FUNKCE NÁHODNÉ VELI INY
3.
FUNKCE NÁHODNÉ VELI INY as ke studiu: 40 minut Cíl:
Po prostudování této kapitoly budete um t transformovat náhodnou veli inu X na náhodnou veli inu Y, je –li mezi t mito náhodnými veli inami vzájemn jednozna ný vztah
VÝKLAD 3.1.
Funkce náhodné veli iny
V mnoha p ípadech, kdy známe rozd lení náhodné veli iny X, pot ebujeme ur it rozd lení náhodné veli iny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(X). Je-li funkce h(x) v oboru možných hodnot veli iny X monotónní, pak existuje inverzní funkce h − 1(y) , a jde o vzájemn jednozna ný vztah mezi X a Y. Je-li v takovém p ípad h(x) rostoucí, pak pro všechna x2 > x1 je y2 > y1, a distribu ní funkci veli iny Y lze psát jako: G(y) = P(Y < y) = P[X < h − 1(y)] = F[h − 1(y)] Pro klesající funkci h(x), tzn. pro všechna x2 > x1 platí y1 > y2, je distribu ní funkce: G(y) = P(Y < y) = P[X > h − 1(y)] = 1 − F[h − 1(y)] Pro diskrétní náhodnou veli inu X je pravd podobnostní funkce dána jako:
(
)
p Y ( y i ) = p X h −1 ( y i )
Je-li X spojitá náhodná veli ina s hustotou pravd podobnosti f(x), p i emž h-1(y) má pro všechna y spojitou derivaci, pak pro rostoucí funkci h(x) dostaneme hustotu pravd podobnosti g(y) veli iny Y jako: g(y) =
dG ( y ) dh −1 dx = f h −1 ( y ) ⋅ = f h −1 ( y ) ⋅ dy dy dy
(
)
Podobn pro klesající funkci h(x) dostaneme:
26
(
)
FUNKCE NÁHODNÉ VELI INY
g(y) =
dG ( y ) dh −1 dx = − f h −1 ( y ) ⋅ = − f h −1 ( y ) ⋅ dy dy dy
(
)
(
dx > 0 , zatímco v p ípad klesající dy
Vzhledem k tomu, že v p ípad rostoucí funkce h(x) je funkce je
)
dx < 0 , lze oba p edchozí vztahy spojit do jednoho: dy
g(y) =
dG ( y ) dh −1 dx = f h −1 ( y ) ⋅ = f h −1 ( y ) ⋅ dy dy dy
(
)
(
)
Není-li h(x) monotónní funkcí, pak mezi X a Y neexistuje vzájemn jednozna ný vztah a tedy ani inverzní funkce k h(x). Distribu ní funkce G(y) = P(Y < y) je v takovém p ípad dána pravd podobností, že náhodná veli ina nabude hodnoty z kteréhokoliv intervalu, pro který Y < y. Pak platí: Pro diskrétní náhodnou veli inu X:
G( y ) =
Pro spojitou náhodnou veli inu X:
G( y ) =
pi
i:h ( xi )≤ y
f (x )dx
h ( x )≤ y
Pro p ípad diskrétní náhodné veli iny X je pravd podobnostní funkce pY veli iny Y dána vztahem: pY ( y ) = p X ( xi ) i:h ( xi )= y
Nech existuje kone ný po et xi takových, že h( xi ) = y . Nech pro každé xi existuje dh derivace ≠ 0 . Pak existuje hustota pravd podobnosti g ( y ) náhodné veli iny Y: dx
g(y) =
i:h ( xi )= y
dh f ( xi ) dx
−1
x = xi
ešený p íklad Nech
veli ina X má rovnom rné rozd lení v intervalu
rozd lení má veli ina y = tg x ?
