FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 3 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

´ UCEN ˇ Í TECHNICKE ´ V BRNE ˇ VYSOKE FAKULTA STAVEBNÍ

MATEMATIKA II MODUL 3 ˇ ´ DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE 1 OBYCEJN E

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Typeset by LATEX 2ε c Josef Dibl´ık, Oto Pˇribyl 2004

Pˇ redmluva Moduly vˇenované diferenciáln´ım rovnic´ım jsou pˇrizp˚ usobeny potˇrebám a poˇzadavk˚ um student˚ u a studentek stavebn´ı fakulty VUT v Brnˇe. Toto pˇrizp˚ usoben´ı je dáno jak v´ ybˇerem problematiky, která je pouze ˇcást´ı obˇs´ırného vˇedn´ıho oboru, jak´ ym jsou obyˇcejné diferenciáln´ı rovnice, tak i v´ ykladem látky. Pˇri v´ ykladu se snaˇz´ıme o vˇetˇs´ı srozumitelnost textu. V´ıme, ˇze snaha o snadnˇejˇs´ı v´ yklad dané problematiky má za d˚ usledek zmenˇsen´ı pˇresnosti a rigorznosti v´ ykladu. To se projevuje, napˇr´ıklad, pˇri definován´ı r˚ uzn´ ych pojm˚ u, které se snaˇz´ıme uˇcinit pˇr´ıstupnˇejˇs´ımi. Proto pros´ıme o shov´ıvavost ty z Vás, kteˇr´ı se s teori´ı diferenciáln´ıch rovnic setkali na u ´rovni hlubˇs´ıho teoretického základu a maj´ı tud´ıˇz zv´ yˇsené nároky na teoretickou u ´roveˇ n textu. Na tomto m´ıstˇe také vyslovujeme podˇekován´ı tˇem koleg˚ um, kteˇr´ı se zaslouˇzili o zlepˇsen´ı tohoto textu: RNDr. O. Dlouhému a RNDr. I. Mollovi, CSc.

V Brnˇe dne 1. 6. 2004

Autoˇri

i

ii

P´ anov´ e Hodn´ y a Pˇ r´ısn´ y se pˇ redstavuj´ı svˇ etu.

Jan A. Komensk´ y ve svém d´ıle Labyrint svˇeta a ráj srdce poskytl svému Poutn´ıkovi doprovod dvou Pr˚ uvodc˚ u poznán´ım. I my se v tomto textu podrˇz´ıme tohoto konceptu dvoj´ıho pr˚ uvodcován´ı. Jako u Komenského budou i Vaˇsi Pr˚ uvodci studiem jasnˇe vyprofilovan´ı - kaˇzd´ y bude hrát svou pevnˇe stanovenou roli. Pˇri urˇcen´ı tˇechto rol´ı jsme se nechali inspirovat pedagogikou aplikovanou v kriminalistice: Kaˇzd´ y zná ˇsablonu zlý policajt – hodný policajt, viz napˇr. Svˇerák˚ uv film Kolja.

Proto si Vám dovolujeme pˇredstavit: Pan Pˇr´ısn´ y – Váˇs pˇr´ısn´ y pr˚ uvodce studiem. Ten Vás bude kontrolovat, zadávat u ´koly i tresty, kárat a dbát o to, abyste studovali ˇrádnˇe a svˇedomitˇe. Jeho motto: ,,Pˇr´ısnost na studenta mus´ı být!“ Pan Hodn´ y – Váˇs hodn´ y pr˚ uvodce studiem. Ten Vás bude chválit, povzbuzovat, motivovat, m´ırnit pana Pˇr´ısného a dávat spoustu vˇec´ı do ˇsirˇs´ıch souvislost´ı, aby pˇres mnoho stromu byl vidˇet i nˇejak´ y ten les. Jeho motto: ,,Uˇc´ıte se pro sebe, ne pro pana Pˇr´ısného.“

Takˇ ze si nasad’te sv´ e obl´ıben´ e br´ yle a s chut´ı do studia!

´ Ukol pro vás: Prolistujte si tento studijn´ı text a podrobnˇeji se seznamte s Vaˇsimi studijn´ımi pr˚ uvodci.

iii

Motivace

Vˇzdy, kdyˇz je studentkám a student˚ um pˇredkládán nov´ y tématick´ y okruh studia, zaˇcne v jejich mysl´ıch skrytˇe hlodat pochybnost (která je ˇcasto vyslovena i nahlas) – vyuˇzijeme nˇekdy z´ıskané poznatky? Je to, ˇcemu budeme vˇenovat ˇradu hodin trpˇelivého studia, k nˇeˇcemu uˇziteˇcné? M˚ uˇze b´ yt bakaláˇr˚ um, magistr˚ um a doktor˚ um stavebn´ı fakulty studium diferenciáln´ıch rovnic prospˇeˇsné?

Odpovˇed’ z ˇcásti záleˇz´ı na kaˇzdém posluchaˇci a posluchaˇcce samotné, na jejich motivaci ke studiu a ˇ ast na jejich ˇzivotn´ıch plánech. C´ odpovˇedi, kterou m˚ uˇzeme povaˇzovat za dostateˇcnˇe jednoduchou, objektivn´ı a provˇeˇrenou ˇradou generac´ı stavebn´ıch inˇzen´ yr˚ u, je pˇribliˇznˇe takováto: Diferenciáln´ı rovnice jsou p´ ateˇr´ı mnoha inˇzenýrských a vˇedn´ıch obor˚ u.

ˇ Rada stavebn´ıch proces˚ u modelovan´ ych na základˇe mechanick´ ych, statick´ ych, chemick´ ych ˇci obecn´ ych fyzikáln´ıch princip˚ u vede k jejich popisu pomoc´ı ˇrady rovnic, které ˇcasto b´ yvaj´ı právˇe rovnicemi diferenciáln´ımi. Odhady pr˚ uhyb˚ u nosn´ık˚ u ve stavebn´ıch konstrukc´ıch, ohyby sloup˚ u, v´ ypoˇcty uˇziteˇcného zat´ıˇzen´ı konstrukc´ı, dopravn´ı modely, plánován´ı v´ ystavby trolejového veden´ı ˇci zkoumán´ı stability staveb (napˇr´ıklad most˚ u) vedou ˇcasto k nutnosti studovat diferenciáln´ı rovnice.

Intuitivnˇe se pravidla, pˇr´ımo vypl´ yvaj´ıc´ı ze závˇer˚ u studia o chován´ı ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic, vyuˇz´ıvala jiˇz dávno. Vojensk´ y pˇr´ıkaz ,,zruˇsit“ krok, dan´ y velitelem pˇeˇs´ı jednotky pˇred jej´ım vstupem na most, c´ılem kterého je nezp˚ usobit destrukci mostu, je toho dokladem. Vysvˇetlen´ı, které je dáno závˇery z anal´ yzy ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic, zn´ı v odbornˇejˇs´ı terminologii takto: ,,Jednotka svým pˇresunem nesm´ı vyvolat kmity mostn´ı konstrukce, které nazýv´ ame rezonanc´ı. Obecnˇe m˚ uˇze vznik rezonance vy´ ustit aˇz v havárii ˇci katastrofu.“

iv

ˇ KROK!“ ,,ZRUSIT

Obsah 1 Z´ akladn´ı pojmy 1.1 Co je to diferenciáln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . 1.2 Obyˇcejné a parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice . . . . . . ˇ ad diferenciáln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 R´ 1.4 Lineárn´ı a nelineárn´ı diferenciáln´ı rovnice . . . . . . 1.5 Co je to ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice? . . . . . . . . 1.6 Má ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice vˇzdy explicitn´ı tvar? 1.7 Kolik ˇreˇsen´ı má diferenciáln´ı rovnice? . . . . . . . . 1.8 Jak naz´ yváme jednotlivé typy ˇreˇsen´ı? . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1 1 2 3 4 5 7 8 10

2 Poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy pro ODR 2.1 Poˇcáteˇcn´ı u ´loha pro rovnici prvn´ıho ˇrádu . . . . . 2.2 Geometrická interpretace rovnice prvn´ıho ˇrádu . . 2.3 Poˇcáteˇcn´ı u ´loha pro rovnici obecného ˇrádu . . . . 2.4 Existence ˇreˇsen´ı a existence jediného ˇreˇsen´ı . . . . 2.5 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy 2.6 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı u ´lohy (2.5) . . . 2.7 Lokáln´ı charakter existenˇcn´ıch vˇet . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

15 15 16 19 19 20 28 29

. . . . . . .

3 Diferenci´ aln´ı rovnice prvn´ıho ˇ r´ adu 31 3.1 Separovaná rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Lineárn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Exaktn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

v

vi

OBSAH

Kapitola 1 Z´ akladn´ı pojmy z oblasti obyˇ cejn´ ych diferenci´ aln´ıch rovnic D´ılˇc´ı c´ıl: Studium této kapitoly je velice d˚ uleˇzité. Umoˇzn´ı Vám seznámit se se základn´ımi pojmy z teorie diferenciáln´ıch rovnic, bez kter´ ych by dalˇs´ı studium bylo bezpˇredmˇetné: • Pochop´ıte pojem diferenciáln´ı rovnice. • Budete umˇet rozliˇsit obyˇcejné a parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice. • Poznáte, co se rozum´ı ˇrádem diferenciáln´ı rovnice. • Nauˇc´ıte se rozliˇsit lineárn´ı diferenciáln´ı rovnici a chápat pojmy souvisej´ıc´ı z t´ımto typem rovnic (rovnice homogenn´ı, nehomogenn´ı, koeficienty rovnice, atd.) • Poznáte, co se rozum´ı ˇreˇsen´ım diferenciáln´ı rovnice. Budete umˇet rozhodnout, kdy daná funkce je ˇreˇsen´ım dané rovnice na dané mnoˇzinˇe. • Nauˇc´ıte se pracovat s pojmy explicitn´ı (resp. implicitn´ı) tvar ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice. • Seznám´ıte se s pojmy partikulárn´ı ˇreˇsen´ı, obecné nebo singulárn´ı ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice a nauˇc´ıte se hledat partikulárn´ı ˇreˇsen´ı z obecného ˇreˇsen´ı, budou-li zadány dalˇs´ı doplˇ nuj´ıc´ı podm´ınky. Doba potˇ rebn´ a ke studiu kapitoly: 120 minut vlastn´ı studium + dalˇs´ı ˇcas potˇrebn´ y na ˇreˇsen´ı jednotliv´ ych cviˇcen´ı – podle poˇcetn´ı zdatnosti studenta.

1.1

Co je to diferenci´ aln´ı rovnice?

Tato ˇcást je vˇenována seznámen´ı s pojmem diferenciáln´ı rovnice. Slovo diferenciáln´ı spoleˇcnˇe se slovem rovnice naznaˇcuj´ı, ˇze jde o druh rovnic, které obsahuj´ı derivace. Je tomu opravdu tak – v pˇredchoz´ı vˇetˇe je skryt obsah dvou studijn´ıch modul˚ u, vˇenuj´ıc´ıch se diferenciáln´ım rovnic´ım. 1

´ Í POJMY KAPITOLA 1. ZAKLADN

2

Pˇredt´ım, neˇz zaˇcneme nˇejakou diferenciáln´ı rovnici ˇreˇsit, je nutné se seznámit s nˇekter´ ymi nezbytn´ ymi pojmy a také s tradiˇcnˇe uˇz´ıvan´ ymi term´ıny této oblasti. V matematice jste se seznámili s pojmem derivace funkce. Derivace funkce y = f (x) (podle promˇenné x) dy = f 0 (x) dx je opˇet funkc´ı promˇenné x a m˚ uˇze b´ yt nalezena podle znám´ ych pravidel. Napˇr´ıklad 2 derivace funkce y = e−x je dy 2 = −2xe−x , dx coˇz lze zapsat i jinak, napˇr. dy = −2xy. dx

(1.1)

Problém, kter´ y budeme v následuj´ıc´ıch dvou modulech studovat, se dá struˇcnˇe pˇrirovnat k následuj´ıc´ımu: je-li dána rovnice, napˇr´ıklad, dy/dx = −2xy, pak se budeme snaˇzit nˇejak´ ym zp˚ usobem naj´ıt funkci y = f (x), která této rovnici vyhovuje. Jin´ ymi slovy, pˇrejeme si ˇreˇsit danou diferenciáln´ı rovnici.

Definice 1. Rovnice obsahuj´ıc´ı derivace nebo diferenciály jedné závislé funkce (nebo v´ıce závisl´ ych funkc´ı) je naz´ yvána diferenciáln´ı rovnic´ı. Rovnici naz´ yváme obyˇcejnou, obsahuje-li pouze jednu nezávislou promˇennou. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe naz´ yváme danou rovnici parciáln´ı.

Diferenciáln´ı rovnice podle uvedené definice ˇclen´ıme na obyˇcejné a parciáln´ı. Dále jeˇstˇe urˇcujeme ˇrád diferenciáln´ı rovnice a provád´ıme klasifikaci rovnic na lineárn´ı a nelineárn´ı.

1.2

Obyˇ cejn´ e a parci´ aln´ı diferenci´ aln´ı rovnice

Obsahuje-li rovnice pouze obyˇcejné derivace (tj. nikoliv parciáln´ı derivace) jedné závislé promˇenné vzhledem vzhledem k jedné nezávislé promˇenné, pak ji naz´ yváme obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnic´ı. Uved’me pˇr´ıklady obyˇcejn´ ych diferenciáln´ıch rovnic: dy − 6y = sin t, dt (2y − 4x)dy + 4x2 dx = 0, d3 u du +z· − u = 0. 3 dz dz V prvn´ı rovnici je hledanou funkc´ı y = y(t), ve druhé rovnici y = y(x) a ve tˇret´ı rovnici u = u(z).

ˇ AD ´ DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE 1.3. R

3

Nyn´ı uvedeme nˇekteré pˇr´ıklady parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic, které obsahuj´ı parciáln´ı derivace neznám´ ych funkc´ı vzhledem k nejménˇe dvˇema nezávisl´ ym promˇenn´ ym. Parciáln´ı diferenciáln´ı rovnic´ı je rovnice ∂u ∂u ∂u + + = 1, ∂x ∂y ∂z kde u = u(x, y, z) je hledaná závislá promˇenná, závisej´ıc´ı na promˇenn´ ych x, y a z. Následuj´ıc´ımi parciáln´ımi rovnicemi jsou popisovány nˇekteré konkrétn´ı jevy. Rovnice ∂2u ∂2u = ∂t2 ∂x2 je parciáln´ı diferenciáln´ı rovnic´ı popisuj´ıc´ı kmity struny. Tvar této rovnice je v uˇcebnic´ıch o parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic´ıch odvozen na základˇe fyzikáln´ıch zákonitost´ı. V této rovnici je u = u(t, x) neznámou závislou funkc´ı a t a x jsou nezávislé promˇenné. Rovnice ∂2u ∂2u ∂2u + + = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 kde u = u(x, y, z) je hledaná závislá funkce a x, y a z jsou nezávislé promˇenné, je parciáln´ı diferencikáln´ı rovnic´ı, popisuj´ıc´ı hodnotu teplotu uvnitˇr stejnorodého izotropn´ıho tˇelesa za pˇredpokladu, ˇze se teplota ustálila a nemˇen´ı se s ˇcasem. Také odvozen´ı tvaru této rovnice lze naj´ıt, napˇr´ıklad, v literatuˇre vˇenované parciáln´ım diferenciáln´ım rovnic´ıcm. Tato rovnice je naz´ yvána Laplaceovou rovnic´ı.

V modulech vˇenovan´ ych diferenciáln´ıch rovnic´ım se budeme zab´ yvat pouze obyˇcejn´ ymi diferenciáln´ımi rovnicemi. Dobrá znalost problematiky obyˇcejn´ ych diferenciáln´ıch rovnic je základem pro studium parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic.

1.3

ˇ ad diferenci´ R´ aln´ı rovnice

ˇ adem diferenciáln´ı rovnice naz´ Definice 2. R´ yváme ˇrád nejvyˇsˇs´ı derivace v dané diferenciáln´ı rovnici.

Urˇceme ˇrád nˇekolika diferenciáln´ıch rovnic. Obyˇcejná diferenciáln´ı rovnice 7 d6 y dy + 2x · − 6y 2 = ex ln x 6 dx dx je diferenciáln´ı rovnic´ı ˇsestého ˇrádu. Obyˇcejná diferenciáln´ı rovnice 2y 0 · arctg x − y = cos x


4

je prvn´ıho ˇrádu. Parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice ∂2u ∂u + u3 = 2 ∂x ∂t je druhého ˇrádu.

1.4

Line´ arn´ı a neline´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice

V modulech o diferenciáln´ıch rovnic´ıch budeme ˇcasto uvaˇzovat r˚ uzné intervaly na ˇ ose, odpov´ıdaj´ıc´ı nezávislé promˇenné. Rada naˇsich u ´vah bude spoleˇcná pro intervaly r˚ uzn´ ych tvar˚ u, otevˇrené ˇci uzavˇrené, nekoneˇcné ˇci koneˇcné. Proto zavedeme pro námi pouˇz´ıvan´ y interval znaˇcen´ı - symbol I, kter´ y bude jedn´ım z ˇc´ıseln´ ych interval˚ u tvaru [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), (−∞, b], (−∞, b), [a, ∞), (a, ∞), nebo (−∞, ∞), kde a < b. Pokud bude nutné interval bl´ıˇze specifikovat, provedeme toto upˇresnˇen´ı v textu.

