 7,14200845 142.840,17 Jadi nilai akhirnya Rp 142.480,17 b) Dengan deret
M (1 i) (1 i) n 1 i 20.000 (1 0,05){(1 0,05)6 1} 0,05 420.000 x 0,34009564 142.840,17
Na
Jadi nilai akhirnya Rp 142.840,17
2. NILAI TUNAI RENTE POSTNUMERANDO Sedangkan untuk menghitung nilai tunai rente pra numerando dihitung pada awal periode pertama. Suatu rente pra numerando dengan angsuran sebesar A per tahun selama n tahun dengan suku bunga i= P% pertahun, maka bagan kalkulasi dapat digambarkan sebagai berikut : Tahun ke
1 1/1 A
A (1 i) A (1 i) 2
2 1/1 A
.........
A (1 i) n- 2 A (1 i) n-1
+
3 1/1 A
........ ........ ........
n-1 1/1 A
n 1/1 A
Nt A
A A A 2 (1 i) (1 i) (1 i) n1
1 1 1 A 1 2 n 1 (1 i) (1 i) (1 i) 1 2 A 1 (1 i) (1 i) .......... (1 i) n1
n1 Nt A 1 (1 i) k k 1 n 1
Nilai
(1 i)
k
dicari pada tabel IV jika nilai tunai dihitung dengan deret geometri
k 1
diperoleh rumus:
Nt
A 1 (1 i) 1 n i (1 i)
Contoh : 2
Tuan Ali meminjam uang di Bank dengan suku bunga majemuk 4% tiap semester, untuk melunasi pinjaman itu. Tuan Ali harus membayar Rp 100.000,00 tiap semester selama 5 th. Pembayaran dilakukan setiap awal semester. Berapakah besar uang yang dipinjam tuan Ali tersebut di Bank ?
Jawab. A= Rp 100.000 i = 4% / smt
n= 10 smt Nt = ?
n1 Nt A 1 (1 i) k k 1 9 100.0001 (1 0,04)k k 1 100.0001 7,43533161 100.000(8,43533161) 843.533,16 Jadi uang yang dipinjam tuan Ali sebesar Rp 843.533,16
LATIHAN 1 1. Hitunglah nilai akhir dari rente pranumerando dengan angsuran Rp 10.000,00 tiap tahun selama 5 tahun dengan suku bunga majemuk 4% per tahun ! 2. Sebuah rente dengan angsuran Rp 25.000,00 setiap bulan selama 3 tahun dengan suku bunga majemuk 2% per bulan. Hitunglah nilai akhir rente itu jika pembayaran dilakukan setiap awal bulan! 3. Setiap awal bulan Danu menyimpan uangnya di bank dengan jumlah yang sama besar Rp 20.000,00. Kegiatan menyimpan tersebut berlangsung selama 2 bulan lebih 4 bulan. Hitunglah jumlah simpanan Danu pada akhir jangka waktu tersebut jika ditetapkan suku bunga majemuk 1,5% tiap bulan ! 4. Seorang karyawan menabung secara teratur di sebuah bank. Kegiatan itu dimulai pada tanggal 1 Mei 1990, dan seterusnya setiap tanggal 1 bulan-bulan berikutnya menabung dengan jumlah yang sama besar. Pada tanggal 30 Juni 1995, dari jumlah tabungan
5. 6. 7.
8.
9.
diambil 80% sehingga sisa tabungan terakhir di bank sebesar Rp 1.108.178,00 dan suku bunga ditetapkan 1,2% tiap bulan. a. Dapat digolongkan ke dalam rente apakah sistem penabungan tersebut ? b. Berapakah jumlah tabungan karyawan itu pada tanggal 30 Juni 1995 sebelum diambil 80% ? c. Berapakah besar uang yang ditabung karyawan itu setiap bulan? Hitunglah nilai tunai dari rente pranumerando dengan angsuran sebesar Rp 40.000,00 tiap kuartal selama 5 tahun dengan suku bunga majemuk 5% per kuartal ! Sebuah rente pranumerando dengan angsuran Rp 10.000,00 tiap bulan selama 2 ½ tahun. Suku bunga 2% per bulan. Berapakah nilai tunai dari rente tersebut? Pada tanggal 1 Januari 1992, Darman meminjam uang di bank. Pinjaman tersebut akan dikembalikan dengan cara angsuran yang sama besar masing-masing Rp 48.600,00 tiap bulan. Pembayaran angsuran dimulai pada tanggal 1 Januari 1992 dan seterusnya setiap tanggal 1 dan berakhir tanggal 1 Desember 1993. Tentukanlan besar pinjaman Darman pada tanggal 1 Januari 1992 yang lalu! Seseorang mendapat pembagian rumah dari Perumnas. Sebagai uang muka, ia harus membayar kontan pada tanggal 1 Januari 1979 sebesar Rp 400.000,00. Selanjuntnya tiap-tiap bulan dimulai bulan Januari 1979, ia harus membayar angsuran Rp 30.000,00 selama 20 tahun kepada BTN. Apabila BTN memperhitungkan bunga 9% setahun terhadap sisa pinjaman yang belum dibayar, berapakah harga rumah itu pada tanggal 1 Januari 1979? Dengan menggunakan tabel bunga atau kalkulator carilah nilai dari : 10
(1,02)
a.
