LAMPIRAN A (Beberapa Besaran Fisika, Faktor konversi dan Alfabet Yunani)
Beberapa Tetapan dan Besaran Fisika Massa matahari Jari-jari matahari Massa bumi Kecepatan cahaya Konstanta gravitasi
= 1,99 × 1030 kg
= 6,9599 × 105 km = 5,98 × 1024 kg = 3 × 108 m/s
= 6,67 × 10−11 m3 /s 2 kg
Alfabet Yunani Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ
𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 𝜀 𝜁 𝜂 𝜃 𝜄 𝜅 𝜆 𝜇
Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon phi Chi Psi Omega
Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
𝜈 𝜉 𝜊 𝜋 𝜌 𝜎 𝜏 𝜐 𝜙, 𝜑 𝜒 𝜓 𝜔
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN B PENYELESAIAN METRIK SCHWARZSCHILD
Penyelesaian Schwarzschild Hubungan affine (affine connection) atau lambang Christoffel dapat dihitung dengan menggunakan formula : 𝜕𝑔𝜌𝜇 𝜕𝑔𝑣𝜌 𝜕𝑔𝜇𝑣 1 𝜆 Γ𝜇𝑣 = 𝑔 𝜆𝜌 � 𝑣 + − � 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝜌
(𝐵. 1)
Dengan rumus diatas dan metrik yang diberikan oleh persamaan (2.29) dan (2.30), komponen lambang Christoffel yang tak lenyap bernilai 1 𝑑𝐴(𝑟) 2𝐴(𝑟) 𝑑𝑟 𝑟 𝑟 Γ𝜃𝜃 =− 𝐴(𝑟)
𝑟 Γ𝑟𝑟 =
𝑟 Γ𝜑𝜑
Γ𝑡𝑡𝑟 =
𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜃 =− 𝐴(𝑟)
1 𝑑𝐵(𝑟) 2𝐴(𝑟) 𝑑𝑟 𝜑
𝜑
𝜃 𝜃 Γ𝑟𝜃 = Γ𝜃𝑟 = Γ𝜑𝑟 = Γ𝑟𝜑 = 𝜃 Γ𝜑𝜑 = −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜑
𝜑
1 𝑟
Γ𝜑𝜃 = Γ𝜃𝜑 = 𝑐𝑜𝑡𝜃
Dan 𝑡 𝑡 Γ𝑡𝑟 = Γ𝑟𝑡 =
1 𝑑𝐵(𝑟) 2𝐵(𝑟) 𝑑𝑟
Universitas Sumatera Utara
Lebih lanjut, dibutuhkan besaran tensor Ricci yang dirumuskan sebagai 𝑅𝜇𝜅
𝜆 𝜕Γ𝜇𝜆
𝜆 𝜕Γ𝜇𝜅 𝜂 𝜆 𝜂 𝜆 = − + Γ𝜇𝜆 Γ𝜅𝜂 − Γ𝜇𝜅 Γ𝜆𝜂 𝜅 𝜆 𝜕𝑥 𝜕𝑥
(𝐵. 2)
Dari lambang-lambang Christoffel diatas, komponen-komponen tensor Ricci diberikan sebagai 𝑅𝑟𝑟 =
𝐵"(𝑟) 1 𝐵 ′ (𝑟) 𝐴′ (𝑟) 𝐵 ′ (𝑟) 1 𝐴′ (𝑟) − � + �− 2𝐵(𝑟) 4 𝐵(𝑟) 𝐴(𝑟) 𝐵(𝑟) 𝑟 𝐴(𝑟)
𝑅𝜃𝜃 = −1 +
𝑅𝑡𝑡 = −
𝑟 𝐴′ (𝑟) 𝐵 ′ (𝑟) 1 �− + �+ 2𝐴(𝑟) 𝐴(𝑟) 𝐵(𝑟) 𝐴(𝑟) 𝑅𝜑𝜑 = 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑅𝜃𝜃
𝐵 ′′ (𝑟) 1 𝐵 ′ (𝑟) 𝐴′ (𝑟) 𝐵 ′ (𝑟) 1 𝐵 ′ (𝑟) + � + �− 2𝐴(𝑟) 4 𝐴(𝑟) 𝐴(𝑟) 𝐵(𝑟) 𝑟 𝐴(𝑟)
Dan 𝑅𝜇𝑣 = 0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜇 ≠ 𝑣
(𝐵. 3)
Pada persamaan-persamaan diatas, tanda aksen berarti turunan/derivative ke r. Dari hasil diatas, komponen 𝑅𝑟𝜃 , 𝑅𝑟𝜑 , 𝑅𝑡𝜃 𝑅𝜃𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑅𝜃𝜑 lenyap , serta 𝑅𝜑𝜑 = 𝑅𝜃𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 yang menunjukkan konsekuensi dari invarinasi terhadap transformasi rotasi pada metrik
tersebut. Sementara itu 𝑅𝑟𝑡 lenyap akibat konsekuensi adanya invariasni bentuk metrik ketika dilakukan transformasi pembalikan waktu 𝑡 → −𝑡.