Definice 3. Diferenciáln´ı rovnici naz´ yváme lineárn´ı, m˚ uˇze-li b´ yt zapsána ve tvaru an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x)

(1.2)

kde y = y(x) je neznámá závislá funkce, ai (x), i = 0, 1 . . . , n, a g(x) jsou dané funkce, definované na intervalu I.

K pˇredchoz´ı Definici 3 jeˇstˇe poznamenejme, ˇze rovnice (1.2) je obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnic´ı n-tého ˇrádu pokud je v n´ı pˇr´ıtomna derivace y (n) . To bude garantováno v pˇr´ıpadˇe, ˇze an (x) 6= 0 na intervalu I. Funkce ai (x), i = 0, 1 . . . , n, naz´ yváme koeficienty rovnice a funkci g(x) naz´ yváme pravou stranou rovnice. Vˇsimnˇeme si, ˇze lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice je charakterizována dvˇema vlastnostmi. Tˇemi jsou: • rovnice obsahuje závislou promˇennou y a vˇsechny jej´ı derivace pouze v prvn´ıch mocninách, tj., mocnina kaˇzdého ˇclenu pouˇz´ıvaj´ıc´ıho y je 1; • kaˇzd´ y koeficient závis´ı pouze na nezávislé promˇenné. V rovnici (1.2) je nezávislou promˇennou promˇenná x. V univerzitn´ıch textech je uˇz´ıvána modifikovaná definice linearity, op´ıraj´ıc´ı se na provˇeˇren´ı vlastnost´ı linearity operátoru, kter´ y je definovan´ y levou stranou rovnice (1.2). Lineárn´ımi rovnicemi jsou, napˇr´ıklad, rovnice x2 dy + ydx = 0, z 00 + 12z 0 + x · z = sin x, −xy 000 − x3 y 00 + 3xy 0 + 5y = ln2 x.

ˇ SEN ˇ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE? 1.5. CO JE TO RE

5

Definice 4. Rovnici, která nen´ı lineárn´ı, naz´ yváme nelineárn´ı.

Uved’me nˇekolik pˇr´ıklad˚ u nelineárn´ıch diferenciáln´ıch rovnic (samostatnˇe zd˚ uvodnˇete, proˇc uvedené rovnice nemohou b´ yt lineárn´ımi rovnicemi): y · y 000 + 8y 0 z · z 0 · z 00 dy dx 00 y + y3

= x, = x7 , x =− , y = 0.

V naˇsich modulech se budeme zab´ yvat nˇekter´ ymi nelineárn´ımi rovnicemi z teoret’ ického pohledu, nebot pro nˇe m˚ uˇzeme definovat nˇekteré teoretické pojmy a ukázat na nˇekteré jejich vlastnosti, které maj´ı ˇsirˇs´ı platnost. P˚ ujde, napˇr´ıklad, o tyto rovnice: nelineárn´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu v tzv. normáln´ım tvaru y 0 = f (x, y),

(1.3)

nelineárn´ı rovnici n-tého ˇrádu (zobecˇ nuj´ıc´ı pˇredchoz´ı rovnici) v tzv. normáln´ım tvaru y (n) = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ).

(1.4)

a obecnou nelineárn´ı rovnici n-tého ˇrádu (zobecˇ nuj´ıc´ı pˇredchoz´ı rovnici) v implicitn´ım tvaru F (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) , y (n) ) = 0.

1.5

(1.5)

Co je to ˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice?

V ˇcásti 1.1 na stranˇe 1 jsme sestavili diferenciáln´ı rovnici (1.1), o které jsme pˇredem 2 vˇedˇeli, ˇze má ˇreˇsen´ı y = e−x . Uved’me jeˇstˇe jeden pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 1. Provˇeˇrme, ˇze funkce y = xe2x

(1.6)

y 00 − 4y 0 + 4y = 0

(1.7)

je ˇreˇsen´ım lineárn´ı rovnice

na intervalu I = (−∞, ∞).


6 ˇ sen´ı. Reˇ

Najdeme prvn´ı a druhou derivaci funkce y. Dostáváme y 0 = 2xe2x + e2x , y 00 = 4xe2x + 4e2x .

V kaˇzdém bodˇe intervalu I plat´ı y 00 − 4y 0 + y = 4xe2x + 4e2x − 4 2xe2x + e2x + 4xe2x = 0. Daná funkce je opravdu ˇreˇsen´ım rovnice na intervalu I. Pokusme se nyn´ı upˇresnit, co budeme naz´ yvat ˇreˇsen´ım diferenciáln´ı rovnice. Pˇredpokládejme, ˇze je dána nelineárn´ı obyˇcejná diferenciáln´ı rovnice n-tého ˇrádu, kterou zap´ıˇseme v nejobecnˇejˇs´ım (teoretickém) tvaru vztahem (1.5), tj. F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0,

(1.8)

kde F je nˇekterá funkce n + 2 promˇenn´ ych. Vˇsechny typy rovnic, které budeme v modulech vˇenovan´ ych diferenciáln´ım rovnic´ım uvaˇzovat, jsou speciáln´ımi pˇr´ıpady rovnice (1.8). Poukaˇzme na nˇekteré d˚ uleˇzité speciáln´ı pˇr´ıpady - lineárn´ı rovnice n-tého ˇrádu (1.2) ybˇerem funkce F je speciáln´ım pˇr´ıpadem implicitn´ı rovnice (1.8). Skuteˇcnˇe, v´ F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) := an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y − g(x), dostáváme lineárn´ı rovnici n-tého ˇrádu (1.2). Poloˇz´ıme-li F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) := y (n) − f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ), dostáváme nelineárn´ı rovnici n-tého ˇrádu (1.4) a v pˇr´ıpadˇe n = 1 nelineárn´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu (1.3). Vyhovuje-li funkce y = f (x) na intervalu I rovnici (1.8), tj. je-li zde F (x, f (x), f 0 (x), . . . , f (n) (x)) ≡ 0, pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce y = f (x) je ˇreˇsen´ım rovnice (1.8) na intervalu I. Struˇcnˇe m˚ uˇzeme vyjádˇrit pojem ˇreˇsen´ı takto:

Definice 5. Funkci f naz´ yváme ˇreˇsen´ım rovnice (1.8) na intervalu I, pokud ˇ sen´ı se také ˇcasto ji substituce y = f (x) mˇen´ı na tomto intervalu v identitu. Reˇ naz´ yvá integráln´ı kˇrivkou.

´ Ukol pro vás: Provˇeˇrte, ˇze dané funkce f jsou ˇreˇsen´ı dan´ y rovnic na intervalu I = (−∞, ∞): 1 00 a) f : y = − 2 x cos x, y + y = sin x + cos 2x; b) f : y = − 13 cos 2x, y 00 + y = cos 2x.

´ RE ˇ SEN ˇ Í DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE VZDY ˇ 1.6. MA EXPLICITNÍ TVAR?

1.6

7

M´ aˇ reˇ sen´ı diferenci´ aln´ı rovnice vˇ zdy explicitn´ı tvar?

V pˇredchoz´ım odstavci bylo ˇreˇsen´ı rovnice (1.7) z Pˇr´ıkladu 1 zadáno vztahem (1.6). Tento vztah je tzv. explicitn´ı, tj. hodnota neznámé funkce je dána pˇredpisem, kter´ y má obecn´ y tvar y = ω(x), kde funkce ω je dána. Ve v´ yˇse uvedeném pˇr´ıkladu je 2 uzná zadán´ı (r˚ uzné funkˇcn´ı ω(x) := e−x . Z matematiky v´ıme, ˇze funkce mohou m´ıt r˚ pˇredpisy). Explicitn´ı zadán´ı pˇritom patˇr´ı k zadán´ım nejv´ıce preferovan´ ym. Ne vˇzdy ale dokáˇzeme ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnice nalézt v explicitn´ım tvaru. Budeme velmi spokojeni jiˇz v pˇr´ıpadˇe, kdy se nám povede nalézt ˇreˇsen´ı v tzv. implicitn´ım tvaru. Zopakujme, ˇze implicitn´ı tvar funkce je tvarem, kter´ ym je funkce y = y(x) zadána pomoc´ı rovnosti ψ(x, y) = 0.

(1.9)

Kaˇzd´ y explicitn´ı tvar lze na implicitn´ı tvar pˇrevést. Napˇr´ıklad, implicitn´ı vztah (1.9) 2 ve kterém ψ(x, y) := y − e−x zadává ˇreˇsen´ı rovnice (1.7). Opaˇcné tvrzen´ı vˇsak neplat´ı v tom smyslu v jakém bychom si to pˇráli. Pot´ıˇz je v tom, ˇze z rovnice (1.9) nedokáˇzeme vˇzdy vyjádˇrit y jako funkci promˇenné x. Teoreticky dokázat existenci funkce y = y(x) rovnice (1.9) je moˇzné, napˇr´ıklad, uˇzit´ım vˇet o implicitn´ıch funkc´ıch (o kter´ ych jste v pˇrednáˇskách z matematiky slyˇseli). Vyˇreˇsit rovnici (1.9) v tzv. analytickém tvaru, tedy naj´ıt y jako nˇekterou konkrétn´ı funkci promˇenné x b´ yvá u ´lohou obt´ıˇznou a ˇcasto neˇreˇsitelnou. Vzhledem ke skuteˇcnosti, kterou budeme v modulech o diferenciáln´ıch rovnic´ıch jeˇstˇe zmiˇ novat, totiˇz, ˇze typická je situace, ˇze daná diferenciáln´ı rovnice nejde vyˇreˇsit analyticky (souslov´ı ,,nejde vyˇreˇsit analyticky“ znamená, ˇze v mnoˇzinˇe nám znám´ ych funkc´ı - polynom˚ u, lomen´ ych funkc´ı, exponenciáln´ıch funkc´ı a funkc´ı k nim inverzn´ıch, goniometrick´ ych funkc´ı a funkc´ı k nim inverzn´ıch, atd. ˇreˇsen´ı dané rovnice neexistuje) je fakt nalezen´ı ˇreˇsen´ı v implicitn´ım tvaru jiˇz velmi pozitivn´ım zjiˇstˇen´ım. ˇ sen´ı diferenciáln´ı rovnice vyjádˇrené implicitn´ım tvarem, povaˇzujeme za rovnoReˇ cenné explicitn´ımu vyjádˇren´ı ˇreˇsen´ı.

Ukaˇzme na pˇr´ıkladu, ˇze ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice m˚ uˇze m´ıt implicitn´ı tvar. Pˇ r´ıklad 2. Provˇeˇrte, ˇze funkce y = y(x) implicitnˇe zadaná vztahem y − ex

2y

=0

(1.10)

je ˇreˇsen´ım diferenciáln´ı rovnice y 0 · (1 − x2 y) = 2xy 2 pro kaˇzd´ y bod x ∈ I = (−∞, ∞).

(1.11)


8

ˇ sen´ı. Nejprve se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze rovnice (1.10) opravdu definuje funkci Reˇ y = y(x) na intervalu I. Pˇrep´ıˇseme rovnici (1.10) ve tvaru 2

y = ex y ,

(1.12)

a pro libovolnˇe zvolenou hodnotu x = x∗ ∈ I = (−∞, ∞) naˇcrtneme v rovinˇe (y, F ) (prvn´ı osa je osou y, druhá osa je osou F ) grafy dvou funkc´ı, urˇcen´ ych levou a pravou stranou vztahu (1.10), tj. naˇcrtneme grafy funkc´ı F = F1 := y a

∗

F = F2 := ex y . Grafem prvn´ı funkce je pˇr´ımka - osa prvn´ıho a tˇret´ıho kvadrantu. Grafem druhé funkce je kladná exponenciáln´ı funkce (pˇresnˇeji ˇreˇceno, pro x∗ 6= 0 jde o rostouc´ı exponenciálu a pro x∗ = 0 jde o graf pˇr´ımky). Oba dva grafy se prot´ınaj´ı právˇe v jednom bodˇe, kter´ y je ˇreˇsen´ı rovnice (1.10) pro danou hodnotu x = x∗ . Opravdu je tedy vztahem (1.10) definována funkce y = y(x) na intervalu I.

Zb´ yvá provˇeˇrit, ˇze vztah (1.10) je implicitn´ım ˇreˇsen´ım rovnice. Necht’ funkce y = y(x) vyhovuje implicitn´ımu vztahu (1.10), tj. na I plat´ı y(x) − ex

2 y(x)

≡ 0.

Derivován´ım dostáváme y 0 (x) − ex

2 y(x)

(2xy(x) + x2 y 0 (x)) = 0

a po u ´pravˇe 0

2 x2 y(x)

y (x) · 1 − x e

− 2xy(x)ex

2 y(x)

= 0,

odkud, vyuˇzit´ım (1.12) máme y 0 (x) · (1 − x2 y(x)) = 2xy 2 (x). T´ım je provˇerka zakonˇcena, nebot’ funkce y rovnici (1.10).

1.7

= y(x) vyhovuje v´ ychoz´ı

Kolik ˇ reˇ sen´ı m´ a diferenci´ aln´ı rovnice?

Doposud jsme se v˚ ubec nezab´ yvali otázkou kolik m˚ uˇze m´ıt daná diferenciáln´ı rovnice ˇreˇsen´ı. Kdyˇz jsme analyzovali rovnici (1.1), vˇedˇeli jsme, ˇze jej´ım ˇreˇsen´ı je pˇrinejmenˇs´ım 2 funkce y = e−x . Nen´ı ale pravda, ˇze to je jediné ˇreˇsen´ı rovnice (1.1). Uvaˇzujme

ˇ SEN ˇ Í MA ´ DIFERENCIALN ´ Í ROVNICE? 1.7. KOLIK RE

9

jednoparametrickou mnoˇzinu funkc´ı 2

y = Ce−x ,

(1.13)

kde C je libovolná reálná konstanta. Pˇr´ım´ ym dosazen´ım v´ yrazu (1.13) do rovnice (1.1) se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze pro kaˇzdé konkrétn´ı C je tento v´ yraz ˇreˇsen´ım rovnice. 2

Napˇr´ıklad v´ yˇse uvedená funkce y = e−x , odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotˇe parametru C = 1, 2 funkce y = 2004e−x , odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotˇe parametru C = 2004 nebo funkce y = 0, odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotˇe parametru C = 0 jsou jednotliv´ ymi ˇreˇsen´ımi (ˇr´ıkáme, ˇze jsou tzv. partikulárn´ımi ˇreˇsen´ımi) rovnice (1.1).

Pozn´ amka 1. Pokud má nˇekterá rovnice tak jako v naˇsem pˇr´ıkladu ˇreˇsen´ı y = 0, ˇr´ıkáme tomuto ˇreˇsen´ı nulové nebo také triviáln´ı. Vid´ıme tedy, ˇze rovnice (1.1) má nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. U mnoˇzin, které maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho prvk˚ u m˚ uˇzeme s c´ılem charakterizace jak ,,velké“ nekoneˇcno je myˇsleno uˇz´ıt pojmu tzv. mohutnosti mnoˇziny (nebo téˇz kardinality mnoˇziny). Vysvˇetlen´ı tˇechto pojm˚ u jde nad rámec naˇsich modul˚ u. Pro naˇsi charakterizaci bude u ´plnˇe staˇcit sdˇelen´ı, ˇze mnoˇzina ˇreˇsen´ı rovnice (1.1) popsaná vzorcem (1.13) je jednoparametrická. V dalˇs´ım v´ ykladu ukáˇzeme, ˇze typickou vlastnost´ı ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic je to, ˇze maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı a ˇze ,,bohatost“ tohoto nekoneˇcna m˚ uˇzeme popsat pomoc´ı jednoho ˇci v´ıce nezávisl´ ych parametr˚ u, které ve tvaru ˇreˇsen´ı figuruj´ı. Ilustrujme následuj´ıc´ım pˇr´ıkladem fakt, ˇze mnoˇzina ˇreˇsen´ı m˚ uˇze b´ yt dvouparametrická: Pˇ r´ıklad 3. Ukaˇzte, ˇze dvouparametrická mnoˇzina funkc´ı y = (C1 + C2 x)e2x ,

(1.14)

kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty, je ˇreˇsen´ım diferenciáln´ı rovnice (1.7), tj. rovnice y 00 − 4y 0 + 4y = 0 na intervalu I = (−∞, ∞).

(1.15)


10

ˇ asteˇcná provˇerka jiˇz byla provedena pˇri ˇreˇsen´ı Pˇr´ıkladu 1. Nyn´ı ˇ sen´ı. C´ Reˇ provedeme v´ ypoˇcet obecnˇeji. Najdeme prvn´ı a druhou derivaci v´ yrazu (1.14). Dostáváme y 0 = 2xC2 e2x + (2C1 + C2 )e2x , y 00 = 4C2 xe2x + 4(C1 + C2 )e2x . V kaˇzdém bodˇe intervalu I (a pro libovolnˇe zvolené konstanty C1 a C2 ) plat´ı y 00 − 4y 0 + 4y = 4C2 xe2x + 4(C1 + C2 )e2x − 4 2xC2 e2x + (2C1 + C2 )e2x + 4(C1 + C2 x)e2x = 0. Daná funkce je opravdu ˇreˇsen´ım rovnice na intervalu I.

