Een optimaal instrument voor het ontwikkelen van inzicht en vaardigheden in het secundair onderwijs

Aan de slag met

Wat is

•

?

Meerdere representaties, dynamisch gekoppeld, waardoor meerdere methodes worden aangemoedigd bij het oplossen van vraagstukken en het uitdrukken van oplossingen.

•

Een complete set gebruiksvriendelijke wiskundige instrumenten voor algebra, getallenleer, statistiek en echte gegevensverzameling – dit alles in één pakket.

•

Werkdocumenten die kunnen worden bewaard, opgevraagd, bewerkt en overgebracht tussen zakrekenmachine, PC en Mac - en die elektronisch kunnen worden gedistribueerd!

•

Een optimaal instrument voor het ontwikkelen van inzicht en vaardigheden in het secundair onderwijs.

Stap voor stap worden in deze inleiding de belangrijkste functies van de TI-Nspire CAS toegelicht aan de hand van inleidende praktische voorbeelden. De nadruk ligt op het gebruik van de TI-Nspire CAS+ zakrekenmachine, maar alle praktische voorbeelden zijn net zo goed toepasbaar in de softwareversies voor Windows en Macintosh computers.

Merk op dat de verwijzingen naar TI-Nspire CAS+ duiden op de zakrekenmachine, terwijl TI-Nspire CAS slaat op de besturingssoftware voor de drie besturingssystemen.

©2006 Texas Instruments Incorporated

2

Aan de slag met

SECTIE 1: INLEIDING TOT DE INSTRUMENTEN 1. INLEIDING TOT HET DOCUMENTENSYSTEEM VAN DE TI-Nspire CAS+ 2. INLEIDING TOT DE REKENMACHINE

6 10

3. INLEIDING TOT DE GRAFIEKEN & MEETKUNDE TOEPASSING 18 4. INLEIDING TOT DE LIJSTEN & SPREADSHEET TOEPASSING 22 5. INLEIDING TOT NOTA’S

27

SECTIE 2: PRAKTISCHE VOORBEELDEN 6. INLEIDING TOT GEGEVENSOPNAME: ROLLEN MAAR!

31

7. AAN DE SLAG MET KANSBEREKENING: BINOMIAAL VERDELINGEN

34

8. INLEIDING TOT PARABOLEN: NADRUK OP MEETKUNDE

38

9. INLEIDING TOT STATISTIEK: FLEXIBELE REGRESSIES

44

10. INLEIDING TOT PUNTENVERZAMELINGEN: CONSTANTE EIGENSCHAP

46

APPENDIX: TI-Nspire CAS+ Didactische referentiefiche zakrekenmachine


3

INLEIDING TOT DE INSTRUMENTEN


4

TOETSENPANEEL


5

Aan de slag met TI-Nspire CAS 1. Inleiding tot het Documentensysteem

1. INLEIDING TOT HET DOCUMENTENSYSTEEM VAN DE TI-Nspire CAS+

Welkom in een boeiende nieuwe wereld voor docenten en studenten wiskunde en wetenschappen!

In deze sectie wordt een inleiding gegeven tot de belangrijkste functies van de TI-Nspire CAS zakrekenmachine en computersoftware, waaronder: 1. het beheer van het documentsysteem van de TI-Nspire CAS+; 2. het gebruiken van menu’s om documenten te maken en erdoor te navigeren; 3. het gebruiken van sneltoetsen voor toegang tot menu's en menuonderdelen;

TI-Nspire biedt een nieuwe onderwijs- en leerervaring voor de lessen wiskunde en wetenschappen. Docenten en studenten kunnen nu naadloos werken met verschillende representaties en documenten - zelfs met verschillende besturingssystemen - dankzij dit nieuwe boeiende instrument. Het loont de moeite in het begin even de tijd te nemen jezelf vertrouwd te maken met de beheer- en navigatiefuncties van dit krachtige instrument, voor je begint met de tutorial “Getting Started” (Aan de slag) die volgt. Schakel het apparaat in, waarna je wordt verwelkomd door de documentenbrowser, waar documenten worden ingedeeld in mappen, net als op een computer. Ga naar de map "GettingStarted" (Aan de slag) met de pijlen op het toetsenpaneel onder het grote scherm en druk dan op ENTER of op de rechter pijl om de map te openen. Als alternatief, kun je het muispaneel gebruiken en dubbelklikken met de kliktoets () in de linkerbovenhoek van het toetsenpaneel.


6


Zoek op dezelfde manier het bestand “Getting Started" (Aan de slag) en open dit. Je krijgt het scherm hiernaast te zien. Dit tutorialbestand geeft je een inleiding tot veel belangrijke functies van TI-Nspire CAS en helpt je er een boeiend nieuw leerinstrument van te maken.

Je zult handige manieren leren om door je documenten te navigeren: bijvoorbeeld, door op de blauwe CTRL toets en de rechter pijl te drukken ga je naar de volgende pagina in je document. Door op CTRL-pijl omhoog te drukken, ga je naar de bladertoepassing, waar je snel en gemakkelijk door het document kan navigeren, zoals aangegeven. Let op de informatie die hier wordt getoond: de naam van het document (Getting Started.tns), het aantal vraagstukken in het document en het aantal pagina's. In de rechterbovenhoek merk je dat je je bevindt in Vraagstuk 1, op Pagina 3. Een document in TI-Nspire kan bestaan uit meerdere vraagstukken (elk met een eigen set variabelen) en elk vraagstuk kan bestaan uit meerdere pagina's. Het huidige document bestaat uit slechts een vraagstuk, dat 28 pagina’s beslaat.


7


Een pagina kan bestaan uit een of meer Hoofdtoepassingen van TI-Nspire CAS. 1. De rekenmachine 2. Grafieken & Meetkunde 3. Lijsten & Spreadsheet 4. Nota’s. Elke pagina kan op verschillende manieren worden ingedeeld om een tot vier toepassingen te tonen. Het scherm hiernaast toont een pagina met een Nota venster bovenaan en een Rekenmachine venster onderaan.

In de tutorials die volgen, leer je nog veel meer over deze toepassingen en hoe deze samenwerken. Neem in het begin dit Getting Started.tns document door om meer te weten te komen. Natuurlijk kun je dit document op elk ogenblik bewaren, verlaten en later opnieuw open.

Zoek de MENU-toets in de rechterbovenhoek van het toetsenpaneel. Wanneer deze toets wordt ingedrukt, worden de sneltoetsen geactiveerd voor elk van de menuopties bovenaan het scherm, zoals getoond. Druk 0 om het eerste menu te openen en je herkent de vertrouwde "File" (Bestand) optie van je computer. Kies 1 om terug te keren naar de documentenbrowser.


8


Je wordt nu gevraagd, net als op een computer, of je de veranderingen die je hebt aangebracht, wenst te bewaren. Druk op ENTER om YES (JA) te kiezen en daarmee wordt je werk bewaard. Ga met TAB (⇥) naar de volgende optie indien je “No” (Nee) wenst te kiezen (de TAB-toets is de kleine witte verhoogde toets aan de linkerzijde van het toetsenpaneel tussen de blauwe CTRL-toets en de SHIFT-toets). Natuurlijk kun je ook de muis verplaatsen naar de gewenste keuze en dubbelklikken.

