Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

LAMPIRAN

33

Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian ¦ adalah himpunan bagian dari rung contoh.

(Ross 1996)

Definisi A.2 (Medan -§) Suatu himpunan ¨ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan medan -C jika memenuhi syarat sebagai berikut: (i) (ii)

∅ ∈ ¨.

Jika ¦ ∈ ¨ maka ¦ ∈ ¨.

(iii) Jika ¦7 , ¦2 , … ∈ ¨maka ⋃, «.7 ¦« ∈ ¨.

(Grimmet dan Stirzaker 1992)

Medan-Cterkecil yang mengandung semua selang berbentuk ∞, ,  ∈ 

disebut medan Borel, dinotasikan B(¨ dan anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.

Definisi A.3 (Ukuran peluang) Ukuran peluang P pada Ω, ¨ adalah fungsi P : ¨ →
0,1 yang memenuhi:

(i)

(ii)

P ∅ 0, P Ω 1.

Jika ¦7 , ¦2 , … adalah himpunan disjoin yang merupakan anggota dari ¨ ,

yaitu ¦« ∩ ¦† ∅ untuk setiap i, j dengan ’ ƒ „ maka P ⋃, «.7 ¦« 

∑, «.7 P ¦« .

Tripel (Ω, ¨, P) disebut sebagai ruang peluang.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

34

Definisi A.4 (Kejadian saling bebas) Kejadian ¦ dan ‘ dikatakan saling bebas jika P ¦ ∩ ‘ P ¦ ∩ P ‘. Secara

umum, himpunan kejadian R¦« , ’ ∈ ­U dikatakan saling bebas jika P⋂«∈¯ ¦« 

∏«∈¯ P ¦«  untuk setiap himpunan bagian ± dari ­.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi A.5 (Peubah acak) Peubah acak Q adalah fungsi Q: Ω →  dengan R ∈ Ω; Q  Z 'U ∈ ¨ untuk

setiap ' ∈ .

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Definisi A.6 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah ³´ :  →
0,1, yang didefinisikan oleh ³´ ' P Q Z ' .

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Definisi A.7 (Peubah acak diskret) Peubah acak Q dikatakan diskret jika semua himpunan nilai R'7 , '2 , … U merupakan himpunan tercacah.

(Grimmet and Stirzaker 1992) Untuk peubah acak diskret Q fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi A.8 (Fungsi kerapatan peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret Q adalah fungsi µ´ :  →
0,1 dengan µ´ '  P Q ' .

(Grimmet and Stirzaker 1992)

35

Definisi A.9 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak Q disebut peubah acak Poisson dengan parameter ,  [ 0, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh µ´  P Q  ] 6G

G¶ -!

, untuk  0,1,2, …

(Ghahramani 2005)

Kekonvergenan Definisi A.10 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata) Barisan R U disebut mempunyai limit · dan dituliskan lim

→,

 · atau

sedemikian sehingga jika  [  maka | ( ·| V ¸. Jika lim

→,

 · ada,

 → · jika  → ∞ , apabila untuk setiap ¸ [ 0 terdapat sebuah bilangan 

dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, barisan tersebut dikatakan divergen.

(Stewart 1999)

Lema A.1 (Deret-p) Deret ∑,.7

µ Z 1.

7

¹

(disebut juga deret-p) konvergen jika µ [ 1, dan divergen jika

Bukti: Lihat Stewart (1999).

Definisi A.11 ( Konvergen dalam peluang) Misalkan RQ7 , Q2 , … , QU adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω, ¨, P. Barisan peubah acak Q konvergen dalam peluang ke Q, dinotasikan Q → Q, jika untuk setiap ¸ [ 0, P |Q ( Q| [ ¸ → 0 untuk  → ∞.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi A.12 (Nilai harapan) Misalkan Q adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang µ´ ' 

P Q ' . Nilai harapan dari Q dinotasikan E Q, adalah

36

E Q " ' P Q '  " ' µ´ ' , …

…

jika jumlah diatas konvergen mutlak.

