DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer. New York. Dudley, R.M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret, R. 1996. Probability : Theory and Examples. Ed. ke-2. Duxbury Press. New York. Grimmett, G.R. and D.R. Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Helmers, R. 1995. On estimating the intensity of oil-polution in the North-Sea. CWI Note BS-N9501.
Helmers, R. and Zitikis, R. 1999. On estimation of Poisson intensity function. Annals Institute of Statistical Mathematics, 51,2, 265-280.
Helmers, R., Mangku, I W., and Zitikis, R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 19-39.
Helmers, R., Mangku, I W., and Zitikis, R. 2005. Statistical properties of a kerneltype estimator of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis, 92, 1-23.
Helmers, R., Mangku, I W., and Zitikis, R. 2007. A non-parametric estimator for the doubly-periodic Poisson intensity function. Statistical Methodology, 4, 481-492. Helmers, R. and Mangku, I W. 2007. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Accepted by Annals Institute of Statistical Mathematics.
Herniwati. 2007. Kekonsistenan Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik. Departemen
Matematika IPB. Skripsi. Bogor. Hogg, R.V., Mc Kean, J.W. and Craig, A.T. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-6. Prentice Hall, Upper Saddle River. New Jersey.
Mangku, I W. 1999. Nearest neighbor estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. CWI Report PNA-R9914.
Mangku, I W. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process. University of Amsterdam, Amsterdam. Mangku, I W. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Aplications, 4.
Mangku, I W. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Aplications, 5.
Mangku, I W. 2006b. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Aplications, 5.
Ross, S. M. 2003. Introduction to Probability Model. Ed. ke-8. Academic Press Inc. Orlando, Florida. Serfling, R. J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. John Wiley & Sons. New York. Taylor, H.M. and S. Karlin. 1984. An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press, Inc. Orlando, Florida. Wheeden, R.L. and A. Zygmund. 1977. Measure and Integral : An Introduction to Real Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.
LAMPIRAN
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Definisi 13 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 14 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω. (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 15 (Kejadian Lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong ( ∅ ) . (Grimmett and Stirzaker 1992) Definisi 16 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1. ∅ ∈ F. 2. Jika A ∈ F, maka Ac ∈ F. 3. Jika A1, A2, … ∈ F, maka
∞
∪ A ∈ F. i
i =1
(Hogg, Mc Kean and Craig 2005)
Misalkan Ω =
( himpunan bilangan nyata ) dan F adalah himpunan dari semua
selang terbuka di
. Jika B ⊆ F sehingga B adalah medan-σ, maka B disebut
medan-σ Borel yang anggotanya disebut himpunan Borel.
Definisi 17 (Ukuran Peluang)
Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan F adalah medan-σ pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur F ke himpunan bilangan nyata atau P : F →
,
disebut ukuran peluang jika:
1. P tak negatif, yaitu untuk setiap A ∈ F, P(A) ≥ 0. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika A1, A2, … ∈ F dengan Aj ∩ Ak = ∅ , j ≠ k, ⎛ ∞ ⎞ ∞ maka Ρ ⎜ ∪ An ⎟ = ∑ Ρ ( An ) . ⎝ n =1 ⎠ n =1
3. P bernorma satu, yaitu P(Ω) = 1. Pasangan (Ω, F, P ) disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 18 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: Ρ ( A ∩ B ) = Ρ ( A) Ρ ( B ) .
Secara umum, himpunan kejadian {Ai; i∈I} dikatakan saling bebas jika: ⎛ ⎞ Ρ ⎜ ∩ Ai ⎟ = ∏ Ρ ( Ai ) ⎝ i∈J ⎠ i∈J
untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett and Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 19 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω ∈ Ω ke satu dan hanya satu bilangan real X(ω) = x disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A = {x : x = X(ω), ω ∈ Ω}. (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 20 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 21 (Fungsi Sebaran)
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A. Misalkan kejadian A=(-∞,x] ⊂ A, maka peluang dari kejadian A adalah p X ( A ) = Ρ ( X ≤ x ) = FX ( x ) .
