´ UCEN ˇ ´I TECHNICKE ´ V BRNE ˇ VYSOKE FAKULTA STAVEBN´I
MATEMATIKA II MODUL 2 ˇ ´ INTEGRALY ´ KRIVKOV E
STUDIJN´I OPORY ´ PRO STUDIJNI PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX 2ε c Josef Danˇeˇcek, Oldˇrich Dlouh´
y, Oto Pˇribyl 2004
Obsah ´ 1 Uvod 1.1 C´ıle modulu . . . . . . . 1.2 Poˇzadovan´e znalosti . . . 1.3 Doba potˇrebn´a ke studiu 1.4 Kl´ıˇcov´a slova . . . . . .
. . . .
4 4 4 5 5
2 Kˇ rivkov´ y integr´ al ve skal´ arn´ım poli 2.1 Z´akladn´ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geometrick´e a fyzik´aln´ı aplikace kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ı poli
5 5 9
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 Kˇ rivkov´ y integr´ al ve vektorov´ em poli 13 3.1 Z´akladn´ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Greenova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Nez´avislost kˇrivkov´eho integr´alu na integraˇcn´ı cestˇe . . . . . . . . . . 21 4 Kontroln´ı ot´ azky, autotest
27
5 Studijn´ı prameny.
30
3
´ Uvod
1 1.1
C´ıle modulu
Prostudov´an´ım kapitoly Kˇrivkov´y integr´ al ve skal´ arn´ım poli byste mˇeli z´ıskat n´asleduj´ıc´ı vˇedomosti a dovednosti: • Umˇet vysvˇetlit integr´aln´ı souˇcet pro kˇrivkov´ y integr´al ve skal´arn´ım poli na z´akladˇe u ´lohy na stanoven´ı hmotnosti oblouku. Zn´at vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu a vztahy pro v´ ypoˇcet kˇrivkov´ ych integr´alu po oblouku v rovinˇe i v prostoru; • Porozumˇet vztah˚ um pro geometrick´e a technick´e aplikace kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ım poli na z´akladˇe pˇr´ısluˇsn´ ych integr´aln´ıch souˇct˚ u. Jde zejm´ena o v´ ypoˇcet d´elky kˇrivky, obsahu v´alcov´e plochy, tˇeˇziˇstˇe a momentu setrvaˇcnosti hmotn´eho oblouku; N´asleduj´ıc´ı odstavce v´as pˇredbˇeˇznˇe sezn´am´ı s obsahem t´eto kapitoly Kˇrivkov´y integr´ al ve vektorov´em poli a pˇrestav´ı v´am studijn´ı c´ıle, kter´ ych m´ate dos´ahnout: • Sezn´amit se s integr´aln´ımi souˇcty pro kˇrivkov´ y integr´al ve vektorov´em poli, kter´e dostaneme pˇri ˇreˇsen´ı u ´lohy o nalezen´ı pr´ace silov´eho pole po orientovan´em oblouku. Tyto u ´vahy vy´ ust´ı v definici kˇrivkov´eho integr´alu ve vektorov´em poli. Je tˇreba zn´at jeho vlastnosti a vztahy pro v´ ypoˇcet v rovinn´em i prostorov´em vektorov´em poli. • Sezn´amit se s Greenovou vˇetou, kter´a umoˇzn ˇuje pˇrev´est kˇrivkov´ y integr´al v rovinn´em vektorov´em poli na dvojn´ y integr´al. Je zapotˇreb´ı zn´at detailnˇe vˇsechny pˇredpoklady pro jej´ı pouˇzit´ı a umˇet ji aplikovat pˇri ˇreˇsen´ı praktick´ ych u ´loh. Jednoduchou u ´vahou se pˇresvˇedˇc´ıte o spr´avnosti vztahu pro v´ ypoˇcet obsahu rovinn´e oblasti uˇzit´ım kˇrivkov´eho integr´alu. • Z´avˇereˇcn´ y odstavec je vˇenov´an nez´avislosti kˇrivkov´eho integr´alu na integraˇcn´ı cestˇe. Dozv´ıte se o r˚ uzn´ ych druz´ıch vektorov´ ych pol´ı, o jejich charakterizaci a vz´ajemn´ ych vztaz´ıch. Nauˇc´ıte se zjiˇst’ovat, zda je pole nev´ırov´e, urˇcovat potenci´al a jeho uˇzit´ım vypoˇc´ıtat zadan´ y kˇrivkov´ y integr´al.
1.2
Poˇ zadovan´ e znalosti
Pro zvl´adnut´ı kˇrivkov´ ych integr´al˚ u je nezbytn´e dobˇre zvl´adnout problematiku kapitoly Dvojn´y integr´al modulu Dvojn´y a trojn´y integr´ al a umˇet rovnice a grafy z´akladn´ıch kˇrivek v prostoru R3 .
4
1.3
Doba potˇ rebn´ a ke studiu
Pˇribliˇznˇe lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu kˇrivkov´eho integr´alu na 25 hodin. Pro z´ısk´an´ı zkuˇsenost´ı a zruˇcnosti ve v´ ypoˇctu bude jeˇstˇe zˇrejmˇe zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇcas z´avisl´ y na dosavadn´ı poˇcetn´ı praxi studenta.
1.4
Kl´ıˇ cov´ a slova
Kˇrivkov´ y integr´al ve skal´arn´ım poli, z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ım poli, d´elka kˇrivky, obsah ˇc´asti v´alcov´e plochy, tˇeˇziˇstˇe hmotn´eho oblouku, kˇrivkov´ y integr´al ve vektorov´em poli, pr´ace v silov´em poli, z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu ve vektorov´em poli, Greenova vˇeta, nez´avislost kˇrivkov´eho integr´alu na integraˇcn´ı cestˇe, potenci´aln´ı vektorov´e pole, potenci´al, jednoduˇse souvisl´a oblast, ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´a oblast.
2 2.1
Kˇ rivkov´ y integr´ al ve skal´ arn´ım poli Zaveden´ı pojmu, z´ akladn´ı vlastnosti kˇ rivkov´ eho integr´ alu ve skal´ arn´ım poli
Pr˚ uvodce studiem Pˇred studiem t´eto kapitoly je nutn´ e si zopakovat z´akladn´ı pojmy z teorie kˇrivek – viz Modul Urˇcit´y integr´al, Dodatek A. Necht’ je d´an oblouk γ ⊂ R2 , kter´ y m´a parametrick´e rovnice x = ϕ(t),
y = ψ(t),
t ∈ ha, bi.
V kaˇzd´em bodˇe M kˇrivky γ zn´ame hustotu %(M ). Chceme zn´at hmotnost cel´e kˇrivky. Na oblouku Ai Ai+1 si zvol´ıme libovoln´ y bod Mi = [ξi , ηi ] a vypoˇcteme %(ξi , ηi ) = %(Mi ). Pˇredpokl´adejme, ˇze ta stejn´a hustota je v kaˇzd´em bodˇe oblouku A\ i Ai+1 . \ \ Oznaˇcme ∆si d´elku oblouku Ai Ai+1 . Hmotnost tohoto oblouku Ai Ai+1 bude tedy d´ana pˇribliˇznˇe vztahem ∆mi = %(Mi )∆si . Celkem dost´av´ame mn =
n X
∆mi =
i=1
n X
% (Mi ) ∆si .
i=1
Toto ˇc´ıslo jistˇe neud´av´a hmotnost kˇrivky γ pˇresnˇe, ale pˇribliˇznˇe. Poloˇzme νn = max {∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn } a pˇrejdeme-li ve v´ yrazu mn k limitˇe, tj. bude-li existovat limita lim
νn →0
n X
% (Mi ) ∆si ,
i=1
5
pak tuto limitu nazveme hmotnost dr´atu ve tvaru kˇrivky γ a budeme znaˇcit m. V naˇs´ı u ´vaze, ale m˚ uˇzeme m´ısto hustoty % uvaˇzovat libovolnou spojitou funkci f na oblouku γ. Integr´aln´ı souˇcet bude m´ıt tvar Sn =
n X
f (Mi ) ∆si =
i=1
n X
f (ξi , ηi ) ∆si .
