Kmitání jednorozměrných kontinuí Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Kontinuum je fyzikální model poddajného tělesa se spojitě rozloženou hmotou. Při odvozování pohybových rovnic využíváme libovolně malé elementy kontinua, kterým říkáme body. Přitom předpokládáme, že vlastnosti elementu jsou při jeho libovolném dělení zachovány. Odezíráme tedy od molekulární (popřípadě zrnité) struktury hmoty. Proto uvedený model hmotného tělesa lze užít pouze v případech buzení, jehož libovolná harmonická Fourierova rozkladu má dobu periody alespoň řádově větší než jsou rozměry molekul (zrn). Polohu bodů kontinua vztahujeme k souřadnicové soustavě spojené s nedeformovaným tělesem v klidu. Podle počtu souřadnic potřebných pro určení polohy bodu rozdělujeme kontinua na jednorozměrná (lana, hřídele, nosníky), dvojrozměrná (membrány, desky, skořepiny) a třírozměrná. U jednorozměrných kontinuí musí převažovat podélný rozměr nad rozměry příčnými. Deformace elementů se pak popisuje pouze přemístěním bodů na střednici a eventuálním natočením řezů. Pole deformací je svázáno s polem napjatosti deformačními zákony. Nejjednodušší případ je vazba Hookeovým zákonem, kdy vztahy mezi složkami (tenzoru) napětí a deformace jsou lineární. Takovému kontinuu říkáme lineární kontinuum. Lineární kontinuum je charakterizováno materiálovými konstantami. U většiny látek vystačíme se dvěma materiálovými konstantami. Jsou to dvě z následujících tří konstant: • modul pružnosti v tahu E [Pa], • modul pružnosti ve smyku G [Pa], • bezrozměrné Poissonovo číslo ϑ. Mezi těmito konstantami platí vztah E = 2(1 + ϑ). G Rozložení hmotnosti je charakterizováno hustotou µ[kg/m3 ]. V některých příkladech, kdy neuvažujeme příčné rozměry kontinua (struna), může hustota být vyjádřena i v [kg/m] nebo v [kg/m2 ]. Pokud uvažujeme při pohybu kontinua disipaci energie, jsou uvedené konstanty doplněny ještě konstantami tlumení. Neuvažujeme-li tlumení, vystačíme většinou se třemi konstantami, a sice hustotou µ, modulem pružnosti v tahu E a ve smyku G. Poznamenejme, že tyto veličiny mohou být v nejobecnějším případě funkcemi polohy bodu kontinua.
1
Kmitání struny
Struna je těleso délky l malých příčných rozměrů předepnuté předepínací silou S(x) v její ose. Velikost této síly může být obecně závislá na poloze bodu struny. Předpokládáme, že konce struny konají předepsané pohyby ve směru kolmém k ose struny v nedeformovaném stavu, pro oba konce v jedné rovině. Ve zmíněné rovině je struna zatížena k její ose v nedeformovaném stavu kolmým spojitým zatížením měrnou délkovou silou f (x, t) závislou obecně na poloze x bodu struny i na čase t. Délková hustota 1
struny µ(x) může být rovněž závislá na poloze bodu struny. Ke kmitání struny ve výše zmíněné rovině může docházet vlivem popsaného (spojitého) zatížení nebo vychýlením bodů struny v uvedené rovině podle zadané funkce polohy bodu struny v počátečním čase popřípadě udělením rychlosti těmto bodům. Pohyb každého bodu struny se pak děje (při malých výchylkách) ve směru kolmém k ose struny v nedeformovaném stavu ve výše popsané rovině.
1.1
Odvození pohybové rovnice
Vytkněme element struny délky dx nacházející se v poloze x (obr.1). Výchylky konců y f (x, t) S + dS ψ
ψ + dψ
S
v
dD
v + dv x x=l
x=0 dx
x
Obrázek 1: elementu (v rovině pohybu xy) jsou v a v + dv. Předepínací síla na koncích elementu (v tečně ke střednici) je S a S+dS, úhel sklonu tečny pak ψ a ψ+dψ. Kromě předepínací síly působí na element ještě budící účinek popsaný délkovou hustotou síly f (x, t) a setrvačná síla dD obě směru kolmého na osu struny v nedeformovaném stavu (obr.1). Podmínka dynamické rovnováhy elementu ve směru kolmém k ose struny v nedeformovaném stavu dává (S + dS) sin(ψ + dψ) − S sin ψ − dD + f (x, t)dx = 0 .
(1)
Pro velikost setrvačné síly platí
∂ 2v ∂ 2v = µdx , (2) ∂t2 ∂t2 kde dm je element hmotnosti a a je (příčné) zrychlení. Pro plochou křivku v(x, t), kterou při malých výchylkách struna ve zvoleném čase t zaujímá, platí dD = dm · a = dm
sin(ψ + dψ) ≈ ψ + dψ ; sin ψ ≈ ψ .
(3)
Dosazením (3) a (2) do (1) dostaneme
∂ 2v (S + dS)(ψ + dψ) − Sψ − µdx 2 + f (x, t)dx = 0 . ∂t Zanedbáním diferenciálně malé veličiny druhého řádu dSdψ a vyjádřením přírůstků předepínací síly a úhlu sklonu tečny ke křivce pomocí přírůstků nezávisle proměnné x a příslušných derivací jako 2
dS =
∂S ∂ψ dx ; dψ = dx ∂x ∂x
dostaneme ∂ψ ∂S ∂ 2v dx + ψ dx − µdx 2 + f (x, t)dx = 0 . ∂x ∂x ∂t Krácením délkou elementu a vyjádřením sklonu tečny ke křivce pro ploché křivky jako ∂v dostaneme ψ ≈ tgψ = ∂x S
∂ 2 v ∂v ∂S ∂ 2v S 2+ − µ 2 + f (x, t) = 0 . ∂x ∂x ∂x ∂t Podle vztahu pro derivaci součinu přepíšeme rovnici na konečný tvar ∂ ∂v ∂ 2v S µ 2− ∂x ∂x ∂x
!
= f (x, t) .
(4)
Pro konstantní předepínací sílu se (4) přepíše do tvaru ∂2v S ∂2v 1 − = f (x, t) . 2 2 ∂t µ ∂x µ Konstanta
S µ
(5)
má rozměr kvadrátu rychlosti, jak plyne z následující rozměrové analýzy "
N S = kg = µ m #
kg m s2 kg m
=
m2 . s2
Rovnice (5) je nehomogenní hyperbolická parciální diferenciální rovnice druhého řádu (tzv. vlnová rovnice). Doplněním o okrajové podmínky v(0, t) = v1 (t), v(l, t) = v2 (t) a (x, 0) = v˙ 0 (x), kde v1 , v2 , v0 a v˙ 0 jsou zadané o počáteční podmínky v(x, 0) = v0 (x) a ∂v ∂t funkce jedné proměnné, dostáváme tzv. okrajovou úlohu, která má jednoznačné řešení.
1.2
Úloha vlastních hodnot
Označme c =
q
S . µ
Potom homogenní rovnice k (5) má tvar
2 ∂2v 2∂ v − c = 0. ∂t2 ∂x2 Poznámka: Snadno ověříme, že (6) má řešení
v(x, t) = Φ(x + ct) + Ψ(x − ct) ,
(6)
(7)
kde Φ a Ψ jsou libovolné dvakrát derivovatelné funkce jedné proměnné. Toto řešení lze fyzikálně interpretovat jako složení vlny o tvaru daném funkcí Φ, šířící se rychlostí c od x = l k x = 0, s vlnou o tvaru daném funkcí Ψ, šířící se toutéž rychlostí opačným směrem. Výše definovaná rychlost c je tedy rychlost šíření vlny ve struně. Uvedené řešení (7) se nazývá vlnové řešení rovnice (6). Nás bude zajímat řešení, kterému budeme pracovně říkat ”kmitavé”, jež lze psát v separovaném tvaru v(x, t) = X(x)T (t), kde X a T jsou zatím neznámé funkce jedné 2 2 proměnné. Dosazením tohoto vyjádření do (6) dostaneme ddtT2 X = c2 T ddxX2 , odkud pro T 6= 0 a X 6= 0 plyne 3
d2 X 2 dx2
d2 T dt2
(t) = c (x) . (8) T X Protože levá strana této rovnosti je pouze funkcí času a pravá pouze funkcí polohy, rovnost nemůže být splněna jinak, než že obě funkce jsou (stejnou) konstantou. Tato konstanta může mít libovolnou hodnotu. ”Kmitavé” řešení však dostaneme pouze v případě, že tato konstanta bude záporná. Pro zvýraznění jejího signa ji označme −Ω2 . Podle (8) potom d2 T dt2
d2 T = −Ω ⇔ + Ω2 T = 0 , 2 T dt 2
d2 X dx2
Ω Ω2 d2 X =− 2 ⇔ + X c dx2 c
!2
X = 0.
(9) (10)
Obecné řešení obyčejné diferenciální rovnice (9) je T (t) = A cos Ωt + B sin Ωt a obecné řešení rovnice (10) pak Ω Ω x + D sin x , c c kde A, B, C a D jsou libovolné integrační konstanty. Řešením rovnice (6) je pak jejich součin X(x) = C cos
Ω Ω v(x, t) = C cos x + D sin x (A cos Ωt + B sin Ωt) . c c !
(11)
Poznámka: Pokud by konstanta −Ω2 nebyla záporná, řešení (11) by místo goniometrických funkcí obsahovalo funkce hyperbolické. Toto řešení nepopisuje kmitavý pohyb, pročež se jím v dalším nebudeme zabývat. Struna bývá většinou na krajích upevněná (nemůže se pohybovat). Těmto okrajovým podmínkám odpovídá matematické vyjádření v(0, t) ≡ 0 a zároveň v(l, t) ≡ 0. Vzhledem k (11) lze tyto podmínky pro libovolný čas splnit právě když platí X(0) = X(l) = 0. Z podmínky X(0) = 0 vzhledem k tvaru funkce X(x) plyne C = 0. Funkce X má potom tvar X(x) = D sin Ωc x a druhá okrajová podmínka dává Ω l = 0. c Nyní už nelze klásti D = 0, protože pak by řešení pohybové rovnice bylo jen triviální. Proto druhá okrajová podmínka je ekvivalentní vztahu X(l) = D sin
Ω Ω l = 0 ⇔ l = kπ c c pro libovolné celé k. Jedná se o tzv. frekvenční rovnici struny pro uvedené triviální okrajové podmínky. Z ní dostáváme vlastní frekvence sin
1 (12) Ωk = kπc ; k = 1, 2, . . . . l Vzhledem k (11) je pro každé přirozené k (frekvence jsou kladné hodnoty) řešením pohybové rovnice (6) s triviálními okrajovými podmínkami funkce 4
Ωk x(A′k cos Ωk t + Bk′ sin Ωk t) , (13) c kde vlastní frekvence Ωk jsou dány v (12) a A′k a Bk′ jsou libovolné integrační konstanty určené z počátečních podmínek úlohy. Funkce vk (x, t) = sin
x Ωk x = sin kπ ; k = 1, 2, . . . (14) c l se nazývají vlastní funkce příslušející k triviálním okrajovým podmínkám a k vlastním frekvencím pořadí k definovaným v (12). Je-li (13) řešením pohybové rovnice (6), je jím i Xk (x) = sin
v(x, t) =
∞ X
vk (x, t) =
∞ X
sin
k=1
k=1
Ωk x(A′k cos Ωk t + Bk′ sin Ωk t) , c
(15)
ovšem za předpokladu stejnoměrné konvergence vpravo uvedené funkcionální řady na množině {[x, t], x ∈ h0, lixh0, T i} pro vhodně určený maximální čas T . Poznámky: 1. Vlastních frekvencí a jim odpovídajících vlastních funkcí je nekonečně mnoho. Je to obecná vlastnost soustav se spojitě rozloženými parametry. Jednotlivé vlastní funkce prvních pěti pořadových čísel jsou znázorněny na obr.2. Všechny vlastní funkce jsou nulové na koncích struny. Kromě toho pro vlastní funkce pořadí dvě a vyššího existují i body nulové funkční hodnoty uvnitř struny. Jsou to tzv. uzly. Je patrné, že vlastní funkce pořadí j má j − 1 uzlů (oba konce struny lze brát jako další dva uzly).
