Věta. (inverzní funkce) Nechť je funkce f spojitá a ryze monotonní na nějakém okolí bodu a, nechť b = f (a). Jestliže je f diferencovatelná v a a f ′ (a) 6= 0, pak je i příslušná inverzní funkce f−1 diferencovatelná v b a [f−1 ]′ (b) =
1 f ′ (a)
=
1 f ′ (f−1 (b))
.
Věta. Jestliže je funkce f diferencovatelná v bodě a, pak je f spojitá v a. ′ Jestliže existuje f− (a), pak je f spojitá v a zleva. ′ Jestliže existuje f+ (a), pak je f spojitá v a zprava.
Věta. (Rolleova věta) Nechť f je spojitá na intervalu ha, bi a diferencovatelná na jeho vnitřku (a, b). Jestliže f (a) = f (b), pak existuje c ∈ (a, b): f ′ (c) = 0.
1
Věta. (Věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta) Nechť f je spojitá na intervalu ha, bi a diferencovatelná na jeho vnitřku (a, b). f (b) − f (a) . Pak existuje c ∈ (a, b): f ′ (c) = b−a
Důsledek. Nechť f je spojitá na intervalu ha, bi a diferencovatelná na jeho vnitřku (a, b). Jestliže f ′ = 0 na (a, b), pak je f konstantní na ha, bi.
Důsledek. Nechť f, g jsou spojité na intervalu ha, bi a diferencovatelné na jeho vnitřku (a, b). Jestliže f ′ = g ′ na (a, b) a existuje c ∈ ha, bi: f (c) = g(c), pak f = g na ha, bi.
2
Věta. (i) Nechť f je spojitá ¡ ′ v a¢ zleva a diferencovatelná na nějakém levém prstencovém okolí a. ′ Pak f− (a) = lim− f (x) , pokud limita konverguje. x→a
(ii) Nechť f je spojitá ¡ ′ va ¢ zprava a diferencovatelná na nějakém pravém prstencovém okolí a. ′ Pak f+ (a) = lim f (x) , pokud limita konverguje. x→a+
Věta. (l’Hˆ opitalovo pravidlo, l’Hospitalovo pravidlo) Nechť f, g jsou diferencovatelné okolí ¡bodu a¢ ∈ IR∗ . ¡ na¢ nějakém ¡ prstencovém ¢ Předpokládejme, že buď lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo lim |g(x)| = ∞. x→a x→a x→a ¡ f ′ (x) ¢ Jestliže lim g′ (x) existuje, pak x→a
lim
³ f (x) ´
x→a
g(x)
³ f ′ (x) ´ = lim ′ . x→a g (x)
Věta. (Cauchyova věta) Nechť f a g jsou spojité na intervalu ha, bi a diferencovatelné na jeho vnitřku (a, b). f (b) − f (a) f ′ (c) = . Jestliže g(a) 6= g(b) pak existuje c ∈ (a, b): ′ g (c) g(b) − g(a)
3
Fakt. (škála mocnin v nekonečnu) Pro libovolná a, b > 0: ³ eax ´ ³ xa ´ lim = ∞, lim = ∞. x→∞ xb x→∞ lnb (x) Značení: ax ≫ xa ≫ lnb (x).
Použití l’Hospitala na další typy: 1) 0 · ∞: převod na podíl: 0·∞=
0 1 ∞
=
0 0
nebo
0·∞=
∞ 1 0
=
∞ ∞.
2) 1∞ , 00 , ∞0 : převod na součin pomocí triku pro obecnou mocninu: 1∞ = e∞ ln(1) = e∞·0 , 00 = e0 ln(0) = e0·∞ , ∞0 = e0 ln(∞) = e0·∞ . 3) ∞ − ∞: převod na součin, často vytknutím.
4
Definice. Nechť f je funkce definovaná na nějakém intervalu I. Řekneme, že f je rostoucí na I, jestliže ∀x < y ∈ I: f (x) < f (y). Řekneme, že f je neklesající na I, jestliže ∀x < y ∈ I: f (x) ≤ f (y). Řekneme, že f je klesající na I, jestliže ∀x < y ∈ I: f (x) > f (y). Řekneme, že f je nerostoucí na I, jestliže ∀x < y ∈ I: f (x) ≥ f (y). Řekneme, že f je monotonní na I, jestliže f splňuje na I jednu z těchto čtyř vlastností. Řekneme, že f je ryze monotonní na I, jestliže f je rostoucí na I nebo f je klesající I.
Fakt. Nechť f je funkce definovaná na intervalu I. (i) Jestliže je f rostoucí na I, pak je neklesající na I. (ii) Jestliže je f klesající na I, pak je nerostoucí na I. (iii) Jestliže je f rostoucí na I, pak nemůže být klesající na I. Jestliže je f klesající na I, pak nemůže být rostoucí na I. (iv) Jestliže je f zároveň nerostoucí a neklesající na I, pak je na I konstantní.