Samostatnˇe si proanalyzujte vztah mezi uveden´ ymi pˇr´ıklady, ve kter´ ych mˇely dané rovnice nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı a mezi uvenenou definic´ı ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice (Definice 5). I kdyˇz se v této definici hovoˇr´ı o jednom konkrétn´ım ˇreˇsen´ı nedocház´ı k ˇzádnému rozporu s t´ım, ˇze rovnice m˚ uˇze m´ıt v´ıce neˇz jedno ˇreˇsen´ı.

1.8

Jak naz´ yv´ ame jednotliv´ e typy ˇ reˇ sen´ı?

V pˇredchoz´ı ˇcásti jsme se setkali s r˚ uzn´ ymi názvy, které pro charakterizaci ˇreˇsen´ı nebo mnoˇzin ˇreˇsen´ı pouˇz´ıváme. Nˇekter´ y funkˇcn´ı pˇredpis m˚ uˇze zadávat pouze jedno ˇreˇsen´ı dané diferenciáln´ı rovnice, jin´ y zápis m˚ uˇze charakterizovat mnoˇzinu ˇreˇsen´ı, popˇr´ıpadˇe vˇsechna ˇreˇsen´ı dané diferenciáln´ı rovnice. Nyn´ı se seznám´ıme se standardn´ımi term´ıny, které se v takov´ ych situac´ıch pouˇz´ıvaj´ı.

ˇ sen´ı diferenciáln´ı rovnice, které neobDefinice 6 (Partikul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı) Reˇ sahuje ˇzádné libovolné parametry naz´ yváme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı.

Mnoˇziny ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice charakterizujeme pomoc´ı parametr˚ u. Na pˇr´ıkladu rovnice prvn´ıho ˇrádu (1.1) jsme vidˇeli, ˇze jistá mnoˇzina ˇreˇsen´ı daná vzorcem (1.13) je jednoparametrická. Mnoˇzina ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice druhého ˇrádu (1.7) je dvouparametrická (viz vztah (1.14)). Proto lze oˇcekávat, ˇze rovnice n-tého ˇrádu (napˇr´ıklad lineárn´ı rovnice n-tého ˇrádu (1.2) nebo obecná implicitn´ı rovnice (1.8) n-tého ˇrádu) bude m´ıt n-parametrickou mnoˇzinu ˇreˇsen´ı. Tato u ´vaha je zhrnuta v následuj´ıc´ı definici:

´ AME ´ ´ TYPY RE ˇ SEN ˇ Í? 1.8. JAK NAZYV JEDNOTLIVE

11

Definice 7 (Parametrick´ eˇ reˇ sen´ı) Uvaˇzujme rovnici n-tého ˇrádu (1.8). Mnoˇzinu funkc´ı, obsahuj´ıc´ı n parametr˚ u C1 , C2 , . . . , Cn , zapsanou pomoc´ı relace: G(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0

(1.16)

naz´ yváme n-parametrickou mnoˇzinou ˇreˇsen´ı, jestliˇze libovolná pˇr´ıpustná specifikace parametr˚ u C1 = C1∗ , C2 = C2∗ , . . . , Cn = Cn∗ dává nˇekteré partikulárn´ı ˇreˇsen´ım této rovnice, tj., vztah G(x, y, C1∗ , C2∗ , . . . , Cn∗ ) = 0

(1.17)

je nˇekter´ ym konkrétn´ım (a obecnˇe implicitn´ım) ˇreˇsen´ım rovnice (1.8).

Pˇ r´ıklad 4. Ukaˇzte, ˇze diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇrádu

y0 = x ·

p

|y|,

(1.18)

p ve které povaˇzujeme hodnotu |y| za nezápornou, má triviáln´ı ˇreˇsen´ı y = 0 a má jednoparametrickou mnoˇzinu ˇreˇsen´ı danou vztahem

y=

x2 +C 4

2 ,

kde C je libovolná nezáporná konstanta.

Otázka pro vás: Obsahuje tato jednoparametrická mnoˇzina vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice (1.18)?

(1.19)


12

ˇ sen´ı. Reˇ Je zˇrejmé, ˇze rovnici (1.18) vyhovuje funkce y = 0. Pokraˇcujme provˇerkou parametrické mnoˇziny (1.19). Derivován´ım obdrˇz´ıme 2 2 x 2x x 0 y =2· +C · =x· +C . 4 4 4 Pravá strana rovnice (1.18) po dosazen´ı v´ yrazu (1.19) dává s 2 2 x2 x x· +C =x· +C , 4 4 protoˇze x2 + C ≥ 0. 4 T´ım je provˇerka zakonˇcena. Vrat’me se k problému, zda jsou vztahem (1.19) dána vˇsechna ˇreˇsen´ı. Pˇrestoˇze jsme ˇ adnou konkrétn´ı rovnici (1.18) neˇreˇsili, lze na poloˇzenou otázku odpovˇedˇet zápornˇe. Z´ volbou konstanty C ve vztahu (1.19) nedostaneme triviáln´ı ˇreˇsen´ı a to ani kdybychom pˇripustili záporné hodnoty C. Napˇr´ıklad volbou C = 0 dostáváme ˇreˇsen´ı y=

x4 , 16

nikoliv vˇsak triviáln´ı ˇreˇsen´ı. Právˇe uveden´ y pˇr´ıklad je dobrou ilustrac´ı rozd´ılu mezi pojmy paramerického ˇreˇsen´ı a obecného ˇreˇsen´ı.

Definice 8 (Obecn´ eˇ reˇ sen´ı) Lze-li kaˇzdé ˇreˇsen´ı rovnice n-tého ˇrádu (1.8) obdrˇzet z mnoˇziny funkc´ı, obsahuj´ıc´ı n parametr˚ u C1 , C2 , . . . , Cn a zapsanou pomoc´ı relace: G(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0

(1.20)

nˇekter´ ym konkrétn´ım v´ ybˇerem parametr˚ u C1 = C1∗ , C2 = C2∗ , . . . , Cn = Cn∗ , ym (kompletn´ım) pak ˇr´ıkáme, ˇze n-parametrická mnoˇzina (1.20) je obecn´ ˇreˇsen´ım rovnice (1.8).

Jednoparametrická mnoˇzina funkc´ı (1.19) tedy nen´ı obecn´ ym ˇreˇsen´ım rovnice (1.18), ˇ sen´ı, které tato mnoˇzina neobsahuje je, nebot’ neobsahuje vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı. Reˇ

´ AME ´ ´ TYPY RE ˇ SEN ˇ Í? 1.8. JAK NAZYV JEDNOTLIVE

13

ˇ sen´ı, které nelze z´ıskat z parametrické mnoˇziny ˇreˇsen´ı napˇr´ıklad, triviáln´ı ˇreˇsen´ı. Reˇ naz´ yváme singulárn´ım ˇreˇsen´ım.

Definice 9 (Singul´ arn´ı ˇ reˇ sen´ı) Existuje-li ˇreˇsen´ı rovnice n-tého ˇrádu (1.8), které nelze obdrˇzet z n-parametrické mnoˇziny ˇreˇsen´ı (1.16) nˇekterou specifikac´ı parametr˚ u C1 = C1∗ , C2 = C2∗ , . . . , Cn = Cn∗ , pak toto ˇreˇsen´ı naz´ yváme singulárn´ım.

Pˇ r´ıklad 5. V´ıte-li, ˇze diferenciáln´ı rovnice y0 − y = 1

(1.21)

má obecné ˇreˇsen´ı dáné vzorcem Cex − 1,

C ∈ R,

najdˇete partikulárn´ı ˇreˇsen´ı y(x), které vyhovuje podm´ınce y(ln 3) + 2 · y 0 (ln 3) = 0.

(1.22)

ˇ sen´ı. Budeme se snaˇzit specifikovat hodnotu konstanty C = C ∗ tak, aby Reˇ funkce daná pˇredpisem y(x) = C ∗ ex − 1 splˇ novala podm´ınku 1.22. To konkrétnˇe znamená, ˇze y(ln 3) + 2 · y 0 (ln 3) ≡ 3C ∗ − 1 + 6C ∗ = 0, tj. C ∗ = 1/9. Hledané partikulárn´ı ˇreˇsen´ı má pak pˇredpis y(x) = 1/9 · ex − 1. Samostatnˇe ovˇeˇrte, ˇze takto nalezená funkce je skuteˇcnˇe ˇreˇsen´ım rovnice 1.21.

´ Ukol pro vás: V´ıte-li, ˇze diferenciáln´ı rovnice y 00 − y + 2004 = 0 má obecné ˇreˇsen´ı dáné vzorcem C1 ex + C2 e−x + 2004,

C1 , C2 ∈ R,

najdˇete partikulárn´ı ˇreˇsen´ı y(x) takové, ˇze: a) y(0) = 0, y 0 (0) = 0; b) y(0) + y 0 (0) = 2002, y(ln 2) + 5 · y 0 (ln 2) = 2003; Z ln 2 Z ln 2 c) (y(x) − 2004) dx = 1, y 0 (x)dx = 0. 0

0

ˇ sen´ı: Reˇ a) y(x) = −1002 ex − 1002 e−x + 2004; c) y(x) = 1/2 ex + e−x + 2004.

b) y(x) = −ex − 11/2 e−x + 2004;


14

Shrnut´ı • Rovnice obsahuj´ıc´ı derivace nebo diferenciály jedné závislé funkce (nebo v´ıce závisl´ ych funkc´ı) je naz´ yvána diferenciáln´ı rovnic´ı. Rovnici naz´ yváme obyˇcejnou, obsahuje-li pouze jednu nezávislou promˇennou. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe naz´ yváme danou rovnici parciáln´ı. ˇ adem diferenciáln´ı rovnice naz´ • R´ yváme ˇrád nejvyˇsˇs´ı derivace v dané dife-renciáln´ı rovnici. • Diferenciáln´ı rovnici naz´ yváme lineárn´ı, m˚ uˇze-li b´ yt zapsána ve tvaru an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x), kde y = y(x) je neznámá závislá funkce, ai (x), i = 0, 1 . . . , n, a g(x) jsou dané funkce, definované na intervalu I. • Funkci f naz´ yváme ˇreˇsen´ım rovnice F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0 na intervalu I, ˇ sen´ı se pokud ji substituce y = f (x) mˇen´ı na tomto intervalu v identitu. Reˇ také ˇcasto naz´ yvá integráln´ı kˇrivkou. ˇ • Reˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice, které neobsahuje ˇzádné libovolné parametry naz´ yváme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı. • O vzorci, kter´ y popisuje vˇsechna moˇzná partikulárn´ı ˇreˇsen´ı dané diferenciáln´ı rovnice, mluv´ıme jako o obecném ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice.

Pan Pˇr´ısn´ y, váˇs pˇr´ısn´ y pr˚ uvodce studiem: Tato u´vodn´ı kapitola je velice d˚ uleˇzit´ a! Bez ˇrádného zvládnut´ı základn´ıch definic a pojm˚ u dalˇs´ı studium diferencialn´ıch rovnic zákonitˇe zkrachuje! Proto ve studiu nepokraˇcujte d´ ´ al, dokud dobˇre nepochop´ıte uˇcivo této prvn´ı kapitoly.

Pan Hodn´ y, váˇs hodn´ y pr˚ uvodce studiem: I kdyˇz jsem byl v u´vodu pˇrestaven jako ten, který má m´ırnit pana Pˇr´ısného, v tomto s n´ım docela souhlas´ım. Pokud byste nezvládli základn´ı definice a terminologii, pak by Vaˇse studium dalˇs´ı l´ atky z diferenciáln´ıch rovnic bylo velmi problémové. Jak na tom se znalostmi jste, se nejlépe pˇresvˇedˇc´ıte pomoc´ı n´ asleduj´ıc´ıho autotestu.

Autotest: Jsou dány diferenciáln´ı rovnice: √ a) 3y 0 3 x − y = 0 d) y 000 + yy 00 = sin x √ dy b) 3 dx −y+ 3x=0 e) y (4) + y 00 = sin y √ f) y 000 − y = sin x c) 3 3 xdy + ydx = 0 • Urˇcete ˇrád dan´ ych diferenciáln´ıch rovnic. • Rozhodnˇete, které z dan´ ych rovnic jsou lineárn´ı. • U lineárn´ıch rovnic urˇcete, zda jsou homogenn´ı, nebo nehomogenn´ı.

Kapitola 2 Poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy pro obyˇ cejn´ e diferenci´ aln´ı rovnice D´ılˇc´ı c´ıl: Pˇri studiu této kapitoly se seznám´ıte: • s formulac´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy nejprve pro rovnici prvn´ıho ˇrádu a v dalˇs´ım i pro rovnici ˇrádu obecného; • s geometrick´ ym v´ yznamem diferenciáln´ıch rovnic prvn´ıho ˇrádu; • s postaˇcuj´ıc´ımi podm´ınkami existence resp. existence a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy pro diferenciáln´ı rovnici.

2.1

Poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ loha pro rovnici prvn´ıho ˇ r´ adu

Jak jsme se pˇresvˇedˇcili na pˇr´ıkladech, diferenciáln´ı rovnice maj´ı nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Pˇri ˇreˇsen´ı praktick´ ych u ´loh ˇcasto vzniká následuj´ıc´ı problém: vyˇclenit z mnoˇziny ˇreˇsen´ı pouze jedno, které procház´ı nˇekter´ ym dan´ ym bodem. Jin´ ymi slovy - je poˇzadováno urˇcit partikulárn´ı ˇreˇsen´ı, procházej´ıc´ı zadan´ ym bodem. Pokud je známa parametrická mnoˇzina ˇreˇsen´ı dané rovnice, pak je moˇzné urˇcit parametry tak, aby formulovaná podm´ınka platila. T´ım dojde k vyˇclenˇen´ı partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı. Pomoc´ı matematického znaˇcen´ı formulujeme poˇcáteˇcn´ı u ´lohu (které se také ˇr´ıká Cauchyova u ´loha) pro diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu v normáln´ım tvaru takto: naj´ıt ˇreˇsen´ı y = y(x) rovnice y 0 = f (x, y), procházej´ıc´ı pˇredepsan´ ym bodem (x0 , y0 ), tj. vyhovuj´ıc´ı podm´ınce y(x0 ) = y0 . Standardnˇe p´ıˇseme rovnici a souˇradnice bodu dohromady takto ( 0 y = f (x, y) (2.1) y(x0 ) = y0 . Toto zadán´ı je v souladu s naˇsimi zkuˇsenostmi nabyt´ ymi pˇri anal´ yze pˇr´ıklad˚ u, kdy rovnice prvn´ıho ˇrádu mˇela jednoparametrickou mnoˇzinu ˇreˇsen´ı. Pˇredepsán´ım bodu, kter´ ym má ˇreˇsen´ı procházet, docház´ı k urˇcen´ı konkrétn´ı hodnoty parametru. 15

ˇ ATE ´ CN ˇ Í ULOHY ´ KAPITOLA 2. POC PRO ODR

16

2.2

Geometrick´ a interpretace rovnice prvn´ıho ˇ r´ adu

Diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇrádu y 0 = f (x, y)

(2.2)

charakterizuje vlastnosti ˇreˇsen´ı také geometricky. Nyn´ı vyloˇz´ıme, jak´ ym zp˚ usobem m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt tuto rovnici k z´ıskán´ı informac´ı o jejich ˇreˇsen´ıch.

Smˇ erov´ e pole Pˇredpokládejme, ˇze bodem (x0 , y0 ) procház´ı ˇreˇsen´ı y = y(x) diferenciáln´ı rovnice (2.2). Potom je hodnota f (x0 , y0 ), v souladu se zadán´ım diferenciáln´ı rovnice (2.2), hodnotou derivace ˇreˇsen´ı y = y(x) v bodˇe x = x0 , tj. y 0 (x0 ) = f (x0 , y0 ). Protoˇze v´ıme, ˇze geometricky je hodnota derivace rovna smˇernici teˇcny ke kˇrivce, je hodnota f (x0 , y0 ) smˇernic´ı teˇcny k ˇreˇsen´ı y = y(x) diferenciáln´ı rovnice (2.2) v bodˇe x = x0 . Tento fakt lze ilustrovat graficky pomoc´ı vázaného vektoru um´ıstˇeného do bodu (x0 , y0 ) se smˇernic´ı f (x0 , y0 ). Na délce tohoto vektoru nezáleˇz´ı. M˚ uˇzeme ji, napˇr´ıklad, poloˇzit rovnu jedné. Mnoˇzina vˇsech vektor˚ u zkonstruovan´ ych v kaˇzdém bodˇe, ve kterém je funkce f (x, y) definována se naz´ yvá smˇerov´ ym polem. Vytvoˇren´ı smˇerového pole dává pˇribliˇznou (ale velmi uˇziteˇcnou) informaci o tom, jak vypadá celé mnoˇzina ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice (2.2). Nicménˇe vytvoˇren´ı smˇerového pole podle pˇresnˇe podle definice je nerálné, nebot’ zkonstruovat odpov´ıdaj´ıc´ı vázan´ y vektor v kaˇzdém bodˇe je prakticky nerealizovatelné. Proto ukáˇzeme metodu pomoc´ı které lze z´ıskat o vektorovém poli dostateˇcnˇe dobrou pˇredstavu.

