Mathematics. - Een involutie in de lijnenruimte. By O. BOTTEMA. (Com~ municated by Prof. W. VAN DER WOUDE.) (Communicated at the meeting of October 1:1, 1945.)
Gegeven zijn twee quadratische regelscharen Rl en R2' respec~ tievelijk gelegen op de hyperboloïden Hl en H 2 • Een rechte I der ruimte snijdt twee beschrijvenden van Rl en twee van R 2 ; deze vier· rechten hebben behalve I nog een tweede transversaal 1'. De involutorische verwantschap tussen I en l' is onderzocht door. JAN DE VRIES, door SCHAAKE en door BONE 1), die haar .voornaamste eigenschappen hebben afgeleid. Wij komen hier op deze verwantschap terug. ten eerste, omdat de genoemde auteurs enige voor de hand liggende vragen onbesproken hebben gelaten (met name die naar de aard der figuur, die toegevoegd is aan een willekeurig regeloppervlak en aan een willekeurig complex) en vervolgens om aan te tonen, dat naast de meetkundige behandeling ook een meer analytische bespreking mogelijk is, die onder meer in staat stelt de meetkundige plaats der dubbelrechten uitvoeriger te onderzoeken. In § 2 geven wij een samen~ . vatting van de door de drie schrijvers verkregen resultaten.
§ I.
§ 2.
Door SCHAAKE zijn voor een involutie in de lijnen ruimte drie karakteristieke getallen gedefinieerd en dezelfde heeft die involuties be~ paald, waarvoor deze getallen nul of één zijn. Het blijkt, dat de onderhavige involutie diegene is, waarvoor de karakteristieke getallen alle gelijk aan één zijn 2). Singuliere rechten van de involutie zijn ten eerste de stralen der op Hl resp. H 2 gelegen, met Rl resp. R2 verbonden regelschar.en 8 1 en 8 2 ; aan elk dezer rechten is een lineaire congruentie toegevoegd. Voorts is ere·e n congruentie (4,4) van singuliere stralen, aan elk waarvan een waaier is . toegevoegd; deze congruentie is opgebouwd uit waaiers, .waarvan de top een gemeenschappelijk punt van Hl en H 2 en het vlak een gemeenschap~ pelijk raakvlak van deze oppervlakken is. De dubbelrechten der involutie vormen een quadratisch complex. Aan een waaier is een cubisch regelvlak, aan een schoof een congruentie (2,3) en aan een veld een (3,2) toegevoegd. Beeldt men de rechten der ruimte af op de punten ván een quadratische 1) JAN DE VRIES, Quadratische involuties in de stralenruimte, Vers!. l
506 vierdimensionale variëteit D in R5' waardoor aan 1 resp. l' de punten P en fY zijn toegevoegd. dan is de verbindingslijn PfY een transversaal over twee. de involutie bepalende. vaste vlakken V 1 en V 2. De doorsneden van V 1 en V 2 met D corresponderen daarbij met de regelscharen S1 en S2.
§ 3. Het is aan de laatst genoemde eigenschap. dat wij de analytische behandeling der involutie willen verbinden. Voert men de lijncoördinaten pij van PLÜCKER in. dan luidt de vergelijking van D
+ P13 P42 + PH P23 = o. Wij zullen mi coördinaten Xi (i = 1...... .. 6) in R5 invoeren. die lineair Pl2 P34
afhangen van pijen wel zó. dat de vlakken VI en V 2 resp. door de gelijkingen
ver~
·
(1)
X4=XS=X6=0
en
XI =X2=X,=o-.
worden voorgesteld. De variëteit D krijgt dan een vergelijking van alge~ mene gedaante 6
Q=
~· aljXIXj=O •• 1.1
(2)
De transversaal van het punt P(~i) over V 1 en V 2 heeft blijkbaar de vergelijkingen XI : X2: X,: X4 : Xs : XC!
=
~I
:
~2
:
e3 : .le.. : .les: .le6
•
•
(3)
waarin ). een parameter is. De snijpunten van deze transversaal met D worden bepaald door all
f. + 2 812 el el + .. . a33 ~~ + 2.l (a14 ~I e4 + ... 836 e3 e6) + ( + lP (833 rl + ... 866 ~~) = 0 ~
(4)
Ligt nu P op D. m.a.w. is P het be~ld van een rechte in R3. dus is O. zodat l 1 een wortel is van (4). dan geldt voor de andere wortel ~aij~dj
=
=
· (5) St~lt
men dus Q)
(XI X2 X3) -
Q2
(X4
Xs X6)
x;+ 2al2 XI X2 + ... au xi t aH x;+ 2a4S X4 Xs + ... a66 xl ~
a"
=
(6)
dan volgt uit (3) en (5). dat de involutorische verwantschap tussen de rechten 1 en 1'. met de coördinaten Xi en X' i . wordt uitgedrukt door de vergelijkingen
= X) • Q2 (X4' xs. X6) X2 = X2 . Q2 (X4' xs. X6) XI'
x; = X 3 •
Q2 (X4. xs.
