VII. Transformace náhodné veličiny 1. Náhodná √ veličina X má exponenciální rozdělení Ex(0; 1) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ). c) Vypočtěte modus náhodné veličiny Y. Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je *
f (x) =
*
0, x ∈ (−∞, 0), −x e , x ∈ h0, ∞);
0, x ∈ (−∞, 0), −x 1 − e , x ∈ h0, ∞);
F (x) =
Obrázek 1.1 a√ obrázek 1.2. Odtud plyne, že X ∈ h0, ∞). Dále si znázorněme průběh funkce Y = X, X ∈ h0, ∞). Obrázek 1.3. Odtud vidíme, že Y ∈ h0, ∞). To znamená, že g(y) = G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 0). Potom pro y ≥ 0 dostaneme: √ G(y) = P (Y ≤ y) = P ( X ≤ y) = P (X ≤ y 2 ) = F (y 2 ). 2
2
2
Je tedy G(y) = 1 − e−y . Dále je g(y) = G0 (y) = (1 − e−y )0 = 2ye−y pro y > 0. Tudíž *
*
0, y ∈ (−∞, 0i, 2 1 − e−y , y ∈ h0, ∞);
G(y) =
g(y) =
0, y ∈ (−∞, 0), 2 2ye−y , y ∈ (0, ∞);
Pokud neznáme distribuční funkci, nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: g(y) = G0 (y) =
d (F (y 2 )) dy
2
= F 0 (y 2 ).2y = f (y 2 ).2y = 2ye−y pro y ∈ (0, ∞).
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 1.4 a 1.5. b) Střední hodnotu a rozptyl můžeme počítat dvěma způsoby. Buď použijeme nového rozdělení nebo původního rozdělení náhodné veličiny X. Oba způsoby se navzájem liší provedenou substitucí v integrálu ve vzorcích. Druhý způsob používáme v případech, kdy potřebujeme znát pouze momenty transformované veličiny a nezajímá nás její rozdělení. 1. E(Y ) =
Z
∞
yg(y) dy =
−∞
=
h
i 2 ∞ −ye−y 0 Z ∞ 2
+
0
−∞
=
∞
0
2y 3 e−y
∞
2
∞
−y 2
y2ye dy = 0 √ π −y 2 e dy = 0 + . 2
y 2 g(y) dy =
E(Y ) = Z
Z
Z
Z
∞
∞
Z
y −e−y
2
0
dy =
0
2
y 2 2ye−y dy =
0
Z 2 dy = y = t, 2ydy = dt =
0
Nebo 1
∞
h
te−t dt = −te−t − e−t
i∞ 0
= 1.
Z √ 2. E(Y ) = E( X) =
∞
√
xf (x) dx =
−∞
=
Z
∞
2
2t2 e−t dt = . . . =
√
Z
∞
√
0
xe−x dx = x = t2 , dx = 2tdt =
π/2.
0
E(Y 2 ) = E(X) = . . . = 1. c) Modus je hodnota, pro níž má hustota maximum. Jestliže si uvědomíme průběh z obrázku 1.5 je tento bod nulovým bodem derivace hustoty. Je 2
2
g 0 (y) = (2ye−y )0 = e−y (2 − 4y 2 ) = 0 ⇒ y 2 =
1 2
√
⇒y=±
2 . 2 √
Protože je náhodná veličina Y kladná je modus roven yˆ =
2 2
a g(ˆ y) =
√
1
2e− 2 .
2. Náhodná veličina X má normální rozdělení N (0; 1) a náhodná veličina Y = X 2 . Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. Řešení: Označme ϕ hustotu a Φ distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je x2 1 ϕ(x) = √ e− 2 , x ∈ (−∞, ∞). 2π
Obrázek 2.1 a obrázek 2.2. Odtud plyne, že X ∈ (−∞, ∞). Dále si znázorněme průběh funkce Y = X 2 , X ∈ (−∞, ∞). Obrázek 2.3. Odtud vidíme, že Y ∈ h0, ∞). To znamená, že g(y) = G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 0). Potom pro y ≥ 0 dostaneme: √ √ √ √ G(y) = P (Y ≤ y) = P (X 2 ≤ y) = P (− y ≤ X ≤ y) = Φ( y) − Φ(− y) = √ = 2Φ( y) − 1. Je tedy g(y) = G0 (y) =
y d 1 1 √ √ (2Φ( y) − 1) = 2ϕ( y) √ = √ e− 2 , y ∈ (0, ∞) dy 2 y 2πy
a g(y) = 0, y ∈ (−∞, 0). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 2.4 a 2.5. 3. Náhodná veličina X má Cauchyovo rozdělení s hustotou f, kde f (x) =
1 , x ∈ (−∞, ∞). π(1 + x2 )
Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y, kde a) Y =
1 ; X
b) Y = |X|;
c) Y =
q
|X|;
d) Y = X 2 ; e) Y = arctg X.
