ERŐELOSZLÁSOK SZABÁLYOSAN ELRENDEZETT SZEMCSEHALMAZBAN ÉS FOLYTONOS KÖZEGBEN

ERŐELOSZLÁSOK SZABÁLYOSAN ELRENDEZETT SZEMCSEHALMAZBAN ÉS FOLYTONOS KÖZEGBEN Dr. Lámer Géza Debreceni Egyetem, MK, Műszaki Menedzsment és Vállalkozási Tanszék ÖSSZEFOGLALÁS

Az előadásban összehasonlítjuk a szemcsehalmazban és a folytonos közegben ébredő erőeloszlásokat. Két speciális szemcsehalmazt vizsgálunk: az egymásra helyezett azonos hasábokat, illetve azonos golyókat. A halmaz csúcsán ható erőtől a hasábokból álló halmazban az erőhatás terül, de nem ébred benne oldalnyomás. A halmaz csúcsán ható erőtől a golyókból álló halmazban ugyan ébred oldalnyomás, de az erő nem terül, hanem egy-egy sor golyó mentén „lefut”. A rugalmas féltérre ható erő hatására a féltérben az erő terül és oldalnyomás lép fel. gentleman agreement KULCSSZAVAK

Szemcsehalmaz, folytonos közeg, erőeloszlás 1. BEVEZETÉS A talajokban az erőeloszlást, azaz a feszültségeloszlást azzal a feltételezéssel határozzuk meg, hogy talaj folytonos közegként viselkedik. Az anyagi viselkedést elsősorban lineárisan rugalmas tulajdonságokkal közelítjük. A rugalmas féltér (félsík) feszültségállapotával szokás a talajban ébredő feszültségeket leírni. A rugalmas anyagi viselkedés feltételezéssel nyert feszültségeloszlás néhány egyszerű adattal jellemezhető. Egyrészt a feszültségek a féltérben ható erő támadáspontjától a távolság növekedtével gyorsan csökkennek; a végtelenben zérushoz tartanak. Másrészt az erő támadáspontján és a vizsgált ponton átmenő kör (félsík), illetve gömb (féltér) olyan vonal (félsík), illetve felület (féltér), amely fölött a feszültségeket összegezve éppen a ható erőt nyerjük [1,2]. Szemcsés halmazban, azaz a szemcsés közegben az erők eloszlása függ a szemcsék alakjától, a szemcsék elrendeződésétől. A szemcsék egymáshoz való kapcsolata lehet olyan, hogy egy-egy szemcse statikailag határozatlan állapotú. Például, egy szemcse több mint három szemcsén támaszkodik fel, vagy a szemcsék között „kötőanyag” található. Ebben az

esetben egyrészt az egyes szemcséket deformálható szilárd testekként, másrészt a szemcsék kapcsolatát deformálható kapcsolatként kell modellezni. Ugyanakkor a szemcsés közeg értelmezhető olyan módon is, hogy statikailag határozott legyen: egy-egy szemcse három másik szemcsére támaszkodjon fel és két szemcse között csak érintkezési erő lépjen fel. Ezekben a szemcsehalmazokban az erőeloszlás független a szemcsék anyagi viselkedésétől. Ez analitikusan végezhető kvalitatív vizsgálatot tesz lehetővé. A szemcsék alakjának és elrendeződésének függvényében az erő eloszlása lehet párhuzamos (egymásra támaszkodó, párhuzamos rétegekbe rendezett hasábok), centrális (egymásra támaszkodó golyók) vagy hurkoló (egymásra támaszkodó konvex szemcsék). A tanulmány korábbi kutatási eredményeinkre épül [3-8]) 2. ERŐTERÜLÉS SZABÁLYOSAN ELRENDEZETT HASÁBOK HALMAZÁBAN 2.1. Feltevések A vizsgálatok során feltesszük, hogy a hasábok egybevágóak, abszolút merevek, a hasábok között súrlódás, tapadás nem lép fel. Feltesszük továbbá, hogy két egymás fölött lévő hasáb között egy pontban van érintkezés, és ott koncentrált erő ébred. Feltesszük, hogy egy hasáb három másik hasábra támaszkodik föl [3]. 2.2. Erővonalak szabályos gúlákba rakott hasábok halmazában Azonos nagyságú hasábokból – periodikus peremfeltételt feltételezve – kétféle szabályos gúlát alakíthatunk ki: háromszög és hatszög alapú gúlát. Megjegyezés: négyszög alapú hasábok esetén négyzet alapú elrendezés is megvalósítható; a statikai határozottságok a szimmetria, és annak köszönhetően az azonos nagyságú reakcióerők ébredése, biztosítja. A háromszög alapú gúlának három éle van. A hatszög alapú gúlának formálisan hat éle van. Megjegyezzük, hogy a háromszög alapú gúlánál a rétegek elrendezése azonos, a hatszög alapúnál rétegenként változó. (Lásd a 3. és a 4. ábrát.) A gúlákra a csúcsukon lévő hasábra hat egy-egy koncentrált erő. Ha az erő a támaszpontok által meghatározott háromszögön belül hat, akkor az erő egyensúlyozható. A periodikus gúla esetén, ha a legfelső hasáb egyensúlyozható, akkor a szabályos elrendezésű gúlában lévő összes hasáb egyensúlyozható. Az 1. ábrán feltüntettük (síkban) a lehető legáltalánosabb elrendezést. Két hasáb között létezhet egy hézag, a hasáb feltámaszkodási pontja a csúcspontok között helyezhetők el. Ekkor, általánosságban, aszimmetrikus harang alakú görbe lesz a reakcióerő eloszlása (lásd a 2. ábrát).

