Folytonos rendszeregyenletek megold´ asa 1.
Folytonos idej˝ u (FI) rendszeregyenlet ´ altal´ anos alakja
A folytonos rendszeregyenletek megold´asakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t) gerjeszt´ese ´es egyetlen y = y(t) v´alasza van. A rendszeregyenlet explicit alakja megadja y(t) kifejez´es´et y(τ ),u(τ ), τ 6= t seg´ıts´eg´evel. Tov´abb´a kauz´ alis rendszerekre szor´ıtkozunk, vagyis ekkor csak τ ≤ t id˝obeni ´ert´ekek fordulhatnak el˝o. A rendszer¨ unk invari´ ans, vagyis a rendszeregyenlet a ´lland´ o egy¨ utthat´ os, teh´ at ezen egy¨ utthat´ok nem f¨ uggenek a t id˝ot˝ol. Ez azt jelenti, hogy a v´alasz ´es a gerjeszt´es k´esleltetett ´ert´ekei nem fordulhatnak el˝o a rendszeregyenletben. Bevezetve az u gerjeszt´es˝ u y v´alasz´ u, folytonos idej˝ u (FI) invari´ans, kauz´alis, line´ aris rendszer rendszeregyenlet´et y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y (1) (t) + an y(t) =
b0 u(m) (t) + b1 u(m−1) (t) + · · · + bm−1 u(1) (t) + bm u(t).
(1)
A v´alaszt a t ∈ (0, ∞) intervallumban keress¨ uk, amely kisz´am´ıt´as´ahoz az n. rend˝ u rendszeregyenleten k´ıv¨ ul n darab y(+0), y (1) (+0),. . . ,y (n−1) (+0) kezdeti ´ert´eket is ismern¨ unk kell. Ezeket ¨osszefoglal´o n´even kezdeti felt´eteleknek nevezz¨ uk. megj: x(i) (t) =
di x(t) dti
y (i) (+0) =
di y(t) dti t=+0
i ∈ [0, n − 1]
Fentiekb˝ol k¨ovetkezik, ha a gerjeszt´es bel´ep˝ o, vagyis u(t) = 0, ∀ t ∈ (−∞, 0), ´ akkor y(−0) = 0,. . . ,y (n) = 0, vagyis minden kiindul´ asi ´ert´ek nulla. Altal´ anosan i elmondhat´ o, ha az u(t) gerjeszt´es, illetve valamennyi u deriv´altja v´eges a t = 0 helyen (itt nem tartalmaznak δ(t) ¨osszetev˝ ot), akkor a kezdeti ´ert´ekek megegyeznek a kiindul´asi ´ert´ekekkel y (i) (+0) = y (i) (−0), ∀i ∈ [0, n − 1].
(2)
Ennek bel´at´as´ara k´es˝obbiekben ker¨ ul sor.
2.
FI rendszeregyenlet megold´ asa
Az (1) rendszeregyenlet megold´asakor az y v´alasz egy ysz szabad, ´es yg gerjesztett ¨osszetev˝ o ¨osszegek´ent adhat´ o meg y(t) = ysz + yg . 1
(3)
A szabad v´alasz a gerjesztetlen rendszer v´alasza, vagyis ha u(t) = 0 ∀ t ∈ [0, +∞). Ez a v´alasz n darab ´alland´ot tartalmaz, amelyet a kezdeti ´ert´ekek figyelembev´etel´evel k´es˝obb tudunk meghat´arozni. A gerjesztett ¨osszetev˝ o a rendszeregyenlet egy megold´asa, ´es nem el´eg´ıti ki a kezdeti felt´eteleket.
2.1.
A szabad v´ alasz
Az el˝oz˝oekb˝ol ad´od´oan a szabad v´alasz eset´en u(t) = 0 ∀ t ∈ [0, +∞), vagyis y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y (1) (t) + an y(t) = 0.
(4)
Ennek megold´asa t v´altoz´o exponenci´alis f¨ uggv´enyeinek ¨osszeg´eb˝ ol ad´odik. ysz (t) = k1 eλ1 (t) + · · · + kn eλn (t)
(5)
λi kisz´am´ıt´as´ahoz (4) egyenlet alapj´an a karakterisztikus egyenletet fel´ırva F (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an λ1 + an .
(6)
A (6) karakterisztikus egyenlet gy¨okeit a rendszeregyenlet saj´ at´ert´ekeinek nevezik. Nyilv´anval´o, a saj´at´ert´ekek sz´ama a rendszeregyenlet foksz´am´ab´ol ad´odik. Val´os egy¨ utthat´ok eset´en a saj´at´ert´ekek vagy val´osak, vagy konjug´alt komplex gy¨okp´art alkotnak λi = ai + bi j λi+1 = ai − bi j. (7) A rendszer u ´gynevezett τi id˝ oa ´lland´ oi a λi saj´at´ert´ekekb˝ ol ad´odnak τi = −
1 . ℜ(λi )
(8)
Tov´abbiakban olyan rendszeregyenletekkel foglalkozunk, ahol a saj´at´ert´ekek egyszeres gy¨ok¨ok.