Maak jezelf vertrouwd met de beschikbare menu’s: de eerste drie zijn altijd aanwezig, geactiveerd door MENU 0, . en (-), de onderste drie toetsen van het numerieke toetsenpaneel. De andere menuonderdelen veranderen volgens de toepassing die momenteel actief is.

Kies opnieuw MENU-0 en selecteer 1: New Document (Nieuw document). In het begin krijg je altijd een lege pagina te zien, waarbij een uitklaplijst van toepassingen wordt getoond wanneer je een nieuw document begint. Maak een keuze met de pijl omlaag, met een gepast getal of met de muis en je bent klaar om je TI-Nspire CAS te gebruiken!


9

Aan de slag met TI-Nspire CAS 2. Inleiding tot de Rekenmachine

2. INLEIDING TOT DE REKENMACHINE

In deze sectie wordt een inleiding gegeven tot de belangrijkste functies van de TI-Nspire CAS zakrekenmachine, waaronder:

1. het gebruik van sjablonen en de CATALOG (CATALOGUS) om wiskundige uitdrukkingen op te stellen; 2. het gebruik van sneltoetsen om wiskundige termen samen te stellen; 3. het gebruik van de menuonderdelen om wiskundige methodes toe te passen, zowel numeriek als algebraïsch; 4. het definiëren van functies, variabelen en matrices; 5. het wisselen tussen exact en benaderend rekenen.

Aan de basis van de TI-Nspire CAS ligt de Rekenmachine toepassing, de werkomgeving voor zowel getallen als algebra. Omwille van dit computeralgebrasysteem, kunnen berekeningen worden uitgevoerd met exacte rekenkunde - breuken worden uitgedrukt als breuken, wortels behouden hun exacte vorm. Probeer de getoonde voorbeelden typ de commando’s zoals opgegeven en verken de menu’s. In deze sectie, zullen we enkele eigenschappen onderzoeken van een heel bijzonder getal, de gulden snede, en hierbij zullen we meer te weten komen over de TINspire Rekenmachine toepassing. Typ “1” met het toetsenpaneel en druk op ENTER. Typ nu “1 +” en druk CTRL gevolgd door de ÷ toets om de breuksjabloon te doen verschijnen, zoals getoond. Alternatief, haalt CTRL en de Catalogustoets () het sjablonenmenu te voorschijn, waaruit het breuksjabloon kan worden gekozen, ofwel door op ENTER te drukken, ofwel door de muis op de juiste plaats te brengen en te "klikken" met de () "klik"-toets in de


10


linkerbovenhoek. Voer “1” in op de plaats van de teller (boven de breukstreep), en pijl omlaag of TAB met de TAB-toets (⇥) – de kleine witte toets bovenaan links naast de CTRL-toets. Kies “ans" door middel van de CTRL en (-) – de witte toets links van de ENTER-toets.

Druk op ENTER om de uitdrukking te evalueren. Door op ENTER te drukken voert het apparaat de vorige opdracht opnieuw uit – het neemt het getal 1 en telt het omgekeerde van het laatste antwoord erbij op. Door deze eenvoudige opdracht te herhalen, krijgt men een opeenvolging van breuken die een heel bijzonder patroon vertonen. Elke breuk bestaat uit opeenvolgende termen van de beroemde Fibonacci reeks, die gevormd wordt door te beginnen met twee "1" termen, gevolgd door termen die bestaan uit de som van de twee voorgaande termen. 1, 1, 2, 3, 5, … Zie je deze getallen verschijnen in onze breukberekeningen?


11


Terwijl dit patroon groeit, gebeurt nog iets anders, maar dit is niet zichtbaar zolang de resultaten in exacte vorm blijven. Voor het krijgen van benaderende antwoorden, bestaan verschillende opties. Druk op de MENU-toets (rechterbovenhoek) om de instellingen van het document te wijzigen en druk 0 als sneltoets om het eerste menu te selecteren, zoals getoond. Pijl omlaag naar 6, of druk op 6: Document Settings (Documentinstellingen). Gebruik de cursor om over de laatste menuoptie te bewegen, “Exact/Approximate” (Exact/Benaderend). Klik om deze te openen en kies dan “Approximate” (Benaderend) – merk op dat de standaardinstelling “Auto” is, waarmee het apparaat het meest passende antwoord kiest. Dit verandert de instelling van het document, zodat alle volgende berekeningen in deze modus worden uitgevoerd tot de instelling opnieuw wordt gewijzigd.

Een minder permanente optie bestaat in het ingedrukt houden van de CTRL-toets tijdens het drukken op ENTER om een uitdrukking te evalueren - hierdoor wordt een benaderend resultaat teruggegeven. (Als alternatief kan ook een getal in decimale vorm worden ingegeven (bijvoorbeeld 1,0 in plaats van 1), dit leidt ook tot een benaderend resultaat).

Merk op dat na het afdwingen van een benadering, de volgende berekeningen in een benaderende modus zullen worden uitgevoerd, omdat de Ans variabele hier nu in decimale vorm is! Wanneer de ENTER-toets herhaaldelijk


12


wordt ingedrukt, wordt een reeks getallen teruggegeven die convergeert naar een enkel resultaat - de bekende gulden snede! Indien een nauwkeuriger resultaat vereist is, ga je opnieuw naar de Document Settings (Documentinstellingen) in menu 0 en daar verander je de “Display Digits” (Displaycijfers) menuoptie van “Float 6” naar “Float”. Het antwoord dat nu wordt teruggegeven heeft 12 cijfers in plaats van 6 cijfers, zoals getoond. Geïnteresseerde studenten kunnen de berekening herhalen tot de decimale vorm onveranderd blijft, waarmee de maximale zichtbare nauwkeurigheid van de machine werd bereikt: “zichtbaar” omdat, hoewel slechts 12 cijfers worden getoond, nog 6 andere decimale plaatsen worden gebruikt “achter de schermen” om de nauwkeurigheid van de berekening te waarborgen!) Studenten kunnen kiezen om per twee te werken, waarbij de ene werkt in exacte modus en de andere in benaderende modus, om de overeenkomstige breuk te zien voor dit getal.

De gulden snede heeft veel interessante eigenschappen, zowel numeriek als algebraïsch. Bewaar het laatste resultaat als “g” door middel van de “STO▸”-toets.

Probeer nu het omgekeerde te nemen (gebruik eventueel de sneltoets voor de breukvorm die eerder werd geïntroduceerd!) - het resultaat is exact 1 minder dan het oorspronkelijke getal - de “staart” van de decimale vorm blijft onveranderd!


13


Door nu het kwadraat te nemen, blijft de staart onveranderd – maar wordt g met 1 verhoogd! (Merk op dat er een “Kwadraat”toets is in het midden aan de linkerzijde, of de “machtsverheffing”-toets (^) die de cursor omhoog beweegt, zodat een macht kan worden ingegeven. Zie je hoe deze twee interessante resultaten algebraïsch kunnen worden uitgedrukt? Zoals getoond, kunnen twee verschillende vergelijkingen worden opgesteld.


