Folytonos idejű jelek mintavételezése, diszkrét adatsorok analízise

Folytonos idejű jelek mintavételezése, diszkrét adatsorok analízise Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás 8. előadás Dr. Iványi Miklósné, egyetemi tanár Schiffer Ádám, egyetemi adjunktus

Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/1

Jelalak modellek 1. Sztohasztikus jelalak modellek Statisztikus tulajdonságok alapján jellemzik pl. G = m ⋅ g (nem relativisztikus térben)

pl . σ = E ⋅ ε , HOOK törvény

pl . F = Q ⋅ E , Coulomb törvény


LabVIEW-7.1 EA-1/2

2. Determinisztikus jelalak modellek I. Folytonos argumentumú jelek a) Impulzus

b) Egységugrás


LabVIEW-7.1 EA-1/3

c) Szinuszos, periodikus jelek

t , 0
x (t ) = 1e −α t sin(ω t )

d) Nem periodikus jelek

Tacoma Narrows Bridge Függőhíd, USA, Washington State, 1940. június-november, szél kb. 70 km/óra Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/4

II. Diszkrét idejű jelek Folytonos idejű jelek diszkrét idejű mintái

x( t )

x(kT) = x[k ] → {x[k ]}

folytonos jel → T − min tavételezési idő

diszkrét min tái → fs = 1 T − min tavételezési

Tp − periodus idő, T = Tp n s p

frekvencia

kT < t < kT + dt ⎧zár , K=⎨ ⎩nyit kT + dt < t < (k + 1)T Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

x* (t ) a jel rekontrukciója min ták / periodus = n s / p n s / p = Tp T = fs f

x * (t ) = x[k ], kT < t < (k + 1)T nulladrendű tartó LabVIEW-7.1 EA-1/5

A mintavételezési paraméterek beállítása f = 1 Tp , Tp n s / p = T, fs = 1 T , fs = f ⋅ n s / p , n s / p ⋅ n p = n b ,

1. Példa, Egy Tp = 20 ms periódusidejű analóg jelből Ts = 10 ns időközönként veszünk mintákat. Adja meg a mintavételezési frekvenciát. Megoldás,

fs =

1 1 = = 108 Hz = 100 MHz . Ts 10 ⋅ 10 − 9

2. Példa A Tp = 20 ms periódusidejű analóg jelből fs = 100 kHz mintavételezési frekvenciával veszünk mintákat. Hány mintát veszünk periódusonként? Megoldás, ns / p =

Tp T

= Tp ⋅ fs = 2000 minta.


LabVIEW-7.1 EA-1/6

f = 1 Tp , Tp n s / p = T, fs = 1 Ts , fs = f ⋅ n s / p , n s / p ⋅ n p = n b ,

3.

Példa Egy f = 20 Hz frekvenciájú, periodikus analóg jelből fs = 5 kHz mintavételezési frekvenciával veszünk mintákat. Adja meg a mintavételezési időt. Megoldás,

4.

T=

1 1 = = 0,2 ⋅ 10 − 3 = 0,2 ms fs 5 ⋅ 10 3

Példa Egy f = 25 Hz periódusidejű analóg jelből fs = 2kHz mintavételezési frekvenciával veszünk mintákat. Hány mintát veszünk, ha két periódust vizsgálunk. Tp fs n = = = 80 minta Megoldás, s/p T f


LabVIEW-7.1 EA-1/7

f = 1 Tp , Tp n s / p = T, fs = 1 Ts , fs = f ⋅ n s / p , n s / p ⋅ n p = n b ,

5.

Példa Egy Tp = 6 ms periódusidejű analóg jelből T = 30 ns időközönként veszünk mintákat. Egy periódus beolvasásához mekkora tárterületre, "buffer size", van szükség. Megoldás, nb =

6.

Tp T

=

6 ⋅ 10 − 3 30 ⋅ 10 − 9s

= 2 ⋅ 105 ,

Példa Mekkora annak az analóg jelnek a Tp periódus ideje, amelyből T = 5µs mintavételezési idő mellett 100 mintát veszünk. Megoldás,

Tp = ns / p ⋅ T = 5 ⋅ 10 − 6100 = 0,5 ms


LabVIEW-7.1 EA-1/8

Hány diszkrét mintát vegyünk?