1. ábra. Egy négyzet egyensúlya

2. ábra. Erőeloszlás a hasáb alján

A továbbiakban feltesszük, hogy a hasábok a függőleges éleik mentén érintkeznek, és a támasz éppen ezen élek alatt található. A három reakcióerő nagyságát egy vetületi és két nyomatéki egyenlet határozza meg. A három feltámaszkodási pontot jelölje A, B és C, az ott ébredő reakció erőarányát az erőhöz jelölje α, β és γ. Ekkor α + β + γ = 1. Ez az arány minden szinten, minden hasábra nézve azonos, hiszen a gúla szabályos elrendezésű. Először tekintsük a háromszög alapú elrendezést (lásd a 3. ábrát). Az egyes hasábok alatt ébredő reakcióerők az α – β – γ aránnyal jellemezhetők. Például az első hasáb alatti, a második szinten lévő három hasáb reakcióereje rendre αα, αβ és αγ, βα, ββ és βγ, valamint γα, γβ és γγ. Mivel a két „szomszédos” hasáb éle „összeér”, ezért ott a két reakcióerő összegződik. Ennek megfelelően a második szint reakcióerői az alábbiak:

α2 2αβ

2αγ

β2

2βγ A reakcióerők összege éppen (α + β + γ)2 = 1.

γ2

α3 3 α 2β 3αβ2

β3

3 α2γ 3αγ2

6αβγ 3 β 2γ

3βγ2

γ3

A harmadik sorban, a fenti eljárást folytatva, a reakcióerőket az előző oldalon megadott értékek határozzák meg. Az reakcióerők összege éppen (α + β + γ)3 = 1. Általánosságban kijelenthető, hogy háromszög alakú elrendezés esetén az erőeloszlás trinomiális: az n-dik sor hasáb reakcióerejeit az (α + β + γ)n trinom adja meg. Megjegyzés. Az leolvasható a táblázatokból, hogy a gúla egy-egy felülete mentén az eloszlás binomiális. Ebből következik, hogy síkbeli feladatnál az eloszlás binomiális. Erre később visszatérünk.

3. ábra. Háromszög alapú eloszlás

4. ábra. Hatszög alapú eloszlás

Másodszor tekintsük a hatszög alapú elrendezést (lásd a 4. ábrát). A hatszög alapú gúla esetében a reakcióerő nagysága az egyes pontokban formálisan megegyezik a háromszög alapú gúlákban ébredővel, de az adott síkon az elrendezésük eltérő. A második sor reakcióerejei a következők.

αγ

αβ α2 + β2 + γ2

βγ αβ

βγ αγ

A reakcióerők összege ebben az esetben is (α + β + γ)2 = 1. A harmadik sorban a reakcióerőket az alábbi értékek adják meg.