Věta. Jestliže je f ryze monotonní na nějakém intervalu I, pak je tam i prostá a tedy invertibilní. Příslušná inverzní funkce je pak stejně monotonní.
Věta. Nechť f je funkce spojitá na intervalu I. f je na I prostá tehdy a jen tehdy, když je f na I ryze monotonní. Pak je i příslušná inverzní funkce f−1 spojitá. 5
Věta. Nechť f je funkce definovaná na nějakém levém prstencovém okolí P bodu a ∈ IR∗ . (i) Jestliže je f na P monotonní, pak limita f v a zleva existuje. (ii) Jestliže je f na P monotonní a omezená, pak limita f v a zleva konverguje.
Věta. Jestliže je funkce f monotonní na nějakém intervalu I, pak její jednostranné limity ve všech vnitřních bodech tohoto intervalu konvergují.
6
Věta. Nechť f je funkce spojitá na intervalu I a diferencovatelná na jeho vnitřku I O . (1a) Jestliže je f ′ > 0 na I O , pak je f rostoucí na I. (1b) Jestliže je f ′ ≥ 0 na I O , pak je f neklesající na I. (2a) Jestliže je f ′ < 0 na I O , pak je f klesající na I. (2b) Jestliže je f ′ ≤ 0 na I O , pak je f nerostoucí na I. (i) Jestliže je f neklesající na I, pak je f ′ ≥ 0 na I O . (ii) Jestliže je f nerostoucí na I, pak je f ′ ≤ 0 na I O .
7
Věta. Nechť je funkce f definována na nějakém okolí bodu a. Jestliže je f klesající na nějakém levém (prstencovém) okolí a a rostoucí na nějakém pravém (prstencovém) okolí a, nebo je f rostoucí na nějakém levém (prstencovém) okolí a a klesající na nějakém pravém (prstencovém) okolí a, pak f ′ (a) = 0 nebo f ′ (a) neexistuje. Neformálně: Jestliže f mění v bodě a monotonii, pak f ′ (a) = 0 nebo f ′ (a) neexistuje.
Definice. Nechť f je funkce definovaná na okolí bodu c. c je kritický bod, jestliže f ′ (c) = 0 nebo f ′ (c) neexistuje. Algoritmus pro hledání intervalů monotonie: 1) Základ: intervaly D(f ). 2) Najít kritické body; základní intervaly se tak rozdělí na intervaly monotonie. 3) Zjistit znaménko f ′ na intervalech z 2). 4) Dle znamének usoudit na monotonii, zamyslet se nad možností spojit intervaly. Závěr.
8
Definice. (lokální extrémy) Nechť f je funkce definovaná na nějakém okolí bodu a. Řekneme, že f má v bodě a lokální maximum, popř. že f (a) = b je lokální maximum, jestliže ∃ okolí U = U (a) aby ∀ x ∈ U platilo f (x) ≤ f (a). Řekneme, že f má v bodě a lokální minimum, popř. že f (a) = b je lokální minimum, jestliže ∃ okolí U = U (a) aby ∀ x ∈ U platilo f (x) ≥ f (a).
Věta. Má-li funkce f v bodě a lokální extrém, pak a je kritický bod.
Věta. Nechť c je kritický bod. Jestliže f ′′ (c) > 0, pak f (c) je lokální minimum. Jestliže f ′′ (c) < 0, pak f (c) je lokální maximum.
Úloha: Určete maximální intervaly monotonie funkce a její lokální extrémy. Algoritmus: 1) Základ: intervaly D(f ). 2) Najít kritické body; základní intervaly se tak rozdělí na intervaly monotonie. 3) Zjistit znaménko f ′ na intervalech z 2). 4) Dle znamének usoudit na monotonii, zamyslet se nad možností spojit intervaly. Závěr. 5) Dle tvaru funkce usoudit na lokální extrémy, najít jejich hodnoty.
9
Věta. Má-li f v bodě c globální extrém na intervalu I, pak je buď c lokální extrém nebo krajní bod I.
Úloha: Najít maxima/minima f na uzavřeném intervalu I. Algoritmus: 1) Najít kritické body funkce f . 2) Sestavit množinu kandidátů na extrém: kritické body ležící v I a krajní body I. 3) Dosadit kandidáty do f , porovnat hodnoty; závěr.