36
k
c.
k 1
k
e.
d19 5%
f.
a19 5%
k 1
10
36
1 k k 1 (1,02)
b.
(1,03)
d.
1
(1,035) k 1
k
10. Tentukanlah bahwa : n
(1 i)
a.
k
k 1
n
b.
(1 i) k k 1
(1 i) (1 i) n 1 i
1 1 - (1 i) -n (1 i) k i
C. RENTE POST NUMERANDO 1. NILAI AKHIR RENTE POSTNUMERANDO Rente Post Numerando yaitu suatu rente yang pembayarannya dilakukan setiap akhir periode dalam jangka waktu tertentu. Suatu rente post numerando dengan pembayaran setiap periode sebesar A per tahun, jangka waktu n tahun dengan tingkat suku bunga sebesar i=P%/th maka jumlah nilai akhir semua angsuran = n 1
Na A A(1 i) k atau k 1
n1 Na A 1 (1 i) k i1 Jika dihitung dengan deret geometri rumus menjadi
Na
A (1 i) n 1 i
Contoh : 3 Sebuah rente post nunerando dengan angsuran Rp 100.000,00 tiap tahun dengan suku bunga majemuk 4%/tahun dalam jangka waktu 6 tahun. Hitung nilai akhir rente itu.
Jawab : Diketahui : A = 100.000 i = 4% / th n =6 Na = ? n 1
Na A A (1 i) k k 1
5
100.000 100000 (1 0,04)k k 1
100.000 100.000(5,63297546) 100.000 563297,55 663297,55 3. NILAI TUNAI RENTE POST NUMERANDO Nilai tunai rente postnumerando diperhitungkan pada awal periode pertama. Andaikan rente post numerando dengan angsuran sebesar M setiap tahun selama n tahun dengan suku bunga majemuk i=P% per tahun maka bagan kalkulasi nilai tunai dari semua angsuran dapat ditunjukkan sebagai berikut. n
1 Mxan i k k 1 (1 i )
Nt Mx M Nt i
1 n M n 1 1 i 1 1 i i
Contoh : 4
Tuan Hadi meminjam uang kepada Tuan Hamid dengan perjanjian akan dikembalikan dengan angsuran setiap akhir semester. Biasanya angsuran masing-masing adalah Rp 518.000,00 sebanyak 10 kali angsuran. Jika pinjaman itu diperhitungkan dengan suku bunga 5% per semester, maka berapakah besar uang yang dipinjam Tuan Hadi itu ?
Jawab : Pembayaran angsuran pinjaman itu sesuai dengan rente postnumerando (mengapa?) M = 518.000 i = 5% = 0,05 n = 10 Besar pinjaman Tuan Hadi sesuai dengan jumlah semua nilai tunai angsuran itu, maka Nt = M x an i = 518.000 x a10 5%
Nt = 518.000 x 7,72173493 Nt = 3.999.858,69 atau bila dihitung dengan rumus deret
M 1 (1 i) n i 518.000 Nt (1 0,613913125) 0,05 Nt 10.360.000x0,38608675 Nt 3.999.858,73 Nt
Jadi: besar uang yang dipinjam Tuan Hadi adalah sebesar Rp 3.999.858,65 atau Rp 3.999.858,73 atau jika dibulatkan menjadi Rp 4.000.000,00
LATIHAN 2 1. Sebuah rente dengan angsuran Rp 25.000,00 yang dibayarkan setiap akhir bulan selama 3 tahun. Harga nilai akhir dari rente itu jika dasar bunga 2 ½ % tiap bulan! 2. Sebuah rente dengan angsuran Rp 10.000,00 tiap bulan selama 2 ½ tahun. Suku bunga majemuk 2% tiap bulan. Jika pembayaran angsuran dilakukan setiap akhir bulan, hitunglah nilai tunai dari rente tersebut ! 3. Pada awal tahun 1980 Tuan Hardi memperoleh pinjaman dari sebuah bank. Pinjaman itu akan dilunasi dengan cara angsuran yang sama besar yang dibayarkan setiap akhir tahun selama 15 tahun. Angsuran pertama dibayarkan pada akhir tahun 1980 dan seterusnya. Bank itu menetapkan suku bunga pinjaman 15% per tahun 1980 dan seterusnya. Bank itu menetapkan suku bunga pinjaman 15% per tahun. Pada waktu menerima uang pinjaman itu Tuan Hardi dikenakan biaya administrasi sebesar 1 1/2 % yaitu Rp 30.000,00 a. Berapakah besar uang yang dipinjam tuan Hardi pada awal tahun 1980 tersebut ? b. Berapakah besar angsuran yang dibayarkan setiap akhir tahun ? 4. Tuan Hasta mengambil sebuah rumah dari KPR-BTN dengan angsuran sebesar Rp 1.405.750,00 per tahun selama 20 tahun. Pembayaran angsuran dilakukan setiap akhir tahun. Bila bank BTN menetapkan suku bunga 12% per tahun, berapakah harga kontan sebuah rumah BTN tersebut ? 5. Nilai kontan dari sebuah rente postnumerando dengan angsuran Rp 6.800,00 per kuartal selama 3 tahun adalah Rp 26.700,00. Berapakah besar suku bunga yang dikenakan pada angsuran tersebut?
