Vergelijkingen met breuken © WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier.
1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog even in de cursus Vergelijkingen op Wisnet naar het inleidende bestand "Het =-teken" met daarin een aantal rekenregels voor vergelijkingen. Bij het oplossen van een vergelijking met breuken zijn er verschillende manieren van aanpak mogelijk als je met pen en papier werkt. Het kan helpen om links en rechts één breuk te maken, eventueel te vereenvoudigen en vervolgens op te lossen. (Zie voorbeeld 1.4.) Als je links en rechts één breuk hebt (gemaakt), kun je ook de truc van het kruislinks vermenigvuldigen gebruiken. (Zie voor uitleg van deze truc in paragraaf 1.5.) Je kunt links en rechts de vergelijking met iets vermenigvuldigen om alle breuken in de vergelijking weg te werken. Dat lost meestal een heleboel ellende op. Een andere mogelijkheid is alles naar de linkerkant van het isgelijkteken te werken en samen nemen. (Zie voorbeeld 1.2 en voorbeeld 1.3.) Belangrijk is te weten dat als een breuk gelijk is aan 0, dat dan de teller (boven de streep) gelijk is aan 0 en dat dan de noemer (onder de streep) niet gelijk is aan 0. Verder wordt er steeds gevraagd naar de oplossingen in de reële getallenverzameling als er verder niets bij staat. Mocht het zo zijn dat je een kwadratische vergelijking moet oplossen, dan staat hier onder een paragraaf om de oplossingen van kwadratische vergelijkingen te repeteren met de a,b,c-formule. Zie ook een les oven de a,b,c-formule.
Ook met ontbinden in factoren kun je een heel eind komen ten behoeve van het vereenvoudigen en gelijkstellen aan nul. Voor complexe oplossingen moet je eerst iets meer weten van complexe getallen. Zie voor meer informatie in paragraaf complexe oplossingen. Mocht het zijn dat er complexe oplossingen gegenereerd worden bij het rekenen met de computer, dan kun je deze negeren als er toch alleen gevraagd wordt naar de reële oplossingen. Complexe oplossingen zijn te herkennen aan de letter I in de uitvoer.
1.1 Kwadratische vergelijkingen Bekend moet zijn de les over kwadratische vergelijkingen met de verschillende manieren van oplossen. Ook bekend moet zijn de a,b,c-formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Als de parameters a, b en c niet gelijk zijn aan 0, dan is de algemene vorm voor een kwadratische vergelijking in x :
De twee oplossingen zijn x=
en x =
Als er onder het wortelteken een negatief getal ontstaat (discriminant kleiner dan 0), dan heeft de vergelijking geen oplossingen in de verzameling van reële getallen R maar wél in de complexe getallen (te herkennen aan de imaginaire eenheid). Zie ook een aparte les over de afleiding van de a,b,c-formule.
voorbeeld
De oplossingen zijn:
Twee oplossingen verkregen met behulp van de a,b,c-formule waarbij de waarde van de discriminant gelijk is aan 61. Eventueel kunnen deze waarden benaderd worden met decimale getallen (floating point).
1.2 Voorbeeld Los de volgende vergelijking op met t als onbekende en bekijk de drie manieren om deze
vergelijking op te lossen.
oplossing 1 Ga na dat t ongelijk moet zijn aan 1 vanwege de noemer die niet gelijk aan 0 mag zijn. Vermenigvuldig links en rechts van het =-teken met . Werk de haakjes weg. Je hebt een kwadratische vergelijking gekregen. Alles naar de linker kant van het =-teken brengen (links en rechts 2 t er van aftrekken) .
Links en rechts met -1 vermenigvuldigen en de termen rangschikken en bijelkaar nemen .
Je hebt een kwadratische vergelijking gekregen. Ontbinden in factoren (altijd eerst kijken of je iets buiten haken kunt halen).
Elke factor ombeurten gelijkstellen aan 0. of Echter t mag niet gelijk zijn aan 1 en dat is ook niet zo. De oplossing van de vergelijking is dus t = 0 of t = -1.
oplossing 2 Ga na dat t ongelijk moet zijn aan 1. Ga ook na dat er eigenlijk staat:
Dus links en rechts van het =-teken één breuk. Kruislinks vermenigvuldigen: Zie nu weer verder in de uitwerking van oplossing 1.
oplossing 3 Alles naar de linkerkant van het isgelijkteken brengen.
Gelijke noemers maken en breuken samen nemen tot één breuk. Ga na dat
.
Bij de eerste "breuk" de teller en de noemer met 1 - t vermenigvuldigen. De andere breuk onveranderd overschrijven.
De breuken samen nemen
Herleiden.