Vlastni funkce vetknute struny 1
0.8
0.6
0.4
yk
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
k=1 k=2 k=3 k=4 k=5
−0.8
−1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 x/l
Obrázek 2:
5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2. Rovnice (15) vyjadřuje jakýsi rozklad řešení pohybové rovnice (6) pomocí příspěvků vlastních funkcí. ”Koeficienty” tohoto rozkladu jsou harmonické časové funkce. Je zde patrná analogie s modální transformací soustav s konečným počtem n stupňů volnosti tvaru q(t) =
n X
v k xk (t). Jedná se opět o rozklad pomocí
k=1
příspěvků vlastních vektorů v k . Konstantní vlastní vektory o n složkách pro soustavy s konečným počtem stupňů volnosti nahrazují pro soustavy se spojitě rozloženými parametry vlastní funkce s nekonečně mnoha funkčními hodnotami pro různé polohy bodů struny. Tvrzení: Vlastní funkce (14) splňují vztahy Z
0
l
l Xj (x)Xk (x)dx = δjk , 2
(16)
kde δjk je Kronekerův symbol. Ověření: Ověříme obě části tvrzení. 1. Pro j = k má tvrzení tvar jπ l xdx = . l 2 0 Odečtením základních goniometrických vztahů Z
l
sin2
sin2 α + cos2 α = 1 , − sin2 α + cos2 α = cos 2α
získáme
1 − cos 2α . 2 Pomocí této formule upravíme levou stranu dokazovaného tvrzení na tvar sin2 α =
Z
0
l
# # "Z " Z l l jπ l 1 1 2jπ l 2jπ sin2 xdx = xdx = sin x |l0 = . l− dx − cos l 2 0 l 2 2jπ l 2 0
První část tvrzení jest tím dokázána. 2. Pro j 6= k má tvrzení tvar kπ jπ x sin xdx = 0 . l l 0 Odečtením základních goniometrických vztahů Z
l
sin
sin α sin β + cos α cos β = cos(α − β) , získáme
− sin α sin β + cos α cos β = cos(α + β) 6
cos(α − β) − cos(α + β) . 2 Pomocí této rovnice upravíme levou stranu dokazovaného tvrzení na tvar sin α sin β =
Z
0
l
" # Z l kπ 1 Zl (j − k)π (j + k)π jπ xdx = xdx − cos xdx = cos sin x sin l l 2 0 l l 0
1 l (j − k)π l (j + k)π = sin x− sin x 2 (j − k)π l (j + k)π l "
#l
= 0,
0
protože jak j − k, tak j + k jsou celá čísla. Tím je dokázána i druhá část tvrzení. Poznámka: Ve funkcionální analýze zavádíme prostor L2 (0, l) jako prostor funkcí jedné proměnné, jejichž kvadrát je integrovatelný přes interval (0, l). Zavedeme-li pro dvě funkce f (x) a g(x) z tohoto prostoru skalární součin (f ; g) =
Z
0
l
f (x)g(x)dx ,
můžeme mluvit o ortogonalitě (kolmosti) funkcí v případě, že jejich skalární součin je nulový. Podmínky (16) proto také někdy nazýváme podmínkami ortogonality vlastních funkcí.
1.3
Volné kmitání
V předchozím odstavci jsme dokázali, že řešení rovnice (6), jež představuje volné kmitání struny, má pro strunu na obou koncích upevněnou tvar (15). Konstanty A′k a Bk′ určíme (x, 0) = v˙ 0 (x). Za předpokladu stejnoměrné z počátečních podmínek v(x, 0) = v0 (x) a ∂v ∂t konvergence funkcionální řady (15) lze derivovat za sumačním znaménkem, pročež ∞ X ∂v Ωk sin (x, t) = x · Ωk (Bk′ cos Ωk t − A′k sin Ωk t) . ∂t c k=1
(17)
Dosazením do (15) a (17) za čas t = 0 a zohledněním zadaných počátečních podmínek obdržíme v0 (x) = v(x, 0) =
∞ X
k=1
v˙ 0 (x) =
A′k sin
Ωk x, c
∞ X ∂v Ωk Ωk Bk′ sin (x, 0) = x. ∂t c k=1
Násobme obě rovnice j−tou vlastní funkcí a integrujme (přes proměnnou x) od nuly do l. Vzhledem ke stejnoměrné konvergenci řad a k vlastnosti (16) vlastních funkcí odtud dostáváme l v0 (x)Xj (x)dx = A′j , 2 0 Z l l v˙ 0 (x)Xj (x)dx = Ωj Bj′ . 2 0 Pro případ na obou koncích upevněné struny jsou vlastní frekvence dány vztahem (12). Pro tento případ je Z
l
7
A′j =
2 Zl 2Z l v0 (x)Xj (x)dx , Bj′ = v˙ 0 (x)Xj (x)dx . l 0 jπc 0
(18)
Volné kmitání struny popisuje řešení rovnice (6), splňující zadané okrajové a počáteční podmínky. Má tvar (15), přičemž integrační konstanty jsou dány v (18), vlastní funkce v (14) a vlastní frekvence v (12). Příklad: Struna délky l s předepínací silou S =konst délkové hustoty µ =konst je na svých koncích upevněna. V čase t = 0 je v místě x = a vychýlena o (malou) příčnou výchylku h a puštěna z klidu. Určete její volné kmitání. Řešení: Vzhledem k okrajovým podmínkám jsou vlastní frekvence dány výrazem (12), vlastní funkce vztahem (14) a volné kmity pak výrazem (15). Integrační konstanty jsou dány v (18), kde funkce v˙ 0 (x) ≡ 0 (struna puštěna z klidu) a funkce v0 (x) (polohová počáteční podmínka) jest (pro a = 0.3 l) znázorněna na obr.3. Její analytický popis je
Prubeh polohove pocatecni podminky
0
v (x)/h
1
0.5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 x/l
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Obrázek 3:
h h x pro x ∈ h0; , ai a v0 (x) = (x − l) pro x ∈ ha; li . a a−l Podle (18), (14) a (12) je Bj′ = 0 pro všechna přirozená j a v0 (x) =
# "Z Z l a x jπ x − l jπ 2h sin xdx + sin xdx . A′j = l l l a a−l 0 a
Integrací po částech, kdy derivujeme lineární členy a integrujeme goniometrické členy odtud obdržíme
A′j
2h jπ jπ jπ a 1 Z a x−l jπ l 1 Zl x = cos xdx − cos xdx = cos x|a + − cos x|0 + jπ a l a 0 l a−l l a−l a l #
"
2h l jπ jπ l jπ jπ = sin x|a0 + cos a + sin x|la = − cos a + jπ l jπa l l jπ(a − l) l #
"
1 jπa 1 2hl − = 2 2 sin j π l a a−l
1 2hl2 jπa · 2 · sin . = 2 π a(l − a) j l
Dosazením určených integračních konstant do (15) máme
∞ X 2hl2 Ωj 1 jπa v(x, t) = 2 sin x cos Ωj t , sin 2 π a(l − a) j=1 j l c
8
(19)
kde Ωj je dáno ve (12). Pro libovolný čas t a libovolnou polohu bodu x na struně jsou goniometrické funkce v absolutní hodnotě omezeny jedničkou. Absolutní hodnota j−tého ∞ X 1 2 1 · . Řada konst· členu řady je tedy všude omezena výrazem π22hl je všude čísel2 a(l−a) j 2 j=1 j nou majorantou k funkcionální řadě vyjadřující řešení zadaných volných kmitů. Protože ∞ X 1 konverguje, konverguje popisovaná funkcionální řada všude stejnoměrně a řada 2 j=1 j všechny úpravy byly tedy korektní. Poznámka: Je-li a = 2l (struna je v počátečním čase vychýlena ve svém středu), je sin jπa = sin j π2 , což je pro sudá j nula a pro lichá j střídavě plus nebo minus jedna. l Volné kmity jsou pak popsány vztahem v(x, t) =
∞ Ω2j−1 1 8h X sin x cos Ω2j−1 t , (−1)j−1 2 2 π j=1 (2j − 1) c
kde příslušné vlastní frekvence jsou opět ve vztahu (12).
1.4
Vynucené kmitání
Řešíme tedy rovnici (5) s nenulovou pravou stranou při počátečních podmínkách v(x, 0) = = v1 (x) (tzv. polohová počáteční podmínka) a ∂v (x, 0) = v2 (x) (tzv. rychlostní ∂t počáteční podmínka). Tak jako bylo řešení volných kmitů v (15) vyjádřeno rozkladem podle vlastních funkcí s harmonickými ”koeficienty”, lze řešení vynuceného kmitání odhadovat ve tvaru analogického rozkladu s obecně časově proměnnými ”koeficienty”. Hledáme tedy řešení rovnice (5) ve tvaru v(x, t) =
∞ X
Xk (x)qk (t) ,
(20)
k=1
kde qk (t) jsou prozatím neurčené (obecně neharmonické) funkce času a Xk (x) jsou vlastní funkce úlohy. Za předpokladu stejnoměrné konvergence řady (20) platí ∞ ∞ X ∂2v X d2 qk d2 Xk ∂2v X (x) q (t) = (t) ; = (x) . k k ∂t2 dt2 ∂x2 k=1 dx2 k=1
Dosazením těchto výrazů do (5) dostaneme ∞ X
k=1
d2 Xk 1 d2 qk (x)qk (t) = f (x, t) . Xk (x) 2 (t) − c2 2 dt dx µ !
Násobme tuto rovnici vlastní funkcí Xj (x) a (za předpokladu stejnoměrné konvergence uvedené řady) integrujme přes interval (0, l) v proměnné x. Vznikne " ∞ X d2 qk Z
k=1
dt2
0
l
2
Xk (x)Xj (x)dx − c qk (t)
Z
0
l
d2 Xk 1Zl X (x)dx = f (x, t)Xj (x)dx . j dx2 µ 0
Podle (10) ale platí pro vlastní funkce Ω2k d2 Xk = − Xk (x) , dx2 c2 pročež je 9
#
" ∞ X d2 qk Z
k=1
dt2
l
0
Xk (x)Xj (x)dx +
Ω2k qk (t)
Z
l
0
1Zl Xk (x)Xj (x)dx = f (x, t)Xj (x)dx . µ 0 #
Zohledněním podmínek ortogonality vlastních funkcí (16) pak je 2 Zl d2 q j 2 (t) + Ω q (t) = f (x, t)Xj (x)dx . j j dt2 µl 0
Funkci času
fxj (t) =
Z
0
l
(21)
f (x, t)Xj (x)dx
(22)
nazýváme modální silou příslušející k j−té vlastní funkci a budícímu účinku f (x, t). Pro zatím neznámé časové funkce qj (t) jsme tedy obdrželi obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou ve tvaru modální síly. Určíme ještě počáteční podmínky pro tyto diferenciální rovnice. Časovou derivací (20) dostaneme (za předpokladu stejnoměrné konvergence uvedené řady) ∞ dqk ∂v X = . Xk (x) ∂t k=1 dt
Dosadíme-li do této rovnice a zároveň do (20) čas t = 0 a zohledníme-li zadané počáteční podmínky, vznikne v1 (x) =
∞ X
Xk (x)qk (0) ; v2 (x) =
k=1
∞ X
Xk (x)
k=1
dqk (0) . dt
Násobme nyní obě tyto rovnice vlastní funkcí Xj (x) a výsledek (za předpokladu stejnoměrné konvergence uvedené řady) integrujme přes interval (0, l) v proměnné x. Vzhledem k podmínkám ortogonality vlastních funkcí (16) dostaneme Z l l l dqj v1 (x)Xj (x)dx = qj (0) ; (0) . (23) v2 (x)Xj (x)dx = 2 2 dt 0 0 Rovnici (21) nyní řešme pro určené počáteční podmínky Laplaceovou transformací. Označíme-li komplexní proměnnou v Laplaceových obrazech p a obrazy řešení a modální síly po řadě Qj (p) a Fxj (p), dostaneme provedením Laplaceovy transformace na diferenciální rovnici (21) podle vztahu pro Laplaceův obraz druhé derivace Z
l
p2 Qj (p) − pqj (0) −
2 dqj (0) + Ω2j Qj (p) = Fxj (p) , dt µl
odkud Qj (p) =
p2
1 2 1 dqj p q (0) + 2 . (0) + Fxj (p) · 2 2 j 2 + Ωj p + Ωj dt µl p + Ω2j
Protože originál k funkci
p p2 +Ω2j
je cos Ωj t a originál k funkci
1 p2 +Ω2j
je
sin Ωj t , Ωj
dostáváme
(podle pravidla pro originál k součinu obrazů) přechodem k originálům řešení rovnice (21) ve tvaru
q(j)(t) = qj (0) cos Ωj t +
dqj (0) dt
Ωj
sin Ωj t + 10
2 Zt fx (t − τ ) sin Ωj (τ )dτ . µlΩj 0 j
(24)
Vynucené kmity struny jsou tedy řešeny řadou (20), kde funkce qj (t) jsou dány vztahem (24) a vlastní funkce (pro oboustranně upevněnou strunu) jsou dány vztahem (14) a j (0) jsou ve vztahu (23) vlastní frekvence ve vztahu (12). Počáteční podmínky qj (0) a dq dt a příslušná modální síla ve vztahu (22). Častým případem jsou triviální počáteční podmínky, kdy struna je před působením budících účinků v klidu v nedeformované poloze. Pak první dva členy v (24) odpadají a řešení lze psáti ve tvaru # " Z l ∞ 2 X Xj (x) Z t v(x, t) = sin Ωj τ · f (x, t − τ )Xj (x)dx dτ . µl j=1 Ωj 0 0
(25)
Poznámky: 1. Předchozí výrazy byly primárně odvozovány pro strunu na obou koncích upevněnou. Je zřejmé, že tyto výrazy zůstávají v platnosti i pro eventuálně jiné okrajové podmínky, pro něž příslušné vlastní funkce jsou ortogonální. Pouze místo konstanty 2 by obecně stačilo dosadit konstantu µl L=
1 . µ 0 Xj2 (x)dx Rl
Tato konstanta by (eventuálně) mohla být též závislá na sčítacím indexu j. 2. Příklad na vynucené kmitání jednorozměrného kontinua bude obsahem poslední kapitoly.