Případně vypočtěte E(Y ) a D(Y ). Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je 1 1 f (x) = , x ∈ (−∞, ∞), a F (x) = 2 π(1 + x ) π 2
π + arctg x , x ∈ (−∞, ∞). 2
Obrázek 3.1a a obrázek 3.2a. Odtud plyne, že X ∈ (−∞, ∞). Dále si znázorněme průběh funkce Y = X1 , X ∈ (−∞, ∞). Obrázek 3.3a. Odtud vidíme, že Y ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞). Potom pro y < 0 dostaneme: G(y) = P (Y ≤ y) = P ( X1 ≤ y) = P ( y1 ≤ X < 0) = F (0) − F ( y1 ). Pro y ≥ 0 dostaneme: G(y) = P (Y ≤ y) = P ( X1 ≤ y) = P (X ≤ 0) + P ( y1 ≤ X) = F (0) + 1 − F ( y1 ). Protože je F (0) = 12 , je *
G(y) =
− π1 arctg ( y1 ), y ∈ (−∞, 0), 1 1 1 − π arctg ( y ), y ∈ (0, ∞);
*
g(y) =
1 , π(1+y 2 ) 1 , π(1+y 2 )
y ∈ (−∞, 0), y ∈ (0, ∞);
Vidíme, že jsou hustoty f a g shodné a tudíž mají náhodné veličiny X a Y shodné rozdělení. Pokud neznáme distribuční funkci a nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: !!
!
!
d 1 1 1 1 1 1 −F = F0 . 2 = , y ∈ R. g(y) = G (y) = =f 2 dy y y y y y π(1 + y 2 ) Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 3.4a a 3.5a. 0
Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. b) Znázorněme si průběh funkce Y = |X|, X ∈ (−∞, ∞). Obrázek 3.3b. Odtud vidíme, že Y ∈ h0, ∞). To znamená, že g(y) = G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 0). Pro y ≥ 0 dostaneme: G(y) = P (Y ≤ y) = P (|X| ≤ y) = P (−y ≤ X ≤ y) = F (y) − F (−y) = = π1 [( π2 + arctg y) − ( π2 + arctg (−y))] = π2 arctg y. Tedy g(y) = G0 (y) =
2 , π(1+y 2 )
y ∈ (0, ∞).
Tudíž *
G(y) =
0, y ∈ (−∞, 0i, 2 arctg y, y ∈ h0, ∞); π
*
g(y) =
0, 2 , π(1+y 2 )
y ∈ (−∞, 0), y ∈ (0, ∞);
Pokud neznáme distribuční funkci, nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: g(y) = G0 (y) = y ∈ (−∞, ∞).
d (F (y) dy
− F (−y)) = F 0 (y) + F 0 (−y) = f (y) + f (−y) =
2 π(1+y 2 )
pro
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 3.4b a 3.5b. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. c) Znázorněme si průběh funkce Y = vidíme, že Y ∈ h0, ∞).
q
3
|X|, X ∈ (−∞, ∞). Obrázek 3.3c. Odtud
To znamená, že g(y) = G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 0). Pro y ≥ 0 dostaneme: q
G(y) = P (Y ≤ y) = P ( |X| ≤ y) = P (|X| ≤ y 2 ) = P (−y 2 ≤ X ≤ y 2 ) = F (y 2 ) − F (−y 2 ) = π1 [( π2 + arctg (y 2 )) − ( π2 + arctg (−y 2 ))] = π2 arctg (y 2 ). Tedy g(y) = G0 (y) =
4y , π(1+y 2 )
y ∈ (0, ∞).