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 22 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p :
→ [0,1]
yang diberikan oleh: pX ( x ) = Ρ ( X = x ) .
(Hogg, Mc Kean and Craig 2005)
Definisi 23 (Peubah Acak Poisson)
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ, λ > 0, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh pX ( k ) = Ρ ( X = k ) =e . −λ
λk k!
,
untuk k = 0, 1, … (Ross 2003) Lema 5 (Jumlah Peubah Acak Poisson)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ1 dan λ2. Maka X+Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter λ1 + λ2. (Taylor and Karlin 1984) Bukti: lihat Taylor and Karlin 1984.
Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi 24 (Nilai Harapan)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X ( x ) = Ρ ( X = x ) . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
Ε ( X ) = ∑ x Ρ ( X = x ) = ∑ x pX ( x ) , x
x
jika jumlah di atas konvergen mutlak. (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 25 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p X ( x ) dan nilai harapan E(X). Maka ragam dari X, dinotasikan dengan Var ( X ) atau
(
σ X2 , adalah σ X2 =Ε ( X −Ε ( X
))
2
) = ∑( x −Ε( X )) p 2
x
X
(x ) .
(Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 26 (Momen ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif , maka momen ke-k atau mk dari peubah acak X adalah m k = Ε ( X
k
). (Hogg, Mc Kean and Craig 2005)
Definisi 27 (Momen Pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau
(
acak X adalah σ k = Ε ( X − m1 )
k
σk
dari peubah
). (Hogg, Mc Kean and Craig 2005)
Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan rataan atau momen pertama dari X. Nilai rataan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acak X dengan rataannya disebut ragam atau variance dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Definisi 28 (Fungsi Indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi Ι A : Ω → [ 0,1] , yang diberikan oleh:
⎧ 1, jika ω ∈ A Ι A (ω ) = ⎨ ⎩0, jika ω ∉ A .
(Grimmett and Stirzaker 1992) Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut : Ε Ι A = Ρ ( A) .
Kekonvergenan Peubah Acak
Terdapat beberapa cara untuk menginterpretasikan pernyataan kekonvergenan barisan peubah acak, X n → X untuk n→∞. Definisi 29 (Kekonvergenan Dalam Peluang)
Misalkan X1, X2, …, Xn adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang (Ω, F, P ). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke X, p dinotasikan X n ⎯⎯ → X , jika untuk setiap
berlaku Ρ ( X n − X > ε ) → 0 ,
ε >0
untuk n →∞. (Grimmett and Stirzaker 1992) Penduga Definisi 30 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 31 (Penduga)
Misalkan X1, X2, …, Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2, …, Xn) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ), dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g(θ), dilambangkan oleh gˆ n (θ ) . Bilamana nilai X1 = x1, X2 = x2, …, Xn = xn, maka nilai U(X1, X2, …, Xn) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi g(θ). (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 32 (Penduga Tak Bias)
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g(θ), yaitu E[U(X1, X2, …, Xn)] = g(θ) disebut penduga tak bias bagi parameter g(θ). Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii) Jika lim Ε ⎡⎣U ( X 1 , X 2 ,… , X n ) ⎤⎦ = g (θ ) , maka U(X1, X2, …, Xn) disebut sebagai n →∞ penduga tak bias asimtotik. (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 33 (Penduga Konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(θ), disebut penduga konsisten bagi g(θ). (Hogg, Mc Kean and Craig 2005) Definisi 34 (MSE suatu Penduga)
Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g(θ)
didefinisikan sebagai MSE(U) = E(U-g(θ))2= (Bias(U))2 + Var(U), dengan Bias(U) = EU - g(θ).
Definisi 35 (Fungsi Terintegralkan Lokal)
Fungsi intensitas λ adalah terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B kita peroleh
μ ( B ) = ∫ λ ( s ) ds < ∞ . B
(Dudley 1989) Definisi 36 (O(.) dan o(.))
Simbol-simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(i) Notasi u ( x ) = O ( v ( x ) ) , x → L , menyatakan bahwa
u ( x) terbatas, untuk v ( x)
x → L.