2
Podélné kmitání prutů
Prut je těleso délky l malých příčných rozměrů zatížené ve směru své osy spojitým zatížením měrnou délkovou silou f (x, t) závislou obecně na poloze x i na čase t. Konce prutu mohou konat předepsané pohyby ve směru osy prutu. Materiál prutu je charakterizován modulem pružnosti v tahu E(x) a (objemovou) hustotou µ(x). Obě zmíněné veličiny mohou být závislé na poloze x bodu prutu. Protože za uvedených předpokladů dochází pouze k jednorozměrné napjatosti, postačí pro dokonalý popis pouze uvedené dvě veličiny. Rovněž plocha průřezu prutu P (x) se může v omezené míře s polohou řezu měnit. Předpokládáme však, že nedochází k příčným deformacím. Výchylky jsou natolik malé, že platí Hookeův zákon (lineární kontinuum). Ke kmitání prutu může docházet vlivem popsaného (spojitého) zatížení nebo vychýlením bodů prutu ve směru jeho osy podle zadané funkce polohy bodu v počátečním čase popřípadě udělením patřičně směrované rychlosti těmto bodům. Pohyb každého bodu prutu se pak děje ve směru osy prutu.
2.1
Odvození pohybové rovnice
Vytkněme element prutu délky dx nacházející se v poloze x (obr.4). Výchylky konců elementu (v rovině pohybu) jsou u a u + du. Prutem je při pohybu přenášena osová síla S, jejíž velikost na koncích elementu je S a S + dS. Kromě této síly působí na element ještě budící účinek popsaný délkovou hustotou síly f (x, t) a setrvačná síla dD obě směru osy prutu (obr.4). Podmínka dynamické rovnováhy elementu ve směru osy prutu dává (S + dS) − S − dD + f (x, t)dx = 0 . 11
(26)
f (x, t) dD
S
y
u
S + dS u + du
A(x)
x
dx
x
x=l
x=0
Obrázek 4:
Pro velikost setrvačné síly platí dD = dm · a = dm
∂ 2u ∂ 2u = µP dx , ∂t2 ∂t2
(27)
kde dm je element hmotnosti, P plocha průřezu prutu a a je (podélné) zrychlení. Vyjádřením přírůstku síly S pomocí přírůstku nezávisle proměnné x a příslušných derivací dx a dosazením (27) do (26) dostáváme po krácení dx jako dS = ∂S ∂x ∂S ∂ 2u − µP 2 + f (x, t) = 0 . ∂x ∂t
(28)
Pro osovou sílu S vzhledem k předpokládané jednorozměrné napjatosti platí S = P σ, kde σ je normálné napětí v řezu. Podle Hookeova zákona dále je σ = Eε = E
∂u , ∂x
kde ε je relativní deformace elementu. Dosazením do (28) máme pohybovou rovnici ve tvaru ∂ ∂u ∂2u PE − µP 2 + f (x, t) = 0 . ∂x ∂x ∂t !
Jestliže prut je homogenní (E=konst) stálého průřezu (P =konst), dostáváme dělením plochou průřezu µ Konstanta
E µ
∂ 2u 1 ∂ 2u − E = f (x, t) = f¯(x, t) . 2 2 ∂t ∂x P
(29)
má rozměr kvadrátu rychlosti, jak plyne z následující rozměrové analýzy "
E Pa = kg = µ m3 #
N m2 kg m3
=
kg m s2 m2 kg m3
=
m2 . s2
Rovnice (29) je opět nehomogenní hyperbolická parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Doplněním o okrajové podmínky u(0, t) = u1 (t), u(l, t) = u2 (t) a o počáteční podmínky u(x, 0) = u0 (x) a ∂u (x, 0) = u˙ 0 (x), kde u1 , u2 , u0 a u˙ 0 jsou zadané funkce ∂t jedné proměnné, dostáváme tzv. okrajovou úlohu, která má jednoznačné řešení. 12
2.2
Úloha vlastních hodnot
Označme c1 =
q
E . µ
Potom homogenní rovnice k (29) má tvar
2 ∂2u 2∂ u − c = 0. 1 ∂t2 ∂x2 Poznámka: Snadno ověříme, že (30) má opět vlnové řešení
(30)
u(x, t) = Φ(x − c1 t) + Ψ(x + c1 t) ,
jež jest superpozicí dopředné vlny tvaru funkce Φ se zpětnou vlnou tvaru funkce Ψ, jež se obě šíří rychlostí c1 šíření podélné vlny v prutu. Pro ocel, kdy µ = 7800[kg/m3 ] a E = 2.1 · 1011 [Pa] tato rychlost činí c1 = 5190[m/s]. Nás bude zajímat ”kmitavé” řešení, jež lze psát v separovaném tvaru u(x, t)=U (x)T (t), kde U a T jsou zatím neznámé funkce jedné proměnné. Dosazením tohoto vyjádření do (30) dostaneme, analogickým postupem jako v předchozí kapitole, pro ony funkce obyčejné diferenciální rovnice tvaru d2 T + Ω2 T = 0 , dt2 Ω d2 U + 2 dx c1
!2
U = 0.
(31) (32)
Obecné řešení obyčejné diferenciální rovnice (31) je T (t) = A cos Ωt + B sin Ωt a obecné řešení rovnice (32) pak U (x) = C cos
Ω Ω x + D sin x , c1 c1
kde A, B, C a D jsou libovolné integrační konstanty. Řešením rovnice (30) je pak jejich součin, tedy Ω Ω u(x, t) = C cos x + D sin x (A cos Ωt + B sin Ωt) . c1 c1 !
(33)
Nejčastějšími okrajovými podmínkami pro prut jsou • vetknutý konec, kdy u(a, t) ≡ 0 pro a = 0 nebo a = l, • volný konec, kdy
∂u (a, t) ∂x
≡ 0.
Vzhledem k (33) je identická nulovost (vzhledem k času) funkce nebo její derivace podle (a). Rozlišíme proto čtyři případy: polohy ekvivalentní nulovosti U (a) popřípadě dU dx 1. Oba konce vetknuté, kdy je U (0) = U (l) = 0. Vzhledem k tvaru funkce U (x) dostáváme (analogicky jako v předchozí kapitole) z první podmínky C = 0 a ze druhé podmínky potom sin cΩ1 l = 0. Odtud dostáváme frekvenční rovnici Ωk l = kπ ; k = 1, 2, . . . c1 a příslušnou vlastní funkci 13
(34)
Uk (x) = sin
Ωk x x = sin kπ ; k = 1, 2, . . . . c1 l
(35)
(l) = 0. Z první 2. Konec x = 0 vetknutý a x = l volný, tedy U (0) = 0 a zároveň dU dx = cΩ1 D cos cΩ1 x, podmínky opět dostáváme C = 0. Protože v takovém případě dU dx dává druhá okrajová podmínka cos cΩ1 l = 0. Odtud dostáváme pro tento případ frekvenční rovnici π Ωk l = (2k − 1) ; k = 1, 2, . . . c1 2 a příslušnou vlastní funkci Uk (x) = sin
Ωk πx x = sin(2k − 1) ; k = 1, 2, . . . . c1 2l
(36)
(37)
(0) = 0 a 3. Konec x = 0 volný a x = l vetknutý, tedy okrajové podmínky dU dx U (l) = 0. Z první podmínky dostáváme D = 0. V tom případě ze druhé podmínky plyne cos cΩ1 l = 0, odkud dostáváme frekvenční rovnici ve tvaru π Ωk l = (2k − 1) ; k = 1, 2 . . . c1 2
(38)
a příslušné vlastní funkce Uk (x) = cos
Ωk πx x = cos(2k − 1) ; k = 1, 2, . . . . c1 2l
(39)
(0) = dU (l) = 0 . Z první podmínky vyplývá D = 0 a 4. Oba konce volné, tedy dU dx dx Ω druhá podmínka dává sin c1 l = 0 , odkud dostáváme frekvenční rovnici Ωk l = kπ ; k = 0, 1, . . . c1
(40)
a příslušné vlastní funkce Uk (x) = cos
x Ωk x = cos kπ ; k = 0, 1, . . . . c1 l
(41)
Poznámka: Tentokráte zahrnujeme do vlastních frekvencí i nulovou hodnotu, jež odpovídá posuvu prutu jako tuhého tělesa. Tvrzení:Všechny výše uvedené vlastní funkce splňují vztahy Z
0
kde δjk je Kronekerův symbol.
l
l Xj (x)Xk (x)dx = δjk , 2
14
(42)
Ověření: 1. První část tvrzení, tedy pro j 6= k, ověříme na základě platných goniometrických vztahů sin α sin β + cos α cos β = cos(α − β) ,
− sin α sin β + cos α cos β = cos(α + β) .
Jejich sečtením a následným odečtením získáme vztahy
cos(α − β) − cos(α + β) , (43) 2 cos(α − β) + cos(α + β) . (44) cos α cos β = 2 Nyní aplikujme tyto výrazy pro vlastní funkce ve čtyřech výše popsaných případech vlastních funkcí. sin α sin β =
(a) Pro vlastní funkce (35) dostáváme podle (43) Z
0
l
# " Z l 1 Zl x x Uj (x)Uk (x)dx = cos(j − k)π dx − cos(k + j)π dx = 2 0 l l 0
l 1 x 1 x = sin(j − k)π − sin(j + k)π 2π j − k l j+k l "
#l
=
0
1 1 l sin(j − k)π − sin(j + k)π = 0 . = 2π j − k j+k #
"
(b) Pro vlastní funkce (37) dostáváme opět podle (43) l
Z
0
# " Z l 1 Zl πx πx Uj (x)Uk (x)dx = dx − cos 2(k + j − 1) dx = cos 2(j − k) 2 0 2l 2l 0
l 1 x 1 x sin(j − k)π − sin(j + k − 1)π = 2π j − k l j+k−1 l "
#l
=
0
1 1 l sin(j − k)π − sin(j + k − 1)π = 0 . = 2π j − k j+k−1 #
"
(c) Pro vlastní funkce (39) dostáváme nyní podle (44)
Z
0
l
# " Z l 1 Zl πx πx Uj (x)Uk (x)dx = cos 2(j − k) dx + cos 2(k + j − 1) dx = 2 0 2l 2l 0
l 1 x 1 x = sin(j − k)π + sin(j + k − 1)π 2π j − k l j+k−1 l "
#l
=
0
1 1 l sin(j − k)π + sin(j + k − 1)π = 0 . = 2π j − k j+k−1 #
"
15
(d) Pro vlastní funkce (41) dostáváme opět podle (44) Z
l
0
# " Z l x 1 Zl x Uj (x)Uk (x)dx = cos(j − k)π dx + cos(k + j)π dx = 2 0 l l 0
l 1 x 1 x = sin(j − k)π + sin(j + k)π 2π j − k l j+k l "
#l
=
0
1 1 l sin(j − k)π + sin(j + k)π = 0 . = 2π j − k j+k "
#
2. Druhou část tvrzení, tedy pro j = k, ověříme na základě platných goniometrických vztahů sin2 α + cos2 α = 1 , − sin2 α + cos2 α = cos 2α .
Jejich odečtením a následným sečtením získáme vztahy 1 − cos 2α , (45) 2 1 + cos 2α cos2 α = . (46) 2 Nyní aplikujme tyto výrazy pro vlastní funkce ve čtyřech výše popsaných případech vlastních funkcí. sin2 α =
(a) Pro vlastní funkce (35) dostáváme podle (45) Z
0
l
Uk2 dx
# " " #l Z l 1 x x l 1 Zl = dx − cos 2kπ dx = sin 2kπ x− = 2 0 l 2 2kπ l 0 0
l l 1 sin 2kπ = . l− = 2 2kπ 2 #
"
(b) Pro vlastní funkce (37) dostáváme opět podle (45) l
Z
0
Uk2 dx
" # Z l πx 1 Zl dx = dx − cos 2(2k − 1) = 2 0 2l 0
1 x l = sin(2k − 1)π x− 2 (2k − 1)π l "
#l
0
l l 1 sin(2k − 1)π = . l− = 2 (2k − 1)π 2 "
#
(c) Pro vlastní funkce (39) dostáváme nyní podle (46) Z
0
l
Uk2 dx
# " Z l πx 1 Zl dx + cos 2(2k − 1) dx = = 2 0 2l 0
1 x l = sin(2k − 1)π x+ 2 (2k − 1)π l "
16
#l
0
l l 1 sin(2k − 1)π = . l+ = 2 (2k − 1)π 2 "
#
(d) Pro vlastní funkce (41) dostáváme opět podle (46) Z
0
l
Uk2 dx
# " " #l Z l 1 Zl 1 x x l = = dx + cos 2kπ dx = sin 2kπ x+ 2 0 l 2 2kπ l 0 0
1 l l = sin 2kπ = . l+ 2 2kπ 2 #
"
Poznámka: Analogické tvrzení platí i pro případ vlastní funkce U0 (x) ≡ 1, jež připadá v úvahu pro případ prutu na obou koncích volného. Pro k 6= 0 totiž platí podle (41) Z
0
a dále
l
Uk (x)U0 (x)dx =
Z
l
0
Z
l x x sin kπ cos kπ dx = l kπ l
0
l
U02 (x)dx
=
Z
0
l
l
0
=
l sin kπ = 0 kπ
dx = l .