α2γ α3+2αβ2+2αγ2

2αβγ

β 2γ

α2β

2α2β+β3+2βγ2

2αβγ 2α2γ+2β2γ+γ3

αβ2

βγ2

2αβγ αγ2 Az reakcióerők összege ebben az esetben (α + β + γ)3 = 1. A fenti két esetben a gúlák összeértek, és a támaszpontok a hasábok függőleges élei alatt helyezkedtek el.

5. ábra. Erőeloszlások hasábok és támaszok elrendezése függvényében

A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy milyen hatása van a gúlák egymáshoz viszonyított helyzetének, illetve a támaszpontoknak a gúla csúcsához viszonyított helyzetének. A vizsgálatokat síkbeli feladatra végezzük, és a részleteket mellőzzük. Ez eredményeket az 5. ábrán mutatjuk be. A hasáboknak az egymástól való elhelyezkedése az eloszlás alakját befolyásolja. Egyoldali elrendezés esetén az erő lefut függőlegesen, terülés nincs, az aszimmetrikus elrendezés esetén aszimmetrikus, szimmetrikus elrendezés esetén szimmetrikus harang alakú görbét nyerünk (lásd az 5. ábra első sorát). A támaszpontoknak a hasáb belseje felé való elmozdítása esetén az erőeloszlás karaktere nem változik meg, ugyanakkor a haranggörbe a széleken ellaposodik, középen kicsúcsosodik (lásd az 5. ábra első sorát). A határhelyzet az alap negyedelő pontjaiba elhelyezett támaszok jelentik. Ekkor a gúla alsó síkján kialakulnak terheletlen sávok, illetve már nem csak az egyoldalú, hanem a szimmetrikus gúla esetén is függőlegesen lefut az erő, és nem terül (lásd az 5. ábra harmadik sorát). Végezetül, ha a negyedelő pontoknál bentebb visszük a támaszokat, akkor a gúla instabillá válik; nem egynsúlyozható. 3. ERŐTERÜLÉS SZABÁLYOSAN ELRENDEZETT GOLYÓK HALMAZÁBAN 3.1. Feltevések A vizsgálatok során feltesszük, hogy a golyók mind azonos átmérőjűek, abszolút merevek, a golyók között súrlódás, tapadás nem lép fel. Felteszszük továbbá, hogy fennáll a hárompontos, egyes esetekben a szimmetrikus feltámaszkodás hipotézise, azaz olyannak választjuk a golyók elrendezését, hogy a hipotézisek teljesüljenek [5,6]. (A [6] tanulmányban a „statikailag túlhatározott” terminus technikus helyett a „statikailag határozott” kifejezés szerepel.) A gúlába rakott halmazok esetén feltesszük, hogy az alaplapon elhelyezkedő golyókra nézve fennáll a (Kármán–Bio-féle) periodikus peremfeltétel [5]. 3.2. Erővonalak szabályos gúlákba rakott golyók halmazában Azonos nagyságú golyókból – periodikus peremfeltételt feltételezve – háromféle szabályos gúlát alakíthatunk ki: téglalap, háromszög és hatszög alapú gúlát. A téglalap alapú gúlának négy „éle” van, a háromszög alapú gúlának három. A hatszög alapú gúlának nem alakul ki „éle”. Megjegyezzük, hogy a háromszög alapú gúlánál a rétegek elrendezése azonos, a hatszög alapúnál rétegenként változó. (Lásd a 6.2. és a 6.3. ábrát.) A téglalap alapú gúlánál a szimmetrikus feltámaszkodás hipotézise, a há-

rom- és hatszög alapú gúlánál a hárompontos feltámaszkodás hipotézise áll fenn. A gúlákra a csúcsukon lévő golyóra hat egy-egy koncentrált erő. Ha az erő az „élek”, azaz az „élekben” lévő golyók középpontjai által meghatározott térszögön belül hat, akkor az erő egyensúlyozható. A téglalap alapú gúla négy, a háromszög alapú gúla három „élében” elhelyezkedő golyók középpontjain halad át a gúla csúcsán ható erőt egyensúlyozó négy, illetve három reakcióerő hatásvonala. (Lásd a 6.1. és a 6.2. ábrát.) A hatszög alapú gúla esetében a csúcson álló és az alatta lévő három golyó középpontja határozzák meg az egyensúlyozható térszöget. Ebben a halmazban minden golyóra ható (egy, két, illetve három) erő egyensúlyozása három-három erővel történik. (A halmaz szélén lévő golyókra felülről egy erő hat, egy réteggel bentebb kettő, a belül lévő golyókra három-három.) (Lásd a 6.3. ábrát.)

