´ UCEN ˇ ´I TECHNICKE ´ V BRNE ˇ VYSOKE FAKULTA STAVEBN´I
MATEMATIKA I MODUL 8 ˇ Y ´ INTEGRAL ´ URCIT
STUDIJN´I OPORY ´ PRO STUDIJNI PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX 2ε c Josef Danˇeˇcek, Oldˇrich Dlouh´
y, Oto Pˇribyl 2004
Obsah 1
´ Uvod. 1.1 C´ıle modulu. . . . . . . . . 1.2 Poˇzadovan´e znalosti. . . . 1.3 Doba potˇrebn´a ke studiu. 1.4 Kl´ıˇcov´a slova. . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 4 4 4 5
2 Newton˚ uv integr´ al.
6
3 Riemann˚ uv integr´ al.
9
4 Z´ akladn´ı vlastnosti urˇ cit´ eho Newtonova integr´ alu.
11
5 Integr´ al jako funkce horn´ı (resp. doln´ı) meze. Integr´ aly z´ avisl´ e na parametru.
15
6 Geometrick´ e aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu. 6.1 D´elka kˇrivky. . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ploˇsn´ y obsah rovinn´eho obrazce. . . . . . 6.3 Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa. . . . . . . . . . 6.4 Obsah rotaˇcn´ı plochy. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
16 16 20 22 24
7 Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu v mechanice. 26 7.1 Hmotnost, statick´ y moment a moment setrvaˇcnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.2 Hmotnost, statick´e momenty, tˇeˇziˇstˇe a momenty setrvaˇcnosti tenk´e homogenn´ı rovinn´e desky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.3 Hmotnost, statick´e momenty, tˇeˇziˇstˇe a momenty setrvaˇcnosti homogenn´ıho rovinn´eho oblouku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7.4 Guldinovy vˇety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8 Nˇ ekter´ e dalˇ s´ı fyzik´ aln´ı aplikace.
34
9 Kontroln´ı ot´ azky.
37
10 V´ ysledky cviˇ cen´ı.
38
11 Studijn´ı prameny.
40
A Pojem kˇ rivky v rovinˇ e.
41
B Vzorov´ a zad´ an´ı kontroln´ıch test˚ u.
47
3
1
´ Uvod.
1.1
C´ıle modulu.
Odstavec 1. Sezn´am´ıte se s pojmem zobecnˇen´e primitivn´ı funkce a jej´ım vyuˇzit´ım pˇri definici Newtonova integr´alu, kter´ y n´am umoˇzn´ı v´ ypoˇcet ,,urˇcit´ ych” integr´al˚ u. Je nutn´e dobˇre zvl´adnout tuto definici se vˇsemi pˇredpoklady (zvl´aˇstˇe nezapom´ınejte na poˇzadavek spojitosti primitivn´ı funkce F ) a umˇet pomoc´ı t´eto definice ˇreˇsit urˇcit´e integr´aly. Odstavec 2. Sezn´am´ıte se definic´ı Riemannova integr´alu, kterou budeme vyuˇz´ıvat pˇri odvozov´an´ı jednotliv´ ych vztah˚ u u geometrick´ ych a fyzik´aln´ıch aplikac´ı urˇcit´eho integr´alu. Odstavec 3. Je vˇenov´an z´akladn´ım vlastnostem Newtonova integr´alu, metodˇe per partes a substituˇcn´ı metodˇe po v´ ypoˇcet urˇcit´ ych integr´al˚ u. Je nutn´e zn´at pˇredpoklady pro pouˇzit´ı tˇechto integraˇcn´ıch metod a porozumˇet zmˇenˇe mez´ı u substituˇcn´ı metody. Odstavec 4. Je sp´ıˇse informativn´ıho charakteru a jeho c´ılem je poskytnout poznatky pro vyuˇzit´ı integr´alu z´avisl´ ych na parametru v dalˇs´ıch parti´ıch matematick´e anal´ yzy. Odstavec 5. Uˇzit´ım definice Riemannova integr´alu jsou zde odvozeny jednotliv´e geometrick´e aplikace urˇcit´eho integr´alu. Tento odstavec je dosti n´aroˇcn´ y a jeho c´ılem je, abyste umˇeli sestavit integr´aln´ı souˇcty pro uveden´e aplikace a t´ım porozumˇeli vzorc˚ um pro jejich v´ ypoˇcet. Bez propoˇc´ıt´an´ı dostateˇcn´eho mnoˇzstv´ı pˇr´ıklad˚ u se v´am jen stˇeˇz´ı podaˇr´ı tuto problematiku zvl´adnout. Odstavce 6. aˇ z 8. Tak´e v tˇechto odstavc´ıch je hlavn´ım c´ılem porozumˇet vytv´aˇren´ı integr´aln´ıch souˇct˚ u pro jednotliv´e aplikace urˇcit´eho integr´alu v mechanice a fyzice. Projdˇete si d˚ ukladnˇe vyˇreˇsen´e pˇr´ıklady a na jejich z´akladˇe si spoˇc´ıtejte pˇr´ıklady ze cviˇcen´ı.
1.2
Poˇ zadovan´ e znalosti.
Pro zvl´adnut´ı urˇcit´eho integr´alu je potˇrebn´e dobˇre umˇet v´ ypoˇcty primitivn´ıch funkc´ı (viz modul Neurˇcit´ y integr´al). V aplikac´ıch urˇcit´eho integr´alu je nezbytn´e zn´at grafy a rovnice z´akladn´ıch rovinn´ ych kˇrivek (viz Dodatek tohoto modulu).
1.3
Doba potˇ rebn´ a ke studiu.
Pˇribliˇznˇe lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu jednorozmˇern´eho integr´alu na 15 hodin. Pro z´ısk´an´ı zkuˇsenost´ı a zruˇcnosti ve v´ ypoˇctu aplikaˇcn´ıch u ´loh bude jeˇstˇe zˇrejmˇe zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇcas z´avisl´ y na dosavadn´ı poˇcetn´ı praxi studenta.
4
1.4
Kl´ıˇ cov´ a slova.
Zobecnˇen´a primitivn´ı funkce, Newton˚ uv integr´al, Riemann˚ uv integr´aln´ı souˇcet, norma dˇelen´ı, Riemann˚ uv integr´al, z´akladn´ı vlastnosti Newtonova integr´alu, metoda per partes pro Newton˚ uv integr´al, metoda substituˇcn´ı pro Newton˚ uv integr´al, d´elka kˇrivky, ploˇsn´ y obsah rovinn´e oblasti, objem rotaˇcn´ıho tˇelesa, obsah rotaˇcn´ı plochy tˇelesa, tˇeˇziˇstˇe rovinn´e desky, tˇeˇziˇstˇe rovinn´eho oblouku.
5
2
Newton˚ uv integr´ al.
Historicky nejstarˇs´ı je definice Newtonova integr´alu, kter´a je zaloˇzena na pojmu primitivn´ı funkce. ˇ Definice 2.1. Rekneme, a primitivn´ı funkce k funkci ˇze funkce F je zobecnˇen´ f v intervalu (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞, jestliˇze plat´ı (a) F je spojit´a na (a, b), (b) F 0 (x) = f (x) pro kaˇzd´e x ∈ (a, b) s v´ yjimkou nejv´ yˇse spoˇcetn´e podmnoˇziny M intervalu (a, b). Pozn´ amka 2.1. Funkce f pˇritom nemus´ı b´ yt definovan´a na L ⊆ M . Kaˇzd´a koneˇcn´a mnoˇzina je nejv´ yˇse spoˇcetn´a. Mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel resp. cel´ ych ˇc´ısel je je nejv´ y ˇ s e spoˇ c etn´ a . nejv´ yˇse spoˇcetn´a. Posloupnost { n1 }∞ n=1 Pozn´ amka 2.2. V dalˇs´ım budeme m´ısto zobecnˇen´e primitivn´ı funkce uˇz´ıvat struˇcnˇejˇs´ı oznaˇcen´ı – primitivn´ı funkce. Definice 2.2. Je-li funkce F primitivn´ı funkc´ı k funkci f v (a, b), kde −∞ ≤ a < b ≤ ∞, a existuj´ı-li vlastn´ı (koneˇcn´e) limity limx→a+ F (x), limx→b− F (x), pak ˇc´ıslo Zb
f (x) dx = [F (x)]ba = lim F (x) − lim F (x) x→b−
a
x→a+
naz´ yv´ame Newtonov´ym integr´alem funkce f na intervalu (a, b). Mnoˇzinu vˇsech funkc´ı, kter´e maj´ı Newton˚ uv integr´al na intervalu (a, b), znaˇc´ıme N (a, b). Pozn´ amka 2.3. (a) Je-li funkce F spojit´a v ha, bi, pak [F (x)]ba = F (b) − F (a). (b) Pokud zn´ame primitivn´ı funkci, Newton˚ uv integr´al podle pˇredeˇsl´e definice snadno spoˇc´ıt´ame. D´ale si vˇsimnˇeme, ˇze v pˇredeˇsl´e definici nepoˇzadujeme omezenost intervalu I ani ohraniˇcenost integrovan´e funkce.
6
Pˇ r´ıklad 2.1. Vypoˇctˇete integr´al Z∞ −∞
ˇ sen´ı. Funkce Reˇ
1 1+x2
1 dx. 1 + x2
m´a na intervalu (−∞, ∞) primitivn´ı funkci arctg x a plat´ı
[arctg x]∞ −∞
π π = x→∞ lim arctg x − lim arctg x = − − x→−∞ 2 2
a podle Definice 2.2 m´ame
Z∞
=π
1 dx = π. 1 + x2
−∞
Pˇ r´ıklad 2.2. Vypoˇctˇete integr´al Zb
f (x) dx,
a
kde a < 0 < b, pro funkci −1 pro x ∈ (a, 0),
0 pro x = 0,
f (x) =
1 pro x ∈ (0, b).
ˇ sen´ı. Funkce f m´a na intervalu (a, b) zobecnˇenou primitivn´ı funkci F (x) = |x| Reˇ a plat´ı
b
|x|
= b − (−a) = b + a
a
a podle Definice 2.2 m´ame Zb
f (x) dx = b + a.
a
Pˇ r´ıklad 2.3. Vypoˇctˇete integr´al Z1 −1
ˇ sen´ı. Funkce Reˇ
√ 1 1−x2
√
1 dx. 1 − x2
m´a na intervalu (−1, 1) primitivn´ı funkci arcsin x a plat´ı
[arcsin x]1−1 = arcsin 1 − arcsin (−1) = 7
π π − − 2 2
=π
a podle Definice 2.2 m´ame Z1
√
−1
1 dx = π. 1 − x2
Pˇ r´ıklad 2.4. Vypoˇctˇete integr´al Z2
1 q 3
0
(x − 1)2
dx.