i=1
Definice 2.1. Jestliˇze existuje koneˇcn´a limita integr´aln´ıho souˇctu lim Sn = lim
n→∞
n X
n→∞
f (ξi , ηi ) ∆si ,
i=1
kter´a nez´avis´ı jak na zp˚ usobu dˇelen´ı kˇrivky γ, tak na v´ ybˇeru bod˚ u Mi = [ξi , ηi ] \ na oblouc´ıch Ai Ai+1 , pak tuto limitu znaˇc´ıme ıγf (M )s = ıγf (x, y)s. a nazveme ji kˇrivkov´ym integr´alem funkce f pˇres kˇrivku γ. Vˇ eta 2.1. Necht’ oblouk γ je d´an parametrick´ymi rovnicemi x = ϕ(t),
y = ψ(t),
t ∈ ha, bi
a funkce f (x, y) je spojit´a na oblouku γ. Pak plat´ı Z
f (M ) ds =
γ
Z
f (x, y) ds =
γ
Zb
q
f (ϕ (t) , ψ (t)) ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) dt.
a
Pozn´ amka 2.1. Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem y = g(x), x ∈ ha, bi a derivace g 0 je spojit´a na ha, bi, pak plat´ı Z
f (x, y) ds =
γ
Zb
q
f (x, g (x)) 1 + (g 0 (x))2 dx.
a
Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem x = h(y), y ∈ hc, di a derivace h0 je spojit´a na hc, di, pak plat´ı Z
f (x, y) ds =
γ
Zd
q
f (h (y) , y) 1 + (h0 (y))2 dy.
c
Pˇ r´ıklad 2.1. Vypoˇctˇete I=
Z
xy 2 ds,
γ
6
kde je kˇrivka γ ⊂ R2 d´ana rovnic´ı x2 + y 2 = ax, a > 0. ˇ sen´ı: Reˇ a a a x = + cos t, y = sin t, t ∈ h0, 2πi 2 2 2 s 2π a3 Z a2 a2 I = sin2 t + cos2 t dt (1 + cos t) sin2 t 8 4 4 0 4 Z2π
a = 16 a 16
=
2π
0
0
4
2π
Z a4 Z sin2 t dt + cos t sin2 t dt sin2 t + cos t sin2 t dt = 16
2π
1 1 t − sin 2t 2 2
+ 0
0
2π !
1 3 sin t 3
4
= 0
πa . 16
Vˇ eta 2.2. Necht’ oblouk γ je d´an parametrick´ymi rovnicemi x = ϕ(t),
z = χ(t) t ∈ ha, bi
y = ψ(t),
a funkce f (x, y, z) je spojit´a na oblouku γ. Pak plat´ı Z
Z
f (M ) ds =
γ
f (x, y, z) ds
γ
Zb
=
q
f (ϕ (t) , ψ (t) , χ (t)) ϕ˙ 2 (t) + ψ˙ 2 (t) + χ˙ 2 (t) dt.
a
Pˇ r´ıklad 2.2. Vypoˇctˇete I=
Z
√
γ
x2
z ds, + y2 + z2
kde je kˇrivka γ ⊂ R3 d´ana parametrick´ ymi rovnicemi x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ h0, 2πi, a > 0, b > 0. ˇ sen´ı: Reˇ q q √ 2 2 2 ˙ ϕ˙ (t) + ψ (t) + χ˙ (t) = a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 = a2 + b2
I = b
√
a2
+
b2
Z2π 0
√
t a2
2
sin t +
a2
√ 2π √ 1 = b a2 + b2 2 a2 + b2 t2 b 0
cos2
b2 t2
dt = b
√
a2
+
b2
Z2π
√
t+ 0 √ 2 2 a +b √ 2 = a + 4π 2 b2 − a . b
7
a2
t dt + b2 t2
Pˇ r´ıklad 2.3. Vypoˇctˇete I=
Z
xy ds,
γ 3
2
kde kˇrivka γ ⊂ R je pr˚ useˇc´ık ploch x + y 2 + z 2 − a2 = 0, x2 + y 2 − ay = 0, x > 0, y > 0, z > 0, a > 0. ˇ sen´ı: Reˇ a x = sin 2t, y = a sin2 t, z = a cos t, t ∈ h0, π/2i, 2 ˙ = a sin 2t, χ(t) ϕ(t) ˙ = a cos 2t, ψ(t) ˙ = −a sin t. Odtud π/2 Z
1 + sin2 t = u t = 0|π/2 = a cos t sin t 1 + sin t dt = 2 sin t cos t dt = du u = 1|2 0 √ 2 3 Z2 3 2 1+ 2 √ 3
I
=
a 2
3
q
(u − 1) u du =
1
2
a 2
2 5/2 2 3/2 u − u 5 3
=
15
1
a3 .
Vˇ eta 2.3. (Z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´ alu ve skal´ arn´ım poli) (a) Linearita. Necht’ γ ⊂ Rn (n = 2, 3) je oblouk a funkce f a g jsou spojit´e na oblouku γ. Pak plat´ı Z
(c1 f + c2 g)(M ) ds = c1
γ
Z
f (M ) ds + c2
γ
Z
g(M ) ds,
γ
kde c1 a c2 jsou libovoln´e re´ aln´e konstanty. (b) Aditivita. Necht’ γ ⊂ Rn (n = 2, 3) je kˇrivka, kter´ a je sjednocen´ım dvou oblouk˚ u γ1 , γ2 a funkce f je spojit´ a na kˇrivce γ. Pak plat´ı Z γ
f (M ) ds =
Z
f (M ) ds +
γ1
Z
f (M ) ds.
γ2
Cviˇ cen´ı 2.1. Vypoˇc´ıtejte kˇrivkov´e integr´aly po dan´e kˇrivce γ: Z
1. γ
Z
2. γ
Z
3.
1 ds, kde γ je useˇcka AB, A = [0, −2], B = [4, 0]; x−y
h√
i
5 ln 2
x2 ds, kde γ je oblouk AB kˇrivky dan´e rovnic´ı y = ln x pro A = [2, ln 2], B = [1, 0]; h √ √ i 1 5 5 − 2 2 3 (x − y) ds, kde γ je kruˇznice x2 + y 2 − ax = 0, a > 0;
γ
8
h
1 2 2 πa
i
Z
(x2 + y 2 + z 2 ) ds, kde γ je oblouk ˇsroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at,
4. γ
h
t ∈ h0, 2πi, a > 0;
√ z ds, kde γ je kˇrivka x = t cos t, y = t sin t, z = t, t ∈ h0, 2i.
Z
5.
√ 2 2 3 2 3 πa (4π
h
γ
2.2
2 3 (4
−
i
+ 3)
√ i 2)
Geometrick´ e a fyzik´ aln´ı aplikace kˇ rivkov´ eho integr´ alu ve skal´ arn´ı poli
(a) D´elka kˇrivky L=
Z
ds.
γ
Pˇ r´ıklad 2.4. Vypoˇctˇete d´elku kˇrivky urˇcen´e pr˚ useˇcnic´ı ploch o rovnic´ıch x y = 2 arcsin , 2
1 2−x ln 2 2+x
z=
od bodu A = [0, 0, 0] do bodu B = [1, π/3, − ln 3/2]. ˇ sen´ı: Pˇri uˇzit´ı pˇrirozen´e parametrizace dostaneme Reˇ t y = 2 arcsin , 2
x = t, x˙ = 1,
y˙ = √
z=
2 , 4 − t2
1 2−t ln , 2 2+t
z˙ =
t2
2 . −4
Odtud L =
Z γ
=
Z1 0
v Z1 u u ds = t1 + 0
1
Z 2 4 4 t −6 + dt = dt 2 2 4−t t2 − 4 (t2 − 4) 0
1 1 1− + 2 (t − 2) 2 (t + 2)
!