1 minta/periódus

2 minta/periódus

7 minta/periódus

10 minta/periódus


LabVIEW-7.1 EA-1/9

Hány diszkrét mintát vegyünk? Szinuszos jel esetén: 0

(i) Egyszerű középérték/ DC value T

n

-1

1 p 1 sp e e xa = ∑ x[k], ∫ x(t )dt , xd = Tp 0 ns p k =0

xea − xed xea

(ii) Abszolút középérték/ Absolute value Tp

n

-1

1 1 sp abs abs xa = ∑ x[k], ∫ x(t ) dt , xd = Tp 0 ns p k = 0

Szinuszos jel esetén: 0,637X abs xabs a − xd

xabs a

(iii) Effektív érték / RMS value T

ns p -1 p 1 1 2 eff xeff ∑ x[k]2 , ∫ x(t ) dt , xd = a = ns p k = 0 Tp 0 Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

≤ε

≤ε

Szinuszos jel esetén: 0,707X eff xeff a − xd ≤ε eff xa LabVIEW-7.1 EA-1/10

Hány diszkrét mintát vegyünk? (példa) A váltakozó feszültséget is mérő digitális voltmérők szokásos elnevezésük digitális multiméterek rendszerint - a jel abszolút középértékét mérik. Kijelzőjük azonban az elektromechanikus műszerek hagyományait követve effektív értéket (RMS) mutatnak.


LabVIEW-7.1 EA-1/11

Példa

ˆ sin ωt , ω = 2π xa (t ) = X Tp

xea

T

T

1 p 1 pˆ = ∫ x(t )dt = ∫ X sin ωt dt = 0 Tp 0 Tp 0

Tp Tp Tp 4 ˆ X 1 1 ˆ sin ωt dt = 4 xabs ∫ x(t ) dt = ∫ X ∫ sin ωt dt a = Tp 0 Tp 0 Tp 0

⎛ 2π Tp ⎞ 1 cos − ⎜T 4 ⎟ 2 ˆ ⎡ − cos ωt ⎤ Tp 4 ˆ X X ⎝ p ⎠= X ˆ 4 = =4 ⎢ ⎥ Tp ⎣ ω ⎦ 0 Tp 2π Tp π Tp Tp ˆ 1 1 1 ˆ 2 Tp X 2 eff 2 2 ˆ xa = ∫ x(t ) dt = ∫ X sin ω

t dt = T X 2 = 2 Tp 0 Tp 0 p 1− cos 2ωt 2 Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/12

Hány diszkrét mintát vegyünk? (példa)


LabVIEW-7.1 EA-1/13

A mintavételezett jel középértékei ns p -1 1 xed = ∑ x[k], ns p k =0

ns p -1 1 xabs ∑ x[k], d =n s p k =0

xeff d =

1 ns p -1 ∑ x[k]2 ,

ns p k =0

1. Példa Egy n=6 mintából álló diszkrét idejű jelsorozat értékei x[k ] = {1, 1.2, 1.8, 2.4, 2.2, 1.9} . Határozza meg a jelsorozat középértékeit. Megoldás, A jelsorozat egyszerű középértéke n -1 1 1 sp e xd = ∑ x[k] = (1 + 1,2 + 1,8 + 2,4 + 2,2 + 1,9 ) = 1,7500 , 6 ns p k =0

A jelsorozat abszolút középértéke megegyezik az egyszerű középpel, minthogy a jelsorozat minden eleme pozitív. A jelsorozat négyzetes középértéke

(

)

ns p -1 1 2 = 1 12 + 1,2 2 + 1,8 2 + 2,4 2 + 2,2 2 + 1,9 2 = 1,8207, xeff = x[k] ∑ d 6 ns p k = 0 Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/14

2. Példa Egy n=6 mintából álló diszkrét idejű jelsorozat értékei x[k ] = {1; - 1,2; - 1,8; 2,4; - 2,2; 1,9} . Határozza meg a jelsorozat középértékeit.

Megoldás, A jelsorozat egyszerű középértéke n -1 1 1 sp e (1 − 1,2 − 1,8 + 2,4 − 2,2 + 1,9) = 0,0167 , = x[k] xd = ∑ 6 ns p k =0

A jelsorozat abszolút középértéke n -1 1 1 sp abs xd = ∑ x[k] = (1 + 1,2 + 1,8 + 2,4 + 2,2 + 1,9 ) = 1,7500 , 6 ns p k =0

A jelsorozat négyzetes középértéke xeff d

= =

1

ns p -1

∑ x[k]2

ns p k =0

(

)

1 2 1 + (− 1,2 )2 + (− 1,8 )2 + (− 2,4 )2 + 2,2 2 + 1,9 2 = 1,8207 , 6


LabVIEW-7.1 EA-1/15

3. Példa Egy n=4 mintából álló diszkrét idejű jelsorozat értékei x[k ] = {1; - 2; - 4; 3; }

Határozza meg a jelsorozat középértékeit.