√ ˇ sen´ı. Zadan´a funkce m´a na intervalu (0, 2) primitivn´ı funkci 3 3 x − 1 a plat´ı Reˇ h √ 3
i2
3 x−1
0
= 3(1 − (−1)) = 6
a podle Definice 2.2 m´ame Z2
1 q 3
0
(x − 1)2
dx = 6.
Pˇ r´ıklad 2.5. Vypoˇctˇete integr´al Z∞
sin x dx.
0
ˇ sen´ı. Funkce sin x m´a na intervalu (0, ∞) primitivn´ı funkci − cos x a plat´ı Reˇ [− cos x]∞ 0 = − lim cos x + cos 0 = 1 − lim cos x, x→∞
x→∞
a protoˇze pˇredeˇsl´a limita neexistuje, neexistuje tak´e zadan´ y integr´al.
Pˇ r´ıklad 2.6. Vypoˇctˇete integr´al Ze
| ln x| dx.
0
ˇ sen´ı. Plat´ı Reˇ | ln x| =
− ln x
pro x ∈ (0, 1),
ln x pro x ∈ (1, e).
8
Podle Pˇr´ıkladu 2.4(h) v Modulu Neurˇcit´y integr´ al je k dan´e funkci ln x primitivn´ı funkce x(ln x − 1). Zobecnˇen´a primitivn´ı je pak −x(ln x − 1) − 1 pro x ∈ (0, 1),
F (x) =
x(ln x − 1) + 1 pro x ∈ (1, e).
a podle Definice 2.2 m´ame Ze
| ln x| dx = [F (x)]e0 = F (e) − lim F (x) = 1 + 1 = 2. x→0+
0
3
Riemann˚ uv integr´ al.
Nyn´ı si zavedeme definici Riemannova integr´alu, kter´a je geometricky velmi n´azorn´a a lze ji vyuˇz´ıt jako z´aklad pro pˇribliˇzn´ y (numerick´ y) v´ ypoˇcet urˇcit´eho integr´alu a pˇri odvozov´an´ı fyzik´aln´ıch veliˇcin. Uvaˇzujme interval I = ha, bi ⊂ R, a < b jsou koneˇcn´a, re´aln´a ˇc´ısla a nech Dn je dˇelen´ı intervalu ha, bi s dˇelic´ımi body a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Kaˇzd´ y interval Ii = hxi−1 , xi i, i = 1, 2, . . . , n naz´ yv´ame ˇc´ asteˇcn´ym intervalem dˇelen´ı Dn .
Obr´azek 1: Riemann˚ uv integraln´ı souˇcet. D´elku (m´ıru) intervalu Ii definujeme µ(Ii ) = xi − xi−1 = ∆xi , i = 1, 2, . . . , n. V´ yraz ν(Dn ) = maxi=1,2,...,m {∆xi } naz´ yv´ame normou dˇelen´ı Dn . 9
Definice 3.1. Nech f je ohraniˇcen´a funkce na I, Dn dˇelen´ı I s dˇelic´ımi body a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Oznaˇcme Dn mnoˇzinu vˇsech n-tic bod˚ u ξ (n) = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ), ξi ∈ Ii . ´ıslo S(f, Dn , ξ
(n)
)=
n X
f (ξi ) (xi − xi−1 ) =
i=1
n X
f (ξi ) ∆xi
i=1
aln´ım souˇctem funkce f , pro ξ (n) ∈ Dn se naz´ yv´a Riemannov´ym integr´ pˇr´ısluˇsn´ ym dˇelen´ı Dn a n-tici ξ (n) ∈ Dn .
Definice 3.2. ekneme, ˇze funkce f m´a na intervalu ha, bi urˇcit´ y Riemann˚ uv integr´ al A ∈ R tehdy a jen tehdy, kdyˇz plat´ı lim S(f, Dn , ξ (n) ) = A
n→∞
pro kaˇzdou posloupnost {Dn }∞ ze limn→∞ ν(Dn ) = 0, kaˇzdou n=1 takovou, ˇ posloupnost {ξ (n) }∞ a tato limita nez´ a vis´ ı na volbˇe posloupnosti {Dn }∞ n=1 n=1 . a v´ ybˇeru posloupnosti {ξ (n) }∞ n=1 Vˇ eta 3.1. Kaˇzd´a spojit´a funkce na ha, bi m´ a urˇcit´y Riemann˚ uv i Newton˚ uv integr´ al a tyto integr´aly jsou si rovny. Pozn´ amka 3.1. Mnoˇzinu vˇsech riemannovsky integrovateln´ ych funkc´ı na ha, bi znaˇc´ıme R(a, b). Pozn´ amka 3.2. Poˇc´ıtat Riemann˚ uv integr´al pˇr´ımo z definice by bylo ovˇsem velice pracn´e. Je tedy zˇrejm´e, ˇze poˇc´ıt´ame Riemann˚ uv integr´al pomoc´ı Newtonova. Pozn´ amka 3.3. Vˇsimnˇete si, ˇze pˇri konstrukci Riemannova integr´alu jsme pˇredpokl´adali, ˇze jak funkce f tak i interval ha, bi jsou ohraniˇcen´e. Pˇri rozˇsiˇrov´an´ı Riemannova integr´alu na neohraniˇcen´e intervaly a pro neohraniˇcen´e funkce dost´av´ame tzv. nevlastn´ı integr´aly, kter´e se definuj´ı uˇzit´ım limit, napˇr. integr´al Z
∞
f (x) dx,
a
kde a ∈ R, f je ohraniˇcen´a a integrovateln´a v kaˇzd´em intervalu ha, bi ⊂ ha, ∞), definujeme jako Z b
lim
b→∞
f (x) dx.
a
Analogicky definujeme nevlastn´ı integr´al pro neohraniˇcenou funkci v intervalu ha, bi. V pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou limity koneˇcn´e, ˇr´ık´ame, ˇze nevlastn´ı integr´al konverguje (nebo ˇze existuje). Pokud vlastn´ı limita neexistuje, ˇr´ık´ame, ˇze nevlastn´ı integr´al diverguje. 10
Vid´ıme, ˇze tyto u ´vahy jsou jiˇz velmi bl´ızk´e naˇsemu pojet´ı Newtonova integr´alu. Pˇritom plat´ı, ˇze existuj´ı-li Newton˚ uv integr´al i Riemann˚ uv vlastn´ı nebo nevlastn´ı integr´al, pak se sobˇe rovnaj´ı.
4
Z´ akladn´ı vlastnosti urˇ cit´ eho Newtonova integr´ alu.
Z´akladn´ı vlastnosti urˇcit´eho Newtonova integr´alu jsou shrnuty v n´asleduj´ıc´ı vˇetˇe. Vˇ eta 4.1. Necht’ −∞ ≤ a < b ≤ ∞. (a) Necht’ funkce f a g maj´ı Newton˚ uv integr´ al na intervalu (a, b) (tj. f, g ∈ N (a, b)). Pak plat´ı Zb
kf (x) + lg(x) dx = k
a
Zb
f (x) dx + l
Zb
g(x) dx,
a
a
kde k, l jsou libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla. (b) Necht’ a < c < b. Pak f ∈ N (a, b) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz f ∈ N (a, c) a f ∈ N (c, b). Nav´ıc plat´ı Zb
f (x) dx =
a
Zc
f (x) dx +
a
Zb
f (x) dx.
c
(c) Necht’ f , g ∈ N (a, b). Pak plat´ı Zb
f (x) dx ≤
a
Zb
g(x) dx,
a
je-li 0 ≤ f (x) ≤ g (x) vˇsude, kde funkce f a g jsou spojit´e. (d) Jestliˇze |f | ∈ N (a, b), pak plat´ı b Z Zb f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a
a
(e) Jestliˇze |f (x)| ≤ M vˇsude, kde funkce f je spojit´ a, |f | ∈ N (a, b) a ˇc´ısla a, b jsou koneˇcn´a, pak Zb
|f (x)| dx ≤ M (b − a).
a
(f ) Jestliˇze je funkce f spojit´a na ha, bi a ˇc´ısla a, b jsou koneˇcn´ a, pak existuje bod ξ ∈ ha, bi tak, ˇze Zb
f (x) dx = f (ξ) (b − a).
a
11
(g) Jestliˇze f ∈ N (a, b), pak plat´ı Zb
Za
f (x) dx = −
a
f (x) dx.
b
Vˇ eta 4.2. (Metoda per partes.) Necht’ u, v ∈ N (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Jsouli funkce u a v spojit´e na (a, b) a maj´ı zde derivaci s v´yjimkou nejv´yˇse spoˇcetn´e mnoˇziny bod˚ u, pak plat´ı Zb
b
0
u(x)v (x) dx = u(x)v(x)
−
a
a
Zb
u0 (x)v(x) dx,
a
maj´ı-li alespoˇ n dva ze tˇr´ı v´yraz˚ u koneˇcnou hodnotu. Pozn´ amka 4.1. V´yrazem [u(x)v(x)]ba rozum´ıme lim u(x)v(x) − lim u(x)v(x) x→a+
x→b−
D˚ ukaz. Plyne z vˇety o derivaci souˇcinu funkc´ı a definice primitivn´ı funkce. Pˇ r´ıklad 4.1. Vypoˇctˇete integr´al I=
Z1
(1 + 3x) sin(1 − 2x)π dx.
0
ˇ sen´ı. Funkce u(x) = 1 + 3x, v(x) = Reˇ spojit´ e derivace a tedy plat´ı Z
1 2π
cos(1 − 2x)π maj´ı na intervalu (0, 1)
1
(1 + 3x) sin(1 − 2x)πdx
0
u(x) = 1 + 3x, = 0 u (x) = 3,
v 0 (x) = sin(1 − 2x)π
1 = (1 + 3x) cos(1 − 2x)π 2π
1
−
0
2 1 3 = − + + 2 sin(1 − 2x)π π 2π 4π
Pˇ r´ıklad 4.2. Vypoˇctˇete integr´al Z∞
cos(1−2x)π 2π Z1
v(x) =
te−t dt.
0
12
3 2π 1 0
cos(1 − 2x)π dx
0
=−
3 . 2π
ˇ sen´ı. Funkce te−t m´a na intervalu (0, ∞) primitivn´ı funkci −(t + 1)e−t a plat´ı Reˇ h
−(t + 1)e−t
i∞
a podle Definice 2.2 m´ame
0
= − lim (t + 1)e−t + 1 = 1 t→∞
Z∞
te−t dt = 1.
0
Pˇ r´ıklad 4.3. Vypoˇctˇete integr´al Z1
x ln x dx.
