Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:
2 x . x
2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce f : y 4 3
4 8x 5x 2 . x 1
x . 2
4) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB a kuželosečky dané rovnicí
x2 y2 1. 4 9
A = [– 2; 0], B = [6; 12]. 5) Dvěma bratrům je dohromady 84 let. Když bylo staršímu bratrovi tolik let, kolik je dnes mladšímu, bylo mladšímu právě polovina toho, kolik je dnes staršímu. Udejte stáří obou bratrů.
40 min
ad1) Jedná se o jednoduché vyjádření neznámé ze vzorce pomocí ekvivalentních úprav rovnic. Začnu tím, že zlomek s neznámou x přičtu napravo, gamu odečtu nalevo. To kvůli tomu mínusu před zlomkem, kdyby to náhodou někoho zajímalo.
2 x x
Teď se zbavím zlomku vhodným násobením rovnice.
x 2 x
Roznásobím závorky vlevo.
x x 2 x
Členy s neznámou x směřuju nalevo, zbytek napravo.
x x x 2
Neznámou x vytknu před závorku.
x 2
Vydělím rovnici závorkou.
x
2
x
2 1
Ještě provedu nějaké dílčí vytýkání, aby to trochu vypadalo.
ad2)
4 8x 5x 2 definován. Začnu x 1 jmenovatelem zlomku. Ten nesmí být nula, takže první hledané číslo je x 1 . Gut. Mám najít všechna reálná čísla x, pro která není výraz
Nyní přikročím ke druhé odmocnině v čitateli zlomku. Sudá odmocnina není definována pro záporná čísla. Zapíšu-li tento fakt „matematicky“, dostanu jednoduchou kvadratickou nerovnici.
4 8x 5x 2 0
Nejprve vyřeším příslušnou kvadratickou rovnici.
5 x 2 8 x 4 0 → a = –5, b = 8, c = 4 → D 64 4 4 5 144 → 8 12 2 x1, 2 → x ; 2 10 5
D 12
Graf funkce y 5 x 2 8 x 4 je parabola tvaru „kopečku“, která protíná osu x v bodech 2 2 ; 0 a 2 ; 0 . Je tedy záporná (pod osou x) pro všechna x ; 2 ; . Přidám 5 5 2 li k těmto dvěma intervalům jedničku, dostanu výsledek: x ; 1 2 ; . 5 Pro názornost přikládám ještě graf funkce y 5 x 2 8 x 4 . Kopec jak „bejk“.
ad3)
x je lomená čára tvaru obráceného 2 písmene V, jelikož před absolutní hodnotou je mínus. Tím pádem je zcela evidentní, že obor hodnot této funkce bude interval ; y max . Zbývá určit ymax. Graf lineární funkce s absolutní hodnotou f : y 4 3
Lomená čára se někde láme. Proto jí říkáme lomená. A láme se v tzv. nulovém bodě, což je takové číslo x, pro které je vnitřek absolutní hodnoty roven nule. Položím tedy vnitřek absolutní hodnoty roven nule a dostanu jednoduchou rovnici. 3
x 0 → x=6 2
Číslo ymax je funkční hodnota v bodě x = 6. Její určení je otázkou vteřin.
y max 4 3
6 4 2
Závěr: H f ; 4
Pozn. Výše uvedené řešení je zbytečně zdlouhavé. Osobně bych daný příklad řešil takto:
x je lomená čára tvaru obráceného 2 písmene V, jelikož před absolutní hodnotou je mínus. Nejmenší hodnota, jaké může nabývat x x výraz 3 , je nula. Proto je maximální hodnota výrazu 4 3 rovna čtyřem. Závěr je 2 2 uveden výše. Graf lineární funkce s absolutní hodnotou f : y 4 3
Pro ilustraci ještě přikládám graf funkce f : y 4 3
x . 2
y
x
ad4) Nejdřív je třeba vytvořit rovnici přímky procházející body A = [– 2; 0] a B = [6; 12]. To není nic složitého, znám-li ovšem obecný předpis lineární funkce: y = ax + b. Potřebuju znát hodnotu čísel a, b, takže do předpisu funkce postupně dosadím body A a B, čímž získám jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic. A → 0 2a b B → 12 6a b
Rovnice od sebe odečtu v libovolném pořadí.
B – A → 12 8a → a
3 2
Dopočítat b je hračka.
0 2a b 3 0 2 b → b 3 2
3 x 3 . Nyní výraz vpravo dosadím do rovnice 2 kuželosečky za neznámou y. Tím získám jednu rovnici o jedné neznámé. Ještě před tím však rovnici kuželosečky vynásobím číslem 36.
OK, mám tedy předpis lineární funkce y
x2 y2 1 4 9 9 x 2 4 y 2 36
Teď tedy dosadím. 2
3 9 x 2 4 x 3 36 2
Provedu naznačenou druhou mocninu. Podle vzorce!
9 9 x 2 4 x 2 9 x 9 36 4
Roznásobím.
9 x 2 9 x 2 36 x 36 36
Jak tak koukám, vyklubala se z toho lineární rovnice. Přímka je tudíž asymptotickou sečnou kuželosečky (hyperboly).
36 x 72 → x 2
Dopočítám ještě druhou souřadnici průsečíku přímky s kuželosečkou. Vlastně nemusím, už ji znám! Je to totiž bod A. Závěr: Přímka je asymptotickou sečnou kuželosečky. Jejich průsečík je zadaný bod A.
ad5) Dvěma bratrům je dohromady 84 let. Když bylo staršímu bratrovi tolik let, kolik je dnes mladšímu, bylo mladšímu právě polovina toho, kolik je dnes staršímu. Udejte stáří obou bratrů. Základem úspěšného řešení každé slovní úlohy je vhodné označení neznámých. Napadá mě toto:
věk dnes věk před lety
starší bratr x 84 – x
mladší bratr 84 – x 0,5x
Všichni stárneme stejně rychle (i když to tak leckdy nevypadá), proto rozdíl věků obou bratrů zůstává konstantní. Označím ho například R. R = x – (84 – x) R = 84 – x – 0,5x --------------------R = 2x – 84 R = 84 – 1,5x
„starší mínus mladší dnes“ „starší mínus mladší před lety“
Získal jsem jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Volím metodu odčítací. 0 = 3,5x – 168 → x = 48 → 84 – x = 36 Odpověď: Staršímu bratrovi je dnes 48 let, mladšímu 36 let.
