Over de benadering van ~ in de Aegyptische meetkunde. i By E. M. BRUINS. (Communicated by Prof. L. E. J. BROUWER.)
Mathematics. -
(Communicated at the meeting of October 27. 1945.)
§ 1.
In het onderstaande trachten wij aan te toonen , dat de in de
Aegyptische wiskunde optredende benadering
~ = :~
langs theoretischen
weg door de Aegyptenaren is verkregen. Om tot deze slotsom te kunnen komen , wijzen wij met STRUVE 1) allereerst op de consequente wijze, waar~ mede de terminologie werd toegepast en op de wijze, waarop oplosbare ver~ gelijkingen van het type ax 2 b werden behandeld om hieruit de quadratuur van den cirkel te verkrijgen.
=
1. De Aegyptenaren kenden het begrip quadrateeren en eveneens den quadraatwortel. Terwijl voor de aanduiding der vermenigvuldiging de term sp maal gebruikt wordt en in het bijzonder voor tweemaal nemen ver~ dubbelen de term ~ 3 b in gebruik is, leest men voor quadrateeren : lr~~r~k x m sn reken j ij met x als voorbijloopende terwijl voorbijgeschoven wordt, hetgeen op een zuiver meetkundigen oorsprong der u!tdrukking wijst. Hiermede overeenkomende wordt de quadraatwortel aangeduid met ~nb~t, de hoek, de zijde van het quadraat (zie fig. 1). Een aanwijzing voor de
=
=
=
=
~---l
0"
ËL_~
#,J-t
ttr-l x m.sn Fig. 1. consequentie, waarmede (STRUVE) in de beroemde een afgeknotte pyramide, a 2 + ab + b 2 voor a 4 kolom XXVII 4, 5, 6]:
=
4. 5. 6.
lr~~r~k
4 pn m sn ~pr 16 lr-~r~k ~3b~k 4 ~pr 8 lr~1:Jr-k 2 pn m sn ~pr 4
de terminologie wordt toegepast vindt men opgave over de berekening van het volume van waarin men bij de berekening der termen van en b 2 leest [in den papyrus vari Moskou ,
=
Bereken het quadraat van deze 4. Er komt 16. Bereken en verdubbel 4. Er komt 8. Bereken het quadraat van deze 2. Er komt 4.
Hieruit ziet men, dat 2 maal 4 als "verdubbelen" wordt omschreven, ·,,2 verdubbelen" wordt aangewezen. terwijl 2 2 niet als 2 + 2 of 2 maal 2
=
1)
W. STRUVE, QueUen und Studien A I , pag. 135.
207 In verband hiermede moet er ons inziens groote nadruk vallen op het feit, dat de berekening van de oppervlakte van den cirkel C niet als een fractie van het omgeschreven quadraat V: 64/81 V , dat is (2/3 + 1/9 + 1/81) V doch als oppervlakte van een vierkant met zijde 8/9 d, als d den diameter voorstelt, wordt berekend.
=
2. Hoe de vergelijking ax 2 b opgelost werd kan onder meer blijken uit kolom VIII, IX, XXXIII-XXXIV uit den papyrus van Moskou, waar~ van wij duidelijkheid.shalve kolom IX citeeren. tp n lr~t spd~t ml 4d nk spd~t nt 3~t 20 ldb n 2!. lr~~r~k ~3b~k 3~t ~pr~~r 40 Zr sp 2!. ~pr~~r 100 lr ~nb ~pr~~r IOn js w' hnt 2!. ~pr~r~~r
lm pw 1/3 1/15lr 1/3 1/15 n 10 ~pr~ ~r 4. 10 pw n 3W n 4 m s~w.
Vertaald: Methode ter berekening van een rechthoekigen driehoek. Als aan je gezegd wordt een rechthoekigen driehoek met oppervlakte 20 en verhouding der rechthoekszijden van 2!. Verdubbel j ij de oppervlakte. Er komt 40. R.eken 2t maal. Er komt 100. Bereken de wortel. Er komt 10. Roep 1 voor 2! .( deel 1 door 2!). Er komt daar dit: 2/ 5. Bereken 2/ 5 van 10. Er komt 4. 10 is het als lengte voor 4 als breedte.
=
In moderne symbolen :
=
= = = 2!y = =
Opgave: x 2!y Oplossing : 2 . 20
!xy 40. 40 xy 2!xy 10 1 : 2! 2/ 5
=
= =
= x = 2! . 40 = 100 x = 10. 2/ 5. 2ty = y = 2/5.10 = 4. 2
De vergelijking y ax b wordt dus opgelost door beide leden der vergelijking te vermenigvuldigen met I/a, terwijl als het ware ay2 b opgelost wordt door a . ay 2 (ay) 2 ah enz.
