Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Folytonos idejű rendszerek stabilitása

Összeállította: dr. Gerzson Miklós egyetemi docens PTE MIK Műszaki Informatika Tanszék

2015.12.06.

Intelligens rendszerek I. – PTE MIK Mérnök informatikus BSc szak

1

Stabilitás • egyszerűsített szemlélet • példa • zavarás után a magára hagyott rendszer • visszatér a nyugalmi állapotába • kvázistacionárius állapotba kerül • „végtelenbe” tart • alapjelváltás Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/2

Stabilitás • definíciók • BIBO stabilitás – külső stabilitás a bementek – kimenetek viszonyára tesz megkötést • aszimptotikus stabilitás a kimenetek határértékére tesz megkötést

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/3

BIBO stabilitás • BIBO stabilitás definíciója Egy rendszert BIBO stabilnak nevezünk, ha korlátos bemenet, azaz u(t) < M1, valamely -< t0  t <  időintervallum esetén, a kimenete is korlátos: y(t) < M2, a t0  t <  időintervallumon (ahol M1, M2 < , és t0 a kezdőidőpont) .

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/4

BIBO stabilitás • Tétel: Egy rendszer akkor és csak akkor BIBO stabil, ha 

 ht  dt  M   0

azaz a súlyfüggvény abszolút integrálja korlátos.

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/5

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Legyen n-ed rendű lineáris, időinvariáns rendszer bemenete zérus, a kimenete pedig a kezdeti értékek miatt y(t). Ekkor y(t) a következő módon fejezhető ki: n 1 y t    g k t   y k  t0  k 0

ahol gk(t) jelöli az y(k)(t0) kezdeti értékek miatti, a nulla bemenetre adott válasz (k+1)-dik komponensét és Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

k d y t  k  y t0   dt k t 0

Stabilitás/6

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Nulla bemeneti stabilitás definíciója Egy lineáris időinvariáns rendszert tetszőleges, nem minden esetben zérus kezdeti feltételek esetén nulla bemeneti stabilitásúnak nevezzük, ha megválasztható egy M korlát M(y(t0), y(1)(t0),…, y(n-1)(t0)) > 0, úgy, hogy y(t)  M < , t  t0 és

lim y t   0 t 

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/7

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Másképpen: Ha egy rendszerben konstans nulla bemenet és adott, legalább egy esetben nemzérus kezdeti feltételek esetén a kimenet nullához tart tetszőlegesen nagy idő eltelte után, akkor ezt a rendszert nulla bemeneti stabilitásúnak (vagy aszimptotikusan stabilnak) nevezzük. Egyébként a rendszer instabil.

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/8

Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • a stabilitás feltétele y t  

n 1



g k t   y k  t 0  

k 0

n 1



g k t   y k  t 0 

k 0

mivel a kezdeti feltételek végesek y(t0), y(1)(t0),…, y(n-1)(t0) <  n 1

 g t    , k

t  t0

k 0

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/9

Stabilitás – Általános feltétel • Induljunk ki

an y n  t   an 1 y n 1 t     a0 y t   bmu m  t     b0u t 

• inhomogén differenciálegyenlet megoldás: homogén általános megoldása + inhomogén partikuláris megoldása

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/10

Stabilitás – Általános feltétel • homogén egyenlet: egyenlet bal oldala nullával egyenlővé téve an y n  t   an1 y n 1 t     a0 y t   0

bal oldalon kimenet és deriváltjai ennek megoldása a magára hagyott rendszer válasza nulla bemeneti stabilitás • inhomogén megoldás: új egyensúlyi állapot jellemzőinek meghatározása Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/11

Stabilitás – Általános feltétel • A homogén egyenlet általános megoldása: y t   c1e

n p1t

 c2 e

p2 t

   cn e

pn t

  ck e p k t k 1

ahol p1, p2,…, pn a homogén egyenletnek megfelelő karakterisztikus egyenlet gyökei, ci konstansok • aszimptotikusan stabil: lim y t   0 t 