Podle (33) je řešením rovnice (30) pro každé přirozené k funkce uk (x, t) = Uk (x)(Ak cos Ωk t + Bk sin Ωk t) , kde Ωk jsou vlastní frekvence a Uk (x) k nim příslušející vlastní funkce pro jednotlivé okrajové podmínky výše určené. Jestliže dále uvedená řada stejnoměrně konverguje, je řešením (30) i u(x, t) =
∞ X
k=1
uk (x, t) =
∞ X
Uk (x)(Ak cos Ωk t + Bk sin Ωk t) .
(47)
k=1
Integrační konstanty Ak a Bk určíme, vzhledem k platnosti výše popsaného tvrzení, z počátečních podmínek (polohové a rychlostní, jež jsou obě funkcí polohy x) analogicky jako v kapitole o kmitání struny. Rovněž vynucené kmitání prutů řešíme podobně jako v případě kmitání struny rozkladem do vlastních funkcí, kdy ”koeficienty” tohoto rozkladu nejsou harmonické, ale obecné, zatím neznámé funkce času. Řešení rovnice (29) tedy hledáme ve tvaru u(x, t) =
∞ X
Uk (x)qk (t)
(48)
k=1
za předpokladu stejnoměrné konvergence použité funkcionální řady. Vzhledem k platnosti předchozího tvrzení dostaneme pro neznámé (neharmonické) funkce qk (t) obyčejné diferenciální rovnice d2 q j 2 Zl 2 (t) + Ωj qj (t) = f (x, t)Xj (x)dx , dt2 µlP 0 které řešíme s počátečními podmínkami (23), kde modální síla jest dána výrazem (22). Poznamenejme, že výraz µlP má význam hmotnosti nosníku mn . Příklad: Kromě už uvedených okrajových podmínek lze formulovat úlohu vlastních hodnot i pro kombinaci zmíněných okrajových podmínek s jinými. Formulujme tedy úlohu vlastních hodnot pro prut ”na levém konci” vetknutý, na jehož ”pravém konci” se nachází tuhá hmota m (obr.5). Řešení: Víme, že řešení rovnice (30) se separovanými proměnnými má tvar 17
u (l, t) 2 m d u2 (l, t) dt
A, µ , E S (l, t)
m
x=0 x=l
Obrázek 5:
u(x, t) = (C cos
Ω Ω x + D sin x)(A cos Ωt + B sin Ωt) . c1 c1
(49)
Okrajová podmínka pro x = 0 je u(0, t) ≡ 0. Pro x = l z rovnováhy sil působících ve vodorovném směru na hmotu m (obr.5) plyne, že síla S přenášená koncovým průřezem prutu je rovna záporně vzaté setrvačné síle působící na hmotu m. Protože zrychlení 2 je dáno vztahem a = ∂∂t2u a pro sílu S platí S = P σ = P Eε = P E ∂u , je ”koncová” ∂x okrajová podmínka tvaru ∂2u ∂u (l, t) = −m 2 . ∂x ∂t Aplikací ”levé” okrajové podmínky na (49) dostaneme PE
Potom tedy
u(0, t) = C(A cos Ωt + B sin Ωt) ≡ 0 ⇔ C = 0 .
u(x, t) = sin
Ω x(A′ cos Ωt + B ′ sin Ωt) , c1
Ω Ω ∂u (x, t) = cos x(A′ cos Ωt + B ′ sin Ωt) , ∂x c1 c1 ∂2u Ω (x, t) = −Ω2 sin x(A′ cos Ωt + B ′ sin Ωt) . 2 ∂t c1 Zohledněním ”pravé” okrajové podmínky (50) dostaneme
PE
Ω Ω Ω cos l(A′ cos Ωt + B ′ sin Ωt) = mΩ2 sin l(A′ cos Ωt + B ′ sin Ωt) . c1 c1 c1
Tato podmínka má platit identicky pro každý čas t. Odtud plyne Ω Ω PE cos l = mΩ sin l . c1 c1 c1 Rozšiřme nyní pravou stranu zlomkem
c1 . l
Dostaneme podmínku
PE Ω c1 Ω Ω cos l = m · l sin l , c1 c1 l c1 c1 ze které vyplývá 18
(50)
Ωl Ωl P El . (51) · tg = c1 c1 mc21 Tato rovnice je frekvenční rovnicí pro dané okrajové podmínky. Vlastní frekvence úlohy určíme jako c1 , l kde yk (k = 1, 2, . . .) jsou kladná řešení transcendentní rovnice Ωk = yk
y · tgy =
(52)
P El = konst . mc21
(53)
Označíme-li konstantu na pravé straně (53) jako K, lze řešení yk určovat jako průsečíky křivek z = tgy (větví tangenty) s křivkou z = Ky . Poznámka: Konstanta K je zřejmě bezrozměrný parametr, jak se přesvědčíme z následující rozměrové analýzy m2 · Pa · m m3 · Nm−2 m · kgms−2 m2 s−2 P El = = = = 2 −2 . [K] = mc21 kg · m2 s−2 kg · m2 s−2 kg · m2 s−2 ms #
"
Po dosazení za c21 = Eµ dostaneme pro hodnotu konstanty K = Pmlµ . Vzhledem k homogenitě a stálému průřezu prutu je čitatel tohoto vztahu hmotnost prutu. Konstanta K má tedy význam poměru hmotností prutu a tuhé hmoty.
Pruseciky krivek y=K/x a y=tg x pro K=1 2 5 10 20 14
12
10
y
8
6
4
2
0 0
2
4
6
8 x
Obrázek 6: 19
10
12
14
Pruseciky krivek y=K/x a y=tg x pro K=0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
0.8
0.7
0.6
0.5
y
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
2
4
6
8
10
12
14
x
Obrázek 7: Prvních pět řešení zmíněných průsečíků jest pro konstanty K =1,2,5,10 a 20 znázorněno kroužky na obr.6, zatímco pro konstanty K =0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2 a 0.5 je totéž na obr.7. Grafy funkcí Ky jsou pro různá K znázorněny modrou barvou a jednotlivé větve tangenty pak barvou černou. Z obrázků je patrno, že pro pořadí větve tangenty rostoucí nade všechny meze, se souřadnice y jednotlivých průsečíků blíží k o jedničku nižšímu násobku π a to tím rychleji, čím nižší je konstanta K. Příslušné násobky π jsou v obrázcích znázorněny tečkovanými fialovými přímkami. Řešení pořadového čísla k rovnice (53) získáme jako yk = y˜k + (k − 1)π , (k = 1, . . .), kde y˜k určíme iteračním procesem tvaru K
(i)
y˜k = arctg
(i−1) y˜k
(0)
+ (k − 1)π
, y˜k =
π + (k − 1)π , i = 1, 2, . . . . 4
(54)
V tomto vztahu dolní index k označuje pořadové číslo řešení a horní index i pořadové číslo iteračního kroku. Startovací hodnota každé iterace (tzv. nultá iterace odpovídající i = 0) se bere uprostřed intervalu kladných hodnot k−té větve tangenty. Iterační proces se zastavuje na podmínce malé relativní chyby následujících dvou iterací, tedy na podmínce (i)
(i−1)
|˜ yk − y˜k (i) y˜k
|
< ε.
(55)
Pět řešení s nejmenší hodnotou pro výše popsané konstanty K, včetně nutného počtu iterací pro dosažení relativní přesnosti ε = 10−5 jest uveden v tabulce 1. 20
k=1 K 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20
yk iter. 0.09983 1832 0.1409 916 0.2218 367 0.3111 184 0.4328 92 0.6533 36 0.86034 19 1.0769 13 1.3138 8 1.4289 6 1.4961 5
k=2 yk iter. 3.1448 4 3.1479 4 3.1574 5 3.1731 5 3.2039 5 3.2923 6 3.4256 7 3.6436 8 4.0336 7 4.3058 6 4.4915 5
k=3 yk iter. 6.2848 4 6.2864 4 6.2911 4 6.2991 4 6.3148 5 6.3616 5 6.4373 5 6.5783 6 6.9096 7 7.2281 6 7.4954 6
k=4
k=5
yk iter. 9.4258 4 9.4269 4 9.4301 4 9.4354 4 9.4459 4 9.4775 5 9.5293 5 9.6296 5 9.8928 6 10.2003 6 10.5117 6
yk iter. 12.5672 4 12.5680 4 12.5703 4 12.5743 4 12.5823 4 12.6060 4 12.6453 5 12.7223 5 12.9352 5 13.2142 6 13.5420 6
Tabulka 1:
Vzhledem k platnosti ”levé” okrajové podmínky (kdy platí C = 0 - viz výše) pro vlastní funkce úlohy platí Uk (x) = sin
Ωk x, c1
kde vlastní frekvence Ωk jsou dány ve vztahu (52), přičemž yk (k = 1, 2, . . .) jsou výše určená řešení transcendentní rovnice (53). Poznámka: Jak se lze relativně snadno přesvědčit, tyto vlastní funkce nesplňují podRl mínku ortogonality funkcí integrovatelných s kvadrátem, tedy 0 Uj (x)Uk (x)dx 6= 2l δjk .
Pro ukázku číselných hodnot konstanty K uvedeme příklad prutu délky l =1[m], plochy průřezu P = 10−3 [m2 ] z materiálu o hustotě µ = 8 · 103 [kg/m3 ], na jejímž konci se nachází tuhá hmotnost m =4[kg]. Pro konstantu K takto definovaného prutu máme l K = µP = 2. m Příklad: Řešme volné kmitání (homogenního, prizmatického) prutu délky l, plochy průřezu P , z materiálu o hustotě µ a modulu pružnosti v tahu E, který je pro x = = 0 (”levý” konec) vetknutý a pro x = l (”pravý” konec) volný, jestliže jej na volném konci deformujeme osovou silou F (polohová počáteční podmínka) a pustíme z klidu (rychlostní počáteční podmínka). Řešení: Podle Hookeova zákona pro prostý tah je deformace lineárně závislá na poloze x Fl řezu, v místě x = 0 je nulová a v místě x = l má hodnotu EP . Proto polohová počáteční podmínka pro volné kmitání je u(x, 0) =
F x. EP
(56)
Rychlostní počáteční podmínka je ∂u (x, 0) ≡ 0 (identicky nulová funkce - puštěno z ∂t klidu). Podle (47) řešení hledáme ve tvaru u(x, t) =
∞ X
k=1
takže
uk (x, t) =
∞ X
Uk (x)(Ak cos Ωk t + Bk sin Ωk t) ,
k=1
21
(57)
∞ ∂u X = Uk (x)Ωk (−Ak sin Ωk t + Bk cos Ωk t) . ∂t k=1
(58)
V těchto výrazech Uk (x) jsou k daným okrajovým podmínkám příslušející vlastní funkce dané v (37), Ωk jsou vlastní frekvence dané v (36) a Ak a Bk jsou integrační konstanty, které určíme ze zadaných počátečních podmínek. Dosazením času t = 0 do (58) a zohledněním triviální rychlostní počáteční podmínky dostaneme ∞ X ∂u Uk (x)Ωk Bk . (x, 0) ≡ 0 = ∂t k=1
Tato podmínka je splněna pro Bk = 0, k = 1, 2, . . .. Rovnice (57) pak získá tvar u(x, t) =
∞ X
Uk (x)Ak cos Ωk t .