1
1 t + 2 dt = t + ln 2 t − 2
=1+ 0
1 ln 3[m]. 2
(b) Obsah ˇc´asti v´alcov´e plochy Φ s ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou γ ⊂ R2 , γ : ha, bi → R2 v rovinˇe z = 0 a tvoˇr´ıc´ımi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzn´ ymi s osou z a vymezen´ ymi plochami z = g(x, y), z = f (x, y), g(x, y) ≤ f (x, y) pro kaˇzd´e [x, y] ∈ γ. P =
Z
[f (x, y) − g(x, y)] ds.
γ
9
Pˇ r´ıklad 2.5. Vypoˇctˇete obsah ˇc´a√ sti v´alcov´e plochy Φ s ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou γ ⊂ R2 danou rovnic´ı y = ln x, x ∈ [1, e] v rovinˇe z = 0 a tvoˇr´ıc´ımi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzn´ ymi s osou z a vymezen´ ymi plochami: z = 0, z = x2 . ˇ sen´ı: Reˇ √
P =
Z γ √
=
[f (x, y) − g(x, y)] ds =
Z
x2 ds =
γ
Z
e
s
t2 1 +
1
e
Z √ 1 + t2 = u2 t 1 + t2 dt = t dt = u du 1
1 dt t2
√ Z1+e t = 1|e √ √ = u2 du u = 2| 1 + e √ 2
1 = (1 + e)3/2 − 23/2 [m2 ]. 3
(c) Hmotnost dr´atu ve tvaru kˇrivky. m=
Z
%(x, y, z) ds
γ
s line´arn´ı hustotou % (x, y, z) [kg · m−1 ]. Pˇ r´ıklad 2.6. Vypoˇctˇete hmotnost homogenn´ıho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂ 3 R s parametrick´ ymi rovnicemi x = t cos t, y = t sin t, z = t, t ∈ h0, 2πi a konstantn´ı line´arn´ı hustotou % (x, y, z) = % [kg · m−1 ]. ˇ sen´ı: Reˇ m =
Z
%(x, y, z) ds = %
γ
Z
ds = %
γ
= % u 1 + u2 + ln u +
2 + t2 dt
0
√ t = 2u t = 0|2π √ √ = dt = 2 du u = 0|2π/ 2 h √
Z2π √
√
2π/ Z = 2%
1 + u2
√
2
√
1 + u2 du
0
i2π/√2 0
2π √ 2π √ = % √ 1 + 2π 2 + ln √ + 1 + 2π 2 2 2
!!
[kg].
(d) Statick´y moment hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂ R2 vzhledem k pˇr´ımce p. Sp =
Z
d([x, y], p) · %(x, y) ds,
γ
10
kde d([x, y], p) je orientovan´a vzd´alenost bodu [x, y] od pˇr´ımky p. Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ ym os´am x a y. Sx =
Z
y · %(x, y) ds,
Sy =
γ
Z
x · %(x, y) ds.
γ
(e) Statick´e momenty hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂ R3 vzhledem k rovinˇe τ . Sτ =
Z
d([x, y, z], τ ) · %(x, y, z) ds.
γ
kde d([x, y, z], τ ) je orientovan´a vzd´alenost bodu [x, y, z] od roviny τ . Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ ym rovin´am xy, xz a yz. Sxy =
Z
z · %(x, y, z) ds,
Sxz =
γ
Z
y · %(x, y, z) ds,
Syz =
γ
Z
x · %(x, y, z) ds.
γ
(f) Tˇeˇziˇstˇe hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂ R2 a γ ⊂ R3 . Sy Sx T = , , m m
Syz Sxz Sxy T = , , . m m m
Pˇ r´ıklad 2.7. Vypoˇctˇete tˇeˇziˇstˇe homogenn´ıho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂ R3 s parametrick´ ymi rovnicemi x = t−sin t, y = 1−cos t, z = 4 cos(t/2), t ∈ h0, πi a konstantn´ı line´arn´ı hustotou % (x, y, z) = % [kg · m−1 ]. ˇ sen´ı: Reˇ m =
Z
%(x, y, z) ds = %
γ
√ = 2 2%
= Sxz = =
ds = 2%
γ
Zπ 0
Syz =
Z
Zπ √
1 − cos t dt
0
√ √ t t π sin dt = −4 2% cos = 4 2% [kg], 2 2 0
√ Zπ t x%(x, y, z) ds = % x ds = 2 2% (t − sin t) sin dt 2 γ γ 0 √ √ t t 1 3 π 16 2 2 2% −2t cos + 3 sin + sin t = % [kg · m], 2 2 3 2 0 3 Z Z √ Zπ t y%(x, y, z) ds = % y ds = 2 2% (1 − cos t) sin dt 2 γ γ 0 √ √ t 1 3 π 16 2 2 2% −3 cos + cos t = % [kg · m], 2 3 2 0 3 Z
Z
11
Sxy =
Z
z%(x, y, z) ds = %
γ
Z γ
√ = 4 2%
Zπ
√ Zπ t t z ds = 8 2% sin cos dt 2 2 0
√ √ sin t dt = −4 2% [cos t]π0 = 8 2% [kg · m],
0
T =
Syz Sxz Sxy 4 4 , , = , ,2 . m m m 3 3
(g) Moment setrvaˇcnosti hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂ R2 , γ ⊂ R3 vzhledem k pˇr´ımce p ⊂ R2 , resp. p ⊂ R3 . Ip =
Z
d2 ([x, y], p) · %(x, y) ds,
Ip =
γ
Z
d2 ([x, y, z], p) · %(x, y, z) ds,
γ
kde d([x, y], p) je vzd´alenost bodu [x, y] od pˇr´ımky p ⊂ R2 , resp. d([x, y, z], p) je vzd´alenost bodu [x, y, z] od pˇr´ımky p ⊂ R3 . Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ ym os´am x a y. Ix =
Z
2
y · %(x, y) ds,
Iy =
γ
Z
x2 · %(x, y) ds.
γ
Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ ym os´am x, y a z. Ix =
Z
2
y +z
2
· %(x, y, z) ds, Iy =
γ
Z
x2 + z 2 · %(x, y, z) ds,
γ
Iz =
Z
x2 + y 2 · %(x, y, z) ds.
γ
Cviˇ cen´ı 2.2. Uˇzit´ım kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ım poli vypoˇctˇete: 1. D´elku kˇrivky γ : ~r = a cos t ·~i + a sin t ·~j + vt · ~k pro t ∈ h0, π2 i, a, v > 0;
h √ π 2
a2 + v 2
i
2. Obsah ˇc´asti v´alcov´e plochy Φ : 4x2 + 9y 2 = 36 pro y ≥ 0 s ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou γ v rovinˇe z = 0 a tvoˇr´ıc´ımi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzn´ ymi s osou z a vymezen´ ymi plochami h i 76 z = 0, z = −xy; 5 3. Hmotnost konick´a ˇsroubovice γ = {[x, y, z] ∈ R3 ; x = t cos t, y = t sin t, z = t, t ∈ h0, 2πi}, h √ √ i 2 2+1−2 2π je-li hustota kˇrivky σ(x, y, z) ≡ z; 3 4. Souˇradnice tˇeˇziˇstˇe T = [xT , yT ] homogen´ıho oblouku cykloidy γ : ~r(t) = a(t − sin t)~i + a(1 − cos t)~j, t ∈ h0, 2πi, kde a > 0 je konstanta, je-li hustota kˇrivky σ(~r(t)) ≡ k.
