´ UCEN ˇ ´I TECHNICKE ´ V BRNE ˇ VYSOKE FAKULTA STAVEBN´I
MATEMATIKA I MODUL 7 ˇ Y ´ INTEGRAL ´ NEURCIT
STUDIJN´I OPORY ´ PRO STUDIJNI PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX 2ε c Josef Danˇeˇcek, Oldˇrich Dlouh´
y, Oto Pˇribyl 2004
Obsah ´ 1 Uvod 1.1 C´ıle modulu. . . . . . . . . 1.2 Poˇzadovan´e znalosti. . . . 1.3 Doba potˇrebn´a ke studiu. 1.4 Kl´ıˇcov´a slova. . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2 Z´ akladn´ı pojmy.
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
4 4 4 4 5 6
3 Z´ akladn´ı integraˇ cn´ı metody.
11
4 Integrace racion´ aln´ıch funkc´ı.
15
5 Integrace goniometrick´ ych 5.1 Prvn´ı typ . . . . . . . . 5.2 Druh´ y typ . . . . . . . . 5.3 Tˇret´ı typ . . . . . . . . .
funkc´ı. 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 Integrace iracion´ aln´ıch funkc´ı. 23 6.1 Prvn´ı typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2 Druh´ y typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7 Kontroln´ı ot´ azky.
31
8 Autotest.
32
9 V´ ysledky cviˇ cen´ı a autotestu.
32
10 Studijn´ı prameny.
36
A Vzorov´ a zad´ an´ı kontroln´ıch test˚ u.
37
3
1 1.1
´ Uvod C´ıle modulu.
Odstavec 2. Porozumˇet pojm˚ um primitivn´ı funkce a neurˇcit´ y integr´al, uvˇedomit si, ˇze primitivn´ı funkce byly definov´any na otevˇren´ ych intervalech. Zn´at z´akladn´ı vlastnosti neurˇcit´eho integr´alu. Po prostudov´an´ı byste mˇeli b´ yt schopni nal´ezt po u ´prav´ach primitivn´ı funkce k r˚ uzn´ ym jednoduch´ ym funkc´ım, urˇcit obory platnosti a zkontrolovat si derivov´an´ım spr´avnost v´ ysledku integrov´an´ı. Odstavec 3. Dobr´a znalost tabulky primitivn´ıch funkc´ı a obor˚ u platnosti je nezbytnou podm´ınkou pro zvl´ad´an´ı dalˇs´ıho textu. Po prostudov´an´ı byste mˇeli umˇet rozpoznat, kdy je vhodn´e pro v´ ypoˇcet integr´alu pouˇz´ıt metodu per partes, kdy a jakou substituˇcn´ı metodu a spr´avnou volbou sloˇzek nebo substituce jej vyˇreˇsit. K z´ısk´an´ı t´eto schopnosti je nezbytn´e si vyˇreˇsit dostateˇcn´e mnoˇzstv´ı pˇr´ıklad˚ u, coˇz ostatnˇe plat´ı pro vˇsechny odstavce tohoto modulu. Odstavec 4. Po prostudov´an´ı byste mˇeli umˇet zintegrovat parci´aln´ı zlomky, kter´e odpov´ıdaj´ı jednon´asobn´ ym nebo v´ıcen´asobn´ ym re´aln´ ym koˇren˚ um jmenovatele racion´aln´ı funkce a dvojic´ım jednon´asobn´ ych komplexnˇe sdruˇzen´ ych koˇren˚ u. Sezn´am´ıte se tak´e s rekurentn´ım vzorcem a s v´ ypoˇctem integr´al˚ u parci´aln´ıch zlomk˚ u, odpov´ıdaj´ıc´ıch dvojici v´ıcen´asobn´ ych komplexnˇe sdruˇzen´ ych koˇren˚ u. Odstavec 5. Nauˇc´ıte se, jak volit substituce, abyste pˇrevedli integr´aly nˇekter´ ych goniometrick´ ych funkc´ı na racion´aln´ı funkce. Mˇeli byste umˇet pouˇz´ıt tyto jednotliv´e goniometrick´e substituce. Na z´akladˇe znalost´ı vztah˚ u mezi goniometrick´ ymi funkcemi umˇet vypoˇc´ıtat integr´aly ze souˇcin˚ u funkc´ı sinus a kosinus r˚ uzn´ ych argument˚ u. Odstavec 6. Sezn´am´ıte se s t´ım, jak m˚ uˇzete racionalizovat nˇekter´e integr´aly obsahuj´ıc´ı odmocniny. Je zapotˇreb´ı umˇet tyto substituce spr´avnˇe urˇcit a jejich pouˇzit´ım pˇrev´est integrand na racion´aln´ı funkci. Pˇripomeneme si, ˇze pro v´ ypoˇcet nˇekter´ ych typ˚ u integr´al˚ u obsahuj´ıc´ıch odmocniny m˚ uˇzete pouˇz´ıt 1. substituˇcn´ı metodu nebo metodu per partes. Tak´e tyto poˇcetn´ı postupy mus´ıte zvl´adnout.
1.2
Poˇ zadovan´ e znalosti.
Dobˇre ovl´adat derivov´an´ı funkc´ı, rozklady racion´aln´ıch funkc´ı na parci´aln´ı zlomky, zn´at z´akladn´ı vztahy mezi goniometrick´ ymi funkcemi.
1.3
Doba potˇ rebn´ a ke studiu.
Pˇribliˇznˇe lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu jednorozmˇern´eho integr´alu na 15 hodin. Pro z´ısk´an´ı zkuˇsenost´ı a zruˇcnosti ve v´ ypoˇctu primitivn´ıch funkc´ı bude jeˇstˇe zˇrejmˇe zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇcas z´avisl´ y na dosavadn´ı poˇcetn´ı praxi studenta. 4
1.4
Kl´ıˇ cov´ a slova.
Primitivn´ı funkce, neurˇcit´ y integr´al, vlastnosti neurˇcit´eho integr´alu, metoda per partes, prvn´ı a druh´a substituˇcn´ı metoda, integrace racion´aln´ı funkce, integrace goniometrick´ ych funkc´ı, integrace iracion´aln´ıch funkc´ı.
5
2
Z´ akladn´ı pojmy. ˇ Definice 2.1. Rekneme, ˇze funkce F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na otevˇren´em intervalu I ⊂ R, jestliˇze pro kaˇzd´e x ∈ I plat´ı F 0 (x) = f (x) .
Pozn´ amka 2.1. (a) Necht’ F je primitivn´ı funkc´ı k funkci f na otevˇren´em intervalu I. Potom funkce Fc (x) = F (x) + c, x ∈ I, kde c ∈ R je libovoln´a konstanta, je tak´e primitivn´ı funkc´ı k funkci f na intervalu I.
Obr´azek 1: Nejednoznaˇcnost existence primitivn´ı funkce.
