BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Beberapa Definisi
Kejadian tak pasti adalah kejadian yang munculnya tidak pasti sehingga tidak bisa diduga terlebih dahulu. Contohnya pada seperti pelemparan sebuah dadu, orang tidak dapat menduga dengan pasti sisi dadu mana yang akan muncul.
Ruang hasil adalah himpunan dari seluruh hasil yang mungkin muncul dari suatu kejadian tak pasti. Contohnya seperti pelemparan sebuah dadu, ruang hasilnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Dua kejadian atau lebih disebut saling bertentangan bila kejadian-kejadian tersebut tidak akan pernah muncul secara bersamaan. Misalnya dalam pelemparan sebuah mata uang, munculnya gambar atau angka adalah kejadian yang saling bertentangan (mutually exclusive), atau pada pelemparan sebuah dadu, munculnya dadu mata 6 dan 3 tidak akan bisa terjadi secara bersamaan.
Kumpulan kejadian dikatakatan bersifat lengkap apabila kumpulan kejadian tersebut merupakan suatu ruang hasil yang lengkap. Hal ini berarti bahwa jika suatu percobaan dilakukan, maka hasil yang muncul adalah salah satu dari kejadian yang ada dalam himpunan. Contohnya dalam hal pelemparan sebuah dadu. Kumpulan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah lengkap. Bila sebuah dadu dilempar, maka salah satu dari kumpulan angka tersebut pasti akan muncul.
Ada dua pernyataan dasar berkenaan dengan nilai kemungkinan, yaitu: 1. Besarnya nilai kemungkinan bagi munculnya suatu kejadian adalah selalu di antara nol dan satu. Pernyataan ini dapat ditulis dengan: 0 ≤ P ( A) ≤ 1
Universitas Sumatera Utara
dimana P(A) menyatakan nilai kemungkinan bagi munculnya kejadian A. 2. Jumlah nilai kemungkinan dari seluruh hasil yang mungkin muncul adalah satu. Jadi, jika suatu ruang hasil yang bersifat lengkap dinyatakan dengan W, maka jumlah kemungkinan seluruh anggota ruang hasil tersebut adalah satu, atau dituliskan dengan:
∑ P(w ) = 1 atau P(W) = 1 i
dimana Wi menyatakan anggota dari ruang hasil.
2.1.1 Teorema Bayes
Pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian dapat menggunakan teorema Bayes, dengan kriteria nilai harapan dengan iteratif sehingga ketelitian dan pendekatan ke keadaan sesungguhnya bisa tercapai, dimana peluangnya mempunyai nilai antara nol dan satu.
Teorema Bayes yang digunakan pada proses pengambilan keputusan tidak terlepas dari teori peluang sebagai konsep dasar. Teorema Bayes dikenal sebagai rumus dasar untuk peluang besyarat yang tidak bebas.
Proses pengambilan keputusan dengan menggunakan kriteria harga harapan sering disebut sebagai prosedur keputusan Bayes tanpa data. Meskipun kriteria harga harapan mudah pemakaiannya tetapi mengandung banyak kelemahan diantaranya ditemukan sumber informasi yang pada umumnya didasarkan pada pertimbangan subjektif. Oleh karena itu, pengambilan keputusan sering menyadari perlunya tambahan informasi yang pada umumnya didasarkan pada data sesungguhnya guna membantu proses pengambilan keputusan. Biasanya ada informasi yang menguntungkan dan ada informasi yang merugikan. Oleh karena itu, perlu dilakukan seleksi cermat untuk menentukan informasi yang dapat ditentukan taksiran yang yang lebih realistis dari peluang keadaan sesungguhnya.