14


Nu kunnen we de kracht van deze algebraïsche rekenmachine verkennen! Kies MENU 3 en het eerste onderdeel dat verschijnt, is: "Solve” (Oplossen). Druk op ENTER om dit commando te selecteren. Nu kunnen we de Ans-toets opnieuw gebruiken of gewoon de pijl omhoog om de gewenste vergelijking te markeren en vervolgens op ENTER drukken om deze te kopiëren naar het Solve() commando. Typ ten slotte “ ,x” in om het commando te vervolledigen en druk op ENTER om de vergelijking op te lossen in x. Los beide vergelijkingen op deze manier op en merk op dat beide dezelfde resultaten opleveren - niet één maar TWEE getallen voldoen aan deze interessante eigenschappen! Door de CTRL-toets opnieuw ingedrukt te houden terwijl je op ENTER drukt, krijg je de benaderende oplossingen - een positieve en een negatieve waarde, zoals getoond. Misschien hadden we dit kunnen verwachten uit wat we al hebben ontdekt – kun je uitleggen waarom?

Ga ten slotte terug omhoog met de pijltoetsen naar de oorspronkelijke vergelijking waarin het verschil voorkomt en druk op ENTER om deze te kopiëren naar de opdrachtregel. Druk opnieuw op ENTER om naar een nieuwe regel te gaan. Voer nu “+1” in om aan beide zijden van deze vergelijking 1 toe te voegen. Dit leidt tot een “recursieve definitie” – het getal “x” is gedefinieerd in relatie tot zichzelf! Denk hierover na en bespreek dit met anderen.


15


Indien x = 1 +

1 , dan kunnen we x in de x

noemer vervangen door datgene waar x aan gelijk is! Probeer de breuksjabloon te gebruiken om de getoonde vergelijking op te stellen. Herhaal deze bewerking om een voortgezette breuk op te stellen: precies wat we gedaan hebben in het begin van dit praktische voorbeeld door getallen te gebruiken! Als je wilt, kun je deze eigenaardige en opmerkelijke breuken verder onderzoeken. Probeer de laatste x door “1” te vervangen en evalueer meerdere stappen van de voortgezette breuk – wat merk je? Als je wilt, kun je ook de algebraïsche vormen verder verkennen die verschijnen telkens de breuk geëvalueerd wordt door de rekenmachine.

Kun je verklaren hoe we terug aanbeland zijn waar we zijn gestart in praktisch voorbeeld? Maar de pret stopt zelfs hier niet!! Als je wilt, kun je op nog een andere manier dit verbazende getal voorstellen - met behulp van matrices! Kies optie 3: Matrix van menu 2 (of gebruik het sjablonenpalet) om gemakkelijk 2 x 2 matrices op te stellen, gedefinieerd als m1.


16


Kijk nu wat er gebeurt wanneer m1 met zichzelf wordt vermenigvuldigd! Zie je iets vertrouwds? Laten we deze matrix algebraïsch onderzoeken. Neem even de tijd om deze interessante getallen verder te onderzoeken – de Fibonacci reeks en de gulden snede vertellen ons meer over de natuur en over kunst, er moet nog heel wat over die getallen ontdekt worden! Dankzij de krachtige functies in je TI-Nspire CAS, heb je nu de ideale instrumenten voor een dergelijk onderzoek!


17

Aan de slag met TI-Nspire CAS 3. Inleiding tot Grafieken & Meetkunde

3. INLEIDING TOT DE GRAFIEKEN & MEETKUNDE TOEPASSING

De Grafieken & Meetkunde Toepassing is visueel misschien de meest boeiende van de vier toepassingen van de TI-Nspire CAS. In dit praktische voorbeeld zullen we de functies van de G&M Toepassing verkennen, waaronder: 1. het uitzetten van functiegrafieken 2. de grafiek als geometrisch object

3. het tekenen van raaklijnen, loodlijnen en puntenverzamelingen, en 4. het gebruik van sjablonen om wiskundige uitdrukkingen in te voeren.

Dit praktische voorbeeld werd oorspronkelijk ontwikkeld door Dr. Charles Von der Embse van de Central Michigan University.

Begin met een nieuw TI-Nspire document en maak een Graphs & Geometry (Grafieken & Meetkunde) pagina. Gebruik het Point (Punt) instrument (MENU 3[1][2]) om een Point On (punt op) de x-as te aan te duiden en benoem dit vervolgens x (MENU 7[1]). (NOTA: tenzij dit uitdrukkelijk wordt aangegeven, is het beter om GEEN punten te plaatsen op de streepjes, omdat de geplaatste punten hierdoor verspringen van het ene streepje naar een volgend, in plaats van continu op de as te bewegen!) Als je wilt, kun je Attributes (attributen) (CTRL-MENU) gebruiken om de grootte en de zichtbaarheid van dit punt te verhogen. Construeer nu een lijn loodrecht op de x-as, met behulp van het Perpendicular (Loodrecht) instrument (MENU 5[1]) - je kunt opnieuw de Attributes (Attributen) gebruiken om het uitzicht van deze lijn te wijzigen. Klik nu in de Function Entry (Functieopname) regel en geef een derdegraadsvergelijking in, zoals x3 – 5x + 2, zoals getoond. Als je wilt, kun je de streepjes op de assen verslepen om een duidelijker venster te verkrijgen voor deze functie – MERK OP dat drukken op SHIFT en dan verslepen de schaal van de assen onafhankelijk aanpast. Je kunt ook direct de uiteinden van de assen verslepen of de


18


waarden aan het uiteinde van elke as intypen. Gebruik het Intersection (Snijpunt) instrument (MENU 3[1][3]) om het snijpunt tussen de lijn en de kromme te construeren en benoem dit punt dan T.

Construeer nu een dynamische raaklijn in het punt T door middel van het Tangent Line (Raaklijn) instrument (MENU 3[2][2]). Het Slope (Helling) instrument (MENU 8[3]) zal de helling van deze raaklijn aangeven, en dit zal uiteraard veranderen naarmate het punt x wordt versleept.


19


Het Measurement Transfer (Metingoverdracht) instrument (MENU 5[7]) laat toe de waarde van deze helling over te brengen naar de y-as, waaruit een loodlijn kan worden geconstrueerd (MENU 5[1]) die de loodlijn door x zal snijden in een punt P. Bestudeer de beweging van het punt P, terwijl je het punt x versleept, en probeer het gevolgde pad te beschrijven. Leg uit wat het punt P voorstelt in de meetkundige constructie.

Na een bespreking, kan het Locus (Puntenverzameling) instrument (MENU 5[6]) worden gebruikt om het pad voor te stellen dat wordt bepaald door alle punten P, tijdens het verschuiven van het punt x langs de as. (Na het selecteren van het Locus (Puntenverzameling) instrument, klik je eerst op het punt P en dan op het punt x). Een verdere bespreking zal gaan over de aard van deze nieuwe kromme, afgeleid van de eerste door de grafische voorstelling te maken van de helling in elk punt van het domein.