0
ˇ sen´ı. Funkce x ln x je spojit´a na (0, 1) a m´a zde derivaci v kaˇzd´em bodˇe intervalu Reˇ (0, 1). Z1 0
x ln x dx
u(x) = ln x, = 0 u (x) = x1 ,
=
1 2 x ln x 2
v 0 (x) = x v(x) = 12 x2
1
1
1Z − x dx 2 0 0
1 1 1 h i1 1 = 0 − lim x2 ln x − x2 = 0 − = − . 0 x→0+ 2 4 4 4
Vˇ eta 4.3. (Vˇeta o substituci.) Necht’ −∞ ≤ a < b ≤ ∞, funkce ϕ je ryze monotonn´ı, spojit´a a m´a koneˇcnou nenulovou derivaci na (a, b) s v´yjimkou nejv´yˇse spoˇcetn´e mnoˇziny bod˚ u a funkce f je spojit´ a na intervalu J takov´em, ˇze ϕ (a, b) ⊆ J. Pak plat´ı ϕ(b−) Z
f (x) dx =
Zb
f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt,
a
ϕ(a+)
existuje-li jeden z integr´al˚ u a kde ϕ(a+) = limt→a+ ϕ(t), ϕ(b−) = limt→b− ϕ(t). Pˇ r´ıklad 4.4. Vypoˇctˇete integr´al Z∞ 2/π
1 1 sin dx. 2 x x
ˇ sen´ı. Zavedeme substituci x = ϕ(t) = 1 . Funkce ϕ je ryze monotonn´ı, spojit´a a Reˇ t m´a nenulovou derivaci na (0, π2 ). Funkce f (x) = x12 sin x1 je spojit´a na π2 , ∞ . 13
Z∞ 2/π
1 1 x = ϕ(t) = 1t , t = π2 , 0 dx = sin 0 ϕ (t) = − 12 , x = ( π2 , ∞ x2 x t
= −
Z0
sin t dt =
π/2 Z
sin t dt
0
π/2
= [− cos t]π/2 = − cos 0
π + cos 0 = 1. 2
Pˇ r´ıklad 4.5. Vypoˇctˇete integr´al I=
π/2 Z 0
1 dt. (1 + tg t)2 cos2 t
ˇ sen´ı. Zavedeme substituci ϕ(t) = tg t = x. Funkce ϕ je rzye monotonn´ı, spojit´a Reˇ a m´a nenulovou derivaci ϕ0 (t) = cos12 t na (0, π2 ). Funkce f je spojit´a na (0, ∞). x = ϕ(t) = tg t, t = 0, π2 = 0 ϕ (t) = cos12 t , x = 0, ∞ ∞
I
1 − 1+x
=
0
Z∞ 1 dx = (1 + x)2 0
1 = − x→∞ lim + 1 = 1. 1+x
Cviˇ cen´ı 4.1. Vypoˇctˇete integr´aly: a)
Z∞
√ − x
e
f)
dx
b)
xe
−x2
g)
dx
0
c)
Z∞ 1
d)
Z∞ 1
e)
x2
1 dx (x + 1)
h)
Z∞ −∞ Z∞ 0
1/x
e dx x2
Z1 s 0
√
0
0
Z∞
Z1
i)
Z∞ 1
1+x dx 1−x
j)
Z1
arctg2 x dx 1 + x2
1 dx 1 + x3 arctg x dx x2 1 q
−1
14
x dx 1 − x2
|x|
dx
5
Integr´ al jako funkce horn´ı (resp. doln´ı) meze. Integr´ aly z´ avisl´ e na parametru.
Vˇ eta 5.1. Necht’ −∞ ≤ a < b ≤ ∞, f ∈ N (a, b) a c ∈ (a, b) libovoln´e. Pak je funkce F (x) =
Zx
f (t) dt,
x ∈ (a, b)
c
zobecnˇenou primitivn´ı funkc´ı k funkci f na (a, b). Oznaˇcme I(t) =
Zb
f (x, t) dx.
(∗)
a
Vˇ eta 5.2. Necht’ funkce f (x, t) je spojit´ a na intervalu J = ha, bi × hc, di. Pak integr´ al (∗) je spojitou funkc´ı promˇenn´e t na intervalu hc, di. Pˇ r´ıklad 5.1. Necht’ c a d, c < d jsou libovoln´a ˇc´ısla takov´a, ˇze 0 ∈ / hc, di. Pro libovoln´e t ∈ hc, di vypoˇctˇete integr´al I(t) =
Z1
f (x, t) dx,
0
kde funkce f : h0, 1i × hc, di → R je d´ana pˇredpisem f (x, t) = ex/t . ˇ sen´ı. Reˇ I(t) =
Z1 0
= t
x = ϕ(u) = tu, u = 0, 1t e dx = 0 ϕ (u) = t, x = 0, 1 x t
Z1/t
u
u
1/t
e du = t e
1
= t et − 1 .
0
0
Vˇ eta 5.3. Nech funkce f (x, t) je spojit´ a v promˇenn´e x na intervalu ha, bi pro kaˇzd´e t ∈ hc, di. D´ale pˇredpokl´adejme, ˇze existuje parci´ aln´ı derivace ft0 (x, t), kter´ a je spojit´ a na J = (a, b) × (c, d). Pak plat´ı 0
I (t) =
Zb
ft0 (x, t) dx
a
pro kaˇzd´e t ∈ (c, d).
15
Pˇ r´ıklad 5.2. Je d´ana funkce x t
f (x, t) = arctg
na intervalu h0, 1i × hc, di, 0 ∈ / hc, di, c < d libovoln´a re´aln´a ˇc´ısla. Pak pro funkci Z1
I(t) =
x dx, t
arctg
0
t ∈ hc, di
plat´ı 0
I (t) =
Z1 0
x arctg t
0
dx = −
t
1 = − ln x2 + t2 2
Z1 0
1 0
x2
= ln √
x dx + t2
|t| . 1 + t2
pro kaˇzd´e t ∈ hc, di. Pˇr´ıklady integr´al˚ u z´avisl´ ych na parametru: Gama funkce ∞ Γ(t) =
Z
e−x xt−1 dx,
t > 0.
0
Vyuˇzit´ım funkce Γ lze vypoˇc´ıtat integr´aly, kter´e se vyuˇz´ıvaj´ı v teorii pravdˇepodobnosti: • (tzv. Laplace˚ uv–Gauss˚ uv integr´al) Z∞
√ −a2 x2
e
0
•
dx =
π , 2a
a ∈ R, a > 0,
t
2 1 Z − (x−µ) √ e 2σ2 dx, 2πσ −∞
µ, σ ∈ R, σ > 0,
kde µ je stˇredn´ı hodnota a σ je smˇerodatn´a odchylka.
6 6.1
Geometrick´ e aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu. D´ elka kˇ rivky.
Pˇred studiem tohoto odstavce si nejprve pozornˇe prostudujte ˇc´ast Pojem kˇrivky v rovinˇe v dodatku tohoto modulu – kliknˇete zde. 16
Necht’ je d´an oblouk γ ⊂ R2 , kter´ y m´a parametrick´e rovnice x = ϕ(t),
y = ψ(t),
t ∈ ha, bi.
Uvaˇzujme dˇelen´ı intervalu ha, bi ⊂ R s dˇelic´ımi body a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b. Pˇredeˇsl´ ym zobrazen´ım je parametru ti pˇriˇrazen bod kˇrivky Ai = [ϕ(ti ), ψ(ti )]. Chceme zn´at d´elku cel´e kˇrivky. Oznaˇcme 4li d´elku u ´seˇcky Ai−1 Ai . D´elka u ´seˇcky Ai−1 Ai je tedy d´ana vztahem 4li =
q
(ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ))2 + (ψ(ti ) − ψ(ti−1 ))2 .
D´elka lomen´e ˇc´ary A0 A1 . . . Ai Ai+1 . . . An je souˇcet Ln =
n X i=1
4li =
n q X
(ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ))2 + (ψ(ti ) − ψ(ti−1 ))2 .
i=1
Toto ˇc´ıslo jistˇe neud´av´a d´elku kˇrivky γ pˇresnˇe, ale pˇribliˇznˇe.
Obr´azek 2: D´elka kˇrivky.
Nyn´ı na kaˇzd´ y v´ yraz pod odmocninou pouˇzijeme vˇetu o stˇredn´ı hodnotˇe ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (ξi )(ti − ti−1 ) = ϕ0 (ξi )4ti ψ(ti ) − ψ(ti−1 ) = ψ 0 (ηi )(ti − ti−1 ) = ψ 0 (ηi )4ti , kde ξi a ηi jsou body leˇz´ıc´ı v intervalu (ti−1 , ti ), i = 1, 2 . . . , n. 17
M˚ uˇzeme tedy ps´at Ln =
n q X
[ϕ0 (ξi )]2 (4ti )2 + [ψ 0 (ηi )]2 (4ti )2
i=1
=
n q X
n q X
[ϕ0 (ξi )]2 + [ψ 0 (ηi )]2 4ti =
[ϕ0 (ξi )]2 + [ψ 0 (ηi )]2 4ti
i=1
i=1
Nahrad´ıme-li v pˇredeˇsl´em v´ yrazu bod ηi bodem ξi pro i = 1, 2 . . . , n m´ame ˜n = L
n q X
[ϕ0 (ξi )]2 + [ψ 0 (ξi )]2 4ti ,
i=1
a tento v´ yraz je integr´aln´ım souˇcetm funkce
q
(ϕ0 (t))2 + (ψ 0 (t))2 . Poloˇzme
νn = max {4t1 , 4t2 , . . . , 4tn } . D´a se uk´azat, ˇze kdyˇz νn → 0 pak ˜ n → 0. Ln − L
a pˇrejdeme-li ve v´ yrazu Ln k limitˇe, tj. bude-li existovat limita ˜ n = lim Ln = lim lim L
νn →0
νn →0
νn →0
n q X
[ϕ0 (ξi )]2 + [ψ 0 (ηi )]2 4ti ,
i=1
pak tuto limitu nazveme d´elkou kˇrivky. V pˇr´ıpadˇe parametrick´ ych rovnic x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ ha, bi, je tedy d´elka kˇrivky d´ana vztahem L=
Zb q
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt,
a
a ve speci´aln´ıch pˇr´ıpadech, je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem y = f (x), x ∈ ha, bi a derivace f 0 je koneˇcn´a na (a, b), pak plat´ı L=
Zb q
1 + [f 0 (x)]2 dx,
a
nebo je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem x = g(y), y ∈ hc, di a derivace g 0 je koneˇcn´a na (c, d), pak plat´ı L=
Zd q
1 + [g 0 (y)]2 dy.
c
D´elka kˇrivky v pˇr´ıpadˇe pol´arn´ıch souˇradnic r = g(ϕ), kde g je spojit´a na hα, βi, g 0 koneˇcn´a na (α, β) je L=
Zβ q
g 2 (ϕ) + [g 0 (ϕ)]2 dϕ.
