Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Složená funkce Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y  f x  dosadíme za argument funkci g . Potom y  f g x  . Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka. Pochopitelně můžeme složit i více funkcí. V širším slova smyslu považujeme za složenou funkci každou funkci, která vznikla z elementárních funkcí sčítáním, odčítáním, násobením, dělením nebo skládáním. Definiční obor takové funkce je potom průnikem definičních oborů jejích jednotlivých složek, u podílu navíc jmenovatel musí být  0 . Např.: y  sin x má vnější složku x a vnitřní sinx ,

y  ln x 3 má vnější složku lnx a vnitřní složkou je třetí mocnina. Pozor na pořadí složek!!! Operace skládání není komutativní. Poznámka: Pro operaci "skládání funkcí" se používá znak "  " a f  g čteme "f po g ". Příklad: Vytvořte složené funkce z funkcí f x   x 3  2x  1, g x   log x . Řešení: Nejdříve f  g  f g x  . Tuto funkci vytvoříme tak, že do předpisu funkce f dosadíme místo proměnné x funkci g, tedy log x .

f  g  f g x   f log x   log x 3  2 log x  1 V opačném pořadí: g  f  g f x   g x 3  2x  1  log x 3  2x  1 Je vidět, že f  g  g  f . Definiční obor složené funkce Je to množina reálných čísel, pro která má daná funkce smysl. Vyjdeme z omezení plynoucích z jednotlivých složek a na závěr určíme průnik získaných intervalů. Omezující podmínky, které musíme vzít v úvahu:  Funkce y 

f ( x) je definovaná pro g( x)  0 . g( x)



Funkce y  2n f ( x) (sudá odmocnina) je definovaná pro f ( x)  0 .



Funkce y  loga f ( x) je definovaná pro f ( x)  0 .



Funkce y  tg f ( x) je definovaná pro f ( x )  (2k  1) 



Funkce y  cotg f ( x) je definovaná pro f ( x)  2k 



Funkce y  arcsinf ( x) a y  arccosf ( x) jsou definovány pro  1  f ( x)  1 .

 2

 2

, kde k  Z .

 k , kde k  Z .

Příklad: Určete definiční obor funkce y 

x 1  x  x 2  5 x  sin2x . ln(x  4)

Řešení: ln(x  4)  0



x40

x 4 1



x 2  5x  0 x  ( x  5)  0

x  4

x  3



   0  5 

D(f )  (4,3 )  (3, 0  5 ,  ) .

Řešené příklady: 1. Sestavte složenou funkci ze složek f x   sin x a g x  

1

x

.

Řešení: V zadání není uvedeno pořadí složek, vytvoříme tedy obě. 1 1 f  g  f g x   f    sin x x  1 g  f  g f x   g sin x   sin x 2. Sestavte složenou funkci y  f g h x  ze složek f x   x 3 , g x   cos x ,

h x   x . Řešení: Předpis vytvoříme postupně. Nejdříve vnitřní složku ... g h x   g x  cos x . Hledanou funkci dostaneme, když tento výsledek dosadíme do f za x.

 



 

f g h x   f cos x  cos x Máme y  cos 3 x .



3

3. Složenou funkci y  sin2x  3 vyjádřete ve složkách. Řešení: Zadaná funkce je složena ze dvou složek. Vnější složkou je sinus a vnitřní složkou je funkce lineární . Je-li y  f g x  , potom f x   sin x a g x   2x  3 . Poznámka: U vícenásobných funkcí by tento zápis byl zdlouhavý. Při rozkladu se používá pro složky označení u  u x  , v  v x  , ... a argument se nepíše. y  sin2x  3  y  sinu , u  2x  3 .

4. Složenou funkci y  cos 2 x  1 vyjádřete ve složkách. Řešení: Zadaná funkce má 3 složky. Vnější složkou je druhá mocnina, další kosinus a funkce lineární. y  cos 2 x  1  y  u 2 , u  cosv , v  x  1. 5. Určete definiční obor funkce y  e 2 x 1  x 2  2x  8  2x  lnx  6 . Řešení: Projdeme funkční předpis a pro jednotlivé složky vypíšeme omezující podmínky. Exponenciální funkce je definovaná na R (žádné omezení), v exponentu je lineární funkce (žádné omezení). Sudá odmocnina je definovaná jen z nezáporných čísel ( x 2  2x  8  0 ) a logaritmické funkce jsou definovány jen pro kladná čísla ( x  6  0 ).

x 2  2x  8  0 x  4x  2  0



x 6 0 x  6

x  (,  4  2, )

D f    6,  4  2,  ) .

6. Určete definiční obor funkce y 

x  x  4  3 x  2  ln  . x 2  x 3

Řešení: Vypíšeme omezující podmínky. Ve jmenovateli nesmí být nula ( x  2  0 ) a sudá odmocnina je definovaná jen z nezáporných čísel ( x  2  0 ). Tyto dvě podmínky se týkají stejného výrazu, zapíšeme je jednou nerovností. Prostřední člen nemá omezení, protože třetí odmocnina je definovaná i ze záporných čísel. x 4 Logaritmická funkce je definovaná, je-li argument kladný (  0 ). x 3 x 4 0 x 2 0  x 3 x 2

D f   3,  

7. Určete definiční obor funkce y  logx  1  3

1

x

 4  5x  x 2  sin 2x .

Řešení: Argument logaritmické funkce musí být kladný ( x  1 0 ). Třetí odmocnina je definovaná vždy, ale pod odmocninou je zlomek ( x  0 ), a sudá odmocnina je definovaná jen z nezáporných čísel ( 5x  x 2  0 ). Funkce sinus je definovaná na R.

x  1 0 x  1



x 0



5x  x 2  0 x 5  x   0

Celkem

D f   0 , 5

Příklady na procvičení: 1. Z daných složek sestavte funkci složenou 2 a) f x   3 , g x   ln x

x

b) f x   x 5 , g x   3x  1 c) f x   cos x , g x   x 2  3 2. Složenou funkci vyjádřete ve složkách a) y  4x  x 2 b) y  log3 x  4 c) y  tg ln 5 2x 3. Určete definiční obor

2  cos x  1  x x 1 x 4  x e 2x b) y  lnx 2  x  6  x 1 a) y  lnx  4 

c) y  logx 2  3x  4  4  x  arctg x  2

1 3x   lnx  4 x 4 1 x 1 e) y  log2  x    3 x  4  3x  x 2  sin 2x d) y 

2

x

Výsledky: 1. a) f  g 

2  2  , g  f  ln 3  , b) f  g  3 ln x  x 

3x  15 , g  f

 3 x 5  1,

c) f  g  cosx 2  3, g  f  cos x 2  3 ; 2. a) y  u , u  4x  x 2 , b) y  logu ,

u  3 v , v  x  4 , c) y  tgu ,u  lnv ,v  5 w ,w  2x ; 3. a)  4 ,1  , b)   ,  4  2 ,  , c)  ,  4  1, 4 , d)  4,  2    2,1  , e) 0 , 2 .