Geef de functie x2 in aan de Function Entry (Functieopname) regel en neem de grafiek beet dicht bij de oorsprong en versleep deze zodat deze overeenkomt met de afgeleide functie die je hebt opgesteld. Neem een van de armen van de parabool beet en rek deze uit tot deze onze kromme nauw benadert - merk op dat de vergelijking wordt aangepast wanneer we de parabool verplaatsen en uitrekken. Probeer de functievergelijking aan te passen, zodat deze de kromme nog beter benadert! Na een verdere bespreking, kan de vergelijking van de afgeleide functie herkend worden als as 3x2 – 5. Hoe kunnen we dit terugvinden uit de oorspronkelijke functie?


20


Klik in de functievergelijking van de oorspronkelijke functie, f1(x), en verander dit in een aantal andere functies. Bekijk het effect op de afgeleide functie en probeer de vergelijking van elk te vinden, vertrekkende van een fundamentele functie die je sleept en rekt.

Kies ten slotte het Text (Tekst) instrument (MENU 7[1]) en klik op een lege ruimte om een tekstkader te openen. Kies de Derivative template (Afgeleidensjabloon) (MENU 7[2][2]) en geef x in als noemer van de d/dx, ga vervolgens twee keer naar rechts met de pijlen om de functie, f1(x), in te geven, zoals getoond. Sleep deze uitdrukking naar de x-as om deze functie uit te zetten en vergelijk met de afgeleide functie die je hebt geconstrueerd. Als je wilt, kun je Attributes (Attributen) gebruiken om het uitzicht en het verband tussen de verschillende krommen beter tot uiting te laten komen. Veel pret met het onderzoek!


21

Aan de slag met TI-Nspire CAS 4. Inleiding tot Lijsten & Spreadsheet

4. INLEIDING TOT DE LIJSTEN & SPREADSHEET TOEPASSING

De Lijsten & Spreadsheets Toepassing is een van de vier hoofdtoepassingen van TI-Nspire CAS. In dit praktisch voorbeeld analyseer je gegevens aan de hand van de L&S Toepassing. Dit omvat: 1. het invoeren van gegevens in lijsten 2. lijsten een naam geven

3. het gebruiken van formules en 4. het bepalen van regressievergelijkingen.

Scenario: Hoewel zeppelins nog steeds worden gebruikt in de luchtvaart, voornamelijk als reclamevliegtuigjes boven sportgebeurtenissen, sightseeing en het hijsen van zwarte gewichten, worden ze door het grote publiek nog steeds als onveilig aanzien. Dit heeft vooral te maken met de Hindenburgramp van 1937, waarbij een Zeppelin ontplofte. Vandaag de dag wordt een veiliger gas, helium, gebruikt in plaats van waterstofgas, zoals in vroege Zeppelin zeppelin.

De volgende tabel toont hoe de druk het volume van het waterstofgas beïnvloed wanneer de temperatuur constant wordt gehouden, op 27°C

Druk (atm)

Volume (liter)

20

1.25

30

0.84

40

0.63

50

0.51

100

0.26

Uit bovenstaande gegevens en uit ons eigen inzicht is het duidelijk dat indien de ruimte (volume) van het gas wordt verkleind, dat de druk zal stijgen. We zullen het wiskundig verband tussen de druk en het volume van waterstofgas onderzoeken.


22


Stap voor stap instructies 1. Open een nieuw document en voeg de Lijsten & Spreadsheet Toepassing in.

2. Neem de waarden van de volumes in de bovenstaande tabel over in kolom A. In kolom B typ je de waarden voor de druk.

3. Beweeg de cursor naar de kop van kolom A en voer volume in als de naam van de lijst. Druk op Enter. Voer druk in als naam van de lijst voor kolom B. Druk op Enter. Volgens de wet van Boyle voor ideale gassen, is de druk omgekeerd evenredig met het volume. D.w.z. hoe kleiner het volume, hoe groter de druk voor een vaste hoeveelheid gas. P ∝ 1/V Dit betekent dat PxV = k (constant).


23


4. Stel een formule op in kolom C om de twee lijsten, Volume en Druk, met elkaar te vermenigvuldigen. Gebruik een van beide onderstaande methodes. a. Beweeg de cursor naar de formulecel (variabele en typ =, druk dan op pictogram) en plak de drukvariabele erin. Voer het vermenigvuldigingsteken in en gebruik opnieuw om de volumevariabele erin te plakken. Druk op Enter om de kolom te vullen. b. Als alternatief kun je een formule opstellen in C1 met = A1 * B1 en vervolgens kun je de rechteronderhoek van de cel naar beneden slepen om de kolom te vullen. Volgen de gegevens de wet van Boyle, d.w.z. zijn de waarden in kolom C constant?

Indien P = k

V

het verband is tussen de

gegevens, dan moet een machtsregressie P = kV −1 vertonen

Om een machtsregressie uit te voeren voor een machtsmodel: 1. Markeer kolommen A en B (door op de kolom A te klikken en te slepen over beide kolommen in de computersoftware) – je kunt deze stap overslaan en de kolomnaam manueel invoeren (of de lijstnaam) na het selecteren van het betreffende regressiemodel, zoals getoond.


24


2. Druk op (MENU 7) en kies Regressions/Power Regression (Regressie/machtsregressie) (MENU 7[3][7]

3. Merk op dat de kolomnamen a[] & b[] worden geplakt naast de lijstnamen. Je kunt hier de lijstnamen gebruiken, als je dat verkiest. Ofwel typ je deze of je plakt deze met het Variabele pictogram . Omdat we gegevens hebben in kolom C, moet je de regressievergelijking doorverwijzen naar kolom D (1st Result Column, 1ste Resultaatkolom d[])

4. De regressievergelijking P = 25.06V −1.02 is een vrij redelijke benadering van P = kV −1 en dus staven de gegevens de wet van Boyle.


25


Je kunt deze gegevens uitzetten met de regressiefunctie in de Grafieken & Meetkunde Toepassing. In het bijhorende TI-Nspire bestand, worden de scatterplot en de regressiefuncties getoond.

Waterstofgas mag dan een “ideaal gas” zijn, maar is het ideaal voor een zeppelin?


26

Aan de slag met TI-Nspire CAS 5. Inleiding tot Nota’s

5. INLEIDING TOT NOTA’S

In deze sectie wordt een inleiding gegeven tot de belangrijkste functies van de TI-Nspire CAS Nota’s toepassing, waaronder:

1. het invoeren en benadrukken van tekst; 2. het gebruiken van sjablonen voor Vragen en Antwoorden en Bewijsvoering; 3. het gebruiken van de symbolenpalet om wiskundige termen in te voegen; 4. het evalueren van wiskundige uitdrukkingen.