12
h
i
T = [πa, 4a/3]
3
Kˇ rivkov´ y integr´ al ve vektorov´ em poli
3.1
Zaveden´ı pojmu, z´ akladn´ı vlastnosti kˇ rivkov´ eho integr´ alu ve skal´ arn´ım poli
Ve fyzice a v technick´ ych aplikac´ıch se ˇcasto setk´av´ame s r˚ uzn´ ymi druhy rovinn´ ych nebo prostorov´ ych vektorov´ ych pol´ı – silov´e pole, pole rychlost´ı ˇc´ astic proud´ıc´ı nestlaˇciteln´e kapaliny, pole magnetick´e a elektrick´e intenzity. Z matematick´eho hlediska jde vlastnˇe o zobrazen´ı, kter´e bod˚ um pˇriˇrazuje vektory. Vektorov´e pole je zobrazen´ı f~ :→ ΩRn , kde Ω ⊂ Rn je otevˇren´a mnoˇzina. V technick´e praxi je nejˇcastˇejˇs´ı pouˇzit´ı pro n = 2, 3. V tomto pˇr´ıpadˇe budeme jednoduˇse ps´at f~(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) ,
f~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ,
kde P , Q, R jsou sloˇzky (komponenty) vektorov´e funkce f~. ˇ ık´ame, ˇze vektorov´e pole f~ je spojit´e vektorov´e pole, nebo struˇcnˇeji je tˇr´ıdy C R´ ˇ ık´ame, ˇze vektorov´e pole f~ je tˇr´ıdy C 1 na Ω, kdyˇz vˇsechny sloˇzky jsou spojit´e na Ω. R´ na Ω, kdyˇz vˇsechny sloˇzky tohoto pole maj´ı spojit´e vˇsechny prvn´ı parci´aln´ı derivace na mnoˇzinˇe Ω. Uvaˇzujeme-li orientovan´ y oblouk γ : ha, bi → R2 (resp.R3 ), pak m˚ uˇzeme v kaˇzd´em bodˇe M = Γ(t), t ∈ (a, b) oblouku γ urˇcit jednotkov´ y teˇcn´ y vektor vztahem ˙ ~t(M ) = Γ(t) . ˙ kΓ(t)k Mˇejme nyn´ı spojit´e vektorov´e silov´e pole f~ na oblouku γ a hledejme pr´aci, kter´a se vykon´a v zadan´em vektorov´em poli, pohybuje-li se hmotn´ y bod po oblouku γ ve smˇeru jeho orientace. Rozdˇel´ıme-li oblouk γ na dostateˇcnˇe mal´e oblouky γi , i = 1, . . . , n m˚ uˇzeme vektor s´ıly f~ na oblouku γi aproximovat konstantn´ım vektorem ~ f (Mi ). Z fyziky je zn´amo, ˇze absolutn´ı hodnota pr´ace Wi je pak rovna souˇcinu velikosti teˇcn´e sloˇzky f~t s´ıly f~(Mi ) a d´elky dr´ahy ∆si , coˇz je d´elka oblouku γi . Protoˇze f~(Mi ) · ~t(Mi ) = kf~t (Mi )k pak pr´ace W je pˇribliˇznˇe rovna W =
n X
f~(Mi ) · ~t(Mi )∆si ,
i=1
coˇz je moˇzno interpretovat jako integr´aln´ı souˇcet pro kˇrivkov´ y integr´al Z
f~ · ~t ds.
γ
V aplikac´ıch se ˇcasto tento integr´al oznaˇcuje Z
f~ · d~r.
γ
13
Definice 3.1. Necht’ f~ je spojit´e vektorov´e pole na orientovan´em oblouku γ. Kˇrivkov´ym integr´alem ve vektorov´em poli f~ (kˇrivkov´ ym integr´alem druh´eho druhu) pˇres kˇrivku γ naz´ yv´ame integr´al tvaru Z
f~ · d~s =
γ
Z
f~ · ~t ds.
γ
Jeli Γ : ha, bi → γ, parametrizace orientovan´eho oblouku γ (tj. parametrizace oblouku souhlas´ı s jeho orientac´ı), pak plat´ı Z
f~ · ~t ds =
a
γ
=
Zb h
Zb
Zb ˙ Γ(t) ~ ˙ dt ˙ f (Γ(t)) · kΓ(t)k dt = f~ (Γ(t)) · Γ(t) ˙ kΓ(t)k a i
˙ + R (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) χ(t) P (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ϕ(t) ˙ + Q (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ψ(t) ˙ dt.
a
Mnohdy se pouˇz´ıv´a oznaˇcen´ı Z
f~ · ~t ds =
Z
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz,
γ
γ
kter´e se po dosazen´ı z parametrick´ ych rovnic oblouku γ pˇrevede na v´ yˇse uveden´ y tvar. Pozn´ amka 3.1. Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem y = g(x), x ∈ ha, bi a g je spojit´a na ha, bi, pak plat´ı Z
P (x, y) dx =
γ
Zb
P (t, g (t)) dt.
a
Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem x = h(y), y ∈ hc, di a h je spojit´a na hc, di, pak plat´ı Z
Q (x, y) dy =
γ
Zd
Q (h (t) , t) dt.
c
Pˇ r´ıklad 3.1. Vypoˇctˇete I=
Z
y 2 dx + x(1 + y 2 ) dy,
γ
kde γ je ˇc´ast elipsy 4x2 + y 2 = 16, leˇz´ıc´ı v prvn´ım kvadrantu a orientovan´a od bodu A = [2, 0] do bodu B = [0, 4]. 14
ˇ sen´ı: Parametrick´e rovnice jsou: Reˇ x = 2 cos t,
y = 4 sin t,
π t ∈ h0, i. 2
Odtud π/2 Z
I =
−32 sin3 t + 8 cos2 t(1 + 16 sin2 t) dt
0
= 8
π/2 Z
−4 sin3 t + cos2 t + 16 sin2 cos2 t dt
0
π/2
1 1 5 4 = 8 − cos3 t + 4 cos t + sin 2t − sin 4t + t 3 4 2 2
= 10π −
0
64 . 3
Pˇ r´ıklad 3.2. Vypoˇctˇete I=
Z γ
y y dx − (x + 2z) dy + dz, 2 x+z z
kde γ je u ´seˇcka s poˇc´ateˇcn´ım bodem A = [3, 2, 1] a s koncov´ ym bodem B = [1, 1, 2]. ˇ sen´ı: Parametrick´e rovnice u Reˇ ´seˇcky jsou: x = 3 − 2t,
y = 2 − t,
z = 1 + t,
t ∈ h0, 1i.
Odtud I =
Z1 0
dt 1
t ln(t + 4) − 2 arctg + 4t + 3 ln |t + 1| 2
=
2−t 2t − 4 + 5 + t2 + 4 1+t 2
= 4 − 2 arctg
0
1 + ln 10. 2
Pˇ r´ıklad 3.3. Vypoˇctˇete pr´aci silov´eho pole pˇri pohybu hmotn´eho bodu√po pr˚ unikov´e kˇrivce γ =√{[x,√ y, z] ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, z = 1 + y 2 } od bodu A = [ 23 , 12 , 54 ] pˇres bod B = [ 22 , 22 , 23 ] do bodu C = [0, 1, 2]. Silov´e pole p˚ usob´ı v kaˇzd´em bodˇe silou, kter´a smˇeˇruje kolmo k rovinˇe xz a velikost t´eto s´ıly je rovna pˇrevr´acen´e hodnotˇe vzd´alenosti bodu od roviny xy. ˇ sen´ı: S´ılu F~ = (f1 , f2 , f3 ) m˚ Reˇ uˇzeme vyj´adˇrit ve tvaru 1 y F~ = kF~ k · F~0 = · (0, − , 0). z |y|
15
Kˇrivku γ lze parametrizovat napˇr. takto: Γ(t) = (cos t, sin t, 1 + sin2 t), t ∈ h π6 , π2 i. Pak dost´av´ame π
W =
Z
F~ · d~s = −
π 6
γ
= −
Z2
Z1 1 2
sin t = u cos t dt = cos t dt = du 1 + sin2 t
t = π6 | π2 u = 21 |1
1 1 π du = − [arctg u]11 = − + arctg . 2 2 1+u 4 2
Vˇ eta 3.1. (Z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´ alu ve vektorov´em poli) (a) Linearita. Necht’ γ ⊂ Rn (n = 2, 3) je orientovan´y oblouk a f~ a ~g jsou spojit´ a vektorov´a pole na oblouku γ. Pak plat´ı Z
(c1 f~ + c2 ~g ) · d~s = c1
γ
Z
f~ · d~s + c2
γ
Z
~g · d~s,
γ
kde c1 a c2 jsou libovoln´e re´ aln´e konstanty. (b) Aditivita. Necht’ γ ⊂ Rn (n = 2, 3) je kˇrivka, kter´ a je sjednocen´ım dvou ~ orientovan´ych oblouk˚ u γ1 , γ2 a f je spojit´ a vektorov´e pole na kˇrivce γ. Pak plat´ı Z Z Z ~ ~ f · d~s = f · d~s + f~ · d~s. γ
γ1
γ2
Cviˇ cen´ı 3.1. Vypoˇc´ıtejte kˇrivkov´e integr´aly po dan´e kˇrivce γ (uvaˇzujeme pravotoˇciv´ y souˇradnicov´ y syst´em): Z
1.