Vervolgens: als een breuk gelijk is aan 0, dan is de teller gelijk aan 0 (waarbij de noemer niet ook gelijk aan 0 mag zijn!!!!). Links en rechts met -1 vermenigvuldigen. Ontbinden in factoren en elke factor ombeurten gelijk aan 0 stellen. Anwoord of . Controleer altijd even of de noemers in de oorspronkelijke opgave niet gelijk worden aan 0 bij deze waarden van t. De oplossing is dus .
1.3 Voorbeeld Los de volgende vergelijking op met x als onbekende en bekijk twee verschillende manieren van oplossen.
oplossing 1
Kruislings vermenigvuldigen:
Zie meer informatie over kruislings vermenigvuldigen in paragraaf 1.5.
Haakjes wegwerken: Alles naar de linkerkant brengen: Onbinden in factoren: Elke factor gelijkstellen aan 0. of Controleren of de noemers in de oorspronkelijke opgave niet gelijk zijn aan 0. De oplossing is dus of (Bij geen van beide waarden van x worden de noemers van de oorspronkelijke breuk gelijk aan 0.)
oplossing 2 In de vergelijking kun je breuken gelijknamig maken, alles naar links brengen en dan één breuk maken die je gelijkstelt aan 0.
Gelijke noemers maken:
Alles naar links brengen:
Eén breuk maken:
Als een breuk gelijk is aan 0, dan is de teller (boven de streep) gelijk aan 0, maar!!! de noemer mag niet gelijk zijn aan 0.
Met behulp van de rekentechniek van het oplossen van kwadratische vergelijkingen (ontbinden of a,b,c-formule), kan het antwoord gevonden worden. Anwoord: of . Controleer dat deze waarden de noemers van de oorspronkelijke vergelijking niet
gelijk maken aan 0. Deze manier van doen is gebruikmakend van de rekenregels voor breuken. Je kunt ook de methode "kruislings vermenigvuldigen" toepassen die afgeleid is van bovenstaande manier. Zie voor deze truc in paragraaf 1.5 Kruislings vermenigvuldigen.
1.4 Voorbeeld Los de volgende vergelijking op:
oplossing 1
Misschien zie je dat de eerste en de laatste breuk bijna dezelfde noemers hebben Het is dan makkelijk om deze bijelkaar te nemen:
De laatste breuk teller en noemer met -1 vermenigvuldigen:
Dan de twee breuken rechts bijelkaar nemen:
Toevallig zijn bij deze breuken links en rechts de tellers gelijk, dan moeten dus ook de noemers gelijk zijn. (Eventueel kun je ook kruislings vermenigvuldigen)
oplossing 2 De volgende vergelijkingen eerst omvormen tot links en rechts één breuk staat. Vervolgens vereenvoudigen en oplossen.
De rechterbreuk noemer met -1 vermenigvuldigen en goedmaken met een minteken voor de breuk.
Links en rechts van het isgelijkteken kan vermenigvuldigd worden met
Links en rechts van het isgelijkteken kan vermenigvuldigd worden met Zie voor deze truc in paragraaf 1.5 Kruislings vermenigvuldigen.
.
.
Anwoord: Controleer altijd of deze waarde de noemer in de oorspronkelijke opgave niet 0 maakt.
1.5 Kruislings vermenigvuldigen Ga het volgende na als links en rechts van het isgelijkteken één breuk staat:
verklaring
Wat je doet is eigenlijk uitgaande van links en rechts met 2 vermenigvuldigen
en daarna links en rechts met 6 vermenigvuldigen Uiteindelijk links en rechts weer door 2 delen
truc
nogmaals voorbeeld 1.3 Zie ook voorbeeld 7.3 voor de uitgebreide rekenmanier. Hieronder staat de korte manier met "kruislings vermenigvuldigen".
truc
Haakjes wegwerken: Alles naar de linkerkant brengen: Onbinden in factoren: Elke factor gelijkstellen aan 0. of Controleren of de noemers in de oorspronkelijke opgave niet gelijk zijn aan 0. (Bij geen van beide waarden van x worden de noemers van de oorspronkelijke breuk gelijk aan 0.)
nogmaals voorbeeld 1.4 Zie ook voorbeeld 7.4 voor de uitgebreide rekenmanier. De truc met het "kruislings vermenigvuldigen" werkt alleen als je links en rechts één breuk hebt!!
truc
truc
Bij deze waarde van x worden de noemers van de oorspronkelijke breuken niet gelijk aan 0 dus de oplossing is
.
2 Oefeningen om zelf te doen Los de volgende vergelijkingen op en controleer of de noemer van de breuk in de opgave niet gelijk wordt aan 0. In de oefeningen kunnen eventueel zelf ook veranderingen aangebracht worden. De antwoorden worden automatisch aangepast na Enter als je op de rode invoer gaat staan.
vraag 1
a=
antwoord Tip: links en rechts ALLES met
vermenigvuldigen.