=
=
3. Bedenkt men nu verder, dat de bewerkingen voor de eenvoudige oppervlakteberekeningen vaak worden gemotiveerd met "om er een recht~ hoek van te maken" dan ligt het voor de hand. dat de berekening van de oppervlakte van den cirkel geleid heeft tot de vraag naar "zijn hoek", naar de zijde van het vierkant met dezelfde oppervlakte. De figuur uit den papyrus· RHIND R. 48 levert aanwijzing voor de identi~ ficatie van den cirkel met den achthoek ontstaan door de hoeken van een omgeschreven vierkant op 1/ 3 af te knotten (zie fig . 2). Hieruit volgt de relatie
9C= 7V
208
Fig. 2.
onmiddellijk en dus als d de zijde van het quadraat om den cirkel en x de zijde van het quadraat met gelijke oppervlakte is 9 x2
=
7 d2
waaruit 9.9x 2 = (9X)2
=
9.7 d 2 = 63 d 2 '" (8d)2
dus 9x= 8d
x
= d-l/9d
en
onmiddellijk volgt, terwijl
§ 2.
Nader onderzoek der methode van moderner standpunt.
1. Verdeelt men het omgeschreven quadraat in vier deelvierkanten door halveering der zijden, dan verkrijgt men (zie fig. 2) onmiddellijk
4>C>2 in deelvierkanten uitgedrukt, dus:Tl '" 3; ~ = 0,75. Nû levert de "quadratuur" van den cirkel
4 x2
=
3 d2
waaruit allereerst de, te verwerpen, oplossing x 4 maal: 9 maal: 16 maal:
= =
16 x 2 12 d 2 36 x 2 = 27 d 2 64 x 2 48 d 2 '" (7d)2 :Tl
i
49
= 64 = 0,765.
= d = 1 volgt en verder 8x
= 7d
209 2. De verdeeling in drie gelijke deelen der zijden van het omgeschreven vierkant levert, zooals boven reeds werd aangegeven
= 7d 2 n 64 is x, = 9, d = 8 met i = 81 = 0.790, n = 3.11 uit de directe vergelijking der
9 x2
waarvan de "eerste oplossing"
=
= 7/ 9,
n 3.16 tegenover n / 4 opperv lakten. De kettingbreuk
-V~ = {O;
1. 7. 1. 3. I. 2. l. ... }
met de naderende breuken
doet zien. dat de methode bij halveering der zijde de eerste twee naderende breuken oplevert. terwijl de deeling in drieën de derde breuk doet vinden. Voor de oppervlakte als deel van het omgeschreven vierkant volgt even zoo n
:t=
{O; 1.3. 1.1. ... }
1 3 4 7.
I;i;5:9:'" waarvan dus de tweede en vierde breuk uit de figuur onmiddellijk afgelezen worden.
Opmerking: De hierboven aangegeven afleiding van de berekening van de oppervlakte van den cirkel. doet vermoeden. dat de formule voor het volume van een pyramide eveneens door "berekening" zal zijn verkregen. Door de eenvoudige breuk 1/ 3. die door schatting eveneens te verklaren is. kan hiervoor niet een dergelijke aanwijzing worden verkregen als voor de oppervlakte van den cirkel. Echter. gebruik makende van het gegeven. dat het begrip " fractie" en (zelfs) het begrip "verhouding" in de papyri ge~ vonden worden. kan men. uitgaande van de formule voor de afgeknotte pyramide
v
= 1/ 3 h (a + ab + b 2
2)
voor een afgeknotte pyramide met quadratisch grondvlak met zijde a en een boven~vlak met zijde b. die. zooals NEUGEBA UER 2) aangegeven heeft. door verdeeling uit de formule voor den inhoud van een pyramide met quadra~ tisch grondvlak gemakkelijk te verkrijgen is, óók deze formule zelf verkrijgen. 2)
O . NEUGEBAUER. Vorlesungen über vorgr. Math. etc .• pag. 128.
210 Allereerst ziet men in figuur 3 de verdeeling aangegeven door voor het geval. dat één der opstaande ribben vertikaal staat:
NE UGEBA UER
v = bZh + 2 . !
b (a-b) h + t h (a::-b) Z
= th (a Z + ab + bZ).
terwijl wij voor de afgeknotte regelmatige pyramide tot dezelfde alge~ braïsche uitdrukking komen
V= b Zh+4.!. ! (a--:-b)bh+4.i (a-b) z .th=th(az+ab + bZ) . Nu vindt men even zoo. uit de splitsing voor de pyramide met vertikale opstaande ribbe. door ·deze te beschouwen als fractie van het blok met
Fig. 3.
dezelfde ribben aan den orthogonalen driebeen èn af te knotten op de halve hoogte; als lt de fractie x van het Blok B. met ribben a. b. c door de pyramide geleverd voorstelt en fz. de pyramide met ribben 2a. 2b. 2c. dezelfde fractie van het blok B z = 8 B 1 is
Jz
= 2lt + 2B 1 = xBz·
Dus voor x de vergelijking
2
+ 2x = 8x.
x
= 1/ 3.