C. RENTE KEKAL Dimuka telah diterangkan bahwa rente kekal atau rente abadi adalah rente dengan banyaknya angsuran tak hingga ( n = ~ ) sehingga hanya nilai tunai saja yang dihitung, sedangkan nilai akhirnya tidak dapat dihitung jumlahnya.
1. Rente Kekal Pranumerando
Bagan kalkulasi nilai tunai dari rente kekal pranumerando dengan angsuran sebesar M dengan suku bunga i= p% tiap periode dapat ditunjukkan seperti berikut :
Nt
M M (1 i) M i i
Contoh : 5 Hitunglah nilai tunai dari rente pranumerando kekal dengan angsuran sebesar Rp 10.000,00 setiap bulan dengan suku bunga majemuk 2% per bulan !
Jawab : M i
= 10.000 = 2 % = 0,02
Nt
M 10.000 M 10.000 i 0,02 510.000
Jadi, nilai tunai rente kekal pranumerando adalah Rp 510.000,00
2. Rente Kekal Post Numerando Bagan kalkulasi nilai tunai dari rente kekal pranumerando dengan angsuran sebesar M tiap tahun dengan suku bunga i= P% per tahun (periode) dapat ditunjukkan sebagai berikut :
N1
M i
Contoh : 6 Sebuah perusahaan mempunyai kewajiban membayar kepada pemerintah setiap tahun sebesar Rp 50.000,00 untuk selama-lamanya. Pembayaran dimulai pada tanggal 31 Desember 1998. Apabila perusahaan itu ingin menyelesaikan kewajiban itu sekaligus pada tanggal 1 Januari 1998, berapakah perusahaan itu harus membayar kepada pemerintah jika diperhitungkan suku bunga majemuk 8% setahun?
Jawab :
Cara pembayaran itu dapat digolongkan sebagai rente kekal postnumerando dengan M= 50.000 dan i = 8%. Jumlah yang harus dibayarkan sesuai dengan nilai tunai dari rente kekal postnumerando adalah
N1
M 50.000 625.000 i 0,08
Jadi yang harus dibayar oleh perusahaan adalah Rp 625.000,00
LATIHAN 3 1. Hitunglah nilai tunai dari rente kekal pranumerando dengan angsuran sebesar Rp 10.000,00 per tahun dengan suku bunga 5% setahun ! 2. Nilai tunai dari sebuah rente kekal pranumerando adalah Rp 300.000,00. Jika besar suku bunga 20% tiap periode, tentukan besar angsuran per periode ! 3. Rente kekal postnumerando dengan angsuran sebesar Rp 25.000,00 dari suku bunga 4% tiap periode. Hitunglah besarnya nilai tunai dari rente tersebut ! 4. Sebuah rente postnumerando kekal dengan angsuran Rp 5.000,00 tiap kuartal. Jika nilai tunai dari rente itu Rp 250.000,00 tentukanlah besarnya suku bunga itu ! 5. Suatu yayasan mempunyai kewajiban abadi untuk membayar kepada pemerintah sebesar Rp50.000,00 setiap tanggal 31 Desember. Pembayaran dimulai tangal 31 Desember 1998 dan seterusnya. Yayasan itu ingin menyelesaikan kewajiban tersebut dengan membayar sekaligus pada tanggal 1 Januari 1998. berapakah besar uang yang harus dibayarkan oleh yayasan itu kepada pemerintah pada tanggal 1 Januari 1998, apabila dihitung berdasarkan suku bunga 6% setahun ? 