Selanjutnya persamaan medan gravitasi Einstein akan diterapkan untuk metrik isotropik statik tersebut. Persamaan medan gravitasi Einstein untuk ruang kosong tersebut berbentuk 𝑅𝜇𝑣 = 0 Hubungan dari persamaan antara 𝑅𝑟𝑟 dan 𝑅𝑡𝑡 dapat ditulis menjadi 𝑅𝑟𝑟 𝑅𝑡𝑡 1 𝐴′ 𝐵 ′ + =− � + � 𝐴 𝐵 𝑟𝐴 𝐴 𝐵
(𝐵. 4)
Universitas Sumatera Utara
Dengan menerapkan persamaan 𝑅𝜇𝑣 = 0, maka persamaan diatas menjadi 𝐴′ 𝐵′ =− 𝐴 𝐵
Atau
𝐴(𝑟)𝐵(𝑟) = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛
(𝐵. 5) (𝐵. 6)
Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk 𝑟 → ∞, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali kebentuk metrik Minkowski dalam koordinat bola, yang berarti lim 𝐴(𝑟) = lim 𝐵(𝑟) = 1
𝑟→∞
𝑟→∞
(𝐵. 7)
Dengan syarat batas ini hubungan antara A(r) dan B(r) dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk 𝐴(𝑟) =
1 𝐵(𝑟)
(𝐵. 8)
Adapun komponen tensor Ricci yang lain pada persamaan 𝑅𝑟𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑅𝜃𝜃 dapat dituliskan menjadi
Dan
𝑅𝜃𝜃 = −1 + 𝐵 ′ (𝑟) + 𝐵(𝑟)
(𝐵. 9)
𝐵 ′′ 𝐵′ 𝑅𝜃𝜃 = + = 2𝐵 𝑟𝐵 2𝑟𝐵
(𝐵. 10)
𝑅𝑟𝑟
Yang dengan mengingat bahwa 𝑅𝜃𝜃 = 0 maka 𝑟𝐵 ′ + 𝐵 =
Solusi persamaan diferensial diatas adalah
𝑑 (𝑟𝐵) = 1 𝑑𝑟
𝑟𝐵(𝑟) = 𝑟 + 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑛
(𝐵. 11) (𝐵. 12) Universitas Sumatera Utara
Untuk menentukan nilai tetapan integrasi diatas, kita mengetahui bahwa untuk jarak yang cukup jauh dari pusat massa M yang terletak dipusat koordinat O, komponen 𝑔𝑡𝑡 = −𝐵
harus bernilai mendekati –(1+2U) dengan U adalah potensial Newton benda bermassa M pada jarak r yang bernilai 𝑈 = −𝐺𝑀/𝑟. Jadi nilai tetapan integrasi diatas adalah -2GM,
sehingga
2𝐺𝑀 � 𝑟
(𝐵. 13)
2𝐺𝑀 −1 𝐴(𝑟) = �1 − � 𝑟
(𝐵. 14)
𝐵(𝑟) = �1 − Dan
Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang waktu 4 dimensi berkoordinat bola adalah 2𝐺𝑀 2𝐺𝑀 −1 2 2 � 𝑑𝑡 − �1 − � 𝑑𝑟 + 𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙 2 ) 𝑑𝑠 = − �1 − 𝑟 𝑟 2
(𝐵. 15)
Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K.Schwarzschild pada tahun 1916. Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild . Bentuk metrik tersebut masih mengisikan nilai c=1. Apabila nilai c diisikan, bentuk metrik Schwarzschild menjadi 2𝐺𝑀 2 2 2𝐺𝑀 −1 2 𝑑𝑠 = − �1 − 2 � 𝑐 𝑑𝑡 − �1 − 2 � 𝑑𝑟 + 𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙 2 ) 𝑐 𝑟 𝑐 𝑟 2
(𝐵. 16)
Bentuk 2𝐺𝑀/𝑐 2 sering disingkat menjadi m (bersatuan panjang), sehingga metrik diatas
menjadi
2𝑚 2 2 2𝑚 −1 2 𝑑𝑠 = − �1 − � 𝑐 𝑑𝑡 − �1 − � 𝑑𝑟 + 𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙 2 ) 𝑟 𝑟 2
(𝐵. 17)
Metrik Schwarzschild ini bersifat simetri bola dan merepresentasikan medan gravitasi diluar suatu partikel bersimetri bola dengan pusat partikel terletak pada pusat koordinat bola.