Definice. Nechť f je funkce definovaná na intervalu I. Řekneme, že f je na intervalu I konvexní, jestliže f (z) − f (y) f (y) − f (x) ≤ . ∀x < y < z ∈ I: y−x z−y Řekneme, že f je na intervalu I konkávní, jestliže f (y) − f (x) f (z) − f (y) ∀x < y < z ∈ I: ≥ . y−x z−y Řekneme, že a ∈ D(f ) je inflexní bod, jestliže v něm f přechází z konvexní na konkávní nebo naopak a je tam dvakrát diferencovatelná.
10
Věta. Nechť f je funkce dvakrát diferencovatelná na vnitřku I O intervalu I. Pokud interval I obsahuje i některý krajní bod, pak dále předpokládejme, že tam má f příslušnou jednostrannou derivaci a že takto definovaná funkce f ′ je spojitá na I. (i) Jestliže f ′′ ≥ 0 na I O , pak je f konvexní na I. (ii) Jestliže f ′′ ≤ 0 na I O , pak je f konkávní na I.
Věta. Jestliže f v bodě a přechází z konvexní na konkávní či naopak, pak musí být f ′′ (a) = 0 nebo f ′′ (a) neexistuje. Algoritmus pro hledání intervalů konvexity: 1) Základ: intervaly D(f ). 2) Najít body D(f ), kde f ′′ (a) = 0 nebo f ′′ (a) neexistuje; základní intervaly se tak rozdělí na intervaly konvexity. 3) Zjistit znaménko f ′′ na intervalech z 2). 4) Dle znamének usoudit na konvexitu, inflexní body. Závěr.
Definice. Nechť f je funkce definovaná na nějakém jednostranném prstencovém okolí bodu a ∈ IR. Řekneme, že přímka že f má svislou asymptotu v a, jestliže ¡ ¢ x = a je svislá asymptota¡ f , nebo ¢ nebo lim f (x) = ±∞. lim f (x) = ±∞ x→a+
x→a−
Definice. Nechť f je funkce definovaná na okolí ∞. Řekneme, že přímka ¡ y ¢= B je vodorovná asymptota f v ∞, jestliže lim f (x) = B. x→∞
Nechť f je funkce definovaná na okolí −∞. Řekneme, že přímka ¡ y =¢ B je vodorovná asymptota f v −∞, jestliže lim f (x) = B. x→−∞
11
Definice. Nechť f je funkce definovaná na okolí ∞. Řekneme, že přímka ¡ y = Ax + B je¢ šikmá asymptota f v ∞, jestliže lim f (x) − (Ax + B) = 0. x→∞
Nechť f je funkce definovaná na okolí −∞. Řekneme, že přímka ¡ y = Ax + B je ¢šikmá asymptota f v −∞, jestliže lim f (x) − (Ax + B) = 0. x→−∞
Věta. Nechť f je funkce definovaná na okolí ∞. Přímka y = Ax + B je asymptota f v ∞ tehdy a jen tehdy, když ³ f (x) ´ ¡ ¢ A = lim a B = lim f (x) − Ax . x→∞ x→∞ x Nechť f je funkce definovaná na okolí −∞. Přímka y = Ax + B je asymptota f v −∞ tehdy a jen tehdy, když ³ f (x) ´ ¡ ¢ a B = lim f (x) − Ax . A = lim x→−∞ x→−∞ x
Algoritmus pro hledání asymptot: Svislé: Pro a ∈ ¡IR, které nespojitosti f nebo krajní body intervalů D(f ): ¡ ¢ ¢ jsou body Spočítáme lim f (x) a lim− f (x) . Pokud je alespoň jedna z nich nevlastní, má f svislou x→a+
x→a
asymptotu v a. Vodorovné, šikmé: Je-li f definována na okolí ∞: ¡ ¢ 1) Najdeme lim f (x) . x→∞ Pokud je tato limita vlastní, označme ji B. Přímka y = B je vodorovná asymptota f v ∞. Pokud tato limita neexistuje, není v ∞ asymptota. Pokud je tato limita nevlastní, jdeme dále, může být šikmá asymptota. ¢ ¡ . 2) Spočítáme A = lim f (x) x x→∞ Pokud není A vlastní, šikmá asymptota v ∞ není. Jinak jdeme dál, může být ¡ šikmá asymptota. ¢ 3) Spočítáme B = lim f (x) − Ax . x→∞ Pokud je B vlastní, je v ∞ šikmá asymptota y = Ax + B. Jinak tam už definitivně žádná asymptota není.
Je-li f definována na okolí −∞: Stejný postup, ale v −∞.
12
Algoritmus pro průběh funkce: 1) D(f ), spojitost, průsečíky s osami, symetrie a periodicita; limity v krajních bodech intervalů D(f ), asymptoty. 2) f ′ , monotonie a lokální extrémy. 3) f ′′ , konvexita a inflexní body. 4) Obrázek.
13