• teljesül: ha ezek a gyökök negatív valósak, vagy negatív valós részű komplex gyökpárok: Re{pi} < 0, Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

pi, i=1,…,n Stabilitás/12

Stabilitás – Általános feltétel • Megjegyzés: a homogén egyenlet y(t) megoldása tulajdonképpen a rendszer súlyfüggvénye (hiszen így, ha akkor

Y(s) = G(s)U(s) u(t) = (t) Y(s) = G(s)  y(t) = h(t) )

azaz a stabilitás lim ht   0 t 

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/13

Stabilitás – Általános feltétel • Operátor tartományban • Átviteli függvény Y s  bm s m    b0 b0 s  z1     s  z m  G s      n U s  an s    a0 a0 s  p1     s  pn 

ahol a p1, p2,…, pn gyökök a nevező polinomjának gyökei, azaz a pólusok, és megfelelnek a homogén differenciálegyenlethez tartozó karakterisztikus egyenlet gyökeinek • Így a rendszer stabilitáshoz ezeknek a gyököknek az előjelét kell ellenőrizni  komplex sík baloldali félsíkjára esnek-e Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/14

Stabilitás – Általános feltétel • Inhomogén egyenlet an y n  t   an 1 y n 1 t     a0 y t   b0u t 

• legyen u(t) = 1(t) ugrásjel • ekkor a megoldás általános alakja



y t   K 1t   c1e p1t  c2 e p2t    cn e pnt



ahol K = b0/a0 a rendszer erősítése • így stabil rendszer esetén

lim y t   K t 

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/15

Stabilitás definíciók összehasonlítása • BIBO stabilitás: korlátos bemenetre korlátos válasz • Aszimptotikus stabilitás: • nulla bemenet és nem zérus kezdeti feltételek esetén nullához tartó kimenet • ugrás jel bemenetre az erősítés által meghatározott végértékhez tartó válasz  • Aszimptotikusan stabil rendszer  BIBO stabil is • BIBO stabil rendszer nem feltétlenül aszimptotikusan stabil Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/16

Példák G1 s  

20 s  1s  2s  3

20 G2 s   s  1 s 2  2s  1





G3 s  

20s  1 s  2 s 2  4

G4 s  

20 s  0,5 s 2  0,2s







p1  1, p2 ,3  1

p1  2 , p2 ,3  2 j

 

p1  0,5, p2  0, p2  0 ,2



20 s 3  1 G5 s   s  2s  4 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

p1  1, p2  2 , p3  3

nem megvalósítható eset Stabilitás/17

Stabilitásvizsgálati módszerek • szükségességük • fajtáik • algebrai: Routh-Hurwitz módszer • frekvenciatartomány: Nyquist-kritérium Bode-kritérium • geometriai: gyökhelygörbe módszer

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/18

Routh-Hurwitz kritérium • módszercsalád • cél: • az eredő átviteli függvény karakterisztikus egyenlete alapján a stabilitás meghatározása • paraméteres stabilitásvizsgálat • kiindulás • pl. sorba kapcsolt tagok eredője: bm s m  ...  b0 Ge s   G1 s G2 s   an s n  ...  a0

ennek karakterisztikus polinomja K s   an s n  an 1s n 1    a1s  a0 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/19

Routh-Hurwitz kritérium • vagy legyen visszacsatolt rendszer: Go s  Ge s   1  Go s Gm s 

az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet: K s   1  Go s Gm s  illetve polinom alakban:

K s   an s n  an 1s n 1    a1s  a0 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/20

Routh-Hurwitz kritérium • A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: • Minden együttható legyen pozitív ai > 0, i = 1,…,n • A H Hurwitz-determináns valamennyi főátlóra támaszkodó aldeterminánsa legyen pozitív: 1 an 1 an 0  0  Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc 0

2

3

an  3

an  5



an  2 an 1

an  4 an  3

 

an 

an  2 

 