6. Seorang meminjam uang di sebuah bank. Pinjaman itu akan dilunasi dengan angsuran yang sama besar setiap akhir bulan Rp 55.600,00 sebanyak 24 kali angsuran bulanan. Angsuran pertama dibayarkan setelah 5 bulan sejak pinjaman itu diterima pada awal bulan pertama. Berapakah besar pinjaman orang itu jika diperhitungkan dengan suku bunga majemuk 1 ½ setiap bulan ? 7. Pada tanggal 1 Januari 1997, Arman mendapat pinjaman dari sebuah bank sebesar Rp 5.000.000,00. Pinjaman itu akan dilunasi dengan cara angsuran yang sama besar, dan dibayarkan setiap tanggal 31 Desember. Angsuran pertama akan dibayarkan dibayarkan pada tanggal 31 Desember 2000 dan seterusnya hingga tanggal 31 Desember 2009. Berapakah besarnya angsuran yang dibayarkan setiap tanggal 31 Desember tersebut jika diperhitungkan dengan suku bunga 6% setahun ? 8. Sebuah perusahaan mendapat pinjaman dari pemerintah dengan syarat pengembalian dengan angsuran abadi dan dibayarkan setiap awal tahun sebesar Rp 100.000,00. Jika pinjaman itu diberikan pada awal tahun 1991 dan pembayaran angsuran dimulai pada awal tahun 1995, berapakah besar pinjaman yang diberikan dari pemerintah itu pada awal tahun 1991 jika dihitung berdasarkan suku bunga 8% per tahun?
ANUITAS A.
PENDAHULUAN
Ada beberapa cara melunasi suatu pinjaman. Apabila pinjaman tersebut dilunasi dengan angsuran yang tetap besarnya dalam periode tertentu, maka angsuran tersebut di sebut anuitas. Setiap anuitas ini terdiri dari dua bagian yaitu bagian untuk membayar bunga dan bagian untuk membayar angsuran pinjaman. Apabila : An = Anuitas tahun ke-n, bn= bunga pinjaman ke-n, dan an= angsuran tahun ke-n, maka diperoleh hubungan sebagai berikut :
An = an + bn Oleh karena setiap An + 1 a n + 1 + bn + 1 an + 1
untuk k=1,2,3,..... anuitas sama besarnya maka : = An = a n + bn = a n + b n – bn + 1
Nilai dari bn – bn + 1 adalah selisih bunga dari pinjaman tahun ke-n dengan bunga dari pinjaman tahun ke-n + 1 yaitu dari bagian angsuran pada anuitas ke-n (an) Jadi, diperoleh : A2 + =an + an.i
atau
an + 1 = an (1+i)
Dari rumus di atas untuk nilai n= 1,2,.....berturut-turut membentuk deret geometri dengan rasio (1+i). a2 = a1 (1+i) a3 = a2 (1+i)= a1 (1+i) (1+i) = a1(1+i)2 a4 = a3 (1+i)= a1 (1+i)2(1+i) = a1 (1+i)3 .
.
.
.
.
.
an =
B.
= a1(1+i)n-1
MENGHITUNG ANUITAS DENGAN DERET DAN TABEL BUNGA
Jika diketahui besar pinjaman = M, banyaknya anuitas adalah n yang dibayar sesudah satu periode dari pelaksanaan pinjaman, dengan dasar bunga i=p% dan besarnya anuitas setiap periode=A, maka untuk menentukan nilai A (anuitas) ini dapat dicari sebagai berikut:
M
n
Periode ke-1
2
3....
M (1 i)
M (1 i)2 M (1 i) 3 M (1 i)2 Jumlah nilai tunai dari n anuitas tersebut harus sama dengan besarnya pinjaman (M)
M
A
A
1 i) 1 i)
2
A
1 i)
3
........