Tudíž *
G(y) =
0, y ∈ (−∞, 0i, 2 2 arctg (y ), y ∈ h0, ∞); π
*
g(y) =
0, 4y , π(1+y 2 )
y ∈ (−∞, 0), y ∈ (0, ∞);
Pokud neznáme distribuční funkci, nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: d g(y) = G0 (y) = dy (F (y 2 )−F (−y 2 )) = 2yF 0 (y 2 )+2yF 0 (−y 2 ) = 2yf (y 2 )+2yf (−y 2 ) = 4y pro y ∈ (−∞, ∞). π(1+y 2 )
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 3.4c a 3.5c. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. d) Znázorněme si průběh funkce Y = X 2 , X ∈ (−∞, ∞). Obrázek 3.3d. Odtud vidíme, že Y ∈ h0, ∞). To znamená, že g(y) = G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 0). Pro y ≥ 0 dostaneme: √ √ √ √ G(y) = P (Y ≤ y) = P (X 2 ≤ y) = P (− y ≤ X ≤ y) = F ( y) − F (− y) = √ √ √ 1 π [( + arctg ) y)) − ( π2 + arctg (− y))] = π2 arctg ( y). π 2 Tedy g(y) = G0 (y) =
√ 1 , π y(1+y)
y ∈ (0, ∞).
Tudíž *
G(y) =
0, y ∈ (−∞, 0i, √ 2 arctg ( y), y ∈ h0, ∞); π
*
g(y) =
0, √ 1 , π y(1+y)
y ∈ (−∞, 0), y ∈ (0, ∞);
Pokud neznáme distribuční funkci a nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: √ √ √ √ d g(y) = G0 (y) = dy (F ( y) − F (− y)) = (F 0 ( y) + F 0 (− y)) 2√1 y = √ √ 1 = (f ( y) + f (− y)) 2√1 y = π√y(1+y) pro y ∈ (0, ∞). Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 3.4d a 3.5d. Střední hodnotu a rozptyl tyto náhodné veličiny nemají. e) Znázorněme si průběh funkce Y = arctg X, X ∈ (−∞, ∞). Obrázek 3.3e. Odtud vidíme, že Y ∈ (− π2 , π2 ). To znamená, že g(y) = 0 pro y ∈ (−∞, − π2 )∪( π2 , ∞), G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, − π2 i a G(y) = 1 pro y ∈ h π2 , ∞). 4
Potom pro y ∈ h− π2 , π2 i dostaneme: G(y) = P (Y ≤ y) = P (arctg X ≤ y) = P (X ≤ tg y) = F (tg y). Je tedy G(y) = π1 ( π2 + arctg (tg y)) =
1 2
+ πy , − π2 ≤ y ≤ π2 .
Tudíž pro hustotu dostaneme g(y) = G0 (y) =
1 1 1 π 1+(tg y)2 cos2 y
= π1 , − π2 < y < π2 .
Pokud neznáme distribuční funkci F a nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: g(y) = G0 (y) = pro − π2 < y <
= F 0 (tg y) cos12 y = f (tg y) cos12 y =
d F (tg y) dy π . 2
1 1 π(1+tg y ) cos2 y
=
1 π
Dostaneme y ∈ (−∞, − π2 i, y ∈ h− π2 , π2 i, y ∈ h π2 , ∞);
* 0, 1 2
G(y) =
+
y , π
1,
y ∈ (−∞, − π2 ), y ∈ (− π2 , π2 ), 0, y ∈ ( π2 , ∞);
* 0,
1 , π
g(y) =
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 3.4e a 3.5e. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) =
Z
∞
yg(y) dy =
−∞
π 1Z 2 1 h 2 i π2 y π = 0. y dy = −2 2π π − π2
nebo E(Y ) = E(arctg X) =
∞
Z
arctg xf (x) dx =
−∞
Z
∞
arctg x dx = π(1 + x2 )
−∞
i∞ 1 h (arctg x)2 = 0. −∞ 2π Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 . Je pak
=
2
E(Y ) =
Z
∞
−∞
π 1 h 3 i π2 2π 3 π2 1Z 2 2 y dy = y π = = y g(y) dy = −2 3π 3π.8 12 π − π2
2
nebo 2
2
E(Y ) = E((arctg X) ) =
Z
∞
2
(arctg x) f (x) dx =
−∞
=
Z
π 2
− π2
arctg 2 x dx = π(1 + x2 )
iπ 1 h 2π 3 π2 (arctg x)3 2 π = = . −2 3π 3.8π 12
Odtud plyne, že D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 = E(Y 2 ) =
5
π2 . 12
4. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu h0, 4i. Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y, kde b) Y = e−X ;
a) Y = −ln X;
c) Y = |X − 1|;
d) Y =
1 . X
Případně vypočtěte E(Y ) a D(Y ). Řešení: Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. Je *
f (x) =
x ≤ 0, 0 < x < 4, 1, x ≥ 4.