= x~ =
• x;
X4 •
QI
(XI' X2' X3)
•
Xs . QI
(XI' X2' X3)
X6) • X6
= X6. QI (XI' X2' X3)
l •
· (7)
507 Zij is dus van de derde graad. Uit (7) leidt men af, dat singulier zijn voor deze verwantschap de rechten van de congruentie C met de vergelijkingen Q1 Q2 0; aan een dergelijke rechte zijn toegevoegd zulke waarvoor geldt:
=
=
dus de rechten van een waaier, die tot C behoort. Als doorsnede van twee quadratische complexen is C een congruentie (4,4), Tot C behoren de regelscharen SI en S2' die resp. door X4 X5 X6 Q1 0 en Xl X2 = = X3 Q2= 0 worden voorgesteld. De rechten van zo'n regelschaar zijn hoofdstralen van de verwantschap: aan elk is een (lineaire) congruentie toegevoegd en wel b.v. aan de rechte (~1 ~2 ~3 000), waarvoor Q1 (~1 ~2 ~3) 0 is, de congruentie met de vergelijkingen Xl : X2 : X3 ~1 : ~2 : ~3' De meetkundige plaats van deze congruenties is het quadratis,ch complex Q1 O. In de vijfdimepsionale beeldruimte komen met de regelscharen SI en S2 twee kegelsneden Kl en [(2 overeen, die de doorsnede vormen van Q met VI resp. V 2' De quadratisch-e complexen Q1 = 0 en Q2 0 corresponderen met (de doorsnede van Q met) twee kegels, die V 2 tot toppenvlak en Kl tot richtkromme, resp. VI tot toppenvlak en K'2 tot richtkromme hebben. Hun doorsnede is een V 3 4 t;n de doorsnede V daarvan met Q een V 2 8 , die met de congruentie C correspondeert en die de beschrijvende vlakken van beide stelsels op Q elk vier maal snijdt. KIen K 2 zijn dubbelkrommen van V, door elk punt gaan twee beschrijvenden en men kan V voortgebracht denken door de verbindingslijnen van toegevoegde punten van een tussen Kl en K 2 met behulp van Q bepaalde (2,2) verwantschap.
= =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
§ 4. Daar de involutie van de 3e graad is, zal in Rs aan een rechte een cubische kromme, dus in Rl aan een waaier een cubisch regeloppervlak zijn toegevoegd en in het algemeen aan een regeloppervlak van de graad n ' een regeloppervlak van de graad 3 n . Het is echter duidelijk, dat bij bijzondere ligging ten opzichte van de singuliere elementen dit antwoord moet worden gewijzigd. Heeft in R5 een op SJ gelegen kromme een, niet op Kl of K 2 gelegen snijpunt met V, dan wordt door de involutie aan dit punt een rechte m van V toegevoegd, door welke omstandigheid de graad van de toegevoegde kromme dus met één wordt verminderd. Uit continuïteitsoverwegingen is voorts duidelijk, dat de toegevoegde kromme, na weglating van m, met deze rechte en dus met Veen punt gemeen heeft. Beschouwen wij nu een op SJ gelegen rechte, die Kl snijdt in het punt P . Daarmede correspondeert in R3 een waaier, die een rechte p van SI bevat. Aan p is in de involutie toegevoegd de lineaire congruentie, die tot richtlijnen h-eeft de rechten van R2 die door p worden gesneden. Doorloopt men de waaier waartoe p behoort en die tot top heeft het op p gelegen punt T en die ligt in het vlak U door p, dan snijden de van p verschillende rechten van de waaier alle dezelfde twee rechten al en a2 van Rl, nl. die door het