Vytvoˇ ren´ı smˇ erov´ eho pole pomoc´ı izokl´ın Aby byl do procesu vytvoˇren´ı smˇerového pole vnesen urˇcit´ y postup, je rozumné ho ˇ vytváˇret krok za krokem. Casto se uˇz´ıvá tzv. metoda izokl´ın. Izokl´ına je kˇrivka o rovnici f (x, y) = k,

(2.3)

kde k je daná konstanta. Jin´ ymi slovy - izokl´ına je kˇrivka (geometrické m´ısto bod˚ u) v kaˇzdém bodˇe které jsou vázané vektory rovnobˇeˇzné (tj., teˇcny k ˇreˇsen´ım maj´ı stejnou smˇernici). Princip metody izokl´ın je jednoduch´ y - pro vhodnˇe zvolenou mnoˇzinu smˇernic {k1 , k2 , . . . , ks } vytvoˇr´ıme odpov´ıdaj´ıc´ı mnoˇzinu izokl´ın pomoc´ı vztahu (2.3) ve kterém postupnˇe dosazujeme k = k1 , k = k2 , . . . , k = ks . Pokud je s´ıt’ izoklin dostateˇcnˇe hustá, bude naˇse pˇredstava o integráln´ıch kˇrivkách diferenciáln´ı rovnice (2.2) postaˇcuj´ıc´ı. Zd˚ uraznˇeme, ˇze se nejedná o tzv. analytické ˇreˇsen´ı rovnice (2.2) (tj. z´ıskán´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru urˇcité funkce), ale o z´ıskán´ı tzv. kvalitativn´ı informace o pr˚ ubˇehu jejich ˇreˇsen´ı. Smˇerové pole a metoda izokl´ın jsou d˚ uleˇzit´ ymi nástroji z´ıskán´ı kvalitativn´ıch informac´ı o pr˚ ubˇehu ˇreˇsen´ı právˇe v pˇr´ıpadech, kdy

´ INTERPRETACE ROVNICE PRVNÍHO R ˇ ADU ´ 2.2. GEOMETRICKA

17

danou rovnici neum´ıme ˇreˇsit, nebo neum´ıme vypoˇc´ıtat integrály vzniklé v pr˚ ubˇehu jej´ıho ˇreˇsen´ı.

Pˇ r´ıklad 6. Pomoc´ı metody izokl´ın naˇcrtnˇete pˇribliˇznˇe integráln´ı kˇrivky diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇrádu y 0 = x + y − 1. √ √ ˇ sen´ı. Reˇ Volme napˇr´ıklad k = − 3/3, 0, 1, 3. Pak vztah (2.3) vyjadˇruje mnoˇzinu pˇr´ımek √ √ x + y = k + 1 pro k = − 3/3, 0, 1, 3. Izokl´ıny spolu s pˇribliˇzn´ ym pr˚ ubˇehem nˇekter´ ych integráln´ıch kˇrivek, jsou na znázornˇeny na náˇcrtku 2.1.

Obrázek 2.1: Smˇerové pole rovnice y 0 = x + y − 1.

´ Ukol pro vás: Pomoc´ı metody izokl´ın naˇcrtnˇete pˇribliˇznˇe integráln´ı kˇrivky diferenciáln´ı rovnice prvn´ıho ˇrádu y 0 = x2 + y 2 .

18


Euler˚ uv polygon Uvaˇzujme poˇcáteˇcn´ı u ´lohu (2.1), kde bod (x0 , y0 ) a také niˇze popsaná konstrukce leˇz´ı v definiˇcn´ım oboru funkce f (x, y). Diferenciáln´ı rovnice (2.2) je urˇceno smˇerové pole. Proloˇzme bodem (x0 , y0 ) pˇr´ımku se smˇernic´ı k0 = f (x0 , y0 ). Pˇredpokládejme, ˇze jsou dány body x0 < x1 < x2 < · · · < xn , kde n ≥ 1. Pak na této pˇr´ımce existuje bod (x1 , y1 ), kter´ y je jej´ım pr˚ useˇc´ıkem s pˇr´ımkou o rovnici x = x1 . Bodem (x1 , y1 ) proloˇzme pˇr´ımku se smˇernic´ı k1 = f (x1 , y1 ) a podobnˇe definujme pr˚ useˇc´ık (x2 , y2 ). T´ımto pr˚ useˇc´ıkem opˇet proloˇzme pˇr´ımku se smˇernic´ı k2 = f (x2 , y2 ). Opakován´ım tohoto postupu dostáváme nakonec bod (xn , yn ). Lomená ˇcára spojuj´ıc´ı body (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) se naz´ yvá Eulerov´ ym polygonem. Je znázornˇena uv polygon za urˇcit´ ych podm´ı-nek (obecnˇe, napˇr´ıklad, pˇredpoklána obrázku 2.2. Euler˚ dáme, ˇze body x0 a xn nejsou ,,daleko“ od sebe) charakterizuje integráln´ı kˇrivku, procházej´ıc´ı bodem (x0 , y0 ), tj. je jak´ ymsi ,,pˇribliˇzn´ ym“ ˇreˇsen´ım u ´lohy (2.1).

Obrázek 2.2: Euler˚ uv polygon

ˇ ATE ´ CN ˇ Í ULOHA ´ ´ ˇ ADU ´ 2.3. POC PRO ROVNICI OBECNEHO R

2.3

19

Poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ loha pro rovnici n-t´ eho ˇ r´ adu

Situace s rovnicemi vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u je podobná jako v pˇr´ıpadˇe rovnice prvn´ıho ˇrádu. Jak jsme vidˇeli v Pˇr´ıkladu 3, rovnice druhého ˇrádu (1.15) mˇela dvouparametrickou mnoˇzinu ˇreˇsen´ı (1.14). K urˇcen´ı nˇekterého partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı je potˇreba dvou podm´ınek, aby bylo moˇzné tyto dva parametry urˇcit. Obecnˇe je pro vyˇclenˇen´ı nˇekterého partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı rovnice n-tého ˇrádu nutné urˇcit n parametr˚ u. K tomu je nezbytné m´ıt celkem n podm´ınek. Poˇcáteˇcn´ı u ´loha je pro rovnici (1.4) formulována podobnˇe jako u ´loha (2.1). Je nutné naj´ıt ˇreˇsen´ı rovnice y (n) = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) )

(2.4)

vyhovuj´ıc´ı n vztah˚ um (n−1)

y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0

,

(n−1)

kde x0 , y0 , y00 , . . . , y0 jsou daná ˇc´ısla, která naz´ yváme poˇcáteˇcn´ımi podm´ınka-mi. Pak m˚ uˇzeme poˇcáteˇcn´ı u ´lohu zapsat takto:  (n)  y = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ),       y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y00 , (2.5)    ...     (n−1) (n−1) y (x0 ) = y0 . Situace pro rovnici druhého ˇrádu je ilustrována na obrázku 2.3.

Obrázek 2.3: Poˇcáteˇcn´ı u ´loha pro rovnici druhého ˇrádu.

2.4

Existence ˇ reˇ sen´ı a existence jedin´ eho ˇ reˇ sen´ı

Po formulaci poˇcáteˇcn´ıch u ´loh pˇristupme k zodpovˇezen´ı otázky, maj´ıc´ı centráln´ı v´ yznam nejen teoretick´ y, ale i praktick´ y. Je nutné odpovˇedˇet na otázku zdali maj´ı


20

poˇcáteˇcn´ı u ´lohy opravdu nˇejaké ˇreˇsen´ı. Kladná odpovˇed uspokoj´ı nejen teoretického badatele, ale také praktického uˇzivatele, napˇr´ıklad odborn´ıka v nˇekteré inˇzen´ yrské discipl´ınˇe, kter´ y sestavil pomoc´ı diferenciáln´ıch rovnic matematick´ y model nˇekterého procesu a poˇcáteˇcn´ı podm´ınka m˚ uˇze m´ıt tˇreba v´ yznam moment zapoˇcet´ı procesu. Jistˇe by bylo velice nepˇr´ıjemné zjiˇstˇen´ı, ˇze takto formulovaná u ´loha nemá ˇzádné ˇreˇsen´ı. Pak by se pravdˇepodobnˇe jednalo o nehodnovˇern´ y popis jevu matematick´ ym modelem. Také by asi nebylo pˇr´ıjemné zjiˇstˇen´ı, ˇze ˇreˇsen´ım modelu jsou dvˇe r˚ uzné funkce. Vˇetˇsinou v inˇzen´ yrsk´ ych vˇedách oˇcekáváme, ˇze dan´ y jev má pouze jedno vysvˇetlen´ı (tedy v matematické ˇreˇci - ˇreˇsen´ı). Jiˇz pˇredem sdˇel´ıme radostnou zprávu, kterou pak od˚ uvodn´ıme matematicky - totiˇz, ˇze za relativnˇe velice slab´ ych pˇredpoklad˚ u ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´loh existuje a za nepatrnˇe silnˇejˇs´ıch pˇredpoklad˚ u je dokonce jediné. Zrekapitulujme si jeˇstˇe, na jaké otázky chceme dát odpovˇed’: a) Existuje ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy? b) Jestliˇze ˇreˇsen´ı existuje, je jediné? Nyn´ı pˇristupme k jejich zodpovˇezen´ı.

2.5

Existence a jednoznaˇ cnost ˇ reˇ sen´ı u ´ lohy (2.1)

Pˇredpokládejme, ˇze a a b jsou daná kladná ˇc´ısla. Definujme uzavˇrenou oblast D s vnitˇrn´ım bodem (x0 , y0 ): D := {(x, y) ∈ R × R, |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}.

(2.6)

Peanova existenˇ cn´ı vˇ eta Následuj´ıc´ı vˇeta se naz´ yvá Peanovou vˇetou a uvád´ı podm´ınky existence alespoˇ n jednoho ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1). Jej´ım hlavn´ım poˇzadavkem je, aby pravá strana rovnice (2.2) byla na oblasti D spojitou funkc´ı argument˚ u x a y (p´ıˇseme f ∈ C(D)). Z matematick´ ych pˇredmˇet˚ u v´ıme, ˇze pak existuje konstanta M taková, ˇze pro kaˇzdé (x, y) ∈ D plat´ı: |f (x, y)| ≤ M. M˚ uˇzeme, napˇr´ıklad, poloˇzit ˇc´ıslo M maximáln´ı hodnotˇe funkce f (x, y), dosaˇzené na oblasti D, (tj. absolutn´ımu maximu): M := max |f (x, y)|. D

Vˇ eta 1 (Peanova) Pˇredpokládejme, ˇze prav´ a strana rovnice (2.2) je spojit´ a na oblasti D vzhledem k obˇema argument˚ um x a y. Pak m´ a poˇc´ ateˇcn´ı u ´loha (2.1) ˇreˇsen´ı y = y(x), které je definováno na intervalu |x − x0 | ≤ h, kde b h := min a, . (2.7) M

ˇ ˇ SEN ˇ Í POC ˇ ATE ´ CN ˇ Í ULOHY ´ 2.5. EXISTENCE A JEDNOZNACNOST RE

21

Graf tohoto ˇreˇsen´ı leˇz´ı na uvedeném intervalu v oblasti D, tj., |y(x) − y0 | ≤ b,

jestliˇze

|x − x0 | ≤ h.

Prostudujte si nákres 2.4 D˚ ukaz této vˇety nebudeme provádˇet. Jenom podtrhnˇeme, ˇze pˇri jeho proveden´ı je

Obrázek 2.4: Peanova existenˇcn´ı vˇeta. vyuˇzita myˇslenka konstrukce Eulerov´ ych polygon˚ u: Pokud poˇcet n bod˚ u x0 , x1 , x2 , . . . , xn , kde je poloˇzeno xn := h, které byly pˇri konstrukci polygonu, roste do nekoneˇcna, plat´ı x0 < x1 < x2 < · · · < xn a vzdálenosti mezi jednotliv´ ymi body konverguj´ı k nule, dostáváme posloupnost polygon˚ u, která konverguje k ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1).

Pˇ r´ıklad 7. Z pohledu Peanovy vˇety proved’te diskusi poˇcáteˇcn´ı u ´lohy p ( 0 y = x · |y|, (2.8) y(0) = 0. ˇ sen´ı. Uvaˇzovaná rovnice byla diskutována v Pˇr´ıkladu 4 na stranˇe 11. Jej´ı Reˇ p pravá strana, tj. funkce f (x, y) := x · |y| je spojitá na okol´ı bodu (0, 0). Proto dle Peanovy vˇety existuje alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.8). Jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı nen´ı vˇetou garantována. Jak bylo ukázáno v Pˇr´ıkladu 4, poˇcáteˇcn´ı u ´loha (2.8) má nejménˇe dvˇe ˇreˇsen´ı, totiˇz triviáln´ı ˇreˇsen´ı y = 0 a ˇreˇsen´ı 4 y = x /16.


22

´ Ukol pro vás: Z pohledu Peanovy vˇety proved’te diskusi poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (

y 0 − y = f (x), (2.9) y(1) = 1,

kde   x − 1 pro x 6= 1, ln x f (x) =  1 pro x = 1.

Numerick´ eˇ reˇ sen´ı poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy Jednoduchá myˇslenka, obsaˇzená v konstrukci Eulerov´ ych polygon˚ u je, jak bylo uvedeno v´ yˇse, pouˇzita k d˚ ukazu Peanovy vˇety. Pro matematiku je typické, ˇze se za mnoh´ ymi d˚ uleˇzit´ ymi matematick´ ymi v´ ysledky skr´ yvaj´ı velmi prosté u ´vahy a myˇslenky. Jednou ze základn´ıch numerick´ ych metod ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1) je takzvaná Eulerova metoda. Uvedeme nyn´ı jej´ı algoritmus, kter´ y nen´ı niˇc´ım jin´ ym neˇz konstrukc´ı nˇekterého Eulerova polygonu. Na základˇe uvedené myˇslenky d˚ ukazu Peanovy vˇety mus´ı tato metoda konvergovat k nˇekterému ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy. (Pokud bude zajiˇstˇeno, ˇze ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy je jediné, pak bude metoda samozˇrejmˇe konvergovat k tomuto ˇreˇsen´ı.) Je-li dána koneˇcná mnoˇzina bod˚ u x 0 , x1 , . . . , x n xi = x0 + i · h, i = 1, 2, . . . , n, kde tzv. krok h je dané (dostateˇcnˇe malé) kladné ˇc´ıslo a index n je pˇredepsán, pak je algoritmus Eulerovy metody, vedouc´ı ke konstrukci Eulerova polygonu, spojuj´ıc´ıho body (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), urˇcen vzorcem yi+1 = yi + hf (xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1. Snadno lze odvodit vzorec pro pˇresnost této metody a r˚ uzné vylepˇsuj´ıc´ı varianty uvedeného algoritmu. Opust’me vˇsak tuto problematiku a pˇrenechme ji numerick´ ym matematik˚ um.

Lipschitzova podm´ınka Pˇredpokladem, kter´ y zaruˇc´ı jednoznaˇcnost v Peanovˇe vˇetˇe je, napˇr´ıklad, tzv. Lipschitzova podm´ınka.


23

Definice 10 (Lipschitzova podm´ınka) Funkce f (x, y) vyhovuje na oblasti D Lipschitzovˇe podm´ınce vzhledem k promˇenné y, jestliˇze existuje konstanta L (tzv. Lipschitzova konstanta) taková, ˇze pro libovolné dva body (x, y ∗ ) ∈ D, (x, y ∗∗ ) ∈ D

(2.10)

|f (t, y ∗ ) − f (t, y ∗∗ )| ≤ L · |y ∗ − y ∗∗ |.

(2.11)

plat´ı

Provˇerka toho, ˇze daná funkce vyhovuje v nˇekteré oblasti Lipschitzovˇe podm´ınce neb´ yvá jednoduchá. Lze ji vˇsak nahradit jinou podm´ınkou, kterou lze snadno ovˇeˇrit.

Lemma 1. Pˇredpokládejme, ˇze f ∈ C(D). Jestliˇze v oblasti D existuje spojit´ a 0 parci´ aln´ı derivace fy (x, y), pak zde funkce f vyhovuje Lipschitzovˇe podm´ınce a m˚ uˇzeme poloˇzit L := max |fy0 (t, y)|. (x,y)∈D

D˚ ukaz. Nebudeme ho provádˇet, uved’me jen hlavn´ı myˇslenky. Existence uvedeného maxima vypl´ yvá ze spojitosti parciáln´ı derivace v oblasti D. Pro kaˇzdé dva body ∗ (t, y ) ∈ D, (t, y ∗∗ ) ∈ D (na základe Lagrangeovy vˇety - pˇripomeˇ nte si jej´ı znˇen´ı a ovˇeˇrte, ˇze následuj´ıc´ı vztah ve kterém x bereme jako konstantu plat´ı) máme f (x, y ∗ ) − f (x, y ∗∗ ) = fy0 (x, θ)(y ∗ − y ∗∗ ), kde θ je nˇekter´ y bod, leˇz´ıc´ı mezi body y ∗ a y ∗∗ . Pak pro absolutn´ı hodnoty plat´ı |f (x, y ∗ ) − f (x, y ∗∗ )| = |fy0 (x, y˜)| · |y ∗ − y ∗∗ | ≤ L · |y ∗ − y ∗∗ |, tj., Lipschitzova podm´ınka je splnˇena.