(Hogg et al.2005) Lema A.2 Jika RQ7 , Q2 , … , Q U adalah peubah acak dan º7 , º2 , … , º adalah konstanta

sembarang, maka

E " º« Q« ‚ " º« E Q« . «.7

«.7

Bukti: Lihat Ghahramani (2005).

Definisi A.13 (Ragam) Misalkan Q adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang µ´ '  dan nilai harapan E Q, ragam dari Q dinotasikan dengan Var Q atau C´ 2 , adalah 2

2

C´ 2 EQ ( E Q "Q ( E Q µ´ ' . …

(Hogg et al.2005)

Lema A.3 Jika Q adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku Var Q  » 2 Var Q.

Bukti: Dari definisi dapat dituliskan bahwa Var Q  »

2

E ; Q  » ( E Q  » <

2

E ; Q  » ( E Q  » < 2

E y;Q ( E Q< z 2

E ;2 Q ( E Q < 2

2 EQ ( E Q

(Ghahramani 2005)

37

2 Var Q.

Dengan demikian Lema A.3 terbukti.

Definisi A.14 (Covarian) Misalkan Q dan ¼ adalah peubah acak, covarian dari Q dan ¼ didefinisikan sebagai

Cov Q, ¼ E¿Q ( E Q¼ ( E ¼À.

(Ghahramani 2005)

Lema A.4 Misalkan Q dan ¼ adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah konstanta sembarang, maka

 Q  » 2 Var Q  »2 Var ¼  2»Cov Q, ¼.

Jika Q dan ¼ adalah peubah acak yang saling bebas, maka

 Q  » 2 Var Q  »2 Var ¼.

(Ghahramani 2005)

Bukti: Dari definisi dapat dituliskan bahwa  Q  »¼

2

E ; Q  »¼ ( E Q  »¼ <

2

E y; Q  »¼ ( E Q  »E ¼< z 2

E y;Q ( E Q  »¼ ( E ¼< z 2

E y2 Q ( E Q  »2 ¼ ( E ¼  2»Q ( E Q¼ ( E ¼z

2 Var Q  »2 Var ¼  2»Cov Q, ¼. Dengan demikian Lema A.4 terbukti.

Definisi A.15 (Momen ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau Á- dari peubah acak Q adalahÁ- E Q - .

(Hogg et al.2005)

38

Definisi A.16 (Momen pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau C- dari peubah acak Q adalah C- E Q ( Á- - .

(Hogg et al.2005)

Nilai harapan peubah acak Q merupakan momen pertama dari Q . Nilai

harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acaka Q dengan nilai

harapannya disebut ragam dari Q . Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak Q.

Definisi A.17 (Fungsi pembangkit peluang) Fungsi pembangkit peluang dari suatu peubah acak X adalah ´  E  ´ 

untuk suatu  ∈  sehingga nilai harapan di atas ada.

(Grimmet and Stirzaker 1992)

Lema A.5 Jika Q memiliki fungsi pembangkit peluang ´ , maka (i)  1´ 1 E Q,

(ii) Secara umum dapat ditulis - EQ Q ( 1 Q ( 2 … . . Q (   1 ´ 1.

Bukti:Lihat Grimmet and Stirzaker (1992).

Lema A.6 Jika Q adalah peubah acak Poisson dengan parameter F, maka (i) E Q F,

A. 1

(ii) E Q 2  F  F2 ,

A. 2

(iv) E Q Π F  7F2  6FР FΠ,

A. 4

(iii)E Q Р F  3F2  FР, (v) E Q ( FΠF  3F2 .

Bukti:

Dari Definisi A.17 diperoleh

A. 3 A. 5

39

,

´  E  ´  "  -.+

F- 6Ä ] ] Ä J67 . A. 6 !