(b) Pro libovoln´ y bod x0 ∈ I a kaˇzd´e y0 ∈ R existuje jedna primitivn´ı funkce F k funkci f na I, pro kterou plat´ı F (x0 ) = y0 (graf funkce F proch´az´ı bodem [x0 , y0 ]). (c) Funkce F je spojit´a na intervalu I. Pozn´ amka 2.2. Jsou-li F , G primitivn´ı funkce k funkci f na otevˇren´em intervalu I, pak existuje takov´e ˇc´ıslo c ∈ R, ˇze plat´ı G (x) = F (x) + c na I. Mnoˇzinu vˇsech tˇechto primitivn´ ıch funkc´ı obvykle naz´ yv´ame neurˇcit´ ym integr´alem funkce f na I a R znaˇc´ıme jej f (x) dx. 6
Pozn´ amka 2.3. V literatuˇre je moˇzn´e se tak´e setkat s definic´ı primitivn´ıch funkc´ı na obecnˇejˇs´ıch mnoˇzin´ach, neˇzli jsou intervaly (napˇr. sjednocen´ı interval˚ u). Tato obecnˇejˇs´ı definice vˇsak m´a nˇekter´e nev´ yhody (napˇr. primitivn´ı funkce se nemus´ı liˇsit o konstantu). V dalˇs´ım textu se sezn´am´ıme s r˚ uzn´ ymi metodami v´ ypoˇctu primitivn´ıch funkc´ı. Je vhodn´e si ale uvˇedomit, ˇze i kdyˇz n´am n´asleduj´ıc´ı Vˇeta 2.1 zaruˇcuje existenci primitivn´ı funkce ke kaˇzd´e spojit´e funkci na otevˇren´em intervalu, pˇresto se v aplikaˇcn´ıch u ´loh´ach vyskytuj´ı takov´e spojit´e funkce na intervalu, k nimˇz neexistuj´ı primitivn´ı funkce, kter´e se daj´ı vyj´adˇrit jako koneˇcn´e line´arn´ı kombinace funkc´ı sloˇzen´ ych z element´arn´ıch funkc´ı. Patˇr´ı k nim napˇr. Z x Z Z Z Z e cos x 1 −x2 2 √ dx, e dx, sin x dx, dx, dx, x x 1 − k 2 sin2 x ˇ ık´ame pak ˇcasto, ˇze tyto integr´aly jsou tzv. neelement´arn´ı. kde 0 < k < 1, apod. R´ Vˇ eta 2.1. Kaˇzd´a funkce spojit´a na otevˇren´em intervalu I m´ a na tomto intervalu primitivn´ı funkci. Pˇ r´ıklad 2.1. Uk´aˇzeme pˇr´ıklad konstrukce primitivn´ı funkce F k funkci f v intervalu (0, 2). Funkce f je d´ana takto: f (x) =
x,
x ∈ (0, 1] ,
1,
x ∈ (1, 2) .
Podle Vˇety 2.1 primitivn´ı funkce existuje. Zvolme primitivn´ı funkce v jednotliv´ ych intervalech takto: 1 F2 (x) = x + d, x ∈ (1, 2) , F1 (x) = x2 , x ∈ (0, 1) , 2 kde d je konstanta. Protoˇze funkce F mus´ı b´ yt spojit´a, zvol´ıme konstantu d tak, aby 1 lim F2 (x) = lim F1 (x) = . x→1+ x→1− 2 Odtud d = −1/2. Tedy celkem F (x) =
1 2 x ,
x ∈ (0, 1] ,
x − 1,
x ∈ (1, 2) .
2
2
Pˇritom 2
x x − 12 − 12 − 12 1 = lim = 1, F−0 (1) = lim 2 = lim (x + 1) = 1. x→1+ x→1− x − 1 x−1 2 x→1− 0 Vid´ıme tedy, ˇze funkce F je spojit´a v bodˇe 1 a F (x) = f (x) pro kaˇzd´e x ∈ (0, 2). Je tedy funkce F primitivn´ı k funkci f na (0, 2). Grafy funkc´ı f a F jsou zn´azornˇeny na obr´azku 2.
F+0 (1)
7
Pozn´ amka 2.4. Funkce g definovan´a na intervalu (0, 2) takto x,
x ∈ (0, 1] ,
2,
x ∈ (1, 2) ,
g(x) =
nem´a na tomto intervalu primitivn´ı funkci ve smyslu naˇs´ı definice. Pozn´ amka 2.5. Existuj´ı vˇsak i nespojit´e funkce, k nimˇz je moˇzno nal´ezt primitivn´ı funkce. Vˇ eta 2.2. Jestliˇze existuj´ı primitivn´ı funkce k funkc´ım f a g na otevˇren´em intervalu I, pak plat´ı Z Z
cf (x) dx = c Z
(f (x) + g (x)) dx =
Z
f (x) dx,
f (x) dx +
kde c 6= 0 je libovoln´a re´aln´a konstanta.
Obr´azek 2: Pˇr´ıklad 2.1.
8
Z
g (x) dx,
Pozn´ amka 2.6. Zobrazen´ı A f → f dx je line´arn´ı zobrazen´ı line´arn´ıho prostoru 0 C (I) do line´arn´ıho prostoru C 1 (I). Toto tvrzen´ı plyne z Vˇety 2.2. R
Tabulkov´e integr´aly. Z tabulky derivac´ı dost´av´ame okamˇzitˇe tabulku primitivn´ıch funkc´ı. V n´asleduj´ıc´ıch vzorc´ıch je c ∈ R libovoln´a konstanta:
xn+1 + c, x ∈ R, n ∈ N ∪ {0}, n+1 Z xα+1 xα dx = + c, x ∈ (0, ∞), α ∈ R, α 6= −1, α+1 Z 1 dx = ln |x| + c, x ∈ (0, ∞) nebo x ∈ (−∞, 0), x Z ax + c, x ∈ R, a > 0, a 6= 1 je konstanta, ax dx = ln a Z sin x dx = − cos x + c, x ∈ R, Z
Z
xn dx =
Z
x ∈ R,
cos x dx = sin x + c,
1 dx sin2 x Z 1 dx cos2 x Z 1 √ dx 1 − x2 Z 1 dx 2 1 + x Z Z
=
− cot x + c,
= tg x + c,
x ∈ (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,
x ∈ ((2k − 1)π/2, (2k + 1)π/2), k ∈ Z,
= arcsin x + c, = arctg x + c,
x ∈ (−1, 1), x ∈ R,
sinh x dx = cosh x + c,
x ∈ R,
cosh x dx = sinh x + c,
x ∈ R,
1 dx = tanh x + c, x ∈ R, cosh2 x Z 1 dx = − coth x + c, x ∈ (0, ∞) nebo x ∈ (−∞, 0). sinh2 x
Z
Pozn´ amka 2.7. (k druh´emu vzorci v pˇredeˇsl´e tabulce - moˇznost rozˇs´ıˇren´ı integraˇcn´ıch obor˚ u) Je-li α = p/q ∈ Q, α 6= −1, p, q nesoudˇeln´a, pak
9
(a) je-li α > 0 a
q sud´ e, pak x ∈ (0, ∞),
q lich´e, pak x ∈ R,
(b) q sud´ e, pak x ∈ (0, ∞),
je-li α < 0 a q lich´e, pak x ∈ (−∞, 0) nebo x ∈ (0, ∞), Pˇ r´ıklad 2.2. Hmotn´ y bod kon´a pˇr´ımoˇcar´ y pohyb takov´ y, ˇze jeho zrychlen´ı roste rovnomˇernˇe s ˇcasem a za prvn´ıch 10 s pohybu naroste z nulov´e hodnoty na 5 m · s−2 . Jak´a je rychlost pohybu hmotn´eho bodu v ˇcase t = 10 s a jakou dr´ahu hmotn´ y bod vykonal, jestliˇze v ˇcase t = 0 byl v klidu? ˇ sen´ı. Zˇrejmˇe pro zrychlen´ı a plat´ı a = kt, kde k = a10 /t10 = 1/2 m · s−3 . Odtud Reˇ v(t) =
Z
a(t) dt =
Z
1 kt dt = kt2 + c. 2
Protoˇze v(0) = 0 dost´av´ame, ˇze c = 0. Odtud v(10) = 25 m · · ·−1 . Pro dr´ahu s m´ame s(t) =
Z
v(t) dt =
kZ 2 1 t dt = kt3 + d. 2 6
Vzhledem k tomu, ˇze s(0) = 0 dost´av´ame, ˇze d = 0 a tedy s(10) = 83.33 m.