Picardova vˇ eta o jednoznaˇ cnosti Následuj´ıc´ı vˇetu naz´ yváme Picardovou. Tato vˇeta uvád´ı podm´ınky existence právˇe jednoho ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1). Vˇ eta 2 (Picardova) Pˇredpokládejme, ˇze prav´ a strana rovnice (2.2) je spojit´ a na oblasti D vzhledem k obˇema argument˚ um x a y a vyhovuje zde Lipschitzovˇe podm´ınce (2.11). Pak má poˇcáteˇcn´ı u ´loha (2.1) pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı y = y(x), které je definov´ ano na intervalu |x − x0 | ≤ h. Graf tohoto ˇreˇsen´ı leˇz´ı na uvedeném intervalu v oblasti D.

24


Picardovy postupn´ e aproximace D˚ ukaz Picardovy vˇety nebudeme provádˇet. Uvedeme jenom myˇslenku d˚ ukazu, kter´ y je v tomto pˇr´ıpadˇe zaloˇzen na konstrukci nekoneˇcné posloupnosti funkc´ı y0 (x), y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x),

(2.12)

konverguj´ıc´ı (tzv. stejnomˇernˇe) ke hledanému ˇreˇsen´ı. O této posloupnosti se zmiˇ nujeme proto, ˇze s jej´ı pomoc´ı m˚ uˇzeme v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech naj´ıc pˇribliˇzné ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1). Ukáˇzeme, jak se tato posloupnost vytváˇr´ı. Pˇredpokládejme, ˇze hledané ˇreˇsen´ı y = y(x) poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1) je jiˇz na intervalu |x − x0 | ≤ h nalezeno. Jeho dosazen´ı do rovnice (2.2) vede na intervalu |x − x0 | ≤ h k identitˇe y 0 (x) ≡ f (x, y(x)).

(2.13)

Proved’me jej´ı integrace v mez´ıch x0 a x (pˇritom bereme do u ´vahy, ˇze y(x0 ) = y0 ): Z x y(x) ≡ y0 + f (s, y(s))ds. (2.14) x0

Tato identita je motivac´ı pro sestaven´ı tzv. integráln´ı rovnice Z x y = y0 + f (s, y)ds

(2.15)

x0

ychoz´ı a pro jej´ı vyuˇzit´ı ke konstrukci posloupnosti postupn´ ych aproximac´ı (2.12). V´ (nebo nulovou) aproximaci y0 (x) definujeme takto: y0 (x) := y0 . Prvn´ı aproximaci y1 (x) definujeme jako hodnotu pravé strany v´ yrazu nacházej´ıc´ıho se v rovnici (2.15), ve kterém m´ısto y dosad´ıme nulovou aproximaci y0 (x), tj. Z x y1 (x) := y0 + f (s, y0 (s))ds. (2.16) x0

Podobnˇe definujeme druhou aproximaci y2 (x) pˇredpisem Z x y2 (x) := y0 + f (s, y1 (s))ds. x0

Obecnˇe definujeme n-tou Picardovu postupnou aproximaci yn (x) pro n = 1, 2, . . . pˇredpisem Z x yn (x) := y0 + f (s, yn−1 (s))ds. (2.17) x0


25

Pˇ r´ıklad 8. Naleznˇete Picardovy aproximace y0 (x), y1 (x), y2 (x), y3 (x) a y4 (x) odpov´ıdaj´ıc´ı poˇcáteˇcn´ı u ´loze ( 0 y =y−2 (2.18) y(0) = 3. ˇ sen´ı. Reˇ V souladu se zaveden´ ym znaˇcen´ım poloˇz´ıme x0 = 0, y0 = 3, f (x, y) = y − 2 a f (s, yn−1 (s)) = yn−1 (s) − 2, kde n = 1, 2, . . . . Potom pro v´ ychoz´ı aproximaci máme y0 (x) := y0 = 3, pro prvn´ı aproximaci (podle (2.16)) dostáváme Z x Z x y1 (x) := y0 + (3 − 2)ds = 3 + x. f (s, y0 (s))ds = 3 + x0

0

Druhá aproximace je Z

x

y2 (x) := y0 +

Z f (s, y1 (s))ds = 3 +

x0

(1 + s)ds = 3 + x + 0

Pro tˇret´ı aproximace dostáváme Z x Z y3 (x) := y0 + f (s, y2 (s))ds = 3 + x0

x

x

0

s2 1+s+ 2

x2 . 2

ds = 3 + x +

x2 x3 + 2 3!

a pro ˇctvrtou Z

x

y4 (x) := y0 + x0

x

s2 s3 + f (s, y3 (s))ds = 3 + 1+s+ 2 3! 0 2 3 4 x x x + + . = 3+x+ 2 3! 4! Z

ds

T´ım jsme nalezli poˇzadované aproximace.

Pokraˇcujme v provádˇen´ ych u ´vahách jeˇstˇe dále. Vˇetˇsinou je pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet Picardov´ ych aproximac´ı nerealizovateln´ y z toho d˚ uvodu, ˇze integály, kter´ ymi jsou aproximace definované jsou pˇr´ıliˇs komplikované. Právˇe ˇreˇsen´ y pˇr´ıklad vˇsak do této kategorie nepatˇr´ı a m˚ uˇzeme ve v´ ypoˇctech pokraˇcovat dále. Podobn´ ym postupem bychom se pˇresvˇedˇcili, ˇze pro n-tou Picardovu aproximaci plat´ı: Z

x

yn (x) := y0 + x0

n

X xi x2 x3 xn f (s, yn−1 (s))ds = 3 + x + + + ··· + =2+ . 2 3! n! i! i=0


26 Nav´ıc m˚ uˇzeme naj´ıt

y(x) = lim yn (x) = 2 + n→∞

∞ X xi i=0

i!

= 2 + ex .

Pro nás v´ ysledná funkce nebude ˇzádn´ ym pˇrevapen´ım. Snadno m˚ uˇzeme ovˇeˇrit, ˇze x ˇreˇsen´ım poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.18) je opravdu funkce y = 2 + e . Grafy funkc´ı funkc´ı y(x) a yi (x) pro i = 0, 1, 2, 3 jsou pro vzájemné srovnán´ı znázornˇeny na obrázku 2.5

Obrázek 2.5: Picardovy postupné aproximace pro u ´lohu y 0 = y − 2, y(0) = 3.

Pˇ r´ıklad 9. Vrat’te se k poˇcáteˇcn´ı u ´loze (2.8), tj., k u ´loze (

y0 = x ·

p |y|,

y(0) = 0.

Jsou splnˇeny podm´ınky Picardovy vˇety 2 v okol´ı bodu (0, 0)?

ˇ ˇ SEN ˇ Í ULOHY ´ 2.6. EXISTENCE A JEDNOZNACNOST RE (??)

27

ˇ sen´ı. Vzhledem k závˇer˚ Reˇ um Pˇr´ıkladu 7 nemohou b´ yt splnˇeny v okol´ı bodu 2. Protoˇze existuj´ı alespoˇ n dvˇe ˇreˇsen´ı, nem˚ uˇze (0, 0) podm´ınky Picardovy vˇety p platit pro funkci f (x, y) := x · |y| Lipschitzova podm´ınka. Nebudeme tento fakt dokazovat, ukáˇzeme pouze, ˇze parciáln´ı derivace fy0 (x, y) nen´ı v ˇzádném okol´ı bodu (0, 0) spojitá. Mus´ıme si uvˇedomit, ˇze z tohoto závˇeru nevypl´ yvá tvrzen´ı ˇze Lipschitzova podm´ınka neplat´ı, ale je to jiˇz velmi váˇzné upozornˇen´ı, ˇze tomu tak m˚ uˇze b´ yt. Pro prokázán´ı faktu neohraniˇcenosti uvedené parciáln´ı derivace se omez´ıme jenom na ty body kaˇzdého okol´ı poˇcátku souˇradnic, kde x > 0 a y > 0, tj. na ˇcást prvn´ıho kvadrantu. Potom f (x, y) = x ·

√

y

a fy0 (x, y) = x ·

1 √ . 2· y

Nyn´ı je neohraniˇcenost defivace zˇrejmá, protoˇze lim+ fy0 (x, y) = x lim+ ·

y→0

2.6

y→0

1 √ = +∞. 2· y

Existence a jednoznaˇ cnost ˇ reˇ sen´ı u ´ lohy (2.5)

Uvedeme nyn´ı (bez rozˇclenˇen´ı na jednotlivé ˇcásti) vˇetu o existenci a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.5). Definujme uzavˇrenou oblast

D := {(x, y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ R × Rn , (n−1)

|x − x0 | ≤ a, |y1 − y0 | ≤ b, |y2 − y00 | ≤ b, . . . , |yn − y0

(n−1)

s vnitˇrn´ım bodem (x0 , y0 , y00 , . . . , y0

| ≤ b},

), kde a a b jsou daná kladná ˇc´ısla.

Budeme pˇredpokládat, ˇze pravá strana rovnice (2.4) je definovaná a spojitá na D. Pak existuje konstanta M taková, ˇze pro kaˇzdé (x, y) ∈ D plat´ı:

|f (x, y1 , y2 , . . . , yn )| ≤ M.

Uved’me jeˇstˇe formulaci Lipschitzovy podm´ınky pro tento pˇr´ıpad.


28

Definice 11 (Lipschitzova podm´ınka) Funkce f (x, y1 , y2 , . . . , yn ) : D → R, vyhovuje na oblasti D Lipschitzovˇe podm´ınce vzhledem k argument˚ um y1 , y2 , . . . , yn , jestliˇze pro libovolné dva body (x, y1∗ , y2∗ , . . . , yn∗ ) ∈ D, (x, y1∗∗ , y2∗∗ , . . . , yn∗∗ ) ∈ D

(2.19)

existuje konstanta L (tzv. Lipschitzova konstanta) tak, ˇze plat´ı |f (x, y1∗ , y2∗ , . . . , yn∗ ) − f (t, y1∗∗ , y2∗∗ , . . . , yn∗∗ )| ≤ L

n X

|yl∗ − yl∗∗ |.

l=1

(2.20)

Vˇ eta 3 (Picardova) Pˇredpokládejme, ˇze prav´ a strana rovnice (2.4) je spojit´ a na oblasti D vzhledem ke vˇsem svým argument˚ um a vyhovuje zde Lipschitzovˇe podm´ınce (2.20). Pak má poˇcáteˇcn´ı u ´loha (2.5) jediné ˇreˇsen´ı y = y(x), které je definov´ ano na intervalu |x − x0 | ≤ h, kde b h := min a, (2.21) c a pro ˇc´ıslo plat´ı c=

max (y2 ,y3 ,...,yn )∈D

{M, |y2 |, |y3 |, . . . , |yn |}.

(2.22)

Podobnˇe jako u systém˚ u diferenciáln´ıch rovnic lze Lipschitzovu podm´ınku nahradit silnˇejˇs´ım poˇzadavkem ohraniˇcenosti parciáln´ıch derivac´ı funkce f : Lemma 2. Má-li spojitá funkce f (x, y1 , y2 , . . . , yn ) : D → R ohraniˇcené parci´ aln´ı derivace na oblasti D vzhledem k promˇenným y1 , y2 , . . . , yn , tj., existuje-li konstanta K takov´ a, ˇze pro libovolný bod (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ D a libovolný index i ∈ {1, 2, . . . , n} plat´ı ∂f (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ≤ K, (2.23) ∂yi pak funkce f (x, y1 , y2 , . . . , yn ) vyhovuje na oblasti D Lipschitzovˇe podm´ınce (11) s Lipschitzovou konstantou L := K.

2.7

Lok´ aln´ı charakter existenˇ cn´ıch vˇ et

V pˇredcházej´ıc´ım textu jsme uvedli nˇekolik vˇet o existenci a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´loh. Byla to Peanova vˇeta 1 o existenci poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1), Picardova vˇeta 2 o jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.1) a Picardova vˇeta 3,

´ Í CHARAKTER EXISTENCN ˇ ÍCH VET ˇ 2.7. LOKALN

29

která rozˇsiˇrovala platnost dvou pˇredchoz´ıch vˇet na rovnici n-tého ˇrádu (2.4). V této vˇetˇe jsme jiˇz nerozliˇsovali oddˇelenˇe podm´ınky zaruˇcuj´ıc´ı existenci ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.5) a jednoznaˇcnost tohoto ˇreˇsen´ı. Spoleˇcn´ ym rysem vˇsech tˇechto vˇet byl jejich lokáln´ı charakter (resp. jejich tzv. lokáln´ı existence). T´ım máme na mysli to, ˇze nás uvedené vˇety informovaly o existenci ˇreˇsen´ı y = y(x) a o jeho jednoznaˇcnosti pouze na nˇekterém okol´ı bodu x = x0 . Toto okol´ı bylo vymezeno pomoc´ı nerovnost´ı typu |x−x0 | ≤ h, kde ˇc´ıslo h bylo definováno vztahy (2.7) nebo (2.21) jako minimáln´ı ze dvou dan´ ych ˇc´ısel. Rozborem tˇechto vztah˚ u vid´ıme, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı jsou v uveden´ ych oblastech D hodnoty funkce f , t´ım je menˇs´ı ˇc´ıslo h. Prakticky tedy vˇetˇsinou nejsme schopni pouˇzit´ım tˇechto nerovnost´ı vymezit dostateˇcnˇe velk´ y interval existence, protoˇze hodnota ˇc´ısla M v pˇr´ıpadˇe, ˇze bychom zvˇetˇsovali oblast D bude vˇetˇsinou nar˚ ustat a ˇc´ıslo h se bude zmenˇsovat. Pouˇz´ıt tyto vˇety pro zjiˇstˇen´ı na jakém (co nejvˇetˇs´ım) intervalu bude ˇreˇsen´ı y = y(x) existovat tedy obecnˇe nelze. Uvedenou diskus´ı jsme se dostali do problematiky takzvané prodlouˇzitelnosti ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic. Nebudeme provádˇet hluboké teoretické u ´vahy. Uved’me jen jeden závˇer, kter´ y ˇr´ıká, ˇze pokud jsou v kaˇzdém jakkoliv velkém okol´ı poˇcáteˇcn´ıho bodu splnˇeny podm´ınky uveden´ ych vˇet, pak pro pˇr´ısluˇsné ˇreˇsen´ı y = y(x) plat´ı tato alternativa: Bud’ existuje hodnota x = x∗ > x0 taková, ˇze limx→x∗ −0 |y(x)| = ∞ anebo je ˇreˇsen´ı prodlouˇzitelné pro vˇsechny hodnoty x > x0 . Podobnˇe m˚ uˇzeme rozebrat situaci vlevo od bodu x0 . Jiná je situace ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy jsou uvaˇzované rovnice lineárn´ı. Pak je kaˇzdé ˇreˇsen´ı prodlouˇzitelné na cel´ y interval I. O tom se ale jeˇstˇe vˇcas na pˇr´ısluˇsném m´ıstˇe zm´ın´ıme. Pˇ r´ıklad 10. Ilustrujme moˇznost prvn´ıho pˇr´ıpadu uvedené alternativy na poˇcáteˇcn´ı u ´loze ( 0 y = 1 + y2, (2.24) y(0) = 0. V tomto pˇr´ıkladu je funkce f (x, y) = 1 + y 2 . Tato funkce je spojitá nejenom na nˇekterém uzavˇreném okol´ı D bodu (0, 0), ale v celé rovinˇe xOy. Parciáln´ı derivace fy0 (x, y) funkce f (x, y), tj. funkce fy0 (x, y) = 2y je na kaˇzdém uzavˇreném okol´ı D bodu (0, 0) ohraniˇcená (samostatnˇe zd˚ uvodnˇete proˇc). Plat´ı tedy Picardova vˇeta 2. Nelze vˇsak uˇcinit závˇer, ˇze ˇreˇsen´ı y = y(x) poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (2.24) bude definované na celé reálné ose. Skuteˇcnˇe, je snadné provˇeˇrit, ˇze poˇcáteˇcn´ı u ´loze (2.24) vyhovuje funkce y = tg x (proved’te provˇeˇren´ı samostatnˇe). Toto ˇreˇsen´ı je vzhledem k definiˇcn´ımu oboru funkce tg x a vzhledem k tomu, ˇze jako ˇreˇsen´ı uvaˇzujeme pouze ta ˇreˇsen´ı, která jsou spojitá (viz Definici 5 na stranˇe 6), definováno pouze na intervalu −π/2 < x < π/2 . Proto lim y(x) = lim tg x = +∞ x → (π/2) − 0 x → (π/2) − 0 a prvn´ı pˇr´ıpad uvedené alternativy plat´ı.

30


Kapitola 3 Diferenci´ aln´ı rovnice prvn´ıho ˇ r´ adu - separovan´ a, line´ arn´ı, exaktn´ı D´ılˇc´ı c´ıl: Zámˇerem této kapitoly je, abyste po jej´ım prostudován´ı: • rozpoznali nˇekteré typy diferenciáln´ıch rovnic - jde o rovnice, které sa naz´ yvaj´ı separované, lineárn´ı a exaktn´ı; • umˇeli tyto základn´ı typy diferenciáln´ıch rovnic ˇreˇsit.

Pan Hodn´ y, váˇs hodn´ y pr˚ uvodce studiem:

Rovnic, které um´ıme ˇreˇsit, je v´ıce neˇz zde uvedené tˇri nejjednoduˇsˇs´ı typy. Pokud si budete cht´ıt znalosti o ˇreˇsen´ı rovnic prohloubit, m˚ uˇzete pouˇz´ıt dalˇs´ı uˇcebnice nebo skripta o obyˇcejných diferenci´ aln´ıch rovnic´ıch.