Een unieke functie van TI-Nspire CAS is het documentensysteem. Vroeger was het, bij het gebruiken van een zakrekenmachine, nodig om de berekeningen uit te voeren en de resultaten vervolgens ergens anders op te schrijven, in een werkboek of examenbladen. In TI-Nspire CAS, begint de gebruiker door een nieuw document te maken, zodat al het werk op deze manier wordt bewaard en een volledig verslag van de wiskundeactiviteiten verkregen wordt. En door de NOTES toepassing te gebruiken, kunnen vraagstukken worden opgesteld en opgelost, de denkwijze kan zelfs worden bewaard en gedeeld met anderen! Door de tekst op verschillende manieren te benadrukken, kunnen de gebruikers belangrijke aspecten van hun documenten sterker laten uitkomen. Vet (Keyword) (Sleutelwoord), onderstrepen (Title) (Titel) en cursief (Sub-heading) (onderkop) zijn beschikbaar, net als de superscript en subscript opties. Natuurlijk kan dit ook worden gedeeld met anderen - docenten of andere studenten, zowel op de zakrekenmachine als op de computer. TI-Nspire documenten kunnen naadloos worden overgebracht van een besturingssysteem op een ander!


27


Voor de presentatie en het organiseren van deze documenten, biedt de Nota’s toepassing sjablonen aan. Naast de vrije tekstpagina's die hierboven worden getoond, kunnen gebruikers ook het Q&A (V&A) formaat kiezen, waardoor docenten (en studenten!) vragen kunnen stellen en de antwoorden kunnen opschrijven. Indien gewenst, kunnen deze antwoorden natuurlijk worden verborgen!

Het PROOF (Bewijs) formaat is optimaal ontworpen voor elke logische bewijsvoering, niet enkel voor meetkundige bewijzen. Niettemin, biedt menu 2 een reeks meetkundige symbolen, waarmee de aloude nood aan een eenvoudige en handige uitdrukkingswijze van meetkundige bewijzen wordt voldaan. Dit formaat ondersteunt studenten uiteraard bij het maken van allerhande wiskundige beweringen en het ontwikkelen van argumenten om deze te ondersteunen.

Misschien nog de meest opmerkelijke eigenschap van deze schijnbaar eenvoudige toepassing is dat, net als andere TI-Nspire CAS werkomgevingen, NOTA’S wiskundig actief is! Wiskundige uitdrukkingen en vergelijkingen kunnen worden ingevoerd door middel van de CATALOG (CATALOGUS) en het symbolenpalet (of gewoon getypt), gemarkeerd en dan geëvalueerd met de behulp van menuonderdeel 4. Evaluate selection (Selectie evalueren).


28


Een manier waarop deze krachtige functie kan worden gebruikt, is het invoeren van een wiskundige uitdrukking (zoals getoond) en deze uitdrukking vervolgens markeren en kopiëren (met de gebruikelijke CTRL-C). Deze kan worden geplakt op de volgende regel en dan geëvalueerd, waarbij zowel de vraag als het antwoord voor elke berekening wordt getoond.

Ten slotte biedt NOTA’S de gebruikers de keuze verschillende rollen aan te nemen, waarbij onderscheid kan worden gemaakt tussen “Teacher” (Leraar) en “Reviewer” (Recensent) (MENU [5]). Op die manier kunnen studenten en docenten samenwerken in de ontwikkeling van documenten! De NOTA’S toepassing biedt docenten en studenten een eenvoudig en toch krachtig middel om aantekeningen te maken in hun wiskundige documenten, zodat niet alleen een professioneel uitzicht wordt verkregen, maar een echt verslag van hun wiskundige redeneringen en activiteiten.


29

AAN DE SLAG PRAKTISCHE VOORBEELDEN


30

Aan de slag met TI-Nspire CAS 6. Gegevensopname: Rollen maar!

6. INLEIDING TOT GEGEVENSOPNAME: ROLLEN MAAR!

Opname van gegevens is een ideale manier om concepten in wiskunde in te leiden en in te oefenen. Het is zowel kinesthetisch als visueel van aard, met als voordeel dat elke student zijn of haar eigen gegevens kan verzamelen. In dit document zal je een bewegingsdetector (TI-CBR2) gebruiken om een aantal aspecten van beweging te onderzoeken, door een bal langzaam een helling (of hellend oppervlak) op te laten rollen. Beweging wordt best bestudeerd aan de hand van praktische situaties met echte gegevens.

Scenario: Eerst laat men een basketbal langzaam langs een hellend oppervlak omhoog rollen in de richting van een bewegingsdetector (CBR2) en men laat deze dan weer naar beneden rollen (twee vlakke planken die aan elkaar vastgenageld zijn, zodat men een Vvormige baan verkrijgt van 2 m lang, is ideaal, of men kan een tafel laten hellen). Je zult het verband tussen afstand en tijd modelleren van de rollende basketbal aan de hand van de gegevens die door de CBR2 worden verzameld en automatisch worden overgebracht op de zakrekenmachine of de computer. Stap voor stap instructies Plaats de CBR2 bovenaan het hellend oppervlak, zoals getoond op het diagram, en oefen om de bal tot dicht bij de CBR2 te rollen zonder deze aan te raken.

Open een nieuw document en verbind de CBR2 met de zakrekenmachine door middel van de USB – USB verbinding of met de computer door middel van de USB - standaard USB kabel. Een opgedeeld scherm (Grafieken & Meetkunde en Lijsten & Spreadsheet) zou moeten verschijnen met het statuspopupvenster van de gegevensopname. Indien dit niet automatisch verschijnt, verbreek dan de USB-verbinding en verbind deze opnieuw. Het instrument voor gegevensopname maakt deel uit van de Grafieken & Meetkunde Toepassing (MENU 7[3]).


31


Om gegevens te verzamelen, begin je de bal te rollen en druk je op de startknop van het opname-instrument. Druk op de Stop wanneer de bal opnieuw verzameling knop het beginpunt nadert. Indien je gegevens niet zo goed zijn als je had om alle gegevens te gewild, druk dan op wissen en het verzamelen te herbeginnen. Om de schaal van de grafiek te veranderen, kun je ofwel een streepje op de as verslepen ofwel de buitenste waarden op de assen markeren en vervangen door een andere waarde.

Onderzoeken van de gegevens Om de regressievergelijking te berekenen door middel van de ingebouwde regressiefunctionaliteit, ga je terug naar de Lijsten & Spreadsheet Toepassing met de lijstgegevens. Druk op Menu [7][4] voor Quadratic regression (Kwadratische regressie). Voer a[] en b[] in voor de lijsten en c[] voor de positie van de regressievergelijking. Als je wilt, kun je de lijsten eerst markeren en deze zullen dan automatisch in het regressie popupvenster worden geplakt.

Vaak is het handig een kopie te maken van een grafiek of een spreadsheet in het TINspire document. Beweeg de cursor op de machine naar de gewenste toepassing voor het kopiëren. Druk op Menu [.][8] Select Application (Kies toepassing). Druk op CTRLC om te kopiëren. Voeg een nieuwe pagina in (Menu [0][8]) en druk CTRL-V om in de Toepassing te plakken. Op de computersoftware zijn deze commando’s terug te vinden onder het Edit (Bewerken) menu.