A
1 i)
n
(PI)
Untuk mencari besarnya nilai A dari persamaan (PI) di atas dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan cara deret dan tabel bunga. 1. Dengan Cara Deret Persamaan (PI) di atas ruas kanannya adalah merupakan deret geometri dengan :
a
A 1 ;r ; dan S n M (1 i) (1 i)
Maka di peroleh =
Sn M a
1 rn (1 r)
1 1 A (1 i) n M (1 i) 1 1 (1 i)
1 1 (1 i) 2 A (1 i) 1 M (1 i) (1 i) A 1 M 1 1 (1 i) n
Sehingga :
A
M.i 1 1 (1 i) n
2) Dengan tabel bunga Untuk menghitung anuitas dengan cara deret digunakan rumus A
sedangkan untuk menentukan nilai
M.i ; 1 1 (1 i) n
1 dapat dicari pada tabel dengan kode An (1 i) n
atau An i. Sehingga rumus untuk menghitung anuitas dengan tabel dapat ditulis sebagai berikut : A
M.i 1 A n i
Untuk menentukan besarnya anuitas dengan tabel terbatas untuk nilai 1≤ n ≤ 50 dan nilai i=1 ½%, 2 ½%, 3%, 3 ½%, 4%, 4 ½%, 5%, 5 ½% dan 6%. Selain dari nilai itu, cara menghitung menggunakan kalkulator.
Contoh : 1 Pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00 akan dilunasi dengan 6 anuitas tahunan. Anuitas pertama dibayar sesudah satu tahun setelah pinjaman diterima dengan dasar 16% setahun. Berapakah besar anuitas tersebut ?
Jawab :
M = 5.000.000,00 i = 16% = 0,16 n =6
A
M.i 5.000.000 (0,16) 1 nilai dicari dengan kalkulator 6 6 1 (1,16) 1 1 1 (1 i) n 16
800.000 800.000 1.3563949,34 (1 0,41044225) 0,58955775
C. MENGHITUNG ANUITAS DENGAN NOTASI SIGMA DAN TABEL BUNGA Dari persamaan (PI) di peroleh :
1 1 1 ........ 1 i) 1 i) 2 n 1 i)
M A
n M A k 1
1 (1 i) k
atau A
M A i n
Nilai
n
1
k 1
(1 i) k
atau
n
(1 i) - k Atau A n i dicari pada daftar bunga IV
k 1
Contoh Soal : Utang sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 15 anuitas bulanan. Anuitas pertama dibayar 3 bulan setelah penerimaan uang. Tentukan besarnya anuitas, jika diperhitungkan bunga 2% perbulan ! Jawab : M = 1.000.000,00 ; n= 15 ; dan i= 2% = 0,02 Berhubung anuitas pertama dibayar 3 bulan setelah penerimaan pinjaman M, M(1+i) , M(1+i)2 , Tahun 1 II III Berarti setelah 3 bulan pinjaman tersebut menjadi pinjaman baru yang bernailai M (1+i) 2
A
M(1 i) 2 n 1 k k 1 (1 i)
1.000.000 (1,02)2 lihat daftar IV 15 1 k k 1 (1,02) 1.040.400 A 12,84926350 A 80.969,62 A
D. MENGHITUNG SISA PINJAMAN YANG DILUNASI Jika pinjaman sebesar M yang dilunasi dengan n anuitas sebesar A dengan perhitungan bunga i=p%, maka setelah pembayaran anuitas ke-m terdapat sisa pinjaman sebesar (Sm). Besarnya sisa pinjaman (Sm) ini dapat dihitung dengan empat cara, yaitu sebagai berikut :
Cara : 1 Sisa pinjaman sesudah anuitas ke-m = pokok pinjaman dikurangi jumlah m angsuran yang sudah dibayar.
Sm = M-(a1 + a2 + a3 + ......+ am) = M-(a1 + a1 (1+i)1 + a1(1+i)2+ ......+ a1 (1+i)m-1) = M-(a1(1+(1+i) + (1+i)2 + ..........+ (1+i)m-1)
m1 Sm M a1 1 (1 i) k atau Sm M a1 (1 Sm1 i) k 1 m 1
Nilai
(1 i)
k
k 1
atau S m1 i dicari dalam daftar III
Contoh : Suatu pinjaman Rp 500.000,00 dilunasi dengan 10 anuitas tahunan atas dasar bunga 5 ½ % setahun. Hitunglah sisa pinjaman sesudah pembayaran anuitas ke-5 ! Jawab : M = 500.000; Anuitas =
A
n= 10; dan i=5 ½%= 0,055
M k
1 k 1 1 i 500.000 n
lihat daftar IV k 1 k 1 1,055 500.000 (7,53762583) 66.333,88 10
Bunga tahun 1 = b1
= Mei = 500.000 ( 5 ½%) = 27.500
Pelunasan untuk tahun 1= a1
= A – b1 = 66.333,88 – 27.500 = 38.833,88
Sisa pinjaman sesudah anuitas ke-5 adalah : Sm = M – a1 (1 + Sm-1
i)
S5 = 500.000 – 38.833,88 (1 + S4 5 ½%) daftar III S5 = 500.000 – 38.833,88 ( 1 + 4,58109103) S5 = 500.000 – 216.735,42 S5 = 283.264,58 Jadi, sisa pinjaman setelah anuitas ke-5 adalah Rp 283.264,58.