2.2.
A gerjesztett v´ alasz
El˝oz˝oekb˝ol ad´od´oan a gerjesztett v´alasz a rendszeregyenlet egy megold´asa, amelynek nem kell kiel´eg´ıtenie a kezdeti felt´eteleket. Ennek meghat´aroz´as´ahoz t´etelezz¨ uk fel, hogy a gerjeszt˝o jel t ∈ [0, +∞) tartom´ anyban elemi f¨ uggv´eny, vagyis pl. ´alland´o, exponenci´alis, polinomi´alis f¨ uggv´eny. Dirac δ(t) impulzus eset´en (v´egtelen amplit´ ud´oj´ u)a gerjesztett v´alasz nulla. Az yg (t) gerjesztett v´alasz meghat´aroz´as´ahoz pr´ obaf¨ uggv´eny m´ odszert haszn´ aljuk, miszerint ezen pr´obaf¨ uggv´eny hasonl´o az adott gerjeszt´eshez. A pr´obaf¨ uggv´eny felv´etele ut´an azt viszzahelyettes´ıtj¨ uk a rendszeregyenletbe. Az (1) t´abl´azat n´eh´ any FI pr´obaf¨ uggv´enyt tartalmaz.
2
u(t) C αt Ce (α 6= λi ) Ceλi t (λi r-szeres p´olus)
yg (t) A Aeαt Atr eλi t
1. t´abl´azat. Pr´ obaf¨ uggv´enyek
2.3.
Az FI v´ alasz
Eddigiekb˝ ol kider¨ ult, hogy yg (t) gerjesztett v´alasz megold´as´aval m´eg nem jutunk el a v´alasz v´egs˝o alakj´aig, hi´anyzik m´eg ysz (t) szabad v´alaszban szerepl˝o n sz´am´ u ismeretlen ´alland´o meghat´aroz´asa. Ezek a kezdeti felt´etelek seg´ıts´eg´evel, egy line´ aris egyenletrendszer megold´as´aval hat´arozhat´oak meg (i) y (i) (+0) = ysz (+0) + yg(i) (+0),
3. 3.1.
i = 0, 1, . . . n − 1.
(9)
FI rendszerek stabilit´ asvizsg´ alata Gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as
Egy rendszer gerjeszt´es-v´alasz (GV) stabilis, ha b´ armely korl´atos gerjeszt´eshez korl´atos v´alasz tartozik. Egy line´ aris FI invari´ans rendszer csak akkor GV stabilis, ha impulusv´alasza abszol´ ut integr´ alhat´ o Z +∞ |x(t)|dt ≤ ∞. (10) −∞
A szabad ¨osszetev˝ ot vizsg´alva FI rendszerekn´el bel´athat´ o, hogy akkor korl´atos, ha minden ℜ(λi ) < 0. A gerjesztett v´alasz viszont minden korl´atos gerjeszt´esre korl´atos (l´asd pr´obaf¨ uggv´enyek). Ha a λi saj´at´ert´ekeket ´altal´anosan komplex sz´amoknak tekintj¨ uk, akkor a GV stabilit´ as felt´etele, hogy a saj´at´ert´ekek a komplex sz´ams´ık bal f´els´ıkj´an helyezkedjenek el.
3.2.
Aszimptotikus stabilit´ as
A line´ aris, invari´ans FI rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha minden a´llapotv´altoz´oja null´ahoz tart, t → ∞ eset´en b´armely kiindul´asi ´allapotra: x(t) → 0, t → ∞, u(t) = 0, t ∈ [0, ∞).
(11)
Az aszimptotikus stabilit´ as felt´etele FI rendszerekn´el, hogy ℜ(λi ) < 0. Ha ℜ(λi ) ≤ 0 felt´etel teljes¨ ul, vagyis az egyszeres saj´at´ert´ekek val´os r´esze 0, akkor az aszimptotikus stabilit´ as hat´arhelyzet´eben van a rendszer. Ilyen v´alaszok a v´egtelenben egy periodikus jelhez tartanak.
3
4.
Els˝ orend˝ u FI rendszeregyenletek megold´ asa
Els˝ ok´ent az els˝ orend˝ u rendszeregyenleteket t´argyaljuk, vagyis y ′ (t) + a1 y(t) = b0 u(m) (t) + b1 u(m−1) (t) + · · · + bm−1 u(1) (t) + bm u(t).
4.1.