(59)
k=1
Dosazením času t = 0 do této rovnice a zohledněním polohové počáteční podmínky (56) máme u(x, 0) =
∞ X F x= Uk (x)Ak . EP k=1
Násobme tuto rovnici vlastní funkcí Uj (x) a integrujme přes celou délku prutu. Vzhledem k vlastnostem ortogonality vlastních funkcí a podle (37) odtud dostaneme (za předpokladu stejnoměrné konvergence funkcionální řady) ∞ F Zl l l X F Zl πx Ak δjk = Aj . dx = xUj (x)dx = x sin (2j − 1) EP 0 EP 0 2l 2 k=1 2
Konstanty Aj tedy získáme jako 2F Z l πx Aj = dx . x sin (2j − 1) EP l 0 2l Užitím metody integrace po částech, kdy derivujeme funkci x a integrujeme goniometrickou funkci, postupně dostáváme
2l 2F · − Aj = EP l (2j − 1)π
!(
πx x cos (2j − 1) 2l
l
0
2l πx 4F · sin (2j − 1) = EP (2j − 1)π (2j − 1)π 2l
l
− l
8F l (−1)j−1 = · , EP π 2 (2j − 1)2
0
0
)
πx dx = cos (2j − 1) 2l
Z
protože kosínus lichého násobku pí půl je nula a jeho sínus je (−1)j−1 . Dosazením takto získaných konstant do (59) dostaneme řešení splňující zadané počáteční podmínky ve tvaru u(x, t) =
∞ (−1)k−1 8F l X Uk (x) cos Ωk t . EP π 2 k=1 (2k − 1)2
Po dosazení za vlastní funkce z (37) a za vlastní frekvence z (36) dostáváme finální tvar řešení 22
∞ 8F l X (−1)k−1 πx π t u(x, t) = sin (2k − 1) cos (2k − 1) c1 , EP π 2 k=1 (2k − 1)2 2l 2 l
(60)
q
kde c1 = Eµ je rychlost šíření podélné vlny v materiálu. Zbývá ověřit stejnoměrnost konvergence v (60) ukázané funkcionální řady (aby výše prováděné operace derivování a integrace za sumačním znaménkem byly oprávněné). Protože pro libovolné x i libovolné t jsou goniometrické funkce v absolutní hodnotě omezeny jedničkou, je absolutní hodnota ∞ X 1 1 k−tého členu řady omezena číslem (2k−1) ale konverguje. 2 . Číselná řada 2 k=1 (2k − 1) Proto funkcionální řada v (60) konverguje stejnoměrně na kartézském součinu [x, t] ∈ ∈ h0, lixh0, ∞). Výraz (60) je skutečně řešením zadané úlohy.
3
Torzní kmitání hřídelí kruhového průřezu
Hřídel je těleso délky l malých příčných rozměrů, zatíženo spojitým zatížením měrným délkovým momentem m(x, t) směru osy tělesa, závislým obecně na poloze x bodu hřídele i na čase t. Materiál je charakterizován modulem pružnosti ve smyku G(x) a (objemovou) hustotou µ(x). Obě zmíněné veličiny mohou být závislé na poloze x řezu. Průřez hřídele musí být kruhový, jehož poloměr r se může v omezené míře s polohou řezu měnit. Předpokládáme, že koncové řezy hřídele konají předepsané torzní pohyby. Výchylky předpokládáme natolik malé, že platí Hookeův zákon pro prostý krut. Ke kmitání hřídele může docházet vlivem popsaného (spojitého) zatížení nebo torzním vychýlením řezů hřídele podle zadané funkce polohy v počátečním čase popřípadě udělením úhlové rychlosti těmto řezům.
3.1
Odvození pohybové rovnice
Vytkněme element hřídele délky dx nacházející se v poloze x (obr.8). Torzní výchylky konců elementu jsou ϕ a ϕ+dϕ. Hřídelí je při pohybu přenášen torzní moment M , jehož velikost na koncích elementu je M a M +dM . Kromě toho působí na element ještě budící účinek popsaný délkovou hustotou momentu m(x, t) a setrvačná dvojice dMD (obr.8). Momentová podmínka dynamické rovnováhy elementu (kolem osy hřídele) dává
y
Μ
dM D
m (x, t) M + dM
ϕ +dϕ
J p (x)
ϕ x
dx
x
x=l
x=0
Obrázek 8:
(M + dM ) − M − dMD + m(x, t)dx = 0 . 23
(61)
Pro velikost setrvačné dvojice platí Z ∂ 2ϕ ∂2ϕ (y 2 + z 2 )dP 2 , dMD = dIx · α = dIx 2 = dxµ ∂t ∂t (P )
(62)
kde dIx je element osového momentu setrvačnosti k ose elementu, P plocha průřezu hřídele a α je úhlové zrychlení elementu. Integrál na pravé straně předchozích rovností je polárním kvadratickým momentem průřezu Jp . Vyjádřením přírůstku momentu M pomocí přírůstku nezávisle proměnné x a příslušných derivací jako dM = ∂M dx a do∂x sazením (62) do (61) dostáváme po krácení dx ∂M ∂2ϕ − µJp 2 + m(x, t) = 0 . (63) ∂x ∂t Pro torzní moment M , vzhledem k předpokládané jednorozměrné napjatosti, platí M = . Dosazením do (63) vznikne pohybová rovnice ve tvaru = GJP ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂2ϕ ∂ GJp − µJp 2 + m(x, t) = 0 . ∂x ∂x ∂t !
Pro homogenní hřídel (G =konst) stálého poloměru (Jp =konst) dostáváme (po krácení Jp ) pohybovou rovnici ve tvaru ∂ 2ϕ G ∂ 2ϕ 1 − = m(x, t) = m(x, ¯ t) . 2 2 ∂t µ ∂x Jp µ
(64)
Tato rovnice je zcela analogická k rovnici (29) s analogií veličin popsanou v následující tabulce 2. rovnice (29) rovnice (64)
u ϕ
x x
t µ t µ
E G
P Jp
f m
Tabulka 2: Jedná se o hyperbolickou parciální diferenciální rovnici druhého řádu, jejíž řešení ve tvaru separovaných proměnných vede při v předchozí kapitole řešených okrajových podmínkách na tam uvedené vlastní frekvence a vlastní funkce. Rovněžqvolné a vynucené kmitání se řeší analogicky jako u struny v první kapitole. Veličina Gµ = c2 má i zde význam rychlosti. Protože homogenní rovnice (64) má, stejně jako v předchozí kapitole, vlnové řešení, je c2 rychlost šíření torzní vlny v materiálu. Pro ocel, kdy uvažujeme µ = 7800[kg/m3 ] a G = 0.8 · 1011 [Pa] vychází tato rychlost c2 = 3200[m/s]. Poznámky: 1. Pro kruhový průřez poloměru r přechodem k polárním souřadnicím ρ, ϕ v rovině y, z (obr.9) určíme polární kvadratický moment průřezu jako Jp =
Z
(P )
2
2
(y + z )dP =
Z
2π
0
Z
0
r
3
ρ dρ dϕ = 2π
r4 π r4 = , 4 2
protože pro element plochy průřezu platí (obr.9) dP = ρdϕdρ, počítáme-li jeho plochu jako plochu obdélníka. 24
dP dϕ
dρ ϕ
ρ
S
ϕ=0
Obrázek 9: 2. Zopakujeme ze základního kurzu pružnosti odvození vztahu pro kroutící moment při prostém krutu hřídele kruhového průřezu. Vytkněme z hřídele element délky dx (obr.10) a uvažujme vlákno na obecném poloměru ρ. Dojde-li k natočení koncových řezů elementu o elementární úhel dϕ, plyne ihned z obr.10 ρdϕ = γdx ⇔ γ = ρ
dϕ , dx
r dϕ γ dx
ρ
Obrázek 10: je tzv. zkrut, jenž se nemění při pohybu kde γ je zkos vlákna. Poznamenejme, že dϕ dx konců vlákna po ploše koncových řezů elementu. Podle Hookeova zákona platí pro tečné napětí τ v bodě plochy řezu τ = Gγ, kde G jest modul pružnosti materiálu ve smyku. Po dosazení z předchozího výrazu máme τ = Gρ ∂ϕ . Elementární kroutící ∂x moment k ose elementu je zřejmě dM = ρdF , kde dF je elementární tečná síla působící v elementární ploše řezu dP . Podle definice napětí ovšem dF = τ dP . Dosazením do předchozího výrazu a užitím odvozeného vztahu pro tečné napětí dostaneme dM = G dϕ ρ2 dP . Integrací přes celou plochu řezu pak vzhledem k dx tomu, že zkrut je po ploše řezu konstantní, dostaneme podle definice polárního kvadratického momentu průřezu dϕ dϕ Z ρ2 dP = G Jp . M= dM = G dx (P ) dx (P ) Z
25
4
Ohybové kmitání nosníků
Nosník je opět těleso délky l malých příčných rozměrů, zatížené v jedné rovině obsahující jeho osu, ve směru kolmém na tuto osu, spojitým zatížením měrnou délkovou silou f (x, t) závislou obecně na poloze x řezu nosníku i na čase t. Předpokládáme, že koncové řezy nosníku konají předepsané rovinné pohyby ve výše zmíněné rovině. Aby setrvačné účinky při kmitání byly rovinné, je třeba ještě předpokládat, že ve výše popsané rovině leží hlavní osy setrvačnosti průřezu nosníku. Materiál nosníku je charakterizován modulem pružnosti v tahu E(x) a (objemovou) hustotou µ(x). Obě zmíněné veličiny mohou být závislé na poloze x řezu nosníku. Rovněž plocha průřezu nosníku P (x) se může v omezené míře s polohou řezu měnit. Předpokládáme dále, že rovinné řezy kolmé na osu nosníku zůstávají i po deformaci rovinné a kolmé na průhybovou křivku (tzv. Bernoulliova-Navierova hypotéza). Jistě lze zanedbat podélné výchylky i zkosy průřezu způsobené smykem. Ke kmitání nosníku může docházet vlivem popsaného (spojitého) zatížení nebo vychýlením a současným natočením koncových řezů nosníku podle zadané funkce polohy bodu v počátečním čase popřípadě udělením rychlosti těmto bodům. Pohyb každého řezu nosníku je pak obecným rovinným pohybem ve výše popsané rovině, jenž se dá v bodě na ose rozložit na unášivý (přibližně přímočarý) pohyb ve směru kolmém k ose nosníku popsaný příčnou výchylkou v(x, t) a druhotnou rotaci kolem osy kolmé na popisovanou rovinu pohybu popsanou úhlem natočení řezu ϕ(x, t). Příčné výchylky předpokládáme malé, takže průhybovka je plochá a tudíž jsou malé i úhly natočení řezů.
4.1
Odvození pohybové rovnice
Vytkněme element nosníku délky dx nacházející se v poloze x (obr.11). Uvažujeme
f (x, t)
y Τ
dM D M + dM
ϕ
Μ
T + dT v
dD P (x), J z (x) x
x=0
x
x=l
dx
Obrázek 11: jej v deformované poloze popsané příčnou výchylkou v těžiště krajního řezu a úhlem natočení ϕ tohoto řezu od roviny yz (obr.11). Tento úhel je zároveň úhlem sklonu tečny ke střednici elementu s osou x (úhly s kolmými rameny). Proto pro něj (vzhledem k malým příčným výchylkám) zřejmě v libovolném čase platí ϕ =≈ tgϕ = 26
∂v . ∂x
(65)
Na uvolněný element působí, kromě příčného spojitého zatížení o délkové hustotě síly f (x, t), posouvající síla T a ohybový moment M od odstraněné ”levé” části nosníku a o diferenciál změněné veličiny (opačné orientace) od odstraněné ”pravé” části nosníku. Protože vzhledem k předpokladům osa, procházející středem elementu rovnoběžně s osou z, je hlavní centrální osou setrvačnosti, jsou setrvačné účinky na pohybující se element nahrazeny elementární setrvačnou silou dD (proti výchylce v) v těžišti elementu a elementární setrvačnou dvojicí dMD (proti orientaci úhlu ϕ). Složková podmínka dynamické rovnováhy do směru y dává [T − (T + dT )] cos ϕ + f dx − dD = 0 .
(66)
Pro setrvačnou sílu zřejmě platí dD = a dm, kde a je zrychlení unášivého pohybu elementu a dm jeho hmotnost, pro kterou (až na diferenciálně malé vyšších řádů) platí 2 dm = µP dx. Protože zrychlení těžiště elementu je a = ∂∂t2v , dostáváme pro elementární setrvačnou sílu vztah ∂ 2v . (67) ∂t2 Vyjádřením přírůstku posouvající síly pomocí přírůstku nezávisle proměnné x a příslušné derivace dostaneme dD = µP dx
∂T dx . (68) ∂x S ohledem na plochou průhybovku lze psát cos ϕ ≈ 1. Odtud a po dosazení (68) a (67) do (66) obdržíme po krácení dx rovnici dT =
∂2v ∂T + µP 2 = f . ∂x ∂t Momentová podmínka dynamické rovnováhy k těžišti elementu dává
(69)
dx dx − (T + dT ) = 0, 2 2 odkud zanedbáním diferenciálně malé druhého řádu dT2dx dostaneme −M + M + dM − dMD − T
dM − T dx − dMD = 0 .