Megoldás, A jelsorozat egyszerű középértéke xed =

ns p -1

1

∑ x[k] =

ns p k = 0

1 (1 − 2 − 4 + 3) = −3 / 4 , 4

A jelsorozat abszolút középértéke 1

xabs d =

ns p -1

∑ x[k] =

1 (1 + 2 + 4 + 3) = 2,5 , 4

ns p k = 0 A jelsorozat négyzetes középértéke

xeff d = =

1

ns p -1

2 ∑ x[k]

ns p k = 0

(

)

1 2 1 + (− 2 )2 + (− 4 )2 + (3 )2 = 30 = 5,4772 , 4


LabVIEW-7.1 EA-1/16

A mérés célja és feladata Virtuális jelgenerátor mintavételezett gerjesztő jelének vizsgálata egyszerű közép Jelgenerátor

Mintavételezett jel

Signal generator

abszolút közép négyzetes közép

A jel adatainak beállítása

A mintavételezés beállítása


LabVIEW-7.1 EA-1/17

Jelek felosztása 1.

Determinisztikus jelek: Matematikai kifejezésekkel leírhatóak és matematikai összefüggésekkel kezelhetők. Sztochasztikus jelek: Matematikai módszerekkel csak részlegesen kezelhetőek.


LabVIEW-7.1 EA-1/18


Sztochasztikus jelek statisztikai jellemzőkkel vázolhatóak: • várható érték - idő függvény • négyzetes középérték - idő függvény • variancia • autokorreláció függvény • autokovariancia függvény • keresztkorreláció függvény • keresztkovariancia függvény Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/19


Periodikus jelek: T periódusidő, Fourier sorba fejthetők (szinusz és koszinuszok összegeként felírhatók) Szinuszos jelek:

x(t )=X ⋅ cos(ωt + ϕ )


LabVIEW-7.1 EA-1/20

A/D átalakítók Mintavételezésnek nevezzük, ha egy folyamatos analóg jelből egy adott t0 időpillanatban vagy meghatározott időközönként (Ts) mintát veszünk. A mintavételezés lehet egyenletes (periodikus), vagy nem egyenletes. A továbbiakban az egyenletes mintavételezés elvi és gyakorlati kérdéseivel foglalkozunk.

s Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/21

A/D átalakítók Egy jelből olyan gyakorisággal kell mintát venni, hogy az eredeti jel reprodukálható legyen. A Nyquist - Shannon mintavételi törvénye értelmében a mintavételi frekvenciát úgy kell megválasztani, hogy az nagyobb legyen, mint a mintavételezett analóg jel legnagyobb frekvenciájú összetevőjének a kétszerese.

f s > 2 f max


LabVIEW-7.1 EA-1/22

A/D átalakítók Szükségszerűen a mintavételezett jelet digitalizálni kell. A minták függőleges tartományokba sorolását kvantálásnak nevezzük. Egy tartomány szélessége a kvantum (Q). A kvantumok száma meghatározza az átalakító kvantálási pontosságát. A kvantumok számát 2 hatványaként adják meg. Így például egy 8 bites átalakító azt jelenti, hogy a kvantumok száma 28., azaz 256. A méréstechnikában legelterjedtebb átalakítók 12 és 16 bitesek. Ezek az analóg jelet 4096, ill. 65536 kvantumba osztják.


LabVIEW-7.1 EA-1/23

A/D átalakítók jellemzői A bemeneti jel tartománya lehet unipoláris vagy bipoláris. Az összes kvantumhoz tartozó maximális feszültség bemenet: FS (full scale) = 2N kvantum, vagyis

uniploáris esetben: 0 - Umax bipoláris esetben ±Umax/2. Az egy kvantumhoz tartozó feszültég érteket a legkisebb helyértékű bit alapján határoz-hatjuk meg: LSB (least significant bit): FS/2N


LabVIEW-7.1 EA-1/24

A/D átalakítók jellemzői

LSB – Least Significant Bit – 00000001 (kvantum) MSB – Most Significant Bit – 10000000 FS – Full Scale – 11111111


LabVIEW-7.1 EA-1/25

apertúra idő A mintavételezés frekvenciáját, mint láttuk, egyrészt meghatározza a mintavételezett jel frekvenciája, másrészt felülről korlátozza az átalakítás ideje. Azt az időt, amely egy minta vételezéséhez és digitalizáláshoz szükséges, apertúra időnek nevezzük. Az apertúra idő meghatározza az átalakító maximális mintavételi frekvenciáját.