Antwoord:
vraag 2
x=
antwoord Tip: met kruislings vermenigvuldigen.
vraag 3
p=
antwoord Links en rechts handig één breuk maken en dan kruislings vermenigvuldigen.
vraag 4
v=
of v =
antwoord Tip: links ook één breuk maken en dan kruislings vermenigvuldigen. Je krijgt dan een kwadratische vergelijking.
vraag5
v=
of v =
antwoord Tip: maak links één breuk en dan kruislings vermenigvuldigen. Je krijgt dan een kwadratische vergelijking.
vraag 6
t=
antwoord Tip: alles links en rechts vermenigvuldigen met
en let op dat t niet gelijk is aan 5.
vraag 7
x=
antwoord Tip: links en rechts met wegwerken en dan herleiden.
vermenigvuldigen en vervolgens alle haakjes
Als het antwoord zou luiden , dan betekent dit dat de vergelijking waar is voor iedere waarde van x. De oplossingsverzameling is dan de gehele getallenverzameling waarvoor opgelost moet worden. Let wel op dat noemers nooit nul mogen zijn.
3 Gebroken vergelijkingen met parameters Waneer in gebroken vergelijkingen meer variabelen voorkomen, dan kan men bijvoorbeeld één van deze variabelen als onbekende aanwijzen. De andere variabelen kunnen dan opgevat worden als parameters. De onbekende kan "vrijgemaak" of "geïsoleerd" worden door de vergelijking op te lossen naar deze onbekende.
3.1 Voorbeeld Gegeven is de vergelijking:
Het is mogelijk om uit deze vergelijking a, of b of c vrij te maken. Het vrijmaken van a gaat als volgt:
Om eerst de breuken uit de vergelijking te werken, ga je links en rechts ALLES met b vermenigvuldigen.
Omdat a de onbekende is, zorg je dat alle termen met a erin aan de linkerkant van het =teken komen te staan. Dus hier is dat links en rechts a ervan aftrekken. Ontbinden in factoren: Links en rechts delen door
.
De breuk aan de rechterkant van het =-teken vereenvoudigen door boven en ondermet -1 te vermenigvuldigen
Probeer nu met dezelfde vergelijking ook b en c vrij te maken. De antwoorden staan hieronder.
b vrijmaken Maak b vrij uit de vergelijking.
b= aanwijzing Alles met b naar links.
Links en rechts de breuk op de kop.
Links en rechts met a vermenigvuldigen.
c vrijmaken Maak c vrij uit de vergelijking.
c= aanwijzing
Uit deze vergelijking willen we c vrijmaken. We zeggen ook wel dat c in de andere variabelen wordt uitgedrukt.
Alles links en rechts vermenigvuldigen met b om de breuken uit de vergelijking te krijgen.
Toevallig is al alles met c links, anders had dat nog gemoeten. Nu links en rechts delen door b c.
4 Oefeningen om zelf te doen
Neem pen en papier ter hand en oefen de volgende vragen.
Vraag 1 Gegeven de vergelijking Maak
.
uit deze vergelijking vrij.
Tip Maak van de drie breuken links één breuk en zet dan links en rechts de breuken op de kop.
antwoord
Vraag 2 Gegeven de volgende vergelijking:
Maak hieruit
vrij.
Tip Maak van de drie breuken links één breuk en zet dan links en rechts de breuken op de kop.
antwoord
Vraag 3 Maak achtereenvolgens a en b en c vrij uit de volgende vergelijking:
a=
b=
c=
Tip Links en rechts alles eerst alles met a vermenigvuldigen om de breuken uit de vergelijking te halen en bekijk daarna welke letter je vrijmaakt.
antwoord Maak nu zelf achtereenvolgens de a en de b en de c uit de vergelijking vrij. Hieronder staan de antwoorden.
Vraag 4 Gegeven is de formule van een belaste balk. (De betekenis van de letters doet er niet toe voor deze opdracht maar heeft te maken met de eigenschappen van deze balk. De letters a en l zijn bijvoorbeeld lengtematen en q is de belasting op de balk en E is de elasticiteitsmodulus (eigenschappen van het materiaal) en I is het traagheidsmoment van de doorsnede van de balk (dus afhankelijk van het profiel van de balk).)
Stel
als
antwoord Invullen:
wordt ingevuld en druk vervolgens P uit in de andere grootheden.
Links en rechts vermenigvuldigen met EI en ook delen door
Eventueel één breuk van maken
Eventueel q buiten de haakjes
Vraag 5 Gegeven de vergelijking
Maak achtereenvolgens a en d vrij uit deze vergelijking.
a=
d=
Tip Kruislings vermenigvuldigen dan krijg je
Werk de haakes weg en zorg dat de termen met de onbekenden links komen te staan.
antwoord Daarna kan a en d vrijgemaakt worden met de antwoorden hieronder.