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN C HUBUNGAN SIMBOL CHRISTOFFEL DENGAN TENSOR METRIK
Untuk memperoleh hubungan antara simbol Christoffel dengan tensor metrik, pertama kita mengingat rumus untuk tensor metrik yaitu 𝑔𝜇𝜈 =
𝜕𝜉 𝛼 𝜕𝜉𝛽 𝜂 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝜈 𝛼𝛽
(𝐶. 1)
Diturunkan terhadap 𝑥 𝜆 memberikan
𝜕𝑔𝜇𝜈 𝜕 2 𝜉 𝛼 𝜕𝜉𝛽 𝜕𝜉 𝛼 𝜕 2 𝜉𝛽 = 𝜂 + 𝜂 𝜕𝑥 𝜆 𝜕𝑥 𝜆 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝜈 𝛼𝛽 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝜆 𝜕𝑥 𝜈 𝛼𝛽
Dengan mengingat defenisi koneksi affine (simbol Christoffel) yaitu
Sehingga akan didapat
𝜆 Γ𝜇𝜈
𝜕𝑥 𝜆 𝜕 2 𝜉 𝛼 = 𝛼 𝜇 𝜈 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝛼 𝛽 𝛼 𝛽 𝜕𝑔𝜇𝜈 𝜌 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜌 𝜕𝜉 𝜕𝜉 = Γ𝜆𝜇 𝜌 𝜈 𝜂𝛼𝛽 + Γ𝜆𝜈 𝜇 𝜌 𝜂𝛼𝛽 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜆
Dengan menggunakan kembali tensor metrik akan didapat 𝜕𝑔𝜇𝜈 𝜌 𝜌 = Γ𝜆𝜇 𝑔𝜌𝜈 + Γ𝜆𝜈 𝑔𝜌𝜇 𝜆 𝜕𝑥
(𝐶. 2)
Tambahkan persamaan (C.2) dengan persamaan yang sama dengan pertukaran 𝜇 dan 𝜆
serta kurangkan dengan persamaan sama dengan pertukaran 𝜈 dan 𝜆. Selanjutnya akan didapat
𝜕𝑔𝜇𝜈 𝜕𝑔𝜆𝜈 𝜕𝑔𝜇𝜆 𝜅 𝜅 𝜅 𝜅 + − = Γ𝜆𝜇 𝑔𝜅𝜈 + Γ𝜆𝜈 𝑔𝜅𝜇 + Γ𝜇𝜆 𝑔𝜅𝜈 + Γ𝜇𝜈 𝑔𝜅𝜆 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝜈 𝜕𝑥 𝜆 𝜅 𝜅 −Γ𝜈𝜇 𝑔𝜅𝜆 − Γ𝜈𝜆 𝑔𝜅𝜇
Universitas Sumatera Utara
𝜕𝑔𝜇𝜈 𝜕𝑔𝜆𝜈 𝜕𝑔𝜇𝜆 𝜅 + − = 2𝑔𝜅𝜈 Γ𝜆𝜇 𝜇 𝜈 𝜆 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
(𝐶. 3)
𝜅 (Γ𝜇𝜈 dan 𝑔𝜇𝜈 simetri dibawah pertukaran 𝜇 dan 𝜈.) dengan mengalikan persamaan ini
dengan 𝑔𝜈𝜎 , dan mengingat bahwa didefenisikan
𝑔𝜈𝜎 𝑔𝜅𝜈 = 𝛿𝜅𝜎
Yang kemudian memberikan hasil akhir
𝜕𝑔𝜇𝜈 𝜕𝑔𝜆𝜈 𝜕𝑔𝜇𝜆 1 𝜎 = 𝑔𝜈𝜎 � 𝜆 + − � Γ𝜆𝜇 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝜇 2 𝜕𝑥
(𝐶. 4)
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN D JUMLAH KUADARAT PERSAMAAN (4.11) Jumlah kuadrat persamaan (4.11) 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 = (𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝜃 − 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑑𝜙)2 +
(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑑𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝜙 )2 +
Maka diperoleh
(𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃)2
(𝐷. 1)
𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜙𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜙𝑑𝜃 2 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑑𝜙 2 +2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 𝑑𝑟𝑑𝜃 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑑𝑟𝑑𝜙 − 2𝑟 2
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙𝑑𝜃𝑑𝜙 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑑𝜃 2
+𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜙𝑑𝜙 2 + 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2 𝜙𝑑𝑟𝑑𝜃 + 2𝑟𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙
𝑐𝑜𝑠𝜙𝑑𝑟𝑑𝜙 + 2𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜙𝑑𝜃𝑑𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝑟 2 +𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 2 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃
Maka
(𝐷. 2)
𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝜃(𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜙)𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃(𝑠𝑖𝑛2 𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜙)𝑑𝜃 2 +
𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃(𝑠𝑖𝑛2 𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜙)𝑑𝜙 2 + 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑐𝑜𝑠 2 𝜙 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜙)
𝑑𝑟𝑑𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 2 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 = 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝜃 2 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙 2 + 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜃 2 − 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 = 𝑑𝑟 2 (𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) + 𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃+𝑠𝑖𝑛2 𝜃)𝑑𝜃 2 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙 2 Sehingga diperoleh
𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙 2
𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 − 𝑑𝑟 2 = 𝑟 2 (𝑑𝜃 2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃𝑑𝜙 2 )
(𝐷. 3 Universitas Sumatera Utara