Berdasarkan Lema A.5 dan persamaan A. 6 diperoleh

E Q F, A. 7

Sehingga persamaan A. 1 terbukti. Dari persamaan A. 6 dan A. 7 diperoleh

EQ Q ( 1 F2 ⟺ E Q 2  E Q  F2 F  F2 , A. 8

sehingga persamaan A. 2 terbukti. Dari persamaan A. 6 , A. 7 , dan A. 8 diperoleh

EQ Q ( 1 Q ( 2 F– ⟺ E Q –  F–  3E Q 2  ( 2E Q ⟺ E Q –  F–  3 F  F2  ( 2F

⟺ E Q –  F  3F2  F– , A. 9

sehingga persamaan A. 3 terbukti. Dengan menggunakan persamaan A. 6 ,

A. 7, A. 8, dan A. 9 diperoleh

EQ Q ( 1 Q ( 2 Q ( 3 FŒ

⟺ E Q Œ  FŒ  6E Q –  ( 11E Q 2   6E Q

⟺ E Q Œ  FŒ  6 F–  3F2  F ( 11 F  F2   6F

⟺ E Q Œ  F  7F2  6F–  FŒ . A. 10

sehingga persamaan A. 4 terbukti. Dengan menggunakan persamaan A. 6 ,

A. 7, A. 8, A. 9 dan A. 10 diperoleh

E Q ( FΠE Q Π( 4Q РF  6Q 2 F2 ( 4QFР FΠ

⟺ E Q ( FŒ E Q Œ  ( 4FE Q –   6F2 E Q 2  ( 4F– E Q  FŒ

⟺ E Q ( FŒ F  7F2  6F–  FŒ  ( 4F F  3F2  F–   6F2 F  F2  (4F– F  FŒ

⟺ E Q ( FŒ F  7F2  6F–  FŒ ( 4F2 ( 12F– ( 4FŒ  6F–  6FŒ (4FŒ  FŒ

⟺ E Q ( FŒ F  3F2 .

sehingga persamaan A. 5 terbukti. Dengan demikian Lema A.6 terbukti.

40

Penduga Definisi A.18 (Statistik) Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al.2005) Definisi A.19 (Penduga) Misalkan

Q7 , Q2 , … , Q

adalah

contoh

acak.

Suatu

statistik

Æ Æ Q7 , Q2 , … , Q  Æ Q yang digunakan untuk menduga fungsi parameter

Ç b , dikatakan sebagai penduga bagi Ç b , dilambangkan oleh Ç bL . Nilai

amatan Æ Q7 , Q2 , … , Q  dari Æ dengan nilai amatan Q7 '7 , Q2 '2 , … , Q

' , disebut sebagai dugaan bagi Ç b.

(Hogg et al.2005)

Definisi A.20 (Penduga tak bias) ÆQ disebut penduga tak bias bagi Ç b, bila E¿ÆQÀ Ç b. Bila E¿ÆQÀ ( Ç b » b , maka » b disebut bias bagi penduga. Bila lim

→,

E¿ÆQÀ

Ç b, maka ÆQ disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi Ç b.

(Hogg et al.2005)

Definisi A.21 (Penduga konsisten) Suatu statistik Æ Q7 , Q2 , … , Q  yang konvergen dalam peluang ke parameter Ç b, yaitu disebut penduga konsisten bagi Ç b.

(Hogg et al.2005)

Definisi A.22 (Mean Square Error) Mean Square Error (MSE) dari penduga bL untuk parameter b adalah fungsi dari b yang didefinisikan oleh EÈ bL ( b2 . Dengan kata lain MSE adalah nilai

harapan dari kuadrat selisih antara penduga bL dan parameter b . Dari sini diperoleh

2

2

EÈ bL ( b2 VarbL   EÈ bL ( b VarbL  ;‘’bL < .

(Cassela and Berger 1990)

41

Definisi A.23 (O(1) dan o(1)) (i)

Suatu barisan bilangan nyata R U disebut terbatas dan ditulis  { 1

untuk → ∞, jika ada bilangan terhingga ¦ dan ‘ sehingga ¦ V  V ‘ untuk semua bilangan asli n.

(ii)

Suatu barisan R» U yang konvergen ke nol untuk  → ∞ , dapat ditulis

» t 1 untuk  → ∞.

(Purcell and Varberg 1998)

Definisi A.24 (Fungsi indikator) Fungsi indikator dari himpunan ¦ , sering ditulis IÉ ' , didefinisikan sebagai fungsi

1, jika ' ∈ ¦ ž IÉ '  Ê 0, jika ' ∉ ¦.