(70)
Poznamenejme, že příspěvek dMD do této podmínky vzniká od druhotné rotace elementu a nazývá se rotační setrvačnost. Vyjádříme ji ve tvaru dMD = α dIz , kde α je úhlové zrychlení druhotné rotace elementu a dIz elementární osový moment setrvačnosti k ose rovnoběžné s osou z procházející těžištěm elementu. Pro úhlové zrychlení zřejmě platí 2 α = ∂∂tϕ2 , takže vzhledem k (65) ∂ 3v . (71) ∂x∂t2 R Podle definice je dIz = (m) (x2 + y 2 )dm. Protože délka elementu je diferenciálně malá, R je (m) x2 dm diferenciálně malá třetího řádu a platí dMD = dIz
dIz =
Z
(m)
2
y dm = µdx
Z
(P )
y 2 dP = µJz dx ,
(72)
kde jsme zavedli kvadratický moment Jz [m4 ] průřezu k ose rovnoběžné se z procházející těžištěm průřezu. Dosazením (72) do (71) máme 27
∂3v . (73) ∂x∂t2 Vyjádřením přírůstku ohybového momentu pomocí přírůstku nezávisle proměnné x a příslušné derivace dostaneme dMD = µJz dx
∂M dx . ∂x Dosazením (74) a (73) do (70) a krácením dx vznikne dM =
(74)
∂3v ∂M = µJz +T . (75) ∂x ∂x∂t2 Poznámka: První člen na pravé straně v (75) vyjadřuje výše zmíněnou rotační setrvačnost. Zanedbáme-li ji, obdržíme ve statické pružnosti obvyklou Schwedlerovu větu. Ze základního kurzu pružnosti známe vztah pro ohybový moment (tzv. diferenciální rovnice průhybovky tvrdící, že ohybový moment je úměrný křivosti průhybovky) tvaru M = EJz
∂ 2v , ∂x2
jehož derivací získáme ∂M ∂ ∂ 2v = EJz 2 ∂x ∂x ∂x
!
(76)
.
Dosazením (76) do (75) vznikne ∂ ∂2v T = EJz 2 ∂x ∂x
!
− µJz
∂3v . ∂x∂t2
Derivací podle x a dosazením do (69) získáme konečný tvar pohybové rovnice ∂ 2v ∂2 EJ z ∂x2 ∂x2
!
∂ ∂ 3v − µJz ∂x ∂x∂t2
!
+ µP
∂2v =f. ∂t2
(77)
Jedná se o poměrně složitou parciální diferenciální rovnici čtvrtého řádu. Pro případ homogenního (E =konst a µ =konst) nosníku stálého průřezu (P =konst a Jz =konst) se rovnice zjednoduší na tvar ∂4v 1 ∂ 2 v E Jz ∂ 4 v Jz · · · · f (x, t) = f¯(x, t) . + − = 2 4 2 2 ∂t µ P ∂x P ∂x ∂t µP Ve druhé kapitole byla zavedena rychlost šíření podélné vlny c1 = q
q
E . µ
Veličina jz =
= má zřejmě rozměr délky [m]. Někdy se tato veličina označuje jako kvadratický poloměr průřezu (k ose z). Pohybová rovnice je pak tvaru Jz P
4 4 ∂2v 2∂ v 2 ∂ v + (c j ) − j = f¯(x, t) . 1 z z ∂t2 ∂x4 ∂x2 ∂t2 Poznámka: Pro kruhový průřez, vzhledem k jeho symetrii, platí
1Z 1 y dP = z dP = (y 2 + z 2 )dP = Jp , 2 (P ) 2 (P ) (P )
Z
2
Z
2
28
(78)
q
q
Jp πr r takže pro nosník kruhového průřezu poloměru r jest jz = 2P = 4πr 2 = 2. Při zanedbání rotační setrvačnosti se pohybová rovnice dále zjednoduší na tvar 4
4 ∂2v 2∂ v + (c j ) = f¯(x, t) . (79) 1 z ∂t2 ∂x4 Všechny tvary pohybové rovnice jsou čtvrtého řádu v proměnné x a druhého řádu v proměnné t. Jejich doplněním o čtyři okrajové a dvě počáteční podmínky formulujeme úlohu s jednoznačným ”kmitavým” řešením. V dalším se budeme zabývat homogenní rovnicí (78).
4.2
Úloha vlastních hodnot a volné kmitání
”Kmitavé” řešení homogenní rovnice (78) lze psát v separovaném tvaru v(x, t)=V (x)T (t), kde V a T jsou zatím neznámé funkce jedné proměnné. Zřejmě platí ∂ 2v d2 T ∂ 4v d4 V ∂4v d2 T d2 V = V ; = T ; = . ∂t2 dt2 ∂x4 dx4 ∂x2 ∂t2 dt2 dx2 Dosazením tohoto vyjádření do (78) (pro f¯ = 0) dostaneme 4 2 2 d2 T 2 d V 2d T d V V + (c j ) T − j = 0. 1 z z dt2 dx4 dt2 dx2 Pro nenulové funkční hodnoty separovaných funkcí dělme celou předchozí rovnici součinem T V . Vznikne d2 T dt2
T Vyjádřením
d2 T dt2
T
d4 V 2 dx4
+ (c1 jz )
V
−
d2 T d2 V 2 dt2 dx2 jz
T
V
= 0.
odtud dostaneme d2 T dt2
T
=
(c1 jz )2 d2 V dx2
jz2 V
d4 V dx4
V
.
−1
Protože levá strana této rovnosti je pouze funkcí času a pravá pouze funkcí polohy, rovnost nemůže být splněna jinak, než že obě funkce jsou (stejnou) konstantou. Tato konstanta může mít libovolnou hodnotu. ”Kmitavé” řešení však dostaneme pouze v případě, že tato konstanta bude záporná. Pro zvýraznění jejího signa ji označme −Ω2 . Levá strana předchozí rovnosti rovna −Ω2 pak dává obyčejnou diferenciální rovnici tvaru d2 T + Ω2 T = 0 , dt2
(80)
a pravá strana dává rovnici tvaru d4 V 2 dx4
(c1 jz ) ze které násobením výrazem
V
V (c1 jz )2
Ω d4 V + 4 dx c1
+
d2 V 2 2 dx2 Ω jz
V
− 1 = 0 ,
obdržíme obyčejnou diferenciální rovnici tvaru !2
d2 V Ω − 2 dx c1 · jz 29
!2
V = 0.
(81)
Obecné řešení obyčejné diferenciální rovnice (80) je T (t) = A cos Ωt + B sin Ωt . Rovnice (81) je diferenciální rovnice čtvrtého řádu s konstantními koeficienty a bez členů s derivacemi lichých řádů. Charakteristická rovnice k ní je Ω λ + c1 4
!2
Ω λ − c 1 · jz 2
!2
= 0.
Jedná se o kvadratickou rovnici pro λ2 . Její kořeny dostaneme po malé úpravě ve tvaru (λ2 )1,2
v !2 u Ω 4 Ω u t Ω + 2− = ± .
2c1
c1
jz
c1
Je ihned patrno, že lomená závorka má pro znaménko plus kladnou hodnotu a pro znaménko mínus zápornou hodnotu. Proto charakteristické hodnoty λ jsou λ1,2 = ±β1 ; λ3,4 = ±iβ2 , √ kde i= −1 je imaginární jednotka a v v u ! u u u Ω u Ω 2 4 Ω t β1 = u + 2− ; β2 = t
2c1
c1
jz
c1
v v u ! u u u Ω u Ω 2 4 Ω t u + 2+ . t
2c1
c1
jz
c1
(82)
Z matematiky je známo, že fundamentální systém řešení rovnice (81) tvaru eβ1 x , e−β1 x , eiβ2 x , e−iβ2 x lze převést na ekvivalentní fundamentální systém cosh β1 x, sinh β1 x, cos β2 x, sin β2 x. Obecným řešením (81) je proto V (x) = C1 cos β2 x + C2 sin β2 x + C3 cosh β1 x + C4 sinh β1 x
(83)
a řešením homogenní rovnice (78) potom v(x, t) = V (x)(A cos Ωt + B sin Ωt) . Integrační konstanty C1 až C4 určíme z okrajových podmínek a A a B z počátečních podmínek. Vlastní frekvence Ω a veličiny β1 (β2 ) spolu souvisejí vztahy (82). Důležité okrajové podmínky pro řez nosníku jsou: 1. Podmínka vetknutí, kdy nemůže dojít k příčnému pohybu ani k nenulovénu sklonu tečny k průhybovce (obr.12). Vzhledem k platnosti okrajové podmínky = 0. v libovolném čase odtud plyne V = dV dx 2. Podmínka podepření (obr.12), kdy sice nemůže dojít k příčnému pohybu, leč nenulovému sklonu tečny k průhybovce toto uložení nosníku nebrání. Z tohoto důvodu se tímto řezem nepřenese ohybový moment, jenž je úměrný křivosti průhybovky. Protože podmínka musí platit v libovolném čase, dostáváme odtud V = 2 = ddxV2 = 0. 3. Podmínka volného konce (obr.12), kdy může dojít k příčnému pohybu i k nenulovému sklonu tečny k průhybovce. Z toho důvodu tento konec nepřenese ani ohybový moment ani posouvající sílu. Posouvající síla je podle Schwedlerovy věty 30
úměrná třetí derivaci průhybovky. Protože podmínka musí platit v libovolném 3 2 čase, dostáváme odtud ddxV2 = ddxV3 = 0.
y
x
111 000 000 111 000 111 000 111 x=0 y
x
x=0 y
x x=0
Obrázek 12: Dvojice okrajových podmínek může tvořit nejrůznější kombinace, ze kterých vyplývá konkrétní tvar konstant C1 až C4 , a potažmo vlastní frekvence a vlastní funkce úlohy. Ukážeme postup na oboustranně podepřeném nosníku. Vzhledem k předchozímu rozboru mají čtyři odpovídající okrajové podmínky tvar d2 V d2 V (0) = 0 ; V (l) = 0 ; (l) = 0 . V (0) = 0 ; dx2 dx2 Derivací (83) získáme d2 V (x) = −β22 (C1 cos β2 x + C2 sin β2 x) + β12 (C3 cosh β1 x + C4 sinh β1 x) . dx2
(84)
Dosaďme do (83) a (84) polohu řezu x = 0 a zohledněme první dvě okrajové podmínky. Dostaneme V (0) = 0 = C1 + C3 , d2 V (0) = 0 = −β22 C1 + β12 C3 . dx2 Jedná se o homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic, jež má netriviální řešení právě když determinant soustavy je nulový. Pro ten ale platí 1 −β22
1 β12
= β12 + β22 .
31
Vzhledem k (82), protože vlastní frekvence jsou nenulové, odtud plyne nenulovost determinantu soustavy a tím i trivialita řešení soustavy homogenních rovnic. Je tedy C1 = C3 = 0 a (83) přejde do tvaru
V (x) = C2 sin β2 x + C4 sinh β1 x ⇒
d2 V (x) = −C2 β22 sin β2 x + C4 β12 sinh β1 x . dx2
(85)
Dosaďme do těchto rovnic x = l a zohledněme poslední dvě okrajové podmínky. Dostaneme V (l) = 0 = C2 sin β2 l + C4 sinh β1 l , d2 V (l) = 0 = −β22 C2 sin β2 l + β12 C4 sinh β1 l . dx2 Jedná se opět o homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic, jež má netriviální řešení právě když determinant soustavy je nulový. Pro ten ale platí sin β2 l −β22 sin β2 l
sinh β1 l β12 sinh β1 l
= (β12 + β22 ) sin β2 l sinh β1 l .
Tento determinant musí být nulový (jinak by bylo i C2 = C4 = 0 a nosník by nekmital). Protože podle (82) je β12 + β22 6= 0 a sinh β1 l 6= 0, musí platit sin β2 l = 0, tedy β2k l = = kπ (k = 1, 2, . . .). Soustava lineárních rovnic pro konstanty C2 a C4 má singulární matici soustavy. Plnou informaci o řešení dává už například první rovnice, která pro sin β2 l = 0 nabývá tvaru C4 sinh β1 l = 0, odkud plyne C4 = 0. Vlastní funkce (pro jednotkovou konstantu C2 ) jsou proto tvaru Vk (x) = sin β2k x , kde β2k l = kπ, takže x Vk (x) = sin kπ , k = 1, 2, . . . . l Po dosazení z (82) dostaneme
(86)
v v u !2 u u u π u Ωk t Ωk Ωk 4 β2 = k = u + 2+ . t
2c1
l
c1
jz
c1
Pro určení vlastních frekvencí z této rovnosti označme pro jednoduchost konstantu Ak = 2 2 = k l2π . Umocněním rovnice pro β2 obdržíme po dílčí úpravě Ak − Dalším umocněním pak dostáváme A2k −
Ω2k 2c21
v u 2 Ωk u t Ωk + 4 . = 2 2
2c1
c1
jz
Ak Ω2k Ω4k Ω4k Ω2k + = + , c21 4c41 4c41 c21 jz2
odkud po další dílčí úpravě pro vlastní frekvence získáme vztah 32
Ωk = q
c1 Ak Ak +
1 jz2
=q
c1 jz Ak
= c1 jz q
1 + jz2 Ak
k2 π 2 l2 2 2
1 + jz2 k l2π
(87)
.