Cviˇ cen´ı 2.1. Uˇzit´ım z´akladn´ıch vztah˚ u spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ ych oborech: ! √ Z 4 1 6 x a) x3 − + +√ dx na (0, ∞) ; 3 x 2 x2 b) c)
Z
x4 − 3x2 − 1 √ dx na (0, ∞) ; x
Z
x−1 √ dx na (0, ∞) ; 1+ x
cos2 x dx na 1 + sin x Z x e) sin2 dx na R; 2
d)
f)
Z
Z
2
tg x dx na
π 3π − , ; 2 2
π π − , . 2 2
10
3
Z´ akladn´ı integraˇ cn´ı metody.
Vˇ eta 3.1. (Prvn´ı substituˇcn´ı metoda.) Necht’ funkce f m´ a primitivn´ı funkci F na ’ otevˇren´em intervalu J. Necht funkce ϕ zobrazuje otevˇren´y interval I do J a m´ a na intervalu I koneˇcnou derivaci. Potom F ◦ ϕ je primitivn´ı funkc´ı k funkci (f ◦ ϕ) ϕ0 na intervalu I a plat´ı Z
f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt = F (ϕ (t)) + c,
c ∈ R.
D˚ ukaz. Plyne pˇr´ımo z vˇety o derivaci sloˇzen´e funkce. Pˇ r´ıklad 3.1. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k dan´e funkci g(t) na dan´em intervalu: a) g (t) = t cos(t2 + 1) na R. ˇ sen´ı. Dan´a funkce je spojit´a na R a podle Vˇety 2.1 existuje primitivn´ı Reˇ funkce. Z
t2 + 1 = x t cos t + 1 dt = 2t dt = dx
2
= b) g (t) =
1Z cos x dx = 2 1 2
1 sin x + c = sin t + 1 + c. 2 2
t na R. 3 + 2t4
ˇ sen´ı. Reˇ t2 = u t dt = 3 + 2t4 2tdt = du
1Z 1 = du 2 3 + 2u2 √ √2 Z u = x 1 1 3 √ 2 du = √ √2 6 1 + √2u du = dx 3 3 Z
Z
=
1 1 1 √ √ dx = arctg x + c 2 6 1 + x2 2 6 √ √ 6 t2 6 = arctg + c. 12 3
=
Vˇ eta 3.2. (Druh´a substituˇcn´ı metoda.) Necht’ funkce ϕ zobrazuje otevˇren´y interval I na interval J a necht’ m´a koneˇcnou derivaci ϕ0 6= 0 na I. Je-li G primitivn´ı funkc´ı k funkci (f ◦ ϕ) ϕ0 na I, pak funkce G ◦ ϕ−1 je primitivn´ı k f na J a plat´ı Z
f (x) dx =
Z
f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt = G(t) + c = G ϕ−1 (x) + c. 11
D˚ ukaz. Z pˇredpokladu, ˇze ϕ0 6= 0 plyne, ˇze funkce ϕ je spojit´a a ϕ0 > 0 nebo ϕ0 < 0. Z tohoto dost´av´ame, ˇze funce ϕ je ryze monotonn´ı a existuje tedy inverzn´ı funkce ϕ−1 , kter´a je spojit´a a m´a koneˇcnou derivaci. Pro libovoln´e x ∈ J tedy plat´ı
0
G ϕ−1 (x)
= G0 ϕ−1 (x)
= f (ϕ(t)) ϕ0 (t)
0
ϕ−1 (x) 1
ϕ0 (t)
= G0 (t)
1 ϕ0 (t)
= f (ϕ(t)) = f (x).
√ Pˇ r´ıklad 3.2. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci 1 − x2 na intervalu J = (−1, 1). ˇ sen´ı. Poloˇzme ϕ(t) = sin t, I = (−π/2, π/2), ϕ : (−π/2, π/2) → (−1, 1), ϕ0 6= 0 Reˇ na J. Z √
1 − x2 dx
x = sin t = ϕ (t) = t = arcsin x = ϕ−1 (t) dx = cos t dt Z Z
|cos t| cos t dt =
=
Z q = 1 − sin2 t cos t dt
cos2 t dt
1 + cos 2t 1 1 dt = t + sin 2t 2 2 2 q 1 1 2 (t + sin t cos t) = t + sin t 1 − sin t = 2 2 √ 1 arcsin x + x 1 − x2 + c. = 2 =
Z
Vˇ eta 3.3. (Metoda per partes.) Necht’ funkce u, v maj´ı spojit´e derivace na otevˇren´em intervalu I. Potom na I plat´ı Z
0
u(x)v (x) dx +
Z
u0 (x) v (x) dx = u(x)v (x) .
D˚ ukaz. Plyne z vˇety o derivaci souˇcinu funkc´ı a definice primitivn´ı funkce.
Pˇ r´ıklad 3.3. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k dan´e funkci na dan´em intervalu: (a) f (x) = xex na R. ˇ sen´ı. Reˇ Z
u(x) = x v 0 (x) = ex x xe dx = u0 (x) = 1 v(x) = ex
12
Z = xex − ex dx = (x − 1) ex + c.
(b) f (x) = ln x na (0, ∞). ˇ sen´ı. Reˇ Z
u(x) = ln x v 0 (x) = 1 ln x dx = u0 (x) = 1/x v(x) = x
(c) f (x) =
Z = x ln x − dx = x (ln x − 1) + c.
ln2 x na (0, ∞). x2
ˇ sen´ı. Reˇ u(x) = ln2 x, v 0 (x) = 1 ln2 x x2 dx = x2 u0 (x) = 2 ln x , v(x) = − 1 x x
Z
ln2 x =− + 2I, x
kde u(x) = ln x, v 0 (x) = 1 ln x x2 I = dx = 1 x2 u0 (x) = 1 , v(x) = − x x ln x 1 ln x + 1 ln x Z 1 + dx = − − =− + c. = − x x2 x x x
Z
Celkem tedy Z
ln2 x + 2 ln x + 2 ln2 x dx = − + c, x2 x
x ∈ R+ .
(d) f (x) = x3 arctg x na R. ˇ sen´ı. Reˇ Z
x3 arctg x dx
u(x) = arctg x, v 0 (x) = x3 = 1 u0 (x) = , v(x) = 41 x4 1+x2 Z 4 4
x 1 (x − 1) + 1 arctg x − dx 4 4 x2 + 1 x4 1Z 1 dx = arctg x − x2 − 1 + 2 4 4 x +! 1 x4 1 x3 = arctg x − − x + arctg x 4 4 3 x3 x x4 − 1 = arctg x − + + c. 4 12 4 =
13
Pˇ r´ıklad 3.4. Vypoˇctˇete integr´al I=
Z
ex sin x dx
na R.
ˇ sen´ı. Reˇ Z
ex sin x dx
= =
v 0 (x) = sin x
u(x) = ex u0 (x) = ex u(x) = ex u0 (x) = ex
Z = −ex cos x + ex cos x dx v(x) = − cos x Z v 0 (x) = cos x = ex (− cos x + sin x) − ex sin x dx. v(x) = sin x
Tedy I = ex (sin x − cos x) − I, a odtud pro x ∈ R Z
1 ex sin x dx = ex (sin x − cos x) + c, 2
c ∈ R.