508 punt T en die in het vlak U. De rechten van de waaier T(U) snijden de rechten van de regelschaar R2 volgens een quadratische involutie. Volgens een van CHASLES afkomstige stelling vormen de transversalen over de paren toegevoegde rechten van een regelschaar een lineair complex. De in onze involutie aan de stralen van de waaier T (U) toegevoegde rechten liggen in dit complex en behoren tot de congruentie met de richtlijnen al en a 2De doorsnede van het complex en de congruentie is een regelschaar. waartoe echter de waaier T (U) ~elf behoort. Hieruit volgt. dat aan de waaier T(U) - afziende van de aan p toegevoegde singuliere congruentie - door de involutie een waaier toegevoegd wordt (en wel ,e en waaier. waarvan de . top op a2 ligt en het vlak door al gaat) . De omstandigheid. dat in R5 de op Q gelegen rechte de kegelsnede Kl snijdt. vermindert dus de graad der toegevoegde figuur met twee. Tenslotte maken wij nog de opmerking . dat door de involutie aan een op de kegel Q1 = O. maar niet op V gelegen punt ten duidelijkste een punt van Klis toegevoegd. Wij zijn nu in staat voor een willekeurige kromme op Q de graad der toegevoegde te bepalen . Is de gegeven kromme van de graad n en heeft zij a snijpunten met Kl ' b snijpunten met K 2 en nog c snijpunten met V. die niet op Kl of K 2 liggen. dan geldt voor de g.r aad n' van de toegevoegde kromme ;/:
r
n ' =3n-2a-2b-c . . De gegeven kromme heeft 2 n snijpunten met Q 1 = 0; hiervan liggen er a op Kl en bop K 2 • welke laatste dubbelpunten van de kegel zijn en voorts nog c andere op V. Er zijn dus 2 n-a-2 b-c niet op V gelegen snijpunten met Ql O. zodat voor het aantal snijpunten (a') van y' met Kl geldt
=
a'
= 2n -
a - 2 b - c.
Evenzo is
b'
= 2n-2a -
b-c
en ten slotte C'
=c.
(8d)
In de lijnenruimte heeft men dus: Aan een regeloppervlak van de graad n. diç a rechten gemeen heeft met de regelschaar SI. b met de regelschaar S2 en nog c andere met de singuliere congruentie C, wordt door de involutie toegevoegd een regeloppervlak. waarvan de vier overeenkomstige getallen n', a', b' en c' bepaald worden door de betrekkingen (8).
§ 5. Wij zullen een overeenkomstige eigenschap afleiden voor toegevoegde complexen. Uit (7) volgt onmiddellijk. dat aan een complex van de ooe graad in het algemeen een complex van de graad 3 n is toegevoegd. Dit resultaat zal wijziging ondergaan . als het gegeven complex bijzondere ligging heeft ten opzichte van de figuur der singulariteiten. Als een complex van de graad n de congruentie C m-voudig bevat en daarenboven de regel-
509 schaar 5 1 pt-voudig en 5 2 P2-voudig. dan heeft de vergelijking de volgende gedaante
ti
waarbij een polynoom van de graad n-2 m is. dat in X4 . xs. x6 van de graad n-m-Pl-2i en in xl. X2. X3 van de graad n-m-p2-2(m-i) is; dat wil zeggen. is in Xb x2. x3 van de graad Pt + 2 i - m en in x4. xs. x(j van de graad P2 + m-2i. Voeren wij nu de transformatie (7) uit. dan gaat (9) over in een vergelijking van de graad 3 n. Na de substitutie bevat de factor
ti
ti
en daar Qt overgaat in Ql Q~ en Q2 in Q~ Q2. bevat transformatie de factor Qf.+ 2m - i Qf,+m+i.
ti Q:n- i Ql na
de
waaruit volgt. dat het linkerlid van (9) de factor Qf·+m Qf,+m bevat. Hieruit volgt. dat het toegevoegde complex na terzijdestelling van de quadratische complexen Ql 0 en Q2 0 de graad
=
=
n' =3n-4m-2PI -2P2
.
ti
bezit. Na de substitutie van (7) in (9) wordt van de graad n-2m in de uitdrukkingen Ql en Q2. terwijl Qf-i Q~ overgaat in Qf+i Q~m-i. zodat afgezien van de factor Qf·+m Qf.+m een polynoom in Ql en Q2 ontstaat van de graad
(n-2m)
+ (m + i) + (2m -i)-(P2 + m)-(pt + m).
waaruit volgt
Die term va.n {i . die in
m'
= n-m-Pt-p2'
Xl.
X2. X3 de hoogste graad heeft. is van het type.
.
Xf, :+2i-m x:-m-p,-2i;
de uitdrukking xP' + 2i-m I
•
Xn-m-p,-2 i Qm-i 1
I
Qi
2
gaa t door (7) over in ..n-m-p,-2i Qn-p,-i Qp,+m+i X IP,+2i - m • """i I 2 •
dus na deling door Qf.+m Qf,+m in
xf,+2i-m
.:3:- m- p,-2i
Hieruit volgt. dat
PI
+ 2i-
m
= P; + 2i -
m',
Qf-i
Q~.