Vlastní funkce (86) jsou stejného tvaru jako (35), takže pro ně platí ortogonalizační vztah l Vj (x)Vk (x)dx = δjk . 2 0 Odvodíme ještě vztahy pro vlastní hodnoty dvakrát podepřeného nosníku pro případ zanedbání rotační setrvačnosti. Homogenní pohybová rovnice má potom tvar Z
l
4 ∂ 2v 2∂ v + (c j ) = 0. 1 z ∂t2 ∂x4 Uvážením řešení ve tvaru v(x, t) = T (t)V (x) dostaneme dosazením do předchozí rovnice po prodělení součinem T V d2 T dt2
d4 V 2 dx4
+ (c1 jz ) = 0. T V Protože levá strana této rovnosti je pouze funkcí času a pravá pouze funkcí polohy, rovnost nemůže být splněna jinak, než že obě funkce jsou (stejnou) konstantou. Beremeli ji opět jako −Ω2 , dostaneme pro funkci T obyčejnou diferenciální rovnici d2 T + Ω2 T = 0 dt2
(88)
a pro funkci V rovnici d4 V Ω + 4 dx c 1 jz
!2
V = 0.
(89)
Rovnice (88) má obecné řešení T (t) = A cos Ωt + B sin Ωt . q
Rovnice (89) má charakteristickou rovnici λ4 + β 4 = 0, kde β = λ12 = ±β a λ3,4 = ±iβ. Její obecné řešení proto lze psáti ve tvaru
Ω . c 1 jz
Její kořeny jsou
V (x) = C1 cos βx + C2 sin βx + C3 cosh βx + C4 sinh βx .
(90)
Protože d2 V = β 2 (−C1 cos βx − C2 sin βx + C3 cosh βx + C4 sinh βx) , dx2 dostáváme dosazením x = 0 a aplikací okrajových podmínek na ”levém kraji” V (0) = 0 = C1 + C3 , d2 V (0) = 0 = β 2 (−C1 + C3 ) . dx2 Protože determinant soustavy má nenulovou hodnotu 2β 2 , má zmíněná soustava triviální řešení C1 = C3 = 0. Funkce V (x) a její druhá derivace mají tedy opět tvar (85). Dosazením x = l a aplikací okrajových podmínek na ”pravém kraji” máme 33
V (l) = 0 = C2 sin βl + C4 sinh βl , d2 V (l) = 0 = β 2 (−C2 sin βl + C4 sinh βl) . 2 dx Determinant této soustavy má hodnotu 2β 2 sin βl sinh βl. Tato hodnota musí být nulová (triviální řešení soustavy už nelze akceptovat). Odtud plyne frekvenční rovnice
Protože β =
q
Ω , c 1 jz
sin βl = 0 ⇒ βk l = kπ ; k = 1, 2, . . . .
plyne odtud pro vlastní frekvence vztah
k2π2 . (91) l2 Z okrajové podmínky pro x = l pro výše určená β pak máme C4 sinh βl = 0, odkud plyne C4 = 0. Vlastní funkce mají tedy formálně stejný tvar (86) jako v obecnějším případě. Srovnáním vlastních frekvencí (87) s vlastními frekvencemi (91) při zanedbané rotační setrvačnosti, získáme podmínku, při jejímž splnění lze rotační setrvačnost za2 2 nedbat. Je to podmínka zanedbané hodnoty jz2 k l2π vůči jedničce. Protože popsaná hodnota závisí na kvadrátu pořadí vlastní frekvence, lze rotační setrvačnost bez velké chyby zanedbat pouze pro vlastní frekvence nízkých pořadí. Například pro nosník kruhového průřezu poloměru r (oboustranně podepřený) je Ωk = c1 jz βk2 = c1 jz
jz =
s
Jz = P
s
πr 4 4 πr2
=
r , 2
takže jz2
π 2 r2 2 k2π2 = ·k . l2 4 l2 2 2
Pro představu když l = 1[m] a r = 0.05[m] je jz2 k l2π = 6.54 · 10−3 · k 2 , takže pro vlastní 2 2 frekvenci pořadí k = 10 je jz2 k l2π = 0.654, což už nelze bez velké chyby oproti jedničce zanedbat. Příklad: Určete vlastní frekvence a vlastní funkce (homogenního) nosníku délky l, v řezu pro x = 0 vetknutého a v řezu pro x = l volného při zanedbání rotační setrvačnosti. Řešení: Okrajové podmínky při našem zadání zřejmě jsou dV d2 V d3 V (0) = 0 ; (l) = (l) = 0 . dx dx2 dx3 Při zanedbání rotační setrvačnosti je podle (90) V (0) =
V (x) = C1 cos βx + C2 sin βx + C3 cosh βx + C4 sinh βx , dV (x) = β(−C1 sin βx + C2 cos βx + C3 sinh βx + C4 cosh βx .) dx Dosazením x = 0 a zohledněním podmínek na ”levém” kraji dostaneme V (0) = 0 = C1 + C3 , dV (0) = 0 = β(C2 + C4 ) . dx 34
Protože β =
odkud
q
Ω c 1 jz
6= 0, plyne odtud C3 = −C1 a C4 = −C2 . Funkce V (x) má tedy tvar
V (x) = C1 (cos βx − cosh βx) + C2 (sin βx − sinh βx) ,
d2 V (x) = β 2 [−C1(cos βx + cosh βx) − C2 (sin βx + sinh βx)] , dx2 d3 V (x) = β 3 [C1 (sin βx − sinh βx) − C2 (cos βx + cosh βx)] . dx3 Dosazením x = l a zohledněním podmínek na ”pravém” kraji dostaneme d2 V (l) = 0 = β 2 [−C1 (cos βl + cosh βl) − C2 (sin βl + sinh βl)] , dx2 d3 V (l) = 0 = β 3 [C1 (sin βl − sinh βl) − C2 (cos βl + cosh βl)] . dx3 Vzhledem k tomu, že β 6= 0, dostáváme pro konstanty C1 a C2 soustavu homogenních lineárních algebraických rovnic tvaru (cos βl + cosh βl)C1 + (sin βl + sinh βl)C2 = 0 , (sin βl − sinh βl)C1 − (cos βl + cosh βl)C2 = 0 .
Triviální řešení této soustavy nelze akceptovat, takže determinant soustavy musí být nulový. Platí tedy (po přenásobení -1) 0 = (cos βl + cosh βl)2 + (sin βl + sinh βl)(sin βl − sinh βl) .
Roznásobením a užitím známých vztahů cos2 y + sin2 y = 1 a cosh2 y − sinh2 y = 1, platných pro libovolné y, dostaneme 2 + 2 cos βl cosh βl = 0. Frekvenční rovnice pro uvažované okrajové podmínky má tedy tvar cosh βl = −
1 . cos βl
Protože cosh y je na h0, ∞) monotónně rostoucí a funkce cos1 y má periodu 2π, má předchozí trancsendentní rovnice nekonečné množství řešení βk l, kq = 1, 2, . . .. Souvislost mezi βk a Ωk v případě zanedbání rotační setrvačnosti je βk = cΩ1 jkz , takže
c 1 jz (βk l)2 , k = 1, 2, . . . . (92) l2 Matice soustavy pro určení konstant C1 a C2 je singulární, takže plnou informaci o konstantách dává např. první rovnice soustavy. Dosazením do ní např. C1 = 1 vyjádříme Ωk = c1 jz βk2 =
C2 = −
cos βl + cosh βl . sin βl + sinh βl
Vlastními funkcemi úlohy (příslušejícími ke konstantě C1 = 1) jsou tedy Vk (x) = cos βk x − cosh βk x −
cos βk l + cosh βk l (sin βk x − sinh βk x) , sin βk l + sinh βk l
kde βk l jsou řešení výše popsané transcendentní rovnice. 35
(93)
Pruseciky krivek y=−1/cos(x) a y=cosh(x) 60
50
40
y
30
20
10
0
−10
−20
0
0.5
1
1.5
2
2.5 x
3
3.5
4
4.5
5
Obrázek 13: Jednotlivá řešení této rovnice získáme geometricky jako pořadnice průsečíků křivky z = cosh y s větvemi křivky z = − cos1 y . První dva zmíněné průsečíky jsou znázorněny na obr.13 kroužky. Graf funkce cosh y je znázorněn modrou barvou a jednotlivé větve funkce − cos1 y pak barvou černou. Z obrázku je patrno, že pro pořadí řešení rostoucí nade všechny meze, se pořadnice y jednotlivých průsečíků blíží k lichému násobku π2 příslušného pořadí. Tyto násobky π2 jsou v obrázku znázorněny tečkovanými fialovými přímkami. Lichá pořadí řešení se k příslušným násobkům π2 blíží shora a sudá pořadí zdola. Číselné hodnoty šesti nejmenších řešení včetně příslušného násobku π2 jsou uvedeny v dále uvedené tabulce 3. pořadí 1 2 3 4 5 6
hodnota řešení lichý násobek 1.8751041 1.5707963 4.6940911 4.7123890 7.8547574 7.8539816 10.9955407 10.9955743 14.1371684 14.1371669 17.2787596 17.2787596
π 2
Tabulka 3: Z tabulky je patrno jak rychle jednotlivá řešení konvergují k příslušným násobkům 36
π . 2
Prakticky počínaje šestou vlastní frekvencí podle (92) platí 2 c1 jz 2π (2k − 1) , k = 6, 7, . . . , . l2 4 Poznamenejme závěrem, že vlastní funkce (93) nesplňují podmínky kolmosti v prostoru L2 h0; li.
Ωk =
4.3
Volné a vynucené kmitání
Řešením homogenní rovnice (78) (pro f¯ ≡ 0) pro každé přirozené k je zřejmě funkce vk (x, t) = Vk (x)(Ak cos Ωk t + Bk sin Ωk t) , kde Ωk jsou vlastní frekvence a Vk (x) k nim příslušející vlastní funkce pro některé okrajové podmínky výše určené. Jestliže dále uvedená řada stejnoměrně konverguje, je řešením (78) pro f¯ ≡ 0 i v(x, t) =
∞ X
vk (x, t) =
∞ X
Vk (x)(Ak cos Ωk t + Bk sin Ωk t) .
(94)
k=1
k=1
Integrační konstanty Ak a Bk určíme z počátečních podmínek (polohové a rychlostní, jež jsou obě funkcí polohy x) analogicky jako v kapitole o kmitání struny. Podmínkou pro použití tohoto postupu ovšem je kolmost vlastních funkcí úlohy v prostoru L2 h0; li. Postup lze tedy (s formálně stejnými formulemi jako v první kapitole) bez problémů použít pro dvakrát podepřený nosník. Rovněž vynucené kmitání nosníků řešíme, podobně jako v případě kmitání struny, rozkladem do vlastních funkcí, kdy ”koeficienty” tohoto rozkladu nejsou harmonické, ale obecné, zatím neznámé funkce času. Řešení rovnice (78) tedy hledáme ve tvaru v(x, t) =
∞ X
Vk (x)qk (t) ,
(95)
k=1
za předpokladu stejnoměrné konvergence použité funkcionální řady. Odtud derivováním dostaneme ∞ ∞ ∞ X X ∂2v X d2 Vk d2 qk d4 Vk ∂4v ∂ 4 vk d2 qk V (x) q (t) = (t) ; = (x) ; = (x) (t) . k k ∂t2 dt2 ∂x4 k=1 dx4 ∂x2 ∂t2 k=1 dx2 dt2 k=1
Dosazením derivací do (78) dostaneme
f¯(x, t) =
∞ X
k=1
d4 Vk d2 q k d2 Vk d2 qk Vk (x) 2 (t) + (c1 jz )2 4 (x)qk (t) − jz2 2 (x) 2 (t) . dt dx dx dt #
"
Podle (81) pro každou vlastní funkci však platí d4 Vk Ωk (x) = − 4 dx c1
!2
Ωk d2 Vk (x) + 2 dx c 1 jz
Dosazením do předcházející rovnice získáme 37
!2
Vk (x) .
∞ X
!2
d2 qk Ωk f¯(x, t)= Vk (x) 2 (t)+(c1 jz )2 qk (t) dt c1 jz k=1
Ωk Vk (x)− c1
!2
odkud po dílčí úpravě (c21 se krátí) dostaneme ∞ X l=1
d2 q k (t) + Ω2k qk (t) 2 dt
!
Vk (x) −
d jz2
d2 Vk 2 d2 Vk d2 qk −j (x) (x) (t) , z dx2 dx2 dt2
2
!
Vk (x) . dx2
(96)
Pro dvakrát podepřený nosník s ohledem na (86) ale je d2 Vk kπ (x) = − 2 dx l
!2
Vk (x) .
Dosazením do (96) máme f¯(x, t) =
∞ X
k=1
jz kπ d2 q k (t) + Ω2k qk (t) Vk (x) 1 + 2 dt l !
!2
.
Násobením této rovnice vlastní funkcí Vj (x) a následnou integrací přes délku dostaneme vzhledem ke kolmosti vlastních funkcí dvakrát podepřeného nosníku v prostoru L2 h0; li, že platí Z
0
l
f¯(x, t)Vj (x)dx =
jz jπ l d2 q j 1+ (t) + Ω2j qj (t) 2 dt 2 l !