Pozn´ amka 3.1. Analogick´ ym zp˚ usobem lze poˇc´ıtat integr´aly Z
Z
eax sin bx dx,
eax cos bx dx na R,
kde a, b jsou libovoln´e re´aln´e konstanty. Pˇ r´ıklad 3.5. Kombinac´ı prvn´ı substituˇcn´ı metody a metody per partes vypoˇc´ıtejte integr´aly Z Z 5 x2 I = x e dx, J = arctg x dx na R. ˇ sen´ı. Reˇ I
= = =
x2 = t
2xdx
1Z
= = dt 2
t2 et dt
u(t) = t2 , v 0 (t) = et
t2 et Z = − t et dt 0 t 2 u (t) = 2t, v(t) = e Z u(t) = t, v 0 (t) = et t2 et t = − t e + et dt 0 t 2 u (t) = 1, v(t) = e 2
ex (x4 − 2x2 + 2) = + c; 2
J
u(x) = arctg x, = 1 u0 (x) = , 2
1+x
v 0 (x) = 1
= x arctg x − J1 ,
v(x) = x 14
kde 1 + x2 = t x dx = 2 1+x x dx = 1 dt 2
J1 =
Z
1 1 = ln |t| = ln(1 + x2 ) + c. 2 2
Celkem tedy Z
arctg x dx = x arctg x −
1 ln(1 + x2 ) + c. 2
Cviˇ cen´ı 3.1. Uˇzit´ım substituˇcn´ıch metod spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ ych oborech: Z 3 1 dx na ,∞ ; a) 3 − 4x 4 b) c)
Z
sin x dx na cos4 x
Z
√
π π − , ; 2 2
x3 dx na R; 5 + x2
arcsin3 x √ dx na (−1, 1) ; 1 − x2 Z 1 dx na R; e) x2 + 4x + 29
d)
f)
Z
Z
√
1 dx na (−5, 1) . 5 − 4x − x2
Cviˇ cen´ı 3.2. Uˇzit´ım metody per partes spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ ych oborech: a) b) c) d) e) f)
4
Z
Z
Z
Z
x cos(4x + 3) dx na R; x sin2 x dx na R; log x dx na (0, ∞) ; arctg 3x dx na R;
Z
e2x cos 5x dx na R;
Z
ln2 x dx na (0, ∞) . x3
Integrace racion´ aln´ıch funkc´ı.
Jak jiˇz v´ıme z teorie racion´aln´ıch funkc´ı, m˚ uˇzeme zadanou ryz´ı racion´ aln´ı funkci 15
rozloˇzit na parci´aln´ı zlomky tvaru A (ax + b)l
(I)
(II)
Bx + C (px2 + qx + r)k
kde k, l ∈ N, a 6= 0, p 6= 0, q 2 − 4pr < 0, A 6= 0 a B 2 + C 2 6= 0. Je zˇrejm´e, ˇze pro integraci parci´aln´ıch zlomk˚ u typu (I)R m˚ uˇzeme pouˇz´ıt substituci ax + b = t, kter´ a −l pˇrevede tento typ na tabulkov´y integr´ al t dt. Pˇ r´ıklad 4.1. Z
3x + 4 = t 1 dx = 5 3 dx = dt (3x + 4)
1Z 1 1 = + c, dt = − 5 3 t 12 (3x + 4)4
kde x ∈ (−∞, −4/3) nebo x ∈ (−4/3, ∞).
Integrace parci´aln´ıch zlomk˚ u tvaru (II) je jiˇz troˇsku n´ aroˇcnˇejˇs´ı. Nejprve se budeme zab´yvat pˇr´ıpadem, kdy k = 1. Pak je vhodn´e upravit integrand na tvar K
f 0 (x) 1 +L , f (x) f (x)
kter´y jiˇz snadno integrujeme pomoc´ı prvn´ı substituˇcn´ı metody. Pˇ r´ıklad 4.2. Vypoˇctˇete integr´al Z
x dx. x2 + 3x + 3
ˇ sen´ı. Integrovan´a funkce je definovan´a pro vˇsechna x ∈ R a x2 + 3x + 3 > 0 na Reˇ R. Z 1 (2x + 3) − 32 x 2 dx = dx x2 + 3x + 3 x2 + 3x + 3 1Z 2x + 3 3Z 1 1 3 = dx − dx = I − I2 1 2 x2 + 3x + 3 2 x2 + 3x + 3 2 2 Z
I1 I2
x2 + 3x + 3 = t, = (2x + 3)dx = dt Z
1 dt = ln t = ln(x2 + 3x + 3), t 2x+3 √ = t 1 4Z 1 3 √ dx = dx = = 3 2 3 2x+3 3 2 √ 3 ( 3 ) +1 (x + 2 ) + 4 dx = 2 dt √ √ √ √ 2 3 Z dt 2 3 2 3 2 3 2x + 3 = = arctg t = arctg t = arctg √ . 2 3 t +1 3 3 3 3 t > 0
=
16
Z
Celkem
√ 1 3 1 2x + 3 I1 − I2 = ln(x2 + 3x + 3) − 3 arctg √ + c, 2 2 2 3 kde c ∈ R je libovoln´e.
Pˇ r´ıklad 4.3. 2x + 1 1Z 18x + 6 1Z 1 dx = dx + dx 2 2 2 9x + 6x + 5 9 9x + 6x + 5 3 9x + 6x + 5 1 1 = I1 + I2 9 3
Z
I1 I2
Z 9x2 + 6x + 5 = t 1 = dt = ln |t| + c1 = ln(9x2 + 6x + 5) + c1 = (18x + 6)dx = dt t Z 1 1Z 1 3x + 1 = t = dx = dt = 2 2 3 dx = dt 3 t + 4 (3x + 1) + 4
1 3x + 1 arctg + c2 . 6 2
=
Celkem dost´av´ame Z
1 1 3x + 1 2x + 1 dx = ln(9x2 + 6x + 5) + arctg + c. + 6x + 5 9 18 2
9x2
Zb´yv´ a n´am integrace parci´aln´ıch zlomk˚ u tvaru Bx + C , (px2 + qx + r)k
k > 1, k ∈ N.
Nejdˇr´ıve uprav´ıme integrand na tvar K
f 0 (x) 1 . k +L (f (x)) (f (x))k
Prvn´ı sˇc´ıtanec integrujeme podle prvn´ı substituˇcn´ı metody, ve druh´em sˇc´ıtanci upk rav´ıme v´yraz 1/ (f (x))k na tvar 1/ (t2 + a2 ) a primitivn´ı funkci urˇc´ıme uˇzit´ım rekurentn´ıho vztahu Z
1 1 k+1 dt = 2 2 2ka2 (t + a )
!