Feladatok
4.1.1. y ′ (t) + 0.8y(t) = 2s(t) ; y(−0) = 0 (1) s(t) = ε(t) (2) s(t) = δ(t) (3) s(t) = 2ε(t)e−0.2t Megold´ as y(t) = ysz + yg λ1 + 0.8 = 0 → λ1 = −0.8 ysz (t) = k1 e−0.8t λ1 = −0.8 < 0, ´ıgy GV ´es aszimptotikusan stabilis. 1. s(t) = ε(t) Pr´ obaf¨ uggv´eny : A A′ + 0.8A = 2 → A = 2.5 → yg (t) = 2.5 y(t) = k1 e−0.8t + 2.5 Z
+0 ′
y (t)dt + 0.8
−0
Z
+0
y(t)dt = 2 −0
Z
+0 −0
ε(t)dt →
y(+0) − y(−0) + 0.8 · 0 = 2 · 0 → y(+0) = y(−0) = 0 Visszahelyettes´ıtve: t = +0 → y(+0) = 0 = k1 e0 + 2.5 → k1 = −2.5 ´Igy y(t) = −2.5e−0.8t + 2.5 2. s(t) = δ(t) yg (t) = 0 y(t) = k1 e−0.8t Z
+0
y ′ (t)dt + 0.8
−0
Z
+0
y(t)dt = 2 −0
Z
+0 −0
δ(t)dt →
y(+0) − y(−0) + 0.8 · 0 = 2 · 1 → y(+0) = y(−0) + 2 = 2 Visszahelyettes´ıtve: t = +0 → y(+0) = 2 = k1 e0 → k1 = 2 4
(12)
´Igy y(t) = 2e−0.8t 3. s(t) = 2ε(t)e−0.2t Pr´ obaf¨ uggv´eny : Ae−0.2t −0.2t ′ (Ae ) (t) + 0.8Ae−0.2t = 2 · 2ε(t)e−0.2t → A = 20/3 20 −0.2t yg (t) = 3 e −0.2t y(t) = k1 e−0.8t + 20 3 e Z
+0 ′
y (t)dt + 0.8
−0
Z
+0
y(t)dt = 2 −0
Z
+0 −0
2ε(t)e−0.2t dt →
y(+0) − y(−0) + 0.8 · 0 = 2 · 0 → y(+0) = y(−0) = 0 Visszahelyettes´ıtve: t = +0 → y(+0) = 0 = k1 e0 + ´Igy y(t) = −
20 0 20 e → k1 = − 3 3
20 −0.8t 20 −0.2t e + e 3 3
4.1.2. y (1) (t) + 2y(t) = 0.5s(t) ; y(−0) = 3 ; s(t) = 2ε(t) Megold´ as y(t) = ysz + yg λ1 + 2 = 0 → λ1 = −2 ysz (t) = k1 e−2t λ1 = −2 < 0, ´ıgy GV ´es aszimptotikusan stabilis. Pr´ obaf¨ uggv´eny : A A′ + 2A = 0.5 · 2 → A = 0.5 → yg (t) = 0.5 y(t) = k1 e−2t + 0.5 Z
+0
y ′ (t)dt + 2
−0
Z
+0
y(t)dt = 0.5 −0
Z
+0 −0
2ε(t)dt →
y(+0) − y(−0) + 2 · 0 = 0.5 · 0 → y(+0) = y(−0) = 3 Visszahelyettes´ıtve: t = +0 → y(+0) = 3 = k1 e0 + 0.5 → k1 = 2.5 ´Igy y(t) = 2.5e−2t + 0.5
5
4.1.3. y ′ (t) − 3y(t) = 2s(t) ; y(−0) = 1 ; s(t) = 5ε(t) Megold´ as y(t) = ysz + yg λ1 − 3 = 0 → λ 1 = 3 ysz (t) = k1 e−2t λ1 = +3 > 0, ´ıgy GV ´es aszimptotikusan instabil. Pr´ obaf¨ uggv´eny : A A′ − 3A = 2 · 5 → A = −10/3 → yg (t) = − 10 3 y(t) = k1 e3t − 10 3 Z
+0
−0
′
y (t)dt − 3
Z
+0
y(t)dt = 2 −0
Z
+0 −0
5ε(t)dt →
y(+0) − y(−0) − 3 · 0 = 2 · 0 → y(+0) = y(−0) = 1 Visszahelyettes´ıtve: t = +0 → y(+0) = 1 = k1 e0 − ´Igy y(t) =
13 10 → k1 = 3 3
13 3t 10 e − 3 3
Gyakorl´ o feladatok 1. Adja meg az al´abbi rendszeregyenletek megold´as´at! (a) y ′ (t) + 3y(t) = 2s(t),
s(t) = ε(t), y(−0) = 0
Megold´ as: y(t) = 34 (1 − e−3t ) (b) y ′′ (t)+3y ′ (t)+2y(t) = 21 s(t),
s(t) = 2e−3t , y(−0) = 2, y ′ (−0) = 1
Megold´ as: y(t) = − 12 e−t (8e−t − e−2t − 11) (c) y ′′ (t) + 2y ′ (t) + 4y(t) = s(t),
s(t) = e−t , y(−0) = 1, y ′ (−0) = −1 √ Megold´ as: y(t) = 31 e−t (1 + 2 cos( 3t))
6