α
18
Pˇ r´ıklad 6.1. Vypoˇctˇete d´elku jednoho oblouku cykloidy o parametrick´ ych rovnic´ıch x = ϕ(t) = a(t − sin t),
y = ψ(t) = a(1 − cos t), t ∈ h0, 2πi,
kde a > 0. ˇ sen´ı. Reˇ ϕ0 (t) = a(1 − cos t),
L =
Z2π q
[ϕ0 (t)]2
+
[ψ 0 (t)]2
ψ 0 (t) = a sin t,
dt =
Z2π q
a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 t) dt
0
0
√ Z2π√
= a 2
Z2π Z2π t t 1 − cos t dt = 2a sin dt = 2a sin dt
0
2
0
= 2a −2 cos
t 2
0
2
2π
= 4a(− cos π + cos 0) = 8a [m]. 0
√ √ Pˇ r´ıklad 6.2. Vypoˇctˇete d´elku kˇrivky o rovnici f (x) = ln x, x ∈ h 3, 8i. ˇ sen´ı. Reˇ √
√
Z 8q
√ Z 8√
8s
1 x2 + 1 dx = dx x2 x √ √ √ 3 3 3 √ √ √ x = ϕ(u) = u2 − 1 x = 3, 8 = 0 ϕ (u) = √ u2 u = 2, 3 u −1
L =
=
Z3
Z3 2
1+
1+
1 2 u −1
1 1 − 1+ 2(u − 1) 2(u + 1)
1 u−1 u + ln 2 u+1
=
3
Z u2 du = u2 − 1 2
2
=
1 + [f 0 (x)]2 dx =
Z
3
=1+ 2
Cviˇ cen´ı 6.1. Vypoˇctˇete d´elku kˇrivky:
19
du
!
du
1 3 . ln = 1.203 [m]. 2 2
π a) y = 1 − ln(cos x), x ∈ 0, ; 4
ex + 1 , x ∈ (ln 2, ln 5); b) y = ln x e −1 c) y = ex , x ∈ (0, 1) ; d) y =
√
√ x − x2 + arcsin x, x ∈ (0, 1) ;
e) x = a cos3 t, y = a sin3 , t ∈ (0, π), a > 0; π f) x = a(t sin t + cos t), y = a(sin t − t cos t), t ∈ 0, , a > 0. 2
6.2
Ploˇ sn´ y obsah rovinn´ eho obrazce.
• Ploˇsn´ y obsah ˇc´asti roviny A = {[x, y] ∈ R2 : a < x < b, f1 (x) < y < f2 (x)}, kde f1 , f2 jsou spojit´e funkce takov´e, ˇze f1 (x) ≤ f2 (x), pro kaˇzd´e x ∈ (a, b), se spoˇcte podle vzorce P (A) =
Zb
[f2 (x) − f1 (x)] dx.
a
Podobnˇe, ploˇsn´ y obsah ˇc´asti roviny B = {[x, y] ∈ R2 : c < y < d, g1 (y) < x < g2 (y)}, kde g1 , g2 jsou spojit´e funkce takov´e, ˇze g1 (y) ≤ g2 (y) pro kaˇzd´e y ∈ (c, d), se spoˇcte podle vzorce P (B) =
Zd
[g2 (y) − g1 (y)] dy.
c
• Obsah ˇc´asti roviny ohraniˇcen´e grafem funkce dan´e parametrick´ ymi rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi. P =
Zβ
ψ(t) |ϕ0 (t)| dt,
ψ(t) ≥ 0, ϕ0 (t) 6= 0, t ∈ (α, β),
α
P =
Zβ
ϕ(t) |ψ 0 (t)| dt,
ϕ(t) ≥ 0, ψ 0 (t) 6= 0 t ∈ (α, β).
α
20
• Ploˇsn´ y obsah v pˇr´ıpadˇe pol´arn´ıch souˇradnic r = g(ϕ), kde g je kladn´a a spojit´a funkce definovan´a na intervalu hα, βi ⊆ h0, 2πi, je dan´ y vztahem β
1Z 2 P = g (ϕ) dϕ. 2α Pˇ r´ıklad 6.3. Vypoˇctˇete obsah elipsy ˇ Reˇ sen´ı. P = 4
Za
x2 a2
+
y2 b2
= 1, a, b > 0.
b√ 2 x = ϕ(t) = a cos t a − x2 dx = 0 ϕ (t) = −a sin t a
0
= −4ab
π/2 π/2 Z Z √ 1 − cos 2t 2 2 sin t 1 − cos t dt = 4ab sin t dt = 4ab dt 2
Z0
0
π/2
t = π2 , 0 x = 0, a
= 2ab t −
π/2
1 sin 2t 2
0
= πab [m2 ].
0
Pˇ r´ıklad 6.4. Vypoˇctˇete obsah oblasti omezen´e osou x a kˇrivkou traktrix s parametrick´ ymi rovnicemi π 3π , t∈ , 4 4
x = ϕ(t) = a cos t + a ln tg(t/2),
y = ψ(t) = a sin t,
kde a > 0. ˇ sen´ı. Reˇ P = 2
Zβ
0
ψ(t) |ϕ (t)| dt = 2a
α
= 2a
3π/4 Z
1
π/4 3π/4 Z
2
π/4
= a2
2
sin t
3π/4 Z 2 − sin t sin t dt = 2a cos2 t dt π/4
3π/4
1 + cos 2t 1 dt = a2 t + sin 2t 2 2
π/4
3 1 3 1 1 1 π−2 2 2 π + sin π − π − sin π = a [m ]. 4 2 2 4 2 2 2
√ Pˇ r´ıklad 6.5. Vypoˇctˇete obsah lemnisk´aty r = g(ϕ) = a cos 2ϕ, a > 0. ˇ sen´ı. Ze symetrie m´ame Reˇ π/4 π/4 π/4 1 1 Z 2 1 2Z 1 1 1 P = g (ϕ) dϕ = a cos 2ϕ dϕ = a2 sin 2ϕ = a2 [m2 ]. 4 2 2 2 2 4 0 0
0
Potom P = a2 [m2 ]. 21
Pˇ r´ıklad 6.6. Vypoˇctˇete ploˇsn´ y obsah ˇc´asti roviny A = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y 2 < 8, y 2 < 2x}. ˇ sen´ı. Reˇ Z2 q
2
2
Z q Z 1 8 − − y 2 dy = 2 8 − y 2 dy − y 2 dy = 2P1 − P2 , P = 2 2 0 0 0 √ √ !#2 " q 1 2 2 2 P1 = y 8 − y + 4 arcsin y = 2 + arcsin = 2 + 4π 2 4 2 0 1 3 2 8 = P2 = y 3 0 3
y2
Celkem tedy P =
4 + 2π [m2 ]. 3
Cviˇ cen´ı 6.2. Vypoˇctˇete ploˇsn´ y obsah dan´eho rovinn´eho obrazce A: 1 a) A = {[x, y] ∈ R2 : y < 3x3 , y < , x − y < 2, x > 0}; x b) A = {[x, y] ∈ R2 : y < arctg x, y > 0, x < 1}. Cviˇ cen´ı 6.3. Vypoˇctˇete obsah oblasti omezen´e osou x a kˇrivkou s parametrick´ ymi rovnicemi: a) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ (0, π), a > 0; b) x = cosh t, y = sinh t, t ∈ (0, 1).
6.3
Objem rotaˇ cn´ıho tˇ elesa.
Necht’ −∞ < a < b < ∞ a necht’ f je spojit´a na (a, b). Uvaˇzujme tˇeleso vznikl´e rotac´ı plochy P = {[x, y] ∈ R2 : a < x < b, 0 < y < |f (x)|} kolem osy x. Odvod´ıme vzorec pro v´ ypoˇcet objemu Vx takto dan´eho rotaˇcn´ıho tˇelesa. Uvaˇzujme dˇelen´ı intervalu ha, bi ⊂ R s dˇelic´ımi body a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Oznaˇcme 4Vi objem v´alce o v´ yˇsce 4xi = xi − xi−1 a polomˇeru f (ξi ), kde xi−1 ≤ ξi ≤ xi . Potom 4Vi = πf 2 (ξi )4xi . Souˇcet Vn =
n X
4Vi = π
i=1
n X i=1
22
f 2 (ξi )4xi .
je pak pˇribliˇznˇe objemem tˇelesa. Poloˇzme νn = max {4x1 , 4x2 , . . . , 4xn } a pˇrejdˇeme ve v´ yrazu Vn k limitˇe. Bude-li existovat limita lim Vn = lim
νn →0
n X
νn →0
f 2 (ξi )4xi ,
i=1
pak ji nazveme objemem tˇelesa. Plat´ı Vx = π
Zb
f 2 (x) dx.
a
Podobnˇe lze odvodit vzorec pro v´ ypoˇcet objemu Vy tˇelesa vznikl´eho rotac´ı plochy P = {[x, y] ∈ R2 : c < y < d, 0 < x < |g(y)|} kolem osy y, kde g je spojit´a na (c, d). Plat´ı Z d g 2 (y) dy. Vy = π c
V pˇr´ıpadˇe parametrick´eho zad´an´ı m´ame Vx = π
Zβ
ψ 2 (t) |ϕ0 (t)| dt,
ψ(t) ≥ 0, ϕ0 (t) 6= 0,
ϕ2 (t) |ψ 0 (t)| dt,
ϕ(t) ≥ 0, ψ 0 (t) 6= 0.
α
Vy = π
Zβ α
Pˇ r´ıklad 6.7. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı kolem osy x plochy
2
q
P = [x, y] ∈ R : − h/p < x <
q
2
h/p, 0 < y < −px + h ,
kde p, h > 0 jsou dan´e konstanty. ˇ sen´ı. Reˇ √ Vx = π
Zb
f 2 (x) dx = π
a
√ Zh/p
= 2π
Zh/p −
√
2
−px2 + h
h/p
2
−px2 + h
√
dx = 2π
0
23
0
Zh/p
p2 x4 − 2phx2 + h2 dx
0
√
1 2 = 2π p2 x5 − hpx3 + h2 x 5 3
dx
h/p
s
16 h = πh2 [m3 ]. 15 p
Cviˇ cen´ı 6.4. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı dan´eho rovinn´eho obrazce A kolem dan´e osy: n
o
a) A = [x, y] ∈ R2 : y < x + 1, y > 2x, x > 0
kolem osy x;
n o √ b) A = [x, y] ∈ R2 : 0 < x < π, 0 < y < e−x sin x kolem osy x; n
c) A = [x, y] ∈ R2 : y > x2 , y 2 < x
o
kolem osy y.