Z t 1 dt . k + (2k − 1) 2 2 2 (t + a ) (t + a2 )k
Nyn´ı si tento rekurentn´ı vztah odvod´ıme uˇzit´ım metody per partes. Oznaˇcme Jk =
Z
(t2
1 dt. + a2 )k
17
Jk
1 u(x) = (t2 + a2 )k = 2kt u0 (x) = − (t2 + a2 )k+1 Z 2
v 0 (t) = 1
v(t) = t
t t + 2k dt k (t2 + a2 ) (t2 + a2 )k+1 Z t (t2 + a2 ) − a2 = + 2k dt (t2 + a2 )k (t2 + a2 )k+1 Z Z 1 1 t 2 dt = k + 2k k dt − 2ka 2 2 2 2 2 (t + a ) (t + a ) (t + a2 )k+1 =
a odtud dost´av´ame rovnici Jk =
(t2
t 2 k + 2kJk − 2ka Jk+1 . 2 +a )
Pˇ r´ıklad 4.4. Vypoˇctˇete integr´al Z
x3
1 dx na (1, ∞). −1
ˇ sen´ı. Reˇ 1Z 1Z 1 1 1 x+2 dx = dx − dx = (I1 − I2 ) 3 2 x −1 3 x−1 3 x +x+1 3
Z
Z x − 1 = t, t > 0 1 = = dt = ln t = ln(x − 1), dx = dt t Z 1 Z Z 3
I1
(2x + 1) + 2 1 2x + 1 3 1 dx = dx + dx x2 + x + 1 2 x2 + x + 1 2 x2 + x + 1 1 3 = J1 + J 2 2 2 Z x2 + x + 1 = t 1 = = dt = ln t = ln(x2 + x + 1) (2x + 1)dx = dt t 2x+1 Z √ = t 1 4Z 1 √ = dx = dx = 3 2 2 3 2x+1 3 dx = 2 dt √ x+ 1 + 3 +1
I2 =
J1 J2
2
2
4
3
2 Z 1 2 2 2x + 1 √ √ √ dt = arctg t = arctg +c = √ 3 t2 + 1 3 3 3 Celkem tedy Z
√ √ 1 1 2x + 1 6 3 dx = ln x − 1 − ln x2 + x + 1 − √ arctg √ +c 3 x −1 3 3
pro x ∈ (1, ∞). 18
Pˇ r´ıklad 4.5. Z 2x + 3 1Z 8x − 4 1 2 dx 2 dx = 2 dx + 4 2 2 4 (4x − 4x + 3) (4x − 4x + 3) (2x − 1)2 + 2 1 = I1 + 4I2 , 4
Z
I1
4x2 − 4x + 3 = t = (8x − 4)dx = dt
I2 =
1
Z
Z 1 1 1 = + c1 dt = − + c1 = − 2 2 t t 4x − 4x + 3
2x − 1 = t 2 dx = 2 dx = dt
(2x − 1)2 + 2
!
1 = 2 1 = 8
1Z 1 = dt 2 2 (t + 2)2 !
t 1Z 1 1 t 1 t + dt = + √ arctg √ + c2 2 2 2 4 (t + 2) 4 t + 2 8 t +2 2 2 ! 2x − 1 1 2x − 1 √ √ + arctg + c2 . 4x2 − 4x + 3 2 2
Z´avˇerem m´ame Z
(4x2
4x − 3 2x + 3 1 2x − 1 + √ arctg √ + c. 2 dx = 2 4 (4x − 4x + 3) 2 2 2 − 4x + 3)
Cviˇ cen´ı 4.1. Spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ ych oborech: Z 4x − 1 dx na R; a) 2 x + 5x + 7 b) c) d) e) f)
Z
2x + 3 dx na (−2, 1) ; x2 + x − 2
Z
x4 − 6x2 + x − 2 dx na (0, 2) ; x4 − 2x3
Z
x2 − 1 dx na (0, ∞) ; x3 + x2 + x
Z
3x2 − 4x + 4 dx na (−∞, 0) ; x3 − 2x2 + 2x 5 ln x + 3
Z
2
dx
x ln x − ln x + 1
na (0, ∞) .
19
5
Integrace goniometrick´ ych funkc´ı.
Zavedeme nejprve pojem polynomu n promˇenn´ ych: P (u1 , u2 , . . . , un ) =
m1 X m2 X
···
k1 =0 k2 =0
mn X
ak1 k2 ...kn uk11 uk22 . . . uknn ,
kn =0
kde n ∈ N, ak1 k2 ...kn ∈ R, ki , mi jsou cel´a nez´aporn´a ˇc´ısla. R(u1 , u2 , . . . , un ) =
P (u1 , u2 , . . . , un ) Q(u1 , u2 , . . . , un )
je racion´aln´ı funkce n promˇenn´ ych. Rozliˇs´ıme tˇri z´akladn´ı typy integr´al˚ u.
5.1
Typ
R
R(sin x, cos x) dx .
Necht’ R(u, v) =
P (u, v) Q(u, v)
je racion´ aln´ı funkce dvou promˇenn´ych u = sin x a v = cos x. Integraci funkc´ı tohoto typu lze pˇrev´est na integraci funkc´ı racion´ aln´ıch v promˇenn´e t zaveden´ım n´asleduj´ıc´ıch substituc´ı: 1) Plat´ı-li R(−u, v) = −R(u, v), poloˇz´ıme cos x = t. 2) Plat´ı-li R(u, −v) = −R(u, v), poloˇz´ıme sin x = t. 3) Plat´ı-li R(−u, −v) = R(u, v), poloˇz´ıme tg x = t. 4) V ostatn´ıch pˇr´ıpadech poloˇz´ıme tg x2 = t. Pˇri zaveden´ı substituce tg x = t vyuˇzijeme tyto vztahy (pro lehk´e zapamatov´an´ı je m˚ uˇzeme z´ıskat z n´asleduj´ıc´ıho obr´azku:)
cos x = √
1 , 1 + t2
sin x = √
t . 1 + t2
Pˇri substituci tg x2 = t dostaneme:
20
cos x = cos2
x x 1 − t2 − sin2 = , 2 2 1 + t2
sin x = 2 sin
x 2t x cos = . 2 2 1 + t2
Pˇ r´ıklad 5.1. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci cos3 x 1 + 4 sin2 x na intervalu R. ˇ sen´ı. Reˇ R(u, −v) =
(−v)3 v3 = − = −R(u, v). 1 + 4u2 1 + 4u2
Zvol´ıme substituci sin x = t. Z Z cos3 x 1 − t2 sin x = t dx = = dt cos x dx = dt 1 + 4t2 1 + 4 sin2 x 5 1 5 1Z −1 + dt = −t + arctg 2t +c = 4 1 + 4t2 4 2 5 1 − sin x + arctg(2 sin x) + c. = 4 2 Pˇ r´ıklad 5.2. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci 1 4 sin x − 4 sin x cos x + 7 cos2 x 2
na intervalu (0, π/2). ˇ sen´ı. Reˇ R(−u, −v) =
4(−u)2
1 1 = 2 = R(u, v). 2 − 4(−u)(−v) + 7(−v) 4u − 4uv + 7v 2
Zvol´ıme substituci tg x = t. Z
1 dx 4 sin x − 4 sin x cos x + 7 cos2 x tg x = t sin x = 2
√ t 1+t2
= Z
1 x = arctg t dt cos x = √1+t 2 1 dt dx = 1+t 2 Z Z 1 1 1 1 = t2 dt = dt = dt 4t 1 1 + t2 4t2 − 4t + 7 (2t − 1)2 + 6 4 1+t2 − 1+t 2 + 7 1+t2 1 2t − 1 1 2 tg x − 1 √ = √ arctg √ + c = √ arctg +c 2 6 6 2 6 6
21
Pˇ r´ıklad 5.3. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci 1 4 − 5 sin x na intervalu (0, π/4). ˇ sen´ı. Zvol´ıme substituci tg x = t. Reˇ 2 Z
tg x 2 = x dx Z =
2t = t sin x = 1+t 2 1 1−t2 dx = 2 arctg t cos x = 1+t2 4 − 5 sin x 2 = 1+t 2 dt Z 2 1 dt dt = 2 10t 2t − 5t + 2 4 − 1+t2 (1 + t2 ) 1Z 2 1 1 = − dt + c = (ln |t − 2| − ln |2t − 1|) + c 3 t − 2 2t 3 −1 x 1 tg 2 − 2 = ln + c. 3 2 tg x2 − 1
5.2
Typ
R
sin αx sin βx dx .