510 dus P~
(IOC)
= n-2m-p2'
en evenzo Wij hebben dus: aan een complex van de graad n, dat de singuliere congruentie C m maal bevat en bovendien de regelscharen SI en S2 nog respectievelijk Pi en pz maal. wordt door de involutie toegevoegd een complex, waarvoor de overeenkomstige karakteristieke getallen n' , m', en P~ bepaald zijn door (10).
p;
§ 6. In § 2 is melding gemaakt van de meetkundig afgeleide stelling. dat de aan zich zelf toegevoegde rechten der involutie een quadratisch complex vormen. Wij kunnen dit complex blijkbaar definiëren als de meetkundige plaats der rechten, die de regelscharen Ri en Rz snijden in een parabolisch lijnenviertal, d.w.z. in een viertal met twee samengevallen transversalen. In de vijfdimensionale beeldruimte ontstaat het beeld T' van als de meetkundige plaats van de raakpunten met Q van de rechten, die de vlakken V i en V 2 snijden en aan Q raken . Zo opgevat is het probleem een uitbreiding van het in de beschrijvende meetkunde der regeloppervlakk~n welbekende vraagstuk. de meetkundige plaats te bepalen van de raakpunten der rechten. die twee gegeven rechten snijden en aan een quadratisch oppervlak raken. welke meetkundige plaats een biquadratische kromme van de eerste soort blijkt te zijn 3). De algemene opgave: in R2 n + 1 de meetkundige plaats te bepalen van de raakpunten der rechten. die twee gegeven ruimten Rn snijden en aan een V~n raken. is gesteld en meetkundig opgelost door BONE 4) ; de bedoelde figuur blijkt de doorsnede te zijn van twee quadratische variëteiten. Voor n 2. dus in R5. blijkt dit onmiddellijk uit onze vergelijkingen (7); immers de dekpunten der involut6rische toevoeging zijn de punten van het quadratisch complex r met de vergelijking
r
r
=
(11)
Ook voor willekeurige waarden van n voert een analytische behandeling hier dadelijk tot het resultaat. En zij stelt ons tevens in staat de vraag te beantwoorden naar de aard van de biquadratische variëteit, een opgave waarbij de meetkundige methode. zoals ook uit het antwoord moge blijken . minder kans op succes schijnt te bieden. Om de gedachten te bepalen beschouwen wij het geval n 2. d.w.z. wij onderzoeken tot welk type het bedoelde quadratische complex der dubbelrechten van de involutie behoort.
=
3) Zie b.v. H. J. V. VEEN. Leerboek der Beschrijvende Meetkunde. 11. lti9 (Groningen 1929); de stelling werd reeds in 1839 bekend gemaakt door CHASLES (Corresp. math. XI. no. 50). 4) BONE. Wiskundige Opgav!n U. 122(1925).
511 De vergelijkingen der beide quadratische variëteiten in R5' waarvan ons de doorsnede interesseert, zijn
1: Bij Xi XJ = 0 en 1: 6
zodat de
).~matrix
a\l(1-1)
a\2
aij Xi XJ
\,2,3
= 1,5,6 1:
(12)
aij XI Xj
der uit hen gevorm_debundel er als volgt uitziet
(1-),)
a\3 (1-).)
al1
a\5
a\6
a2\
(1-).)
a22 (1-1)
a23 (1-..1)
a21
a25
a26
a3\
(1-),)
a32 (1-).)
a33
(1-),)
a31
a35
B36
(13)
a1\
a12
aü
a11 (1 +).)
a15
(1 + ).)
a16
a5\
a52
aS3
aS1 (1 + ).)
a55
(1 +).)
asdl +).)
a6\
a62
a63
a61
(1 + 1)
a65
(1 + 1)
B66
(1 +).)
