Průběh funkce
Rolleova věta Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : b) v každém bodě a, b má derivaci
a) je spojitá v a, b
c) f (a) = f (b).
Potom existuje v a, b alespoň jeden bod c, v němž f (c) 0
x 1,3
f : y x 2 4x
2
1
10
10
5
5
1
a
c
2
3
b
4
5
2
5
5
10
10
4
6
8
Lagrangeova věta Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : b) v každém bodě a, b má derivaci
a) je spojitá v a, b
c) f (a) ·f (b)<0.
Potom existuje v a, b alespoň jeden bod c, pro který platí : f (c)
f b f a ba
10
Důsledek Lagrangeovy věty : 5
2
c
1
a 5
10
1
2
b
3
4
5
na ( a, b ) existuje alespoň jedna tečna se stejnou směrnicí jako tětiva v spojující krajní body intervalu. fyzika – alespoň jednou během časového intervalu musím jet stejnou okamžitou rychlostí jako průměrnou rychlostí za celý interval.
Monotónnost funkce a derivace Má-li funkce f v každém bodě intervalu je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce f v každém bodě intervalu
a, b a, b
kladnou derivaci f ( x) 0 , zápornou derivaci f ( x) 0,
je v tomto intervalu klesající.
f : y x 3 3x
f : y x3 3x, f 3x 2 3 10
10
5
5
4
2
2
5
10
4
4
2
2
5
10
4
Extrémy funkce a 1. derivace 4
6
2
4
4
2
2
4
2 2
4
4
2
2
4
Funkce f má v bodě x0 lokální maximum, existuje-li takové okolí U (x0) bodu x0, že pro všechna x U ( x0 ) D f platí : f ( x) f ( x0 ) Funkce f má v bodě x0 lokální minimum, existuje-li takové okolí U (x0) bodu x0, že pro všechna x U ( x0 ) D f platí : f ( x) f ( x0 )
Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f ( x0 ), pak platí : f ( x0 ) 0 .
Věta obrácená neplatí !
8
10
8
6
6
4 4
2 2
6
4
2
2
4
6
4
2
2 2
2
4
4
Stacionární body Je-li dána funkce f : y = f(x), určíme všechna řešení rovnice f ' (x) = 0. Našli jsme body, v nichž funkce má extrémy? Našli jsem jen body podezřelé z existence extrému – stacionární body. 4 3 Určete stacionární body funkce : g : y 3x 4 x v intervalu , .
4
6
6
4
4
2
2
3
2
1
1
2
3
3
2
1
1
2
3
2
2
Podmínka existence lokálního extrému funkce Nechť f ( x0 ) 0 . Jestliže existuje takové okolí U ( x0 , ), že v intervalech ( x0 , x0 ) a ( x0 , x0 ) má f (x) různá znaménka, má funkce f v bodě x0 ostrý lokální extrém. Mění-li se znaménka z plus na minus, má funkce v bodě x0 lokální maximum, měníli se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě x0 lokální minimum. 6
6
6
6
4
4
4
4
2
2
2
2
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
4
5
1
1
2
2
3
4
5
Najděte lokální extrémy funkce :
f : y x 2 2x 2
Extrémy funkce a 2. derivace Je dána funkce : f : y
1 3 x x 2 3 . Určete první a druhou derivaci funkce. 6
Načrtněte do jednoho souřadného systému grafy funkcí y f x , y f x , y f x 4 4
3
3
2
2
1
1
4
2
2
4
6
4
2
1
1
2
2
3
f :y
1 3 x x2 3 6
2
3
f : y
1 2 x 2x 2
f : y x2
4
6
Nechť f ( x0 ) 0 a nechť existuje v bodě x0 druhá derivace. Je-li f ( x0 ) 0 , má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální maximum. Je-li f ( x0 ) 0 , má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální minimum.
2x f :y 1 x2
4x d 2x g x 2 dx x 1 1 x2 2
2
2 1 x2
d 2 2x 16 x 3 8x 2 g x 2 2 dx x 1 1 x 2 3 1 x 2 2 1 x 2
Konkávnost a konvexnost f : y 2 x2 12 x 10
f : y 2 x 2 6 x 10 15
10
10 5
5
2
4
6
8
4
5
2
2
4
6
5
10 10
Funkce f(x), která má derivaci v bodě x0, je funkce v bodě konvexní, existuje-li takové okolí bodu x0, že , leží body grafu funkce f(x) „nad tečnou“ sestrojenou v bodě . Funkce f(x), která má derivaci v bodě x0, je funkce v bodě konkávní, existuje-li takové okolí bodu x0, že , leží body grafu funkce f(x) „pod tečnou“ sestrojenou v bodě .
4
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
2
2
4
6
4
2
f : y x3 3x 2
2
5
5
10
10
4
Je-li f ( x0 ) 0 , pak je funkce f(x) v bodě x0 0 konvexní. Je-li f ( x0 ) 0 , pak je funkce f(x) v bodě x0 0 konkávní. Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že , f ( x0 ) 0 pak je funkce f(x) v intervalu I konvexní.
Jestliže v každém bodě intervalu I platí, že , f ( x0 ) 0 pak je funkce f(x) v intervalu I konkávní.
6
f : y x3 3x 2
25
20
10
5
2
f x 3x 2 6 x
f x 6 x 6
15
4
f : y x3 3x 2
2
4
konvexní průběh :
f x 0 6x 6 0
x 1,
konkávní průběh :
f x 0 6x 6 0
x ,1
6
5
10
Jaký má význam pro graf funkce nulová hodnota druhé derivace v bodě x0? extrém funkce v bodě x0? f x0 0 Nechť funkce f(x) má v bodě x0 derivaci. Přechází-li v tomto bodě graf funkce f(x) z polohy „nad tečnou“ do polohy „pod tečnou“ nebo z polohy „pod tečnou“ do polohy „nad tečnou“, nazýváme bod x0 inflexní bod funkce f(x). Je-li bod x0 inflexním bodem funkce f(x) a má-li funkce f(x) v tomto bodě druhou derivaci, pak f ( x0 ) 0 Věta obrácená neplatí!
Postup při vyšetřování průběhu funkce 1. Definiční obor funkce, sudá, lichá, periodická, … 2. Body, ve kterých není funkce definována, ale má v nich jednostranné limity, výpočet těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti 3. Průsečíky s osami x, y , znaménka funkčních hodnot 4. Výpočet první derivace, nulové body první derivace a body, ve kterých není definována první derivace 5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti 6. Výpočet druhé derivace, nulové body druhé derivace a body, ve kterých není definována druhá derivace 7. Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti 8.Asymptoty 9. Obor hodnot funkce 10. Graf funkce
Tvrdý papír tvaru obdélníka má rozměry 60 cm a 28 cm. V rozích se odstřihnou čtverce a zbytek se zahne do tvaru otevřené krabice. Jaká musí být strana odstřiženého čtverce, aby byl objem krabice největší?
Muž v loďce vzdálené 10km od pobřeží se chce dostat do místa na pobřeží, které je vzdálené 26km. Zjistěte, kde se musí vylodit, aby dosáhl cíle v co nejkratší době, když vesluje rychlostí 3,2 km/h a běží rychlostí 9,6km/h.
Určete rozměry vodního náhonu, jehož průtočný profil je obdélník o daném obsahu tak, aby jeho smáčený obvod byl co nejmenší.
Na válcovou konzervu se smí spotřebovat bílého plechu. Jaké má mít konzerva rozměry, aby měla přitom největší objem?