6.1. ábra Téglalap alapú gúla

Megjegyzések.

6.2. ábra Háromszög alapú gúla

6.3. ábra Hatszög alapú gúla

1. A téglalap és a háromszög alapú gúlákban ébredő erővonalak instabilak. A stabilitásukat a golyók súlya biztosítja. 2. Formálisan a halmazban lévő golyók – az „élben” elhelyezkedőkön kívül – eltávolíthatók, az egyensúly továbbra is fennáll.

A legfelső sorban az él hajlásszöge

6.4. ábra A sraffozott golyók instabilak

A második sorban az él hajlásszöge

3. A hatszög alapú gúla nem egyensúlyozható, mert a gúla csúcsában lévő golyóról átadódó erő laposabb szögben metszi a vízszintes síkot, mind a második sorban lévő golyótól átadódó erő hatásvonala (lásd a 6.4. ábrát). Kis terhelő erő esetén a gúla egyensúlyozhatóságát a golyók súlya biztosítja. 4. OLDALNYOMÁS EDÉNYBEN SZABÁLYOSAN ELRENDEZETT GOLYÓK HALMAZÁBAN 4.1. Állapotok a rétegek egymáshoz viszonyított helyzete szerint Az oldalnyomás értelmezéséhez a golyókat egy merevfalú edénybe helyezzük. A nyomást az egységnyi területre ható, az edény falára merőleges ható erővel értelmezzük. Az egymás fölötti rétegek egymáshoz viszonyított helyzete szerint a következő állapotokat különböztethetjük meg. A vizsgálat során feltesszük, hogy az edény alja vízszintes. Függőleges elrendezés. Olyan elrendezés, amikor az egymás alatt-fölött elhelyezkedő golyók középpontjai egy függőleges egyenesen helyezkednek el. Ekkor a legfelső réteg golyóira ható függőleges erők hatásvonalai az egymásra támaszkodó golyók középpontján haladnak át. Oldalnyomás nem ébred. A rendszer instabil, az edény stabilizálja a rendszert (7.1. ábra). Ferde, függő elrendezés. Olyan elrendezés, amikor az egymás alatt-fölött elhelyezkedő golyók középpontjai egy ferde egyenesen helyezkednek el, ugyanakkor minden golyó egy alatta lévőre támaszkodik fel, és – formálisan – egy mellette lévőnek támaszkodik neki. Ez utóbbi támasz – miután párhuzamos az edény fenéklapjával – vízszintes irányú. Ekkor a legfelső réteg golyóira ható függőleges erőket az egymásra támaszkodó golyók középpontján áthaladó közel függőleges, és a legfelső rétegben, a dőlés irányába mutató vízszintes erő egyensúlyoz. Az alsó rétegben a felső rétegben ébredő erőkkel ellentétes értelmű, egyebekben azonos erők

hatnak. Oldalnyomás nem ébred. A rendszer instabil, ha az edény követi a ferde elrendezést, akkor az edény stabilizálja a rendszert. Rá kell mutatni arra, hogy ahány párhuzamos ferde réteg van, „annyi” vízszintes erő ébred az alsó és a felső rétegben. A rendszer lehet síkbeli (az edény egyik oldala függőleges, az ezzel párhuzamos síkban értelmezhető a síkbeli állapot) vagy térbeli. A 7.2. ábrán egy síkbeli rendszert mutatunk be. Síkbeli hálós elrendezés. Olyan elrendezés, amelyben az egyes párhuzamos, függőleges „tárcsákban” (majdnem) minden egyes golyó az alatta lévő két másik golyóra támaszkodik föl. Formálisan a kitüntetett „tárcsákban” ébred oldalnyomás, a rá merőleges irányban nem. Megjegyezzük, hogy a kitüntetett „tárcsák” elforgathatók egy vízszintes tengely körül, azaz az alsó sorokon lévő golyókon az egész „tárcsa” elgördíthető addig a pontig, amíg a gördülő golyók már nem két, hanem három (illetve négy) golyóra nem támaszkodnak föl. (Ez már a térbeli hálós elrendezés esete.) A síkbeli hálós elrendezést függőleges síkkal a 7.3. ábrán tüntettük fel. Térbeli hálós elrendezés. Olyan elrendezés, amelyben az egyes rétegekben (majdnem) minden egyes golyó az alatta lévő három vagy négy másik golyóra támaszkodik föl. Ekkor a hálózattal összhangban 3, 4, illetve 6 függőleges síkban ébred oldalnyomás. A négyzethálós elrendezést a 7.4. ábrán adtuk meg.