(ii) Notasi u ( x ) = o ( v ( x ) ) , x → L , menyatakan bahwa
u ( x) → 0 , untuk x → L. v ( x)
(Serfling 1980) Definisi 37 (Titik Lebesgue)
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari λ jika berlaku h
1 λ ( s + x ) − λ ( s ) dx = 0 . h →0 2h ∫ −h
lim
(Wheeden and Zygmund 1977)
Lema 6 (Teorema Fubini)
Misalkan (X, A, μ1) dan (Y, B, μ2) adalah dua ruang ukuran σ-finit. Jika f ≥ 0 atau ∫ f d μ < ∞ maka
∫ ∫ f ( x, y ) μ ( dy ) μ ( dx ) = ∫ 2
1
X Y
XxY
f d μ = ∫ ∫ f ( x, y ) μ1 ( dx ) μ2 ( dy ) . Y X
(Durret 1996) Bukti: lihat Durret 1996. Lema 7 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titik x. Maka n
g ( y ) = g (x ) +∑
g(
k)
k =1
(x )
k!
(y −x )
k
(
+o y − x
n
),
untuk y → x. (Serfling 1980) Bukti: lihat Serfling 1980. Lema 8 (Pertidaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan rataan μ dan ragam σ2, maka untuk setiap k > 0, Ρ{ X − μ ≥ k } ≤
σ2 k2
. (Ross 2003)
Bukti: lihat Ross 2003.
Lampiran 2. Program Simulasi
##-----------------------------------------Random<-function(wsize,tau) { maxlambda<-5.4366 LAB<-(maxlambda)*wsize N<-rpois(1,LAB) points<-runif(N,0,wsize) lambda<-2*exp(cos((2*pi*points)/tau)) p<-lambda/maxlambda p[p<0]<-1e-06 p[p>=1]<-0.999999 hold<-rbinom(N,1,p)==1 selected<-points[hold] return(selected) } ##--------------------------------------------Duga<-function(Data,wsize,titik,band,tau) { K<-floor((wsize-titik)/tau) vdt<-1:K for(k in 1:K) { pusat<-titik+(k-1)*tau bawah<-pusat-band atas<-pusat+band sample<-Data[Data>=bawah&Data<=atas] vdt[k]<-length(sample)/(2*band) } Dugaan<-(sum(vdt)*tau)/wsize return(Dugaan) } ##-------------------------------------------Penduga<-function(wsize,titik,band,tau,M) { Dugaan<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Random(wsize,tau) Dugaan[m]<-Duga(Data,wsize,titik,band,tau) }
Rata2<-mean(Dugaan) Dev<-(sd(Dugaan))^2 return(Rata2,Dev) } ##-------------------------------------------Penduga1<-function(wsize,titik,band,tau,M) { titik1<-titik+band titik2<-titik-band Dugaan_Turunan1<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Random(wsize,tau) Dugaan1<-Duga(Data,wsize,titik1,band,tau) Dugaan2<-Duga(Data,wsize,titik2,band,tau) Dugaan_Turunan1[m]<-((Dugaan1-Dugaan2)/(2*band)) } Rata2_Turunan1<-mean(Dugaan_Turunan1) Dev_Turunan1<-(sd(Dugaan_Turunan1))^2 return(Rata2_Turunan1,Dev_Turunan1) } ##-------------------------------------------Penduga2<-function(wsize,titik,band,tau,M) { titik3<-titik+(2*band) titik4<-titik-(2*band) Dugaan_Turunan2<-1:M for(m in 1:M) { Data<-Random(wsize,tau) Dugaan<-Duga(Data,wsize,titik,band,tau) Dugaan3<-Duga(Data,wsize,titik3,band,tau) Dugaan4<-Duga(Data,wsize,titik4,band,tau) Dugaan_Turunan2[m]<-((Dugaan3+Dugaan4-(2*Dugaan))/(4*(band)^2)) } Rata2_Turunan2<-mean(Dugaan_Turunan2) Dev_Turunan2<-(sd(Dugaan_Turunan2))^2 return(Rata2_Turunan2,Dev_Turunan2) } ##--------------------------------------------