LabVIEW-7.1 EA-1/26

A/D átalakítás hibái Offset hiba (javítható)

Linearitási hiba (nem javítható)

erősítési hiba (javítható)

Kódkiesés (nem javítható)


LabVIEW-7.1 EA-1/27

kvantálási hiba Abszolút kvantálási hiba:

U LSB 1 HQ = ± Q = 2 2

Relatív kvantálási hiba:

hQ =

HQ Ux

100%


LabVIEW-7.1 EA-1/28

kvantálási hiba - példa Legyen egy 12 bites átalakító maximális bementi feszültsége 10V. UFS = 10V ULSB = 10/212=10/4096 = 2,44mV UMSB = 10/2 =5V Mekkora a kvantálás hibája, ha ezzel az átalakítóval 8V-ot mérünk? HQ= ±2,44mV/2= ±1,22mV hQ=(1,22×10-3V/ 8 V)×100% = ±0,015% teljes skálára (FS –full scale) hQ,FS=(1,22×10-3V/ 10 V)×100% = ±0,0122% Mekkora a kvantálás hibája, ha ezzel az átalakítóval 50mV-ot mérünk? hQ=(1,22×10-3V/ 0,05 V)×100% = ±2,44% Legyen egy 16 bites átalakító HQ= ULSB /2=(10/65536)/2= ±76µV hQ,FS=(76×10-6V/ 10 V)×100% = ±7,6×10-4% 50mV-ot mérve hQ= (76×10-6V/ 0,05 V)×100% = ±0,152% Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/29

kvantálás és dinamika zajos jelek esetén a túl kicsire választott Q kvantum érzékelhetően viszi át a zajt a digitális jelre, túl nagy Q kvantum pedig kvantálási zaj formájában növeli meg a zajt. optimális esetben a digitális jel zaja ± kvantum példa OP=1 (1 osztálypontosságú, végkitérés 1%-nál nem nagyobb hibával mérő) analóg műszer esetén a kvantálást min 7 bites kvantálóval kell elvégezni, mivel 100%/128 =0,7812< 1% kvantálási zaj: maimálisan a kvantum fele így az 1% hibával mérő analóg műszernél a kvantálást követően fellép 100/256=0,39% kvantálási zaj is. vagyis, kedvezőtlen esetben a mért érték a valódi értékhez képest 1,4% is lehet Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/30

jel- zajviszony a diszkrét szintek kiindulásánál sokszor a jel-zajviszonyt adják meg. az előző esetben 1,4/100 = 1,4 dB-ben ez megfelel: 20 lg 1,4 = 2,92 dB példa: a 65 dB-es jel-zajviszonynak 20 lg x >65, vagyis x > 1780 szintű digitális jel tesz eleget. Így 11 bites digitalizáló szükséges.


LabVIEW-7.1 EA-1/31

LabVIEW 7.1 grafikus program nyelv valódi és virtuális műszerekkel való mérések, jelfeldolgozás


LabVIEW-7.1 EA-1/32

A programozási felületek front panel blokk diagram


LabVIEW-7.1 EA-1/33

front panel blokk diagram

bemenő adatok, paraméterek controls, constants kimenő adatok, grafikonok, értékek indicators, constants

A feladat grafikus nyelven megírt programja, program elemek összekapcsolása

⎧ eszköz paletta ⎪ paletták ⎨ kontroll paletta ⎪ függvény paletta ⎩ Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/34

LabVIEW-data típusok I


LabVIEW-7.1 EA-1/35

LabVIEW-data típusok II


LabVIEW-7.1 EA-1/36

LabVIEW-data típusok III


LabVIEW-7.1 EA-1/37

Virtuális gerjesztő jel előállítása 1D jelgenerátorral


LabVIEW-7.1 EA-1/38

Az 1D jelgenerátor


LabVIEW-7.1 EA-1/39

Virtuális gerjesztő jel előállítása 1D jelgenerátorral (Blokk diagram) 1a


LabVIEW-7.1 EA-1/40

Virtuális gerjesztő jel előállítása 1D jelgenerátorral (Front panel)


LabVIEW-7.1 EA-1/41

Virtuális gerjesztő jel előállítása 1D jelgenerátorral (Blokk diagram) a sampling info kiváltása saját adatokkal 1b


LabVIEW-7.1 EA-1/42

Virtuális gerjesztő jel előállítása 1D jelgenerátorral (Front panel) a ‘sampling info’ kiváltása saját adatokkal