y dx + x dy, kde γ je orientovan´a ˇctvrtkruˇznice ~r(t) = a cos t · ~i + a sin t · ~j,
γ
0 ≤ t ≤ π/2 a kde bod A = [a, 0] je dan´ y jako poˇc´ateˇcn´ı bod, a > 0 konstanta;
h i
0
x dx + y dy + z dz , kde γ je orientovan´a u ´seˇcka AB, s poˇc´ateˇcn´ım bo+ y 2 + z 2 − x − y + 2z γ h √ i dem A = [1, 1, 1] a koncov´ ym bodem B = [4, 4, 4]; 3 3
Z
2.
p
Z
3.
x2
(x2 + y 2 ) dx + (x2 − y 2 ) dy, kde γ je orientovan´a kˇrivka y = 1 − |1 − x| pro
γ
h
0 ≤ x ≤ 2, poˇc´ateˇcn´ı bod A = [2, 0];
−
4 3
i
Z
4.
yz dx + xz dy + xy dz , kde γ je oblouk AB ˇsroubovice γ
~r(t) = a cos t · ~i + a sin t · ~j + bt/2π · ~k (orientovan´ y) od bodu A = [a, 0, 0] do B = [a, 0, b], a, b > 0 konstanty.
16
h i
0
− → Cviˇ cen´ı 3.2. V kaˇzd´em bodˇe silov´eho pole v R2 (resp. R3 ) p˚ usob´ı s´ıla F (~r). Vypoˇc´ıtejte pr´aci A tohoto pole pˇri pohybu hmotn´eho bodu po orientovan´e kˇrivce γ: − → 1. F = xy · ~i + (x + y) · ~j, γ je oblouk AB kˇrivky γ dan´e rovnic´ bodui h ı y = arctg x od 1 2 A = [1, ?] do bodu B = [0, ?]; − ln 2 32 16 − 8π − π − → e s dan´ ymi 2. F (~r) = y~i + z~j + yz~k, γ : ~r(t) = (cos t, sin t, ct) orientovan´e souhlasnˇ h π 2 parametrick´ ym vyj´adˇren´ım pro t ∈ h0, πi, c > 0. 2 2c − 4c − 1
3.2
Greenova vˇ eta
Oblast Ω ⊂ R2 se naz´ yv´a jednoduˇse souvisl´ a v R2 , jestliˇze s kaˇzdou kruˇznic´ı, kter´a je obsaˇzena v Ω je tak´e vnitˇrek kruˇznice obsaˇzen v Ω. Mezikruˇz´ı nen´ı jednoduˇse souvisl´a mnoˇzina v R2 . Vˇ eta 3.2. (Greenova vˇ eta) Necht’ Ω ⊂ R2 je otevˇren´ a, ohraniˇcen´ a mnoˇzina, jej´ıˇz hranic´ı je jedin´a kladnˇe orientovan´ a jednoduch´ a uzavˇren´ a kˇrivka γ. D´ ale necht’ ~ f = (P, Q) je spojit´e vektorov´e pole na Ω a ∂P/∂y, ∂Q/∂x jsou spojit´e funkce na Ω. Pak plat´ı ZZ Ω
! Z ∂Q ∂P f~(x, y) · d~s (x, y) − (x, y) dxdy = ∂x ∂y γ
=
Z
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
γ
D˚ ukaz. D˚ ukaz provedeme pouze pro oblast prvn´ıho druhu {[x, y] ∈ R2 : a < x < b, g(x) < y < G(x)}, kde funkce g a G jsou spojit´e na ha, bi (viz obr´azek).
17
ZZ Ω
G(x) Z Zb G(x) Zb ∂P ∂P dx (x, y) dxdy = (x, y) dy dx = P (x, y) ∂y ∂y g(x) a a g(x)
=
Zb
P (x, G(x)) − P (x, g(x)) dx.
a
Posledn´ı integr´aly m˚ uˇzeme vyj´adˇrit podle Pozn´amky 3.1 n´asledovnˇe Zb
P (x, G(x)) dx =
a
Z
P (x, y) dx,
DC
Zb
P (x, g(x)) dx =
a
Z
P (x, y) dx.
AB
Vzhledem k pˇredeˇsl´emu m˚ uˇzeme ps´at ZZ Ω
Z Z ∂P (x, y) dxdy = P (x, y) dx − P (x, y) dx ∂y DC
= −
AB
Z
P (x, y) dx −
= − = −
Z
P (x, y) dx −
AB
Z
P (x, y) dx
CD
AB
Z
Z
Z
P (x, y) dx −
BC
CD
P (x, y) dx −
Z
P (x, y) dx
DA
P (x, y) dx
γ
nebot’ integr´aly po u ´seˇck´ach BC a DA jsou nulov´e. M˚ uˇzeme-li n´aˇs integraˇcn´ı obor rozloˇzit na koneˇcn´e sjednocen´ı oblast´ı prvn´ıho druhu, plat´ı pˇredeˇsl´a rovnice na kaˇzd´e takov´e oblasti a ze z´akladn´ıch vlastnost´ı dvojn´ ych a kˇrivkov´ ych integr´al˚ u plyne ˇz´adan´a rovnice na cel´e oblasti. Analogicky se dok´aˇze platnost rovnice ZZ Ω
Z ∂Q (x, y) dxdy = Q(x, y) dy, ∂x γ
kde Ω je oblast druh´eho druhu. Nakonec m˚ uˇzeme-li n´aˇs integraˇcn´ı obor rozloˇzit na koneˇcn´e sjednocen´ı oblast´ı prvn´ıho druhu a souˇcasnˇe na sjednocen´ı koneˇcn´eho poˇctu oblast´ı druh´eho druhu, seˇcteme pˇredeˇsl´e rovnice a dostaneme ˇz´adan´ y vzorec. Pˇ r´ıklad 3.4. Uˇzit´ım Greenovy vˇety vypoˇctˇete I=
Z
x2 y − x dx − xy 2 + y dy,
γ
18
kde γ je kˇrivka o rovnici x2 + y 2 = 2y, orientovan´a ve smˇeru pohybu hodinov´ ych ruˇciˇcek. ˇ sen´ı: Kˇrivka γ je z´apornˇe orientovan´a hranice jednoduˇse souvisl´e oblasti Reˇ Ω = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2y}. Vektorov´e pole f~ = (P, Q) je tˇr´ıdy C 1 v R2 a tedy dle Greenovy vˇety plat´ı Z
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = −
γ
ZZ Ω
∂Q ∂P − ∂x ∂y
!
dxdy.
Odtud dost´av´ame I=−
ZZ
(−y 2 − x2 ) dxdy =
ZZ
Ω
(x2 + y 2 ) dxdy.
Ω
Na posledn´ı dvojn´ y integr´al pouˇzijeme transformace do pol´arn´ıch souˇradnic x = r cos t ≡ ϕ (r, t) , y = r sin t ≡ ψ (r, t) . s jakobi´anem J(r, t) = r. Vzor mnoˇziny Ω je mnoˇzina Ω∗ = {[r, t] ∈ R2 : 0 < t < π, 0 < r < 2 sin t}.