32


Om de regressievergelijking uit te zetten, ga je terug naar de gegevensgrafiek of maak je een kopie, zoals hogerop. Indien de opnameregel van de grafiek onder de curve niet aanwezig is, druk je Menu[2][3] en klik je op het pictogram links onderaan om de functie-editor (f(x)) te doen verschijnen. Typ a*x2 + b*x + c of druk 2nd Click {VAR} en kies RegEq en voeg (x) toe zoals getoond op het scherm hiernaast. Druk op ENTER.

Trial & Error, maar leuker! In de functieregel typ je x2, en nu kun je deze kwadratische functie verslepen (via de top kun je de hele grafiek verslepen, via de armen kun je de vorm veranderen). Leg deze grafiek bovenop de uitgezette gegevens. Wordt er nog iets waardevols getoond?

Op het bijgevoegde datalog1.tns bestand, zal je het bovenstaande Getting Started voorbeeld aantreffen, maar bovendien ook het gepaste Solve (Oplossen) commando en Matrices om een geschikt kwadratisch model te vinden met algebraïsche methodes. Proficiat! Je hebt nu kunnen ondervinden hoe krachtig en hoe leuk opname van gegevens is!


33

Aan de slag met TI-Nspire CAS 7. Binomiaal Verdelingen

7. AAN DE SLAG MET KANSBEREKENING: BINOMIAAL VERDELINGEN

Binomiaal experimenten zijn voorbeelden van Bernoulli experimenten en hun verdelingen worden gewoonlijk gebruikt als voorbeelden voor discrete toevalsvariabelen. Een binomiaal experiment is een reeks herhaaldelijke experimenten waarbij de kans op succes (een gunstig resultaat) constant is, d.w.z. dat de tests onafhankelijke gebeurtenissen zijn. De binomiaal kans wordt vaak uitgedrukt als X~Bin(n,p,[x]), waarbij X de toevalsvariabele is, n het aantal tests is en p de kans op een succes.

In dit voorbeeld onderzoek je de kansverdeling die wordt verkregen door 10 darts naar een dartsbord te werpen, waarbij men de roos beschouwd als een succesvolle worp.

Scenario: 10 darts worden naar een doel geworpen en het aantal worpen in de roos wordt geteld. Uit vroegere ervaring is geweten dat er 85% kans is voor elke worp dat in de roos wordt geworpen. a. bepaal de waarschijnlijkheid dat juist 7 keer in de roos wordt geworpen met 10 darts. b. onderzoek de kansverdeling voor dit experiment. c. onderzoek welk effect een verandering van p heeft op de kansverdeling.

Stap voor stap instructies Open een nieuwe Rekenmachine pagina.


34


Je mag het binomPdf( commando gebruiken. Dit kan op verschillende manieren worden verkregen: a. voer het rechtstreeks in b. kies het pictogram in de werkbalk en kies het Distribution (Verdeling) menu c. plak uit de Catalog (Catalogus) Notatie: binomPdf(n,p,[x]) Het scherm hiernaast toont een waarschijnlijkheid van 13% om juist 7 keer op 10 in de roos te werpen. Studenten kunnen hun eigen formule opstellen, waarbij X = aantal successen.

⎛n⎞ Pr( X = x) = ⎜ ⎟ p x (1 − p) n − x ⎝ x⎠ Stel de formule op in de Rekenmachine Toepassing. Gebruik geen voorgedefinieerde variabele zoals binomPdf. n = aantal experimenten p = kans op succes x = aantal successen die nodig zijn. nCr kan worden ingegeven of geplakt uit de Catalog (Catalogus). Zodra de variabele bij naam gedefinieerd is, kan deze uit het Variable (Variabele) menu (MENU 7[4]) worden opgevraagd of ingetypt.


35


Open de L&S Toepassing om de kansverdeling te genereren – zodat twee lijsten worden opgesteld en de verdeling kan worden uitgezet: Voer de lijstnamen in (x_waarden) & de geassocieerde waarschijnlijkheden (prob_x) zoals getoond. Ofwel geef je de mogelijke uitkomsten in (0 tot 10 successen), ofwel gebruik je het rijcommando, zoals getoond. Voer het binomPdf commando in de formulecel in om de waarschijnlijkheden te genereren. Het binomPdf commando kan worden ingevoerd of geplakt uit het Distributions (Verdelingen) menu (MENU 7[6][D]). Indien het hieruit geplakt wordt, laat dan de x waarde in het dialoogvenster leeg en druk twee maal op Enter om de lijst in te vullen. Om de kansverdeling uit te zetten, voeg je een Grafieken & Meetkunde pagina in. Selecteer MENU 2[1][3] om de Scatter Plot (Scatterplot) in te stellen. (Je kunt ook herhaaldelijk het pictogram aanklikken links onderaan om de scatterplot te selecteren). Om de nodige variabelen te selecteren, klik je op de pijl in het x-kader en selecteer je x_waarden. In het y-kader selecteer je prob_1. Om de schaal in te stellen van de scatterplot, kies je ZoomStat (MENU 2[6][3]) of markeer je de buitenste waarden op de assen en typ je de vereiste waarden. Hoe beïnvloedt de verandering van de waarschijnlijkheid op succes (p) de verdeling van X? Ga terug naar de L&S en verander de waarschijnlijkheid van 0,85 naar 0,2 en selecteer OK. De grafiek van de verdeling zal ook veranderen als gevolg van deze wijziging. Een andere handige methode om het effect van een veranderende p te onderzoeken, is het maken van een schuiver.


36


Construeer een segment (MENU 3[3]) van de oorsprong tot het punt (10, 0) op de x-as, en plaats een Point On (Punt op) dit segment (MENU 3[1][2]). Toon de Coordinates (Coördinaten) van dit punt (MENU 8[5]). Kies de Variables (Variabelen) menu (MENU 7[4]) en bewaar de x-coördinaat van dit punt als p. Ga terug naar de Lijsten & Spreadsheet pagina, en verander de functiedefinitie van 0,2 als waarschijnlijkheid naar p/10.

Proficiat! Nu heb je een schuiver, die kan worden verplaatst om de grafiek te controleren en die zelfs kan worden geanimeerd, aan de hand van de attributen van het controlepunt!


37

Aan de slag met TI-Nspire CAS 8. Inleiding tot Parabolen

8. INLEIDING TOT PARABOLEN: NADRUK OP MEETKUNDE

In dit praktisch voorbeeld , zal je een van de krachtigste geïntegreerde functies van de TI-Nspire CAS gebruiken, bij de onderzoeken van de eigenschappen van parabolen door middel van alle beschikbare representaties: de omgevingen Grafieken & Meetkunde, Lijsten & Spreadsheets en Rekenmachine.

Begin met een nieuw document en maak een Graphs & Geometry (Grafieken & Meetkunde) pagina. (Als je wilt, kun je om het even welke vrije ruimte nemen en de pagina naar links slepen, zodat de assen in het midden komen). Je plaatst een free point (vrij punt) (MENU 3[1][1]) om het even waar in het eerste kwadrant, en dan noem je dit F met het Text (Tekst) instrument (MENU 7[1]).