Universitas Sumatera Utara
Syarat-syarat Teorema Bayes bisa digunakan untuk menentukan pengambilan keputusan, yaitu: •
Berada pada kondisi ketidakpastian (adanya alternatif tindakan)
•
Peluang Prior diketahui dan peluang Posterior dapat ditentukan
•
Peluangnya mempunyai nilai antara nol dan satu
Dalil Bayes Bila A1, A2, …, An adalah kejadian yang saling bertentangan dan lengkap, dan B adalah kejadian dalam ruang hasil tersebut dengan P(B ) ≠ 0
; i = 1, 2, 3, …, n
2.1.2 Kemungkinan Bersyarat
Kemungkinan bersyarat adalah kemungkinan suatu kejadian A terjadi apabila sebelumnya terlah terjadi kejadian B, atau bisa juga sebaliknya kemungkinan terjadinya kejadian B apabila sebelumnya telah terjadi kejadian A.
Untuk menghitung nilai kemungkinan bersyarat, digunakan definisi sebagai berikut: Definisi Untuk kejadian A dan B dimana P(B ) ≠ 0 ; maka nilai kemungkinan bersyarat kejadian A jika kejadian B diketahui, ditulis sebagai P A B , adalah: P AB =
P( A ∩ B ) P (B )
2.2 Penentuan Pilihan
Hampir setiap saat manusia membuat atau mangambil keputusan dan melaksanakannya, dengan asumsi bahwa segala tindakan yang diambil dilakukan secara sadar dan merupakan hasil proses pengambilan keputusan dalam pikirannya, sehingga sebenarnya manusia sudah terbiasa dan berpengalaman dalam membuat keputusan. Tetapi proses pembuatan keputusan tetap masih perlu dikaji lebih dalam.
Universitas Sumatera Utara
Sebuah contoh situasi pembuatan keputusan yang paling sederhana adalah situasi bagi seorang pegawai sewaktu mulai keluar dari runmah menuju ke kantor, salah satu contoh pembuatan keputusannya adalah saat pegawai tersebut perlu memutuskan rute yang sebaiknya diambil. Beragam pemikiran ada didalam benak pegawai tersebut, berkenaan dengan perempatan yang macet, jalan yang padat dengan becak atau lubang, atau pintu lintasan kereta api. Semua hal ini mempengaruhi keputusan yang dibuat dalam beberapa detik tersebut. Keputusan dilaksanakan dalam bentuk perjalanan melalui rute terpilih tersebut sampai dengan ke kantor. Bila kemudian keputusan tersebut dievaluasi maka kemungkinan pertanyaan yang muncul adalah “puaskah saya” atau “bagaimana kalau rute yang lain yang saya ambil” atau “aduh, saya terlambat lagi”.
Semua kemungkinan hasil evaluasi tersebut tidak akan memberikan konsekuensi apapun selama keputusan yang dibuat tidak perlu dipertanggungjawabkan kepada orang lain, atau selama prosesnya tidak perlu diminta pengertian dari pihak lain. Apabila tidak demikian halnya, maka masalah kecil di atas dapat menjadi lebih rumit, karena di dalam pertanggungjawabannya perlu diuraikan sasaran seperti apa yang ingin dicapai melalui perjalanan tersebut, alternatif rute yang dapat dipilih, informasi berkenaan dengan kepadatan dan kualitas jalan pada setiap rute, dan sebagainya. Selain itu, perlu dijelaskan pula kriteria seperti apa yang digunakan untuk dapat memilih suatu alternatif rute dikaitkan dengan konsekuensi yang akan diperoleh pada akhir perjalanan. Ini semua perlu diolah melalui suatu proses yang rasional untuk memperoleh jawaban, yaitu alternatif rute terbaik guna tercapainya sasaran.
Jelas bahwa untuk permasalahan rute perjalanan dari rumah ke kantor, suatu proses yang rasional akan kurang bermanfaat, karena secara intuitif saja jawaban akan dapat diperoleh. Dan mungkin beda 10 menit dengan rute terbaik (bila dapat diketahui) tidak ada artinya dibandingkan dengan rumitnya perhitungan apabila proses rasional akan diikuti. Tetapi untuk hal-hal yang besar, untuk keputusan-keputusan yang dianggap sangat penting, perlu dicari cara yang lebih baik untuk membuat keputusan. Berikut adalah beberapa cara dalam menentukan pilihan yang digunakan dalam menghadapi situasi keputusan tertentu.