I =
Zπ 0
2 sin t Zπ Z Zπ 1 3 4 r dt dr = 4 sin t dt = 1 − 2 cos 2t + (1 + cos 4t) dt 0
0
π
1 1 t − sin 2t + t + sin 4t 2 8
=
2
0
0
3 = π. 2
Aplikace Greenovy vˇ ety. Obsah rovinn´e oblasti spluj´ıc´ı pˇredpoklady Greenovy vˇety. 1Z µ(Ω) = x dy − y dx. 2γ D˚ ukaz. Poloˇz´ıme-li v Greenovˇe vˇetˇe 1 P (x, y) = − y, 2
1 Q(x, y) = x, 2
dostaneme poˇzadovan´ y v´ ysledek. Pˇ r´ıklad 3.5. Vypoˇctˇete obsah elipsy. ˇ sen´ı: Zvol´ıme-li parametrizaci Reˇ x = a cos t,
y = b sin t, 19
t ∈ h0, 2πi,
x˙ = −a sin t,
y˙ = b cos t,
dostaneme 2π 2π 1Z 1Z 1 Z 2 2 µ= x dy − y dx = ab cos t + ab sin t dt = ab dt = πab [m2 ]. 2γ 2 2 0
0
Pˇ r´ıklad 3.6. Uˇzit´ım Greenovy vˇety vypoˇctˇete obsah mnoˇziny Ω ⊂ R2 , kde Ω je ohraniˇcen´a obloukem hyperboly o parametrick´ ych rovnic´ıch x = a cosh t,
t ∈ (−∞, ∞), a, b > 0,
y = b sinh t,
osou x a spojnic´ı poˇc´atku souˇradn´e soustavy s bodem A = [x0 , y0 ] hyperboly, kde x0 > 0, y0 > 0.
ˇ sen´ı: Plat´ı Reˇ
1Z P = x dy − y dx, 2 ∂Ω
kde ∂Ω je kladnˇe orientovan´a hranice oblasti Ω, tvoˇren´a kˇrivkami γ1 , γ2 , γ3 . Odtud Z
x dy − y dx =
Z
x dy − y dx +
γ1
∂Ω
Z
Z
x dy − y dx +
γ2
x dy − y dx.
γ3
Parametrick´e rovnice postupnˇe jsou: γ1 : y = 0, γ2 : x = a cosh t, γ3 : x = t,
x = t, y = b sinh t, y = kt,
t ∈ h0, ai t ∈ h0, t0 i t ∈ hx0 , 0i,
kde k = y0 /x0 . Je vidˇet, ˇze Z γ1
x dy − y dx =
Z γ3
20
x dy − y dx = 0.
D´ale
t0 t0 1Z ab Z ab ab Z 2 2 x dy − y dx = dt = t0 . cosh t − sinh t dt = 2γ 2 2 2 0
2
0
Pro parametr t0 bodu A plat´ı x0 y0 + cosh t0 + sinh t0 = e = a b t0
a celkem
x0 y0 t0 = ln + a b
⇒
ab x0 y0 P = ln + 2 a b
[m2 ].
Cviˇ cen´ı 3.3. Ovˇeˇrte, ˇze jsou splnˇeny podm´ınky pro uˇzit´ı Greenovy vˇety, a uˇzijte ji k v´ ypoˇctu n´asleduj´ıc´ıch integr´al˚ u: Z
(x + y)2 dx − (x + y)2 dy, kde γ je kladnˇe orientovan´ y obvod troj´ uheln´ıka OAB
1. γ
s vrcholy O = [0, 0], A = [1, 0], B = [0, 1]; Z
[−4/3] x2 a2
(x + y) dx − (x − y) dy, kde γ je elipsa
2. γ
+
y2 b2
= 1 orientovan´a kladnˇe.[−2πab]
Cviˇ cen´ı 3.4. Aplikac´ı Greenovy vˇety vypoˇctˇete obsah rovinn´eho obrazce n
o
A = [x, y] ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ x . [1/6]
3.3
Nez´ avislost kˇ rivkov´ eho integr´ alu na integraˇ cn´ı cestˇ e
V tomto odstavci budeme oblast´ı v Rn (n = 2, 3) rozumˇet otevˇrenou podmnoˇzinu v Rn (n = 2, 3), ve kter´e m˚ uˇzeme kaˇzd´e dva r˚ uzn´e body leˇz´ıc´ı v t´eto mnoˇzinˇe spojit jednoduchou kˇrivkou, leˇz´ıc´ı v t´eto mnoˇzinˇe. ˇ Rekneme, ˇze spojit´e vektorov´e pole f~ v oblasti Ω ⊂ Rn (n = 2, 3) nez´ avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe, jestliˇze pro libovoln´e orientovan´e kˇrivky γ1 , γ2 leˇz´ıc´ı v Ω se stejn´ ym poˇc´ateˇcn´ım bodem A a koncov´ ym bodem B, plat´ı Z
Z
f~ · d~s =
γ1
f~ · d~s.
γ2
Pak tak´e p´ıˇseme ZB
f~ · d~s.
A
21
Necht’ f~ = (P, Q) (f~ = (P, Q, R)) je spojit´e vektorov´e pole na oblasti Ω ⊂ R2 ˇ (Ω ⊂ R3 ). Rekneme, ˇze vektorov´e pole je potenci´ aln´ı na Ω, jestliˇze existuje funkce 1 V ∈ C (Ω) tak, ˇze ∇V = f~ alem pro kaˇzd´e [x, y] ∈ Ω ([x, y, z] ∈ Ω). Kaˇzdou takovou funkci V naz´ yv´ame potenci´ vektorov´eho pole f~ na Ω. Vˇ eta 3.3. Necht’ vektorov´e pole f~ = (P, Q) je tˇr´ıdy C 1 na jednoduˇse souvisl´e oblasti Ω ⊂ R2 . Pak toto pole je potenci´ aln´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz ∂Q ∂P (x, y) = (x, y) ∂x ∂y pro kaˇzd´e [x, y] ∈ Ω. Rotaci vektorov´eho pole f~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) definujeme pomoc´ı form´aln´ıho determinantu ~k ~i ~j ∂ ∂ ∂ ~ rot f (x, y, z) = ∂x ∂y ∂z P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z) ! !
=
∂R ∂Q ~ ∂R ~ ∂P ∂Q ∂P − i+ − j+ − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
!
~k.
Oblast Ω ⊂ R3 se naz´ yv´a jednoduˇse souvisl´ a v R3 , jestliˇze s kaˇzdou kulovou plochou, kter´a je obsaˇzena v Ω je tak´e vnitˇrek kulov´e plochy obsaˇzen v Ω. Koule, trojrozmˇern´ y interval jsou jednoduˇse souvisl´e mnoˇziny, ale mezisf´era nen´ı jednoduˇse souvisl´a mnoˇzina v R3 . Oblast Ω ⊂ R3 se naz´ yv´a ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´ a v R3 , jestliˇze ke kaˇzd´e jednoduch´e uzavˇren´e kˇrivce, kter´a je obsaˇzena v Ω existuje hladk´a plocha, kter´a sama sebe neprot´ın´a takov´a, ˇze S ⊂ Ω a jej´ıˇz okraj je tato kˇrivka. Mnoˇzina R3 \ {[x, y, z] ∈ R3 : x = y = 0} je jednoduˇse souvisl´a, ale nen´ı ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´a. Vˇ eta 3.4. Necht’ vektorov´e pole f~ = (P, Q, R) je tˇr´ıdy C 1 na ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´e oblasti Ω ⊂ R3 . Pak toto pole je potenci´ aln´ı tehdy a jen tehdy, kdyˇz rot f~(x, y, z) = (0, 0, 0) pro kaˇzd´e [x, y, z] ∈ Ω. Vˇ eta 3.5. Necht’ f~ = (P, Q) je tˇr´ıdy C 1 v jednoduˇse souvisl´e oblasti Ω ⊂ R2 . Kˇrivkov´y integr´al Z γ
f~(x, y) · d~s =
Z
P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
γ
22
kde γ ⊂ Ω nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe AB v oblasti Ω tehdy a jen tehdy, kdyˇz vektorov´e pole f~ je na Ω potenci´aln´ı. Je-li V jeho potenci´ al na Ω, pak plat´ı ZB
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = V (B) − V (A).