Pan Pˇr´ısn´ y, váˇs pˇr´ısn´ y pr˚ uvodce studiem: Pˇri ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic budete ˇcasto pouˇz´ıvat, napˇr´ıklad, metodu integrace po ˇc´ astech, rozklad pod´ılu dvou mnohoˇclen˚ u na souˇcet parciáln´ıch zlomk˚ u nebo tˇreba substituˇcn´ı metodu integrace. Vˇenujte nˇekolik minut vaˇseho ˇcasu a zopakujte si tyto integraˇcn´ı techniky.

´ Ukol pro vás: Spoˇctˇete dané integrály: Z

dx , ax + b

Z xe

ax

Z dx,

x

Z

e sin x dx,

x

t2

te dt, 0

31

Z

Z ln x dx,

x+1 dx, x3 − x2

Z cotg x dx.

32

3.1

´ Í ROVNICE PRVNÍHO R ˇ ADU ´ KAPITOLA 3. DIFERENCIALN

Separovan´ a rovnice

Jak vypad´ a rovnice se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi? Rovnice se separovan´ ymi argumenty má tvar y 0 = g(x)h(y),

(3.1)

kde pro zjednoduˇsen´ı v´ ykladu v tuto chv´ıli pˇredpokládáme, ˇze funkce g a h jsou spojité na intervalu R. Charakteristickou vlastnost´ı rovnice (3.1) je to, ˇze jej´ı pravá strana je souˇcinem dvou funkc´ı. Prvn´ı funkce g(x) závis´ı pouze na promˇenné x, druhá funkce h(y) je funkc´ı pouze promˇenné y. Tvar (3.1) m˚ uˇze nˇekdy vzniknout aˇz po u ´pravˇe nˇekteré zadané rovnice. Proto pˇri podezˇren´ı, ˇze daná rovnice m˚ uˇze b´ yt rovnic´ı se separovan´ ymi promˇenn´ ymi, provˇeˇrujeme, zdali nemá tvar (3.1) nebo nen´ı-li s tvarem (3.1) ekvivalentn´ı. M´ısto term´ınu separovaná rovnice se uˇz´ıvá také název rovnice s rozdˇelen´ ymi promˇenn´ ymi. u dy a dx. Potom Rozepiˇsme derivaci v levé stranˇe rovnice (3.1) na pod´ıl diferenciál˚ dostáváme dy = g(x)h(y). dx Za pˇredpokladu h(y) 6= 0 odsud dostáváme dy = g(x)dx. h(y)

(3.2)

V ˇradˇe uˇcebnic se právˇe tato rovnice naz´ yvá rovnic´ı se separovan´ ymi promˇenn´ ymi. Pro naˇsi v´ ychoz´ı rovnici (3.1) je pak uˇz´ıván název rovnice se separovateln´ ymi (rozdˇeliteln´ ymi) promˇenn´ ymi. V posledn´ı rovnici jsou promˇenné y a x rozdˇeleny u ´plnˇe. Vid´ıme, ˇze v´ ychoz´ı tvar v jakém je rovnice zadána je velmi flexibiln´ı.

Jak ˇ reˇ s´ıme rovnici se separovan´ ymi promˇ enn´ ymi? Pˇri ˇreˇsen´ı rovnice (3.1) vyjdeme ze tvaru (3.2). Integrac´ı dostáváme Z Z dy = g(x)dx. h(y) Oznaˇcme primitivn´ı funkce k funkc´ım 1/h(y) a g(x) jako H(y) a G(x). Pak pro ˇreˇsen´ı rovnice (3.1) máme H(y) = G(t) + C,

(3.3)

kde konstanta C je libovolná. Vztahem 3.3 je urˇcena mnoˇzina ˇreˇsen´ı rovnice (3.1). Pokud tento vztah urˇcuje vˇsechna jej´ı ˇreˇsen´ı, dává vztah (3.3) obecné ˇreˇsen´ı. M˚ uˇze se ovˇsem stát, ˇze rovnice h(y) = 0

(3.4)

´ ROVNICE 3.1. SEPAROVANA

33

má singulárn´ı ˇreˇsen´ı y = y0 , které (jak lze snadno ovˇeˇrit) je také ˇreˇsen´ım rovnice (3.1) a nen´ı pˇritom obsaˇzeno ve vztahu (3.3). Mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı je pak tvoˇrena vztahem (3.3) a vˇsemi singulárn´ımi ˇreˇsenámi, tj. vˇsemi koˇreny rovnice (3.4), které v ˇ ym nˇem nejsou zahrnuty. Casto se povede u ´pravou vztahu (3.3) a pˇr´ıpadnˇe vhodn´ pˇreznaˇcen´ım libovolné konstanty zapsat tento vztah v takovém tvaru, ˇze vˇsechna ˇreˇsen´ı obsahuje, tj., obecné ˇreˇsen´ı pak tvoˇr´ı mnoˇzinu vˇsech ˇreˇsen´ı.

Je uveden´ y postup ˇ reˇ sen´ı korektn´ı? Je moˇzné zapochybovat o tom, ˇze pˇredchoz´ı postup je matematicky správn´ y. Proˇc jsme, napˇr´ıklad, integrovali levou stranu vztahu (3.2) podle promˇenné y a pravou stranu podle promˇenné x? Plat´ı také vlastnost, ˇze kaˇzd´ ym bodem (x0 , y0 ), pokud h(y) 6= 0 pro libovolné y, procház´ı právˇe jedno ˇreˇsen´ı? Následuj´ıc´ı u ´vaha tyto pochybnosti rozpt´ yl´ı. Budeme totiˇz pˇredpokládat, ˇze známe ˇreˇsen´ı y = ω(x) rovnice (3.1), definované na nˇekterém okol´ı bodu x0 takové, ˇze ω(x0 ) = y0 , zrekapitulujeme postup ˇreˇsen´ı a ovˇeˇr´ıme správnost v´ ysledku. Podle naˇseho pˇredpokladu plat´ı identita dω(x) ≡ g(x)h(ω(x)), dx kterou lze pˇrepsat d´ıky podm´ınce h(y) 6= 0 ve tvaru dω(x) ≡ g(x)dx . h(ω(x)) Integrujme tuto identitu v mez´ıch x0 a x. Dostáváme Z x Z x dω(x) ≡ g(q)dq . x0 h(ω(z)) x0 a po substituci s = ω(z) Z

ω(x)

ω(x0 )

ds ≡ h(s)

Z

x

g(q)dq . x0

Jsou-li H(y) a G(x) primitivn´ı funkce, pak lze posledn´ı vztah pˇrepsat jako H(ω(x)) − H(y0 ) ≡ G(x) − G(x0 ).

(3.5)

Primitivn´ı funkce H(y) je ostˇre monotnn´ı, protoˇze H 0 (y) = 1/h(y) 6= 0. Proto existuje inverzn´ı funkce H −1 k funkci H a existuje z posledn´ı rovnice dostáváme: ω(x) ≡ H −1 [H(y0 ) + G(x) − G(x0 )] .

(3.6)

Posledn´ı vztah souˇcasnˇe ukazuje na to, ˇze pokud bodem (x0 , y0 ) procház´ı ˇreˇsen´ı rovnice (3.1), pak mus´ı vyhovovat identitˇe (3.6). Odtud vypl´ yvá jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı ’ rovnice (3.1) procházej´ıc´ıho dan´ ym bodem, nebot vzhledem k monotonii funkce H(y) je identita (3.6) jednoznaˇcná.

34


Na závˇer ukaˇzme, ˇze identita (3.6) definuje (na nˇekterém okol´ı bodu x = x0 ) funkci ω(x), která je ˇreˇsen´ım rovnice (3.1), vyhovuj´ıc´ım podm´ınce ω(x0 ) = y0 . Derivován´ım ekvivalentn´ıho vztahu (3.5) podle promˇenné x dostáváme H 0 (ω(x))ω 0 (x) ≡ G0 (x), tj.,

ω 0 (x) ≡ g 0 (x). h(ω(x))

To znamená, ˇze funkce ω(x) je ˇreˇsen´ım rovnice (3.1).

Pˇ r´ıklady Pˇ r´ıklad 11. Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice (1 + x) dy − 2y dx = 0.

(3.7)

ˇ sen´ı. Pˇreved’me rovnici (3.7) na tvar s u ´plnˇe rozdˇelen´ ymi promˇenn´ ymi. Dˇelen´ım Reˇ v´ yrazem (1 + x)y (za pˇredpokladu, ˇze nen´ı nulov´ y) dostáváme 2dx dy = , y 1+x odkud

Z

dy = y

Z

2dx . 1+x

Po integraci dostaneme ln |y| = 2 ln |1 + x| + C1 , kde C1 je libovolná konstanta. Pˇri integrován´ı nebylo nutné pouˇz´ıt dvˇe libovolné konstanty (jako konstanty vzniklé integrac´ı dvou v´ yraz˚ u), nebot’ souˇcet ˇci rozd´ıl dvou libovoln´ ych konstant je opˇet libovolnou konstantou. Z posledn´ıho v´ yrazu (po odlogaritmován´ı) 2 |y| = eln(1+x) +C1 nebo y = ±(1 + x)2 eC1 . Dva v´ yrazy: ±eC1 , kde C1 je libovolná konstanta sjednot´ıme do jednoho jako libovolnou konstantu C, která nab´ yvá vˇsech hodnot kromˇe hodnoty C = 0 (zd˚ uvodnˇete proˇc). Potom y = C(1 + x)2 .

(3.8)

Zjist´ıme nyn´ı zdali jsme pˇri dˇelen´ı v´ yrazem (1 + x)y nˇekterá ˇreˇsen´ı neztratili. Nuly tohoto v´ yrazu, tj. hodnoty x = 1 a y = 0 jsou ˇreˇsen´ımi rovnice (3.7). Ani jedno z nich vˇsak vzorec (3.8) neobsahuje. Druhou hodnotu m˚ uˇzeme do vzorce (3.8) zahrnout,

´ ROVNICE 3.1. SEPAROVANA

35

rozˇs´ıˇr´ıme-li mnoˇzinu hodnot libovolné konstanty C i o hodnotu C = 0. Mnoˇzinou vˇsech ˇreˇsen´ı rovnice (3.7) jsou funkce y = C(1 + x)2 , C ∈ R ∧ x = 1.

Pˇ r´ıklad 12. Najdˇete vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice xe−y sin x dx − 2y dy = 0.

(3.9)

ˇ sen´ı. Po vynásoben´ı rovnice v´ Reˇ yrazem ey dostáváme x sin x dx = 2yey dy a

Z

Z x sin x dx = 2

yey dy.

Integrace po ˇcástech vede k implicitn´ımu vztahu − x cos x + sin x = 2yey − 2ey + C,

(3.10)

kde C je libovolná konstanta. Vˇsechna ˇreˇsen´ı rovnice (3.9) jsou dána implicitn´ım vzorcem (3.10). Pˇ r´ıklad 13. Najdˇete ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy ( 0 y = 2xy 2 (3.11) y(0) = 1. ˇ sen´ı. Rozdˇelme v rovnici Reˇ y 0 = 2xy 2 promˇenné. Dˇelen´ım na y 2 (za pˇredpokladu, ˇze y 6= 0) dostáváme dy = 2xdx, y2 odkud

Z

dy =2 y2

Z xdx .

Po integraci dostaneme 1 − = x2 + C, y kde C je libovolná konstanta. Z posledn´ıho v´ yrazu z´ıskáváme y=−

x2

1 . +C

(3.12)


36

Nyn´ı najdeme ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (3.11). Ze vztahu (3.12), po dosazen´ı poˇcáteˇcn´ı podm´ınky y(0) = 1 dostáváme C = −1. Proto je funkce y=−

x2

1 1 = −1 1 − x2

ˇreˇsen´ım poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (3.11).

´ Ukol pro vás: Urˇcete samostatnˇe definiˇcn´ı obor, na kterém je ˇreˇsen´ı urˇceno. Je t´ımto oborem mnoˇzina vˇsech ˇc´ısel R? Je váˇs závˇer v souladu s Picardovou vˇetou 2?

Cviˇcen´ı: Najdˇete ˇreˇsen´ı daný poˇcáteˇcn´ıch u´loh pro dané rovnice s promˇennými separovan´ ymi y 0 = 3x−y ,

d)

cos x sin y dx − cos y sin x dy = 0, y(π/2) = π/6

b) y 0 =

e)

y 0 ln y −

c)

f)

dx + y dy = 0,

a)

y(0) = 0

x+1 , y(2) = 0 x3 − x2 √ dx − 1 − x2 dy = 0, y(0) = 0

1 = 0, cos2 x

y(π/4) = 1

y(1) = 1

ˇ sen´ı: Reˇ

3.2

a)

y=x

b)

y = ln

c)

y = arcsin x

(x + 1)2 1 1 + + 2 4x x 2

d)

y = arcsin(2 sin x)

e)

y ln y = tan x −

f)

y 2 = 3 − 2x

π 4

Line´ arn´ı rovnice

Rovnice, která má tvar y 0 = a(x)y + b(x)

(3.13)

je lineárn´ı diferenciáln´ı rovnic´ı prvn´ıho ˇrádu. Hledaná funkce je znaˇcena jako y a jej´ı derivace jako y 0 . Pˇredpokládejme, ˇze funkce a a b jsou spojité na intervalu I. V této ˇcásti se nauˇc´ıme nalézat obecné ˇreˇsen´ı lineárn´ı rovnice (3.13) a pop´ıˇseme ˇ sen´ı lineárn´ı rovnice (3.13) maj´ı oproti ˇreˇsen´ım rovnic postup tohoto nalezen´ı. Reˇ nelineárn´ıch velmi d˚ uleˇzitou v´ yhodu. Kaˇzdé ˇreˇsen´ı lineárn´ı rovnice je definované na celém intervalu I. Tento fakt plyne, napˇr´ıklad, ze tvaru ˇreˇsen´ı, které bude odvozeno.

´ Í ROVNICE 3.2. LINEARN

37

Homogenn´ı a nehomogenn´ı line´ arn´ı rovnice Rovnici (3.13) naz´ yváme homogenn´ı lineárn´ı rovnic´ı, je-li b(x) ≡ 0 na intervalu I. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe naz´ yváme rovnici (3.13) nehomogenn´ı lineárn´ı rovnic´ı na intervalu I. Odpov´ıdaj´ıc´ı homogenn´ı rovnici ˇcasto naz´ yváme pˇridruˇzenou homogenn´ı rovnic´ı. Rovnice (3.13) je speciáln´ım pˇr´ıpadem lineárn´ıho rovnice n-tého ˇrádu (1.2).

Jak ˇ reˇ s´ıme line´ arn´ı rovnici? ˇ sen´ı lineárn´ı diferenciáln´ı rovnice (3.13) je ˇcasto ˇclenˇeno na dva kroky. Tak budeme Reˇ postupovat i my. V prvn´ım kroku je nalezeno obecné ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı rovnice a ve druhém kroku je metodou variace konstanty nalezeno obecné ˇreˇsen´ı rovnice nehomogenn´ı.

Krok I: Obecn´ eˇ reˇ sen´ı homogenn´ı line´ arn´ı rovnice Budeme se zab´ yvat homogenn´ı lineárn´ı rovnici pˇridruˇzenou k rovnici (3.13), tj. rovnic´ı y 0 = a(x)y.

(3.14)

Pˇrevedeme ji na rovnici s rozdˇelen´ ymi promˇenn´ ymi (za pˇredpokladu y 6= 0): dy = a(x)dx y odkud integrac´ı dostáváme Z ln |y| =

a(x)dx + ln |C1 |,

kde C1 je libovolná nenulová konstanta a nakonec (postup práce s konstantami je popsán v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech, proto jiˇz neprovád´ıme podrobné vysvˇetlován´ı) Z y = C · exp a(x)dx , (3.15) kde C = ±|C1 | je libovolná konstanta. Pro hodnotu C = 0 dostáváme ˇreˇsen´ı rovnice (3.14), které bylo v pr˚ ubˇehu ˇreˇsen´ı vylouˇceno. Vzorec (3.15), ve kterém je C libovolná konstanta, dává obecné ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice (3.14).