* 0,
1 , 4
x ∈ (0, 4), 0, jinde;
a F (x) =
x , 4
Obrázek 4.1a a obrázek 4.2a. Odtud plyne, že X ∈ (0, 4). a) Znázorněme si průběh funkce Y = −ln X, X ∈ (0, 4). Obrázek 4.3a. Odtud vidíme, že Y ∈ (−ln 4, ∞). To znamená, že g(y) = G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, −ln 4). Potom pro y ≥ −ln 4 dostaneme: G(y) = P (Y ≤ y) = P (−ln X ≤ y) = P (ln X ≥ −y) = P (X ≥ e−y ) = 1 − F (e−y ). Je tedy G(y) = 1 −
e−y , 4
y ≥ −ln 4 a g(y) = G0 (y) =
e−y , 4
y > −ln 4.
Pokud neznáme distribuční funkci F a nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: d (1−F (e−y )) dy
g(y) = G0 (y) =
= F 0 (e−y )e−y = f (e−y )e−y =
e−y 4
pro y ∈ (−ln 4, ∞).
Dostaneme *
G(y) =
0, y ∈ (−∞, −ln 4i, 1 −y 1 − 4 e , y ∈ h−ln 4, ∞);
*
g(y) =
0, y ∈ (−∞, −ln 4), 1 −y e , y ∈ (−ln 4, ∞); 4
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 4.4a a 4.5a. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) =
Z
∞
yg(y) dy =
−∞
h i∞ 1Z ∞ ye−y dy = −ye−y − e−y = 1 − ln 4 −ln 4 4 −ln 4
nebo E(Y ) = E(−ln X) =
Z
∞
−ln xf (x) dx =
−∞
Z 0
4
1 1 − ln x dx = − [xln x − x]40 = 4 4
= 1 − ln 4. Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 . Je pak 2
E(Y ) =
Z
∞
−∞
=
1 Z ∞ 2 −y y e dy = y g(y) dy = 4 −ln 4 2
i∞ 1 h 2 −y −y e − 2ye−y − 2e−y = ln 2 4 − 2ln 4 + 2 −ln 4 4
6
nebo 2
2
E(Y ) = E((−ln X) ) =
Z
∞
2
ln xf (x) dx =
−∞
1h
=
4
4
Z 0
xln 2 x − 2xln x + 2x
i4 0
1 2 ln x dx = 4
= ln 2 4 − 2ln 4 + 2.
Odtud plyne, že D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 = ln 2 4 − 2ln 4 + 2 − (1 − ln 4)2 = 1.
b) Znázorněme si průběh funkce Y = e−X , X ∈ (0, 4). Obrázek 4.3b. Odtud vidíme, že Y ∈ (e−4 , 1). To znamená, že g(y) = 0 pro y ∈ (−∞, e−4 )∪(1, ∞), G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, e−4 i a G(y) = 1 pro y ∈ h1, ∞). Potom pro y ∈ he−4 , 1i dostaneme: G(y) = P (Y ≤ y) = P (e−X ≤ y) = P (−X ≤ ln y) = P (X ≥ −ln (y)) = 1 − F (−ln (y)). Je tedy G(y) = 1 + 41 ln y, e−4 ≤ y ≤ 1 a g(y) = G0 (y) =
1 , 4y
e−4 < y < 1.