Universitas Sumatera Utara
2.2.1 Pilihan Langsung
Salah satu cara yang umum digunakan dalam menentukan pilihan di atas diantara dua alternatif yang ada adalah dengan membandingkan keduanya secara langsung, kemudian menentukan pilihan berdasarkan intuisi.
Sebagian besar keputusan-keputusan yang dibuat dalam kehidupan adalah berdasarkan intuisi. Manusia mempertimbangkan pilihan-pilihan yang dihadapinya berdasarkan informasi yang telah dimilikinya sesuai dengan preferensinya terhadap resiko tindakan yang menunjukkan keputusan terbaik yang dipilihnya.
Berikut
ini
adalah
contoh
pengambilan
keputusan
secara
langsung
(menggunakan intuisi).
Contoh 2.1 Pengambilan Keputusan Secara Langsung Seorang wanita penjual barang dari rumah ke rumah menawarkan suatu produk sabun cuci, maka calon pembeli akan dihadapkan pada dua pilihan; yaitu bersedia atau tidak melayaninya. Bersedia melayani 0,5
0,5 Tidak bersedia melayani
2.1 Diagram Keputusan dalam Mnghadapai Penjual Sabun Cuci
Kalau calon pembeli bersedia melayani wanita penjual tersebut maka calon pembeli tersebut harus memutuskan apakah perlu meminta informasi lebih lanjut dari wanita tersebut. Pilihan yang tersedia antara lain : tidak meminta informasi tambahan tetapi langsung membeli (e0), meminta satu informasi tambahan (e1), atau minta beberapa informasi tambahan (e2). Sekarang ini diagram arus keputusan menjadi lebih rumit :
Universitas Sumatera Utara
ranting keputusan tidak minta informasi tambahan Cabang keputusan 0,5
bersedia melayani
minta satu informasi tambahan
Minta beberapa informasi tambahan
Tidak bersedia melayani
2.2.2 Nilai Ekspektasi
Pengambilan keputusan secara langsung dapat diterapkan untuk kejadian tak pasti yang sederhana. Tetapi bila kejadian tak pasti yang dilibatkan semakin rumit, sehingga penerapan pengambilan keputusan secara langsung tidak dapat atau sukar untuk dilakukan, maka cara yang sering digunakan adalah dengan menggunakan nilai ekspektsi sebagai dasar pemilihan.
Hasil yang dicerminkan dalam suatu distribusi kemungkinan dapat dinyatakan dalam harga rata-rata atau nilai ekspektasi, kemudian pembuat keputusan dapat memilih berdasarkan nilai ekspektasi yang tertinggi. Dengan kata lain, nilai ekspektasi adalah penjumlahan dari hasil kali probabilitas dengan konstribusinya (biasanya dalam satuan uang)
Contoh 2.2 Pangambilan Keputusan Menggunakan Nilai Ekspektasi Seorang menajer produksi diharapkan untuk memilih satu diantara tiga jenis produk baru yang akan dipasarkan. Produk pendahuluan untuk ketiga produk tersebut telah selesai dilakukan, demikian pula studi tentang harganya. Hasilnya dapat terlihat pada table 2.1. Selanjutnya dari penelitian pasar dapat pula diketahui distribusi kemungkinan tingkat penjualan yang mungkin dicapai untuk masing-masing produk seperti yang
Universitas Sumatera Utara
terlihat pada Tabel 2.2. dan selain itu pimpinan perusahaan telah memutuskan bahwa hanya satu produk baru dapat dipasarkan.