(Cassela and Berger 1990)

Lema A.7 (Ketaksamaan Markov) Jika Q adalah peubah acak, maka untuk suatu S [ 0, P |Q| Y S Z

Î |´| ^

.

(Ghahramani 2005)

Bukti: Misalkan ¦ |Q| Y S, maka |Q| Y SIÉ , dengan IÉ adalah fungsi indikator dari

¦. Jika ditentukan nilai harapannya, maka diperoleh

E |Q| Y E SIÉ 

SE IÉ  SP |Q| Y S

E |Q| . S Dengan demikian Lema A.7 terbukti.

⇔ P |Q| Y S Z

Lema A.8 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika Q adalah peubah acak dengan nilai harapan F dan ragam C 2 , maka untuk setiap S [ 0, P |Q ( F| Y S Z

Ð: ^:

.

(Ghahramani 2005)

42

Bukti: Karena Q ( F2 Y S 2 , dengan ketaksamaan Markov diperoleh

E Q ( F2  C 2

2. S2 S Oleh karena Q ( F2 Y S 2 adalah ekuivalen |Q ( F| Y S, dengan demikian Lema P Q ( F2 Y S 2  Z

A.8 terbukti.

Lema A.9 (Ketaksamaan Chaucy-Schwarz) Jika Q dan ¼ adalah peubah acak, maka berlaku E Q¼ Z ÑE Q 2 E ¼ 2 .

(Ghahramani 2005)

Bukti: Untuk semua bilangan real , Q ( ¼2 Y 0.

Oleh karena untuk semua nilai dari , Q 2 ( 2Q¼  2 ¼ Y 0.

Karena peubah acak non-negatif mempunyai nilai harapan non-negatif, maka E Q 2 ( 2Q¼  2 ¼ Y 0.

Hal ini berimplikasi bahwa

E Q 2  ( 2E Q¼  2 E ¼ Y 0.

Jika ditulis dalam bentuk polinomial dalam  yang berderajat 2, maka didapatkan 2 E ¼ ( 2E Q¼  E Q 2  Y 0.

Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga persamaan di atas dapat ditulis 4
E Q¼2 ( 4E Q 2 E Q 2  Z 0


E Q¼2 Z E Q 2 E Q 2 

E Q¼ Z ÑE Q 2 E ¼ 2 .

Dengan demikian Lema A.9 terbukti.

Lema A.10 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g mempunyai nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka

Untuk x → '.

Ç x  Ç '   "

Bukti: Lihat Serfling (1980).

-.7

Ç - ' x ( ' -  t |x ( ' | . !

43

Lema A.11 (Teorema deret Taylor) Misal f suatu fungsi maka deret Taylor dari f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) adalah ,

¤ '  "

.+

¤   

¤   ' (   !

¤ "   ¤ 1   ' (    ' (  2  ⋯ 2! 1!

(Stewart 1999)

Definisi A.25 (Terintegralkan Lokal) Fungsi intensitas  disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan

Borel terbatas ‘ diperoleh F ‘ DÒ  * V ∞.

(Dudley 1989)

Definisi A.26 (Titik Lebesgue) Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika `

1 $| '   (  |*' 0. lim `→+ 2# 6`

(Wheeden and Zygmund 1977)

Lema A.12 (Teorema Limit Pusat (CLT)) Misalkan RQ« U adalah barisan peubah acak yang bebas dengan masing-masing

memiliki nilai harapan RF« U dan ragamnya bernilai berhingga RC« 2 U. Jika ‘

2



∑«.7 C« 2 dan untuk suatu Ó [ 2 , ∑«.7 p |Q« ( F« |Ô t ‘ Ô  ,  → ∞ , maka 7

7

7

∑«.7 Q« menyebar normal asimtotik dengan nilai harapan ∑«.7 F« dan ragam

:

‘ 2,dinotasikan

= 1 1 1 " Q« → ¦  " F« , 2 ‘ 2 ‚.    «.7

Bukti: Lihat Serfling (1980).

«.7