LabVIEW-7.1 EA-1/43

Virtuális gerjesztő jel előállítása 1D jelgenerátorral gerjesztő jelalakok azonos paraméterek mellett

f = 1 Tp Tp ns / p = T fs = 1 T fs = f ⋅ n s / p ns / p ⋅ np = nb nb − buffer size


LabVIEW-7.1 EA-1/44

1D jelgenerátor középértékei I, egyszerű középérték/DC value 1d


LabVIEW-7.1 EA-1/45

1D jelgenerátor középértékei II, abszolút középérték/absolute value 1e


LabVIEW-7.1 EA-1/46

1D jelgenerátor középértékei III, effektív érték/RMS value


LabVIEW-7.1 EA-1/47

1D jelgenerátor középértékei III, effektív érték/RMS value


LabVIEW-7.1 EA-1/48

Középértékek a LV programban, alap-harmonikus középértékek


LabVIEW-7.1 EA-1/49

1D jelgenerátor középértékei, Front panel


LabVIEW-7.1 EA-1/50

Programozás a front panelen


LabVIEW-7.1 EA-1/51



LabVIEW-7.1 EA-1/52



LabVIEW-7.1 EA-1/53

Az 1. villamos mérés feladatai (LV7-1) 1. feladat, Készítsen egyszerű LabVIEW programot, amelyben egy Basic Function Generator (1D) bemenő paramétereit megadva grafikus megjelenítőn ábrázolja egy periodikus szinusz (ill. négyszög, háromszög, vagy fűrészfog) jel mintavételezését. Állítson be olyan tengely-osztásokat az ábrázoláson, amivel jól tudja szemléltetni az oktató által megadott paraméterű jel és mintavételezett alakjának jellegzetességeit. Jelenítse meg a ‘sampling info’ adatpárt és állapítsa meg milyen kapcsolat van a jel frekvenciája, a mintavételezési frekvencia és a minták száma között. Mutasson be két esetet és adjon magyarázatot. 2. feladat, Vizsgálja meg hogyan változik a mintavételezett jel különböző átlagértékeinek értéke a mintaszám, a periódusidő és a periódusszám függvényében, ehhez 2 hatványai szerint választva az egy periódushoz tartozó minták számát, vegye fel 2 hatványkitevőinek függvényében a mintákból kapott (egyszerű közép,) abszolút közép (ill. effektív) értékeit és ábrázolja azokat lineáris valamint logaritmikus léptékben. 3. feladat, Hasonlítsa össze az előző mintavételezett jelből számított középértékeket az analóg jelből analitikusan számítható középértékekkel és adja meg a relatív eltérést százalékban. Állapítsa meg a folytonos idejű periodikus analóg jel egy periódusához tartozó azon legkisebb mintáinak számát, amely a mintavételezett jel nulladrendű tartóval történő rekonstrukciója után a jel (egyszerű közép,) abszolút közép (ill. effektív) értékét legalább az oktató által megadott ε% pontossággal állítja elő. Hozzon floppy lemezt/USB flash pendrive-ot az adatsorok, grafikonok mentéséhez! Készítsen jegyzőkönyvet az oktató által kiválasztott mérésről! Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/54

Irodalom 1. Szakonyi L. Jelek és Rendszerek I. Pécsi Tudományegyetem, 2002. 2. Szakonyi L. Jelek és Rendszerek, II. Pécsi Tudományegyetem, 2002. 3. Fodor Gy. Jelek és Rendszerek Műegyetemi Kiadó, 1999. 4. Schnell L. Jelek és Rendszerek Méréstechnikája I. Műegyetemi Kiadó, 1998. 5. www.ni.com/LabVIEW


LabVIEW-7.1 EA-1/55

LV7 1.mérés alapprogramja (Blokk diagram)


LabVIEW-7.1 EA-1/56

LV7 1.mérés alapprogram (Front panel)


LabVIEW-7.1 EA-1/57

LV7 1.mérés programja (Blokk diagram) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika Tanszék

LabVIEW-7.1 EA-1/58

LV7 1.mérés adatok és eredmények (Front panel)


LabVIEW-7.1 EA-1/59

LV7-1. mérési adatok és eredmények

n

2n

xad

xaana log

ε(%) =

xad − xaan xaan

100

0 1 2 #

10 11

1024 2048 Ha offset ≠ 0, akkor xaan = xad (n = 11)


LabVIEW-7.1 EA-1/60

Mérési eredmények


LabVIEW-7.1 EA-1/61

Folytonos idejű jelek mintavételezése, diszkrét adatsorok analízise

Recommend Documents