Necht’ α, β ∈ R. K v´ ypoˇctu integr´al˚ u Z
sin αx sin βx dx,
Z
sin αx cos βx dx,
Z
cos αx cos βx dx.
pouˇzijeme vzorce 1 [cos(α − β)x − cos(α + β)x] , 2 1 [cos(α − β)x + cos(α + β)x] , cos αx cos βx = 2 1 sin αx cos βx = [sin(α + β)x + sin(α − β)x] . 2 sin αx sin βx =
Pˇ r´ıklad 5.4. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci sin 3x cos 2x na R. ˇ Reˇ sen´ı. Pouˇzijeme vzorec sin αx cos βx = Z
sin 3x cos 2x dx =
1 [sin(α + β)x + sin(α − β)x] . 2
1Z 1 1 (sin 5x + sin x) dx = − cos 5x − cos x + c. 2 10 2
22
5.3
Typ
R
sinm x cosn x dx .
Necht’ m, n jsou cel´a nez´aporn´a a sud´ a ˇc´ısla. Pro v´ypoˇcet integr´ alu Z
sinm x cosn x dx
pouˇzijeme vzorce sin2 x =
1 (1 − cos 2x) , 2
cos2 x =
1 (1 + cos 2x) , 2
sin 2x = 2 sin x cos x.
Pˇ r´ıklad 5.5. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci sin4 x cos2 x na R. ˇ sen´ı. Reˇ Z 1Z 1 Z 4 2 2 2 sin x cos x dx = sin 2x sin x dx = (1 − cos 4x) (1 − cos 2x) dx 4 Z 16 1 (1 − cos 2x − cos 4x + cos 4x cos 2x) dx = 16 Z Z Z Z 1 = dx − cos 4x dx − cos 2x dx + cos 4x cos 2x dx 16 1 1 1 1 1 x − sin 4x − sin 2x + sin 2x + sin 6x + c = 16 4 2 4 12 1 1 1 1 sin 6x + c. = x − sin 4x − sin 2x + 16 4 4 12 Cviˇ cen´ı 5.1. Spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ ych oborech: Z 2 sin x cos x dx na R; a) cos2 x + 1 b) c) d)
Z
sin5 x cos x dx na (−π, π) ; 1 + 2 cos x + cos2 x
Z
sin3 x dx na R; 2 + cos x
Z
1 dx na R; 1 + cos2 x
1 π e) dx na 0, ; 2 2 sin x + 3 sin x cos x Z 1 f) dx na R. cos x − 2 sin x + 5 Z
6
Integrace iracion´ aln´ıch funkc´ı.
Opˇet odliˇs´ıme dva z´akladn´ı typy integr´al˚ u iracion´aln´ıch funkc´ı. 23
6.1
Typ
R
R x,
r
q1
ax+b cx+d ,
r
q2
ax+b cx+d , . . . ,
r
qm
ax+b cx+d
dx .
Necht’ R je racion´aln´ı funkce m + 1 promˇenn´ych. Uvaˇzujme funkci
s
R x,
q1
ax + b , cx + d
s q2
s
ax + b ,..., cx + d
qm
ax + b , cx + d
kde a, b, c, d ∈ R, pˇriˇcemˇz ad − bc 6= 0. Integraci funkc´ı tohoto typu lze pˇrev´est na integraci funkc´ı racion´ aln´ıch v promˇenn´e t. Vyjdeme-li ze vztahu ax + b = ts , cx + d kde s je nejmenˇs´ı spoleˇcn´y n´asobek ˇc´ısel q1 , q2 ,...,qm , dostaneme x=
dts − b . a − cts
Pˇ r´ıklad 6.1. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci 1 x
s
4x + 1 x−1
na intervalu (1, ∞). ˇ sen´ı. Reˇ Z
1 x
s
4x + 1 dx = x−1
4x+1 x−1
= t2 x = −10t dx = (t2 −4)2 dt
t2 +1 t2 −4
Z t2 1 1 1 dt = 2 − 2 + − 2 2 (t + 1) (t − 4) t +1 t+2 t−2 t + 2 − 2 arctg t + c = 2 ln tq− 2 s 4x+1 + 2 x−1 4x + 1 − 2 arctg = 2 ln q 4x+1 + c. x−1 − 2 x−1
= −10
Z
Pˇ r´ıklad 6.2. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci √ √ x− 3x √ √ x4x+x3x na intervalu (0, ∞). 24
dt
ˇ sen´ı. Reˇ √ Z √ x = t12 x− 3x √ √ dx = dx = 12t11 dt x4x+x3x = 12
6.2
Typ
R
R(x,
√
Z Z 2 t6 − t4 11 t −1 = 12 dt t dt = 12 15 16 t +t t+1
√ √ (t − 1) dt = 6t2 − 12t + c = 6 6 x − 12 12 x + c.
Z
px2 + qx + r) dx .
Necht’
P (u, v) Q(u, v) je racion´ aln´ı funkce dvou promˇenn´ych u, v a p, q, r ∈ R, p 6= 0. Uvaˇzujme integr´ al R(u, v) =
Z
R(x,
q
px2 + qx + r) dx .
Pokud m´a polynom px2 + qx + r • dvojn´asobn´ y re´aln´ y koˇren, pak jde o integraci racion´aln´ı funkce; • dva r˚ uzn´e re´aln´e koˇreny, pak m˚ uˇzeme pˇrev´est integr´al na integr´al typu Z
R x,
s q1
ax + b , cx + d
s q2
ax + b ,..., cx + d
s qm
ax + b dx ; cx + d
• komplexn´ı koˇreny, pak tento pˇr´ıpad snadno pˇrevedeme jednoduch´ ymi u ´pravami a line´arn´ı substituc´ı na n´asleduj´ıc´ı tvar: Z √ R(x, 1 + x2 ) dx, kter´ y d´ale m˚ uˇzeme poˇc´ıtat s pouˇzit´ım: (a)
Eulerovy substituce x=
t2 − 1 , 2t
dx =
t2 + 1 dt, 2t2
kter´a pˇrevede dan´ y integr´ √ al na integr´al z racion´aln´ı funkce (substituce se nˇekdy p´ıˇse ve tvaru 1 + x2 = t − x); (b)
goniometrick´e substituce x = tg t,
dx =
1 dt, cos2 t
kter´a pˇrevede dan´ y integr´al na integr´al z funkce R(cos t, sin t); 25
(c)
hyperbolick´e substituce x = sinh t, dx = cosh t dt,
nebo x = cosh t, dx = sinh t dt,
kter´a pˇrevede dan´ y integr´al na integr´al z funkce R(cosh t, sinh t). Ve vˇsech v´ yˇse uveden´ ych pˇr´ıpadech pouˇz´ıv´ame Vˇetu 3.2 (Druh´ a substituˇcn´ı metoda). Pˇ r´ıklad 6.3. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci 1 . (x + 4) x2 + 3x − 4 √
ˇ sen´ı. Funkce je definovan´a na mnoˇzinˇe (−∞, −4) ∪ (1, ∞). Uvaˇzujme interval Reˇ (1, ∞) a pouˇzijeme Vˇetu 3.2. Pak Z
Z 1 1 q √ dx = dx 2 (x + 4) x + 3x − 4 (x + 4)2 x−1 x+4 q x−1 t = x x+4 = 10t dx = (1−t2 )2 dt Z 2 2
=
4t2 +1 1−t2
(1 − t ) 10t · dt 25t (1 − t2 )2
=
2Z 2 2 = dt = t = 5 5 5
s
x−1 + c. x+4
Integr´ aly typu Ax + B dx, ax2 + bx + c kde A, B, a, b, c ∈ R, A 6= 0, a 6= 0, lze ˇreˇsit v´yhodnˇe tak, ˇze je pˇrevedeme na souˇcet integr´al˚ u Z Z 0 1 f (x) q dx, K dx + L f (x) f (x) Z
√
kter´e jiˇz snadno vypoˇcteme.