7.1. ábra Függőleges elrendezés

7.2. ábra Ferde, függő elrendezés

7.3. ábra Síkbeli hálós elrendezés

7.4. ábra Térbeli hálós elrendezés

Megjegyzés: a fenti megállapítások, illetve a fenti négyféle elrendezés

alapvetően független attól, hogy téglalap, három- vagy hatszög hálózatban helyezkednek el a golyók az egyes rétegekben. Rá kell mutatni arra is, hogy síkbeli hálós elrendezés esetén a háromszög és a hatszög hálózatban egy, illetve kettő oldalnyomás-mentes és kettő, illetve négy oldalnyomással terhelt oldala lesz az edénynek. Egy síkbeli metszetben áttekintjük az oldalnyomás létezésének a geometriai feltételét, és az oldalnyomás függését az egymás fölötti golyók középpontjai által meghatározott egyenesnek a vízszintessel bezárt szöge

függvényében. (A szögek síkbeli feladatra vonatkoznak.) (Lásd a 8. ábrát.) Nincs oldalnyomás és nincs vízszintes reakcióerő

Nincs oldalnyomás, de van vízszintes reakcióerő

Fellép az oldalnyomás

Az oldalnyomás létezésének az intervalluma

Megszűnik az oldalnyomás és a vízszintes reakcióerő is

α = 90º

90º > α > 60º

α = 60º

60º > α > 30º

α = 30º

8. ábra

4.2. 4.3. Oldalnyomás az alaprajzi elrendezés szerint

Téglalap hálózat

A téglalap egyik oldalhosszát jelölje u, a másikat v, a két egymás fölötti rétegben lévő golyók súlypontja közötti távolság függőleges vetületét pedig m. A golyók átmérőjét d-vel jelöljük. (Lásd a 9.1. ábrát.) A rétegek egymástól mért távolsága (√2/2)d és d/2 között változhat. v2 4m 2 u2 u  4m 2

v 

m  d2 

9.1. ábra Téglalap hálózat

u 2  v2 4

9.2. ábra Az oldalnyomás értékei

Az oldalnyomás értékét λ-val jelöljük. A két iránynak megfelelően u, illetve v index-szel látjuk el. Az oldalnyomás értékeit u, v és m függvényében a 9.2. ábrán adtuk meg. Két szélsőséges esetet különíthetünk el. A sűrű és a ritka elrendezést. Sűrű elrendezés az, amikor a golyók mindkét irányban összeérnek, azaz a golyók középpontjai egy d×d hálózatban helyezkednek el. A ritka elrendezés esetében a golyók egy-egy rétegben √1,5d×√1,5d hálózatban helyezkednek el. Az első esetben az oldalnyomás értéke mindkét irányban 1/2, a második esetben mindkét irányban 3/2.

Háromszög hálózat – három oldal

A háromszög oldalhosszát jelölje si, a súlypontnak az oldalaktól mért távolságát mi. A két egymás fölötti rétegben lévő golyók súlypontja közötti távolság függőleges vetületét pedig m. A golyók átmérőjét d-vel jelöljük. (Lásd a 10.1. ábrát.) A rétegek egymástól mért távolsága (√2/√3)d és d/2 között változhat.

i 

2mi 2T  3m si m

T  s( s  s1 )(s  s2 )(s  s3 )

s  (s1  s2  s3 ) / 2 10.1. ábra Háromszög hálózat – három oldal

10.2. ábra Az oldalnyomás értékei

Az oldalnyomás értékét λ-val jelöljük. Az egyes irányoknak megfelelően i index-szel látjuk el. Az oldalnyomás értékeit si, m és mi függvényében a 10.2. ábrán adtuk meg. Két szélsőséges esetet különíthetünk el. A sűrű és a ritka elrendezést. Sűrű elrendezés az, amikor a golyók mindkét irányban összeérnek, azaz a golyók középpontjai egy d oldalhosszúságú szabályos háromszög hálózatot alkotnak. A ritka elrendezés esetében a golyók középpontjai egy 3d/2 oldalhosszúságú szabályos háromszög hálózatot alkotnak. Az első esetben az oldalnyomás értéke mindhárom irányban 1/4, a második esetben mindhárom irányban 3/4.