A
Pˇ r´ıklad 3.7. Dokaˇzte, ˇze integr´al ZB A
y2 1 1 x2 − dy dx + − y (x − y)2 (x − y)2 x !
!
z bodu A = [1, 2] do bodu B = [2, 6] nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe a urˇcete jeho hodnotu. ˇ sen´ı: Vektorov´e pole f~ = (P, Q) je v oblasti Ω = {[x, y] ∈ R2 : y > x > 0} tˇr´ıdy Reˇ C 1 . Pro funkce P , Q plat´ı ∂P ∂Q 2xy (x, y) = (x, y) = ∂y ∂x (x − y)3 pro kaˇzd´e [x, y] ∈ Ω. Vektorov´e pole f~ je tedy v jednoduˇse souvisl´e oblasti Ω potenci´aln´ı a zadan´ y integr´al tedy nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe. Pro potenci´al V plat´ı ∂V (x, y) = Q (x, y) ∂y
∂V (x, y) = P (x, y) , ∂x
pro kaˇzd´e [x, y] ∈ Ω. Integrac´ı prvn´ı rovnice podle promˇenn´e x m´ame V (x, y) =
Z
y2 1 2 − x (x − y)
Z rovnice
!
dx + g(y) =
y2 − ln x + g(y). y−x
∂V = Q (x, y) ∂y
plyne g 0 (y) +
y 2 − 2xy 1 x2 = − y (x − y)2 (x − y)2
a po u ´pravˇe 1 g 0 (y) = −1 + . y Integrac´ı pˇredeˇsl´e rovnice dost´av´ame g(y) = −y + ln y + c, Celkem V (x, y) =
c ∈ R.
xy y + ln + c, y−x x
c ∈ R.
Hodnota integr´alu je 3 V (B) − V (A) = 2 + ln . 2 23
Vˇ eta 3.6. Necht’ f~ = (P, Q, R) je tˇr´ıdy C 1 v ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´e oblasti Ω ⊂ R3 . Kˇrivkov´y integr´al Z
f~(x, y, z) · d~s =
γ
Z
P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz,
γ
kde γ ⊂ Ω nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe AB na oblasti Ω tehdy a jen tehdy, kdyˇz vektorov´e pole f~ je potenci´aln´ı na Ω . Je-li V jeho potenci´ al na Ω, pak plat´ı ZB
P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz = V (B) − V (A).
A
Pˇ r´ıklad 3.8. Dokaˇzte, ˇze integr´al ZB
yz dx + xz dy + xy dz
A
z bodu A = [1, 2, 3] do bodu B = [3, 2, 1] nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe a urˇcete jeho hodnotu. ˇ sen´ı: Vektorove pole f~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (yz, xz, xy) Reˇ je tˇr´ıdy C 1 na ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´e oblasti Ω = R3 . Pro funkce P , Q, R plat´ı ∂R (x, y, z) − ∂y ∂R (x, y, z) − ∂x ∂Q (x, y, z) − ∂x
∂Q (x, y, z) = x − x = 0, ∂z ∂P (x, y, z) = y − y = 0, ∂z ∂P (x, y, z) = z − z = 0 ∂y
pro kaˇzd´e [x, y, z] ∈ Ω. Vektorov´e pole f~ je tedy na Ω potenci´aln´ı a existuje potenci´al V tak, ˇze ∂V (x, y, z) = yz, ∂x
∂V (x, y, z) = xz, ∂y
∂V (x, y, z) = xy ∂z
pro kaˇzd´e [x, y, z] ∈ Ω. Integrac´ı prvn´ı rovnice podle promˇenn´e x m´ame V (x, y, z) =
Z
yz dx + g(y, z) = xyz + g(y, z),
∂V ∂ ∂g(y, z) = (xyz + g(y, z)) = xz + . ∂y ∂y ∂y Z pˇredeˇsl´eho a vyuˇzit´ım druh´e rovnice m´ame xz +
∂g(y, z) = xz ∂y 24
a tedy ∂g(y, z) = 0. ∂y Integrac´ı t´eto rovnice podle promˇenn´e y m´ame g(y, z) =
Z
0 dy + h(z) = h(z),
V (x, y, z) = xyz + h(z). Vyuˇzit´ım tˇret´ı rovnice dost´av´ame ∂V ∂ = (xyz + h(z)) = xy + h0 (z) = xy. ∂z ∂z Z pˇredeˇsl´eho m´ame h0 (z) = 0
=⇒
h(z) = c,
c∈R
a z´avˇerem V (x, y, z) = xyz + c,
c ∈ R.
Hodnota integr´alu je V (B) − V (A) = 6 + c − 6 − c = 0.
Pˇ r´ıklad 3.9. Dokaˇzte, ˇze integr´al ZB
x dx + y 2 dy − z 3 dz
A
z bodu A = [1, 1, 1] do bodu B = [1, 1, −1] nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe a urˇcete jeho hodnotu. ˇ sen´ı: Vektorov´e pole f~(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = (x, y 2 , −z 3 ) Reˇ je tˇr´ıdy C 1 na ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´e oblasti Ω = R3 . Pro funkce P , Q, R plat´ı ∂R (x, y, z) − ∂y ∂R (x, y, z) − ∂x ∂Q (x, y, z) − ∂x
∂Q (x, y, z) = 0 − 0 = 0, ∂z ∂P (x, y, z) = 0 − 0 = 0, ∂z ∂P (x, y, z) = 0 − 0 = 0 ∂y
pro kaˇzd´e [x, y, z] ∈ Ω. Vektorov´e pole f~ je tedy na Ω potenci´aln´ı a existuje potenci´al V tak, ˇze ∂V ∂V ∂V = x, = y2, = −z 3 ∂x ∂y ∂z 25
pro kaˇzd´e [x, y, z] ∈ Ω. Integrac´ı prvn´ı rovnice podle promˇenn´e x dost´av´ame Z 1 V (x, y, z) = x dx + g(y, z) = x2 + g(y, z), 2 ∂ 1 2 ∂g(y, z) ∂V = x + g(y, z) = . ∂y ∂y 2 ∂y Z pˇredeˇsl´eho a vyuˇzit´ım druh´e rovnice m´ame ∂g(y, z) = y2. ∂y Integrac´ı pˇredeˇsl´e rovnice podle y m´ame Z 1 g(y, z) = y 2 dy + h(z) = y 3 + h(z), 3 1 2 1 3 V (x, y, z) = x + y + h(z). 2 3 ∂ 1 2 1 3 ∂V = x + y + h(z) = h0 (z). ∂z ∂z 2 3 Z pˇredeˇsl´eho a vyuˇzit´ım tˇret´ı rovnice dostaneme 1 h0 (z) = −z 3 =⇒ h(z) = − z 4 + c, c ∈ R 4 a potenci´al m´a tvar 1 1 1 V (x, y, z) = x2 + y 3 − z 4 + c, c ∈ R. 2 3 4 Hodnota integr´alu je V (B) − V (A) = 0.