Pokud neznáme distribuční funkci F, nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: d g(y) = G0 (y) = dy (1 − F (−ln (y))) = F 0 (−ln (y)) y1 = f (−ln (y)) y1 = pro y ∈ (e−4 , 1). Dostaneme
y ∈ (−∞, e−4 ), y ∈ he−4 , 1i, y ∈ h1, ∞);
* 0,
G(y) =
1+ 1,
1 ln y, 4
* 0,
g(y) =
1 , 4y
0,
1 4y
y ∈ (−∞, e−4 ), y ∈ (e−4 , 1), y ∈ (1, ∞);
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 4.4b a 4.5b. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) =
∞
Z
1Z 1 1 1 1 yg(y) dy = y dy = [y]1e−4 = (1 − e−4 ) −4 4 e y 4 4
−∞
nebo −X
E(Y ) = E(e
Z
)=
∞
−x
e f (x) dx =
4
Z
−∞
0
1 −x 1 h i4 e dx = − e−x = 1 − e−4 . 0 4 4
Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 . Je pak 2
E(Y ) =
Z
∞
1Z 1 1 h 2 i1 1 y g(y) dy = y dy = y −4 = (1 − e−8 ) −4 e 4 e 8 8 2
−∞
nebo E(Y 2 ) = E((e−X )2 ) =
Z
∞
e−2x f (x) dx =
−∞
Z 0
7
4
i4 1 −2x 1h 1 e dx = − e−2x = (1 − e−8 ). 0 4 8 8
Odtud plyne, že 1 1 1 D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 = (1 − e−8 ) − (1 − e−4 )2 = (1 + 2e−4 − 3e−8 ). 8 16 16 c) Znázorněme si průběh funkce Y = |X − 1|, X ∈ (0, 4). Obrázek 4.3c. Odtud vidíme, že Y ∈ (0, 3). To znamená, že g(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 0) ∪ (3, ∞), G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 0i a G(y) = 1 pro y ∈ h3, ∞). Potom pro y ∈ h0, 3i dostaneme: 0 ≤ y ≤ 1 : G(y) = P (Y ≤ y) = P (|X − 1| ≤ y) = P (1 − y ≤ X ≤ 1 + y) = = F (1 + y) − F (1 − y); 1 ≤ y ≤ 3 : G(y) = P (Y ≤ y) = P (|X − 1| ≤ y) = P (0 ≤ X ≤ 1 + y) = = F (1 + y) − F (0). Je tedy G(y) = 41 (y + 1 − 1 + y) = y2 , 0 ≤ y ≤ 1; G(y) = 14 (1 + y), 1 ≤ y ≤ 3. Tudíž pro hustotu dostaneme g(y) = G0 (y) = 12 , 0 < y < 1 a g(y) = G0 (y) = 14 , 1 < y < 3. Pokud neznáme distribuční funkci F, nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: d g(y) = G0 (y) = dy (F (1+y)−F (1−y)) = F 0 (1+y)+F 0 (1−y) = f (1+y)+f (1−y) = = 21 , 0 < y < 1; d g(y) = G0 (y) = dy (F (1 + y) − 0) = F 0 (1 + y) = f (1 + y) = 41 , 1 < y < 3.
Dostaneme * 0,
G(y) =
y y y 1, y y , 2 y , 4
∈ (−∞, 0i, ∈ h0, 1i, ∈ h1, 3i, ∈ h3, ∞);
* 0,
g(y) =
y y y 0, y 1 , 2 1 , 4
∈ (−∞, 0), ∈ (0, 1), ∈ (1, 3), ∈ (3, ∞);
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 4.4c a 4.5c. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) =
∞
Z
yg(y) dy =
−∞
1Z 1 1Z 3 1 h 2 i 1 1 h 2 i3 1 9 1 5 y dy + y dy = y + y = + − = . 1 0 2 0 4 1 4 8 4 8 8 4
nebo E(Y ) = E(|X − 1|) =
Z
∞
|x − 1|f (x) dx =
−∞
Z 1
4
Z 0
4
Z 1 1 1 |x − 1| dx = (1 − x) dx+ 4 0 4
i1 i4 1 1h 1h 1 5 (x − 1) dx = −(1 − x)2 + (x − 1)2 = (1 + 9) = . 0 1 4 8 8 8 4
8
Rozptyl vypočteme ze vztahu D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 . Je pak E(Y 2 ) =
∞
Z
y 2 g(y) dy =
−∞
1Z 1 2 1Z 3 2 1 h 3 i1 1 h 3 i3 y dy + y dy = y + y = 0 1 2 0 4 1 6 12
1 1 14 7 + (27 − 1) = = 6 12 6 3 nebo
=
Z
E(Y 2 ) = E((X −1)2 ) =
∞
(x−1)2 f (x) dx =
−∞
Z
4
0
i4 1 1 h (x−1)2 dx = − (x − 1)3 = 0 4 12
1 14 (27 + 1) = . 12 6 Odtud plyne, že =
D(Y ) = E(Y 2 ) − (E(Y ))2 =
d) Znázorněme si průběh funkce Y = že Y ∈ ( 41 , ∞).
1 , X
14 25 112 − 75 37 − = = . 6 16 48 48 X ∈ (0, 4). Obrázek 4.3d. Odtud vidíme,
To znamená, že g(y) = G(y) = 0 pro y ∈ (−∞, 14 ). 1 4
Potom pro y ≥
dostaneme:
G(y) = P (Y ≤ y) = P ( X1 ≤ y) = P (X ≥ y1 ) = 1 − F ( y1 ). Je tedy G(y) = 1 −
1 , 4y
y≥
1 4
a g(y) = G0 (y) =
1 , 4y 2
y > 14 .
