LAMPIRAN I
Alfabet Yunani Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ
Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon phi Chi Psi Omega
Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
,
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN II
Metode Pemisahan Variabel untuk Persamaan Kalor Satu Dimensi Homogen dan Mensubsitusikan Solusinya pada Persamaan Kalor Non Homogen untuk Memeperoleh Q(x,t) Temperatur batang konduktor pada posisi x dan waktu t melalui persamaan T (x,t) = X(x)
(t), maka diperoleh : −
Maka 1
=
=0
1
Catatan : X dan T harus dimisalkan dengan suatu konstanta pangkat dua dengan tanda ( - ).
Jadi diperoleh :
1. Untuk mencari nilai X 1
= −l
1
+ l = 0
+l
= 0
Untuk mendapatkan hasil persamaan karakteristik maka selalu pemisahan
dinyatakan dengan bentuk eksponensial. Misal : =
;
=
;
=
Jadi, persamaan karakteistik dapat diubah menjadi : +l
Maka :
= 0
Universitas Sumatera Utara
m2emx +
emx = 0
emx di antara kedua suku dihilangkan, maka diperoleh : m2 + l
=0
m2
persamaan karakteristik
== √−
m1,2
= √−1√
m1,2
= ±i √
m1,2 m1,2
= ±i
Maka didapat nilai X yaitu : Diketahui bahwa:
= cos
+
= cos
( )= −
+
Maka penyelesaian dari X(x) dapat ditulis: ( )=
( )=( ( )=( Dengan: =
(cos +
)cos
+
+
)cos
dan
+(
) + (cos
+ ( )
= (
−
−
)
−
)
)
Dengan menggunakan syarat batas a. Untuk T ( 0, t ) = 0 0 = D3 cos
0 + D4 sin 0
0 = D3 + 0 D3 = 0 b. Untuk T ( L, t ) = 0
0 = D3 cos L + D4 sin L
Agar solusi tidak trivial D4 ≠ 0, maka persamaan di atas harus memenuhi Sin
L
= 0, di mana berarti L = n
, dengan n = 1, 2, 3, . . .
Universitas Sumatera Utara
=
Hal ini juga berarti : =
Maka solusi X yang tidak trivial adalah : ( ) =
2. Untuk mencari nilai T 1
= −
1
+
+ a
=
Maka
=0
= 0
;
memt + a m+ a
=
emt = 0
m
=0
persamaan karakteristik
=- a
Maka didapat nilai T yaitu dengan
( ) =
a
m = −α
Maka didapat nilai T yaitu ( ) =
Fungsi Kalor untuk satu dimensi : T(x,t) = X(x) T(t) T( , ) =
Universitas Sumatera Utara
Misalkan D4 . B1 = E, maka T( , ) = Misalkan : ( ) =
a
Sehingga ( , ) dapat ditulis menjadi : ( )
T( , ) =
Persamaan di atas disubsitusikan pada persamaan kalor non homogen
T T
T( , ) = =
T
= −
−
( )
T( , )
= ( , )
(∗)
( )
( )
(∗∗)
Subsitusikan (*) dan (**) ke persamaan kalor satu dimensi non homogen ( , ) = ( , )=
( ) ( )
+
+ ( )
( )
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN III
Menentukan Pn (t) dengan Menggunakan Metode Integrasi serta Melibatkan Deret Fourier Sinus dan Syarat Awal
( )
( , )=
Dari persamaan (i) misalkan : ( )
( )=
( )
+ ( )
+
( )
Sehingga persamaan (5) menjadi : ( , )=
( )
( )
( )
Karena pada persamaan (iii) merupakan deret Fourier sinus pada interval
0 x L, maka ( )=
2
( )=
( , )
2
( , )
,
Pada (ii) membentuk persamaan diferensial linear orde satu, yang bentuk
umumnya adalah + ( ) = ( )
Dengan faktor integrasinya ∫ ( )
+
∫ ( )
∫ ( )
( ) =
Maka dengan faktor integrasi :
, maka persamaan di atas menjadi : ∫ ( )
∫ ( )
( )
=
Universitas Sumatera Utara
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan faktor integrasi sehingga diperoleh : ( )
( ) =
+
a
( )
Pada persamaan di atas merupakan turunan yang berbentuk : ( )