Cviˇ cen´ı 3.5. Ovˇeˇrte, ˇze dan´ y integr´al nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe v Ω ⊂ R2 (resp. Ω ⊂ 3 R ) a vypoˇctˇete jeho hodnotu od bodu A do bodu B: Z h i x dx + y dy 1 1. , A = [−2, −6], B = [1, 0]; − ln 40 2 x2 + y 2 γ Z
2.
x dx + y dy + (x + y − 1) dz , A = [2, 3, 4], B = [1, 1, 1];
h
i
− 13
γ
− → Cviˇ cen´ı 3.6. Ovˇeˇrte, ˇze pr´ace v silov´em poli F nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe v R2 (resp. − → v R3 ), urˇcete potenci´al F (~r) tohoto silov´eho pole a vypoˇctˇete pr´aci A od bodu M do bodu N . − → 1. F (x, y) = (x cos 2y + 1) · ~i − x2 sin 2y · ~j, M = [0, − π2 ], N = [ π2 , π]; h
i
V (x, y) = 21 x2 cos 2y + x + c; W = 81 π(π + 4)
− → 2. F (~r) = (x2 + yz) · ~i + (y 2 + xz) h· ~j + (z 2 + xy) · ~k, M = [1, −2, 3], N = [2, 3, 4]. i V (x, y, z) = 13 x3 + y 3 + z 3 + xyz + c; W = 169 3
26
4
Kontroln´ı ot´ azky, autotest
Ot´azky pro v´as: • Napiˇste integr´aln´ı souˇcet, kter´ y vyjadˇruje aproximaci hmotnosti oblou-ku. • Kdy nazveme limitu integr´aln´ıch souˇct˚ u kˇrivkov´ ym integr´alem ve skal´a-rn´ım poli? • Uved’te vztahy pro v´ ypoˇcet kˇrivkov´eho integr´alu v rovinn´em a prostorov´em skal´arn´ım poli. • Jak´e zn´ate z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ım poli? • Vysvˇetlete vztahy pro v´ ypoˇcet z´akladn´ıch geometrick´ ych a technick´ ych aplikac´ı kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ım poli. • Jak´ y tvar m´a integr´aln´ı souˇcet pro v´ ypoˇcet pr´ace v silov´em poli? • Zapiˇste vztahy pro v´ ypoˇcet kˇrivkov´eho integr´alu ve vektorov´em poli v rovinˇe a v prostoru. • Uved’te z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu ve vektorov´em poli. • Zformulujte Greenovu vˇetu. • Uˇzit´ım Greenovy vˇety odvod’te vztah pro v´ ypoˇcet ploˇsn´eho obsahu rovinn´e oblasti. • Kdy ˇrekneme, ˇze kˇrivkov´ y integr´al nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe? • Jak definujeme potenci´al vektorov´eho pole? • Co je jednoduˇse souvisl´a oblast v R2 ? • Co staˇc´ı k tomu, aby rovinn´e vektorov´e pole na jednoduˇse souvisl´e oblasti bylo potenci´aln´ı? Jak se zmˇen´ı tyto podm´ınky v pˇr´ıpadˇe prostorov´eho vektorov´eho pole? • Popiˇste postup pˇri v´ ypoˇctu potenci´alu v pˇr´ıpadˇe rovinn´eho a prostorov´eho vektorov´eho pole. • Jak se vypoˇc´ıt´a kˇrivkov´ y integr´al nez´avisl´ y na integraˇcn´ı cestˇe, zn´ame-li potenci´al?
27
Autotest Vzorov´ e zad´ an´ı kontroln´ıho testu.
Matematika, 2. semestr Zpracoval: Test ˇ c. 4 Jm´eno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adresa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Vypoˇctˇete kˇrivkov´e integr´aly 1. druhu po dan´e kˇrivce γ: 1)
Z
(x + y) ds, kde γ je obvod troj´ uheln´ıka s vrcholy A = [1, −1], B = [2, −1]
γ
a C = [1, 0]; 2)
3)
z2 ds, kde γ je oblouk ˇsroubovice x = a cos t, y = a sin t, z = at, γ (x2 + y 2 ) t ∈ h0, 2πi, a > 0; Z
Z
(
xy ds, kde γ je elipsa
γ
x2 y 2 + 2 = 1 pro x ≥ 0, y ≥ 0, a, b > 0. a2 b
B. Vypoˇctˇete kˇrivkov´e integr´aly 2 druhu po dan´e kˇrivce γ: 4)
Z
x dx + y dy + (x + y − 1) dz , kde γ je orientovan´a u ´seˇcka A = [1, 1, 1],
γ
B = [2, 3, 4]; 5)
Z
(y 2 − x2 ) dx + (x2 + y 2 ) dy, kde γ je orientovan´a kˇrivka x + |y − 1| = 1 pro
γ
0 ≤ y ≤ 2 s koncov´ ym bodem B = [0, 2]; 6)
Z
xy dx + y 2 dy, kde γ je oblouk AB kˇrivky y = arctg x od bodu A = [1, ?]
γ
do bodu B = [0, ?]. C. Ovˇeˇrte, ˇze dan´ y integr´al nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe a vypoˇctˇete jeho hodnou od bodu A do bodu B: 7)
Z γ
8)
Z
1 − y2 2y dx + dy, A = [0, 0], B = [1, 1]; 2 (1 + x) 1+x xz 2 dx + y 3 dy + x2 z dz , A = [−1, 1, 2], B = [−4, 2, −1].
γ
D. Ovˇeˇrte, ˇze jsou splnˇeny podm´ınky pro uˇzit´ı Greenovy vˇety a uˇzijte ji k v´ ypoˇctu integr´al˚ u:
9)
Z
(x + y)2 dx − (x + y)2 dy, kde γ je kladnˇe orientovan´ y obvod troj´ uheln´ıka
γ
ABC, A = [0, 0], B = [1, 0] a C = [0, 1]; 10)
Z
(xy + x + y) dx + (xy + x − y) dy, kde γ je kladnˇe orientovan´a kruˇznice
γ 2
x + y 2 = ax, a > 0 konstanta. E. Vypoˇctˇete d´elku kˇrivky γ, je-li: 11) γ : ~r(t) = a cos t~i + vt~j + a sin t~k, 0 ≤ t ≤ π/4, a, v > 0 konstanty. F. Vypoˇctˇete obsah rovinn´eho obrazce A, je-li n
o
12) A = [x, y] ∈ R2 : 3x2 + 4y 2 ≤ 12, x ≤ 2y ≤ 3x . G. Vypoˇctˇete hmotnost kˇrivky γ, je-li hustota kˇrivky σ(~r): √ 13) γ : y = x3 pro 0 ≤ x ≤ 4/9, σ(x, y) ≡ x. − → H. V kaˇzd´em bodˇe silov´eho pole v R3 p˚ usob´ı s´ıla F (~r). Vypoˇc´ıtejte pr´aci tohoto pole pˇri pohybu hmotn´eho bodu po orientovan´e kˇrivce γ: 14) γ : ~r(t) = (cos t, sin t, ct) orientovan´e souhlasnˇe s dan´ ym parametrick´ ym − → ~ ~ ~ vyj´adˇrn´ım pro t ∈ h0, πi; F (~r) ≡ y · i + z · j + yz · k.
pˇr. max. bod˚ u z´ıs. bod˚ u
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
29
8 1
9 1
X
10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 14
opravil(a)
5
Studijn´ı prameny. [1] Brabec, J., Hr˚ uza, B.: Matematick´ a anal´yza II., SNTL, Praha 1986. [2] Dr´abek, P., M´ıka, S.: Matematick´ a anal´yza II., FAV, Plzeˇ n 1997, 2. vyd´an´ı. [3] Fichtˇengolc G.M.: Kurs diferencialnovo i integralnovo isˇcislenija III., Nauka, Moskva 1966, 4. vyd´an´ı. [4] Rektorys, K. a kol.: Pˇrehled uˇzit´e matematiky I., Prometheus, Praha 1995, 6. pˇrepracovan´e vyd´an´ı. ˇ aˇsek, J., Tich´ [5] Skr´ y, Z.: Z´aklady aplikovan´e matematiky II., SNTL, Praha 1986. ˇ ıˇsek, A.: Kˇrivkov´y a ploˇsn´y integr´ [6] Zen´ al, PC-DIR, Brno 1997.
30