Háromszög hálózat – négy oldal

A súlypontnak a „negyedik” oldaltól mért távolságát jelölje li, az átlók végpontjainak egymástól való távolságát az oldalra merőleges irányban ki. (Lásd a 11.1. ábrát.)

11.1. ábra Háromszög hálózat – négy oldal

átló 

li 2T  3m ki m

oldal 

2mi 2T  3m si m

11.2. ábra Az oldalnyomás értékei

Az oldalnyomás értékét λ-val jelöljük. A két iránynak megfelelően átló, illetve oldal index-szel látjuk el. Az oldalnyomás értékeit si, li, m és mi függvényében a 11.2. ábrán adtuk meg. A fentebb már említett két szélsőséges esetet különíthetünk el. A sűrű elrendezés esetében az átló irányában az oldalnyomás értéke 1/(2√2√3), míg az oldal irányába (to-

vábbra is) 1/4. A ritka elrendezés esetén az átló irányában az oldalnyomás értéke 1/2, míg az oldal irányába (továbbra is) 3/4.

Hatszög hálózat – hat oldal

A 12. ábráról leolvasható, hogy újabb jelölést nem kell bevezetni. Leolvasható az is, hogy az átellenes, azaz párhuzamos oldalakon azonos oldalnyomás ébred.

12. ábra Hatszög hálózat – hat oldal

A fentiek miatt az oldalnyomás értékeit szélsőséges helyzetben fentebb már kiszámoltuk.

Megjegyzések.

1. Az oldalnyomás értelemszerűen nem erő, hanem erő/felület: az egyegy pontban ható erőt osztottuk az érintkezési pontok által közreárt cella területével. 2. A sarkokban lévő golyókra a fentebb kiszámított oldalnyomás értékek nem állnak.

Következtetések.

A szabályosan – azaz azonos átmérőjű, szabályosan elrendezett golyókból – elrendezett halmazok között van olyan, amelyben nincs oldalnyomás és nincs semmiféle oldalirányú reakcióerő, van olyan, amelyben nincs oldalnyomás, de van az edény alján és a tetején egy-egy élmenti reakcióerő, van olyan, hogy egy irányban fellép valamiféle oldalnyomás, a másik irányban nem, és végül van olyan is, hogy fellép olyan oldalirányú reakcióerő, amely az oldalnyomással azonos tulajdonságokat (is) mutat. A szabályosan elrendezett halmazok közül a négyszög alapú elrendezés esetén van két olyan (egymással 45°-ot bezáró) koordinátarendszer, amely két, egymásra merőleges irányban azonos az oldalnyomás (az egyiket a 9.1. ábrán mutatjuk be). Más irány – a diszkrét rendszer miatt – nem értelmezhető. A szabályosan elrendezett halmazok közül a háromszög és hatszög elrendezésben az oldalnyomás „terülése” nem két, egymásra merőleges irányban, hanem három, egymással 120 °-ot bezáró irányban történik. Ezekben az irányokban az oldalnyomás értéke azonos. Ha a golyókat háromszög elrendezésben – három ilyen elrendezés lehet-