Pokud neznáme distribuční funkci F, nebo pokud ji nechceme počítat postupujeme takto: g(y) = G0 (y) =
d (1 dy
− F ( y1 )) = F 0 ( y1 ) y12 = f ( y1 ) y12 =
1 4y 2
pro y ∈ ( 14 , ∞).
Dostaneme *
G(y) =
0, 1−
y ∈ (−∞, 14 i, 1 , y ∈ h 14 , ∞); 4y
*
g(y) =
y ∈ (−∞, 14 ), 1 , y ∈ ( 14 , ∞); 4y 2
0,
Znázorněme si průběhy funkcí G a g na obrázcích 4.4d a 4.5d. Střední hodnotu E(Y ) vypočteme ze vzorce E(Y ) =
Z
∞
−∞
Náhodná veličina Y =
1 X
1Z ∞ 1 1 yg(y) dy = dy = [ln y]∞ 1 = ∞. 1 4 4 4 y 4
nemá střední hodnotu a rozptyl.
5. Náhodná veličina X má diskkrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p, jejíž hodnoty jsou uvedeny v tabulce (1): x (1)
p(x)
-1 1 10
0 1 5
1 2 5
3 1 5
4 1 10 9
Určete rozdělení náhodné veličiny Y = X 2 . Řešení: Náhodná veličina X nabývá pouze diskrétních hodnot z tabulky a tudíž i náhodná veličina Y nabývá také jen diskrétních hodnot. Vypočítáme je a uvedeme v tabulce (2). Je tedy 0 1 1 1 p∗ (y) 5 2 Potom pro jednotlivé pravděpodobnosti výskytu náhodné pravděpodobnostní funkce p∗ dostaneme: 1 p∗ (0) = P (Y = 0) = P (X = 0) = p(0) = ; 5 (2)
X Y
y
-1 0 1 3 4 1 0 1 9 16
(3)
9 16 1 1 5 10 veličiny Y, hodnoty její
p∗ (1) = P (Y = 1) = P (X = 1 ∪ X = −1) = p(1) + p(−1) =
2 1 1 + = ; 5 10 2
1 p∗ (9) = P (Y = 9) = P (X = 3) = p(3) = ; 5 1 . 10 Hodnoty pravděpodobnostní funkce p∗ jsou uvedeny v tabulce (3) nahoře.
p∗ (16) = P (Y = 16) = P (X = 4) = p(4) =
6. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (0, 1). Nechť funkce F : (a, b) → (0, 1) je spojitá a rostoucí v intervalu (a, b), taková, že limity F (a+) = 0 a F (b−) = 1. Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = F −1 (X). Řešení: Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (0, 1) a pro její distribuční funkci H v tomto intervalu platí, že H(x) = x, 0 < x < 1. Funkce F je prostá a spojitá v intervalu (a, b) a zobrazuje tento interval na interval (0, 1). Má tedy v intervalu (0, 1) inverzní funkci F −1 , která zobrazuje interval (0, 1) na interval (a, b). Pro distribuční funkci G náhodné veličiny Y = F −1 (X) pak platí: X ∈ (0, 1) ⇒ Y = F −1 (X) ∈ (a, b); G(y) = 0, y ≤ a,
G(y) = 1, y ≥ b;
a < y < b : G(y) = P (Y ≤ y) = P (F −1 (X) ≤ y) = P (X ≤ F (y)) = H(F (y)) = F (y). Má tedy náhodná veličina Y distribuční funkci rovnu funkci F, Přesněji zapsáno y ≤ a, F (y), a < y < b, 1, y ≥ b.
* 0,
G(y) =
Všimněme si ješte tohoto vztahu. Je-li X = p, 0 < p < 1, pak odpovídající hodnota Y = F −1 (X) = F −1 (p) = yp ⇔ F (yp ) = p je p− kvantil rozdělení náhodné veličniny Y. To znamená, že budeme- li za hodnoty náhodné veličiny X volit hodnoty p rovnoměrně rozdělené v intervalu (0, 1) pak hodnoty p−kvantilů budou představovat hodnoty náhodné veličiny s distribuční funkcí F. Potřebujeme tedy ke generování náhodné veličiny s daným rozdělením znát inverzní funkci k jeho distribuční funkci. 10