27
−
π π
. Jaké ; 2 2
FUNKCE NÁHODNÉ VELI INY
(
)
g ( y ) = f h −1 ( y ) ⋅
dx dy
f (x ) =
Hustota pravd podobnosti rovnom rného rozd lení:
h( x ) = y = tg x
h
−1
1
π 2
( y ) = x = arctg y
− −
π
=
1
π
2
d (arctg y ) dx 1 1 = = = 2 dy dy 1+ y 1+ y2
Hustota pravd podobnosti veli iny Y je tedy:
(
)
g ( y ) = f h −1 ( y ) ⋅
dx 1 = , dy π 1 + y 2
(
y∈R
)
Uvedené rozd lení se nazývá Cauchyho. Je p íkladem rozd lení, které nemá kone ný rozptyl: ∞
DY =
∞
y 2 ⋅ g ( y )dy =
−∞
=
1
π
y2 ⋅
−∞ ∞
∞
⋅ 1dy − ⋅
−∞
−∞
1 1 dy = 2 π π 1+ y
(
)
∞
⋅
−∞
y2 +1−1 dy = 1+ y2
(
)
1 1 dy = [∞ − π ] = ∞ 2 π 1+ y
(
)
ešený p íklad Nech veli ina X má normální rozd lení N(0;1). Jaké rozd lení má veli ina y = x2 ? Pro nezáporná y existuje inverzní funkce h −1 ( y ) : x = ± y .
dx 1 = dy 2 y
x=± y
Pak hustota pravd podobnosti nezáporné náhodné veli iny Y je: y ≥ 0:
(
)
g ( y) = f ± y ⋅
=
dx ( ( y ) + f (− y ))⋅ dy =
dx = f dy
y − 1 ⋅e 2 2πy
28
1 2π
⋅e
−
y 2
+
1 2π
⋅e
−
y 2
⋅
1 2 y
=
FUNKCE NÁHODNÉ VELI INY
Jde o hustotu rozd lení χ 2 s jedním stupn m volnosti.
3.2.
P ibližné stanovení charakteristik funkce náhodné veli iny
V praxi je n kdy k dispozici pouze jediná zm ená hodnota veli iny X (odhad její st ední hodnoty) a sm rodatná odchylka m ení σ X (daná nap íklad udanou chybou m ícího
σX <<< 1 , lze p ibližn µ
p ístroje). Pokud je varia ní koeficient mnohem menší než jedna odhadnout charakteristiky veli iny y = h(x) . P edpokládejme, že náhodná veli ina X je spojitá.
St ední hodnotu náhodné veli iny Y odhadneme na základ vztahu: EY = h( x ) f ( x )dx = ≅ h(EX ) +
h(EX ) + h ′(EX ) ⋅ ( x − EX ) +
h ′′(EX ) ⋅ DX ≅ h(EX ) 2
h ′′(EX ) 2 ⋅ (x − EX ) + 2
f ( x )dx ≅
Rozptyl DY lze pak vyjád it p ibližn z lineárního lenu Taylorova rozvoje:
DY =
dh dx
(h(x ) − EY )2 f (x )dx ≅ (h( x) − h( EX ) ) f (x )dx ≅ 2
2
⋅ DX x = EX
Otázky 3. 1. Nech Y=h(X). h(x) je monotónní funkce. Nalezn te vztah mezi hustotou pravd podobnosti náhodné veli iny Y a hustotou pravd podobnosti náhodné veli iny X.
Úlohy k ešení 3. 1. F je distribu ní funkce náhodné veli iny X, je spojitá a rostoucí. Náhodná veli ina Y je definována vztahem: Y = F ( X ) . Ur ete rozd lení náhodné veli iny Y (hustotu pravd podobnosti). 2. Náhodná veli ina X má rovnom rné rozd lení na intervalu náhodné veli iny Y, Y=2X+1.
(
)
0;3 . Ur ete rozd lení
3. Náhodná veli ina X má normální rozd lení N µ ; σ 2 . Ur ete rozd lení náhodné veli iny Y, Y = e . X
29
FUNKCE NÁHODNÉ VELI INY
4. Náhodná veli ina X má hustotu pravd podobnosti: f ( x ) = λ ⋅ e − λx . Ur ete rozd lení náhodné veli iny Y, Y = − ln X .
30