séges, de ezek egymással ekvivalensek – téglalap alapú edénybe helyezzük el, akkor két, egymásra merőleges falat nyerünk. A két irányban az oldalnyomás értéke eltérő. Ezek a jelenségek ellentétesek a kontinuális leírással, illetve felfogással; egyszerűen nem magyarázhatók kontinuális modellel. Ez arra hívja fel a figyelmet, hogy nem minden diszkrét rendszer közelíthető kontinuális szemlélettel. Kiegészítésként jelezzük, hogy az edény élei környezetében mindkét oldalt érintő golyók reakcióerejei rendszerint eltérnek az edény falával csak egy pontban érintkező golyók reakcióerejeitől. Ezért – elméletileg – nem beszélhetünk oldalnyomásról. Az, hogy „nagy edény és kis golyó” arány mellett ez az eltérés – a számításokat tekintve – elhanyagolható, nem érinti azt a tényt, hogy az edény élei mentén más a „nyomás” értéke, mint „mezőben”. 5. ÖSSZEFOGLALÁS Az egymásra támaszkodó, párhuzamos rétegekbe rendezett egybevágó hasábok esetén csak függőleges (a rétegekre merőleges iránnyal párhuzamos) erők ébrednek. Ezek az erők terülnek és rétegenként csökkennek. Az eloszlás binomiális (síkbeli feladat), illetve trinomiális (térbeli feladat). Értelemszerűen a szétterült erők összege éppen a terhelő erőt adja vissza. Ebben a rendszerben oldalnyomás nem lép fel. A talajban ébredő erőeloszlásnak csak a mélységgel arányos, vízszintes irányban való terülését tükrözi vissza, az oldalnyomás felléptét nem. Az egymásra támaszkodó, statikailag határozott elrendezésű, egybevágó golyók halmazában erők egy-egy kitüntetett vonal mentén (síkban kettő, térben három, illetve négy) ébrednek. Ezek az erők nem „terülnek”, hanem egy-egy vonal mentén „lefutnak”, nagyságuk és hatásvonaluk változatlan.

13.1. ábra Trinomiális eloszlás

13.2. ábra Vonal menti eloszlás

A rugalmas féltéren alapuló modellben a terhek lefelé haladva terülnek, nagyságuk csökken, ezzel együtt oldalnyomás is fellép. Mindkét erőeloszlás folytonos és szimmetrikus.

14. ábra. Szimmetrikus eloszlás

A talajban értelmezett erőterülés és oldalnyomás szabályosan elrendezett hasábokkal és golyókkal nem modellezhető.

IRODALOM [1] Kézdi Á. 1952. Talajmechanika I. Első kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest (Negyedik kiadás: Uo., 1972.) [2] Kézdi Á. 1954. Talajmechanika II. Első kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest (Második, átdolgozott kiadás. Uo., 1970.) [3] Lámer G.: Symmetry and asymmetry, or regularity and irregularity in the force distribution in the heaped bodies = Culture and Science. Ed.: Darvas Gy. Vols. 17, pp. 221-233, 2006. [4] Lámer G.: Száraz, vizes, kötött szemcsék és a folytonos közeg, avagy a szemcsétől kontinuumig = In: Mérnökgeológia-Kőzetmechanika 2008. Konferencia (Budapest, 2008. november hó 26.) Szerk.: Török Á. – Vásárhelyi B., Műegyetemi Kiadó, Budapest [A MérnökgeológiaKőzetmechanika Kiskönyvtára 7. kötet] pp. 271-286, 2008. [5] Lámer G.: Az anyagi viselkedés folytonos és diszkrét modellezésének kérdései. In Török Á. – Vásárhelyi B. szerk.: MérnökgeológiaKőzetmechanika 2010. Konferencia (Budapest, 2010. március hó 25.), [A Mérnökgeológia-Kőzetmechanika Kiskönyvtára 8. kötet], pp. 123-146, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2010. [6] Lámer G.: Egy szemcse egyensúlya: kinematikai határozatlanság és statikai határozottság. In Pokorádi László szerk., Műszaki Tudomány az Észak-Alföldi régióban 2010. (Nyíregyháza, 2010. május hó 19.), pp. 53-

58, Debreceni Akadémia Bizottság Műszaki Szakbizottsága, Debrecen 2010. [7] Lámer G.: Szemcsék halmaza és a talaj oldalnyomása. In Geotechnika 2010. (Ráckeve, 2010. október hó 26-27.): Közháló [8] Lámer G.: Erővonalak edényben szabályosan elrendezett golyók halmazában. A XI. Magyar Mechanikai Konferencia (Miskolc, 2011. augusztus hó 29-31.) Konferencia kiadványa. Szerk.: Baksa A. – Bertóti E. – Szirbik S. 64. cikk. 12 oldal