Construeer de perpendicular bisector (loodrechte bissectrice) (MENU 5[3]) tussen punt F en de x-as, waarbij automatisch een nieuw punt (noem dit D) op de as wordt geplaatst. Zorg ervoor dat je klikt tussen de streepjes op de assen: klikken OP een van deze streepjes, zorgt ervoor dat het punt verspringt van streepje tot streepje wanneer je het versleept!


38


Je kunt het Attributes (Attributen) menu (CTRL-MENU) gebruiken om het uitzicht van het punt te veranderen in een grotere open of gesloten cirkel, waardoor het punt gemakkelijker zichtbaar en versleepbaar is!

Sleep het punt D langs de as en bekijk de beweging van de loodrechte bissectrice. Welk pad lijkt deze te beschrijven?

Kies het locus (puntenverzameling) instrument (MENU 5[6]) en klik een keer op het punt D en nog een keer op de loodrechte bissectrice waardoor een indrukwekkende omhullende ontstaat! Welke vorm lijkt omsloten te worden door deze omhullende? Het lijkt op een parabool – laten we even kijken of dit juist is!

Druk op de TAB-toets of klik gewoon op de functieregel onderaan het scherm en voer de functie x2 in. Druk op ENTER om deze functie uit te zetten. Sleep de grafiek naar beneden zodat de top van de grafiek samenvalt met het laagste punt van de omhullende. Merk op dat de cursor de vorm van een rechtstaand kruis aanneemt wanneer je de correcte stand hebt gevonden. Gebruik het HAND instrument om de grafiek te verslepen en onderzoek hoe de functiedefinitie verandert bij elke beweging.


39


Beweeg nu een arm van de parabool en de cursor verandert nu in een diagonaal kruis. Sleep en rek de grafiek tot deze samenvalt met de geconstrueerde kromme. Als je wilt, kun je ook de functiedefinitie aanpassen zodat deze nog beter de grafiek volgt!

Kies het Coordinates and Equations (Coördinaten en vergelijkingen) instrument (MENU 8[5]) en klik op ons brandpunt, F. Kun je het verband vinden tussen de coördinaten van het brandpunt, F, en de vergelijking van de parabool?

Als we de omhullende verbergen (MENU 1[2]), wordt het gemakkelijker te zien wat er aan de hand is. Eigenlijk raakt de loodrechte bissector aan de parabool! Gebruik het Coordinates & Equations (Coördinaten & vergelijkingen) instrument (MENU 8[5]) om de vergelijking van deze lijn te tonen.

Construeer een loodlijn vanuit D (MENU 5[1]) naar de raaklijn in punt P. Geef dit punt een naam en toon de coördinaten (MENU 7[1] en MENU 8[5]).


40


Kies de Variables (Variabelen) menu (MENU 7[4]) en bewaar de coördinaten van P als xp en yp. Voeg een nieuwe Lijsten & Spreadsheet pagina toe (je kunt CTRL-I of MENU .[3] gebruiken). Noem kolom A xvar en kolom B yvar, zoals getoond. Kies Automatic Data Capture (Automatische gegevensopname) (MENU 6[3]). Typ ‘xp voor kolom A en ‘yp voor kolom B, en dan verschijnen de huidige coördinaten van P. Druk op CTRL-linker pijl om naar de Grafieken & Meetkunde pagina terug te keren en klik twee maal op het grafiekkadertje in de hoek onderaan link, of kies MENU 2[1]-[3] om scatter plot (scatterplot) te kiezen.

Binnen het scatterplotmenu, klik je xvar aan als de x-variabele en yvar als de y-variabele. Sleep nu punt D langs de x-as en bekijk hoe de punten van de parabool verschijnen op de scatterplot. Opnieuw wordt het pad van onze parabolische functie afgetekend.


41


Ga terug naar de Lijsten & Spreadsheet en kies Quadratic Regression (Kwadratische regressie) uit het Statistics (Statistiek) menu (MENU 6[3][7]). Geef a[] en b[] in als gegevensbronnen wanneer hierom gevraagd wordt en de statistieken zullen zoals getoond in de spreadsheet verschijnen. Gebruik TAB wanneer je je terug in de Grafieken & Meetkunde pagina bevindt om f2(x) te kiezen en RegEQn uit het Variables (Variabelen) menu (MENU 7[4]). Voeg (x) toe om de functie regeqn(x) te krijgen en zet deze uit - de parabolen zijn net niet identiek. De verschillen tussen de twee functies en hun grafieken ligt misschien enkel in de eerste coëfficiënt van f1(x). Laten we dit onderzoek afsluiten met wat computeralgebra aan de hand van de Rekenmachine.

Definieer eerst een algemene kwadratische functie (met a1, b1 en c1 omdat a, b and c al een waarde hebben gekregen) (MENU 1[1]). Om de top van de parabool te vinden, zoeken we eerst de zeros (nulpunten) (MENU 3[4]), en nemen we hier het gemiddelde van (MENU 5[1][3]). Dit geeft ons de symmetrieas, die we bewaren als “h”. Het andere deel van de top is gewoon f(h) – bewaar dit als “k”. Definieer “fvertex” (”ftop”) als {h, k} – je kunt hiervoor de dubbelepunt gebruiken: fvertex := {h, k} (ftop := {h, k})


42


Natuurlijk is de top van een parabool met richtlijn op de x-as gewoon halverwege tussen het brandpunt en de as en daarom kan deze worden gedefinieerd als (h, k/2). Omdat onze waarden voor “a”, “b” en “c” gedefinieerd werden door de regressie, kunnen we de exacte coördinaten voor het brandpunt van de geconstrueerde parabool vinden – en hieruit kunnen we duidelijk zien dat het correct wordt bepaald door onze regressie.

Ten slotte, wordt de coëfficiënt voor de topvorm voor een parabool gegeven door 1/(4k) waarbij k de brandpuntsafstand is. Wanneer we dit vergelijken met onze waarde voor a uit de regressie, zien we dat dit inderdaad exact overeenkomt. Bijgevolg is een nauwkeuriger functievoorschrift voor onze parabool met brandpunt (1,6; 3,6) en richtlijn op y = 0: y = 0.14 (x – 1.6)2 + 1.8 Over het algemeen, wordt de parabool met brandpunt in (h, 2k) en richtlijn volgens y = 0 beschreven door

y=

1 ( x − h) 2 + k 4k


43

Aan de slag met TI-Nspire CAS 9. Inleiding tot Statistiek

9. INLEIDING TOT STATISTIEK: FLEXIBELE REGRESSIES

In dit praktisch voorbeeld onderzoeken we de leermogelijkheden met een geïntegreerde technologische partner! Niet alleen is het snel en gemakkelijk om regressies te berekenen en uit te zetten, maar de gekoppelde representaties die beschikbaar zijn binnen TI-Nspire CAS maken er een krachtig instrument van voor het ontwikkelen van een grondig inzicht in de relevante principes en methodes.