Vraag 6 Gegeven de volgende vergelijking
Maak m (kleine letter) vrij uit deze vergelijking
m=
Tip Kruislings vermenigvuldigen
antwoord
Haakjes wegwerken en de term met kleine m naar links.
Links en rechts delen door
Eventueel als twee breuken geschreven:
Vraag 7 De VanderWaals-formule voor een gas (hoeveelheid van 1 mol) luidt:
(De betekenis van de letters is voor deze opdracht verder niet belangrijk. De druk p is in Pascal, V is het volume in kubieke meters. De temperatuur T in Kelvin.) Druk p uit in de overige grootheden. Het antwoord mag naar keuze als één breuk gepresenteerd worden of als meerdere breuken.
p=
Tip Het is handig dat er al haakjes staan, je hoeft zelf dus niet meer in factoren te ontbinden. Begin met links en rechts door te delen. Daarna hoef je nog alleen maar
naar rechts te brengen.
antwoord
Vraag 8 Maak p vrij uit de volgende vergelijking:
p=
Tip Als je links en rechts door deelt, dan is het al klaar. Vergeet niet dan ook in zijn geheel door te delen. Schrijf dan ook een volledige breuk.
antwoord
Als je in de teller de haakjes eventueel weer wegwerkt is het ook goed.
Vraag 9 Maak p vrij uit de volgende vergelijking
p=
Tip Breng eerst naar de rechterkant van het isgelijk-teken. Deel vervolgens links en rechts door .
antwoord
Vraag 10 Maak p vrij uit de volgende vergelijking:
p=
Tip Vermenigvuldig links en rechts met . Breng daarna alles waar p inzit naar de linkerkant en vereenvoudig.
antwoord
5 Woordenlijst a,b,c-formule De a,b,c-formule gebruik je om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Deze komen erg veel voor. Zie paragraaf a,b,c-formule. De algemene vorm voor een kwadratische vergelijking in x is:
De twee oplossingen zijn x=
en x =
De vorm onder het wortelteken wordt de discriminant genoemd. Zie verder voor informatie bij paragraaf a,b,c-formule.
Discriminant Zie bij a,b,c-formule.
factoren Factoren in een formule zijn de onderdelen van een vermenigvuldiging.
voorbeeld Er staat tussen deze factoren steeds spaties. (Als het niet verwarrend is zoals bij getallen, dan hoeft er voor vermenivuldiging geen teken te staan. De uitdrukking a b betekend eigenlijk en is een product bestaande uit de factoren a en b.) De 4 factoren van deze vorm zijn achtereenvolgens Echter de tweede factor bestaat weer uit twee termen (a en b) en de laatste factor ( ) bestaat ook weer uit een tweeterm. De factor bestaat weer uit twee factoren:
gelijknamig Bij breuken met verschillende noemers, moeten de noemers eerst gelijknamig gemaakt worden, voordat ze samengenomen kunnen worden.
isoleren Kijk bij vrijmaken.
kruislings vermenigvuldigen Als je een vergelijking hebt met links en rechts één breuk, dan kun je gebruik maken van kruislings vermenigvuldigen. Zie voor voorbeelden en uitleg bij kruislings vermenigvuldigen
noemer De noemer van een breuk is het gedeelte onder de breukstreep.
onbekende Zie ook bij parameter.
parameter
Neem bijvoorbeeld de vergelijking . Dit is de algemene vorm van een kwadratische vergelijking in x. We bedoelen daarmee dat x de onbekende is en dat je voor de andere letters naar willekeur een getal kunt invullen zodat je steeds een andere kwadratische vergelijking hebt in x. De letters a, b, en c zijn hierin de parameters. Je kunt ook de grafiek van de parabool tekenen waarbij x de variabele is. Voor de andere letters moet je dan getallen invullen zodat de grafiek daadwerkelijk getekend kan worden. In dit geval is x de variabele en de andere letters zijn weer parameters. Rolwisseling is ook mogelijk. Je kunt ook een andere letter kiezen voor de variabele en de overblijvende letters opvatten als parameters. Zie meer daarover bij de voorbeelden van paragraaf 3.
teller De teller van een breuk is het gedeelte boven de breukstreep.
termen Termen in een formule zijn de onderdelen van een optelsom (mag ook aftrekken).
voorbeeld De termen van deze formule zijn dan , en c. Deze eerste term bestaat weer uit twee factoren: 3 en (a + b) en de tweede term bestaat weer uit twee factoren .
variabele Zie ook bij parameter.
vrijmaken Als je een vergelijking hebt met meer dan één onbekende, dan kun je kiezen welke letter je als variabele kiest en je kunt de rest van de letters als parameter opvatten. De vergelijking los je dan op met als onbekende de gekozen variabele. Vrijmaken noemt men ook wel isoleren.