I
(l + 1)
Ontwikkelt men de determinant der matrix, dan blijkt onmiddellijk 'dat elke term evenveel factoren (1 -2) als (1 +).) bevat; men ziet dat ook in door b.v. de eerste drie rijen met (1 + J.) te vermenigvuldigen en de laatste drie kolommen door (1 +).) te delen. Hieruit volgt, dat de l~vergelijking wortels heeft. die twee aan twee elkaars tegengestelde zijn. De wortel nul komt niet voor, omdat Q een algemene quadratische variëteit is. Om verdere eigenschappen der J.~matrix af te leiden, merken wij op, dat wij het coördinatenstelsel slechts zover hebben bepaald, dat aan de vlakken V 1 en V 2 resp. de vergelijkingen X4 = X5 = X6 = 0 en Xl = X2 = X3 = 0 werden toegekend. Blijkbaar mogen wij dus nog de coördinatengroepen Xl, X2 . X3 en X4, X5. X6 afzonderlijk lineair transformeren. Wij veronder~ stellen nu. dat KIen K 2 beide niet~ontaarde kegelsneden zijn (dus Rl en R:!. niet~ontaarde quadratische regelscharen) ; wij kunnen dan drie hoekpunten van het coördinatensimplex kiezen in de hoekpunten van een pooldriehoek van Kl resp. van K 2. zodat dus a1 2 = a23 = a31 = a45 = a56 = a64 = 0 , terwijl all . a22, a33 en a44. a55. a66 ongelijk aan nul zijn. Door geschikte keuze van het eenheidspunt wordt dan verder verkregen dat all = a:!.2 = a33 = a44 = a55 = a66 en de 2~matrix luidt 1-1
0
0
BI1
BIS
a\6
0
1-1
0
a21
a25
a26
0
0
1-1
a31
a35
B36
a11
a12
a1]
1 +).
0
0
a51
a52
B53
0
1+).
0
a61
a62
a63
0
0
1+ 1
(14)
Stelt men de determinant van de derde orde. gevormd door de aij. gelijk aan D en is Aij in deze determinant de minor van aij. dan krijgt men na ontwikkeling de volgende ).~vergelijking: (1 - ,P)3 -(1 -
).2)2
.1: a~J + (1- ).2). 2
A~j
- D2
= 0..
. (15)
512
Deze cubische vergelijking in 1-),2 heeft in het algemeen drie verschillende wortels; men kan ook zonder moeite de getallen ajj zó kiezen. dat (15) voorgeschreven wortels heeft. Immers neemt men al1
= V~.
a25
= V P2.
a36
= V P3' al5 = al6 = aH = a26 = a31 = a35 = O.
dan wordt (IS):
(1-.P)3_(I--.F) (PI
+ P2 + P3) + (1-.P) (P2 P3 + P3 PI + PI P2)-PI P2 P3 = O.
zodat men voor 1-}.2 resp. vindt Pl. P2 en P3' We komen dus tot de volgende conclusie. De 6 wortels der 2-vergelijking van het quadratisch complex zijn in het algemeen verschillend; ze zijn ~ee aan twee elkaars tegengestelde. maar kunnen overigens willekeurige waarden aannemen. Meetkundig wil dat zeggen: het complex r der dubbelstralen is in het algemeen van het algemene type; het heeft in de classificatie van KLEIN de Segre-notatie [1 I 1 1 1 1]. Maar r is geenszins het algemene quadratische complex. want de zes (verschillende) wortels Àj der À-vergelijking voldoen aan de relaties 2 1 + 24 = O. 22 + )'5 = O. À3 + )'6 = 0: Aangezien voor de eigenschappen van r niet deze wortels zelf beslissend zijn. maar À nog aan een lineaire transformatie onderworpen mag worden. komt het hier.op neer. dat r één projectief-invariante merkwaardigheid vertoont. Men kan deze in R5 ook zo formuleren: door r'. die de doorsnede is van Q met een andere quadratische variëteit Q, gaan zes hyper kegels. die men zo kan groeperen. dat zij drie paren vormen van een involutie in de bundel (Q. Q). Overeenkomstige eigenschappen gelden voor het bovengenoemde probleem in R2 n + l ' Voor n 1 krijgen wi~ een À-vergelijking met vier verschillende wortels. die twee aan twee elkaars tegengestelde zijn. Daar elk viertal verschillende getallen door lineaire transformatie in een dergelijk viertal kan worden overgevoerd. komen wij tot de conclusie. dat de biquadratische kromme van de eerste soort. die als contactkromme in de theorie der conoïden optreedt. projectief de algemene kromme is. Wat het complex der dubbelstralen betreft. hierbij zijn uiteraard een groot aantal bijzondere gevallen mogelijk. die door de discussie van de elementaire delers van (14) kunnen worden gevonden en corresponderen met bijzondere liggingen van de gegeven regelscharen Rl en R2 • Wij noemen alleen het meest gespecialiseerde geval: aj j 0 voor alle betrokken indices. De À-vergelijking luidt dan (1_À2)3= 0 en de Segre-notatie is [(lil) (111)]. Men gaat gemakkelijk na. dat VI en V 2 geconjugeerde vlakken zijn t.o.v. Q. zodat Rl en R2 op dezelfde hyperboloïde H liggen en in de involutie toegevoegde rechten niets anders zijn dan wederkerige poolrechten ten opzichte van H.
=
=