Cviˇ cen´ı 6.5. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı kolem osy y rovinn´eho obrazce vymezen´eho kˇrivkou x = (2 cos t − cos 2t), y = (2 sin t − sin 2t),
6.4
π t ∈ 0, . 2
Obsah rotaˇ cn´ı plochy.
(a) Rotac´ı plochy P = {[x, y] ∈ R2 : a < x < b, 0 < y < |f (x)|} (f 0 koneˇcn´a na (a, b)) kolem osy x, resp. rotac´ı plochy P = {[x, y] ∈ R2 : c < y < d, 0 < x < |g(y)|} (g 0 koneˇcn´a na (c, d)) kolem osy y. Uvaˇzujme dˇelen´ı intervalu ha, bi ⊂ R, a < b koneˇcn´a, re´aln´a s dˇelic´ımi body a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Oznaˇcme 4Pi obsah pl´aˇstˇe komol´eho kuˇzele o polomˇerech f (xi−1 ), f (xi ) a v´ yˇsce 4xi , pak 4Pi = 2π
f (xi−1 ) + f (xi ) q (xi − xi−1 )2 + [f (xi ) − f (xi−1 )]2 . 2
Souˇcet Pn =
n X
4Pi = 2π
i=1
n X f (xi−1 ) + f (xi ) q
(xi − xi−1 )2 + [f (xi ) − f (xi−1 )]2
2
i=1
je pˇribliˇznˇe obsah pl´aˇstˇe tˇelesa. Nyn´ı na v´ yraz pod odmocninou pouˇzijeme vˇetu o stˇredn´ı hodnotˇe f (xi ) − f (xi−1 ) = f 0 (ξi ) (xi − xi−1 ) = f 0 (ξi )4xi a
f (xi−1 ) + f (xi ) . = f (ξi ), 2 kde ξi je bod leˇz´ıc´ı v intervalu (xi−1 , xi ), i = 1, 2 . . . , n. Poloˇzme νn = max {4x1 , 4x2 , . . . , 4xn } a pˇrejdˇeme ve v´ yrazu Pn k limitˇe, tj. bude-li existovat limita lim Pn = lim 2π
νn →0
νn →0
n X
q
f (ξi ) 1 + [f 0 (ξi )]2 4xi ,
i=1
24
pak tuto limitu nazveme plochou pl´aˇstˇe tˇelesa. Dost´av´ame Px = 2π
Zb
q
[f 0
f (x) 1 +
2
(x)] dx,
Py = 2π
a
Zd
q
g(y) 1 + [g 0 (y)]2 dy,
c
(b) V pˇr´ıpadˇe parametrick´eho zad´an´ı m´ame pro oblouk Px = 2π
Zβ
q
ψ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt,
α
kde ψ(t) ≥ 0, pro t ∈ (α, β), Py = 2π
Zβ
q
ϕ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt,
α
kde ϕ(t) ≥ 0, pro t ∈ (α, β). Pˇ r´ıklad 6.8. Vypoˇctˇete povrch koule o polomˇeru r. ˇ sen´ı. Reˇ Px = 2π
Zb
q
2
f (x) 1 + [f 0 (x)] dx = 2π
a
= 2πr
Zr √
s
r 2 − x2 1 +
−r
Zr
x2 dx r 2 − x2
dx = 2πr [x]r−r = 4πr2 [m2 ].
−r
Pˇ r´ıklad 6.9. Vypoˇctˇete povrch tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı plochy omezen´e horn´ı polovinou asteroidy o parametrick´ ych rovnic´ıch x = ϕ(t) = a cos3 t,
y = ψ(t) = a sin3 t,
t ∈ h0, πi
a osou x. ˇ sen´ı. Ze symetrie tˇelesa plyne, ˇze staˇc´ı vypoˇc´ıtat polovinu obsahu. Reˇ ϕ0 (t) = −3a cos2 t sin t, q
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 =
ψ 0 (t) = 3a sin2 t cos t,
q
9a2 cos4 t sin2 t, +9a2 sin4 t cos2 t = 3a |sin t cos t| ,
π/2 Z Zβ q 1 2 2 2 Px = 2π ψ(t) [ϕ0 (t)] + [ψ 0 (t)] dt = 6πa sin4 t cos t dt 2 α 0
= 6πa2 Potom cel´a plocha Px =
π/2
1 5 sin t 5
12 πa2 5
0
6 = πa2 [m2 ]. 5
[m2 ]. 25
Cviˇ cen´ı 6.6. Vypoˇctˇete obsah pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa vznikl´eho rotac´ı dan´e plochy A kolem dan´e osy rotace: π 2 a) A = [x, y] ∈ R : 0 < x < , 0 < y < tg x kolem osy x; 4 n o √ b) A = [x, y] ∈ R2 : −3 < x < 2, 0 < y < 4 + x kolem osy x. Cviˇ cen´ı 6.7. Vypoˇctˇete obsah plochy vznikl´e rotac´ı dan´e kˇrivky γ kolem dan´e osy: π a) γ : x = cos3 t, y = sin3 t, t ∈ 0, kolem osy y; 2 √ 4 √ b) γ : x = 4(1 − t), y = t t, t ∈ (0, 1) kolem osy x. 3
7 7.1
Aplikace urˇ cit´ eho integr´ alu v mechanice. Hmotnost, statick´ y moment a moment setrvaˇ cnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u.
Hmotnost soustavy m je m=
n X
mi .
i=1
Statick´ y moment hmotn´eho bodu o hmotnosti m vzhledem k pˇr´ımce p je definov´an vztahem Sp = md, kde d je orientovan´a kolm´a vzd´alenost hmotn´eho bodu od pˇr´ımky. Statick´ y moment soustavy hmotn´ ych bod˚ u o hmotnostech mi vzhledem k pˇr´ımce p je definov´an vztahem Sp =
n X
Si =
i=1
n X
mi di ,
i=1
kde di jsou orientovan´e kolm´e vzd´alenosti hmotn´ ych bod˚ u od pˇr´ımky p. Tˇeˇziˇstˇe soustavy hmotn´ ych bod˚ u je bod T = [xT , yT ], kter´ y m´a tu vlastnost, ˇze kdyby v nˇem byla soustˇredˇena veˇsker´a hmota soustavy, pak by mˇel stejn´ y statick´ y moment jako cel´a soustava. Moment setrvaˇcnosti hmotn´eho bodu o hmotnosti m vzhledem k pˇr´ımce p je definov´an vztahem Ip = md2 , kde d je kolm´a vzd´alenost hmotn´eho bodu od pˇr´ımky.
26
Moment setrvaˇcnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u o hmotnostech mi vzhledem k pˇr´ımce p je definov´an vztahem Ip =
n X
Ii =
i=1
n X
mi d2i ,
i=1
kde di jsou kolm´e vzd´alenosti hmotn´ ych bod˚ u od pˇr´ımky p.
7.2
Hmotnost, statick´ e momenty, tˇ eˇ ziˇ stˇ e a momenty setrvaˇ cnosti 2 tenk´ e homogenn´ı rovinn´ e desky A = {[x, y] ∈ R : a < x < b, g(x) ≤ y ≤ f (x)} o ploˇ sn´ e hustotˇ e σ [kg · m−2 ].
Hmotnost m=σ
Zb
[f (x) − g(x)] dx,
a
Nyn´ı odvod´ıme statick´e momenty vzhledem k souˇradn´ ym os´am (viz Obr. 4) 4mi = σ [f (ξi ) − g(ξi )] 4xi , 4Sxi =
i 1 h 1 [f (ξi ) + g(ξi )] 4mi = σ f 2 (ξi ) − g 2 (ξi ) 4xi , 2 2
Sx (n) =
n X i=1
4Sxi =
n h i 1 X f 2 (ξi ) − g 2 (ξi ) 4xi σ 2 i=1
Obr´azek 3: Statick´ y moment soustavy hmotn´ ych bod˚ u.
27
a to je Riemann˚ uv integr´aln´ı souˇcet pro funkci 21 σ [f 2 (x) − g 2 (x)]. Poloˇzme νn = max {4x1 , 4x2 , . . . , 4xn } a pˇrejdˇeme ve v´ yrazu Sx (n) k limitˇe, tj. bude-li existovat limita n h i 1 1 X σ lim Sx (n) = lim σ f 2 (ξi ) − g 2 (ξi ) 4xi , νn →0 2 2 νn →0 i=1
pak tuto limitu nazveme statick´ ym momentem Sx tenk´e rovinn´e desky s ploˇsnou hustotou σ vzhledem k ose x. 4Syi = ξi 4mi = σ [f (ξi ) − g(ξi )] ξi 4xi 1 = σ [f (ξi ) − g(ξi )] xi + 4xi 4xi 2 1 = σ [f (ξi ) − g(ξi )] xi 4xi + σ [f (ξi ) − g(ξi )] (4xi )2 , 2 Sy (n) =
n X
4Syi
i=1 n X
n 1 X [f (ξi ) − g(ξi )] (4xi )2 . [f (ξi ) − g(ξi )] xi 4xi + σ = σ 2 i=1 i=1
Prvn´ı souˇcet je Riemann˚ uv integr´aln´ı souˇcet pro funkci σ x [f (x) − g(x)]. Pˇrejdˇeme ve v´ yrazu Sy (n) k limitˇe, tj. bude-li existovat limita lim Sy (n) = σ lim
νn →0
νn →0
+
n X
[f (ξi ) − g(ξi )] xi 4xi
i=1 n X
1 σ lim [f (ξi ) − g(ξi )] (4xi )2 , 2 νn →0 i=1
Obr´azek 4: Statick´e momenty tenk´e homogenn´ı rovinn´e desky.
28
pak tuto limitu nazveme statick´ ym momentem Sy tenk´e rovinn´e desky s ploˇsnou hustotou σ vzhledem k ose y. D´a se uk´azat, ˇze druh´a limita v pˇredeˇsl´em v´ yrazu je nulov´a. Celkem dost´av´ame b i 1 Z h 2 f (x) − g 2 (x) dx, Sx = σ 2 a
Sy = σ
Zb
x [f (x) − g(x)] dx
a
a pro souˇradnice tˇeˇziˇstˇe m´ame S y Sx T = [xT , yT ] = , . m m
Momenty setrvaˇcnosti b i 1 Z h 3 Ix = σ f (x) − g 3 (x) dx, 3 a
Iy = σ
Zb
x2 [f (x) − g(x)] dx,
a
Vyj´adˇren´ı v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch β
1 Z 2 m = σ r (ϕ) dϕ, 2 α β
β
1 Z Sx = σ r3 (ϕ) sin ϕ dϕ, 3 α
1 Z Sy = σ r3 (ϕ) cos ϕ dϕ. 3 α
Pˇ r´ıklad 7.1. Vypoˇctˇete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe tenk´e homogenn´ı rovinn´e desky n
o
Ω = [x, y] ∈ R2 : y > x2 , y < 2/(1 + x2 ) . ˇ sen´ı. Je zˇrejm´e, ˇze Sy = 0, protoˇze deska je homogenn´ı a symetrick´a vzhledem Reˇ k ose y m = σ
Zb
(f (x) − g(x)) dx =
a
= 2 =
Sx
−1
Z1 0
Z1
2 − x2 dx 1 + x2
2 1 − x2 dx = 2 2 arctg x − x3 2 1+x 3
0
π 1 =2 − 2 3
3π − 2 . [kg] = 2.475 [kg], 3
b 1 1Z 1 Z 2 2 = σ f (x) − g (x) dx = 2 a 2 −1
=
1
Z1 0
= 1+
4 − x4 2 2 (1 + x )
!