0





n 0 0 0 0  a0

i > 0, i = 1,…,n

Stabilitás/21

Nyquist-kritérium • a hurokátviteli függvényen alapuló geometria kritérium • elv: a felnyitott kör helygörbéjéből következtetünk a zárt rendszer stabilitási viszonyaira • kiindulás

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/22

Nyquist-kritérium • Az átviteli függvény: Go s  Go s  Ge s    1  Go s Gm s  1  G f s 

ahol Gf (s) a felnyitott kör eredő átviteli függvénye • A karakterisztikus egyenlet: 1+ Gf (s) = 0 melyből a pólusokat megkapjuk • Áttérve frekvenciatartományba 1+Gf (j)=0 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/23

Nyquist-kritérium • Az 1+Gf (j)=0 összefüggés fizikai értelme: • van-e a zárt rendszernek csillapítatlan szinuszos rezgésű állandósult megoldása 0 : Gf (j0) = -1 • ha igen: akkor ezzel az 0 frekvenciával gerjesztve a zárt rendszert csillapítatlan rezgéseket kapunk

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/24

Nyquist-kritérium • Kritérium: Ha a felnyitott kör Gf (j) amplitúdó-fázis görbéje – miközben frekvencia 0   <  tartományon változik – éppen áthalad a komplex számsík -1 pontján, akkor a rendszer a stabilitás határán van. Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Im

-1

Re

Stabilitás/25

Nyquist-kritérium • Magyarázat: Induljunk ki a visszacsatolt körből:

B K

• legyen w = 0 • vágjuk fel a kört a B - K pontok között • legyen a felnyitott kör Nyquist-diagramja olyan, hogy átmegy a -1 ponton: Go(j0)Gm(j0)= -1 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/26

Nyquist-kritérium • gerjesszük a rendszert a B pontban 0 frekvenciájú szinuszos yb jellel e = w-yb B K yk = Gf ·e=yb

yb

• a különbségképző után e = -yb • a K ponton pedig ismét yb jelenik meg: yk =Gf (j0)  (-yb ) = Go(j0)Gm(j0)  (-yb ) = yb Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

= -1

Stabilitás/27

Nyquist-kritérium • összekötés után is fenn marad ez a jel, a gerjesztés megszűnése esetén is • valós rendszer – egységugrás gerjesztés

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/28

Nyquist-kritérium • Nyquist-féle stabilitás kritérium Ha a felnyitott kör Nyquist görbéje a valós tengelyt először • a -1 ponttól jobbra metszi, azaz a metszéspont 0 és -1 között van, akkor a zárt kör stabil; • pontosan a -1 pontban metszi, akkor a zárt kör a stabilitás határán van; • a -1 ponttól balra metszi, azaz a metszés pont -1 és - között van, akkor a zárt kör instabil. Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/29

Nyquist-kritérium Im

instabil stabilitás határán

-1

Re

stabil

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/30

Nyquist-kritérium • fázis tartalék: t =  -  Im

• ha  < , t > 0  a rendszer stabil • ha  = , t = 0  a rendszer stabilitás határán

-1

t

Re

• ha  > , t < 0  a rendszer instabil • általában t > /6 legyen Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/31

Nyquist-kritérium • erősítési tartalék  = az origó és a metszéspont közötti távolság • ha  < 1  a rendszer stabil

Im

-1

Re

• ha  = 1  a rendszer stabilitás határán • ha  > 1  a rendszer instabil Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/32

Bode-kritérium • Bode diagram: a frekvencia függvényében az amplitúdóviszony és fázisszög ábrázolása • Nyquist diagram egység sugarú kör  Bode diagram 0 dB tengely • Bode kritérium alapja: az amplitúdógörbe és a 0 dB tengely metszés pontjához milyen fázis szög érték tartozik