Tabel 2.1 Produk yang Dapat Dihasilkan Produk
Harga
Ongkos
Konstribusi
(unit)
(unit)
(unit)
A
Rp. 2500
Rp. 1500
Rp. 1000
B
Rp. 6000
Rp. 4000
Rp. 2000
C
Rp. 3750
Rp. 2250
Rp. 1500
Tabel 2.2 Distribusi Kemungkinan Tingkat Penjualan Tingkat Penjualan
Kemungkinan A
B
B
0
0
0,1
0,1
1000
0
0,2
0,3
2000
0,1
0,2
0,3
3000
0,1
0,4
0,2
4000
0,2
0,1
0,1
5000
0,6
0
0
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.2 Diagram Keputusan
Untuk contoh di atas, nilai ekspektasi untuk masing-masing produk adalah : Produk A : Nilai ekspektasi = (0,1) x (Rp 2.000) + (0,1) x (Rp 3.000) + (0,2) x (Rp 4.000) + (0,6) x (Rp. 5.000) = Rp. 4.300 (ribu) Produk B : Nilai ekspektasi = (0,1) x (0) + (0,2) x (Rp 2.000) + (0,2) x (Rp 4.000) + (0,4) x (Rp. 6.000) + (0,1) + (Rp. 8.000) = Rp. 4.400 (ribu) Produk C : Nilai ekspektasi = (0,1) x (0) + (0,3) x (Rp 1.500) + (0,3) x (Rp 3.000) + (0,2) x (Rp. 4.500) + (0,1) + (Rp. 6.000) = Rp. 2.850 (ribu)
Dengan membandingkan
nilai ekspektasi ini, maka produk B yang dipilih
karena produk B mempunyai nilai ekspektasi tertinggi.
2.2.3 Nilai Ekivalen Tetap
Universitas Sumatera Utara
Membuat keputusan dengan mendasarkan kepada nilai ekspektasi tidaklah sulit. Akan tetapi cara ini tidak dapat menunjukkan alternatif yang mana yang paling disukai. Karena kriteria nilai ekspektasi dalam persoalaan ini tidak mencerminkan apa yang diinginkan oleh sebahagian orang. Hal ini disebabkan karena nilai ekspektasi belum mencakup faktor resiko. Sedangkan faktor resiko penting untuk diperhitungkan, karena sikap orang terhadap resiko berbeda-beda.
Untuk menentukan pilihan dengan memasukkan faktor resiko adalah dengan menggunakan nilai Ekivalen Tetap. Nilai Ekivalen Tetap (NET) dari suatu kejadian tak pasti adalah suatu nilai tertentu dimana pembuat keputusan merasa tidak berbeda antara menerima hasil
yang dicerminkan dalam ketidakpastian tersebut, atau menerima
dengan kepastian suatu hasil dengan nilai tertentu. Besar nilai inilah yang disebut dengan Nilai
Ekivalen Tetap. Secara singkat dapat dikatakan bahwa Nilai Ekivalen
Tetap adalah nilai batas dimana pembuat keputusan bersedia untuk menukar alternatif yang dipilih.
2.2.4 Utillity
Utility
adalah
preferensi
pembuat
keputusan
terhadap
suatu
nilai
dengan
mempertimbangkan faktor resiko. Hasil penjajagan preferensi pembuatan keputusan terhadap suatu nilai dengan mempertimbangkan faktor resiko tersebut dinotasikan dalam suatu kurva yang disebut kurva preferensi atau kurva Utility. Kurva utility memberikan sebuah cara untuk mengkonversikan suatu satuan (misalnya mata uang Rupiah) menjadi unit utility.
2.2.4.1 Kurva Utility
Kurva Utility menggambarkan bagaimana utility atau preferensi suatu nilai bagi pembuat keputusan. Pada umumnya skala utility dinyatakan antara 0 dan 1; dimana
Universitas Sumatera Utara
skala utility = 1 menyatakan keadaan atau nilai yang paling disukai dan 0 menyatakan keadaan atau nilai yang paling tidak disukai.
Gambar 2.3 Kurva Utility untuk Contoh 2.1
2.2.4.2 Ekspektasi Utility
Karena utility merupakan pencerminan dari preferensi pembuat keputusan; maka untuk melakukan pemilihan, pembuat keputusan mendasarkan pada ekspektasi utility dari alternatif-alternatif yang ada, dan memilih berdasarkan ekspektasi utility yang tertinggi.