Cara. 2 Sisa pinjaman setelah pembeyaran anuitas ke –m adalah jumlah semua angsuran yang belum dibayar. Sm = am+1 + am+2 + am+3 + ... + an = a1 (1+i)
m
+a1 (1+ i)
m+1
+a1(1+i)m+2 + ... + a1(1+i)n-1
m 1 n1 Sm = a1 (1 i) k (1 i) k k 1 k 1
Contoh Suatu pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 10 anuitas tahunan, atas dasar bunga 5 % setahun. Tentukan : a. Besarnya anuitas b. Besar angsuran I c. Sisapinjaman setelah pembayaran ke-6 Jawab M= 1.000.000 ; n= 10 ; i= 0,05 a. A = M X
1
(1 i)
= 1.000.000 X
k
1 10
(1 i)
; k
k 1
1 10
(1 i) k 1
= 1.000.000 X 0,12950457 = 129.504,57 Jadi besar anuitas Rp 129.504,57 b. a1 = A – iM = 129.504,57 – ( 0,05) . 1.000.000 = 129.504,57- 50.000 = 79.504,57 Jadi besar angsuran I = Rp 79.504,57 c.Sm= a1
m 1 n1 k ( 1 i ) (1 i) k k 1 k 1
Dilihat dalam daftar bunga V k
S6= 79.504,57
5 9 k 1 , 05 1,05k k 1 k 1
= 79.504,57 ( 11,57789254 – 5,801911281 ) = 79.504,57 ( 5,77598126 ) = 45.921,68 Jadi sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke -6 adalah Rp79.504,57 Cara 3. Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke –m nilainya sama dengan jumlah semua anuitas yang belum dibayarkan. Sm=
A A A A ... 2 3 (1 i ) (1 i ) (1 i ) (1 i ) n m
=A X
1 1 1 1 ... 2 3 n m (1 i) (1 i) (1 i) (1 i)
Sm = A X Contoh 4
Contoh Suatu pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 10 anuitas tahunan, atas dasar bunga 5 % setahun. Tentukan : a. Besarnya anuitas b. Besar angsuran I c. Sisapinjaman setelah pembayaran ke-6 Jawab M= 1.000.000 ; n= 10 ; i= 0,05 a.A = M X
1
(1 i)
= 1.000.000 X
k
1 10
(1 i)
; k
k 1
1 10
(1 i) k 1
= 1.000.000 X 0,12950457 = 129.504,57 Jadi besar anuitas Rp 129.504,57
Dilihat dalam daftar bunga V k
b. a1 = A – iM = 129.504,57 – ( 0,05) . 1.000.000 = 129.504,57- 50.000 = 79.504,57 .
Jadi besar angsuran I = Rp 79.504,57 nm
c.Sm = A X
(1 i)
k
k 1
4
S6 = 129.504,57 X
1
(1,05) k 1
k
= 129.504,57 X 3,54595050 = 45.921,68 Jadi sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke- 6 adalah Rp 45.921,68 Cara 4. Untuk menghitung sisa pinjaman dengan cara ke- 4 sbb : B1 = i X M B2 = i X S 1 B3 = i X S 2 . . . . . . Bm+1= i X Sm
Sm =
Contoh Suatu pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 akan dilunasi dengan 10 anuitas tahunan, atas dasar bunga 5 % setahun. Tentukan : a. Besarnya anuitas b. Besar angsuran I c. Sisapinjaman setelah pembayaran ke-6 Jawab M= 1.000.000 ; n= 10 ; i= 0,05 a.A = M X
1
(1 i)
= 1.000.000 X
k
1 10
(1 i)
; k
k 1
1 10
(1 i) k 1
= 1.000.000 X 0,12950457 = 129.504,57 Jadi besar anuitas Rp 129.504,57
Dilihat dalam daftar bunga V k
b. a1 = A – iM = 129.504,57 – ( 0,05) . 1.000.000 = 129.504,57- 50.000 = 79.504,57 Jadi besar angsuran I = Rp 79.504,57 c. a7 = a1 X (1+i )
6
= 79.504,57 X ( 1,05 )
6
= 79.504,57 X 1,34009564 = 106.543,73 B7 = A – a 7 =129.504,57 - 106.543,73 = 22.960,84
S6
=
B61 i
=
22 .960 ,84 0,05 = 459.216,84
Jadi sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-6 adalah Rp 106.543,73