4 − x4 (1 + x2 )2
!
dx
x 1 + arctg x − x5 dx = 2 2 x +1 5
π 1 5π + 8 . − = [kg · m] = 2.371 [kg · m], 2 5 10 29
1 0
"
#
S y Sx 3 (5π + 8) . T = [xT , yT ] = , = 0, = [0, 0.958] . m m 10 (3π − 2)
Pˇ r´ıklad 7.2. Vypoˇctˇete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı rovinn´e kruhove v´ yseˇc o hus2 totˇe σ [kg/m ] o polomˇeru R a stˇredov´em u ´hlu β − α, 0 ≤ α < β ≤ 2π, vzhledem k souˇradnicov´ ym os´am. Pouˇzijte pol´arn´ı souˇradnice. ˇ sen´ı. Reˇ β
β
β
1Z 2 1 2Z 1 1 Z 2 σ r (ϕ) dϕ = R dϕ = R dϕ = R2 [ϕ]βα m = 2 α 2α 2 α 2 =
1 (β − α)R2 [kg], 2 β
Sx
β
1 Z 3 1 Z 1 = σ r (ϕ) sin ϕ dϕ = R3 sin ϕ dϕ = R3 [− cos ϕ]βα 3 α 3 α 3 =
1 3 R (cos α − cos β) [kg · m], 3 β
Sy
β
1 3Z 1 1 Z 3 σ r (ϕ) cos ϕ dϕ = R cos ϕ dϕ = R3 [sin ϕ]βα = 3 α 3 α 3
1 3 R (sin β − sin α) [kg · m], 3 # " Sy Sx 2R(sin β − sin α) 2R(cos β − cos α) , ,− . T = [xT , yT ] = = m m 3(β − α) 3(β − α) =
n
o
Obr´azek 5: Ω = [x, y] ∈ R2 : y > x2 , y < 2/(1 + x2 ) .
30
7.3
Hmotnost, statick´ e momenty, tˇ eˇ ziˇ stˇ e a momenty setrvaˇ cnosti homogenn´ıho rovinn´ eho oblouku.
Pro rovinn´ y dr´at ve tvaru kˇrivky o parametrick´ ych rovnic´ıch x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ (α, β) plat´ı n´asleduj´ıc´ı vztahy m=σ
Zβ q
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt,
α
Sx = σ
Zβ
q
ψ(t)
[ϕ0 (t)]2
+
[ψ 0 (t)]2
dt,
Sy = σ
α
Zβ
q
ϕ(t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt.
α
Zb q
m=σ
1 + [f 0 (x)]2 dx,
a
Sx = σ
Zb
q
2
f (x) 1 + [f 0 (x)] dx,
Zb q
x 1 + [f 0 (x)]2 dx,
Sy = σ
a
a
T = [xT , yT ] =
S y Sx , . m m
Momenty setrvaˇcnosti Ix = σ
Zb
2
q
[f 0
f (x) 1 +
2
(x)] dx,
Iy = σ
a
Ix = σ
Zβ
2
Zb
x
2
q
1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
q
ψ (t)
2
[ϕ0 (t)]
+
2
[ψ 0 (t)]
dt,
Iy = σ
Zβ
q
ϕ (t) [ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 dt. 2
α
α
Vyj´adˇren´ı v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch: m = σ
Sx = σ
Sy = σ
Zβ q α Zβ α Zβ
g 2 (ϕ) + [g 0 (ϕ)]2 dϕ, q
g(ϕ) sin ϕ g 2 (ϕ) + [g 0 (ϕ)]2 dϕ, q
g(ϕ) cos ϕ g 2 (ϕ) + [g 0 (ϕ)]2 dϕ.
α
31
Pˇ r´ıklad 7.3. Vypoˇctˇete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe homogenn´ıho rovinn´eho dr´atu o hustotˇe σ = 1 [kg · m−1 ], ve tvaru jednoho oblouku cykloidy o parametrick´ ych rovnic´ıch x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t),
t ∈ h0, 2πi, a > 0.
ˇ sen´ı. Reˇ ϕ0 (t) = a (1 − cos t) ,
ψ 0 (t) = a sin t
√ √ a2 (1 − cos t)2 + a2 sin2 t = a 2 1 − cos t t = 2a sin 2
q
q
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 =
m = σ
Zβ q
[ϕ0 (t)]2
+
Z2π Z2π t t dt = 2a sin dt = 2a sin dt
[ψ 0 (t)]2
α
t 2
= 2a −2 cos Sx = σ
Zβ
2
0
= 4a(− cos π + cos 0) = 8a [kg], 0
q
ψ(t)
[ϕ0 (t)]2
+
[ψ 0 (t)]2
dt = 2a
2
α
= 2a2
Z2π
(1 − cos t) sin
0
2π Z
sin
0 (
t dt − 2
Z2π
sin
0
2π
Sy = σ
Zβ
q
ϕ(t)
[ϕ0 (t)]2
t cos t dt 2 2π )
+
[ψ 0 (t)]2
dt = 2a
2
α
= 2a2
Z2π
0
(t − sin t) sin
0
2π Z 0 (
t sin
t dt − 2
Z2π
sin t sin
0
32
t dt 2
t dt 2 2π )
t t 2π 1 1 2 3 = 2a 4 sin − 2t cos − 2 sin t − sin t 2 2 0 2 2 3 2 2 2 = 2a (4π − 0) = 8πa [kg · m], 4a S y Sx T = [xT , yT ] = , = πa, . m m 3 2
t dt 2
3 1 t 1 2 = 2a −2 cos − − cos t + 2 cos t 2 0 2 3 2 2 4 32 = 2a2 4 + = a2 [kg · m], 3 3 2
2
0
2π
0
7.4
Guldinovy vˇ ety
Vˇ eta 7.1. (Prvn´ı Guldinova vˇeta.) Obsah pl´ aˇstˇe plochy, kter´y vznikne ot´ aˇcen´ım kˇrivky kolem osy, kter´a tuto kˇrivku neprot´ın´ a je rovna souˇcinu d´elky L t´eto kˇrivky a d´elky kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe t´eto kˇrivky. P = 2πL yT . Pˇ r´ıklad 7.4. Pomoc´ı pˇredeˇsl´e vˇety vypoˇctˇete velikost pl´aˇstˇe plochy, kter´a vznikne rotac´ı kolem osy x ˇc´asti roviny omezen´e obloukem cykloidy o rovnic´ıch x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t),
t ∈ h0, 2πi, a > 0,
a osou x. (Vyuˇzijte v´ ysledky z Pˇr´ıkladu 6.1 a Pˇr´ıkladu 7.3.) ˇ sen´ı. V Pˇr´ıkladˇe 6.1 jsme spoˇcetli d´elku dan´eho oblouku je L = 8a [m] a Reˇ z Pˇr´ıkladu 7.3 nav´ıc v´ıme, ˇze yT = 4a/3 [m]. Podle pˇredeˇsl´e vˇety potom m´ame 64 2 2 πa [m ]. 3
P = 2πL yT =
Vˇ eta 7.2. (Druh´a Guldinova vˇeta.) Objem tˇelesa, kter´e vznikne ot´ aˇcen´ım plochy kolem osy, kter´a tuto plochu neprot´ın´ a, je roven souˇcinu velikosti obsahu P t´eto plochy a d´elky kruˇznice, kterou op´ıˇse tˇeˇziˇstˇe t´eto plochy. V = 2πP yT . Pˇ r´ıklad 7.5. Pomoc´ı pˇredeˇsl´e vˇety urˇcete tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı rovinn´e desky s
(
h A = [x, y] ∈ R : − <x< p
s
2
)
h , 0 < y < −px2 + h , p
kde p, h > 0, o hustotˇe σ = 1 [kg · m]. (Vyuˇzijte v´ ysledky z Pˇr´ıkladu 6.7.) ˇ Reˇ sen´ı. Z Pˇr´ıkladu 6.7 pˇredeˇsl´eho odstavce zn´ame objem V . Plocha obrazce je d´ana √ √ P =
Zb
Zh/p
f (x) dx =
a
−
√
1 = 2 − px3 + hx 3
2
−px + h dx = 2
0
h/p
√
0
h/p
Zh/p
s
4 h 2 = h m. 3 p
Z Vˇety 7.2 potom m´ame V yT = = 2πP h
16 πh2 15
q
q
8π h 3
i
a tedy T = 0, 52 h .
33
h p
h p
2 = h [m], 5
−px2 + h dx
8
Nˇ ekter´ e dalˇ s´ı fyzik´ aln´ı aplikace.
Pˇ r´ıklad 8.1. Ve stˇenˇe n´adrˇze naplnˇen´e vodou je obd´eln´ıkov´ y otvor. Horn´ı hrana otvoru je ve vzd´alenosti h0 metr˚ u pod hladinou a doln´ı hrana h1 metr˚ u. ´ıˇrka otvoru 3 je s metr˚ u. Urˇcete, jak´e mnoˇzstv´ı vody Q [m ] vyteˇce t´ımto otvorem za 1 sekundu. ˇ Reˇ sen´ı. Situace je nakreslena na Obr. 6. V hloubce h [m] pod hladinou vyt´ek´a voda rychlost´ı (Toricelliho vzorec) v=
q
2gh [m · s−1 ],
. kde g = 9.81 [m · s−2 ] je gravitaˇcn´ı zrychlen´ı. Mnoˇzstv´ı vody, kter´e vyteˇce z p´asu o v´ yˇsce 4h a ˇs´ıˇrce s je 4Q = vs4h =
q
2gh s4h [m3 · s−1 ],
a celkov´e mnoˇzstv´ı je Q=
q
2g s
Zh1 √ h0
q q 2q h dh = 2g s h1 h1 − h0 h0 3
[m3 · s−1 ].