Pˇ r´ıklad 6.4. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci √
x−1 . 1 − 2x − x2
26
ˇ sen´ı. Reˇ Z x−1 1 Z −2x − 2 1 q √ dx = − dx − 2 dx 2 1 − 2x − x2 1 − 2x − x2 2 − (x + 1)2 √ x+1 = − 1 − 2x − x2 − 2 arcsin √ + c, 2 √ √ kde x ∈ (−1 − 2, −1 + 2). Z
√
Pˇ r´ıklad 6.5. Vypoˇctˇete integr´al Z
√
x+2 dx na R. x2 + 2x + 2
ˇ sen´ı. Reˇ Z
Z x+1 = u x+2 x+2 q √ dx = dx = 2 dx = du 2 x + 2x + 2 (x + 1) + 1 Z Z Z u 1 u+1 √ √ du = du + √ du = 2 2 1+u 1+u 1 + u2 = I1 + I2 ,
kde 1 + u2 = u du
I1
I2 = ln(u +
√
= s2 = s ds
Z √ √ 2 = = ds = s = 1 + u x2 + 2x + 2;
1 + u2 ) = ln(x + 1 +
√
x2 + 2x + 2).
Celkem dost´av´ame Z
√
√ √ x+2 2 + 2x + 2 + ln(x + 1 + dx = x x2 + 2x + 2) + c 2 x + 2x + 2
pro x ∈ R.
Pˇ r´ıklad 6.6. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci √
1 1 + x2
na R.
27
ˇ sen´ı. Zvol´ıme Eulerovu substituci podle bodu (a), kde t ∈ (0, ∞) a pouˇzijeme Reˇ Vˇetu 3.2. Z
t2 − 1 1 2t √ dx 2 2 t + 1 1+x = dt 2 2t Z 1 t2 + 1 q = · dt 2 2 2 2t 1 + (t −1) 2 x = dx
=
4t
1
Z
=
q
(t2 +1)2 4t2
= ln x +
√
Z t2 + 1 1 · dt = ln t dt = 2 2t t
1 + x2 + c.
Pˇ r´ıklad 6.7. Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci √ 1 + x2 na R. ˇ sen´ı. Zvol´ıme hyperbolickou substituci podle bodu (c), kde t ∈ (−∞, ∞). Reˇ Z √
1 + x2 dx
x = sinh t t = argsinh x = dx = cosh tdt Z q Z
=
1 + sinh2 t cosh t dt =
cosh2 t dt
1 1 1Z (1 + cosh 2t) dt = t + sinh 2t 2 2 2 q 1 1 = (t + sinh t cosh t) = t + sinh t 1 + sinh2 t 2 2 √ 1 = argsinh x + x 1 + x2 2 i √ √ 1h ln(x + 1 + x2 ) + x 1 + x2 + c. = 2
=
Pozn´ amka 6.1. Pˇredeˇsl´ y pˇr´ıklad lze t´eˇz ˇreˇsit metodou per partes pˇri souˇcasn´em vyuˇzit´ı v´ ysledku z Pˇr´ıkladu 6.6 tohoto odstavce. Pˇ r´ıklad 6.8. Vypoˇctˇete integr´al Z
√ x 1 − 4x − x2 dx.
28
√ √ ˇ sen´ı. Dan´a funkce je definovan´a pro x ∈ (−2 − 2 5, −2 + 2 5). Reˇ Z
v
x+2 !2 u √ √ Z u = u x + 2 t √ x 1 − 4x − x2 dx = 5 x 1− √ dx = 5 dx = 5du 5 Z √ √ = 5 ( 5u − 2) 1 − u2 du Z √ √ Z √ 2 = 5 5 u 1 − u du − 10 1 − u2 du √ = 5 5I1 − 10I2 ,
√
kde I1
1 − u2 = u du
= s2 = s ds
Z √ 1 1 = − s2 ds = − s3 = − (1 − u2 ) 1 − u2 3 3
√ 1 √ (1 − 4x − x2 ) 1 − 4x − x2 , 15 5 Z √ = 1 − u2 du. = −
I2
Dle Pˇr´ıkladu 3.2 pak m´ame √ 1 arcsin u + u 1 − u2 2" # ! 1 x+2 x + 2√ = 1 − 4x − x2 . arcsin √ + 2 5 5
I2 =
Celkem dost´av´ame Z √ x 1 − 4x − x2 dx √ x+2 1q (1 − 4x − x2 )3 − (x + 2) 1 − 4x − x2 − 5 arcsin √ + c =− 3 5 √ √ pro x ∈ (−2 − 2 5, −2 + 2 5).
Pˇ r´ıklad 6.9. Vypoˇctˇete integr´al Z
x5 √ dx. (x2 − 1) 1 − x2
ˇ sen´ı. Integrovan´a funkce je definovan´a pro x ∈ (−1, 1). Reˇ 1 − x2 = x dx
Z (1 − u2 )2 = u2 , I = dt = = −u du u2 √ √ 1 1 = (1 − x2 ) 1 − x2 − 2 1 − x2 − √ 3 1 − x2
29
1 3 1 u − 2u − + c 3 u +c
Cviˇ cen´ı 6.1. Spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ ych oborech: √ Z x √ dx na (0, ∞) ; a) 1+ x √ Z √ x+ 3x √ √ b) dx na (0, 1) ; 4 6 x5 − x7 c) d) e) f)
Z s
1+x dx na (−1, 1) ; 1−x
Z
x−3 dx na (−3, 1) ; 3 − 2x − x2
√
Z √
Z
x2 + 4x + 3 dx na (−1, ∞) ;
√
x dx na R. x2 + x + 1
30
7
Kontroln´ı ot´ azky. • Definujte primitivn´ı funkci a neurˇcit´ y integr´al a uved’te jejich z´akladn´ı vlastnosti. • Zn´ate nˇejak´e neelement´arn´ı integr´aly? V ˇcem spoˇc´ıv´a jejich neelement´arnost? • Uved’te vˇetu o integraci metodou per partes. ˇ ım se liˇs´ı 1. a 2. substituˇcn´ı metoda? Zformulujte znˇen´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch vˇet. • C´ • Vysvˇetlete myˇslenkov´ y postup v´ ypoˇctu primitivn´ı funkce k parci´aln´ım zlomk˚ um tvaru Bx + C , 2 (px + qx + r)k kde polynom ve jmenovateli m´a komplexn´ı koˇreny. • Vysvˇetlete postup pˇri integraci racion´aln´ı funkce. • Odvod’te rekurentn´ı vztah pro v´ ypoˇcet integr´alu 1 dt. (t2 + a2 )k
Z
• Co je c´ılem substituc´ı pˇri ˇreˇsen´ı R(sin x, cos x) dx? R
• Jak se ˇreˇs´ı integr´aly typu
R
sin αx · sin βx dx apod. ?
• Odvod’te, ˇcemu se rovn´a sin x, cos x pˇri substituci tg x2 . • Popiˇste postup pˇri ˇreˇsen´ı integr´al˚ u tvaru Z
√
• Jak lze vypoˇc´ıtat integr´aly tvaru
Ax + B dx. ax2 + bx + c R√
31
ax2 + bx + c dx?
8
Autotest.
Spoˇctˇete dan´e integr´aly na dan´ ych oborech: Z 3 + ln x 4 √ dx na 0, e ; 1) x 3 ln x − 4 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
9
Z
e−2x sin(3x+2) dx na R;
Z
cos 2x dx na cos x + sin x
Z
√
Z
1 − 2 sin2 x dx na sin3 x cos x
Z
(2x − 3x )2 dx na R; 6x 2 ln x + 7
2
Z
1 x3
s 5
π 0, ; 2
dx
x ln x + ln x − 2
Z
π 3π − , ; 4 4
1 dx na (0, 2) ; 2x − x2
Z
Z
na ;
x dx na (−∞, −1) ; x+1
cos(3x − 1) cos
x+2 dx na R; 3
x2 cos2 x dx na R.