E. ANUITAS YANG DIBULATKAN Untuk mempermudah pengadministrasian dalam bidang perbankan atau badan perkreditan , biasa pembayaran angsuran berupa bilangan yang bulat. Untuk itu biasa pembayaran anuitas dibulatkan keatas atau ke bawak sampai kelipatan tertentu sesuai dengan kesepakatan peminjam dan pemilik modal. 1. Anuitas yang dibulatkan ke atas. Untuk Anuitas yang dibulatkan ke atas , akan terjadi kelebihan pembayaran tiap periode, sehingga pada pembayaran anuitas terakhir akan diperhitungkan . Pembayaran Anuitas terakhir akan dikurangi jumlah kelebihan pembayaran dari pembayaran anuitas I sampai Anuitas yang terakhir. Contoh : 1 Nita meminjam modal sebesar Rp 2.000.000,00 akan dilunasi dengan 7 anuitas bulanan denganbunga 5% sebulan.Anuitas dibulatkan ke atas sampai kelipatan Rp 1.000,00 terdekat. Hitung : a. Besar pembayaran anuitas tiap bulan b. Pembayaran anuitas terakhir c. Buat tabel rencana pelunasan Jawab
Diket : M = 2.000.000 ; n = 7 ; i = 0,05 a. A = M x
1 n
(1 i)
k
k 1
= 2.000.000 X
1 7
(1,05)
k
k 1
= 2.000.000 X 0,17281982 = 345.639,64 Jika anuitas dibulatka ke atas sampai kelipatan Rp 1.000,00 ( A+) A+ = Rp 346.000,00. b. Pembayaaaran terakhir a1 = (A+) – i M = 346.000 – 0,05 x 2.000.000 = 346.000- 100.000 = 246.000 Jumlah Kelebihan dari semua angsuran adalah : ( N+) =( a1 + a2 + a3 + ... + a7 ) - M = a1 X
6
1 (1,05 ) k
M
k 1
= 246.000 x ( 1 + 7,14200845 ) – 2.000.000 = Rp 2.934,08 Jadi , pembayaran anuitas terakhir = ( a+) – ( N+) = Rp 346.000 – Rp 2.934,08 = Rp 343.065,92. c.
Tabel Rencana pelunasan
Tahun ke
1 2 3 4 5 6 7
Pijaman awal (Rp)
2.000.000 1.754.000 1.495.700 1.224.485 939.709,25 640.694,71 326.729,45 JUmlah
Anuitas =345,639,64 Bunga (Rp) 100.000 87.700 76.785 61.224,25 46.985,46 32.034,74 16.336,47
Sisa Pinjaman akhir tahun (Rp) Angsuran (Rp) 246.000 258.300 271.215 284.775,75 299.014,54 313.965,26 326.729,45
1.754.000 1.495.700 1.224.485 939.700 640.694,71 326.729,45 0
2.000.000
2.ANUITAS DIBULATKAN KE BAWAH Untuk Anuitas yang dibulatkan ke bawah , akan terjadi kekurangan pembayaran tiap periode, sehingga pada pembayaran anuitas terakhir akan diperhitungkan . Pembayaran Anuitas terakhir akan ditambah dengan jumlah
kekurangan pembayaran dari pembayaran anuitas I sampai Anuitas yang terakhir Contoh : 1 Nita meminjam modal sebesar Rp 2.000.000,00 akan dilunasi dengan 7 anuitas bulanan denganbunga 5% sebulan.Anuitas dibulatkan ke bawah sampai kelipatan Rp 1.000,00 terdekat. Hitung : a. Besar pembayaran anuitas tiap bulan b. Pembayaran anuitas terakhir c. Buat tabel rencana pelunasan Jawab Diket : M = 2.000.000 ; n = 7 ; i = 0,05 a. A = M x
1 n
(1 i)
k
k 1
= 2.000.000 X
1 7
(1,05)
k
k 1
= 2.000.000 X 0,17281982 = 345,639,64 Jika anuitas dibulatka ke atas sampai kelipatan Rp 1.000,00 ( A-) A- = Rp 345.000,00. b. Pembayaaaran terakhir a1 = (A+) – i M = 345.000 – 0,05 x 2.000.000 = 345.000- 100.000 = 245.000 Jumlah kekurangan dari semua angsuran adalah : ( N+) = M - ( a1 + a2 + a3 + ... + a7 ) =
M - a1 X
= 2.000.000 -
6
1 (1,05 ) k
k 1
245.000 X ( 1 + 7,14200845 )