Krok II: Obecn´ eˇ reˇ sen´ı nehomogenn´ı line´ arn´ı rovnice Z teorie lineárn´ıch rovnic n-tého ˇrádu vypl´ yvá poznatek, kter´ y zde bez d˚ ukazu uvád´ıme (a odkazujeme téˇz na náˇs slib v ˇcásti 2.7 (str. 29) a na obecnˇejˇs´ı vˇetu uvedenou v ˇcásti o lineárn´ıch rovnic´ıch n-tého ˇrádu v modulu Obyˇcejné diferenci´ aln´ı rovnice 2:

38


Vˇ eta 4 (Struktura ˇ reˇ sen´ı line´ arn´ı rovnice) Obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı line´ arn´ı rovnice (3.13), tj. rovnice y 0 = a(x)y + b(x) je rovno souˇctu obecného ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı rovnice a nˇekterého partikul´ arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Proto nám zb´ yvá nalézt partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (3.13). Pouˇzijeme tzv. metodu variace konstanty (v obecném pˇr´ıpadˇe je uvedena v posledn´ı kapitole navazuj´ıho modulu Obyˇcejné diferenci´ aln´ı rovnice 2). Tato metoda pˇredpokládá, ˇze známe obecné ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı rovnice (3.15), tj. Z y = C · exp a(x)dx , kde C je libovolná konstanta. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice (3.13) budeme hledat ve tvaru, kter´ y je formálnˇe tomuto tvaru podobn´ y. Pˇredpokládejme ale, ˇze m´ısto konstanty C je sem dosazena vhodná funkce C(x) taková, aby v´ yraz yp (x): Z yp (x) := C(x) · exp a(x)dx byl partikulárn´ım ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı rovnice (3.13). Dosazen´ı yp (x) do nehomogenn´ı rovnice (3.13) dává Z Z Z 0 a(x)dx +b(x) a(x)dx = a(x)C(x)·exp a(x)dx +C(x)a(x)·exp C (x)·exp a po u ´pravˇe Z C (x) = b(x) · exp − a(x)dx . 0

Odtud integrac´ı dostáváme Z C(x) =

Z b(x) · exp − a(x)dx dx + L,

kde L je libovolná konstanta. Protoˇze potˇrebujeme nalézt jedno partikulárn´ı ˇreˇsen´ı, lze poloˇzit, napˇr´ıklad L = 0 a nezapisovat jiˇz v neurˇcitém integrálu libovolnou konstantu. Nebude ovˇsem chybou nechat libovolnou konstantu na m´ıstˇe. Pak ve v´ ysledku obdrˇz´ıme ihned obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. (Pˇresvˇedˇcte se o tom samostatnˇe.) Volme L = 0. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı má tvar Z Z Z yp (x) := exp a(x)dx b(x) · exp − a(x)dx dx. Obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice sestav´ıme jako souˇcet obecného ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı rovnice a nalezeného partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı: Z Z Z Z y = C · exp a(x)dx + exp a(x)dx b(x) · exp − a(x)dx dx. (3.16)


39

Zde je C libovolnou konstantou. Ve v´ yrazu (3.16) nelze provést zjednoduˇsen´ı ve druhém sˇc´ıtanci. Obecnˇe jsou neurˇcité integrály definovány jako mnoˇziny funkc´ı. Zjednoduˇsen´ı je moˇzné provádˇet pouze v pˇr´ıpadˇe urˇcit´ ych integrál˚ u. Je-li nutné naj´ıt ˇreˇsen´ı, procházej´ıc´ı dopˇredu zadan´ ym bodem, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt tvar (3.16) a urˇcit konstantu C. Varov´ an´ı 1. Nepokouˇsejte se o zapamatován´ı vzorce (3.16) i jin´ ych v´ ysledn´ ych vzorc˚ u. Byla by to ztráta ˇcasu a nen´ı to potˇreba. Postupy ˇreˇsen´ı maj´ı pr˚ ukaznou logiku odvozen´ı. Proto doporuˇcujeme postupovat tˇreba pomalejˇs´ım tempem, zato vˇsak s pln´ ym chápán´ım toho co je v jednotliv´ ych kroc´ıch ˇreˇsen´ı dˇeláno.

Jak naj´ıt ˇ reˇ sen´ı poˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy pro homogenn´ı a nehomogenn´ı line´ arn´ı rovnici Postup hledán´ı ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ıch u ´loh pro lineárn´ı rovnice m˚ uˇze následovat jako dalˇs´ı krok po nalezen´ı pˇr´ısluˇsného obecného ˇreˇsen´ı. Z poˇcáteˇcn´ı podm´ınky pak m˚ uˇzeme urˇcit hodnotu libovolné konstanty tak, aby odpov´ıdaj´ıc´ı ˇreˇsen´ı procházelo dan´ ych bodem. Toto ˇreˇsen´ı ale m˚ uˇzeme napsat teoreticky pomoc´ı vzorc˚ u. Postup jejich odvozen´ı je podobn´ y pˇredchoz´ımu postupu hledán´ı obecného ˇreˇsen´ı. Rozd´ıl je v tom, ˇze m´ısto neurˇcit´ ych integrál˚ u pouˇzijeme integrály urˇcité.

ˇ sen´ı poˇ a) Reˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy pro homogenn´ı line´ arn´ı rovnice Hledejme ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy

y 0 = a(x)y, y(x0 ) = y0 ,

(3.17)

kde x0 ∈ I a y0 je libovolné reálné ˇc´ıslo. Pˇri ˇreˇsen´ı postupujeme zpoˇcátku stejnˇe jako v pˇredchoz´ı ˇcásti. Pˇri integrován´ı rovnice se separovan´ ymi argumenty pouˇzijeme urˇcit´ y integrál s mezemi x0 a x. Dostaneme Z x dy = a(s)ds, x0 x0 y Z x |y(x)| ln = a(s)ds, |y(x0 )| x0

Z

x

a nakonec Z

x

y(x) = y0 · exp

a(s)ds .

x0

Vzorec (3.18) dává ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (3.17).

(3.18)

40


ˇ sen´ı poˇ b) Reˇ c´ ateˇ cn´ı u ´ lohy pro homogenn´ı line´ arn´ı rovnice Pˇredpokládejme, ˇze je nutné naj´ıt ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy

y 0 = a(x)y + b(x), y(x0 ) = y0 ,

(3.19)

kde x0 ∈ I a y0 je libovolné reálné ˇc´ıslo. Postupujme tak, ˇze vezmeme ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ı u ´lohy (3.17) vyjádˇrené dané tvarem (3.18) a partikulárn´ı ˇreˇsen´ı, vyhovuj´ıc´ı nehomogenn´ı rovnici (3.13), hledejme ve tvaru Z x yp = C(x) · exp a(s)ds , (3.20) x0

kde C(x) je funkce vyhovuj´ıc´ı poˇzadavku C(x0 ) = 0. Pak je souˇcet v´ yraz˚ u (3.18) ´lohy (3.19). Po dosazen´ım pˇredpokládaného tvaru (3.20) a (3.20) ˇreˇsen´ım poˇcáteˇcn´ı u do nehomogenn´ı rovnice (3.13) máme Z x Z x 0 C (x) · exp a(s)ds + C(x)a(x) · exp a(s)ds x0 x0 Z x = a(x)C(x) · exp a(s)ds + b(x), x0

odkud dostáváme

Z C (x) = b(x) · exp −

x

0

a(s)ds .

x0

Integrac´ı posledn´ı rovnosti v mez´ıch x0 a x dostaneme Z q Z x C(x) = b(q) · exp − a(s)ds dq. x0

x0

Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı (3.20) je Z x Z yp (x) = exp a(s)ds · x0

x

Z q b(q) · exp − a(s)ds dq.

x0

x0

ˇ sen´ı poˇcáteˇcn´ı u Reˇ ´lohy (3.19) je dáno vzorcem Z x Z x Z y(x) = y0 · exp a(s)ds + exp a(s)ds · x0

x0

x

Z q b(q) · exp − a(s)ds dq.

x0

x0

Po u ´pravˇe druhého sˇc´ıtance m˚ uˇzeme ˇreˇsen´ı pˇrepsat takto: Z x Z x Z y(x) = y0 · exp a(s)ds + b(q) · exp x0

x0

q

x

a(s)ds dq.


41

Pˇ r´ıklady ˇ ste rovnici Pˇ r´ıklad 14. Reˇ y0 +

y sin x = , x 3x

(3.21)

ve které pˇredpokládáme x 6= 0. ˇ sen´ı. Reˇ a) Krok I. V souladu s pˇredchoz´ım postupem najdeme napˇred vˇsechna ˇreˇsen´ı asociované homogenn´ı rovnice y y 0 + = 0. x Rozdˇelen´ım promˇenn´ ych dostáváme dy dx =− , y x a po integraci ln |y| = − ln |x| + ln |C|. Obecné ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice je dáno vztahem y=

C x

s libovolnou konstantou C. b) Krok II. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice najdeme ve tvaru 1 yp = C(x) · , x kde C(x) je vhodná funkce. Po jej´ım dosazen´ı do rovnice (3.21) máme C 0 (x) ·

1 1 1 sin x − C(x) · 2 + C(x) · 2 = x x x 3x

a po jednoduché u ´pravˇe C 0 (x) = odkud

sin x , 3

cos x + K. 3 Zaj´ımá nás pouze jedno partikulárn´ı ˇreˇsen´ı, proto m˚ uˇzeme poloˇzit K = 0. Obecné ˇreˇsen´ı rovnice (3.21) je rovno souˇctu ˇreˇsen´ı asociované homogenn´ı rovnice a nˇekterého partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı, tj.: 1 cos x yp = C · − , x 3x kde C je libovolná konstanta. C(x) = −

42


Pˇ r´ıklad 15. Najdˇete ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy 0 y + 2xy = x, y(0) = −3.

(3.22)

ˇ sen´ı. Schéma ˇreˇsen´ı této u Reˇ ´lohy je následuj´ıc´ı: napˇred najdeme obecné ˇreˇsen´ı asociované homogenn´ı rovnice y 0 + 2xy = 0,

(3.23)

poté obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice y 0 + 2xy = x

(3.24)

a nakonec v obecném ˇreˇsen´ı rovnice (3.24) vybereme hodnotu libovolné konstanty tak, aby byla splnˇena poˇcáteˇcn´ı podm´ınka y(0) = −3.

(3.25)

a) Krok I. Obecné ˇreˇsen´ı asociované homogenn´ı rovnice. Rozdˇelme v rovnici (3.23) promˇenné. Dˇelen´ım na y (za pˇredpokladu, ˇze y 6= 0) dostáváme dy = −2xdx, y odkud

Z

dy = −2 y

Z xdx .

Po integraci dostaneme ln |y| = −x2 + C1 , kde C1 je libovolná konstanta. Z posledn´ıho v´ yrazu (po odlogaritmován´ı) |y| = e−x

2 +C

1

nebo 2

y = ±e−x · eC1 . Dva v´ yrazy: ±eC1 , kde C1 je libovolná konstanta sjednot´ıme podobnˇe jako pˇri ˇreˇsen´ı Pˇr´ıkladu 11 do jednoho jako libovolnou konstantu C, která nab´ yvá vˇsech hodnot kromˇe hodnoty C = 0. Potom 2

y = Ce−x .

(3.26)

Hodnota y = 0 je také ˇreˇsen´ım. Proto m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit mnoˇzinu hodnot libovolné konstanty C ve v´ yrazu (3.26) i o hodnotu C = 0 a vzorec (3.26) je obecn´ ym ˇreˇsen´ım homogenn´ı rovnice (3.23).


43

b) Krok II. Obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice hledáme ve tvaru 2 yp = C(x)e−x . Po dosazen´ı do rovnice (3.24) máme 2

2

2

C 0 (x)e−x + C(x)e−x (−2x) + 2xC(x)e−x = x odkud, po jednoduˇsen´ı, 2

C 0 (x) = xex . Po integraci dostaneme 1 2 C(x) = ex + K 2 Poloˇzme K = 0. Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (3.24) je 1 2 2 1 yp = ex e−x = 2 2 a jej´ı obecné ˇreˇsen´ı je 2

y = Ce−x +

1 , 2

(3.27)

kde C je libovolná konstanta. ˇ sen´ı poˇcáteˇcn´ı u c) Krok III. Reˇ ´lohy. Nyn´ı zvol´ıme konstantu C v obecném ˇreˇsen´ı (3.27) tak, aby byla splnˇena poˇcáteˇcn´ı podm´ınka (3.25). Dostaneme y(0) = −3 = C + a

1 2

7 C=− . 2

ˇ sen´ı poˇcáteˇcn´ı u Reˇ ´lohy (3.22) tedy je y=

1 7 −x2 − e . 2 2

Cviˇ cen´ı. Urˇcete obecné ˇreˇsen´ı dan´ hych exaktn´ıchi rovnic: 2 0 a) y − 2xy = 6x, y = Cex − 3 ; h i 0 b) y sin x − y cos x = 1, y = C sin x − cos x ; h i c) y 0 + y = sin x, y = ce−x + 12 (sin x − cos x) ; h i d) (1 + x2 ) y 0 = y + arctan x, y = Cearctan x − arctan x − 1 .

44

3.3


Exaktn´ı rovnice

Kˇ reˇ sen´ı rovnic mohou v´ est r˚ uzn´ e cesty Uvaˇzujme jednoduchou rovnici s diferenciály dy a dx tvaru y · dx + x · dy = 0.

(3.28)

Tuto rovnici um´ıme vyˇreˇsit, protoˇze je separovaná. Skuteˇcnˇe, jednoduchou u ´pravou dostáváme (pˇredpokládáme, ˇze souˇcin xy 6= 0) dx dy =− . y x Budeme ale postupovat jinou cestou. Vˇsimnˇeme si, ˇze levou stranu rovnice (3.28) m˚ uˇzeme zapsat jako diferenciál souˇcinu promˇenn´ ych x a y (obˇe promˇenné v tuto chv´ıli povaˇzujeme za rovnoprávné a navzájem na sobˇe nezávislé), tedy jako y · dx + x · dy = d(xy) uˇzeme pˇrepsat takto a rovnici (3.28) m˚ d(xy) = 0. Integrován´ım hned obdrˇz´ıme ˇreˇsen´ı rovnice v implicitn´ım tvaru: xy = C,

(3.29)

kde C je libovoln´ y parametr.

Informace pro ty, kteˇ r´ı zapomnˇ eli co je to tot´ aln´ı diferenci´ al V pˇredchoz´ım ˇreˇsen´ı jsme vyuˇzili faktu, ˇze levou stranu diferenciáln´ı rovnice (3.28) lze zapsat jako diferenciál souˇcinu x · y. Tento diferenciál se v matematice naz´ yvá také diferenciál prvn´ıho ˇrádu nebo také totáln´ı diferenciál. Pokud jste na toto uˇcivo pozapomnˇeli, následuj´ıc´ı ˇrádky budou jeho pˇripom´ınkou. Je-li z = f (x, y) funkc´ı dvou promˇenn´ ych se spojit´ ymi parciáln´ımi derivacemi prvn´ıho ˇrádu v nˇekteré oblasti roviny xOy, pak jej´ım tot´ aln´ım diferenci´ alem naz´ yváme v´ yraz ∂f ∂f dz = dx + dy. (3.30) ∂x ∂y Uvaˇzujme nyn´ı vztah, kter´ y zobecˇ nuje situaci z pˇredchoz´ı ˇcásti (vzorec (3.29)). Je-li f (x, y) = C, pak pomoc´ı vztahu (3.30) dostáváme ∂f ∂f dx + dy = 0. ∂x ∂y

(3.31)

Jin´ ymi slovy, je-li dána jednoparametrická mnoˇzina kˇrivek vztahem f (x, y) = C, pak um´ıme sestavit diferenciáln´ı rovnici prvn´ıho ˇrádu pomoc´ı v´ ypoˇctu totáln´ıho diferenciálu.

3.3. EXAKTNÍ ROVNICE

45

Definice exaktn´ı rovnice Definice 12 (Exaktn´ı rovnice) Pˇredpokládejme, ˇze v´ yraz obsahuj´ıc´ı diferenciály tvaru M (x, y) · dx + N (x, y) · dy je totáln´ım diferenciálem nˇekteré funkce f (x, y) v nˇekteré oblasti roviny xOy. Pak naz´ yváme diferenciáln´ı rovnici M (x, y) · dx + N (x, y) · dy = 0

(3.32)

exaktn´ı diferenci´ aln´ı rovnic´ı. Funkci f (x, y) naz´ yváme kmenovou funkc´ı.

Jak pozn´ ame, ˇ ze dan´ a diferenci´ aln´ı rovnice je exaktn´ı? Rozpoznat, ˇze zadaná diferenciáln´ı rovnice je exaktn´ı je velmi snadné. V následuj´ıc´ı vˇetˇe uvád´ıme pˇr´ısluˇsné podm´ınky exaktnosti. Vˇ eta 1 (Kriterium exaktnosti) Pˇredpokl´ adejme, ˇze funkce dvou promˇenných M (x, y) a N (x, y) jsou spojité a maj´ı spojité parci´ aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´ adu v nˇekteré obdéln´ıkové oblasti tvaru {(x, y) ∈ R × R, a < x < b, c < y < d}, kde a, b, c a d jsou konstanty. Pak je výraz M (x, y) · dx + N (x, y) · dy

(3.33)

tot´ aln´ım diferenciálem nˇekteré funkce tehdy a jen tehdy, kdy v uvedené oblasti plat´ı ∂N (x, y) ∂M (x, y) ≡ . ∂y ∂x

(3.34)

D˚ ukaz. Nebudeme nyn´ı cel´ y d˚ ukaz provádˇet. Ukáˇzeme jen, ˇze z platnosti vzypoˇcetn´ı charakter a bude uˇziteˇcn´ ym tahu (3.33) plyne vztah (3.34). Tato ˇcást má v´ vyuˇzit´ım vaˇsich pˇredchoz´ıch znalost´ı z matematiky o parciáln´ıch derivac´ıch. Pro zjednoduˇsen´ı pˇredpokládejme, ˇze funkce M (x, y) a N (x, y) maj´ı spojité parciáln´ı derivace prvn´ıho ˇrádu ve vˇsech bodech roviny. Je-li v´ yraz M (x, y) · dx + N (x, y) · dy totáln´ım diferenciálem, pak existuje funkce f (x, y) taková, ˇze df (x, y) =

∂f (x, y) ∂f (x, y) · dx + · dy ≡ M (x, y) · dx + N (x, y) · dy. ∂x ∂y

Porovnán´ım zjiˇst’ujeme, ˇze mus´ı platit M (x, y) ≡

∂f (x, y) , ∂x

(3.35)

N (x, y) ≡

∂f (x, y) . ∂y

(3.36)

46


Derivován´ım vztah˚ u (3.35), (3.36) dostaneme ∂M (x, y) ∂ ∂f (x, y) ∂ 2 f (x, y) ≡ ≡ ∂y ∂y ∂x ∂y∂x a ∂ ∂N (x, y) ≡ ∂x ∂x

∂f (x, y) ∂y

≡

∂ 2 f (x, y) . ∂x∂y

Protoˇze jsou parciáln´ı derivace prvn´ıho ˇrádu M (x, y) a N (x, y) spojité bude pro funkci f (x, y) platit znám´ y poznatek o rovnosti sm´ıˇsen´ ych derivac´ı: ∂ 2 f (x, y) ∂N (x, y) ≡ . ∂y∂x ∂x Jeho d˚ usledkem je identita ∂M (x, y) ∂N (x, y) ≡ , ∂y ∂x kterou jsme chtˇeli dokázat. Opaˇcnou ˇcást d˚ ukazu, tj. ˇze z platnosti vztahu (3.34) plyne vztah (3.33) neprovád´ıme. D˚ ukaz této ˇcásti je prakticky návodem k ˇreˇsen´ı exaktn´ı rovnice (nalezen´ı takové funkce f (x, y), jej´ımˇz totáln´ım diferenciálem je v´ yraz (3.33)), kter´ y vysvˇetl´ıme v následuj´ıc´ı ˇcásti. 2

Exaktn´ı rovnice – postup ˇ reˇ sen´ı V následuj´ıc´ım v´ ypoˇcetn´ım postupu nebudeme (kv˚ uli zjednoduˇsen´ı) vymezovat definiˇcn´ı obory pouˇzit´ ych funkc´ı a také budeme pˇredpokládat, ˇze pouˇzité u ´kony jsou pˇr´ıpustné. Pˇredpokládejme, ˇze je dána exaktn´ı rovnice M (x, y) · dx + N (x, y) · dy = 0.