V´ ysledky cviˇ cen´ı a autotestu.
Cviˇ cen´ı 2.1. √ x4 2 √ − ln |x| + x 4 x + 18 3 x + c; 4 5 √ 2 x b) (5x4 − 27x2 − 45) + c; 45 x √ c) 2 x − 3 + c; 3 a)
d) x + cos x + c; e)
x − sin x + c; 2
f) tg x − x + c.
32
Cviˇ cen´ı 3.1. 3 1 1 ,∞ ; a) − ln |3 − 4x| + c = − ln(4x − 3) + c pro x ∈ 4 4 4 b)
1 + c; 3 cos3 x
c)
√ 1q (5 + x2 )3 − 5 5 + x2 + c; 3
d)
1 arcsin4 x + c; 4
e)
x+2 1 arctg + c; 5 5
f) arcsin
x+2 + c. 3
Cviˇ cen´ı 3.2. a)
x sin(4x + 3) cos(4x + 3) + + c; 4 16
1 (2x2 − 2x sin 2x − cos 2x) + c; 8 x c) x log x − + c; ln 10
b)
d) x arctg 3x − e)
1 ln 1 + 9x2 + c; 6
e2x (5 sin 5x + 2 cos 5x) + c; 29
f) −
ln2 x ln x 1 − 2 − 2 + c. 2 2x 2x 4x
Cviˇ cen´ı 4.1. 22 2x + 5 a) 2 ln x2 + 5x + 7 − √ arctg √ + c; 3 3
b)
5 1 ln |x − 1| + ln |x + 2| + c; 3 3
1 |x3 | c) x − 2 + ln + c; 2x |x − 2| |x2 + x + 1| + c; |x| √ e) ln x2 x2 − 2x + 2 + c;
d) ln
33
f)
11 5 2 2 ln x − 1 √ ln ln x − ln x + 1 + √ arctg + c. 2 3 3
Cviˇ cen´ı 5.1. a) arctg (cos x) − cos x + c; b) − c)
cos2 x 2 cos3 x cos4 x + − + c; 2 3 4
1 cos2 x − 2 cos x + 3 ln |cos x + 2| + c; 2 !
1 tg x d) √ arctg √ + c; 2 2
1 tg x + c; e) ln 3 tg x + 3 2 tg x2 − 1 1 √ + c. f) √ arctg 3 5 Cviˇ cen´ı 6.1. √ √ a) x − 2 x + 2 ln( x + 1) + c; √ √ √ √ b) 4 4 x + 6 6 x + 24 12 x + 24 ln | 12 x − 1| + c; s
c) 2 arctg
1+x √ − 1 − x2 + c; 1−x
√ x+1 d) − 3 − 2x − x2 − 4 arcsin + c; 2 √ √ 1 1 e) (2x + 4) x2 + 4x + 3 − ln x + 2 + x2 + 4x + 3 + c; 4 2 √ 1 2x + 1 + x2 + x + 1 √ 2 √ f) − ln + x + x + 1 + c. 2 3
Autotest. 8 1)
3q 21 q 3 3 (ln x − 4)5 + (ln x − 4)2 + c; 5 2
2)
−e−2x (3 cos (3x + 2) + 2 sin (3x + 2)) + c; 13
3) sin x + cos x + c; 4) arcsin (x − 1) + c;
34
5) −
1 2 + + ln |tg x| + c; 2 2 tg x tg x
x
6)
2 3
−
x 3 2
ln 32
− 2x + c;
1 x+2 7) − + arctg (x + 1) + c; 2 2 x + 2x + 2
5 x+1 8) 4 x
4/5
5 x+1 − 9 x
9/5
+ c;
9)
3 10x − 1 3 8x − 5 sin + sin + c; 20 3 16 3
10)
1 3 1 2 1 1 x + x sin 2x + x cos 2x − sin 2x + c. 6 4 4 8
35
10
Studijn´ı prameny.
[1] Bourbaki, N.: Funkcii dejstvitelnovo peremennovo. Moskva 1965. [2] Brabec, J., Hr˚ uza, B.: Matematick´ a anal´yza I. SNTL, Praha 1985. [3] Danˇeˇcek, J., Dlouh´ y, O., Koutkov´a, H., Prudilov´a, K., Sekaninov´a, J., Slatinsk´ y, E.: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z matematika I. VUT FAST Cerm, Brno 2000. [4] Fichtengolc, G. M.: Kurz diferencialnovo i integralnovo iscislenija II. Nauka, Moskva 1951. [5] Milota, J.: Matematick´a anal´yza I–II. SPN, Praha 1978. [6] Prudnikov, A. P., Bryˇckov, J. A., Mariˇcev, O. I.: Integr´ aly i rjady. Nauka, Moskva 1981. [7] Rektorys, K. a kol.: Pˇrehled uˇzit´e matematiky I. Prometheus, Praha 1995. ˇ Integrace v R. Kurzweilova teorie. Karolinum, UK Praha 1999. [8] Schwabik, S.: ˇ aˇsek, J., Tich´ [9] Skr´ y, Z.: Z´aklady aplikov´ akovan´e matematiky II. SNTL, Praha 1986. [10] Ungermann Z.: Matematika a ˇreˇsen´ı fyzik´ aln´ıch u ´loh. SPN, Praha 1990.
36
A
Vzorov´ a zad´ an´ı kontroln´ıch test˚ u.
Matematika, 1. semestr Zpracoval: Test ˇ c. 3 Jm´eno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adresa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Vhodn´ ymi u ´pravami vypoˇctˇete integr´aly: a) c)
Z
(1 − x)2 √ dx x x
Z
1 + cos2 x · sin2 cos2 x
b) x 2
dx
d)
Z
1 + sin2 x + 2 cos2 x dx 1 − cos 2x
Z
3x4 − 7x2 + 5 dx x2 + 1
2. Vhodnou substituc´ı ˇreˇste integr´aly: a) c)
Z
1 dx 2 4x + 4x + 5
Z
x dx (1 + x2 )3
1 dx 4 + 6x − 3x2 Z 5 d) dx x(3 − 5 ln x) b)
Z
√
Z
e2x · cos 3x dx
3. Metodou per partes vypoˇctˇete: a) c) e)
Z
Z
2
(x − 1) sin(2x − 1) dx 2
arcsin x dx
Z √
pˇr. max. bod˚ u z´ıs. bod˚ u
b) d)
Z √
x ln2 x dx
3 + 4x − x2 dx
X
1a 1b 1c 1d 2a 2b 2c 2d 3a 3b 3c 3d 3e 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 36
opravil(a)
Matematika, 1. semestr Zpracoval: Test ˇ c. 4 Jm´eno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adresa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Vypoˇctˇete integr´aly racion´aln´ıch funkc´ı: Z Z x3 − 1 x a) dx b) dx 4x3 − x x3 − 1 c)
Z
x2 − 2x − 7 dx x4 + 2x2 − 8x + 5
2. Vhodn´ ymi substitucemi ˇreˇste integr´aly: x+1 √ a) dx x x−2 Z 2x − 10 c) √ dx 1 + x − x2 Z 1 dx e) 5 sin x · cos5 x Z
pˇr. max. bod˚ u z´ıs. bod˚ u
1a 4
1b 4
b) d)
1c 4
2a 4
2b 4
2c 4
Z s 3
Z
2d 4
x+1 1 · dx x − 1 (x + 1)(x − 1)
2 − sin x dx 2 + cos x
2e 4
X
32
opravil(a)