= 2.000.000 – ( 245.000 X 8,14200845 ) = 2.000.000 – 1.994.792,07 = 5.207,93 Jadi,jumlah kekurangan pembayaran anuitas dari pertama sampai anuitas terakhir adalah Rp 5.207,93. c. Tabel Rencana pelunasan Tahun ke
1 2 3 4 5 6 7
Pijaman awal
2.000.000 1.754.000 1.495.700 1.224.485 939.709,25 640.694,71 326.729,45
(Rp)
Anuitas =345,639,64 Bunga (Rp) 100.000 87.700 76.785 61.224,25 46.985,46 32.034,74 16.336,47
Sisa Pinjaman akhir tahun (Rp) Angsuran (Rp) 246.000 258.300 271.215 284.775,75 299.014,54 313.965,26 326.729,45
1.754.000 1.495.700 1.224.485 939.700 640.694,71 326.729,45 0
JUmlah
2.000.000
F . ANUITAS PINJAMAN DENGA OBLIGASI Sistem pembayaran anuitas dapat juga dilakukan dengan obligasi. Obligasi adalah surat perjanjiantertulis tentang pembayaran uang yang jumlah dan tanggalnya sudah ditentukan. Pada surat obligasi tertulis : 1. Tanggal pengeluaran obligasi 2. Nilai nominal setiap obligasi 3. Suku bunga pinjaman 4. Tanggal pembebasan 5. Nilai emisi Pembayaran anuitas dengan obligasi dengan cara memecah jumlah pinjaman dengan obligasi yang lebih kecil nilainya, misalnya menjadi kelipatan Rp 1.000,00 ; kelipatan Rp 10.000,00 dan sebagainya. Jika ada kekurangan pembayaran ( saldo ) dari pembayaran anuitas , maka akan diperhitungka pada pembayaran anuitas berikutnya. Contoh Pinjaman obligasi 5% sebulan sebesar Rp 100.000,00, akan dilunasi dengan selama 4 bulan, denga 100 obligasi masing-masing obligasi bernilai Rp 10.000,00. a. Hitung besar anuitasnya b. Buat rencana pelunasanya. Jawab Diket : M = 100.000 ; i = 0,05 ; n = 4
a. Besar anuitas tiap bulan A=MX
1 4
(1 i)
k
k 1
A = 100.000 X
1 4
(1,05)
k
k 1
A = 100.000 X 0,28201183 A = 28.201,18 Jadi besar anuitas adalah Rp 28.201,18
b. Rencana pelunasan Akhir bulan 1 Anuitas Bungabulan 1: 0,05 X 100.000
= Rp 28.201,18 = Rp 5.000,00 -
Tersedia untuk cicilan Terpakai untuk cicilan ( 2 lembar )
= Rp 23.201,18 = Rp 20.000,00 -
Sisa angsuran bulan = Rp 3.201,18 Sisa pinjaman bulan 1 = Rp 100.000,00 – Rp 20.000,00 = Rp 80.000,00 Akhir bulan 2 Anuitas = Rp 28.201,18 Sisa angsuran tahun 1 = Rp 3.201,18 Bunga sisa angsuran: 0,05 x Rp 3.201,18 = Rp 160,06 + Bungabulan 1: 0,05 X 80.000
= Rp 31.562,42 = Rp 4.000,00 -
Tersedia untuk cicilan Terpakai untuk cicilan ( 2 lembar )
= Rp 27.562,42 = Rp 20.000,00
-
Sisa angsuran bulan 2 = Rp 7.562,42 Sisa pinjaman bulan 2 = Rp 80.000,00 – Rp 20.000,00 = Rp 60.000,00
Akhir bulan 3 Anuitas Sisa angsuran tahun 2
= Rp 28.201,18 = Rp 7.562,42
Bunga sisa angsuran: 0,05 x Rp 7.562,42
= Rp
378,21 +
Bunga bulan 2: 0,05 X 60.000
= Rp 36.141,81 = Rp 3.000,00
Tersedia untuk cicilan Terpakai untuk cicilan (3 lembar )
= Rp 33.141,81 = Rp 30.000,00
-
Sisa angsuran bulan = Rp 3.141,81 Sisa pinjaman bulan 1 = Rp 60.000,00 – Rp 30.000,00 = Rp 30.000,00 Akhir bulan 4 Anuitas = Rp 28.201,18 Sisa angsuran tahun 3 = Rp 3.141,81 Bunga sisa angsuran: 0,05 x Rp 3.141,81
= Rp
157.09 +
Bunga bulan 2: 0,05 X 30.000
= Rp 31.500,08 = Rp 1.500,00 -
Tersedia untuk cicilan Terpakai untuk cicilan (3 lembar )
= Rp 30.000,08 = Rp 30.000,00
-
Sisa angsuran bulan = Rp 0.08 ( lunas ) Sisa pinjaman bulan 1 = Rp 30.000,00 – Rp 30.000,00 = Rp 0
.