Pozn´ amka 8.1. Ve skuteˇcnosti je ale v´ytok menˇs´ı vlivem tˇren´ı ve vodˇe a vlivem z´ uˇzen´ı proudu vody. q q 2 q Q = µ 2g s h1 h1 − h0 h0 3
[m3 · s−1 ],
kde µ < 1 je tabulkov´y koeficient. Pˇ r´ıklad 8.2. Vypoˇctˇete pr´aci, kterou mus´ıme vykonat, abychom vyˇcerpali rotaˇcnˇe symetrickou n´adrˇz o v´ yˇsce v metr˚ u (viz Obr. 7), kter´a je cel´a naplnˇena kapalinou o hustotˇe % [kg · m−3 ]. ˇ sen´ı. Element v´alce vody v´ Reˇ yˇsky 4y a polomˇeru h(y), kter´ y m´a hmotnost 4m = π%h2 (y)4y [kg], mus´ıme zvednout do v´ yˇsky v − y, a t´ım vykon´ame pr´aci 4W = πg%h2 (y)(v − y)4y [J]. Celkov´a pr´ace potom je W = πg%
Zv
h2 (y)(v − y) dy [J].
0
34
Obr´azek 6: Pˇr´ıklad 8.1.
Obr´azek 7: Pˇr´ıklad 8.2.
35
Pˇ r´ıklad 8.3. Jakou celkovou tlakovou silou p˚ usob´ı kapalina na stˇenu n´adrˇze, kter´a je naplnˇena kapalinou o hustotˇe %[kg · m−3 ] do v´ yˇsky h metr˚ u od dna n´adrˇze. D´elka stˇeny je a metr˚ u (viz Obr. 8). ˇ Reˇ sen´ı. Na ploˇsn´ y element 4S = a4x v hloubce h − x pod hladinou p˚ usob´ı s´ıla 4F = %g(h − x)4S = %g(h − x)a4x. Celkov´a tlakov´a s´ıla je F = %ga
Zh 0
1 (h − x) dx = %ga hx − x2 2
h
Obr´azek 8: Pˇr´ıklad 8.3.
36
0
1 = %gah2 [N ]. 2
9
Kontroln´ı ot´ azky. • Kdy je funkce F zobecnˇenou primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu (a, b) ? ˇ ım se liˇs´ı zobecnˇen´a primitivn´ı funkce od primitivn´ı funkce zaveden´e v mod• C´ ulu Neurˇcit´y integr´al? • Co rozum´ıme Newtonov´ ym integr´alem funkce f na intervalu (a, b)? • Co je to Riemann˚ uv integr´aln´ı souˇcet funkce f na intervalu ha, bi? • Jak se definuje urˇcit´ y Riemann˚ uv integr´al? • Jak´a je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro rovnost Newtonova a Riemannova integr´alu funkce f na intervalu ha, bi? • Uved’te z´akladn´ı vlastnosti Newtonova integr´alu. • Uved’te vˇetu o integraci metodou per partes pro urˇcit´e integr´aly. • Zformulujte vˇetu o substituci pro urˇcit´e integr´aly. • Uved’te integr´aln´ı souˇcty a odpov´ıdaj´ıc´ı vztahy pro v´ ypoˇcet a) d´elky kˇrivky, b) ploˇsn´eho obsahu vybran´ ych rovinn´ ych obrazc˚ u, c) objemu rotaˇcn´ıho tˇelesa, d) obsahu pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho tˇelesa. • Co rozum´ıme statick´ ym momentem a momentem setrvaˇcnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u vzhledem k pˇr´ımce? • Vysvˇetlete vztahy pro v´ ypoˇcet tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı rovinn´e desky a homogenn´ıho rovinn´eho oblouku.
37
10
V´ ysledky cviˇ cen´ı.
Cviˇ cen´ı 4.1. a) 2 b)
1 2
c)
. 1 − ln 2 = 0.3069
. d) e − 1 = 1.7183 e) ∞
f)
1
1 3 . π = 2.5839 12 2 √ . h) π 3 = 1.2092 9 √ . 1 π + ln 2 = 1.1320 i) 4 j) 4 g)
Cviˇ cen´ı 6.1. √ . a) 2 argtanh( 2 − 1) [m] = 0.8814 [m] . b) 4 ln 2 − ln 5 [m] = 1.1632 [m] √ √ √ 1 2 . 2 c) − argtanh √ 1 + e − 2 + argtanh [m] = 2.0035 [m] 2 2 1+e d) 2 [m] e)
3a [m]
f)
1 2 π a [m] 2
Cviˇ cen´ı 6.2. a) 3.3202 [m2 ] b)
1 1 . π − ln 2 [m2 ] = 0.4388 [m2 ] 4 2
Cviˇ cen´ı 6.3. 3 2 2 a) πa [m ] 2 1 . (sinh 2 − 1) [m2 ] = 0.4067 [m2 ] b) 2 Cviˇ cen´ı 6.4. . a) π [m3 ] = 3.1416 [m2 ] b) c)
1 . π 1 + e−2π [m3 ] = 0.6295 [m3 ] 5 3 . π [m3 ] = 0.9425 [m3 ] 10
Cviˇ cen´ı 6.5. . π(10 − 2π) [m3 ] = 11.6767 [m3 ] 38
Cviˇ cen´ı 6.6. √ √ ! √ √ 2 5 . a) π 5 − 2 + argtanh − argtanh [m2 ] = 3.8391 [m2 ] 2 5 √ 5 . b) π 25 − 5 [m2 ] = 59.5958 [m2 ] 6 Cviˇ cen´ı 6.7. 6 . π [m2 ] = 3.7699 [m2 ] a) 5 16 √ . b) π 2 2 − 1 [m2 ] = 10.2119 [m2 ] 9
39
11
Studijn´ı prameny.
[1] Bourbaki, N.: Funkcii dejstvitelnovo peremennovo. Moskva 1965. [2] Brabec, J., Hr˚ uza, B.: Matematick´ a anal´yza I. SNTL, Praha 1985. [3] Danˇeˇcek, J., Dlouh´ y, O., Koutkov´a, H., Prudilov´a, K., Sekaninov´a, J., Slatinsk´ y, E.: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z matematika I. VUT FAST Cerm, Brno 2000. [4] Fichtengolc, G. M.: Kurz diferencialnovo i integralnovo iscislenija II. Nauka, Moskva 1951. [5] Milota, J.: Matematick´a anal´yza I–II. SPN, Praha 1978. [6] Prudnikov, A. P., Bryˇckov, J. A., Mariˇcev, O. I.: Integr´ aly i rjady. Nauka, Moskva 1981. [7] Rektorys, K. a kol.: Pˇrehled uˇzit´e matematiky I. Prometheus, Praha 1995. ˇ Integrace v R. Kurzweilova teorie. Karolinum, UK Praha 1999. [8] Schwabik, S.: ˇ aˇsek, J., Tich´ [9] Skr´ y, Z.: Z´aklady aplikov´ akovan´e matematiky II. SNTL, Praha 1986. [10] Ungermann Z.: Matematika a ˇreˇsen´ı fyzik´ aln´ıch u ´loh. SPN, Praha 1990.
40
A
Pojem kˇ rivky v rovinˇ e.
Motivace. Uvaˇzujme v rovinˇe trajektorii pohybuj´ıc´ıho se hmotn´eho bodu po kruˇznici o rovnici γ : x2 + y 2 = r2 . Polohu bodu v kaˇzd´em ˇcasov´em okamˇziku m˚ uˇzeme urˇcit tak´e tak, ˇze kaˇzd´emu ˇc´ıslu t z intervalu h0, 2πi pˇriˇrad´ıme bod o souˇradnic´ıch x = ϕ(t) = r cos t a y = ψ(t) = r sin t. Dost´av´ame tak zobrazen´ı Γ = (ϕ, ψ) : h0, 2πi → R2 , pro kter´e plat´ı: • Kˇrivku γ m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jakoobraz intervalu t ∈ h0, 2πi pˇrizobrazen´ı Γ, tj. Γ(h0, 2πi) = γ. P´ıˇseme t´eˇz γ = [ϕ(t), ψ(t)] ∈ R2 : t ∈ h0, 2πi . • Zobrazen´ı Γ je prost´e na (0, 2π) a kˇrivka γ je uzavˇren´ a, protoˇze Γ(0) = Γ(2π). • Zobrazen´ı Γ m´a pouze jeden tzv. dvojn´ asobn´y bod, nebo pro dvˇe r˚ uzn´e hodnoty parametru t1 = 0, t2 = 2π dost´av´ame stejn´ y bod [1, 0] = ϕ(0) = ϕ(2π). • Γ je spojit´e na intervalu h0, 2πi, tj. sloˇzky ϕ, ψ jsou spojit´e na intervalu h0, 2πi. • Γ0 = (ϕ0 , ψ 0 ) je tˇr´ıdy C 1 na intervalu h0, 2πi, tj. sloˇzky maj´ı spojit´e derivace na uveden´em intervalu. • Γ0 (t) 6= 0 pro vˇsechna t ∈ h0, 2πi, nebo kΓ0 (t)k =
q
[ϕ0 (t)]2 + [ψ 0 (t)]2 = r
q
sin2 t + cos2 t = r > 0
pro t ∈ h0, 2πi. Abychom mohli ke kˇrivk´am zaˇradit tak´e lomen´e ˇc´ary, asteroidu apod., zavedeme n´asleduj´ıc´ı definici: Definice A.1. Mnoˇzinu γ ⊂ R2 nazveme kˇrivkou v rovinˇe, jestliˇze existuje spojit´e zobrazen´ı Γ intervalu ha, bi na mnoˇzinu γ takov´e, ˇze plat´ı: 1) Zobrazen´ı Γ je prost´e s v´ yjimkou koneˇcnˇe mnoha bod˚ u. 2) Zobrazen´ı Γ je po ˇc´astech tˇr´ıdy C 1 na ha, bi, tj. Γ0 je spojit´a s v´ yjimkou koneˇcnˇe mnoha bod˚ u, v nichˇz existuj´ı jednostrann´e derivace, kter´e mohou b´ yt r˚ uzn´e. 3) Γ0 m´a aˇz na koneˇcnˇe mnoho bod˚ u nenulovou hodnotu v kaˇzd´em bodˇe intervalu ha, bi. Zobrazen´ı pak Γ naz´ yv´ame parametrizac´ı kˇrivky γ.