(3.37)

Pˇripomeˇ nme, ˇze podle kriteria exaktnosti (viz pˇredchoz´ı Vˇetu 1) mus´ı platit identita ∂M (x, y) ∂N (x, y) ≡ . ∂y ∂x Naˇs´ım c´ılem je naj´ıt funkci f (x, y) takovou, aby platilo df (x, y) =

∂f (x, y) ∂f (x, y) · dx + · dy ≡ M (x, y) · dx + N (x, y) · dy. ∂x ∂y

K nalezen´ı funkce f pouˇzijeme nejprve vztah (3.35), tj. ∂f (x, y) = M (x, y) ∂x


47

a budeme ji hledat pomoc´ı operace integrován´ı funkce M (x, y) podle promˇenné x. Pˇritom promˇennou y povaˇzujeme za konstantu. Dostáváme Z f (x, y) = M (x, y) dx + g(y), (3.38) kde g(y) je libovolná funkce promˇenné y hraj´ıc´ı roli integraˇcn´ı ,,konstanty“. Dalˇs´ım krokem je derivován´ı právˇe z´ıskaného vztahu (3.38) podle promˇenné y a vyuˇzit´ı druhého vztahu (3.36), tj. vztahu ∂f /∂y = N (x, y): Z ∂f ∂ = M (x, y) dx + g 0 (y) = N (x, y). ∂y ∂y Odsud dostáváme ∂ g (y) = N (x, y) − ∂y 0

Z

M (x, y) dx .

(3.39)

Nakonec integrujme posledn´ı vztah (3.39) podle promˇenné y a z´ıskan´ y v´ ysledek dosad’me do (3.38). T´ım bude nalezena kmenová funkce f (x, y) a ˇreˇsen´ı exaktn´ı rovnice (3.37) bude dáno vztahem f (x, y) = C, kde C je libovolná konstanta. Tento postup budeme ilustrovat na konkrétn´ım pˇr´ıkladu. Nejprve ale upozornˇeme na dva podstatné momenty v popsaném postupu ˇreˇsen´ı exaktn´ı rovnice. Prvn´ı poznámkou je konstatován´ı, ˇze v´ yraz Z ∂ N (x, y) − M (x, y) dx , ∂y kter´ y je pravou stranou vztahu (3.39), je nezávisl´ y na promˇenné x. Skuteˇcnˇe, derivován´ı podle promˇenné x vede ke zjiˇstˇen´ı, ˇze Z Z ∂N (x, y) ∂ ∂ ∂ ∂ N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx = ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂N (x, y) ∂M (x, y) − = 0. ∂x ∂y T´ım je toto konstatován´ı provˇeˇreno.

Pan Hodn´ y, váˇs hodn´ y pr˚ uvodce studiem: Vzpomeˇnte si, co to znamená, ˇze derivace nˇekteré funkce je identicky nulov´ a. Pokud se výsledek nedostav´ı, navˇstivte nejbliˇzˇs´ıho uˇcitele matematiky, jistˇe V´ am pom˚ uˇze. Druhou poznámkou je konstatován´ı, ˇze naˇse hledán´ı funkce f (x, y) bylo ,,nastartováno“ v´ yrazem (3.35). Protoˇze parciáln´ı derivace funkce f (x, y) vyhovuj´ı dvˇema vztah˚ um, totiˇz vztah˚ um (3.35) a (3.36), bylo moˇzné zaˇc´ıt ˇreˇsen´ı exaktn´ı rovnice druh´ ym vztahem (3.36), tj. vztahem ∂f /∂y = N (x, y). Po integraci funkce N (x, y)

48


podle promˇenné y a následn´ ym derivován´ı, lze nalézt analogie vztah˚ u (3.38) a (3.39), které budou m´ıt tvar Z f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) a ∂ h (x) = M (x, y) − ∂x 0

Z

N (x, y) dy .

(3.40)

V´ yraz na pravé stranˇe je analogi´ı pravé strany vztahu (3.39) a podobnˇe se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze nebude záviset na promˇenné y. Nˇekdy je tento postup v´ yhodnˇejˇs´ı (to muˇze nastat, napˇr´ıklad, pokud zjist´ıme, ˇze v prvn´ı variantˇe je nutné vypoˇc´ıtat komplikované integrály).

Pan Pˇr´ısn´ y, váˇs pˇr´ısn´ y pr˚ uvodce studiem:

D˚ uraznˇe varuji pˇred snahou nauˇcit se nazpamˇet’ uvedené vzorce. Je to zcela zbyteˇcné! Vˇenujte m´ısto toho chv´ıli ˇcasu rozj´ım´ an´ı o samotné myˇslence ˇreˇsen´ı. To je to jediné, co je potˇreba vstˇrebat. Ostatn´ı je realizac´ı myˇslenky ˇreˇsen´ı. Pokud nav´ıc propoˇc´ıt´ ate nˇekolik pˇr´ıklad˚ u snadno pˇresvˇedˇc´ıte libovolného zkouˇsej´ıc´ıho, ˇze této l´ atce rozum´ıte.

Pan Hodn´ y, váˇs hodn´ y pr˚ uvodce studiem: Nauˇc´ım Vás jeden uˇziteˇcný trik, který V´ am m˚ uˇze u zkouˇsky ,,zachr´ anit k˚ uˇzi“: Pokud testujeme rovnici zapsanou ve tvaru G(x, y) · dx = H(x, y) · dy na exaktnost, pak ji pˇrep´ıˇseme na rovnici G(x, y) · dx − H(x, y) · dy = 0. D´ ale poloˇz´ıme M (x, y) ≡ G(x, y) a N (x, y) ≡ −H(x, y) a provˇeˇrujeme kriterium exaktnosti. Pˇ r´ıklad 16. Najdˇete ˇreˇsen´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (cos x sin x − xy 2 )dx + y(1 − x2 )dy = 0, y(0) = 2. ˇ sen´ı. Daná rovnice je exaktn´ı, protoˇze Reˇ M (x, y) ≡ cos x sin x − xy 2 ,

N (x, y) ≡ y(1 − x2 )

a parciáln´ı derivace ∂M (x, y) = −2xy, ∂y ∂N (x, y) = −2xy ∂x

(3.41)


49

jsou stejné. Zvolme nyn´ı postup, vycházej´ıc´ı ze vztahu (3.36), tj. ∂f (x, y) = y(1 − x2 ). ∂y Jeho integrac´ı podle promˇenné y dostáváme kmenovou funkci f (x, y) =

y2 (1 − x2 ) + h(x), 2

kde h(x) je libovolná funkce promˇenné x. Derivován´ı podle promˇenné x vede ke vztahu ∂f (x, y) = −xy 2 + h0 (x) = cos x sin x − xy 2 , ∂x u ´pravou kterého dostaneme h0 (x) = cos x sin x. Upozornˇeme na to, ˇze v´ yraz na pravé stranˇe je funkc´ı pouze promˇenné x (jde o pravou stranu v´ yrazu (3.40)) Integrace podle promˇenné x dává Z 1 h(x) = − (cos x)(− sin x) dx = − cos2 x. 2 Proto f (x, y) ≡

y2 1 (1 − x2 ) − cos2 x 2 2

a obecné ˇreˇsen´ı má (implicitn´ı) tvar y2 1 (1 − x2 ) − cos2 x = C1 2 2 nebo y 2 (1 − x2 ) − cos2 x = C, kde 2C1 bylo nahrazeno libovoln´ ym parametrem C. Najdˇeme nyn´ı to ˇreˇsen´ı, které vyhovuje poˇcáteˇcn´ı podm´ınce. Tj., hledáme ˇreˇsen´ı nab´ yvaj´ıc´ı hodnoty y = 2, kdyˇz x = 0. Odtud vypl´ yvá vztah 4 × 1 − cos2 (0) = C, ˇ sen´ım v´ ˇreˇsen´ım kterého je hodnota C = 3. Reˇ ychoz´ı poˇcáteˇcn´ı u ´lohy (3.41) je implicitnˇe zadaná funkce y 2 (1 − x2 ) − cos2 x = 3.

50


Co je to integraˇ cn´ı faktor? Jen taková rovnice, zapsaná ve tvaru (3.32), je exaktn´ı, jsou-li splnˇeny vztahy (3.35) a (3.36). Obˇcas je moˇzné rovnici zapsanou ve tvaru (3.32), která exaktn´ı nen´ı, na exaktn´ı tvar pˇrevést. Postup k tomu vedouc´ı je násoben´ı takové rovnice vhodnou funkc´ı, µ(x, y), kterou naz´ yváme integraˇ cn´ım faktorem. Je-li p˚ uvodn´ı rovnice takovou funkc´ı vynásobena, potom nová rovnice µ · M (x, y)dx + µ · N (x, y)dy = 0 je dle pˇredpokladu exaktn´ı. Nová rovnice vˇsak nemus´ı b´ yt vˇzdy s p˚ uvodn´ı ekvivalentn´ı (pˇri násoben´ı rovnice v´ yrazem, kter´ y m˚ uˇze nab´ yvat nulov´ ych hodnot, se mohou objevit nová ˇreˇsen´ı, nˇekterá se naopak mohou ztratit). Ukaˇzme na pˇr´ıkladu, jak se neexaktn´ı rovnice po vynásoben´ı integraˇcn´ım faktorem zmˇen´ı na exaktn´ı. Pˇ r´ıklad 17. Najdˇete obecné ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice (x + y) · dx + x ln x · dy = 0, pomoc´ı integraˇcn´ıho faktoru µ(x, y) =

1 . x

Pˇritom pˇredpokládejte, ˇze x > 0. ˇ sen´ı. V p˚ Reˇ uvodn´ı rovnice je

Proto

M (x, y) ≡ x + y

a N (x, y) ≡ x ln x.

∂M (x, y) =1 ∂y

∂N (x, y) = 1 + ln x. ∂x

a

Rovnice nen´ı exaktn´ı, protoˇze nen´ı splnˇena podm´ınka (3.34). Po vynásoben´ı v´ ychoz´ı rovnice funkc´ı µ(x, y) = 1/x dostáváme y 1+ · dx + ln x · dy = 0. x Pro tuto rovnici je

y x a podm´ınka (3.34) je splnˇena. Skuteˇcnˇe M (x, y) ≡ 1 +

a N (x, y) ≡ ln x

∂M (x, y) 1 ∂N (x, y) = = . ∂y x ∂x Pˇri hledán´ı kmenové funkce pro posledn´ı rovnici postupujeme podle daného návodu. Dostáváme ∂f y = 1 + = M (x, y), ∂x x


51

odkud f (x, y) = x + y ln x + g(y). Dále

∂f = 0 + ln x + g 0 (y) = ln x, ∂y

proto g 0 (y) = 0 a g(y) = C. Kmenová funkce má tvar f (x, y) = x + y ln x + C, kde C je libovolná konstanta. Snadno lze ovˇeˇrit, ˇze jednoparametrická mnoˇzina kˇrivek x + y ln x + C = 0 je ˇreˇsen´ım obou rovnic na intervalu (0, ∞). Cviˇ cen´ ych exaktn´ıch rovnic: ı. Urˇc2ete obecné ˇreˇsen´ı dan´ h i y 2y a) 4 − 2 dx + dy = 0, 4x2 + y 2 = Cx ; x x h i 2 y 3 y 3 y b) 3x e dx + (x e − 1) dy = 0 x e −y =C ; h i c) e−y dx + (1 − xe−y ) dy = 0 y + xe−y = C ; h i d) 2x cos2 y dx + (2y − x2 sin 2y) dy = 0, x2 cos2 y + y 2 = C .

52


Pan Hodn´ y: Pokud nemáte následuj´ıc´ı autotest vytiˇstˇen´ y, tak to PROSÍM udˇelejte a s takto vytiˇstˇen´ ym listem pracujte, jak jste zvykl´ı pracovat s jazykov´ ymi uˇcebnicemi – piˇste pˇr´ımo do nˇej. A vy studenti, tisknˇete, poˇc´ıtejte a ˇreˇste a já se budu tˇeˇsit nashledanou s Vámi v lepˇs´ıch ˇcasech u modulu Obyˇcejné diferenci´ aln´ı rovnice 2.

Autotest: A. Doplˇ nte slova a souslov´ı z tabulky tam, kam v textu patˇr´ı. s promˇenn´ ymi separovan´ ymi lineárn´ı homogenn´ı exaktn´ı lineárn´ı homogenn´ı lineárn´ı lineárn´ı nehomogenn´ı exaktn´ı 1. Kaˇzdá obyˇcejná diferenciáln´ı rovnice 1. ˇrádu, která je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., je zároveˇ n typu s promˇenn´ ymi separovan´ ymi. 2. Rovnice 3x2 ydx + (x3 + y 2 )dy = 0 je exaktn´ı, ale nen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Rovnice (y − 4x)dx + dy = 0 je lineárn´ı, ale nen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Rovnice xdy − ydx = 0 je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., a zároveˇ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., ale nen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Rovnice y 0 sin x + y = 1 je . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Rozhodnˇete o typu dan´ ych diferenciáln´ıch rovnic: Vzor: (1) x dx + y dy = 0

separovaná lineárn´ı exaktn´ı

(2) y 0 + y = 0


Tj. rovnice (1) je separovaná, lineárn´ı i exaktn´ı; rovnice (2) je separovaná i lineárn´ı, ale nen´ı exaktn´ı.

(3) y cos x dx − dy = 0


(4) ey + (xey − 2y) · y 0 = 0


(5) y 0 =

x+3 x−9


(6)

1 y dy − 2 dx = 1 x x


(7)

1 y dy − 2 dx = 0 x x


54


(8) (cos x − y) dx − dy = 0 (9) y 0 − y sin x = (10) y 0 = ex−y

1 sin 2x 2

separovaná lineárn´ı exaktn´ı separovaná lineárn´ı exaktn´ı separovaná lineárn´ı exaktn´ı

C. Naleznˇete obecné ˇreˇsen´ı vˇsech 14 diferenciáln´ıch rovnic, se kter´ ymi jste se v pr˚ ubˇehu tohoto testu potkali.

Index ˇ sen´ı, 6 Reˇ

Numerické ˇreˇsen´ı, 22 Podm´ınka Lipschitzova, 22

Aproximace Picardovy, 24

Rovnice Exaktn´ı, 44, 46 Lineárn´ı, 36 Separovaná, 32

Diferenciál Totáln´ı, 44 Diferenciáln´ı rovnice Geometrická interpretace, 16

Separovaná rovnice, 32 Smˇerové pole, 16

Euler˚ uv polygon, 18 Eulerova metoda, 22 Exaktn´ı rovnice, 44 Integraˇcn´ı faktor, 50 Postup ˇreˇsen´ı, 46 Existence Lokáln´ı, 29 Existence ˇreˇsen´ı, 19, 20, 28

Totáln´ı diferenciál, 44 Vˇeta Peanova, 20 Picardova, 23, 28

Geometrická interpretace, 16 Homogenn´ı rovnice, 37 Obecné ˇreˇsen´ı, 37 Poˇcáteˇcn´ı u ´loha, 39, 40 Integráln´ı kˇrivka, 6 Integraˇcn´ı faktor, 50 Izokl´ıny, 16 Jediné ˇreˇsen´ı, 19, 20, 28 Lineárn´ı rovnice, 36 Lipschitzova podm´ınka, 22 Lokáln´ı existence, 29 Nehomogenn´ı rovnice, 37 Obecné ˇreˇsen´ı, 37 Peanova vˇeta, 20 Picardova vˇeta, 23, 28 Picardovy aproximace, 24 Poˇcáteˇcn´ı u ´loha

55

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 3 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Recommend Documents