( )=
+
Sehingga persamaannya menjadi : ( ) =
( )
( ) =
( )
( )
−
(0)
=
( )
−
(0) =
( )
(0) + ∫
( )=
( )
( )
( ) =
( )=
( )
(0)
( )
+
( )
(∗)
Pada persamaan di atas terdapat Pn(0) yang belum diketahui, untuk itu digunakan syarat awal
T( , 0) = ( ) =
(0)
Maka
(0) =
2
( )
( , 0 ) = ( )
Universitas Sumatera Utara
2 (0) =
( )
(∗∗)
Subsitusikan (**) ke (*), sehingga diperoleh ( )=
2
( ) sin
+
( )
(
)
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN IV
Contoh Penyelesaian Persamaan Kalor Satu Dimensi Non Homogen Dengan Menggunakan Metode Fungsi Green T( , )
−
T( , )
=
3 0 <
< p, > 0
T( , 0) = ( ) 0 ≤
≤p
Dari persamaan di atas diketahui bahwa ( , )=
3
Misalkan solusi dari persamaan kalor satu dimensi yang homogen adalah ( , ) Maka fungsi v harus menjadi solusi dari masalah berikut ( , )
−
( , )
< p, > 0 ( )
= 0 0 <
(0, ) = (p, ) = 0 ≥ 0
( , 0) = ( ) − 0 ≤ p
Dengan menggunakan seperasi variabel diperoleh =
dan
( ) = sin
≤p
, ≥ 1
Maka solusi v yang dinyatakan dalam deret fourier adalah ( , ) =
( )
Persamaan tersebut disubsitusikan ke persamaan (a) ( , ) Berarti:
− ( )
( , )
+
( )
=
( )
=
+
( )
sin
=
3 ( )
0 ≠ 3, ≥ 1 = 3
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan (b) misalkan : ( )
( )=
+
( )( ) ( )
Sehingga diperoleh persamaan ( )
( , )=
a. Karena pada persamaan di atas merupakan deret Fourier sinus pada interval 0 x L, maka 2 ( )= p
p
( , )
2 ( )= p
,
p
( , )
p
n = 3, maka
2 ( ( )= p
3 )
p
2 ( )= ( p ( )=
2
p
p
( )=
( )=
1 ( 1 − 2
p
3 )
−
p−
p
( )=
1 6
1 6
6 )
6
6 −0
b. Persamaan (c) dapat didefinisikan dengan menggunakan faktor integrasi dan deret fourier, sehingga diperoleh: ( )=
(0)
+
( )
Universitas Sumatera Utara
Jika n = 3, maka
( )=
(0)
+
( )=
(0)
+
( )=
(0) ( )=
( )=
( )=
Saat t=0, maka
Maka diperoleh
Maka diperoleh
+ (0)
(
+
1 + ( 8
(0)
( ) − = ( , 0) = p
T( , ) =
1 + ( p 8
1 ( 8
−
(0)
− 1) )
+ = ( ) p
(0) −
1 8
+
(0)
T( , 0) =
1 − 1)
)+
(0)
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN V
Contoh Penyelesaian Persamaan Kalor Satu Dimensi Non Homogen Dengan Menggunakan Seperasi Variabel T( , )
−
T( , )
=
3 0 <
< p, > 0
T( , 0) = ( ) 0 ≤
Maka solusi dari ( , )adalah
≤p
T( , ) = ( , ) + ( , )
Karena karena kondisi di atas merupakan kondisi batas Dirichlet diambil untuk w fungsi ( , )=
p Maka fungsi v harus menjadi solusi dari masalah berikut ( , )
( , )
−
=
3 0 <
< p, > 0 ( )
(0, ) = (p, ) = 0 ≥ 0
( , 0) = ( ) − 0 ≤ p
Dengan menggunakan seperasi variabel diperoleh =
( ) = sin
dan
≤p
, ≥ 1
Maka solusi v yang dinyatakan dalam deret fourier adalah ( , ) =
( )
Persamaan tersebut disubsitusikan ke persamaan (a) ( , ) Berarti:
−
( )
+
( , )
( )
=
=
( )
+
( )
sin
=
3
0 ≠ 3, ≥ 1 = 3
Universitas Sumatera Utara
Saat t=0, maka ( ) − = ( , 0) = p
Maka
2 (0) = p
Jika n ≠ 3, maka
( )−
Bila
( ) = ( )
( )+9 ( )=
Karenanya
p
(0)
( ) adalah
Kemudian Maka
p
( )=
Jika n = 3, maka solusi dari
(0)
( )
−9 ( ) ( )=
( ) = (0) +
( ) = (0)
(0) = (0),maka
Maka T( , ) =
( , ) =
1 + ( p 8
=
1 + ( p 8
+9 ( )
− 1) −
1 = (0) + ( 8
1 + ( 8 ( )
=
( )
=
− 1)
− 1)
+
(0)
)+
(0)
Universitas Sumatera Utara
Universitas Sumatera Utara