41
Necht’ k ∈ N. ekneme, ˇze bod C je k-n´ asobn´ym bodem kˇrivky γ, jestliˇze existuje pr´avˇe k r˚ uzn´ ych hodnot parametru t1 , . . . , tk ∈ ha, bi takov´ ych, ˇze C = Γ(ti ) pro a, kdyˇz nem´a v´ıcen´asobn´e body. i = 1, 2, . . . , k. Kˇrivka γ se naz´ yv´a jednoduch´ Kˇrivka γ se naz´ yv´a uzavˇren´a, jestliˇze Γ(a) = Γ(b). Uzavˇrenou kˇrivku nazveme jednoduchou, jestliˇze nem´a ˇz´adn´ y v´ıcen´asobn´ y bod kromˇe dvojn´asobn´eho bodu Γ(a). Je-li I1 , I2 , . . . , In dˇelen´ı intervalu ha, bi, pak obrazy dˇelic´ıch interval˚ u Γ(I1 ), Γ(I2 ), . . . , Γ(In ) jsou opˇet kˇrivky. Posloupnost tˇechto kˇrivek nazveme dˇelen´ım kˇrivky γ. Definice A.2. Je-li parametrizace Γ kˇrivky γ prost´e zobrazen´ı a tˇr´ıdy C 1 na cel´em intervalu ha, bi a m´a pˇritom nenulovou derivaci (v bodech a, b uvaˇzujeme jednostrann´e derivace) v kaˇzd´em bodˇe intervalu ha, bi, naz´ yv´ame γ obloukem a zobrazen´ı Γ jeho parametrizac´ı. Oblouk γ je sjednocen´ım podoblouk˚ u γ1 , γ2 , . . . , γn , jestliˇze γ = γ1 ∪ γ2 ∪ · · · ∪ γn a oblouky γi , γj , i 6= j, maj´ı spoleˇcn´e nejv´ yˇse krajn´ı body. Pozn´ amka A.1. V technick´ ych aplikac´ıch se ˇcasto kˇrivka γ popisuje bu vektorovou rovnic´ı γ : ~r(t) = ϕ(t)~i + ψ(t)~j, t ∈ ha, bi, nebo parametrick´ ymi rovnicemi γ : x = ϕ(t), y = ψ(t),
t ∈ ha, bi.
Pozn´ amka A.2. Nˇekter´e kˇrivky je v´ yhodn´e vyj´adˇrit v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch. Je-li kˇrivka zad´ana v kart´ezsk´ ych souˇradnic´ıch rovnic´ı F (x, y) = 0, pak dosazen´ım za x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dostaneme rovnici G(r, ϕ) = 0 v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch. Pokud je moˇzn´e zapsat tuto rovnici ve tvaru r = g(ϕ), ϕ ∈ hα, βi, pak ˇr´ık´ame, ˇze jde o explicitn´ı tvar rovnice kˇrivky v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch. Napˇr´ıklad pro Bernoulliovu lemnisk´atu o rovnici x2 + y 2
2
+ a2 · (y 2 − x2 ) = 0
r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ
2
+ a2 · (r2 sin2 ϕ − r2 cos2 ϕ) = 0
dost´av´ame
√ a odtud r = a cos 2ϕ, ϕ ∈ h− π4 ,
π i 4
∪ h 34 π,
Pˇ r´ıklady kˇ rivek. 42
5 πi. 4
1. Elipsa (x − x0 )2 (y − y0 )2 + = 1, a, b > 0 a2 b2 Γ(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sin t), t ∈ h0, 2πi 2. Hyperbola x2 y 2 − 2 =1 a2 b Γ(t) = (±a cosh t, b sinh t), t ∈ (−∞, ∞) 3. Polokubick´a parabola y 2 − ax3 = 0,
x ∈ h0, ∞), a > 0
t2 3 √ ,t , 3 a !
Γ(t) =
t ∈ (−∞, ∞)
4. Asteroida x2/3 + y 2/3 − a2/3 = 0, Γ(t) = (a cos3 t, a sin3 t),
a>0 t ∈ h0, 2πi
5. Steinerova hypocykloida
x2 + y 2
2
+ 8ax 3y 2 − x2 + 18a2 x2 + y 2 − 27a4 = 0,
Γ(t) = (a (2 cos t + cos 2t) , a (2 sin t − sin 2t)) ,
a>0
t ∈ h0, 2πi
6. Cykloida a−y q − 2ay − y 2 , y ∈ h0, 2ai, a > 0 a Γ(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)), t ∈ h0, 2πi
x = a arccos
7. Kardioida (srdcovka)
x2 + y 2
2
− 6a2 x2 + y 2 + 8a3 x − 3a4 = 0,
Γ(t) = (a (2 cos t − cos 2t) , a (2 sin t − sin 2t)) ,
a>0 t ∈ h0, 2πi
8. Descart˚ uv list x3 + y 3 − 3axy = 0, 3at 3at2 , , 1 + t3 1 + t3
a>0
!
Γ(t) =
t ∈ (−∞, ∞), t 6= −1
43
9. Bernoulliova lemnisk´ata
x2 + y 2
2
+ a2 y 2 − x2 = 0,
a 6= 0
a cos t a cos t sin t , , t ∈ h−π, πi 1 + sin2 t 1 + sin2 t q π π 3 5 ϕ∈ − , π, π ∪ r = a cos 2ϕ, 4 4 4 4
Γ(t) =
10. Dioklova kisoida x3 y − = 0, a > 0, x 6= a a−x ! at2 at3 Γ(t) = , t ∈ (−∞, ∞) , 1 + t2 1 + t2 11. Logaritmick´a spir´ala 2
Γ(t) = b eat cos t, eat sin t ,
t ∈ (−∞, ∞), a, b > 0
r = aebϕ ,
ϕ ∈ h0, ∞)
12. Archim´edova spir´ala Γ(t) = (at sin t, −at cos t) , r = aϕ,
t ∈ h0, ∞), a > 0
ϕ ∈ h0, ∞)
44
Obr´azek 9: ASTEROIDA a = 1.
´ Obr´azek 10: LEMNISKATA a = 1.
45
Obr´azek 11: KARDIOIDA a = 1.
Obr´azek 12: CYKLOIDA a = 1.
46
B
Vzorov´ a zad´ an´ı kontroln´ıch test˚ u.
Matematika, 1. semestr Zpracoval: Test ˇ c. 5 Jm´eno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adresa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Vypoˇctˇete urˇcit´e integr´aly:
a)
Zπ q 0 √
d)
g)
j)
Z
2
1 − sin x dx
Z3
b)
|1 − 3x| dx
c)
0 3
x arctg x dx
e−1 Z
e)
ln(1 + x) dx
0
0
Z2 √
Zln 8
4 − x2 dx
0 π/4 Z
√
ex ·
h)
ln 4
f)
ex − 3 dx ex + 2
i)
π/3 Z π/4 π/2 Z
x dx sin2 x
e2x cos x dx
π/3 π/3 Z π/4
1 − cos2 x dx sin3 x cos x
cos4 x sin2 x dx
0
2. Rozhodnˇete o konvergenci nevlastn´ıch integr´al˚ u a v pˇr´ıpadˇe konvergence urˇcete jejich hodnotu: a)
+∞ Z 1
d)
1 dx ( x x + 1)
Z1 s 0
pˇr. max. bod˚ u z´ıs. bod˚ u
b)
+∞ Z −∞
arctg2 x dx 1 + x2
c)
π/2 Z 0
1 dx 1 − cos x
1+x dx 1−x
1a 1b 1c 1d 1e 1f 1 1 2 2 2 2
1g 1h 1i 2 2 2
1j 2
X
2a 2b 2c 2d 2 2 2 2 26
opravil(a)
Matematika, 1. semestr Zpracoval: Test ˇ c. 5 Jm´eno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adresa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Vypoˇctˇete obsah mnoˇziny n
o
A = [x, y] ∈ R2 : y ≤ −x2 + 4x − 2, x + y ≥ 2 . Naˇcrtnˇete obr´azek. 2. Vypoˇctˇete obsah mnoˇziny n
o
B = [x, y] ∈ R2 : y ≤ 2x3 , y ≤ 2/x, x − y ≤ 1, x ≥ 0 . Naˇcrtnˇete obr´azek. 3. Vypoˇctˇete obsah omezen´e ˇc´asti roviny ohraniˇcen´e parabolou y = x2 − 6x + 8 a jej´ımi teˇcnami v bodech A = [1, 3], B = [4, 0] Naˇcrtnˇete obr´azek. 4. Vypoˇctˇete obsah mnoˇziny omezen´e kˇrivkou zadanou parametricky x = a cos3 t, y = a sin3 t,
t ∈ h0, 2πi,
kde a > 0 konstanta. 5. Vypoˇctˇete d´elku oblouku rovinn´e kˇrivky y = ln kde a, b jsou konstanty takov´e, ˇze 0 < a < b.
ex + 1 za podm´ınky a ≤ x ≤ b, ex − 1
6. Vypoˇctˇete d´elku oblouku rovinn´e kˇrivky zadan´e parametricky x = a(cos t + t · sin t), y = a(sin t − t · cos t),
t ∈ h0, 2πi,
a > 0 je konstanta. 7. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı rovinn´eho obrazce n
M = [x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π/2, e−x ≤ y ≤ 1 + sin 2x
o
kolem osy x. Naˇcrtnˇete obr´azek. 8. Vypoˇctˇete objem tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı rovinn´eho obrazce ohraniˇcen´eho osou x a kˇrivkou zdanou parametricky √ x = t2 , y = t − t3 /3, 0 ≤ t ≤ 3, kolem osy x
9. Vypoˇctˇete obsah rotaˇcn´ı plochy vznikl´e rotac´ı kˇrivky x2 + (y − b)2 = a2 , kde 0 < a < b jsou konstanty, kolem osy x. Naˇcrtnˇete obr´azek. 10. Vypoˇctˇete obsah rotaˇcn´ı plochy vznikl´e rotac´ı kˇrivky zadan´e parametricky √ t2 t − 3 , t ∈ h0, 3i, kolem osy x. x = t2 , y = 3 11. Vypoˇctˇete tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı rovinn´e oblasti urˇcen´e nerovnostmi x 2 + y 2 ≤ a2 ,
x2 y 2 + 2 ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, a2 b
kde 0 < b < a jsou konstanty. Naˇcrtnˇete obr´azek. 12. Vypoˇctˇete tˇeˇziˇstˇe homogenn´ıho rovinn´eho obrazce omezen´eho osou x a kˇrivkou zadanou parametricky x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ h0, 2πi, kde a > 0. 13. Vypoˇctˇete tˇeˇziˇstˇe homogenn´ıch rovinn´ ych oblouk˚ u, jestliˇze: a) y =
x2 1 − ln x, 4 2
b) x = t2 , y = t −
pˇr. max. bod˚ u z´ıs. bod˚ u
1 2
2 2
3 2
1 ≤ x ≤ 2; t3 , 3
0≤t≤
4 2
5 2
6 2
√
3.
7 2
8 2
9 2
X
10 11 12 13a 13b 2 2 2 2 2 28
opravil(a)