"
2 #
.
Pro neznámé funkce qj (t) dostáváme tedy obyčejné diferenciální rovnice Z l d2 qj 2 2 f¯(x, t)Vj (x)dx , (t) + Ωj qj (t) = dt2 jz jπ 2 0 l 1+ l
resp. po dosazení f¯ =
1 f µP
diferenciální rovnice
d2 q j 2 (t) + Ω2j qj (t) = fxj (t) , 2 dt jz jπ 2 µP l 1 + l
(97)
kde modální síla fxj (t) je určena formálně stejným vztahem (22) jako v případě kmitání struny. Počáteční podmínky pro řešení těchto diferenciálních rovnic jsou rovněž dány výrazem (23) jako v případě struny. Poznámka: Z předchozího postupu jest zřejmé, že zanedbáme-li v pohybové rovnici ro jz jπ 2 vůči jedničce. Je zřejmé, že pro konkrétní tační setrvačnost, zanedbáme výraz l hodnotu kvadratického momentu průřezu k ose z lze toto provést jen pro dostatečně malá pořadí j sčítanců ve vyjádření řešení (95). Zanedbáme-li rotační setrvačnost, dostáváme pro funkce qj (t) diferenciální rovnice 2 d2 qj 2 (t) + Ω q (t) = fx (t) , j j dt2 mn j kde mn = µP l je hmotnost nosníku. 38
(98)
00 11 11 00
F (t) = F 0 sin ω t
x=a
00 11 11 00 x=l
x=0
Obrázek 14:
Příklad: Řešme ustálené ohybové kmitání oboustranně podepřeného homogenního nosníku délky l, hustoty µ, modulu pružnosti v tahu E, stálého průřezu P majícího kvadratický moment Jz k ose z. Kmity jsou buzeny osamělou silou harmonického průběhu F (t) = F0 sin ωt působící v místě x = a (obr.14). Řešení: Řešení ustálených vynucených kmitů hledáme ve tvaru v(x, t) =
∞ X
Vk (x)qk (t) ,
(99)
k=1
kde funkce qk (t) jsou partikulárním řešením (vzhledem k tomu, že hledáme ustálené kmitání) diferenciální rovnice (97) a vlastní funkce jsou (s ohledem na zadané okrajové podmínky) dány podle (86) vztahem x Vk (x) = sin kπ . l Modální síla na pravé straně (97) je určena jako fxk (t) =
Z
0
l
f (t, x)Vk (x)dx .
Protože budící síla je osamělá, rovna F0 sin ωt, lze modální sílu určit limitním přechodem x 1 Z a+δ 1 Z a+δ F0 sin ωtVk (x)dx = F0 sin ωt lim sin kπ dx = fxk (t) = lim δ→0 2δ a−δ δ→0 2δ a−δ l cos kπ(a−δ) − cos kπ(a+δ) l l l = F0 sin ωt lim . kπ δ→0 2δ Poslední limitu typu 00 určíme L’Hospitalovým pravidlem. Podle něj je sin kπ(a−δ) cos kπ(a−δ) − cos kπ(a+δ) + sin kπ(a+δ) kπ kπ kπa l l l l = lim = sin . lim δ→0 δ→0 2δ l 2 l l Dosazením do předchozího výrazu obdržíme pro modální sílu vztah kπa sin ωt . l Podle (97) hledáme tedy partikulární řešení diferenciální rovnice fxk (t) = F0 sin
2 kπa d2 q k sin ωt , (t) + Ω2k qj (t) = 2 F0 sin 2 dt l µP l 1 + jz lkπ 39
kde vlastní frekvence Ωk jsou pro náš případ okrajových podmínek dány v (87). Označímeli konstanty Lk =
2
µP l 1 +
jz kπ l
2 F0 sin
kπa , l
(100)
hledáme parikulární řešení obyčejné diferenciální rovnice d2 q k (t) + Ω2k qk (t) = Lk sin ωt . dt2 Protože v rovnici chybí člen s první derivací, lze toto řešení (pro budící frekvenci různou od všech vlastních frekvencí) hledat ve tvaru qk (t) = Ak sin ωt pro zatím neurčené konstanty Ak . Dosazením předpokládaného řešení do diferenciální rovnice dostaneme Lk k pro zmíněné konstanty vztahy Ak = Ω2L−ω 2 . Platí tedy qk (t) = Ω2 −ω 2 sin ωt a partikulární k k řešení v(x, t) má podle (99) tvar v(x, t) =
∞ X
2 k=1 Ωk
Lk x sin ωt sin kπ , 2 −ω l
kde konstanty Lk jsou v (100) a vlastní frekvence Ωk v (87). Dosazením za konstanty Lk pak po dílčí úpravě obdržíme finální výsledek tvaru v(x, t) =
2F0 mn
∞ X
k=1 1 +
kde mn je hmotnost nosníku. Poznámky:
sin kπa l jz kπ 2 (Ω2k l
− ω2)
sin
kπx sin ωt , l
(101)
1. Ustálený stav vykazuje nekonečnou množinu rezonančních stavů, kdy budící frekvence je rovna libovolné vlastní frekvenci. Protože se jedná o netlumenou soustavu, roste v těchto rezonancích amplituda ustáleného stavu nade všechny meze. 2. Vzhledem k tomu, že absolutní hodnota goniometrických funkcí je shora omezena jedničkou, je k−tý člen řady (101) pro libovolné x v absolutní hodnotě . Protože pro libovolnou budící frekvenci ω je omezen číslem h jz kπ 12 i 2 1+( l ) (Ωk −ω 2 ) Ω2 lim 2 k 2 = 1, chová se ”v okolí nekonečna” (tedy pro dostatečně velká k) k→∞ Ω − ω k 1 1 1 posloupnost Ω2 −ω 2 jako posloupnost Ω2 a tedy vzhledem k (87) jako konst· k 2 . k k ∞ X 1 ovšem konverguje, takže (přenásobená konstantou) je konvergentní Řada 2 k=1 k číselnou majorantou k řadě (101) pro libovolné x. Řada (101) tedy konverguje stejnoměrně na celé délce nosníku a všechny kroky derivací za sumačním znaménkem tedy byly oprávněné. 3. V případě zanedbané rotační setrvačnosti má řada (101) zřejmě tvar ∞ sin kπa 2F0 X kπx l v(x, t) = sin sin ωt , 2 2 mn k=1 Ωk − ω l
!
40
kde vlastní frekvence jsou dány v (91). Ze stejného důvodu jako v bodě 2. je ∞ X 1 0 . Ovšem podle (91) se Ωk číselnou majorantou k této řadě řada 2F 2 mn 2 k=1 |Ωk − ω | chová v okolí nekonečna jako konst·k 2 . Proto pro libovolnou budící frekvenci a pro ∞ X 1 libovolné místo nosníku je řada konst· konvergentní číselnou majorantou 4 k=1 k k vyjádření ustáleného stavu. Funkcionální řada vyjadřující popisovaný ustálený stav tedy konverguje stejnoměrně na celém nosníku a pro libovolný časový interval. Příklad: Řešme dynamickou odezvu oboustranně podepřeného homogenního nosníku délky l, hustoty µ, modulu pružnosti v tahu E, stálého průřezu P majícího kvadratický moment Jz k ose z (obr.15), jenž jest zatížen rázovou silou rovnoměrně spojitě rozloženou po povrchu nosníku mezi místy x = a a x = b. Celkový předaný impuls síly je I[Ns] a počáteční podmínky jsou nulové.
00 11 11 00
f (x, t) = k δ (t)
x=a
00 11 11 00
x=b
x=l
x=0
Obrázek 15: Řešení: Řešení úlohy hledáme opět ve tvaru (99), kde vlastní funkce Vk (x) jsou s ohledem na okrajové podmínky dány vztahem Vk (x) = sin kπ
x l
(102)
a funkce qk (t) jsou řešením diferenciální rovnice 2 d2 q k (t) + Ω2k qk (t) = 2 2 2 fxk (t) . 2 dt mn 1 + π jl2z k
(103)
V tomto vztahu jsou vlastní frekvence Ωk vzhledem k okrajovým podmínkám dány výrazem (87) a mn = µP l je hmotnost nosníku. Vzhledem k tomu, že budící síla je I určena jako f (t, x) = b−a δ(t) (δ(t) je jednotkový Diracův impuls) a působí pouze na intervalu (a, b), je modální síla na pravé straně rovnice (103) určena jako !
Z b I I l b x a fxk (t) = f (t, x)Vk (x)dx = δ(t) sin kπ dx = · cos kπ −cos kπ δ(t) . b−a l b−a kπ l l a a Z
b
Diferenciální rovnice (103) má tedy tvar cos kπ al − cos kπ bl 2I d2 qk 2 δ(t) . q (t) = (t) + Ω · k 2 2 2 k dt2 πµP (b − a) k 1 + π jl2z k
Jestliže označíme konstanty
41
A=
cos kπ al − cos kπ bl 2I ; Bk = 2 2 2 πµP (b − a) k 1 + π jl2z k
(104)
má diferenciální rovnice (103) tvar
d2 q k (t) + Ω2k qk (t) = ABk δ(t) . (105) dt2 Tuto rovnici řešíme při nulových počátečních podmínkách, neboť podle zadání počáteční podmínky byly identicky nulové funkce na h0, li. Řešení provedeme Laplaceovou transformací. Označíme-li Laplaceův obraz řešení rovnice (105) jako Qk (p) (p je komplexní proměnná), obdržíme vzhledem ke vztahu pro obraz druhé derivace a pro obraz Diracova impulsu pro obraz řešení rovnici p2 Qk (p) + Ω2k Qk (p) = ABk ⇒ Qk (p) = Protože Laplaceův obraz funkce sin Ωk t je funkce
Ωk , p2 +Ω2k
ABk . + Ω2k
p2
je řešení rovnice (105)
ABk sin Ωk t . Ωk Dosazením (102) a (106) do (99) dostaneme hledanou odezvu nosníku ve tvaru qk (t) =
v(t, x) = A
∞ X Bk
x sin kπ sin Ωk t , l k=1 Ωk
(106)
(107)
kde A a Bk jsou dány v (104) a Ωk pak v (87). Poznámky: 1. Výraz µP (b − a) ve jmenovateli (105) je hmotnost nosníku mab mezi řezy x = a a x = b. 2. Vzhledem k tomu, že absolutní hodnota goniometrických funkcí je shora omezena jedničkou, je k−tý člen řady (107) pro libovolné x i t v absolutní hodnotě omezen k| . Po dosazení ze (104) je tedy k−tý člen číselné majoranty funkcionální číslem A |B Ωk řady (107) tvaru − cos | cos 2I 2 2 2 πµP (b − a) k 1 + π jl2z k kπ al
kπ bl |
q
π 2 jz2 k2 l2 π 2 k2 c1 jz l2
1+
.
Dílčí úpravou odtud vznikne k−tý člen majoranty ve tvaru | cos kπ al − cos kπ bl | 2Il3 q · . π 3 µP (b − a)c1 jz k 3 l2 + π 2 jz2 k 2
Protože goniometrické funkce jsou v absolutní hodnotě shora omezeny jedničkou, ∞ X 1 3 q . Poslední řada je číselnou majorantou řady (107) řada π3 m4Il ab c1 jz 3 l2 + π 2 j 2 k 2 k=1 k z ∞ X 1 , která konverguje. Řada se zřejmě v okolí nekonečna chová jako řada konst· 4 k=1 k (107) tedy konverguje stejnoměrně na celé délce nosníku a pro libovolný časový interval. 42
3. V případě zanedbané rotační setrvačnosti má řada (107) formálně stejný tvar, k| ovšem konstanta A|B je nyní tvaru Ωk | cos kπ al − cos kπ bl | 2I 1 A|Bk | = 2 2 = Ωk πµP (b − a) k c1 jz π l2k | cos kπ al − cos kπ bl | 2Il2 = 3 . π µP (b − a)c1 jz k3
Protože goniometrické funkce jsou v absolutní hodnotě shora omezeny jedničkou, ∞ X 1 4Il2 , která je číselnou majorantou řady (107) v tomto případě řada π3 mab c1 jz 3 k=1 k konverguje. Řada (107) i pro případ zanedbané rotační setrvačnosti konverguje stejnoměrně na celém nosníku v libovolném časovém intervalu.
43
Obsah 1 Kmitání struny 1.1 Odvození pohybové rovnice 1.2 Úloha vlastních hodnot . . . 1.3 Volné kmitání . . . . . . . . 1.4 Vynucené kmitání . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
1 2 3 7 9
2 Podélné kmitání prutů 11 2.1 Odvození pohybové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Úloha vlastních hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Torzní kmitání hřídelí kruhového průřezu 23 3.1 Odvození pohybové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Ohybové kmitání nosníků 26 4.1 Odvození pohybové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Úloha vlastních hodnot a volné kmitání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 Volné a vynucené kmitání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
44