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/33

Bode-kritérium

Im

-1

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

t

Re

Stabilitás/34

Bode-kritérium • Stabilitási kritérium: Ha az amplitúdógörbe és a 0 dB-es tengely metszéspontjához tartozó  fázisszög • nagyobb -180o-nál, akkor a rendszer stabil; • egyenlő -180o-kal, akkor a rendszer a stabilitás határán van; • ha kisebb -180o-nál, akkor instabil. Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/35

Bode-kritérium A [dB]

• Fázistartalék • t

• erősítési tartalék •  [dB] • fizikai értelmezés

{

-90o

{ t

-180o

-270o

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/36

Gyökhelygörbe • módszer célja: • stabilitásvizsgálat • minőségi jellemzők hozzávetőleges meghatározása • Evans, 1948 • alkalmazható SISO és MIMO rendszerekre • Def.: A gyökhelygörbe a zárt rendszer pólusainak mértani helye a komplex síkon, miközben a rendszer valamely paraméterét zérus és végtelen között változtatjuk. 37 Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/

Gyökhelygörbe • kiindulás

• legyen

K s  z1 s  z 2     s  z m  Go s   s  p1 s  p2   s  pn 

ahol K - erősítés, -z1,…, -zm – zérushelyek, -p1,…, -pn - pólusok Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/38

Gyökhelygörbe • a visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Go s  K s  z1    s  z m  Ge s    1  Go s  s  p1     s  pn   K s  z1     s  zm 

• a karakterisztikus egyenlet:

s  p1    s  pn   K s  z1    s  zm   0 azaz a gyökhelygörbe most a karakterisztikus egyenlet gyökeinek mértani helye a komplex síkon, midőn az erősítést 0 és  között változtatjuk Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/39

Gyökhelygörbe • a karakterisztikus egyenletet átalakítva: K s  z1     s  z m   1 s  p1   s  pn 

• azaz

Go(s)= -1

• miután általános esetben a gyökök komplexek, és a komplex számok felírhatók z = A·e j vagy z = A alakban, így -1 = e ±jl ahol l = 1, 3, 5,… vagy -1 = 1±l·180o Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/40

Gyökhelygörbe • Összefoglalva: A gyökhelygörbe bármely pontjának két feltételt kell kielégítenie: a valós és a képzetes részeknek a K s  z1     s  z m   1 s  p1    s  pn 

egyenlet mindkét oldalán külön-külön meg kell egyezniük. Ennek ellenőrzése: • szögfeltétel • abszolút érték feltétel Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/41

Gyökhelygörbe • legyen a k-dik zérushely: s + zk = Ck e jk = Ck k • legyen a i-dik pólus: s + pi = Di e ji = Di i • ekkor a szögfeltétel: m

 1     m  1     n 

 k 1

n

 k 



 i  l180

i 1

azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből kiinduló és az s-be mutató vektorok szögének összegéből levonva a pólusokból kiinduló és az s-be mutató o vektorok szögeinek összegét, akkor ±l ·180 -t kapunk. 42

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/

Gyökhelygörbe • az abszolútérték feltétel: s  z1  s  z 2    s  z m

 km1Ck 1 1  n   s  p1  s  p2   s  pn  i 1 Di K K

azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből az s-be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatát elosztva a pólusokból az s-be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatával az erősítés reciprokát kapjuk meg. Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/43

Gyökhelygörbe • a gyökhelygörbe előállítása • karakterisztikus egyenlet megoldásával • grafikus úton próbálgatással • szerkesztési módszerek • számítógépes programok • tulajdonságok alapján közelítve

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/44

Gyökhelygörbe •

a gyökhelygörbe tulajdonságai 1. A gyökhelygörbének annyi ága van, amennyi a zárt rendszer pólusainak a száma. 2. A gyökhelygörbe mindig szimmetrikus a valós tengelyre nézve.