Dit praktisch voorbeeld werd oorspronkelijk ontwikkeld door Dr. Charles Von der Embse van de Central Michigan University.

Begin met een Grafieken & Meetkunde pagina en plaats vijf willekeurige punten in het eerste kwadrant van het assenstelsel, zoals getoond (MENU 3[1][1]). Gebruik het Coordinates & Equations (Coördinaten & vergelijkingen) instrument (MENU 8[5]) om de coördinaten van elk punt te tonen. (Je kunt ook het Attributes (Attibruten) instrument gebruiken (MENU 1[3]) om het uitzicht van deze punten te wijzigen, zodat je ze gemakkelijker kunt zien en verslepen!)

Open het Variables (Variabelen) menu (MENU 7[4]) and Store (Bewaar) een voor een de x- en y-coördinaten (xa, ya), (xb, yb), enz. Deze bewerking wordt veel gemakkelijker met behulp van de sneltoetsen voor het Variables (Variabelen) menu: CTRL-() (de blauwe CTRL-toets en de “klik”-toets bovenaan links op het toetsenpaneel van de machine). Controleer dat de coördinaten van de punten mee veranderen met de positie – je kunt de coördinaten ook verbergen (MENU 1[2]).


44

Aan de slag met TI-Nspire CAS 9. Inleiding tot Statistiek

Voer in de eerste vijf cellen van kolom A de x-coördinaten van de punten in – vergeet het "=" teken niet om aan te geven dat het om een formule gaat! Herhaal deze bewerking in kolom B met =ya, =yb, =yc, enz. Door bovenaan kolom A te klikken en dwars over beide kolommen te slepen, worden beide kolommen, A en B, geselecteerd. Kies de Linear Regression (Lineaire regressie) uit het Statistics (Statistiek) menu (MENU 7[3][1]). De statistische variabelen van deze berekening worden in kolommen C en D geplaatst zoals getoond. Omdat we meerdere regressies willen uitvoeren, bewaren we deze onder andere namen, omdat we de betreffende variabelen niet willen overschrijven. Naast cel D2 (a), klik je in cel E2 en typ je “=D2”. Op dezelfde manier, kopieer je de inhoud van cel D3 in E3. Open het Variables (Variabelen) menu (MENU 6[1]) en bewaar je (Store) deze waarden als al en bl.

Ga terug naar de Grafieken & Meetkunde pagina (CTRL-linker pijl) en typ de vergelijking al + bl*x in f1(x). Als een van de punten A tot E verandert, zal de regressie ook veranderen. Ga nu terug en maak nieuwe regressies op dezelfde manier, zoals een Median (Mediane) en een Quadratic (Kwadratische) regressie en kijk welke invloed een verandering van positie van de punten heeft op elke regressie!


45

Aan de slag met TI-Nspire CAS 10. Inleiding tot Puntenverzamelingen

10. INLEIDING TOT PUNTENVERZAMELINGEN: CONSTANTE EIGENSCHAP

In dit laatste praktisch voorbeeld, gaan we dieper in op een aantal interessante eigenschappen van vormen met constante oppervlakte en omtrek, met behulp van de gegevensverzamelingfuncties van de TI-Nspire CAS, waarmee we het pad van een bepaald punt opnemen.

Begin met een nieuwe Grafieken & Meetkunde pagina en construeer een driehoek (MENU 4[2]). Benoem een van de punten P (MENU 7[1]) zoals getoond. We beginnen met het vraagstuk over de constante oppervlakte: welk pad zal het punt P beschrijven indien de oppervlakte van de driehoek constant blijft?

Meet de oppervlakte van de driehoek (MENU 8[2]) en vergrendel (lock) dit getal met behulp van het Attributes (Attributen) instrument (MENU 1[3] of duid gewoon het nummer aan en druk CTRL-MENU). Vergrendel deze eigenschap door op de pijl omlaag te drukken en dan op de rechter pijl. Wanneer je nu het punt P versleept, wordt de aan de beweging een beperking opgelegd – welk pad wordt er beschreven en waarom?


46


Om dit te weten te komen, gebruiken we de Automatic Data Capture (Automatische gegevensverzameling) functie van de Lijsten & Spreadsheet toepassing. Toon de coördinaten van punt P (MENU 8[5]) en gebruik dan het Variables (Variabelen) menu (MENU 7[4]) om de x- en y-coördinaten van P te bewaren (Store) als xp en yp. Laat het punt P opnieuw bewegen en controleer opnieuw dat de coördinaten veranderd zijn – probeer opnieuw het beschreven pad te beschrijven. Voeg nu een nieuwe Lijsten & Spreadsheet pagina toe (je kunt CTRL-I of MENU .[3] gebruiken). Benoem de eerste twee kolommen als xval en yval en kies daarna Automatic Data Capture (Automatische gegevensverzameling) (MENU 6[3]). Typ xp in kolom a en yp in kolom b.

Druk op CTRL-linker pijl om terug te gaan naar onze Grafieken & Meetkunde pagina en kies Scatter Plot (scatterplot) (MENU 2[1][3]) of klik het functietypekader onderaan in de linker hoek van het scherm tot het scatterplotmenu verschijnt. Klik op het uitklapmenu voor x en kies xval en kies dan yval voor y.


47


Wanneer je nu punt P sleept, dan verschijnen er lijnen die evenwijdig lijken te zijn met de "basis" van de driehoek, tegenover ons punt P. En dat moet ook zo zijn! De oppervlakte van een driehoek hangt af van de basis en de hoogte: indien de basis en de oppervlakte constant zijn, dan moet ook de hoogte constant zijn!

Nu zijn we klaar voor een moeilijker onderzoek: wat wordt het pad dat het punt P beschrijft wanneer de omtrek van de driehoek constant wordt gehouden? Wis nu de scatterplot (MENU 1[4][1]) en de oppervlakte. Meet de omtrek van de driehoek met behulp van het Length (Lengte) instrument en vergrendel (Lock) dan dit getal, zoals je eerder deed, met behulp van het Attributes (Attributen) instrument. Als je wilt, kun je naar de Lijsten & Spreadsheet pagina gaan (CTRL-rechter pijl) en beide kolommen wissen door er bovenaan op de klikken en op Clear (Wissen) te drukken. Dan kun je de namen xval en yval opnieuw ingeven en de Automatic Data Capture (Automatische gegevensverzameling) voor xp en yp herhalen. Kies OK wanneer de waarschuwing verschijnt dat dit de inhoud van de lijsten zal verwijderen. Ga nu terug naar onze Grafieken & Meetkunde pagina en selecteer opnieuw Scatter Plot (Scatterplot) variabelen en versleep opnieuw punt P. Wat had je verwacht? Kun je verklaren waarom dit pad een ellips is? Je kunt dit ook proberen met een stukje touw, twee spelden en een potlood! Wat zou het pad zijn van een vierhoek met een constante omtrek? Kun je dit voorspellen?


48

Een optimaal instrument voor het ontwikkelen van inzicht en vaardigheden in het secundair onderwijs

Recommend Documents