Sebagai contoh, dalam menghadapi situasi keputusan seperti pada Contoh 2.1 di atas, diagram keputusannya dapat digambarkan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.4 Diagram Keputusan dengan Memasukkan Utility
Untuk mencari Utility dari masing konsrtibusi laba seperti pada diagram keputusan di atas digunakan kurva utility (Gambar 2.4). setelah itu dapat dihitung Ekspektasi Utility (EU adalah hasil kali probabilitas dengan utility-nya ) dari masing-masing alternatif, sehingga didapatkan : Alternatif A : EUA = (0,1) x (0,45) + (0,1) x (0,6) + (0,2) x (0,78) + (0,6) x (0,87) = 0,79 Alternatif B : EUB = (0,1) x (0) + (0,2) x (0,45) + (0,2) x (0,78) + (0,4) x (0,94) + (0,1) x (1) = 0,72 Alternatif C : EUC = (0,1) x (0) + (0,3) x (0,31) + (0,3) x (0,64) + (0,2) x (0,83) + (0,1) x (0,94) = 0,55
Universitas Sumatera Utara
2.3 Sikap Menghadapi Resiko
Sikap seseorang dalam menghadapi suatu persoalan yang mengandung resiko pada dasarnya dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu : sikap menghindar resiko, netral atau sikap mengambil resiko.
2.3.1 Sikap penghindar Resiko
Bila seseorang bersifat sebagai penghindar resiko maka premi resikonya akan selalu positif. Dan semakin besar premi resiko tersebut, maka sifat penghindar resiko orang tersebut akan makin besar pula. Karena sifat penghindar resiko dinyatakan dengan premi resiko yang positif, maka kurva utility-nya tersebut akan selalu terletak disebelah kiri atas dari garis netral. Dengan kata lain kurva utility-nya berbentuk concave.
Gambar 2.5 Kurva Utility bagi Penghindar Resiko
Sebuah fungsi Utility bias dispesifikasikan seperti grafik di atas, ataupun dalam sebuah tabel. Fungsi Utility secara matematis dalapat dinyatakan dlam bentuk eksponensial, yang secara umum dinyatakan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
U(x) = 1 – e-x/R 2.3.2 Sikap Netral
Dilain pihak bila seseorang menyatakan bahwa ekivalen tetap sebuah lotere sama dengan nilai ekspektasinya, maka dia mempunyai sikap yang netral dalam menghadapi resiko. Dalam hal ini maka premi resikonya adalah nol. Dan kurva Utilitynya digambarkan sebagai garis lurus.
Gambar 2.6 Kurva Utility Bagi Sikap Netral
2.3.3 Sikap Penggemar Resiko
Seseorang yang memiliki sifat sebagai penggemar resiko, maka ekivalen tetap atas suatu kejadian tak pesti baginya akan lebih besar dari pada nilai ekspektasi dari kejadian tersebut. Untuk orang ini maka premi resikonya adalah negatif, artinya dia mengharapkan suatu tambahan dari nilai ekspektasi, agar bersedia melepaskan lotere tersebut. Bagi orang ini mka kurva utilitynya akan berbentuk convex.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7 Kurva Utiliy bagi Pengambil Resiko
2.4 Toleransi Resiko dan Fungsi Utility Eksponensial
Penaksiran utility dapat digunakan untuk menaksir sebuah fungsi utility secara subjektif. Serta dapat digunakan untuk berbagai situasi, meskipun hal tersebut melibatkan sejumlah penaksiran. Sebuah alternatif pendekatan berguna untuk mendasarkan penaksiran sebuah fungsi matematika khusus. Fungsi utility eksponensial sebagi berikut : U(x) = 1 – e-x/R
Dalam fungsi utility eksponensial, R disebut dengan toleransi resiko. Semakin besar nilai R maka akan semakin mendatar pula fungsi utility eksponensialnya, sebaliknya semakin kecil nilai R maka akan semakin concave kurvanya.
Universitas Sumatera Utara