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/45

Gyökhelygörbe 3. Legyen n a pólusok száma, m a zérushelyek száma a felnyitott körben • ha n > m, akkor a gyökhelygörbe a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és m számú ág a felnyitott kör zérushelyeibe, n - m számú ág a végtelenbe tart; • ha n = m, akkor a gyökhelygörbe teljesen a végesben van; • ha n < m, akkor m - n számú ág a végtelenből indul ki (nem reális eset). Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/46

Gyökhelygörbe 4. A valós tengelyen akkor és csak akkor lehetnek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált ponttól jobbra a pólusok és a zérushelyek együttes száma páratlan. 5. A gyökhelygörbe aszimptótáinak irányát az l 180  nm

l  1, 3, 5,... , 2n  m   1

összefüggés adja meg.

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/47

Gyökhelygörbe 6. A gyökhelygörbe aszimptótái a valós tengelyt az alábbi összefüggés által meghatározott ún. súlypontban metszik. Jelölje pi a felnyitott kör i-dik pólusát, zj a felnyitott kör j-dik zérusát. Ekkor a súlypont értéke: n

m

n

m

 p   z  Rep   Rez  i

S

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

i 1

j

j 1

nm

i



i 1

j

j 1

nm

Stabilitás/48

Gyökhelygörbe 7. A gyökhelygörbe és a képzetes tengely metszés-pontja, vagyis a stabilitáshatárához tartozó erősítési értékhez tartozó pólusok a korábban ismertetett Hurwitz determináns segítségével határozhatók meg. 8. A gyökhelygörbe kilépése a valós tengelyből, vagyis a valós tengelynek az az x pontja, ahol többszörös gyököket kapunk a következő egyenlet segítségével határozható n m meg: 1 1  0  i 1 x  pi j 1 x  z j Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/49

Gyökhelygörbe 9. A gyökhelygörbe kilépése a komplex pólusokból a szögfeltétel segítségével határozható meg, úgy, hogy felveszünk egy pontot a pólushoz közel, és arra nézve megoldjuk a szögfeltételt: m

n

k 1

i 1

        l  18 0  k  i

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

ahol l  1,3, ,2n  m   1

Stabilitás/50

Gyökhelygörbe - példák • példák csoportosítása • nevező fokszáma n (n = 1, 2, 3) • számláló fokszáma m (m = 0, 1) • vizsgált kör

• az eredő átviteli függvény: Go s  Ge s   1  Go s  Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/51

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 1, m = 0 • ha

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

K Go s   s

K  Ge s   sK

Stabilitás/52

Gyökhelygörbe - példák • ha Go s  

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

K K  Ge s   s  1 s  1  K

Stabilitás/53

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 1, m = 1 Go s  

K Ts  1 K Ts  1  Ge s   s  1   KT s  1  K

ha  > T

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/54

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 0 és  > 1 Go s  

K K  Ge s    1s  1 2 s  1  1  2 s 2   1   2 s  1  K

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/55

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 0 és 0 <  < 1 K K Go s   2 2  Ge s   2 2 T s  2Ts  1 T s  2Ts  1  K

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/56

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 1 és  > 1 K Ts  1 K Ts  1 Go s    Ge s    1s  1 2 s  1  1  2 s 2   1   2  KT s  1  K

• ha 1> T > 2

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/57

Gyökhelygörbe - példák • ha 1> 2> T

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/58

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 1 és 0 <  < 1 Go s  

K Ts  1 K Ts  1    G s  e  2 s 2  2s  1  2 s 2  2  KT s  1  K

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/59

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 3, m = 0 K Go s    1s  1 2 s  1 3 s  1

ha 1> 2 > 3

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

kritikus K érték

Stabilitás/60

Gyökhelygörbe - példák

Go s  

K T 2 s 2  2Ts  1 s  1





kritikus K érték

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

Stabilitás/61

Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 3, m = 1 Ts  1 G s     1s  1 2 s  1 3 s  1 Ge s  

Im

K Ts  1  1s  1 2 s  1 3 s  1  K Ts  1

ha 1> 2 > 3 > T

Int. rendsz. I.– PTE MI_BSc

z1

p3

p2

p1

Re

Stabilitás/62